MRUV oroblemas resueltos, ,test mruv

Cinemática
111
TEST
1.-
−
−
−
−
a)
b)
c)
2.-
b)
c)
d)
e)
FFVV
N.A
c)
d)
e)
7.-
El movimiento es desacelerado cuando la aceleración y la velocidad tienen sentidos contrarios.
El movimiento es acelerado cuando la aceleración
y velocidad tiene el mismo sentido.
Siempre que la aceleración es cero el móvil está
detenido.
Cuando la velocidad es cero no necesariamente
la aceleración es cero.
N.A.
a)
b)
c)
d)
e)
8.-
Está siempre acelerado.
Está siempre frenando.
Tienen el mismo sentido.
Son de igual valor numérico.
Se mantienen constantes.
−
a)
−
Respecto al M.R.U.V. de una partícula como se muestra no se
puede afirmar.
a)
b)
c)
d)
e)
Lleva movimiento desacelerado y luego será acelerado.
La velocidad en un instante será cero.
Se mueve hacia la derecha.
Se mueve hacia la izquierda.
Cuando la velocidad se hace cero la aceleración
se mantiene.
a)
b)
c)
10.-
Velocidad – constante
Aceleración – constante
Velocidad – en dirección
Aceleración – la velocidad
Aceleración – variando
Durante el desaceleramiento en el M.R.U.V. señalar
verdadero o falso.
−
Tendrá 9 m/s de velocidad a
los 8 s.
Tendrá 9 m/s a los 2 s.
Habrá recorrido 20 m en 2 s.
Tarda 8 s en recorrer 20 m.
El movimiento es desacelerado.
Es proporcional al cuadrado del tiempo.
Es proporcional al tiempo y depende de la velocidad inicial.
No depende de la velocidad inicial y si de la aceleración.
Es función del cuadrado del espacio recorrido.
No depende del espacio recorrido.
En el M.R.U.V. la.................. se mantiene ........... y es acelerado cuando tiene el mismo sentido que la velocidad.
a)
b)
c)
d)
e)
9.-
Es proporcional al tiempo.
Es inversamente proporcional al cuadrado del
tiempo.
Es proporcional al cuadrado del tiempo.
Es independiente de la velocidad inicial.
Es independiente de la aceleración.
Respecto a la velocidad en el M.R.U.V. podemos afirmar:
Respecto al M.R.U.V. para una partícula como mostramos en la figura y que tiene la velocidad inicial señalada, que podemos afirmar:
b)
c)
d)
d)
5.-
d)
e)
Respecto al espacio recorrido en el M.R.U.V. podemos
afirmar:
a)
b)
Respecto a la velocidad y aceleración de un móvil
en M.R.U.V. como se muestra podemos decir que es
correcto:
a)
b)
c)
d)
e)
4.-
VFVF
VVVV
VFFV
6.-
En el M.R.U.V. no se cumple que:
a)
3.-
Siempre que la aceleración tiene el mismo sentido de la velocidad el movimiento es acelerado.
Desplazamiento o trayectoria es lo mismo.
Siempre que el desplazamiento y la aceleración tienen la misma dirección, el movimiento es acelerado.
Cuando el móvil tiene velocidad inicial y final
igual a cero, se puede asegurar que tuvo primero
M.R.U.V. acelerado y después M.R.U.V. retardado.
La velocidad y aceleración tienen sentidos contrarios.
El espacio en el tiempo “t” viene dado por:
1
e = at 2
2
Cuando se detiene, la aceleración siempre desaparece.
VFF
VVV
VVF
d)
e)
VFV
FFF
Si una partícula es acelerada desde el reposo con una
aceleración “a”, el espacio recorrido en el 4to segundo
viene dada por:
a)
b)
c)
3
a
2
5
a
2
7
a
2
d)
9
a
2
e)
1
a
2
Jorge Mendoza Dueñas
112
PROBLEMAS RESUEL
TOS
RESUELTOS
A
1.-
problemas de aplicación
Un móvil aumenta su velocidad de 10 m/s a 20 m/s
acelerando uniformemente a razón de 5 m/s2. ¿Qué
distancia logró aumentar en dicha operación?
