Tesis Institucionales - Instituto Politécnico Nacional

Instituto Politécnico Nacional
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERIA
MECÁNICA Y ELECTRICA
SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO
E INVESTIGACIÓN
Determinación de tamaño admisible de grieta en
cilindros de pared muy delgada y su aplicación a
reactores nucleares
T
E
S
I
S
QUE PARA OBTENER EL GRADO DE
MAESTRO EN CIENCIAS
P
CON ESPECIALIDAD EN
INGENIRÍA MECÁNICA
R E S
E N T
A
ING. JUAN VICENTE MÉNDEZ MÉNDEZ
DIRIGIDA POR: Dr. Luis Héctor Hernández Gómez
MÉXICO, D.F.
2003
Instituto Politécnico Nacional
Agradecimientos.
Al Instituto Politécnico Nacional por ser la institución que me ha formado como
profesioncita y por odas las cosas que he aprendido dentro y fuera de sus aulas.
A la Sección de Estudios de Posgrado (SEPI) de la ESIME Zacatenco.
A mis profesores:
Dr. Luis Héctor Hernández Gómez.
Dr. Guillermo Urriolagoitia Calderón.
M. en C. Gabriel Villa y Rabasa.
M. en C. Ricardo López Martínez
Y en general a todos los profesores de la Sección de Estudios de Posgrado e
Investigación.
Al consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CONACyT)
Al Ing. Pablo Ruiz y a la Comisión Nacional de Seguridad Nuclear y Salvaguardas
A Manuel Carvajal Faraón
iii
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Dedicatorias.
A Dios:
Quiero darle las gracias por darme todo lo que he tenido y sin ello no podría
conseguir mis metas, gracias por darme a mis padres, por mis hermanos, por mis
abuelos, por mis amigos y por toda le gente que he conocido y de ellos he aprendido,
por todo esto gracias en nombre de nuestro señor Jesús gracias Dios.
A mis padres:
Gracias por darme la vida y por quererme tanto como los quiero yo, por sacrificar su
vida para entregársela a sus hijos a quien dedico este trabajo.
A mis hermanosDios:
Que este esfuerzo sea un ejemplo para ellos, para que trabajen y poder conseguir lo
que quieran, gracias hermanos (Maria Guadalupe, Maria del Socorro, Silvia Roció,
Norma Patricia, Jesús Eduardo, Karen Nayeli).
A mis amigos:
Que en esta ocasión no mencionare sus nombres pero ellos sabrán de inmediato a
quienes me refiero, muchas gracias por compartir sus vidas después de tanto tiempo.
iv
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Contenido.
Agradecimientos. ....................................................................... iii
Dedicatorias. ........................................................................... iv
Contenido................................................................................. v
Índice de figuras. ...................................................................... vii
Índice de tablas. ...................................................................... viii
Simbología............................................................................... ix
Resumen. ................................................................................xii
Abstract. ...............................................................................xii
Objetivo. ................................................................................xii
Justificación. .......................................................................... xiii
Introducción. .......................................................................... xiv
1
La energía nuclear ................................................................ 2
1.1 La fisión nuclear .................................................................. 2
1.2 El combustible nuclear............................................................ 2
1.3 Tipos de reactores. .............................................................. 3
1.3.1 Reactores de Agua Ligera, LWR. Ciclo del Combustible ....................... 4
1.3.2 Reactores AGR.................................................................... 6
1.3.3 Reactores CANDU. ............................................................... 6
1.3.4 Reactores enriquecidos. .......................................................... 9
1.4 Ciclo del combustible ............................................................. 9
1.5 Planes Para Nuevos Reactores en el Mundo................................... 11
1.5.1 Capacidad incrementada........................................................ 12
1.6 Extensión de la vida de las plantas ........................................... 12
1.7 La generación de electricidad en México. .................................... 15
2
Introducción a las centrales nucleoeléctricas.................................
2.1 Descripción general de la central de laguna verde (CLV) ....................
2.1.1 Edificio del reactor.............................................................
2.1.1.1 El contenedor primario. ....................................................
2.1.1.2 El contenedor secundario...................................................
2.1.2 Vasija del reactor. .............................................................
23
24
25
25
25
25
v
Instituto Politécnico Nacional
2.1.3 Penetraciones de la vasija .....................................................
2.1.4 Faldón del fuelle de recarga...................................................
2.1.5 Soporte de la vasija del reactor (figura 9)...................................
2.1.6 Aislamiento térmico. ...........................................................
2.1.7 Blindaje biológico (muro de sacrificio) ........................................
2.1.8 Tapa y cierre de la vasija. (figura 9) ........................................
2.1.9 Brida de la vasija.(figura 9) ...................................................
2.1.10 Tapa con brida de la vasija................................................
2.1.11 Sello de la tapa.............................................................
2.1.12 Estructura soporte de los alojamientos del CRD. ........................
2.1.13 Envolvente del núcleo (core shroud). ......................................
29
29
29
29
29
30
30
30
30
30
31
Referencias capitulo uno. ............................................................. 31
3
3.1
3.2
3.3
Concepto de la mecánica de fractura elastoplástica .........................
Tipos de fractura ..............................................................
La Teoría de Griffith ..........................................................
Análisis del campo de esfuerzos en la vecindad de la punta de la
grieta............................................................................
3.3.1 Modos de carga.................................................................
3.3.2 Esfuerzos en la vecindad de la punta de la grieta ...........................
3.3.3 El factor de intensidad de esfuerzos .........................................
3.4 Plasticidad en la punta de la grieta ...........................................
3.4.1 La medida de la zona plástica de acuerdo a Irwin ...........................
3.4.2 La medida de la zona plástica de acuerdo a Dugdale ........................
3.4.3 Forma de la zona plástica de acuerdo a Von Mises ..........................
3.4.4 Tenacidad a la fractura........................................................
3.4.5 Efecto de las dimensiones del espécimen .....................................
3.5 Mecánica de la fractura elastoplástica .......................................
3.5.1 Desplazamiento de apertura de la punta de la qrieta (CTOD) ..............
3.5.2 La integral J ....................................................................
3.5.3 No linealidad de la razón de energía liberada ................................
3.5.4 J como una integral de línea independiente de la trayectoria...............
3.5.5 J como parámetro de intensidad de esfuerzos ...............................
3.5.6 Relación entre J y CTOD ......................................................
3.5.7 Curva de resistencia al crecimiento de la grieta .............................
24
24
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30
31
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34
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63
Bibliografía capitulo dos .............................................................. 65
vi
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Índice de figuras.
Figura 1.1.-Esquema de la planta nucleaeléctrica con reactor tipo PWR. ........................ 4
Figura 1.2.-Esquema de la planta nucleoeléctrica de Laguna Verde, Veracruz, México.
................................................................................................................................................... 6
Figura 1.3.- Reparación de un reactor. ............................. ¡Error! Marcador no definido.
Figura 1.4.-Reactor de agua pesada, CANDU......................................................................... 7
Figura 1.5.-Ciclo del combustible de reactores de agua ligera. ........................................11
Figura 2.1.-Ciclo de la planta de Laguna Verde. ...................................................................24
Figura 2.2.- Central núcleo eléctrica Laguna Verde. ..........................................................24
Figura 2.3.- Vasija del reactor. ...............................................................................................28
Figura 2.4.- Envolvente del núcleo (Core shroud). ..............................................................32
Figura 3.1.-Clasificación de los tipos de Fractura. .............................................................25
Figura 3.2.-Grieta pasante a través de una placa. ..............................................................27
Figura 3.3.-Los tres modos de carga. .................................................................................... 31
Figura 3.4.-Distribución de esfuerzos alrededor de la punta de la grieta. ..................32
Figura 3.5.-Una primera aproximación a la zona plástica de la punta de la grieta......36
Figura 3.6.-Esquema del análisis de Irwin. ...........................................................................38
Figura 3.7.-La medida de la zona plástica de Irwin............................................................39
Figura 3.8.-Esquema del análisis de Dugdale........................................................................39
Figura 3.9.-Formas de la zona plástica en la punta de la grieta. .....................................44
Figura 3.10.-Zonas de deformación plástica predichas por la ecuación (38a) con una
solución elastoplástica detallada obtenida por un análisis de elemento finito......45
Figura 3.11.-Efecto del endurecimiento en la zona plástica. ............................................45
Figura 3.12.-Efecto del espesor de la probeta en el Modo I de resistencia a la
fractura..................................................................................................................................48
Figura 3.13.-Estimación de CTOD con la corrección de Irwin. ........................................49
Figura 3.14.-Estimación del CTOD del modelo de banda de cedencia............................ 51
Figura 3.15.-Definiciones alternativas de CTOD. ............................................................... 51
Figura 3.16.-El modelo de punto de rotación para estimar CTOD para una probeta en
tres puntos de flexión. .......................................................................................................52
Figura 3.17.-Determinación de las componentes plásticas de la apertura de
desplazamiento de la grieta. .............................................................................................53
Figura 3.18.-Esquema comparativo del comportamiento esfuerzo - deformación de
materiales elastoplásticos y no lineales - elásticos. ....................................................54
Figura 3.19.-Determinación de la integral J. a} Desplazamiento fijo; b} Carga fija...57
Figura 3.20.-Contorno arbitrario alrededor de la punta de la grieta. ...........................60
Figura 3.21.-Contorno alrededor de la frontera del modelo de banda de cedencia en
la punta de la grieta. ...........................................................................................................63
vii
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Figura 3.23.-Curva de resistencia J para un material dúctil. ..........................................64
Índice de tablas.
Tabla 1.-Centrales nucleares en construcción. .................................................................... 13
Tabla 2.-Algunos de los Reactores Nucleares planeados u ordenados. ......................... 14
Tabla 3.- Generación nacional diciembre 2002 ................................................................... 15
Tabla 4.-Características de la vasija del reactor...............................................................26
viii
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Simbología.
MFLE
Mecánica de fractura lineal elástica.
MFEP
Mecánica de fractura elasto-plástica.
MFD
Mecánica de fractura dinámica.
ASTM
American Society for Testing and Materials.
KI
Factor de intensidad de esfuerzos, para el modo de carga 1.
KII
Factor de intensidad de esfuerzos, para el modo de carga 11.
KIII
Factor de intensidad de esfuerzos, para el modo de carga 111.
G
Razón de energía elástica liberada.
J
La integral J.
Y
Constante dimensional que depende de la geometría y el modo de
carga.
R
Curva de resistencia al crecimiento de grieta.
E
Módulo de Young.
ν
Relación de Poisson.
θ
Ángulo al que se encuentra el estado de esfuerzos a determinar.
r
Distancia al que se encuentra el estado de esfuerzos a determinar.
a
Longitud de la grieta.
W
Ancho de probeta.
B
Espesor de la probeta.
P
Carga.
ix
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T
Espesor en la placa o espécimen de prueba.
Γ
Perímetro del cuerpo.
A
Área del cuerpo.
σ1 , σ 2 , σ3
Esfuerzos principales.
CTDO
Desplazamiento de apertura de la punta de la grieta (Crack Tip
Opening Diplacement).
γS
Energía de superficie del material.
γP
Trabajo plástico por unidad de superficie creada.
Π0
Energía elástica de la placa sin grieta (constante).
Π
Cambio en la energía elástica causado por la introducción de la grieta
en la placa.
SENT
Probeta con grieta a un lado a tensión.
FAD
Diagrama de evaluación de falla (failure assessment diagram).
R6
Método R6.
β
Ángulo de inclinación de la grieta.
θC
Ángulo de propagación de la grieta.
αa
Ángulo inicial de propagación de la grieta.
αf
Ángulo final de propagación de la grieta.
(x,y)
Coordenadas cartesianas.
ε
Deformación unitaria.
π
Constante pi = 3.141592654.
UP
Energía potencial.
UO
Energía potencial de un cuerpo sin grieta.
x
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∆
Energía potencial interna.
Π
Energía potencial total.
σ
Esfuerzo de tensión, aplicado a una placa o espécimen.
σ1
Esfuerzo principal máximo.
K , FIE
Factor de Intensidad de Esfuerzos.
KC
Factor de Intensidad de Esfuerzos.
∆a
Propagación de la grieta.
Uy
Incremento de la energía potencial.
da
Incremento de la longitud de la grieta.
dδ
Incremento del desplazamiento.
ρ
Radio de la grieta.
xi
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Resumen.
En este trabajo se desarrollo una metodología basada en la mecánica de la fractura
aplicando el método del elemento finito y utilizando el programa ANSYS, lo anterior
con la finalidad de determinar el comportamiento de un recipiente agrietado
circunferencialmente de pared muy delgada, las solicitaciones mecánicas son de
carga axial, con esta metodología es posible conocer el factor de intensificación de
esfuerzos cuando se varia la longitud de la grieta a partir de 50 cm en incrementos
de 10.16 cm (4”) hasta alcanzar una longitud de 400 cm , con los resultados
obtenidos en cada caso se construye una grafica que permite observar primero y
predecir después, el comportamiento del factor de intensificación e esfuerzo el
función de la longitud de la grieta pasante.
Abstract.
In this work is development a methodology based on the mechanics of the fracture
being applied the method of the finite element and using program ANSYS, the
previous thing with the purpose of determining the behavior of a circumferentially
cracked container of very thin wall, the mechanical requestings is of axial load, with
this methodology it is possible to know the factor intensification of efforts when
varia the length of the crack from 50 cm in increases of 10,16 cm (4") until reaching
a length of 400 cm, with the results obtained in each case is constructed a grafica
that allows to observe first and to predict later, the behavior of the intensification
factor and effort function of the length of the pasante crack.
Objetivo.
Utilizando los conceptos de la mecánica de la fractura, principios del método del
elemento finito y el programa ANSYS aplicándolos al caso particular de un
componente agrietado; el objetivo es establecer una metodología mediante la cual se
pude analizar el comportamiento de una grita pasante circunferencial en recipientes
de pared muy delgada, obteniendo el valor del factor de intensificación de esfuerzos
(K) para cierta longitud y con los resultados obtenidos de estos análisis se construirá
una grafica para de esta manera poder analizar los resultados.
xii
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Justificación.
Sustituir las plantas nucleares de generación de energía eléctrica en un corto plazo
es muy difícil, pues, en la actualidad no se tienen formas alternas capaces de
asegurar la generación de energía eléctrica suficiente para satisfacer la demanda.
Asimismo, la inversión para este tipo de instalaciones es alta, de ahí que sea
necesario conocer con la mayor precisión que sea posible la integridad estructural de
los componentes principales de dichas plantas. También sabemos de lo peligros que
podría ocasionar un accidente, por lo tanto, es de primordial importancia contar con
herramientas que nos ayuden a evaluar posibles grietas en los componentes del
reactor nuclear y sistemas de tuberías de vapor para mantener en operación segura
el reactor, y particularmente en el caso del componente conocido con el nombre de
envolvente del núcleo.
Es importante hacer notar que debido a la complejidad del problema, se requiere un
análisis numérico, esto debido a que el tipo de problemas son el espesor muy delgado.
Esto inhibe las condiciones de deformación plana, favoreciendo un comportamiento
dúctil.
Este trabajo se encuentra dentro del proyecto de referencia 34950-U análisis
mecánico estructural en componentes con nivel de seguridad case I en plantas
nucleares.
xiii
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Introducción.
Nos encontramos inmersos en una verdadera revolución científico-técnica, que ha
transformado en conocimiento en un factor de la producción. En este contexto, la
productividad y el éxito de una comunidad se sustenta, fundamentalmente, en el
conocimiento y el la creatividad de quienes la integran. Ello implica que nuestras
posibilidades de inmersión en una organización y también de crecimiento personal,
dependen de nuestra formación y permanente actualización.
La capacitación, por lo tanto, se torna imprescindible para pode responder
adecuadamente a las exigencias que imponen los vertiginosos cambios tecnológicos
que se producen en todos los ámbitos del quehacer del hombre.
La industria eléctrica no permanece ajena a este proceso de globalización de la
economía mundial y de los avances tecnológicos. Ambas circunstancias posibilitaron
cambios en los procesos de producción y comercialización de la electricidad que
hasta hace poco tiempo resultaba difícil imaginar.
Ello animó a distintos países, como también a México, a crear la institucionalidad
vigente en el sector, con el objeto de facilitar las condiciones para el intercambio
regional e internacional y para lograr un desarrollo armónico de la industria.
La energía eléctrica es la forma de energía básica del mundo moderno,
constituyéndose en responsable fundamental del alto estándar de vida y la creciente
industrialización de gran parte de nuestro planeta. Su consumo masivo se ha
expandido constantemente a lo alargo del siglo XX.
La vida como la conocemos no seria posible sin la existencia de la energía eléctrica,
pues casi todos los procesos industriales de una u otra manera requieren de esta
para llevarse acabo, también, gran parte de las actividades más elementales que las
personas realizan comúnmente requieren energía eléctrica particularmente en las
ciudades, Por tal motivo los gobiernos de todos los países han invertido grandes
sumas de dinero para asegurar el suministro de energía eléctrica a todas las
personas y a las industrias ya que es un factor de la economía de todos los países
que ejerce una influencia de primera importancia en su desarrollo, y para lograr la
industrialización se requiere de fuentes de energía que aseguren el funcionamiento.
Cuatro distintas funciones son necesarias para que la población pueda contar con
este recurso: generación, transmisión, distribución y comercialización, lo que hace
que, en ese sentido, la oferta de la energía eléctrica resulte similar a la de cualquier
otro producto de consumo masivo. Sin embargo, también debe destacarse que la
xiv
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electricidad tiene una característica particular: bajo la forma de corriente alterna
no pude almacenarse. Por consiguiente, debe ser tal que pueda estar en condiciones
de satisfacer, inmediatamente, toda demanda cuando ésta se produzca.
En algunos países es posible generar energía eléctrica aprovechando la energía
potencial de los ríos, utilizando la energía calorífica del subsuelo, por medio de la
energía de los vientos, aprovechando los rayos solares, quemando combustibles
fósiles y algunos otros; pero como es lógico no todo esto es posible, ya que algunos
países no cuentan con recursos naturales, para poder generar la energía suficiente
las naciones en su afán de encontrar fuentes recurrieron a la utilización de energía
atómica, aun con los riesgos que esto conlleva, pues como es sabido el uso de la
energía atómica implica altos riesgos.
xv
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CAPÍTULO UNO
Estado del arte.
En este capítulo se habla de algunas
generalidades acerca de la energia nuclear
1
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1
La energía nuclear
El uso de la energía nuclear para fines pacíficos se empezó a considerar después de
la Segunda Guerra Mundial. La primera planta nucleoeléctrica se puso en operación
en 1956 en Caider Hall (Inglaterra), utilizando como fuente de calor la reacción
nuclear controlada del isótopo 235 del uranio, al ser bombardeado por neutrones
lentos.
A partir de la fecha citada, y con base en el U235 como combustible, se han venido
desarrollando programas de instalación de plantas nucleoeléctricas, como medio de
resolver la creciente demanda de energía eléctrica en el mundo.
1.1
La fisión nuclear
Los reactores nucleares requieren para su funcionamiento uranio enriquecido, que se
presenta en forma de pequeñas pastillas del tamaño de una pila e reloj. Esas pastillas
se introducen en largas varillas (cadmio, boro, grafito, etc.) que, a su vez, se
introducen en el reactor, y todo ello bañado por agua que sirve de moderador de la
velocidad de los neutrones, y de transportador del calor de la reacción
Para que se produzca la fisión, se bombardea el núcleo de los átomos con neutrones,
que se relanzan para generar la llamada reacción en cadena (los neutrones, una vez
dividido el átomo de uranio, son relanzados para bombardear a otros átomos de
uranio que se vuelven a dividir, y así sucesivamente).
Al detener la reacción en cadena, se genera un flujo de calor que calienta el agua
(siempre presente en el reactor).
1.2
El combustible nuclear
No cabe duda que la energía nuclear esta desempeñando un papel importante en la
generación de electricidad, siendo muy posible que el isótopo U235 sea el combustible
dominante, al menos por el momento, por garantías de operación y facilidad de fisión
en reactores enfriados por agua ligera o pesada.
La fisión del núcleo o desintegración atómica del U235, que es un elemento pesado, en
otros más ligeros, se realiza bombardeando el átomo con neutrones lentos,
empleando un moderador de la velocidad, como agua ligera, agua pesada, grafito,
etc., lo que da lugar a 40 isótopos de átomos ligeros, con pérdida de masa, que se
cuantifica según la ecuación de Einstein, E = mc2, en una energía dinámica de los
2
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fragmentos de fisión y una energía radiante, las cuales se manifiestan en forma de
calor, que viene siendo la energía aprovechable. La reacción en cadena que se debe
mantener es la siguiente:
U235 + 1 neutrón = 40 isótopos átomos ligeros + 2,3 neutrones + energía.
La energía resultante de la fisión de un núcleo de U235 es, aproximadamente, 200 X
106 electrón volts.
En la fisión de un núcleo del U235 aparecen, pues, 2,3 neutrones, pudiendo ocurrir: 1)
que algún neutrón se pierda fuera de la masa de uranio, 2) que alguno pueda ser
absorbido por el núcleo del U238 dando lugar al plutonio Pu239 que es fisionable como
el Ul35, o 3) que alguno pueda alcanzar el núcleo del Ul35. Por lo menos un neutrón
debe producir impacto en el núcleo del Ul35 para mantener la reacción en cadena.
El factor de reproducción deseada de uno, significa que por cada núcleo de Ul35 que
se rompe, por lo menos un neutrón se absorbe en otro núcleo de Ul35 para producir la
fisión. Cuando se tiene un factor de reproducción de 1 el proceso es "crítico" y la
reacción nuclear en cadena puede continuar bajo control. Se necesita así una
cantidad de masa de uranio suficiente, o "masa crítica", que permita asegurar el
impacto del neutrón en el núcleo del Ul35 y mantener la reacción en cadena.
Ahora bien, la concentración natural de 0,7% de Ul35 contenida en el óxido (U3O8) es
deficiente y obliga a masas críticas grandes. Aunque hay reactores que operan con el
uranio natural, lo más generalizado es enriquecer el combustible, convirtiendo el
óxido (U3O8) en el dióxido (UO2), que contiene un 3% del isótopo Ul35. Aunque esta
concentración parezca todavía baja es ya muy ventajosa, mejorando el rendimiento y
reduciendo notablemente los tamaños de las instalaciones. Hay que advertir que el
proceso de enriquecimiento es costoso y que sólo unas pocas naciones lo realizan hoy
día. La mayor parte de los países que tienen plantas nucleoeléctricas viven una
situación de dependencia de las naciones que realizan el enriquecimiento.
Como ejemplo de reactores que operan con uranio enriquecido tenemos al reactor
CANDU
1.3
Tipos de reactores.
3
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1.3.1
Reactores de Agua Ligera, LWR. Ciclo del Combustible
Se llaman reactores de Agua Ligera aquellos que usan como moderador de la
velocidad de los neutrones, o fluido refrigerante, el agua ordinaria.
Existen dos tipos característicos:
Reactores de Agua a Presión PWR (Pressurized Water Reactor) en los que el agua se
halla a 150 atmósferas y 600 °F, aproximadamente. En la Figura 1.1 se presenta en
esquema un reactor de este tipo, con el intercambiador de calor dentro de la vasija,
y con independencia de los circuitos de agua de enfriamiento y del agua-vapor de
trabajo de la turbina.
Reactores de Agua Hirviendo, BWR (Boiling Water Reactor) el agua de enfriamiento
se halla a presiones más bajas (del orden de 70 atmósferas), pero a temperaturas
más altas (hasta más de 1 000 °C). En la Figura 2.3 se presenta un reactor de este
tipo de 650 MW. Una de las dos unidades que se instalan en la Planta de Laguna
Verde (Veracruz-México). En la Figura 1.2 se presenta un esquema de operación de
esta planta.
Figura 1.1.-Esquema de la planta nucleaeléctrica con reactor tipo PWR.
4
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Estos reactores de Agua Ligera, tanto el PWR como el BWR, emplean uranio
enriquecido como combustible.
