ENSAYO 1 * 2008

PRUEBA DE MATEMÁTICA
RESOLUCIÓN EX VIRTUAL 1
INSTRUCCIONES ESPECÍFICAS
1. Este facsímil consta de 75 preguntas.
2. Las figuras que aparecen en la prueba NO ESTÁN necesariamente dibujadas a escala.
3. Antes de responder las preguntas Nº 69 a la Nº 75 de este facsímil, lea atentamente las
instrucciones que aparecen a continuación de la pregunta Nº 68.
4. Tiempo de respuesta: 2 horas 25 minutos.
5. A continuación encontrará una serie de símbolos, los que puede consultar durante el
desarrollo de los ejercicios.
SÍMBOLOS MATEMÁTICOS
x y
x>y
x  y
x  y
x  y
x  y
log x
a  x  b
a  x< b
x es menor que y
x es mayor que y
x es mayor o igual a y
x es menor o igual a y
x es distinto de y
x es aproximadamente igual a y
logaritmo de x en base 10
x es mayor o igual que a y menor o
igual que b
x es menor o igual que a y menor que b
A  B
A~B
A // B
A  B
AB = AB
 x
A es congruente con B
A es semejante con B
A es paralelo a B
A es perpendicular a B
trazo AB
ángulo x
ángulo recto
1. Si (x +1) es un número natural par, la suma de sus dos sucesores consecutivos
impares puede ser representada por la expresión:
A) 2(x + 1)
B) 2(x + 3)
C) 3x + 1
D) 2x + 3
E) x + 6
Solución: B
Si (𝑥 + 1) es par, entonces el impar consecutivo es (𝑥 + 1) + 1, el impar consecutivo es:
[(𝑥 + 1) + 1] + 2, luego la suma queda determinada por:
(𝑥 + 1) + 1 + [(𝑥 + 1) + 1] + 2=(𝑥 + 2) + (𝑥 + 4) = 2 (𝑥 + 3)
____________________________
2. (1)1  (1)2  (1)3  (1)4 ......... (1)50 
A) 0
B) 1
C) 2
D) 4
E) 50
Solución: A
Se observa que (−1), se suma 50 veces, esto es, 25 veces con exponente par y 25 veces con
exponente impar, por lo tanto se tiene:
25(−1)2𝑛 + 25 (−1)2𝑛−1 = 25 + (−25) = 0
_____________________________
3. En la secuencia: 3 , 9 , 27 ,........, si se sigue la misma ley de formación, el valor del
5 10 15
sexto término es:
81
20
243
B)
25
A)
C)
35
30
729
30
2187
E)
35
D)
Solución: D
Se observa que el numerador de la expresión corresponde a los múltiplos de 3, lo que se
puede escribir como 3, 9 , 27 ,……= 3, 32 , 33, … y en el denominador tenemos múltiplos de 5,
esto es 5 , 5∙ 2, 5 ∙ 3 , 5 ∙ 4 … .., por lo tanto se tiene: la siguiente secuencia:
3
,
5
32
,
5∙2
33
,
5∙3
34
,
5∙4
Luego, el valor del sexto término corresponde a :
35
,
5∙5
36
,…
5∙6
729
30
___________________________________
4. De las expresiones siguientes, ¿Cuál se aproxima más al valor numérico de  ?:
A) 22/5 – 1
10
B) (
2 )2
7
C) 1,62  1
355
115
E) 22/7
D)
Solución:E
Analizando cada una de las alternativas se tiene:
22
− 1 = 3,4
5
10
2
( 7 √2) = 4,08
(1,6)2 + 1 = 3,56
355
= 3,08
115
22
= 3 , 14
7
2  0,4  0,3

 0,4
5.
A) 4,7
B) 1,2
C) 0,47
D)  0,1
E)
4,7
Solución: E
2 − 0.4 ∙ 0,3
2 − 0,12
=
= 4 ,7
−0,4
−0,4
_________________________________
6. En un supermercado A, un Kg. de carne vale $n. En el supermercado B, cuesta $500
más. ¿Qué % más barata es la carne en el supermercado A respecto de B?:
500
%
n
50.000
B)
%
n
50.000
C)
%
n  500
50.000
D)
%
n  500
A)
E)
100n
%
n  500
Solución: C
En el supermercado B se tiene que:
n + 500 → 100%
n→x%
De aquí se desprende que x =
100 n
n+500
Efectuando la diferencia entre 100% −
100 n
n+500
%=
50000
n+500
7. En cierta época del año, en un lago del sur de Chile, los patos silvestres machos y
hembras están en la razón 3 : 5. ¿Que % de hembras se da en esa época?:
A) 30%
B) 37,5%
C) 50%
D) 62,5%
E) 66,7%
Solución: D
Sean PM: Patos machos y PH: Patos hembras, escribimos la proporción:
PM
3
=
PH
5
Componiendo la proporción tenemos:
PM + PH
3+5
=
PH
5
_______________________________________________
8. ¿Qué porcentaje representa
A)
B)
C)
D)
E)
3
a respecto de a ?:
8
0,00375%
0,0375%
0,375%
3,75%
37,5%
Solución: E
La cantidad referencial es 𝑎 . es decir representa el 100% , luego se tiene:
𝑎 →
Luego se tiene : 𝑥 = 37,5 %
3
𝑎 →
8
100 %
𝑋%
9. Un estudio con 2.250 personas mayores de 18 años concluyó que el 34% de ellas son
usuarios frecuentes de Internet. De estas, el 40% confesó que en temas relacionados con su
salud, confiaría más en la información de Internet que en la de su médico.
