GUIA DE EJERCICIOS Módulo Renta Fija

GUIA DE EJERCICIOS
Módulo Renta Fija
CURSO UC-FIAP: Gestión de Inversiones con Aplicaciones a Fondos de Pensiones
Septiembre / Octubre de 2014
PROF.: EDUARDO WALKER
HPR / RPM
1. (Datos reales) Ud. compró bonos en dólares emitidos por la República de Guatemala, con tasa de
cupón semianual de 10,25%, valor par de 1000 y vencimiento el 8-Nov-2011 y pagos semestrales (10 de
Mayo y 8 de Noviembre).
a) El día 11 de Noviembre de 2002, cuando la tasa de interés de mercado (efectiva anual) era de 8,396%,
Ud. materializó la compra. ¿Cuánto pagó por el bono?
b) Ud. mantuvo el bono hasta el día 10 de Mayo de 2003, cuando la tasa de interés de mercado (efectiva
anual) era 7,405%, se quedó con el cupón y vendió el bono. ¿Cuánto creció su riqueza (RPM) producto
de haber mantenido el bono en el período? Lleve su ganancia a base anual.
2. (Datos reales) El bono de la República de Uruguay en dólares que vence el 15 de septiembre de 2015
tiene pagos semestrales de intereses los días 15 de Marzo y 15 de Septiembre. Ud. lo compró el día 15Septiembre de 2004 (después del pago de intereses) cuando su TIR de mercado (tasa efectiva anual) era
9.35%. Este bono tiene una tasa de cupón anual total de 7.5% pagado seminanualmente y un valor de
carátula (principal o valor par) de 1000. El 15-Marzo-2005 Ud. recibió el correspondiente pago de cupón del
bono y lo re-invirtió en el mismo instrumento. ¿Cuántas unidades adicionales pudo comprar? Finalmente, Ud.
liquidó su inversión en este bono el día 15-Septiembre-2005. ¿Cuánto creció su riqueza en el período,
producto de haber mantenido el Bono (el RPM) y reinvertido los flujos intermedios en el propio bono? Haga
un índice de retorno total para el bono partiendo en 1000, obteniendo los valores del índice para las fechas
15 de Marzo y 15 de Septiembre. ¿Cuál es el valor anualizado del retorno total obtenido?
Fecha
TIR (%)
15-Sep-2004
9.35
15-Mar-2005
8.42
15-Sep-2005
7.46
3. *(Datos reales) El bono uruguayo con vencimiento el 15-mar-2015 paga intereses 2 veces al año, el 15
de marzo y el 15 de septiembre. Tiene una tasa de cupón de 7.5%, valor par de 1000 y amortiza el principal
al final. Suponga que Ud. lo compra el 15 de septiembre de 2003, lo mantiene y va reinvirtiendo en el propio
bono los cupones recibidos del mismo (comprando unidades adicionales; pueden ser fraccionales). Ud.
liquida su inversión el 28-jul-09. Suponga que Ud. inicialmente invirtió 1000 en el bono. Construya un índice
de riqueza representativo de su estrategia de inversión. Las tasas efectivas anuales (TIR) del bono fueron las
siguientes a través del tiempo. ¿Con cuántas unidades del bono empezó y con cuántas terminó?
FECHA
TIR (%)
9/15/2003
10.964
3/15/2004
9.945
9/15/2004
9.1
3/15/2005
8.213
9/15/2005
7.304
3/15/2006
6.66
9/15/2006
6.844
3/15/2007
6.171
9/15/2007
6.556

Los ejercicios marcados con asterisco (“*”) son propuestos, no vienen con solución. Para el resto la solución
viene al final de este apunte.
© EDUARDO WALKER 2014
3/15/2008
9/15/2008
3/15/2009
7/28/2009
5.93
5.984
6.962
5.636
DURACIÓN, CONVEXIDAD
4. Derive la duración de Macaulay para un portafolio compuesto en un 50% por un papel a un año y en el
resto en una perpetuidad. Suponga que la tasa de interés es constante e igual a r para toda madurez.
(Indicación: la duración es aditiva bajo los supuestos anteriores).
5. * En el mercado se transan dos bonos libre de riesgo de no pago. La tasa de interés (TIR) de ambos es
8%. El primero es un cero cupón a 13,5 años y el segundo es una perpetuidad. En precio actual de ambos
bonos es 1000.
a) Ilustre en un solo gráfico el precio de cada bono (eje Y) contra la tasa de descuento de cada uno
(TIR) en el eje X.
b) Determine la Duración de Macaulay y la Duración Modificada para cada bono.
c) Sobre la base de la duración modificada, prediga qué pasaría con los precios de los bonos si la tasa
de descuento subiera en 2%. Compare su estimación de variación de precios basada en la duración
con el cálculo exacto de variación real o efectiva de precios. En base a esas dos estimaciones (y sin
necesidad de aplicar una fórmula complicada) verifique cuál de los bonos tiene mayor convexidad.
Relacione su respuesta con su gráfico en la parte (a).
6.
“La duración tiende a sobrestimar el impacto de cambios en la tasa de descuento sobre los precios de
los bonos sólo porque ella misma (la duración) tiende a cambiar cuando cambian las tasas de interés.”
