microeconomía en empresas - Facultad de Ciencias Económicas
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1 MICROECONOMÍA EN EMPRESAS (caso SOMISA) Este trabajo en una reunión de los temas abarcados en los cursos en la FCE-UBA (según los textos tradicionales) más los conceptos diferentes aportados en Microeconomía con Excel (microeconomía practicada en la siderúrgica SOMISA). La criticada impracticabilidad de la teoría neoclásica resuelta mediante su aplicación en Excel. Una refutación de errores en la microeconomía clásica. El consumidor, la empresa, optimización y programación, los mercados: análisis diferencial, operadores de Lagrange, elasticidad media o promedio, ecuación de Slutsky, nivel de vida, 12 índices de precios y de cantidades; integración, excedente del consumidor y del productor según tipo de mercado; modelación clásica, Rapidito, lentito en la estación Vivitos, Telefocón 4 y 7; econometría: muestreo, probabilidad, combinatoria, series cortas; proyección del mercado y estimación de funciones de demanda mediante correlación múltiple con Anova, para el reemplazo por una décima variable representativa; un “mejor ajustamiento” (con solo millonésimos de error) en más de 500 variables; investigación operativa: programación lineal, no lineal, dinámica, entera, binomial, Solver; matrices; 6 seis métodos equivalentes con similar resultado; programación de la producción en sistemas resueltos en Excel con 5, 10, cientos o miles de variables; colas, modelos de simulación dinámica en Excel, modelo de la telaraña con el número exacto de períodos del ajuste dinámico, VAN y TIR, producción múltiple, multiobjetivo, multicriterio; teoría de los juegos Simplex, Shapley y Banzhaf con Excel, SEU e incertidumbre; subastas licitaciones; matemática difusa (fuzzy) y del caos; el juego de la cerveza del MIT, modelación Oman y su asesina; integrales múltiples; ecuación en diferencias finitas; programación de simulaciones; nivel intermedio, asequible para no especialistas mediante aplicaciones simples de Excel y álgebra; objetivado al identificar ejemplos con los procesos según las etapas de la planificación de cada ejercicio empresario (caso SOMISA). Disponible en www.microeconomiaconexcel.com , sitios del curso en la FCE. 2003 Santiago Eiras Roel – T. Isabel Rébora – Teresa Eiras Derechos exclusivos IMPRESO EN ARGENTINA - PRINTED IN ARGENTINE Enfoque teórico práctico de microeconomía de la empresa, para no graduados y profesionales, del área comercial e investigación de empresas; con más de 200 ejemplos resueltos paso a paso utilizando aplicaciones de Excel -en situaciones bajo cuatro contextos: cierto, aleatorio, hostil e incierto-. INDICE PRÓLOGO ............................................................................................. 17 INTRODUCCIÓN .................................................................................. 18 CIVILIZACION OCCIDENTAL ............................................................ 18 EVOLUCION DE LA MATEMATICA Y LA ECONOMIA ................... 19 El V POSTULADO EN LOS ELEMENTOS DE EUCLIDES ................. 20 2 MICROECONOMIA CLASICA ...................................................................................... 27 DESDE LA GEOMETRIA PLANA DE EUCLIDES HACIA LA GEOMETRIA ANALITICA 28 PRODUCCION, COSTOS, BENEFICIOS .......................................... 30 ERRORES EN LA MICROECONOMIA CLASICA .......................... 33 DESTINATARIOS DE LA MICROECONOMIA ............................... 34 POR QUÉ ES INSUFICIENTE LA MICROECONOMÍA CLÁSICA CON ENFOQUE SOLO FORMAL APORTES DE MICROECONOMIA CON EXCEL (MCE) Y AQUI .............................. 36 1) Exposiciones simplificadas ............................................................... 36 2) Seis métodos equivalentes ................................................................. 36 3) Estimación de funciones .................................................................. 37 4) Programación con cientos de variables ............................................ 37 5) Matrices con Excel ............................................................................ 37 6) Otros 10 utilitarios ............................................................................ 37 7) Empresa sobredimensionada:........................................................... 38 8) Casos de antidumping y countervailing duty ................................... 38 9) Cuatro contextos económicos ........................................................... 38 10) Elasticidad media............................................................................ 39 11) ¿Es prácticamente útil la ecuación Slutsky? ................................. 39 12) Como obtener funciones y gráficos desde series y viceversa .......... 40 13) Funciones muy complejas ............................................................... 40 14) Análisis dinámico ........................................................................ 40 15) Modelo de la Telaraña y su número de períodos............................ 40 16) Modelos de simulación: ................................................................. 40 17) El problema de identificación ......................................................... 40 18) Métodos científicos.......................................................................... 41 19) Un error en la microeconomía clásica, el sujeto ............................. 42 20) Otro error en la microeconomía clásica, las generalizaciones sobre sistemas NxN: 21) Visión de la microeconomía como la economía de la empresa ....... 43 22) Simplificación de la Teoría de los Juegos, del S.XXI ..................... 43 23) Omisión tradicional en el MIT, LSE, OXFORD Y SALAMANCA44 24) Brecha entre modelación y realidad: .............................................. 44 25) MONOPSONIO OLIGOPSONIO CON MAS PRECISION ......... 45 CONSENSO DE WASHINGTON........................................................ 45 DISGRESIÓN MACROECONÓMICA ............................................... 45 USO DE FUNCIONES ......................................................................... 47 42 TRES POSIBLES ENFOQUES MICROECONOMICOS: .......................................... 49 TEMAS FUNDAMENTALES PARA UN CURSO GENERAL DE MICROECONOMÍA PARA QUÉ SE ESTUDIA MICROECONOMIA ............................... 50 OTRO PROGRAMA ACTUALIZADO DE MICROECONOMIA................................... 51 ETAPAS DE UN EJERCICIO EMPRESARIO .................................. 52 CAPITULO 1 .................................................................................................................. 54 EL PROBLEMA ECONÓMICO: ¿QUÉ, PARA QUIÉN Y CÓMO PRODUCIR?:....... 54 Conceptos básicos ................................................................................. 58 DEMANDA Y OFERTA DEL MERCADO:.......................................... 59 ELASTICIDAD...................................................................................... 63 CONCENTRACION INDUSTRIAL – GRADO DE COMPETENCIA ... 72 ELASTICIDAD MEDIA O PROMEDIO CON EXCEL.......................... 73 CAPITULO 2 .................................................................................................................. 75 PROGRAMACION LINEAL - METODO GRAFICO Minimizar el costo PROGRAMACIÓN LINEAL SIMPLEX ......................................................................... 81 75 50 34 3 Contribución marginal (precios sombra).................................................. 82 Costo de oportunidad: ............................................................................. 82 DUALIDAD........................................................................................... 83 MINIMIZACION CON SIMPLEX: .................................................................................. 86 PROGRAMACIÓN LINEAL SIMPLEX CON SOLVER DE EXCEL ............................ 87 FÁBRICA DE MESAS Y SILLAS ZONDA ........................................... 87 PROGRAMACIÓN NO LINEAL O LINEAL - CON SOLVER DE EXCEL SENSIBILIDAD ................................................................................... 91 PROGRAMACION NO LINEAL-BINARIA-ENTERA con Solver .. 91 PRODUCCIÓN DE TV, ESTÉREOS Y ALTAVOCES ...................... 91 PROBLEMA DE TRANSPORTE........................................................ 92 PROGRAMACION CON PRESENTACIONES MATRICIALES ..... 94 PLANIFICACIÓN DEL PERSONAL DE UN PARQUE DE DIVERSIONES MAXIMIZAR UNA INVERSIÓN EN BONOS ................................... 95 OPTIMIZAR UNA CARTERA DE VALORES-ACCIONES ............. 97 VALOR DE RESISTENCIA PARA UN CIRCUITO ELÉCTRICO .. 98 SOLVER PARA “VALORES DE….”................................................100 MATRIZ INSUMO-PRODUCTO .........................................................102 MATRIZ DETERMINANTE ................................................................103 NO SIRVE CUALQUIER MATRIZ ...................................................103 IMPUT-OUTPUT .................................................................................106 EQUILIBRIO GENERAL DE PRODUCCIÓN-INTERCAMBIO ....106 MATRIZ INSUMO-PRODUCTO ARGENTINA 1997 ......................108 METODO SIMPLEX, EN FORMA ESTANDAR Y CANONICA ...111 89 94 SIMPLEX MATRICIAL .............................................................................................. 113 INVESTIGACION OPERATIVA CON EXCEL, WINQSB; GAMS, LINDO, TORA, OTROS 115 PROGRAMACIÓN LINEAL CON WINQSB .......................................115 METODO GRAFICO CON WINQSB ...................................................117 PROGRAMACION LINEAL CON GAMS ...........................................119 PROGRAMACION LINEAL CON TORA ............................................123 PROGRAMACION LINEAL CON LINDO...........................................125 SISTEMAS CON 1700 VARIABLES ..................................................128 SISTEMAS DE ECUACIONES NxN ....................................................128 SISTEMAS NxN CON SOLVER DE EXCEL (VALORES DE) ............128 SISTEMAS DE ECUACIONES NxN CON EXCEL, STATA, EVIEWS, MATLAB, SPSS METODO DE DETERMINANTES:......................................................129 SISTEMAS NXN CON DETERMINANTES EN EXCEL .....................129 SISTEMAS DE ECUACIONES NxN CON STATA ..............................130 SISTEMAS DE ECUACIONES NxN CON EVIEWS ............................133 SISTEMAS DE ECUACIONES Y MATRICES CON MATLAB .....136 SISTEMAS NxN CON SPSS.................................................................138 CAPITULO 3 ................................................................................................................ 142 ESTIMACION DE FUNCIONES ..........................................................142 METODOS ESTADISTICOS: ...............................................................142 MÍNIMOS CUADRADOS-MANUALMENTE: ....................................142 CORRELACION MÚLTIPLE CON EXCEL - HELADOS ........................................ 144 ANOVA: ....................................................................................................................... 145 SERIES Y FUNCIONES EN LA EMPRESA CON EXCEL...................149 ¿HASTA DÓNDE MICROECONOMÍA Y HASTA DÓNDE ESTADÍSTICA? 149 ESTUDIAR LA DEMANDA ...............................................................150 129 4 DESDE SERIES OBTENER ECUACIONES Y GRÁFICOS ...............151 DESDE ECUACIONES OBTENER SERIES Y GRÁFICOS .................151 FUNCIÓN DE DEMANDA LINEAL ..................................................152 FUNCIÓN DE DEMANDA TEÓRICA (HIPERBÓLICA).....................152 ESTUDIOS DE DEMANDA EN LAS EMPRESAS y ...........................153 TIPOS DE BIENES ...............................................................................153 EQUILIBRIO EN MERCADOS COMPETITIVOS ...............................153 MERCADO COMPETITIVO CON IMPUESTOS .................................154 DEMANDA, INGRESO TOTAL Y MARGINAL .................................155 EXTENDER CÁLCULOS EN EXCEL .................................................155 ESTUDIOS DE DEMANDA Y MERCADO BAJO CUATRO CONTEXTOS ............. 156 PREDICCIÓN E INTERPRETACIÓN A TRAVÉS DEL MODELO DELA OFERTA Y DE LA DEMANDA. ANALISIS DINAMICO - MODELOS DE SIMULACION ............156 NEWTON – RAPHSON ......................................................................158 TIPOS DE BIENES, CONTEXTOS Y MÉTODOS ...........................160 Pi - " ∏ " - PRODUCTORIO – SUMAPRODUCTO – (EL CUCO) ......160 CAPITULO 4 ................................................................................................................ 161 CONTEXTO CIERTO ........................................................................161 ANÁLISIS DE VARIABLES INDIVIDUALES SERIES SIMPLES ...161 MEDIDAS DE POSICIÓN. MEDIA ARITMÉTICA: ............................162 MEDIA GEOMÉTRICA .......................................................................162 MEDIA ARMÓNICA............................................................................162 MEDIANA:...........................................................................................163 MODA(O): ............................................................................................164 MEDIDAS DE DISPERSIÓN - VARIANZA: .....................................164 DESVIO ESTÁNDAR...........................................................................165 DESVIACIÓN ESTÁNDAR- EN UNA POBLACIÓN: .........................165 SERIES DE FRECUENCIAS..............................................................167 MEDIA ARITMÉTICA .........................................................................167 MEDIA GEOMÉTRICA: ......................................................................168 MEDIA ARMÓNICA:...........................................................................168 MODA(O): ............................................................................................169 DECILES: .............................................................................................170 PERCENTILES.....................................................................................170 MEDIDAS DE DISPERSIÓN .............................................................171 DESVIO ESTÁNDAR Y VARIANZA: .................................................171 ASIMETRÍA Y CURTOSIS ..................................................................171 MOMENTOS ABSOLUTOS HASTA SU CUARTO GRADO: .............171 MOMENTO 0: ......................................................................................171 MOMENTO 1: ......................................................................................171 MOMENTO 2: ......................................................................................172 MOMENTO 3: ......................................................................................172 MOMENTO 4: ......................................................................................172 MOMENTOS CENTRADOS HASTA CUARTO ORDEN ....................173 MOMENTO 1 .......................................................................................173 MOMENTO 2 .......................................................................................173 MOMENTO 4 .......................................................................................174 DESVÍO CUARTÍLICO ........................................................................174 VARIANZA MEDIANTE MOMENTOS ..............................................175 CONCLUSIÓN .....................................................................................175 ANÁLISIS DE UNA SERIE CRONOLÓGICA ............................................................ 176 Método de los promedios móviles ........................................................176 CICLOS ................................................................................................177 Método de los nueve puntos: ...............................................................177 156 5 RELACIÓN ENTRE VARIABLES - SIMPLE (DOS VARIABLES) ....179 AJUSTAMIENTOS...............................................................................179 Método de los mínimos cuadrados: ........................................................179 COVARIANZA.....................................................................................179 DOS RECTAS DE REGRESION ..........................................................179 COEFICIENTE DE CORRELACIÓN ...................................................180 ELASTICIDAD MEDIA O PROMEDIO ....................................................................... 180 CORRELACIÓN – EN UNA POBLACIÓN ..........................................181 DEMANDA COMO CORRELACIÓN PRECIO-CANTIDAD...............181 CORRELACIÓN - EN MUESTRAS .......................................................................... 182 EVALUACIÓN DE EXÁMENES .........................................................182 ANÁLISIS DE VARIANZA Y COVARIANZA ...................................184 REGRESIÓN MÚLTIPLE ..................................................................185 ESTIMACIÓN DE DEMANDA POR CORRELACIÓN MÚLTIPLE - PRONÓSTICOS: 185 DISCOS DE FRENO PARA AUTOS ....................................................185 ANÁLISIS DE VARIANZA..................................................................187 ANÁLISIS DE REGRESIÓN ....................................................................................... 187 ANOVA (en inglés ANÁLISIS DE VARIANZA ...................................188 MULTICOLINEALIDAD - FIV .........................................................189 ESTADISTICA DESCRIPTIVA EXCEL ..............................................190 ESTIMACIÓN LINEAL (MÚLTIPLE) - VENTA DE HELADOS ...191 MULTICOLINEALIDAD - ...................................................................192 MATRIZ DE CORRELACION CON EXCEL .......................................192 MATRIZ DE COVARIANCIA............................................................194 ECONOMIA NO ES MEDICINA NI ES MECÁNICA ..........................195 CORRELACIÓN MULTIPLE Y ANOVA CON SPSS (IBM) ...........196 CORRELACION CON EVIEWS (ex TSP) ............................................197 CORRELACION MÚLTIPLE CON STATA ........................................200 ESTIMACION DE FUNCIONES (REGRESION) ................................205 AJUSTAMIENTO LINEAL CON EXCEL ...........................................206 AJUSTAMIENTO LOGARITMICA CON EXCEL ...............................208 AJUSTAMIENTO POTENCIAL CON EXCEL.....................................208 AJUSTAMIENTO POLINOMICA CON EXCEL ..................................210 “MEJOR AJUSTAMIENTO” CON “FINDGRAPH”........................211 CAPÍTULO 5 - ....................................................................................213 PROYECCIÓN Y PROGRAMACIÓN ..................................................213 ¿CON SERIES, CON ECUACIONES, MATRICES O CON PROGRAMACIÓN LINEAL? 213 ¿PARA QUÉ PROYECTAR CON CORRELACIONES? .......................213 ANALISIS DINAMICO - MODELOS DE SIMULACION ............213 ITERACIONES EXCEL .....................................................................214 RECALCULAR AUTOMATICO O MANUAL F9 ............................215 CREAR UNA MACRO DINAMICA (BUCLE)..................................215 ANÁLISIS DE COYUNTURA PARA PRONÓSTICOS ....................217 MODELOS DE SIMULACION DE LA OFERTA Y DEMANDA GLOBAL PARA ESTIMAR LA DEMANDA DE CHAPA DE SOMISA:................................................................................217 ESQUEMA MACROECONOMICO DE KEYNES ...........................220 3.- ANALISIS DE COYUNTURA .......................................................225 DEMANDA COMO CONSUMO APARENTE VS. REAL: ......................................... 227 5- ETAPAS DEL PROCESO PRODUCTIVO ...................................228 CAPÍTULO 6 - ........................................................................................................... 229 CONTEXTO ALEATORIO - TEORÍA DE LA PROBABILIDAD .......229 PROBABILIDAD DE DISTRIBUCIONES ...........................................229 DISTRIBUCIÓN BINOMIAL ...............................................................230 6 ESPERANZA MATEMÁTICA .............................................................230 DISTRIBUCIÓN NORMAL .................................................................230 USO DE TABLAS Y DE LAS FUNCIONES INCORPORADAS EN EXCEL REGLA O TEOREMA DE BAYES .......................................................232 ANÁLISIS COMBINATORIO. Reglas de conteo ..................................233 PERMUTACIONES ..............................................................................234 DISTRIBUCIÓN BINOMIAL ...............................................................235 DISTRIBUCIÓN NORMAL .................................................................235 PRUEBA Z ...........................................................................................236 VIDA ÚTIL DE UN PRODUCTO .........................................................237 MUESTRA DE 200 ARANDELAS .......................................................237 MUESTRA DE 100 TUBOS FLUORESCENTES .................................238 TEORÍA DE LAS COLAS ....................................................................238 DISTRIBUCIÓN DE POISSON ............................................................239 SIMULACIÓN DE MONTECARLO.....................................................239 TAMAÑO DE LA MUESTRA ..............................................................242 PROGRAMACIÓN DINÁMICA - CADENAS DE MARKOV........242 231 CAPÍTULO 7 - ............................................................................................................ 246 MUESTREO .........................................................................................246 ENSAYOS CON UNA Y DOS COLAS ................................................246 NÚMEROS ALEATORIOS ..................................................................247 PEQUEÑAS MUESTRAS ...................................................................248 DISTRIBUCIÓN STUDENT .................................................................248 MUESTRA DE 10 ARANDELAS .........................................................248 PRUEBA X2 (DE ASOCIACIÓN ENTRE DOS VARIABLES Y DOS O MÁS MUESTRAS) MUESTRA DE 16 PIEZAS TORNEADAS ...........................................249 MUESTRA DE 200 BOMBITAS ..........................................................250 SALIERON 115 CARAS y 85 CRUCES ...............................................250 EL KILO DE GUISANTES DE MENDEL ............................................251 BONDAD DE UN AJUSTE ..................................................................252 CAPITULO 8 ................................................................................................................ 253 INVENTARIO ÒPTIMO (EOQ): ..........................................................253 INVENTARIO ÓPTIMO (EOQ) ................................................................................... 253 INVENTARIOS-EOQ- CON SOLVER- MULTIPLES PRODUCTOS256 CAPITULO 9 ................................................................................................................ 259 COMPRAS ...........................................................................................259 COSTOS ...................................................................................................................... 261 COSTEO ABC (ABM, ABB) ................................................................269 CONTRATACIÓN EN COMPETENCIA PERFECTA: ...................271 CRITERIO DE CONTRATACIÓN....................................................271 TEORIA DE LA DISTRIBUCION ................................................................................ 272 CONTRATACIÓN BAJO MONOPSONIO .......................................274 OLIGOPSONIO ............................................................................................................ 275 MONOPSONIO Y OLIGOPSONIO: CON MÁS PRECISIÓN .........277 CONTRATACIÓN BAJO MONOPOLIO (CON SINDICATO) ............279 MONOPOLIO BILATERAL .................................................................280 NEGOCIACION (BARGAINS) –METODOS .............................................................. 281 ECONOMIA DE LA INFORMACION ..............................................284 INFORMACION ASIMETRICA (CONTRATOS) ..........................284 248 7 RIESGO MORAL .................................................................................284 SELECCIÓN ADVERSA ......................................................................284 SEÑALIZACION ..................................................................................285 AXIOMAS DE LA LÓGICA NEUMANN-MORGENSTERN...............286 LICITACIONES (SUBASTAS / AUCTIONS).............................................................. 287 TEOREMA DEL INGRESO EQUIVALENTE ......................................288 MALDICIÓN DEL GANADOR .........................................................288 SUBASTA VICKREY .........................................................................289 EJEMPLO DE SUBASTA VICKREY MULTIPLE OBJETO ................291 SUBASTA MULTIPLE (PAQUETES ..................................................291 EJEMPLO SUBASTA VICKREY EN PAQUETES .............................292 SUBASTAS CON EXCEL, … .............................................................294 CON GAMS, WINQSB, MATLAB, TORA, LINDO, VIEWS, SPSS, STATA EJEMPLO DE SUBASTA MULTIPLE .................................................294 EJEMPLO DE SUBASTAS REPETIDAS ..........................................295 SUBASTAS DE UN UNICO BIEN Y DE PAQUETES ......................296 294 CAPÍTULO 10 -.......................................................................................................... 299 Producción con un solo factor variable ...................................................299 RELACIONES ANALÍTICAS Y GEOMÉTRICAS ENTRE EL CONCEPTO DE TOTAL, MEDIO Y MARGINAL: DERIVADAS FUNCION DE PRODUCCION COBB-LOUGLAS ...........................310 CAPÍTULO 11 - .................................................................................312 VENTAS -TEORÍAS DE LA DEMANDA .........................................312 Teorías de la demanda y sistemas económicos ........................................312 PRIMERA TEORÍA DE LA DEMANDA: sicológico-utilitaria ..............313 SEGUNDA TEORÍA DE LA DEMANDA: curvas de indiferencia ....315 FUNCIÓN COMBINADA DE LAGRANGE: NUEVA MATEMÁTICA DEL S.XIX DETERMINANTES: ...........................................................................320 FUNCION DE DEMANDA TEÓRICA HIPERBÓLICA .......................322 EQUILIBIO DEL CONSUMIDOR: DEMANDA DERIVADA (CON EXCEL) 324 MAXIMIZACIÓN SEGÚN LA UTILIDAD MARGINAL CON SOLVER324 PROBLEMA DUAL: ............................................................................325 MAXIMIZACIÓN SEGÚN LA INDIFERENCIA DE W. PARETO ......326 (Y LAGRANGE)...................................................................................326 319 DETERMINANTES CON EXCEL ............................................................................... 327 TERCERA TEORÍA DE LA DEMANDA: PREFERENCIA REVELADA329 AXIOMAS ............................................................................................329 NÚMEROS ÍNDICE ..................................................................................................... 330 Tercer teoría de la demanda: Preferencia revelada EFECTO RENTA - SUSTITUCION EFECTO INGRESO-SUSTITUCIÓN SEGÚN HICKS ..........................337 FUNCIÓN COMBINADA DE LAGRANGE .........................................340 SIGNIFICADO Y VALOR DE λ: .........................................................340 GENERALIZACIÓN DE LA TEORIA NEOCLÁSICA de 2 a“N” VARIABLES 341 ECUACIÓN DE SLUTSKY ..................................................................345 EFECTO DEL CAMBIO DEL PRECIO DEL BIEN X SOBRE LA DEMANDA DEL BIEN X: PARADOJA GIFFEN............................................................................346 BIENES SUNTUARIOS .......................................................................347 EFECTO DEL CAMBIO DEL PRECIO DE X SOBRE LA DEMANDA DEL BIEN Y: 347 DEDUCCION DE LA ECUACION DE SLUTSKY ...........................348 INDICES DE PRECIOS Y LOS INSTITUTOS DE ESTADISTICAS Y CENSOS (INDEC) TEORÍA ESTADÍSTICA DE LOS NÚMEROS ÍNDICE .............................................. 353 1. Índice agregativo aritmético simple, de precios y de cantidades: .........353 2. Índice promedio aritmético de relativos: .............................................354 331 346 351 302 8 3. Índice promedio geométrico de relativos ............................................354 4. Índice mediana de relativos ................................................................355 5. Índice promedio aritmético ponderado de relativos .............................355 6. Índice promedio geométrico ponderado de relativos ...........................356 7. Índice de Laspeyres ...........................................................................356 8. Índice de Paasche...............................................................................356 9. Índice Ideal de Fisher, aplicado a precios y a cantidades ....................357 10. Índice de Edgeworth-Marshall para precios y cantidades..................357 11. Índice de Walch para precios y a cantidades .....................................358 12. Índice de Drovish-Bowley para precios y cantidades ........................358 CAPITULO 12 .............................................................................................................. 361 Naturaleza de la empresa .......................................................................361 Problema de los incentivos .....................................................................361 Equilibrio de la empresa según las formas de mercados ..........................361 EQUILIBRIO DE UNA EMPRESA COMPETITIVA Y CANTIDAD DE COMPETIDORES MERCADO COMPETITIVO. EQUILIBRIO Y CANTIDAD DE COMPETIDORES 364 362 MONOPOLIO Y MERCADOS IMPERFECTOS: ........................................................ 369 BARRERAS DE ENTRADA:..............................................................369 MONOPLIO CON DOS PLANTAS (MULTIPLE FACTORIA) .........371 DISCRIMINACIÓN DE PRECIOS .......................................................373 CONTROL DE LOS MONOPOLIO CON IMPUESTOS .......................378 EMPRESA SOBREDIMENSIONADA .................................................386 CARGA IMPOSITIVA SOBRE LOS EXPORTADORES MAYOR QUE LOS REINTEGROS (REEMBOLSOS) 393 OLIGOPOLIO............................................................................................................... 397 OLIGOPOLIO Y BARRERAS DE ENTRADA .....................................403 OLIGOPOLIO DE 3 A 8 EMPRESAS ...............................................407 ECONOMIA U ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL: ...............................415 La naturaleza de la empresa en el control de los monopolios y de la concentración de los mercados: 415 B) ESTRATEGIAS ANTICOMPETITIVAS SEGÚN LA TEORIA DE LOS JUEGOS C) ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL: CONCENTRACION ........................................ 425 TEST HIPOTÉTICO MONOPOLISTA ..............................................425 ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL: GRADO DE COMPETITIVIDAD 426 d) Lineamientos legales en Defensa de la Competencia ....428 EQUILIBRIO DE LA EMPRESA (UTILIZANDO EXCEL)....................................... 430 MAXIMIZACIÓN DE LA PRODUCCIÓN ...........................................430 DUALIDAD..........................................................................................431 MÍNIMO COSTO PARA OBTENER UNA PRODUCCIÓN DE 200.000 KILOS TEORÍA DE LOS COSTOS CON EXCEL ............................................433 MINIMIZACIÓN DE COSTOS CON SOLVER ....................................433 RESTRICCIONES ADICIONALES CON MATRICES .........................434 DOS SOFAS SIMPLES MÁS UNO TRIPLE .........................................434 PROGRAMACION ENTERA DE UNA DIETA...................................436 PROBLEMA DE LA MOCHILA CON ENTEROS .............................436 PROGRAMACION BINARIA .............................................................437 OPTIMIZACION DE LA PRODUCCION / MINIMIZACION DEL COSTO 438 PROGRAMACION DE TURNOS DE TRABAJO .................................441 EQUILIBRIO EMPÍRICO CON HOJA DE CÁLCULO EXCEL ...........443 A) AJUSTE LINEAL DE LA DEMANDA ............................................444 B) AJUSTE PARABÓLICO DEL COSTO MEDIO ...............................444 EQUILIBRIO DE LA EMPRESA CON SOLVER .................................446 EL MERCADO COMPETITIVO................................................................................... 447 431 416 9 EQUILIBRIO del MERCADO y SU ESTABILIDAD ............................449 DIVERSOS MODIFICADORES DEL EQUILIBRIO ............................453 ESTABILIDAD DINAMICA–MODELO DE LATELARAÑA ..............461 OTROS MODELOS DINAMICOS: ......................................................467 ESTABILIDAD DINAMICA (Telaraña) CON EXCEL ........................467 AJUSTE ANTE UNA BAJA EN LA DEMANDA .................................469 MEDICIÓN DE LA RAPIDEZ DEL AJUSTE .......................................470 NÚMERO DE PERIODOS HASTA EL AJUSTE ..................................471 AJUSTE ANTE UNA BAJA DE OFERTA POR SUBA DE COSTOS ...472 ECUACIONES EN DIFERENCIAS FINITAS Y LA TELARAÑA........474 TEORÍAS ECONÓMICAS Y LEGISLACIÓN OBLIGATORIA ...........477 TABLAS DE EXTRAS DE PRECIOS Y COSTOS ...............................477 MERCADO COMPETITIVO ................................................................479 EQUILIBRIO Y CANTIDAD DE COMPETIDORES ...........................479 OTROS MERCADOS - MONOPOLIO .............................................481 MONOPOLIO QUE ACTÚA COMPETITIVAMENTE ........................482 MONOPOLIO DISCRIMINADOR .......................................................483 MONOPOLIO SIN DISCRIMINACIÓN ...............................................484 EMPRESA CON DOS PLANTAS (MULTIPLE FACTORIA) ..............484 COMPETENCIA MONÓPOLICA ........................................................486 EMPRESA LÍDER Y SEGUIDORAS ...................................................488 CARTEL (COLUSIÓN ENTRE EMPRESAS).......................................489 MODELO DI TELLA SOBRE INTERMEDIARIOS COMERCIALES .491 MODELACION NEOCLÁSICA ...........................................................493 RAPIDITO Y LENTITO EN LA ESTACION VIVITOS...................493 TELEFOCOM Ejercicio 4: ...................................................................496 RESPUESTAS: .....................................................................................496 TELEFOCOM **EJERCICIO 7: ...........................................................499 RESPUESTAS: .....................................................................................500 MULTIPRODUCTO ...........................................................................508 MODELACION Y PROGRAMACION MULTIPRODUCTO ....................................... 508 EQUILIBRIO Y OPTIMIZACION MULTIPLE PRODUCTO ........508 SEIS METODOS EQUIVALENTES .....................................................508 EQUILIBRIO DE LA EMPRESA CON PRODUCCION DIVERSIFICADA: 508 -A) Producción simple: ........................................................................508 - B) Producciones múltiples .................................................................508 - C) producciones múltiples conjuntas o conexas ................................509 SUBPRODUCTOS ................................................................................511 PRODUCCION CONJUNTA DEPENDIENTE (CONEXA) ..................512 MODELACION Y PROGRAMACION MULTIPRODUCTO. . SEIS METODOS EQUIVALENTES COMPETENCIA DESLEAL .................................................................517 ANTIDUMPING ...................................................................................518 CARGA IMPOSITIVA PARA EXPORTADORES................................519 PROTECCIÓN EFECTIVA DE UNA INDUSTRIA ..............................520 CAPITULO 13 .............................................................................................................. 522 TEORIA DE LOS INGRESOS / GASTO...............................................522 8 CONCEPTOS NECESARIOS: ...........................................................522 MARKETING .......................................................................................530 CAPITULO 14 .............................................................................................................. 532 EVALUCION PROYECTOS ................................................................532 VAN Y TIR (VALORACION DEL TIEMPO) .......................................532 INFLACION .........................................................................................534 EVALUACIÓN DE INVERSIONES – TIR Y VAN ..............................537 EVALUACION CONTABLE DE UNA EMPRESA ..................................................... 539 514 10 DEFORMACIONES CONTABLES USUALES ....................................539 TRES ESTADOS CONTABLES: ................................................................................ 540 ANÁLISIS DE BALANCES .................................................................541 INFLACION .........................................................................................543 CAPITULO 15 .............................................................................................................. 546 MÉTODOS CIENTICOS: .....................................................................546 A) FORMAS DE ESTUDIAR .........................................................546 B) PRESENTACION TIPO INFORME PROFESIONAL ................546 C) METODOS DE DEMOSTRACION ...........................................547 DUDAS SOBRE MICROECONOMIA Y SUS METODOS CIENTIFICOS: PRIMERA ) ¿Hace falta gran conocimiento previo de matemática? ........550 SEGUNDA ) Para qué sirve todo esto de los métodos? ..........................550 6 METODOS EQUIVALENTES: ..........................................................551 549 PROGRAMACIÓN LINEAL: ....................................................................................... 553 SIMPLEX “MATRICIAL”........................................................................................... 555 SIMPLEX CON SOLVER DE EXCEL FÁBRICA DE MESAS Y SILLAS ZONDA . 556 “ARCHIVO” CON 6 METODOS EQUIVALENTES ................................................... 557 Aproximación, recordando como derivar:......................................559 1) LAGRANGE.......................................................................................559 1b ) DUAL: ...........................................................................................561 DETERMINANTE ................................................................................562 2 ) METODO GRAFICO - Maximización ...........................................563 2b ) DUAL - Minimización ....................................................................564 3 ) AUTOS y MOTOS SEGÚN SIMPLEX ...........................................566 3b) VERIFICACION DE LA ULTIMA TABLA SIMPLEX CON MATRICES 4 ) SOLUCION CON SOLVER de Excel ...............................................569 5 ) MATRICES (…MANUALMENTE) ................................................570 AYUDA: ALGEBRA MATRICIAL ......................................................572 6 ) MATRICES …CON EXCEL ...........................................................573 DUALIDAD:.........................................................................................574 568 MODELACION MATEMÁTICA ................................................................................... 577 CARPINTERIA.....................................................................................577 MINIMIZACION, ENTERO - MINERA ..............................................578 MODELACION DE PROGRAMACION CON SOLVER ......................580 COMPUTADORES...............................................................................580 SOLVER EN FORMA TIPO MATRICIAL / SIMIL MATRICIAL / o PARAMATRICIAL REFINERIA AZTECA ..........................................................................582 MODELACION DEL EQUILIBRIO EMPRESARIO (Y ”GENERAL”)585 OMAN: COMUNIDAD DE PESCADORES Y CAZADORES ..............585 RESPUESTAS ......................................................................................586 5) Programación lineal con Solver de Excel............................................590 7) ¿QUIEN FUE EL ASESINO?............................................................593 8) PROGRAMACION LINEAL -OTRA FORMA DE SOLVER............594 VARIAS FORMAS DE SOLVER................................................................................. 596 CAPITULO 16 .............................................................................................................. 598 DECISION / INCERTIDUMBRE ..........................................................598 CUATRO CONTEXTOS EN EL ANALISIS Y TOMA DE DECISIONES 598 581 11 TEORIA DE LA DECISION .................................................................599 ELECCIONES RACIONALES, COMPORTAMIENTO NO EGOISTA, LIMITACIONES CONGNITIVAS Y NUEVOS ENFOQUES.................................................................................................601 OTROS NUEVOS ENFOQUES MICROECONOMICOS ........................................... 602 INCENTIVOS: PRINCIPIO DE REVELACION ...................................605 CRITERIOS DE BIENESTAR: TEORIA DE LA DECISION ..............606 RIESGO vs. INCERTIDUMBRE...........................................................608 INCERTIDUMBRE.............................................................................608 MERCADOS DE FUTUROS ..............................................................610 CONTEXTO INCIERTO - SEGUROS ..............................................613 EVALUACIÓN DE PROYECTOS INCIERTOS ...................................615 MERCADOS DE FUTUROS ................................................................615 VALOR ESPERADO ............................................................................616 UTILIDAD ESPERADA .......................................................................616 COMPETENCIA BAJO INCERTIDUMBRE ........................................617 EJEMPLO BAJO INCERTIDUMBRE: .................................................617 TEOREMA DE LA IMPOSIBILIDAD DE ARROW -LAS PARADOJAS Y LA INCERTIDUMBRE 619 ECONOMIA DEL BIENESTAR ................................................................................... 620 EQUILIBRIO GENERAL Y TEORIA DE LOS JUEGOS -CAJA DE EDGEWORT620 ECONOMIA DEL BIENESTAR ...........................................................620 RESPONSABILIDAD SOCIAL EMPRESARIA-ESR ...........................622 DOS TEOREMAS, de ARROW Y DEBREU ........................................624 CRITERIO PARETIANO DE EFICIENCIA Y OTROS CRITERIOS DE BIENESTAR: LA CAJA DE I. EDGEWOURTH ....................................................................................................................629 INTEGRALES: USO DE LA INTEGRACIÓN ............................................................. 635 INTEGRALES MULTILES (DOBLES, TRIPLES)..........................641 INEGRALES Y GRAFICA CON DERIVE 6.........................................644 INTEGRALES Y GRÁFICA CON MAPLE 14 ............................................................ 650 INTEGRALES CON MATLAB ............................................................651 COASE: COSTOS DE TRANSACCION E INSTITUCIONES ADECUADAS 656 CONTROL DE MONOPOLIOS, EXTERNALIDADES, COASE, BIENES PÚBLICOS, IMPUESTO PIGOU, ARROW Y VARIAN ......................................................................................................657 LA TRAGEDIA DE LOS (BIENES) COMUNES: OSTROM ................659 OTRO ENFOQUE INSTITUCIONAL DIFERENTE ............................659 INCERTIDUMBRE- PARADOJAS- Y EMBAUCADORES LAUREADOS ............... 660 PARADOJA DE SAN PETERSBURGO DE D. BERNOULLI ..............663 TEORIA DE LA DECISION – SEGUN TIPOS DE INCERTIDUMBRE664 UTILIDAD ESPERADA SUBJETIVA – SEU: ......................................664 AXIOMAS DE LA UTILIDAD ESPERADA SUBJETIVA – SEU: .......664 PARADOJA DE ALLAIS: ...................................................................664 TEORIA DE LA INCERTIDUMBRE NO ESTRUCTURADA ..............665 PRINCIPIO DE INDETERMINACION DE HEISEMBERG .................666 INCERTIDUMBRE SEGÚN J. M. KEYNES ........................................666 URNA DE PÓLYA ...............................................................................666 LOGICA DIFUSA (FUZZY) / MATEMATICA BORROSA .................667 ANALISIS NUMERICO - CALCULO NUMERICO DEL CÁOS .........669 FUNCION LOGISTICA DE LORENZ ..................................................669 ATRACTORES – FRACTAL – CAOS ..................................................670 CAPITULO 17 .............................................................................................................. 672 TEORIA DE JUEGOS –CONTEXTO HOSTIL .....................................672 TEORIA DE JUEGOS...........................................................................672 TEOREMA MINIMAX: ........................................................................675 12 EJEMPLOS DE JUEGOS NO COOPERATIVOS..................................677 EL DILEMA DEL PRISIONERO ..........................................................677 TOMA Y DACA ...................................................................................678 ESTRATEGIAS MIXTAS.....................................................................679 ESTRATEGIAS DOMINADAS ............................................................679 AMENAZA CREIBLE ..........................................................................680 DOMINACION - DOMINANCIA.........................................................682 JUEGOS CON PROGRAMACIÓN LINEAL, GEOMÉTRICAMENTE, ANALÍTICAMENTE Y CON SOLVER 682 JUEGOS EN FORMA EXTENSIVA .....................................................684 JUEGOS CON PROGRAMACION LINEAL SIMPLEX Y MATRICES687 JUEGOS REPETIDOS Y SUPERJUEGOS............................................687 CON SOLVER DE EXCEL...................................................................688 POLICIAS Y LADRONES ....................................................................701 HALCON Y PALOMA .........................................................................704 FOLK THEOREM ................................................................................710 OLIGOPOLIO Y LA TEORIA DE JUEGOS ............................................................... 714 MODELO DE COURNOT COMO TEORIA DE JUEGOS ...................716 MODELO DE VON STACKELBERG ..................................................719 JUEGOS CON COLUSION (CARTEL) ................................................720 DUOPOLIO DE CHAMBERLIN ..........................................................720 MODELO DE HOTELLING (LOCALIZACION) .................................720 EL TEOREMA DE LA MEDIANA .......................................................721 EMPRESA DOMINANTE ....................................................................722 DEMANDA QUEBRADA DE SWEEZY .............................................723 DUOPOLIO DE BERTRAND ...............................................................724 DUOPLIO DE EDGEWORTH ..............................................................725 MODELACION EMPRESA SOBREDIMENSIONADA EN UN PAIS EN DESARROLLO 726 OLIGOPOLIO DE 3 A 8 EMPRESAS ......................................................................... 730 INFORMACION IMPERFECTA ..........................................................732 APUESTA DE PASCAL .......................................................................735 TEORIA DE LOS ACUERDOS ............................................................736 INDICE DE PODER DE SHAPLEY Y DE BANZHAF CON EXCEL ...738 VALOR DE SHAPLEY.........................................................................738 LA OPTIMIZACION SUBJETIVA (Y LOS BANZHAF): .....................742 INDICE DE PODER DE BANZHAF CON EXCEL ..............................742 VALOR DE SHAPLEY CON EXCEL ..................................................746 JUEGOS MULTIPLES NO COOPERATIVOS .......................................................... 747 OPTIMIZACION MULTIOBJETIVO - MULTICRITERIO...................747 PROGRAMACION POR METAS .........................................................747 PROGRAMACION POR METAS CON EXCEL...................................748 PROGRAMACON POR METAS CON WINQSB .................................750 ANALISIS ENVOLVENTE DE DATOS (DEA).................................753 SUBJETIVIDAD Y ESTRATEGIAS CORRELACIONADAS, R. J. AUMANN (1954) 756 LOS ALGORITMOS NO CALCULAN NADA .....................................763 ALGORITMOS PARETO EFICIENTE ...............................................763 EJECUTABLE MULTICRITERIO ORDENADOR FCE-UBA ............765 MULTICRITERIO –MULTIOBJETIVO CON EXCEL 2007 o 2010 ...767 EVALUACION DE LA TEORIA DE LOS JUEGOS .............................768 PARADOJA DE LA INDUCCION - MANO TEMBLOROSA ............768 PARADORA DEL PRISIONERO .........................................................769 PARADOJA DEL INGRESO DE COMPETIDORES -BARRERAS DE ENTRADA -MERCADOS CONTESTABLES ....................................................................................................................769 PARADOJA DE LAS ESTRATEGIAS GATILLO -TRIGGER .............770 LIMITACIONES DE LA TEORIA DE LOS JUEGOS ...........................770 OBSERVACION GENERAL SOBRE LATEORIA DE LOS JUEGOS .771 ECONOMIA EXPERIMENTAL Y LA SEU .........................................772 13 “LOS ALGORITMOS NO CALCULAN NADA (2)”.........................774 Algunos símbolos matemáticos ............................................................775 TEORIA DE CONJUNTOS de Von Neumann-Bernays-Gödel ...............781 CAPITLO 18................................................................................................................. 784 TEORIA DE JUEGOS, PROGRAMACION LINEAL Y EL RIO KILOMBERO ....... 784 ATAJO PROGRAMACIÓN LINEAL ........................................................................... 784 SIMPLEX “MATRICIAL”........................................................................................... 785 SIMPLEX CON SOLVER DE EXCEL FÁBRICA DE MESAS Y SILLAS ZONDA . 787 CAPITULO 19 .............................................................................................................. 791 MODELOS DE SIMULACION EN EL MIT: ............................................................... 791 MODELO DE LA CERVEZA EN EXCEL ............................................793 EL JUEGO DE LA CERVEZA DEL MIT..................................................................... 794 TEORÍA IRREAL vs PRÁCTICA REAL ..............................................795 BRECHA ENTRE MODELACION Y REALIDAD - BROCHE DE ORO AUSENTE - 796 PELIGROSOS FALLOS Y ERRORES EN MICROSOFT EXCEL Y OTROS ..... 800 CAPITULO 20 TECNOLOGÍA CLÁSICA Y NUEVA TECNOLOGÍA: ................... 