En términos aproximados, ¿Cuántos encuestados confían más en Internet que en su
médico en temas de salud?:
A) 136
B) 306
C) 360
D) 765
E) 900
Solución B
En primer lugar se calcula el 34% de 2250 lo que de como resultado 765, que representa los
usuarios de internet y de estos el 40%, es decir 0,4 × 765 = 306
________________________________
10. Una ventana mide 1,5 m de largo por 2,5 m de alto. ¿Cuál de las siguientes medidas
corresponde a una ventana proporcionalmente más pequeña?:
A) 0,9 m x 1,0 m
B) 1,0 m x 2,0 m
C) 1,2 m x 2,0 m
D) 1,3 m x 2,1 m
E) 1,4 m x 2,4 m
Solución: C
Se tiene que los lados de la ventana deben ser proporcionales, luego escribimos:
𝐿
1,5
=𝑘 ⇒
= 𝑘 = 0,6
𝐴
2,5
Por lo tanto, 𝐿 = 0,6 𝐴 ⇒ 1,2 = 0,6 ∙ 2,0 , resultado que encontramos en la alternativa C
____________________________________
11. P, Q y R son magnitudes positivas tales que P es directamente proporcional a R e
inversamente proporcional al cuadrado de Q.
Con la constante de proporcionalidad igual a 20, el valor de Q cuando P = 4 y R = 5 es:
A) 25
B) 20
C) 12
D) 5
E) 4
Solución: D
El enunciado expresa que ; P ∝ R y
K
R
,
Q2
P ∝
1
𝑄2
, le que expresado como ecuación es P =
luego al reemplazar los valores dados por el problema se tiene:
4 = 20 ∙
5
𝑄2
⇒ 𝑄=5
x2 y
12. Con x e y distintos de cero, el cuociente
A) (x y)
B) ( xy )
3
3
3
3
E) x
2
2
C) (x y)
D) x
es igual a:
y2 x
2
3
2
2
y3
2
y
2
3
Solución B
Expresando las raíces como potencias y operando bajo las leyes de estas se tiene:
3⁄
2
1
1
𝑥
𝑥 2 ∙ 𝑦 2 ∙ 𝑦 −2 ∙ 𝑥 −2 = ( )
𝑦
_________________________________
2
13.
3
A)
6
8
B)
6
4
C)
6
2
D)
E)

4
6 5
2
1
Solución: C
2
√3 4 =
Aplicando propiedades de las raíces se tiene :
√
potencias y operando entre ellas se tiene:
2
1⁄
2
1
4 ⁄6
1
6
= 2 ⁄6 = √2
________________________________________
√2
6
√4
,
luego expresando como
5  10
14.
A)
B)
C)
15
=
1 2
3
1 2
3
2
3
2
3
E) 1
D)
Solución: A
Descomponiendo las raíces y luego factorizando, para posteriormente simplificar, se tiene:
√5 + √5 ∙ √2
√5 ∙ √3
=
√5(1 + √2)
√5 ∙ √3
=
1 + √2
√3
______________________________
15. Si log 2 = 0,3 y log 5 = 0,7; entonces, log 50 =
A) 7
B) 6
C) 1,7
D) 0,5
E) 0,147
Solución: C
Descomponiendo log 50= log(10 ∙5 )= log 10 + log 5 = 1+ 0,7 = 1,7
________________________________
16. Si log b = x, entonces, log(100b) =
A) 100 + x
B) 100x
C) 2x
D) 2 + x
E) x
2
Solución: D
Aplicando propiedades del logaritmo se tiene que Log( 100 b)= Log 100+ Log b, como
Log 100 = 2, entonces se tiene que Log (100 b) = 2 + x
17. Si p  1 , q  2 y r  3 , ¿Cuál es el valor de la expresión p 2  q 2  2pr ?:
A)
B)
C)
D)
E)
11
9
3
1
9
Solución: E
Reemplazando los valores dados en la expresión se tiene:
(-1)2 – (-2)2 + 2(-1)(3)= - 9
__________________________________
18. Si m = 8k 4 4 , entonces, la cuarta parte de m, más la mitad de m, menos 3, es:
A) 6k 4
B) 8k 4  3
C) 6k 4  3
D) 3k 4  2
E) 2k 4  3
Solución: A
De acuerdo al enunciado se tiene que:
𝑚
4
+
𝑚
2
−3
Reemplazando el valor de m en la expresión obtenida se tiene:
8 𝑘4 + 4 8 𝑘4 + 4
+
− 3 = 2 𝑘 4 + 1 + 4𝑘 4 + 2 − 3 = 6𝑘 4
4
2
___________________________________
mn
19. Se tiene que x 
, con m y n mayores que cero. Si m y n disminuyen en un
mn
30%, ¿Cómo varía x?:
A) Queda igual
B) Aumenta en un 9%
C) Aumenta en un 30%
D) Disminuye en un 30%
E) Disminuye en un 60%
Solución: D
Si m y n disminuyen en un 30% entonces se tiene:
𝑚′ = 𝑚 − 0,3 𝑚 ⇒ 𝑚′ = 0,7 𝑚
𝑛′ = 𝑛 − 0,3𝑛 ⇒ 𝑛′ = 0,7 𝑛
𝑚𝑛
0,7 𝑚 ∙ 0,7 𝑛
𝑚𝑛
𝑥= ′
⇒𝑥=
⇒ 𝑥 = 0,7
𝑚 + 𝑛′
0,7 𝑚 + 0,7 𝑛
𝑚+𝑛
′ ′
Luego, x disminuye en un 30%.
20. La factorización de la expresión x 4  7x 2  10 es:
A) ( x 2  2)(x 2  5)
B) x 2 ( x 2  7)  10
C) ( x  5)( x  2)
D) ( x  2)(x3  5)
E) ( x 2  2)(x 2  7)
Solución : B
Al factorizar por x2 se obtiene: x2(x2-7)+ 10
_________________________________________
21. Con
t  0 , si m 
2n  p
, entonces, p 
t
A) mt  2n
B) 2n  mt
mt
2n
2n
D) 
mt
1
E)
 2n
mt
C)
Solución B
Despejando p de la ecuación se tiene:
m t = 2n − p
mt − 2n = −p ⇒ p = 2n − mt
_____________________________________________
22.