Comente y explique cuál es el rol de la “Convexidad” de un bono y qué corrección lleva a cabo (no se pide
fórmulas). Indic. Piense en un bono cero-cupón.
TASAS FORWARD, RPM Y MEDICIÓN DE LA ESTRUCTURA DE TASAS
7. Hay dos bonos en el mercado. El Bono A vale $1.75 y pagará $1 en t=1 y $1 en t=2 (su TIR es 9,38%).
El Bono B vale $2.78 y pagará $1 y $2.24 en t=1 y t=2 respectivamente (su TIR es 9,53%). A) Encuentre y
grafique la estructura de las tasas de interés para los bonos cero-cupón. B) ¿Cuál es la tasa forward para el
segundo año?
8.
Complete el siguiente Cuadro
Número de cupones
anuales iguales a
$1
(incluyen
amortización)
1
2
3
a)
Tasa del
Bono
(%)
Precio
del bono
6.0
0.9434
7.0
1.8080
6.0
2.6730
Precio Bono
Cero Cupón
(?)
TIR Estimada
Bono Cero
Cupón (?)
Duración de
Macaulay del
bono (?)
Tasa
Forward
(?)
Si Ud. creyera que las tasas anteriores (spot) serán exactamente las mismas en un año más para los
papeles a 1, 2 y 3 años, ¿Cómo recomendaría invertir? Justifique brevemente su respuesta. ¿Usaría
además deuda a algún plazo si pudiera conseguir las mismas tasas del cuadro?
9. * Hay bonos con pagos anuales sucesivos iguales a 1 UF a 1, 2 y 3 años plazo cuyos precios son
0,9804; 1,9230 y 2,8120 (por ejemplo, el tercer bono paga (1,1,1)). Denomínelos B1, B2 y B3. Suponga que
Ud. puede comprar o vender (corto) cualquier bono.
a)
b)
Encuentre la estructura de tasas de interés para los bonos cero cupón.
Calcule las tasas anuales forward sucesivas. Grafique sus resultados de (a) y (b).
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© EDUARDO WALKER 2014
c)
Suponga ahora que existen los bonos cero cupón que Ud. obtuvo en (a). Hay un banco que está
dispuesto a fijar desde ya una tasa de interés para prestarle 1000 entre t=2 y t=3 en 5%. ¿Hay una
oportunidad de arbitraje? De ser así, explique detalladamente cómo aprovecharía esta oportunidad.
HIPOTESIS
10. La tasa de interés de un bono cero cupón a 30 años es 5%. La tasa de interés de un cero cupón a 40
años es 5,05%.
a) Bajo la hipótesis de expectativas, ¿qué tasa de interés anual espera el mercado para el “largo
plazo”? Explique.
b) Suponga que se cumple la hipótesis de preferencia por liquidez. ¿Necesita ahora información
adicional para afirmar qué tasa de interés espera el mercado para el largo plazo?
11. Suponga que la tasa de interés del año 2 puede tomar dos valores con probabilidades de 60% y 40%
respectivamente: 4% y 6%. Suponga que la tasa de interés del primer año es 4,5% y que la tasa de interés
de un bono cero cupón (sin prepago ni riesgo alguno) a 2 años (b2) es 5,5% anual.
a) Si lo hubiere, ¿a cuánto asciende el premio por liquidez en la estructura de tasas de interés?
b) ¿Cuál es el retorno esperado (RPM) y el “premio por riesgo” (con respecto a la tasa del primer año) de
mantener por un año el bono a dos años (b2)?
12. * La tasa de interés de los bonos cero-cupón con vencimiento a fines de los años 1 y 2 son 3 y 3,5%,
respectivamente. La tasa de interés (spot) del segundo año es desconocida y puede tomar dos valores con
igual probabilidad: 4,5% y 2,5%. ¿Hay un premio por liquidez? Responda esto de dos maneras:
a) Identificando el premio en las tasas de interés, comparando tasas forward con esperada spot.
b) Comparando las rentabilidades esperadas de invertir por dos años, ya sea en el papel largo o en el papel
corto, reinvirtiendo el dinero al vencimiento de éste.
c) Comente sobre la equivalencia entre (a) y (b).
13. “Al margen del premio por riesgo, para determinar la tasa de descuento pertinente para descontar los
flujos de caja futuros de un proyecto, lo más difícil es estimar la trayectoria futura de las tasas. Es necesario
considerar esto en la evaluación y no castigar demasiado el proyecto cuando las tasas están altas y se sabe
que caerán.” Comente.
14. Explique cuál de las siguientes afirmaciones es falsa y por qué: A. Según la hipótesis de expectativas,
las tasas forward de largo plazo corresponden a las tasas esperadas (spot) a futuro; B. La hipótesis de
segmentación establece que no habrá relación entre las tasas de interés de corto y largo plazo; C. Si las
tasas spot esperadas a futuro son todas iguales a la tasa spot actual, la hipótesis de premio por liquidez nos
dice que la estructura de tasas será creciente; D. La hipótesis de hábitat preferido es incompatible con una
de premios por liquidez negativos.
15. Suponiendo “premios por liquidez” no-decrecientes con la madurez, se da que una estructura de tasas
de interés decreciente necesariamente implica expectativas de caídas en las tasas de interés, mientras que
una creciente necesariamente implica lo contrario. Comente. Grafique.
