Capítulo 2 Probabilidades

Capítulo 2
Probabilidades
2.1
Definición y propiedades
Al realizar un experimento aleatorio nuestro interés es obtener información sobre las leyes que rigen
el fenómeno sometido a estudio. El punto de partida para el estudio de un experimento aleatorio es
conocer el espacio muestral, Ω, o conjunto de todos los resultados posibles.
Ejemplo 15 Consideremos el siguiente experimento aleatorio: se tiran tres dados de colores rojo,
azul y blanco. Podemos presentar nuestro espacio muestral de la forma:
Ω = {(1, 1, 1), (1, 1, 2), . . . , (3, 2, 6), (4, 1, 1), . . . , (6, 6, 6)}
donde (a, b, c) quiere decir que el resultado del dado rojo ha sido a, b el del azul, y c el del blanco.
Es directo comprobar que hay un total de 63 = 216 resultados posibles.
El estudio sobre el experimento lo realizaremos midiendo el tamaño relativo de subconjuntos del
espacio muestral. La siguiente es una definición poco rigurosa matemáticamente.
Definición 2.1.1. Se llama suceso aleatorio a “cualquier” subconjunto del espacio muestral.
En particular el vacío y el total son sucesos aleatorios, y los denominaremos suceso imposible y
suceso seguro, respectivamente.
Ejemplo 16 En el experimento aleatorio del ejemplo anterior determinar los siguientes sucesos:
A1
A2
A3
A4
A5
A6
=
=
=
=
=
=
en el dado azul siempre se obtiene un 5, y en el rojo un 2
la suma de los dados rojo y azul es siempre 3
los dados azul y rojo difieren en 2
la suma de los tres dados es menor que 20
la suma de los tres dados es exactamente 2
el resultado del blanco es la suma de los otros dos .
29
30
CAPÍTULO 2. PROBABILIDADES
La respuesta, con paciencia y buen orden, es inmediata:
A1 = {(2, 5, 1), (2, 5, 2), (2, 5, 3), (2, 5, 4), (2, 5, 5), (2, 5, 6)} ;
A2 = {(1, 2, 1), (1, 2, 2), (1, 2, 3), (1, 2, 4), (1, 2, 5), (1, 2, 6),
(2, 1, 1), (2, 1, 2), (2, 1, 3), (2, 1, 4), (2, 1, 5), (2, 1, 6)} ;
A3 = {(1, 3, 1), . . . , (1, 3, 6), (2, 4, 1), . . . , (2, 4, 6),
(3, 5, 1), . . . , (3, 5, 6), (3, 1, 1), . . . , (3, 1, 6),
(4, 6, 1), . . . , (4, 6, 6), (4, 2, 1), . . . , (4, 2, 6),
(5, 3, 1), . . . , (5, 3, 6), (6, 4, 1), . . . , (6, 4, 6)} ;
A4 = Ω
y
A5 = ∅ ;
A6 = {(1, 1, 2), (1, 2, 3), (2, 1, 3), (1, 3, 4), (2, 2, 4), (3, 1, 4),
(1, 4, 5), . . . , (4, 1, 5), (1, 5, 6), . . . , (5, 1, 6)} .
Es directo comprobar, además, que los cardinales de los sucesos son:
|A1 | = 6 ; |A2 | = 12 ; |A3 | = 48 ;
|A4 | = 216 ; |A5 | = 0 ; |A6 | = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 .
¿Por qué se ha medido así el último?
Al ser los sucesos aleatorios subconjuntos del espacio muestral, es natural realizar con ellos las
operaciones habituales de conjuntos.
Definición 2.1.2. Se llama suceso contrario de un suceso A, y lo denotaremos Ac , al suceso
que ocurre cuando no ocurre A.
Si A y B son dos sucesos de un mismo experimento aleatorio, el suceso unión, A ∪ B, es aquél
que ocurre cuando ocurre alguno de los dos, A o B. El suceso intersección, A ∩ B, ocurre cuando
ocurren ambos a la vez, A y B.