5
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Figura 1.2.-Esquema de la planta nucleoeléctrica de Laguna Verde, Veracruz, México (siclo
BWR).
1.3.2
Reactores AGR.
Las centrales con reactores nucleares tipo AGR son de diseño totalmente distinto a
las PWR y BWR. Cuentan teóricamente con mejores características de seguridad.
Aunque el combustible utilizado es uranio enriquecido, se emplea sin embargo dióxido
de carbono a alta presión como refrigerante, y grafito como moderador. Las varillas
de combustible van insertadas en trescientos agujeros practicados en un gran bloque
de grafito, lo cual implica que el moderador no pueda ser retirado como en otros
tipos de reactor; este hecho es quizá el punto negativo de este tipo de central, pues
si es necesario detener la reacción hay que extraer las varillas de combustible del
núcleo. El dióxido de carbono utilizado como gas refrigerante, se mantiene a presión
en el bloque de grafito, el cual absorbe el calor producido en la reacción.
Todo el conjunto descrito se encuentra protegido por una gran envoltura de
hormigón totalmente hermética, de grosor muy superior al de otras centrales, lo que
minimiza las posibilidades de fugas radiactivas. De todas formas, en el supuesto de
producirse una pérdida de refrigerante, la gruesa estructura de hormigón es capaz
de absorber el calor durante el tiempo suficiente para que los sistemas de control
detengan la reacción.
Aunque el reactor suele ser parado para efectuar la sustitución de combustible, en
realidad esta central posee la ventaja de que las varillas de combustible podrían ser
extraídas e insertadas en el núcleo de forma individual, permitiendo mantener el
reactor en funcionamiento.
1.3.3
Reactores CANDU.
Las centrales dotadas de reactores CANDU (de desarrollo canadiense Ver Figura
1.3), han competido con éxito con las centrales PWR y BWR.
6
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La estructura de estas centrales consta de un tambor de acero denominado
calandria, el cual acoge el moderador que consiste en agua pesada a baja presión.
Todo este conjunto generador de energía se encuentra alojado dentro de una bóveda
de hormigón.
Al igual que el moderador, el líquido refrigerante es agua pesada, que se le hace
circular a través de unos tubos que atraviesan horizontalmente la calandria.
Asimismo, dentro de los tubos se sitúan las varillas de combustible (uranio
enriquecido). El líquido refrigerante que circula por el interior de los tubos, se
encuentra sometida a una gran presión para evitar que se transforme en vapor de
agua, incluso a temperaturas elevadas.
Figura 1.3.-Reactor de agua pesada, CANDU.
7
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En el tambor se encuentran también otro tipo de conductos, mediante los cuales se
pueden introducir varillas de control que absorben neutrones (los frenan),
permitiendo actuar sobre la reacción en el supuesto de que se produjese una pérdida
de líquido refrigerante. Al igual que en las centrales AGR, en este tipo de reactor la
pérdida de refrigerante no implica pérdida de moderador, por lo que el
mantenimiento de la reacción llegaría a sobrecalentar el núcleo finalizando con su
destrucción, motivo por el que se disponen las varillas de control de emergencia.
Los reactores, que operan con uranio natural, tipo CANDU ver figura 3, suelen ser
calandrias cilíndricas de acero inoxidable en posición horizontal. Las barras de
control son verticales y atraviesan la calandria donde están los tubos de zirconio que
contienen el combustible.
En el reactor la masa fisionable (Ul35) es ligeramente supercrítica cuando se quiere
aumentar la energía térmica liberada, en cuyo caso se procura que sea mayor la
ganancia de neutrones que la pérdida de éstos. Por el contrario, si se desea reducir
la energía liberada, la masa fisionable se hace ligeramente subcrítica, haciendo que
la pérdida de neutrones sea mayor que la ganancia. Este control de la reacción se
logra desbloqueando o bloqueando la reacción nuclear por medio de sustancias
absorbedoras de neutrones, como son el cadmio, el boro, el grafito, etc., de cuyos
materiales están hechas las barras de control ya citadas, las cuales se manejan
desde fuera del reactor, introduciéndolas más o menos según convenga bloquear o
desbloquear la reacción.
El agua que baña los tubos de aleación de zirconio, que contienen el combustible,
sirve no sólo de enfriador sino también de moderador de la velocidad de los
neutrones, como ya se ha dicho, pues no debe olvidarse que la fisión controlada del
Ul35 debe hacerse con neutrones lentos. Debe, también, señalarse que el zirconio es
una sustancia que resiste bien las altas temperaturas, sirviendo al mismo tiempo de
primera barrera a los productos de fisión de alta radiactividad.
La gran ventaja de este tipo de central radica en el rendimiento útil que
proporcionan (hasta un 78%), mejorando las de su mayor competidora, las de tipo
PWR, que sólo llegan a un 75%.
8
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1.3.4
Reactores enriquecidos.
Un reactor de enriquecimiento no se utiliza básicamente para generar energía con
destino al consumo. El objetivo principal es el de producir combustible que pueda ser
utilizado en otros reactores.
El combustible utilizado en estos reactores es uranio 238. Se trata de un isótopo del
uranio no fisionable, al contrario del uranio 235 que sí se utiliza en los reactores
convencionales.
Un reactor de enriquecimiento produce temperaturas de funcionamiento de unos
500 grados centígrados, muy superior al de otras centrales nucleares, por ello
precisa disponer de un sistema de absorción del calor, que a su vez no absorba
neutrones, con objeto de no actuar como moderador (del que no dispone). Para ello
se emplea sodio, que es sólido a temperatura ambiente, pero que se torna líquido a la
temperatura de trabajo. En un tanque de sodio actuando como refrigerante se halla
sumergido todo el bloque; el sodio cede su calor a un intercambiador de calor que
también contiene sodio (el motivo de aislarlos es que el sodio reaccionan con el agua)
y de ahí se transfiere finalmente a un circuito de vapor de agua para su
aprovechamiento.
1.4
Ciclo del combustible
El ciclo del combustible se representa en la Figura 1.4. El óxido de uranio natural
(U3O8) debe hallarse en el yacimiento en concentraciones de 1 % o superiores para
que se; económicamente explotable. El mineral se tritura y concentra, se elimina
ganga y se forma una torta amarilla, cuya operación se realiza a boca de mina. La
torta amarilla se convierte en hexafloruro de uranio (UF6) que es gaseoso, del cual
se pasa a dióxido de uranio UO2, cuya concentración de U235 es del orden del 3%, en
lugar del 0,7% que se tenía en el óxido natural V3O8. El di óxido de uranio va a ser el
elemento combustible, para lo cual se sinteriza con una cerámica formando pastillas
cilíndricas (pellets), que se introducen en tubos de una aleación de zirconio
(zircaloy), primera barrera a la radiactividad. La sinterización da a las pastillas
mayor densidad, así como también más alta resistencia mecánica y al calor. Estos
pasos se conocen como "marcha hacia adelante" del ciclo del combustible.
La "marcha hacia atrás" del ciclo empieza cuando se retiran del reactor los
productos de fisión y el combustible residual. La práctica señala que esta renovación
del combustible, en un porcentaje del 20 al 30%, debe efectuarse una vez al año. Los
9
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productos retirados mantienen una radiactividad de la cual hay que protegerse. El
decaimiento radiactivo de los mismos genera calor que también debe eliminarse. Se
aconseja almacenar temporalmente estos productos en tanques de acero a prueba de
radiactividad y tener éstos bajo el agua algunos meses en la misma planta, eliminando
el calor, hasta que sean transportados a la planta de reprocesado.
Prospección
de uranio
Explotación
de mineral de
Uranio
recupera
Residuos
radioactivo
Reprocesamien
to
de
Fabricación de
concentrados
(torta
ill )
U3O8
Prospección
de uranio
Almacenamien
to definitivo
Plutonio
Almacenamiento
temporal
de
U3O8
Prospección
de uranio
Prospección
de uranio
Reactores térmicos
Almacenamien
to definitivo
10
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Figura 1.4.-Ciclo del combustible de reactores de agua ligera.
En el reprocesado se trituran mecánicamente y se tratan con ácido para separar
tres componentes: 1) el uranio remanente, 2) el plutonio, y 3) los residuos de fisión
radiactivos. Lo que interesa es separar el uranio y el plutonio, que son utilizables, del
resto de los productos que no lo son. La operación es compleja, obligando a trabajar
a control remoto y con ayuda de pantallas protectoras, aunque bien es verdad que
esta tecnología se halla bien desarrollada, ofreciendo garantías de seguridad.
El uranio recuperado se puede convertir a hexafloruro UF6, que puede servir para
alimentar una planta de enriquecimiento o se puede almacenar. El uranio de un
combustible reprocesado de un reactor LWR tiene aproximadamente 0,8% de U235
esto es, ligeramente más rico que el óxido natural.
1.5
Planes Para Nuevos Reactores en el Mundo
La capacidad de los reactores en el mundo se está incrementando de manera
sostenida, pero no dramáticamente, con más de 30 reactores en construcción en 11
países (ver Tablas 2 y 3), notablemente en China, la República de Corea y Japón. La
construcción de muchos de ellos está muy avanzada, según informes de progreso y
permitiendo demoras en algunos países, 15 con una capacidad neta total de más de
11,000 MWe se espera que estén en operación antes del fin de 2004.
La mayoría de los reactores ordenados o planeados están en la región Asiática. Una
significativa capacidad agregada se está creando por medio del mejoramiento de
plantas. Además, Los programas de extensión de la vida de las plantas está
disminuyendo la necesidad de nueva capacidad.
Actualmente existen unos 440 reactores atómicos en 31 países, con una capacidad
combinada de 353 GWe. En el año 2000, suministrarón 2447 mil millones de kWh,
más del 16% de la electricidad usada en el mundo. Aunque algunos países,
especialmente Japón, China, India y la República de Corea, intentan seguir grandes
programas de construcción de plantas nucleares, la tasa de crecimiento de plantas
nucleares instaladas durante los próximos diez años se espera que se mantenga baja.
La Agencia Internacional de Energía Atómica (IAEA) prevé que la capacidad nuclear
instalada en 2015 será un poco más que la del 2000, 370 GWe, con un porcentaje
sobre la producción mundial disminuyendo de 17% en 1997 a 13% en el 2015.
11
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1.5.1
Capacidad incrementada
La incrementada capacidad nuclear en algunos países es el resultado de la
modernización y mejoramiento de las plantas existentes. Este es una manera de muy
alto costo/beneficio para producir nueva capacidad.
Numerosos reactores en los Estados Unidos, Bélgica, Suecia y Alemania, por
ejemplo, incrementaron su capacidad de generación.
En Suiza, se está desarrollando un programa para aumentar la capacidad de sus cinco
reactores en un 10%.
España tiene un programa de añadir 810 MWe (11%) a su capacidad nuclear a través
de la modernización de sus nueve reactores en un 13%. Por ejemplo, la planta nuclear
de Almarez está siendo aumentada en más del 5% a un costo de $50 millones.
Alrededor de 519 MWe del aumento está ya instalado.
Finlandia ha aumentado la capacidad de la planta de Olkiluoto en un 23% al llevarla a
1680 MWe. La planta comenzó con dos BWR Suecos de 660 MWe puestos en marcha
en 1978 y 1980. Está ahora licenciada para operar hasta el 2018. La planta de
Loviisa, con dos reactores WER-440 (PWR) han sido elevados en capacidad en casi
100 MWe (11%)
1.6
Extensión de la vida de las plantas
La mayoría de las centrales nucleares tenían, por diseño, una vida nominal de 40
años, pero las evaluaciones de ingeniería de la mayoría de las centrales en la última
década establecieron que muchas de ellas pueden operar más tiempo. En los Estados
Unidos a los primeros reactores se les han concedido renovación de sus licencias de
operación que extienden su vida operativa de los 40 años originales a 60 años, y se
espera que los operadores de otras 80 plantas hagan aplicaciones para extensiones
similares. En Japón se prevén vidas útiles de hasta 70 años.
Cuando en Inglaterra se construyeron en los años 50 las dos estaciones nucleares
comerciales más viejas, Calder Hall y Chapelcross, fueron diseñadas muy
conservadoramente, aunque se suponía que tendrían una vida útil de sólo 20-25 años.
Están ahora licenciadas para operar durante 50 años, y la mayoría de la otras plantas
Magnox están licenciadas para una vida operativa de 40 años.
12
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En el año 2000 el gobierno Ruso extendió la vida operativa de los 12 más viejos
reactores del país, de sus 30 años originales, y recientemente la extensión se ha
cuantificado en 15 años.
Se ha demostrado la factibilidad técnica y económica de reemplazar grandes
componentes de los reactores, tales como generadores de vapor en los PWR, el core
shroud y tubos de presión en los CANDU de agua pesada. La posibilidad del
reemplazo de componentes y renovación de las licencias que extienden la vida útil de
las plantas existentes son muy atractivas para las compañías operadoras, en vista de
las dificultades para la aceptación pública para la construcción de nuevas plantas
nucleares Ver tabla 2 y 3.
Por otra parte, consideraciones económicas, reguladoras y políticas han conducido al
prematuro cierre de algunos reactores nucleares, particularmente en los Estados
Unidos, donde la cantidad de plantas ha caído de 110 a 104.
Tabla 1.-Centrales nucleares en construcción.
*Inicio
PAÍS/ORGANIZACIÓN
REACTOR
TIPO
Operación
MWe
(neto)
2002
República Checa
Temelin 2
PWR (VVER-1000)
912
2002
Corea RO
Yonggwang 5
PWR (KSNP)
950
2002
Corea RO
Yonggwang 6
PWR (KSNP)
950
2002
Argentina
Atucha 2
PHWR
692
2003
Rumania
Cernavoda 2
PHWR
650
2003
Irán
Bushehr 1
PWR
950
2003
Corporación Nacional Nuclear China
Lingao 2
PWR
935
2003
CHINA (CNNC)
Qinshan 3
PWR
610
2003
CHINA (CNNC)
Qinshan 4
PHWR
665
2004
CHINA (CNNC)
Qinshan 5
PHWR
665
2004
Rusia
Kalinin 3
PWR(VVER-1000)
950
13
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2004
Rusia
Kursk 5
RBMK-1000
925
2004
Ucrania
Khmelnitski 2
PWR (VVER-1000)
950
2004
Taipower (Taiwán)
Lungmen 1
ABWR
1350
2004
Corea RO
Ulchin 5
PWR (KSNP)
950
2004
CHINA (CNNC)
Tianwan 1
PWR (VVER-1000)
950
2005
India
Tarapur 3
PHWR
450
2005
Corea RO
Ulchin 6
PWR (KSNP)
950
2005
Japón
Higashidori 1
BWR
1067
2005
Japón
Hamaoka 5
ABWR
1325
2005
Taipower (Taiwán)
Lungmen 2
ABWR
1350
2005
Rusia
Rostov-2
PWR (VVER-1000)
950
2005
CHINA (CNNC)
Tianwan 2
PWR (VVER-1000)
950
2006
Ucrania
Rovno 4
PWR (VVER-1000)
950
2006
Japón
Shika-2
ABWR
1315
2006
India
Tarapur 4
PHWR
450
2006
Rusia
Balakovo 5
PWR (VVER-1000)
950
2007
India
Kudankulam 1 & 2
PWR
950 x 2
2007
India
Kaiga 3 & 4
PHWR
202 x 2
Tabla 2.-Algunos de los Reactores Nucleares planeados u ordenados.
Inicio operación
Inicio construcción
PAÍS
REACTOR
TIPO
MWe (cada uno)
2006-7
2002
Japón
Fukushima 7 y 8
ABWR
1325
Corea del Norte
Sinpo 1 y 2
PWR (KSNP)
950
Japón
Ohma
ABWR
1350
Rusia
Sosnovy Bor 1
PWR (VVER-640)
600
2007-8
2008
2007-8
2003
14
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2010
Rusia
Balakovo 6
PWR
950
2010-11
2003?
RO Korea
Shin-Kori 1 y 2
PWR (KSNP+)
950
2009-10
2003?
RO Corea
Wolsong 5 y 6
PWR (KSNP+)
950
2008
2003
Japón
Tomari 3
PWR
912
2010
2003
Japan
Tsuruga 3 y 4
APWR
1500
2010
2003
Japón
Shimane 3
ABWR
1375
India
Rajasthan 5 - 8
PHWR
450
India
Kaiga 5 y 6
PHWR
450
RO Corea
Shin-Kori 3 y 4
APR (KNGR)
1350
RO Corea
cerca de Ulchin
APR (KNGR)
1350
2007-08
2010-11
2003
2010-11
2003-5
Japón
Higashidori 1-2, 2
ABWR
1320
2012-15
2007-10
Japón
Kaminoseki 1-2
ABWR
1320
1.7
La generación de electricidad en México.
Para satisfacer la demanda de energía eléctrica la Comisión Nacional de Electricidad
(CNE) y Luz y Fuerza del Centro (LFC) cuenta con un sistema de plantas generadoras
de muy diversos tipos, a continuación se muestra la Tabla 1 donde se puede observar
la cantidad de electricidad generada, y además, el tipo de instalación utilizada.
Tabla 3.- Generación nacional diciembre 2002
Generación eléctrica nacional diciembre 2002
Termoeléctricas
26 161,2 Mwe
64,84 %
Hidroeléctricas
9 378,8 Mwe
23,24 %
Carboeléctricas
2 600,0 Mwe
6,44 %
Nucleoeléctrica
1 364,9 Mwe
3,38 %
Geotérmicas
842,9 Mwe
2,09 %
15
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Eoloeléctricas
2,2 Mwe
0,01 %
Total:40 349,94 Mwe (capacidad instalada)
De la información mostrada en esta tabla podemos observar que solo un pequeño
porcentaje de energía eléctrica es generado por medio de plantas nucleoeléctricas.
16
Instituto Politécnico Nacional
REFERENCIAS
[1]
[2]
[3]
[4]
Nuclear Engineering International, handbook 2001
Nuclear Services Section, Government & Public Affairs, ANSTOENS
NucNet, various.
Nuclear Engineering International, handbook 2001
El sector eléctrico de México. Julián Adamero Mirando, Jorge Alberto Aguilar
López, Antonio Alonso Conchero, Ed. Fondo de Cultura Económica, Impreso en
México 1994.
17
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CAPÍTULO DOS
18
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2
Introducción a las centrales nucleoeléctricas
Una Central Nucleoeléctrica es una central térmica de producción de electricidad.
Las centrales nucleoeléctricas tienen cierta semejanza con las termoeléctricas
convencionales ya que también utilizan vapor a presión para mover las unidades
turbogeneradoras, su principio de funcionamiento es esencialmente el mismo que el
de plantas convencionales que utilizan combustibles fósiles tales como: Carbón,
combustóleo o gas, pero en lugar de emplear estos combustibles para producir el
vapor, aprovechan el calor que se obtiene de la fisión de átomos de los isótopos de
Uranio 235 (U235) para transformar este calor en energía eléctrica. La conversión
del calor en energía eléctrica se realiza en tres etapas, en la primera la energía del
combustible se utiliza para producir vapor a elevada presión y temperatura, en la
segunda etapa la energía calorífica (vapor) se transforma en energía mecánica para
provocar el movimiento de la turbina, en la tercer etapa el giro del eje de la turbina
transmite el movimiento a un generador para producir la energía eléctrica.
La conversión de calor en energía eléctrica se realiza entres etapas, en la primera la
energía del combustible se utiliza para producir vapor a elevada presión y
temperatura, en la segunda etapa la energía calorífica (vapor) se transforma en
energía mecánica para provocar el movimiento de la turbina, en la tercera etapa el
giro de la turbina transmite el movimiento a un generador para producir la energía
eléctrica. Las centrales nucleoeléctricas se diferencian de las demás centrales
térmicas (convencionales), solamente en la primera etapa de conversión, es decir; en
la forma de producir el vapor.
En las centrales nucleoeléctricas (tipo BWR) el vapor se produce dentro de un
reactor, éste no tiene sistemas de inyección continua de combustible y aire, ni se
necesita de un dispositivo de eliminación continua de residuos sólidos y tampoco se
producen gases de combustión.
figura
23
Instituto Politécnico Nacional
2.1
Descripción general de la central de laguna verde (CLV)
La Central Nucleoeléctrica de Laguna Verde cuenta con dos unidades del tipo BWR5, la primera de ellas con licencia de operación otorgada por la Secretaría de Minas
e Industria Paraestatal (SEMIP) en base a las recomendaciones de la Comisión
Nacional de Seguridad Nuclear y Salvaguardias (CNSNS), inició su operación
comercial el 29 de Julio de 1990.
Figura 2.1.-Ciclo de la planta de Laguna Verde.
Figura 2.2.- Central núcleo eléctrica Laguna Verde.
24
Instituto Politécnico Nacional
Los principales edificios que la componen son:
•
Edificio del reactor
•
Edificio del turbogenerador
•
Edificio de desechos
•
Edificio de control
•
Edificio de tratamiento e agua
•
Edificio del generador diesel, etc.
2.1.1
Edificio del reactor.
El edificio del reactor tiene la función de dar soporte a la vasija, y además, funge
como contenedor en caso necesario, esta dividido principalmente en dos secciones:
•
El contenedor primario
•
El contenedor secundario
2.1.1.1 El contenedor primario.
El contenedor primario es del tipo Mark II, es una estructura de concreto
reforzado de 1,5m de espesor, recubierto interiormente con una placa de acero de
aproximadamente 0,95 cm de espesor, soldada herméticamente entre sí para
obtener estanqueidad de la misma, y donde se encuentra alojada la vasija.
2.1.1.2 El contenedor secundario.
Es el edificio mismo del reactor, rodea a la contención primaria y a todos los
componentes relacionados con la operación segura del reactor.
2.1.2
Vasija del reactor.
El término de vasija del reactor comprende el cuerpo cilíndrico ver Figura 2.3, el
fondo, la tapa, los soportes, las penetraciones y el aislamiento térmico.
25
Instituto Politécnico Nacional
La vasija del reactor, es un recipiente de presión, cilíndrico vertical, con un fondo
semiesférico soldado al cuerpo cilíndrico en la parte inferior. La parte superior del
cuerpo cilíndrico tiene una brida de unión, que sirve para realizar el ensamble con la
tapa superior semiesférica, mediante pernos. Esto permite el acceso a la vasija para
el mantenimiento y cambio de combustible.
Debido a que el interior de la vasija está en contacto con el agua, como medida de
protección, la vasija está revestida interiormente con una capa de soldadura de
acero inoxidable, que además de reducir al mínimo la corrosión también tiene la
finalidad de facilitar la visibilidad durante las recargas de combustible, algunas de
las características se muestran en la Tabla 4.
Tabla 4.-Características de la vasija del reactor
Altura interior
20.80 m
Diámetro interior
5.18 m
Espesor de pared
12.7 cm
Espesor de pared del fondo
17.78 cm (7")
Material base
Acero al carbono con Manganeso y Molibdeno.
Material de revestimiento
Acero inoxidable austenítico SS-304.
Espesor de revestimiento
0,31 cm
Presión de diseño
87,90 kg/cm2
Temperatura de diseño
302 ºC
Velocidad máxima de calentamiento y enfriamiento
55 ºC/h
Vida de diseño
40 años
Código de proyecto
Código ASME, III, Clase 3200)
Capacidad total
424.9 m3
26
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Las partes que componen a la vasija son:
•
Tapa
•
Bridas de Tapa
•
Brida del cuerpo
•
Segmentos del cuerpo
•
Fondo
•
Faldón Soporte
27
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Figura 2.3.- Vasija del reactor.
28
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2.1.3 Penetraciones de la vasija
Las penetraciones en la tapa, fondo y cuerpo de la vasija permiten el paso de
afluentes y efluentes del reactor, el movimiento de los componentes internos para el
Sirve para soportar vertical y lateralmente a los mecanismos de accionamiento de las
barras de control.
2.1.4
Faldón del fuelle de recarga
Su función es: Suministra una fijación soldada para el fuelle de la compuerta de
recarga. la combinación de la compuerta y del fuelle suministra un cierre hermético
de agua en el área de la brida del reactor, que permite inundar la cavidad del reactor
y sacar de la vasija el combustible gastado.