16. ¿Qué “señal” le estará entregando el mercado a los inversionistas del “sector real” si la tasa de interés
de los bonos cero cupón a 15 años fuera notablemente baja, comparada con vencimientos superiores e
inferiores? ¿Por qué?
ESTRATEGIAS PASIVAS EN RENTA FIJA
17. Estamos en el momento t=0. Una empresa concesionaria se ha comprometido (so pena de fuertes
multas) a llevar a cabo un proyecto que tiene los siguientes flujos de caja anuales a partir de fines del año 3,
inclusive: -1500, 650 y 1100. La tasa de descuento pertinente del proyecto es 8%. Calcule la Duración
Modificada del proyecto usando dicha tasa. Con dicha Duración, determine el cambio (absoluto) en el valor
del proyecto si la tasa de interés (descuento) sube o cae en ½ punto porcentual.
18. En el mercado se transan bonos cero-cupón libres de riesgo de no pago a 1, 2 y 3 años con tasas de
interés de 10%, 11% y 12%, respectivamente. A) ¿Cuáles son las tasas forward anuales para los años 1, 2 y
3, respectivamente? B) Bajo la hipótesis de expectativas para la estructura de tasas de interés, ¿qué tasas
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© EDUARDO WALKER 2014
espera el mercado para los cero-cupón de 1 y 2 años, en un año más? C) En el mercado se transa un bono
estatal con pagos de 100 anuales por tres años y una TIR de 11,27%. ¿Es “correcto” el precio de dicho
bono? D) ¿Cuál es la duración de Macaulay de dicho bono? E) Si las tasas de interés se mantienen idénticas
a las actuales en un año más, ¿qué rentabilidad tendrá el bono descrito en C) al cabo de un año?
19. El Banco Central planea emitir pagarés (bonos) de tasa flotante a 10 años, por 1000 cada uno, atados a
la tasa de interés a 90 días. Pagará todos los intereses acumulados y el principal a fines del año 10. La tasa
de interés pagada por el bono se fijará al comienzo de cada trimestre.
a) Demuestre que este bono debe tener un precio de mercado exactamente igual a su valor par cuando
está recién emitido.
b) ¿Qué duración tiene este bono? ¿Cómo depende ésta del día del año en que se esté? Dé un ejemplo.
20. “Las tasas de interés a 90 días en UF han llegado a 7,5% y Ud. insiste en invertir en papeles que
ofrecen una rentabilidad menor, como los Papeles a 8 años a tasa fija del Banco Central, que están a 6,3%.
Encuentro que no tiene sentido comprar los papeles con las tasas de interés más bajas”. Comente a la luz de
los problemas de la TIR.
21. Un pariente suyo jubilará pasados seis meses. En esa fecha recibirá UF 10.400. Él desea asegurarse un
pago semestral (pensión) desde ya, y su intención es que, después de su muerte, su descendencia continue
recibiendo los pagos, por siempre. En el mercado existe un bono estatal perpetuo, que paga UF5 al final de
cada semestre, que hoy, el 1/1/XX, se transa en UF100. La tasa de interés libre de riesgo (a la que puede
prestar y pedir prestado) para el primer semestre de este año es UF 4% semestral.
a) ¿Qué pensión semestral podría asegurarse? Explique detalladamente cómo lo haría.
b) ¿Qué tasa de interés ("forward perpetua") queda asegurada?
22. "Efectivamente podría ocurrir que el precio de las acciones de algún banco subiera ante aumentos en
las tasas de interés de mercado. Esto no sólo refleja ausencia de 'inmunización' sino que el banco sigue una
estrategia de inversión/financiamiento muy riesgosa." Comente y refiérase al riesgo que se está corriendo.
¿Qué características deben tener los activos/pasivos para que esto ocurra?
23. Suponga que tiene activos por 1000 con una “duración modificada” estimada de 10 años y pasivos por
500. ¿Cuál debe ser la “duración modificada” de los pasivos para que el patrimonio esté inmunizado ante
cambios (pequeños) de 1% en las tasas de interés?
24. Una empresa maderera tiene activos de largo plazo con una "duración" estimada de 15 años. Está
financiada en un 40% con patrimonio y el resto con una deuda de 5 años de "duración". Para efectos de
análisis suponga que hoy los activos y la deuda se descuentan a una única tasa de 10% real anual. Lo
normal es que esta tasa fluctúe entre 8,35% y 11,65% (es decir 10% ± 1,65%). ¿Existe la posibilidad de que
esta empresa quiebre producto de cambios en las tasas de interés? Sea explícito en sus cálculos.
25. El Banco Río de la Plaza posee pasivos con duración (modificada) de 1 año. El dilema actual consiste
en que, si presta dinero a plazo mayor que un año, los accionistas del banco tendrán una mayor rentabilidad
esperada. La relación deuda / patrimonio del banco es 15 veces. El directorio ha determinado que, en un
escenario pesimista, las tasas de interés pueden subir hasta 3 puntos porcentuales y que, en dicho caso,
desean perder, como máximo, 10% del valor económico del patrimonio. ¿Cuál es el máximo plazo (duración
modificada) al que debe prestar el banco para cumplir con los requisitos impuestos por el directorio?