10a 2b  15ab 2

2a  3b
ab
B) a  b
A)
C) 5 ab
D) 8 ab
E) 2ab
Solución: C
Factorizando el numerador tenemos :
5 𝑎 𝑏 (2𝑎 − 3𝑏)
= 5 𝑎𝑏
2𝑎 − 3𝑏
23. Al desarrollar la expresión: (2a - b)2 + (a - b)2 – (a + b)(a – b), resulta:
A) 4a2 – b2
B) 4a2+ 3b2
C) 4a2– 6ab + 3b2
D) 4a2– 6ab + b2
E) 4a2– 6ab – 3b2
Solución: C
Desarrollando los cuadrados de binomios y efectuando la suma por diferencia se tiene:
4a2 − 4ab + b2 + a2 − 2 a b + b2 − a2 + b2
Agrupando términos semejantes se obtiene:
4𝑎2 − 6 𝑎𝑏 + 3𝑏 2
_________________________________________________
24. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es (son) factor(es) de x3 – 4x?:
I: x
II: x + 2
III: x – 2
A) Ninguna
B) Solo II
C) Solo II y III
D) Solo I y III
E) Todas
Solución E
Se observa que al factorizar la expresión se obtiene:
x 3 − 4 x = x ( x 2 − 4) = x ( x + 2)( x − 2)
_________________________________________
25. Dada la expresión 16x2  36xy  25y2 . ¿Cuál de las siguientes expresiones se le
debe restar para que resulte un cuadrado perfecto?:
A) 12xy
B) 4 xy
C) 12xy
D) 4 xy
E) 4x
Solución B
Se observa que en la expresión dada, el primer y tercer término son cuadrados perfectos , por
lo tanto escribimos:
(4 𝑥 − 5𝑦)2 = 16 𝑥 2 − 40 𝑥𝑦 + 25𝑦 2
Que es un cuadrado perfecto , por lo tanto lo que se debe sumar o agregar a la expresión
original para que sea un cuadrado perfecto es:
16𝑥 2 − 36 𝑥𝑦 + 25𝑦 2 + (−4𝑥𝑦) = 16𝑥 2 − 40 𝑥𝑦 + 25 𝑦 2
26. Si se sabe que a2  b2  5 , y que a  b  5 , ¿Cuánto vale a + b?:
A) 1
B) 5
C)
D)
1
5
1
5
E) Cero
Solución: A
Se tiene que : 𝑎2 − 𝑏 2 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏)
Como (𝑎 − 𝑏) = 5, (a+b) debe ser igual a 1
_________________________________________
27. La ecuación en x, da a por
4  3 x  x  2a , tiene como solución:
A) 2 + a
B) 2 – a
C) 1 4 a
D) 1 +
E)
1
2
a
3a
2
Solución: D
De acuerdo al enunciado se establece que la incógnita es x por lo tanto :
1
4 + 2a = 4x ⇒ x = 1 + a
2
____________________________________
28. Si 4 es una raíz de la ecuación: 2x2  5x  k  0 , con k = constante real, ¿cuál es el
valor de k ?:
A 42
B 12
C 8/5
D) 12
E 42
Solución: D
Si – 4 es una raíz, entonces se tiene que x = −4 por lo tanto se verifica que:
2 (−4)2 + 5 (−4) + 𝑘 = 0
Al despejar
𝑘 se obtiene: 𝑘 = −12
29. El valor de x en la ecuación 10 
A)
B)
C)
D)
E)
1
 2 , es:
2x
-3
-2
1/4
1/8
3
Solución: A
10 
1
2 ⇒
2x
𝟏
𝟐𝐱
= 8 ⇒ 2−x = 23 ⇒ x = −3
______________________________________________
30. El valor de u en la ecuación log(u + 6) = 1 + log(u - 3) es:
A) 1
B) 4
C) 13
D) 1/4
E) -1/2
Solución: B
log(u + 6) − log( u − 3 ) = 1
Aplicando propiedades del logaritmo se tiene :
u+6
u+6
log (
)=1 ⇒ (
) = 10
u−3
u−3
u + 6 = 10 u − 30 ⇒ u = 4
________________________________________
31. Dado el sistema:
log x + log y = 4
log x – log y = 2
El valor de x es:
A) log 3
B) 3
C) 10 3
D) 43/2
E)
1 log 6
2
Solución: C
Sumando las ecuaciones que forman el sistema se tiene:
2 log x = 6 ⇒ log x = 3 ⇒ x = 103
32. El gráfico muestra la recta real.
El intervalo sombreado corresponde a los valores de x:
-5
x
-2
A) 5  x  2
B) 5  x  2
C) 5  x  2
D) x  5
E) x  2
Solución B
Se trata de un intervalo “Cerrado – Abierto” , esto es [- 5 , -2[ lo que se anota como:
−5 ≤ 𝑥 < −2
___________________________________________
33. El conjunto que representa la solución a la inecuación: -3 < x + 1 < 6/5 es:
A) No existe tal conjunto
B) x > 0
C) 4  x  5
D)
1
5
x4
E)  4  x 
1
5
Solución: E
−3 < 𝑥 + 1 <
6
∕ +(−1)
5
1
5
_________________________________
34. ¿Cuál de las siguientes rectas del plano cartesiano representa la ecuación: x = a?
−4 < 𝑥 <
A) La recta paralela al eje X que pasa por el punto (0, a)
B) La recta paralela al eje X que pasa por el punto (a, 0)
C) La recta paralela al eje Y que pasa por el punto (0, a)
D) La recta paralela al eje Y que pasa por el punto (a, 0)
E) La recta que pasa por el origen y por el punto (a, a)
Solución : D
De acuerdo con el grafico se encuentra:
35. Dada la ecuación de recta: x – 2y + 6 = 0.
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?:
I: La recta intersecta al eje x en (-6, 0).