2.1.5
Soporte de la vasija del reactor (figura 9)
Su función es: Servir de soporte vertical y lateral a la vasija
2.1.6
Aislamiento térmico.
La vasija está rodeada por una serie de paneles de aislamiento con un coeficiente
promedio de transmisión máxima de calor de 17.6 Kcal./hr-cm2 aproximadamente en
las condiciones de funcionamiento de 288°C en la vasija y 57°C en el aire del pozo
seco.
2.1.7
Blindaje biológico (muro de sacrificio)
Es una estructura cilíndrica de concreto de alta densidad con una envolvente de
acero (interior y exterior) y columnas de soporte de viga tipo I, para atenuación
neutrónica.
La pared de blindaje está soportada en el pedestal de soporte de la vasija del
reactor y tiene aproximadamente un espesor de 60 cm.
Están previstos orificios de entrada alrededor de las penetraciones que permiten
desmontar el aislamiento para la inspección en servicio durante las paradas de
mantenimiento.
29
Instituto Politécnico Nacional
2.1.8
Tapa y cierre de la vasija. (figura 9)
La tapa se asegura a la vasija mediante pernos y tuercas que se aprietan con un
tensor de pernos para asegurar la uniformidad del cierre.
2.1.9
Brida de la vasija.(figura 9)
La brida es de gran espesor y está soldada a la porción cilíndrica de la vasija. Con
perforaciones roscadas de 15.24 cm. de diámetro que permiten, mediante pernos, el
cierre de la tapa.
2.1.10
Tapa con brida de la vasija.
La tapa, semiesférica, está fabricada de la misma forma que el fondo de la vasija
(ver Figura 2.3), y con perforaciones en su brida de unión, coincidentes con las de la
vasija, para permitir el deslizamiento de los pernos de aseguramiento.
2.1.11
Sello de la tapa.
Consiste en dos “juntas tóricas” concéntricas de acero inoxidable con una capa de
plata y la superficie exterior pulida.
Las “juntas tóricas” están diseñadas para no permitir fugas detectables a través del
cierre interior, o exterior en ninguna condición de funcionamiento, incluido el
calentamiento a la presión y temperatura de funcionamiento.
En la brida de la tapa hay maquinados dos canales para alojamiento de las juntas
tóricas, en éstos se sitúan tornillos de sujeción para mantener a las juntas sobre la
tapa y hacer más fácil su instalación.
2.1.12
Estructura soporte de los alojamientos del CRD.
Es una salvaguardia de ingeniería diseñada para limitar el movimiento súbito hacia
abajo de control en el caso improbable de fallo del CRD con el reactor a presión, sin
causar daño al combustible. En otras palabras es un sistema entrelazado de barras y
placas de soporte, suspendido por varillas y muelles de disco a través de vigas
atornilladas en la placa de asiento del pedestal de concreto de la vasija.
Las abrazaderas, placas reticulares y barras soporte están atornilladas a las varillas
de suspensión que proporcionan soporte vertical en la parte inferior de cada
30
Instituto Politécnico Nacional
2.1.13
Envolvente del núcleo (core shroud).
Se pondrá especial atención a este componente, pues debido a sus funciones es de
primordial importancia el buen funcionamiento de este.
El core shroul es un conjunto cilíndrico, de acero inoxidable de 5,08 cm e espesor,
soldado en la parte superior del cilindro soporte de la envolvente que se extiende
por encima e las bombas de chorro ver Figura 2.4. Consta de dos secciones
atornilladas:
1.- Sección inferior.
Sostiene la placa soporte del núcleo.
2.- Sección superior.
Sostiene la placa guía superior del núcleo y contiene los cuatro distribuidores de los
sistemas de rocío del núcleo.
Las funciones del envolvente del núcleo son:
Separar el flujo ascendente, a través del núcleo, del flujo descendente de la succión
de la circulación del flujo descendente. Además.
Servir de apoyo y sujeción y proporcionar el soporte lateral a la placa guía superior
del núcleo y la placa soporte del núcleo.
Proporcionar un volumen inundable que permita refrigerar adecuadamente el núcleo
en el caso de una condición de emergencia.
31
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Figura 2.4.- Envolvente del núcleo (Core shroud).
32
Instituto Politécnico Nacional
REFERENCIAS
[5]
“Comisión federal de electricidad”,www. cfe.gob.mx
[6]
Comisión federal de electricidad,”Vasija del reactor y sus componentes
internos” Centro de entrenamiento laguna verde 2004.
[7]
Comisión federal de electricidad,”Introducción a laguna verde” Centro de
entrenamiento laguna verde 2004.
[8]
García M. H., “mas allá de laguna verde”, editorial posada, 1ª edci.,
México,1988.
33
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CAPITULO TRES
Principios teóricos.
23
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3 Concepto de la mecánica de fractura
3.1 Tipos de fractura
En términos generales, se puede establecer que los extremos del rango de fallas de
los materiales son las fallas frágiles y dúctiles. Entre estas se encuentran las fallas
elastoplásticas, sus características se mencionan a continuación.
Fractura Frágil. Es aquella en la cual la fisura se propaga con muy poca deformación
plástica en su vértice, esta es controlada por el esfuerzo de tensión que es
perpendicular al plano de la grieta. También es característico de una falla frágil, el
inicio de la inestabilidad con esfuerzos mucho menores a los requeridos para llevar el
elemento a un estado de fluencia generalizado ver Figura 3.1.
Fractura Dúctil. Es aquella cuyo comportamiento se caracteriza porque el material,
ante cargas iguales al límite de fluencia presenta deformaciones plásticas
apreciables en el vértice de la grieta antes de que suceda el colapso. Normalmente
está controlada por el esfuerzo cortante máximo, como ejemplo tenemos en general
el comportamiento de materiales metálicos de tenacidad intermedia Figura 3.1.
Fractura Elastoplástica. Es aquella donde el material presenta una combinación de
comportamiento frágil y dúctil ante cargas un poco mayores al límite de fluencia. En
otras palabras, primero el material presenta deformaciones elásticas, después un
comportamiento plástico y finalmente el colapso, como ejemplo se encuentra la
mayor parte de los metales los cuales dependiendo de la magnitud de las cargas
siguen un comportamiento elastoplástico Figura 3.1.
24
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Figura 3.1.-Clasificación de los tipos de Fractura.
De las fallas mencionadas anteriormente, la más catastrófica es la frágil. Esto es
debido a que se requiere de poca energía para propagar la grieta. La mecánica de
fractura es la disciplina que se encarga de este tipo de problemas pudiendo ser
mediante un enfoque energético o a través del campo de esfuerzo en la vecindad de
la punta de la grieta. Asimismo, se enfoca también al análisis elastoplástico de
estructuras agrietadas.
3.2 La Teoría de Griffith
Inglis[2.l] determinó la intensificación de esfuerzos en agujeros elípticos, donde el
esfuerzo es aplicado perpendicularmente al eje mayor de la elipse 2a. El ancho de la
placa es mucho mayor que 2a (2a«w) y la altura de la placa es más grande que el
semieje menor de la elipse 2b, ver Figura 3.2 De esta forma el esfuerzo en el plano
del eje mayor está dado por:
σ A = 2σ
a
ρ
(2.1)
donde ρ es el radio de la elipse en el extremo A.
Inglis demostró que la ecuación (2.1) da una buena aproximación para evaluar la
concentración de esfuerzos en una muesca que no es elíptica, excepto en la punta.
25
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Además, predice un esfuerzo infinito en una grieta infinitamente aguda cuando ρ
es cero. Este resultado causó consternación, porque no hay material capaz de
sostener un esfuerzo infinito, ya que un material con una grieta tan aguda fallaría
con la mínima carga aplicada. Esto condujo a Griffith[2.2] a desarrollar una teoría de
fractura basada en el balance de energía para evaluar un incremento del área de la
grieta. El aplicó la primera ley de la termodinámica para encontrar los esfuerzos en
la punta de la grieta, notó que cuando una grieta es introducida en una placa con
material elástico sometida a esfuerzos, un balance energético puede ser establecido
entre el decremento de la energía potencial (relacionada con el relajamiento o
energía elástica almacenada) y el incremento de la energía de superficie resultante
debido a la presencia de la grieta. De alguna manera, una grieta existente se
propagará por algún aumento adicional de energía que fuese suministrada por el
sistema. Esta energía superficial resulta del hecho de que hay un desequilibrio entre
los átomos más cercanos. Griffith estimó el término energía superficial,
estableciendo que es el producto del área total de las áreas proyectadas de la grieta
2(2a*t) en un plano entre ambas superficies de la fisura y la energía superficial
γ e Ye elástica del material de la placa, figura 12.
Uγ = 2(2aγ e )t
Griffith consideró una placa infinita de espesor unitario que contenía una grieta
atravesando el espesor, de longitud 2a y que estaba sujeta a esfuerzo de tensión
uniforme, σ , aplicado en el infinito. La figura 12 representa una aproximación para
semejante placa.
La energía total U de la placa agrietada puede ser escrita como,
U = Uo + Ua + Uγ − F
(2.2)
donde
Uo = energía elástica de la placa cargada sin agrietamiento (una constante).
Ua = cambio en la energía elástica causada por la introducción de la grieta en la
placa.
Uγ = cambio en la energía de superficie elástica debido a la formación de las
superficies agrietadas.
26
Instituto Politécnico Nacional
F = trabajo realizado por fuerzas externas: éste deberá ser sustraído en la
ecuación (2.2), puesto que no es parte de la energía interna (potencial) de la placa. F
= carga*desplazamiento.
Figura 3.2.-Grieta pasante a través de una placa.
Griffith usó los conceptos desarrollados por Inglis, que demostró que para
espesores unitarios, el valor absoluto de Ua está dado por:
Ua =
πσ2 a2
E
(2.3)
Por otra parte, la energía de superficie elástica, Uγ , es igual al producto de la energía
de superficie elástica del material, re, y la nueva área superficial de la grieta:
Uγ = 2(2aγ e )
(2.4)
Para el caso donde el trabajo no es hecho por fuerzas externas, F = 0 Y el cambio en
energía elástica Ua , causada por la introducción de la grieta en la placa, es negativa:
hay una disminución en la energía de deformación elástica de la placa, debido a que
esta pierde rigidez y la carga aplicada por las condiciones de sujeción por
consiguiente descenderá. Consecuentemente, la energía total U de la placa agrietada
es:
27
Instituto Politécnico Nacional
U = Uo + Ua + Uγ
U = Uo −
πσ2 a 2
+ 4 aγ e
E
(2.5)
dUo
es cero, y la
da
condición de equilibrio para la extensión de la grieta es obtenida por el
dU
establecimiento de
igual a cero:
da
Puesto que Uo es constante, su cambio al propagarse la grieta
⎞
πσ2 a 2
d ⎛
⎜⎜ Uo −
+ 4 aγ e ⎟⎟ = 0
da ⎝
E
⎠
(2.6)
De la condición de equilibrio obtenemos
2πσ2 a
= 4γ e
E
(2.7)
la cual puede ser rearreglada como
1
⎛ 2Eγ e ⎞ 2
σ a =⎜
⎟
⎝ π ⎠
(2.8)
La ecuación (2.8) indica que la extensión de la grieta en materiales idealmente
frágiles, es gobernado por el producto del esfuerzo remotamente aplicado y la raíz
cuadrada de la longitud de la grieta y por propiedades del material debido a que E y
γ e son parámetros característicos del material en el término derecho de la ecuación
(2.8). De esta forma, este es un valor constante característico de un material. dado
idealmente frágil. Consecuentemente, la ecuación (2.8) indica que la extensión de la
grieta en tales materiales ocurre cuando el producto,
σ a
alcanza un valor crítico constante.
La ecuación (2.7) puede ser rearreglada en la forma:
πσ2 a
= 2γ e
E
(2.9)
28
Instituto Politécnico Nacional
El término del lado izquierdo de la ecuación (2.9) ha sido designado como la razón de
energía liberada G, y representa la energía elástica por unidad de área de
superficie de la grieta que está disponible para extensión infinitesimal de una grieta.
El término del lado derecho de ecuación (2.9) representa el incremento de energía
superficial que podría ocurrir debido a la extensión de grieta infinitesimal, y es
designada como la resistencia de la grieta, R. Además G deberá ser al menos igual a
R antes que el incremento inestable de la grieta ocurra. Si R es una constante, esto
quiere decir que G deberá exceder un valor crítico Gc . Entonces la fractura ocurrirá
cuando:
πσ2 a πσ2c a
≥
= Gc = R
E
E
(2.10)
El valor crítico Gc puede ser determinado por la medición del esfuerzo σ c
requerido para fracturar una placa con una grieta de medida 2a.
En 1948 Irwin[2.3] sugirió que la teoría de Griffith para materiales idealmente
frágiles podría ser modificada y aplicada para ambos materiales frágiles y metales
que exhibieran deformación plástica. Una transformación similar fue propuesta por
Orowan [2.4] Esta reconocía que una resistencia del material a la extensión de la
grieta es igual a la suma de la energía de superficie elástica y el trabajo de
deformación plástica, γ p , acompañando la extensión de la grieta. Consecuentemente,
la ecuación (2.9) fue modificada como:
πσ2 a
= 2( γ e + γ p )
E
(2.11)
γ >> γ p
, por ejemplo, si R es principalmente
Para materiales relativamente dúctiles e
energía plástica y la energía superficial puede ser ignorada.
Aunque la modificación de Irwin incluye un término de energía plástica, la
aproximación del balance de energía para la extensión de la grieta es todavía
limitado para la definición de las condiciones requeridas para inestabilidad de una
grieta idealmente aguda. También, la aproximación del balance de energía presenta
insuperables problemas para muchas situaciones prácticas, especialmente en
crecimiento lento de grietas estables, como por ejemplo agrietamiento en fatiga y
esfuerzo por corrosión.
29
Instituto Politécnico Nacional
3.3 Análisis del campo de esfuerzos en la vecindad de la punta de la
grieta
3.3.1 Modos de carga
Todos los sistemas de esfuerzos en la vecindad de la punta de una grieta pueden ser
derivados de tres modos de carga.
Modo 1. Modo de apertura o de tensión. La carga es aplicada perpendicularmente al
plano de la grieta y sus superficies se separan. Este es el modo de carga más común
en los problemas de ingeniería, ya que se requiere una carga mínima para propagar la
grieta. Por lo tanto, es al que se le ha prestado mas atención desde el punto de vista
analítico, como experimental, Figura 3.3figura 13(a).
Modo II. Deslizamiento o modo cortante. Las cargas se aplican perpendiculares al
borde de la grieta. Las superficies de fractura se deslizan una sobre la otra. Este
modo es poco común y en la práctica se encuentra, en combinación con el modo 1.
Como ejemplo se tiene cuando hay grietas inclinadas sometidas a tensión, esto
ocasiona un modo mixto de cargas, Figura 3.3figura 13(b).
30
Instituto Politécnico Nacional
Figura 3.3.-Los tres modos de carga.
Modo III. Desgarramiento. Las cargas se aplican paralelamente al borde de la
grieta, y las superficies de fractura se .mueven una sobre la otra y paralelas. Este
caso puede ser un problema de cortante pero involucrando una muesca en una barra a
torsión. De los tres modos, este se puede considerar el menos severo, Figura
3.3figura 13( c).
3.3.2 Esfuerzos en la vecindad de la punta de la grieta
La fractura de componentes agrietados puede ser determinada por análisis de
esfuerzos basados en conceptos de la teoría de la elasticidad. Irwin[2.5], en la
década de los cincuenta, desarrolló soluciones para los modos de carga mostrados en
la Figura 3.3figura 13, partiendo de la teoría lineal elástica, y de los trabajos
desarrollados por Westergaard[2.6]. Para el caso de una grieta rectilínea en el plano
x - z, el campo de esfuerzos puede determinarse con las ecuaciones 2.12, siguiendo
la nomenclatura de la Figura 3.4figura 14, y tomando en cuenta un sistema de
coordenadas polares (r, θ ) con origen en el vértice de la grieta:
Para el Modo I
KI
3θ ⎞
θ⎛
θ
cos ⎜ 1 − sen sen ⎟
2⎝
2
2⎠
2πr
σx =
KI
3θ ⎞
θ⎛
θ
cos ⎜ 1 + sen sen ⎟
2⎝
2
2⎠
2πr
σy =
(2.12)
KI
θ⎛
θ
3θ ⎞
sen ⎜ cos cos ⎟
2⎝
2
2⎠
2πr
τ xy =
donde: KI = σ πa
para el modo II
σx = −
σy =
KII
θ⎛
θ
3θ ⎞
sen ⎜ 2 + cos cos ⎟
2⎝
2
2⎠
2πr
KII
θ⎛
θ
3θ ⎞
sen ⎜ cos cos ⎟
2⎠
2⎝
2
2πr
(2.13)
31
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τ xy =
KII
θ⎛
θ
3θ ⎞
cos ⎜ 1 − sen sen ⎟
2⎝
2
2⎠
2πr
donde: KII = τ πa
para el modo III
τ xz = −
KIII
θ
sen
2
2πr
τ xy = −
KIII
θ
cos
2
2πr
(2.14)
donde: KIII = τ πa
Figura 3.4.-Distribución de esfuerzos alrededor de la punta de la grieta.
Los parámetros KI , KII y KIII son los factores de intensidad de esfuerzos para los
modos de carga I, II y III respectivamente.
Es importante observar que las ecuaciones de esfuerzos presentan una singularidad
0, 5
⎛1⎞
del tipo ⎜ ⎟ en la punta de la grieta. Esto implica que los esfuerzos tienden al
⎝r⎠
infinito. Bajo este contexto, no es posible determinar la severidad del campo de
esfuerzos.
Los factores de intensidad de esfuerzos toman en cuenta la magnitud del esfuerzo y
la longitud de la grieta. Este parámetro permite establecer la severidad del campo
32
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de esfuerzos y se puede comparar con la tenacidad de la fractura, que es una
propiedad del material, para determinar si una grieta se propagará.
3.3.3 El factor de intensidad de esfuerzos
Debido a las dificultades prácticas en la evaluación de la energía, un mayor avance
fue hecho por Irwin[2.7] en 1950, cuando desarrolló el concepto del factor de
intensidad de esfuerzos. Primero, de la teoría lineal elástica Irwin demostró que los
esfuerzos en la vecindad de la punta de la grieta toman la forma:
σij =
K
fij (θ) + ...
2πr
(2.15)
donde r y θ son las coordenadas polares cilíndricas de un punto con respecto a la
punta de la grieta, Figura 3.4figura 14.
K es un parámetro, el cual da la magnitud del campo de esfuerzos elásticos. Esta es
llamado el factor de intensidad de esfuerzos. Análisis dimensionales muestran que K
deberá estar linealmente relacionada al esfuerzo y directamente relacionada a la
raíz cuadrada de una longitud característica. La ecuación (2.8) del análisis de
Griffith indica que esta longitud característica es la longitud de la grieta. La forma
general del factor de intensidad de esfuerzos está dado por:
a
K = σ πa * f⎛⎜ ⎞⎟
⎝w⎠
(2.16)
a
donde f⎛⎜ ⎞⎟ es un parámetro adimensional que depende de la geometría del
⎝w⎠
espécimen y la grieta.
Irwin además demostró que si una grieta es extendida por una cantidad da, el
trabajo hecho por el campo de esfuerzos, es formalmente equivalente al cambio en
energía de deformación Gda . Así, el establecimiento de un factor de intensidad de
esfuerzos crítico, Kc , es exactamente equivalente a la aproximación del balance de
energía Griffith - Irwin, el cual requiere un almacenamiento de energía de
deformación elástica igual a Gc .
Los parámetros que gobiernan la fractura por consiguiente podrían ser establecidos
como una intensidad de esfuerzos críticos, Kc , en vez de un valor de energía crítico
Gc . Para cargas de tensión, las relaciones entre Kc y Gc son:
33
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Gc =
Kc2
E
esfuerzo plano
Kc2
(
Gc =
1 − ν 2 ) deformación plana
E
(2.17)
donde ν es la relación de Poisson. Para deformación plana se acostumbra escribir
GIc Y KIc , donde el subíndice I indica la carga de tensión. Este subíndice es también
usado para expresiones incluyendo el factor de intensidad de esfuerzos como una
variable, por ejemplo, KI .
La solución Griffith - Irwin para una placa con grieta pasante puede ser ahora
escrita como:
( (
σ πa = 2E γ e + γ p
)) = (EG )
1
2
1
2
=K
(2.18)
y así el criterio de falla es
σ πa ≥ σ c πa = Kc
(2.19)
Más generalmente, la extensión de la grieta ocurre cuando el producto
σ πa
alcanza un valor crítico constante. El valor de esta constante puede ser determinado
experimentalmente por la medición del esfuerzo de fractura para una placa gruesa
que contiene una grieta pasante de longitud conocida. Bajo condiciones de
deformación plana, este valor puede ser también medido usando otras geometrías
del espécimen, puede ser empleado para predecir las combinaciones críticas de
esfuerzos y longitudes de grietas en estas otras geometrías.
3.4
Plasticidad en la punta de la grieta
La distribución de esfuerzos elásticos en la vecindad de la punta de la grieta, como
se comentó anteriormente, demuestran que dado que r tiende a cero, los esfuerzos
tienden al infinito, es decir, existe una singularidad de esfuerzos en la punta de la
grieta. Debido a que los materiales estructurales se deforman plásticamente por
encima- del esfuerzo de cedencia, habrá en realidad una zona plástica circundante
en la punta de la grieta. De este modo la solución elástica no es aplicable
incondicionalmente.
34
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A lo largo del eje X, θ = 0 (Figura 3.5) y la expresión para σ y en ecuaciones (2.17)
dan,
σy =
KI
σ πa
=
2πr
2πr
(2.20)
Sustituyendo la resistencia a la cedencia, σ ys , por σ y en la ecuación (2.20), una
estimación puede ser obtenida de la distancia ry sobre la cual el material es
plásticamente deformable delante de la grieta:
1 ⎛⎜ K1 ⎞⎟
ry =
2π ⎜⎝ σ ys ⎟⎠
2
(2.21)
lrwin consideró una zona plástica circular en la punta de la grieta bajo carga de
tensión. El mostró que tal zona plástica circular tiene un diámetro 2ry , Figura 3.7,
con:
1 ⎛⎜ K1 ⎞⎟
ry =
2π ⎜⎝ σ ys ⎟⎠
2
esfuerzo plano
(2.22)
y
2
1 ⎛⎜ K1 ⎞⎟
ry =
deformación plana (2.23)
2π ⎜⎝ Cσ ys ⎟⎠
donde C es usualmente estimada con relación a la plasticidad en la punta de la grieta.
Irwin argumentó que la aparición de plasticidad hace que la grieta se comporte como
si fuera más grande que su medida física, los desplazamientos son más grandes y la
rigidez es menor que en el caso elástico. El demostró que la grieta puede ser vista
con una punta artificial teniendo una distancia ry delante de la punta real, Figura 3.5,
con una región de cedencia ry más allá de ésta y una distribución de esfuerzos
locales. Debido a que la misma K siempre da la misma medida de zona plástica para
materiales con el mismo esfuerzo de cedencia, ecuaciones (2.22) y (2.23), los
esfuerzos y deformaciones ambos dentro y fuera de la zona plástica serán
determinados por K y la aproximación de intensidad de esfuerzos puede ser aún
35
Instituto Politécnico Nacional
usada. En otras palabras, el efecto de plasticidad en la punta de la grieta
corresponde a un incremento aparente de la longitud de la grieta elástica ry .
Figura 3.5.-Una primera aproximación a la zona plástica de la punta de la grieta.
Será notado que el alcance de la Fractura Lineal Elástica puede ser extendida para
hacer frente a solamente una limitada plasticidad en la punta de la grieta, es decir,
cuando la zona plástica es pequeña comparada con tal tamaño de la grieta y el cuerpo
agrietado aun se comporta en una manera elástica aproximadamente. Si este no es el
caso, entonces el problema deberá ser tratado elastoplásticamente.