26. * Ud. está comprometido a pagar MU$537,8 en gastos cada uno de los siguientes dos años (llame a
ésta su obligación). La tasa de interés de los bonos es 5%. A) ¿Cuál es el valor presente y la duración de su
obligación? B) Suponga que Ud. compra un bono cero-cupón para inmunizar su obligación. ¿Cuál
compraría? Analice su posición neta (activos menos pasivos, a valor económico) para dos casos: que las
tasas bajen a 3% o que suban a 7% inmediatamente después de haber comprado el bono. Haga cálculos
exactos y no aproximaciones que utilicen la duración.
27. Gokú recibirá de Gojan $1.102.500 al cabo de dos años, pero desea consumir toda su riqueza hoy.
Urgente le pide a Ud. asesoría y, dada su cercanía a Gokú, Ud. lo acompañará por el mundo en sus
demostraciones de artes marciales (todo pagado, por supuesto). En el mercado la estructura de tasas es
plana y se transan solamente dos papeles; con pago único final a 1 año y a 5 años. No hay restricciones a
invertir o endeudarse a dichas tasas. La tasa de interés actual es 5%. A. Encuentre un portafolio de deudas
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© EDUARDO WALKER 2014
que le permita asegurarse deber aproximadamente esa cantidad en ese plazo; ¿qué cantidad puede pedir
prestada hoy?. B. Analice dos casos: las tasas caen a 3,5% o suben a 6,5% momentos después de haber
pedido el préstamo. Demuestre la efectividad de su estrategia para asegurar que valor final podrá pagar la
deuda. Ajuste su deuda a fines del primer año para obtener la duración deseada.
28. Dos bonos estatales, que pagan los intereses acumulados y el principal al final, se transan en 1000 (lo
que a su vez corresponde a su valor par). El primero es a 3 años y tiene una TIR de 8%. El segundo tiene
una TIR de 10% y es a dos años. Ud. posee un horizonte de inversión de dos años. “En este caso
claramente conviene invertir en el segundo ya que, además además de haber calce de plazos, la tasa de
interés ofrecida es mayor.” Comente, explique los conceptos utilizados e ilustre su respuesta con un ejemplo
numérico.
29. Explique por qué la variabilidad de corto plazo del retorno de un bono emitido por el Estado (variabilidad
del retorno mensual, por ejemplo) puede ser un mal indicador de “riesgo”, en el contexto de inversionistas
con diferentes horizontes de inversión. Dé un ejemplo.
ESTRATEGIAS ACTIVAS EN RENTA FIJA
30. La tasa de interés a 90 días es 5,7%. Los papeles del Banco Central a 8 y más años ofrecen una tasa
de 6,7%. Trabaje sólo con los dos instrumentos mencionados y suponga que el papel a 8 años se comporta
como un bono cero cupón a 4 años. ¿Pueden estar dadas las condiciones para deslizarse por la estructura
de tasas ('ride the yield curve')? ¿Cuáles son los supuestos necesarios y cuál es su ganancia esperada a 90
días bajo dichos supuestos? Conceptualmente: ¿a qué corresponde la rentabilidad que Ud. se ganaría?
31. * Considere los siguientes bonos.
Número de cupones
anuales iguales a
$1
(incl. intereses y
amortización)
(B1) 1
Tasa del
Bono
(%)
Precio
del bono
4%
0,9615
5%
1,8594
4,8%
2,7335
(B2) 2
(B3) 3
a)
b)
c)
Suponga que se cumple la hipótesis de expectativas para las tasas de interés. ¿Cuál es la
rentabilidad esperada de invertir en cada bono?¿Qué precios se espera tengan los bonos 2 y 3 en
un año más, justo después de haber hecho el pago correspondiente?
Suponga que Ud. espera que las tasas de interés sean exactamente las mismas en un año más.
¿Qué rentabilidad espera de mantener cada bono? ¿Qué estrategia de inversión seguiría si su único
propósito es maximizar rentabilidad esperada?
Ud. compró el bono B3. Recuerde que este bono puede interpretarse como un portafolio de bonos
cero-cupón (b1+b2+b3). Demuestre que, dados los supuestos para “deslizarse por la estructura de
tasas de interés”, la rentabilidad esperada fruto de mantener este bono por un período es un
promedio ponderado de las tasas 0f1, 1f2 y 2f3. Identifique con claridad cuáles son los ponderadores.
32. La estructura actual de tasas para bonos cero cupón es:
T
y (%)
a)
b)
1
6
10
6.3
20
6.3
Bajo la hipótesis de premios por liquidez, ¿qué se puede decir sobre las tasas que espera el mercado
para un año en el futuro?
Ud. cree que las tasas de interés en un año más pueden tomar los siguientes valores:
4
© EDUARDO WALKER 2014
T
y (%) Escenario A
y (%) Escenario B
Prob.
0.4
0.6
1
4
6
9
5
7
19
6
8
Utilizando la aproximación: RPM = y final - D*(y final – y inicial) determine qué estrategia de inversión
debería seguir si además debe mantener un portafolio con una duración de 10 años. Fundamente su
respuesta con resultados numéricos. Explique y póngale nombre a su estrategia.
33. Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas (V), falsas (F) o inciertas (I) y por qué, en una
línea.
a) (__) El Bono A vale $1.75 y pagará $1 en t=1 y $1 en t=2 (su TIR es 9,38%). El Bono B vale $2.78
y pagará $1 y $2.24 en t=1 y t=2 respectivamente (su TIR es 9,53%). Esto significa que la tasa
equivalente del bono cero cupón a un año es 8,77%.
b)
(__) Según la hipótesis de expectativas, la tasa de muy largo plazo corresponden aproximadamente
a las tasas esperadas (spot) a futuro;
c)
(__) La hipótesis de hábitat preferido de corto plazo indica que, suponiendo todo lo demás
constante, a madurez más distante, menores tasas
d)
(__) Si las tasas spot esperadas a futuro son todas iguales a la tasa spot actual, la hipótesis de
preferencia por liquidez nos dice que la estructura de tasas será creciente
e)
(__) Incluso bajo la hipótesis de expectativas para las tasas de interés puede justificarse que,
mientras se espera que las tasas bajen, se pida un "crédito puente" de corto plazo, para tomar el
crédito de largo plazo una vez que éstas han caído.
f)
(__) Efectivamente podría ocurrir que el precio de las acciones de alguna empresa suba ante
aumentos en las tasas de interés de mercado.
g)
(__) La receta es: si Ud. es un inversionista de largo plazo inserto en un mundo en que hay
preferencia por liquidez, Ud. debe invertir a largo plazo, pues es doblemente conveniente.
h)
(__) Bajo la hipótesis de expectativas, un administrador de fondos de renta fija estatal que siga una
estrategia de seguir un índice de bonos estatales (indexación) debería escoger el portafolio
compuesto por los bonos del estado que minimicen el "tracking error" o "tracking variance".
i)
(__) Para minimizar el riesgo de las futuras pensiones de sus afiliados, las Administradoras de
Fondos de Pensiones (AFP) deberían seguir una estrategia de inversión de "inmunización a plazo
fijo", con un plazo equivalente a tiempo que falta para el retiro (jubilación) de sus afiliados.
PREPAGO Y NO-PAGO
34. La tasa libre de riesgo es 5%. Los activos del Banco tienen un beta igual a 2,2. Ese banco tiene una
deuda con un valor de mercado de $ 2.000 y una TIR de 25%. La deuda representa un 80% del valor de los
activos ( A = $ 2500). Suponga que el “premio por riesgo de mercado” puede tomar los valores +20% y –10%
con igual probabilidad. Descomponga la TIR de deuda entre a) su “premio por riesgo” y b) la parte
correspondiente al “al castigo de flujos”.
35. * La tasa libre de riesgo s 8 años es 5%. La probabilidad acumulativa de no-pago a 8 años es 0.41%,
1.04%, 3.65% y 42.89% para bonos clasificados Aaa, A, Ba y B, respectivamente. Suponga en todos los
casos que son bonos que pagan intereses y principal todo junto al final. La tasa de interés libre de riesgo
para ese plazo es 5%. Suponga también que en el evento de quiebra se recibe 50% del monto adeudado
total (intereses y amortizaciones).
a) ¿De qué orden de magnitud deberían ser los spread (lláme la incógnita “s”) con respecto a las tasas
libres de riesgo para cada categoría de riesgo con tal de que la rentabilidad esperada acumulada fuera
igual a la tasa libre de riesgo?
b) Compare los números obtenidos en a) con los correspondientes spread de mercado en los apuntes de
clases (p. 137; promedie 7 y 10 años), ordenados por clasificación de riesgo. ¿Qué conclusión puede
obtenerse a partir de dicha comparación?
5
© EDUARDO WALKER 2014
36. Existen dos bonos (A y B) idénticos en todo aspecto, excepto porque B es “put-able”, es decir, permite a
su poseedor exigir el pago anticipado del saldo de la deuda un monto igual al valor par. Ambos tienen valor
par de 1000 y tasa de cupón anual de 8%, con vencimiento en t=2. La tasa de interés de mercado (TIR) del
bono A hoy es 8,5%. La tasa de interés de mercado relevante puede tomar dos valores el segundo año:
9,5% y 6,5% con igual probabilidad. ¿Qué TIR debería tener hoy el bono B para que en un horizonte de
inversión de un año tenga la misma rentabilidad esperada que el bono A? ¿Cuánto paga el mercado
(medido en $) porque sea Put-able?
37. *Existen dos bonos (C y D) idénticos en todo aspecto, excepto porque D es “rescatable”, es decir,
permite al emisor pagar anticipadamente el saldo de la deuda en un monto igual al valor par. Ambos tienen
valor par de 1000 y tasa de cupón anual de 9%, con vencimiento en t=2. La tasa de interés de mercado
(TIR) del bono A hoy es 9%. La tasa de interés de mercado relevante puede tomar dos valores el segundo
año: 11% y 7% con igual probabilidad. ¿Qué TIR debería tener hoy el bono D para que en un horizonte de
inversión de un año tenga la misma rentabilidad esperada que el bono C? ¿Qué costo (medido en $) tiene
para el emisor que sea rescatable?
