Circuitos RC y RLC estado estacionario

Capı́tulo 9
CIRCUITOS RC Y RLC:
estado estacionario
9.1
INTRODUCCIÓN
Cuando un circuito RLC se conecta a una fuente de alimentación de variación
periódica se obtiene como solución de los voltajes y las corrientes en los diferentes elementos del circuito la superposición de una solución transitoria
que decae en el tiempo (análoga a la estudiada en la práctica anterior) y una
solución que oscila a la misma frecuencia de la fuerza impulsora y que define el estado estacionario del sistema. Como la frecuencia de oscilación del
sistema es la de la fuente externa y no su propia frecuencia natural, se dice
que el circuito está forzado.
En la práctica del wattı́metro hemos estudiado la resolución de un circuito
RLC en serie conectado a una fuente de tensión sinusoidal y hemos encontrado que tanto la corriente como los voltajes en cada elemento son también
sinusoidales, con amplitudes y fases que dependen de la frecuencia de la fuente. En esta práctica estudiaremos más en detalle la influencia de la frecuencia
de la fuente, lo cual es denominado como respuesta en frecuencia.
Partiremos directamente de la expresión de la corriente:
V0 ∠0◦
V0
I =
= (
(
|Z|∠ψ
R2 + ωL −
1
ωC
)2 )1/2
175
/
ωL −
− arctan
R
1
ωC
= I0 / − ψ
9.2
RESPUESTA EN FRECUENCIA DE UN
CIRCUITO RC EN SERIE
Para considerar el caso de un circuito
RC en serie, podemos hacer L = 0 en
la expresión general y obtener directamente:
R
V0 ∠0
C
/
V0 ∠0◦
V0
−1
− arctan
= (
= I0 / − ψ
)
1/2
(
)
|Z|∠ψ
ωRC
1 2
2
R + ωC
/ π
V0
−1
V = ZC I0 / − ψ = (
(
)2 )1/2 − 2 − arctan ωRC = V0C /ϕ
1 + ωRC
I =
1
Nótese que cuando la frecuencia angular ω es baja comparada con RC
1
(ω << RC
), el voltaje en el condensador (y por lo tanto la carga) tiende a
estar en fase con el voltaje del generador y su amplitud tiende a ser igual a la
de éste:
VC → V0 ∠0
y la corriente resulta:
I → V0 ωC
/π
2
1
Para altas frecuencias angulares (ω >> RC
), la fase del voltaje en el
condensador se retrasa en π2 respecto a la del generador, y la amplitud decrece:
/ π
V0 / π
VC →
− = V0C −
ωRC
2
2
siendo en este caso la corriente:
I→
V0
∠0
R
La figura a continuación muestra la dependencia de la amplitud relativa
, y de su fase
del voltaje en el condensador (respecto al voltaje de entrada) VV0C
0
ϕ, con la frecuencia angular ω (por simplicidad se ha colocado en las abscisas
el producto ωRC).
176
1
V0C
V0
0.5
0
ωRC
-0.5
ϕ(rad) -1
-1.5
-2
0.01
0.1
1
10
100
1000
Por lo tanto, la respuesta de baja frecuencia de este circuito es equivalente
a que la resistencia R estuviese en corto circuito, mientras que la respuesta
de alta frecuencia es equivalente a que fuese el condensador C el elemento en
corto circuito.
Podemos observar entonces que si usamos la señal del generador como señal
de entrada al circuito y el voltaje en el condensador como señal de salida
(conectada por ejemplo a un osciloscopio) las señales de alta frecuencia son reducidas en amplitud mientras que las señales de baja frecuencia pasan casi sin
alterarse. Esto significa que si en lugar de una frecuencia pura a la entrada
se tuviese la superposición de señales de diferentes frecuencias, a la salida se
tendrı́an predominantemente las señales de baja frecuencia, con lo cual ha sido “filtrada” la señal de entrada. Este circuito ası́ constituye lo que se conoce
como filtro pasa-bajos.