3.4.1
La medida de la zona plástica de acuerdo a Irwin
El análisis de Irwin[2.8] de la medida de la zona plástica intenta explicar el hecho de
que la distribución de esfuerzos no puede ser simplemente cortada por encima de
σ ys como en la figura 1.5 para que el análisis sea franco, hay algunas restricciones:
1. La forma de la zona plástica es considerada circular.
2. Solo la situación a lo largo del eje x ( θ = 0 en ecuaciones (2.12)) es analizada.
3. El material es considerado como elástico - perfectamente plástico, es decir los
esfuerzos no pueden exceder σ ys .
36
Instituto Politécnico Nacional
Irwin argumentó que la aparición de plasticidad hace que la grieta se comporte como
si ésta fuera más larga que su medida física. Los desplazamientos son más largos y la
rigidez es menor que en el caso elástico, así pues,
aeff = a + ∆an
donde aeff es la longitud efectiva de la grieta y ∆an corresponde al incremento
nocional de la grieta. Por lo tanto, ∆an deberá explicar la redistribución de
esfuerzos que estuvieron por encima de σ ys en el caso elástico, es decir, la
distribución de esfuerzos no es cortada como en la primera aproximación discutida
en 4.4 puesto que el endurecimiento por deformación no es permitido (restricción 3)
∆an se comporta como parte de la grieta.
Ahora consideremos la situación en la figura 1.6. para una grieta de longitud a + ∆an ,
ry =
1 ⎛⎜ KI ⎞⎟
σ2
(a + ∆an )
=
2π ⎜⎝ σ ys ⎟⎠ 2σ2ys
(2.24)
Para todos los esfuerzos que estén transmitiendo al área σ ys * ∆an deberán ser igual
al área A:
σ ys * ∆an =
(
∫
ry
σ π(a * ∆an )
2πr
0
) ∫
σ ys ∆an + ry =
ry
0
dr − σ ys * ry
σ π(a * ∆an ) dr 2σ a + ∆an
=
r
2π
2π
(2.25)
ry
(2.26)
37
Instituto Politécnico Nacional
Figura 3.6.-Esquema del análisis de Irwin.
Usando la ecuación (2.24) podemos sustituir para:
σ a + ∆an
en la ecuación (2.26). Esto da,
(
)
σ ys ∆an + ry =
2σ ys 2ry ry
2
y por lo tanto:
∆an + ry = 2ry
(2.27)
Así los resultados del análisis de Irwin calculan el diámetro de zona plástica y es una
primera aproximación. Además, esto significa que la longitud de la grieta nocional se
extiende en el centro de la zona plástica circular, Figura 3.7figura 17, con un cambio
concomitante de la distribución de esfuerzos en una distancia ry con respecto al
caso elástico. Es de notar que la distribución de esfuerzos elásticos tiene un máximo
a una distancia 2ry delante de la punta de la grieta real y es igual a:
σy =
KI
2πr
Puesto que K siempre es la misma en la zona plástica, ecuación (2.21), los esfuerzos y
deformaciones ambas dentro y fuera de la zona plástica serán determinados por K.
Por consiguiente el factor de intensidad de esfuerzos es aún aplicable para
correlacionar crecimiento de grietas y comportamiento de la fractura.
38
Instituto Politécnico Nacional
Figura 3.7.-La medida de la zona plástica de Irwin.
3.4.2 La medida de la zona plástica de acuerdo a Dugdale
El análisis de Dugdale[2.9] asume que todas las deformaciones plásticas se
concentran en una banda enfrente de la grieta. Este tipo de comportamiento
verdaderamente ocurre para diversos materiales. Pero ciertamente no para todos.
Como en el análisis de Irwin, Dugdale argumentó que la longitud efectiva de la grieta
es más larga que la longitud física. No obstante, en este caso, el incremento de
grieta es considerado portador del esfuerzo de cedencia como se ve en la figura 18.
Además, la suposición del comportamiento elástico - plástico también se hizo.
Figura 3.8.-Esquema del análisis de Dugdale.
39
Instituto Politécnico Nacional
La aproximación de Dugdale procede como sigue:
Se obtiene una función de esfuerzo tipo Westergard para una grieta de longitud
2(a + ∆an ) 2 con el origen en el centro de la grieta. De la ecuación,
σ
checar ecuación
1 − (a + ∆an )
z2
φ1 (z ) =
(2.28)
obtenida en la derivación de las ecuaciones para el campo de esfuerzos elásticos del
Modo I.
2. Debido a que ∆an involucra al esfuerzo de cedencia, a diferencia de una grieta
real, la función de esfuerzos elásticos φI (z) sobreestimará la intensidad de
esfuerzos en la punta de la grieta nocional. Así una función de esfuerzos que
describe la condición de carga sobre la distancia podrá ser encontrada, y esta
función de esfuerzo deberá ser sustraída de φI (z) .
La condición de carga para ∆an podrá ser descrita por la integral de una función de
esfuerzos φ2 (z) representando una fuerza puntual σ ys en una distancia b de la punta
de la grieta actual. La solución para φ2 (z) , dada en una de las referencias[2.10] para
este capítulo, es:
φ2 (z ) =
(a + ∆an )2 − b2
z 2 − (a + ∆an )2 (z 2 − b2 )
2σ ysz
π
(2.29)
y la integral requerida también es una función de esfuerzo tal que,
a + ∆an
2σ yszz
(a + ∆an )2 − b2
φ3 (z ) =
∫
φ3 (z ) =
2σ ys ⎡
⎛ a
z
⎢
arc cos⎜⎜
π ⎢ π z 2 − (a + ∆an )2
⎝ a + ∆an
⎣
a
π z 2 − (a + ∆an )2
•
z 2 − b2
db (2.30)
⎛ a z 2 − (a + ∆a )2
⎞
n
⎟⎟ − arc cot⎜
2
2
⎜
⎠
⎝ z (a + ∆an ) − a
⎞⎤
⎟⎥ (2.31)
⎟⎥
⎠⎦
La función correcta de esfuerzo, φ 4 (z ) , es φ I (z ) − φ3 (z ) , es decir:
40
Instituto Politécnico Nacional
φ 4 (z ) =
σ ys
z − (a + ∆an )
2
2
−
2σ ys
z
z − (a + ∆an )
π
2
2
⎛ a z 2 − (a + ∆a )2
n
arc cot⎜
+
2
2
⎜
π
⎝ z (a + ∆an ) − a
2σ ys
⎛ a ⎞
⎟⎟
arc cos⎜⎜
⎝ a + ∆an ⎠
⎞
⎟
⎟
⎠
(2.32)
Dugdale continuó con el argumento de que una singularidad de esfuerzos no puede
existir en la punta de la grieta nocional, puesto que en el punto del esfuerzo elástico
no va a ser más agudo que el esfuerzo de cedencia para un material perfectamente
elástico - plástico. Esto significa que los términos singulares en la ecuación (2.32)
podrán cancelarse cada uno, es decir:
σ ys
z − (a + ∆an )
2
2
−
2σ ys
π
z
z − (a + ∆an )
2
2
⎛ a ⎞
⎟⎟ = 0
arc cos⎜⎜
a
a
+
∆
n ⎠
⎝
así
2σ ys
⎛ a
arc cos⎜⎜
π
⎝ a + ∆an
⎞
⎟⎟ = 0
⎠
⎛
a ⎞
πσ
⎟⎟
= arc cos⎜⎜
2σ ys
⎝ a + ∆an ⎠
o
σ−
y
⎛ πσ ⎞
a
⎟=
cos⎜
⎜ 2σ ys ⎟ a + ∆an
⎝
⎠
(2.33)
Finalmente la extensión de la zona plástica, ∆an , es encontrada por expansión de
⎛ πσ ⎞
⎟
cos ⎜
⎜ 2σ ys ⎟
⎝
⎠
como una serie y aproximando
a
a + ∆an
por
a − ∆an
a
41
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El resultado es:
a − ∆an
π2 σ 2
=1−
a
8σ2ys
y
π2 σ2 a π2 ⎛⎜ KI ⎞⎟
∆an =
=
8σ2ys
8 ⎜⎝ σ ys ⎟⎠
2
(2.34)
En concreto, la medida de la zona plástica de Dugdale, ecuación (2.34), es:
⎛K ⎞
∆an = 0.393⎜ I ⎟
⎜ σ ys ⎟
⎝
⎠
2
Esto es un poco más largo que el diámetro de la zona plástica de acuerdo a Irwin. El
análisis de Irwin da una zona plástica de diámetro 2ry y, el cual de la ecuación (2.21)
es:
2
⎛K ⎞
1⎛K ⎞
∆an = ⎜ I ⎟ = 0.393⎜ I ⎟
⎜ σ ys ⎟
π ⎜⎝ σ ys ⎟⎠
⎝
⎠
2
3.4.3 Forma de la zona plástica de acuerdo a Von Mises
Lo que se ha presentado anteriormente, se considera sólo cuando el plano de grieta
es θ = 0 ; no obstante, es posible conocer la extensión de la zona plástica para todos
los ángulos. Considerando la ecuación de teoría de falla de Von Mises,
σe =
1
(σ − σ2 )2 + (σ1 − σ3 )2 + (σ2 − σ3 )2
2 1
[
]
1
2
(2.35)
donde:
σ e .- esfuerzo efectivo
σ1 , σ2 , σ3 .- esfuerzos principales.
42
Instituto Politécnico Nacional
De acuerdo al criterio de Von Mises, la cedencia ocurre cuando σ e = σ ys , esfuerzo
uniaxial de cedencia. Para esfuerzos planos y deformación plana, los esfuerzos
principales pueden ser calculados mediante él círculo de Mohr:
σ1 , σ 2 =
σ xx + σ yy
2
1
⎡⎛ σ xx + σ yy ⎞ 2 ⎤ 2
⎟⎟ + τ xy ⎥
± ⎢⎜⎜
2
⎠
⎣⎝
⎦
(2.36)
Para esfuerzo plano, σ3 = 0 , y para deformación plana σ3 = ν(σ1 + σ2 ) , se sustituye el
campo de esfuerzos del Modo 1 en la ecuación (2.36):
σ1 =
KI
θ
θ
cos ⎛⎜ 1 + sen ⎞⎟
2⎝
2⎠
2πr
KI
θ
θ
cos ⎛⎜ 1 − sen ⎞⎟
2⎝
2⎠
2πr
σ2 =
(2.37b)
esfuerzo plano
σ3 = 0
σ3 =
(2.37a)
2νKI
2πr
cos
θ
deformación plana
2
(2.37c)
Se sustituyen las ecuaciones (2.37) en la ecuación (2.35), haciendo σ e = σ ys , y
resolviendo para r, obtenemos el radio de la zona plástica para el Modo I como
función de θ :
1 ⎛⎜ KI ⎞⎟
ry (θ) =
4 π ⎜⎝ σ ys ⎟⎠
2
3
⎡
⎤
+
θ
+
1
cos
sen2 θ⎥
⎢⎣
2
⎦
para esfuerzo plano
(2.38a)
2
3
1 ⎛⎜ KI ⎞⎟ ⎡
⎤
2
(
)
(
)
−
ν
+
θ
+
1
2
1
cos
sen2 θ⎥ para deformación plana
ry (θ) =
⎢
⎜
⎟
2
4 π ⎝ σ ys ⎠ ⎣
⎦
(2.38b)
Las dos ecuaciones anteriores son graficadas [1.11] a continuación para ver
aproximadamente la frontera entre el comportamiento elástico y plástico. Es notoria
la diferencia entre las zonas para esfuerzos planos como para deformación plana. Es
conveniente mencionar que la deducción de las ecuaciones (2.38) se basó en un
análisis elástico puro. También son graficados los resultados para los otros dos
modos.
43
Instituto Politécnico Nacional
Como se puede apreciar, en condiciones de deformación plana, la zona plástica es
menor que para esfuerzo plano. Esto implica que en el primer caso, se disipa una
menor cantidad de energía y por lo tanto se existe una mayor disposición de esta
para generar superficies de grieta. De ahí, que en términos de fractura, la condición
de deformación plana es la más crítica.
Figura 3.9.-Formas de la zona plástica en la punta de la grieta.
En la Figura 3.10. se comparan las zonas para deformación plana predichas por la
ecuación (38a) con una solución elastoplástica detallada obtenida por un análisis de
elemento finito. Además, analizan materiales con exponente de endurecimiento n = 5,
10 Y 50, lo cual corresponde a alto, medio y bajo endurecimiento por deformación,
Figura 3.11; donde, para un alto endurecimiento por deformación corresponderá
44
Instituto Politécnico Nacional
pequeñas zonas plásticas, porque el material es capaz de soportar altos esfuerzos y
una menor redistribución de esfuerzos necesaria.
Figura 3.10.-Zonas de deformación plástica predichas por la ecuación (38a) con una solución
elastoplástica detallada obtenida por un análisis de elemento finito.
Figura 3.11.-Efecto del endurecimiento en la zona plástica.
3.4.4
Tenacidad a la fractura
El concepto denominado zona de singularidad hace alusión a un parámetro sencillo
que caracteriza las condiciones en la punta de la grieta. Los esfuerzos cerca de esta
1
; y conociendo el factor de intensidad
en un material lineal elástico varían con
1
(r)2
de esfuerzos y auxiliándonos de ecuaciones como las de los campos de esfuerzos y
45
Instituto Politécnico Nacional
desplazamientos,
se
definen
completamente
esfuerzos,
deformaciones,
desplazamientos y la denominada zona de singularidad. Si asumimos que un material
falla localmente para una combinación de esfuerzos y deformaciones, la extensión de
la grieta deberá ocurrir para un valor crítico de K. De esta manera, el valor Kc , en
condiciones de deformación plana que es la más crítica, será una medida de la
resistencia a la fractura o tenacidad a la fractura, la cual es una constante del
material que es independiente del tamaño y geometría del cuerpo agrietado. Puesto
que G está relacionada con el factor de intensidad de esfuerzos, G también proveerá
un parámetro alterno de medición de resistencia a la fractura, que describirá las
condiciones en la punta de la grieta.
Además, en la forma general del factor de intensidad de esfuerzos, podemos
observar la interacción de las propiedades del material, la resistencia a la fractura
con el esfuerzo de diseño y el tamaño de grieta. Cabe mencionar que para una
probeta y una estructura cargados ambos con el mismo factor de intensidad de
esfuerzos, presentarán condiciones idénticas en la punta de la grieta en ambas
configuraciones, mientras la zona plástica es pequeña comparada con las demás
dimensiones. De esta manera ambas fallarán para un mismo valor crítico de K.
3.4.5
Efecto de las dimensiones del espécimen
El factor de intensidad de esfuerzos crítico es una constante del material cuando
ciertas condiciones son cumplidas. En condiciones diferentes, los valores de Kc ,
depende de la geometría. La siguiente figura muestra el efecto que tiene el espesor
sobre el factor de intensidad de esfuerzos para el Modo I, en la cual se aprecia que
la zona plástica tiende a disminuir conforme se aumenta el grosor de la probeta.
Esto, debido obviamente a que a espesores más delgados prevalece la condición de
esfuerzos planos. Cuando la grieta crece, la zona plástica en la punta de la grieta es
grande y la fractura ocurre en planos de 45°. En este caso, el material exhibe alta
tenacidad a la fractura. Al aumentar los espesores, prevalece la condición de
deformación plana y la deformación plástica disminuye drásticamente. Esto resulta
1
en una reducción de la tenacidad del material a niveles de aproximadamente , o
3
menores, que para la condición de esfuerzos planos. Una observación importante, es
que para el nivel más bajo de tenacidad, al aumentar más el espesor no se presenta
una reducción en dicho valor sino que prácticamente es constante. Este valor es
conocido cono tenacidad a la fractura en deformación plana, KIc .
46
Instituto Politécnico Nacional
De acuerdo a la American Society for Testing and Materials (ASTM)[2.12],
estándares de prueba plantean que el tamaño de una probeta debe cumplir el
siguiente requerimiento para obtener resultados válidos de KIc en metales:
⎛K ⎞
a, B, (W − a ) ≥ 2,5⎜ I ⎟
⎜ σ ys ⎟
⎝
⎠
2
(2.39)
donde
a = es la medida de la grieta,
W = es el ancho de la placa y
B = espesor de la placa.
1
veces la dimensión a de la probeta
50
para obtener un valor crítico de KI independiente del tamaño. Además, dicha
La ecuación 2.39 implica que ry debe ser ≤
ecuación se basó en observaciones experimentales de tamaño en dependencia de la
resistencia a la fractura en aceros y aluminio. Los requerimientos en el espesor nos
aseguran condiciones de deformación plana, mientras que las especificaciones de las
dimensiones aseguran que el comportamiento nominal es lineal elástico y que KI
caracteriza las condiciones en la punta de la grieta.
Falta figura de la probeta
47
Instituto Politécnico Nacional
Figura 3.12.-Efecto del espesor de la probeta en el Modo I de resistencia a la fractura.
3.5
Mecánica de la fractura elastoplástica
Debido a que la mecánica de fractura lineal elástica es válida cuando el
comportamiento no lineal es restringido a una pequeña región alrededor de la punta
de la grieta; por tanto, en algunos materiales es virtualmente imposible caracterizar
el comportamiento de la fractura y existe la necesidad de utilizar distintos modelos.
La mecánica de fractura elastoplástica es aplicada a materiales que exhiben
comportamiento no lineal independiente del tiempo, es decir existe deformación
plástica. Para este, efecto se puede emplear alguno de los dos parámetros
elastoplásticos; el Desplazamiento de Apertura de la Punta de la Grieta (Crack Tip
Openning Displacement, CTOD) y la integral J. Ambos pueden ser usados como
criterio de fractura. Aunque existen límites de aplicación de dichos parámetros,
estos son menos restrictivos que los parámetros de la mecánica de la fractura lineal
elástica.
3.5.1
Desplazamiento de apertura de la punta de la qrieta (CTOD)
Wells [2.l3] observó que el grado de achatamiento de la grieta se incrementaba en
proporción a la resistencia del material en un material elastoplástico, lo anterior
permitió proponer el CTOD como una medida de resistencia a la fractura. Wells
define el CTOD como la separación de las superficies de la grieta en el extremo de
la zona de cedencia cercana a la punta de la grieta. Asimismo, Wells desarrolló un
análisis que relaciona CTOD con el factor de intensidad de esfuerzos en el límite de
poca cedencia. Considerando una grieta con una pequeña zona plástica, Figura 3.13,
48
Instituto Politécnico Nacional
Irwin [2.8] demuestra que la plasticidad en la punta hace que la grieta se comporte
como si fuera delgadamente larga. Así, se puede estimar el CTOD, al resolver para
desplazamiento la apertura física de la grieta, asumiendo una longitud efectiva de
grieta de a + ry . Tomando en cuenta que el desplazamiento Uy cerca de la apertura
efectiva de la grieta está dado por:
uy =
k + 1 ry
2µ 2π
(2.40)
donde
µ = módulo de corte
k=
3 − 4ν (deformación plana)
k=
(3 − ν )
(1 + ν )
ν =
relación de Poisson.
( esfuerzo plano)
y la corrección para la zona plástica de Irwin para la condición de esfuerzo plano es,
1 ⎛⎜ KI ⎞⎟
ry =
2π ⎜⎝ σ ys ⎟⎠
2
(2.41)
sustituyendo la ecuación (2.40) en (2.41) tenemos que,
2
4 KI
δ = 2uy =
π πσ ysE
(2.42)
donde δ es el CTOD.
Figura 3.13.-Estimación de CTOD con la corrección de Irwin.
49
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De manera alternativa, el CTOD puede ser relacionado con G al aplicar la ecuación:
KI2
G=
E
en la ecuación (2.42),
δ=
4 G
π σ ys
(2.43)
Así en el límite de una pequeña escala de cedencia, el CTOD está relacionado para G
y KI . Wells postula que el CTOD es un parámetro apropiado para caracterizar las
condiciones en la punta de la grieta, cuando la mecánica de fractura lineal elástica no
es válida.
El modelo de banda de cedencia provee un método alternativo para analizar el CTOD
[2.14], donde la zona plástica se modela por la magnitud de los esfuerzos a la
cedencia que cierran la grieta. El tamaño de la banda de cedencia fue definido por
los esfuerzos finitos requeridos para la punta de la grieta. El CTOD puede ser
definido como el desplazamiento de apertura de la grieta para el extremo final de la
zona de la banda de cedencia, como se observa en la Figura 3.14. De acuerdo a esta
definición, el CTOD en una placa infinita con grieta central sujeta a un esfuerzo
lejano está dado por:
δ=
8σ ys a
⎛π σ ⎞
⎟
ln sec⎜
⎜ 2 σ ys ⎟
πE
⎝
⎠
(2.44)
por series de expansión el término ln sec resulta,
2
4
⎤
⎛π σ ⎞
8σ ys a ⎡ 1 ⎛ π σ ⎞
1
⎟
⎜
⎟
⎜
⎢
+ ...⎥
+
δ=
πE ⎢ 2 ⎜⎝ 2 σ ys ⎟⎠ 12 ⎜⎝ 2 σ ys ⎟⎠
⎥
⎦
⎣
2
⎤
K12 ⎡⎢ 1 ⎛⎜ π σ ⎞⎟
δ=
1+
+ ...⎥
σ ysE ⎢ 6 ⎜⎝ 2 σ ys ⎟⎠
⎥
⎦
⎣
δ=
K12
G
=
σ ysE σ ys
(2.45)
(2.46)
lo cual difiere poco de la ecuación (2.43).
50
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Figura 3.14.-Estimación del CTOD del modelo de banda de cedencia.
El modelo de la banda de cedencia asume condiciones de esfuerzo plano y no al
endurecimiento por deformación del material. Sin embargo, la relación real entre
CTOD, KI y G depende del estado de esfuerzos y el endurecimiento por deformación
y puede ser expresada de la siguiente manera:
δ=
K12
G
=
mσ ysE mσ ys
(2.47)
donde m es una constante adimensional que es aproximadamente 1.0 para esfuerzos
planos y 2.0 para deformación plana.
Existe un número de definiciones alternas de CTOD. Las dos más comunes se
muestran en la Figura 3.15. El desplazamiento para la punta original de la grieta y el
desplazamiento para la intersección de un vértice a 90° con los flancos de la grieta.
Las definiciones fueron propuestas por Rice y son comúnmente para inferir CTOD en
mediciones por el método de elemento finito. Y son equivalentes si la grieta presenta
achatamiento en forma de un semicírculo.
Figura 3.15.-Definiciones alternativas de CTOD.
51
Instituto Politécnico Nacional
Las mediciones de laboratorio de CTOD son hechas en el eje de la grieta en
probetas cargadas en tres puntos de flexión, donde este parámetro es obtenido al
asumir que la probeta se comporta en dos mitades rígidas y giran sobre un punto,
como se observa en la Figura 3.16. Haciendo referencia a dicha figura, podemos
estimar CTOD de la construcción de triángulos semejantes,
Figura 3.16.-El modelo de punto de rotación para estimar CTOD para una probeta en tres
puntos de flexión.
δ
V
=
r(W − a ) r(W − a ) + a
por lo tanto,
δ=
r(W − a )V
r(W − a ) + a
(2.48)
donde r es el factor rotacional, constante adimensional entre O y 1.
El modelo anterior es inadecuado cuando los desplazamientos son principalmente
elásticos. Consecuentemente, los métodos estándar para pruebas de CTOD adoptan
típicamente un modelo de rotación sobre un punto modificado, en el cual los
desplazamientos son separados en las componentes, una elástica y la otra plástica; la
consideración del punto de rotación es aplicada solamente para desplazamientos
plásticos. En la Figura 3.17 se muestra una curva típica de carga (P) contra
desplazamiento (V) para pruebas de CTOD. La forma es similar a la de la curva
esfuerzo - deformación unitaria. Inicialmente es lineal, la cual se pierde con la
deformación plástica. Para un punto dado sobre la curva, los desplazamientos son
separados en las componentes elásticas y plásticas por la construcción de una línea
52
Instituto Politécnico Nacional
paralela a la línea elástica de carga. La línea punteada representa la trayectoria de
descarga para la probeta, se asume que la grieta no crece durante la prueba. El
CTOD es estimado por:
δ = δel + δp =
rp (W − a )Vp
KI2
+
mσ ysE´ rp (W − a ) + a
(2.49)
los subíndices "el" y "p" denotan las componentes elásticas y plásticas,
respectivamente. El factor de intensidad de esfuerzos es calculado al introducir la
carga y las dimensiones de la probeta en la expresión apropiada. El factor rotacional,
rp , es aproximadamente 0,44 para los materiales típicos y probetas de prueba.