Solución:
4.-
vF2 = v 2o ± 2ad
Un avión parte de reposo con M.R.U.V. y cambia su
velocidad a razón de 8 m/s2, logrando despegar luego de recorrer 1 600 m. ¿Con qué velocidad en m/s
despega?
Solución:
Notamos que el movimiento es acelerado.
v F2 = v 2o + 2ad
2
2
b20g = b10g + 2b5gd
d = 30 m
2.-
Un automóvil corre a razón de 108 km/h y luego frena, de tal modo que se logra detener por completo en
6 s. ¿Cuál es su aceleración?
vF2 = v 2o ± 2ae
Notamos que el movimiento es acelerado.
Solución:
v F2 = v 2o + 2ad
b gb
vF2 = 0 + 2 8 1 600
g
v F = 160 m / s
5.-
v o = 108 km / h = 60 m / s
Un móvil posee una velocidad de 20 m/s y acelera
uniformemente a razón de 2 m/s2 durante 5 segundos. ¿Qué distancia recorrió en el 5to segundo de su
movimiento?
Solución:
v −v
0 − 60
a= F o ⇒ a=
t
6
a = − 10 m / s2 Movimiento retardado
3.-
Una partícula recorre 30 m en 5 s con un M.R.U.V. si al
partir tenía una velocidad de 4 m/s. ¿Que velocidad
tuvo al término del recorrido?
Distancia recorrida hasta los 5 segundos
Solución:
d=
FG v
H
o
IJ
K
FG
H
IJ
K
+ vF
4 + vF
5
t ⇒ 30 =
2
2
vF = 8 m / s
Distancia recorrida hasta los 4 segundos
Cinemática
113
La distancia recorrida en el 5to segundo será: x = d5 − d4
1
d = v ot + at 2
2
d= 0 +
1
4 8
2
b gb g
2
d =128 m
LM b g b g OP − LMv b4g + 1 ab4g OP
2
N
Q N
Q
1
1
L
O L
O
x = M20b5g + × 2 × b25gP − M20b 4 g + × 2 × b16gP
2
2
N
Q N
Q
1
x = vo 5 + a 5
2
2
2
2.-
o
Solución:
x = 29 m
B
1.-
Un tren que lleva una velocidad de 216 km/h, aplica los
frenos y produce un retardamiento de 4 m/s en cada
segundo, hasta detenerse. Determinar el espacio que
recorrió en el último segundo de su movimiento.
216 km / h = 60 m / s
problemas complementarios
Un móvil que parte del reposo, recorre en el décimo
segundo de su movimiento 20 metros más que lo recorrido en el quinto segundo; determinar el espacio
recorrido desde que inicio el movimiento hasta el final del octavo segundo de su movimiento.
o Calculando el tiempo que demora en detenerse .
Solución:
v F = v o ± at
o Espacio recorrido en el quinto segundo.
x = d5 − d4
0 = 60 − 4 t
⇒
t = 15 s
8
0
Reposo:
1
d = v ot + at 2
2
1
d = at 2
2
1
2 1
x= a 5 − a 4
2
2
bg
x=
bg
2
25
a − 8a ..................... (1)
2
o El espacio que recorrió en el último segundo.
o Espacio recorrido en el décimo segundo.
x = d15 − d14
x + 20 = d10 − d9
1
2 1
x + 20 = a 10 − a 9
2
2
b g
x + 20 = 50a −
LM b g b g OP − LMv b14g − 1 ab14g OP
2
N
Q N
Q
1
1
L
O L
O
x = M60b15g − × 4 × b15g P − M60b14 g − × 4 × b14 g P
2
2
N
Q N
Q
1
x = v o 15 − a 15
2
2
bg
81
a ............ (2)
2
2
2
o
2
2
o De (1) y (2): a = 4 m / s2
x=2m
o Nos piden el espacio recorrido desde el inicio del
movimiento hasta el final del octavo segundo.
