Introducción al Método de los Elementos Finitos

v1
5
4
1
S
v2
2
Introducción al Método
de los Elementos Finitos
Parte 1
Introducción al MEF para problemas elípticos
Alberto Cardona, Víctor Fachinotti
Cimec (UNL/Conicet), Santa Fe, Argentina
02/09/2016
1. Introducción al MEF para problemas elípticos
• Problemas elípticos “modelo” y solución por MEF
– Problema simple 1-D
– Generalización a 2-D
• Propiedades básicas del método
Introducción al Método de los Elementos Finitos
2
(1.1) Formulación variacional del problema 1-D
•
Sea el problema de valores de frontera:
(D)
donde u ' 
du
;
dx
 u ''  f ( x)
,
0  x 1
u (0)  u (1)  0
f ( x) es una función continua dada.
•
Integrando 2 veces, vemos que el problema tiene solución única u.
•
(D) puede describir cualquiera de los siguientes problemas de Mecánica del
continuo:
A. Barra elástica
B. Cuerda elástica
C. Conducción del calor en una barra
Introducción al Método de los Elementos Finitos
3
A) Barra elástica
Barra elástica sujeta en ambos extremos y sometida a carga axial de intensidad f(x)
Bajo hipótesis de pequeños desplazamientos y material elástico lineal:
  Eu '
 '  f
Ec. de equilibrio
u (0)  u (1)  0
Cond. de borde
Ley de Hooke
donde E es el módulo de elasticidad. Asumiendo E=1
(D)
 u ''  f ( x)
,
0  x 1
u (0)  u (1)  0
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4
B) Cuerda elástica
Cuerda elástica sujeta en ambos extremos, con tensión unitaria y sometida a carga
transversal de intensidad f(x)
El equilibrio del segmento considerado está dado por:
Tx  dx cos  x  dx  Tx cos  x  0
Tx  dx sin  x  dx  Tx sin  x  
x  dx
x
f ( s) ds  0
Bajo hipótesis de pequeños desplazamientos
cos  x  dx cos  x 1  Tx  dx
Además
sin  y
tan  y
u
x
Tx
T 1
y
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5
B) Cuerda elástica
En la segunda ecuación:
T
u
x
T
x  dx
u
 f ( x ) dx  0
x x
Luego:
 2u
 f 0
2
x
Y considerando las condiciones de borde:
(D)
 u ''  f ( x)
,
0  x 1
u (0)  u (1)  0
Introducción al Método de los Elementos Finitos
6
C) Conducción de calor en una barra
Barra sometida a fuente de calor distribuida f(x), con temperatura nula en ambos
extremos.
Bajo condiciones estacionarias y material lineal:
q  ku '
Ley de Fourier
q '  f
Ec de equilibrio
u (0)  u (1)  0
Cond de borde
donde k es la conductividad. Asumiendo k=1
(D)
 u ''  f ( x) ,
0  x 1
u (0)  u (1)  0
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7
Problemas de minimización y variacional
Veremos que la solución al problema (D) es también solución del problema de
minimización (M) y de un problema variacional (V)
Para formular (M) y (V) introducimos nueva notación.
1. Producto interno (v,w):
1
(v, w)   v ( x ) w( x ) dx
0
para funciones reales acotadas continuas por tramos v, w.
2. Espacio lineal V:
V  v / v funcion continua sobre  0,1 ,
v ' es continua p/tramos y acotada en  0,1 ,
v(0)  v(1)  0
3. Funcional F : V 

(Ojo: este funcional no es lineal. Analizar)
1
F (v)  (v ', v ')  ( f , v)
2
Introducción al Método de los Elementos Finitos
8
Problemas de minimización y variacional (cont)
Problema (M):
(M)
Hallar u V
/ F (u)  F (v)  v V
(V)
Hallar u V
/ (u ', v ')  ( f , v)  v V
Problema (V):
Nota: en el contexto de los problemas (A) y (B)
es la energía potencial total asociada al desplazamiento v
F (v )
1
(v ', v ') es la energía elástica interna
2
( f , v)
es el potencial de cargas
Problema (M): principio de mínima energía potencial en Mecánica
Problema (V): principio de trabajos virtuales en Mecánica
Veremos la equivalencia de los problemas (D), (V) y (M)
Introducción al Método de los Elementos Finitos
9
La solución de (D) es solución de (V)
1. Multiplicamos u ''  f por una función arbitraria v V (func. de test).
Integramos sobre (0,1):
(u '', v)  ( f , v)
2. Integramos por partes el lado izquierdo, y usamos v(0)=v(1)=0:
(u '', v)  u '(1)v(1)  u '(0)v(0)  (u ', v ')  (u ', v ')
3. Al ser v arbitraria:
(u ', v ')  ( f , v)
 v V
(1.1)
Introducción al Método de los Elementos Finitos
10
o sea, u es solución de (V)
Los problemas (M) y (V) tienen la misma solución
v  V y w  v  u / v  u  w  w V .
1. Sea u solución de (V). Sea
1
Luego:
F (v)  F (u  w)   u ' w ', u ' w '   ( f , u  w) 
2
1
1
  u ', u '  ( f , u )  (u ', w ')  ( f , w)   w ', w '   F (u )
2
2
 0 por (1.1)
F (u )
0
o sea, u es solución del problema (M).
•
Sea u solución de (M). Luego
 v V y   : F (u)  F (u   v)
(*)
Definiendo:
g ( )
1
2
F (u   v)  (u ', u ')   (u ', v ')  (v ', v ')  ( f , u )   ( f , v)
2
2
Por (*) g ( ) tiene un mínimo en   0 . Luego :
g '(0)  (u ', v ')  ( f , v)

0
g (  ) min en 0
o sea, u es solución del problema (V).
Introducción al Método de los Elementos Finitos
11
La solución de (V) es única
1. Sean u1 , u2
soluciones de (V):
u1 , u2 V y
(u '1 , v ')  ( f , v)
 v V
(u '2 , v ')  ( f , v)
 v V
2. Sustrayendo, y eligiendo v  u1  u2 V

1
0
(u '1  u '2 ) 2 dx  0
lo cual muestra que:
u '1 ( x)  u '2 ( x)  (u1  u2 ) ' ( x)  0
 x  (0,1)
3. Usando la condición de borde:
u1 (0)  u2 (0)  0  u1 ( x)  u2 ( x)  x  0,1
o sea, la solución a (V) es única.
Introducción al Método de los Elementos Finitos
12
Equivalencia de soluciones a (D), (V) y (M)
1. Hasta ahora hemos visto que si u es solución a (D), luego es solución a los
problemas equivalentes (V) y (M) :
( D)  (V )  ( M )
Mostraremos que si u es solución de (V), luego u satisface (D).
2. Sea
u V
/

1
0
1
u ' v ' dx   fv dx  0  v  V
0
Asumimos u '' existe y es continua. Integ.p/partes y usando v(0)  v(1)  0
1
1
0
0
  u '' v dx   fv dx  u ' v 0  0
1
  (u '' f )v dx  0
0
1

v V
Como (u '' f ) es continua, luego:
(u '' f ) ( x)  0
0  x 1
o sea, u es solución de (D).
Introducción al Método de los Elementos Finitos
13
Equivalencia de soluciones (D), (V) y (M)
Resumiendo: Hemos demostrado que
1. La solución de la ecuación diferencial es solución de un problema
variacional
2. La solución del problema variacional es también solución de un problema de
minimización y viceversa
3. La solución del problema variacional es única
4. Si se cumple un requisito de regularidad (u” continua), la solución del
problema variacional es también solución de la ecuación diferencial
Notar: Las soluciones a los problemas variacional y de minimización vistos hasta
ahora tienen dimensión infinita, no pueden hallarse en computadora.
Veremos ahora cómo el MEF construye aproximaciones de dimensión finita a las
soluciones de (V) y (M).
Introducción al Método de los Elementos Finitos
14
(1.2) MEF p/problema modelo c/funciones lineales p/tramos
1. Construiremos un subespacio de dimensión finita Vh del espacio V ,
consistente en funciones lineales p/tramos.
2. Sea
0  x0  x1
xM  xM 1  1
una partición del intervalo (0,1) en M+1 subintervalos I j  ( x j 1 , x j ) de
longitud
h  x  x , j  1, M  1
j
j
j 1
La cantidad h  max h j es una medida de la densidad de la partición.
Introducción al Método de los Elementos Finitos
15
Subespacio de funciones lineales por tramos
1. Sea
Vh  v / v es lineal en cada subintervalo I j
v es continua en el  0,1