Figura 3.17.-Determinación de las componentes plásticas de la apertura de desplazamiento de
la grieta.
3.5.2
La integral J
En la Figura 3.18, se ilustra el comportamiento en un diagrama esfuerzo-deformación
unitario de un material elastoplástico y un material no lineal-elástico. El
comportamiento en la carga es idéntico para los dos materiales, pero el de descarga
difiere. Para el material no lineal-elástico, la carga y descarga siguen la misma
53
Instituto Politécnico Nacional
trayectoria, mientras que en un material elastoplástico, la línea de descarga sigue
una trayectoria lineal con una pendiente igual al módulo de Young. Así, el análisis que
asume el comportamiento no lineal-elástico puede ser válido para materiales
elastoplásticos, previendo que la descarga no ocurra. La teoría plástica de
deformación, la cual relaciona deformaciones totales con esfuerzos en un material,
es equivalente con la elasticidad no lineal.
Figura 3.18.-Esquema comparativo del comportamiento esfuerzo - deformación de materiales
elastoplásticos y no lineales - elásticos.
Rice, [2.15] aplica la deformación plástica (es decir, elasticidad no lineal) al análisis
de grietas en materiales no lineales. El demuestra, que la no linealidad de la razón de
energía liberada, J, puede ser escrita como una integral de línea independiente de la
trayectoria. Hutchinson, [2.16] Rice y Rosengren [2.17]. También demuestran que J
caracteriza el campo de esfuerzos en la punta de la grieta en materiales no lineales.
De esta manera, demostraron que la integral J puede ser vista como un parámetro
no lineal de intensidad de esfuerzos. Mas adelante Begley [2.18] y Landes, [2.19]
investigadores de Westinghouse, a través de sus trabajos despejan toda clase de
escepticismos en cuanto al uso de la integral J como parámetro que caracteriza la
tenacidad a la fractura en aceros. Dichos trabajos de estos investigadores
aparecerían más adelante como normas (ASTM E813-81) [2.12] para la realización de
pruebas de la integral J.
54
Instituto Politécnico Nacional
3.5.3
No linealidad de la razón de energía liberada
Rice [2.15] desarrolló una integral de línea independiente de la trayectoria para el
análisis de grietas. Demuestra que el valor de dicha integral, la cual es llamada J, es
la razón de energía liberada en un cuerpo no lineal elástico que contiene la grieta
Considerando el balance de energía de Irwin:
dE dΠ o dΠ dWs
=
+
+
+F = 0
da
da
da
da
Esta ecuación es la misma que se utilizó cuando se consideró el comportamiento
lineal elástico; no obstante, esta ecuación sigue siendo válida mientras el
comportamiento siga siendo elástico. Por lo tanto, la ecuación es útil cuando
analizamos materiales que tengan un comportamiento como el descrito en la Figura
3.18. Aunque se presenta una restricción que la descarga no puede ocurrir en alguna
parte del cuerpo puesto que la deformación plástica es irreversible.
En la ecuación anterior podemos definir un potencial de energía Up como:
Up = Π 0 + Π − F
(2.50)
por lo tanto,
E = Up + Ws
De esta manera se observa que Up contiene todos los términos de energía que
pueden contribuir al comportamiento no lineal-elástico, mientras que Ws (cambio en
la energía de superficie elástica causada por la formación de superficies de grieta),
generalmente es irreversible. Por lo tanto, Π 0 es constante, y diferenciando Up ,
recordando que el concepto de diferencial lo ocupamos como razón de cambio:
dUp
da
=
d
(Π − F ) = − d (F − Π )
da
da
(2.51)
entonces,
J=−
dUp
da
(2.52)
55
Instituto Politécnico Nacional
dF
representa la energía provista por la fuerza
da
dΠ
es el incremento de la
externa F para incrementar la extensión de la grieta, y
da
dUp
dF
energía elástica debido al trabajo externo
representa el
. La cantidad
da
da
cambio en la energía almacenada disponible para la extensión de la grieta.
De donde se puede observar, que
Por otra parte, considerando una placa agrietada que exhibe un comportamiento no
lineal se puede trazar la curva carga - desplazamiento, Figura 3.19. Considerando un
espesor unitario. Para carga constante:
J = (F − Π ) = −Up *
donde U * es la energía de deformación complementaria definida como,
p
U* = ∫ ∆dP
0
(1.53)
Si la placa está sometida a carga constante, J está dada por:
⎛ dU * ⎞
J=⎜
⎟
⎝ da ⎠p
(1.54)
Si la grieta avanza para el desplazamiento fijo Figura 3.19a, F = 0 , y J esta dada
por:
⎛ dU ⎞
J = −⎜
⎟
⎝ da ⎠ ∆
(1.55)
56
Instituto Politécnico Nacional
Figura 3.19.-Determinación de la integral J. a} Desplazamiento fijo; b} Carga fija.
De acuerdo a la figura (1.19), dU * para carga constante difiere − dU , de
(dpd∆ ) lo cual es insignificante comparado
desplazamiento constante en la cantidad
2
con dU0 Por tanto, J tanto para carga o desplazamiento controlado es igual. Estos
resultados son los mismos que los que se obtienen en el análisis de G.
J puede expresarse en términos de carga constante,
∂∆
∂ p
J = ⎛⎜ ∫ ∆dP ⎞⎟ = ∫ ⎛⎜ ⎞⎟ dP
⎝ ∂a ⎠p
⎠P
⎝ ∂a 0
(2.56)
o desplazamiento constante,
∂ p
⎛ ∂P ⎞
J = −⎛⎜ ∫ Pd∆ ⎞⎟ = ∫ ⎜ ⎟ d∆
⎠∆
⎝ ∂a 0
⎝ ∂a ⎠ ∆
(2.57)
Integrando por partes las ecuaciones (2.56) y (2.57) para tener una prueba de lo que
ya se había supuesto de la Figura 3.19. Esto es, las ecuaciones (2.56) y (2.57) son
iguales y J es la misma para ambas condiciones.
Por lo tanto, J es una generalización de la razón de energía liberada, y la relación que
existe entre J y G es muy aparente. Para las condiciones lineal y no lineal elásticas, J
es la energía disponible en la punta de la grieta por unidad de extensión de grieta, es
decir que J es equivalente a G. De esta manera tenemos:
57
Instituto Politécnico Nacional
J=G=
K2
E´
(2.58)
donde:
E´= E (esfuerzo plano)
E´=
E
(1 − ν2 ) (deformación plana).
Un caso particular se dará cuando tengamos un material con comportamiento lineal elástico donde está claro que J = G.
Se debe tener cuidado, cuando J se aplica a materiales elastoplásticos. La razón de
energía liberada es, normalmente, definida como el potencial de energía liberada por
una estructura cuando una grieta crece en un material elástico. Sin embargo, mucha
de la energía de deformación absorbida por un material elastoplástico no es
recuperada cuando la grieta crece o la probeta es descargada; es decir, la energía es
disipada de manera irreversible durante el flujo plástico dentro del sólido (ej.
Movimientos de dislocación); además, un crecimiento de grieta en un material
elastoplástico deja una estela plástica. Así el concepto de razón de energía liberada
tiene una interpretación diferente en materiales elastoplásticos. Cabe señalar que J
se derivó tomando en cuenta que la descarga no ocurría en el material, por lo tanto J
es aplicable solamente para el inicio de crecimiento de la grieta y no para el
crecimiento de la grieta.
3.5.4
J como una integral de línea independiente de la trayectoria
Se considera una trayectoria en el sentido contrario a las manecillas del reloj (Γ )
alrededor de la punta de la grieta, como se observa en la Figura 3.20. La integral
está dada por,
⎛
⎞
∂u
J = ∫ ⎜⎜ wdy − Ti i ds ⎟⎟
∂x
⎠
Γ⎝
(2.59)
donde:
w =densidad de energía de deformación
Ti = componentes del vector de tracción
58
Instituto Politécnico Nacional
ui = componentes del vector desplazamiento
ds = elemento diferencial de la trayectoria cerrada, Γ .
La densidad de energía de deformación esta dada por,
εij
w = ∫ σijdεij
(2.60)
0
donde:
σij = tensor de esfuerzos
εij = tensor de deformación.
La tracción es un vector normal al contorno. Esto es, si se construyera un diagrama
de cuerpo libre dentro del contorno del material, T¡ podría definir el esfuerzo
normal que actúa en la frontera. Las componentes del vector de tracción están dadas
por,
Ti = σijnj
(2.61)
donde:
nj = componentes del vector unitario normal a Γ .
Rice [2.l5] demuestra que el valor de la integral J es independiente de la trayectoria
de integración alrededor de la grieta. Así J, es llamada integral de línea
independiente de la trayectoria.
59
Instituto Politécnico Nacional
Figura 3.20.-Contorno arbitrario alrededor de la punta de la grieta.
Obtener las soluciones para J se torna un poco difícil, por lo cual es generalmente
necesario hacer uso de métodos numéricos como elementos finitos.
3.5.5
J como parámetro de intensidad de esfuerzos
Hutchinson, [2.1 6] Rice y Rosengren[2.17] muestran de manera independiente que J
caracteriza las condiciones en la punta de la grieta en un material no lineal elástico.
Ellos asumen una relación a partir de la ley de potencias entre la deformación
plástica y esfuerzos. Si la deformación elástica es incluida, está relación para
deformación uniaxial esta dada por la expresión de Ramberg - Osgood,
n
⎛ σ ⎞
ε
σ
=
+ α⎜⎜ ⎟⎟
ε 0 σ0
⎝ σ0 ⎠
(2.62)
donde:
σ 0 = es un valor de esfuerzos de referencia, usualmente es el esfuerzo de cedencia
σ
ε0 = 0
E
a = constante adimensional
n = exponente de endurecimiento por deformación.
Hutchinson, Rice y Rosengren señalan que para que la trayectoria se mantenga
1
cerca de la
independiente, la relación esfuerzos-deformación debe variar con
r
punta de la grieta. Para una distancia muy cercana a la punta de la grieta dentro de
la zona plástica, la deformación elástica es pequeña comparada con la deformación
total, y el comportamiento esfuerzos-deformación se reduce a una simple ley de
potencias. Esas dos condiciones implican la siguiente variación de esfuerzos y
deformación en la punta de la grieta,
1
⎛ J ⎞ n +1
σij = k1 ⎜ ⎟
⎝r⎠
(2.63a)
n
⎛ J ⎞ n +1
εij = k2 ⎜ ⎟
⎝r⎠
(2.63b)
60
Instituto Politécnico Nacional
donde k1 y k2 son constantes de proporcionalidad. Para un material lineal elástico,
1
n = 1 , y la ecuación (2.63a) predice una singularidad,
, la cual concuerda con la
1
(r )2
obtenida de la teoría de MFLE.
La distribución de esfuerzos y deformación obtenida al aplicar las apropiadas
condiciones de frontera,
1
⎛ EJ ⎞ n +1
σij = σ 0 ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ~
σij (n, θ)
ασ
I
r
n
0
⎝
⎠
(2.64a)
y
εij =
ασ 0 ⎛ EJ ⎞
⎜
⎟
E ⎜⎝ ασ20Inr ⎟⎠
1
n +1
~
εij (n, θ)
(2.64b)
donde:
In = constante de integración que depende de n
σij y εij = funciones dimensionales de n y θ , estos parámetros también están en
función del estado de esfuerzos.
Las ecuaciones (2.64) también, son llamadas la singularidad HRR ( Por Hutchinson,
Rice y Rosengren). Por lo tanto, la integral J define la amplitud de la singularidad
HRR, y al igual que el factor de intensidad de esfuerzos caracteriza la amplitud de la
singularidad lineal elástica. De esta manera, J describe completamente las
condiciones dentro de la zona plástica. Para una estructura con pequeñas zonas de
cedencia presentará dos zonas de singularidad, una en la región elástica que varía
1
1
n
con
y otra en la zona plástica donde los esfuerzos varían con r +1 .
1
(r )2
3.5.6
Relación entre J y CTOD
Para condiciones lineal elásticas, la relación entre CTOD y G está dada por la
ecuación (2.47),
61
Instituto Politécnico Nacional
δ=
K12
G
=
mσ ysE mσ ys
donde:
m = es una constante adimensional que depende del estado de esfuerzos y de las
propiedades del material. Es aproximadamente 1,0 para esfuerzos planos y 2,0 para
deformación plana.
δ = CTOD.
Por lo tanto, J = G para un material con comportamiento lineal elástico, esas
ecuaciones también describen la relación entre CTOD y J en el límite de pequeñas
escalas de cedencia. Es decir,
J = mσ ys δ
(2.65)
Se puede demostrar que la ecuación anterior es aplicable mas allá de los límites de la
MFLE.
Considerando por ejemplo, una banda de cedencia en la punta de la grieta, como se
observa en la Figura 3.21. Definiendo un contorno Γ , a lo largo de la frontera de
esta zona. Si la zona dañada es larga y delgada, es decir ρ >> δ , el primer término de
la integral de la ecuación (2.59) desaparece porque dy = 0 . De esta manera las
superficies de tracción dentro de ρ están en la dirección Y, ny = 1 y nx = nz = 0 . Así
la integral esta dada por,
ρ
δ
⎛ duy (X ) ⎞
⎟dX = ∫ σ yy (δ )dδ
J = 2∫ σ yy (X )⎜⎜
⎟
0
0
⎝ dX ⎠
(2.66)
donde δ = 2uy (x = ρ ) . Puesto que el modelo de banda de cedencia asume que σ yy = σ ys
dentro de la zona plástica, la relación entre J y CTOD está dada por,
J = σ ys δ
(2.67)
62
Instituto Politécnico Nacional
Figura 3.21.-Contorno alrededor de la frontera del modelo de banda de cedencia en la punta de
la grieta.
3.5.7
Curva de resistencia al crecimiento de la grieta
La Figura 3.22 ilustra esquemáticamente una curva típica de resistencia J para un
material dúctil. Para el inicio de la deformación, la curva es aproximadamente
vertical, hay un pequeño crecimiento aparente de la grieta debido al achatamiento.
Como J incrementa, el material en la punta de la grieta falla localmente y la grieta
tiene un crecimiento adicional, el cual inicialmente es estable, pero la inestabilidad
se puede alcanzar posteriormente.
Una medida de resistencia a la fractura es JIc , que está definida cerca de la
iniciación estable del crecimiento de la grieta. El punto en que el crecimiento de la
grieta comienza no puede ser definido con precisión. Consecuentemente, la
definición de JIc es algo arbitrario, algunas veces se utiliza el 0,2 % del esfuerzo de
cedencia.
Mientras la tenacidad inicial provee alguna información alrededor del
comportamiento de la fractura de un material dúctil, la curva de resistencia da una
descripción más completa. La pendiente de la curva para una determinada cantidad
de extensión de la grieta es un indicador de la relativa estabilidad del crecimiento
de la grieta; un material con una curva de resistencia muy inclinada es menos
probable que presente una propagación inestable de la grieta. Para las curvas de
resistencia J, la pendiente usualmente se cuantifica por un módulo de
desgarramiento adicional,
63
Instituto Politécnico Nacional
Figura 3.22.-Curva de resistencia J para un material dúctil.
TR =
E dJR
σ20 da
(2.68)
donde el subíndice R indica un valor de J sobre la curva de resistencia.
Análisis detallados para encontrar las relaciones que cuantifican las cargas últimas
se presentan en la mayoría de los textos de mecánica de sólidos, Martínez [2.5] en
su trabajo de tesis incluye un capítulo en el que trata el tema con mayor
profundidad.
Los análisis al límite se utilizan también como herramienta complementaria para
otros métodos de evaluación de falla, como son los Diagramas de Evaluación de Palla
y el esquema EPRI-J entre otros, en los que se hace uso del concepto de esfuerzo de
colapso plástico o carga límite, los cuales se determinan por medio de estos análisis.
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Referencias
[9]
[2.1] Inglis, C.E., "Stress in a Plate Due to the Presence of Cracks and
Sharp Corners", Transactions of the Institute of Naval Architects, Vol. 55, pp.
219-241,1913.
[10] [2.2] Griffith, A.A., "Philos. Trans. Royal Society of London", Ser. A221,
163, 1920.
[11] [2.3] Irwin, G.R., "Fracture Dinamycs", Fracturing of Metals, American
Society for
Metals, Cleveland, 1948, pp. 147-166.
[12] [2.4] Orowan E., "Fracture and Strength of Solids", Reports on Progress in
Physics, Vol. XII, 1948, p. 185.
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[13] [2.5] Irwin, G.R., "Onset of Fast Crack Propagation in High Strength Steel
and Aluminium Allows", Sagamore Research Conference Procedings, Vol. 2, 1956,
pp. 289-305.
[14] [2.6] Westergaard, R.M., "Bearing Pressures and Cracks", Transactions
ASME, Journal of Applied Mechanics, Vol. 6, 1939, pp. 49-53.
[15] [2.7] Irwin, G.R., "Analysis of Stresses and Strains near the end of a Crack
Traversing
a Plate", Journal of Applied Mechanics, Vol. 24, 1957, pp. 361364.
[16] [2.8] Irwin, G.R., "Plastic Zone Near a Crack and Fracture Toughness",
Sagamore Research Conference Proceedings, Vol. 4, 1961.
[17] [2.9] Dugdale, D.S., "Yielding in Steel Sheets Containing Slits", Joumal of
the Mechanics and Physics of Solids, Vol. 8, pp. 100-104.
[18] [1.10] Tada, H., París, P.C., and Irwin, G.R “The Stress Analysis of Cracks
Handbook”, Second edition, París Productions, Inc., St. Louis, 1985.
65
Instituto Politécnico Nacional
[19]
[1.11] Dodds, RH.Jr., Anderson, T.L., and Kirk, M.T., "A Framework to
Correlate a/W
Effects on Elastic-Plastic Fracture Toughness (Jc)"
International Journal of Fracture, Vol. 48, 1991, pp. 1-22.
[20] [1.12] E 399-90, "Standard Test Method for Plane - Strain Fracture
Toughness of Metallic Materials" American Society for Testing and Materials,
Philadelphia, 1990.
[21]
[1.13] Wells, A.A., "Unstable Crack Propagation in Metals: Cleavage and
Fast
Fracture" Proceedings of the Crack Propagation Symposium, Vol. 1,
Paper 84, Cranfield, UK, 1961.
Burdekin, F.M. and Stone, D.E.W., "The Crack Opening
Displacement Approach to Fracture Mechanics in Yielding", Journal of
[22]
[1.14]
Strain Analysis, Vol. 1, 1966, pp. 145-153.
[23] [1.15] Rice, lR., "A Path Independent Integral and the Approximate Analysis
of Strain
Concentration by Notches and Cracks" Journal of Applied
Mechanics, Vol. 35, 1968, pp. 379-386.
[24] [1.16] Hutchinson, J.W., "Singular Behaviour at the End of a Tensile Crack
Tip in a Hacdening Material" Journal of the Mechanics and Physics of Solids,
Vol. 16, 1968, pp. 13-31.
[25] [1.17] Rice, J.R and Rosengren, G.F., "Plane Strain Deformation near a Crack
Tip in a Power - Law Hardening Material" Journal of the Mechanics and
Physics of Solids, Vol. 16, 1968, pp. 1-12.
[26] [1.18] Begley, J.A. and Landes, J.D., "The J-Integral as a Fracture
Criterion" ASTM STP 514, American Society for Testing and Materials,
Philadelphia, 1972, pp. 1-20.
[27] [1.19] Landes, J.D. and Begley, J.A., "The Effect of Specimen Geometry on
JIc-" ASTM
STP 514, American Society for Testing and Materials,
Philadelphia, 1972, pp. 24-29.
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CAPITULO CUATRO
Elemento finito
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4 Una breve historia del método del elemento finito.
El método elemento finito es un procedimiento numérico que puede ser aplicado
para obtener soluciones de una gran variedad de problemas en ingeniaría como son,
problemas estáticos, lineales, o problemas no lineales, en análisis de esfuerzos,
transferencia de calor, fluidos, y también los problemas electromagnéticos pueden
ser analizados con el método del elemento finito.
El concepto básico, del método del elemento finito, ha sido empleado durante siglos
en diferentes formas. Todas ellas tienen la característica común de reemplazar un
problema real por uno más simple, haciendo uso de los llamados elementos finitos. Si
el problema simplificado puede resolverse y la solución obtenida representa una
solución verdadera para el caso real y con una precisión satisfactoria, entonces este
método pasa a ser una herramienta poderosa y muy útil. A pesar de que la evolución
actual del método del elemento finito lo hace ser bastante más desarrollado que los
conocidos con anterioridad, el esquema básico de sustituir un problema real
mediante uno discreto y simplificado sigue siendo el mismo.
Los primeros argumentos a los que podemos hacer referencia sobre el método del
elemento finito se sitúan en la antigua Grecia, cuando este método fue aplicado a la
geometría. Los matemáticos de aquella época, como todos sabemos, aproximaron el
número π , substituyendo un círculo por un polígono regular de tantos lados como les
fue posible, obteniendo así resultados muy precisos.
Se tienen registros de aún mucho más tiempo atrás de la aplicación del método del
elemento finito a la solución de problemas geométricos. Así, por ejemplo, el papiro
de Ahmes lo refiere al año 1,500 a.c. los egipcios empleaban el valor de 101/2 (3.16)
para π . Otro papiro de mayor antigüedad indica que en Egipto ya se conocían las
fórmulas para calcular el volumen de una pirámide. Por otra parte, un libro chino
escrito en los inicios de la era cristiana, reveló que en ese país se conocían algunos
de los teoremas geométricos empleados por los griegos.
Arquímedes, uno de los más grandes matemáticos de la antigüedad, usó elementos
finitos para determinar volúmenes de sólidos, él nombró a su procedimiento "Método
exhaustivo", también llamado método por agotamiento. Este método lo llevó al
umbral del cálculo, dos mil años antes de que Newton y Leibnitz lo desarrollaran
plenamente.
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Los orígenes del moderno método de elemento finito se remontada a los años 1900s,
cuando algunos investigadores aproximaron y modelaron elásticas continuas usando
discretizaciones de barras elásticas equivalentes. Sin embargo, Courant (1943) ha
sido acreditado como la primera persona en desarrollar el método del elemento
finito. En un articulo publicado a principios de 1940s.
El siguiente paso significativo en la utilización del método del elemento finito fue
tomado por Boeing en 1950s cuando Boeing, seguido por otros, usando elementos de
esfuerzos triangulares para modelos de alas de aeroplanos. Aun, esto, no fue hasta
1960 que Clough utilizo el termino popular de “elemento finito”. Durante los años
60s, investigadores empezaron a aplicar el método del elemento finito a otras áreas
de la ingeniería, tal como transferencia de calor y fluidos.
4.1 El método del elemento finito
Las limitaciones de la mente humana, son tales, que no se puede captar el
comportamiento del mundo complejo que lo rodea, en una operación global. Por ello,
una forma natural de proceder de ingenieros y científicos, consiste en separar los
sistemas en sus componentes individuales, o "elementos", cuyo comportamiento
pueda conocerse sin dificultad, para a continuación reconstruir el sistema original y
estudiarlo a partir de dichos componentes.
En muchos de los casos, se obtiene un modelo adecuado utilizando un número finito
de componentes bien definidos, en otros, la subdivisión prosigue indefinidamente y el
problema solo puede definirse haciendo uso del continuo matemático. Ello conduce a
ecuaciones diferenciales o expresiones equivalentes, las cuales, cuando son reales se
pueden resolver de forma exacta mediante métodos matemáticos; por lo cual,
ingenieros y matemáticos han propuesto a través de diversos métodos de
discretización, efectuar alguna aproximación de tal manera que converja, tan
estrechamente como se quiera, a la solución continua verdadera a medida que crece
el número de variables discretas.