3.-
Dos móviles que parten del reposo se dirigen al encuentro con movimiento uniformemente acelerado
desde dos puntos distantes entre si 180 m y tardan
10 s en cruzarse. Los espacios recorridos por estos móviles están en la relación de 4 a 5. Calcular las aceleraciones de dichos móviles.
Jorge Mendoza Dueñas
114
5.-
Solución:
Un automóvil está esperando en reposo que la luz del
semáforo cambie. En el instante que la luz cambia a
verde, el automóvil aumenta su velocidad uniformemente con una aceleración de 2 m/s2 durante 6 segundos, después de los cuales se mueve con velocidad uniforme. En el instante que el automóvil empezó a moverse después del cambio de luz, un camión
lo sobrepasa en la misma dirección, con el movimiento uniforme a razón de 10 m/s. ¿Cuánto tiempo y cuán
lejos del semáforo el automóvil y el camión volverán
a estar juntos?
o Distancia total:
Solución:
180 = 5x + 4 x
x = 20
o Con el móvil (1):
1
d = v o 10 + a1 10
2
2
b g b g
b5gb20g = 0 + 21 a b100g
1
⇒
a1 = 2 m / s2
⇒
a2 = 1, 6 m / s2
o Con el móvil (2):
1
d = v o 10 + a2 10
2
b g
b g
2
b4gb20g = 0 + 21 a b100g
2
4.-
Un automóvil que parte del reposo a razón de 2 m/s2
se encuentra a 20 m detrás de un ómnibus que marcha
con velocidad constante de 8 m/s. ¿Después de cuanto
tiempo el auto sacará al ómnibus una ventaja de 64 m?
Solución:
o Con el camión:
e = x + y = 10 T .......................... (1)
o Con el automóvil:
Entre A y B : vF = v o + at
bg
vB = 0 + 2 6
v B = 12 m / s
Entre A y C :
y
67
4 x4
8 6
47
4
8
1
2
x + y = 2 6 + vB T − 6
2
b gb g
o Con el auto (vo = 0)
b g
b g
x + y = 36 + 12 T − 6 .............. (2)
1
d = v ot + a t 2
2
20 + x + 64 = 0 +
1
2 t2
2
bg
84 + x = t ...... (1)
2
o Con el camión (v = 8 m/s = cte)
o (1) = (2)
b g
10 T = 36 + 12 T − 6
10 T = 36 + 12T − 72
T = 18 s
x = vt
Finalmente:
x = 8t .............. (2)
e = x + y = 10 T = 10 18
o De (1) y (2):
t = 14 s
b g
e = 180 m
Cinemática
6.-
115
o Entre B y C :
Dos trenes de 200 m y 400 m de longitud avanzan en
vías paralelas en sentidos opuestos y cuando se encuentran, sus velocidades son 12 y 18 m/s y sus aceleraciones constantes son iguales a 3 m/s2. Hallar el tiempo
que demoran los trenes en cruzarse completamente.
v F2 = v 2o − 2aeBC (mov. retardado)
b g
2
b g
0 = 20 − 2a 44
88a = 400
Solución:
o Cuando los trenes están a punto de cruzarse
8.-
⇒
a = 4 , 55 m / s2
Dos moviles A y B se encuentran inicialmente separados una distancia “d” (B detrás de A). Si ambos se mueven en el mismo sentido “B” con velocidad constante
de 10 m/s y “A” partiendo del reposo con a = 2 m/s2.
Después de que tiempo de iniciado el movimiento la
distancia de separación es mínima. (Ambos móviles
no se encuentran).
Solución:
o Momento en que “A” cruza a “B” completamente.
1
e A = 600 = v ot + at 2
2
1
600 = 30t + 6 t 2
2
bg
7.-
b
g
eB = d + eA − x .............. (1)
t 2 + 10t − 200 = 0
De donde:
t = 10 s
1 2
o e A = v ot + at
2
Un conductor viaja por una autopista recta con una
velocidad inicial de 20 m/s. Un venado sale a la pista
50 m más adelante y se detiene. ¿Cuál es la aceleración mínima que puede asegurar la parada del vehículo justamente antes de golpear al venado si el chofer demora 0,30 s en reaccionar?
