2011 Pre-parcial 1

Profesorado de Informática - Ciencias de la Computación - INET – CFE
Matemática Discreta usando el computador 2011 (Matemática I)
Primer Pre - Parcial de Matemática I - 2011
Ejercicio 1
Dados dos conjuntos A, B y C, indicar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, en caso de
ser verdaderas, demostrarlas (sin utilizar tablas de pertenencia), en caso contrario dar un
contraejemplo:
a) b) c) Ejercicio 2
a) Se considera : una función total y se define una relación sobre , de la siguiente forma:
, ∈ : , demostrar que es de equivalencia.
b) Sean y dos subconjuntos de , se define una relación sobre tal que:
∨ , , , ∈ : , , ∧
Probar que efectivamente es una relación de orden. ¿Es total o parcial?. Justificar.
Ejercicio 3
Sea f: Z " Z " Z tal que f a b 3a b
i)
Analizar inyectividad y sobreyectividad de . Justificar.
ii)
Determinar si es una función total o parcial. Justificar.
Ejercicio 4
a) Sean las funciones f: Z Z y g: Z Z tales que f x 2 ) x * 3 y g x 4 ) x 5
i)
Indicar si son funciones totales o parciales justificando su respuesta.
ii)
Indicar si son inyectivas, sobreyectivas y biyectivas, justificando su respuesta.
iii)
Hallar el tipo y la expresión para g f x y de f g x .
b) Sea h: Z Z Z Z Z Z teniendo en cuenta las funciones f y g definidas en el ejercicio
anterior, y siendo x de tipo N:
i) Hallar el tipo de (h f g) y de (h g f).
ii) Considerando la función h tal que: h f g x f x 2 y h g f x g f x * 3,
calcular: h f g 0 y h g f 1
c) Considerando las funciones f, g y h de los ejercicios precedentes:
p: Z Z Z Z Z
x, y: Z
Indicar si las siguientes expresiones tienen tipo (es decir, sin son correctas), en caso afirmativo
indicarlo, justificando en todo caso la respuesta.
1. h f g
2. h f
3. g h f
4. g h f g 3
5. p x g
6. p x g f y
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7. f p 3 f 2
8. h h f g y
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Ejercicio 1
a) es falso.
Si consideramos 40,1,25 y 42,35, observamos que:
40,15 46, 415, 425, 40,155
Pero sin embargo
46, 405, 415, 425, 40,15, 40,25, 41,25, 40,1,255 76, 425, 435, 42,358 46, 405, 415, 40,15, 40,25, 41,25, 40,1,255
b) es falso.
Si consideramos 4, 5 y 4, 5, observamos que:
4, , 5 46, 45, 45, 45, 4, 5, 4, 5, 4, 5, 4, , 55
Pero sin embargo
76, 45, 45, 4, 58 76, 45, 45, 4, 58 76, 45, 45, 45, 4, 5, 4, 58
c) es verdadero.
Dado 9 : 9 ∉ 9 ∉ ∧ 9 ∉ 9 : ∧ 9 ∉ 9 : ∧ 9 : 9 : ∧ 9 : 9 : Ejercicio 2
a) , ∈ : •
•
•
Reflexiva: ∈ : , trivial pues : una función total.
Simétrica: , ∈ : Si ; ; ; ; Transitiva: , , ∈ : Si ∧ ; ; < ; ; ; b) , , , ∈ : , , •
•
Reflexiva: , ∈ : , , ∨ @
∧ >
∨ ?
>
, , ∧ =
•
∨ , trivial.
∧ Antisimétrica: , , , ∈ : Si , , ∧ , , ; , , , , ∨ ∧
; ∧ ∧ ; ∧ ; , , Transitiva: : , , , , 9, A ∈ :
Si , , ∧ , 9, A ; , 9, A
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, , ∨ ∧ @
>
9 ∨ ?
>
, 9, A 9 ∧ A=
;?