Dos sucesos, A y B, se dicen incompatibles si no pueden ocurrir a la vez en una misma
realización del experimento aleatorio, es decir A ∩ B = ∅.
Es claro que ∅ y Ω son sucesos contrarios e incompatibles, y que cualquier suceso es incompatible
con su contrario.
Ejemplo 17 Calcular los sucesos contrarios de los sucesos del ejemplo anterior. Describir los sucesos
A1 ∪ A2 , A2 ∩ A6 y A3 ∩ A6 . Ignorando los sucesos seguro e imposible, ¿hay parejas de sucesos
incompatibles que no sean contrarios?
Sean
B1 = {(a, b, c) : a = 2} y B2 = {(a, b, c) : b = 5} ,
entonces
A1 = B1 ∩ B2 = {(a, b, c) : a = 2 y b = 5} ,
2.1. DEFINICIÓN Y PROPIEDADES
31
y así:
Ac1 = (B1 ∩ B2 )c = B1c ∪ B2c = {(a, b, c) : a 6= 2 o bien b 6= 5} .
A2 = {(a, b, c) : a + b = 3}
y así:
Ac2 = {(a, b, c) : a + b 6= 3} .
A3 = {(a, b, c) : |a − b| = 2}
y así:
Ac3 = {(a, b, c) : |a − b| 6= 2} .
Es evidente que: Ac4 = ∅
Finalmente: A6 = {(a, b, c) : c = a + b}
y
de donde:
Ac5 = Ω .
Ac6 = {(a, b, c) : a + b − c 6= 0} .
Respecto a las otras operaciones, tenemos:
A1 ∪ A2 = {(2, 5, 1), (2, 5, 2), (2, 5, 3), (2, 5, 4), (2, 5, 5), (2, 5, 6),
(1, 2, 1), (1, 2, 2), (1, 2, 3), (1, 2, 4), (1, 2, 5), (1, 2, 6),
(2, 1, 1), (2, 1, 2), (2, 1, 3), (2, 1, 4), (2, 1, 5), (2, 1, 6)} ;
A2 ∩ A6 = {(1, 2, 3), (2, 1, 3)} ;
A3 ∩ A6 = {(1, 3, 4), (2, 4, 6), (3, 1, 4), (4, 2, 6)} .
La respuesta a la última pregunta es afirmativa. En efecto:
A1 ∩ A2 = ∅
en otras palabras, son incompatibles, pero Ac1 6= A2 , y por tanto no son contrarios. Es claro que si
al tirar los tres dados el rojo ha sido un 2 y el azul un 5, su suma es 7, y por tanto no ocurre el
suceso A2 . Recíprocamente, si la suma de los dados rojo y azul ha sido 3, es imposible que suceda A1 .
Aprovechamos este momento para indicar que en ocasiones es más fácil contar los elementos de
un suceso restando al total el de su contrario. En efecto:
|Ac1 | = 216 − 6 = 210 ;
|Ac3 | = 216 − 48 = 168 ;
|Ac2 | = 216 − 12 = 204 ;
|Ac6 | = 216 − 15 = 201 ,
resultados triviales de las meras definiciones. Obsérvese también que, en todos los casos, se puede
comprobar la fórmula para el cardinal de la unión de dos conjuntos finitos, a saber:
|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| .
Así, por ejemplo:
|A1 ∪ A2 | = |A1 | + |A2 | − |A1 ∩ A2 | = 6 + 12 − 0 = 18 ,
|A2 ∪ A6 | = |A2 | + |A6 | − |A2 ∩ A6 | = 12 + 15 − 2 = 25 ,
|A3 ∪ A6 | = |A3 | + |A6 | − |A3 ∩ A6 | = 48 + 15 − 4 = 59 ,
lo que nos permitirá calcular cardinales de sucesos conociendo otros más sencillos.
Siguiendo esta última idea, introducimos una última definición.
32
CAPÍTULO 2. PROBABILIDADES
Definición 2.1.3. Una familia de sucesos A1 , A2 , . . . , de un espacio muestral Ω, se dice mutuamente excluyente si son incompatibles dos a dos, es decir si
Ai ∩ Aj = ∅,
siempre que i 6= j .