1
e A = 0t + ⋅ 2 ⋅ t 2
2
eA = t 2 .............. (2)
o eB = v B t
eB = 10t .............. (3)
Solución:
o (2) y (3) en (1):
10t = d + t 2 − x
e
j
10t = t2 − x + d
x = t 2 − 10t + d
b g
2
x = t − 5 + d − 25
o Antes que el conductor reaccione su velocidad
sigue siendo constante
Para que x sea mínimo: t − 5 = 0
b g b g
e AB = v 0 , 30 = 20 0 , 30
t = 5s
e AB = 6 m
Cuando el conductor reacciona, éste presiona los frenos y el movimiento pasa a ser M.R.U.V. cuya velocidad final es cero (para no atropellar al venado).
eBC = 50 − 6 = 44 m
9.-
Un pasajero desea subir a un microbús que se encuentra detenido y corre tras él con una velocidad uniforme
de 5 m/s y cuando estaba a 6 m del microbús, éste parte con aceleración constante de 2 m/s2. Hallar el tiempo que demora el pasajero en alcanzar al microbús. (Si
lo alcanza).
Jorge Mendoza Dueñas
116
10.-
Solución:
o Suponiendo que lo alcanza: Para ello en el instante
de alcance la velocidad del microbús no deberá ser
mayor que la del pasajero (5 m/s).
Sale un tren hacia el norte con velocidad de 30 km/h,
luego de 10 minutos sale otro también hacia el norte y
con la misma velocidad. ¿Con qué velocidad en km/h
constante venía un tren desde el norte, si se cruzó con
el primer tren en cierto instante y luego de 4 minutos
con el segundo tren?
Solución:
eH − eM = 6
FG
IJ
H
K
F 1 I
5t − G 0t + ⋅ 2t J = 6
H 2 K
1
5t − v ot + at 2 = 6
2
2
⇒
5t − t 2 = 6
t 2 − 5t + 6 = 0
De donde:
o Cálculo del tiempo de encuentro entre “B” y “C”
t = 2s ó t = 3s
t=
o Analizando:
o De la figura:
Si: t = 2 s ⇒ v M = v o + at
b gb g
FG
H
vM = 0 + 2 2
x = 30t − 30 t −
vM = 4 m / s < 5 m / s
Si:
10
60
IJ
K
x = 5 km
bg
t = 3 s ⇒ vM = 0 + 2 3
o (2) en (1):
v M = 6 m / s > 5 m / s (no cumple)
o Finalmente:
4
x
............ (1)
=
60 v + 30
t = 2s
4
5
=
60 v + 30
v = 45 km / h
PROBLEMAS PROPUESTOS
A
1.-
problemas de aplicación
Un cuerpo parte del reposo con M.R.U.V. y avanza
50 m en 5 s. ¿Cuál es su aceleración en m/s2?
Rpta.
2.-
4 m/s2
Una gacela pasa por dos puntos con velocidad de 3 m/s
y 7 m/s y M.R.U.V. Si dichos puntos están separados 50 m.
¿Qué tiempo empleó en el recorrido?
Rpta.
3.-
10 s
Un móvil parte con una velocidad 36 km/h y una aceleración de 6 m/s2. ¿Qué velocidad en m/s tendrá luego de 5 s?
Rpta.
4.-
40 m/s
Un móvil que se desplaza a razón de 10 m/s ve incrementada su velocidad por una aceleración de 5 m/s2.
¿Qué distancia habrá logrado avanzar durante los
2 primeros segundos de este movimiento variado?
Rpta.
30 m
Cinemática
5.-
Un auto al pasar por dos puntos separados 180 m demoró 8 s. Si por el primer punto pasa con una velocidad de 20 m/s. Determinar con qué velocidad pasa por
el segundo punto (en m/s).
Rpta.
6.-
8.-
9.-
1.-
– 4 m/s2
Lo atrapa a 1 m del agujero
Un auto que se mueve describiendo un M.R.U.V. en cierto instante, pasó con una rapidez de 15 m/s por un punto “A” situado entre dos montañas como se muestra. Si
en este instante toca el claxón, con que aceleración
deberá moverse a partir de ese instante, para escuchar
los ecos simultáneamente (vsonido = 320 m/s).