808 METODOS PARA “OPTIMIZACION” EN LA VIEJA Y LA NUEVA TECNOLOGIA ECONÓMICA ACTUALES SEGÚN LA GEOMETRÍA DE EUCLIDES-DESCARTES ........................................808 Con una variable....................................................................................808 Con dos variables ..................................................................................808 ANALITICO CON UNA VARIABLE ...................................................809 ANALÍTICO CON DOS VARIABLES .................................................810 INTEGRACIÓN DE ÁREAS O DE SÓLiDOS ......................................811 PROGRAMACION MULTIVARIANTE...............................................811 Teoría microeconómica en 2013 ..........................................................811 1-Deducción: ........................................................................................812 2-Inducción: ..........................................................................................812 3-Simulaciones computacionales con Excel............................................813 4-Racionalidad bajo incertidumbre: ........................................................813 5-Teoria de los juegos ............................................................................813 6-Economía conductal ...........................................................................814 7-Nuevos “mecanismos” ........................................................................815 8-Los contratos ......................................................................................815 9-Incentivos:..........................................................................................816 10-Subastas: ..........................................................................................816 11-Los acuerdos ....................................................................................817 12-Economía Experimental ....................................................................817 13-Neuroeconomía ................................................................................818 14-Teoria Neoinstitucional:....................................................................819 15-WILLIAMSON ................................................................................820 16-Economía Ecológica .........................................................................820 17-Sustentabilidad .................................................................................820 18-R. Selten...........................................................................................821 19-La Economía industrial/ organización industial .................................821 20-Matemática fuzzy .............................................................................822 21-Comportamientos no ergódicos .........................................................822 14 Estructuración de la microeconomía clásica con las nuevas tecnologías ..822 CONJUNTOS DE von NEUMANN Y LAS MATRICES.......................824 EQUILIBRIO GENERAL - ¿ABSOLUTA IGNORANTIA? ..................827 ERRORES SOBRE EQUILIBRIO GENERAL E INTERNACIONAL EN MICROECONOMIA 828 (MODELO ARROW-DEBREU: NI EXISTEN MODELOS QUE LO PRUEBEN, NI ES MICROECONOMIA) 828 NO EXISTIA MICROECONOMIA PARA LOS CLÁSICOS HASTA LA ERA INFORMATICA 830 MODELO ARROW-DEBREU SOBRE LA EXISTENCIA DE UN EQUILIBRIO EN UNA ECONOMIA COMPETITIVA ....................................................................................................................833 APENDICE ................................................................................................................... 841 OTRO ENFOQUE ABREVIADOR DE CURSADA DE MICROECONOMÍA 841 ENUNCIADOS DE EJERCICIOS CON 50 TIPOS DE TP ...................844 EJERCICIOS PROPUESTOS ................................................................852 50 INFORMES PARA 50 TP (GUIA) ...................................................853 7 TP OBLIGATORIOS EN EXCEL .....................................................871 Síntesis y ejercicios integradores del curso .........................................871 LISTADO DE TP RESUELTOS Y ARCHIVOS....................................873 COMPARACIONES DE SOFT .............................................................879 AYUDA DE MICROSOFT ON LINE ...................................................890 EDITOR DE ECUACIONES DEL OFFICE MICROSOFT ....................890 POTENCIAS Y RAÍCES.......................................................................891 RAÍCES EN FUNCIONES CUADRÁTICAS: RUFFINI .......................891 RAÍCES EN FUNCIONES CÚBICAS: RUFFINI ..................................891 RAÍCES EN POLINOMIOS DE ORDEN SUPERIOR...........................893 ORGANIGRAMAS CON MICROSOFT CHART .................................893 UN GRANO DE ARENA: ................................................................................................................894 QUE QUIERE LA UBA QUE SE APRENDA?: ....................................897 PROGRAMA MICROECONOMIA FCE-UBA: ....................................907 SE HAN LINKEADO ESTOS TEMAS A ESTE LIBRO MICROECONOMIAENEMPRESAS(CASO SOMISA).PDF UNIDAD 1: CONCEPTOS INTRODUCTORIOS A LA MICROECONOMIA............ 907 UNIDAD 2: LA DEMANDA Y LA OFERTA. ............................................................... 907 UNIDAD 3: EL MERCADO COMPETITIVO. .............................................................. 908 UNIDAD 4: PROGRAMACIÓN LINEAL COMO INSTRUMENTO DE MODELACION MICROECONOMICA. PROBLEMA PRIMAL Y DUAL. VARIABLES ARTIFICIALES. (BAUMOL 6) ... 909 UNIDAD 5: EL CONSUMIDOR .................................................................................. 909 BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA. ...................................................................... 910 UNIDAD 6: LA EMPRESA Y LA UNIDAD DE NEGOCIO. ...................................... 910 FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN. (MOCHÓN 7; PAARKIN 10; BAUMOL 9 ) ....... 910 BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA ....................................................................... 911 UNIDAD 7: EL OBJETIVO DELA EMPRESA Y FORMAS DEL MERCADO DE PRODUCTOS EJERCICIOS RESUELTOS. ....................................................................................... 912 911 909 907 15 UNIDAD 8: FORMAS DE MERCADO DE FACTORES. ........................................... 912 BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA. ...................................................................... 913 UNIDAD 9: RIESGO E INCERTIDUMBRE Y CONCEPTOS DE LA TEORÍA DE LOS JUEGOS. 913 UNIDAD 10: EQUILIBRIO GENERAL Y DISTRIBUCION DEL INGRESO ............. 914 LEY DE WALRAS ....................................................................................................... 914 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ....................................................916 ENFOQUE PRÁCTICO DEL CURSO: ....................................................................... 928 ACLARACIÓN: Es este un enfoque diferente; no es más de lo mismo: incluye nuevos aportes y refutaciones, junto con una reafirmación (computacional y práctica) de la microeconomía clásica ¡en la empresa! ; ante lo cual el ordenamiento no es el convencional. El orden de exposición es aquí según la secuencia de etapas en la operatoria de un ejercicio empresarial (caso practicado en la siderúrgica SOMISA: comienza averiguando qué producir (programación lineal); estimación de esa demanda (anova; modelos de simulación); inventario óptimo (stocks de materia prima); compras (negociación, etc.); producción (optimización clásica, etc.); ventas y marketing (teorías de la demanda, etc.); defensa antidumping y estudios de mercados oligopolio, teoría de los juegos). Los textos clásicos tienen otro orden, simplemente porque no podían resolver más de 2 ó 3 variables con papel y lápiz. Use Cntrl + F para buscar temas por palabra (o bien este índice temático, o el índice alfabético al final) Los tiempos han cambiado y los textos tradicionales no están ofreciendo recopilaciones de la mayor parte de los temas en un solo volumen didáctico y por ahora prefieren la proliferación de enfoques diversos pero limitados. Ha cambiado la tecnología; y un contador, licenciado o ingeniero depende hoy de Excel, los ZIP e internet para detectar las nuevas aportaciones y para desempeñarse, por esto también se ofrece este trabajo como archivo .pdf. Es esta una cuestión importante, sin embargo, lo siguiente es más importante. Hay un refrán, que dice “cada maestrito con su librito”, que explica algo que está ocurriendo en el ámbito académico económico internacional: profesionales de ciencias exactas e ingeniería prefieren exponer los principios microeconómicos con multiplicidad de funciones y reformulaciones del V postulado euclidiano, ya sea utilizando segmentos, diferenciales o la sintaxis de la más reciente teoría de conjuntos; pero no deja de ser más de lo mismo. Otros hacen hincapié sobre cuestiones sociológicas y de marketing; y por otra parte hay quienes enfatizan sobre teoría de los juegos re exponiendo alguna parte de los principios microeconómicos; y lo hacen con lenguaje también variado, ya sea el coloquial, el de la teoría de conjuntos o mediante el de la programación lineal. En este trabajo el enfoque es diferente; pero aquí lo que se cambió fue el “instrumento” de investigación: en vez del tradicional y científico (pero limitado a 2 ó 3 variables) papel y lápiz anteriores, aquí se utiliza Excel ! 16 Entonces, los siguientes contenidos surgen de una reordenación del programa de la FCE-UBA y revisiones de programas similares en otros países. Además, esta reordenación y selección nos condujo a otra idea o tarea pendiente en nuestro medio. DUDA INFORMÁTICA? Cada vez son menos los alumnos que asisten declarando estar alejados de Internet, Word y Excel. Este último es imprescindible para un contador, como hoja de cálculo y son muy pocas y fáciles sus aplicaciones estadísticas adicionales que requiere la microeconomía (son 7 tp). En los 70 el acercamiento a estos temas estadísticos fue con algunos primeros procesadores de aquella época (Texas I., Programma 101 de Olivetti, Compucorp Statistical). La aparición de las PC en los 80 trajo las hojas de cálculo Lotus 123, QPro, y en los 90 Excel es lo mejor y más fácil. La comunicación en los cursos y oficinas era antes con disquetes 5 1/4, 3 1/2, luego CD, DVD o Pen drive ahora, pero mayormente, vía internet, con Gmail o el buscador de Google (antes ya había algún intercambio, con FTP o file transfer protocol, vía P2P). Una breve formación en programación Clipper y DBase facilitó en los 80 la creación de algoritmos potentes (para millones de datos); que son ahora muy prácticos en Excel, aunque series menores (se desconoce y/o duda de la utilidad práctica de exposiciones vistosas con Power Point, así como del uso de redes sociales). PUBLICACION DE TEMAS INVESTIGADOS? Los centros de investigación mundiales se promocionan preferentemente desde los medios académicos y revistas norteamericanos; pero no disponemos en nuestros medios locales de algo similar, que nos permita tener idea de los temas, aportes y publicaciones de los investigadores locales (e internacionales). Por otra parte, la profusión de direcciones bibliográficas es tal que conforma una fuente de desinformación; es difícil conocer los temas existentes en cada materia. ¿Cómo saber así cuáles son los contenidos de la microeconomía? Cuáles son los temas investigados y publicados aquí y en el exterior? ¿Dónde hay una guía de contenidos para los estudiantes, profesionales y docentes locales? No existe con acceso fácil; por esto, quizás las principales instituciones académicas podrían mostrar /presentar algo como un vademécum, un listado de temas, por ejemplo reseñando en alguna página web los trabajos “originales” (preferentemente aquellos que no figuran previamente expuestos por otros autores locales o del exterior). Esta idea podría encontrar alguna resistencia, por algún académico, que pudiera preferir mostrar solo los logros curriculares (quizás incluyendo repeticiones de temas ya publicados en otros medios), antes que publicar o reseñar las aportaciones originales. Sin embargo, son éstas las que necesitan conocer estudiantes o jóvenes profesionales y profesores que necesitan profundizar sus conocimientos: es decir, vendría bien disponer aquí de listados de temas microeconómicos originales, publicados en el medio local y en el exterior (con acceso fácil vía internet por tema). 17 PRÓLOGO En el ámbito de investigación de mercado o ventas de cada empresa, así como en el de los profesionales y estudiantes de microeconomía (o economía de la empresa), es fundamental el estudio de la demanda y de la programación. Las técnicas estadísticas y econométricas son laboriosas y presentan dificultades importantes, tanto para comprenderlas y memorizarlas, como para la aplicación concreta de esos métodos, generalmente imposibles de concretar sin ayuda de ordenadores. Desde la aparición de Excel, se ha simplificado considerablemente el uso de estas técnicas, ya que esta hoja de cálculo facilita muchas operaciones. Adicionalmente Excel tiene incorporadas gran cantidad de funciones estadísticas, financieras y matemáticas, dedicadas a estos análisis. Incluyen breves ayudas conceptuales, pero suelen no ser suficientes para la generalidad de los usuarios, quienes pueden no captar el sentido y practicidad de cada aplicación al no disponer de un ejemplo práctico de la misma resuelto. Este trabajo reúne una cantidad importante de esos ejemplos resueltos paso a paso, sobre las aplicaciones referidas al estudio de demanda, mercado, programación y otros de la empresa y la microeconomía, que se identifican en el índice. Se plantea el problema, se lo resuelve con breves pasos Excel y se incluye la evaluación o identificación del caso para orientar al lector. No es este trabajo un manual de Excel. Supone tener solo una idea básica, mínima, sobre su uso; y no repite indicaciones muy elementales, tales como abrir o salir de un archivo, imprimirlo, copiarlo, etc. que son conocidas por la generalidad de usuarios de Excel, Word y otros del Office de Microsoft. Lo que sí se detalla paso a paso, brevemente, es como imprimir, graficar y aplicar series, funciones y métodos estadísticos o econométricos. T. I. Rébora 18 INTRODUCCIÓN Algunos economistas (entre ellos Arrow) incluyen como introducción un breve relevamiento de los principales aportes en la disciplina, como hitos que interesa considerar para la comprensión de esta materia. En este caso se optó aquí por resumir, además de la teoría económica, también una breve evolución de la propia civilización occidental y de los métodos científicos, que tanto han influido y condicionado la economía según los maestros: Civilización occidental: evolución de la matemática y de la ciencia económica sobre el V postulado de los Elementos de Euclides. La economía clásica. La geometría analítica con Descartes y la microeconomía. Errores en la microeconomía clásica. Aportes de Microeconomía con Excel (MCE). Tres posibles enfoques microeconómicos y temas fundamentales para un curso general de microeconomía: para qué se estudia microeconomía. CIVILIZACION OCCIDENTAL El origen de la civilización occidental suele ubicarse hace 4000 años, entre el Mediterráneo y el Golfo Pérsico, especialmente en Babilonia, en el Éufrates; hubo aportes iniciales de asirios, fenicios y otros y en los siglos posteriores desde Egipto, China e India. El código Hammurabi babilónico (recopilación en -1760 de otras leyes anteriores) es un documento describiendo en 282 artículos un completo sistema económico, conformado por numerosas instituciones y normas, todavía vigentes en la actualidad: propiedad privada de los medios de producción (tierras, casas), libertad de comerciar, mercados, precios, salarios, moneda, pesas, medidas, tasas de interés, alquileres, consignaciones, armadurías de barcos para comercio exterior, controles gubernamentales, impuestos y otras numerosas normas, leyes e instituciones. Incluían en su organización productiva la esclavitud, que posteriormente se transformaría en servilismo agrícola durante la época feudal medieval. El área de influencia de Babilonia estaba constituida por Persia, la región asiria y Balcanes Textos griegos y romanos citan el comercio de fenicios (s.-XI) y griegos hasta la costa atlántica de la península Ibérica (Islas Casitérides o del estaño, Galicia) y con Asia central y África. Su cultura se desarrolló hasta la época de Nabucodonosor y luego confluyó con la unión a la griega. Poco después cayó bajo el Imperio Romano y al desmembramiento de este continuó como Imperio Romano de Oriente (o bizantino: Constantinopla), que sufrió el desmembramiento de Persia, Damasco, Jerusalén y Alejandría durante la égida árabe en el s.VII y finalmente de la propia Constantinopla en el s. XV ante el imperio otomano. Aquellos pueblos sumerios y sus vecinos aportantes de estas ideas fueron conquistados en el s.-IV por Alejandro Magno y Grecia (Atenas, Nicea, Smirna, Pergamo, Trebisonda, Antioquía, Tesalonia, Alepo, Constantinopla) remplazó esos gobiernos, agregando también Egipto y desde el año -282 centralizando el conocimiento en la Biblioteca de Alejandría sobre la desembocadura del Nilo. 19 El conocimiento había adquirido en Grecia carácter científico, al incluir en sus libros no solo los enunciados y principios sino también los métodos de procedimiento y de demostración (la figura de los modelos debería esperar todavía 2000 años). El inmediato dominio del imperio romano sobre toda la región agregó a esto el progreso del derecho civil (no ciudadanos y ciudadanos que recibían predios con esclavos por sus servicios militares, etc.) y del derecho común (relaciones económicas y otras) como institución que confirmó jurídicamente aspectos civiles y otros, como el derecho de propiedad privada y de herencia (en sus atributos ius utendi, ius fruendi, ius disponendi), aunque congeló el progreso del conocimiento científico griego en materia de economía, matemáticas y lógica que aquí nos interesan, hasta que Europa los rescató desde las traducciones árabes (e hindúes), que ilustres peregrinos europeos a Santiago de Compostela conseguían en latín desde Córdoba y la Escuela de Traductores de Toledo durante los siglos XII a XIV; y luego pasarían en los siglos XVI al XVIII hacia América y otras regiones del mundo. EVOLUCION DE LA MATEMATICA Y LA ECONOMIA La economía como disciplina científica está muy vinculada con el álgebra o matemáticas y con la filosofía y lógica, ya que les proporcionan específicamente los métodos y procedimientos, utilizados para la administración de los recursos de las unidades individuales y de los países. Los avances del conocimiento algebraico (o matemático) también fueron constituyendo hitos para el progreso de las teorías económicas: desde el cambio por los números indo-arábigos, el concepto de cero, de infinito, etc. hasta las geometrías plana y la analítica, la deducción simbólica, la idea de derivada y su integral, la verificación inductiva, etc., avanzando desde una modalidad inicial retórica (en prosa, textos), que luego se transformó a sincopada (con algunas abreviaturas o símbolos) y llegó finalmente al álgebra (o matemática) simbólica y al enfoque computacional actuales. Desde esas raíces mesopotámicas hasta los nuevos desarrollos computacionales, esos hitos fueron permitiendo diferentes teorías y explicaciones microeconómicas, que lograron su máximo desarrollo abarcativo con el enfoque neoclásico computacional que aquí se propone como economía de la empresa, no obstante que continúan apareciendo nuevos métodos y enfoques para numerosos casos particulares. Finalmente, la microeconomía fue tomando cuerpo individualizado, pero en cuanto a su objeto de análisis particular y no general. Sin embargo, la ausencia de instrumentos computacionales no permitió una clara individualización temprana como disciplina dedicada específicamente a las empresas y convivía en un entorno propedéutico de economistas ocupados mayormente en cuestiones macroeconómicas, que se olvidaron de los requerimientos de la empresa, lo cual se intenta aquí superar. El código Hammurabi, de la Mesopotamia del Tigris y Éufrates, es una de las más importantes y antiguas recopilaciones de la civilización occidental. Incluye influencias sumerias anteriores, así como de asirios, caldeos y otros pueblos. Los caldeos fijaron las relaciones 3, 4, 5 de los lados de un triángulo rectángulo, según aclararía luego el teorema de Pitágoras. También interesa especialmente, el papiro del escriba egipcio Ahmes (comprado por el escocés Rhind) de -1580 (referencias a -1788), en el que figura la resolución egipcia del triángulo y una aproximación al número pi (π) como 3,1604, junto con numerosos conocimientos aritméticos y geométricos. La medición de las tierras fértiles para fijarles impuestos y la construcción de monumentos requería conocimientos matemáticos (geométricos y otros) importantes, que ya Herodoto señala como el origen de la geometría. En los libros de los Reyes del Antiguo Testamento figuran una primaria aproximación rústica sobre la relación 1 a 3 entre diámetro y circunferencia; y los “codos” del templo de Salomón (aunque diversos conocimientos aritméticos debieron ser utilizados por los mercaderes fenicios). 20 En el siglo –XI el libro chino de las Permutaciones describe la circunferencia y las relaciones del triángulo rectángulos de lados 3, 4, 5 que conforman el teorema de Pitágoras. En los siglos –VII y –V el Manual del Constructor indio, de Apastamba, también fue conocido por los griegos de la era alejandrina. Thales describió en Mileto -570 las propiedades de los triángulos semejantes, según sus ángulos, lados y áreas (que incluso utilizaban para su localización aquellos navegantes). Pitágoras -532 describió la geometría plana: el punto, la línea, figuras, sólidos y el universo, según la visión de los caldeos. En su teorema el cuadrado de los catetos suma como el de la hipotenusa de los triángulos; pero en aquellos de cateto igual a uno la hipotenusa no era 2, presentando así los número inexpresables o irracionales. Pitágoras también planteó la idea de infinito al describir el espacio como un número infinito de puntos y al tiempo como un número infinito de instantes. El V POSTULADO EN LOS ELEMENTOS DE EUCLIDES Estableció en Grecia (Alejandría -300) la geometría plana que sería divulgada fuente del conocimiento matemático y como escuela básica durante 2300 años: Por un punto exterior a una recta pasa una sola paralela; dos paralelas a una tercera lo son entre sí; la suma de los ángulos interiores de un triángulo rectángulo suma dos rectos; una recta corta a dos paralelas con ángulos alternos iguales; dos paralelas son equidistantes; por tres puntos no alineados pasa un solo círculo; se pueden construir ángulos semejantes en magnitud arbitraria. Si bien le fue imposible fundamentar filosóficamente esta geometría y aunque las nuevas geometrías no euclidianas cuestionaron diferentes aspectos (sobre la esférica superficie de la tierra la suma de los ángulos del triángulo suma más que dos rectos; en el espacio estelar las paralelas no son equidistantes; etc.) este postulado geométrico fue la base del desarrollo algebraico y matemático antiguo y moderno. Este origen geométrico de la matemática antigua se observa también en Platón, cuando en la República le hace decir a Timoteo que la geometría es más real que el mundo real, dependiendo solo de la contemplación del individuo (paradójicamente sin la necesaria experimentación que por ejemplo ya figuraba en el papiro Ahmes (Rhind). Eudoxio, -400, refutó esas ideas, observando la necesidad de una verificación de esa intuición ensalzada por Platón. También se acercó a la idea de infinito quitándole a un número más de su mitad sucesivamente hasta llegar a otro tan pequeño como se desee. Zenón resolvió por absurdo la paradoja de Aquiles y la tortuga (aclarándola por requerir la dicotomía de cubrir en sucesivas fases primero la distancia hasta la tortuga y luego el adicional avanzado) confirmando así la necesidad de la verificación empírica en las matemáticas (hoy inducción estadística), sin limitarse solamente a los razonamientos lógicos de la intuición humana (intuición pura en Kant; hoy deducción lógica). En el -400 el general historiador ateniense Jenofonte describe en El Económico la economía doméstica y rural griega y la división del trabajo entre sus clases sociales; el abastecimiento de la población y ejércitos en épocas normales y de conflicto, con algunos primeros análisis occidentales sobre precios e inflación. En -390 Platón escribió La República, con una descripción de tipo ideal de lo que debiera ser una organización social, sin propiedad privada de la tierra y considerando al comercio como una actividad improductiva (tal como en la posterior fisiocracia de F. Quesnay) 21 En -335 Aristóteles, maestro de Alejando el Grande, fijó los primeros enfoques científicos sobre la naturaleza de los precios, registrando que sobre ellos había una doble influencia conjunta, tanto de la demanda como de la oferta (necesidades, o valor subjetivo y también costos de producción, valor objetivo). Frente a la idea de Platón, defendió la propiedad privada de la tierra; y en Ética a Nicómaco (su hijo) analizó la justicia distributiva (de los ingresos y propiedad entre los ciudadanos y no ciudadanos) y la justicia conmutativa (del justo precio en los mercados). Distinguió el valor de uso del valor de cambio o precio de los bienes (que en su libro Política, también analizó distinguiendo la riqueza de bienes y su uso como diferente de la crematística o acumulación del Rey Midas, que convertía en oro todo lo que tocaba pero sin poder gastar y disfrutar de esos bienes). También hizo los primeros análisis del concepto de interés (que luego tomaría Santo Tomás de Aquino en el s. XIII, desde una traducción de Averroes en Córdoba en el XII, aparentemente adquirida en España por su maestro San Alberto Magno, ex peregrino a Compostela). Pero además de sus enfoques éticos sobre la economía (le preocupaba el tema de la usura, carestía, etc.) nos interesa aquí el complemento de su aporte metodológico: en el libro IV-Segundos Analíticos de su Órganon analizó Aristóteles el método científico de la lógica del silogismo hipotético: si todo A es B; y si X es A; entonces X es B. Luego de la era alejandrina, los Ptolomeos radicaron el conocimiento en la biblioteca de Alejandría en la desembocadura del Nilo. La aritmética de Diofanto en +250 fue uno de los pocos aportes griegos desde Alejandría durante su decadencia científica de casi diez siglos bajo la era romano cristiana, surgiendo con él la aritmética sincopada (que se ayuda con algunas letras para simplificar cálculos). Durante el medioevo, Brahmagupta en el 628, India, tradujo y perfeccionó la aritmética sincopada de Diofanto, como el arte de explicar “LA COSA” (el álgebra o geometría, aritmética e incluso matrices); también ideó el concepto del cero y los números negativos. En 815 Alkhwaritmi (el corintiano) presentó los 10 dígitos que pasarían a ser utilizados en occidente (luego que el monje Vigila los expusiera en su Códex Vigilanicus en Castila en 976 y que Savasorda lo tradujera en Cataluña en el siglo XII). En 1092 el persa Omar Khayyan perfeccionó la matemática de Euclides (y calculó el tiempo con 365 días, con un mínimo error de un día cada 4000 años, frente a cada 3300 años según el papa Greg orio en el 1600) El conocimiento griego depositado en la biblioteca de Alejandría era paulatinamente traducido por hindúes y por árabes. Estos últimos lo introdujeron en Córdoba, España y la castellana Escuela de Traductores de Toledo constituyó un centro europeo de difusión del conocimiento, aprovechado por las peregrinaciones de monjes, santos y otros romeros ilustres a Santiago de Compostela especialmente durante los siglos XII a XIV (San Agustín, San Francisco, San Albergo Magno, maestro de Santo Tomás de Aquino, etc. y muchos otros doctos santos y gobernantes europeos). En el XIII el mercader italiano L. Fibonacci escribió varios trabajos, entre ellos una completa aritmética con los nuevos números indo-arábicos, Liber Abaci. Disponiendo ya del invento de Gutenberg de 1450, Luca Pacioli recopiló estos conocimientos en una Summa impresa en 1500. En los escolásticos influyeron las ideas aristotélicas sobre precios y salarios: fueron expuestas por Santo Tomás de Aquino en el siglo XIII para la Iglesia, preocupada por la justicia conmutativa y la distributiva: el justo precio y el justo salario (en Suma Teológica y Suma para Gentiles), enseñándose en las universidades de Bolonia, Oxford, Salamanca y París. 22 Posteriores estudios de la Iglesia avanzaron en forma diferente, abandonando esta doble influencia; según las presiones de cada época prevaleció un tiempo la influencia de los costos de producción (salarios, en San Alberto Magno en 1250 y en fray Duns Scoto en 1300, que incluía un beneficio normal para el comerciante; Marx en 1848) y luego su naturaleza subjetiva según las necesidades del comprador (en el jesuita Luís de Molina, Madrid 1590; H.H.Gossen 1854, L. Walras 1874). En 1240 el jurista Raimundo de Peñafort en Barcelona había analizado el concepto griego del interés, distinguiendo la usura del lucro cesante y daño emergente como beneficio resarcitorio del préstamo monetario. Estos postulados de la Iglesia continuaron siendo importantes durante los tres siglos del imperio español, bajo una administración que saldaba monetariamente su comercio exterior; el derecho de gentes aseguró personería jurídica a todos los integrantes del imperio (no obstante algunas rémoras de esclavitud impuestas y promovidas por acuerdos internacionales), así como la propiedad privada, leyes de herencia, impuestos, mercados e instituciones del capitalismo comercial moderno, con una creciente influencia cultural y científica de París. Paralelamente, en otros países europeos se promovía la generación de excedentes manufacturados para exportación, junto con nuevas ideas económicas para apoyarlos (teorías librecambistas), que se impondrían en el mundo luego del período napoleónico. Sin referirnos a las ciencias aplicadas (astronomía, física, mecánica/ingeniería, arquitectura, náutica, etc.) sino a la economía y a las ciencias puras (lógica y matemática pura) que aportan sus métodos, en el s.XVI aparecieron los aportes de Cardano y de Tartaglia sobre la resolución de ecuaciones de tercer grado (hoy en aparente desuso porque en Excel una cifra se eleva con el símbolo^ a cualquier potencia). En 1514 Juan Martínez escribió sobre la división de la esfera en 360 grados, minutos, segundos; también las propiedades de los números con la media aritmética, media geométrica y media armónica; regla de tres, etc. En 1597 surgió el sistema de logaritmos neperianos, como series inversas a las exponenciales (Napier /Neper). En 1600 aparece el álgebra simbólica (logística especiosa) con Viete. En 1637 Rene Descartes publicó el Discurso del Método y aportó la idea de un par de ejes ortogonales: con coordenadas para cada punto de una figura sumables, comenzaba así la geometría analítica; y con la idea de funciones graficables (que dependían de alguna variable X, Y, Z y en las que a, b y c representaban constantes, como por ejemplo para medir los registros de un barómetro o para calcular la trayectoria parabólica de un proyectil, balística). Juan Caramuel escribió sobre el cálculo de probabilidades y juegos de azar (1656, que luego ampliaría Pascal), también un sistema binario (1670, que posteriormente ampliarían Leibniz y Boole) y otro sistema de logaritmos con base diferente a la de J. Napier / Neper. También en el s. XVII progresaron, con B. Pascal, el análisis combinatorio, las probabilidades y el método inductivo; el álgebra con números irracionales según W.Leibniz o con el complejo de Gauss (sin + i y – i la raíz de -4 no tenía antes sentido). Los aportes sobre lógica y matemáticas en 1666 de S. Izquierdo son mencionados por Leibniz entre sus antecedentes del cálculo infinitesimal. También I. Newton menciona los tratados sobre análisis geométrico, trigonometría y aritmética de Antonio Omerique. En particular sobre este proceso de acumulación de conocimientos para el cálculo infinitesimal cabe mencionar las ideas iniciales de Arquímides y de Eudoxio sobre integración por axhausción; también contribuyeron en 976 las de Savasorda y en 1515 las de Álvaro Tomás, que lo utilizaban para sumar series de potencias; en 1612 el astrónomo Kepler medía el contenido de los toneles de vino con una aproximación al concepto (con un vara y las secciones circulares); y sobre todo P. Fermat, a quien se lo considera un descubridor del actual cálculo infinitesimal o diferencial anterior a Newton y a Leibniz. A mediados de este sigo XVII el científico y astrónomo I. Newton en la Universidad de Cambridge estudiaba el movimiento de los planetas y distinguiendo aceleración de velocidad concluyó la idea de incremento relativo o derivada, que buscaba verificar en el universo, llegando por ese camino al cálculo 23 infinitesimal (recién en 1890 su compatriota Marshall utilizaría este análisis diferencial para la optimización microeconómica que usarían los textos del siglo XX). Pero la presentación final corresponde, a fines de ese siglo XVII a W. Leibniz, quien con numerosos matemáticos en París como Los hermanos Bernoulli y el marqués de L´Höpital, intercambiaban correspondencia sobre la resolución de ecuaciones y se fijaron así los conceptos de variables, el de funciones, el de las series infinitas y el de límite mediante la geometría analítica. Leibniz precisó la diferencia entre una función y su límite como tan pequeña como se desee: “idea de incremento relativo de una función frente al de su variable” o el cociente incremental que hoy reconocemos como derivada. W. Leibniz utilizó el análisis combinatorio para dos magnitudes que difieren infinitamente poco y llegó por esta vía a la idea de la derivada, integrales y series infinitesimales, acuñando el uso del símbolo integral “ ∫ ” para reemplazar el uso de series de sumas y el de ”d “para la diferenciación que hoy utilizamos. En 1750 el matemático suizo G. Cramer publicó trabajos de “los” Bernoulli y de Leibniz; y creó un método para resolver sistemas lineales de ecuaciones mediante determinantes. En 1763 T. Bayes estudió la probabilidad de eventos aleatorios repetibles y verificables (casos favorables sobre los posibles). En 1800 el suizo Daniel Bernoulli también aportó el análisis de las probabilidades para algunos tipos de fenómenos aleatorios, como en los juegos de dados y similares de azar. Otro suizo, L. Euler escribía entonces sobre polinomios, sobre diversas ecuaciones que eran graficables (según Descartes) y sobre series infinitesimales, utilizando derivadas e integrales según el álgebra moderna. En el siglo XX Cobb y Douglas tomarían sus funciones homogéneas para explicar con sus exponentes los rendimientos constantes, crecientes o decrecientes, así como la distribución del ingreso generado en una actividad. El italiano J. L. Lagrange hacia 1800 desarrollaba un análisis algebraico ya separado de su origen geométrico: rescatamos aquí su función combinada para resolver sistemas de ecuaciones con pocas variables (tal como utilizaría el ruso Y. Slutsky en 1915 para su teórica ecuación sobre el efecto sustitución y renta). En 1812 P. S. Laplace publicó su Teoría Analítica de las Probabilidades, ampliando el estudio de algunos hechos aleatorios (tal como la probabilidad de un suceso con pocos casos d conocidos: P = d+1 / d+2). También sobre los errores de medición de astrónomos y matemáticos y aportó el método de los mínimos cuadrados, (que hoy utilizamos para estimar funciones con dos variables, como precio y cantidad, manualmente, o bien otras con múltiples variables independientes, como es el ejemplo de la estimación de la demanda de helados que Microsoft incluyó en su Office). Como astrónomo Laplace fijó la idea de la nebulosa originaria del sistema solar, al enfriarse los distintos anillos en planetas (tal como aún muestra Saturno) y confirmó “estabilidad” de ese comportamiento universal (“Deberíamos… considerar el presente estado del Universo como el efecto de su estado anterior, y la causa del que le seguirá…”). En 1810-1830 A. Cauchy precisó las ideas de funciones, límites, continuidad, series convergentes y divergentes En 1822 J. Fourrier quería explicar que el calor tiende a distribuirse uniformemente en una masa y desarrolló las series trigonométricas e hizo uso de las derivadas parciales. A.Cayley hizo luego aportes al álgebra de matrices, aclarando que su multiplicación no es conmutativa. Entre 1800 y 1850 el alemán J. C. F. Gauss publicó numerosos trabajos. También separándose de los orígenes geométricos de la matemática demostró un teorema fundamental del álgebra (polinomios con tantas 24 raíces como indica el grado); reseñó la matemática y el álgebra de matrices tal como la conocemos en la actualidad; en 1821 publicó sobre el método de mínimos cuadrados. En Lyon, 1838, A. A. Cournot publicó su Principios Matemáticos de la Riqueza en el que introdujo el análisis marginal o diferencial en la teoría económica: con ecuaciones para la oferta y la demanda y la optimización, maximizando con una variable, que fue la guía para todo el futuro análisis microeconómico de la competencia y del monopolio (este enfoque clásico todavía no distinguía precisamente entre microeconomía y macroeconomía; no podían resolver sistemas con más de unas pocas variables, debido a los cual no se preocupaban en detalle de los procedimientos efectivamente necesarios en las empresas: comenzaban o se limitaban a solo conceptos o principios de tipo general; con el tiempo se irían complementado con aplicaciones de la econometría, de la investigación operativa y de otras especializaciones, hasta logran una autonomía efectiva de la microeconomía cuando a fines del s.XX pudieron ser fácilmente utilizables en las empresas: PC “clones”). En 1842 el análisis diferencial de C.G.Jacobi permitió al alemán L.O.Hess aportar un método para calcular las derivadas parciales y resolver funciones y sistemas de ecuaciones de dos o tres variables mediante un método matricial, que sería muy utilizado en las simplificaciones teóricas de los economistas del s.XX (determinante hessiano). En 1854 G. Boole publicó An Investigation of the Laws of Thought, (re)diseñando un sistema binario (con solo V – F ) para el álgebra, que constituyó el paradigma de la lógica matemática determinista de aquellas épocas, así como la base para el comienzo del desarrollo computacional del siglo XX. En 1939-1947 G.B. Dantzing (Universidad de Berkely) propuso la resolución de problemas de óptimo mediante el método Simplex de programación lineal, que interesó inmediatamente a la fuerza aérea de los EEUU durante la guerra mundial. En las siguientes décadas este método de optimización se comenzaría a utilizar en las grandes empresas de ese país; y Lotus 123 y Excel estandarizaron aplicaciones del proceso en forma asequible para la generalidad. Como antecedente directo de la programación lineal existía el ajedrez; considerado en el siglo XIII un juego para nobles, con reglas para la toma eficiente de decisiones, que en 1260 Alfonso X el sabio publicó en Toledo en el Códice V. En 1470 se escribieron en Valencia las actuales nuevas reglas (ajedrez a la rabiosa; más rápido) y el juego interesó también a los estrategas del ejército; con textos y campeonatos en España e Italia, expandiéndose con el tiempo a Francia e Inglaterra y finalmente como un juego popular, hasta aparecer los campeonatos mundiales en s.XIX, ayer en poder de los rusos y hoy en poder… de las computadoras. Nuevos desarrollos conceptuales crearon desde 1932 otras lógicas no matemáticas o booleanas, de tipo polivalente, como para las teorías de los juegos de von Neumann y Morguenstern (según un criterio prudencial o realista maxi-min y mini-max para el oponente) y para la teoría de la decisión ante incertidumbre. J. Nash en 1952 resolvió algunos casos de juegos sin solución según N-M y posteriormente se le agregaron otras restricciones adicionales para resolver estos y otros casos, en los cuales el criterio es V – F Desconocido u otras restricciones adicionales (sobre estrategias, cooperación, equilibrio y optimalidad diferentes, el orden del juego, juegos repetidos con horizonte finito o infinito, reputación o creencias, información incompleta, jugador ficticio, juegos bayeriano, etc) En el capítulo “LI” de Don Quijote (1605-1615), Sancho Panza como nuevo gobernador de la ínsula Barataria, debió resolver un problema conceptual, por alguien que declaró “voy a morir ahorcado al pasar el puente”: si solo ahorcaban a los que mentían, sería una contradicción legal ejecutarlo (y la solucionó introduciendo una restricción adicional al planteo inicial bivalente: cuando la ley duda no causes daño). En 1954 la urna de Pólya destruyó el concepto tradicional tipo universal sobre probabilidad según Laplace y Bayes: sucesivas extracciones de bolas con reposición no guardan o tienden a la proporción roja blanca que hay en la urna, sino que resultan ¡erráticas!. Es este un concepto nuevo, claro (y posible de 25 verificar fácilmente con Excel) que aun actualmente distorsiona la comprensión o creencias de la mayoría de la personas, educadas con la racionalidad “estable” según Laplace y Bayes. Sencillos programas en Excel permiten comprobar la existencia de series erráticas, no ergódicas, mediante modelos de simulación como este o también como con la curva logística de Lorenz a partir del exponente 0,506127. Igualmente la matemática difusa de Zadeh tradicional y teoría de los juegos. abrió nuevas explicaciones diferentes a la matemática Cada vez se estudian más casos sobre teoría de los juegos y otros en los cuales no se cumple aquel comportamiento uniforme de la naturaleza que se explicaba con el álgebra de Boole o las probabilidades según Laplace y Bayes. En este sentido, la economía como “enfoque encuentro” interdisciplinario recibe permanentemente aportes, desde la sicología, la biología y así como también desde otras diferentes disciplinas. Si bien hasta mediados del siglo XX prevaleció en economía la visión “sicológica racional” aportada por A. Smith y J. Bentham (escasez, egoísmo, competencia), la “economía del comportamiento o conductal”, presentó casos experimentalmente observados en los que los agentes no presentaban conductas racionales (“toma de decisiones bajo riesgo” o sicología cognitiva, de Kahneman y Tverski, 1979), explicando que los factores emocionales como el sentimiento de injusticia o la falta de seguridad influyen en la toma de decisiones con criterios no racionales. Herbert Simon aportó el concepto “sicológico” de “sufficing” (suficiente, bastante, satisfactorio), explicando que la sicología humana suele optimizar el uso del tiempo y la toma de decisiones mediante “la primer solución satisfactoria que se tiene a mano”, en vez de hacerlo mediante una maximización del beneficio en el sentido clásico. No obstante, Gary Becker fue galardonado con el premio Nobel, por sus enfoques de “economía extravagante o rara” (freak), como sobre la economía del crimen, el trasplante de órganos, las relaciones familiares y otros, en los que se aparta de la economía del comportamiento (conductal), considerando que la racionalidad económica (tipo costo-beneficio) se aplica a éstos y todos los órdenes de la vida social. También el “pensamiento evolutivo” y la “biología” hacen sus aportes: T. Veblen publicó en 1898 un trabajo sobre porqué la economía no era una ciencia evolutiva; la idea la reprodujo J. A. Schumpeter en su Teoría del desarrollo (“evolución”) económico, con una visión de falta de equilibrio, debido a los permanentes cambios tecnológicos empresarios; y actualmente se avanzó sobre esta idea hacia las irreversibles concentraciones de mercados. La “economía ecológica” frente a la tradicional “economía ambiental”: en el enfoque tradicional se consideraban cuestiones ambientales, de asignación de recursos, de externalidades y evaluación de proyectos en los que se enfatizaba su eficiencia y no su sostenibilidad; con una idea cronológica lineal y reversible en vez de un tiempo histórico irreversible ecológico; enfatizando cálculos y resultados monetarios en vez de cuestiones físicas y biológicas, etc. Los ranking de universidades suministran cientos de instituciones, pero no aporta precisión sobre sus estudios microeconómicos ni a veces económicos. Entre las instituciones “top” sobre economía figuran algunas norteamericanas, otras inglesas y algunas europeas (Suiza, España, Holanda, etc) pero la dificultad es centrar el análisis en los estudios microeconómicos, ya que en general las instituciones continúan con el enfoque tradicional interdisciplinario y sin precisar la separación entre la “oikos” microeconómica (de la casa granja o empresa) y la economía política o macroeconómica, de la “polis”. 26 La presentación de Oxford ejemplifica estos tratamientos: “The course covers the standard theory of microeconomics through a series of modules on Consumer & Producer Theory, Choice under Uncertainty; Game Theory & IO; General Equilibrium & the Fundamental Theorems of Welfare Economics; Bargains, Contracts, and Auctions; Welfare Economics and Public Economics.” También la Escuela de Economía de Londres –LES-, que tiene como objetivos: “Intended Learning Outcomes. By the end of this course students should: be able to apply the theory of maximising agents to firms and consumers understand the working and applications of the standard general equilibrium model understand the basic elements of welfare economics know how to apply elementary game theory to microeconomic models of firms be able to make economic application of equilibrium concepts in multistage games understand the basic role of uncertainty and imperfect information in analysing economic incentives” Coinciden en una constante, observada en instituciones norteamericanas, inglesas y europeas, sobre la presentación de diferentes niveles de estudios microeconómicos: principios introductorios, microeconomía intermedia I, II y posteriores especializaciones sobre aplicaciones a muy diversos casos. En particular, el plan de estudios del “Microeconomic Theory III” Massachusetts Institute of Technology –MIT- para desde 2001 a la fecha 2012 sigue siendo: “The central topic of this course is the theory of general equilibrium and its applications and extensions. We will start with the basic theory including existence and optimality of equilibrium. We will then discuss the core; Arrow's impossibility theorem; externalities and public goods; intertemporal competitive equilibrium and insurance; and incomplete markets. We will consider some second-best issues.” Muchas universidades incluyen como Microeconomía II los nuevos desarrollos no neoclásicos y a veces al menos algunas los enfocan desde un punto de vista axiomático, pero “sin la prueba de fuego”, que implica una estructura realmente profesional: objetivar las explicaciones axiomáticas incluyendo los desarrollos explicados paso a paso e ilustrándolos con ejemplos resueltos y con sus conclusiones . La lista de enfoques y análisis interdisciplinarios es vasta y en crecimiento; pero nadie podría pensar que uno de estos enfoques aislado o un conjunto de ellos, puedan constituir una teoría explicativa de la empresa en reemplazo de la visión neoclásica actualizada computacionalmente. Por absurdo: por más importantes que para algunas industrias sean los análisis sobre “etología económica”, hoy no explican el comportamiento general empresario (etología, subdisciplina de la psicobiología que estudia la conducta espontánea de los animales en su medio natural, buscando los mecanismos de adaptación que influyan en el éxito reproductivo: el “impriming” /impresión, de K. Lorenz) Es decir, estos conjuntos de aplicaciones atienden planteos particulares pero no conforman un esquema general explicativo del comportamiento microeconómico: el accionar de la empresa en general seguirá siendo explicado mayormente con la microeconomía clásica, aunque ahora reforzada con el instrumental computacional (por ahora, especialmente con Excel). Daría la impresión que fue esta falta de instrumental adecuado la que hizo perder el horizonte a los propios clásicos (explicar el funcionamiento ordinario en las empresas) y avanzaron mayormente con planteos ambiguos sobre economía, sin distinguir precisamente sus aspectos micro y macro, aunque apuntando preferentemente a teorías sobre los macroeconómicos. 