v(0)  v(1)  0
Ejemplo de v Vh
Notar que
Vh  V
2. Para describir v  Vh elegimos los valores
 j  v( x j ) en los nodos x j ,
Introducción al Método de los Elementos Finitos
j  1,
M
16
Subespacio de funciones lineales por tramos
3. Definimos funciones de base  j ( x) Vh ,
1 si i  j
0 si i  j
 j ( xi )   ij  
j  1,
M
i, j  1,
M
 j ( x) : función continua
lineal por tramos que verifica
la propiedad delta.
4. Toda función v  Vh puede ser escrita en forma única como combinación
lineal de las funciones de base i ( x) :
M
v ( x )   i i ( x )
i 1
x   0,1 , i  v( xi )
Luego, Vh es un espacio vectorial lineal de dimensión M con base:
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i i 1
M
17
MEF para problema modelo (D)
1. Formulación como problema de minimización discreto:
(Mh )
Hallar uh Vh
/ F (uh )  F (v)  v Vh
(método Ritz)
2. De la manera ya vista, es equivalente al problema variacional discreto:
(1.2)
(Vh )
Hallar uh Vh
/ (uh ', v ')  ( f , v)  v Vh
(método Galerkin)
3. Notar, que si uh Vh satisface (1.2), luego en particular
(uh ',  j ')  ( f ,  j )
(1.3)
j  1,
M
(además, si se cumple (1.3), luego vale (1.2)  v Vh )
M
4. Siendo uh ( x)   i i ( x) , i  uh ( xi ) , escribimos (1.3) en la forma:
i 1
   ', '   f , 
M
i 1
i
i
j
j
j  1,
,M
Sistema de M ecuaciones algebraicas lineales con M incógnitas  i
Introducción al Método de los Elementos Finitos
18
Forma matricial
A 
(1.5)
 (1 ', 1 ') (1 ',  2 ')
 ( ',  ') ( ',  ')
2
2
 2 1


( M ', 1 ')
 b
(1 ',  M ')   1   b1 
    b 
  2    2 
   

( M ',  M ')   M  bM 
A : matriz de rigidez
b : vector de cargas
bi  ( f , i )
Los elementos aij  i ',  j '  pueden
calcularse fácilmente.
Notar:
 ', '  0
i
j
si
i  j 1
Luego A es tridiagonal
Introducción al Método de los Elementos Finitos
19
Sistema de ecuaciones
Entonces:
x j 1 1
1
1
1
dx

dx



x j 1 h 2
x j h2
h j h j 1
j
j 1
a jj  ( j ',  j ')  
xj
1
1
dx


x j 1 h 2
hj
j
a j ( j 1)  ( j ',  j 1 ')   
1. A es simétrica pues:
xj
 ', '  
i
j
j
j  1,
M
j  2,
M
', i ' 
M
2. A es definida positiva pues siendo v( x)   i i ( x)
i 1
M
M



',

'




',


'
  i i  j j    v ', v '  0

i  i
j  j
i , j 1
j 1
 i 1

M
Como v(0)  0
luego:
 0 casi siempre

  0 solo si v '  0
luego (v ', v ')  0  v  0 o sea:  j  0
j  1, M
Entonces:
ηT Aη  0  η 
M
,η  0
A simétrica y definida positiva
Introducción al Método de los Elementos Finitos
20
Propiedades sistema de ecuaciones (1.5)
1. A sim > 0
A es no singular y el sistema (1.5) tiene solución única
2. A es rala, o sea pocos elementos de A son distintos de cero.
Esto se debe a que  j tiene soporte local (  j  0 en un intervalo pequeño,
interfiriendo con pocas funciones  k ).
1
3. Si la partición es uniforme, h j  h 
y logramos
M 1
0
 2 1
 1 2 1


1

A 
1
h

2

1


 0
1 2 
Introducción al Método de los Elementos Finitos
21
(1.3) Estimación de error del MEF para problema modelo
Sean
 u ''  f ( x)

u solucion de (D) 

0  x 1
,
u (0)  u (1)  0
Hallar uh Vh
uh solucion de (Vh )
/ (uh ', v ')  ( f , v)  v Vh
Recordando que
(u ', v ')  ( f , v)
y como Vh  V
 v V
  u  u  ', v '  0
(en particular  v Vh )
 v Vh
h
Ecuación del error
donde u  uh es el error de la aproximación
Veremos que en cierto modo, uh es la mejor aprox posible a la sol exacta u
Norma asociada al producto escalar ( , ):
Desigualdad de Cauchy:
 v, w  
w
 w, w
1
2

  w dx 
1
2
1
2
0
v w
Introducción al Método de los Elementos Finitos
22
Estimación de error del MEF para problema modelo
 u  uh  '
Teo 1.1)
 u  v  '
 v Vh
D) Sean v Vh arbitraria y w  uh  v Vh . Reemplazando v por w en la
ecuación del error:
 u  uh  '
2
   u  uh  ',  u  uh  '    u  uh  ', w '    u  uh  ',  u  uh  w  ' 
   u  uh  ',  u  v  ' 
0
ecuacion del error
 u  uh  '  u  v  '
 v Vh
Cauchy
Luego
 u  uh  '
 u  v  '
 v Vh
Para lograr una estimación cuantitativa del error, usamos una uh Vh elegida
convenientemente. Por el resultado anterior:
 u  uh  '
  u  uh  '
Introducción al Método de los Elementos Finitos
23
Estimación del error
Haremos uh Vh interpolante de u , o sea:
uh ( x j )  u( x j )
j  0,
M 1
En Análisis Numérico, se ve que:
u ( x)  uh ( x)  h max u ( y )
0  y 1
Luego, por el teorema y (1.12):
h2
u ( x)  uh ( x) 
max 0 y 1 u ( y )
8
 u  uh 
Mediante análisis detallado, se puede mostrar :
 h max u( y )
 u  uh 
0 y 1
 o  h 2  max u( y )
0 y 1
Notar:
• No necesitamos construir explícitamente uh , sino sólo la estimación de error
del interpolante.
• u es una deformación o tensión, y tiene interés práctico la estimación de su
error
Introducción al Método de los Elementos Finitos
24
Cálculo matriz rigidez
1. Los coeficientes aij  i ',  j ' son calculados por suma de contribuciones
de los distintos segmentos:
 ', '    '
1
i
Notar que
j
i
0
 ', '
i
j
K
' dx    i ' j ' dx   i ',  j ' 
xk
j
0
IK
xk 1
IK
K
sólo si Ni , N j  I K
2. Sean (k  1) y k los nodos del segmento K. Luego, la matriz de rigidez del
“elemento” K :
AK
k 1 ', k 1 '  K

sim.

k 1 ', k ' K 
k ', k ' K 
3. La matriz de rigidez global A es armada luego en 2 etapas:
1. Cálculo de las matrices de rigidez elementales
2. Sumatoria de las contribuciones de cada elemento (ensamble)
El vector de cargas b es armado de la misma manera.
Introducción al Método de los Elementos Finitos
25
Cálculo matriz rigidez elemental
1. Trabajamos con las restricciones de las funciones de base al segmento K:
i
i
K
2.  i es una función lineal /
1 en el nodo i
 k 1 ( x), k ( x) base de fcs lineales en K
i  
0 en el nodo j
3. Si w( x) es una función lineal en K, tiene luego la representación:
w( x)  w( xk 1 ) k 1 ( x)  w( xk ) k ( x)
4. La matriz de rigidez elemental:
AK
 k 1 ', k 1 ' K

sim.