II: La recta intersecta al eje y en (3, 0).
III: Una recta paralela a ella tendría pendiente 0,5.
A) Solo I
B) Solo III
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II, y III
Solución: C
Graficando la ecuación se tiene :
Si x=0 , y= 3 ; además si y=0 , x=-6
Además la ecuación viene dada en su forma general, por lo que su pendiente se expresa por:
𝐴
1
𝑚= −
⇒𝑚 =
𝐵
2
_________________________________________
36. Si E(x) representa la parte entera de x, entonces, el valor de f(-4) para la función real:
f(x) = E(x – 0,3), es:
A) -5
B) -4
C) -4,3
D) 4,3
E) 4
Solución: B
La función parte entera expresa que:
𝑓(−4) = 𝐸(−4 − 0,3) ⇒ 𝑓(−4) = (−4,3) = −5
Ya que el número (-4,3) está comprendido entre - 4 y – 5 y el menor de ellos es -5
_______________________________________________
37. Se tiene la función real f(x) = 0,1 X1,7 y la función real g(x) = 1,5 X1,2 , con x >0 y x  1.
Entonces, ¿Para qué valor de x, ambas funciones tienen la misma imagen?:
A) 0,15 2
B) 15 2
C) log15
D)
15
E) 15
Solución: B
De acuerdo al enunciado se tiene que :
0,1 𝑥1,7 = 1,5 𝑥1 ,2
𝑥1,7
1,5
=
𝑥1,2
0,1
0,5
𝑥 = 15 ∕ 𝑙𝑜𝑔
1
log 𝑥 = log 15
2
log 𝑥 = log 152 ⇒ 𝑥 = 152
______________________________________________
38. La Leucena leucocephala es un árbol originario de Meso y Suramérica, cuyas hojas están
siendo utilizadas para alimento de ganado bovino. Por esto, es de gran importancia la
determinación del área de sus hojas (área foliar). Para los efectos, se definieron dos funciones
que dan el área foliar a partir del peso de las hojas secas. Según la época, las funciones son
las siguientes:
Época de lluvia: A = 16.257 + 8.132 M
Época seca:
A = 6.558 + 15.455 M
Siendo:
A = área foliar, en mm2 .
M = peso seco de la hoja, en gramos.
¿Para qué valor de masa seca, el área foliar del árbol es igual en época de lluvia y época
seca?:
A) Menos de 1,5 g
B) Entre 1,5 y 2,9 g
C) Entre 2 y 2,4 g
D) Entre 2,5 y 3 g
E) No se da el caso
Solución A:
De acuerdo al enunciado se debe cumplir que la masa sea igual en época de lluvia y en época
seca , luego:
16,257 + 8,132 𝑀 = 6,558 + 15,455 𝑀
𝑀=
9 ,699
= 1,324
7, 323
39. En la función: f(x) = ax + b, con a y b constantes reales, ¿Qué valores deben tener a
y b, respectivamente, para que se cumpla que: f(2) = 5 y f(3) = 7?:
A) –2 y 1
B) 2 y –1
C) 2 y 2
D) 1 y 2
E) 2 y 1
Solución: E
𝑓(2) = 5 ⇒ 2𝑎 + 𝑏 = 5
𝑓(3) = 7 ⇒ 3 𝑎 + 𝑏 = 7
Resolviendo el sistema se tiene a= 2 ; b= 1
______________________________________________
40. En el plano real de la figura, L es una recta.
y
L
0,0
x
Con a y b constantes reales positivas, la ecuación de L está representada por:
A) y = a + bx; a  0 , b  0
B) y = a - bx; a  0 , b  0
C) y = a + b log x; a  0 , b  0 , x  0
D) y = a  b x ; a  0 , b  0
E) y = a  xb ; a  0 , b  0 , x  0
Solución: B
De acuerdo al gráfico se tiene una recta de pendiente negativa, por lo que la recta debe ser de
la forma
𝑦 = −𝑚𝑥 + 𝑛 , además se encuentra en el primer cuadrante con lo que 𝑛 debe
ser positiv. De las alternativas señaladas, la única que cumple con estas condiciones es la
alternativa B
______________________________
41. Los siguientes tríos son los lados de tres triángulos:
I: 0,5;
5 2
;
6 3
5
2
II: 1; 1,6;
13
; 2,4; 1
5
III:
De estos, ¿Cuál(es) es (son) triángulo(s) rectángulo(s)?
A) Todos
B) Solo I
C) Solo I y II
D) Solo II y III
E) Solo I y III
Solución E:
En un triángulo rectángulo se verifica :
En I.- se tiene:
5 2
𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 donde
2 2
(6) = (0,5)2 + (3) ⇒
5 2
25
2
4
13 2
169
5
25
En II.- se tiene ( ) = 12 + (1,6)2 ⇒
En III.- se tiene : ( ) = (2,4)2 + 12 ⇒
25
36
=
1
4
9
⇒
25
36
25
= 36
= 5,76 + 1 ⇒ 6,76 = 6,76
42. En el, triángulo ABC de la figura, CD es altura.
Si AD = 5 cm., DB = 10 y ACB = 90º, entonces, x =
A) 5 cm.
B) 15 cm.
cm.
D) 5 3 cm.
E) 10 3 cm.
15
Solución: D
Mediante el teorema de Euclides se tiene que :
𝑥 2 = 15 ∙ 5 ⇒ 𝑥 = √15 ∙ 5 = 5 √3
4
= 1 + 2,56 ⇒ 6,25 ≠ 3,56
______________________________
C)
+
𝑐 > 𝑎 ∶ 𝑐 > 𝑏 ; por lo tanto:
43. El 15% del área de un rectángulo es 20. Si uno de los lados es un tercio del otro,
¿Cuál es el perímetro del rectángulo?:
20
3
40
B) 40
3
A) 20 
C) 10 
10
3
D) 22/3
E) 20
Solución: B
Sean 𝑎 y b
Si
b=
a
los lados del rectángulo, luego el área viene dada por
entonces se tiene que
3
Luego, el perímetro será :
15
100
𝑎 ∙
𝑎
3
15
: 100 ( 𝑎 ∙ 𝑏) = 20
= 20 ⇒ 𝑎 = 20 por lo tanto 𝑏 =
𝑃 = 2 ( 𝑎 + 𝑏 ) = 2 ( 20 +
20
.