La discretización de problemas continuos ha sido abordada por los matemáticos,
desarrollando técnicas generales aplicables directamente a las ecuaciones
diferenciales que rigen el problema, tales como diferencias finitas, métodos de
residuos ponderados, o técnicas aproximadas, para determinar puntos estacionarios
de funciones definidas en forma apropiada. Los ingenieros, por otra parte, suelen
enfrentarse al problema, mas intuitivamente, creando una analogía entre elementos
discretos reales y porciones finitas de un medio continuo o elementos. Fue de la
69
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posición de "analogía directa", adoptada por los ingenieros, de donde nació la
expresión "elemento finito". Esto, tanto desde el punto de vista conceptual, como del
numérico, es de la mayor importancia. Mucho se ha avanzado desde el principio de la
década de los 60 y hoy en día, las dos vertientes, tanto la parte matemática, como la
"analógica, están en completo acuerdo.
Aunque existen antecedentes de que en los años 20 se planteó el método del
elemento finito, no fue sino hasta los 50, con la aparición de las computadoras lo que
facilitó la aplicación de este método. La aparición de las computadoras alteró
radicalmente la capacidad disponible para resolver ecuaciones diferenciales
parciales, lográndose que las soluciones numéricas estén al alcance de la mayoría de
los analistas, ya que el número de términos que puede emplearse para representar el
fenómeno que se modela es muy grande.
En términos generales, se puede establecer que el método del elemento finito (MEF)
es una técnica que resuelve numéricamente problemas que son modelados por
ecuaciones diferenciales parciales que gobiernan los fenómenos físicos y que son, a
la vez, de interés en el área de la ingeniería. Esto se debe a que existen situaciones
en donde la obtención de una solución analítica es casi imposible por el grado de
complejidad que implica la representación matemática del dominio o de la frontera, o
en ocasiones, el describir problemas que incluyen materiales anisotropicos y/o no
homogéneos en los cuales las ecuaciones incluyen términos no lineales que dificultan
la obtención de la solución. Por lo tanto, se prefiere el empleo de algún método
numérico con el cual se pueda obtener una solución siguiendo un planteamiento, que si
bien, no es exacto, si es lo suficientemente aproximado como para resolver los
problemas clásicos de la ingeniería.
Con el fin de reafirmar el principio básico del método del elemento finito, se
reproduce la definición propuesta por lo J. Segerlind [3.1]: ”El concepto fundamental
del método del elemento finito consiste en; que cualquier función característica del
medio continuo, como la temperatura, presión, o desplazamiento, puede aproximarse
por un modelo discreto compuesto de una serie de funciones continuas, parte por
parte, y se definen empleando los valores de la cantidad continua, en un número
finito de puntos en su dominio”.
El método del elemento finito requiere formular y resolver sistemas de ecuaciones
lineales. Por lo tanto, la principal ventaja de este método reside en la capacidad de
ser automatizado para representar estructuras irregulares y complejas, así como
condiciones de frontera diversas.
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El método del elemento finito es un procedimiento ordenado, el cual puede resumirse
a grandes rasgos como:
Discretización del dominio. El primer paso consiste en dividir el dominio de estudio
en elementos. Puede emplearse una amplia variedad de formas de elementos y si se
tiene el suficiente cuidado, se pueden emplear diferentes tipos de elementos en la
misma discretización.
En realidad, cuando se analiza una estructura que tiene
diferentes tipos de componentes, como son placas y vigas, no solo es deseable sino
necesario, emplear diferentes tipos de elementos en el mismo dominio. A pesar de
que la decisión del tipo y número de elementos a usar son cuestiones de ingeniería, el
analista puede apoyarse en la experiencia de otros analistas para guiarse.
Seleccionar las funciones de interpolación. El siguiente paso es asignar los nodos
de cada elemento y elegir el tipo de función de interpolación para representar el
cambio de la variable sobre el elemento.
La variable puede ser un escalar, un
vector, o un tensor de orden superior. En muchas ocasiones, pero no siempre, se
seleccionan polinomios como funciones de interpolación para la variable porque éstos
se integran y se diferencian fácilmente. El grado del polinomio elegido depende del
número de nodos asignado a cada elemento, de la naturaleza y el número de las
incógnitas de cada nodo y los requerimientos de continuidad impuestos a los nodos, a
lo largo de los límites de los elementos. La magnitud de la variable, así como la
magnitud de sus derivadas, pueden ser las incógnitas existentes en cada nodo.
Definir las propiedades de los elementos. Una vez que ha sido establecido el
modelo de elementos finitos (esto es, ya que se eligieron los elementos y sus
funciones de interpolación), se está en posibilidad de determinar las ecuaciones
matriciales que expresan las propiedades de cada uno de los elementos.
Para
realizar esto se puede emplear alguna de las cuatro formulaciones posibles del
método del elemento finito: la formulación directa, la formulación variacional, la
formulación de los pasos residuales, o la formulación del balance de energía (las
cuales se examinarán posteriormente). La formulación variacional es generalmente
la más conveniente, pero para cualquier aplicación, la selección de la formulación
depende de la naturaleza del problema.
Ensamblar las propiedades de los elementos para obtener las ecuaciones del sistema,
considerando las condiciones de frontera del espécimen.
Para determinar las
propiedades de todo el sistema modelado por la red de elementos, se deben
“ensamblar” las propiedades de todos los elementos. Esto es, se requiere combinar
las ecuaciones matriciales expresando el comportamiento del dominio entero, o
71
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sistema. Las ecuaciones matriciales para el sistema tienen la misma forma que las
ecuaciones para un solo elemento, excepto que éstas contienen muchos más términos
porque incluyen a todos los nodos.
La base para realizar el procedimiento de ensamble se fundamenta en el hecho de
que en un nodo, donde se interconectan elementos, el valor de la variable es el mismo
para cada elemento que comparte dicho nodo. El ensamble de las ecuaciones de los
elementos es una labor rutinaria y usualmente se hace empleando computadoras
digitales.
Antes de que las ecuaciones del sistema estén listas para ser solucionadas, deberán
modificarse para introducir las condiciones de frontera del problema. Esta parte es
fundamental para llevar a buen término un análisis mediante el método del elemento
finito. Si no se representan de una forma adecuada las condiciones de frontera que
tiene el espécimen modelado, los resultados obtenidos serán poco confiables.
Resolver el sistema de ecuaciones.
El proceso de ensamble del paso anterior,
establece una serie de ecuaciones simultáneas, las cuales pueden resolverse para
obtener los valores nodales de la variable. Si el sistema de ecuaciones es lineal, se
pueden emplear varias técnicas de solución comunes, como son; el método de
Eliminación de Gauss – Seidal, o la descomposición de Cholesky si las ecuaciones son
no – lineales, su solución es más difícil de obtener. Puede emplearse el método de
Newton – Raphson, el método de Sustituciones Sucesivas, o algún otro método
iterativo para resolver sistemas de ecuaciones no – lineales.
Efectuar cálculos adicionales. En muchas ocasiones deseamos usar la solución de
los sistemas para calcular otros parámetros importantes.
Para el problema de elasticidad plana, la solución del sistema de ecuaciones da como
resultado los desplazamientos nodales.
Partiendo de dichos valores, es posible
calcular tanto las deformaciones, como los esfuerzos principales en los nodos, así
como en los centroides de los elementos. De la misma manera es posible calcular los
ángulos principales, así como otras magnitudes que sean de interés para los usuarios
del método del elemento finito.
72
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4.2 PASOS REQUERIDOS PARA EL ANÁLISIS CON ELEMENTO
FINITO. [26]
Las rutinas del elemento finito, para la solución de los problemas pueden variar con
el tipo de análisis, a pesar de esto hay un procedimiento general que se divide en
tres etapas que son: Preproceso, Solución y Postproceso.
4.2.1 PREPROCESO.
Determina el tipo de análisis que se va a efectuar, se agregan las características que
definen el tipo de material de estudio como es el modulo de elasticidad E y la
relación de Poisson ν , se define el tipo de elementos que se emplearán, que pueden
ser triangulares cuadráticos, cuadriláteros lineales, etc. En esta etapa también se
hace el modelado del objeto que incluye la definición de la geometría del problema,
del mallado donde se usan elementos singulares así como el resto del dominio
existente, en el cual están los elementos convencionales.
4.2.2
SOLUCIÓN.
Se introducen las condiciones de frontera, se aplican los tipos de apoyo en los nodos
especificados y se especifica la dirección que se quiere restringir. En este mismo
paso se colocan las cargas correspondientes, ya sea de presión, puntual, temperatura
etc., según sea el caso.
Finalmente se procede a hacer el análisis donde se
obtendrán los esfuerzos, que son el objetivo de este trabajo de investigación.
4.2.3
POSTPROCESO.
Una vez solucionado el problema se dan a conocer los resultados en forma tabulada
o gráfica, donde se puede apreciar como se deforma el elemento de acuerdo a los
desplazamientos de cada nodo o elemento.
Las rutinas anteriormente descritas del método del elemento finito formulan la
matriz de rigideces, hacen el ensamble para llegar a una matriz de rigidez global del
sistema, reducen el ancho de banda para minimizar el problema y encuentran
finalmente desplazamientos y esfuerzos en los elementos.
73
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4.2.4 VENTAJAS Y LIMITACIONES DEL MEF
Algunas de las principales ventajas que presenta el método del elemento finito son:
Sus aplicaciones se extienden a todo el dominio de la mecánica del medio continuo y
problemas físicos en general, que son gobernados por ecuaciones diferenciales.
Es posible analizar cuerpos formados por distintos materiales, cuyas propiedades
puedan diferir, tales como: Módulo de elasticidad, conductividad térmica,
resistencia eléctrica, capacidad calorífica, calor específico y anisotropía, entre
otros.
La red o malla puede estar constituida de elementos de diferente tipo, tamaño o
forma, pudiéndose modelar exactamente la frontera del dominio de estudio.
Se puede variar el tamaño y la forma de los elementos, de esta manera la malla de
elementos finitos se puede afinar y/o expander según se requiera, para evaluar
cuidadosamente aquellas regiones consideradas como críticas.
Este método posee la capacidad de analizar cuerpos con condiciones de frontera
discontinua o mixta, sin problema.
Una de las ventajas, quizás la mas importante, es la posibilidad de generar
programas de cómputo de tipo general o para resolver una determinada clase de
problemas. Por ejemplo: NASTRAN (NASA Structural Analysis of National
Administration Aeronautical and Space) de la NASA, el SAP (Structural Analysis
Program) de E. lo Wilson de la Universidad de California Berkeley; ANSYS (Analysis
Program) de la compañía Swanson Analysis System, entre otros.
Entre las limitaciones presentadas por el método del elemento finito, se pueden
mencionar las más importantes, una de estas es que debido a la gran cantidad de
cálculos involucrados en la solución, aún en problemas simples, es necesario el empleo
de programas de cómputo y una computadora.
Además, los valores obtenidos deben ser evaluados cuidadosamente con resultados,
ya sean experimentales o analíticos, con el fin de calibrar los modelos. Por otra
parte, en aquellos casos en los cuales es necesario cambiar varias veces la geometría
del dominio de estudio, se requiere generar para cada ajuste de geometría, una malla
diferente, lo cual hace que el análisis sea lento y tedioso. Por ejemplo, cuando se
optimizan cambios de sección.
74
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Además, existen problemas complejos en los cuales el planteamiento es difícil, tal es
el caso de grietas, fractura, contacto, lubricación, filtración libre o transitoria, etc.
Referencias
“Calculo numérico”,Dr. Luis Gavete, Dr José Carlos Bellido, Dr Santiago falcon, 3ª
Edición, editorial Fundación Universisdad-Empresa
75
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CAPITULO CINCO
Analisis y evaluación de resultados
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5 Planteamiento del problema.
Debido a que el core shruod es un componente cilíndrico cuyas dimensiones son
aproximadamente de 8 m diamtro , 4.4 m De altura y el espesor de pared es de 3.81
cm por tanto la relación de esbeltez es de ¿¿¿ lo cual indica que no existe
metodología para el analisi de este tipo de recipientes de pared muy delgada, motivo
por el que se desea establecer una metodología para analizar este tipo de
recipientes.
Además el tipo de trabajo que este componente realiza es de primordial importancia,
pues, sobre este componente se encuentran sujetados algunos componente del
sistema de seguridad como son los sistemas de LPCI (sistema de inyección de
refrigerante a baja presión) y LPCS (sistema de roció del núcleo a baja presión), las
bombas de chorro y lo mas importante si este componente fallará todo el material
nuclear contenido también podría caer dentro de la envolvente del núcleo y no
existiría manera de detener la reacción fisión.
5.1 Caso de estudio
Se plantea analizar una grieta pasante del contenedor del núcleo de un reactor BWR
localizada en las soldaduras H3, H4 y H5 como se muestra en la figura ¿¿¿¿, el arco
que se acota en la figura ¿¿¿¿¿ esta representado con la letra X porque es
precísasete este valor de longitud de la grieta el que se variara para poder obtener
el valor del factor de concentración de esfuerzos a cada 10.16 cm de longitud ,
partiendo de una grieta de 50.8 cm hasta alcanzar una longitud de 416 cm
Ilustración 5-1.- En esta grieta se muestra en la zona sombreada la area
afectada por la grieta pasante.
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Ilustración 5-2.- Componente del envolvente del núcleo
5.1.1 Procedimiento de analisis
Evaluación de componentes agrietados
Análisis de mecánica de fractura con el método del elemento finitd3.1J
La existencia de grietas y defectos en muchas estructuras y componentes, algunas
veces conducen a resultados desastrosos. El campo de la ingeniería de mecánica de
fractura fue establecido para desarrollar un entendimiento básico de tales
problemas.
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La mecánica de fractura trata con el estudio de cómo una grieta o defecto en una
estructura se propaga bajo cargas aplicadas. Esto involucra la correlación de
predicciones analíticas de propagación de grieta y falla con resultados
experimentales. Las predicciones analíticas son hechas calculando parámetros de
mecánica de fractura tal como factores de intensidad de esfuerzos en la región de
la punta de la grieta, los cuales se podrían usar para estimar el coeficiente de
crecimiento de grieta en el caso de fatiga una vez superadas las condiciones críticas.
Típicamente, la longitud de la grieta se incrementa con cada aplicación de alguna
carga cíclica. Además, condiciones ambientales pueden afectar la propensión a
fractura de un material dado.
Algunos parámetros de fractura típicos de interés que pueden ser calculados en un
análisis de elemento finito son:
Factores de intensidad de esfuerzos (K¡, K¡¡, Km) asociados con los tres modos
básicos de fractura.
La integral - J, la cual puede ser definida como una integral de línea de trayectoria
independiente que mide la resistencia de los esfuerzos singulares y deformaciones
en la región de la punta de la grieta.
Coeficiente de energía liberada (G), el cual representa la cantidad de trabajo
asociado con una apertura o cierre de la grieta.
La solución de problemas de mecánica de fractura en un análisis de elemento finito
involucra el desarrollo de un análisis lineal elástico o un análisis estático
elástico - plástico, y luego usar comandos de procesamiento especializados o macros
para calcular los parametros de mecánica de fractura deseados. En esta parte, nos
concentraremos sobre dos aspectos principales de este procedimiento:
Modelado de la región de la punta de la grieta Cálculo de parámetros de mecánica de
fractura.
79
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El software utilizado para realizar estos análisis de elemento finito es ANSYS 5.5,
que es uno de los paquetes mas empleados en el área de investigación y la industria
en general.
3.1.1. Modelado de la región de la punta de la grietal/,
1J
La región más importante en un modelo de fractura, es la que está alrededor de la
superficie de la grieta. Se refiere a que la grieta tiene una punta, en un modelo 2-D
(Dos dimensiones) y un frente de la grieta en un modelo 3-D (Tridimensional), de
acuerdo a la figura 3.1.
Figura 3.1. Punta de la grieta y frente de la grieta.
En problemas lineal elásticos, ha sido demostrado que los desplazamientos cerca de
la punta de la grieta (o frente de la grieta) variaran de acuerdo a la distancia de la
punta de la grieta. Los esfuerzos y deformaciones son singulares en la punta de la
1
grieta, variando
. Para modelar esta singularidad en la deformación. Las caras de la
r
grieta deberán ser coincidentes, y los elementos alrededor de la punta de la grieta (o
frente de la grieta) deberán ser cuadráticos, con los nodos medios (L y N)
80
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localizados en la cuarta parte de la línea nodal o "quarter point". Tales elementos son
llamados elementos singulares. La figura 3.2 muestra ejemplos de estos para
modelos en dos y tres dimensiones
Modelos de Fractura en dos dimensiones
El tipo de elemento recomendado para un modelo de fractura en dos dimensiones es
PLANE2, un sólido triangular de 6 nodos. Otro elemento utilizado es PLANE82,
contiene 8 nodos con 2 grados de libertad en cada nodo (traslaciones en las
direcciones X y Y). Puede tolerar formas irregulares sin perder demasiada exactitud
en los resultados. La primera fila de elementos alrededor de la punta de la grieta
deberá ser singular, como se ilustra en la figura 3.2(a). Existe un comando llamado
KSCON, el cual asigna medidas de división del elemento alrededor de un Keypoint, es
particularmente útil en un modelo de fractura este automáticamente genera elementos
singulares alrededor del Keypoint especificado, pero sólo está disponible para análisis
de dos dimensiones. Otras cualidades del comando son que nos permite controlar el
radio de la primera fila de elementos, número de elementos en la dirección
circunferencial, etc.
Otros lineamientos de modelado para modelos de fractura en 2 - Dimensiones son:
Sacar provecho de la simetría del modelo donde sea posible. En muchos casos, se
necesita modelar solamente la mitad de la región de la grieta, con condiciones de
frontera con simetría o antisimetría.
Para resultados razonables, la primera fila de elementos alrededor de la punta de la
grieta deberá tener un radio de aproximadamente a/8 o menor, donde a es la
longitud de la grieta. Además en la dirección circunferencial se recomienda tener, un
elemento cada 30 o 40 grados.
Los elementos de la punta de la grieta no deberán ser torcidos o deformados, y
deberán tener la forma de triángulos isósceles.
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(a)
(b)
Ilustración 5-3.-Ejemplos de elementos singulares para (a) modelos en 2 dimensiones y (b) modelos en 3
Dimensiones.
Modelos de fractura en tres dimesiones
El tipo de elemento recomendado para modelos en 3 - Dimensiones es el elemento
ladrillo de 20 nodos SOLID95. Como se muestra en la figura 3.2(b), la primera fila
de elementos alrededor del frente de la grieta deberán ser elementos singulares.
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Nótece que el elemento está deformado ó acuñado, con la cara KLPO colapsada en
una línea KO.
La generación de modelos de fractura tridimensionales es considerablemente más
compleja que un modelo en dos dimensiones. El comando KSCON no está disponible, y
necesariamente tendremos que aseguramos que el frente de la grieta esté a lo largo
de la superficie KO de los elementos.
Otros lineamientos de modelado para modelos de fractura tridimensionales son:
Las recomendaciones para la medida del elemento son las mismas que para el
modelado en dos dimensiones. En adición, las relaciones de aspecto no deberán
exceder aproximadamente de 4 a 1 en todas las direcciones.
Para frentes de grieta curvos, la medida del elemento a lo largo del frente de la
grieta dependerá de la cantidad de curvatura local. Como una burda guía, se deberá
tener al menos un elemento cada 15 a 30 grados a lo largo de un frente de
grieta circular.
Todas las superficies de los elementos deberán ser rectas, incluyendo la superficie
sobre el frente de la grieta.
Una vez que el análisis estático es completado, podremos usar POSTl, el
postprocesador general, para calcular parámetros de mecánica de fractura. Como se
mencionó antes, los parámetros de mecánica de fractura de interés son: el factor de
intensidad de esfuerzos, la integral J, y el coeficiente de energía liberada.
Procedimiento numérico
La metodología que se utilizó para la generación del modelo en el análisis con el
método del elemento finito fue el siguiente:
1. Caracterizar la geometría del caso de estudio determinándose sus dimensiones y
forma.
2. Definir y categorizar todas las cargas y esfuerzos.
3. Determinar las propiedades del material, tales como módulo de elasticidad y
relación de Poisson del material específico al cual atañe el problema.
83
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4. Localizar los principales puntos nodales de interés, poniendo mayor atención donde
se encuentran cargas aplicadas, cambios bruscos de geometría, variaciones en las
cargas además de cambios en las propiedades del material.
5. Escoger el tipo de elemento que se empleará en la generación de la malla del
modelo.
6. Introducir las propiedades fisicas y mecánicas del material.
7. Generación de la red, ya sea por generación directa, modelado sólido o ambos.
8. Debe establecerse la matriz de rigidez y el vector fuerza para cada uno de los
elementos de la red.
9. Las matrices de rigidez y los vectores fuerza se ensamblan para obtener el
modelo global.
10. Introducir las condiciones de carga y frontera al modelo.
11. Se da solución al sistema de ecuaciones resultante, para obtener los valores
nodales y posteriormente los esfuerzos.
12. Definir las trayectorias para las cuales se obtendran los valores de K
respectivamente.
13. Obtener el valor del factor K para cada trayectoria.
14. Calcular el promedio de los valores obtenidos de K.
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Ilustración 5-4.- Posición de las soldduras H3, H4 y H5.
85
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Características del material del envolvente del núcleo
Material acero inoxidable 306- L (aisi sae’¿¿¿¿)
E
160 MPa
σy
1550
γ
7800
Kg
m2
Kg
m3
Ilustración 5-5.-Mallado del modelo
86
Instituto Politécnico Nacional
Ilustración 5-6.- Acercamiento a la grieta
Ilustración 5-7.-Grieta
Longitud de la grieta (m)
K MPa-m1/2
0.508
18.423
0.609
19.2555
0.711
22.7115
0.812
22.77
0.914
22.9795
1.016
28.1375
87
Instituto Politécnico Nacional
1.117
27.206
1.219
25.822
1.38
27.059
1.422
35.532
1.524
37.643
1.625
32.5525
1.727
39.953
1.828
36.936
1.93
39.3445
2.032
42.1635
2.13
54.797
2.235
53.502
2.336
56.9415
2.438
54.6205
2.54
71.6585
2.641
71.6095
2.743
65.4705
2.844
69.3615
2.946
90.8345
3.048
96.8035
3.149
102.0675
3.251
100.7365
3.352
102.574
3.454
96.446
3.556
125.1335
3.657
120.133
88
Instituto Politécnico Nacional
3.759
125.7985
3.86
136.069
3.962
151.645
4.064
159.81
4.165
149.6755
Soldadura H3 4.547 MPa
4.17
3.96
3.76
3.56
3.35
3.15
2.95
2.74
2.54
2.34
2.13
1.93
1.73
1.52
1.38
1.12
0.91
0.71
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0
0.51
KI (MPa-m1/2)
y = 17.544e0.0609x
Longitud de la grieta (m)
Grafica 1.- Comportamiento de K para el caso de la soldadura H3, cuando se
aplica una carga axial de 4.547 MPa.
89
Instituto Politécnico Nacional
Soldadura H3 9.577 MPa
y = 37.116e0.0607x
400
350
KI (MPa-m1/2)
300
250
200
150
100
50
4.17
3.96
3.76
3.56
3.35
3.15
2.95
2.74
2.54
2.34
2.13
1.93
1.73
1.52
1.38
1.12
0.91
0.71
0.51
0
Longitud de la grieta (m)
Grafica 2.- Comportamiento de K para el caso de la soldadura H5, cuando se
aplica una carga axial de 9.577 MPa.
90
Instituto Politécnico Nacional
Soldadura H4 4.547 Mpa
y = 5.9501e0.065x
70
KI (MPa-m1/2)
60
50
40
30
20
10
4.17
3.96
3.76
3.56
3.35
3.15
2.95
2.74
2.54
2.34
2.13
1.93
1.73
1.52
1.32
1.12
0.91
0.71
0.51
0
Longitud de la grieta (m)
Grafica 3.-Comportamiento de K para el caso de la soldadura H4, cuando se
aplica una carga axial de 4.547 MPa.