Introducción al Método de los Elementos Finitos
 k 1 ', k ' K 
 k ', k ' K 
26
Ejemplo
 i ( x)   i  i x
 i , i /
 i ( x j )   ij

1 xi   i  j  1 0 

1 x       
0
1
j
i
j





Resolviendo:
 k 1 
xk
hK
x
 k   k 1
hK
 k 1  
1
hK
1
k 
hK
hK  xk  xk 1
(longitud segmento)
Luego:
x
1
d k 1 d k 1
2

',

'

dx



dx


h

 k 1 k 1 K 
k 1 K
 k 1 k 1
dx
dx
k
K
hK
xk 1
1
d k 1 d k

',

'

dx



h


 k 1 k K 
k 1 k K
dx
dx
K
hK
AK
Introducción al Método de los Elementos Finitos
 1
 h
 K
 1
 h
 K
1
hK 

1 
hK 

27
Ejemplo
Ilustraremos el proceso de ensamble para el caso siguiente:
Elemento 1) k-1=0; k=1
 8 8 0 
A1ξ1  
 
 8 8  1 
 0 ( x)  0 por condición de borde
Introducción al Método de los Elementos Finitos
28
Ensamble primer elemento
 1 1  0 
A1ξ  8 
  

1
1

 1
1
 1




Aξ 8 





Introducción al Método de los Elementos Finitos











1 
 
 2
3 
 
 4 
 
 5
 6 
 
 7
29
Ensamble segundo elemento
 1 1 1 
A 2ξ  8 
  

1
1

 2
2
 11

 1


Aξ 8 





1
1
Introducción al Método de los Elementos Finitos











1 
 
 2
3 
 
 4 
 
 5
 6 
 
 7
30
Ensamble tercer elemento
 1 1  2 
A3ξ  8 
  

1
1

 3
3
 11

 1


Aξ 8 





1
11
1
1
1
Introducción al Método de los Elementos Finitos











1 
 
 2
3 
 
 4 
 
 5
 6 
 
 7
31
Ensamble cuarto elemento
 1 1 3 
A 4ξ  8 
  

1
1

 4
4
 11

 1


Aξ 8 





1
11
1
1
11
1
1
1
Introducción al Método de los Elementos Finitos











1 
 
 2
3 
 
 4 
 
 5
 6 
 
 7
32
Ensamble séptimo elemento
 1 1  6 
A 7ξ  8 
  

1
1

 7
7
 11

 1


Aξ 8 





1
11
1
1
11
1
1
11
1
1
11
1
1
11
Introducción al Método de los Elementos Finitos
1








1 
1 
1 
 
 2
3 
 
 4 
 
 5
 6 
 
 7
33
Ensamble octavo elemento
 1 1  7 
A 8ξ  8 
  

1
1

 8
8
 11

 1


Aξ 8 





1
11
1
1
11
1
1
11
1
1
11
1
1
11
Introducción al Método de los Elementos Finitos
1








1 
1  1 
1 
 
 2
3 
 
 4 
 
 5
 6 
 
 7
34
Sistema de ecuaciones global
 2 1 0 0 0 0 0  1   b1 

   b 

1
2

1
0
0
0
0

  2  2
 0 1 2 1 0 0 0  3  b3 

    
A ξ  8  0 0 1 2 1 0 0   4   b4 
 0 0 0 1 2 1 0  5  b5 

    
 0 0 0 0 1 2 1  6  b6 
 0 0 0 0 0 1 2    b 

  7  7
El término a derecha puede calcularse también elemento por elemento:
xk



(
x
)
f
(
x
)
dx
K
k

1
bk 1   xk 1

K
b  K  x

k
b
 k     k ( x) f ( x) dx 
 xk 1

 b11  b12 
 2 3
b2  b2 
b33  b34 


b  b44  b45 
b 5  b 6 
 5 5
b66  b67 
 7 8
b7  b7 
La ecuación es idéntica a la que se obtiene por diferencias finitas. El término a derecha cambia.
Introducción al Método de los Elementos Finitos
35
Ejemplo
Sea la ecuación:
u ''  sin( x)
0  x 1
u (0)  u (1)  0
Solución exacta:
u ( x) 
1

2
sin( x)
El vector de cargas elemental:
 xk xk  x
  cos( xk 1 ) sin( xk )  sin( xk 1 ) 
sin(

x
)
dx






K
x

 2 hk
bk 1   k 1 hk
 

K
b  K 

 

xk x  x
cos(

x
)
sin(

x
)

sin(

x
)
b
k 1
k
k
k 1 
 k  
sin( x) dx  

2

 xk 1 hk
 


 hk
Introducción al Método de los Elementos Finitos
36
Ejemplo (programa Matlab / Octave)
% cantidad de elementos
n = 8;
% inicializacion de matriz de rigidez y vector de cargas globales
A = zeros(n-1,n-1);
b = zeros(n-1,1);
% lazo sobre los elementos
for k=1:n
%ensamble de matriz de rigidez
if (k==1)
A(1,1) = A(1,1) + Ak(2,2);
elseif (k==n)
A(n-1,n-1) = A(n-1,n-1) + Ak(1,1);
else
A(k-1,k-1) = A(k-1,k-1) + Ak(1,1); A(k-1,k) = A(k-1,k) + Ak(1,2);
A(k,k-1) = A(k,k-1) + Ak(2,1); A(k,k) = A(k,k) + Ak(2,2);
end
hk = 1/n;
%coordenadas del elemento k
xk1 = (k-1)* hk;
xk = k * hk;
% matriz de rigidez elemental
Ak = 1/hk* [1 -1;
-1 1];
%vector de cargas elemental
bk = [cos(pi*xk1)/pi - (sin(pi*xk)-sin(pi*xk1))/pi^2/hk;
-cos(pi*xk) /pi + (sin(pi*xk)-sin(pi*xk1))/pi^2/hk];
%ensamble de vector de cargas
if (k==1)
b(1) = b(1) + bk(2);
elseif (k==n)
b(n-1) = b(n-1) + bk(1,1);
else
b(k-1) = b(k-1) + bk(1);
b(k) = b(k) + bk(2);
end
end
Introducción al Método de los Elementos Finitos
37
Ejemplo: aproximación a la solución
0.12
0.1
u(x)
0.08
0.06
0.04
0.02
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
x
Introducción al Método de los Elementos Finitos
38
Ejemplo: aproximación a la derivada
0.4
0.3
0.2
du/dx
0.1
0
-0.1
-0.2
-0.3
-0.4
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
x
Introducción al Método de los Elementos Finitos
39
Ejemplo: tasa de convergencia
-1
10
Derivada:
convergencia
lineal
-2
Error u, du/dx
10
-3
10
Función:
convergencia
cuadrática
-4
10
-5
10 -2
10
-1
0
10
10
h
Introducción al Método de los Elementos Finitos
40
Ejemplo: convergencia en energía
0.06
1
2 2
0.05
Udef
0.04
0.03
Los modelos tipo
“desplazamiento” convergen
“por abajo” a la solución
exacta: la solución de
elementos finitos es “más
rígida” que en la realidad.
0.02
0.01
0
0
10
20
30
40
50
60
70
n
Introducción al Método de los Elementos Finitos
41
Elementos finitos unidimensionales de alto orden
1. Sea
Vh  v / v es polinomio de grado r en cada subintervalo I j
v es continua en el  0,1
v(0)  v(1)  0