Un análisis del voltaje en la resistencia permite llegar a que el comportamiento de este elemento es inverso al del condensador, es decir, si la señal
de salida es tomada a través de la resistencia, entonces las señales de baja
frecuencia son reducidas en amplitud, mientras las señales de alta frecuencia
pasan casi sin alterarse. Este montaje con la señal de salida a través de la
resistencia se denomina filtro pasa-altos
177
9.3
RESPUESTA EN FRECUENCIA DE UN
CIRCUITO RLC EN SERIE
En este circuito usamos la expresión
completa de la corriente dada al final
de la sección 9.1. En marcado contraste con el circuito RC en serie, observamos que en este caso la amplitud de
la corriente tiende a cero tanto para
frecuencias muy bajas como para frecuencias muy altas.
R
C
V0 ∠0
L
La impedancia equivalente de este circuito en serie es:
Z = R + j(ωL −
1
)
ωC
función la cual tiene un mı́nimo para
1
ω = ω0 = √
LC
en esta condición la parte imaginaria se anula y la impedancia se hace igual a
la resistencia R, dando por lo tanto un máximo en la amplitud de la corriente:
V0
R
Al graficar la amplitud de la corriente en función de la frecuencia angular
de la señal de entrada se obtiene una curva de la siguiente forma:
I0,max =
I0,max
I0,max
√
2
I(A)
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
L = 10−4 H
C = 10−10 F
R = 20Ω
V0 = 20 V
∆ω
9
9.5
ω0
10
ω(106 s−1 )
178
10.5
11
El fenómeno observado en el cual la amplitud de la corriente se hace máxima
para un valor determinado de la frecuencia de la señal de alimentación, es conocido como resonancia de la corriente, y la frecuencia a la cual ocurre se llama
frecuencia de resonancia. En resonancia la corriente se comporta como si
la bobina y el condensador no existieran, y su amplitud queda determinada
totalmente por la resistencia. Por ser la resistencia un elemento disipativo,
es de esperarse que el fenómeno sea más marcado a bajos valores de R. La
influencia de R sobre la forma de la curva es mostrada a continuación:
2.0
L = 10−4 H
1.8
C = 10−10 F
1.6
V = 20 V
1.4
R = 10Ω
1.2
I(A)
1
0.8
R = 30Ω
0.6
0.4
R = 100Ω
0.2
0
9
9.5
10
10.5
11
ω(106 s−1 )
Nótese que a menor resistencia más afilada es la curva de resonancia. Lo
afilado de la curva se mide por el llamado factor de calidad Q dado por la
relación:
ωo
Q=
∆ω
donde ∆ω es la diferencia entre las frecuencias
√ angulares para las cuales la
amplitud de la corriente se reduce en un factor 2 respecto a su valor máximo:
√
I∆ω = I0,max
. Este último valor se obtiene cuando el módulo de la impedancia
2
179
√
es R 2, es decir cuando:
ωL −
1
= ±R
ωC
la resolución de esta ecuación de segundo grado para obtener la raı́ces ω1 y ω2
permite llegar a que ∆ω = R
, y por lo tanto:
L
Q = ω0
L
R
El factor de calidad de la curva con R = 10Ω es Q = 100, mientras que
si R = 100Ω es Q = 10. Existen circuitos prácticos con valores de Q mucho
mayores, por ejemplo, un radio receptor puede seleccionar una estación particular y distinguirla de las otras mediante un circuito resonante con un Q de
algunos cientos.