De especial interés son las familias mutuamente excluyentes que a su vez recogen todos los posibles
casos, es decir, tales que:
Ω = A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ Ak ∪ . . . .
Diremos en este caso que tenemos una familia completa de sucesos.
Ejemplo 18 Siguiendo con el mismo experimento aleatorio, obsérvese que si
Ck−1 = {(a, b, c) : a + b = k}
entonces Ω = C1 ∪ C2 ∪ · · · ∪ C11 , siendo además incompatibles dos a dos. Tenemos así hecha una
familia completa de sucesos, o en otras palabras, una partición (disjunta) del espacio muestral, en 11
subconjuntos que hemos definido respecto a la característica: “suma de los dados rojo y azul”.
Si de un suceso A conociéramos los cardinales de las 11 intersecciones A ∩ Cj , digamos:
aj = |A ∩ Cj |,
es claro que |A| =
11
P
j = 1, . . . , 11
aj .
j=1
Aunque sea quizá más sencillo de otra manera, tratemos de calcular por este método el cardinal
del suceso A = {(a, b, c) : a − b = 1}. En las intersecciones A ∩ Ck−1 aparecerán los resultados (a, b, c)
tales que se verifique el siguiente sistema lineal:
½
½
2a = k + 1
a−b = 1
que equivale al sistema:
a+b = k
2b = k − 1
Este sistema tiene soluciones: a = k+1
y b = k−1
; que determinarán resultados posibles sólo si k es
2
2
impar y estrictamente mayor que 1 (¿por qué?). Así, tenemos los siguientes cardinales:
|A ∩ C2 |
|A ∩ C4 |
|A ∩ C6 |
|A ∩ C8 |
|A ∩ C10 |
=
=
=
=
=
|{(2, 1, c)}| = 6
|{(3, 2, c)}| = 6
|{(4, 3, c)}| = 6
|{(5, 4, c)}| = 6
|{(6, 5, c)}| = 6
y |A ∩ Cj | = 0 en cualquier otro caso. En definitiva |A| = 30. Con la misma idea determínese el
cardinal del suceso: B = {(a, b, c) : 3 a − 2 b = 1}.
Se trata ahora de resolver el sistema
½
½
3a − 2b = 1
5 a = 2k + 1
o su equivalente:
a+b = k
5 b = 3k − 1
2.1. DEFINICIÓN Y PROPIEDADES
33
y en nuestro contexto (k = 2, . . . , 12), las únicas soluciones son (1, 1, c) y (3, 4, c), para k = 2 y 7
respectivamente; por lo tanto:
|B| = |{(a, b, c) : 3 a − 2 b = 1}| = 6 + 6 = 12 .
De hecho, conocemos B:
B = {(1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 1, 3), (1, 1, 4), (1, 1, 5), (1, 1, 6),
(3, 4, 1), (3, 4, 2), (3, 4, 3), (3, 4, 4), (3, 4, 5), (3, 4, 6)} .
2.1.1
Función de probabilidad
Pasemos a definir buenas maneras de medir el tamaño relativo de cada suceso dentro del espacio
muestral.
Definición 2.1.4. Dado un espacio muestral Ω (no vacío), se define el álgebra de sucesos A
como el conjunto formado por todos los sucesos de Ω.
Obsérvese que, en particular, ∅, Ω ∈ A; además, si A ∈ A también Ac ∈ A, y si A, B ∈ A,
también lo están A ∪ B y A ∩ B. Si escribimos A ∈ A, leeremos “A es un suceso en Ω”.
Definición 2.1.5. Un modelo o función de probabilidad en un espacio muestral Ω, es una
función P : A −→ [0, 1] que a cada suceso A ∈ A le asocia un número entre 0 y 1, y que satisface
las propiedades:
1. P (Ω) = 1;
2. si A1 , A2 , . . . , Ak son sucesos incompatibles, entonces
P
µ[
k
¶
Ak
=
k
X
i=1
P (Ak ) .
i=1
Se tienen las siguientes propiedades de las funciones de probabilidad:
1. Para cualquier A ∈ A, P (Ac ) = 1 − P (A). En particular P (∅) = 0.
2. Para cualesquiera A, B ∈ A: P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B).
En particular P (A ∪ B) ≤ P (A) + P (B).