27 En los seis tomos de los Principios Económicos de A. Marshall se recopiló en 1890 toda la micro y la macroeconomía clásica; pero conforman un conjunto de análisis, observaciones y métodos, en los cuales no se ve claramente individualizado esa finalidad empresarial concreta (Keynes individualizó a la macroeconomía; pero el recuento de Marshall no individualizó a la microeconomía) Incluso J. Hicks, en Valor y Capital, se ocupa en la mayor parte de los 24 capitulos del equlibrio general, la dinamica, el capital y de diversas cuestiones macroeconómicas. Igualmente P. Samuelson, en Fundamentos del Analisis Economico, se ocupa en gran parte de los 12 capitulos de temas que van mas alla de cuestiones microeconómicas: la generalización del Principio de Le Chatelier, economía del bienestar, estabildiad del equlibrio, análisis del sistema keynesiano, funciones logísticas, los estados estacionarios y su generalización, etc (y muestra el enfoque o visión de la época con temas como el de la mercanc‟ia cumpuesta y el racionamiento, el problema con los números „indices, sistemas lineales y no lineales estocásticos,etc.). Esa visión no empresaria podría comprenderse, dado que todavía no podían resolver por entonces problemas con más de unas pocas variables; mientras que la efectiva operatoria de la empresa suele implicar múltiples variables (por ello hay quienes vieron que aquella profusión de métodos y principios era solo retórica inviable al momento de una concreta aplicación empresarial). Lo que no parece admisible es que en la actualidad se continúe sin entender y admitir que microeconomía es esencialmente economía de la empresa. Esta idea surgió naturalmente después de la aparición de Lotus 123 en los 1980 y Excel en los 1990 para quien se desempeñaba en una siderúrgica exportadora internacional y debió recurrir a las aplicaciones informáticas (en 1975 con una Compucorp) para concretar los principios microeconómicos en las áreas de pronóstico de mercado, de optimización y de defensa de la competencia ante el dumping internacional y el antidumping en EEUU y en la CEE (y también observaba las aplicaciones computacionales de diversos principios en los departamentos de producción para laminadores y equipos, en compras, en contaduría y finanzas, y en personal). Las extensiones de los procesos estadísticos, de la econometría y de la investigación operativa eran ineficientes antes de la alternativa computacional, debido a las dificultades para los procesos multivariantes. Surgieron como extensiones o especializaciones de la microecomía; y (al igual que los enfoques contables y financieros) no constituyen por si solas disciplinas cuyo objeto sea la economía de la empresa, ni sustituyen en esto a la microeconomía. MICROECONOMIA CLASICA Su contenido suele agruparse en función del objeto estudiado o también según los métodos de demostración. Como los métodos son compartidos para la explicación de diferentes objetos de estudio algunos textos tratan conjuntamente problemas del consumidor o la demanda con problemas de la producción u oferta y tipos de mercados. En este caso se optó por resumir el contenido de la microeconomía según el objeto de estudio, reseñando sucesivamente las teorías sobre el consumidor, luego las del productor y finalmente los modelos sobre varias formas de mercados (no obstante que metodológicamente se puedan compartir métodos según escuelas o teorías). Adicionalmente, otro capítulo más reciente de estudios está conformado por un conjunto de análisis diferentes, como el de la teoría de los juegos, que incorpora cada vez mayores contenidos, pero que todavía no constituyen un cuerpo explicativo tan completo como el enfoque clásico. Cuando Inglaterra perdió la gran colonia norteamericana en 1776, Adam Smith publicó la Riqueza de las Naciones, promoviendo un sistema económico liberal, sobre la base del principio hedónico (máximo beneficio con mínimo esfuerzo), la propiedad privada, precios sin intervenciones estatales (la mano invisible), libertad 28 de comercio y de contratación, etc. Necesarios para penetrar en los mercados europeos y del imperio español. En 1817 su discípulo D. Ricardo perfeccionaría esta teoría del comercio internacional agregándole la idea de la especialización según las ventajas relativas y no absolutas. F. Quesnay había publicado en París 1754, su Tabla Económica, fijando la idea de circularidad económica o circulación permanente de bienes, servicios e ingresos en cada comunidad. En 1803 J. B. Say fijó en París esta idea teórica de un equilibrio económico estable y con pleno empleo: la igualdad del conjunto de demandas y ofertas, para n-1 mercados (ya que el mercado restante del dinero solo cumpliría un rol de intermediación sin mayores consecuencias que diferentes niveles de precios según la emisión); luego esta relación fue así vista o considerada como una identidad (válida para todo nivel de precios o tasas de interés y no como una igualdad solo válida para un determinados nivel de estos). Esa visión neutra del dinero se reafirmó en 1835 agregándole la discutida teoría cuantitativa de la moneda según el resumen de J. S. Mill: M = P ( T) Si un gobierno aumentaba la emisión M permaneciendo constantes las transacciones nacionales T, la única consecuencia sería un cambio de precios nominales P, pero el pleno empleo no sería afectado. Resalta la vinculación directa entre emisión e inflación (no modifica agregando a M la velocidad de circulación). Coincidentemente con la teoría del valor trabajo, tanto de A. Smith como en D. Ricardo, en 1848 K. Marx re-expuso en forma más científica la teoría objetiva del valor, según el trabajo incorporado en los bienes; también la del beneficio o plusvalía como una explotación; y de ellas se extrapolaron luego consecuencias macroeconómicas socialistas, tal como la propiedad estatal de los medios de producción, o el rígido control estatal del sistema de precios y del comercio interior y exterior. Las consecuencias de esas propuestas fueron advertidas inicialmente por H.H. Gossen (en Las Leyes del intercambio, 1854), por lo que propuso replantear la teoría liberal pero sobre la base de la demanda según la utilidad, en dos célebres leyes: La utilidad de las ultimas unidades adquiridas (idea posterior de utilidad marginal decreciente) originaba la pendiente negativa de la línea de demanda de un bien; y para el caso de dos o más bienes, la elección surgía al cumplir en todos las compras con la igual cociente placer sobre precio y simultáneamente ajustarse al o agotar el presupuesto disponible (idea posterior del equilibrio del consumidor). Estas ideas, rescatadas por K. Menger, S.Jevons, L. Walras en 1870-1874 y otros, fueron sintetizadas por A.Marshall en 1890 en el libro Principios Económicos, donde se completó esa teoría subjetiva del valor (en la satisfacción de necesidades primarias, bajo un contexto de saturación la utilidad total implica una utilidad marginal decreciente; posteriormente se agregaron las necesidades sociales o culturales, con utilidad marginal constante o creciente) , tanto para el análisis de la demanda como también con una extensión del criterio hacia la producción, los costos y la contratación. Con solo papel y lápiz, el esquema de Marshall implicaba modelos con solo una, dos o pocas variables reales y restricciones. Las simplificaciones satisfacían conceptualmente, pero estaban lejos todavía de una aplicación efectiva en las empresas por lo cual no se preocuparon por la separar microeconomía de macroeconomía y las trataban conjuntamente, sin saber precisamente bien para cuales aplicaciones efectivamente reales. DESDE LA GEOMETRIA PLANA DE EUCLIDES HACIA LA GEOMETRIA ANALITICA El avance conceptual surgió en 1630, con los ejes ortogonales de René Descartes (las coordenadas de cada punto eran sumables) y W. Pareto utilizó este esquema. 29 Sobre la base de los análisis de Gossen y de Marshall, el ingeniero W. Pareto expuso en 1915 el mismo equilibrio, pero innovando al agregar un modelo geométrico simplificador: gráficos (utilidad solo ordinal) con líneas de presupuesto y de indiferencia, ambas por definición con diferenciales totales nulos en todos sus puntos. El punto de tangencia explicaba la demanda de dos bienes, maximizando la utilidad y agotando el gasto del presupuesto: simplificando términos en ambos diferenciales queda en ese punto la TMS = Px/Py . Ahí se agota el gasto y se cumple que la tasa marginal de sustitución (gustos o cociente de las derivadas parciales) es coincidente con los precios del mercado, en este punto que marca las cantidades demandadas de ambos bienes. Pronto el desarrollo matemático de la época permitió demostrar ambas teorías tanto con el análisis diferencial elemental como con la función combinada de Lagrange, que suma a la función de utilidad una restricción de presupuesto. Las condiciones de primer orden, haciendo las primeras derivadas nulas (implican ubicarse en un punto de giro, por analogía con una función de una variable); y las de segundo orden confirman que ese punto era un máximo, mínimo o inflexión (hessiano >0; <0; =0). Las teorías solo disentían en el modelo adicional (uno utilidad sicológica; el otro gráficos), pero compartían los métodos analíticos. De la primera condición se podrían despejar y obtener las cantidades demandadas, así como el valor de la tercera variable (interpretada como la utilidad marginal del dinero de ese consumidor) Hubo otros aportes adicionales, como el de R. Giffen para explicar una paradoja en la demanda anómala de los bienes básicos ante alteraciones importantes; y otros sobre la clasificación de los bienes y sobre las elasticidades de la demanda etc. Una tercera teoría de la demanda intentó explicar los cambios por la inflación, separando el efecto de un cambio de precio sobre la cantidad demandada en sustitución y renta. En 1915 Evgeny Slutsky propuso una ecuación que enriqueció conceptualmente este análisis desde el punto de vista metodológico matemático (en 1938 J. Hicks utilizó los gráficos de Pareto para simplificar ese mismo enfoque conceptual). Adicionalmente a aquellos valores de ambas demandas y a la utilidad marginal del dinero según la función combinada de Lagrange, Y. Slutsky dedujo su famosa ecuación luego de simplificar en el diferencial total del efecto total del cambio de un precio sobre la demanda de ese bien. El resultado se abrevió como la suma de dos efectos, uno por la vieja ley de la demanda (efecto sustitución) y otro por el efecto de la inflación (efecto renta), que era tanto más notable si el bien cuyo precio se modificaba participaba significativamente en el presupuesto del consumidor. Los métodos de Gauss y Cramer le permitieron calcular ambos efectos, ponderando un efecto por la influencia de la utilidad marginal del dinero y ponderando el otro por la cuantía adquirida de este bien: los efecto sustitución y efecto renta influían en la demanda final u ordinaria. Suponiendo en los casos de subas de precios un subsidio (o un impuesto en los casos de bajas) para que el consumidor pudiera volver a la canasta inicial, se le compensaría la distorsión del precio y esa demanda compensada sin el efecto renta sería más rígida que la ordinaria. En 1938 J. Hisks explicaría esto mismo mediante gráficos de Pareto, demostrando geométricamente que el supuesto subsidio sería una paralela a la nueva recta de presupuesto, tangente a la curva inicial en otro punto diferente que el original: la demanda compensada de Hicks, era así algo distinta que la de Slusky. Décadas después se amplió este enfoque de Slutsky aplicándolo también a la oferta individual del factor trabajo, retroascendente, considerando el efecto renta-dotación sobre la disponibilidad de tiempo diario también para descanso. 30 En la ecuación de Slutsky los efectos directos permitían clasificar a los bienes en típicos o atípicos, según fuera el comportamiento del efecto renta (el que además indicaba si el bien estudiado era normal o inferior). Los efectos cruzados de la variación del precio de un bien sobre la demanda de otro bien permitían clasificar a los bienes como sustitutos, complementarios o independientes, según fuese el resultado positivo o negativo y la naturaleza del producto de precio modificado. Esta ecuación fue un avance conceptual teórico y metodológico; sin embargo las conclusiones de esta teoría de la preferencia revelada (por los consumidores) se obtienen efectivamente con los estudios de las variaciones de precios y de cantidades que permiten los índices de precios de las oficinas de censos nacionales, según publicaciones de índices del nivel de vida, índices de Laspayres, de Paasche u otros combinados. PRODUCCION, COSTOS, BENEFICIOS El mismo análisis diferencial era aplicado para explicar los ingresos, la producción, los costos y beneficios del productor (con solo una o con dos variables). La productividad marginal decreciente, los costos marginales crecientes y su vinculación con la línea y función de oferta de la empresa, permitieron conformar un conjunto completo para el equilibrio de la empresa, que fue expuesto como una simplificación de la realidad con una o dos variables (básicamente según las relaciones entre el concepto del total, el medio y el marginal). Este enfoque tuvo mayor aceptación académica que aplicación efectiva en las empresas: Esta optimización con una variable, fue implementada a partir del análisis matemático de A.A. Cournot (París, 1838): al ser el beneficio la diferencia entre ingresos menos costos, había máximo Beneficio diferenciando con B´= 0 y B´´<= 0, de donde surge que para el caso general la optimización implica operar con ingreso marginal = costo marginal (aunque en competencia pura con precio = costo marginal o en largo plazo precio = costo medio). Sin embargo, para el caso de la competencia perfecta se exageraba el modelo basándolo en supuestos muy irreales, como libertad de mercados (sin restricciones en el ingreso de bienes, empresas y factores), con homogenidad, muchos compradores y vendedores; los precios eran una constante dada por el mercado iguales para todos (sin monopolios ni externalidades negativas en bienes públicos, polución, etc.). Al competir se genera una baja de precios y solo las empresas eficientes pueden sobrevivir, operando a largo plazo sin costos fijos las empresas operan con ingreso marginal igual a precio y al costo medio). En la explicación de otros mercados sobresalieron las modelos para el monopolio, con sus precios mayores al costo marginal según su limitación de la cantidad ofrecida; también su posible discriminación de precios o mercados y el criterio para producir en el caso multifactoría (optimizando con el criterio de Cournot e ingresos marginales iguales a costos marginales conjuntos, respectivamente). Cournot también explicó maximizando el beneficio, con una variable, el equilibrio en duopolio, con la oferta de cada uno según funciones de reacción en las que la oferta de uno depende de lo que produzca el otro fijo. Bertrand (e Edgeworth) analizaron este caso bajo una perjudicial o inconsistente guerra de precios. Entre otros numerosos modelos particulares hubo aportes de Hotelling para monopolio y para competencia monopólica con diferenciación de producto. Stackelber expuso el accionar como empresa lider o seguidora; Sweezy el modelo de la demanda quebrada; Sylos Labini, Bain y Modigliani casos parecidos bajo limitaciones de acceso, etc. También se plantearon explicaciones para los casos de colusión (la cual ya se conocía 31 combatida por la legislación de los EEUU desde el accionar de la Standard Oil Co. y otras a fines del siglo IXX) solucionados como en el monopolio múltiplefactoría y un reparto posterior de utilidades sin explicación. En el análisis microeconómico clásico se utilizaron funciones de solo una, dos o tres variables, para explicar con esos escasos avances la teoría del consumidor y por analogía, las teorías del productor, la de distribución de ingresos y la teoría del comercio internacional. El criterio paretiano, según los diferenciales totales nulos en la tangencia del equilibrio con TMS = Px/Py, se fijó como estándar para demostrar que, cumpliendo sus premisas, se optimizaba la decisión de compra, y por analogía las de producción, la de contratación y distribución de ingresos, así como la ventaja del comercio internacional, que ya en 1885 había anticipado Edgeworth con su esquema de una caja (con dos gráficos tipo paretianos contrapuestos). En esa caja, los punto de tangencia de la curvas de utilidad de ambos países eran puntos eficientes, mientras que por ejemplo una intersección de dos curvas era una combinación ineficiente, ya que trasladándose por una u otra de ellas al menos uno de los países o agentes mejoraba su bienestar y (en términos absolutos) ninguno se perjudicaba. Nada se explicaba en términos relativos o sobre la equidad de esta distribución: nada se explicaba sobre alguna ventaja para ambos agentes o países. Los desarrollos de Euler también permitieron a Cobb y Douglas (Nebraska) exponer las ventajas de representar la distribución de ingresos en la empresa o en un país mediante funciones homogéneas de un solo término; con rendimientos decrecientes si los exponentes suman menos que uno, constantes si uno y crecientes si mayores que uno. Estos exponentes también indicaban la participación o distribución de lo producido entre ellos. La gran crisis mundial de 1929 originó un replanteo sobre el esquema clásico del equilibrio estable bajo competencia perfecta y su visión del pleno empleo permanente. En 1874 Walras había expuesto un sistema simplificado con N sectores productores (de bienes finales); consideraba que el equilibrio entre demandas y ofertas dependía de todos los sectores incluyendo también al del dinero. No veía una identidad tipo J. B. Say, con equilibrio y pleno empleo aun sin considerar el dinero, sino que el equilibrio con pleno empleo era solo posible para un determinado nivel de precios, en cada uno y en todos los sectores, incluyendo al del dinero. Pero en 1936 J. M. Keynes separó netamente la macroeconomía del precedente ambiguo tratamiento conjunto micro y macroeconómico según Marshall y demás. Expuso una explicación diferente de la crisis, según la incertidumbre empresaria en la bolsa de valores de Wall Street y también la necesidad de utilizar la política monetaria y fiscal para atenuar las variaciones bruscas de la actividad general. Esa dinamización mediante obras públicas no necesariamente generaría inflación descontrolada. Además de estos dos enfoques básicos, walrasiano y keynesiano, posteriores desarrollos avanzaron sobre otros aspectos de la economía del bienestar, entendiéndola sobre la base del cumplimiento estricto de la competencia perfecta y del criterio paretiano, tanto en el consumo, como en la producción, en la distribución y en el comercio internacional, hacia un equilibrio general. Los perjuicios de los monopolios, estudiados en 1938 por Hotteling y muchos otros, confirmaban las ventajas de mayor cantidad y menores precios a favor de la competencia. Si se cumplieran las condiciones requeridas como supuestos necesarios -sobre libre movilidad de empresas, de bienes y de factores, control de monopolios y de las deseconomías por incumplimiento en los controles de polución, en los bienes públicos y recursos naturales etc- la competencia perfecta garantizaría el pleno empleo y maximizaría el bienestar general. Aún más, la comunidad académica también avanzó con desarrollos para demostrar la eficiencia de este mercado de competencia, por ejemplo con A. Lerner y especialmente con K. Arrow y G.Debreu, que expusieron analíticamente sobre dos leyes de la economía del bienestar: si las actividades son competitivas se están cumpliendo los criterios paretianos; la segunda es más estricta o abarcativa: si se cumple los 32 criterios paretianos los mercados son competitivos (se subestiman las objeciones sobre las distorsiones por efecto de los monopolios, las externalidades, la naturaleza de los bienes públicos, la falta de equidad etc) y este modelo pasó a ser la base de la legislación comercial doméstica e internacional, ya que en teoría la competencia facilitaba el abastecimiento a bajos precios. En la base de las creencias y conformidad sobre esta teoría figura el accionar bajo competencia y los mercados de competencia perfecta, que actuarían como supuestos justos planificadores, que se encargarían de distribuir con equidad los logros alcanzados con la eficiencia del criterio paretiano en todo ámbito. También se avanzó en la pretensión de obtener una modelación efectiva para el equilibrio general, ampliando una propuesta analítica de L.Walras, al combinar sus sistemas NxN de bienes finales con la noción del principio paretiano para el equilibrio o distribución y con la visión de la necesaria existencia de un equilibrio (según el principio general o teorema del punto fijo de J. Brouwer, adaptado por Debreu en 1959 a esta propuesta económica: dadas unas dotaciones iniciales, si la funciones de preferencias y de producción son convexas y reúnen las características paretianas, existirá al menos un conjunto de precios de equilibrio). Si necesariamente tenía que existir un equilibrio general, se lo explicaba axiomáticamente (pero con sistemas de 2x2 solo supuestamente) generalizables a NxN variables. Las explicaciones clásicas sobre mercados y precios se basaron en análisis con coeficientes fijos de producción, o sea, rendimientos constantes, que Clark y Winsteed intentaron generalizar para el caso de varios procesos alternativos. El equilibrio parcial o maximización del beneficio, considerado desde 1838 según Cournot fue posteriormente aplicado al caso de solo dos bienes con Pareto en 1909 y luego generalizado como un planteo (meramente axiomático) de equilibrio general, mediante el diagrama de la caja de Edgeworth y el teorema de la agregación de Hicks y Leontief. Cassel aportó la idea de diferentes mercados a partir del análisis de dos productos y dos factores. Leontief introdujo en 1941 el análisis de productos y de insumos; y finalmente, se intentó demostrar la idea de la existencia (necesariamente hay) de un equilibrio general y la de su unicidad (solo uno, para este enfoque axiomático y contrario a lo que siempre ocurre en la realidad) a través de inviables análisis de Wald, que llevaron al creador de la teoría de los juegos de suma cero von Neumann a pensar en el uso del teorema del punto fijo de Brouwer, replanteado por Kakutani y por Debreu. También se intentó analizar la estabilidad (de este supuesto equilibrio único, general y meramente axiomático) mediante análisis de Hicks, de Hotelling y de Samuelson que chocaron ante las inconsistencias requeridas por un exceso de supuestos limitantes en el modelo de la competencia (libre ingreso, gustos, racionalidad, técnicas, externalidades, mercados futuros, incertidumbre, asimetrías de información, etc) y las dificultades de su extensión o generalización (unicidad y estabilidad del equilibrio, etc). Desde este punto de vista axiomático cuando Arrow y Debreu expusieron las dos leyes fundamentales de esta teoría del bienestar ( 1) si hay competencia se cumple con el criterio paretiano. 2) si se cumple con el criterio paretiano hay competencia y se garantiza el máximo bienestar general), muchas opiniones llamaron la atención sobre lo irreal de esa visión, destacándose las posteriores objeciones del propio Debreu y las de Sonneschein sobre la imposibilidad de unicidad en la existencia de un equilibrio y por la irrealidad de una modelación con sistemas NxN, imposibles de concretar numéricamente ni aun para representar a algún pequeño país. En la actual formalización simbólica con álgebra, análisis diferencial o de conjuntos, cada grupo de símbolos tendría supuestamente su correlato en algún sistema de ecuaciones o de matrices que permitirían un nexo con la realidad económica. Sin embargo, algunos excesos de formalización meramente simbólica han conducido a esfuerzos sin resultados. Frecuentemente se aceptaron representaciones abreviadas, que se demostraban con aproximaciones conceptuales simplificadoras; por ejemplo, punto fijo existente y estable, como el que uniría un plano con el 33 centro de una esfera exterior que gire invariante sobre su eje; y muchas otras explicaciones por mera analogía conceptual simplificadora, pero sin la necesaria contrastación o verificación empírica. En este libro también se refutó esa teoría de Arrow y Debreu desde el mismo punto de vista (no existen ni podrán asistir modelos computacionales NxN suficientes) y además desde otro punto de vista, considerando al verdadero objeto y sujetos reales de la microeconomía. Esa primera refutación se formuló aquí en el ámbito de la exposición o re-exposición de la microeconomía clásica computacionalmente, pero según la efectiva aplicación práctica en las empresas y considerando la generalización del uso de Excel. La última refutación surge de exponer cuál es el rol profesional; para qué estudia; y cuál es el contenido científico de la microeconomía. Finalmente y desde otro punto de vista, nuevos enfoques muy diferentes se fueron agregando a la microeconomía clásica, aunque sin conformar una nueva teoría tan abarcativa y completa como la anterior. Especialmente, las teorías de la utilidad esperada subjetiva (SEU) y la teoría de los juegos, que se inició en 1932 con los aportes de von Neumann y Morguenstern para casos maxi-min y min-max (criterio de W.Wald ) de suma nula J. Nash en 1952 agregó varios análisis con diferentes estrategias mixtas; A. Tucker planteó el “dilema del prisionero” y muchos otros casos conformaron este enfoque con y sin colusión, pero siempre bajo un contexto incierto e inestable (con y sin información completa, colusión, estáticos o dinámicos, etc) y en el cual se persigue un subóptimo (o cuando lo bueno es enemigo de lo mejor por no ser autorizado por el oponente). Habiendo resumido aquí un panorama de la microeconomía clásica (y expuesto que actualmente se han abandonado las pretensiones microeconómicas de un equilibrio general, limitándose a solo análisis de equilibrio parcial) cabe finalmente plantearse un interrogante: Siendo el sujeto estudiado en la microeconomía el productor (la empresa) y su demandante (el consumidor); y si estas teorías fueron solo enfoques parciales, pero tan solo para una, dos o tres variables (o bien análisis centrados en un fallido equilibrio general, macroeconómico), ¿Cómo se explicaba efectivamente el comportamiento económico de las empresas, en las cuales generalmente están involucradas múltiples variables (mayormente cuantificables) y puede no existir competencia perfecta? ERRORES EN LA MICROECONOMIA CLASICA La comunidad económica valora internacionalmente el paradigma neoclásico que, como se reseñó arriba, enfatiza los análisis sobre el principio o criterio paretiano en el consumo, en la optimización empresaria y en la distribución en la competencia perfecta, así como también planteos con esquemas axiomáticos sobre el equilibrio general y la economía del bienestar (con las exposiciones de Walras, Lerner, Pareto, Samuelson, Arrow y Debreu, etc). Les son detalladamente conocidas, pero subestiman las inconsistencias de estos esquemas científicos, como ser aquellas en materia de distribución de los ingresos con equidad, las asimetrías (el principio paretiano en la caja de Edgeworth demuestra que uno mejora, pero no que los dos mejoran; tampoco dice quien mejora, ni como esta se distribuye), o por efecto de las externalidades, bienes públicos, etc; y tal como se explicará, también las inconsistencias por el equivocado objeto y sujeto que priorizan para esta disciplina, así como también por la impracticabilidad de sus teorías. Pero la competencia perfecta no es un modelo que se presente corrientemente en los mercados. Algunas corrientes de pensamiento criticaron a los teóricos de la microeconomía, porque parecieran ser funcionales a 34 grupos empresarios y académicos (quienes finalmente les sustentarían), en cuanto sus proposiciones se manifiestan conformando una defensa del sistema liberal financiero librecambista, del que se deducen (con este esquema científico incompleto) consecuencias políticas sobre la libertad comercial y sobre el movimiento de capitales, ausencia de barreras comerciales, no aplicación de impuestos, bajo grado de intervención del estado en materia económica, etc., que tienen grandes repercusiones en la actividad económica doméstica e internacional de los países. Por otra parte, los errores de las teorías socialistas como doctrina (en distribución, ineficiencia, burocracia, etc) ya fueron históricamente convalidados por sus fracasos en la aplicación prácticas de estas utopías durante el siglo XX. Pero existe otra visión en Microeconomía con Excel (MCE): no se puede identificar o confundir la teoría con la realidad. Considerando la realidad empresaria y las formulaciones teóricas se advierten dos errores en la teoría tradicional: uno es enfocar los análisis hacia quien no es el destinatario masivo de los principios microeconómicos; el otro es distorsionar el método de estudio reduciéndolo a un campo axiomático meramente formal e inaplicable. DESTINATARIOS DE LA MICROECONOMIA Constituye un error pensar que el destinatario de los análisis económicos sea aquel matemático teórico dedicado a la microeconomía, dado que el objetivo principal de la microeconomía es el funcionamiento económico de las empresas (incluyendo la estimación de la demanda, mercados, la optimización, etc) y surge en consecuencia que el principal usuario y destinatario de estos análisis es el profesional y el técnico que se desempeñan masivamente en las diferentes área de cada empresa. Para aquel destinatario teórico es natural y suficiente centrar los análisis en Pareto, la competencia perfecta y el equilibrio general. Pero para este destinatario mayoritario y masivo, los análisis necesarios son principalmente la estimación de funciones de demanda (mercado y múltiples aplicaciones econométricas más) y la optimización o programación empresaria (aplicaciones de la investigación operativa para las diversas áreas de la empresa, básicamente con programación lineal u otras; y con matrices), además de otros aspectos sobre mercados y métodos diversos. Esta visión práctica y masiva fue la que dio origen al enfoque del libro Microeconomía con Excel en Empresas (MCE), considerando que ese utilitario para PC es de uso generalizado en todas las empresas y trae incorporadas y simplificadas la mayoría de estas aplicaciones necesarias. POR QUÉ ES INSUFICIENTE LA MICROECONOMÍA CLÁSICA CON ENFOQUE SOLO FORMAL En MCE se reconoce que el profesional en economía (contador, ingeniero industrial o simplemente no graduado técnico en algún área empresaria) tiene como principal ámbito de desarrollo para su actividad el desempeño en la generalidad en las empresas. Interesa además que la formación microeconómica de un contador o un ingeniero no incluye en su currículo básico otras especializaciones superiores en procesos específicos de investigación operativa ni en econometría. Pero la generalidad de los textos no ha sido actualizada; y en las universidades se continúan dictando el enfoque tradicional teórico con sus inconsistencias, sin advertir que no es suficiente una capacitación en modelación meramente formal tradicional, sino que es necesario llegar a la aplicación concreta de los principios “microeconómicos” en las empresas. Antes de la revolución informática, aproximadamente en 1980/90, existían muy pocas posibilidades de cálculo concreto en las personas y empresas, ante lo cual un enfoque solo formal axiomático era inevitable (salvo difíciles y poco prácticas especializaciones adicionales a la profesión). 35 Sin embargo, en MCE se demuestra que desde el uso generalizado de las PC, la microeconomía dejó de ser obsoleta e inaplicable para la generalidad de los profesionales; y sus principios pasaron a ser ahora de aplicación efectiva en las empresas, en las áreas de ventas, compras, personal, finanzas o dirección general. Esta dicotomía entre rigor formal e inaplicabilidad efectiva en la empresa también fue planteada en MCE, por ejemplo a través del caso integral sobre el cálculo del equilibrio empresario empíricamente; según el modelo clásico con una, dos o tres variables (abarcando desde la estimación y el cálculo de ventas, producción, ingresos, costos y beneficio, mediante regresión simple precio-cantidad, ajuste parabólico minimocuadrático y maximización diferencial). Pero esa solución supuestamente integral (aunque digamos univariante) no tiene aplicación concreta en la generalidad de las empresas, enfrentadas en la realidad a casos de múltiples variables. Se plantearon dos cambios de paradigma: uno es el cambio tecnológico, las PC, Excel e Internet. Otro es reconocer que la teoría neoclásica sin las PC significaba solo una representación simbólica elemental, una fantasía en cuanto a sistemas NxN y al equilibrio general, en sí limitados a solo dos o tres variables, que en la práctica de la optimización y actividad empresaria son insuficientes y prácticamente inservibles. Pero la PC potenció la aplicación efectiva de los principios microeconómicos en diversas áreas de la empresa. Hay todavía sectores interesados en mantener la vieja visión teórica impracticable, que se resisten a reconocer que los principios neoclásicos son una mera simplificación irreal si no se los clarifica y además, si no se los aplica efectivamente en la empresa mediante la computación. El conocimiento y la teoría microeconómica anterior (digamos la evolución científica entre el siglo X y el XXI) no se detiene con las versiones neoclásicas obsoletas, ya que el uso de PC en las últimas décadas convierte a ese conocimiento histórico meramente teórico en efectivamente práctico. El aporte e ingenio neoclásico quizás no suponía (o sí) que el avance tecnológico permitiría concretar sus teorías. Entonces, es necesario distinguir el atraso tecnológico, que solo contempla calcular hasta tres variables, frente a la necesidad de calcular cientos o miles de variables (pero con simplicidad !) para la efectiva optimización en la empresas; y en síntesis, se puede decir que desde la difusión generalizada del Office al ámbito de todas las empresas (casi sin excepción), los principios microeconómicos dejaron de ser solo enfoques formales y pasaron a ser ahora de fácil aplicación concreta en todas las áreas de la empresa. En los departamentos de ventas, es fácil estimar la demanda para el próximo período mediante correlación múltiple (con su imprescindible análisis de la varianza estandarizado). En el departamento de personal se pueden planificar fácilmente los horarios, turnos y vacaciones mediante programación lineal con Solver de Excel. En el área de finanzas se pueden utilizar las aplicaciones sobre VAN y TIR de Excel. Este utilitario también permite modelos de simulación estáticos y dinámicos en instantes. La programación también facilita determinar el inventario óptimo con más de una variable; o precisar la producción óptima en la dirección de las empresas, incluyendo casos de cientos o miles de variables. Ello, sin necesidad de requerimientos profesionales especiales o superiores al currículo profesional de un contador o ingeniero industrial (y quizás un técnico no profesional o no graduado en muchos casos de los usuarios masivos). 36 APORTES DE MICROECONOMIA CON EXCEL (MCE) Y AQUI MCE no es más de lo mismo, como los miles de textos disponibles. El nuevo instrumental computacional permitió la práctica de algunos enfoques diferentes y se los expuso en MCE en forma breve, sin aceptar el enfoque o planteo neoclásicos meramente formales (por su metodología lógica solo axiomática y por su matemática limitada a dos o tres variables, no obstante sus profusas referencias a sistemas NxN y al equilibrio general), en cuanto eran inaplicables en la práctica general de las empresas. Por este motivo en MCE se incluyeron exposiciones simplificadas sobre varios principios microeconómicos, que son de aplicación efectiva en las empresas pero no figuran en la bibliografía general neoclásica: 1) Exposiciones simplificadas: por una parte, se exponen en forma breve y simple numerosos principios y métodos, que era usual presentar innecesariamente en forma de tratados. La filosofía de MCE fue hacer las cosas fáciles, como modalidad didáctica y según la “ley de oro” en cualquier disciplina (hacer las cosas fáciles es una máxima en la ciencia y como didáctica). Por ejemplo contiene una simplificación de la enseñanza de programación lineal “Simplex” en solo dos páginas; asimismo para sus formas estándar y canónica o el problema dual. Al igual que para los diversos métodos y las aplicaciones incluidas sobre la optimización o para la estimación de funciones y otros, no se requiere en general más de una hora de estudio y práctica con Excel (igual que con los muchos otros utilitarios alternativos aquí presentados para estos tipos de análisis). Didácticamente hay una oposición a la mera exposición formal (a veces falaz), adoptando una visión práctica, que ve en la simplificación y en la presentación explicada de ejemplos resueltos una buena y mejor forma de objetivar el conocimiento práctico concreto. Por otra parte, este enfoque simplificado se complementó con la decisión de editar el texto MCE vía Internet, con acceso libre, sin convertirlo en otro de los usuales proyectos editoriales de interés pecuniario (crematístico). El orden de presentación no convencional es progresivo; y como también cambiaron los modos de estudio, ahora con PC; conviene utilizar los buscadores de palabras (Ctrl + F, o Ctrl + B) o con Google. 2) Seis métodos equivalentes: mientras que la teoría clásica enfatizaba planteos con irreales sistemas NxN y sobre un también irreal equilibrio general, con lenguaje sólo formal, lógico o matemático simbólico pero nunca referidos a casos realistas concretos (al no poder resolver en forma manual problemas con más de 3 ó 4 variables), en MCE se presentaron sistemas de 2x2 (4 variables) generalizables a cientos o miles de variables, resueltos con 6 métodos: diferenciales y operadores de Lagrange, programación lineal por métodos gráfico y Simplex o mediante matrices; adicionalmente a estos, se avanzó con programación lineal y con matrices mediante las aplicaciones simplificadas de Excel (porque es igualmente fácil generalizar para cientos de variables), llegando en todos los ejemplos a similar resultado para los 6 métodos (12 resultados iguales con sus duales). Esta simplificada exposición de casos de 2x2 pero fácilmente generalizables a cientos o miles de variables conformaron parte de la revolución informática, que permitió ir transformando la cosmovisión teórica tradicional al superar las limitaciones de los métodos manuales de resolución. La posibilidad de calcular rápidamente casos de múltiples variables convirtió hoy a la microeconomía en aplicable concretamente a cualquier tipo de empresa; directamente por los estudiantes, no graduados y por los graduados en general (contadores, licenciados o ingenieros industriales), sin ser ahora requerida una especialización adicional en econometría o en ingeniería de procesos de investigación operativa adicionales sobre estos temas; esto en buena medida gracias al Office de Microsoft. 37 La importancia de agregar en estos 6 métodos los procesos con Excel, para Simplex y para matrices, fue que con ellos en el mismo archivo puede el lector resolver por analogía cientos o miles de variables, sin otros conocimientos ni aplicaciones adicionales, ya que esto es lo usualmente requerido en las empresas (en ninguna empresa es posible la estimación y la optimización general con solo una, 2 ó 3 variables). Por otra parte, en MCE además de ejemplos con Excel también se presentan en forma simplificada las aplicaciones efectivas y concretas sobre estos temas mediante otros diez utilitarios diferentes y alternativos a Excel, o para su eventual control en casos necesarios. 3) Estimación de funciones: desde 1995 es fácil mediante correlación múltiple de Excel, con 4, 10 ó 15 variables, e incluyendo el análisis de la varianza, simplificado por Excel y también según lo explicado en MCE. La estimación de funciones está incluida en los programas de microeconomía, pero ningún texto la explica efectivamente (salvo en forma trivial para dos variables lo cual es inaplicable en las empresas), en MCE se encara este tema, que es el más importante en muchas empresas, explicando la estimación por correlación múltiple en forma concreta y efectiva; e incluyendo el imprescindible y fundamental “anova” (hasta Microsoft lo incluyó en su Office con un ejemplo de aplicación sencilla y accesible para no profesionales, referido a la estimación de la demanda de helados con cuatro variables, que permite la aplicación y evaluación anova concretas; y además es generalizable a múltiples variables independientes, facilitando así las tres acosas involucradas en una estimación: la obtención de la función de ajuste, el anova y el posterior pronóstico en sí). 4) Programación con cientos de variables: en MCE se facilita la programación lineal para 50 ó cientos de variables con Solver y otros, cuando la generalidad de los textos solo utilizan tablas “Simplex” con hasta 5 variables. 5) Matrices con Excel: en MCE se expone el uso de matrices con Excel y otros para cientos de variables (en otros textos no hay matrices mayores a 4x4; pero algún ejemplo en Excel contiene aquí 1700 variables). En los años 90 solo se utilizaba en algunos medios el programa TSP (para DOS, hoy Eviews) como control de los cálculos manuales o del reciente Excel cuando existían inquietudes al respecto. 6) Otros 10 utilitarios: en MCE se introdujo la posibilidad efectiva de controlar eventuales fallos en los cálculos con matrices, programación lineal o estimación de funciones con Excel, al facilitar estas aplicaciones mediante efectivas simplificaciones con otros 10 utilitarios diferentes a Excel (SPSS, Eviews, Gams, Tora, Findgraph, Matlab, WinQSP, Lindo, Lingo, Stata); simplificando la enseñanza para procesar cientos o miles de variables en breves párrafos para cada uno (y orientando sobre su adquisición gratuita en la web). Cuando en las universidades solo se utilizaban en microeconomía tablas “Simplex” manualmente; y mientras el Optimizing de Lotus y también el TSP para DOS (hoy Eviews) eran todavía poco conocidos, en MCE se facilitó y promovió el uso de Solver y de matrices con Excel y con otros. La necesidad de contrastar los procedimientos con varios utilitarios es ineludible en los casos reales de múltiples variables. Los análisis clásicos con una, dos o tres variables podrían ser controlados manualmente mediante los diversos métodos analíticos, por ejemplo para asegurarse de que una solución fuese realmente optimizante. Más allá de las meras simplificaciones axiomáticas, el cerebro humano continúa siendo el principal instrumento para estas implementaciones prácticas pero no es suficiente. Resultaba importante en primer lugar asegurar la inclusión en cada problema de todas las restricciones necesarias para concluir una optimización y finalmente disponer del utilitario necesario. Para este nivel introductorio en el análisis científico, el tratamiento comparativo de los problemas con los 6 métodos alternativos según MCE puede ayudar a iniciar estos razonamientos. 38 Pero cuando se presentan mayores cantidades de variables, es más difícil estar seguro de que una solución encontrada sea maximizante; y lamentablemente, todavía no disponemos de una ayuda al respecto en Microsoft u otras empresas. Si las restricciones no están bien planteadas, por ejemplo las diferencias observadas en la optimización con Solver y con Matrices Excel (y quizás en otras estimaciones econométricas), pueden llegar a superar el 50%; de modo que no pueden pasar desapercibidas. Se descarta como aplicable para estos asuntos y análisis empresarios la teoría del “sufficing” según H. Simon (las empresas no operan con la primer solución satisfactoria que tengan a mano, sino que procuran maximizar y optimizar sus recursos y resultados). En las empresas serían inviables errores por esa cuantía, por lo que se intentó prever los medios para evitarlos comparado también con diversos utilitarios para estos estudios de múltiples variables, imposibles de controlar mediante cálculos manuales. 7) Empresa sobredimensionada: en MCE se expone el modelo de la “Empresa industrial sobredimensionada en países en desarrollo”, según el caso efectivamente utilizado ante la ITC y la FTC de los EEUU para defender durante 15 años exportaciones competitivas de chapas de acero de la argentina SOMISA. Para posibilitar la continuidad y mantenimiento de exportaciones siderúrgicas entre 1980 y 1993 se debió explicar en varias oportunidades ante la ITT y la FTC del Dep.of Commerce el funcionamiento competitivo de la “Empresa industrial necesariamente sobredimensionada”, por cuestiones de tecnología de países desarrollados aplicada para países en desarrollo con mercados insuficientes y que entonces necesitan competir en el mercado internacional (con funciones con costo medio hiperbólico y legales descuentos de precio según cantidades, elaboradas con los breves datos legales de las usuales memoria y balance; más las adicionales y consecuentes inspecciones de costos y facturación por funcionarios de los EEUU). 8) Casos de antidumping y countervailing duty: otro aporte de MCE (diferente del modelo anterior para sobredimensionadas) es el uso de casos reales de antidumping y/o countervailing duty, como ejemplos de aplicación efectiva de los principios de microeconomía para la aplicación real de las normas de competencia en la empresa: denuncias de dumping ante la S.Comercio Exterior, con resultado en ocasiones afirmativo contra importaciones dumping y/o subsidiadas que lesionaba la competencia; también la defensas de denuncias presentadas por los EEUU y la CEE); la construcción de tablas de extras de precio competitivas, no objetables por discriminación de precios; y simplificar la obtención de los datos numéricos requeridos legalmente para demostrar la competitividad sin discriminación. 9) Cuatro contextos económicos: en MCE se estructuraron las exposiciones bajo cuatro contextos (cierto, aleatorio, hostil e incierto). El tratamiento de la incertidumbre era plateado tradicionalmente como análisis aleatorios o probabilísticos. En el ámbito microeconómico clásico la exposición se centraba en al análisis sobre seguros o casos análogos, valorados según el criterio de Bayes para el contexto aleatorio, con alguna ponderación personal diferente según la aversión o afición al riesgo del sujeto. En los años 30 Keynes había introducido la consideración masiva del tema de la incertidumbre empresaria; y también Neumann y Morgenstern plantearon su teoría de los juegos, que fue ampliada en 1950 con el análisis de J. Nash sobre estrategias mixtas. Y desde ese año fueron aumentando las exposiciones de otros casos, incluso bajo contextos inciertos no tradicionales, en los cuales la naturaleza no se comporta uniformemente en el ámbito económico. La urna de Pólya (G.Pólya, 1954 Stanford Un.) fue otro llamado de atención, que amplió la consideración de la incertidumbre: se comprobaba que mediante extracciones con reposición en una urna no era cierto esperar resultados proporcionales a la dotación inicial (según la física, la matemática y álgebra, la lógica y el cálculo de probabilidades de Laplace, Boole, etc) sino resultados absolutamente azarosos. 39 El economista y matemático Lorenz aportó por entonces (1961) su rara función logística, la cual ejecutada reiteradamente con aquellos incipientes ordenadores de su época le permitió comprobar que para una aproximación con 3 decimales en el exponente la evolución era potencial en el sentido tradicional esperado. Pero aumentando a cuatro decimales (0,5061) la función se bifurcaba con un comportamiento raro semideterminista (con “fractales” simétricos, autorreproducibles entre dos extremos o “atractores”) y luego pasaba a una evolución totalmente azarosa, absolutamente caótica, para valores del exponente desde o mayores a 0,506127. L. Zadeh en 1965 (Berkeley) también expuso sobre una lógica fuzzy (matemática difusa) mediante planteos con criterios de verdad multivalentes, como para el ejemplo de la contratación de jugadores, en la cual bajo el concepto lógico y matemático tradicional booleano (elegir los altos y con muchos goles) se excluía a uno no alto, de estatura mediana pero que había calificado con todos los goles de la prueba. Varios de estos casos también se ejemplificaron en Excel como modelos de simulación y/o dinámicos. 10) Elasticidad media: la economía clásica estudió detalladamente el comportamiento de la demanda y la clasificación de los bienes según sus elasticidades, que A. Marshall sintetizó en sus Principios Económicos. Giffen amplió este tema con la consideración de los bienes básicos de demanda atípica y Slutsky planteó este análisis matemáticamente diferente, para considerar los efectos de la inflación (efecto sustitución y renta, que en Varian se amplió con el efecto renta-dotación, para explicar por ejemplo el caso de la oferta laboral). Pero en los textos se centran estos análisis en mediciones puntuales, que no permiten obtener conclusiones en las empresas. En MCE este tema se trata como elasticidad media o promedio, simplificando con la realización de un ajuste lineal precio-cantidad en un período prolongado para obtener conclusiones más firmes que con elasticidades puntuales. 11) ¿Es prácticamente útil la ecuación Slutsky? Desde un punto de vista de la práctica empresaria se desprende de estas observaciones anteriores, que las formulaciones y consecuencias obtenibles con la ecuación de Slutsky no son de aplicación práctica en las empresas. La ecuación sirve para clasificar a los bienes (y separar los efectos en sustitución, renta y rentadotación), pero no sirve para medir las elasticidades de las demanda de los bienes. En una maximización de la utilidad, considerando una demanda marshalliana que dependa de dos precios y una renta, se resuelve el lagrangiano y en las condiciones de primer orden se aíslan los términos con variables en el primer miembro, para resolver el sistema por el método de Cramer, de modo que figuren los adjuntos del determinante en el numerador de tres términos. Uno de estos será nulo al momento de calcular el efecto de la variación de algún precio sobre la demanda del bien estudiado, quedarán así las expresiones con los dos conocidos efectos de la ecuación, sustitución y renta. Con ellos se pueden explicar los efectos de las variaciones de precios sobre las demanda de bienes y concluir una clasificación de los bienes, en típicos o de la paradoja Giffen; normales o inferiores (efectos directos); y en sustitutos o complementarios (efectos cruzados). Siguiendo a Varian, la ecuación también se puede aplicar para aislar el efecto renta-dotación, que es útil para explicar conceptualmente la oferta y demanda laboral, o para explicar los criterios en una elección intertemporal consumo-ingreso. Pero, debido a estas mediciones puntuales de la ecuación, no es posible aplicar este esquema para calcular las elasticidades de la demanda de bienes (ya que requieren la continuidad que dan los promedios en períodos prolongados), debido a esto sus aplicaciones empresarias son muy limitadas. 40 Medir las elasticidades según el efecto total, del caso directo o cruzado, o también medir la elasticidad renta según el segundo término resultaría en valores puntuales sin sentido económico para las decisiones empresarias, las cuales suelen adoptarse a partir de mediciones con el criterio estadístico de elasticidad media o promedio. Por otra parte, J. Hicks aportó un procedimiento analítico y geométrico más intuitivo y fácil de aplicar en las empresas para separar conceptualmente los dos primeros efectos y para estas clasificaciones de los bienes. 12) Como obtener funciones y gráficos desde series y viceversa: la simplificación de estos temas implicó comenzar en MCE por ilustrar como obtener las funciones, pero además hacerlo partiendo desde series (y graficarlas) y continuar con utilizar funciones para obtener series. La exposición con papel y lápiz no implica necesariamente una capacidad para el tratamiento efectivo de series y de funciones en la empresa y esta simple práctica en Excel resulta tan imprescindible como la correlación múltiple. 13) Funciones muy complejas: en MCE se expone en forma simplificada (realmente simplificada) como obtener funciones muy complejas y con precisión millonésima, mediante Findgraph (y algunas con Excel), cuando solo se dispone de unos pocos valores concretos reales pero es necesario formular una ley de formación o evolución. 14) Análisis dinámico: el análisis intertemporal en microeconomía, introduciendo retardos en el ajuste de las variables, de modo que el valor actual de una variable dependa de los valores pasados de la misma y/o de otras variables se plantea no solamente para el modelo de la telaraña, sino que también se ven varios ejemplos de procesos estocásticos (aleatorios), de Markov con variaciones discretas a lo largo del tiempo, así como un conjunto de herramientas para la creación de rutinas o simulaciones del comportamiento dinámico en los procesos de ajuste, que van desde el análisis Newton- Raphson hasta el uso de la tecla de reajuste F9, las macros bucle o las iteraciones con Excel 15) Modelo de la Telaraña y su número de períodos: en MCE se expone el modelo de la telaraña pero incluyendo además la medición concreta del número de periodos hasta el ajuste. Los textos de microeconomía incluyen el modelo de la telaraña y mencionan algún ejemplo de su aplicación y cómo las diferentes elasticidades influyen en la velocidad del ajuste: Pero ningún texto explica ni calculó alguna vez el modo de determinar el número concreto de fases necesario para el ajuste hasta el nuevo equilibrio. En MCE se cuantifica fácilmente el número o cantidad concreta de fases necesarias en este modelo dinámico, que pasa así a ser más efectivamente aplicable en la empresa (para explicar la evolución en los mercados de granos, viviendas, jamones, commodities en general u otros con ajuste retardado). 