La variación de la frecuencia no sólo influye en la amplitud de la corriente,
sino también en el desfasaje, el cual tiende a + π2 para frecuencias muy bajas,
y a − π2 para frecuencias muy altas. En condición de resonancia, ψ = 0, es
decir, la corriente oscila en fase con la tensión impulsora. La figura muestra
la respuesta en frecuencia de la fase:
ψ(rad)
L = 10−4 H
C = 10−10 F
V = 20 V
2
1.5
1
0.5
0
ω0
9
9.5
10
10.5
-0.5
-1
-1.5
-2
180
11
ω(106 s−1 )
9.4
PARTE EXPERIMENTAL
Dado que se va a trabajar con un amplio rango de frecuencias es conveniente
representar esta variable en la escala logarı́tmica de un papel semi-log. A fin
de no tomar valores innecesarios, considere valores de frecuencia f que estén
aproximadamente con igual espaciamiento en la escala logarı́tmica, como por
ejemplo: [1; 2; 4; 7] × 10n ó [1; 1, 5; 2, 5; 4; 6] × 10n
Note que el dial del generador indica la frecuencia f (en Hz) mientras que en
las expresiones matemáticas aparece la frecuencia angular ω = 2πf (en s−1 ).
Tenga cuidado en diferenciar ambas cantidades cuando lea el procedimiento
de la práctica que se encuentra a continuación.
9.4.1
RESPUESTA EN FRECUENCIA DE UN
CIRCUITO RC
1.a Monte el circuito RC mostrado en la figura y mida la respuesta en frecuencia de la amplitud del voltaje en el condensador, para un rango de
frecuencias entre 100 Hz y 50 KHz.
10 KΩ
BLT
VRM S = 3, 5 V
(Rg = 600Ω)
V
0, 01 µF
(R0 = 1M Ω)
(C0 = 10pF )
Asegúrese que el voltaje de salida del generador permanezca constante en
el valor previamente escogido, para lo cual debe mantener el téster analógico conectado al generador durante toda la medición a fin de poder hacer
la correcciones en voltaje necesarias. Con esto se simula una fuente ideal
181
cuyo voltaje de salida es constante independiente de la carga y de la frecuencia que por definición posee resistencia interna cero ohmios (Rg = 0Ω),
por lo tanto la resistencia total del circuito será solamente los 10 KΩ de la
resistencia colocada.
Grafique la amplitud del voltaje del condensador en función de la frecuencia f . Represente en el mismo papel los resultados teóricos obtenidos
mediante la expresión:
VC = √
Vin
1 + (ωRC)2
.
1.b Mida el desfasaje ϕ del voltaje VC en el condensador respecto al voltaje
del generador Vin por el método de modulación de intensidad, utilizando
como señal modulante la onda cuadrada de 10 V :
10KΩ
eje − z
V ′ = 10V
VRM S = 3, 5V
(Rg = 600Ω)
BLT
V
0, 01µF
(R0 = 1M Ω)
(C0 = 10 pF )
(Rg′ = 600Ω)
Grafique la diferencia de fase en función de la frecuencia f . Represente en
el mismo papel los resultados teóricos obtenidos mediante la expresión:
ϕ=−
(
π
1 )
− arctan −
2
ωRC
1.c A partir de los valores medidos de la amplitud del voltaje en el condensador VC , calcule la amplitud de la corriente y grafı́quela en función de la
frecuencia f .
9.4.2
RESOLUCIÓN DE UN CIRCUITO RC
2.a Escoja un valor intermedio de la frecuencia f y determine mediante la
gráfica hecha en el punto 1.c la amplitud del voltaje VR en la resistencia.
182
Mida para dicha frecuencia el voltaje VR en la resistencia y su desfasaje
ϕR respecto al voltaje de entrada Vin . Compare los valores de VR . Haga la
suma fasorial de los voltajes en la resistencia y el condensador y compare
con el voltaje de entrada.
2.b Para el mismo valor anterior de frecuencia f , calcule la impedancia del
circuito y determine la amplitud de la corriente a partir del voltaje de
entrada Vin . Compare con el resultado obtenido en la gráfica del punto
1.c.