3. Para cualesquiera A, B ∈ A: si B ⊂ A entonces P (B) ≤ P (A).
4. Para cualquier colección finita A1 , A2 , . . . , An ∈ A:
µ[
¶
n
n
X
X
X
P
Ai
=
P (Ai ) −
P (Ai ∩ Aj ) +
P (Ai ∩ Aj ∩ Ak )
i=1
i=1
i<j
n+1
− · · · + (−1)
i<j<k
P
µ\
n
i=1
¶
Ai .
34
CAPÍTULO 2. PROBABILIDADES
Ejemplo 19 Sigamos con el experimento aleatorio de tirar tres dados de colores. El modelo de
probabilidad “natural” es el que a cada suceso elemental, {(a, b, c)}, le asigna la misma probabilidad.
Decimos en este caso que son equiprobables. ¿Cuál es la función de probabilidad así determinada?
Es fácil ver que todo suceso A de este experimento es un conjunto finito.
Si A = {v1 , . . . , vk } ⊂ Ω, es decir |A| = k, puesto que todos los sucesos elementales son equiprobables, y por supuesto son incompatibles, la propiedad 2 que debe verificar la función de probabilidad
obliga a que:
k
X
P (A) = P ({v1 } ∪ . . . {vk }) =
P ({vi }) = k · p
i=1
donde p es la probabilidad de cada suceso elemental (que es la misma para todos). ¿Cuál es esta
probabilidad p común a todos los sucesos elementales? La propiedad 1 nos da la solución:
P (Ω) = 1 = 216 · p
por lo dicho arriba
luego p = 1/216. En otras palabras:
P (A) =
|A|
,
|Ω|
lo que nos da una fórmula general de un modelo de probabilidad en un espacio muestral Ω discreto,
cuando suponemos que todos los sucesos elementales son equiprobables. Esta fórmula no es más que
la conocida regla de Laplace:
casos favorables
P (A) =
.
casos totales
Pero cuidado, podemos construir otros modelos de probabilidad distintos. Basta asignarles distintas probabilidades a los sucesos elementales, aunque claro ciñéndonos a la propiedad 1: P (Ω) = 1.
Supongamos que el dado blanco está trucado y la probabilidad de obtener 6 es el doble que la
de obtener cualquier otro resultado. Los otros dados son perfectos, por lo que asignaremos a cada
resultado la misma probabilidad.
Es fácil ver que, en este caso:
½
λ , si c = 1, 2, 3, 4, 5
P ({(a, b, c)}) =
2 λ, si c = 6 .
Para determinar el valor de λ, obsérvese que:
1 = P (Ω) = 5(λ · 36) + 2λ · 36 = 180 λ + 72 λ = 252 λ ,
pues cada posible valor fijo de c ocurre en 36 elementos de Ω. Así, λ = 1/252.
Calculemos las probabilidades de los sucesos A1 , A2 , A3 y A6 del Ejemplo 16, utilizando ambos
modelos de probabilidad:
P1 ({(a, b, c)}) =
P2 ({(a, b, c)}) =
1
216
(
1
,
252
1
,
126
si c = 1, 2, 3, 4, 5
si c = 6 .