6
© EDUARDO WALKER 2014
PRECIO DE COMPRA:
Cupones: 51,25
Días hasta el siguiente cupón: 180; Número restante de cupones: 18
Precio (si quedara exactamente ½ año para el siguiente cupón) =
1/2
-9
VP((1,08396) -1; 10,25%x1000/2;n=18)+1000x1,08396 = 1126,9
PRECIO DE VENTA+CUPÓN
1/2
-8,5
51.25 + VP((1,07405) -1; 51.25;n=17) + 1000x1,07405 = 1237,6
HPR (ó RPM) = 9.82%; Anualizado = 20.61%.
2.
3.
*
4.
Pperpetuidad = (1+R)/R
D portafolio = 0,5*1+0,5*(1+R)/R= 1+0,5/R
5.
*
6.
No es la única razón. Por ejemplo en un bono cero cupón la duración no cambia si cambia la tasa de
interés y sin embargo, persiste un error de aproximación al usar la duración para estimar los cambios
de precio ya que se trata de una aproximación lineal mientras que la función de precios es convexa en
la tasa de interés. La convexidad es una aproximación cuadrática o de segundo orden que ayuda a
corregir el error que se comete con la duración sumando siempre un término positivo.
7
© EDUARDO WALKER 2014
1,75 = 1b1 + 1b2
2,78 = 1b1 + 2,24b2
donde b1 y b2 son bonos cero cupón que entregan $1 al final del año 1 y al final del año 2
respectivamente. Despejando,
b1 = 0,9194 y b2 =0,8306. Ahora, b1 = 1 / (1+ y1) y b2 = 1 / (1+y2)2
así y1 =8,77% e y2 =9,72% b) F2 = (1+ y2)2 / (1+ y1) =10,68%
Estructura tasas
tasas
0.1
0.08
0
0.5
1
1.5
2
2.5
años
8.
Complete el siguiente Cuadro
Número de cupones
Tasa del
anuales iguales a
Bono
$1
(%)
(incluyen
amortización)
1
6.0
2
3
Precio
del bono
Precio Bono
Cero Cupón
(?)
TIR Estimada
Bono Cero
Cupón (?)
Duración de
Macaulay del
bono (?)
Tasa
Forward
(?)
0.9434
0,9434
6,00
1
6,00
7.0
1.8080
0,8646
7,55
1,4831
9,11
6.0
2.6730
0,8650
4,95
1,9612
0,00
a) Si las tasas se mantienen los precios también, así el retorno a un año para cada papel será:
Bono 1 cupón: 6%
Bono 2 cupones: (1+0,9434)/1,8080-1= 7,49% Este es el bono que conviene comprar.
Bono 3 cupones: (1+1,8080)/2,6730-1 = 5,83% Como esta es la rentabilidad esperada más baja a un
año, sería la opción preferida de financiamiento.
9.
*
10.
a) Bajo la HE las forward son las esperadas spot. Entre el año 30 y el 40 la forward promedio anual es
[1,050540/1,0530]1/10 => 5,2% sería la tasa esperada de largo plazo.
b) Bajo la PL las forward 5,2% = E(r) + premio. Necesitamos una estimación del premio para saber lo
que espera el mercado.
11.
a) F2 = E(R2)+L
donde E(R2) = 0,6*0,04+0,4*0,06=0,048 y
F2 = 1,0552 / 1,045 = 0,0651
Por lo que L=1,71%
b) Suponemos que b2 entrega $1 al final del año 2, con lo cual precio de compra hoy es 1/(1,055)2
=0,8985. El precio de venta esperado para fines del primer año es 0,6/1,04+0,4/1,06 = 0,9543. Con lo
cual la rentabilidad esperada para el primer año es 0,9543/0,8985-1 = 6.21% y el premio por riesgo es
6.21- 4.5 = 1.71%
12. *
8
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13.
La trayectoria futura de tasas de tasas de interés, esperada por el mercado, está incorporada en la
estructura de tasas de interés a través de las tasas forward por lo que no es necesario hacer
proyecciones. Es incorrecto usar una tasa menor que la del mercado. De hecho, representa el
verdadero costo de oportunidad.
14.
La afirmación D es falsa. Si los premios por liquidez son negativos es más rentable invertir a corto
plazo que a largo plazo. La hipótesis de hábitat preferido señala que ciertos inversionistas, como por
ejemplo las AFP, se sentirán más cómodas invirtiendo a largo plazo y eventualmente estarán
dispuestas a sacrificar rentabilidad por mantenerse en dicho plazo, por lo que ambas hipótesis son
perfectamente compatibles.
15.
Verdadero. Si la estructura es decreciente, las forward van por debajo, decrecientes también y las
esperadas spot van aún más abajo.
y
f
E(r)
16.
Si para el período 15 la tasa de interés es baja el precio por unidad de producción es alto, lo que
indica escasez de producción para dicho periodo, por lo que la señal es ¡ inviertan en el sector real
para producir el período 15!
9
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17.