3
20
40
) = 40 +
3
3
____________________________-
44. En la figura, AM mide 48 cm. P se ubica a 3 cm. de R, que está a 10 cm. de A y
PS 
SM  AR
3

PM . Entonces
2
5
A) 12 cm.
B) 15,5 cm.
C) 17 cm.
D) 19 cm.
E) 24 cm.
A
R
P
S
M
Solución: A
De acuerdo al enunciado, se tiene: 𝐴𝑀 = 48 ; 𝐴𝑅 = 10 ; 𝑅𝑃 = 3 ; 𝑃𝑆 = 21 ; 𝑆𝑀 = 14
Luego :
𝑆𝑀+𝐴𝑅
2
=
14+10
2
= 12
___________________________
45. En la figura, L' y L' ' son rectas que se intersectan en P. L1 // L 2 . Con las medidas
dadas, el valor de x es igual a:
L’
L’’
A) 3,2
B) 8,5
C) 12
D) 20
E) 36
Solución: C
Usando el teorema de Thales, se tiene:
8
8+𝑥
=
⇒ 𝑥 = 12
3
7,5
P
8
x
3
7,5
46. ¿Cuánto mide el área de un cuadrado de perímetro 4a  4b ?:
A)
(ab) 2
a2  b2
C) 4(a  b)
B)
D)
(2a  2b) 2
E)
(a  b) 2
Solución: E
El perímetro del cuadrado es la suma de sus cuatro lados, de acuerdo con el enunciado
tenemos que el lado del cuadrado es (𝑎 + 𝑏), por lo que su área será: (𝑎 + 𝑏)2
________________________________
47. En la figura PC  AB . Si
BAP = 40°, entonces
ABC =
A) 60º
B) 50º
C) 40º
D) 30º
E) 20º
Solución: B
Los ángulos BAP y PBC subtienden el mismo arco, por lo que el ángulo en C mide 40°;
como PC es perpendicular a AB, se desprende que el ángulo en B es de 50°
___________________________
48. En el círculo de la figura, AB y CD son cuerdas que se intersectan en el punto P.
Si AP = 8, PB = 4 y PD = 6, la medida de CP =
C
B
A) 12
B) 5
C) 16/3
D) 3
E) 2
P
D
A
Solución: C
Aplicando el teorema de las cuerdas tenemos:
𝐴𝑃 ∙ 𝑃𝐵 = 𝐶𝑃 ∙ 𝑃𝐷
8 ∙ 4 = 6 ∙ 𝐶𝑃 ⇒ 𝐶𝑃 =
16
3
49. En la figura, ABCD es un cuadrado de 16 cm2 de área y los triángulos DCF y BEC
son equiláteros. ¿Cuál es el perímetro de la figura sombreada?:
A) (8 + 4
2 ) cm.
B) (8 + 8
2 ) cm.
C) (16 + 4
2 ) cm.
D) (16 + 8
2 ) cm.
E) (24 + 4
2 ) cm.
F
C
D
E
A
B
Solución: C
Si el cuadrado es de área 16, entonces el lado es 4, por lo que la diagonal del cuadrado es
4 √2.
Por otra parte, los triángulos son equiláteros de lado 4 , por lo que el perímetro de la región
sombreada es 𝑃 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4√2 ⇒ 𝑃 = 16 + 4√2
________________________________
50. En la figura, ABCD es trapecio isósceles de base AB = 16 cm. y altura 8 cm. Si AD =
10 cm. entonces, el área del trapecio es igual a:
A
A) 80 cm2
B) 64 cm2
C) 60 cm2
D
2
D) 48 cm
E) 40 cm2
B
C
Solución: A
El área del trapecio viene dada por la semisuma de las bases multiplicado por la altura, esto es:
AB + CD
A=
∙h
2
4 + 16
𝐴=
∙ 8 = 80
2
________________________________________
51. En la figura, se tienen dos circunferencias de centro O y C, respectivamente,
tangentes en B. El área de la mayor es
64
y
BC 
AB
. El perímetro de la región
4
sombreada mide:
A) 16
B) 12
2
C) 16
2
D) 4+12
2
E) 8+12
2
Solución: E
Si 𝜋 𝑟 2 = 64 𝜋 , entonces 𝑟 = 8 , con lo que el diámetro AB es 16. Por otra parte, BC es la
cuarta parte de AB, esto es, BC=4. Como cada triangulo inscrito en la circunferencia menor es
rectángulo isósceles, se tiene que la hipotenusa de cada uno de ellos es 4√2. De acuerdo con
esto el perímetro de la región sombreada será:
𝑃 = 4 + 4 + 3 ∙ 4√2 = 8 + 12 √2
___________________________________________
52. En la figura, ABCD es un cuadrado donde
AM  MN  ND  DP  PQ  QC .
Aproximadamente, ¿Qué porcentaje del cuadrado ABCD representa el área sombreada?