2.2. PROBABILIDAD CONDICIONADA
35
A1 = {(2, 5, 1), (2, 5, 2), (2, 5, 3), (2, 5, 4), (2, 5, 5), (2, 5, 6)}
6
1
P1 (A1 ) =
=
216
36
1
1
7
1
P2 (A1 ) = 5
+
=
=
;
252 126
252
36
A2 = {(1, 2, 1), (1, 2, 2), (1, 2, 3), (1, 2, 4), (1, 2, 5), (1, 2, 6),
(2, 1, 1), (2, 1, 2), (2, 1, 3), (2, 1, 4), (2, 1, 5), (2, 1, 6)}
12
1
P1 (A2 ) =
=
216
18
1
1
14
1
P2 (A2 ) = 10
+2
=
=
;
252
126
252
18
A3 = {(1, 3, 1), . . . , (1, 3, 6), (2, 4, 1), . . . , (2, 4, 6),
(3, 5, 1), . . . , (3, 5, 6), (3, 1, 1), . . . , (3, 1, 6),
(4, 6, 1), . . . , (4, 6, 6), (4, 2, 1), . . . , (4, 2, 6),
(5, 3, 1), . . . , (5, 3, 6), (6, 4, 1), . . . , (6, 4, 6)}
2
48
=
P1 (A3 ) =
216
9
1
1
56
2
P2 (A3 ) = 40
+8
=
= ;
252
126
252
9
A6 = {(1, 1, 2), (1, 2, 3), (2, 1, 3), (1, 3, 4), (2, 2, 4), (3, 1, 4),
(1, 4, 5), . . . , (4, 1, 5), (1, 5, 6), . . . , (5, 1, 6)}
15
5
P1 (A6 ) =
=
216
72
1
1
20
5
P2 (A6 ) = (1 + 2 + 3 + 4)
+5
=
=
.
252
126
252
63
¿Sabrías explicar las coincidencias y diferencias que hemos obtenido?
2.2
Probabilidad condicionada
Hay ocasiones en que al realizar un experimento aleatorio nos interesará saber si el hecho de que
ocurra un suceso A aporta alguna información sobre la ocurrencia de otro suceso B. Esta cuestión
se recoge en el concepto de probabilidad condicionada.
Definición 2.2.1. Dado un espacio muestral Ω, un modelo de probabilidad, P , definido en su álgebra de sucesos A, y un suceso A ∈ A con P (A) > 0, llamaremos probabilidad de B ∈ A
condicionada por A, y la denotaremos P (B|A), al cociente:
P (B|A) =
P (A ∩ B)
.
P (A)
Siempre que hablemos de probabilidades condicionadas por un suceso A se entenderá que P (A) > 0.
Definición 2.2.2. Diremos que dos sucesos A y B son independientes si
P (A ∩ B) = P (A) · P (B) .
36
CAPÍTULO 2. PROBABILIDADES
Ejercicio 1 Demostrar que: “A y B son independientes” ⇐⇒ “P (B|A) = P (B)”.
Ejemplo 20 Siguiendo con nuestro experimento aleatorio, determinar la independencia de los sucesos
A = {(a, b, c) : a + b = 5}
B = {(a, b, c) : c = 6} ;
considerando las dos funciones de probabilidad del Ejemplo 19:
P1 ({(a, b, c)}) =
P2 ({(a, b, c)}) =
1
216
(
1
,
252
1
,
126
si c = 1, 2, 3, 4, 5
si c = 6 .
Para la primera función de probabilidad tenemos:
24
1
=
216
9
36
1
P1 (B) =
=
216
6
4
1
11
P1 (A ∩ B) =
=
=
= P1 (A) · P1 (B)
216
54
96
P1 (A) =
luego son independientes.
Para la segunda función de probabilidad, tenemos:
20
4
1
+
=
252 126
9
36
2
P2 (B) =
=
126
7
4
2
12
P2 (A ∩ B) =
=
=
= P2 (A) · P2 (B)
126
63
97
P2 (A) =
luego son independientes.
¿Serán siempre independientes estos dos sucesos? No, pues la independencia es un concepto que
depende de la función de probabilidad. Consideremos la función de probabilidad
½
µ
si c 6= a + b
P3 ({(a, b, c)}) =
2µ si c = a + b .
1
Al imponer P3 (Ω) = 1 resulta que µ = 231
, puesto que hay 15 sucesos elementales en que c = a + b,
y 216 − 15 = 201 en que c 6= a + b. Así este modelo de probabilidad viene determinado por:
(
1
si c 6= a + b
231
P3 ({(a, b, c)}) =
2
si c = a + b .