16) Modelos de simulación: en MCE se presentan aplicaciones concretas de estos enfoques mediante fáciles ejemplos en Excel y otros, ilustrando sobre la realización y comprobación de modelos de simulación mediante simples funciones de Excel como =aleatorio( ) y =Si( ; ; ) y otras. Los modelos de simulación, tanto estáticos (como el análisis de la coyuntura de la actividad económica) como dinámicos, son fáciles de implementar en Excel. En diferentes ejemplos se ilustran casos elaborados con solo instrucciones en simples hojas de cálculo; para otros casos se utilizan recursos elementales de Excel, como la posibilidad de iterar celdas o repetir en “bucle” indefinidamente; y en otros se utilizan aplicaciones de Excel, como iterar, =aleatorio, =si( ) y funciones o distribuciones diversas. Existen numerosos programas especializados para econometría y afines, pero Excel también permite además la elaboración de muchos programas complejos mediante la creación de macros automáticas, cuya mecánica también se resume aquí (y esta detallada en el propio utilitario de Microsoft). 17) El problema de identificación: en la microeconomía neoclásica es frecuente plantear el problema de la falta de identificación de las causas de algún problema (E. J. Working, Philadelphia 1927 ). Antes de que ocurra un hecho o un accidente que se ve inminente es posible tener una explicación clara de lo que luego 41 ocurra. Pero si no se dispone de esa visión previa resulta más difícil encontrar o identificar las causas del hecho. Así por ejemplo, en materia estimación de funciones, simplificando aquí el análisis de la varianza y la elección de la función de ajuste y de sus variables independientes; igualmente sobre el tema del equilibrio general, o al menos del equilibrio empresario con muchas variables: en MCE se exponen casos simples y metódicamente generalizables. No se confunde al lector mediante ejemplos con 30 variables como para solo ejercitarlo y que se desgaste en el problema de identificación, cuando en realidad los ejemplos fueron prefabricados mediante tanteos y sucesivas pruebas y error, que aparenten supuesta complejidad de tratamiento conceptual, aunque solo sean en realidad elaboraciones artificiosas sin método explicativo posible. Tal sería el caso de resolver un problema empresario con 30 variables, partiendo de un sistema de 2x2 (que es fácilmente optimizable) para luego ir agregándole sucesivamente restricciones macroeconómicas, que se puedan resolver mentalmente y luego solucionarlas también con Solver (mediante tediosas sesiones de pruebas en hojas de cálculo Excel más Solver, sumaproducto etc) pero que carecen de un método explicable económicamente o con el Office. Por el contrario, en MCE se utilizan y resuelven sistemas de este tipo pero facilitando y simplificando con ejemplos los métodos de resolución. En definitiva, se explica la modelación para optimizar sistemas con múltiples variables (incluso con diferentes utilitarios) exponiendo paso a paso los métodos para programación con Solver, en sus varias alternativas o formas de uso. Adicionalmente, también se facilitó la resolución mediante otros 10 programas alternativos, que son asequibles en la web libres y solo requieren una hora de dedicación (al igual que para estimar funciones con múltiples variables). Con un claro objetivo científico: refutar y desmetaforizar la microeconomía meramente (falsamente) axiomática, que desde hace décadas está impidiendo el progreso científico (por no ser contrastable). La complejidad científica existe a otros niveles de abstracción no microeconómicos y se trata en programación, en matemáticas y en economía, generalmente en forma axiomática y excediendo los requerimientos de la microeconomía como economía de la empresa. Aun así se observan inconsistencias entre los métodos de programación lineal, matrices y de insumoproducto que son evidentes en Excel, en numerosos casos simples fáciles de corroborar, porque presentan en Excel diferente resultado según la herramienta que se adopte; pero por ahora no tienen solución con Excel en estas inconsistencias. Esto también evidencia la imposibilidad de corroborar la consistencia de los planteos macroeconómicos y de enfoques de equilibrio general axiomáticos (lamentablemente, solo fantasías). 18) Métodos científicos: se hace en general mucha referencia a los métodos, pero solo ocasionalmente se aclara sobre métodos para qué. En MCE se trata el tema, separándolos en A) métodos para estudiar: un muy breve comentario sobre la propuesta de Descartes en su Discurso del Método, que en síntesis consiste en recolectar, listar, dividir y analizar los componentes de un tema para luego resumirlo en una síntesis (que para estudiantes se sugirió agregando “a libro cerrado”). B) métodos para informar: identificando las cinco componentes de un informe profesional como identificación; introducción y supuestos; desarrollo detallado explicando los pasos analíticos y su vinculación con la realidad; conclusión sintética; fuentes de información. 42 C) métodos para demostración científica en economía, reseñando los métodos básicos de la deducción y de la inducción y los demás complementarios con detalle bien efectivo. 19) Un error en la microeconomía clásica, el sujeto: se observa en general que muchos ven a la microeconomía como una de estas dos cosas: o bien teoría de la competencia perfecta y del equilibrio general; o bien para otros que piensan que pasa actualmente a ser teoría de los juegos, incertidumbre, etc. En MCE se entiende que ambos puntos de vista se olvidan de la importancia de la investigación operativa y de la econometría como componentes de la microeconomía en el ámbito mayoritario de aplicación, la empresa. La corriente de pensamiento que sigue a Walras, Pareto, Lerner, Arrow y Debreu (sin la crítica de Sonnenschein y otros por las irreales funciones de demanda y producción del modelo) enfatiza la importancia de la ley 2 y la ley 1 de la teoría del bienestar, pero sin resolver la distribución de los beneficios (la Caja de Edgeworth solo explica que uno mejora, pero no puede decirlo sobre los dos, ni quien mejora), ni los problemas por las imperfecciones del mercado, por los bienes públicos, la polución, depredación de recursos naturales, etc. Con Arrow y Debreu y el principio paretiano se insiste en demostrar la ventaja del comercio bajo libre competencia; y detrás de esto se viene en apoyo de la doctrina y políticas librecambistas así como en la de apertura comercial internacional a cualquier precio, costo y desempleo locales; contrarias a la defensa de la industrialización y de las actividades mano de obra intensivas. Presuponen, erróneamente, que la competencia perfecta está siempre presente y entonces el sistema se encarga de actuar como un justo planificador que siempre distribuye con equidad los beneficios de la eficiencia técnica paretiana. Se oculta que ese modelo es solo esto, una idealización teórica basada en supuestos fuertemente irreales; el modelo (exclusivamente) teórico solo demuestra que hay una mejora con aplicación del principio paretiano, pero que no demuestra si ambas partes mejoran con el comercio, quién mejora, ni si siempre corresponde la mejora a una de las partes, excluyendo a la otra de las ventajas de ese comercio, dado que en la realidad no existe tal justo planificador comentado (Amartya Sen y otros aportan sobre la distribución asimétrica del 90% los recursos para el 10% de la población y el 10% de los recursos para el 90% de la población; impidiendo el efecto locomotora de una distribución más equitativa). Sin embargo, también se puede tomar como otro aporte en MCE el haber insistido sobre estos enfoques contrarios a la cosmovisión centrada en el principio paretiano y el equilibrio general o sistemas NxN. Especialmente importante fue disentir sobre el destinatario principal de los estudios microeconómicos, que no es precisamente aquel matemático teórico dedicado a la microeconomía axiomática sino el profesional y el técnico no profesional que actúan mayoritariamente en las empresas. Como una refutación, la microeconomía es vista así como economía de la empresa pero en su “esfera real”, separada de los enfoques financiero contables y también de los modelos efectivamente impracticables. Y es por esto que la investigación operativa y la econometría simplificadas deben ser el centro de atención de la microeconomía en la empresa, tal como se estructuró MCE. 20) Otro error en la microeconomía clásica, las generalizaciones sobre sistemas NxN: igualmente insiste el paradigma neoclásico con los análisis teóricos del equilibrio general y en modelos sobre sistemas NxN, pero no se reconoce que ni aun con los supercomputadores de 2011 existe siquiera un modelo de este tipo en algún país o región, EEUU, la UE, China, Rusia o Japón.. Se limita esta teoría a sistemas con cuatro o pocas variables, que no tienen aplicación microeconómica ni macroeconómica. El paradigma neoclásico, se refiere a metáforas no cuantificables; no es mucho más que lenguaje simbólico (matricial, de la lógica de conjuntos, del análisis aritmético, geométrico o diferencial, etc.) pero que se agota en generalidades, limitadas a cuantificaciones de solo 4 variables, que nunca se formularon ni concretaron para un sistema real de algún país grande o pequeño. 43 Es otra refutación reconocer que tampoco existen equipos informáticos capaces de efectuar esta tarea ni son anticipados para un futuro próximo en ningún continente: La UE apoyó su propaganda anticrisis a fines del 2011 con un proyecto de programación por 1000 millones de euros que incluye 200 equipos de investigación. Pero en los hechos los supercomputadores y la robótica hasta el presente solo tuvieron cabida participando en las crisis de las bolsas de valores con sus masivas operaciones casi instantáneas (High Frequency Trading o HFT, utilizados por brokers en Chicago, Kansas City y Austin). Tampoco entra en la categoría el famoso programa conocido como modelo Black-Scholes-Merton, utilizado por décadas por los especuladores para la valoración de derivados financieros (opciones, forwards, futuros y swaps). Es decir que en materia microeconómica, la programación seguirá por ahora limitada al ámbito de la optimización empresaria (equilibrio parcial). Para Argentina, tanto el sistema internacional CIIU como el sistema comercial e industrial argentino NCM, contemplan un nomenclador de actividades y transacciones (la NCM es compatible con el sistema armonizado internacional) agregado en 96 capítulos, que incluyen un promedio de 100 industrias cada uno: unas 10.000 industrias, con miles de transacciones diarias, que inducen a pensar en 100.000 variables solo para los sectores reales de algún proyecto de sistema de equilibrio general concreto (sin considerar otros condicionamientos reales de las entregas, mercados de futuros e influencia del azar, etc.) . Hasta la fecha estos sistemas siguen inexistentes en el ámbito local así como en el internacional (solo existen algunas matrices de insumo producto, con agregación muy limitada; 120 sectores en un caso argentino). No obstante lo expuesto, no se le resta mérito al enfoque clásico tradicional, por cuanto (acorde al estado del desarrollo instrumental de su época) ha permitido históricamente elaborar varios cientos de principios exitosos para explicar el funcionamiento empresario. De hecho, el enfoque de Microeconomía con Excel (MCE), solo constituye una actualización práctica computacional de esta teoría, para corregir sus distorsiones por identificar teoría con realidad. 21) Visión de la microeconomía como la economía de la empresa: en el origen griego de la economía figuraba etimológicamente la economía doméstica, de la casa del ciudadano griego con sus tierras y esclavos, etc., es decir la empresa de aquella época; pero la ambigüedad de tratamiento micro y macroeconómico persistió durante 25 siglos (y se le agrega hoy la ambigüedad de considerar como casa a la residencia del consumidor). No hubo explicaciones académicas especificando el tema. Tampoco la estadística, la econometría o la investigación operativa reclamaron tal estatus; solo convivieron como extensiones o especializaciones. En algún momento se utilizó inadecuadamente este nombre de economía de la empresa para los enfoques contables y financieros, aunque excluían lo más importante, la esfera de lo real y lo físico microeconómicos. El esquema keynesiano otorgó en 1936 autonomía a la macroeconomía como disciplina independiente del esquema conjunto y microeconómico. En cuanto a la microeconomía, el enfoque explicado en MCE muestra que también la microeconomía adquirió esta característica autónoma a partir de los años 1980/90, gracias al enfoque computacional generalizado en cualquier empresa. Las causas de esta omisión en el enfoque de A. Marshall y demás clásicos fueron aquí comentadas, básicamente su imposibilidad o dificultad de resolver sistemas con más de tres o cuatro variables, frente a los requerimientos multivariantes en los departamentos de las empresas. Esta fue la visión que originó en los 1990 Microeconomía con Excel en Empresas (MCE) como enfoque para el dictado de cursos en la UBA: presentaciones simplificadas con facilidades computacionales, con captación o asimilación abreviada para los técnicos que se desempeñan en los departamentos empresariales. 22) Simplificación de la Teoría de los Juegos, del S.XXI: Cooperativos con TU y efectiva aplicación práctica de los índices de Shapley y Banzhaf con Excel y otros utilitarios; licitaciones /subastas. Optimización Simplex del oligopolio con 3 a 8 empresas. Optimización multiobjetivo y multicriterio con Excel y otros 44 utilitarios. Desmitificación de los misteriosos algoritmos Pareto-eficientes mediante programación concreta al alcance de un curso general de microeconomía. 23) Omisión tradicional en el MIT, LSE, OXFORD Y SALAMANCA En estas consideraciones introductorias previas al resumen sobre la microeconomía clásica se expusieron los principales contenidos microeconómicos según los programas en las instituciones más prestigiosas. Pero, ¿cómo es posible que disponiendo de los conocimientos necesarios no decidieran las principales instituciones ordenar y simplificar el tratamiento de la microeconomía, aislándola de otros aspectos macroeconómicos francamente no vinculados?. Los hechos orientan a concluir directamente que por motivos comerciales (crematísticos) no abandonaron el tratamiento ambiguo micro y macroeconómico, ni simplificaron la microeconomía básica como economía de la empresa (oikos). Además, como la mayoría de las instituciones mundiales copian los programas de las universidades líderes, también perderían su posición líder en el ranking de instituciones culturales prestigiosas si otras instituciones pasaran a capacitar fácilmente y en forma barata sobre economía de la empresa. Como ya se comentó, hasta 1950 no era viable para los economistas resolver problemas con más de tres o cuatro variables; y cuando aparecieron los primeros ordenadores, solamente algunas instituciones y empresas líderes tenían acceso a equipos informáticos con sus programas econométricos o de investigación operativa. Entonces, las instituciones encontraron un nuevo rubro de prestigio y negocios con el dictado de cursos, carreras y maestrías adicionales sobre estos enfoques y aplicaciones. Desde la aparición de Lotus 123, Qpro y luego Excel, así como tantos otros programas y paquetes estadísticos y econométricos, También se amplió el panorama sobre cursos, carreras, maestrías y afines; y las instituciones prestigiosas no renunciaron a esto. Parecería directamente, que no progresó ningún cambio de esquema ni en sus currículas académicas, orientado a ordenar y simplificar el tratamiento microeconómico, porque actuarían en contra de sus intereses comerciales y de manejo del ranking. El MIT y universidades de Massachusetts y otras de EEUU, se impusieron como el centro de las nuevas ideas culturales. Un ejemplo es el reciente enfoque de la Teoría de la Negociación en el MIT, para licitaciones y otros casos de la teoría de los juegos, pero implementándolos computacionalmente y con axiomatización mediante una compleja teoría de conjuntos en una forma no del todo abierta, que quizás también tendría algo que ver con los buenos negocios que se originaron en muchísimos países para algunos sectores empresarios prestadores de crecientes servicios públicos. En este último sentido, los planes de estudio de esta época también parecieran estar respondiendo, en algunos de sus aspectos, a orientaciones impulsadas en la década de 1980 en el ámbito de la OMC y del Banco Mundial, sobre el tratamiento de la educación como un bien transable; así como a los planteamientos del denominado Consenso de Washington, formulado en 1989 por un ex economista del MIT, John Williamson; que finalmente fue extendido desde Latinoamérica hacia el resto del mundo, e incluso internamente en los EEUU luego de la reciente gran crisis financiera: 24) Brecha entre modelación y realidad: Es necesario reconocer que las universidades de Massachusetts son en el s.XXI las mejores del mundo, tanto por la calidad como por la cantidad de los trabajos que allí se emiten. Sin embargo, esto no quiere decir que solamente sea correcto todo lo que allí se dice, ni solo lo que allí se dice. 45 En este sentido se llama la atención sobre una carencia generalizada en la formación y en los textos microeconómicos: los enfoques teóricos presentan para los estudiantes una inexplicación o falta de nexo entre las teorías y la realidad empresaria. Cualquier estudiante puede sentir esta dificultad, al estar imposibilitado para imaginarse como se aplicarían en forma efectiva los conceptos teóricos clásicos en una empresa. Nuevamente está aquí presente, la comentada falta de objetividad en la identificación del destinatario del análisis microeconómicos: no se tiene todavía claro que la microeconomía es básicamente economía de la empresa y los textos no explican esta carencia o tema ausente. En las empresas no se produce solo uno ni solo dos productos, pero las teorías enfocan las soluciones con solo una o dos variables, según las soluciones de Cournot, Marshall, Pareto, Lagrange, etc. y la vinculación con la realidad no es así directa ni evidente para el estudiante. Por otra parte, la programación según Dantzing, Kantorovich y otros facilitó la optimización con cientos o miles de variables, pero aún con Excel se obtienen solamente cantidades de una mezcla óptima y en todo caso el beneficio aportado según los coeficientes y un funcional precalculados. Surge aquí un vacío o falta de nexo entre esta mezcla óptima y los análisis clásicos con solo una o dos variables, sobre ingresos, costos, beneficios o producción y según sean los tipos de mercados competitivos u oligopólicos. Pero, si la clave de esta modelación no estuviera en las propuestas de estos autores, quién o cómo se explicaría el funcionamiento de la empresa?. Simplemente, está faltando una explicación sobre cómo se cierra el circuito conceptual entre estos esquemas y su aplicación efectiva empresaria. El profesional práctico de una empresa debió razonar sobre este nexo; pero un joven estudiante no encuentra en los textos usuales ( Henderson y Q., Baumol, Dorfman S. Solow, Varian, etc) una orientación concreta sobre el nexo entre teoría y práctica. Falta en los textos este “broche de oro”, que una la teoría clásica con la programación y con la realidad concreta; y en este trabajo MCE y cursos se aclara sobre esta vinculación teóríco-práctica y sobre todo, se ofrecen ejemplos reales y concretos sobre ello, sobre la base del análisis del ciclo en el proceso empresarial. 25) MONOPSONIO OLIGOPSONIO CON MAS PRECISION Según la demanda rígida del monopsonio optimiza contratando al nivel de un mínimo costo marginal en el bien o factor. Los textos simplifican la oferta laboral con pendiente positiva (según la teoría retroascendente), pero debieran modelarla como la oferta de cualquier otro bien o servicio, eludiendo la contratación a niveles de gasto ascendentes si la empresa optimiza. CONSENSO DE WASHINGTON ▪ Disciplina presupuestaria (los presupuestos públicos no pueden tener déficit) ▪ Reordenamiento de las prioridades del gasto público de áreas como subsidios (especialmente subsidios indiscriminados) hacia sectores que favorezcan el crecimiento, y servicios para los pobres, como educación, salud pública, investigación e infraestructuras. ▪ Reforma Impositiva (buscar bases imponibles amplias y tipos marginales moderados) ▪ Liberalización financiera, especialmente de los tipos de interés ▪ Un tipo de cambio de la moneda competitivo ▪ Liberalización del comercio internacional (trade liberalization y disminución de barreras aduaneras) ▪ Eliminación de las barreras a las inversiones extranjeras directas ▪ Privatización (venta de las empresas públicas y de los monopolios estatales) ▪ Desregulación de los mercados ▪ Protección de la propiedad privada. DISGRESIÓN MACROECONÓMICA 46 La inclusión en los programas de microeconomía de una reseña macroeconómica es fundamental, dado que las decisiones empresariales son muy sensibles a los cambios de tendencias o dependen del entorno general. Sin embargo, algunos enfoques teóricos han avanzado mucho más allá que esto y cuestionan la separación entre lo macroeconomía y la microeconomía, e incluso pretenden aplicar el principio de eficiencia paretiano y la simplificación del modelo competitivo con sus irreales y teóricos supuestos asignándole validez general nacional e internacional (en este último caso a través del comercio exterior, explicado con la ingenuidad de la Caja de Edgeworth). Si las transacciones guardan el básico y elemental criterio paretiano se está cumpliendo con la maximización del bienestar general, con la eficiencia y óptima determinación y asignación en el consumo, producción, distribución de ingresos y comercio internacional; bajo la estabilidad y pleno empleo del modelo de la competencia perfecta (aunque supone como requisitos fundamentales la atomización, libre movilidad de bienes, empresas y factores, ausencia de monopolios y externalidades negativas en materia de polución, recursos naturales, uso de bienes público, etc.). Nadie puede dudar de la rigurosidad lógica y validez formal deductiva de este enfoque y principios, ya que sus defensores insisten en que se refieren al modelo de la competencia y no a la realidad de la política económica o de la microeconomía, macroeconómica o economía internacional. Sin embargo, esto además de ser falaz es incorrecto científicamente en forma absoluta, según las aclaraciones formales que brinda la filosofía del conocimiento científico: la lógica y la matemática pura no son economía. La economía es una ciencia empírica y requiere que sus principios cumplan ineludiblemente con el criterio de verificabilidad y/o contrastación empírica (Nagel, Popper, Khun), que precisamente no está presente en el cumplimiento de esos supuestos fundamentales en el modelo teórico. Desde el punto de las políticas económicas, es de conocimiento público que esos supuestos no se cumplen (prohibiciones comerciales generalizadas, tanto para bienes como para factores; polución; depredación de recursos naturales etc.). Desde el punto de vista científico, no es sostenible defender el modelo teórico en cuanto tal sin su verificabilidad o contrastabilidad. Sin embargo, esta doctrina microeconómica eficientista tiene una amplia trayectoria. La idea del átomo estaba presente en la antigüedad griega y fue necesario esperar al siglo XX para concretarla y manipularlo. Por este mismo motivo se insiste en una visión del equilibrio general competitivo paretiano: llegará el día en que todos los gobiernos pueden controlar a los monopolio y las externalidades; esta modificación de la realidad conducirá a una situación aplicable según el modelo teórico. Además, algún día existirían unidades computacionales capaces de procesar los necesarios sistemas de ecuaciones NxN, abarcando lo miles de millones de variables necesarias, racionales, ergódicas o no. Este pareciera ser un planteo legítimo. Pero la refutación que se precisa aquí sobre este tema es otra: este enfoque no es microeconomía, sino una digresión macroeconómica por exagerada extensión del objeto estudiado y de los supuestos requeridos. Al menos por mucho tiempo más, el objeto de estudio de la microeconomìa continuará siendo básicamente la unidad individual de producción, la empresa; y el equilibrio general debe ser considerado en microeconomía solo como el análisis de la influencia de las políticas macroeconómicas, sin abarcar la demostración de la eficiencia y equidad del comercio internacional ni del pleno empleo y bienestar general. El equilibrio de la empresa y de la unidad consumidora en diferentes mercados y bajo contextos ciertos y no ergódicos es el objeto de estudio de la microeconomía: La microeconomía clásica brinda métodos y suficientes explicaciones generales, abarcando sistema NxN pero para cientos o miles de variables, que alcanzan a satisfacer las exigencias de la mayoría de las empresas (solo casos de equilibrio parcial) 47 Además, la tradicional programación monousuario (con DBase, Clipper y otros bajo DOS) permite elaborar modelos y programas más complicados, como para tráfico, para semáforos y similares. Pero para la generalidad empresaria, los paquetes computacionales como Excel (y otros 15 que se reseñaron y explican en Microeconomía con Excel) estandarizaron la econometría y la investigación operativa que hoy se requiere para una fácil aplicación concreta de la microeconomía en la empresa. Esto es microeconomía y no aquellos sistemas NxN nacionales o internacionales del bienestar, que solo son digresiones, utopías por ahora irreales y además de índole macroeconómico, que resulta necesario y conveniente conocer y refutar, así como no confundirlas con microeconomía. USO DE FUNCIONES Se utilizan en microeconomía funciones de consumo, demanda, producción, costos, beneficios, etc. pero en ningún texto figura concretamente como se obtienen dicha funciones, no obstante ser un procedimiento asequible en pocos minutos u horas. El origen de esta distorsión reside en que la mayor parte de los economistas escritores no alcanzó a participar de las ventajas de la innovación computacional, que desde 1990 está disponible para técnicos y profesionales de toda empresa; y en forma manual no es posible efectuar esta obtención de funciones, salvo en sus versiones primarias por mínimos cuadrados simples que son insuficientes. Excel (y 15 otros que se exponen en Microeconomía con Excel) explican y tienen estandarizada la correlación múltiple con el correspondiente análisis de la varianza (anova) o bondad del ajustamiento con múltiple variables independientes. El procedimiento es asimilable en una hora. Pero la visión tradicional, sin posibilidades computacionales limitada a solo dos variables, consistía en suponer que existen técnicas econométricas oscuras para especialistas, que serían quienes obtendrían estas funciones que usarían los profesionales en microeconomía (contadores, licenciados, ingenieros industriales) que son los que efectivamente se desempeñarán en las empresas. Pareciera algo como que quien no tiene un rol se lo autofabrica por escondimiento: esa obsoleta visión tradicional también recurrió a distorsionar el contenido de la microeconomía, subrogándolo por una extensión macroeconómica para graduados supuestamente encargados de una modelación solo conceptual y sin vinculación con la realidad económica efectiva. Pero su extensión axiomática fue tan importante, que no puede estar ausente en el contenido de la disciplina. Sin embargo, la realidad indica que la generalidad de los contadores, licenciados o ingenieros industriales debe desempeñar su función en la actividad empresarial; salvo crear una disciplina nueva o con otro nombre que explique el funcionamiento de la unidad de producción o empresa en su esfera real (que no es estadística, econometría ni investigación operativa, solo ampliaciones para análisis específicos). Una asignatura microeconomía abarca todo el campo requerido por la explicación operativa y econométrica para las empresas. Incluye la modelación simbólica (representaciones abreviadas que recurren a la analogía y rigidez formal de la matemática respetando las reglas de la geometría, del análisis diferencial, del álgebra de matrices o de la teoría de conjuntos); también estimación de funciones de demanda y otras (usual por mínimos cuadrados múltiple o por simulaciones de la oferta y demanda globales u otras); también investigación operativa para la optimización múltiples variables (programación lineal y otras); diversos mercados; y nuevos métodos no tradicionales sobre algunos juegos aislados (Neumann-Morgenstern, Nash, Tucker, etc.) y algunos enfoques aislados bajo incertidumbre tradicional (La Place, Bayes) y no ergódica (Bólya, Lorenz, Zadeh, etc) La optimización conceptualmente y con birome era todo lo posible que se podía hacer antes, ya que un limitado procesador de mesa en 1970 costaba aquí 5000 dólares, aproximadamente como su equivalente pequeño mainframe IBM 360 (más un costosísimo mantenimiento), algo como comprar entonces un FIAT 600. 48 Las condiciones de segundo orden, especificadas analógicamente con la concavidad paretiana (referida al requerimiento de curvas de gustos con pendiente negativa o tasa marginal de sustitución decreciente) o expresadas algebraicamente con el hessiano positivo o por las condiciones Khun y Tucker, etc, conformando un conjunto de confusas alternativas (tan solo para explicar los casos de las pocas variables manejables manualmente) que superó la aparición de los clones con el Lotus123, Qpro y ahora Excel y otros para cientos o miles de variables, que recién permiten la optimización efectiva en el ámbito microeconómico empresario (con exclusión aquí de las digresiones macroeconómicas y globales de la economía del bienestar general, inviables o inalcanzables ). 49 TRES POSIBLES ENFOQUES MICROECONOMICOS: 1) ASIGNATURA INTRODUCCION A LA ECONOMIA: En las asignaturas de introducción a la economía es usual algún enfoque basado en demostraciones deductivas, limitadas a planteos geométricos marshallianos y paretianos, sin concretar mediante los correspondientes cálculos analíticos de estas deducciones; ni incluir el otro método científico básico de la inducción estadística. Estos conocimientos aportan ayudas conceptuales pero no habilitan para efectuar las cuantificaciones de la operatoria usual en las empresas. 2) MICROECONOMIA INTERMEDIA: En las asignaturas de microeconomía a nivel intermedio, el enfoque marshalliano y paretiano se completa con el de otras teorías y diversos métodos, incluyendo en todos los principios la cuantificación específica mediante la metodología matemática existente: el cálculo matemático diferencial, el de Lagrange, con álgebra matricial, con programación lineal y otras que son de uso general no muy especializado; así como con otros numerosos análisis “puntuales” sobre teorías de juegos y de la incertidumbre, teoría espacial, etc.. Este enfoque intermedio con su versión computacional conforma en conjunto un marco aplicable a la cuantificación efectiva diaria en las empresas. 3) ENFOQUE AXIOMATICO, MICROECONOMIA SUPERIOR: Recurre a la simbología matemática de la teoría de los conjuntos, que como lenguaje lógico permitiría un rigor para las generalizaciones en algunos sistemas particulares y en otros supuestamente generales, de tipo NxN variables (globales para millones de variables), utilizando supuestos irreales o ilógicos como especialmente el de ser solo análisis formales, sin abarcar o referirse a alguna realidad económica concreta. Sus planteos pueden ser así formalmente lógicos, pero son en lo económico científicamente inconsistentes, por ser meramente ideales, in verificables e incontrastables. Pueden ser incluidos capítulos sobre teoría de los juegos, con análisis complejos para algunos casos aislados, que por sí no conforman una teoría general. También se suelen incluir estimación y modelación con múltiples variables mediante programación informática. Pero las teorías implican un lenguaje lógico, que puede ser solo axiomático en el caso de las disciplinas puras no aplicadas a la realidad empírica (como la lógica y la matemática en tanto pura) y que para ser científicas, en el caso de las disciplinas empíricas como la economía deben de ser verificables o contrastables además de formalmente lógicas. También incluyen modelos (ecuaciones, ideas o metáforas definidoras de alguna propuesta, incluso gráficos o maquetas como la hidráulica para referirse a la circularidad y equilibrio económico. Una visión cree que la economía debe priorizar la modelación de situaciones, pero incluso aún a costa de introducir irreales supuestos relevantes, que convierten sus propuestas en no económicas y no científicas. Impregnan los textos económicos clásicos; basan sus enfoques en la lógica y la matemática puras, sin vinculación con la realidad ni la economía; desvirtuando el contenido de la economía. Este enfoque tiene su razón de ser en el lento avance del conocimiento científico, que hasta fines del siglo XX impedía resolver problemas con más dos o pocas variables en las empresas. La formalización de teorías es necesaria e imprescindible, pero cuidando no confundirse: siempre debe corresponder a teorías económicas que, para ser tales y científicas, necesitan superar la prueba de la verificabilidad o contrastación empíricas (en los términos de R. Karnap, T.Nagel, K.Popper o T.Khun). No hay 50 economía formal; hay lógica y hay matemática, pero en cuanto aplicadas a la economía, pasan a ser empíricas y necesitan esa prueba de la verificabilidad o contrastación. TEMAS FUNDAMENTALES PARA UN CURSO GENERAL DE MICROECONOMÍA Al menos se deberían abarcar: 1) sistema económico (teorías y realidad histórica); circularidad económica (clásicos, keynesianos). 2) Elasticidad según tipos de bienes (incluyendo elasticidad media con Excel); ingresos con sus 8 conceptos previos necesarios (Relaciones Total-medio-y marginal, máximo y mínimo, doble pendiente del ingreso marginal, tangente y pendiente, recta por 2 puntos, elasticidad y precios, A-Robinson, costo nulo a cortísimo plazo). 3) estabilidad estática y dinámica, modelos de simulación de la Of.yDemanda global para estimar la demanda; estimación de funciones por correlación múltiple con N variables independientes con anova. 4) programación lineal simplex y con Solver de Excel para N variables. 5) tres teorías de la demanda, con métodos diferencial, combinada de Lagrange, con Slutsky; números índice de nivel de vida, Laspayres y Paasche. 6) producción y costos con 1 y con 2 variables (relaciones entre el Total, el medio y el marginal); matrices NxN con Excel; equilibrio y diversos objetivos; inventarios; tipos de acciones; van y tir con Excel; 6 métodos equivalentes en una hoja Excel (2x2 con Lagrange, método gráfico, Simplex, matrices, Solver y matrices con Excel) 7) competencia, monopolio puro, discriminador, múltiplefactoria, 3 casos de duopolio, Sweezy, Stackelberg, cartel, casos de Hotelling, Bain, Sylos Lavini o Modigliani; von Thünen; empresa Sobredimensionada exportadora. 8) criterio de distribución en competencia, monopsonio, monopolio y bilateral. 9) teoría de los juegos de suma cero, estrategias mixtas sin y con colusión (Prisionero y Stackelberg), juegos repetidos con cálculo de dominancia y con programación lineal Simplex. 10) Matriz I-P; modelo de 2x2 y NxN; Ley de Say y de Walras, Equilibrio parcial vs. general, Caja de Edgeworth y Dos leyes Arrow y Debreu, junto con sus críticas; Sonneschein y Amartya Sen, ESR. Pero, ¿cómo hacer para dictar tanto y para tomar exámenes concluyentes (y estudiar) en tan poco tiempo? Son necesarios sin duda algunos atajos, que brinda la práctica, como utilizar conjuntamente métodos similares para el consumo, producción y otros, como sintetizar esquemas y utilizar paralelamente herramental computacional estandarizado, etc. Estas dudas y consultas son legítimas. También cuando alguien propone enfatizar alguna teoría en demasía de tratamiento, que el tiempo limitado no permite a profesores ni a alumnos dedicar con dicha intensidad para el resto de los temas del programa (salvo abandono de alguno, lo cual resulta inaceptable). Una solución práctica debería considerar cuales son hoy los requerimientos empresariales básicos. PARA QUÉ SE ESTUDIA MICROECONOMIA 51 Algunas experiencias en la actividad empresarial suministran ejemplos de aplicación concreta de la microeconomía a nivel intermedio: Estudio del mercado y pronóstico de demanda por producto, básicamente mediante correlación múltiple con anova. Pronosticar la demanda propia mediante modelos de simulación de la oferta y demanda globales y análisis de la coyuntura sobre los sectores demandantes. Optimización en cada línea de producción de bienes así como en el conjunto o equilibrio de la empresa, mediante matrices y programación lineal u otras (incluyendo la actualizada y simplificada teoría de los juegos computacional del s.XXI). Seguimiento periódico de los costos por producto, sus precios y su contribución marginal Planificación de inventarios óptimos. Evaluación financiera de nuevos proyectos en productos o insumos (quizás incluyendo la de empresas). Seguimiento de precios y de costos de la competencia local y externa, como vigilancia sobre la defensa de la competencia, la discriminación de precios o mercados y el dumping /subsidios. Igualmente, defensa ante investigaciones o denuncias por exportaciones competitivas. Elaboración del modelo competitivo de la empresa o sector, como ser para empresas sobredimensionadas que actúen competitivamente en el mercado exterior sin bloqueos antidumping. Seguimiento (con Boletín Oficial y otros) del efecto de cada disposición legal sobre las diversas áreas de la empresa (precios, comercial, laboral, seguros, tarifas, etc) y eventuales reclamos a través de las cámara sectoriales, bajo la óptica de la legislación internacional (OMC) según el modelo competitivo tratado en esta asignatura. Representación de la empresa ante las obligatorias cámaras respectivas, en materia comercial, estadística, laboral, comercio exterior, etc. manteniendo un modelo competitivo integral. OTRO PROGRAMA ACTUALIZADO DE MICROECONOMIA Al final de este libro se presentó un análisis, resumido como una ausencia de un “broche de oro”. Considerando esa falencia fundamental en los enfoques académicos, otro posible ordenamiento y prioridades algo diferentes que los usuales, podrían surgir de la microeconomía que se practicaba en SOMISA. Las etapas del proceso empresario anual se resumían (habría que hacer una distinción entre una empresa ya establecida y otra que se estuviera iniciando), según aquella experiencia adquirida y practicada como sigue: a) Si la empresa está establecida ya conoce el rubro al cual se está dedicando y en este caso, la secuencia pudiera ser pronóstico de demanda para el período, análisis de existencias de insumos y productos, compra de materias primas y otros, producción, venta y marketing. 52 b) Si la empresa fuera nueva, el proceso debería anteponer a lo anterior una etapa previa de selección, mediante la programación lineal o afines, para determinar la mezcla óptima o el producto relevante (una evaluación completa del plan de negocios) y luego continuar con esas etapas del proceso. La secuencia pudiera variar según el rubro de actividad industrial, comercial; tipo de bienes de consumo perecedero, durable, insumos diversos, servicios tangibles o intangibles, etc.; o si la firma dependiera de un proveedor principal o de un cliente principal cautivo. Pero la dirección de la empresa necesita disponer de un plan de acción, por ejemplo mediante diagramas de Gantt para controlar las fechas y el cumplimiento de las etapas. En este sentido, un programa de enseñanza universitaria de microeconomía podría seguir este ordenamiento y prioridades: comenzaría con programación lineal y afines (matrices, simulaciones, etc.); seguiría con pronósticos de demanda y estudios de mercado (regresiones y correlaciones lineales y múltiples, simulaciones); luego inventarios óptimos; compras, producción, ventas y marketing; defensa de la competencia. Una visión actualizada quizás debiera dedicarle menor intensidad al enfoque tradicional clásico sobre demanda, sin profusión de enfoques analíticos, geométricos, axiomáticos y con mayor énfasis en la programación lineal y simulaciones. Una vez que con la programación lineal u otras se determinó cual es el rubro que conviene producir, resultará imprescindible continuar desarrollando algún análisis con una y dos variables clásicos (sobre ingresos, costos, producción, beneficios), suficientes para poder resumir y precisar el proyecto o plan de negocios a la dirección. Y este enfoque tradicional puede ser complementado con la teoría de los juegos, para precisar mejor alguna situación competitiva, según sean los tipos de mercados. Al menos, para un estudiante, que necesita comprender como el conjunto del panorama teórico refleja la realidad, pudiera ser más interesante presentar este ejemplo de ordenamiento conceptual sobre el contenido microeconómico concreto, frente a las presentaciones usuales, con varios tipos de análisis alternativos, que enfatizan diversos enfoques analíticos, axiomáticos, de conjuntos u otros, pero para explicar siempre lo mismo (generalmente solo enfoques parciales con una o dos variables) y no siempre con mucha conexión directa con lo requerido en la empresa. ETAPAS DE UN EJERCICIO EMPRESARIO Anualmente, en un diagrama de Gantt con las fechas orientativas para planificar y el control de cada tarea: 53 1) Determinación de la mezcla física óptima a producir, mediante programación lineal. 2) Estimación de la demanda para el próximo periodo (estudio de mercado) por correlación múltiple y modelos de simulación de la oferta y demanda global 3) Recuento de existencias (stocks) de materias primas, materiales y productos elaborados (y análisis de inventarios óptimos). 4) Compra de materias primas y materiales a requerir (costos, etc) 5) Producción (maximización, con 1 y 2 variables). 6) Ventas y marketing (teorías demanda, negociación / regateo/bargains, licitaciones/subastas, incertidumbre, etc.) 7) Defensa de la competencia y seguimiento antidumping Corresponde finalmente el uso de la teoría clásica con una o dos variables. La dirección puede necesitar esta modelación simplificada a solo una variable (el promedio aproximado de todo el mix óptimo del primer punto) para fijar una estrategia de competencia, según sea el mercado (competitivo, oligopólico, cartel, etc.); e incluso necesitará esta simplificación clásica para poder afinar estrategias utilizando la reciente teoría de los juegos (competitivos y/o colaborativos). Esta determinación del punto de equilibrio clásico (con una o dos variables y según el producto representativo de la mezcla física óptima), también para evaluar la optimización financiera (evaluación de proyectos, según el VAN, la TIR, etc.) Este tema del ordenamiento no es una cuestión de grado sino de orden (no es cuestión de grado, nivel o intensidad sino de cambio de idea conceptual); y se justifica ya que la bibliografía general omitió explicar que las teorías con solo una o dos variables fueron directamente inaplicables en las empresas 54 (siempre sujetas realmente a decenas de variables). No se enfrentó ni se aclaró la crítica tradicional hasta muy avanzado el s.XX sobre una falta de aplicación concreta de la microeconomía real en las empresas; al menos hasta que en ellas fue posible resolver sistemas con múltiples variables (con PC). Y además, faltó aclarar y ordenar esta idea y programas como economía de la empresa y según las etapas del ciclo o proceso empresario. Una solución al dilema didáctico del huevo o la gallina se encara aquí siguiendo un ordenamiento según las etapas del planeamiento de un ejercicio empresario; por este motivo se ven métodos y conceptos que hacen al equilibrio empresario antes que el equilibrio del mercado (según se hacía en los textos anteriores); además, otros análisis como el de la información imperfecta se desdoblan según los temas de mercado, teoría de los juegos o economía del bienestar, etc. Facilita el cambio que la presentación tipo .pdf permite el uso del útil buscador Cntrl + F; y se agregó un índice temático inicial y otro alfabético final) CAPITULO 1 EL PROBLEMA ECONÓMICO: ¿QUÉ, PARA QUIÉN Y CÓMO PRODUCIR?: Como una orientación inicial para un tratamiento posterior que siga las etapas de un ejercicio empresarial, el enfoque clásico aporta las respuestas a estas preguntas básicas, explicando que surgen de la propia naturaleza de todo lo económico: la confrontación entre recursos siempre escasos (y de uso alternativo) con múltiples necesidades. Esta respuesta clásica es producir según el mayor beneficio; para el demandante que pueda comprar; con el criterio eficientista paretiano, bajo la orientación de los precios (aunque nuevos enfoques cuestionan estas respuestas tradicionales). Tradicionalmente, el sistema de libre mercado se encarga de responder a estas tres preguntas, a través de los precios altos/bajos del mercado, .para bienes y servicios (incluso salarios). Históricamente ha fracasado la utópica y perjudicial digitalización de los precios y salarios gubernamentales del socialismo (pero esto para nada quiere decir que no deba haber controles y regulaciones de los gobiernos). En esta unidad introductoria se estudia principalmente los temas sistema económico y el circuito económico. El sistema liberal (con monetarismo vs. keynesianos) como paradigmas (se vincula con la Unidad 10 también referida a estos temas macro) porque influyen y condicionan a las empresas. Nota: es esta la explicación tradicional o clásica hasta el presente, que corresponde a un enfoque económico (pero no microeconómico). Los economistas clásicos no pudieron (sin PC) resolver sistemas con más de 2´o 3 variables hasta hace pocas décadas y por lo tanto soslayaron el hecho fundamental, que la microeconomía es en realidad primordialmente economía de la empresa. Entonces, la respuesta a estas preguntas qué, para quién y cómo producir surgen hoy con la aplicación de una técnica algebraica moderna (programación lineal y afines), que se explicaba generalmente avanzados 55 o hacia el final de estos cursos, durante el tratamientos de diversos métodos de programación (sin referirnos aquí a las nuevas teorías y enfoques que aportan una visión social y ambiental). Efectivamente, la programación lineal permite ahora resolver (con PC) cual es la mezcla óptima de productos a la cual se debe dedicar una empresa. Una vez que la empresa sabe qué va a producir, puede luego continuar con las demás etapas del ciclo o proceso en cada ejercicio empresarial (estimar esas demandas; calcular las existencias y la compra de materiales necesarios; producir; venta y marketing, defensa de la competencia) SISTEMAS ECONÓMICOS: Leyes, instituciones, mecanismos que tiene cada organización económica (país /región de un país /o de países). Ejemplos, economías capitalistas de mercado libre; economias centralizadas/ socialistas; y la realidad, generalmente economías mixtas con un 40/50% de participación estatal (y un 50% de captación como impuestos y tasas) En las economías de mercado y/o mixtas los precios los fija el mercado libre y también los salarios así, según el "valor de Producto Marginal". Tampoco hay muchos controles al comercio exterior, teóricamente (en la práctica todos lo controlan rígidamente). En muchos países los sectores económicos (financieros y otros) insisten en aplicar esta doctrina sin controles gubernamentales para reforzar sus beneficios sectoriales. En las economías de mercado el precio deber ser único para el mismo producto: es ilegal discriminar precios (se denuncia por competencia desleal ante la Org. Mundial de Comercio y/o cada gobierno) por precios predatorios para quitarle el mercado a otros competidores En las economías dirigistas /planificadas /estatizadas los precios los fija el gobierno, así como los salarios, que son según el promedio socialmente considerado razonable (idea de Marx). No hay propiedad privada y tienen un rígido control del comercio exterior. Pero ante la burocracia, la falta de productividad y competitividad y exceso de gastos improductivos desaparecieron todos los países socialistas. Sistema económico: socialismo o capitalismo (economías mixtas )? Además, históricamente hubo siempre sistemas reales, no teóricos. El sistema funcionaba en todos los países conteniendo: leyes, instituciones como mercados, asalariados, reconocimiento de la propiedad privada, herencia, gobierno y estado para algunas funciones que los particulares no pueden ofrecer (ejército, policía, puentes, caminos, hospitales, sociales....) etc. En 1776 surgió la idea de sistema económico liberal como teoría. Poco después Marx escribió El Capital con otra teoría opuesta; y en 1921 Rusia adoptó ese socialismo. Pero desde la Perestroika se derrumbó la URSS (el sábado anterior vi en Clarín la foto de Yeltsin apuntando con el debo a Gorbachov el camino de la puerta de salida!, tal como lo vimos todos en 1989, en TV gracias a la globalización...). En el socialismo de la URSS y China, el estado hasta 1985 desarrollaba el 80% de la actividad económica, era dueño de la tierra, capitales y bienes de producción, y administraba todos los mercados fijando precios según el interés social que consideraban los funcionarios... etc. China ya se había convencido antes del derrumbe del socialismo ruso, porque tenía la provincia de HongKong (entonces con gobierno inglés) muy prospera y comenzó a liberar en 1978 la economía del enorme y próspero sur, Shanghái. Y hoy casi todo está liberado, pero como son más ordenados que nosotros y los rusos, avanzan progresivamente, evitando la corrupción y entrega a mafias y grupos empresarios locales o mundiales. 56 Lo importantes es que en el sistema económico capitalista actual, el estado dejó el rol de guía de negocios al mecanismo de los precio del mercado de libre competencia (la ley local e internacional de la libre competencia es muy breve.... y mayormente solo sigue las pautas que estudiaremos aquí para el modelo de competencia perfecta!). En octubre2008 ocurrió algo parecido a un derrumbe del sistema liberal irrestricto sin controles estatales. Fue evidente que son imprescindibles los controles de la teoría extrema. La libre competencia sigue el modelo de Adam Smith, en la Riqueza de las Naciones, 1776 Londres: el estado no debe conducir ni organizar la economía, ya que funciona una “mano invisible” que coordina los mercados (los precios...). Y siempre habrá pleno empleo.... (según J. B. Say en 1803 que confirmó esto con su ley: “toda oferta crea su propia demanda”: ∑Of =∑Dem, siempre bajo pleno empleo.... También J. S. Mill, otro escoces como A.Smith y D. Ricardo, con su interpretación de la “teoría cuantitativa de la moneda”: M=pT: explicó poco después, que la cantidad de moneda M es igual al nivel de precios P por el volumen de transacciones T (si estas estuvieran fijas y solo cambiara la cantidad de dinero M entonces solo aumentarían los precios (inflación)... pero siempre habría pleno empleo (falso!