91
Instituto Politécnico Nacional
Soldadura H4 9.577 Mpa
y = 10.913e0.065x
140
KI (MPa-m1/2)
120
100
80
60
40
20
4.17
3.96
3.76
3.56
3.35
3.15
2.95
2.74
2.54
2.34
2.13
1.93
1.73
1.52
1.32
1.12
0.91
0.71
0.51
0
Longitud de la grieta (m)
Grafica 4.-Comportamiento de K para el caso de la soldadura H4, cuando se
aplica una carga axial de 9.577 MPa.
92
Instituto Politécnico Nacional
Soldadura H5 4.547 MPa
y = 12.45e0.0567x
120
KI (MPa-m1/2)
100
80
60
40
20
4.17
3.96
3.76
3.56
3.35
3.15
2.95
2.74
2.54
2.34
2.13
1.93
1.73
1.52
1.38
1.12
0.91
0.71
0.51
0
Longitud de grieta (m)
Grafica 5.-Comportamiento de K para el caso de la soldadura H5, cuando se
aplica una carga axial de 4.547 MPa.
93
Instituto Politécnico Nacional
Soldadura H5 9.577 MPa
y = 12.45e0.0567x
140
KI (MPa-m1/2)
120
100
80
60
40
20
4.17
3.96
3.76
3.56
3.35
3.15
2.95
2.74
2.54
2.34
2.13
1.93
1.73
1.52
1.38
1.12
0.91
0.71
0.51
0
Longitud de grieta (m)
Grafica 6.- Comportamiento de K para el caso de la soldadura H5, cuando se
aplica una carga axial de 9.577 MPa.
94
Instituto Politécnico Nacional
Conclusiones
Con la ayuda de estametodologia se puede predecir con que tamaño de grieta puede
fallar un recipiente
Recomendaciones para trabajos futuros
Las recomendaciones que se pueden hacer para trabajos futures son:
Se pueden hacer el analisis del comportamiento del factor de concentración de
esfuerzos al variar el espesor de pared del recipiente, y después contruir las
graficas.
Con una meodologia similar a la utilizada en este caso se puede estudiar la forma en
la que varía K alcambiar el valor de la carga.
Se debe analizar la grieta elastoplasticamente.
Referencias
[28] [1.16] Hutchinson, J.W., "Singular Behaviour at the End of a Tensile Crack
Tip in a Hacdening Material" Journal of the Mechanics and Physics of Solids,
Vol. 16, 1968, pp. 13-31.
[29] [1.17] Rice, J.R and Rosengren, G.F., "Plane Strain Deformation near a Crack
Tip in a Power - Law Hardening Material" Journal of the Mechanics and
Physics of Solids, Vol. 16, 1968, pp. 1-12.
95
Instituto Politécnico Nacional
[30] [1.18] Begley, J.A. and Landes, J.D., "The J-Integral as a Fracture
Criterion" ASTM STP 514, American Society for Testing and Materials,
Philadelphia, 1972, pp. 1-20.
[31] [1.19] Landes, J.D. and Begley, J.A., "The Effect of Specimen Geometry on
JIc-" ASTM
STP 514, American Society for Testing and Materials,
Philadelphia, 1972, pp. 24-29.
Anexos
Líneas de instrucciones para generar
la grieta sobre la soldadura H3 caso
Normal y Upset, presión 4.547 MpPa.
/PREP7
/TITLE,CORE SHROULD 1.016 m
*SET,A,0.164515727
ET,1,SOLID95
*SET,B,0.924242424
MPTEMP,,,,,,,,
¡ Para variar la longitud de la grieta
se tiene que modificar el valor de
(SET,A y SET,B), con los valores que
están establecidos se genera la grieta
para 100 cm.
MPTEMP,1,0
MPDATA,EX,1,,160E9
MPDATA,PRXY,1,,0.3
MPTEMP,,,,,,,,
96
Instituto Politécnico Nacional
MPTEMP,1,0
LSTR,
4,
1
MPDATA,DENS,1,,7800
LSTR,
3,
5
K,1,2.043 18,5.885 347 6,0
LSTR,
5,
8
K,2,2.081 28,5.885 347 6,0
LSTR,
8,
9
K,3,2.081 28,5.905 347 6,0
LSTR,
9,
7
K,4,2.043 18,5.905 347 6,0
LSTR,
7,
6
K,5,2.218 944,5.905 347 6,0
LSTR,
6,
4
K,6,2.032,5.905 347 6,0
LSTR,
8,
10
K,7,2.032,5.968 847 6,0
LSTR,
10,
11
K,8,2.218.944,5.968 8476,0
LSTR,
11,
9
K,9,2.187 197,5.968 847 6,0
LSTR,
10,
15
K,10,2.218 944,6.886 549 6,0
LSTR,
15,
14
K,11,2.187 194,6.886 549 6,0
LSTR,
14,
13
K,12,2.117 344,6.886 549 6,0
LSTR,
13,
12
K,13,2.117 34,7.038 949 6,0
LSTR,
12,
11
K,14,2.155 44, 7.038 949 6,0
LSTR,
15,
16
K,15,2.218 944,7.038 949 6,0
LSTR,
16,
17
K,16,2.218 944,7.286 85,0
LSTR,
17,
14
K,17,2.155 44, 7.286 85,0
FLST,2,4,4
LSTR,
1,
2
FITEM,2,1
LSTR,
2,
3
FITEM,2,2
LSTR,
3,
4
FITEM,2,3
97
Instituto Politécnico Nacional
FITEM,2,4
FITEM,2,16
AL,P51X
FITEM,2,17
FLST,2,7,4
FITEM,2,18
FITEM,2,5
FITEM,2,12
FITEM,2,6
AL,P51X
FITEM,2,7
FLST,2,4,4
FITEM,2,8
FITEM,2,19
FITEM,2,9
FITEM,2,20
FITEM,2,10
FITEM,2,21
FITEM,2,3
FITEM,2,15
AL,P51X
AL,P51X
/AUTO, 1
K,18,0,7.286 85,0
/REP
K,19,0,5.905 35,0
FLST,2,4,4
FLST,2,5,5,ORDE,2
FITEM,2,11
FITEM,2,1
FITEM,2,12
FITEM,2,-5
FITEM,2,13
FLST,8,2,3
FITEM,2,7
FITEM,8,18
AL,P51X
FITEM,8,19
FLST,2,6,4
VROTAT,P51X, , , , , ,P51X, ,-180, ,
FITEM,2,14
FLST,2,17,4,ORDE,10
FITEM,2,15
FITEM,2,26
98
Instituto Politécnico Nacional
FITEM,2,-29
LSTR,
54,
55
FITEM,2,36
LSTR,
71,
72
FITEM,2,-40
LSTR,
54,
57
FITEM,2,44
LSTR,
71,
74
FITEM,2,-45
LSTR,
72,
73
FITEM,2,51
LSTR,
55,
56
FITEM,2,-54
LSTR,
56,
57
FITEM,2,58
LSTR,
73,
74
FITEM,2,-59
LSTR,
73,
75
LDIV,P51X,A, ,2,0
LSTR,
56,
58
FLST,2,17,4,ORDE,10
LSTR,
57,
62
FITEM,2,26
LSTR,
74,
79
FITEM,2,-29
LSTR,
62,
61
FITEM,2,36
LSTR,
79,
78
FITEM,2,-40
LSTR,
61,
60
FITEM,2,44
LSTR,
78,
77
FITEM,2,-45
LSTR,
60,
59
FITEM,2,51
LSTR,
77,
76
FITEM,2,-54
LSTR,
59,
58
FITEM,2,58
LSTR,
76,
75
FITEM,2,-59
LSTR,
70,
69
LDIV,P51X,B, ,2,0
LSTR,
87,
86
99
Instituto Politécnico Nacional
LSTR,
70,
66
FITEM,2,146
LSTR,
87,
83
FITEM,2,148
LSTR,
86,
82
FITEM,2,150
LSTR,
69,
65
FITEM,2,141
LSTR,
66,
67
FITEM,2,138
LSTR,
83,
84
FITEM,2,142
LSTR,
67,
68
AL,P51X
LSTR,
84,
85
FLST,2,4,4
LSTR,
68,
64
FITEM,2,138
LSTR,
85,
81
FITEM,2,137
LSTR,
64,
63
FITEM,2,132
LSTR,
81,
80
FITEM,2,134
LSTR,
80,
82
AL,P51X
LSTR,
63,
65
FLST,2,4,4
LSTR,
64,
60
FITEM,2,148
LSTR,
77,
81
FITEM,2,168
LSTR,
80,
76
FITEM,2,171
LSTR,
59,
63
FITEM,2,164
LSTR,
66,
65
AL,P51X
LSTR,
83,
82
FLST,2,6,4
FLST,2,7,4
FITEM,2,162
FITEM,2,144
FITEM,2,164
100
Instituto Politécnico Nacional
FITEM,2,167
FITEM,2,140
FITEM,2,172
AL,P51X
FITEM,2,158
VSBA,
12,
7
FITEM,2,160
VSBA,
13,
6
AL,P51X
FLST,2,2,6,ORDE,2
VPLOT
FITEM,2,14
LPLOT
FITEM,2,-15
VSBA,
2,
58
VDELE,P51X, , ,1
VSBA,
1,
59
LSTR,
61,
78
FLST,2,4,4
LSTR,
62,
79
FITEM,2,133
FLST,2,4,4
FITEM,2,135
FITEM,2,144
FITEM,2,139
FITEM,2,115
FITEM,2,136
FITEM,2,145
AL,P51X
FITEM,2,116
FLST,2,7,4
AL,P51X
FITEM,2,139
LSTR,
57,
74
FITEM,2,143
LSTR,
56,
73
FITEM,2,145
LSTR,
58,
75
FITEM,2,147
ADRAG,
117, , , , , ,
144
FITEM,2,149
ADRAG,
118, , , , , ,
144
FITEM,2,151
FLST,2,4,4
101
Instituto Politécnico Nacional
FITEM,2,150
FITEM,2,118
FITEM,2,120
AL,P51X
FITEM,2,151
FLST,2,4,4
FITEM,2,119
FITEM,2,182
AL,P51X
FITEM,2,175
122
FITEM,2,147
FLST,2,2,4,ORDE,2
FITEM,2,121
FITEM,2,175
AL,P51X
FITEM,2,178
FLST,2,4,4
LSBL,
147,
LSBL,P51X,
146
FITEM,2,180
LSBL,
122,
146
FITEM,2,122
LSBL,
146,
175
FITEM,2,181
LSBL,
180,
122
FITEM,2,175
ASBL,
58,
123
AL,P51X
ASBL,
74,
176
FLST,2,4,4
ASBL,
7,
174
FITEM,2,115
ASBL,
81,
177
FITEM,2,146
/REPLOT
FITEM,2,122
FLST,2,4,4
FITEM,2,179
FITEM,2,141
AL,P51X
FITEM,2,119
FLST,2,4,4
FITEM,2,140
FITEM,2,116
102
Instituto Politécnico Nacional
FITEM,2,142
FLST,2,6,5,ORDE,6
FITEM,2,117
FITEM,2,7
FITEM,2,143
FITEM,2,14
AL,P51X
FITEM,2,-15
FLST,2,4,4
FITEM,2,58
FITEM,2,139
FITEM,2,84
FITEM,2,117
FITEM,2,88
FITEM,2,138
VA,P51X
FITEM,2,118
/REPLOT
AL,P51X
FLST,2,7,5,ORDE,6
LPLOT
FITEM,2,15
APLOT
FITEM,2,72
LPLOT
FITEM,2,75
FLST,2,6,5,ORDE,6
FITEM,2,81
FITEM,2,13
FITEM,2,-83
FITEM,2,-14
FITEM,2,85
FITEM,2,73
VA,P51X
FITEM,2,-74
LSTR,
54,
71
FITEM,2,86
LSTR,
55,
72
FITEM,2,-87
FLST,2,9,4,ORDE,6
VA,P51X
FITEM,2,117
/REPLOT
FITEM,2,-118
103
Instituto Politécnico Nacional
FITEM,2,133
FITEM,2,185
FITEM,2,-137
FITEM,2,194
FITEM,2,178
LDIV,P51X,0.5, ,2,0
FITEM,2,183
FLST,2,6,4,ORDE,5
LDIV,P51X,0.5, ,2,0
FITEM,2,193
FLST,2,8,4,ORDE,7
FITEM,2,195
FITEM,2,117
FITEM,2,-196
FITEM,2,-118
FITEM,2,201
FITEM,2,178
FITEM,2,-203
FITEM,2,183
FLST,2,4,4,ORDE,2
FITEM,2,-185
FITEM,2,193
FITEM,2,191
FITEM,2,-196
FITEM,2,-192
LDIV,P51X,0.268, ,2,0
LDIV,P51X,0.5, ,2,0
FLST,2,4,4,ORDE,3
FLST,2,6,4,ORDE,5
FITEM,2,201
FITEM,2,184
FITEM,2,-203
FITEM,2,191
FITEM,2,207
FITEM,2,-193
LDIV,P51X,0.732, ,2,0
FITEM,2,195
LSTR,
100,
93
FITEM,2,-196
LSTR,
93,
92
LDIV,P51X,0.5, ,2,0
LSTR,
92,
99
FLST,2,2,4,ORDE,2
LSTR,
99,
100
104
Instituto Politécnico Nacional
LSTR,
113,
112
FITEM,2,-236
LSTR,
117,
119
LDIV,P51X,0.268, ,2,0
LSTR,
109,
110
FLST,2,1,4,ORDE,1
LSTR,
121,
122
FITEM,2,233
LSTR,
116,
114
LDIV,P51X,0.268, ,2,0
LSTR,
115,
111
FLST,2,1,4,ORDE,1
LSTR,
124,
123
FITEM,2,221
LSTR,
118,
120
LDIV,P51X,0.732, ,2,0
FLST,2,10,4,ORDE,4
LSTR,
100,
138
FITEM,2,217
LSTR,
100,
139
FITEM,2,219
LSTR,
100,
140
FITEM,2,221
LSTR,
100,
137
FITEM,2,-228
LSTR,
99,
135
LDIV,P51X,0.5, ,2,0
LSTR,
99,
142
FLST,2,4,4,ORDE,4
LSTR,
99,
141
FITEM,2,232
LSTR,
99,
136
FITEM,2,234
LSTR,
103,
135
FITEM,2,237
LSTR,
135,
142
FITEM,2,-238
LSTR,
142,
126
LDIV,P51X,0.732, ,2,0
LSTR,
126,
141
FLST,2,2,4,ORDE,2
LSTR,
141,
136
FITEM,2,235
LSTR,
136,
107
105
Instituto Politécnico Nacional
LSTR,
104,
138
LSTR,
125,
126
LSTR,
138,
139
LSTR,
140,
141
LSTR,
139,
125
LSTR,
137,
136
LSTR,
125,
140
LSTR,
108,
107
LSTR,
140,
137
FLST,2,4,4
LSTR,
137,
108
FITEM,2,257
LSTR,
137,
97
FITEM,2,280
LSTR,
140,
73
FITEM,2,263
LSTR,
139,
56
FITEM,2,279
LSTR,
138,
98
AL,P51X
LSTR,
135,
95
FLST,2,4,4
LSTR,
142,
57
FITEM,2,280
LSTR,
141,
74
FITEM,2,264
LSTR,
136,
96
FITEM,2,281
LSTR,
95,
98
FITEM,2,258
LSTR,
96,
97
AL,P51X
ASBL,
59,
275
FLST,2,4,4
ASBL,
6,
276
FITEM,2,272
ASBL,
88,
218
FITEM,2,138
LSTR,
104,
103
FITEM,2,269
LSTR,
138,
135
FITEM,2,279
LSTR,
139,
142
AL,P51X
106
Instituto Politécnico Nacional
FLST,2,4,4
FITEM,2,215
FITEM,2,139
FITEM,2,266
FITEM,2,268
FITEM,2,250
FITEM,2,281
AL,P51X
FITEM,2,273
FLST,2,3,4
AL,P51X
FITEM,2,250
FLST,2,4,4
FITEM,2,265
FITEM,2,218
FITEM,2,249
FITEM,2,219
AL,P51X
FITEM,2,229
FLST,2,3,4
FITEM,2,280
FITEM,2,247
AL,P51X
FITEM,2,262
FLST,2,5,4
FITEM,2,248
FITEM,2,206
AL,P51X
FITEM,2,212
FLST,2,3,4
FITEM,2,196
FITEM,2,248
FITEM,2,261
FITEM,2,263
FITEM,2,247
FITEM,2,217
AL,P51X
AL,P51X
FLST,2,5,4
FLST,2,3,4
FITEM,2,192
FITEM,2,249
FITEM,2,203
FITEM,2,264
107
Instituto Politécnico Nacional
FITEM,2,217
AL,P51X
AL,P51X
FLST,2,7,4
FLST,2,4,4
FITEM,2,185
FITEM,2,183
FITEM,2,207
FITEM,2,137
FITEM,2,216
FITEM,2,270
FITEM,2,198
FITEM,2,261
FITEM,2,268
AL,P51X
FITEM,2,264
FLST,2,4,4
FITEM,2,229
FITEM,2,270
AL,P51X
FITEM,2,190
FLST,2,4,4
FITEM,2,269
FITEM,2,268
FITEM,2,262
FITEM,2,189
AL,P51X
FITEM,2,267
FLST,2,7,4
FITEM,2,265
FITEM,2,269
AL,P51X
FITEM,2,118
FLST,2,4,4
FITEM,2,194
FITEM,2,136
FITEM,2,210
FITEM,2,267
FITEM,2,208
FITEM,2,200
FITEM,2,229
FITEM,2,266
FITEM,2,263
AL,P51X
108
Instituto Politécnico Nacional
FLST,2,5,4
FITEM,2,252
FITEM,2,205
AL,P51X
FITEM,2,211
FLST,2,3,4
FITEM,2,195
FITEM,2,253
FITEM,2,255
FITEM,2,258
FITEM,2,251
FITEM,2,230
AL,P51X
AL,P51X
FLST,2,5,4
FLST,2,3,4
FITEM,2,191
FITEM,2,252
FITEM,2,202
FITEM,2,257
FITEM,2,214
FITEM,2,230
FITEM,2,260
AL,P51X
FITEM,2,254
FLST,2,4,4
AL,P51X
FITEM,2,178
FLST,2,3,4
FITEM,2,134
FITEM,2,254
FITEM,2,271
FITEM,2,259
FITEM,2,255
FITEM,2,253
AL,P51X
AL,P51X
FLST,2,4,4
FLST,2,3,4
FITEM,2,271
FITEM,2,251
FITEM,2,187
FITEM,2,256
FITEM,2,272
109
Instituto Politécnico Nacional
FITEM,2,256
FITEM,2,188
AL,P51X
FITEM,2,274
FLST,2,7,4
FITEM,2,259
FITEM,2,272
AL,P51X
FITEM,2,117
FLST,2,4,4
FITEM,2,193
FITEM,2,274
FITEM,2,209
FITEM,2,135
FITEM,2,204
FITEM,2,199
FITEM,2,219
FITEM,2,260
FITEM,2,257
AL,P51X
AL,P51X
FLST,2,6,5,ORDE,6
FLST,2,7,4
FITEM,2,6
FITEM,2,184
FITEM,2,88
FITEM,2,201
FITEM,2,94
FITEM,2,213
FITEM,2,96
FITEM,2,197
FITEM,2,105
FITEM,2,273
FITEM,2,117
FITEM,2,258
VA,P51X
FITEM,2,219
FLST,2,6,5,ORDE,6
AL,P51X
FITEM,2,92
FLST,2,4,4
FITEM,2,-93
FITEM,2,273
FITEM,2,95
110
Instituto Politécnico Nacional
FITEM,2,-96
FITEM,2,191
FITEM,2,106
FITEM,2,202
FITEM,2,118
FITEM,2,214
VA,P51X
FITEM,2,283
FLST,2,4,4
FITEM,2,215
FITEM,2,132
FITEM,2,203
FITEM,2,178
FITEM,2,192
FITEM,2,277
AL,P51X
FITEM,2,183
FLST,2,5,4
AL,P51X
FITEM,2,199
FLST,2,8,4
FITEM,2,133
FITEM,2,195
FITEM,2,186
FITEM,2,211
FITEM,2,200
FITEM,2,205
FITEM,2,283
FITEM,2,220
AL,P51X
FITEM,2,206
FLST,2,4,4
FITEM,2,212
FITEM,2,277
FITEM,2,196
FITEM,2,255
FITEM,2,277
FITEM,2,278
AL,P51X
FITEM,2,261
FLST,2,8,4
AL,P51X
FITEM,2,220
FLST,2,4,4
111
Instituto Politécnico Nacional
FITEM,2,278
AL,P51X
FITEM,2,256
FLST,2,4,4
FITEM,2,279
FITEM,2,267
FITEM,2,262
FITEM,2,276
AL,P51X
FITEM,2,274
FLST,2,4,4
FITEM,2,282
FITEM,2,283
AL,P51X
FITEM,2,260
FLST,2,4,4
FITEM,2,282
FITEM,2,247
FITEM,2,266
FITEM,2,278
AL,P51X
FITEM,2,251
FLST,2,4,4
FITEM,2,220
FITEM,2,282
AL,P51X
FITEM,2,259
FLST,2,4,4
FITEM,2,281
FITEM,2,252
FITEM,2,265
FITEM,2,279
AL,P51X
FITEM,2,248
FLST,2,4,4
FITEM,2,220
FITEM,2,271
AL,P51X
FITEM,2,275
FLST,2,4,4
FITEM,2,270
FITEM,2,280
FITEM,2,278
FITEM,2,230
112
Instituto Politécnico Nacional
FITEM,2,217
VA,P51X
FITEM,2,220
FLST,2,6,5,ORDE,6
AL,P51X
FITEM,2,89
FLST,2,4,4
FITEM,2,103
FITEM,2,249
FITEM,2,115
FITEM,2,281
FITEM,2,121
FITEM,2,253
FITEM,2,125
FITEM,2,220
FITEM,2,129
AL,P51X
VA,P51X
FLST,2,4,4
FLST,2,6,5,ORDE,6
FITEM,2,250
FITEM,2,59
FITEM,2,282
FITEM,2,95
FITEM,2,254
FITEM,2,107
FITEM,2,220
FITEM,2,119
AL,P51X
FITEM,2,128
FLST,2,6,5,ORDE,6
FITEM,2,130
FITEM,2,90
VA,P51X
FITEM,2,94
FLST,2,6,5,ORDE,6
FITEM,2,104
FITEM,2,91
FITEM,2,116
FITEM,2,108
FITEM,2,126
FITEM,2,120
FITEM,2,129
FITEM,2,124
113
Instituto Politécnico Nacional
FITEM,2,127
FITEM,2,-133
FITEM,2,130
VA,P51X
VA,P51X
FLST,2,5,5,ORDE,5
FLST,2,5,5,ORDE,5
FITEM,2,93
FITEM,2,97
FITEM,2,102
FITEM,2,109
FITEM,2,113
FITEM,2,122
FITEM,2,133
FITEM,2,125
FITEM,2,-134
FITEM,2,131
VA,P51X
VA,P51X
FLST,2,5,5,ORDE,5
FLST,2,5,5,ORDE,5
FITEM,2,99
FITEM,2,100
FITEM,2,111
FITEM,2,112
FITEM,2,128
FITEM,2,126
FITEM,2,134
FITEM,2,131
FITEM,2,-135
FITEM,2,-132
VA,P51X
VA,P51X
FLST,2,5,5,ORDE,5
FLST,2,5,5,ORDE,5
FITEM,2,98
FITEM,2,88
FITEM,2,110
FITEM,2,101
FITEM,2,123
FITEM,2,114
FITEM,2,127
FITEM,2,132
FITEM,2,135
114
Instituto Politécnico Nacional
VA,P51X
/SOLU
SMRT,6
!*
SMRT,7
ANTYPE,0
MSHAPE,1,3D
FLST,2,10,5,ORDE,7
MSHKEY,0
FITEM,2,1
!*
FITEM,2,-5
FLST,5,27,6,ORDE,2
FITEM,2,36
FITEM,5,1
FITEM,2,43
FITEM,5,-27
FITEM,2,47
CM,_Y,VOLU
FITEM,2,53
VSEL, , , ,P51X
FITEM,2,57
CM,_Y1,VOLU
!*
CHKMSH,'VOLU'
/GO
CMSEL,S,_Y
DA,P51X,UZ,
!*
FLST,2,4,5,ORDE,4
VMESH,_Y1
FITEM,2,8
!*
FITEM,2,32
CMDELE,_Y
FITEM,2,121
CMDELE,_Y1
FITEM,2,-122
CMDELE,_Y2
!*
!*
/GO
FINISH
DA,P51X,ALL,
115
Instituto Politécnico Nacional
/AUTO, 1
FITEM,2,-27968
/REP
FITEM,2,51869
/VIEW, 1 ,,,1
FITEM,2,-51942
/ANG, 1
!*
/REP,FAST
/GO
FLST,2,427,1,ORDE,19
FLST,2,2,5,ORDE,2
FITEM,2,16
FITEM,2,29
FITEM,2,-17
FITEM,2,55
FITEM,2,48
/GO
FITEM,2,-51
!*
FITEM,2,67
SFA,P51X,1,PRES,-4547000
FITEM,2,-68
/STATUS,SOLU
FITEM,2,84
SOLVE
FITEM,2,-85
FINISH
FITEM,2,1722
/POST1
FITEM,2,-1795
FITEM,2,4229
LPLOT
FITEM,2,-4358
KWPLAN,-1,
FITEM,2,5544
CSYS,4
100,
111,
125
FITEM,2,-5601
FITEM,2,27391
FLST,2,3,1
FITEM,2,27889
FITEM,2,105
116
Instituto Politécnico Nacional
FITEM,2,5673
FLST,2,3,1
FITEM,2,106
FITEM,2,103
!*
FITEM,2,5667
PATH,juan1,3,30,20,
FITEM,2,5707
PPATH,P51X,1
!*
PATH,STAT
PATH,juan2,3,30,20,
!*
PPATH,P51X,1
/post1
PATH,STAT
kcalc,0,1
!*
kcalc,0,1
Líneas de instrucciones para generar la
grieta sobre la soldadura H4 caso
Normal y Upset, presión 4.547 MpPa.