231
2.3. CÁLCULO DE PROBABILIDADES
37
Entonces:
2
1
28
+ 20
=
231
231
231
1
41
2
P3 (B) = 5
+ 31
=
231
231
231
1
4
41 · 28
41 · 7 4
P3 (A ∩ B) = 4
=
6= P3 (A) · P3 (B) =
=
;
231
231
231 · 231
231 231
P3 (A) = 4
por lo que para esta función de probabilidad A y B no son independientes.
Podemos, finalmente, comprobar la equivalencia de la definición de independencia con el concepto
de probabilidad condicionada. En efecto:
2.3
P1 (B|A) =
4
216
1
9
36
1
=
= = P1 (B) ;
216
9
P3 (B|A) =
4
231
28
231
=
P2 (B|A) =
4
216
1
9
=
36
1
= = P2 (B) ;
216
9
1
41
6=
= P3 (B) .
7
231
Cálculo de probabilidades
Vamos a dar, por último, tres reglas útiles para el cálculo de probabilidades.
Regla de la multiplicación
µ\
¶
µ
n
n−1
\ ¶
P
Ai = P (A1 )P (A2 |A1 )P (A3 |A1 ∩ A2 ) · · · · · P An |
Ai .
i=1
i=1
Por supuesto se consideran no nulas todas las probabilidades de los sucesos a los que condicionamos.
La comprobación de esta regla es sencilla:
¡ Tn basta
¢ desarrollar el segundo miembro y ver que se van
cancelando todos los términos salvo P
i=1 Ai . Por ejemplo, para 4 sucesos A1 , A2 , A3 y A4 , con
P (A1 ), P (A1 ∩ A2 ) y P (A1 ∩ A2 ∩ A3 ) no nulas:
P (A2 |A1 ) =
=⇒ P (A1 )P (A2 |A1 ) =
P (A3 |A1 ∩ A2 ) =
=⇒ P (A1 )P (A2 |A1 )P (A3 |A1 ∩ A2 ) =
P (A4 |A1 ∩ A2 ∩ A3 ) =
=⇒ P (A1 )P (A2 |A1 )P (A3 |A1 ∩ A2 )P (A4 |A1 ∩ A2 ∩ A3 ) =
P (A1 ∩ A2 )
P (A1 )
P (A1 ∩ A2 )
P (A1 ∩ A2 ∩ A3 )
P (A1 ∩ A2 )
P (A1 ∩ A2 ∩ A3 )
P (A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ A4 )
P (A1 ∩ A2 ∩ A3 )
P (A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ A4 ) .
Usaremos esta regla cuando queramos calcular la probabilidad de ocurrencia simultánea de varios
sucesos y sean más sencillas de determinar las probabilidades condicionadas del segundo miembro.
Regla de la probabilidad total
Sea A1 , . . . , An una familia completa de sucesos, es decir, tales que:
1.
n
S
i=1
Ai = Ω;
38
CAPÍTULO 2. PROBABILIDADES
2. Ai ∩ Aj = ∅, siempre que i 6= j;
con P (Ai ) > 0 para i = 1, . . . , n. Entonces:
P (B) =
n
X
P (Ai )P (B|Ai ) .
i=1
Ejercicio 2 Comprobar la regla de la probabilidad total.
Regla de Bayes
Sea A1 , . . . , An una familia completa de sucesos con P (Ai ) > 0 para i = 1, . . . , n. Entonces:
P (Aj ) P (B|Aj )
P (Aj |B) = Pn
i=1 P (Ai )P (B|Ai )
En el uso de las dos últimas reglas, llamaremos probabilidades a priori a las de los sucesos Aj ;
probabilidades a posteriori a las de los sucesos Aj |B; y verosimilitudes a las de B|Ai . La regla de
Bayes nos permite, pues, calcular cualquier probabilidad a posteriori, conociendo las verosimilitudes
y probabilidades a priori pertinentes.