A) 50%
B) 60%
C) 70%
D) 66,7%
E) 75%
Solución: D
Si se traza la diagonal DB, se observa que se tiene el triángulo ADB, el cual se divide en tres
triángulos : 1) ABM 2)MBN 3)DBN, los tres de igual altura e igual base; de estos, dos están
sombreados, por lo que la región sombreada es 2 de 3, lo que, en términos de porcentaje,
representa el 66,6666..% aproximadamente 66,7%; lo mismo ocurre en el triángulo DBC, por
lo que el área sombreada representa aproximadamente el 66,7 %
________________________________
53. En la figura, los centros O, P y Q de las circunferencias están ubicados sobre AB =
20 cm. Las circunferencias están separadas por 2 cm. cada una. Si los radios r = 2 cm. y
t = (r + 1) cm., entonces, la suma de las áreas de los tres círculos es igual a:
A) 22 cm2
B) 16 cm2
C) 44 cm2
D) 49 cm2
E) 64 cm2
Solución: A
Se observa que AB = 20 ; AO = 2 ; t= 3 ;QB = 3, por lo que el área de cada círculo es :
Círculo de centro 0= 4𝜇
Círculo de centro p= 9𝜋
Círculo de centro Q=9𝜋
Lo que sumado da 22 𝜋
54. En la figura, AD diámetro del círculo. AECF y BGDH cuadrados congruentes, con
diagonales colineales con AD. Además, AB = BC = CD.
Si AD = 6 cm., entonces el área de la región sombreada es igual a:
A
A) 24  cm 2
B
B) (9   12 ) cm2
C) 3(   2) cm2
F
E
H
C
2
D) 3(3   2) cm
E) 12(   1) cm 2
G
D
Solución: B
El área del círculo es 𝜋 𝑟 2 = 9 𝜋
AB= BC = CD = 2
Si BC= 2, es la diagonal del cuadrado sombreado, entonces el lado de este cuadrado es:
2
𝑑 = 𝑎 √2
⇒ 𝑎=
√2
Por lo tanto, el área del cuadrado sombreado es 𝑎2 = 2.
El área de los cuadrados en blanco (sin sombrear) es 12 cm 2.
Luego el área sombreada corresponde a 9𝜋 − 12
____________________________
55. Un cubo de arista x, aumenta su volumen al doble de su valor. Esto significa que la
arista del nuevo cubo es:
A)
3
2
x
B) x 2
C) x 3
D) x 3 2
E) x 3 4
Solución: D
Si x es la arista del cubo, su volumen será V = x3 , sea y la arista del nuevo cubo, su volumen
3
será y3 = 2 x3 , despejando y se obtiene 𝑦 = 𝑥 √2.
_________________________________________
56. Un camión tiene un estanque de combustible en forma de cilindro recto de 40 cm.
de diámetro, por 1 m de largo. Aproximadamente, la capacidad del estanque es:
A) 62 litros
B) 125 litros
C) 248 litros
D) 480 litros
E) 1.260 litros
Solución: B
El volumen de un cilindro es :𝑉 = 𝜋 𝑟 2 ℎ
V = 3,14 ∙ (20 cm)2 ∙ 100 cm = 125600 cm3 = 125 Lt
57. En la figura, ABC es triángulo rectángulo en B y h es altura.
Si AB = cos  = 1/2, entonces, h =
A
A) 1/3
B) 1/4
C) 1/8
h
D) 1 2
2
B
C
E) 1 3
4
Solución: B
De acuerdo con la información proporcionada, se tiene que AB =
1
2
; BC =1 ; AC = 2
Dividiendo el segmento AC en segmentos x e y respectivamente y aplicando el teorema de
Euclides dos veces se tiene:
1
12 = 2 ∙ 𝑥 ⇒ 𝑥 =
2
1 2
1
( ) =2 ∙𝑦 ⇒ 𝑦 =
2
8
Luego,
h2 =
1
2
∙
1
8
⇒h=
1
4
__________________________________
58. Desde un cerro de 1.500 m de altura, se observa un punto en la ribera más cercana
de un río con un ángulo de depresión  , y el punto en la ribera opuesta, directamente al
frente del anterior, con un ángulo de depresión  . Si las tangentes de los ángulos  y
 son, respectivamente, 0,6 y 0,75; ¿Cuál es el ancho x del río en ese punto?:
A) 500 m
B) 250 m
C) 200 m
D) 150 m
E) 125 m
Solución: A
De acuerdo a la figura se tiene
1500
𝑥+𝑦
1500
tan 𝛽 =
𝑦
1500
0,6 =
𝑥+𝑦
1500
0,75 =
⇒ 𝑦 = 2000
𝑦
De acuerdo con este resultado se tiene que 𝑥 = 500
tan 𝛼 =
59. Si el punto (3, 6) se refleja con centro en el origen, queda en el punto:
A) ( 3,6)
B) (3,6 )
C) (6, 3)
D) ( 6,3 )
E) (3, 6)
Solución B
Le reflexión consiste en trasladar o copiar un punto en otra posición, de manera que equidiste
de una recta, en este caso:
___________________________________________
60. De las figuras siguientes:
¿Cuál(es) presentan simetría?:
A) Solo I y II
B) Solo I y III
C) Solo I, II y IV
D) Solo II, III y IV
E) I, II, III y IV
Solución: E
So observa que en todas las figuras hay un eje de simetría
61. Considere la siguiente figura:
¿Cuál de las opciones propuestas corresponde a una rotación de 90° de la figura inicial,
en el sentido antihorario?:
A)
B)
C)
D)
E)
Solución A.
El esquema siguiente representa la solución
______________________________________________
62. Según datos oficiales de Costa Rica, que tiene una población aproximada de
3.800.000 habitantes, en el año 2007 se dio una tasa de suicido de 7,5 personas por cada
100 mil habitantes. Si esto es así, ¿Cuántas personas se habrían suicidado en un año?:
A) 29
B) 51
C) 285
D) 325
E) más de 2 mil
Solución: B
La tasa de suicidios corresponde a:
7,5
= 0,00007
100000
La cantidad de suicidios en un año será :
3800000 × 0,00007 = 285
__________________________________
63. Cinco personas toman el ascensor en el primer piso de un edificio, haciendo entre
ellos un peso promedio de 65 Kg. En el 5º piso, se baja una de ellas y los demás siguen
su ascenso, con un peso promedio de 68 Kg. Esto significa que la persona que se bajó
en el 5º pesaba:
A) Menos de 50 Kg.