Se divide en varios casos:
Caso 1: ∧ 9 ; 9 ; , 9, A
Caso 2: ∧ 9 ∧ A ; 9 ; , 9, A
Caso 3: ∧ ∧ 9 ; 9 ; , 9, A
Caso 4: ∧ ∧ 9 ∧ A ; 9 ∧ A ; , 9, A
Es de orden total, ya que , , , ∈ : , , ∨ , , , a saber:
Caso a) ; , , D ; , , Caso b) ; C
; , , Caso c) D ; , , Ejercicio 3
f: Z " Z " Z tal que f a b 3a b
a) f no es inyectiva ya que f 0 3 3 ) 0 3 3 f 1 0
f es sobreyectiva. Dado y : Z, ¿ F p, q : Z / f p q y?
f p q y 3p q
A
I
3
este esquema de división entera asegura la existencia de enteros p, q : Z t.q. y 3p q
J
b) f es una función total, ya que si a, b : Z ; 3a b : Z, por lo tanto todo par de enteros tiene
imagen a través de f.
Ejercicio 4
a) f: Z Z y g: Z Z tales que f x 2 ) x * 3 y g x 4 ) x 5
i)
ii)
Ambas son funciones totales pues si x : Z: 2 ) x * 3 : Z ∧ 4 ) x 5 : Z, por lo cual
cualquier entero tiene imagen a través de f y de g.
Estudiamos f:
f es inyectiva, pues si f a f b 2 ) a * 3 2 ) b * 3 a b
f no es sobreyectiva, ya que dado b : Z, ¿ F a : Z / f a b?
KLM
1
f a b ; 2 ) a * 3 b ; a , si consideramos b 4, concluimos que a ∉ Z
N
Estudiamos g:
g es inyectiva, pues si g a g b 4 ) a 5 4 ) b 5 a b
g no es sobreyectiva, ya que dado b : Z, ¿ F a : Z / g a b?
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2
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g a b ; 4 ) a 5 b ; a g:
Z Z< ; g f x: Z
f x: Z
iii)
KOP
,
Q
5
4
si consideramos b 0, concluimos que a ∉ Z
f: Z Z< ; f g x: Z
g x: Z
g f x g2 ) x * 3 42 ) x * 3 5 8 ) x * 7
f g x f 4 ) x 5 24 ) x 5 * 3 8 ) x 7
b) Sea h: Z Z Z Z Z Z
i)
f: Z Z
g: Z Z
T ; h f g: Z Z
h: Z Z Z Z Z Z
analogamente h g f: Z Z
h f g x f x 2 y h g f x g f x * 3,
h f g 0 Uf 0 2V Uf 2V 2 ) 2 * 3 4 * 3 1
ii)
h g f 1 Wg Uf 1 * 3VX Ug f 4V Ug11V 39
c) p: Z Z Z Z Z
x, y: Z
1. h f g: Z Z
f: Z Z
< ; h f : Z Z Z Z
h: Z Z Z Z Z Z
2. h f : Z Z Z Z
3. < ; Ug h f V es incorrecta ya que g recibe un argumento de tipo Z
g: Z Z
f: Z Z
@
Z
Z Z Z Z
h:
Z
>
h
;
f
g
3:
Z
Z
4. ; g h f g 3: Z
g: Z Z
?
3: Z
>
g: Z Z
=
p: Z Z Z Z Z
x: Z
T ; p x g: Z Z
g: Z Z
5. 6.
p: Z Z Z Z Z
x: Z
Z ; Up x g f yV: Z
g: Z Z
f y: Z
p: Z Z Z Z Z
@
3: Z
>
p
;
3
f
2:
Z
Z
; Uf p 3 f 2V: Z
7. f: Z Z
?
2: Z
>
=
f: Z Z
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h f : Z Z Z Z
g: Z Z
T ; U h f g yV: Z
8. Z ; Wh U h f g yVX es incorrecta pues h recibe un
y: Z
h: Z Z Z Z Z Z
argumento de tipo Z Z en primer lugar.-
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