Rpta.
8.-
Durante que segundo de movimiento, un móvil que
parte del reposo y tiene M.R.U.V. recorrerá el triple del
espacio recorrido en el quinto segundo.
8 m/s
Dos móviles que parten del reposo en la misma dirección y sentido, están separados 200 m, si se observa
que el alcance se produce 10 s después de iniciado
los movimientos. Determinar sus aceleraciones si estas están en la relación de 3 a 1.
Rpta.
9.-
a2 = 2 m/s2 ; a1 = 6 m/s2
6 m/s
Dos móviles se encuentran en una recta, inicialmente
en reposo, separados por una distancia de 400 m. Si
parten al mismo instante acercándose mutuamente
con aceleraciones de 3 m/s2 y 5 m/s2. Calcular después
de qué tiempo vuelven a estar separados por segunda vez una distancia de 200 m.
Rpta.
10.-
2
10 m/s
Una zorra trata de atrapar una liebre que se encuentra en reposo. Cuando la zorra se encuentra a 9 m de
la liebre, ésta acelera a 2 m/s2. Calcular la velocidad
mínima constante de la zorra de tal modo que pueda
atrapar a la liebre ¿y comérsela?
Rpta.
N = 14avo segundo
Un auto corre una pista horizontal con una aceleración de 2 m/s2, después de 5 s de pasar por el punto A,
posee una velocidad de 72 km/h. ¿Qué velocidad tenía el auto cuando le faltaba 9 m para llegar a A?
Rpta.
3.-
Un ratón de regreso a su agujero, a la velocidad constante de 1 m/s, pasa al lado de un gato, despertándo2
lo, si el gato acelera a razón de 0,5 m/s y el agujero
está a 5 m. ¿Atrapa el gato al ratón?. Si lo atrapa, ¿a qué
distancia del agujero lo hace?
Rpta.
7.-
18 s ; 180 m
6s
problemas complementarios
Rpta.
2.-
x = 96 m
10 m
2
Durante el 6to segundo de su desplazamiento una
pelota logró avanzar 6 m, si su velocidad al inicio era
de 28 m/s. ¿Con qué aceleración retardó uniformemente su movimiento?
Rpta.
B
6.-
602,08 m
Un bote inicialmente en reposo acelera a razón de 2 m/s
durante 6 s, después de la cual se mueve con velocidad
constante. En el instante que el bote parte, una lancha que
se mueve en la misma dirección y sentido con velocidad
constante de 10 m/s lo pasa. ¿Después de qué tiempo y a
qué distancia se encontrarán nuevamente?
Rpta.
Un auto se mueve con velocidad de 45 m/s,
desacelerando constantemente. Si luego de 3 s su velocidad se ha reducido a 30 m/s. ¿Cuánto tiempo más
debe transcurrir para lograr detenerse?
Rpta.
10.-
5.-
Una partícula parte del reposo con M.R.U.V., y en 5 s
recorre 50 m. Calcular el espacio que recorre en el tercer segundo de su movimiento.
Rpta.
Un tren va frenando y lleva un movimiento uniformemente retardado, sabiendo que emplea 20 s y luego
30 s en recorrer sucesivamente un cuarto de kilómetro. Hallar el espacio que recorrerá antes de pararse.
Rpta.
e = 3 600 m
Un móvil parte del reposo con una aceleración constante y en 4 s recorre 32 m. Calcular el espacio que
recorre en los 4 s siguientes.
Rpta.
4.-
25 m/s
Un móvil parte del reposo con una aceleración constante. Si su velocidad aumenta a razón de 10 m/s cada
5 s. Calcular el espacio que habrá recorrido en 1 minuto (en metro).
Rpta.
7.-
117
13,10 s
Una partícula parte del origen hacia la derecha con una
velocidad de 10 m/s y con una aceleración de 1 m/s2
hacia la izquierda. ¿Cuáles son los instantes en que su
distancia desde el origen es 1 m?
Rpta.
t = 0,1 s ; t = 19,9 s ; t = 20,1 s