T de D
1
2
3
4
5
VPN
DUR
8%
FC FC x t
0
0
0
0
-1500 -4500
650 2600
1100 5500
35,66
58,38
La duración de Macaulay es 58,38; la Modificada 58,38/(1,08) = 54,1. Por ende, si sube o baja la tasa
en ½ punto, el valor del proyecto cae o sube, respectivamente, en 27%, ó $9,63.-
18.
a) F1=0,1
F2=((1,11)2/1,1)-1=12%
3
2
F3= (1,12) /(1,11) – 1 =14,03%
b) Según hipótesis de expectativas E(R2)=F2=12% y E(R3)=F3=14,03%
Luego en t=1, y1=E(R2)=12%
y2= {(1+E(R1))*(1+E(R2))}1/2 – 1 =13,01%
c) Precio Bono = 100/0,1127 * (1- 1/1,11273) =243,2
Precio “Correcto” = 100b1+100b2+100b3 = 243,2
Donde b1=1/(1+y1)=0,9091
b2 = 1/(1+y2)2=0,8116
3
b3 =1/(1+y3) =0,7118
Así, el precio del bono es “correcto”
d) Duración = 1*100 + 2*100 + 3*100
2
3
1,1127 1,1127 1,1127
243,2
= 1,9289 años
e) Si a fines del primer año se vende dicho bono se recibirán los $100 de la cuota más el precio de
venta
2
Con precio de venta = 100/1,12 + 100/1,1301 = 167,5865
Rentabilidad obtenida = (100+167,5865)/243,2 –1 = 10%
19.
a) Para simplificar se hará con tasas anuales.
Flujo bono año 10= 1000*(1+r1)*(1+r2)*........................................(1+r10)=V
VP flujo año 9= V/(1+r10)= 1000*(1+r1)*(1+r2)*........................................(1+r9)
VP flujo año 8= V/(1+r10)(1+r9)= 1000*(1+r1)*(1+r2)*........................................(1+r8)
y así sucesivamente hasta llegar al VP hoy que es de 1000, idéntico a su precio.
b) El máximo plazo a que llega el papel (duración) es 3 meses, cuando recién se ha fijado la tasa del
trimestre siguiente.
20.
El problema es la tasa de reinversión a la que se puede acceder después de los 90 días en el primer
caso. Para comparar las dos opciones es irrealista suponer que el 7.5% será constante y la
comparación en base a la TIR utiliza dicho supuesto.
Si el mercado es eficiente el papel a 8 años incluirá las expectativas del mercado con respecto a las
tasas de reinversión a futuro, que en este caso (suponiendo igual riesgo) serán menores que 7,5%.
10
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11
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21.
a) Compra hoy, con dinero prestado, una cantidad tal de bonos estatales que le permitan pagar
$10400 pasados 6 meses. Pero si compra hoy los bonos perpetuos, al cabo de un semestre recibirá
5% de lo invertido, que no desea, pues desea postergarlos para recibirlos como pensión. Si invierte M
hoy en la perpetuidad, recibirá al cabo de un semestre 0,05M. Entonces, el monto del préstamo debe
ser tal que:
1.04*M = 10400+0,05M => M = 10505,05, asegurándose una perpetuidad de 525,25 semestrales.
b) 525,25/r =10400 => r = 5.051%
22.
Podría ocurrir que el precio de las acciones suba ante alzas en la tasa de interés debido a que la
disminución en el valor de los activos fue menor a la disminución de valor del pasivo, de lo que se
desprende que la duración del pasivo es mayor que la del activo, ya que su precio reacciona más
ante cambios en la tasa de interés. El riesgo que corre es que si la tasa de interés baja el pasivo
aumentará más de lo que aumenta el activo, pudiendo eventualmente caer en insolvencia.
23.
Dactivo = (Pasivo/Activo)*Dpasivo + (Patrimonio/Activo)* Dpatrimonio
Para que Dpatrimonio = 0 => Dpasivo=20
24.
1 5= 0.4 Dpatrimonio + 0,6*5 => Dpatrimonio=30
Duración Patrimonio es 30 x ±1,65% implica que a lo más pierde 49,5% del patrimonio, no quiebra.
25.
A1-Pas1 = 0,9Pat0 = A0+A – (Pas0 +Pas) = Pat0-Pas+A => -0,1Pat0 = -Pas+A
Pas = -Pas0Dpasr = -0,03 Pas0 ; A = -A0DAr = -0,03A0DA
-0,1Pat0 = 0,03 Pas0 - 0,03A0DA => -0,1 = 0,03 [(Pas0/Pat0) - (A0/Pat0)DA] = 0,03(15-16 DA) => DA = (153,33)/16 = 1,146
26. *.
27.
a) Se necesita igualar las duraciones:
2 = w*1+(1-w)*5 => w = 3/4
esto es, 25% en el papel a 5 años y 75% en el de un año.
Cantidad a pedir = 1.102.500 = 1.000.000
2
1,05
b) Tasas bajan a 3,5%
1 año
5 años
Total
t=0
760.870(1)
268.649(2)
t=1
787.500
278.051
1.065.551
t=2
1.102.845(3)
(1) 750.000*1,05/1,035
5
5
(2) 250000*1,05 /1,035
(3) 1.065.551*1,035
Tasas suben a 6,5%
1 año
5 años
Total
t=0
739.437
232.883
t=1
787.500
248.021
1.035.521
t=2
1.102.830
28.
3
2
F3 = 1,08 /1,1 –1=4,1%
12
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Es cierto que b2 implica calce de plazos, pero si E(r3) es menor que 4,1% conviene más invertir en b3,
Por ejemplo:
Si E(r3) = 2%
E(r) al invertir en b2 será 21%
E(r) al invertir en b3 será 23,5%
29.