Ejemplo de v Vh
Notar que
Vh  V
2. Para describir v  Vh elegimos los valores
 j  v( x j ) en los nodos x j ,
j  1,
M
1.
Permiten asegurar la
continuidad entre nodos
2.
No alcanzan para
determinar el polinomio en
el tramo
Introducción al Método de los Elementos Finitos
42
Elementos finitos unidimensionales de alto orden (cont)
3.
Insertamos (r-1) nodos en cada segmento :
Numeración global
4. Interpolación de un polinomio de grado r en el segmento k:
r
r
v( x)    ( x)  i  i ( x)
i 0
k
i
k
i
 0 ( x), 1 ( x),
i 0
 r ( x)
base de polinomios grado r en k
Numeración local
Introducción al Método de los Elementos Finitos
43
Elementos finitos unidimensionales de alto orden (cont)
5.
Los polinomios  i son polinomios de grado r tales que verifican:
1 en xi
i  0,
0 en x j , j  i
 i ( x)  
r
Son base del espacio de polinomios
de grado r pues constituyen un
conjunto de r+1 funciones del
espacio linealmente independientes
`
Bases polinómicas de Lagrange grado r:
 i ( x) 

x  xj
j  0, r ; j i xi  x j

 x  x0   x  xi 1  x  xi 1   x  xr 
 xi  x0   xi  xi 1  xi  xi 1   xi  xr 
Introducción al Método de los Elementos Finitos
44
Elementos finitos unidimensionales de alto orden (cont)
1.
Funciones de base lineales
 0 ( x) 
2.
 1 ( x) 
 x  x0 
 x1  x0 
Funciones de base cuadráticas
 0 ( x) 
3.
 x  x1 
 x0  x1 
 x  x1  x  x2 
 x0  x1  x0  x2 
 1 ( x) 
 x  x0  x  x2 
 x1  x0  x1  x2 
 2 ( x) 
 x  x0  x  x1 
 x2  x0  x2  x1 
Funciones de base cúbicas
..................
Introducción al Método de los Elementos Finitos
45
Ejemplo
Sea la ecuación:
u ''  sin( x)
0  x 1
u (0)  u (1)  0
u ( x) 
Solución exacta:
1

2
sin( x)
Asumiendo funciones cuadráticas por tramos:
AK
 '0 ( x) 
 2 x  x1  x2 
 x0  x1  x0  x2 
 0 ', 0 '  K


 sim.

 '1 ( x) 
 0 ', 1 ' K  0 ', 2 ' K 

 1 ', 1 ' K  1 ', 2 ' K 
 2 ', 2 ' K 
 2 x  x0  x2 
 x1  x0  x1  x2 
 '2 ( x) 
Introducción al Método de los Elementos Finitos
 2 x  x0  x1 
 x2  x0  x2  x1 
46
Ejemplo
Asumiremos una partición equiespaciada:
h  xi  xi 1
(distancia entre nodos)
 '0 , '0  K  x  '0  '0 dx  0
x2
2h
0
 '0 , '1  K

tamaño elementos = 2h
2
 2 x  h  2h 
7
dx



h 2h 
6h

 ...
Cálculo por manipulación simbólica (Matlab):
syms h x
psi0p = (2*x-h-2*h)/((-h)*(-2*h));
psi1p = (2*x-2*h)/((h)*(-h));
psi2p = (2*x-h)/((2*h)*(h));
A00 = int(psi0p*psi0p,0,2*h)
A01 = int(psi0p*psi1p,0,2*h)
A02 = int(psi0p*psi2p,0,2*h)
A11 = int(psi1p*psi1p,0,2*h)
A12 = int(psi1p*psi2p,0,2*h)
A22 = int(psi2p*psi2p,0,2*h)
Notar que  i ( x),  'i ( x) son
invariantes a una
traslación x  x  C .
 7 8 1 
1 

AK 
16

8

6h 
sim
7 
Introducción al Método de los Elementos Finitos
47
 
 x2 k  x  x2 k 1  x  x2 k 

x   2k  1 h   x  2kh 
2 kh

dx
)
x

sin(
sin( x) dx 
  
 x
2
2 k 2
 2 k 2h
h
2

h





h
2
 


  2 kh
 x2 k  x  x  x  x 

x   2k  2  h   x  2kh 

 

2k
2 k 2
K
sin( x) dx 

sin( x) dx    
b  
2
x2 k 2
 2 k  2h
h
h

h





 


  2 kh  x   2k  2  h   x   2k  1 h 
 x2 k  x  x  x  x 
2 k 1
2 k 2
dx
)
x

sin(


sin( x) dx    2 k  2h
2h 2

 
 x2 k 2
 2h   h 
 cos  2  k  1 h  cos  2 kh   cos  2  k  1 h  3sin  2  k  1 h   sin  2 kh  




2
3 2
h

2
h






 cos  2 kh   cos  2  k  1 h  sin  2  k  1 h   sin  2 kh  
K

2 
b 


2
3 2


h

h







kh

2
3sin

h
1

k

2
sin
h
1

k

2
cos

kh

2
cos








h
k

2
cos







 


2
3 2


2 h
 h

Introducción al Método de los Elementos Finitos
48
Programa
function [u,Udef] = ejemplocuadratico(n)
% inicializacion de matriz de rigidez y vector de cargas globales
A = zeros(2*n-1,2*n-1);
b = zeros(2*n-1,1);
% lazo sobre los elementos
for k=1:n
h = 1/(2*n);
%coordenadas del elemento k
xk0 = (2*k-2)*h;
xk1 = (2*k-1)*h;
xk2 = 2*k *h;
% matriz de rigidez elemental
Ak = 1/(6*h)* [7 -8 1;
-8 16 -8;
1 -8 7];
%ensamble de matriz de rigidez
if (k==1)
A(1,1) = A(1,1) + Ak(2,2); A(1,2) = A(1,2) + Ak(2,3);
A(2,1) = A(2,1) + Ak(3,2); A(2,2) = A(2,2) + Ak(3,3);
elseif (k==n)
A(2*n-2,2*n-2) = A(2*n-2,2*n-2) + Ak(1,1); A(2*n-2,2*n-1) = A(2*n
A(2*n-1,2*n-2) = A(2*n-1,2*n-2) + Ak(2,1); A(2*n-1,2*n-1) = A(2*n
else
A(2*k-2,2*k-2) = A(2*k-2,2*k-2) + Ak(1,1); A(2*k-2,2*k-1) = A(2*k
....................................................
end
%ensamble de vector de cargas
if (k==1)
b(1) = b(1) + bk(2);
b(2) = b(2) + bk(3);
elseif (k==n)
b(2*n-2) = b(2*n-2) + bk(1);
b(2*n-1) = b(2*n-1) + bk(2);
else
b(2*k-2) = b(2*k-2) + bk(1);
....................................................
end
end
%vector de cargas elemental
bk = [cos(2*pi*h*k - 2*pi*h)/pi + (cos(2*pi*h*k) - cos(2*h*k*pi - 2*h*pi) ...
+ pi*h*((3*sin(2*pi*h*k - 2*pi*h))/2 + sin(2*pi*h*k)/2))/(pi^3*h^2);
-(2*cos(2*pi*h*k) - 2*cos(2*pi*h*k - 2*pi*h) + ...
pi*h*(2*sin(2*pi*h*k - 2*pi*h) + 2*sin(2*pi*h*k)))/(pi^3*h^2);
(cos(2*pi*h*k) - cos(2*h*k*pi - 2*h*pi) + pi*h*(sin(2*pi*h*k - 2*pi*h)/2 ... %solucion sistema de ecuaciones
+ (3*sin(2*pi*h*k))/2))/(pi^3*h^2) - cos(2*pi*h*k)/pi];
u1 = A \ b;
u = [0;u1;0];
%Energia de deformacion
Udef = u1'*b;
Introducción al Método de los Elementos Finitos
49
Introducción al Método de los Elementos Finitos
50
Ejemplo: aproximación a la solución
2 elementos
4 elementos
8 elementos
exacta
Introducción al Método de los Elementos Finitos
51
Ejemplo: aproximación a la derivada
2 elementos
4 elementos
8 elementos
exacta
Introducción al Método de los Elementos Finitos
52
Ejemplo: tasa de convergencia
Derivada:
convergencia
cuadrática
Función:
convergencia
cúbica
Introducción al Método de los Elementos Finitos
53
Ejemplo: tasa de convergencia elementos lineales
-1
10
Derivada:
convergencia
lineal
-2
Error u, du/dx
10
-3
10
Función:
convergencia
cuadrática
-4
10
-5
10 -2
10
-1
0
10
10
h
Introducción al Método de los Elementos Finitos
54
Ejemplo: convergencia en energía de deformación
1
2 2
Los modelos tipo
“desplazamiento” convergen
“por abajo” a la solución
exacta: la solución de
elementos finitos es “más
rígida” que en la realidad.
Introducción al Método de los Elementos Finitos
55
Ejemplo: convergencia en energía (elementos lineales)
0.06
1
2 2 0.05
Udef
0.04
0.03
Los modelos tipo
“desplazamiento” convergen
“por abajo” a la solución
exacta: la solución de
elementos finitos es “más
rígida” que en la realidad.
0.02
0.01
0
0
10
20
30
40
50
60
70
n
Introducción al Método de los Elementos Finitos
56
(1.4) MEF para la ecuación de Poisson
Sea el problema:
u  f en 
(D) 
 u  0 sobre 
con
 2u  2u
u  2  2
x1 x2
Puede corresponder a muchos problemas físicos: conducción de calor, potencial
electromagnético, desplazamiento de una membrana fija en la frontera, etc.
Teorema de la divergencia:


con:
 A1 
A 
 A2 
Fórmula de Green:
div A dx   A  n ds

A A
div A  1  2
x1 x2


 n1 
n 
n2 
v w dx   v  w  n  ds   v w dx


(En teo.divergencia, hacer A  v w)
Introducción al Método de los Elementos Finitos
57
Formulación variacional
1. Si u satisface (D), luego es solución de:
Hallar u V
(V)
con
/ a(u, v)  ( f , v)  v V
a(u, v)   u v dx
(forma bilineal)
( f , v)   f v dx

v v
V  v : (i) v es continua en  ; (ii)
,
continuas a trozos en  ;
x1 x2

(iii) v  0 sobre 
D) Multiplicamos (D) por una v V arbitraria e integramos

( f , v)    v u dx    v  u  n  ds   u v dx  a(u, v)



0 ( v 0 en  )
a ( u ,v )
2. Como en el caso 1-D, si u suficientemente regular :
con
(M)
Hallar u V
( D)  (V )  ( M )
/ F (u)  F (v)  v V
Energía potencial total:
F (v ) 
1
a ( v, v )  ( f , v )
2
Introducción al Método de los Elementos Finitos
58
Subespacio de funciones lineales por tramos
1. Construiremos un subespacio de dimensión finita Vh  V consistente en
funciones lineales p/tramos.
2. Asumimos  poligonal. Sea una triangulación de  : Th  K1 , K 2 , K m con
triángulos no superpuestos K i /
 K K  K 
K
1
2
K  
m
K Th
K Th
y de forma que no haya ningún vértice de algún triángulo ubicado sobre el
lado de otro.
El parámetro de malla h  max diam( K ) mide la densidad de triangulación.
KTh
Introducción al Método de los Elementos Finitos
59
Subespacio de funciones lineales por tramos (cont)
3. Definimos
Vh  v : (i) v es continua en  ; (ii) v K es lineal para K  Th ;
(iii) v  0 sobre 
Notar Vh  V
4. Parámetros p/def. v Vh : valores v( Ni ) de v en los nodos Ni i  1,

M de Th
Excluimos los nodos de frontera pues v  0 sobre .
5. Def. funciones de base :  j (x) Vh
/
1 si i  j
 j ( Ni )   ij  
0 si i  j
i, j  1,
M
Soporte de  j (x)  x / x  K con nodo N j 
Introducción al Método de los Elementos Finitos
60
Introducción al Método de los Elementos Finitos
61
Subespacio de funciones lineales por tramos (cont)
6. Toda función v  Vh tiene luego la representación:
M
v ( x )   i i ( x )
i 1
x   , i  v ( N i )
7. Formulamos luego el siguiente MEF p/el problema de Poisson (D):
Hallar uh Vh
(Vh )
/ a(uh , v)  ( f , v)  v Vh
8. De manera similar al caso 1-D, este problema es equivalente a resolver el
sistema de ecuaciones:
A   b
donde ahora: a  a  ,      dx
ij
i
j
 i j

i  uh ( Ni )
bi  ( f , i )   f i dx

9. Nuevamente A es simétrica, definida positiva y no singular, con lo cual el
sistema de ecuaciones tiene solución única. Además, A es rala pues:
aij  0
si Ni , N j  al mismo triángulo
Introducción al Método de los Elementos Finitos
62
Noción de mejor aproximación
1. uh Vh es la mejor aproximación a la solución u en el sentido:
u  uh  u  v
con v
a  v, v 
1
2



v dx
2

1
 v Vh
2
2. En particular, si encontramos uh Vh tal que
u  uh  u  uh
podremos probar convergencia. Ejemplo, usando el interpolante
uh ( N j )  u( N j )
j  1, M
tendremos: u  uh  Ch con C>0 cte independiente de h, que depende de:
•
•
tamaño derivadas segundas de u
menor ángulo de los triángulos K  Th
3. Puede mostrarse luego:
u  uh 
  u  uh 
2
dx

1
2
 Ch 2
4. Así, si u es sufic. regular, el error y su gradiente tienden a cero con h  0
Introducción al Método de los Elementos Finitos
63
Cálculo matriz rigidez
1. Los elementos aij  a i ,  j  son calculadas por suma de contribuciones de
los distintos triángulos:
a i ,  j    i  j dx 

Notar que
a K i ,  j   0

K Th
sólo si
K
i  j dx 
 a  , 
K Th
K
i
j
Ni , N j  K
2. Sean Ni , N j y Nk los nodos del triángulo K. Luego, la matriz de rigidez del
elemento K:


AK





a K i , i 
a K  i ,  j 
a K  j ,  j 
sim.
a K i ,  k 

aK  j ,  k  

a K  k ,  k  

3. La matriz de rigidez global A es armada luego en 2 etapas:
1. Cálculo de las matrices de rigidez elementales
2. Sumatoria de las contribuciones de cada elemento (ensamble)
El vector de cargas b es armado de la misma manera.
Introducción al Método de los Elementos Finitos
64
Cálculo matriz rigidez elemental
1. Trabajamos con las restricciones de las funciones de base al triángulo K:
i
i
K
2.  i es una función lineal /
1 en el nodo i
 i ( x), j ( x), k ( x) base de fcs lineales en K
i  
0 en los nodos j, k
3. Si w( x) es una función lineal en K, tiene luego la representación:
w( x)  w( Ni ) i ( x)  w( N j ) j ( x)  w( Nk ) k ( x)
4. La matriz de rigidez elemental:
AK
 a  i , i  a  i , j  a  i , k  



a  j , j  a  j , k  


a  k , k  
 sim.


Introducción al Método de los Elementos Finitos
65
Ejemplo
 i ( x, y)  i  i x   i y
 i , i ,  i
 i ( xi , yi )  1
 i (x j , y j )  0
 i ( xk , yk )  0
/
Resolviendo:
i 
i 
x j yk  xk y j
y j  yk
2
2
; i 
xk  x j
2

1 xi
1 x
j

1 xk
yi   i  1 
   
y j   i   0 
yk    i  0 
1 xi
1
  det 1 x j
2
1 xk
yi 
y j 
yk 
(área triángulo)
 i   i 
 i   i 
x 
 x  
a  i , i     i  i dx   

dx        dx   i2   i2  


K
K 
K 
 i   i 
 i   i 
 y   y 
Luego:
a  i , j     i  j dx   i  j   i j  
K
Introducción al Método de los Elementos Finitos
66
Ejemplo
Matriz de rigidez elemental:
AK
 i2   i2 



 sim.