….) Falso, según lo vio J. M. Keynes en su Teoría General del empleo, Londres 1934: la crisis mundial de 1929 ocurrió por la desconfianza de los empresarios en la bolsa de valores (expectativas empresarias, negativas por la incertidumbre): dejaron de comprar acciones y materiales por temor y esto confirmo esa crisis .... y hubo equilibrio.... pero sin PLENO empleo....(hambre, muertes) Desde entonces el liberalismo monetarista no usa más la ley de Say sino la identidad de Leon Walras (Paris 1874): la sumatoria de todos menos un mercado puede estar en equilibrio, igual que el restante (el del dinero). Puede, pero no necesariamente ocurrirá; o sea, sumatoria: ∑p(D – O) = 0 es decir con excedente de demanda nulo.... Pero solo bajo ciertas condiciones y precios se dara ese equilibrio con PLENO empleo...!!! (solo con una emisión baja y tasa de interés alta ..... Una buena ventaja para los sectores financieros) En las economías de mercado el precio debe ser único para el mismo producto: es ilegal discriminar precios (se denuncia esta competencia desleal ante la Org. Mundial de Comercio y/o cada gobierno) por precios predatorios o dumping para quitarle el mercado a otros competidores. CIRCUITO ECONOMICO: Otra idea fundamental es la del circuito económico: que viene de F. Quesnay (La Tabla Económica-, médico de la corte en Paris, 1758): su idea medica de circulación de la sangre en los cerdos, entre corazón, pulmón y riñones....la veía como los flujos de ingresos y productos en los países: agricultores que crean riqueza, pagan rentas a propietarios terratenientes, clero y nobleza (gobierno) y los artesanos comercian, etc.... circulando bienes y dinero permanentemente...... Esta metáfora sanguínea del cerdo es su modelo o maqueta para ejemplificar el circuito económico....Fue el primer modelo científico.... (la “mano invisible” (precios) de A. Smith sería el segundo modelo científico…). Antes había ciencia pero no se usaban teorías con sus modelos sino razonamientos lógicos y matemáticos, sin recurrir a metáforas ni ejemplos (modelos). Hoy se le dice científico a lo que también usa 57 teorías con modelos....(relatos lógicos con ejemplos ). Interesa que el razonamiento sea lógico sin contradicciones (por esto se usan los modelos matemáticos y los gráficos) porque son rigurosos.... Pero es necesario explicarlos como tipo informe (con introducción de supuestos, desarrollo vinculando lo matemático con los hechos económicos reales y conclusión remarcando que se dijo y que es o no es o no cumple....), además de contrastarlos con la realidad. Circularidad de la renta nacional, es un tema más macro que micro. Producto nacional (local e importado) = Ingreso nacional (salarios y beneficios).... o lo mismo con otro ángulo o punto de vista o de medición: Producto +importaciones = consumo + ahorro (o su inversión) +exportaciones (el consumo de lo nuestro en otros países) Pero en micro también se cumple esto: ustedes ofrecen servicio de trabajo y les abonan salarios con los cuales adquieren bienes. Estas son cuestiones macro que se vuelven a ver en la unidad 10 ....... porque nuestra asignatura micro1 es en realidad economía de la empresa .... en las cuales influye o se encuadran bajo los condicionantes macro.... y... bajo leyes según las condiciones de la competencia perfecta... (la cual casi nadie cumple, pero todos quieren que los demás cumplan...., tanto personas como países)....... Esta es la cuestión básica general, tanto hoy como bajo las 3 invasiones inglesas al Rio de la Plata (Macnamara, 1762 ; Beresford 1806 y Whitelock 1807.... que en sus 40 días, abolieron los derechos de importación del 38% y pusieron 12,5% ... pero para los productos ingleses... y 18 % para los de otros países!!! Todo pasa por el comercio y los pesos!!! Ayer igual que hoy, en todo el mundo.... Pero, como las invasiones no dieron resultado, después de perder el Reino Unido la gran colonia EEUU, intentaron invadir aquí (etc.) y les quitaron Sudáfrica a los holandeses, tomaron la India..... Como esto era muy costoso e improductivo y era más barato apoyarse inventando teorías (o relatos convincentes para el público, funcionarios corruptos y hombres de ciencia), utilizaron las teorías (con modelos como ejemplos... o ideas básicas, metáforas, o símbolos, como simples ecuaciones), que se quedaron como aportes interesantes para el ámbito científico; y en esta asignatura estudiamos la modelación científica además de la optimización de la empresa. 58 Conceptos básicos Otros temas iniciales del programa; solo interesan para poder interpretar las teoría siguientes; pero pueden captarlos con solo lectura en los textos o en la web; y solo se resumen aquí: Agentes económicos.: consumidor; productor/empresa; propietarios de los medios de producción (a veces los consumidores / trabajadores también son los accionistas propietarios) Bienes económicos: los bienes son cosas útiles para algo; los bienes libres son superabundantes (aire); los bienes económicos son escasos y de uso alternativo; pueden ser bienes físicos, servicios tangibles e intangibles (que se suelen clasificar como bienes de consumo, bienes de uso intermedio o insumos; de inversión, etc.) Factores productivos (insumos empresarios): trabajo y capital (tierra y empresario están incluidos en capital); sus remuneraciones: salarios y beneficios. Mercados de factores (trabajo y capital) y de productos (bienes y servicios reales como transporte, electricidad, gas, agua, cloacas); o mercados financieros (banca, finanzas, seguros, bolsa, bonos, servicios intangibles) Sectores económicos: Primario (agricultura ganadería, pesca, minería y energéticos). Secundario: industrias manufactureras + industria de la Construcción (privada y pública). Sector externos (importaciones / exportaciones de bienes) y balanza de pagos (con préstamos, intereses etc.) Gustos y tecnología: los gustos del comprador condicionan la demanda; la tecnología de proceso y de productos modifica los costos en la empresa. Necesidades: pueden ser de tipo afectivo, cognoscitivas, etc.; pero nos interesan las materiales (vinculadas a las cosas a poseer o relacionarse con ellas) Microeconomía, contenido: consumidor, productor, aisladamente: precios, cantidades de algo concreto; oferta, demanda; vs. Macroeconomía: sectores económicos; agregados nacionales: PIB; Balanza de Pagos; ingreso nacional; pero no hay una separación estricta entre estos dos enfoques. Variables: es cualquier magnitud "medible" (no así la bondad o la maldad, no medibles); endógenas si las decide el agente (como cantidad de horas a estudiar); exógenas si las decide el mercado, gobierno o naturaleza (como los precios; la lluvia). Independiente vs. dependiente de aquella (usualmente la cantidad es dependiente de cual sea el precio en el marcado; pero depende de cual sea el tipo de bienes, ya que en los bienes públicos verán que es al revés.... Variable dependiente e independiente, explícita o implícita.....Ej. la demanda suele abreviarse como una ecuación, a la izquierda la X o cantidad; a la derecha una relación con los precios u otras cosas o no. Los precios son la variable independiente (porque no la maneja uno sino el mercado. La cantidad X es la dependiente. Forma explícita, con la variable dependiente aislada en el 1er.miembro; implícita, con la dependiente en el 2do.miembro, junto con otras variables y coeficientes. Al estar X sola a la izquierda esta explicita, mientas que la otra, precios, a la derecha está vinculada con otros coeficientes (implícita).... Verán un ejemplo concreto: bienes privados y bienes públicos. Su demanda agregada se calcula sumando las ecuaciones de todos los compradores........ pero en los bienes privados usamos la forma explícita X = a + o – bP..... con la variable independiente a la derecha....Los precios, son la independiente, autónoma...., en general es así. 59 Pero en los bienes públicos, aquellos que ofrece el estado y siempre garantiza suficiente cantidad ofrecida para todos (el consumo de cada uno no es rival del otro) sumamos al revés, con funciones implícitas P = a + o – bX.... con la cantidad X como variable implícita ... ya que es la autónoma, asegurada por el estado (aunque todos la paguemos luego vía impuestos)..... Variables flujo (salarios mensuales); variables stock/existencia (el patrimonio de alguien) Ecuación vs. identidad: en la ecuación ambos miembros solo son iguales para algún(s) valor de alguna variable. En la identidad siempre lo son (para todo valor de ella). Teoría económica. vs. realidad: la teoría trata de explicar la realidad utilizando ejemplos y modelos, como ecuaciones; puede haber un planteo positivista (científico, argumentado, con conclusiones solo probables /estocásticas); o bien un planteo /enfoque determinístico (si no hay argumentaciones sino imposiciones por razones sociales, históricas, nacionalistas, etc. Interesa tener esto en cuenta para no confundir el modelo de la competencia perfecta (que es la base de las leyes comerciales) con la realidad (impregnada de conductas monopólicas, corrupción y falta de transparencia, ya que el principio hedónico –o máximo beneficio con mínimo esfuerzo- es una motivación muy importante en las personas, aunque no es la única según enfatiza esta teoría clásica liberal) DEMANDA Y OFERTA DEL MERCADO: Comenzamos introduciéndonos en el largo tema de la demanda, (unidades 2, 3 y 5)....ya que este tema es lo que más le interesa a la empresa....(dirigir, coordinar, producir lo hace cualquier contador o ingeniero.... pero conseguir clientes es lo más difícil y valorado.....o sea aquí saber cuál va a ser la efectiva demanda mañana .... es una cuestión vital en la empresa.....Todo es importante, pero esto es además vital y si se equivocan quiebra la empresa. Por eso también se estudia la demanda en la unidad 5 desde el punto de vista psicológico y bajo otros aspectos que influyen en el consumidor.... Aquí en la unidad 2 y 3 veremos la agregación y los métodos estadísticos para pronosticar la demanda, pero estos con enfoque profesional directamente aplicable en la empresa (gracias a Excel y sus funciones especiales de Análisis.... actualizadas a los años 2000! (y sin atraso tecnológico como todavía se ve bastante por ahí-... según la experiencia de 30 años en las mayores empresas industriales argentinas, productoras y exportadoras (que debieron recurrir a veces a los servicios de un profesor de microeconomía para defender su mercado local aquí y en otros países, contra ataques de empresas mundiales que las denunciaban por prácticas no competitivas.... o sea, alejadas del modelo microeconómico de la competencia perfecta... para quitarle astutamente su mercado sin esforzarse mucho en ser competitivas, según veremos luego, junto con esas técnicas de defensa de la competencia.... y cuáles son los ataques usuales de firmas americanas o europeas ...) Por ahora solo caracterizaremos a la demanda del mercado, abarcando tanto datos pasados como futuros (exante y expost), según la unidad de tiempo... pueden ser las ventas o compras de los últimos meses, también lo de hoy o lo que pensamos vender, comprar el próximo mes o año. Su variable dependiente, generalmente la cantidad.... y la independiente, generalmente el precio...en los bienes privados ( pero al revés en los bienes públicos). Distinguimos - la ley sicológica de la demanda: si sube el precio compro menos bienes típicos (salvo en los casos raros estudiados por Giffen sobre bienes básicos como papas, pan, fideos....); - la tabla de demanda dos precios y dos cantidades; - la línea o curva de demanda; - la ecuación o función de demanda Q = f(p) explicita y/o su equivalente implícita p = g(Q), que expresan la idea del precio y cantidad para toda la gama de la línea (según sea el p cambia la q) 60 Pero en la unidad 5 estudiaremos a fondo cual es el supuesto sicológico que fundamenta la demanda.... En esta unidad 2 vemos la demanda del mercado y para reunir (agregar) a todos los compradores hay que hacer sumas horizontales (con funciones explicitas) si se trata de la generalidad de los bienes (los privados). Si fuera un caso de bienes públicos (los ofrecidos por el estado, que siempre garantiza el suministro y el consumo de cada uno no afecta al de los demás) habría que hacer suma vertical, con funciones implícitas. Una vez agregada la demanda calculamos el equilibrio por intersección de Dem. y Of., o sea igualando D = O ......como ya se vio en la asignatura principios de economía. EJERCICIOS EQUILIBRIO DEL MERCADO : Dadas: Qd = -(1/10) P + 500 y Qo = (1/5) P - 100 Determinar gráfica y analíticamente el precio y la cantidad de equilibrio. D=O -(1/10) P + 500 = (1/5) P - 100 500 + 100 = (1/5) p + (1/10) P 600 = (3/10) P 2000 = P Según Qd o Qo la cantidad de equilibrio = (1/5) * 2000 – 100 = 300 Ejemplo 2: Si hay 10.000 individuos idénticos en el mercado del artículo X, cada uno con una función de demanda dada por Qdx = 12 - 2 Px y 1.000 productores idénticos del producto X, cada uno con una función dada por Qsx = 20 Px a) Encuentre la función de demanda en el mercado y la proyección de oferta del mercado del artículo X. b) Encuentre la proyección de demanda en el mercado y la proyección de oferta del mercado del artículo X, y con base en ellas, encuentre el precio de equilibrio y la cantidad de equilibrio. c) Dibuje sobre un sistema de ejes la curva de demanda y la curva de oferta en el mercado para el articulo X e indicar el punto de equilibrio. d) Obtenga el precio de equilibrio y la cantidad de equilibrio matemáticamente. a) Qdx = 10.000 (12 - 2Px), = 120.000 - 20.000 Px, Qox = 1.000 (20 Px), = 20.000 Px 61 AGREGACION DE LAS DEMANDAS Y OFERTAS Bienes privados Dado los siguientes grupos de demanda competitiva y la oferta del mercado de un bien de los conocidos como bienes privados (y no un bien público ofrecido por el estado), reunir las demandas por agregación y encontrar el equilibrio. Para la agregación de las demanda de bienes privados procedemos por suma horizontal, es decir, con funciones explicitas 62 Las cuatro demandas son las siguientes: X1 = 240 – 4 p1 ….. o bien P1 = -1/4 X + 60 X2 = 300 – 1,5 p2 P2 = -2/3 X + 200 X3 = 260 – 2,5 p3 P3 = -2/5X + 104 X4 = 200 – 2 p4 P4 = -1/2 X + 100 X = 1000 - 10P demanda agregada del conjunto del mercado (por suma horizontal) Obsérvese que en este caso todos los compradores están en este mercado, ya que demandan cantidades a precios mayores que los que requiere la oferta inicial. Para ver esto, debemos graficar cada demanda y cada oferta (si hubiera varias, sería del mismo modo). En este caso la oferta es X = 1000 – 10P … o sea Po = -1/8X +12,5 ….(con ordenada al origen 12,5 y pendiente -1/8. Si fuera X = 0 la oferta comenzaría a ofrecer a precios >= $12,50 …. ¿Todos los compradores están en este mercado y/o figuran TODOS como clientes potenciales? Podemos ver si cada demandante exige un precio que le interese a la oferta: trasponiendo las demandas a la forma implícita (ver a la derecha en el cuadro anterior) observamos que si X= 0 los cuatro demandantes comprarían a precios de $ 60, $200, $104 y $100 respectivamente, que son bastantes mayores que los $12,50 que es la oferta inicial. Entonces, estos cuatro compradores están o pertenecen a este mercado. Pero imaginemos a un quinto comprador que no le gustara este producto y tuviera una demanda como X 5 = 6 – 2P5 Trasponiendo -2P = X – 6, o sea, P = -1/2X +3. Es decir que para este quinto consumidor cuando X = 0 el precio seria $3: su compra inicial sería a P=3, mientras que la oferta inicial era a $12,50 y por esto no figuraría o no estaría en este mercado. Se pude ver en un gráfico que todos los demandantes que figuren en este mercado deben querer comprar al menos a precios mayores a $12,50 (no tiene sentido la suma horizontal con compradores que quisieran este bien a precios menores a $12,50). . 63 AGREGACION BIENES PUBLICOS Pero si fuera un caso de bienes ofrecidos por el gobierno, con precios subsidiados y/o con oferta garantizada sea cual sea la cantidad de compradores.....tendríamos que hacer la agregación por suma vertical (al revés, sumando funciones implícitas, que tienen a la derecha la cantidad o variable que generalmente es la dependiente pero aquí seria la independiente porque el gobierno garantiza esa oferta para todos). Esta es la diferencia para agregar los bienes públicos y los privados. La referencia a los bienes públicos también se hace al final, al tratarlos junto con las imperfecciones del mercado: bienes de propiedad social, en los cuales suele enfrentarse el interés individual con el social. ELASTICIDAD 1) Elasticidad es una medida que relaciona el % de variación del precio con el de la cantidad.... Cuando lo calculamos mentalmente E = - %Q / %P (lo que varía, el precio, en el denominador.... y la variación de la cantidad estudiada en el numerador) Dado que en los bienes típicos si sube el precio baja la cantidad ( y viceversa) se le suele anteponer un signo – para que la elasticidad sea positiva... idea del inglés A. Marshall en 1890.... (teoría ...pura) ..... Un zapatero de Rosario dijo en la reunión de la cámara en Bs. As que cuando él baja el precio 10% su venta aumenta 20%, o sea que tiene elasticidad precio = 2 ...... Lo mismo dijo el zapatero de Tandil, aunque se expresó diferente: también tiene elasticidad 2 porque cuando subió el precio 5% su venta cayó 10% ........ Para no marearse hablan de elasticidad 2 , en vez de esas respuestas o variaciones proporcionales relativas con dos ejemplos diferentes .... 2) Si no calculamos mentalmente si no que usamos una pequeña tabla de demanda con 2 precios y 2 cantidades.... Eprecio = - dQ/Q / dP/P (usé d en vez de delta o incremento.... pero es lo mismo).....La guía Tow tiene 850.000 ejercicios para calcular con este coeficiente, siempre todos igual..... Pero en la empresa no sirven estas mediciones puntuales o de un día cualquiera.....ya que son cosas casuales y no constantes.... (tampoco sirven estas cuentas teóricas que están en los libros y les llaman elasticidad arco, porque suman los dos precios y las dos cantidades....., eso no sirve para mucho, salvo para ilustrar el concepto y que se está muy despierto al observar un grafiquito de una demanda u oferta y opinar según las líneas) 2) Hay una tercera medida similar de esto mismo trasponiendo; suponiendo variaciones infinitesimales, de modo que al cociente incremental se le dice derivada... y si se lo traspone queda como 64 Ep = dQ/dP . P/Q .... que usamos cuando tenemos funciones teóricas en algún texto.... Observen que el primer cociente es la pendiente de la demanda y luego multiplica el cociente P/Q, aquí con solo 2 precios y 2 cantidades…. (pero en la empresa se utiliza esto aunque con 30 ó 40 precios y cantidades) En la empresa los gerentes toman sus decisiones de subir o bajar los precios según sea la respuesta usual de los compradores (elasticidad...). Por eso calculan la elasticidad precio “media” como un promedio de 30 o más meses (y no solo un día) para precios y cantidades: Em = b.( ∑ P / ∑Q) sin ningún signo – convencional ... y donde b es la pendiente de la recta de ajuste o demanda (el signo surge del propio cálculo de ajuste, con Excel) (vean más adelante el cálculo sobre un ajuste lineal de 30 datos) La pendiente o tangente trigonométrica es el único concepto trigonométrico necesario en microeconomía: es el cateto opuesto sobre cateto adyacente. Y Excel la calcula directamente; e indica el signo que corresponde ..... En el capítulo siguiente hay ejemplos de cómo poniendo las series de los precios y las de cantidades en un orden se puede calcular con Excel la ecuación o función lineal de demanda (y viceversa.... partiendo de una ecuación puedo pasar a una serie y a un gráfico; esto a nivel inicial pero sumamente importante o fundamental). También está el tema Elasticidad Media y el punto Correlación Lineal Simple Precio-Cantidad, para la demanda!, todos con un mismo concepto, salvo pequeñas diferencias sobre poner los precios a la izquierda o a la derecha de las cantidades, etc.). Ese coeficiente que acompaña en el ajustamiento lineal a la variable X es la pendiente b que usamos para la elasticidad media. ELASTICIDADES, según la función teórica de consumo o demanda Sus 4 variables fundamentales son gustos, precio, renta y precio de otros bienes; y se puede calcular la elasticidad respecto a los 3 últimos (o también vs. los costos u otra variable cualquiera...). Nótese que una función de consumo refleja la cantidad histórica comprada o demandada de un bien como dependiente de los gustos, los precios de varios bienes y la renta, como una aproximación usualmente aceptada para muchos bienes, en general. Pero una función concreta de demanda de un bien puede coincidir o no con dicha expresión; y además, normalmente se hace aquí una simplificación teórica de las funciones de demanda como lineales o hiperbólicas, solo dependientes del precio de ese mismo producto y la renta (que son así fáciles de expresar implícita o explícitamente con solo pasaje de términos) En resumen, la Elasticidad precio = - %Q / %P........... En realidad es solo una medida que indica la respuesta o reacción entre una variación del precio y otra en la cantidad vendida o comprada...etc. (solo en el caso de elasticidad precio del propio bien se le antepone un signo (-) para que el resultado sea positivo en la generalidad de los bienes (los tópicos). Ese cociente de %... también se expresa como = - dQ/Q / dP/P. 65 Y si fuera el caso de tener una teórica función de demanda se pueden utilizar derivadas, re expresando esto último como = -dQ/dP (P/Q) donde el primer factor es la derivada de Qx vs. su precio (un cociente de incrementos ...o incremental...y suponiéndolos infinitesimales...) Si la Elasticidad precio es > 0 ese bien es típico; si es negativa (< 0) bien es atípico (como los de la paradoja Giffen, alimentos básicos, como bajo las hambrunas por el escarabajo de la papa en Irlanda /Alemania en 1870...) Resumiendo entonces, la elasticidad precio es = %Q / %P, que se escribe analíticamente como = dQ/Q /dP/P, o si despejan también = dQ / dP (P / Q), donde este cociente de incrementos o % es también la derivada de Q respecto del P). Solo para este caso puntual y por convención desde 1890 A. Marshall le antepone un singo menos (-) para que la relación precio a cantidad resulte positiva en los bienes típicos (ya que precio y cantidad varían opuestamente según la ley de la demanda …de bienes típicos, solamente) Si la Ep es positiva son bienes típicos (la mayoría), si es negativa son los bienes atípicos BIENES GIFFEN: Estos bienes atípicos de la paradoja que escribió el escocés Giffen en 1870: tras la crisis del escarabajo de la papa en Irlanda / y en Alemania: subía el precio de la papa y se vendía siempre más (porque se importaban de España y Polonia ...) ya que la gente de menores ingresos no tenía para comprar también otros alimentos más caros (y viceversa, cuando bajaba el precio de estos bienes básicos, implicando un aumento de renta, bajaba el consumo de los mismos….) El aporte de Giffen (profesor periodista en The Economist) fue muy anecdótico; además, después de 1915 E. Slutsky al separar el efecto sustitución y renta aclararía que en los bienes Giffen el efecto renta supera y anula al efecto sustitución. Hay adelante media docena de ejemplos numéricos para café, cigarrillos, bienes durables, insumos de chapa (desde el punto de vista de Ford y de su opuesto, el Sindicato siderúrgico; disputa idéntica aquí Argentina o en EEUU) Elasticidad renta En la elasticidad renta este mismo cociente (en las 3 versiones) en vez de tener P en el denominador tiene R de renta....Si es positiva (> 0) el bien X es normal (superior o suntuario si es > 2....); Si es negativa (< 0) entonces X es inferior (.ejemplo Fiat 1 para un acaudalado que suele comprar BMW, pero no para la generalidad), para ese consumidor particular (aunque los alimentos básicos lo son para todos en general) Asimetría de Engel: de todos modos se ve como asimetría que todos los atípicos (papas, pan, fideos,...) son inferiores... pero no viceversa....!!) Ley de Engel: conforme aumenta la renta en los consumidores compran proporcionalmente menos bines básicos (fideos) y más suntuarios (turismo, restaurante)... La curva de Engel muestra en los ejes esta relación renta y consumos: es como una media luna con puntas hacia la izquierda; la parte superior es la curva de Engel para bienes inferiores; la parte inferior es para los bienes normales o suntuarios. ... 66 Cuando aumenta la renta (ordenada) baja el consumo de bienes inferiores, pero sube el de bienes normales y suntuarios (en la abscisa). Elasticidad cruzada, respecto al precio de otro bien: Elasticidad cruzada, del bien Qx vs. el precio de otro bien Py: es el mismo cociente igual que antes, pero en el denominador va Py....(en sus 3 versiones) Si es positiva (> 0) son bienes sustitutos (café y té); si es negativa complementarios (….ya que ante una suba en Py bajaría Qy; y como también baja Qx porque dio < 0 ...ambas demanda bajan simultáneamente y son así complementarios; como nafta y autos (pero claro, hemos supuesto por ahora que Y es un bien típico...para que baje ante su suba de Py...) ELASTICIDADES CON Funciones de CONSUMO: EJERCICIO 1: Elasticidad Precio Dada X = 0,05 P + 4 X = 0,05 (5) + 4 = 4,25 para P = 5 EPx = - dX/X = - dX * P = - 0,05 * 5 = -0,06 < 0 dP/P dP X 4,25 Elasticidad Ingreso Dada X = 0,05 * P + 4 + R X = 0,05 * 5 + 4 + 30 = 34 E R= para dX/X = dX * R = 1 * 30 dR/R dR X 34 Elasticidad cruzada Dada X = 2 Py + 3 X = 2 * 5 + 3 = 13 EC = dX/X = dX * Py = dPy/Py dPy X 2 * 5 = 0,77 > 0 13 para Bien normal Py = 5 EJERCICIO 2: Elasticidad Precio Dada X = 1/1000 P + 8 X = 1/1000 * 5 + 8 = 8 P = 5, R=30 = 0,88 < 0 para Bien atípico P=5 Bien sustituto si este X fuera típico 67 EPx = - dX/X = (-) dX ( P) = - 1/1000 ( 5) = -0,006 < 0 dPx/Px dP X 8 Bien atípico Elasticidad Ingreso Dada X = 1/8 M + 4.75 X = 1/8 * 8000 + 4.75 = 1005. EM = - dX/X = dM/M para M = 8000 dX * M = 1/8 *8000 = 0,99 < 0 dM X 1005 Bien normal Elasticidad cruzada Dada X = 2 Py + 60 ; para Py = 10 (función de demanda para Té respecto al precio del Café) X = 2 * 10 + 60 = 80 EC = dX/X = dPY/PY dX * Y = 2 * 10 dY X 80 = 0,3 > 0 Bien sustituto si X té es típico Ejercicio 3 Elasticidad precio y renta de la demanda de nafta en Argentina. La función de demanda estimada para fines de 1982 es la siguiente: Demanda ( Q ) = 1.684 – 829 P + 666Y Donde se tomó como indicador de la renta per cápita el salario real. Para calcular la elasticidad precio y la elasticidad renta de la demanda partamos de los valores vigentes a fines de 1982 para las tres variables relevantes: cantidad demandada (ventas), 1.713 miles de m cúbicos de bafta; precio real de la nafta (en moneda de 1970) 0,43; índice del salario real (base 1970 = 100) 0,69. Empleando las definiciones: Elasticidad precio de la demanda = (-) Q . P = 829 . 0,43 = 0,21 nafta bien típico P Q 1.713 Elasticidad renta de la nafta = Q . Y = 666 0,69 = 0,27 nafta bien normal Y Q 1.713 Según los resultados obtenidos la demanda de nafta en ese momento en Argentina era inelástica (0,21) de forma que un aumento del 10 % del precio provoca una disminución en la cantidad demandada del 2,1 %. Por lo que respecta a la renta, el valor de la elasticidad renta obtenido indica que la nafta es considerada en Argentina un bien necesario ya que la elasticidad renta de la demanda es menor que 1. En concreto, y según los datos presentados, un aumento del 10 % en el ingreso monetario origina un incremento del 2,7 % en el consumo de nafta. EJERCICIO 4: sea la función de consumo Qx= 50 - Px + 0,01 M + 3 Py …. ; con M= 100 ; PX= 1 ; Py= 10 68 X = 50 - 1 + 0.01 * 100 + 3 * 10 = 80 U. 1) Epx = (-) Q‟px * P/Q = (-) -1 * 1/80 = 0.0125 Demanda inelástica y X es un bien típico. 2) Er= Q‟r *. R/Q = 0.01 * 100/80 = 1/80 0 Bien apenas normal (casi inferior o bien básico) 3) Ec= Q‟py * Py /Qx = 3 * 10/80 = 3/8 0 X es un bien sustituto de Y. EJERCICIO 5: dada la función de CONSUMO: Qx= 26 + Px + 0,65 M - 6 Py ; con M=80 Px=5 Py=10 Qx= 26 + 0.65 * 80 + 5 - 6 * 10 = 23 1) Epx = (-) Q‟Px * Px/Qx = = (-)1 * 5/23 = -5/23 0 Bien atípico o de la paradoja Giffen. 2) Er= Q‟r * R/Qx = 0.65 * 80/23 = 2.26 0 Bien normal (Suntuario por ser mayor que 2) 3) Ec= Q‟py * Py/Qx = -6 * 10/23 = -2.60 0 Lo que estudio es X, que es un bien Bien Complementario de Y (lo que varió de precio). O sea, si sube el precio Py entonces bajaría la demanda Qy (suponiendo Y típico) y como aquí también baja la demanda Qx es decir que ambos bajan, o sea son complementarios (porque se usan conjuntamente). EJERCICIO 6 para resolver con %, mentalmente: Sean dos precios y dos cantidades: el precio de X sube de $10 a $15 y la cantidad baja de X=40 hasta X=20 kilos. Calcule mentalmente la elasticidad precio del bien X. Considerando en este caso el signo menos de la convención marshalliana: Ep = (-) %Q / %P = (-) -50% /+50% = +1, X es un bien típico, con elasticidad unitaria. En esta situación puntual, ante un aumento o una disminución del precio entonces la cantidad reaccionará en la misma proporción (opuestamente en los bienes típicos pero directamente en los bienes atípicos, según la ley sicológica de la demanda) (ante una posible inexperiencia en algún joven estudiante se aclara que los % se obtienen mediante regla de tres elemental y que los % también pueden expresarse en tanto por uno, en este caso 50% como 0,5). . 69 Elasticidad media o promedio de un período largo Estas elasticidades fueron aquí medidas puntualmente, en un punto o momento dado, con solo 2 precios y 2 cantidades.... Difícilmente sea esto una constante o promedio histórico....(igualmente si lo midieran como elasticidad arco sumando las dos cantidades y los dos precios...). Pero en la empresa se utiliza la elasticidad media o promedio, que es el producto: Em= b (∑P/∑Q) …. La pendiente b de la recta de ajuste tendencial o de demanda por el cociente de la Suma de Precios / Suma de Cantidades....cuyo cálculo por mínimos cuadrados veremos en la estimación de funciones....y con Excel.... sin memorizar formulas sino solo procedimientos que ya vienen abreviados /guiados en Excel... (véanlo más adelante). Ejemplos reales de elasticidad .... para distintos tipos de bienes: -Hay bienes de consumo perecedero que tienen baja elasticidad precio.... alimentos básicos (y otros caros) y algunos bienes y servicios que son como vicios... siempre, se compran aunque suba su precio (café, cigarrillos); tienen baja elasticidad, menor a uno, 0,3 ...0,5.....de elasticidad precio y también renta Ej. de Elastic. precio y renta ....del café, que es baja, menor a uno porque es un vicio y la gente siempre compra café (por esto surgieron los sustitutos artificiales solubles para no gastar divisas comprándolo a Colombia)..... Igualmente la baja elasticidad precio y renta de los cigarrillos (porque es un vicio y la gente siempre fuma), aunque la propaganda negativa del cáncer en millones anualmente (y la positiva de usar cigarrillos con filtro) procuran atenuar estos perjuicios sociales. Elasticidad precio y renta para bienes de consumo perecedero (elasticidad en cigarrillos: precio demanda inelástica por ser un vicio arraigado (la publicidad negativa sobre el cáncer aumenta esta elasticidad...); y renta también con demanda inelástica, ya que no aumenta ni baja el consumo por más que aumente el ingreso (vicio ya arraigado y mantenido...). Ambas aprox. 0,5... por eso la comisión impositiva decidió que se podían aumentar los impuestos (se gana mucho por precio y se pierde poca cantidad) Para el café: también ambas elasticidad son bajas: 0,2 ); al gobierno le interesa ahorrar divisas por compras a Colombia y se promovieron sustitutos solubles... También vemos la elasticidad precio y renta en los bienes durables como heladeras, TV, autos, casas, afectadas tanto por la demanda incremental (jóvenes matrimonios, que dependen de la tasa de interés de los créditos), como por la demanda de reposición (de los matrimonios viejos, que reponen su heladera a los 20 o 30 años.. y dependen del ingreso "esperado".... El ingreso esperado se calculó como 1/3 del actual y 2/3 del promedio últimos 10 años ponderados decrecientemente. Para bienes de consumo durable: heladeras, artefactos, autos, viviendas.... se dificulta el análisis ya que hay 2 mercados: el de reposición y el de nuevas unidades... En la reposición influye el ingreso esperado (1/3 el actual y 2/3 el promedio de los últimos 10 años, ponderados decreciente). En el mercado incremental (nuevas unidades para nuevas familias...) influye más la tasa de interés baja o alta (se construye más si la tasa es baja...). 70 Elasticidad precio y renta en los insumos industriales o de demanda derivada: especialmente la elasticidad precio y renta de la chapa de acero.....Es el caso más importante. En EEUU y aquí: los usuarios de chapa para autos y heladeras quieren la chapa importada y no la local más cara (la importada siempre cuesta la mitad o 2/3 porque todo el mundo trampea exportando afuera a menor precio para captar clientes...(dumping generalizado y subsidios para industrializarse y conseguir un balance de divisas positivo....). Los siderúrgicos dicen que ambas elasticidades son bajas (menores que uno) y los autopartistas que son altas .... Los siderúrgicos dicen además que una tonelada de chapa para un auto completo vale U$S 700 mientras que un auto vale U$S 30.000 o sea que además es muy baja incidencia, solo un 2% y por lo tanto baja elasticidad.... Y aclaran que lo que realmente quieren los autopartistas es comprar importado dumping para lucrar, pero fundiendo a los siderúrgicos.... En EEUU el gobierno apoyo a los siderúrgicos y sus sindicatos obreros... En Argentina permitió las privatizaciones... que venden a precios como los anteriores, en dólares... Son intereses contrapuestos entre productores y consumidores e intermediarios y a veces otros intereses comerciales de por medio....Siempre hay que ver los intereses de fondo y analizar las teorías bajo ese contexto... En EEUU se permitió que la importación abarcara siempre aprox. 1/4 del consumo... Hacían denuncias antidumping indiscriminadas contra todos los países... y últimamente ( en los 90´s) pusieron un derecho de importación obligatorio del 30% directamente sin explicaciones....(en contra de las normas competitivas de la Org. Mundial de Comercio...ex GATT; también aplican subsidios a los agropecuarios y otras prohibiciones a lo que les puede exportar el resto del mundo; alegan que tiene problemas internos y que Europa y Japón hacen lo mismo, así que el tercer mundo debe resignarse y aprovecharse del derrame que aun así les quede del bienestar tecnológico que ellos lideran...; algo es cierto pero mucho es solo injusticia...; algunos empresarios conocen las reglas de juego y se defienden eficientemente con la microeconomía de este curso; la mayoría pierde ante ellos.) Lean mis ejemplos en EEUU y aquí sobre estas elasticidades y sobre las defensas antidumping … Elasticidad en la demanda derivada de insumos industriales, como la chapa de Acero: La siderurgia americana y su sindicato defienden el trabajo local vs. la importación dumping o más barata. Los automotrices piden la libre importación ya que ahorran U$S 200 por auto. EEUU defendió la siderurgia cerrando su mercado al acero importado con denuncias de dumping (que Argentina supo defe nder exitosamente) y hace 3 años impuso 30% de derecho protectivo a toda importación (en contra de las normas de la Org. Mundial Comercio, ex-GATT) Su argumento es que un auto lleva 700 kilos de chapa, unos U$S 600 en uno chico. Si le regalaran la chapa el auto no bajaría mucho su precio de unos U$S 10.000 por unidad.... O sea, la demanda de acero es muy inelástica ... 0,4.... ya que participa el acero en solo un 10% del valor de un auto; 2% en una lata de tomates; 13% en una de atún o caviar; 4% en ferrocarriles, y solo un 30% en un puente metálico hecho únicamente con perfiles de acero (el resto es mano de obra, comisiones, gastos...) Los bienes durables (heladeras, autos, casas) tienen elasticidad más alta, es decir que la gente ya lo piensa dos veces cuando sube el precio y compra bastante menos.... Entonces los bienes de consumo duradero como heladera, TV, autos, casas tienen elasticidad algo mayor a uno... Además en este conjunto de los durables hay dos componentes; el de los viejos matrimonios que tiene una demanda de reposición de su heladera de 25 años... o auto de 15 años o casa de 50 a 100 años... (que se alientan a comprar si su ingreso presente sube.....) y el otro grupo es el de los 150.000 nuevos matrimonios / parejas que cada año se suman al mercado argentino.....con una demanda de tipo incremental que dependería mayormente de cual sea la tasa de interés (porque piden créditos...) 71 Esto lo dice entre otros Milton Friedman, ver su texto de Principios en el programa (aunque se hizo célebre en EEUU por escribir Libres para Elegir, conformando el texto emblemático del paradigma norteamericano, del mercado de libre competencia con relativamente poca intervención del estado en cuestiones comerciales (no mayor al 50%...) opuesto al socialismo y al enfoque europeo menos liberal con un estado más intervencionista .... (Precisamente esta semana (abril 2006) el FMI publicó un informe suyo sobre un estudio de la Moralidad en el Mundo Material, donde cuestiona la usual corrupción y desafortunado reparto del crecimiento económico de estas décadas de influencia norteamericana en el mundo... Es decir que ellos mismos se alarman de lo que están haciendo en el mundo... pero las cosas ocurren.... porque son y somos seres humanos no perfectos... (este es/seria su mensaje...) Pero sobre bienes durables él también opina que al estudiar la demanda de reposición sería mejor considerar el ingreso esperado y no el disponible: 1/4 el actual y 3/4 el de los últimos 10 años, pero ponderados decrecientemente; 90% el del año pasado, 80% el anterior etc.). -Además los insumos industriales, o demandas que son derivada de cual sea el nivel a producir de otro bines final... El ejemplo usual suele ser la siderurgia: con chapa de acero se hacen autos, latas de tomate, puentes... pero aunque le regalasen la chapa a la automotriz el auto casi no bajaría de precio porque sus seiscientos kilos son U$S 500 pero un auto cuesta 10 a 20.000 U$S o sea una participación inferior al 5%.... Pero es cierto que si las automotrices importan la chapa de donde sea siempre les costara menos (ya que todo el mercado internacional tiene precios inferiores a los domésticos... o sea dumping....para competir agresivamente en ese segmento externo mientras que un mercado interno del orden del 2/3 de su producción cubra los costos fijos de la planta y personal) y en definitiva ganan más... aunque se perjudique el país y su sociedad. 72 CONCENTRACION INDUSTRIAL – GRADO DE COMPETENCIA Para qué se utiliza la elasticidad? Es usual recurrir a mediciones de elasticidad cuando una empresa se pregunta si conviene aumentar o disminuir los precios, ya que el efecto de esta acción sobre los ingresos dependerá de cual sea la elasticidad precio de la demanda en ese momento. También se utiliza el concepto de elasticidad cuando alguien se pregunta cual el grado de monopolio de que dispone una empresa, cuando se está averiguando cual es el tipo de organización industrial entre los oferentes de algún mercado; por ejemplo para reclamar ante Defensa de la Competencia por alguna acción desleal anticompetitiva u otras causas afines. Un antecedente moderno célebre fue la denuncia contra la Standart Oil Co (SOC; aquí ESSO o Chevron) que en EEUU en 1900 le obligó a desprenderse de 110 estaciones de servicio, adquiridas con fraude mediante amenazas con precios predatorios; también las numerosas denuncias por importaciones a precios dumping (discriminando para dominar con precios menores al costo o al precio doméstico en el mercado de origen) Son usuales varias medidas para medir el grado de competitividad de los mercados, según la concentración industrial y el grado de monopolio, utilizando la elasticidad precio o cruzada para un producto (comparando con la que corresponde en condiciones competitivas), con diversas mediciones según Amoroso, Robinson, Lerner, Herfindahl y otros. La relación Amoroso-Robinson mide la diferencia entre el ingreso marginal y el precio: IMg = P( 1-1/E) = …(IMg = p solo bajo competencia perfecta) En competencia pura la elasticidad precio E es infinita, de modo que IMg = P; pero en competencia monopólica difieren. Esto nos lleva al tema de la organización industrial, donde se mide la competitividad de los mercados también con otros índices, como: El índice de Herfindahl, que eleva al cuadrado la participación de cada empresa en el mercado: para un monopolio sería: H = (100)2 = 10.000 (máximo o total…). Si hubiera 3 empresas, con participación del 50%, 30% y 20%, el índice sería: H = ∑ s2 H = 2500 + 900 + 400 = 3.800 (parcial…) (menor concentración que frente a los 10.000 de un monopolio). El índice de Lerner mide el poder monopólico de una empresa relacionando su precio con el costo marginal competitivo: L = ( P – CMg / P ) = (cercano a cero indica competencia; tanto más alto cuanto menor competencia o mayor concentración exista) 73 ELASTICIDAD MEDIA O PROMEDIO CON EXCEL Vimos el concepto de elasticidad y como ese cociente incremental podía exponerse en varias formas para calcular la elasticidad puntual. En la empresa no se calcula puntualmente sino durante un lapso de al menos 30 ó 40 períodos (es decir, que si graficamos esos 40 puntos y trazamos la recta que minimice los desvíos obtendríamos una línea como la de demanda de este gráfico). Puede pedírsele a Excel que grafique esa línea e incluso que anote en el gráfico la ecuación de la línea de ajuste y también su determinación R2. En este ejemplo la ecuación de la línea recta de la demanda ajustada fue Y= -1,25X +61,25 siendo -1,25 la pendiente ( b negativa) que decíamos en la formula genérica Y= a -bX La elasticidad Ep = b por (suma de P / suma de cant) es entonces = -0.139 Otra forma más técnica es obtener la ecuación mediante un ajuste lineal: anotamos los datos, aquí en A25:A33 las cantidades y en B25 a B33 los precios. Luego procedemos a ajustar con Herramientas/Análisis de datos/Regresión y situándonos en A47 Excel imprimirá los coeficientes del ajustamiento: correlación y determinación (aquí =1) y en B61 y B62 el coeficiente a y el b de la línea de ajuste comentada. En A35 y B35 hacemos las sumas de las cantidades y de los precios (pintando A25 hasta A35 y pulsando arriba el signo sigma de la Formula de sumar). Idem para los precios B25 hasta B35... Luego nos ubicamos en la celda F40 y procedemos a armar la fórmula de Elasticidad precios pulsando el signo + 74 La fórmula está en la celda B62 es b por (B35 / A35). Si ubican el curso sobre esa celda verán esta expresión. Traten de repetirla en otra celda ... Para el primer caso, mediante el gráfico, graficar es otra rutina elemental, que comienza por anotar las cantidades y los precios y sigue por pulsar el iconito de graficar (o elegir en el menú Insertar/ Gráfico). Lo importante es como se ordenan los datos. Vean que en este caso pusimos primero las cantidades y segundo los precios..... ya que si hacen al revés Excel entiende que se trata de otro proceso....como estos otros ejemplos varios que figuran aquí o en Microeconomía con Excel... Aquí fue Insertar gráfico / Dispersión con líneas / Botón derecho / Agregar línea de tendencia /Opciones Presentar ecuación y R2 Entonces, el coeficiente b se puede obtener ya sea, a) graficando o b) con un ajustamiento lineal P y X a) gráficamente Pintar series/ Insertar grafico / Dispersión con líneas / botón derecho /Agregar línea de tendencia / opciones Presentar ecuación y r2 b) con un ajustamiento en Excel 75 CAPITULO 2 PROGRAMACION LINEAL - METODO GRAFICO Minimizar el costo En el zoológico municipal, se requiere un compuesto de carne para alimentar a los leones, que contenga igual cantidad de proteínas y de grasa. Según un estudio de mercado, los distintos tipos de carne tienen las siguientes características y los siguientes precios: CONTENIDO CARNE TIPO: DE: A B GRASAS 16% 0,22% 0,30% PROTEÍNAS 22% 0,14% 0,35% PRECIO POR KG. $70 $90 Requerido Se desea minimizar el costo de la alimentación de las fieras. X1 X2 Grasas 16 22 Proteínas 22 14 Requerido 30 35 2 - Sistema de ecuaciones: 16 X1 + 22 X2 >= 30 22 X1 + 14 X2 >= 35 X1; X2 >= 0 3 - Grafico de Restricciones X 2 2.5 (Gráfico a) 1,3 6 1 1,59 X ,875 1 76 4 - Calculo la Función Objetivo: F.O. = Mín.Costo Z = $70 X1 + 90 X2 Despejando X2: X2 = (Mín.Costo / $90) – ( $ 70 X1 / $ 90 ) La pendiente queda como:7 / 9 7 Grafico B 9 Ahora superponemos los gráficos a y b y se observa la línea de isobeneficio más baja con contacto con la solución o intersección 1.34 de X1 y 0.38 de X2 X 2 2.5 1,3 6 0 ,38 34 1, 1,59 1 X ,875 1 77 Analíticamente: 16 x1 + 22 x2 = 30 22 x1 + 14 x2 = 35 x2 = 30 - 16 x1 22 x2 = 35 - 22 x1 14 Igualamos ambas expresiones para despejar x1 : 30 – 16 x1 = 35 – 22 x1 22 14 484 x1 – 224 x1 = 770 – 420 14 (30 – 16 x1) = 22 (35 – 22 x1) X1 = 1,34 X2 = 30 – 16 (1,34) = 0,38 22 Para obtener un costo mínimo el Zoológico debe utilizar 1,34 de carne X1 y 0,38 de carne X2. El Mínimo Costo de esta manera sería de : 70 (1,34) + 90 (0,38) = $128,00 D.Pino Fernández) Trabajo Práctico N° 2 Programación Lineal. Métoco gráfico: maximizar el beneficio Fabricación de productos que comparten 3 insumos, con capacidades: A (40 unidades), B (50 unidades) y C (80 unidades). Los requerimientos técnicos insumo producto son: Producto 1: 1 del A, 2 del B y 2 del C Producto 2: 2 del A, 1 del B y 2 del C. Los beneficios son: Producto 1 $1,00; producto 2: $2,00.- (alumno: 78 Punto óptimo: La región factible RF es la sombreada, abarcada por las 3 restricciones (la condición C no presenta limitaciones, hay sobrante) 79 En la frontera acodada de la RF está la solución. Se pueden calcular todos los codos y elegir el mayor. Pero el método gráfico implica elegirlo gráficamente. Para esto graficamos la familia de líneas Isobeneficio (o FO) y observamos cual es el codo máximo tangente a una isobeneficio (los codos extremos de la restricción C (X=40 e Y=40) no están en la RF ya que las R.A y R.B no los abarcan!. En la FO max Ben = $1,0(X) + $2,0(Y) despejamos Y: 2Y = B - 1X; Y = 1/2B -1/2X, ( pendiente -1/2 línea punteada) El codo Y = 10 y X = 20 es tangente con la isobeneficio más elevada B = $1(20) + $2(10) = $40 También en forma analítica: R.A) 1x+2y = 40; multiplico x 2: 2x+4y = 80 R.B) 2x+1y = 50 2x+1y = 50 Despejada x queda: y-50 = 4y-80; o sea, -50+80 = 4y-y Es decir, 30 = 3y, de donde y= 10 Reemplazo en una función como la R.B; 2x+10 = 50; 2x = 40; x = 20. Quedando como punto óptimo (20,10) El Beneficio máximo queda: B = $1 (20) + $2 (10) = $ 40. (TABARES, Andrea Karina Registro 166458) 3) DUAL - Minimizaciòn: En este mismo ejemplo será buscar el mínimo costo (remuneración) para producir esas cantidades de autos y motos utilizando los recursos disponibles El procedimiento es similar en los casos de minimización. Pero aquí el área factible es la región superior de los costos más alejada del origen. La región inalcanzable es la cercana al origen (ya que no es posible producir estas cantidades con poco o ningún costo); el origen no es aquí una solución posible. En este dual la función objetivo permite graficar la familia de líneas de isocoste; cuanto menores sean alguna llegará a alcanzar un codo de la frontera formada por los pares de restricciones, indicando el óptimo. Según C = 8000Y1 + 9000Y2 surge Y2 = -0.89Y1 + C Graficando esta familia de líneas de isocosto, la más reducida será coincidente con el codo (0,25; 0,75), indicando que el mínimo costo para producir 500 autos y 3750 motos (usando todos los recursos) es Y1= 0,25 e Y2 = 0,75, la remuneración de ambos factores productivos para obtener esas producciones dadas y $8750 beneficio. Función objetivo: Min C = 8000Y1 + 9000Y2 Restricciones: que las remuneraciones permitan obtener un beneficio de $2,50 por auto y de $ 2,00 por moto: Y1 + 3Y2 = 2,50 2Y1 + 2Y2 - 2,00 Graficando los extremos de hs. hombre: si Y2=0 entonces Y= 2,50; igualmente si Y1 = 0 entonces Y2 = 2,50/3 = 0,83 Grafico los extremos de hs. Máquina: si Y2 = 0 entonces Y1 = 2/2 = 1; igualmente si Y1 = 0 entonces Y2 = 2/2 = 1 Surgen aquí 3 codos factibles, Y1=1; Y2 = 1 y la intersección ambas restricciones con coordenadas (0,25;0.75) 80 81 PROGRAMACIÓN LINEAL SIMPLEX Típico ejemplo para maximizar los beneficios o la producción de una empresa: la inyectora de plástico Zonda, que produce mesas y sillas, en 3 talleres -carpintería, tapizado y empaque- con las siguientes restricciones: X1 ≤ 3 X2 ≤ 6 (... con X1 ; X2 0 ) 6X1 + 4X2 ≤ 36 FO: Maximizar Bj = 8X1 + 3X2 (dónde $8 y $3 son los beneficios en ambos productos) Transformar a ecuaciones, agregando las variables de holgura (capacidad ociosa en cada sección) 1X1 + 0X2 + 1X3 + 0X4 + 0X5 = 3 0X1 + 1X2 + 0X3 + 1X4 + 0X5 = 6 6X1 + 4X2 + 0X3 + 0X4+ 1X5 = 36 2) Tabla 0: la primer línea de títulos es común para todas las tablas, con estas 9 columnas -Funcional (F); Variable (X); Recursos (R); X1...5 ; Variable Saliente (VS)- y puede omitirse en las siguientes tablas o pasos del cálculo si se ponen seguidas. 3) Conviene anotar los coeficientes de la función objetivo (F.O) o funcional, arriba de cada X j de la primera línea encabezamiento, como una ayuda para calcular el punto 9. 4) En la columna X anotar las variables básicas que intervienen en cada cálculo o tabla. La primera solución (en el origen) solo incluye las variables de holgura (con nada producido todo son excedentes). Se suponen variables continuas, fraccionables. 5) En la columna Funcional van los coeficientes de las variables básicas en la F.O.. El valor que tiene en el funcional. 6) En la columna Recursos se anotan los recursos iniciales. Es el valor de cada variable X en este paso (tabla) del cálculo Simplex. En las próximas tablas irán los recursos utilizados para esa etapa (o solución de la frontera acodada). 7) En X1 ... 5 se anotan inicialmente los coeficientes del sistema de ecuaciones; i filas, j columnas. Cada Xij indica cuánto disminuye el valor de la variables Xi por cada unidad de Xj que decida fabricar (o que sobre, si j fuera un insumo). O sea, cuánto disminuye el valor de Xi por cada unidad con que j entre valiendo a la base. 8) Conviene trazar rayas: tras la columna Recursos; tras la columna X5; y otra inferior. 9) Agregar una última fila, calculando cada X como: ( FiXi) – Bj 10) Variable que entra: el mayor negativo en la fila inferior (señalarlo). Se toma el mayor negativo porque mejora el funcional (mayor en valor absoluto). 11) Calcular la última columna VS como R / cada coeficiente en la columna de la variable que entra. 82 12) Variable que sale: el menor positivo en VS (señalarlo), ya que indica el valor con que la variable entra a la base y sale el menor (las variables no pueden ser nulas o negativas). 