Obsérvese también que el denominador que aparece en la Regla de Bayes es P (B), por la regla
de la Probabilidad total. El uso de ambas reglas será especialmente útil cuando se den las siguientes
circunstancias:
a) El experimento aleatorio se puede separar en dos etapas.
b) Es sencillo dar una familia completa finita de sucesos, A1 , . . . , An , correspondientes a sucesos
de la primera etapa.
c) Son fácilmente calculables las probabilidades a priori: P (A1 ), . . . , P (An ).
d) Es fácil calcular las verosimilitudes P (B|A1 ), . . . , P (B|An ), para un suceso B correspondiente
a la segunda etapa.
Aplicaremos estas reglas en los ejercicios propuestos al final del capítulo.
Recogemos por último, las fórmulas clásicas de la Combinatoria:
Variaciones: Vm,n = m(m − 1)(m − 2) · · · · · (m − n + 1) =
Combinaciones: Cm,n
m!
;
(m − n)!
µ ¶
m
m!
Vm,n
=
=
=
;
n
n!(m − n)!
n!
Permutaciones: Pm = m!;
Variaciones con repetición: V Rm,n = mn ;
µ
Combinaciones con repetición: CRm,n = Cm+n−1,n =
h1 ,h2 ,...,hk
=
Permutaciones con repetición: P Rm
¶
m+n−1
;
n
m!
.
h1 !h2 ! · · · · · hk !
Recuérdese que n! = n(n − 1)(n − 2) · · · · · 3 · 2 · 1, y que 0! = 1.
2.3. CÁLCULO DE PROBABILIDADES
39
Problemas
1. Demostrar que si A y B son sucesos independientes, entonces:
(a) sus contrarios, Ac y B c , también lo son;
(b) A y B c son independientes.
2. Se tiran n veces dos dados equilibrados. Calcular la probabilidad de que se obtenga al menos
un seis doble. Sea p esa probabilidad, ¿cuántas partidas habrán de jugarse para tener p = 1/2?
3. En el ascensor de un edificio con bajo y diez plantas entran en el bajo cuatro personas. Cada
persona se baja con independencia de las demás y con igual probabilidad en cada planta.
Calcúlese la probabilidad de que:
(a) las cuatro personas se bajen en la décima planta;
(b) las cuatro se bajen en la misma planta;
(c) las cuatro bajen en plantas distintas.
4. Una urna contiene seis bolas rojas y cuatro negras. Se extraen dos bolas sin reemplazamiento.
Si se sabe que la primera es roja, ¿cuál es la probabilidad de que la segunda sea roja? Sabiendo
que la segunda bola ha sido negra, ¿cuál es la probabilidad de que la primera haya sido roja?
5. Un aparato eléctrico falla al enchufarlo con probabilidad p. Si falla una vez se repara, pero si
falla en una segunda ocasión se sustituye por uno nuevo. Si se supone que los fallos se producen
de forma independiente, calcúlese la probabilidad de que el aparato sea sustituido al enchufarlo
por n–ésima vez.
6. Se sabe que, en cierta población, el número de personas que padecen la enfermedad E es del 1 %.
Se ha investigado una prueba diagnóstica que ha resultado positiva en el 97 % de las personas
que padecen la enfermedad E y en el 2 % de las personas sanas. Calcúlese la probabilidad de
que una persona con prueba positiva padezca realmente la enfermedad.
7. Supongamos que se clasifica a los individuos de cierta especie animal en tres grupos A, B y
C de distintas características biológicas. La probabilidad de que un individuo tomado al azar
pertenezca al grupo A, B o C es respectivamente 1/2, 1/3 y 1/6. La probabilidad de que un
individuo del grupo A, B o C contraiga cierta enfermedad S es respectivamente 1/10, 1/15 y
1/12. Calcúlese la probabilidad de que:
(a) un individuo contraiga la enfermedad S;
(b) un individuo enfermo sea del grupo A;
(c) un individuo sano sea del grupo A.
8. En una estación de autobuses hay tres ventanillas para venta de billetes. La probabilidad de
que un viajero se dirija a la primera, segunda o tercera ventanilla es respectivamente p, q y r.
La probabilidad de que no queden billetes cuando el viajero llegue a la ventanilla elegida es
P , Q o R respectivamente. Calcúlese la probabilidad de que un viajero con billete no lo haya
comprado en la primera ventanilla.