 

i
j
  i j 
2
j

2
j

  i  k   i k  

  j k   j k 
 k2   k2  
Ilustraremos el proceso de ensamble para el caso siguiente:
Elemento 1) i=1; j=2; k=3
11  1
1
h
1
 11  
h
11  
Sustituyendo:
 21  0  31  0
 21 
1
h
31  0
 21  0  31 
 2 1 1 1 
1
 
A1ξ1   1 1 0   2 
2
 1 0 1  3 
Introducción al Método de los Elementos Finitos
67
1
h
Ejemplo
Por similaridad:
 2 1 1  4 
1
 
A 3ξ 3   1 1 0  1 
2
 1 0 1   6 
 2 1 1 5 
1
 
A 5ξ 5   1 1 0   7 
2
 1 0 1  1 
Elemento 2) i=3; j=6; k=1
 32  1
1
h
1
 32 
h
32 
 62  0
 62  
1
h
 62  0
12  0
12  0
 12  
1
h
Luego:
 2 1 1 3 
1
 
A 2ξ 2   1 1 0   6 
2
 1 0 1  1 
 2 1 1 1 
1
 
A 4ξ 4   1 1 0   4 
2
 1 0 1  5 
Introducción al Método de los Elementos Finitos
 2 1 1  2 
1
 
A 6ξ 6   1 1 0  1 
2
 1 0 1   7 
68
Ensamble primer elemento
 2 1 1 1 
1
 
A1ξ1   1 1 0   2 
2
 1 0 1  3 




1 
Aξ

2 




2
1
1
1
1
0
1
0
1
Introducción al Método de los Elementos Finitos











1 
 
 2
3 
 
 4 
 
 5
 6 
 
 7
69
Ensamble segundo elemento
 2 1 1 3 
1
 
A 2ξ 2   1 1 0   6 
2
 1 0 1  1 




1 
Aξ

2 




2 1
1
1  1
1
1
0
1  1
0
1 2
1
1
1
0
Introducción al Método de los Elementos Finitos
0











1 
 
 2
3 
 
 4 
 
 5
 6 
 
 7
70
Introducción al Método de los Elementos Finitos
71
Ensamble tercer elemento
 2 1 1  4 
1
 
A 3ξ 3   1 1 0  1 
2
 1 0 1   6 




1 
Aξ

2 




2 11
1
1  1
1
1
0
1  1
0
1 2
1
00
1
1
00
1
2
1
1
11
Introducción al Método de los Elementos Finitos











1 
 
 2
3 
 
 4 
 
 5
 6 
 
 7
72
Ensamble cuarto elemento
 2 1 1 1 
1
 
A 4ξ 4   1 1 0   4 
2
 1 0 1  5 




1 
Aξ

2 




2 11 2
1
1  1 1  1
1
1
0
1  1
0
1 2
1
1
1  1
2 1
0
1
0
1
00
1
00
1
Introducción al Método de los Elementos Finitos
1
11











1 
 
 2
3 
 
 4 
 
 5
 6 
 
 7
73
Ensamble quinto elemento
 2 1 1 5 
1
 
A 5ξ 5   1 1 0   7 
2
 1 0 1  1 
 2 11 2 1

1


1  1
1 
1  1
Aξ

2 
1  1

00


0

1
1  1 1  1 1  1 0  0
1
0
0
1 2
1
1
2 1
0
0
1 2
1
Introducción al Método de los Elementos Finitos
1
11
1
0  1 
  
  2 
 3 
  
  4 
1  5 
  
  6 
1   7 
74
Ensamble sexto elemento
 2 1 1  2 
1
 
A 6ξ 6   1 1 0  1 
2
 1 0 1   7 
 2 11 2 11

1  1


1  1
1 
1  1
Aξ

2 
1  1

00


00

1  1 1  1 1  1 1  1 0  0
1 2
0
0
1 2
1
1
2 1
0
0
1 2
1
1
Introducción al Método de los Elementos Finitos
1
11
1
00

1 



1 


1  1 
75
1 
 
 2
3 
 
 4 
 
 5
 6 
 
 7
Sistema de ecuaciones global
1
1
1
1
0
0
4

0
0
0
0
0.5
 1 1.5
 1 0
1.5
0
0
0.5
0

0
1.5
0
0.5
0
 1 0
 1 0
0
0
1.5
0
0.5
Aξ 
0
0.5 0.5
0
0.5
0
0
 0 0.5
0
0
0.5
0
0.5






















1   b1 
  b 
 2  2
3  b3 
   
 4  b4 
5  b5 
  
 6  b6 
 7  b7 
   
   
   
   
   
Notar que la ecuación 1 está completa (no hay más elementos que contribuyan allí) :
41  2  3  4  5  b1
Puede mostrarse, de manera similar, si se interpola f de la misma forma que el campo u:
h2 1
b1   f  f 2  f 3  f 4  f 5  f 6 
f i    1i f dx
con:
i
6
La ecuación es idéntica a la que se obtiene por diferencias finitas. El término a derecha cambia.
Introducción al Método de los Elementos Finitos
76
Ejemplo
Sea la ecuación:
d 2u d 2u
 2  2  2 x  x  1  2 y  y  1
dx
dy
u ( x, 0)  u ( x,1)  u (0, y )  u (1, y)  0
Solución exacta:
Malla de 2n 2 elementos
finitos lineales
0  x, y  1
u ( x, y )  x  x  1 y  y  1
Numeración local elementos
inferior y superior
Introducción al Método de los Elementos Finitos
77
Vector de cargas elemental:
1) Triángulo “inferior”:
  x0  x0  1  y0  y0  1 x0  y0  1 1  4 

 h 
 
  ( x, y ) 2  x  x  1  y  y  1  d    
3h 2
6h
15 

1
K



b1 
  x x 1  y y 1

 


4 x0  2 y0  3 2  4 
 K 
0 0
0 0
K
b  b2      2 ( x, y ) 2  x  x  1  y  y  1  d     

 h 
2
3
h
12
h
15  
b K  
  
 3    ( x, y ) 2  x  x  1  y  y  1  d   

 3
   x0  x0  1  y0  y0  1  2 x0  4 y0  3  2  h 4 


 
3h 2
12h
15  
2) Triángulo “superior”:
  x0  x0  1  y0  y0  1 x0  y0  1 1  4 

 h 
 
  ( x, y ) 2  x  x  1  y  y  1  d    
3h 2
6h
15 

 
b1K    1

   x0  x0  1  y0  y0  1 4 x0  2 y0  3 2  4 
 K 
K
b  b2      2 ( x, y ) 2  x  x  1  y  y  1  d     