Para inversionistas de largo plazo, el riesgo relevante es la variabilidad de su riqueza en el largo
plazo. Por ejemplo, si un inversionista de largo plazo invierte en bonos de corto plazo emitidos por el
Estado, una vez que dicho bono pague deberá reinvertir su dinero a la nueva tasa vigente en el
mercado, este riesgo es el llamado “riesgo de reinversión” y se toma cada vez que se invierte a un
plazo menor que el del horizonte de inversión. Así el riesgo que él asume es mayor a la variabilidad de
corto plazo del bono estatal.
30.
Sí podrían estar dadas las condiciones para deslizarse, el supuesto necesario es que la estructura de
tasas sea creciente a niveles similares al actual.
Si la estructura crece hasta cuatro años, la tasa a la cual se descontará el papel largo será menor o
igual a 6,7%  conviene invertir a largo plazo.
HPR = Precio Venta = 1/(1+y3,75)3,75 – 1  1,0670,25 – 1
Precio Compra
1/(1,067)4
Lo que a su vez es mayor que la tasa anualizada de 5,7%. Conceptualmente se gana la tasa forward
entre 3,75 y 4 años.
31. *
32.
a) F1-10=[1,06310/1,06]1/9 –1=6,33%
F1-20= [1,06320/1,06]1/19 –1=6,32%
Sin embargo, como bajo la hipótesis de premios por liquidez las tasas forward corresponden a las
tasas esperadas por el mercado más un premio por liquidez, al no conocer este premio nada puede
decirse sobre las tasas esperadas por el mercado dentro de 1 año.
b)
RPM por plazo
1
9
19
Escenario A (0.4)
6%
18%
12%
Escenario B (0.6)
6%
0%
-26%
E[RPM]
6%
7.2%
-10.8%
En este caso claramente conviene bullet; es decir, comprar el papel a 10 años, que tiene una
rentabilidad esperada de 7.2%. Una barbell, con 47,4% a 20 años da una rentabilidad esperada de –
1.96%.
33.
a) Verdadero.
1,75 = 1b1 + 1b2
2,78 = 1b1 + 2,24b2
donde b1 y b2 son bonos cero cupón que entregan $1 al final del año 1 y al final del año 2
respectivamente. Despejando,
b1 = 0,9194
b1 = 1 / (1+ y1) => y1 =8,77%
c) Verdadero. El promedio converge a las forward que corresponde a la E(r) según la hipótesis de
expectativas.
d) Falso, si el hábitat preferido es el de corto plazo los inversionistas estarán dispuestos a sacrificar
rentabilidad con tal de ubicarse en el corto plazo, con lo cual a menor madurez menor será la tasa
exigida.
e) Verdadero / incierto. Según la hipótesis de preferencia por liquidez Ft = E(Rt)+Lt con Lt
probablemente no decreciente. Si E(Rt) es constante a través del tiempo Ft será creciente y por lo
tanto la estructura de tasas será creciente.
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f) Falso. Según la hipótesis de expectativas E(Rt) = Ft y siempre se puede asegurar la forward hoy por
lo que no se justifica pedir un crédito puente. De hecho, endeudarse a corto o a largo plazo implicará,
a la larga, el mismo costo de financiamiento.
g) Verdadero. Esto sucedería en el caso en que la duración del pasivo es mayor que la duración del
activo.
h) Verdadero. Si hay preferencia por liquidez las tasas de largo plazo conllevarán un premio. Se tendrá
mayor rentabilidad esperada y menor riesgo.
i) Verdadero, sólo le preocupa el tracking error, ya que según hipótesis de expectativas las
rentabilidades esperadas son todas iguales.
j) Falso. Necesita horizonte mayor, esto es, el punto medio entre jubilación y muerte.
14
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34.
Hoy
PxR=0,2
Pas + Pat
Activos
Pas + Pat
Deuda 2000
(1) Activo 3725 Deuda 2500(2)
Patrim. 500
Patrim. 1225
(1) 2500(1+ ra ) con ra= 0,05+2,2*0,2=0,49
(2) 2000(1+TIR) =2000*1,25=2500
(3) 2500(1+ ra) con ra= 0,05+2,2*-0,1=-0,17 Escenario de quiebra
E(pago)=0,5*2500+0,5*2075=2287,5
Rentabilidad Esperada = 2287,5/2000-1=14,375%
Castigo Flujos =TIR-Rentabilidad Esperada=10,625%
Premio por riesgo = Rentabilidad esperada - rf = 9,375%
Activos
Activo 2500
PxR=-0,1
Activos
Pas + Pat
(3) Activo 2075 Deuda 2075
Patrim. 0
35. *
36.
Ejer 5
Putable Bond
V Par
1000
Pagos prometidos
80
TIR
1080
8,50%
Precio
$ 991,14
t=1
Bono A
tasa:
P Vta
Cupón
9,50%
6,50%
986,30137
1014,08451
80
80
1066,30137
1094,08451
Rentab
7,58%
10,39%
E(RPM)
8,98%
Total
t=1
Bono B
Precio
tasa:
P Vta
Cupón
Total
Precio t=0
9,50%
6,50%
1000
1014,08451
80
80
1080
1094,08451
997,4291026
Valor Derecho
$ 6,28
TIR
8,14%
37. *
15