B) 53 Kg.
C) 65 Kg.
D) 68 Kg.
E) 72,5 Kg.
Solución: B
Peso promedio =
x1 + x2 + x3 + x4 + x5
= 65
5
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4
= 68
4
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 = 272
272 + 𝑥5
= 65 ⇒ 𝑥5 = 53
5
____________________________
64. La tabla adjunta muestra los resultados de una encuesta realizada en Santiago,
sobre el grado de credibilidad que tiene la televisión, según sexo del encuestado, en
número de casos.
CREDIBILIDAD EN LA TELEVISIÓN
Alta
Mediana
Baja
Total
Mujeres
10
4
6
20
Hombres
15
6
9
30
Total
25
10
15
50
De acuerdo a los datos de la tabla:
A) De los que tienen una baja credibilidad en la TV, el 60% son hombres.
B) De los hombres, el 45% tiene una alta credibilidad en la TV.
C) De los encuestados, el 24% son hombres con una mediana credibilidad en la TV.
D) El 20% de las mujeres tiene una alta credibilidad en la TV.
E) El 25% de los encuestados tiene una alta credibilidad en la TV.
Solución: A
Analizando la tabla se tiene:
Los hombres que tienen baja credibilidad son 9 y el total de baja credibilidad es 15 por lo tanto
se tiene:
15 → 100%
9 →𝑥%
De este cálculo se desprende que x= 60%. Que es la respuesta correcta
65. El siguiente gráfico muestra la variación porcentual de la población en cierta región de
Chile, desde el año 1925 hasta el año 2000, según tipo de población urbana o rural.
1
120
urbana
110
100
rural
90
año
1925
1950
1975
2000
Variación de la población (%)
De las siguientes proposiciones, ¿Cuál(es) no puede(n) afirmarse categóricamente con
la información proporcionada por el gráfico?:
I: A partir de 1925, la población urbana aumentó.
II: A partir de 1950, la población rural disminuyó.
III: En el año 2000, hay más población urbana que rural.
A) Ninguna de ellas puede aseverarse a partir del gráfico.
B) Solo I y II se pueden afirmar a partir del gráfico.
C) Solo I y III se pueden afirmar a partir del gráfico.
D) Solo II y III se pueden afirmar a partir del gráfico.
E) Todas se pueden afirmar a partir del gráfico.
Solución B
Se observa que la pendiente de la recta que representa la población urbana es positiva, lo que
indica un aumento de población, la que, de acuerdo al gráfico, varió de 100 a 120.
A partir de 1950 la población rural disminuyo. esto es, 𝟗𝟎 < 𝑝𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 < 100
La tercera afirmación no se puede asegurar ni aseverar.
____________________________
66. ¿Cuál es la profundidad de un pozo si por el primer metro se han pagado $760 y por
cada uno de los restantes, se han pagado $150 más que por el anterior. El precio final del
pozo es de $43700.
A.
B.
C.
D.
E.
5,5
7,5
12,5
20
20,5
Solución: D
Tenemos una progresión aritmética donde necesitamos conocer la profundidad que viene
representada por n el número de términos, esto es:
n = ? a1 = 760 ; d = 150 ; S = 43.700
Luego, se tiene:
𝑎𝑛 = 760 + ( 𝑛 − 1 ) ∙ 150
𝑎𝑛 = 610 + 150 𝑛
Por otra parte se tiene que la suma de términos es:
𝑛
43.700 = ( 760 + 𝑎𝑛 )
2
87.400 = ( 760 + 610 + 150 𝑛) ∙ 𝑛
Resolviendo la ecuación de segundo grado se tiene n=20
67. En cierta ciudad, en tiempo de invierno, la probabilidad de que una persona vista
impermeable y lleve paraguas es 0,15, mientras que la probabilidad de que una persona lleve
paraguas es 0,6.
Si ambos sucesos son independientes, ¿Cuál es la probabilidad de que una persona NO
vista impermeable?:
A) 0,3
B) 0,333
C) 0,15
D) 0,75
E) 0,7
Solución: D
Sean 𝑃 (𝐼) =Probabilidad de vestir impermeable
𝑃 ( 𝑝 ) = Probabilidad de llevar paraguas.
Luego, tenemos que como son sucesos independientes :
𝑃 ( 𝐼 ∩ 𝑝) = 𝑃 ( 𝐼 ) ∙ 𝑃 (𝑝)
0.15 = 0,6 ∙ 𝑃 ( 𝐼) ⇒ 𝑃 ( 𝐼) = 0,25
Luego, la probabilidad de que no vista impermeable es :
1 − 𝑃 ( 𝐼 ) = 0,75
______________________________________________
68. Según un estudio realizado en una universidad santiaguina, solo 5 de cada 8 de sus
estudiantes provienen de la Región Metropolitana. Los otros provienen de otras regiones.
Si se seleccionan al azar dos estudiantes de esta universidad, ¿cuál es la probabilidad
de que ambos provengan de otras regiones?
A) 5/8
B) 3/8
C) 1/64
D) 3/64
E) 9/64
Solución: E
El espacio muestral es Ω= 8
Probabilidad de un alumno de la región metropolitana=
Probabilidad de un alumno (1) de otra región
Probabilidad de el alumnos (2) de otra región
5
8
3
8
3
8
La probabilidad de que ambos provengan de otras regiones es:
3
8
∙
3
8
=
9
64
EVALUACIÓN DE SUFICIENCIA DE DATOS
INSTRUCCIONES PARA LAS PREGUNTAS Nº69 A LA Nº75
En las preguntas siguientes, no se le pide que dé la solución al problema, sino que decida si
los datos proporcionados en el enunciado del problema más los indicados en las afirmaciones
(1) y (2) son suficientes para llegar a esa solución.