 h 
2
3
h
12
h
15  
b K  
  
3
    ( x, y ) 2  x  x  1  y  y  1  d   

 3
   x0  x0  1  y0  y0  1  2 x0  4 y0  3  2  h 4 


 
3h 2
12h
15  
Introducción al Método de los Elementos Finitos
78
Programa para calculo integrales término de derecha
clear
syms x y x0 y0 real
syms h n positive
%
%
%
h --> tamaño de los elementos (1/n)
n --> cantidad de elementos por lado del cuadrado
f = - 2*x*(x - 1) - 2*y*(y - 1);
h = 1/n;
f = - 2*x*(x - 1) - 2*y*(y - 1);
% 1) Calcula int (phi_i * f) dA para el elemento
% triangular "inferior" :
%
% (x0,y0) --> coordenadas nodo 1
%
% 2) Calcula int (phi_i * f) dA para el elemento
% triangular "superior" :
%
% (x0,y0) --> coordenadas nodo 1
%
phi1 = 1 -(x-x0)/h -(y-y0)/h;
phi2 = (x-x0)/h;
phi3 = (y-y0)/h;
phi1 = 1 + (x-x0)/h + (y-y0)/h;
phi2 = -(x-x0)/h;
phi3 = -(y-y0)/h;
f1x = int(phi1*f,x);
f1xint = simplify(subs(f1x,x,x0+y0+h-y) - subs(f1x,x,x0));
f1y = int(f1xint,y);
f1inf = simplify(subs(f1y,y,y0+h) - subs(f1y,y,y0));
f1x = int(phi1*f,x);
f1xint = simplify(subs(f1x,x,x0) - subs(f1x,x,x0+y0-h-y));
f1y = int(f1xint,y);
f1sup = simplify(subs(f1y,y,y0) - subs(f1y,y,y0-h));
f2x = int(phi2*f,x);
f2xint = simplify(subs(f2x,x,x0+y0+h-y) - subs(f2x,x,x0));
f2y = int(f2xint,y);
f2inf = simplify(subs(f2y,y,y0+h) - subs(f2y,y,y0));
f2x = int(phi2*f,x);
f2xint = simplify(subs(f2x,x,x0) - subs(f2x,x,x0+y0-h-y));
f2y = int(f2xint,y);
f2sup = simplify(subs(f2y,y,y0) - subs(f2y,y,y0-h));
f3x = int(phi3*f,x);
f3xint = simplify(subs(f3x,x,x0+y0+h-y) - subs(f3x,x,x0));
f3y = int(f3xint,y);
f3inf = simplify(subs(f3y,y,y0+h) - subs(f3y,y,y0));
f3x = int(phi3*f,x);
f3xint = simplify(subs(f3x,x,x0) - subs(f3x,x,x0+y0-h-y));
f3y = int(f3xint,y);
f3sup = simplify(subs(f3y,y,y0) - subs(f3y,y,y0-h));
Introducción al Método de los Elementos Finitos
79
Programa Matlab / Octave para cálculo solución elementos finitos
% lazo sobre los elementos
% trato primero los elementos inferiores, luego los superiores
for kx = 1:n
for ky = 1:n
% 1) Tratamiento elemento triangular "inferior"
%
% coordenadas nodo 1 del elemento k inferior
x0 = (kx-1)*1/n;
y0 = (ky-1)*1/n;
function [u] = ejemplobidimensional(n)
% function [u] = ejemplobidimensional(n)
%
% Elementos finitos lineales
% Malla cuadrada n*n
%
n = cantidad de elementos por lado
%
%
14
15
% 13+-----+-----+-----+16
%
| \ | \ | \ |
%
| \ | \ |
\|
% 9 +-----+-----+-----+12
%
| \ | \ | \ |
%
| \ | \ |
\|
% 5 +-----+-----+-----+8
%
| \ | \ | \ |
%
| \ | \ |
\|
%
+-----+-----+-----+
%
1
2
3
4
% matriz de rigidez elemental inferior
Ainf = ...
[2 -1 -1;
-1 1 0;
-1 0 1] / 2;
%vector de cargas elemental inferior
binf = [...
-((x0^2-x0+y0^2-y0)/3*n^2 + (x0+y0-1)/6*n
+ 1/15)/n^4;
-((x0^2-x0+y0^2-y0)/3*n^2 + (4*x0+2*y0-3)/12*n + 2/15)/n^4;
-((x0^2-x0+y0^2-y0)/3*n^2 + (2*x0+4*y0-3)/12*n + 2/15)/n^4];
% cantidad de gdl total
nn = (n+1)*(n+1);
% cantidad de elementos total
nel = 2*n*n;
%vector de localizacion
locel = [(ky-1)*(n+1)+kx (ky-1)*(n+1)+kx+1 (ky)*(n+1)+kx];
% inicializacion de matriz de rigidez y vector de cargas globales
A = zeros(nn,nn);
b = zeros(nn,1);
%ensamble de matriz de rigidez
for i=1:3
for j=1:3
A(locel(i),locel(j)) = A(locel(i),locel(j)) + Ainf(i,j);
end
end
%ensamble de vector de cargas
for i=1:3
b(locel(i)) = b(locel(i)) + binf(i);
end
Introducción al Método de los Elementos Finitos
80
Programa Matlab / Octave para cálculo solución elementos finitos (cont)
% 2) Tratamiento elemento triangular "superior"
%
%coordenadas nodo 1 del elemento superior
x0 = kx*1/n;
y0 = ky*1/n;
% matriz de rigidez elemental superior
Asup = ...
[2 -1 -1;
-1 1 0;
-1 0 1] / 2;
% Lista de nodos fijos (nodos donde u=0)
fix = [ 1:n+1 ...
n+2:n+1:(n+1)*(n-1)+1 ...
2*(n+1):n+1:(n+1)*(n) ...
n*(n+1)+1:(n+1)*(n+1)];
% solucion sistema de ecuaciones
%
% Modificacion sistema ecuaciones para
% introducir condiciones de borde homogeneas
%vector de cargas elemental superior
bsup = [...
-((x0^2-x0+y0^2-y0)/3*n^2 - (x0+y0-1)/6*n
+ 1/15)/n^4;
-((x0^2-x0+y0^2-y0)/3*n^2 - (4*x0+2*y0-3)/12*n + 2/15)/n^4;
-((x0^2-x0+y0^2-y0)/3*n^2 - (2*x0+4*y0-3)/12*n + 2/15)/n^4];
b(fix)
= zeros(size(fix,1));
A(:,fix) = zeros(size(A,1),length(fix));
A(fix,:) = zeros(length(fix),size(A,1));
A(fix,fix) = diag(ones(length(fix),1));
u = A \ b;
%vector de localizacion
locel = [(ky)*(n+1)+kx+1 (ky)*(n+1)+kx (ky-1)*(n+1)+kx+1];
%ensamble de matriz de rigidez
for i=1:3
for j=1:3
A(locel(i),locel(j)) = A(locel(i),locel(j)) + Asup(i,j);
end
end
%ensamble de vector de cargas
for i=1:3
b(locel(i)) = b(locel(i)) + bsup(i);
end
end
end
Introducción al Método de los Elementos Finitos
81
Introducción de condiciones de borde homogéneas
b(fix)
= zeros(size(fix,1));
A(:,fix) = zeros(size(A,1),length(fix));
A(fix,:) = zeros(length(fix),size(A,1));
A(fix,fix) = diag(ones(length(fix),1));
u = A \ b;
Ej: fix = [3, 5]
 a11
a
 21
A   a31

 a41
 a51
 b1 
b 
 2
b   b3 
 
b4 
b5 
a12
a13
a14
a22
a23
a24
a32
a33
a34
a42
a43
a44
a52
a53
a54
a15 
a25 
a35 

a45 
a55 
 a11
a
 21
A 0

 a41
 0
a12
0 a14
a22
0 a24
0
a42
0
1
0
0 a44
0
0
0
0 
0

0
1 
 b1 
b 
 2
b0
 
b4 
 0 
Introducción al Método de los Elementos Finitos
82
Introducción al Método de los Elementos Finitos
83
Introducción al Método de los Elementos Finitos
84
-3
x 10
3
0.04
2
u
Error
0.06
0.02
0
1
0
1
1
0.5
y
1
0.5
0.5
0 0
1
n=4
x
y
0.5
0 0
x
-4
0.08
8
0.06
6
Error
u
x 10
0.04
0.02
4
2
0
1
0
1
1
0.5
y
0.5
0 0
x
1
0.5
n=8
y
Introducción al Método de los Elementos Finitos
0.5
0 0
x
85
-4
x 10
0.08
2
Error
u
0.06
0.04
1
0.02
0
1
0
1
1
0.5
y
1
0.5
0.5
0 0
n=16
x
y
0.5
0 0
x
-5
x 10
6
0.08
Error
u
0.06
0.04
0.02
4
2
0
1
0
1
1
1
0.5
y
0.5
0 0
x
0.5
n=32
y
Introducción al Método de los Elementos Finitos
0.5
0 0
x
86
-5
x 10
0.08
1.5
Error
0.04
0.02
0
1
y
0.5
0 0
x
1
0.5
0
1
1
0.5
1
0.5
n=64
0.5
0 0
y
x
-2
10
-3
10
Error u
u
0.06
Convergencia cuadrática
de la función incógnita a
la solución exacta
-4
10
-5
10 -2
10
-1
10
0
10
h
Introducción al Método de los Elementos Finitos
87
0.064
Los modelos tipo
“desplazamiento” convergen
“por abajo” a la solución
exacta: la solución de
elementos finitos es “más
rígida” que en la realidad.
0.0635
0.063
0.0625
u
0.062
0.0615
0.061
0.0605
0.06
0.0595
0.059
0
10
20
30
40
50
60
70
n
Introducción al Método de los Elementos Finitos
88
Tratamiento condiciones de borde generales (Cauchy)
Sea el problema:
en 
 u  f
u  u
sobre 
(D) 
u
u  n   sobre 


f , u , y  funciones dato definidas sobre ,  , y  .
u

Sea el espacio de “funciones de prueba”
V  v : (i) v es continua en  ; (ii)
v v
,
continuas a trozos en  ; (iii) v  u sobre 
u
x1 x2

y el espacio de “funciones de peso”
W  w : (i) w es continua en  ; (ii)
w w
,
continuas a trozos en  ; (iii) w  0 sobre 
u
x1 x2
Luego, el problema (D) es equivalente al problema variacional:
Hallar u V
(V)
a(u, w)   u w dx