13) Pivote: intersección entre ambas señales. Remarcar el pivote: TABLA 0: F X 0 X3 0 X4 0 X5 R 3 6 36 TABLA 1 8 X1 0 X4 0 X5 TABLA 2 8 X1 0 X4 3 X2 8 X1 1 0 6 -8 3 X2 0 1 4 -3 0 X3 1 0 0 0 0 X4 0 1 0 0 0 X5 0 0 1 0 3 6 18 1 0 0 0 0 1 4 -3 1 0 -6 8 0 1 0 0 0 0 1 0 3 1,5 4,5 37,50 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1,5 -1,5 3,5 0 1 0 0 0 -1/4 1/4 0,75 VS 3< 6 6 4,5< TABLA 1: 14) En la columna X cambiar la variable que sale por la variable que entra. 15) Anotar en la columna F el valor que tiene cada variable en el funcional. 16) Calcular la nueva línea del pivote como = línea pivote anterior / pivote. 17) En la columna del pivote completar con ceros (salvo el 1 del pivote). 18) Para calcular cada elemento restante observar los extremos del cuadrado con diagonal en el pivote: al número en la tabla anterior restarle la otra diagonal dividida por el pivote. 19) Calcula la última fila según (9). 20) Calcular la columna VS según (11). 21) Marcar la variable que entra (según 10) y la variable que sale (según 12); circular su intersección como nuevo pivote: TABLA 2: 22) Repetir el cálculo para la Tabla 1. Se llega al óptimo cuando una tabla tiene todo positivo en la última fila. 23) Los coeficientes R indicarán ahí las producciones; puede quedar algún recurso ocioso. El valor máximo B se puede anotar al final bajo R ( B = 8(3) + 3(4,5) = $37,50 ) y sobran 1,5 del recurso 2. Contribución marginal (precios sombra) o máximo a pagar por otra unidad: 3,5 y 0,75 para estos dos insumos que están en la última línea. Costo de oportunidad: si hubiera quedado alguna cifra abajo en las columnas de los productos X 1 ó X2 (indicarían que no se produce ese bien) sería el costo o pérdida si se decidiera producir lo que no conviene. Minimizar el costo de producción: 83 En los casos de minimización, el origen de coordenadas no puede ser el paso inicial y se suponen costos muy altos para los insumos al solo efecto del paso / tabla inicial. Además de las variables reales y las slag (aquí con signo -) se agregarán las nuevas variables, artificiales (+) en el funcional y como columnas en las tablas para considerar esos altos costos. En la columna F de la tabla 0 inicial se anotan esos altos costos (por ej. M), continuando el proceso hasta obtener el precio de cada insumo que minimiza lo requerido para la producción de bienes dada, cuando todos los valores de la última fila sean positivos. Sin embargo, es más fácil calcular el primal, o sea, el dual del mínimo. DUALIDAD Todo caso normal de maximización implica uno de minimización y viceversa. Como los cálculos para minimizar son mayores que para maximizar, debido a esos agregados comentados, es posible calcular el dual de un mínimo convirtiéndolo en un caso de máximo, al considerar los recursos disponibles como los coeficientes de las variables de un nuevo funcional y tomando los coeficientes de las filas del sistema de restricciones del mínimo como columnas para el sistema del máximo. Es decir, el dual tiene una variable por cada restricción del primal (y tiene tantas restricciones como variables hay en el primal). Solo se trata de que el funcional pasen a ser términos independientes y poner las filas como columnas (las desigualdades tendrán sentido inverso). Esto vale igualmente cuando en el primal hay mezcladas desigualdades contrarias: si alguna es negativa se le agregara una variable artificial tal como se dijo) Ejemplo: Min Z = 5X1 + 9X2 sujeto a ( con X1; X2 -3X1 - 2X2 5X1 + X2 X1 + 10X2 -6 10 9 0) Su dual es: Max. B = -6Y1 + 10Y2 + 9Y3 Sujeto a: -3Y1 + 5Y2 + Y3 ≤ 5 -2Y1 + Y2 + 10Y3 ≤ 9 (con Y1; Y2 0) 2 variables y 3 restricciones pasan a ser 3 variables y 2 restricciones... Véase en cualquier texto, pero –precaución- no los mezcle, ya que si bien son equivalentes, cambian los pasos y su consideración de los signos (Hay más adelante otros modos de cálculo del Simplex y en particular el Simplex matricial, breve y útil para poder interpretar lo que se utiliza realmente en las empresas: Solver de Excel). 84 MAXIMO BENEFICIO SEGUN EL METODO SIMPLEX Analizaremos por medio de la programación lineal Simplex cual es el mayor beneficio que puede obtener una empresa textil que se dedica a la producción de solo dos tipos de productos, Remeras Estampadas y Camisas Bordadas. Las Remeras Estampadas se comercializan a un precio de $ 45 y las Camisas Bordadas a un precio de $ 106. Ambos productos deben ser vendidos en un cuidado embalaje, sin embargo embalar las camisas es más complicado que embalar una remera, tardándose en embalar una remera 12 minutos y 48 minutos en una camisa. En una hora en el taller de estampado se llega a estampar unas 3 remeras (20 minutos por remera) mientras que en el taller de bordado se bordan 2 camisas (30 minutos por camisa). El trabajo en la fábrica es de 9 hs. contemplando en ese lapso una hora de almuerzo. 85 Max. beneficio produciendo 24 remeras y 4 camisas, por $ 1504; con 18,5 Y 26,5 PRECIOS SOMBRA O REMUNERACIONES DE AMBOS RECURSOS AGOTADOS ....(queda capacidad ociosa en bordado. Alumno: ….) 86 MINIMIZACION CON SIMPLEX: Minimizar C = 8000(Y1) + 9000(Y2) sujeto a: Y1 + 3Y2 >= 2,50 2Y2 + 2Y2 >= 2,00 Restando dos variables ociosidad y sumando dos variables artificiales: Y1 + 3Y2 -Y3 …. + MY5 + .... = 2,50 2Y1 + 2Y2…… . - Y4 …. ..+ MY6 = 2.00 T.0: 8000 9000 0 0 M M FO Y REC Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Y6 V.S. T.0 M Y5 2,5 1 3 -1 0 1 0 0,83 M Y6 2 2 2 0 -1 0 1 1 3M 5M -M -M 0 0 -8000 -9000 (positivo) T.1: 9000 Y2 0,83 M Y6 1/3 T. 2: 9000 8000 Y2 Y1 1/3 1 -1/3 4/3 0 2/3 1,33M 0 0,67M -500 -3000 (positivo) 0,75 0,25 0 1 0 1 0 0 0 1/3 -1 -2/3 -M -1,67M +3000 0 2,5 1 0,25 0 -1/2 1/4 1/2 -1/4 1/2 -3/4 -1/2 3/4 -500 -3750 -M -M autos ,motos -500 +3750 (todos negativos !!) Mínimo Costo = 8000(0.25) + 9000 (0.75) = $ 8750 $maquina $salario 0,25 0,75 87 PROGRAMACIÓN LINEAL SIMPLEX CON SOLVER DE EXCEL FÁBRICA DE MESAS Y SILLAS ZONDA Este mismo ejemplo está planteado en esta hoja Excel: se anotan las relaciones básicas, por ejemplo B7 = B5 por B6; C7=C5 por C6; D7=B7 más C7, D2 según indica la solapa, etc. Luego Herramientas >Complementos> Solver > y se abrirá este cuadro, que pide la celda objetivo D7, las celdas cambiantes B5:C5 y Agregar ...restricciones (orienta como agregar una a una en segundos). Finalmente Resolver y calcula la solución $37,5 de ingreso o beneficio o producción de 3 mesas y 4,5 sillas (es usual trabajar con beneficios en vez de ingresos menos costos). Además de Resolver, Excel ofrece ahí 3 informes adicionales: Respuestas (1,5 de capacidad ociosa en el Sector B). Sensibilidad (cuanto representaría una unidad más en las secciones A y C totalmente ocupadas). 88 Límites (suponiendo alternativas). 89 PROGRAMACIÓN NO LINEAL O LINEAL - CON SOLVER DE EXCEL La herramienta Solver de Excel en un simple y potente mecanismo de programación, tanto lineal como no lineal (según se elija tildar en sus Opciones). Supóngase un ejemplo para optimizar una inversión en 3 títulos o acciones, que tienen las siguientes características: Precio $ Rendimiento anual $/acc. Inversión posible Acciones “A” 20 5 Acciones “B” 12 2 Acciones “C” 10 2 El importe a invertir y optimizar es $10000. 6000 2000 3000 El planteo como programación lineal consistiría en maximizar la función objetivo sujeta a las restricciones: Max. Z = 5(X1) + 2(X2) + 2(X3) (precio por cantidad de cada acción) sujeto a: 20X1 + 12X2 + 10X3 ≤ 10000 20 X1 ≤ 6000 12 x2 ≤ 2000 10 X3 ≤ 3000 (siendo Xi 0) En una hoja Excel se escribe el modelo separando cada importe y precio en celdas, para que la macro Solver pueda identificarlos: Es decir, una fila para las cantidades a comprar; otra para los rendimientos de cada acción; y cuatro más para los precios y las restricciones. En la columna E, en E3, se ubicará la fórmula para la función objetivo: “=sumaproducto($B$2:$D$2;B3:D3)” que hace referencia a las acciones B2:D2 que estimará Solver y multiplicará por los rendimientos B3:D3. Esa fórmula se copia hacia abajo en E5:E8. 90 La columna F es para la restricción de inversión y de cada acción. Conviene salvar la hoja. Con Herramientas > Solver> se abre esta ventana. Pulsando el icono que hay en Celda objetivo permite arrastrar o anotar E3; igualmente con Cambiando celdas B2:D2. Para las celdas de "Sujetas a las siguientes restricciones" pulsar agregar y se abrirá una pequeña ventana para que anote o arrastre a la izquierda una celda o rango; en el centro elija = o etc. y a la derecha anotar 0 o la celda restricción: Luego, con Opciones.... tildar Adoptar Modelo Lineal > y Aceptar para volver a la ventana principal Parámetros de Solver. 91 Pulsar Resolver > Utilizar Solución de Solver > Aceptar. Solver cálculo ahí el rendimiento máximo $2267 (comprando 300 acciones A; 83 B y 300 C). SENSIBILIDAD Además Solver brinda en la última pantalla, en “Informes”, la posibilidad de un análisis adicional de sensibilidad, que permite observar si quedan recursos ociosos, precios sombra, costos de oportunidad y otros. Al activar “Respuestas”, o “Sensibilidad” y “Límites” guarda estos informes en hojas adicionales fáciles de interpretar. PROGRAMACION NO LINEAL-BINARIA-ENTERA con Solver Las “opciones” de Solver permiten optar por máximo o mínimos; también por programación no lineal; y en “sujeto a” puede elegir las opciones para programación entera y para binaria. PRODUCCIÓN DE TV, ESTÉREOS Y ALTAVOCES 92 En el Office de Microsoft se incluye un archivo Excel, Muestras.xls, que incluye cinco ejemplos de aplicación de Solver en casos de programación lineal Simplex. En el primero se trata de optimizar o maximizar la producción de televisores, estéreos y altavoces/parlantes, en función de los beneficios que genera cada uno y las existencias de materiales en depósito. Ejecutando Herramientas > Solver> se abre una ventana que ya tiene incorporadas las celdas objetivo, cambiantes y de restricciones (según se detalló anteriormente). Con Resolver > Utilizar la solución de Solver calcula los valores que aparecen en pantalla, 160 televisores, 200 estéreos y 80 altavoces, totalizando en D18 $14917 de beneficio máximo. PROBLEMA DE TRANSPORTE La segunda muestra de Solver es sobre optimizar la distribución o transporte minimizando los costos, en función de las demandas de almacenes en cinco ciudades y las existencias en tres plantas regionales. 93 En C8 a G10 están las celdas a cambiar anotando las demandas de cada ciudad (o pidiéndole a Solver que lo resuelva) y a su izquierda la suma total, que se compara con las existencias de B16:B18. Con Herramientas > Solver > se introducen las celdas que indica la imagen (tal como en los primeros ejemplos - Fábrica de Mesas y Sillas Zonda) y luego Resolver > Utilizar la solución de Solver (también se pueden pedir ahí los informes sobre Respuestas, Sensibilidad y Límites, comentados anteriormente). 94 PROGRAMACION CON PRESENTACIONES MATRICIALES PLANIFICACIÓN DEL PERSONAL DE UN PARQUE DE DIVERSIONES Otro formato más complejo está planteado en el archivo Muestras.xls del Office, hoja con el ejemplo de optimizar los horarios del personal de un parque de diversiones. Ilustra cómo utilizar la hoja de cálculo con una presentación matricial que facilite la presentación de cada restricción; en este caso que cada empleado trabaja 5 días seguidos y descansa dos. La celda objetivo D20 indica el mínimo coste (con $40 diarios de salario). En las celdas cambiantes D7:D13 Solver determina la cantidad de empleados que minimiza el costo cumpliendo con las restricciones de cubrir las diferentes necesidades de personal, según las cantidades necesarias de la línea 17. Con Herramientas > Solver > se puede pedir que optimice la disponibilidad, minimizando el costo. Las celdas objetivo, cambiantes y para restricciones se cargan según muestra la siguiente imagen. La operatoria es similar a lo detallado en los primeros ejemplos y en Fábrica de Mesas y Sillas Zonda. 95 Para otros casos será necesario plantear en la hoja este cuadro de formato matricial cada restricción de mayor, igual y/o menor según sea necesario, guiándose por el planteo formal según las inecuaciones del “Simplex” (o “sujeto a “…aquí). Considerando que el producto de una matriz cuadrada por un vector columna origina otro vector columna con el resultado, a veces también puede ser necesario hacer también uso de la función “trasponer” los datos de filas a columna o viceversa. Igualmente otras funciones usuales para armar en la hoja una solución son las funciones =sumaproducto( ; ) =mmult.( ; ), = si( ; ) etc. otras de Excel. MAXIMIZAR UNA INVERSIÓN EN BONOS 96 La ayuda que trae Excel en esta muestras dice lo siguiente: Determinar cómo invertir los excedentes de efectivo en certificados de depósito a plazo fijo de 1, 3 y 6 meses, de modo que se aumenten los ingresos por intereses al tiempo que se conservan fondos suficientes para cubrir los gastos (más un margen de seguridad). Una de las funciones de un directivo gerente financiero es el manejo de dinero líquido y de las inversiones a corto plazo de forma que se maximicen los ingresos por intereses, a la vez que se mantienen fondos disponibles para poder hacer frente a los gastos. Es preferible la flexibilidad que proporcionan las inversiones a largo plazo que las altas tasas de interés de las inversiones a corto plazo. En este modelo se calcula la liquidez final en base a la liquidez inicial (del mes anterior), la entrada de flujo financiero debida a los plazos de los certificados de depósito, la salida de flujo financiero motivada por la compra de nuevos certificados de depósito y el dinero necesario para las operaciones mensuales de la organización. Puede tomar hasta nueve decisiones: las cantidades a invertir en certificados a un mes entre los meses 1 al 6, las cantidades a invertir en certificados a tres meses entre los meses 1 al 4 y las cantidades a invertir en certificados a seis meses en el mes 1. Nuevamente, la optimización se consigue con Herramientas > Solver > identificar las celdas objetivo, cambiantes y para restricciones como muestra la siguiente imagen. Luego Resolver > Utilizar la solución de Solver (también se pueden pedir en este último paso los tres informes sobre Respuestas; Sensibilidad; Limites) La operación básica se detalló anteriormente y en Fábrica de Mesas y Sillas Zonda. 97 OPTIMIZAR UNA CARTERA DE VALORES-ACCIONES El ejemplo de Excel propone hallar la ponderación de acciones en una cartera de valores rentable que permita incrementar la rentabilidad para un determinado nivel de riesgo. En esta hoja se utiliza el modelo de índice simple de Sharpe. También se puede utilizar el método de Markowitz si existen términos de covarianza. Uno de los principios básicos en la gestión de inversiones es la diversificación. Con una cartera de valores variada, por ejemplo, puede obtener una tasa de interés que represente la media de los flujos financieros de los valores individuales, a la vez que se reduce el riesgo de que un valor en concreto dé un mal resultado. Al utilizar este modelo, puede utilizar Solver para obtener la dotación de fondos en valores que minimice el riesgo de la cartera de valores para una tasa de flujo financiero dada o que maximice la tasa de flujo financiero para un tipo de riesgo conocido. Esta hoja de cálculo contiene los números (riesgo relativo al mercado) y la varianza residual de cuatro valores distintos. Además, la cartera de valores incluye inversiones en Deuda del Tesoro, para las que se asume un riesgo de flujo financiero y de varianza de 0. Inicialmente, cantidades iguales (20 por ciento de la cartera de valores) se invierten en cada valor del mercado. 98 Utilice Solver para probar las diferentes dotaciones de fondos en los valores y Deuda del Tesoro para maximizar el flujo financiero de la cartera de valores para un nivel específico de riesgo o para minimizar el riesgo para una tasa de flujo financiero específica. Con la dotación inicial del 20 por ciento, la cartera de valores devuelve un 16.4 por ciento y la varianza es del 7.1 por ciento. Con el procedimiento detallado en los ejemplos iniciales aparece la ventana para ubicar las celdas objetivo, cambiantes y para restricciones, como en los demás casos; pero la ayuda Excel es explícita, abriendo el archivo muestra.xls o (muestras.xls), incluido en el CD del Office. VALOR DE RESISTENCIA PARA UN CIRCUITO ELÉCTRICO Finalmente, la sexta muestra que incluye este archivo de Excel se refiere a un caso técnico, de otra índole: Hallar el valor de la resistencia en un circuito eléctrico que emitirá una descarga equivalente al uno por ciento de su valor inicial en una vigésima de segundo desde el momento en que se mueve el interruptor. 99 Este modelo presenta un circuito eléctrico que contiene una batería, un interruptor, un condensador, una resistencia y un inductor. Con el interruptor en la posición de la izquierda, la batería conecta con el condensador. Con el interruptor a la derecha, el condensador conecta con el inductor y la resistencia, los cuales consumen la energía eléctrica. Por medio de la segunda ley de Kirchhoff se puede formular y resolver una ecuación diferencial para determinar cómo la carga en el condensador varía con el tiempo. La fórmula relaciona la carga q[t] con el tiempo t, con la inducción L, la resistencia R y la condensación C de los elementos del circuito. Utilice Solver para escoger un valor apropiado para la resistencia R (dados los valores del inductor L y el condensador C) que emitirán la carga a un uno por ciento del valor inicial en una vigésima parte de segundo después de haberse presionado el interruptor. La operatoria básica del Solver y opciones es similar que lo ya explicado en los ejemplos iniciales y en Fábrica de Mesas y Sillas Zonda. 100 Cabe aclarar que si bien la razón de este trabajo fue suplir la ausencia de ejemplos resueltos con Excel para las múltiples aplicaciones microeconómicas; pero no es el caso de estos seis ejemplos de Solver, suficientemente explicativos en el archivo muestra que ya incluye Excel. SOLVER PARA “VALORES DE….” En cuanto al uso particular de Solver en el modo “Valores de…” cabe aclarar que ofrece otra posibilidades para la resolución de diferentes tipos de problemas, para programación lineal o no lineal y en general para la solución de sistemas de ecuaciones ( a ver más adelante). Por ejemplo se transcribe aquí el tradicional acertijo del cálculo de las edades: En una hoja de cálculo se presentan las personas y a su lado otras dos columnas: una vacía para que Solver calcule luego las edades y en la cual se anticipa al final C12 la suma de las edades a calcular. En la otra columna se introducen las relaciones entre las edades de cada uno (por ejemplo, en D8 el cursor muestra más arriba que la edad de Pedro es la mitad que la de Antonio). 101 A continuación, al abrir la macro con los Parámetro de Solver se le indica como celda objetivo la de la suma C12; se elige la opción Para “valores de” y se anota en el cuadro el 164 pautado; finalmente se indican como celdas cambiantes C7:C11. Al pulsar Resolver aparecerán los años de cada persona en C7:C11. 102 MATRICES Y DETERMINANTES: En el capítulo 7 se presentan 6 métodos equivalentes para la solución de algunos problemas de optimización microeconómica (en la empresa) y se hace una introducción breve en uno de estos, al álgebra matricial. El método de resolución de sistemas de ecuaciones mediante matrices nos interesa en virtud de su gran amplitud para miles de variables. Lo presentamos allí resolviendo un sistema de 2x2, o sea de cuatro variables; por ejemplo para optimizar en una empresa la producción alternativa de dos bienes mediante dos recursos (cuatro variables), obteniendo así la producción total: si fuera esto una simplificación de un país con dos sectores (vistos como productores y como consumidores), se obtendría la producción nacional. A nivel macroeconómico también se puede aplicar matrices. Sin embargo, debido a la repetición de operaciones o transacciones intersectoriales en las economías reales, las matrices de insumo-producto disponibles en algunos países no estudian la producción nacional sino el producto nacional (neteando las transacciones intermedias, para aislar solo las producciones finales o su equivalente el valor agregado. Esta distinción se plantea con la matriz insumo-producto, mediante el simple recurso de resolver el sistema matricial usando la matriz inversa, pero en vez de utilizar la matriz de coeficientes C se invierte la matriz complemento o resta 1- C: MATRIZ INSUMO-PRODUCTO La inversión de matrices es utilizada para calcular la repercusión total del proceso de relaciones intersectoriales en un grupo empresario (al igual que en un país). Supongamos un grupo empresario que produce acero y autos. Para hacer acero son necesarios autos y viceversa, para hacer autos hace falta parte de ese acero (incluso hace falta acero para hacer acero y autos para hacer autos), por lo que estos requerimientos intermedios aumentarán los valores finales a producir más allá de lo que se pretenda vender al exterior de acero y de autos. El método de Gauss-Jordan permitiría invertir esa matriz fácilmente si fuera de 2x2 y con Excel se pueden resolver miles de variables. Para averiguar la producción total se invierte la matriz de coeficientes C; pero para optimizar neto de las relaciones intersectoriales, es necesario invertir la matriz resta 1-C. Manualmente se trata de acoplar a su derecha otra matriz unidad o unitaria y mediante operaciones elementales se la traslada hacia la izquierda, de modo que la matriz de coeficientes directos se transformó así en otra, que multiplicada por los recursos finales, generan el producto final. La venta externa, recursos o demanda final es aquí 360 acero y 110 autos. La producción total es el producto de la demanda externa o final por la matriz inversa de esos coeficientes intersectoriales, o requerimientos (600 acero y 180 autos; un producto de 780 si los precios fueran unitarios) Excel permite trabajar sin limitaciones de rango y rápidamente: en G2:H3 se restaron ordenadamente los coeficientes a la matriz identidad. 103 En A6:B7 se calculó la matriz inversa de esa resta: pintando el rango A6:B7 y escribiendo =minversa(G2:H3) y pulsando Cntrl+Shift+Enter por ser un rango. Igualmente para multiplicar eso por la demanda externa: se pinta el rango G6:G7 y se escribe Mult.(A6:B7;E6:E7) y se pulsa Cntrl+Shift+Enter. Queda ahí la producción total a obtener para los requerimientos directos externos más los indirectos intersectoriales. (o sea, se obtiene la matriz de los complementos y luego se la invierte; pero más adelante se hará una observación sobre este breve ejemplo como inadecuado en otros aspectos imput-output). En el capítulo 7 de la producción, se vuelve a estudiar estas matrices y su inversión, para calcular la producción total de la firma, invirtiendo los coeficientes técnicos directamente (sin la resta complemento de la unidad entes comentada) MATRIZ DETERMINANTE Por otra parte, Excel también tiene incorporada la función “mdeterm(A1:C3)” que calcula el determinante de la matriz NxN, simplemente anotando esta expresión en una celda y el rango del determinante: NO SIRVE CUALQUIER MATRIZ Sin embargo, no cualquier matriz tiene solución o representa un sistema de ecuaciones en la optimizació n empresaria; ni tampoco cualquiera representa un sistema de insumo-producto. Por ejemplo, uno de los requisitos exigidos en los sistemas es que no exista excesiva colinealidad entre las condiciones (en las 104 variables en un problema de estimación): si una restricción es un simple múltiplo de otra se reduciría en uno el orden del sistema. Otro condición necesaria es que el determinante de los coeficientes no sea nulo, etc. El álgebra de matrices, que aquí se presenta progresivamente según las necesidades, se amplía según sea el nivel de abstracción, especialmente para el tratamiento de la matriz insumo-producto. Conviene identificar a las matrices: Diagonal: con valores no nulos en la diagonal principal y el resto ceros. Dimensión: según el número de filas y columnas Rango: según el número de columnas linealmente independientes (o sea, si mediante operaciones elementales por fila puede reducirse una fila a ceros bajaría el rango en uno) Cuadrada: NxN; no cuadrada NxM. Nula: todos ceros; Unidad, I: unos en la diagonal principal y el resto ceros. Triangular: ceros debajo de la diagonal principal. Transpuesta: intercambiando filas por columna. Inversa: matriz cuadrada que multiplicada por la original son igual a la matriz unitaria. Invertible: si la dimensión coincide con el rango (no tiene ceros en alguna fila) Simétrica: si es igual a su transpuesta (coinciden las filas con las columnas). Antisimétrica: tienen ceros en la diagonal principal. Mágica, de suma k: sus filas, columnas y diagonales suman k (existían en Asia antes de Cristo; nada aportan al conocimiento; todavía). De orden NxM: N filas por M columnas. Ortogonal: su traspuesta es igual a su inversa. Involutiva: coincide con su inversa. Idempotente: es igual a su cuadrado. Nilpotente, de orden k: matriz cuadrada que elevada a la k es igual a cero. 105 APLICACIÓN MICROECONOMICA Si bien estas matrices I-P son una cuestión macroeconómica, sus publicaciones por los gobiernos de países constituyen una útil fuente de información, al menos para las empresas básicas. Sus datos son limitados a solo grandes agregados industriales (nada tienen que ver con los análisis axiomáticos teóricos de Arrow-Debreu sobre equilibrio general) y solo representan una imagen aproximada de la situación de un país en un determinado año censal. Pero pueden ser útiles en la empresa para observar las repercusiones directas y las indirectas de la actividad de alguna industria y por ejemplo, construir la función de demanda sectorial de una industria y/o gran empresa básica; también para observar las repercusiones de una inversión adicional de esa industria y conseguir financiamiento; o para calcular los efectos sobre la demanda anual empresaria proveniente de alguna expansión o promoción sectorial; etc. 106 IMPUT-OUTPUT Es de especial interés para las matrices tipo insumo-producto asegurar la existencia de solución: está garantizada si se cumplen las condiciones Hawkins-Simon: a) todos los menores principales de la matriz de coeficientes técnicos deben ser positivos. b) para obtener una producción neta positiva cada coeficiente debe ser menor a uno (sumar 1 cada columna….). c) el determinante de la matriz I-P deber ser positivo (en David Hawkins & Herber Simon: Note - Some Conditions of Macroeconomic Stability (Econometrica vol 17, jul-oct 1949 pag 245/248. J.M.Henderson -R.E. Quandt: Teoría Microeconómica: cap.10-Temas sobre el equilibrio del multimercado. Dorfman, Samuelson y Solow: Programación Lineal y Análisis Económico, cap.9-2-2). En este ejemplo anterior usual en los textos, no se cumple la condición b); sirvió aquí para presentar fácilmente la técnica de inversión de matrices I-P (se invierten los complementos de los coeficientes a la matriz unitaria); pero este caso particular no es realmente de insumo-producto (ya que se obtienen repercusiones directas e indirecta que sumarían menos producción que la repercusión directa inicial). En el próximo ejemplo para el enfoque teórico sobre equilibrio general se utiliza una matriz de coeficientes que cumple con las exigencias Hawkins-Simon para los análisis insumo-producto. EQUILIBRIO GENERAL DE PRODUCCIÓN-INTERCAMBIO Suponga un modelo de dos sectores de producción, caracterizado por las relaciones intesectoriales según la siguiente matriz de insumo-producto: A 4/6 2/6 1/ 6 2/6 En la cual los requerimiento de factores capital y trabajo para producir dos bienes son: X= mín(C, T) e Y = min(1/6C, 1/2T). Las dotaciones de la economía son 260 unidades de capital C y 120 unidades de trabajo T. La función de utilidad es del tipo multiplicativo, indicando las preferencias similares por el consumo final de ambos bienes: U = xy. La producción de ambos bienes deberá satisfacer las demanda finales x e y, así como los requerimientos intersectoriales intermedios, según la matriz de coeficientes técnicos que indica la matriz insumo-producto inicial. Restando la matriz A inicial a la matriz unitaria se obtiene la matriz "I-A" que figura en E6:F7; la matriz inversa de ésta se calcula como lo indica la imagen en H6:I7. 107 Dada la función U=XY se definen intercambios por M=$120. Resolviendo las condiciones de primero (punto de giro, igualando a cero las primeras derivadas) y segundo grado (determinante Hessiano=36, positivo) indican demandas finales por x=10 e y=10, que en función de los precios para ambos bienes totalizan ese importe. Multiplicando la matriz inversa por las demandas finales (o externas) se obtienen las producciones globales necesarias para cada bien (consumo final más intermedio) X = 60 e Y = 30. Multiplicando las restricciones H3:I4 por las producciones finales C13:C14 se obtienen los requerimientos de factores utilizados (y comparando con las dotaciones se observa que T=120 está plenamente ocupado, mientas que C=240 implica 20 ociosos. 108 MATRIZ INSUMO-PRODUCTO ARGENTINA 1997 La MIP permite cuantificar el incremento de la producción de todos los sectores, derivado del aumento en la demanda final de uno de ellos en particular. Ofrece una descripción detallada de la ruta que siguen los bienes y servicios hasta llegar a la demanda final. La MIP brinda a los empresarios la posibilidad de evaluar la participación relativa de su empresa en el total de una determinada rama de actividad, con sus consecuentes posibilidades de expansión de mercado. Además, las empresas conocen cual es la distribución sectorial de sus ventas normales y ponderando, pueden cuantificar los impactos directos e indirectos en la producción como consecuencia de cambios en la demanda final de cualquier sector, tanto sean expansiones o reducciones de empleo. Conforma así la MIP un preciso instrumento para la proyección de su demanda y análisis de mercado (que en Argentina es ahora posible incluir dentro del conjunto de las herramientas consideradas en este trabajo inicialmente). INDEC publicó en 2003/04 la MIP 1997 que registra la estructura productiva argentina actualizada a los cambios de política económica aperturista de los años 90 (el otro estudio, hecho por el Banco Central R.A. 30 años antes correspondía a otra tendencia económica, desarrollista pero todavía con incipiente expansión industrial) Las empresas suelen utilizar para sus proyecciones de demanda diversas valiosas encuestas y estudios parciales publicados por INDEC y al comparar con esta MIP les otorga un marco de consistencia que permite encuadrarlos y corregirlos 109 Pero además del pronóstico de demanda y análisis de mercados, la MIP también posibilita estudios diversos, como por ejemplo medir las consecuencias de cambios en las reducciones de desempleo por expansiones en la actividad de la construcción de obras públicas o privadas. También es útil para evaluar las repercusiones de alteraciones en el comercio exterior, midiendo la demanda directa e indirecta de importaciones de todos los sectores. También permite el análisis del tipo de insumos que requerirá la expansión de exportaciones en algún sector. La MIP también permite determinar el efecto en el nivel general de precios como consecuencia de la modificación de algunos de los precios sectoriales o de sus tasas tributarias. Para el análisis energético de cada sector la MIP permite calcular los contenidos directos e indirectos de los diferentes productos o sectores. Asimismo es posible el análisis del medio ambiente al relacionar las fuentes de contaminación y datos sobre emisiones en términos físicos con los cuadros insumo-producto, calculando el contenido de contaminación de la demanda final. Los estudiantes de microeconomía tienen a su disposición esta MIP 1997 en el INDEC, pero también pueden utilizar sus cuadros desde los site del curso. 110 Matriz Insumo Producto 1997 - ARGENTINA CONTENIDO Matriz Insumo Producto 1997 (Publicación completa formato PDF) Matriz Insumo Producto 1997 (Matrices Reducidas formato XLS) Matriz Insumo Producto 1997 (Matrices Reducidas formato PDF) Clasificador de Actividades Clasificador de Productos Matriz de oferta a precios básicos Matriz de utilización a precios de comprador Matriz de utilización a precios básicos Matriz de importaciones a precios de CIF Matriz de gastos de nacionalización de las importaciones Matriz de márgenes de comercio minorista de los productos importados Matriz de márgenes de transporte de carga de los productos importados Matriz de impuestos netos de subsidios sobre los productos importados Matriz de márgenes de comercio minorista de los productos nacionales Matriz de márgenes de transporte de los productos nacionales Matriz de impuestos netos de subsidios sobre los productos nacionales Matriz simétrica de insumo producto Matriz de coeficientes de requerimientos directos (o de coeficientes técnicos) Matriz de coeficientes de requerimientos directos e indirectos de producción Matriz de requerimientos directos e indirectos y multiplicadores de empleo Matriz de generación del ingreso y puestos de trabajo INDEC 111 METODO SIMPLEX, EN FORMA ESTANDAR Y CANONICA Se expuso antes la forma simplificada del método Simplex tabular para programación lineal, que se elaboró a partir de los trabajos iniciales de Dantzing (Michigan,1936), terminando el secreto bélico y tras las publicaciones de 1947. En cuanto a la forma canónica se refiere simplemente a la presentación del sistema de restricciones como <= para casos de máximos; o de >= para los casos de mínimos. La forma estándar del Simplex presenta las variables básicas más las de holgura (slack u ociosidad) como igualdades (=, para ubicar el sistema en la frontera acodada de las posibilidades de producción (o puntos extremos del perímetro del polígono exclusivamente convexo que forman los ejes cartesianos y las restricciones); además solo incluye variables no negativas; y los términos independientes (recursos) son positivos (si fueran negativos se multiplica la fila por -1). Dado un problema expresable en relaciones lineales, como por ejemplo la producción de la carpintería Zonda, Mesas Sillas Recursos 1 0 3 0 1 6 6 4 36 $8 $3 - Restricción 1 Restricción 2 Restricción 3 Beneficio/u. Optimizar este sistema implica los siguientes pasos: 1) presentar la matriz del sistema con las variables básicas más las variables de holgura, ampliado con los términos independientes (o viable saliente) 2) Sobre la línea de títulos o encabezados se anotan los coeficientes de la F.O. para cada variable básica y slag (línea Cj ) Cj= 0 0 0 X3 X4 X5 Cj – Zj= 8 X1 1 0 6 8 3 X2 0 1 4 3 0 X3 1 0 0 0 0 X4 0 1 0 0 0 X5 0 0 1 0 VS 3 6 36 θ 3 6 3) En la tabla inicial se le agregan a la izquierda una columna para las variables que intervienen en este paso del cálculo y otra para los coeficientes que ellas tengan en el funcional ( F.O.) 4) Se calcula una última fila Cj-Zj como la resta del respectivo Cj menos la Zj o suma producto de los coeficientes del paso anterior por los respectivos coeficiente de cada columna. 5) En esta última fila se seleccionará el mayor positivo, para indicar la variable entrante en la próxima tabla 6) Se agrega una última columna θ calculándola por división de los coeficientes de la VS / variable entrante. El menor positivo resultante indicará la variable saliente en la próxima tabla. 112 7) La intersección de la fila y columnas saliente y entrante se toma como pivote para calcular la próxima tabla (se señala aquí con corchetes ) 8) Se vuelve a tomar el sistema de variables básicas más de holgura ampliado con los t.i. para modificarlo mediante operaciones elementales por fila (o triangulación), para logar que el pivote sea uno y el resto de esa columna sean ceros. 1 0 0 0 1 4 1 0 -6 0 1 0 0 0 1 3 6 18 9) En la próxima tabla se reemplaza la variable saliente por la entrante (con sus respectivos coeficientes de la F.O.) Cj= 8 0 0 X1 X4 X5 Cj – Zj= 8 X1 1 0 0 0 3 X2 0 1 4 3 0 X3 1 0 -6 -8 0 X4 0 1 0 0 0 X5 0 0 1 0 VS 3 6 18 θ 6 4,5 10) Tal como en 4) se calcula la última fila Cj – Zj como la resta del coeficiente Cj por la sumaproducto del coeficiente del funcional por el coeficiente de la respectiva columna. La nueva variante entrante será el mayor positivo. 11) Se calcula la última columna θ tal como en 6), también la variable saliente y por intersección de fila y columna el nuevo pivote para calcular la próxima tabla. 12) Si es necesario se repiten las operaciones por fila de 8) para convertir el ultimo pivote en uno y en ceros el resto de esa columna 1 0 0 0 0 1 1 1,5 -1.5 0 1 0 0 -1/4 1/4 3 1.5 4.5 También se calcula la próxima tabla reemplazando la variable saliente por la entrante (y su coeficiente en la FO) Cj= 8 0 3 X1 X4 X2 8 X1 1 0 0 3 X2 0 0 1 0 X3 1 1.5 -1.5 0 X4 0 1 0 0 X5 0 -1/4 1/4 VS 3 1.5 4.5 θ 113 Cj – Zj= 0 0 -3.5 0 -3/4 La solución óptima surgirá en la columna VS cuando en la última fila hay solo ceros o negativos. En este caso la producción óptima y máximo Beneficio será =$8(3 mesas) +$3(4,5 sillas) = $37,50 y queda capacidad ociosa por 1,5 en la segunda restricción. Los precios sombra (remuneraciones) son 3,5 y ¾ para las dos restricciones agotadas, para estos casos de sistemas no cuadrados NxM (variables y restricciones). SIMPLEX MATRICIAL Sea optimizar la producción de autos y motos, maximizando el beneficio =$2,5(X1) +$2(X2), sujeto a: de este funcional Z Autos Motos Recursos Hs.hombre 1 2 <= 8000 Hs. Maquina 3 2 <=9000 Para los sistemas NxN el proceso Simplex matricial consiste en ubicar una matriz unitaria a la derecha de la de los coeficientes técnicos (equivale a completar el sistema con las variables de holgura en la presentación algebraica); también se agrega otra columna con los términos independientes (o recursos). Luego se efectúan operaciones aritméticas elementales por línea hasta que esta matriz unitaria quede a la izquierda (con unos en la diagonal principal y ceros abajo y arriba de ella). X1 Hs/h 1 Hs/m 3 2,5 X2 2 2 2,0 X3 1 0 0 X4 0 1 0 V.S. 8000 9000 Z En este caso ya es 1 el elemento de la fija 1 y columna1 (elemento 1 1) y solo se deben ubicar ceros debajo de este elemento. Restando a la anterior fila 2 la fila1 por3 surge la segunda fila de la próxima tabla. Restando a la anterior fila 3 la fila 1 por 2,5 surge la tercera línea de esta próxima tabla: 1 0 0 2 -4 -3 1 -3 -2,5 0 1 0 8000 -15000 Z-20000 El próximo paso es conseguir 1 en el elemento 2 2 (multiplicando la vieja fila 2 por 1/4) y ceros arriba y debajo de él. A la anterior fila 1 se le suma la fila 2 por ½; y a la anterior fila 3 se le resta la fila 2 por ¾, según muestra la siguiente tabla. 1 0 0 1 -1/2 ¾ ½ -1/4 500 3750 114 0 0 -1/4 -3/4 Z-8750 Esta tabla ya muestra la solución del sistema, porque las variables reales muestran ceros en la última fila y solo hay elementos cero o negativos en esta última fila. En la columna de los recursos figuran las cantidades optimizantes: X1= 500 autos; X2= 3750 motos; con beneficios por $8750. Bajo las columnas X3 y X4 quedaron los precios sombra o contribución marginal / remuneración de ambos recursos /factores productivos. 115 INVESTIGACION OPERATIVA CON EXCEL, WINQSB; GAMS, LINDO, TORA, OTROS Al igual que con los estudios econométricos aquí incluidos, también es usual efectuar la investigación de operaciones mediante aplicaciones de Excel (con Solver y con matrices inversa, matriz multiplicar y matriz determinante). Sin embargo, en la generalidad de los casos no es posible controlar manualmente los cálculos, debido a la intervención de múltiples variables. Para asegurar la precisión de los resultados de un análisis hecho con Excel puede resultar conveniente complementar o contrastarlos efectuándolos también con otros utilitarios, como por ejemplo con los aquí enunciados. PROGRAMACIÓN LINEAL CON WINQSB La ventana principal muestra varias alternativas para los análisis empresariales: un módulo de programación lineal otro de programación no lineal , árbol de decisiones, inventarios , el método para la ruta /camino critico (CPM ) y el diagrama PERT entre otras aplicaciones. En este caso se elige Linear and Integer Programamming (programación lineal y entera) y en la siguiente ventana se anotan el número de variables y el de restricciones; tildando maximizar para este caso de la carpintería Zonda. 116 En la próxima ventana se anotarán los datos del problema de optimización de la carpintería Zonda: maximizar el beneficio de producir mesas y sillas B= $8(x1) + $3(x2), sujeto a las restricciones de requerimientos y disponibilidades en los talleres de carpintería, tapizado y expedición que se muestran en el cuadro, encolumnando los datos para la variable X1, luego para la columna X2 y finalmente para los términos independientes. Para terminar, se pedirá a WinQsb los resultados pulsando en el menú superior sobre Solve and Analize y También en Solve the Problem, para que aparezcan los resultado en la ventana final. 117 Los resultados son los mismos que se obtienen con Solver de Excel: se maximiza el beneficio con B= $8(3 mesas)+ $3 (4,5 sillas)= $37,50. El cuadro muestra los precios sombra (Shadow Price) y los valores sobre la sensibilidad del proyecto (cambios en los coeficientes de la F.O. y del lado derecho de las restricciones, o sea los recursos, sin afectar al resultado final). METODO GRAFICO CON WINQSB La solución según el método gráfico de programación lineal es también muy simple con WinQsb. Según lo comentado anteriormente, se trata de elegir ahora Grafic Method, como muestra la imagen. 118 Se acepta en la próxima ventana con OK lo establecido como default para las variables que van en la abscisa y en la ordenada. El gráfico final muestra las tres restricciones graficadas en verde; también la función objetivo graficada en rojo. WinQsb no graficó la familia de líneas de la función objetivo, sino solamente la del máximo beneficio (aquí con abscisa 4,5) y que es tangente a la frontera acodada de las posibilidades de producción según las tres restricciones, para marcar la solución como punto de máximo beneficio (con coordenadas 3 sillas (X1) y 4,5 mesas (X2). 119 A la derecha imprime el objetivo $37,50 y esas cantidades producidas (la restricción carpintería es X1= 3; la restricción tapizado es X2= 4.5; la restricción expedición es X1= 6 y X2=9). PROGRAMACION LINEAL CON GAMS El lenguaje matemático genérico es útil para la programación y solución de problemas, pero resulta impráctico para casos efectivos de la realidad empresarial concreta. Tiene limitaciones para resolver manualmente casos con más de 4 ó 5 variables y se hace imprescindible recurrir a utilitarios como GAMS u otros, que permiten cientos y miles de variables, en sistemas efectivamente NxN y otros NxM con programación lineal. En la pantalla inicial de trabajo de GAMS pueden escribirse los bloques necesarios. Si se antepone en cada línea un* (asterisco) serán texto solo orientativo (o bien ubicándolos entre $ontext….. y $offtext). 120 Por ejemplo, optimizar la producción de mesas y sillas en la Carpintería ZONDA, Max B = $8(X1) + $3(X2), X1 <= 3 Sujeto a: X2 <= 4,5 6X1+4X2<= 36 Los datos de trabajo conforman otro breve bloque directamente a continuación. A continuación se pulsa sobre File / y Run y GAMS imprime una larga lista con los pasos efectuados, observaciones y resultados. Esta lista puede consultase abriendo con File / Open el archivo generado (en este caso untitle_1.lst). 121 ……………... GAMS Rev 145 x86/MS Windows 06/24/11 14:02:34 Page 1 General Algebraic Modeling System Compilation 1 VARIABLES 2 X1, X2, F; 3 POSITIVE VARIABLES 4 X1, X2; 5 6 EQUATIONS 7 OBJ, R1, R2, R3; 8 9 OBJ.. F=G= 8*X1+3*X2; 10 R1.. X1=E= 3; 11 R2.. X2=E= 4.5; 12 R3.. 6*X1+4*X2=E= 36; 13 14 MODEL LINEAL /OBJ, R1, R2, R3/; 15 SOLVE LINEAL USING LP MAXIMIZING F; (conviene repasar los términos numéricos, ya que GAMS no puede detectar errores de tipeo de este tipo) COMPILATION TIME = 0.000 SECONDS 2 Mb WIN222-145 Apr 21, 2006 GAMS Rev 145 x86/MS Windows 06/24/11 14:02:34 Page 2 General Algebraic Modeling System Equation Listing SOLVE LINEAL Using LP From line 15 ---- OBJ =G= ( =G= …o >=, máximos) OBJ.. - 8*X1 - 3*X2 + F =G= 0 ; (LHS = 0) ---- R1 =E= R1.. X1 =E= 3 ; (LHS = 0, INFES = 3 ***) (el lado izquierdo LHS comienza con 0 según la restricción >=) ---- R2 =E= R2.. X2 =E= 4.5 ; (LHS = 0, INFES = 4.5 ***) ---- R3 =E= R3.. 6*X1 + 4*X2 =E= 36 ; (LHS = 0, INFES = 36 ***) GAMS Rev 145 x86/MS Windows 06/24/11 14:02:34 Page 3 General Algebraic Modeling System Column Listing SOLVE LINEAL Using LP From line 15 ---- X1 (GAMS encolumna los coeficientes de cada de la FO en el primer miembro con signo negativo) X1 (.LO, .L, .UP = 0, 0, +INF) -8 OBJ 1 R1 variable en la FO y restricciones; pone los 122 6 R3 ---- X2 X2 (.LO, .L, .UP = 0, 0, +INF) -3 OBJ 1 R2 4 R3 ---- F F (.LO, .L, .UP = -INF, 0, +INF) 1 OBJ GAMS Rev 145 x86/MS Windows 06/24/11 14:02:34 Page 4 General Algebraic Modeling System Model Statistics SOLVE LINEAL Using LP From line 15 MODEL STATISTICS BLOCKS OF EQUATIONS 4 SINGLE EQUATIONS 4 BLOCKS OF VARIABLES 3 SINGLE VARIABLES 3 NON ZERO ELEMENTS 7 GENERATION TIME = 0.031 SECONDS 3 Mb WIN222-145 Apr 21, 2006 EXECUTION TIME = 0.047 SECONDS 3 Mb WIN222-145 Apr 21, 2006 GAMS Rev 145 x86/MS Windows 06/24/11 14:02:34 Page 5 General Algebraic Modeling System Solution Report SOLVE LINEAL Using LP From line 15 SOLVE SUMMARY MODEL LINEAL OBJECTIVE F TYPE LP DIRECTION MAXIMIZE SOLVER CPLEX FROM LINE 15 **** SOLVER STATUS 1 NORMAL COMPLETION **** MODEL STATUS 3 UNBOUNDED **** OBJECTIVE VALUE 37.5000 RESOURCE USAGE, LIMIT 0.078 1000.000 ITERATION COUNT, LIMIT 0 10000 GAMS/Cplex Apr 21, 2006 WIN.CP.NA 22.2 031.034.041.VIS For Cplex 10.0 Cplex 10.0.1, GAMS Link 31 Presolve found the problem infeasible or unbounded. Rerunning with presolve turned off. Dual infeasible or unbounded. Switching to primal to aid diagnosis. Model has an unbounded ray. **** ERRORS/WARNINGS IN EQUATION OBJ 1 error(s): 1 Unbounded equation (slack variable) LOWER LEVEL UPPER MARGINAL ---- EQU OBJ . . +INF 1.000 UNBND ---- EQU R1 3.000 3.000 3.000 . ---- EQU R2 4.500 4.500 4.500 -2.333 ---- EQU R3 36.000 36.000 36.000 1.333 LOWER LEVEL UPPER MARGINAL ---- VAR X1 . 3.000 +INF . ---- VAR X2 . 4.500 +INF . ---- VAR F -INF 37.500 +INF . **** REPORT SUMMARY : 0 NONOPT 0 INFEASIBLE 1 UNBOUNDED (UNBND) EXECUTION TIME = 0.016 SECONDS 2 Mb WIN222-145 Apr 21, 2006 USER: GAMS Development Corporation, Washington, DC G871201/0000CA-ANY Free Demo, 202-342-0180, [email protected], www.gams.com DC0000 **** FILE SUMMARY Input E:\Mis documentos\gamsdir\Untitled_2.gms Output E:\Mis documentos\gamsdir\Untitled_2.lst. 123 PROGRAMACION LINEAL CON TORA Handy A.Taha, I. O, propone utilizar también el programa Tora para contrastar problemas de programación línea hechos con otras aplicaciones Sin embargo, la versión disponible en la red sin cargo no presenta la posibilidad de adaptación a problemas de programación lineal no entera y los resultado del problema de la carpintería Zonda con esta restricción adicional son así enteros, 3 mesas y solo 4 sillas (no 4,5 sillas), con un beneficio de solo $36 en vez de los $ 37.50 con Excel y otros. Este utilitario es de manejo intuitivo sencillo para los casos que trae prediseñados. En el menú principal se anotan los datos del problema y se guardan los datos en un archivo.txt Se pulsa luego en Solver y permite elegir la solución gráfica o la solución algebraica. En esta se pueden ver la iteraciones o la solución final: La salida de resultados muestras esta solución bajo programación entera: 124 Y para este caso de programación entera la salida como gráfico muestra esta salida: 125 PROGRAMACION LINEAL CON LINDO Ejemplo de la carpintería Zonda con Lindo Systems Handy A. Taha, Investigación Operativa ( Un. Arkansas), propone utilizar el programa de Lingo Sistems Lindo (y Lingo). En la automática ventana auxiliar (untitled) de Lindo 6 se debe anotar, separando con espacios los coeficientes de sus variables (y también de las instrucciones, en este caso MAX; y Subjet To (o simplemente ST aquí); y terminar con END. Lindo admite cientos de variables (y Lingo miles); están diseñados para procesar escribiéndoles como aquí solamente la función objetivo; Subjet To (o ST); las restricciones de >= y/o <=; y terminado con END: MAX 8 X1 + 3 X2 ST 2) X1 <=3 3) X2 <= 4.5 4) 6 X1 + 4 X2 <= 36 END Finalmente, se pulsa Solve en el marco superior de Lindo; y luego se tilda Sensitivity para que imprima el rango de sensibilidad, mostrando estos resultados: LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 37.50000 VARIABLE X1 X2 VALUE 3.000000 4.500000 REDUCED COST 0.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS 2) 0.000000 3) 0.000000 4) 0.000000 No. ITERATIONS= 2 DUAL PRICES 3.500000 0.000000 0.750000 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT COEF ALLOWABLE INCREASE ALLOWABLE DECREASE 126 X1 X2 ROW 8.000000 3.000000 CURRENT RHS 2 3 4 INFINITY 2.333333 3.500000 3.000000 RIGHTHAND SIDE RANGES ALLOWABLE ALLOWABLE INCREASE DECREASE 3.000000 4.500000 36.000000 3.000000 INFINITY 0.000000 0.000000 0.000000 18.000000 Interpretación de estos INFORMES DE RESULTADOS: La función objetivo muestra como resultado =$ 37,50, según la solución óptima de producir X1= 3; X2= 4,5 unidades. Los precios sombra (remuneraciones o precios duales) para los recursos agotados en la primer y tercer restricciones son $3,50 y 0,75 respectivamente. Holguras: quedan ociosos recursos de la segunda restricción por 4,5 unidades. El Análisis de sensibilidad se muestra en estos dos cuadros anteriores: a) para los coeficientes de las variables de la función objetivo (OBJECT COEF) y b) para los lados derechos de las restricciones (RHS). En a) se muestra el coeficiente y la cantidad de crecimiento y de decrecimiento permitidos para la función objetivo (dentro de los cuales la solución seguirá siendo la misma), que se obtienen sumando y restando respectivamente esas cifras al coeficiente correspondiente. En b) se muestra las cantidades de crecimiento y decrecimientos permitidas (dentro de las cuales la solución seguirá siendo la misma) para cada lado derechos de las restricciones. Para determinar el rango dentro del cual la solución seguirá siendo la misma, se deben sumar y restar respectivamente al lado derechos que tenga la cada restricción. 127 128 SISTEMAS CON 1700 VARIABLES SISTEMAS DE ECUACIONES NxN Excel dispone de la macro Solver que permite diferentes planteos para resolver problemas, como es el caso de los sistemas de ecuaciones. Utilizaremos un ejemplo de 2 ó 3 ecuaciones, con solo 4 o 6 variables y/o restricciones, para simplificar lo que estas herramientas permiten para cientos de variables. SISTEMAS NxN CON SOLVER DE EXCEL (VALORES DE) Supongamos el siguiente sistema con los coeficientes de las variables X, Y, Z y los términos independientes S (por ej. los recursos, capacidades, condiciones, requerimientos, etc) X Y Z S - - 1 2 0 0 3 2 = 13 - 3 4 1 = 19 = 9 Elegimos un formato de celda de tipo Número (con 2 decimales), mediante Inicio /Formato. En las celdas C1:C3 escribimos cada ecuación en su forma homogénea (observe el cursor que muestra la tercera en C3). En E1 escribimos la función objetivo (FO), en este caso como =C1^2 +C2^2 +C3^2 o suma de los cuadrados de cada ecuación (que el sistema utiliza para minimizar desvíos sin que se anulen). Se abre Solver en Datos / Solver/ y se tilda la opción “Valores de”….0. 