Usted deberá marcar la letra:
A) (1) por sí sola, si la afirmación (1) por sí sola es suficiente para responder a la
pregunta, pero la afirmación (2) por sí sola no lo es,
B) (2) por sí sola, si la afirmación (2) por sí sola es suficiente para responder a la
pregunta, pero la afirmación (1) por sí sola no lo es,
C) Ambas juntas, (1) y (2), si ambas afirmaciones (1) y (2) juntas son suficientes para
responder a la pregunta, pero ninguna de las afirmaciones por sí sola es suficiente,
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2), si cada una por sí sola es suficiente para responder a
la pregunta,
E) Se requiere información adicional, si ambas afirmaciones juntas son insuficientes
para responder a la pregunta y se requiere información adicional para llegar a la
solución.
69. Se cayó un canasto con 90 huevos, de los cuales 60 eran blancos. Se puede calcular
cuántos huevos de color se quebraron, si:
(1) Los huevos blancos que no se quebraron son 53.
(2) Se quebró una docena de huevos.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas (1) y (2)
D) Cada una por sí sola (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
Solución: C
De acuerdo con el enunciado, tenemos: Huevos blancos + huevos de color =90
Huevos blancos 60
Huevos de color 30
(1) Si los huevos blancos que no se quebraron son 53, entonces se quebraron 7, pero no
indica nada respecto a los huevos de color
(2) Si se quebró una docena de huevos, estos pueden ser blancos o de color, por lo tanto
no aporta información por si sola
Pero si combinamos ambas opciones tenemos que se quebraron 7 blancos y hay una docena
una docena de huevos quebrados, entonces hay 5 huevos de color que se quebraron, luego
con ambas informaciones juntas se responde la pregunta.
70. Se puede determinar el valor numérico de la expresión
x 2 + 2xy + y2 + x + y, si se
sabe que:
(1)
(2)
x+y=5
xy
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas (1) y (2)
D) Cada una por sí sola (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
Solución A
1) Se observa que la expresión 𝑥 2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 + 𝑥 + 𝑦 = (𝑥 + 𝑦 )2 + ( 𝑥 + 𝑦)
Como se conoce (x + y)= 5, al reemplazar este valor en la expresión se obtiene un valor para
ella.
2) Si 𝑥 ≠ 𝑦 no aporta información
_______________________________________
71. En la figura, es posible determinar si el polígono ABCD es un rombo, si:
(1) BEC = 90
(2) AD // BC
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas (1) y (2)
D) Cada una por sí sola (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
C
D
E
A
B
Solución: E
(1) Nos indica que las diagonales AC y DB se cortan perpendicularmente, lo que ocurre
en un rombo, pero debemos saber qué relación hay entre los lados, por lo que (1) por
sí sola es insuficiente
(2) Si AD // BC no aporta mayormente, ya que nada dice en relación a DC con respecto
a AB; estas pueden ser paralelas o no, por lo tanto, la información es insuficiente.
Luego, se requiere información adicional.
________________________________
72. En el triángulo equilátero ABC de la figura, es posible determinar si PQ es paralelo a
AC, si:
C
(1) PQ es mediana
(2) Ángulo APQ = 120º
Q
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas (1) y (2)
D) Cada una por sí sola (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
A
B
P
Solución: D
(1) Si PQ es mediana, esta es el segmento que une los puntos medios de los lados; como
se trata de un triángulo equilátero, entonces PQ es paralelo al lado AC. Luego, esa
información permite responder la pregunta.
(2) Si el ángulo en APQ = 120° entonces el ángulo QPB= 60°. Como el ángulo PBQ=60°,
el triángulo PQB es equilátero, por lo tanto es semejante con triángulo ABC, por lo que
PQ es paralelo a AC.
Luego, el problema se resuelve con (1) o ( 2)
___________________________________
73. En la figura, ABC es triángulo escaleno rectángulo en C. Es posible determinar la
longitud del lado AB, si:
(1) w 2  51,84 cm2
(2) u = 5,4 cm.; x = 9 cm.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas (1) y (2)
D) Cada una por sí sola (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
Solución: B
(1) Aplicando el teorema de la altura de Euclides, tenemos que w2 = u v. La información
es insuficiente, ya que sólo se conoce w.
(2) Aplicando el teorema de los catetos de Euclides se tiene: x 2 = u v, de donde se
conoce u y x; por lo tanto, se puede determinar v.
Luego, sólo (2) proporciona la información suficiente para responder el problema.
___________________________________
74. Sabiendo que la probabilidad de que haga calor un día es independiente de otro, se
puede determinar la probabilidad de que en un día cualquiera haga calor en Santiago, si:
(1) La probabilidad de que haga calor dos días seguidos es 0,09.
(2) La probabilidad de que un día no haga calor es 0,7.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas (1) y (2)
D) Cada una por sí sola (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
Solución: D
Como se trata de sucesos independientes se verifica que:
(1) 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ) = 𝑃(𝐴 ) ∙ 𝑃 ( 𝐵)
(2) La probabilidad de que haga calor es 𝑃 (𝐶) = 1 − 0,7
(3) Luego, la alternativa D responde a la pregunta,
________________________________________
75. Un juego de azar utiliza fichas rojas, azules y verdes, cada color con un valor
numérico distinto. Se puede determinar el valor de cada color de ficha, si:
(1) La suma de los valores de los tres colores es 60.
(2) Las fichas azules tienen un valor igual a la suma de las rojas y las verdes.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas (1) y (2)
D) Cada una por sí sola (1) ó (2)
E) se requiere información adicional
Solución: E
(1)La suma de los valores de los tres colores es R + A +V = 60, no permite saber cuál es el
valor de cada color
(2) La información señala que: A = R + V, no aporta mayor información
Si se combinan ambas informaciones, entonces sólo se puede averiguar el valor de A, pero no
el valor de B y C.
Por lo tanto, se requiere información adicional.