/ a(u, w)  ( f , w)   , w
( f , w)   f w dx

Introducción al Método de los Elementos Finitos

 w W
, w

   w dx

89

Introducción al Método de los Elementos Finitos
90
Introducción al Método de los Elementos Finitos
91
Método de elementos finitos (c/cond borde de Cauchy)
1. Sea una triangulación Th  K1 , K 2 , K m de  .
2. Construiremos dos subespacios de dimensión finita Vh  V y Wh  W
consistentes en funciones lineales p/tramos:
Vh  v : (i) v es continua en  ; (ii) v K es lineal para K  Th ; (iii) v  u sobre 
Wh  w : (i) w es continua en  ; (ii) w K
3. Sean
i  1, M
 nodos del interior de  o de la frontera 
i  M  1, N
 nodos de la frontera 
u

4. Toda función v  Vh tiene la representación
M
v(x)   i i (x) 
i 1
i  v( Ni ),
N

i  M 1

u
es lineal para K  Th ; (iii) w  0 sobre 
u
 i i ( x )
x
i  uh ( Ni )  u ( Ni )
Introducción al Método de los Elementos Finitos
92

Introducción al Método de los Elementos Finitos
93
Método de elementos finitos (c/cond borde de Cauchy - cont)
 j (x) Vh /
Funciones de base :
1 si i  j
 j ( Ni )   ij  
0 si i  j
i, j  1,
N
Soporte de  j (x)  x / x  Th con nodo N j 
5.
Formulamos luego el siguiente MEF p/el problema (D):
6.
/ a(uh , w)  ( f , w)   , w
Hallar uh Vh
(Vh )
 w Wh

Este problema es equivalente a resolver el sistema de ecuaciones:
A 
aij  a i ,  j    i  j dx
i, j  1,

bi  ( f , i )   , i


 b
 a  ,     
N
j  M 1
i
j
j

i  uh ( Ni )
M
f  i dx     i dx 

Introducción al Método de los Elementos Finitos
N

j  M 1

i  j dx  j
94
Introducción al Método de los Elementos Finitos
95
Tratamiento sistemático términos de carga
• El cálculo de las integrales para el término de derecha, depende en principio
de las expresiones de f y 
• Para sistematizar el cálculo podemos interpolar los términos de carga usando
las mismas funciones de interpolación que para el campo incógnita:
N
f ( x)
f h ( x )   f i i ( x )
x
donde
i 1
fi  f h ( Ni )  f ( Ni ) i  1,
• los valores nodales (dato)
• la sumatoria se hace sobre todos los nodos de la triangulación
• Luego, el término de carga de volumen resulta:
( f , i )   i f dx  i j f j dx   i j dx f j  M ij f j

•
•

N

i  1,
M;
j  1,
El término de frontera  recibe un tratamiento similar
Una simplificación mayor consiste en decir directamente (MatFEM):


( f , i )  f i  f ( N i )
i  1, N ;   área triángulo
3
3
Introducción al Método de los Elementos Finitos
96
N
Cálculo matriz de masas por mapeo
 i ( ,  )   i  i   i
 1  1    

  2  
  
 3
3
x   xi  i ( ,  )  1      x1   x2   x3
i 1
3
y   yi  i ( ,  )  1      y1   y2   y3
i 1

K
x
 x2  x1

y
 y2  y1

f ( x, y) dx   ˆ f  x  ,   , y  ,    J dη
K
x
 x3  x1

y
 y3  y1

x

J 
y

x
x2  x1


y2  y1
y

Introducción al Método de los Elementos Finitos
x3  x1
y3  y1
 2
97
Cálculo matriz de masas por mapeo (cont)
1     


ψ  x  ,   , y  ,       
  


M ij   i , j     i ( x, y)  j ( x, y) dx   ˆ  i ( ,  )  j ( ,  ) J dη
K
2 1 1

M  1 2 1 
12
1 1 2 
K
( área triángulo)
Introducción al Método de los Elementos Finitos
98
Ejemplo
Tratamos nuevamente
la ecuación:
Solución exacta:
Malla de 2n 2 elementos
finitos lineales
d 2u d 2u
 2  2  2 x  x  1  2 y  y  1
dx
dy
u ( x, 0)  u ( x,1)  u (0, y )  u (1, y)  0
0  x, y  1
u ( x, y )  x  x  1 y  y  1
Numeración local elementos
inferior y superior
Introducción al Método de los Elementos Finitos
99
0.06
ufcons
0.04
0.02
0.04
0.02
0
1
0
1
1
1
0.5
y
Solución con
vector de cargas
“exacto”
0.5
0.5
0 0
y
x
0.5
0 0
x
Solución con
vector de cargas
“consistentes”
0.08
uflump
ufex
0.06
0.06
0.04
0.02
0
1
1
0.5
0.5
0 0
y al Método
Introducción
de los Elementos
Finitos
x
Solución con
vector de cargas
“concentradas”
100
-3
x 10
-3
x 10
6
Error ufcons
Error ufex
3
2
1
4
2
0
1
0
1
1
1
0.5
0 0
x
0.5
0 0
y
-17
x 10
3
Error uflump
y
Error con vector
de cargas
“exacto”
0.5
0.5
2
x
Error con vector
de cargas
“consistentes”
1
0
-1
1
1
0.5
0.5
0 0
x
Introducción al Método de los Elementos
Finitos
y
Error con vector
de cargas
“concentradas”
101
Error con vector de cargas
“consistentes”
0
10
Error con vector de cargas
“exacto”
-5
Error u
10
-10
10
-15
10
Error con vector de
cargas “concentradas”
-20
10
-2
10
-1
10
0
10
h
En este caso se observa “superconvergencia” para el caso de
cargas concentradas (no es siempre así, depende del caso)
Introducción al Método de los Elementos Finitos
102
Ejemplo
Tratamos
la ecuación:
d 2u d 2u
 2  2  2 2 sin  x  sin  y 
dx
dy
u ( x, 0)  u ( x,1)  u (0, y )  u (1, y )  0
Solución exacta:
Malla de 2n 2 elementos
finitos lineales
0  x, y  1
u ( x, y )  sin  x  sin  y 
Numeración local elementos
inferior y superior
Introducción al Método de los Elementos Finitos
103
1
ufcons
0.5
0.5
0
1
0
1
1
1
0.5
y
Solución con
vector de cargas
“exacto”
0.5
0.5
0.5
0 0
0 0
y
x
1.5
uflump
ufex
1
1
x
Solución con
vector de cargas
“consistentes”
0.5
0
1
1
0.5
0.5
0 0
x
Introducción al Método de los Elementos Finitos
y
Solución con
vector de cargas
“concentradas”
104
0.2
Error ufcons
0.04
0.02
0.15
0.1
0.05
0
1
0
1
1
1
0.5
y
Error con vector
de cargas
“exacto”
0.5
0.5
0 0
y
x
0.02
Error uflump
Error ufex
0.06
0
0.5
0 0
x
Error con vector
de cargas
“consistentes”
-0.02
-0.04
-0.06
1
0.5
0.5
0 0
y al Método
Introducción
de los Elementos
Finitos
x
Error con vector
de cargas
1
“concentradas”
105
0
10
Error con vector de cargas
“consistentes”
Abs(Error u)
-1
10
Error con vector de cargas
“exacto”
-2
10
Error con vector de
cargas “concentradas”
-3
10
-4
10 -2
10
-1
10
0
10
h
Introducción al Método de los Elementos Finitos
106
Solucion punto central
1.1
1.05
Solucion con vector de
cargas “concentradas”
1
Solucion con vector de cargas
“exacto”
0.95
0.9
0.85
0
Solucion con vector de cargas
“consistentes”
20
40
60
80
n
La solución con cargas concentradas pierde la “monotonía”
(solución “desde abajo” de los modelos tipo desplazamiento)
Introducción al Método de los Elementos Finitos
107