129 En “Cambiando las celdas”: se anota o introduce H1:H3, que será la zona donde Solver anotará las 3 soluciones del sistema con Resolver. El proceso con Solver es similar para casos con muchas variables. SISTEMAS DE ECUACIONES NxN CON EXCEL, STATA, EVIEWS, MATLAB, SPSS Suele ser necesario verificar comparando las soluciones de sistemas obtenidas con algún utilitario mediante lo obtenido con otros. METODO DE DETERMINANTES: Los utilitarios STATA, Eviews Matlab resuelven sistemas de ecuaciones mediante el “método de determinantes”. Calculan el determinante de los coeficientes (S) y también otro determinante para cada variable Xi (i= X, Y, Z, …) en el cual se reemplaza la columna de la variable por la de los términos independientes (las restricciones, capacidades, condiciones, requerimientos, etc.) Finalmente los valores de cada variable que solucionan el sistema surgen por división del determinante de cada variable Xi por el de los coeficientes S (x1 = X / S, etc.). Estos determinantes S y Xi se preparan fácilmente en una hoja Excel, con suficientes copias del S a las que se le pegan los términos independientes en la respectiva columna del Xi. Luego se copiarán todos ellos hacia el utilitario SPSS, STATA o Eviews. SISTEMAS NXN CON DETERMINANTES EN EXCEL En la hoja del siguiente cuadro se utilizó =mdeterm( ) para calcular en la columna D el determinante de los coeficientes técnicos de A2:C4 y otros tres más abajo. 130 . En tres copias de los coeficientes más abajo, se reemplazó una columna por copia de los términos independientes E2:E4 (en amarillo) pegándolas en la primer columna de A6:A8 para calcular X, en la segunda de B10:B12 para calcular Y en la tercera de C14:C16 para calcular Z. Se encontraron en la columna F los valores de la solución del sistema, por simple división de esos determinantes, X= -3, Y= , Z= 2 SISTEMAS DE ECUACIONES NxN CON STATA Resolvemos el mismo sistema de 3x3 también mediante Stata 10.1, apuntando a que todos estos utilitarios permiten resolver con igual simplicidad sistemas con cientos de variables. 1 S 2 0 3 3 4 0 2 1 Conviene anotar la matriz de los coeficientes en una hoja Excel, y hacerle ahí tantas copias como variables a resolver, a efectos de copiarle el vector columna de los términos independientes reemplazándoles la columna de la variable respectiva. 13 X 2 0 19 3 2 9 4 1 1 Y 13 0 19 3 9 0 2 1 Z 1 2 0 3 19 13 3 4 9 Estas matrices serán luego copiadas y pegadas al Stata (u otro utilitario estadístico) para calcular los valores de la solución. 131 Se ejecuta el programa Stata y se pulsa Data / Matrix / Imput matrix by hand / y en la siguiente ventana Matrix input se anota o pega la matriz de los coeficientes; se le anota el nombre S (mayúscula); la dimensión 3 x 3 en este caso abreviado y OK. Se procede en forma similar para la matriz de cada variable X, Y, Z, etc (con su respectiva nombre en mayúsculas) Como se ha definido en el Stata que el sistema es de 3x3, si uno comete algún paso erróneo se deberá recomenzar el proceso (por esto se recomienda tener las matrices preparadas en una hoja Excel). Hasta aquí Stata simplemente calculó el valor de cada matriz y para calcular los valores de las variables en la solución del sistema se pulsa en Data / Other Utilities / Han calculator / Create / Matrix y con clic en Det( ) y en / se introduce en el marco Expression builder la expresión Det(X)/Det(S) Click en OK y nuevamente en OK, de modo que en el cuadro de resultados aparecerá el valor de X = -3. De manera similar se obtienen los valores de las otras variables Y = 5 , Z= 2, etc. 132 Si se necesita borrar todas las matrices se usa Data / Matices / Drop matrices / OK. 133 SISTEMAS DE ECUACIONES NxN CON EVIEWS Ejecutar el programa y picar en File / New / Workfile; luego en Workfile Structure Type seleccionar Unstructered-Undated; y en Observations anotar 3 (o la cantidad de variables que sea…) / y OK. En Objet / New Objet / Type of Objet seleccionar Matrix Vector Coef. / OK; en Name for Objet / S en mayúsculas / y OK; en Rows / 3; columns / 3 (o la cantidad de variables que sea). Este nombre S corresponde al determinante de los coeficientes. 134 En la nueva ventana picar en Edit+/- y permitirá pegar este determinante S que copiemos desde una hoja Excel, según lo sugerido unos párrafos antes. En el cuadro de resultados (aquí a la izquierda) aparecerá una referencia a los objetos creados: c; resid; y esta matriz determinante S. Se repite este proceso para crear objetos a fin de copiar y pegar justo con cada nuevo objeto el terminante de cada variable; e irán apareciendo en el cuadro de resultados sus referencias (aquí a la izquierda muestra hasta la matriz Z que también aparece pegada en el marco derecho). 135 Finalmente, se procede a calcular los valores de la solución de cada Xi tipeando en el marco superior una leyenda parecida para cada una (en minúsculas): scalar x1=@det(X)/@det(S) para la variable X; al pulsar sobre el icono del cálculo #x se mostrá el valor respectivo. En forma similar se procede para las demás variables: scalar y1 =@det(Y)/@det(S) para la variable Y, etc. Con doble clic sobre #x1; #y1 ó #z1 mostrará el resultado de cada variable solución del sistema.(aquí #z1 escalar figura como 2,00000) 136 SISTEMAS DE ECUACIONES Y MATRICES CON MATLAB La operatoria con Matlab en entorno Windows es bastante intuitiva; también requiere comandos particulares, que pueden consultarse con la ayuda del marco superior (Help), o con >>helpwin (o >>lookfor matrix, por ejemplo). Es posible modificar las sentencias escritas y retroceder o avanzar utilizando las techas de dirección (arriba, abajo) y se las puede separar con coma ( , ) o bien cambiar de línea poniendo triple punto al final (…). Anteponiendo % se escriben comentarios solo texto aclaratorio no operativos. Se pueden definir variables con hasta 19 caracteres alfanuméricos. Con >>who (o >>whos) se rescatar las variables en uso. Si los cálculos son largos se pueden ocultar de la pantalla poniendo punto y coma ( ; ) al final de la sentencia y solo mostrará así el resultado. Para borrar variables se utiliza >>clear o bien >>clear, para borrarlas todas. MATRICES: Se escriben entre corchetes y se separan sus filas con punto y coma ( ; ) >>A=[1 -2 0; 0 3 2; 3 4 -1] 1 -2 0 Mostrará A= 0 3 2 3 4 -1 es la matriz inversa de A (o sea, A-1 ) calculará el determinante de la matriz A (respondiendo en este caso: ans= -23 ) >>A^3 eleva la matriz A a la potencia 3. >>eye(n) escribe la matriz unitaria de orden n (ceros, salvo la diagonal principal con unos). >>inv(A) >>det(A) 137 En los ejemplos anteriores se resuelve un sistemas de 3x3 por el método de los determinantes y por el de la matriz inversa. Con Matlab se ejemplifica aquí con el de la matriz inversa, multiplicando la inversa de los coeficientes por el vector de los términos independientes. En la pantalla de Matlab aparece definida la matriz A; luego se calculó la inversa de A; y al final se definió el vector columna o determinante de los términos independientes. DETERMINANTES: Un vector fila se escribe >>x=[3; 4; -0.7] o bien >> X= 5: 2: -0.7 Un vector columna >>X=[1; 0; 3] El vector traspuesto es >>x‟ >>D=A*x es el producto (D) de una matiz A por un vector x, previamente definidos. En este ejemplo Matlab muestra el resultado esperado: X= -3; Y= -5; Z= 2. En la pantalla final se resuelve el sistema del ejemplo de 3x3, multiplicando la matriz inversa de A por el vector de los términos independientes (S) como Q; y muestra el resultado esperado X= -3; Y= -5; Z= 2. (al final de la pantalla también figura una matriz unitaria de orden n). 138 Matlab es un utilitario de operaciones matemáticas, que permite además gráficos muy detallados. SISTEMAS NxN CON SPSS Damodar N. Gujarati también propone en Econometría usar SPSS para los análisis; en este caso con SPSS de IBM. 139 Ejecutando el Pasw Statistics 18 se presenta la ventana para abrir un documento existente o bien pasar a la siguiente ventana de trabajo. En la ventana de trabajo incorporamos como datos (pestaña inferior Vista de Datos) la matriz de coeficientes técnicos y también sendas copias, que tenga cada una reemplazada la columna de una variable por el vector columna de los términos independientes. 140 En este ejemplo de dos variables figuran así seis columna de datos, pero pulsando en la pestaña inferior Variables se pueden agregar más variables. En este ejemplo de dos variables figuran así seis columna de datos, pero pulsando en la pestaña inferior Variables se pueden agregar más variables. 141 Al ejecutar pulsando en el botón verde aparecerán los resultado en la ventana de resultados 142 CAPITULO 3 ESTIMACION DE FUNCIONES Baumol, edición 1980 Aguilar, en biblioteca, cap 10. En la empresa se estima funciones de demanda, oferta, costo, ingresos, utilidad, etc. pero fundamentalmente interesan las de demanda. En los estudios de mercado (demanda y oferta) se pronostica la demanda recurriendo a métodos múltiples: a) estudios de mercado basados en encuestas; b) experimentos controlados, como regalar bonos para comprar un producto con varias marcas disponibles en ese local; c) métodos estadísticos, especialmente el de mínimos cuadrados con Excel (ya que el de máxima verosimilitud es costoso, prohibitivo, porque implica anticipar todos los escenarios posibles)... Yaqui entra Excel y su correlación múltiple, regresión, tendencia, o proyección que son similares... y de Excel es fácil y de uso generalizado en todas las empresas. d) pero les agrego aquí también como importante el método de los " modelos de simulación de ofertademanda global", mediante el análisis macroeconómico de coyuntura: los analistas pronosticas la evolución próxima del sector construcción, industrias, agro, minería, etc. y se la pondera según la estructura sectorial de sectores compradores del bien o insumo, obteniéndose un % promedio que uso para pronosticar la demanda del bien (veremos algún ejemplo más abajo, junto con: METODOS ESTADISTICOS: MÍNIMOS CUADRADOS-MANUALMENTE: El caso más simple es una correlación precio (P)-cantidad (X). No sirve para estimaciones en las empresas, pero es útil para facilitar la interpretación del método que luego utilizaremos en Excel (con varias variables independientes además del precio). Son necesario más de 30 datos, pero usaremos aquí solo seis (N=6): X P P2 X2 PX X*= a -bP 0 1 2 3 4 5 15 8 7 6 5.5 4 3 33.5 64 49 36 30 16 9 204 0 1 4 9 16 25 55 0 8.1 -1(8) = 0.1 7 8.1 -1(7) = 1.1 12 8.1 -1(6) = 2.1 16. 8.1 -1(5.5) = 2.6 16 8.1 -1(4) = 4.1 15 8.1 -1(5) = 5.1 66.5 (hemos sumado) Lo primero sería hacer con papel y lápiz un dibujo (“ploteo”) de todos estos puntos P y Q a fin de hacer un ajustamiento a mano alzada y ver que la línea que dejaría menores desvíos sería una recta (con pendiente negativa; tipo demanda), ya que por ejemplo una curva en tipo de U hubiera dejado mucho desvíos entre ella y los datos de P y Q. Elegido así el ajuste lineal, calcularemos la recta de ajuste o correlación X* = a –bP para la cual este proceso de mínimos cuadrados, dispone los siguientes coeficientes: 143 a = ∑X ∑P2 – ∑P ∑XP / N∑P2 – (∑P)2 = = 15(204) – 33.5 (66.5) / 6(204) – 1122 = = 836 / 103 = 8,1 b = N ∑PX -∑P∑X / N ∑P2 (∑P)2 = = 6(66.5) – 15(33.5) / 6(204) – 1122 = 399 - 502,5 / 103 = -1 Es decir que la recta de ajuste es X* = 8,1 –bP Para comprobar que esto tiene algún sentido, hacemos el cálculo a la derecha de cada dato real, tal como figura en ese cuadro (hay poco desvío entre los datos estimados X* y los reales X) Por otra parte, el método también aporta el coeficiente de correlación R: R = N ∑PX – ∑P ∑X / (N∑P2 – (∑P)2)1/2 (N∑X2 – (∑X)2)1/2 = = 6(66.5) – 15(33.5) / (6(204) – 1122)1/2 (6(55) -225)1/2 = -103 / 104 = -0.99 alta correlación, negativa, con 99% de ajuste y solo 1% de desvío. Sin embargo, Excel calcula en forma casi instantánea estos coeficientes, incluso para casos con muchas variables independientes, que es la forma usual de estimar funciones en las empresas. NOTA (paréntesis) sobre ELASTICIDAD MEDIA: un comentario aparte, es que este coeficiente b (arriba –b) es el que necesitamos para calcular la elasticidad media estudiada en la unidad 2): que era Em = b (∑P /∑X) En este caso la elasticidad de esta demanda sería Em = (-1) (33,5 / 15) = -2,2 (demanda muy elástica; y considerando el signo (-) marshalliano este bien X es típico, con Em = 2,2. 1er TP obligatorio en Excel sobre elasticidad media (y correlación simple): Todos los alumnos deben presentar un ejemplo como este cálculo de Em pero hecho con Excel, tal como se hace aquí ahora. Lo harán con comentarios teórico-prácticos tipo informe profesional, que contenga 5 partes: identificación del TP y del alumno; introducción de un párrafo diciendo que cosa va a explicar y los supuestos (como un diga que va a decir); desarrollo comentando ampliamente los pasos del proceso aritmético u otros (o sea, como un dígalo); conclusiones en un párrafo (como un diga que dijo); y fuentes de información con título, autor, editorial o sitio web…. y año!. Ejemplo de TP con su informe profesional: Cálculo de la elasticidad media de la demanda de pepinos mediante Excel por S. Eiras Bs. As. 30/06/1995 Se suponen solo 6 datos de Q y P, pero como una simplificación aquí de los 30 ó 40 datos necesarios. Se anotaron los datos de Q y P de pepinos en una planilla Excel en el rango A2:B6. Se abre la aplicación Herramientas/ Análisis de Datos / Regresión (en Office 2007 es con Datos /Análisis de Datos / Regresión… y si no aparece buscarla en Complementos o con el icono inicial izquierda /abajo Opciones de Excel / Complementos / abajo Complementos Excel / Ir…/y Tildar Herramientas para Análisis …y también Solver). 144 Al aplicar Análisis de Datos se pulsa en Regresión y le pide que indique o pinte el rango de las Q (A2:A6); luego el rango de los P (B2:B6) y le imprime más abajo o en hoja aparte varios coeficientes: Arriba el Coef.de correlación r = 0.99 (o sea que solo hay un 1% de desvío medio cuadrático); su análogo el coef. determinación r2=0.98 (y el r2ajustado es para los casos de correlación con múltiples variables independientes como en el ejemplo de los helados). Como análisis de la variancia o de variación de cada dato estimado con los reales (que eleva al cuadrado para que no se anulen los desvíos por - y por +) entrega los coeficientes F y T que veremos con la correlación múltiple en un siguiente caso. También entrega la ordenada al origen y pendiente de la recta de ajuste: intercepción = +8,1 y variable X1= -1. Excel determino que el ajuste correspondió a una línea recta con pendiente negativa -1 (tal como habíamos ya hecho a mano alzada con papel y lápiz). La recta de ajuste es X* = 8,1 –bP y se debieran anotar estos valores estimados para cada P de modo que queden al lado de los datos reales de pepinos y ver si el ajuste indica para cada P una cantidad estimada parecida al dato real. El objetivo primario de obtener estas funciones de ajuste es disponer de un método para estimar la demanda de pepinos del año próximo, ….si alguien le informara a uno cual se supone que iría a ser el P para el próximo año. Aquí también utilizamos este ajuste para calcular la elasticidad media o promedio de estos 40 datos (aquí 6 para abreviar): La Em = b (∑P /∑Q) , o sea, (-1) (33,5 /15) = -2,2 y haciendo uso de la convención marshalliana sobre anteponer el signo (-) resulta Em = 2,2, porque lo que esta demanda de pepinos es bastante o muy elástica (es un bien no muy necesario: si suben los precios bajaría mucho la cantidad y viceversa si bajan) y se trata de un bien típico por ser positiva. Se utilizó como fuente ….. CORRELACION MÚLTIPLE CON EXCEL - HELADOS La Unidad 3 se interesa por la estimación de funciones (especialmente con Excel); en particular las funciones de demanda (pero teóricamente pudieran ser del costos, ingresos, utilidad, producción, etc.) del mismo modo. Usamos la función Excel Regresión (o sus equivalentes para correlación, estimación lineal u y otras eligiendo en el ícono f* ) Previamente, una estimación completa de la función de demanda en la empresa (estudio de mercado) se hace por varios métodos alternativos (simultáneamente, como para confirmar entre ellos; ver Baumol cap 10 edición Aguilar, 1980: a) estudios de mercado con encuestas b) experimentos controlados (regalar $ para que elijan un producto entre varias marcas disponibles en el local) c) métodos estadísticos, preferentemente "mínimos cuadrados" (o cuadrado de diferencias entre datos y promedio o ajuste) d) modelos de simulación de la oferta y demanda global, con estimaciones de actividad para ponderar los % de cada sector demandante; etc. 145 El Office trae un ejemplo para estimar la demanda de helados en M.delPlata disponiendo de 40 datos de producción y 40 de lluvia, de calor y de turistas. Buscamos la función de ajuste para usarla en un pronóstico del año próximo (si previamente el gobierno y los técnicos me estimaron la lluvia, calor y turistas para el año próximo) Practicamos el método de cuadrados mínimos, ya que es fácilmente aplicable con la Regresión de Excel (y sus equivalentes): Herramientas >Complementos > Análisis de Datos > Regresión (vean en el TP anterior para Office 2007) En el primer rango que pide se pica el rojo y se seleccionan los datos de helados Y; en el segundo rango que pide se pica el rojo y se seleccionan los datos de/las variables independientes (siempre sin títulos); como rango de salida se le indica una sola celda algo más abajo de los datos; Aceptar. Imprime a continuación el R y R2 para una variable; y para varias independientes el R2 "ajustado", indicara cuanto desvío hay entre los datos y el ajuste. En el (anova) análisis de Varianza: el coeficiente F y al lado su valor crítico: si F es mayor el ajuste no será aleatorio, casual, según Snedecor (F de Fisher). Más abajo muestra los coeficientes: la constante, u ordenada por el origen y los coeficientes de cada variable independiente para armar ud. la ecuación de ajuste en otro lado (y compararla con los datos reales; además de aplicarla a los datos estimados de lluvia, calor y turistas a fin de obtener el pronóstico de helados para el año próximo). Ahí a la derecha figura el estadístico t, de Student (que para cada variable independiente calcula como ese coeficiente sobre el error típico). Cada estadístico t se compara con el valor de la tabla Student y si resulta mayor que en tabla ello indicará que esa variable es importante en la proyección (el valor en tabla depende de los grados de libertad: cantidad de datos menos variable menos uno) Observando los coeficientes t de las variables se puede ver si conviene reemplazar alguna pobre por otra nueva mejor. Finalmente, estos datos también son suficientes para opinar si las variables independientes son representativas y no están viciadas por colinealidad (indeseable relación o proporcionalidad excesiva entre variables); por ejemplo relacionando los coeficientes t y R2, según ensayos y los enfoques alternativos (mayor información en Microeconomía con Excel.pdf). ANOVA: En esta ESTIMACION DE FUNCIONES usamos Excel con el ejemplo de Micro con Excel para proyectar: - con los 4 coeficientes armamos la ecuación de correlación múltiple (proyección) - Vimos el % de correlación/ determinación para el caso múltiple - vimos que eso no era por casualidad /aleatorio, según el coeficiente F (de Fisher/Snedecor/Pearson) mayor que su valor crítico al lado. - vimos la significatividad aportada por cada variable según el estadístico t de Student mayor que el valor 1,94 en su tabla para estos 6 grados de libertad - vimos que no hay colinealidad excesiva entre las 3 variables independientes calor, lluvia, turistas, usados para proyectar la variable dependiente "helados", guiándonos por el análisis de correlación y los análisis de variancia anteriores que informo Excel (pag.62 a 67 del libro). 146 En los archivos se incluye una foto con lo relevante sobre el Anova: la cuestión de fondo será hacer una correlación múltiple y calcular que no hay excesiva dispersión ni colinealidad entre las variables independientes que usemos para pronosticar (que son independientes entre si...) El Office trae este ejemplo para helados y hay en este sitio otros casos para viviendas; para discos de freno de autos; etc. (recordando que este libro se comienza aprendiendo a obtener una ecuación desde datos puntuales, graficar, etc.).... Lógicamente todo muy modestamente, sin abrumar ni exigir memorizar nada, ya que no tiene sentido memorizar fórmulas sino solo los procesos, y saber dónde están y haberlos usado al menos alguna vez. El punto principal que vemos es el ejercicio sobre proyectar la venta de helados (a pronosticar si nos informara alguien sobre las estimaciones de lluvia, el calor y los ómnibus con turistas a llegar el verano que viene). Es este verdaderamente un tema denso. Pero lo que se pretende es que tengan una idea, recurriendo a los TP resueltos con Excel, comenzando con: a) con un ejemplo abreviado, con datos inventados o tomadas de algún texto, incluyendo el ajustamiento mediante Excel; el armado de la fórmula del pronóstico; la estimación de los % de cada variable independiente para el año próximo (inventados); y el resultado de aplicarle la fórmula de ajuste; junto con el informe de la significatividad del trabajo o anova. b) Otro trabajo profesional, sin datos inventados sino tomados del sitio web del Indec o de la Cepal, que tienen 100 series de bienes y servicios con datos reales de 18 años. 147 148 Con EXCEL 2003: Herramientas /complementos /análisis /regresión (no pintar títulos y ubicarse inicialmente al final para que allí se impriman los datos ) Si no le figura INSTALARLA con Complementos / Complementos Excel / tildar Solver y tildar Análisis de Datos …. Luego ya podrá ver y ejecutar Analisis / Regresión….etc CON OFFICE 2007 Es similar pero con Datos /Análisis de datos/ Regresión, etc.) ) Si no le figura, ACTIVARLA con Inicio / Opciones /Complementos / Complementos Excel/ tildar Solver y tildar Análisis de Datos …. Luego ya podra ver y ejecutar Datos /Análisis / Regresión etc…) CON OFFICE 2010 Archivo /Opciones /Complementos / abajo Complementos Excel / y tildar Análisis de Datos y tildar Solver… luego ya podrá ver y ejecutar Datos / Analisis / Regresión… 149 SERIES Y FUNCIONES EN LA EMPRESA CON EXCEL El lenguaje científico puede ser a veces difícil e inadecuado. Puede ser imprescindible para generar conocimientos, pero la excesiva abstracción o un exceso de símbolos no imprescindibles resultan inadecuados como método de promover y ampliar el conocimiento científico. No hay contradicción: para el objetivo de ampliar la captación y el uso de los métodos científicos en microeconomía y estadística aplicada en las empresas, los tratados tradicionales pueden ser inviables para la generalidad de los técnicos que necesitan aplicar estos métodos en las oficinas de Investigación o Ventas de las empresas. Algo similar ocurre con los estudiantes de microeconomía y de estadística, quienes, todavía carentes de base empírica, no captan la aplicación concreta de los métodos y modelos abstractos. Cuanto menos grandes sean las empresas importantes y en aquellas medianas o en las más pequeñas, pueden llegar a carecer de oficinas especializadas en investigación económica y comercial. Sin embargo, todas ellas efectúan estudios de mercado y demanda y sobre otras formas diversas de toma de decisiones. En todas se estima y estudia la demanda; pero la intensidad de estos estudios depende precisamente de las dificultadas de interpretar el lenguaje científico. Simultáneamente, desde hace unas décadas, no existen empresas en las que dejen de utilizarse PC y hoy Excel de Microsoft, para múltiples aplicaciones administrativas. Esta hoja de cálculo incluye numerosas funciones econométricas, con cierta ayuda conceptual primaria, aunque insuficiente para aplicarlas por la generalidad de los técnicos y usuarios. Hacía falta un manual microeconómico con ejemplos en Excel para estas aplicaciones, resumiendo las teorías científicas en casos concretos y abreviados en pocos pasos. Se consultó en Internet y a las principales librerías o editoriales, así como a Microsoft y no fue posible encontrar algún manual o CD con ejemplos Excel sobre estas cuestiones no contables (en inglés o castellano). Debido a ello se procedió a editar este trabajo, que resume el conjunto de ejemplos explicados en el curso de microeconomía I en la facultad. En la empresa se adoptan continuamente decisiones, generalmente de tipo cuantitativo, que exceden las posibilidades de cálculo mental o manual inmediato y Excel es útil e imprescindible. Además, la microeconomía estudia modelos de comportamiento teórico para numerosas actividades en la empresa y Excel facilita su implementación práctica mediante un amplio paquete de funciones incorporadas: decisiones sobre demanda, oferta, personal, producción óptima, máximo beneficio / mínimo costo, evaluación de proyectos, control de la producción, conducta competitiva en el mercado, etc. ¿HASTA DÓNDE MICROECONOMÍA Y HASTA DÓNDE ESTADÍSTICA? Para estudiar microeconomía siguiendo alguna lógica, podría resumirse su contenido en función del objeto estudiado: a) teoría de la demanda (su naturaleza, la estimación, etc.) b) teoría de la empresa (producción, costos, optimización, planificación, etc.) c) teoría de los mercados (modelo competitivo u otros, como monopolio, empresa líder, cartel, etc.) Además podría agregarse una parte d) que hiciera referencia a los métodos utilizados en estos capítulos (diferenciación; matrices; Programación lineal; juegos; probabilidades bajo incertidumbre; etc.). 150 En cuanto a la lógica de estudiar las series y estadística en general se podría resumir su contenido en: a) series simples, series de frecuencias, series cronológicas b) números índice c) correlación d) probabilidad y distribuciones. Existe entonces una gran interacción entre el contenido de la microeconomía y el de la estadística. Para estudiar y pronosticar la demanda se utilizan métodos estadísticos, como series simples, de frecuencia y cronológicas; también se utilizan encuestas, muestras y diversas distribuciones, así como correlaciones simples o múltiples. Igualmente, en otros temas microeconómicos, como control y planificación de la producción también son utilizadas éstas y otras herramientas estadísticas. Son usualmente conocidos los aportes de Excel para facilitar la gestión contable y la toma de decisiones en la esfera financiera en las empresas. Pero Excel también brinda además numerosas herramientas para el análisis microeconómico y para la estimación de funciones vinculadas con los análisis de la esfera, no monetaria sino, real de la economía empresaria a los cuales se hace referencia inicialmente. Mediante ejemplos sencillos se intentará aquí explicarlas. El tema básico será estudiar la demanda (en la esfera real), porque es el punto principal en la economía empresaria: conocer los deseos (gustos, demandas) de los compradores para luego adoptar la ingeniería y procesos de producción necesarios, así como los métodos contables y financieros que permitan ajustar las transacciones monetarias que implique esta esfera real optimizando. En este trabajo sobre el aporte de Excel para estos análisis de demanda y otros -de la comentada esfera no monetaria- será implementado utilizando un avance progresivo, avanzando desde una introducción a los temas económicos continuada por casos vinculados de aplicaciones estadísticas. ESTUDIAR LA DEMANDA Dado que uno de los principales objetivos de la empresa es la optimización de su actividad para generar ingresos y beneficios, se destaca como importante el tema de la estimación del mercado –particularmente la demanda- y su estudio se efectúa mediante múltiples enfoques. Para su análisis se identifica a la demanda con funciones y ecuaciones; y la matemática aporta numerosos procedimientos, que con Excel se pueden concretar fácilmente, sin necesidad de limitarse a utilizar ejemplos con pocas variables al resolver sistemas de ecuaciones, y correlaciones simples o múltiples, lineales o no. Además, la demanda es en realidad algún bien o servicio -unidades, kilos, metros cuadrados, etc. de algo concreto- por lo cual, más allá de las funciones o ecuaciones teóricas existen otros procedimientos de estudio alternativos y/o complementarios, que también se ven simplificados por el aporte de Excel: programación lineal, juegos, simulaciones, incertidumbre. Estas aplicaciones están disponibles en Excel en : a) Herramientas > Complementos > Análisis (y/o Solver), así como en b) el listado de funciones al cual se accede picando sobre el icono de la barra superior, que abre el siguiente cuadro : 151 DESDE SERIES OBTENER ECUACIONES Y GRÁFICOS Antes de avanzar, es importante ver la facilidad de Excel para graficar series, incluyendo además en el gráfico la función de ajuste: Icono de gráficos>Dispersión > Siguiente y pintar el rango de datos > Siguiente y poner títulos > Siguiente y elegir en la hoja >Finalizar. Finalmente, con doble clic sobre la línea de tendencia se abre una ventana para su formato, dentro de cuyas opciones figura presentar la ecuación y el R2 en el gráfico. DESDE ECUACIONES OBTENER SERIES Y GRÁFICOS Excel permite escribir cualquier fórmula y representarla con pocos pasos. En el siguiente ejemplo se plantea una ecuación y se calculan sus valores y el gráfico (igualmente con cualquier otra ecuación más compleja). 152 En A3:A11 se escriben los valores de X ; la ecuación Y = 3 (X 2) se escribe en B3, copiándola hasta B11. Se grafica pintando el rango A3:B11 y pulsando el icono de Gráfico (o Insertar / grafico en Office 2010); se elige Dispersión; finalmente pide título, nombre para los ejes y lugar para guardarlo. FUNCIÓN DE DEMANDA LINEAL Por razones didácticas o conceptuales es usual utilizar funciones para explicar demandas, costos, producciones, etc. Con Excel resulta fácil escribir, obtener los valores y graficar funciones de demanda u otras. Para una demanda lineal obsérvese que el precio se escribió a la derecha, en B2:B10. La fórmula explícita X = 49 –0,8P se escribió a la izquierda, en A2, copiándola hasta A10. Para graficar se pintó todo el rango A2:B10; > icono de gráficos > Dispersión > Título > Título de ejes> Imprimir en la misma hoja > Aceptar. FUNCIÓN DE DEMANDA TEÓRICA (HIPERBÓLICA) En este caso, la función en la forma implícita P = 12 / X2 se escribe a la derecha, en B2 y se la copia hasta B10; los valores de X se anotan en A2:A10. 153 Se pinta el rango A2:B10; icono de gráficos > Dispersión > Título > Titulo de ejes > Lugar de impresión >Aceptar. ESTUDIOS DE DEMANDA EN LAS EMPRESAS y TIPOS DE BIENES Véanse más adelante los casos prácticos de obtención y de pronóstico de la demanda, a través de los ejemplos Excel de correlación lineal simple precio–cantidad. También con el ejemplo de correlación múltiple con varias variables independientes y otros métodos. Los métodos son aplicables según se trate de bienes de consumo perecedero; bienes durables (que se conforman con demanda de reposición y demanda nueva, diferentes); insumos y bienes de capital (demandas derivadas, proyectadas también con simulaciones de coyuntura, etc.), casos analizables preferentemente bajo contexto cierto. Servicios reales, servicios financieros, nuevos productos (con muestreos; promocionales, etc), son analizables preferentemente bajo contexto aleatorio. EQUILIBRIO EN MERCADOS COMPETITIVOS Se escriben las funciones en la forma implícita en un hoja Excel, con la cantidad X a la izquierda y a la derecha la demanda y oferta (escribiendo como muestra la celda C4 y copiadas hacia abajo). Se pinta el rango A4:C7; icono de gráficos > Dispersión > títulos > etc. 154 MERCADO COMPETITIVO CON IMPUESTOS Suponiendo un impuesto de $2 por unidad vendida, la oferta inicial se traslada hacia arriba por esta suba de costo adicional. La cantidad vendida baja y el precio sube, ya que la demanda está invariante. Se escriben las cantidades y las funciones implícitas en el orden del cuadro (según ilustra D5). Se pinta el rango A5:D10 > Icono de gráficos > Dispersión > títulos, etc. (si se lo desea, picando en una línea aparece la ventana Formato Línea de Tendencia > Opciones > Presentar Ecuación en el Gráfico >... permite incluir la ecuación en el gráfico.) Si se presentara la oferta en la forma explícita el efecto de este impuesto de $2 por unidad sería X = 200 (p - 2), expresión equivalente a la que aparece en la columna D al despejar p. 155 DEMANDA, INGRESO TOTAL Y MARGINAL El análisis teórico puede suponer a veces que el costo sea nulo y el objetivo empresario sería así transitoriamente maximizar ingresos totales (primer derivada nula y segunda negativa). En este caso, igualando a cero el ingreso marginal surge la cantidad X = 2,2 y los demás valores para ingresos totales y medios o demanda (la segunda derivada del IT sería -100, negativa). Se nota que la pendiente del ingreso marginal (-100) es siempre el doble que la de la demanda (-50), por el 2 que multiplica al derivar el cuadrado en el ingreso total. Más detalladamente aparecerán estos valores si se anotan las funciones según ilustra la celda B6, pero con un rango para X en decimales tan amplio como lo se desee: EXTENDER CÁLCULOS EN EXCEL Para ello Excel facilita la tarea, escribiendo solamente dos valores para X y para cada función; luego se pintan las dos filas y picando en el ángulo inferior derecho se extiende (arrastra) y se copian hacia abajo todo lo deseado (de este modo aparecen al graficar curvas del tipo funciones continuas en vez de estos ejemplos breves). 156 ESTUDIOS DE DEMANDA Y MERCADO BAJO CUATRO CONTEXTOS En microeconomía suelen comenzar estos estudios con el concepto de elasticidad de la demanda, respecto al precio (-%cantidad / %precio) clasificándolos en bienes típicos o atípicos; también respecto al ingreso (normales o inferiores) y respecto al precio de otro bien (sustitutos, complementarios, independientes), facilitando su caracterización en bienes de consumo perecedero; bienes de consumo durable; servicios reales y personales; insumos; equipos industriales. Predicción e interpretación a través del modelo dela oferta y de la demanda. El programa también nos pide en la unidad 3 que estudiemos el tema predicción e interpretación a través del modelo dela oferta y de la demanda. El caso más importante de este asunto es el pronóstico de la demanda de una empresa, utilizando el esquema de la cuentas nacionales para simular en ellas la posible evolución durante el próximo año y anticipar así como podría ser la demanda para nuestra empresa. Hay que suponer que nuestra empresa o el conjunto de empresas de esa industria tienen como principales clientes a otras empresas que, por ejemplo son un 20% del agro, otro 30% de la construcción, un 40% del sector transporte y el restante 10% del sector servicios telefónicos. Averiguando como estima el gobierno (o los analistas de coyuntura) que evolucionarían estos 4 sectores el próximo año, la empresa puede hacer una ponderación de estos porcentajes de participación multiplicándolos por los % de variación económica estimada y calcular así el % final de variación promedio ponderado estimado en su demanda y/o producción para el año próximo. A esto se le dice un modelo de simulación (estático) de la demanda y oferta global para estimar la venta en una empresa. Por el contrario, en el típico ejemplo del modelo de la cerveza (MIT) el modelo de simulación es dinámico, ya que se relaciona varios períodos (semanas, meses o años...) ANALISIS DINAMICO - MODELOS DE SIMULACION En MCE y aquí se presentan herramientas para hacer Modelos de Simulación, con fáciles ejemplos concretos de estos enfoques mediante sencillos instrucciones en Excel y otros, ilustrando sobre la realización y comprobación de modelos de simulación con funcionalidades de Excel como ser =aleatorio( ) y/o =Si( ; ; ) u otras. Los modelos de simulación, tanto estáticos (como el análisis de la coyuntura de la actividad económica) como dinámicos (juego de la cerveza), son fáciles de implementar en Excel. En varios ejemplos se ilustran casos elaborados con solo estas instrucciones en simples hojas de cálculo; para otros casos se utilizan otros recursos elementales de Excel, como ser la posibilidad de iterar celdas o repetir en “bucle” indefinidamente; y en otros se utilizan aplicaciones de Excel, diferentes a =aleatorio, =si( ), con funciones o distribuciones diversas. Existen también numerosos programas especializados para econometría y afines (se van explicando aquí), pero Excel es de lo mejor, fácil y además también permite la elaboración de muchos otros programas más complejos, mediante la creación de macros automáticas, cuya mecánica también se resume aquí (y 157 esta detallada en el propio utilitario de Microsoft, que las facilita con solo ir registrando como se haría alguna tarea paso a paso manualmente). A lo largo de este libro de van presentando progresivamente numerosas aplicaciones y funciones de Excel aplicables a diversas modelaciones, como las simulaciones de Montecarlo, cadenas de Markov, y otras diversas que también apuntan a la construcción de modelos de simulación estáticos y dinámicos (como el modelo de la Cerveza del MIT, que en estos cursos se detalla hacia el final, debido a que su estructura implica el conocimientos de muchos principios microeconómicos que constituyen el programa. ITERACIONES EXCEL Excel tiene incorporada la función iterar (repetir cálculos) que puede ser activada tildando en las opciones iniciales. Pero también se pueden construir fácilmente iteraciones utilizando dos celdas (como se hace en el próximo caso en Excel sobre la función logística de Lorenz). Se puede probar con un ejemplo fácil: anote un número en D1; en D2 escriba +E2; en E2 escriba una fórmula, por ejemplo, =raíz(D1). Pinte y copie las celdas D2 y E2 hacia abajo; verá la iteración de la raíz cuadrada del número puesto en D1 (elija la cantidad de copias o iteraciones necesarias; también los decimales, con formato de celda / número /decimales). Si en otro análisis se debiera “rellenar” una serie sucesiva se pueden anotar en dos celdas dos valores sucesivos con algún intervalo; pintarlos y arrastrar hacia abajo el borde inferior de esa cuadrícula pintada. Excel completará repitiendo el intervalo en el período elegido como sucesivo (tal como en el modelo de la Telaraña, columnas M hasta P). Entre otras, estas posibilidades para iterar y para rellenar facilitan algunos análisis dinámicos en Excel. RECALCULAR AUTOMATICO O MANUAL F9 En esas opciones Excel (en Herramientas o bien en el Office 2007 el icono Excel para el Office (izquierda arriba) ver abajo Opciones; elegir Formulas; luego tildar Cálculo Automático o Manual (con F9); tildar Iteraciones, que suele venir para 100 cálculos y con ajuste al 0,001, pero se pueden elevar hasta 32.000 cálculos (y más con F9) y anotar otras diferencias (con macros esto se puede redimensionar a millones). Si en una celda A2 anota la fórmula =A2+1 (es una referencia circular a la misma celda), en cálculo automático instantáneamente se vería 100, pulsando F9 vería 200 etc. aumentando 100 con calda pulsación de F9. Si hubiese anotado para 1000 cálculos en vez de 100, vería que los aumentos serían de 1000 con cada F9 (y al guardar). CREAR UNA MACRO DINAMICA (BUCLE) Excel incluye muchas funciones y aplicaciones intuitivas que aplicamos aquí al análisis económico sin programar. En dinámica presentamos algunos ejemplos en este capítulo como el modelo de la telaraña; o las cadenas de Markov; y la herramienta Solver de Excel. En computación estas posibilidades para el análisis dinámico son múltiples mediante programación; y en Excel se facilitan con la creación de macros. 158 Hay una forma intuitiva de diseñar programas y utilizarlos, creando macros con Excel: se efectúa la rutina de algún análisis o modelo económico y se instruye a Excel para que simultáneamente grabe una macro con esa rutina. Luego se la podrá ejecutar indefinidamente a voluntad. En este ejemplo simplificado se le pide a Excel que multiplique por dos la celda izquierda; la macro repite esa rutina indefinidamente para todos los valores de la columna. Para crearla: Herramientas / Macro / Grabar nueva macro. Para ejecutarla: desde B2, Herramientas / Macro / Macros / Ejecutar; o bien con Cntrl + A (en este caso se le asignó esa letra). En Office 2007 recurra a F1 para esta equivalencia. NEWTON – RAPHSON Es un método de resolución de ecuaciones mediante iteración para aproximaciones sucesivas, en el cual a cada término se le resta el anterior menos la función dividida su derivada: Xn+1 = Xn - Fx / F‟x Si la función tiende a un valor finito es fácil encontrarlo anotando los términos de esa función en una hoja de cálculo y copiándolos, tal como se indicó en iteración. 159 NOTA: el juego o modelo dinámico de la Cerveza , del MIT, se explica al final del curso (o ver en MCE). 160 TIPOS DE BIENES, CONTEXTOS Y MÉTODOS El estudio de mercado y demanda de estos tipos de bienes y servicios es variado, pero podrían agruparse sus técnicas según el contexto de referencia preferente: - contexto cierto (determinístico), para bienes de consumo, insumos y equipos - contexto aleatorio /probabilístico), para servicios, nuevos productos de consumo - contexto hostil, para la competencia monopolista - contexto incierto, si rigen contingencias, como en seguros u otras. Este criterio diferenciando contextos facilita la utilización de algunas de las herramientas para casos de demandas bajo diferentes contextos, así como para otros temas diferentes a estudios de mercado: producción, stocks, duopolio, seguros y otros sobre toma de decisiones en la empresa. La estadística y otros aportan gran variedad de métodos para el análisis bajo estos contextos. Excel reúne buena parte de ellos en funciones prediseñadas, pero simplificando la aplicación de cada función o distribución según el caso, con ayudas incorporadas. El enfoque analítico tradicional, riguroso (en cuanto es mayormente simbólico) pero tan limitado e insuficiente al momento de llevar a la práctica los estudios en la empresa si no existen ordenadores, se ve ahora complementado con estas herramientas, que desde el plano instrumental permiten concretar los análisis a usuarios poco más que iniciados en estos temas. Pi - " ∏ " - PRODUCTORIO – SUMAPRODUCTO – (EL CUCO) Las modelación en los textos suelen incluir símbolos diversos, que sin alguna orientación previa pueden presentar alguna dificultad de comprensión. Uno de estos símbolos usuales es el de “pi”, o productorio: " ∏ ", que a veces se reitera encadenando varias sumas de productos sucesivas y puede desorientar al lector. Pero solo se trata de, por ejemplo, sumar el producto del precio por la cantidad vendida. En Excel se usa la función =sumaproducto( ; ), incluyendo en el paréntesis como argumentos las celdas del primer precio y de la última cantidad del cuadro a sumar los productos). 161 CAPITULO 4 CONTEXTO CIERTO Se analizarán las variaciones en series individuales y la correlación (simple y múltiple) entre ellas. En las series individuales se estudian las series simples y las de frecuencias, para determinar sus principales medidas de posición y de dispersión (y los momentos absolutos y centrados). Además, en las series cronológicas interesa encontrar una función de tendencia, luego de depurarlas de componentes estacionales, cíclicos y aleatorios. ANÁLISIS DE VARIABLES INDIVIDUALES SERIES SIMPLES Para el análisis de las series simples y de frecuencia se utilizará aquí como ejemplo hipotético, un supuesto estudio de mercado de fletes. Para esto se efectúa un análisis estadístico de las operaciones comerciales de importación argentina de soda cáustica, durante los doce últimos meses previos a abril 2003, analizando el mercado de transporte por camión para la firma Transportes Rutazul S. A. Esta empresa necesita evaluar la logística para atender el tráfico de sus clientes entre el puerto de Buenos Aires y las empresas importadoras de soda cáustica, ubicadas en el área metropolitana e interior de la provincia de Buenos Aires. La flota camionera a utilizar (cantidad de unidades chicas, medianas y/o grandes) dependería del nivel de los despachos involucrados, así como de la fluidez del movimiento y diversidad en magnitud de cada uno de estos envíos. Los datos fueron obtenidos en el INDEC hasta diciembre 2002 y en la Dirección Nacional de Aduanas para el lapso enero/marzo 2003, correspondiendo a la estadística del volumen de importación por la posición 2815.11.00 (soda cáustica) del nomenclador de comercio exterior. Se estudian las medidas de posición y las de dispersión, considerando los datos como series simples. A continuación también se analizan esos mismos datos conformando series de frecuencias al separarlos en tramos según el peso a transportar, incluyendo las medidas de posición y de dispersión así como los momentos absolutos y momentos centrados hasta cuarto orden. Paralelamente se utilizan diversas funciones prediseñadas de Excel confirmando las mediciones estadísticas; y se grafican cuadros que facilitan la toma de decisiones para la empresa de transportes. Los datos figuran en el siguiente cuadro (al cual se le han ocultado las filas 5 hasta 98 para simplificar esta presentación): nombre del importador y kilos importados en cada despacho en las columnas A y B. 162 MEDIDAS DE POSICIÓN. MEDIA ARITMÉTICA: sumatoria sobre n; el cursor ubicado sobre la media aritmética muestra el cálculo en la solapa superior (=suma(B3:B100) / 100). MEDIA GEOMÉTRICA: raíz enésima del producto de n números. Ante números desiguales positivos resulta un promedio inferior a la media aritmética. Por ejemplo, con los números 2, 4 y 8 sería la raíz cúbica de 64 = 4 (menor que el promedio aritmético 4,67). Calculada con logaritmos o con Excel puede ser una medida interesante en algunos problemas, no obstante que aquí carece de sentido. MEDIA ARMÓNICA: es la recíproca de la media aritmética de los recíprocos: aquí 3 / (1/2 + 1/4 +1/8) = 3,43. Esta medida podría ser útil para comparar las medias de esta muestra con, por ejemplo, otras de años anteriores. Excel la calcula mediante la función prediseñada que muestra la solapa. 163 Otro ejemplo para PROMEDIOS Y MEDIDAS DE POSICIÓN: Excel tiene en incorporadas alfabéticamente funciones para calcular la moda (valor más frecuente); la mediana (el valor o frecuencia intermedia de una serie “ordenada”) y para la media aritmética (promedio). La media aritmética es una medida afectada por el valor de sus datos extremos y también se utilizan otros promedios, como la media geométrica y la media armónica, siendo sus RELACIÓN es: media armónica < media geométrica < media aritmética En los casos de datos que se agrupan según una curva de frecuencia normal unimodal se cumple: media – moda = 3(media – mediana) Al escribir lo que aparece en B5 y anotar o pintar el rango de datos calculará la media, la moda, e igualmente para otras funciones: “=percentil(valores;percentil)” etc. RELACIÓN ENTRE MEDIAS: La media geométrica de una serie de números positivos es menor o igual que su media aritmética, pero es mayor o igual que su media armónica. MEDIANA: En una serie ordenada de mayor a menor la mediana es el valor intermedio, el central (o la mitad de los dos centrales si la serie fuera par). Si por ejemplo, en otro caso fuera bueno que la serie variara uniformemente, la mediana indicaría si coincide con el valor intermedio; aunque aquí tiene poco significado. 164 En este ejemplo hay varios valores centrales así como la mediana con 25000 kilos. Además Excel confirma esta observación con la función prediseñada =mediana(B5:B102). MODA(O): Es el valor con mayor frecuencia: en este caso 25000 aparece 23 veces, mientras que el siguiente en frecuencia es 10000, que solo aparece 20 veces. Excel confirma esta observación con su función prediseñada =moda(B3:B102). MEDIDAS DE DISPERSIÓN - VARIANZA: Es el cuadrado de la diferencia entre cada dato y la media, que se calcula en la columna D (al lado, en C, se muestra el cálculo). La media aritmética se calculó en C111. La diferencia entre cada dato y esa media figura en la columna D elevada al cuadrado. La varianza es la suma, en D103. Excel tiene la función prediseñada para calcularla con =varp(B3"B102). Si no fuera una población sino solo una muestra Excel utiliza =var(B3:B102) que omite los valores lógicos y el texto. Para incluir los valores lógicos y de texto en una muestra Excel utiliza =vara(B3:B102), que asigna 0 a los valores lógicos y el texto Falso y asigna 1 a los valores lógicos y el texto Verdadero. 165 DESVIO ESTÁNDAR En una población es la raíz cuadrada de la varianza / n, o sea, la raíz de (D105 /n). Excel utiliza la función prediseñada =desvestp(B3:B102) que omite los valores lógicos y el texto. Los incluye con =desvestpa(B3:B102). Para una muestra Excel utiliza =desvest(B3:B102), que omite los valores lógicos y el texto. Para considerar estos últimos utiliza =desvesta(B3:B102), que asigna 0 a los valores lógicos y texto Falso y asigna 1 a éstos cuando tienen valor Verdadero. En este ejemplo se observó que siendo la media aritmética 40986,9 hay el gran desvío por 40119. Esto orientaría a pensar que, al ser un estudio es para una empresa de transporte de soda cáustica desde el Puerto hasta los depósitos en establecimientos, se debería prever camiones muy chicos y simultáneamente otros muy grandes, a fin de optimizar su logística, ya que hay gran desvío en el tamaño de los despachos. Si hubiera sido pequeño correspondería prever camiones uniformes, para el tamaño que indicara el modo(a), ya que todos los despachos serían parecidos en tamaño. DESVIACIÓN ESTÁNDAR- EN UNA POBLACIÓN: Como otros ejemplos sobre dispersión de los datos, luego de calculada la media, interesa la desviación de los datos entre cuartiles. También puede interesar conocer la desviación media o promedio (sin signo, en %) de los datos luego de conocida la media. 166 La desviación estándar o típica “s” (kilos o unidades), cuyo cálculo es parecido en una población y en una muestra (con en vez de s). Se utiliza la raíz y el cuadrado: varianza “s2” ( 2 en muestras), también en kilos o unidades. El coeficiente de variación expresa esto en %. La desviación media es = 4/5 de la desviación típica. El rango semicuartílico es = 2/3 de la desviación típica. La media y desviación típica de esta población se calculan con Excel según se lee en este cuadro: Estas y otras funciones afines, disponibles con "relación" entre dos o más variables. , también se las aplica al estudiar más adelante la 167 SERIES DE FRECUENCIAS El análisis mediante series de frecuencias confirmará las observaciones con series simples. Se estudian las medidas de posición y de dispersión; también se efectúa un análisis mediante momentos absolutos y centrados. Ordenando la serie en forma creciente de kilos se pueden seleccionar intervalos de diversa amplitud, por ejemplo aquí de 11.440 kilos, para registrar en cada uno de estos deciles la cantidad de despachos, como frecuencia absoluta en (A) y en (B) la cantidad acumulada de éstos sumándolos. Ambas frecuencias pueden ser graficadas, en forma de barras unas (histograma o función de frecuencias) y en forma de curva continua o discreta pero creciente las otras (polígono de frecuencias acumuladas o función de distribución). MEDIA ARITMÉTICA: El siguiente cuadro muestra como calcular la media efectuando las operaciones con una hoja de cálculo. 