9.4.3
RESPUESTA EN FRECUENCIA DE UN
CIRCUITO RLC
3.a Mediante el siguiente circuito mida la respuesta en frecuencia de la amplitud del voltaje VR en la resistencia, asegurándose de que el voltaje en
el generador Vin permanezca constante en el valor previamente escogido
(esto de nuevo simula una fuente ideal por lo que el valor de la resistencia
interna del generador no debe ser tomado en cuenta):
5mH
1µF
BLT
VRM S = 3, 5V
(Rg = 600Ω)
150Ω
V
(R0 = 1M Ω)
(C0 = 10pF )
Calcule la amplitud de la corriente y grafı́quela en función de f . Represente
en el mismo papel los resultado teóricos obtenidos mediante:
I=√
Vin
(
R2 + ωL −
1
ωC
)2
tomando en cuenta la resistencia de la inductancia.
183
3.b Determine de la gráfica la frecuencia angular de resonancia ω0 , el factor
de calidad Q y compare con los resultados teóricos.
3.c El desfasaje ϕR del voltaje en la resistencia respecto al voltaje del generador
será medido por el método de las figuras de Lissajous haciendo la conexión
de la salida del generador directamente al eje-x como se muestra en la figura
a continuación:
5mH
VRM S = 3, 5V
(Rg = 600Ω)
1µF
150Ω
V
(R0 = 1M Ω)
(C0 = 10pF )
Grafique la diferencia de fase ϕR en función de la frecuencia f . Represente
en el mismo papel los resultados teóricos obtenidos mediante:
ϕR = − arctan
[ ωL −
1
ωC
]
R
Determine el valor de ϕR correspondiente a la frecuencia de resonancia.
Recuerde que R = RL + 150Ω.
3.d a partir de los valores medidos de la amplitud de corriente determine
la potencia eficaz P = I 2 R2 y grafı́quela en función de la frecuencia f
(aquı́ R = 150Ω).
9.4.4
RESOLUCIÓN DE UN CIRCUITO RLC
4.a Escoja un valor intermedio de f (diferente de la resonancia) y determine
mediante la gráfica hecha en el punto 3.a las amplitudes de la carga Q en
y VL . Mida para la misma frecuencia los voltajes en
el condensador, VC , dI
dt
el condensador y la inductancia y comparelos con los resultados anteriores.
184
Mida también los correspondientes desfasajes respecto al voltaje de entrada
Vin y obtenga la suma fasorial VR + VL + VC . Compare con Vin .
4.b Para el mismo valor anterior de frecuencia f calcule la impedancia del
circuito y determine la amplitud de la corriente a partir del voltaje de
entrada. Compare con el resultado obtenido en la gráfica del punto 3.a.
4.c Calcule la energı́a máxima almacenada en el condensador y en la inductancia, para la misma frecuencia f .
9.5
CONOCIMIENTOS PRELIMINARES
Antes de realizar la práctica, el estudiante debe tener claro los siguientes conceptos:
1 2 Todo lo relacionado con la práctica de wattı́metro.
2 2 Todo lo relacionado con la práctica del osciloscopio.
3 2 Estado estacionario.
4 2 Respuesta en frecuencia de la amplitud y la fase del voltaje en un condensador dentro de un circuito RC en serie.
5 2 Filtro pasa altos. Filtro pasa bajos.
6 2 Respuesta en frecuencia de la amplitud y la fase de la corriente en un
circuito RLC en serie.
7 2 Resonancia. Frecuencia angular de resonancia.
8 2 Influencia de la resistencia en la resonancia. Factor de calidad.
9.6
OBJETIVOS
Al finalizar la práctica el estudiante debe estar en capacidad de:
1 2 Medir la respuesta en frecuencia de la amplitud y la fase del voltaje en un
condensador dentro de un circuito RC en serie.
185
2 2 Resolver completamente un circuito RC en serie a fin de comparar los
resultados con los valores experimentales de las cantidades fı́sicas correspondientes.
3 2 Medir la respuesta en frecuencia de la amplitud y la fase de la corriente
en un circuito RLC en serie.
4 2 Determinar la frecuencia de resonancia y el factor de calidad en un circuito
RLC en serie.
5 2 Resolver Completamente un circuito RLC en serie a fin de comparar los
resultados con los valores experimentales de las cantidades fı́sicas correspondientes.
IE/LC/DM/07-03-2002
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