*SET,A,0.164515727
*SET,B,0.924242424
¡ Para variar la longitud de la grieta se
tiene que modificar el valor de (SET,A
y SET,B), con los valores que están
establecidos se genera la grieta para
100 cm.
*SET,C,4.1560496
¡ La variando el valor SET,C se puede
modificar la altura a la que se desea
nalizar la grieta, par este caso el valor
de 4.1560496 representa la altura de
la grieta respecto a la base de la
envolvente del núcleo.
Para analizar la soldadura H5, con
longitud de grieta 100 cm se cambial
SET,C por el valor de 1.5336266.
/PREP7
/TITLE,CORE SHROULD 1.016 m
ET,1,SOLID95
117
Instituto Politécnico Nacional
MPTEMP,,,,,,,,
K,16,2.218 944,7.286 85,0
MPTEMP,1,0
K,17,2.155 44, 7.286 85,0
MPDATA,EX,1,,160E9
K,18,2.043 18,C+0.02,0
MPDATA,PRXY,1,,0.3
K,19,2.081 28,C+0.02,0
MPTEMP,,,,,,,,
LSTR,
1,
2
MPTEMP,1,0
LSTR,
2,
19
MPDATA,DENS,1,,7800
LSTR,
19,
18
K,1,2.043 18,C,0
LSTR,
18,
1
K,2,2.081 28,C,0
LSTR,
19,
3
K,3,2.081 28,5.905 347 6,0
LSTR,
3,
4
K,4,2.043 18,5.905 347 6,0
LSTR,
4,
18
K,5,2.218 944,5.905 347 6,0
LSTR,
3,
5
K,6,2.032,5.905 347 6,0
LSTR,
5,
8
K,7,2.032,5.968 847 6,0
LSTR,
8,
9
K,8,2.218.944,5.968 8476,0
LSTR,
9,
7
K,9,2.187 197,5.968 847 6,0
LSTR,
7,
6
K,10,2.218 944,6.886 549 6,0
LSTR,
6,
4
K,11,2.187 194,6.886 549 6,0
LSTR,
8,
10
K,12,2.117 344,6.886 549 6,0
LSTR,
10,
11
K,13,2.117 34,7.038 949 6,0
LSTR,
11,
9
K,14,2.155 44, 7.038 949 6,0
LSTR,
10,
15
K,15,2.218 944,7.038 949 6,0
LSTR,
15,
14
118
Instituto Politécnico Nacional
LSTR,
14,
13
FITEM,2,11
LSTR,
13,
12
FITEM,2,12
LSTR,
12,
11
FITEM,2,13
LSTR,
15,
16
FITEM,2,6
LSTR,
16,
17
FITEM,2,8
LSTR,
17,
14
AL,P51X
LPLOT
FLST,2,4,4
FLST,2,4,4
FITEM,2,14
FITEM,2,1
FITEM,2,15
FITEM,2,2
FITEM,2,16
FITEM,2,3
FITEM,2,10
FITEM,2,4
AL,P51X
AL,P51X
FLST,2,6,4
FLST,2,4,4
FITEM,2,17
FITEM,2,3
FITEM,2,18
FITEM,2,5
FITEM,2,19
FITEM,2,6
FITEM,2,20
FITEM,2,7
FITEM,2,21
AL,P51X
FITEM,2,15
FLST,2,7,4
AL,P51X
FITEM,2,9
FLST,2,4,4
FITEM,2,10
FITEM,2,18
119
Instituto Politécnico Nacional
FITEM,2,22
FITEM,2,-48
FITEM,2,23
LDIV,P51X,A, ,2,0
FITEM,2,24
FLST,2,11,4,ORDE,6
AL,P51X
FITEM,2,29
FLST,2,6,5,ORDE,2
FITEM,2,-32
FITEM,2,1
FITEM,2,36
FITEM,2,-6
FITEM,2,-37
K,20,0,7.286 85,0
FITEM,2,44
K,21,0,5.905 35,0
FITEM,2,-48
FLST,2,6,5,ORDE,2
LDIV,P51X,B, ,2,0
FITEM,2,1
LSTR,
74,
71
FITEM,2,-6
LSTR,
72,
71
FLST,8,2,3
LSTR,
73,
74
FITEM,8,20
LSTR,
61,
62
FITEM,8,21
LSTR,
60,
63
VROTAT,P51X, , , , , ,P51X, ,-180, ,
LSTR,
73,
72
FLST,2,11,4,ORDE,6
LSTR,
62,
63
FITEM,2,29
LSTR,
61,
60
FITEM,2,-32
LSTR,
69,
68
FITEM,2,36
LSTR,
68,
67
FITEM,2,-37
LSTR,
80,
79
FITEM,2,44
LSTR,
79,
78
120
Instituto Politécnico Nacional
LSTR,
67,
66
FITEM,2,134
LSTR,
66,
65
FITEM,2,133
LSTR,
65,
64
AL,P51X
LSTR,
64,
70
FLST,2,4,4
LSTR,
70,
69
FITEM,2,155
LSTR,
78,
77
FITEM,2,147
LSTR,
77,
76
FITEM,2,157
LSTR,
76,
81
FITEM,2,139
LSTR,
81,
80
AL,P51X
LSTR,
75,
74
LSBL,
LSTR,
63,
64
FLST,2,4,4
LSTR,
76,
73
FITEM,2,158
LSTR,
62,
65
FITEM,2,156
152,
FLST,2,4,4
FITEM,2,135
FITEM,2,137
FITEM,2,154
FITEM,2,139
AL,P51X
FITEM,2,136
FLST,2,7,4
FITEM,2,140
FITEM,2,147
AL,P51X
FITEM,2,146
FLST,2,4,4
FITEM,2,145
FITEM,2,135
FITEM,2,142
FITEM,2,138
FITEM,2,141
126
121
Instituto Politécnico Nacional
FITEM,2,149
VDELE,P51X, , ,1
FITEM,2,148
LSTR,
69,
80
AL,P51X
LSTR,
65,
76
FLST,2,7,4
LSTR,
64,
75
FITEM,2,143
LSTR,
70,
81
FITEM,2,144
LSTR,
66,
77
FITEM,2,150
/AUTO, 1
FITEM,2,151
/REP
FITEM,2,158
/USER, 1
FITEM,2,159
/REPLO
FITEM,2,153
FLST,2,4,4
AL,P51X
FITEM,2,122
VSBA,
3,
71
FITEM,2,141
VSBA,
14,
72
FITEM,2,130
VSBA,
2,
69
FITEM,2,143
VSBA,
16,
70
AL,P51X
VSBA,
1,
VSBA,
18,
67
FLST,2,4,4
68
FITEM,2,129
FLST,2,3,6,ORDE,3
FITEM,2,145
FITEM,2,15
FITEM,2,126
FITEM,2,17
FITEM,2,150
FITEM,2,19
AL,P51X
122
Instituto Politécnico Nacional
FLST,2,4,4
FITEM,2,125
FITEM,2,146
AL,P51X
FITEM,2,126
FLST,2,9,5,ORDE,4
FITEM,2,151
FITEM,2,71
FITEM,2,123
FITEM,2,-72
AL,P51X
FITEM,2,86
FLST,2,4,4
FITEM,2,-92
FITEM,2,147
VA,P51X
FITEM,2,123
LSTR,
63,
74
FITEM,2,158
LSTR,
62,
73
FITEM,2,124
LSTR,
60,
71
AL,P51X
LSTR,
61,
72
FLST,2,4,4
FLST,2,4,4
FITEM,2,148
FITEM,2,139
FITEM,2,124
FITEM,2,127
FITEM,2,159
FITEM,2,135
FITEM,2,125
FITEM,2,128
AL,P51X
AL,P51X
FLST,2,4,4
FLST,2,4,4
FITEM,2,149
FITEM,2,124
FITEM,2,122
FITEM,2,127
FITEM,2,153
FITEM,2,155
123
Instituto Politécnico Nacional
FITEM,2,154
FITEM,2,-138
AL,P51X
LDIV,P51X,0.5, ,2,0
/ZOOM, 1 ,BACK
FLST,2,8,4,ORDE,7
FLST,2,4,4
FITEM,2,127
FITEM,2,128
FITEM,2,-128
FITEM,2,156
FITEM,2,131
FITEM,2,157
FITEM,2,-132
FITEM,2,123
FITEM,2,152
AL,P51X
FITEM,2,160
FLST,2,6,5,ORDE,5
FITEM,2,-162
FITEM,2,69
LDIV,P51X,0.5, ,2,0
FITEM,2,-70
FLST,2,8,4,ORDE,5
FITEM,2,89
FITEM,2,152
FITEM,2,93
FITEM,2,160
FITEM,2,-95
FITEM,2,-162
VA,P51X
FITEM,2,167
FLST,2,8,4,ORDE,6
FITEM,2,-170
FITEM,2,127
LDIV,P51X,0.5, ,2,0
FITEM,2,-128
FLST,2,4,4,ORDE,2
FITEM,2,131
FITEM,2,167
FITEM,2,-133
FITEM,2,-170
FITEM,2,136
LDIV,P51X,0.268, ,2,0
124
Instituto Politécnico Nacional
FLST,2,4,4,ORDE,2
FITEM,2,210
FITEM,2,175
LDIV,P51X,0.732, ,2,0
FITEM,2,-178
FLST,2,4,4,ORDE,4
LDIV,P51X,0.732, ,2,0
FITEM,2,203
LSTR,
82,
84
FITEM,2,205
LSTR,
83,
85
FITEM,2,207
LSTR,
102,
104
FITEM,2,209
LSTR,
106,
108
LDIV,P51X,0.268, ,2,0
LSTR,
98,
100
LSTR,
82,
83
LSTR,
110,
112
LSTR,
86,
89
LSTR,
103,
105
LSTR,
88,
87
LSTR,
107,
109
FLST,2,3,5,ORDE,3
LSTR,
99,
101
FITEM,2,67
LSTR,
111,
113
FITEM,2,-68
FLST,2,10,4,ORDE,2
FITEM,2,93
FITEM,2,191
FLST,3,3,4,ORDE,2
FITEM,2,-200
FITEM,3,219
LDIV,P51X,0.5, ,2,0
FITEM,3,-221
FLST,2,4,4,ORDE,4
ASBL,P51X,P51X
FITEM,2,204
/REPLOT
FITEM,2,206
LSTR,
84,
124
FITEM,2,208
LSTR,
84,
128
125
Instituto Politécnico Nacional
LSTR,
84,
129
LSTR,
126,
87
LSTR,
84,
125
LSTR,
130,
62
LSTR,
92,
124
LSTR,
131,
73
LSTR,
124,
128
LSTR,
127,
89
LSTR,
128,
114
LSTR,
84,
85
LSTR,
114,
129
LSTR,
96,
97
LSTR,
129,
125
LSTR,
92,
93
LSTR,
125,
96
/REPLO
LSTR,
124,
88
LSTR,
128,
63
/ZOOM,1,SCRN,0.703070,0.075000,1.125544,-0.785526
LSTR,
129,
74
LSTR,
125,
86
LSTR,
85,
126
LSTR,
85,
130
LSTR,
85,
131
LSTR,
85,
127
LSTR,
93,
126
LSTR,
126,
130
LSTR,
130,
115
LSTR,
115,
131
LSTR,
131,
127
LSTR,
127,
97
LSTR,
124,
126
LSTR,
128,
130
LSTR,
114,
115
LSTR,
129,
131
LSTR,
125,
127
FLST,2,4,4
FITEM,2,131
FITEM,2,252
FITEM,2,132
FITEM,2,140
AL,P51X
FLST,2,4,4
FITEM,2,232
126
Instituto Politécnico Nacional
FITEM,2,221
FLST,2,4,4
FITEM,2,246
FITEM,2,235
FITEM,2,253
FITEM,2,220
AL,P51X
FITEM,2,249
FLST,2,4,4
FITEM,2,257
FITEM,2,233
AL,P51X
FITEM,2,139
FLST,2,4,4
FITEM,2,247
FITEM,2,251
FITEM,2,254
FITEM,2,174
AL,P51X
FITEM,2,134
FLST,2,4,4
FITEM,2,173
FITEM,2,219
AL,P51X
FITEM,2,192
/REPLOT
FITEM,2,255
FLST,2,8,4
FITEM,2,191
FITEM,2,252
AL,P51X
FITEM,2,170
FLST,2,4,4
FITEM,2,186
FITEM,2,135
FITEM,2,182
FITEM,2,248
FITEM,2,250
FITEM,2,256
FITEM,2,181
FITEM,2,234
FITEM,2,185
AL,P51X
FITEM,2,169
127
Instituto Politécnico Nacional
AL,P51X
FITEM,2,238
FLST,2,4,4
FITEM,2,250
FITEM,2,222
AL,P51X
FITEM,2,253
FLST,2,4,4
FITEM,2,236
FITEM,2,225
FITEM,2,250
FITEM,2,257
AL,P51X
FITEM,2,239
FLST,2,4,4
FITEM,2,250
FITEM,2,223
AL,P51X
FITEM,2,254
FLST,2,8,4
FITEM,2,237
FITEM,2,250
FITEM,2,250
FITEM,2,162
AL,P51X
FITEM,2,178
FLST,2,4,4
FITEM,2,190
FITEM,2,201
FITEM,2,251
FITEM,2,255
FITEM,2,189
FITEM,2,202
FITEM,2,177
FITEM,2,250
FITEM,2,161
AL,P51X
AL,P51X
FLST,2,4,4
/REPLOT
FITEM,2,224
FLST,2,4,4
FITEM,2,256
FITEM,2,252
128
Instituto Politécnico Nacional
FITEM,2,226
FLST,2,4,4
FITEM,2,253
FITEM,2,256
FITEM,2,240
FITEM,2,244
AL,P51X
FITEM,2,257
FLST,2,4,4
FITEM,2,230
FITEM,2,227
AL,P51X
FITEM,2,253
FLST,2,4,4
FITEM,2,241
FITEM,2,245
FITEM,2,254
FITEM,2,251
AL,P51X
FITEM,2,231
FLST,2,4,4
FITEM,2,257
FITEM,2,228
AL,P51X
FITEM,2,254
/REPLOT
FITEM,2,255
FLST,2,4,4
FITEM,2,242
FITEM,2,131
AL,P51X
FITEM,2,137
FLST,2,4,4
FITEM,2,232
FITEM,2,229
FITEM,2,226
FITEM,2,255
AL,P51X
FITEM,2,243
FLST,2,4,4
FITEM,2,256
FITEM,2,232
AL,P51X
FITEM,2,165
129
Instituto Politécnico Nacional
FITEM,2,233
FITEM,2,230
FITEM,2,227
AL,P51X
AL,P51X
FLST,2,7,4
FLST,2,7,4
FITEM,2,234
FITEM,2,233
FITEM,2,171
FITEM,2,127
FITEM,2,187
FITEM,2,167
FITEM,2,175
FITEM,2,183
FITEM,2,152
FITEM,2,179
FITEM,2,191
FITEM,2,191
FITEM,2,229
FITEM,2,228
AL,P51X
AL,P51X
FLST,2,5,4
FLST,2,4,4
FITEM,2,181
FITEM,2,173
FITEM,2,185
FITEM,2,163
FITEM,2,169
FITEM,2,235
FITEM,2,226
FITEM,2,231
FITEM,2,222
AL,P51X
AL,P51X
FLST,2,4,4
FLST,2,3,4
FITEM,2,235
FITEM,2,222
FITEM,2,133
FITEM,2,227
FITEM,2,234
FITEM,2,223
130
Instituto Politécnico Nacional
AL,P51X
AL,P51X
FLST,2,3,4
FLST,2,4,4
FITEM,2,223
FITEM,2,132
FITEM,2,228
FITEM,2,136
FITEM,2,201
FITEM,2,246
AL,P51X
FITEM,2,240
FLST,2,3,4
AL,P51X
FITEM,2,201
FLST,2,4,4
FITEM,2,229
FITEM,2,246
FITEM,2,224
FITEM,2,164
AL,P51X
FITEM,2,247
FLST,2,3,4
FITEM,2,241
FITEM,2,224
AL,P51X
FITEM,2,230
FLST,2,7,4
FITEM,2,225
FITEM,2,247
AL,P51X
FITEM,2,128
FLST,2,5,4
FITEM,2,168
FITEM,2,225
FITEM,2,184
FITEM,2,231
FITEM,2,180
FITEM,2,189
FITEM,2,192
FITEM,2,177
FITEM,2,242
FITEM,2,161
AL,P51X
131
Instituto Politécnico Nacional
FLST,2,7,4
FITEM,2,182
FITEM,2,192
FITEM,2,186
FITEM,2,160
FITEM,2,170
FITEM,2,176
FITEM,2,240
FITEM,2,188
FITEM,2,236
FITEM,2,172
AL,P51X
FITEM,2,248
FLST,2,3,4
FITEM,2,243
FITEM,2,236
AL,P51X
FITEM,2,241
FLST,2,4,4
FITEM,2,237
FITEM,2,248
AL,P51X
FITEM,2,138
FLST,2,3,4
FITEM,2,249
FITEM,2,237
FITEM,2,244
FITEM,2,242
AL,P51X
FITEM,2,202
FLST,2,4,4
AL,P51X
FITEM,2,249
FLST,2,3,4
FITEM,2,166
FITEM,2,202
FITEM,2,174
FITEM,2,243
FITEM,2,245
FITEM,2,238
AL,P51X
AL,P51X
FLST,2,5,4
FLST,2,3,4
132
Instituto Politécnico Nacional
FITEM,2,238
FITEM,2,-103
FITEM,2,244
FITEM,2,116
FITEM,2,239
FITEM,2,124
AL,P51X
FITEM,2,134
FLST,2,5,4
VA,P51X
FITEM,2,239
FLST,2,6,5,ORDE,6
FITEM,2,245
FITEM,2,96
FITEM,2,190
FITEM,2,103
FITEM,2,178
FITEM,2,-104
FITEM,2,162
FITEM,2,117
AL,P51X
FITEM,2,123
/REPLOT
FITEM,2,135
FLST,2,6,5,ORDE,6
VA,P51X
FITEM,2,93
FLST,2,6,5,ORDE,6
FITEM,2,100
FITEM,2,97
FITEM,2,102
FITEM,2,104
FITEM,2,115
FITEM,2,-105
FITEM,2,121
FITEM,2,118
FITEM,2,133
FITEM,2,122
VA,P51X
FITEM,2,136
FLST,2,6,5,ORDE,5
VA,P51X
FITEM,2,101
/REPLOT
133
Instituto Politécnico Nacional
FLST,2,6,5,ORDE,6
FITEM,2,137
FITEM,2,67
VA,P51X
FITEM,2,-68
FLST,2,5,5,ORDE,5
FITEM,2,98
FITEM,2,107
FITEM,2,113
FITEM,2,-108
FITEM,2,119
FITEM,2,114
FITEM,2,131
FITEM,2,126
VA,P51X
FITEM,2,138
FLST,2,6,5,ORDE,6
VA,P51X
FITEM,2,68
FLST,2,5,5,ORDE,5
FITEM,2,93
FITEM,2,108
FITEM,2,99
FITEM,2,-109
FITEM,2,114
FITEM,2,115
FITEM,2,120
FITEM,2,127
FITEM,2,132
FITEM,2,139
VA,P51X
VA,P51X
/REPLOT
FLST,2,5,5,ORDE,5
FLST,2,5,5,ORDE,5
FITEM,2,109
FITEM,2,106
FITEM,2,-110
FITEM,2,-107
FITEM,2,116
FITEM,2,113
FITEM,2,128
FITEM,2,125
FITEM,2,140
134
Instituto Politécnico Nacional
VA,P51X
MSHKEY,0
FLST,2,5,5,ORDE,5
!*
FITEM,2,110
FLST,5,29,6,ORDE,2
FITEM,2,-111
FITEM,5,1
FITEM,2,117
FITEM,5,-29
FITEM,2,129
CM,_Y,VOLU
FITEM,2,141
VSEL, , , ,P51X
VA,P51X
CM,_Y1,VOLU
FLST,2,5,5,ORDE,5
CHKMSH,'VOLU'
FITEM,2,111
CMSEL,S,_Y
FITEM,2,-112
!*
FITEM,2,118
VMESH,_Y1
FITEM,2,130
!*
FITEM,2,142
CMDELE,_Y
VA,P51X
CMDELE,_Y1
VPLOT
CMDELE,_Y2
/AUTO, 1
!*
/REP
FINISH
SMRT,6
/SOLU
SMRT,7
FLST,2,12,5,ORDE,8
SMRT,8
FITEM,2,1
MSHAPE,1,3D
FITEM,2,-6
135
Instituto Politécnico Nacional
FITEM,2,41
/STATUS,SOLU
FITEM,2,45
SOLVE
FITEM,2,52
FINISH
FITEM,2,56
/POST1
FITEM,2,62
KWPLAN,-1,
FITEM,2,66
CSYS,4
/GO
LPLOT
DA,P51X,UZ,
FLST,2,3,1
FLST,2,4,5,ORDE,4
FITEM,2,94
FITEM,2,37
FITEM,2,6351
FITEM,2,67
FITEM,2,95
FITEM,2,83
!*
FITEM,2,106
PATH,juan1,3,30,20,
!*
PPATH,P51X,1
/GO
PATH,STAT
DA,P51X,ALL,
!*
FLST,2,2,5,ORDE,2
kcalc,0,1
FITEM,2,34
FLST,2,3,1
FITEM,2,64
FITEM,2,92
/GO
FITEM,2,6344
!*
FITEM,2,93
SFA,P51X,1,PRES,-4547000
!*
85,
101,
115
136
Instituto Politécnico Nacional
PATH,juan2,3,30,20,
!*
PPATH,P51X,1
kcalc,0,1
PATH,STAT
137