168 MEDIA GEOMÉTRICA: Igualmente, Excel muestra en la solapa el cálculo correspondiente, no obstante que en el ejemplo actual esta medida no sea significativa: MEDIA ARMÓNICA: 169 MEDIANA: MODA(O): MEDIDAS DE ORDEN - "CUANTILES" CUARTILES: cada uno de los 4 intervalos en que fracciono la serie; se calculan como indica el cuadro: 170 DECILES: Cada uno de los 10 intervalos en que divido la serie, según se indica: PERCENTILES: Cada uno de los 100 intervalos en que divido la serie, según el siguiente ejemplo: 171 MEDIDAS DE DISPERSIÓN DESVIO ESTÁNDAR Y VARIANZA: ASIMETRÍA Y CURTOSIS Más adelante, al tratar funciones, se agregarán otras medidas de dispersión, como la asimetría (para indicar si una curva es o no simétrica respecto a un eje central) y la curtosis (para indicar la forma de una curva real más o menos achatada frente a una curva normal u otra función teórica). MOMENTOS ABSOLUTOS HASTA SU CUARTO GRADO: MOMENTO 0: MOMENTO 1: 172 MOMENTO 2: MOMENTO 3: MOMENTO 4: 173 MOMENTOS CENTRADOS HASTA CUARTO ORDEN MOMENTO 1 MOMENTO 2 MOMENTO 3 174 MOMENTO 4 DESVÍO CUARTÍLICO 175 VARIANZA MEDIANTE MOMENTOS CONCLUSIÓN Es usual incluir alguna conclusión tras un análisis de las series. En este caso se podría que los valores de media y varianza también muestran con series de frecuencias la elevada dispersión del tamaño de los embarques o despachos de soda cáustica a transportar. El estudio de cuantiles -cuartiles, deciles y percentiles- confirma la distribución atomizada en los primeros cuantiles, y gran concentración en los últimos. Mediante el análisis de los momentos también se confirmó la gran varianza de los despachos. La atomización simultánea a una gran concentración de despachos en usuarios masivos se confirma también mediante la gran asimetría que indica el momento central tres M3. Asimismo, el momento centrado cuatro M4 muestra la elevada curtosis, indicando que la distribución leptocúrtica de estos despachos responde a una ley que difiere profundamente de una distribución campanular normal tipo de Gauss, orientando hacia la decisión de prever simultáneamente un parque de unidades de transporte de tamaño reducido adicional a otras grandes para el tráfico masivo. 176 ANÁLISIS DE UNA SERIE CRONOLÓGICA Series de datos históricos, empíricos (discretos, discontinuos) cuya evolución puede incluir o no componentes aleatorios, efectos coyunturales y efectos periódicos, además de una tendencia. Una vez depurada la serie de los datos aleatorios y los efectos coyunturales y periódicos, su tendencia puede estimarse con el análisis de regresión de Excel, desarrollado más adelante. La variación periódica (horaria, semanal, estacional, etc.) suele representarse con índices base 100, dividiendo las medias periódicas por la media aritmética. Una variación coyuntural o cíclica es aquella que puede repetirse pero con duración y forma diferentes a la estacional; se detectan luego de dividir por los valores de tendencia y de la estacionalidad. Puede haber además variaciones aleatorias, no explicadas por los ajustes anteriores; si no indicaran algo, podrían ser eliminables mediante una media flexible. Método de los promedios móviles: este método es recomendable para trabajar con la estacionalidad, aunque también se lo utiliza para averiguar la tendencia. Los promedios móviles son sucesivos y pueden ser o no ponderados. Dada una serie y (t), con t variando en períodos mensuales de N años se escriben los valores encolumnados y se forman promedios móviles de doce meses. Luego: Se divide cada valor original por el promedio móvil correspondiente. Se forman los promedios de los meses. No existen variaciones cíclicas o aleatorias ya que éstos se compensan. Se expresan los valores obtenidos en porcentajes del promedio de los doce meses. Se representan los valores gráficamente de E(t) resultando la curva que expresa la variación estacional. 177 Es conveniente trabajar con una cantidad par de años. Una vez obtenida la cantidad de años se repite la operación corriendo los sumandos y se vuelve a atribuir cada valor al valor del centro. Finalmente se obtienen los coeficientes de estacionalidad de cada bimestre: I=1.004; II=0,959; III=1.003; IV=0,991; V=1,102; etc. Tiene como propiedad que no existen variaciones estacionales y además que no altera los valores extremos, ya que suaviza lo central. CICLOS Método de los nueve puntos: Tiene por objeto aislar la componente cíclica de una serie de tiempo con datos mensuales cuando se trata en ciclos cortos de 3 ó 4 años. Los valores de la serie original se deflactan de la componente estacional por el método de los promedios móviles en doce meses. Los datos sin componente estacional se dibujan tratando de establecer en el dibujo las ondas cíclicas, para lo cual se señalan los puntos mínimos y máximos relativos destacados, según se van encontrando al recorrer la serie. Las ondas se delimitan tomando valores mínimos consecutivos. Se asimila a una función sinusoidal. En cada onda se expresan los valores mensuales en porcentaje del promedio correspondiente a los valores de toda la onda. Cada onda se divide en nueve partes. En cada onda se promedian los valores correspondientes a cada una de las nueve partes resultando nueve los resultados representativos. Se promedian los valores correspondientes a cada onda de los valores de x y de y. Las ondas del ciclo promedio se dibujan conjuntamente con las originales para poder comparar los datos reales con los del ciclo promedio Se lo utiliza para períodos de 40 meses. Cada onda está compuesta por las siguientes partes: 178 1°. son los tres meses centrados en el primer mínimo de la onda 5°. son los tres meses centrados en el máximo de la onda. 9°. son los tres meses centrados en el valle de la onda 2,3,4°. son sucesivos tercios del período de expansión comprendidos entre 1 y 5. 6,7,8°. son sucesivos tercios del período de contracción entre 5 y 9. 179 RELACIÓN ENTRE VARIABLES - SIMPLE (DOS VARIABLES) AJUSTAMIENTOS Método de los mínimos cuadrados: se lo utiliza para averiguar la tendencia obteniendo los coeficientes a y b de una recta de regresión lineal. Dada una serie cronológica y(t), con t=1,2,3...N, se trata de determina entre todas las rectas del plano y = at + b aquella que mejor ajuste la serie de valores empíricos. Es decir, determinar a y b de manera que se cumpla la condición. (a,b) = ((y(t) – at – b))² mínimo Se deriva parcialmente (regla de la cadena) en función de a y de b: / a = -2 (y(t) - a t - b)*t = 0 / b = -2 (y(t) – a t - b) = 0 ; por lo cual a b NΣ t y(t) Σ t Σ y(t) NΣ t 2 Σt 2 Σ t Σ y(t) Σ t y(t) Σ t NΣ t 2 Σt 2 Si se tomaran valores centrados la sumatoria de t sería igual a cero. Entonces a y b quedaría como: a t y(t) t2 Así, Y = at + b = b t y(t) t + t2 y(t) N y(t) N Al estudiar las series de frecuencias interesa especialmente conocer su media y su dispersión, las cuales son calculables mediante momentos obsoletos, con el método largo o el método corto o abreviado, centrando las series para facilitar el cálculo y trabajar solo con valores enteros y sus potencias, lo cual es especialmente útil cuando hay más de 100 datos. COVARIANZA La covarianza es el momento mixto centrado de primer orden. Es la sumatoria del producto de las x menos su media multiplicado las y menos su media; es decir que es el producto de los desvíos multiplicados de las dos series. Σ (x - mx) (y-my) = xy DOS RECTAS DE REGRESION Se obtienen utilizando el método de los mínimos cuadrados: 180 a con t y(t) t2 b y(t) N Y= a x + b primer recta de regresión X= a y + b segunda recta de regresión Las variables cambian en las ecuaciones cuando se aplica el despeje en función de una o la otra, luego de aplicar el método de los mínimos cuadrados. Puede ser que no ambas tengan sentido, por ejemplo para alguna relación precio-cantidad demandada; pero en otros análisis ambas lo tienen. COEFICIENTE DE CORRELACIÓN El cociente entre la variación explicada a la variación total se llama coeficiente de DETERMINACIÓN. Si la variación explicada es igual a cero, es decir, la variación total es toda no explicada, este cociente es cero. Si la variación no explicada es cero, es decir, la variación total es toda explicada, el cociente es uno. En los demás casos el cociente se encuentra entre cero y uno; r 2 es siempre no negativa y se calcula como: r2 variación explicada variación no explicada y 2 y-y 2 yˆ Su raíz cuadrada, el coeficiente de correlación r varía entre –1 y 1, con signos + o - que se utilizan para la correlación lineal positiva y la correlación lineal negativa respectivamente. Nótese que r es una cantidad sin dimensiones, es decir no depende de las unidades empleadas. Si se supone una relación lineal entre dos variables, el coeficiente de correlación es: x r x x x y y y y 1/ 2 Ésta fórmula da el signo adecuado de r; se llama fórmula producto-momento y muestra claramente la simetría entre x e y. Un r = 0,973 cercano a 1 permitiría decir que muestra una relación funcional perfecta directa (ambas series varían en igual sentido). Los datos representan lo que se estudia y a medida que se cumple una de las variables la otra lo hace en el mismo sentido y proporción. ELASTICIDAD MEDIA O PROMEDIO El concepto teórico de elasticidad de la demanda tiene aplicación práctica en la empresa, calculado como promedio serial. 181 Teóricamente se estudia este cociente puntualmente (una cantidad y un precio), pero la toma de decisiones empresarias se basa en promedios calculados durante algún lapso razonable. Excel aporta aquí su ayuda: la elasticidad media se calcula estadísticamente como el producto de la pendiente de la línea de ajuste multiplicada por el cociente suma de precios/suma de cantidades: E media = b ΣP/ΣQ. La pendiente del ajuste es el coeficiente angular b de la línea de correlación precio-cantidad durante el período: 1,008 en el gráfico siguiente; o según el coeficiente b emitido por Excel al hacer el ajuste o correlación PyQ (en realidad, observando la fórmula de elasticidad dQ/dP(P/Q) y este producto dP/dQ(P/Q) va a ser necesario aplicar la inversa de uno de esos dos factores en este) CORRELACIÓN – EN UNA POBLACIÓN El coeficiente r de Pearson esta incorporado en Excel; indica valores entre 0 y +1 ó –1 para medir la relación entre una variable dependiente y dos (o más) variables independientes. Excel calcula la matriz de correlación y (si fueran varias) permite elegir los pares que presentan la correlación más alta mediante el análisis de regresión. Excel dispone de varias funciones alternativas para calcular la función de ajuste que minimiza los desvíos: correlación, tendencia, proyección, regresión, accesibles mediante su ayuda F1 o con el icono . Por ejemplo, con los datos de este cuadro: Herramientas >Complementos > Análisis de datos >Regresión Alternativamente, para utilizar separadamente algunas de las funciones (incorporadas en suficiente consultar ese listado y luego escribirla simplemente después del signo igual: ) sería "=pendiente(rango datos)", "=interseccion.eje(...)", "=coeficiente.R2(...)" para obtener los coeficientes de la línea de ajuste o correlación, que incluyen el coeficiente angular -1.008 que interesa para calcular la elasticidad media: -(-1.008 (36/35,9))=+1.01 (los rangos están indicados en la imagen sobre demanda de Y) DEMANDA COMO CORRELACIÓN PRECIO-CANTIDAD Obsérvese en este ejemplo de la imagen que la variable independiente (precio) figura a la izquierda de la variable dependiente (cantidad) y ello corresponde al orden de las celdas del rango (B3:B10;C3:C10), así como al gráfico con cantidades en la abscisa y precios en la ordenada, usualmente aceptado. 182 En casos de correlación sin término independiente –por el origen- pudieran presentarse imprecisiones, por la resta del término de corrección, en el cálculo de la determinación R2. CORRELACIÓN - EN MUESTRAS Cuando se estudie la correlación en una muestra con estos mismas funciones Excel es necesario comprobar su representatividad estadística mediante la prueba "t". Véanse los ejemplos posteriores. Ya que los mismos instrumentos pueden ser utilizables bajo distintos contextos, en el enfoque progresivo de esta exposición se intenta explicar cada herramienta relevante presentándola conforme coincida con el ejemplo y cuadro específicos según el avance conceptual. EVALUACIÓN DE EXÁMENES Supónganse la siguiente cantidad de aciertos en una evaluación, clasificados en función del grado de instrucción de cada consultado: 4º grado 1 3 4 5 1 4 - 6º grado 5 7 6 3 9 7 4 2 3º secundario 8 6 9 5 7 4 4 - Secundario Completo 9 11 8 7 7 - 183 N= T= X= 2 X= 2 T /n= 6 18 3 68 8 43 5.38 269 7 43 6.14 287 5 42 8.4 364 n=26 T=146 X2/n=1462/26=819.85 2 X =988 54 213.13 267.14 352.80 T /n =902.07 2 184 ANÁLISIS DE VARIANZA Y COVARIANZA: Sumatoria de cuadrados ∑X2 - ∑X2/n (desvío – medias) = 988 – 819.85 = 168.15. Suma de cuadrados intragrupos ∑X2 - ∑T2/n = 988 – 902.07 = 85.93. Suma de cuadrados intergrupos 2 ∑T /n - ∑ X2 = 902.07 – 819.85 = = 82.22. Resumen: Suma Cuadrados Intergrupos: 82.22 Intragrupos: 85.93 Grados libertad 3 22 Variancia ................ F Snedecor .................... 82.22/3 85.93/22 =27.41 27.41 =3.91 3.91 Finalmente, 27.41 / 3.91 = 7.01 En la Tabla Distribución F, para 3grados de libertad horizontal (numerador) y 22 grados de libertad vertical (denominador; varianza menor) al 1% de significatividad indica 4,82, sensiblemente menor que 7,01 de la muestra. Se concluye que las diferencias educativas son relevantes en las respuestas de los encuestados y no surgen de alguna influencia ocasional entre ellos (copia, colinealidad). 185 REGRESIÓN MÚLTIPLE ESTIMACIÓN DE DEMANDA POR CORRELACIÓN MÚLTIPLE - PRONÓSTICOS: La demanda de un bien suele tener como condicionantes a los gustos, cambios en el ingreso disponible, en el precio o en los precios de otros bienes complementarios o sustitutos. Cuando ya existen pronósticos sobre esas u otras variables independientes (calor; lluvia, turistas) es usual utilizarlos para estimar la demanda del bien en estudio (variable dependiente, venta de helados) efectuando una correlación lineal múltiple entre aquellas y la demanda que se desea estimar (véase más adelante con Estimación Lineal) DISCOS DE FRENO PARA AUTOS Igualmente con la demanda de discos de freno (Y) para autos, cuya demanda podría depender de la producción (y reparación) de autos, el nivel de los salarios y el del PBI (las X). Una vez anotados los datos históricos en B8:E16 Excel calcula la correlación con Herramientas >Complementos > Análisis de datos >Regresión Pide el rango para la variable Y; luego el rango para las otras variables; también pide una celda conde comenzará a emitir los resultados hacia abajo. En este ejemplo se le indicó A25 y los coeficientes del ajuste figuran en B39:B42. Esos coeficientes multiplican cada variable independiente (pronósticos conocidos) según la fórmula de la celda B18 (que también se indica en F17). 186 187 ANÁLISIS DE VARIANZA ¿Hay suficiente correlación entre las variables? suficientemente explicativas o influyentes? ¿Serán todas las variables independientes Excel calcula el estadístico F (104,5) y también su valor crítico. En este ejemplo el estadístico es mayor que su valor crítico, lo cual asegura que el resultado 97% implica una varianza intergrupos e intragrupos parcialmente aceptable y que el ajuste no es aleatorio o manifieste coalineación. Por otra parte, la tabla de distribución t Student para 6 grados de libertad y 95% de aproximación (5% error) muestra el coeficiente 1,94, que es menor que el valor indicado por Excel para la variable independiente X1 (3,099), asegurando que esta variable es significativa en la formación de la demanda de discos de freno de este ejemplo. El coeficiente de determinación R2 indica en las regresiones simples el % de variabilidad explicada por la variable independiente. R2 ajustado se utiliza en las regresiones múltiples. El error típico o estándar es la raíz cuadrada del cociente entre la suma de residuos al cuadrado y sus grados de libertad (T-v-1). ANÁLISIS DE REGRESIÓN Se utiliza el análisis de regresión y de varianza-covarianza para elegir con Excel cuales de las variables independientes son más adecuadas y mejorarían la precisión del ajuste entre la ecuación y los datos empíricos. Se busca evitar posibles errores por la existencia de eventuales vinculaciones entre algunas de las variables independientes entre sí (colinealidad). Conviene comenzar seleccionando las regresiones entre las variables que se sabe están más vinculadas e ir introduciendo otras que mejoren la regresión múltiple. 188 ANOVA (en inglés ANÁLISIS DE VARIANZA) Existen dificultades importantes para detectar la existencia de esa relación lineal molesta entre las variables independientes. Interesa asegurar la independencia o no asociación entre los atributos: dos grupos difieren entre sí cuando la varianza intergrupos es mayor que la varianza intragrupo (si no hay colinealidad). La proporción de estas dos medidas es la F de Snedecor . Comparando con el valor de la tabla de F por azar se observa si el F obtenido en el ANOVA es mayor, lo que indicaría que hay una diferencia entre grupos que es adecuadamente significativa. La tabla de la distribución F valora según los grados de libertad horizontal (numerador) y los grados d e libertad vertical (denominador) para distintos % de significación; esto ya lo indican los coeficientes que calcula Excel simplificando así el análisis de varianza y covarianza. Los estadísticos T DE STUDENT calculados por Excel demuestran el TEST DE HIPOTESIS: comparando este ejemplo con la tabla de distribución Student para 95% de confianza se observa la significatividad del coeficiente de cada variable, conforme su “t” sea mayor que el valor de tabla, tal como se explicó en este ejemplo para el 3,099 de la variable X1, aunque para otras variables es menor, indicando dificultades. 189 MULTICOLINEALIDAD - FIV En resumen, hemos visto varios indicadores para determinar la existencia de un alto grado perturbador de correlación entre las variables independientes. En los textos es usual la referencia a: - El método de la relación entre t y R2 , que consiste en observar las razones t y si no fueran significativas -y además el R2 es alto (mayor a 0,8)- indicarían multicolinealidad molesta. - El método de la prueba F: haciendo regresiones de cada variable con las demás y observando si la relación entre F y R2 es mayor que en la tabla indicaría multicolinealidad. FIV EL factor de inflación de la varianza (FIV) y la tolerancia –T también permiten detectar la colinealidad indeseable. FIV j S x j (n 1) SEb2 j S 2 T 1 FIV FIV j 1 1 R 2j El FIV es medido como la inversa del complemento del R2…. En este ejemplo, si hay un FIV >10 y el T < 0.1 estaría indicando problemas de colinealidad indeseable (generalmente cuando hay un R^2ajustado > 0.9) - El método de la matriz de correlación, formada por los coeficientes de cada variable respecto a las demás. El valor de su determinante es entre 0 y 1; cuando se acerca 1 indica poca multicolinealidad. - El método de los valores propios e Índice de Condición, que también implica fórmulas que no son necesarias en este resumen práctico, luego de la claridad y facilidad de los ejemplos aquí expuestos. 190 ESTADISTICA DESCRIPTIVA EXCEL Junto con el menú de Análisis de Datos en Excel figura el de la Estadística Descriptiva, que entrega un conjunto de mediciones para cada variable independiente, que se puede imprimir a continuación de los datos de la regresión. Datos / Análisis de Datos / Estadística Descriptiva 191 ESTIMACIÓN LINEAL (MÚLTIPLE) - VENTA DE HELADOS Excel incluye la función "estimacion.lineal" que también permite ajustar una serie dependiente de una o varias variables independientes. Ejemplo, pronosticar la venta de helados, dependiendo de las estimaciones de temperatura, cantidad de lluvia y arribo de ómnibus con turistas para el próximo período. Se trata de encolumnar los datos históricos sobre ventas de helados y a su derecha las tres variables independientes. Luego pintar en otro lugar cuatro celdas para imprimir cada coeficiente más la constante y escribir "estimacion.lineal (rango helados; rango variables independientes)" y Ctrl+SIAT+Entre. Con los cuatro coeficientes se controla o compara la aproximación del ajuste, armando la ecuación con F4 para los coeficientes y copiándola incluso hasta el rango de pronóstico F2:F14. En la ayuda F1 incluye Excel las características de este ajuste en detalle, parecidas a la regresión múltiple anterior. 192 MULTICOLINEALIDAD MATRIZ DE CORRELACION CON EXCEL Otra forma más fácil de observar la presencia de excesiva colinealidad entre las variables independientes es construir su matriz de correlación, preparando manualmente el cuadro con las variables independientes como filas y columnas: se completa la diagonal con 1 y en cada celda de la mitad inferior se calcula la correlación utilizando Insertar Función ( ): El cursor está ubicado para calcular la correlación entre las variables Y y X1, seleccionando entre las funciones: Estadísticas /Coef.de.Correl. 193 Al aceptar presenta el cuadro para elegir las columnas con los datos de X1 y X2 pulsando en el icono de Matriz1 y Matriz2 respectivamente. Es el mismo procedimiento para completar las restantes celdas: En este ejemplo improvisado se observa una gran colinealidad (alta correlación positiva y negativa), por ejemplo del 93% entre las variables X1 y X3, etc. Finalmente, será la experiencia de cada profesional sobre la naturaleza de las series de su propio sector la que indicará si corresponde o no asignarle importancia a este tema de eventual excesiva colinealidad Para otros casos más extensos es posible implementar esta rutina manual mediante una macro de Excel; o bien simplemente utilizando las aplicaciones para copiar y referencia absoluta (F4). Por otra parte, también es posible obtener esta matriz de correlación con EVIEWS y con otros de los utilitarios aquí presentados. 194 MATRIZ DE COVARIANCIA Las medidas de variancia y covariancia, se tratan de una simple transformación de la dispersión entre los datos y su promedio (o su línea de tendencia en el caso intraserial); y covarianza mide lo mismo pero entre dos series (interserial). Con Excel se puede construir fácilmente la matriz de covariancia, que además de orientar sobre la bondad de un ajuste también es otra forma de observar la presencia de excesiva colinealidad entre variables independientes. MATRIZ DE COVARIANCIA CON EXCEL: Se trata de hacer un cuadro con las variables, aquí del ejemplo Helados, como filas y como columnas: Al ubicar el cursor en una celda vacía de la diagonal principal hacia abajo es posible ir al Fórmulas y pulsar en el icono de funciones para insertar la función covarianza (Covariance.P), que se elige entre las de tipo Estadísticas al abrirse el cuadro: 195 Al elegir se abrirá otra ventana que en Matriz1 y Matriz2 permite seleccionar las series a correlacionar: cada una respecto de sí mismo y también con respecto a las demás, en esta matriz simétrica que aquí cubrimos en su parte inferior. No sería frecuente la correlación múltiple con cientos o miles de variables independientes, por lo que completar la matriz de covarianza no es demasiado trabajoso; su puede recurrir a las aplicaciones de copiar y referencia absoluta (F4) para abreviar la tarea; también se pueden utilizar las otras aplicaciones ilustradas más adelante. El resultado de esta tarea indica la variancia y covariancia de cada serie respecto a si misma y a las demás. Si la covariancia interserial (entre dos series Y y X) es mayor que la intraserie (adentro de la variable Y dependiente) alejaría la presunción de tener variables independientes que sean colineales (no serían éstas simples múltiplos entre sí, que obligarían a cambiar por otra realmente independiente). ECONOMIA NO ES MEDICINA NI ES MECÁNICA 196 En economía los cálculos econométricos (estimar funciones múltiples) y los de investigación operativa (equilibrio multiproducto) son más simples que en medicina o en mecánica etc. y están al alcance de un curso general de microeconomía (empresaria), que constituyen todo el contenido incluido en la currícula de un contador, licenciado o ingeniero industrial. En medicina un 3% de error es inviable porque se arriesgan vidas humanas, pero en economía este porcentaje es generalmente aceptable y ello reduce la necesidad a utilizar solo pocos entre la enorme variedad de análisis alternativos existentes, simplificándolos para el caso de las correlaciones múltiples a la medición del R2 ajustado, el test “F” y los “t”, o a la observación de excesiva colinealidad mediante la matriz de correlación. Igualmente en la investigación operativa, tal como simplificaban los clásicos al limitarse a problemas con dos variables positivas del primer cuadrante, para indicar que no se consideran funciones que se desarrollan en los otros cuadrantes (por no tener sentido, en principio, producciones o consumos negativos). Además, los tipos de funciones así como los sistemas de ecuaciones o restricciones se implementan necesaria y efectivamente con programación lineal Solver de Excel o con Matrices de Excel (o de otros utilitarios aquí presentados). Esto conduce a que la consistencias axiomática de los sistemas se simplifique y reduzca a los términos prácticos del álgebra de matrices para los sistemas finitos empresarios y para la matriz insumoproducto, comentados en este capítulo más adelante y en el capítulo 8 con el equilibrio multiproducto. CORRELACIÓN MULTIPLE Y ANOVA CON SPSS (IBM) Si se deseara contrastar el ajuste hecho con Excel mediante otros utilitarios se podrían utilizar SPSS, STATA o Eviews. En este caso, con SPSS 18, se introdujeron los datos de las cuatro variables del ejemplo helados en la ventana principal y en la solapa de Edición se pulsó en Analizar /Regresión / Lineales. 197 Luego se seleccionó en Estadísticos y en su cuadro se tildó Estimación / Ajuste del Modelo y/ Diagnóstico de Colinealidad. Luego de pulsar Continuar / Aceptar aparecerán los resultados a continuación de los anteriores solicitados para la regresión. El índice de condición (IC) dado por SPSS 18 permite interpretar los resultados. Si el IC está entre 10 y 30 la multicolinealidad será entre moderada y fuerte. Si el IC excede 30 la multicolinealidad será severa. En este caso se observa la dimensión 4 (la fila 4) y considerando la proporción de las descomposiciones de las varianzas muy elevadas (cercano a 1) indica que existe multicolinealidad indeseable en esa variable independiente (alguna siempre existirá, dado que todas las variables independientes están de alguna manera vinculadas con la variable dependiente). Se podría eliminarla, reemplazándola por otra que muestre menor FIV (factor inflación varianza). . CORRELACION CON EVIEWS (ex TSP) Se ejecuta Eviews en el comando File / New-Workfile / 198 y en Workfile Structure Type se seleccionar Unstructered / Undated; también se anota el número de observaciones que se van a copiar desde una Hoja Excel, por ejemplo Rows 474. Para copiar los datos desde la hoja Excel es necesario pintarlos todos (incluso títulos si se pulsa la celda continua a A1) y copiarlos al portapapeles. Luego se pulsa en Eviews Quick / Empty Group (Edit Series) y se abre una ventana para pegar los datos. Para pegarlos debe antes pulsarle Shift +↑ (flecha de dirección) para que se copien incluyendo las leyendas de campos que vienen de la hoja Excel. En el cuadro principal de resultados aparecerá una lista con los nombres de los campos copiados, a efectos de pintar con Cntrl aquellos que se desea correlacionar (por ejemplo, CI, salaini, salario). Luego se obtiene la matriz de correlación mediante Quick / Group-Statistics / Correlations / OK. 199 En la primer columna muestra que el CI no está muy relacionado con el salario 0,2491% ni con el salario inicial 0,4336. En la segunda muestra que el salario actual está 88% relacionado con el salario inicial. Finalmente, con View / Covariance Analysis / se tilda Correlación y también Probatility (t) Surgiendo la matriz para el análisis de la covarianza entre variables, que en este caso estaría diciendo en cada primer renglón que por ejemplo el CI no estaría muy relacionado con el salario inicial ni el salario actual; y según cada segundo renglón muestra que el salario inicial está muy relacionado con el salario actual y éste con el inicial. 200 CORRELACION MÚLTIPLE CON STATA Damodar N. Gujarati, Econometría (Un. West Point) propone utilizar Stata para efectuar análisis econométricos sobre series, muestras y pronósticos. Abrir la hoja Excel con los datos y copiarlos, incluyendo el nombre de las variables (dependiente Y= helados; e independientes (X1=Calor, X2=lluvia, X3=turistas) y 654 524 684 818 810 840 1070 1078 1022 1041 1061 x1 139 262 342 409 405 420 450 460 450 450 450 x2 100,0 94,5 93,2 93,8 98 92,4 93,1 93,4 94,1 100 94,1 x3 181 227 253 270 272 280 300 315 325 335 345 Luego abrir Stata y pulsar en el botón Edit para pegarlos con Paste (icono tildado Data Editor de la segunda línea). 201 Stata preguntará si la primera fila contiene los títulos. Los datos aparecerán cargados en Stata, mostrando los nombres de las variables en el cuadro inferior izquierdo y las series en inferior derecho. 202 A continuación se escriben la sentencia de ingreso de instrucciones para que Stata guarde este archivo con el nombre helados: log using helados (automáticamente se abre el cuadro Comand para ello). También aparecerá luego en el cuadro superior izquierdo y en el derecho con su extensión; no se pueden repetir nombres de archivo. Ahora es posible solicitar a Stata diversos informes estadísticos sobre los datos guardados en el archivo helados.smc1, que luego aparecerán en la ventana o cuadro Results. Nos interesa en este ejemplo simplificado pedirle un informe preliminar con summarize 203 y mostrará los valores básicos de las variables. Luego escribimos para que Stata estime los parámetros de un modelo de correlaciòn múltiple mediante: regress y x1 x2 x3 Al ejecutar aparecen los coeficientes para armar un ajuste del tipo Y = a +bX1+cX2 +dX3 en la ventana de resultados (en este caso mostró a= -364.53, b= 0.999, c=3.322, d=2.307 en la segunda columna). Con esta funciòn estimada (ajuste) por correlaciòn mùltiple es posible efectuar estimaciones de la demanda de helados para el pròximo año, siempre y cuando las autoridades metereológicas y de turismo (o los analistas especializados) nos pronostiquen previamente cuales serían en el año próximo los datos para calor, lluvia y turistas. 204 Stata también muestra la desviación típica, Std.Err; y el estadístico t. P>|t| es el p-valor, la probabilidad que deja a la derecha el valor estimado. [95%Conf.Interval] es el intervalo de confianza al 95%; el centro del intervalo siempre coincide con el coeficiente. R squared o r2 es el coeficiente de determinación y el similar Ajustado para estos casos múltiples Adj Rsquared. El número de observaciones 11 y los grados de libertad, 11 -3 -1 =7. El estadístico F es la significación conjunta de todas las variables explicativas del modelo. La Prob>F indica la probabilidad que queda a la derecha del valor estimado. Se pueden imprimir estos resultados con File / Print Result-. 205 ESTIMACION DE FUNCIONES (REGRESION) Hemos visto antes estimación de funciones para casos de “correlación” entre variables, simple (la teoría básica orientativa) y múltiple (demanda de helados). En este caso, había una correlación entre la demanda de helados y el calor, la lluvia y los turistas, registrada por ejemplo en 30 períodos. Si el gobierno o los técnicos nos pronosticaban para el próximo período cual sería el calor, la lluvia y los turistas, Excel podía calcula en pocos pasos cual sería la próxima demanda de helados (por correlación múltiple, incluyendo el análisis de la varianza (ANOVA) y otras medidas para ver la bondad del ajuste. Pero hay otros casos, por ejemplo cuando proyectamos observando solamente la evolución histórica de algo (sea por ejemplo esta misma producción de helados) y según sea la tendencia registrada (regresión) en los últimos años también se intenta estimar cual puede ser la producción para el próximo período. El análisis de series es muy variado: tendencia, estacionalidad, ciclos, autocorrelación mediante promedios móviles, Box-Jenkins, ARIMA, ARMA, ARMARO, etc. Supongamos un caso de análisis de la tendencia (regresión) que pueda haber dado como resultado algunas observaciones muy frecuentes, como ser, este breve conjunto de cuatro ocurrencias preferentes sobre el par variables precio y cantidad, o fecha y cantidad, o cualquier otro par: 130 y 2.9; 160 y 3.8; 200 y 4.6; 230 y 5.2 (donde 130 es el precio o la fecha y 2.9 es la producción, etc.). Para pronosticar la producción (o lo que sea) disponiendo solo de estas pocas observaciones relevantes puede ser útil o necesario disponer de una función o ecuación que ajuste adecuadamente a este breve conjunto de datos. Entonces vamos a estimar una función partiendo de solo algunos datos; luego se debería comparar los datos con lo que surja de la estimación, siendo generalmente suficiente ver a simple vista si el ajuste es perfecto, o bien recurrir al análisis paramétrico que proporciona la estadística. Dibuje los datos para elegir el tipo de función; haga varios ajustamientos para elegir el mejor; o bien busque ud.el “mejor ajustamiento” como se indica más adelante. 206 Excel incluye seis tipos de funciones: se pintan esos pares de datos; se Inserta un gráfico; de Dispersión. Con el botón derecho sobre los puntos graficados se puede Agregar línea de tendencia y tildar Presentar la ecuación en el gráfico (aparecen ahí 6 las funciones Excel para elegir: exponencial, lineal, logarítmica, polinómica, potencial, media móvil). AJUSTAMIENTO EXPONENCIAL CON EXCEL Comparando Y con la estimación Y* se observa demasiada diferencia, porque los datos no responden a una evolución exponencial (observe que aquí” e” es el número natural o neperiano 2,7182818... (o de Euler, que se utiliza en la descripción de movimientos amortiguados, porque ex es similar a su derivada ) AJUSTAMIENTO LINEAL CON EXCEL 207 Comparando Y con la estimación Y* se observa demasiada diferencia, porque los datos no responden a una evolución lineal (cero o una constante más otro número multiplicado por la variable a la potencia uno); es necesario probar con otro tipo de ajustamiento. 208 AJUSTAMIENTO LOGARITMICA CON EXCEL Este ajustamiento con una función logarítmica (logaritmo natural o neperiano) aproxima bastante, pero aún se ven diferencias importantes entre Y e Y*; conviene buscar otra función que ajuste mejor. AJUSTAMIENTO POTENCIAL CON EXCEL El ajustamiento potencial muestra mucha diferencia éntrelos datos reales Y y los ajustados Y*; conviene buscar otro ajustamiento. 209 AJUSTAMIENTO MEDIA MOVIL CON EXCEL Excel permite determinar el orden de los promedios, pero para el anterior ejemplo con tan pocos períodos no es posible o adecuado aplicarlo. Lo sería teniendo una serie más larga. 210 AJUSTAMIENTO POLINOMICA CON EXCEL Este polinomio no ajusta bien y es necesario buscar otro ajustamiento. Entonces, como los modelos de Excel no son adecuados se buscó cual sería el mejor ajustamiento preguntándole a Findgraph. 211 “MEJOR AJUSTAMIENTO” CON “FINDGRAPH” Si fuera el caso (como aquí) que este breve conjunto de solo cuatro observaciones históricas no quedara bien ajustado con alguna de esas seis funciones incluidas en Excel. Se vio al comparar estas observaciones históricas Y con las surgidas de las funciones estimadas Y* que no hubo una gran aproximación. Es entonces necesario recurrir a un programa estadístico más especializado que Excel para que él encuentre el mejor ajustamiento. Existen docenas de ellos (Eviews, SSPS, Matlab, Derive, etc). En este caso se probó con un “trial” del FindGraph (que dice incluir 500 tipos de funciones) y el ajuste resultó perfecto, fácil y en pocos minutos, tanto para instalar el trial como para procesar la función (gracias a su archivo de ayuda). Desde Excel se Pintó y Copió el rango con los pares de datos, incluyendo los títulos X e Y (utilizar punto y no coma). Abrir el utilitario FIndgraph y pegar esos datos con Edit y con Paste. Luego 4 veces Siguiente. A la izquierda seleccionar el círculo verde Data From…… (cambia a blanco); arriba elegir Fit; luego Best Function. Luego 3 veces Siguiente y tildar todas las funciones deseadas o disponibles; luego Siguiente. Luego con Star calcula la función. 212 Función: Copiarla a Excel como Y*para compararla con los datos históricos (corregirle comas por puntos; eliminarle espacios; reemplazar la notación computacional e-005 ó e-007 por su equivalente 10 elevado a la -5 y 10 a la -7; o sea 10^-5 y 10^-7; que hacen referencia al número natural e=2.7182818…). Con esta función ajustada Y* en la columna D se calcularon datos que son prácticamente iguales a los reales de la columna C (con millonésimos de aproximación en cada parámetro; de modo que no es necesario algún otro análisis paramétrico para confirmar la bondad del ajuste. Al menos mientras se mantengan las condiciones generales sin cambios drásticos, esta ecuación serviría para calcular nuevas producciones, copiando abajo los nuevos datos X y esa función Y* (col.D). 213 CAPÍTULO 5 - PROYECCIÓN Y PROGRAMACIÓN ¿CON SERIES, CON ECUACIONES, MATRICES O CON PROGRAMACIÓN LINEAL? Hemos encontrado la correlación múltiple con varias variables independientes, eludiendo las dificultades por elegir alguna inadecuada entre éstas. Encontramos una ecuación, una función adecuada, que podemos utilizar para proyectar la demanda (pero ... solo si previamente alguien nos adivinara la futura magnitud de cada una de estas variables independientes). A un nivel teórico sería como resolver un sistema de ecuaciones identificables en la forma homogénea, en el cual no existan variables repetidas entre las ecuaciones. Una solución puede obtenerse a través de sucesivos multiplicadores de Lagrange; o también mediante la matriz inversa según Gauss. Otra forma alternativa sería plantear el problema de la correlación múltiple como una programación lineal Simplex. Excel también facilita todos esto análisis (sistemas de ecuaciones, matrices, Simplex / Solver) pero el más práctico y utilizado suele ser el aquí comentado para correlación múltiple. ¿PARA QUÉ PROYECTAR CON CORRELACIONES? Ante tantas dificultades, alguien puede además preguntarse: para qué tantas teorías (con sus problemas propios)?; ¿Por qué no estimar directamente las unidades demandadas en el próximo periodo, en vez de hacerlo dificultosamente a través de la indirecta estimación de varias otras cosas? En realidad así suele ocurrir en la empresa. Se estima la cantidad, demanda empírica (lo real) sin teorías: directamente; también utilizando modelos de simulación de la demanda y oferta global (con ponderaciones surgidas de las ventas históricas por sector demandante y la evolución probable según el análisis macroeconómico coyuntural). También se estima la demanda empírica por analogía con la de otras localidades o países, por ejemplo al intentar imponer un nuevo producto en un mercado. Especialmente en los planes de inversión o pronósticos de largo plazo se suelen incluir varios de estos tipos de estudios simultáneamente (tanto empíricos como teóricos), para sumar opiniones y comparar alternativas o estudios razonables posibles. ANALISIS DINAMICO - MODELOS DE SIMULACION 214 El análisis dinámico y los modelos de simulación, tanto estáticos (como el análisis de la coyuntura o actividad económica) o dinámicos son fáciles de implementar en Excel. En los siguientes ejemplos se ilustran casos elaborados con solo instrucciones en simples hojas de cálculo; para otros casos se utilizan recursos elementales de Excel como la posibilidad de iterar celdas o repetir en “bucle” indefinidamente; y en otros se utilizan aplicaciones de Excel, como iterar, =aleatorio, =si( ) y funciones o distribuciones diversas. Existen numerosos programas especializados para econometría y afines, pero Excel también permite la elaboración de muchos programas complejos mediante la creación de macros automáticas, cuya mecánica también se resume aquí (y esta detallada en el propio utilitario de Microsoft). A lo largo de este libro de van presentando progresivamente numerosas aplicaciones y funciones de Excel aplicables a diversas modelaciones, como las simulaciones de Montecarlo, cadenas de Markov, y otras diversas que también apuntan a la construcción de modelos de simulación estáticos y dinámicos (como el modelo de la Cerveza del MIT, que en estos cursos se detalla hacia el final, debido a que su estructura implica el conocimientos de muchos principios microeconómicos que constituyen el programa. ITERACIONES EXCEL Excel tiene incorporada la función iterar (repetir cálculos) que puede ser activada tildando en las opciones iniciales. Pero también se pueden construir fácilmente iteraciones utilizando dos celdas (como se hace en el próximo Excel sobre la función logística de Lorenz). Pruebe con un ejemplo fácil: anote un número en D1; en D2 escriba +E2; en E2 escriba una fórmula, por ejemplo, =raíz(D1). Pinte y copie las celdas D2 y E2 hacia abajo; verá la iteración de la raíz cuadrada del número puesto en D1 (elija la cantidad de copias o iteraciones necesarias; también los decimales, con formato de celda / número /decimales). Si en otro análisis se debiera “rellenar” una serie sucesiva se pueden anotar en dos celdas dos valores sucesivos con algún intervalo; pintarlos y arrastrar hacia abajo el borde inferior de esa cuadrícula pintada. Excel completará repitiendo el intervalo en el período elegido como sucesivo (tal como en el modelo de la Telaraña, columnas M hasta P). 215 Estas posibilidades de iterar facilitan los análisis dinámicos en Excel. RECALCULAR AUTOMATICO O MANUAL F9 En esas opciones Excel (en Herramientas o bien en el Office 2007 el icono Excel para el Office (izquierda arriba) ver abajo Opciones; elegir Formulas; luego tildar Cálculo Automático o Manual (con F9); tildar Iteraciones, que suele venir para 100 cálculos y con ajuste al 0,001, pero se pueden elevar hasta 32.000 cálculos (y más con F9) y anotar otras diferencias (con macros esto se puede redimensionar a millones). Si en una celda A2 anota la fórmula =A2+1 (es una referencia circular a la misma celda), en cálculo automático instantáneamente se vería 100, pulsando F9 vería 200 etc. aumentando 100 con calda pulsación de F9. Si hubiese anotado para 1000 cálculos en vez de 100, vería que los aumentos serían de 1000 con cada F9 (y al guardar). CREAR UNA MACRO DINAMICA (BUCLE) Excel incluye muchas funciones y aplicaciones intuitivas que aplicamos aquí al análisis económico sin programar. En dinámica presentamos algunos ejemplos en este capítulo como el modelo de la telaraña; o las cadenas de Markov; y la herramienta Solver de Excel. En computación estas posibilidades para el análisis dinámico son múltiples mediante programación; y en Excel se facilitan con la creación de macros. Hay una forma intuitiva de diseñar programas y utilizarlos, creando macros con Excel: se efectúa la rutina de algún análisis o modelo económico y se instruye a Excel para que simultáneamente grabe una macro con esa rutina. Luego se la podrá ejecutar indefinidamente a voluntad. En este ejemplo simplificado se le pide a Excel que multiplique por dos la celda izquierda; la macro repite esa rutina indefinidamente para todos los valores de la columna. Para crearla: Herramientas / Macro / Grabar nueva macro. Para ejecutarla: desde B2, Herramientas / Macro / Macros / Ejecutar; o bien con Cntrl + A (en este caso se le asignó esa letra). En Office 2007 recurra a F1 para esta equivalencia. 216 217 ANÁLISIS DE COYUNTURA PARA PRONÓSTICOS El análisis macroeconómico de coyuntura suele ser muy utilizado en las estimaciones de demanda de las empresas, tanto para sus pronósticos de corto plazo como para justificar planes de expansión o inversión. Suponiendo, aquí, que el bien producido por una empresa se distribuye directamente en proporción igual hacia los sectores que conforman el producto interno bruto-PBI- (caso contrario se modifican las ponderaciones), la estimación de la demanda depende de las evolución prevista para cada sector de actividad En D3 se observa la ponderación del porcentaje previsto para 2003 y la participación relativa del sector agro. Con similar criterio para todos los sectores demandantes y del PBI involucrados puede obtenerse la variación estimada de la actividad y demanda de este bien, como un promedio ponderado (4,01% de aumento para 2003, en el ejemplo ilustrativo). Existen algunos analistas de coyuntura y revistas especializados en pronósticos para cada rama industrial y sectores de actividad, de la oferta y demanda globales. Sus conclusiones resumidas suelen publicarse en la prensa; y en detalle se obtienen por suscripción, conformando uno de los instrumentos básicos de la estimación de demanda para las empresas (en forma paralela con otras formas de estimación y proyección comentadas). El instituto INDEC o Bureau of Census de cada país publica mensualmente y trimestralmente las variaciones reales por subsector, permitiendo analizar y proyectar con cierta seguridad. Sus informes sin desagregación están disponibles en algunos países por Internet y pueden comprarse allí otros con datos más desagregados. MODELOS DE SIMULACION DE LA OFERTA Y DEMANDA GLOBAL PARA ESTIMAR LA DEMANDA DE CHAPA DE SOMISA: 218 Con referencia al tema de las predicciones y los modelos de la oferta y demanda, cabe tener en cuenta que para los pronósticos de mercado empresariales, además de utilizarse programación lineal y/o procesos estadísticos de estimación de funciones por correlación múltiple, también es usual efectuar paralelamente pronósticos de ventas mediante estos modelos de simulación. En un curso de microeconomía se orienta a los alumnos principiantes mediante esta secuencia informal de ideas orientativas de las etapas de un proceso productivo en la empresa, a fin de presentar los elementos involucrados y la finalidad de los modelo de simulación: 1) Se dispone en un cuadro la estructura de las ventas de la empresa en los últimos años. 2) Se dispone de la estructura de la oferta y demanda global argentina de INDEC, incluyendo la apertura en los subsectores industriales. 3) Los analistas de la coyuntura económica efectúan pronósticos de la actividad para el próximo año sector por sector (Tendencias Económicas; los estudios de M. A. Broda, de Bein y pocos otros suelen ser los usuales). 4) Con estos porcentajes estimados en cada subsector también es posible aplicarlos en el cuadro de la estructura de ventas de la empresa, ponderando para obtener un porcentaje promedio de variación de las ventas en el próximo año. 5) Con el porcentaje ponderado total de variación y el volumen resultante que implique para el año puede la empresa calcular luego la producción necesaria; tendrá en cuenta las existencias de productos terminados o en curso de elaboración y por diferencia le surgirá la idea sobre la compra de materias primas e insumos necesarios para el período. Un gráfico de Gant con estas etapas mencionadas y sus plazos críticos ayuda en la coordinación de las actividades, que comienzan con esta estimación de la demanda, siguen con el plan de compras, plan de producción y continuarán con los planes de ventas, de expedición o logística y marketing (paralelamente con la coordinación de flujo financiero y aspectos impositivos, contables, etc). 1.- En los últimos años la estructura sectorial de las ventas de chapa de Somisa fue la siguiente: 2.- Por otra parte, las estadísticas sobre cuentas nacionales están disponibles en el sitio web del INDEC (www.indec.gov.ar ) y para el estudio o “análisis de la coyuntura” y de estos modelos de simulación suele ser 219 útil la siguiente presentación de la oferta y demanda globales, conformada con los cuadros INDEC del PIB, los de la O y D global, y algunos con estructuras industriales. Como una identificación aproximada puede identificarse estas estadísticas actuales del PIB en miles de millones de $ de 1993, como si fueran equivalentes a dólares (en aquel momento el tipo de cambio estaba 1 a 1 con el peso y sirve esta simplificación). La estructura sectorial ha ido cambiando en las últimas décadas, resumiendo este cambio como una gran reducción del producto industrial y un gran aumento en los sectores generadores de servicios. Una aproximación a 2011 es la siguiente: Esta estructura actual de la actividad económica es necesario representarla en términos porcentuales (columna B), para proceder al análisis de la coyuntura. 220 ESQUEMA MACROECONOMICO DE KEYNES La gran crisis mundial de 1929 originó un replanteo sobre el esquema clásico del equilibrio estable bajo competencia perfecta y su visión del pleno empleo permanente. En 1874 Walras había expuesto un sistema simplificado con N sectores productores (de bienes finales); consideraba que el equilibrio entre demandas y ofertas dependía de todos los sectores incluyendo también al del dinero. No veía la circularidad económica como una identidad tipo J. B. Say, con equilibrio y pleno empleo aun sin considerar el dinero, sino que el equilibrio con pleno empleo solo era posible para un determinado nivel de precios, en cada uno y en todos los sectores, incluyendo al del dinero. En 1936 J. M. Keynes separó netamente la macroeconomía del precedente ambiguo tratamiento conjunto micro y macroeconómico según Marshall y demás. Expuso una explicación diferente de la crisis, según la incertidumbre empresaria en la bolsa de valores de Wall Street (retiro de inversiones) y también la necesidad de utilizar la política monetaria y fiscal para atenuar las variaciones bruscas de la actividad general, que es la parte cuestionada por la corriente monetarista. Según Keynes, esa dinamización mediante obras públicas no necesariamente generaría inflación descontrolada. En el esquema de la circularidad económica también keynesiano se cumple que Y = C + A ; el ingreso nacional es igual al consumo más el ahorro; aunque si este es atesorado por especulación o precaución disminuirá las posibilidades del ingreso y producto nacional; entonces interesa que sea Y = C + I, cuando el ahorro se invierte y no se etesora debido a expectativas especulativas o de crisis inminente. Según la idea de circularidad de la renta nacional, también se puede presentar esta como Producto nacional = Gasto nacional, que en la práctica se estudia según las cuentas nacionales como Oferta Global = Demanda global. Interesa que en el esquema keynesiano se contempla una política macroeconómica de tipo anticíclico (metáfora keynesiana de cavar zanjas y pagar para volver a cubrirlas, a fin de reactivar las crisis mediante el mayor gasto; y en los momentos de auge los impuestos reducen el gasto en consumo e inversiones). El peligro de la inflación con este gasto adicional es lo criticado por la corriente monetarista, que no admite este uso de la política monetaria y fiscal expansiva /contractiva (anticíclica) y prefiere el manejo según el equilibrio del mercado monetarios (tasa de interés, tipos de cambio ante divisas, empréstitos soberanos, etc. y una mínima dimensión del estado en el control de las externalidades y bienestar locales). Es esta visión de la circularidad económica la que también se utiliza para los pronósticos de demanda en las empresas, observando las actividades sectoriales en general mediante el análisis de la coyuntura económica. 225 3.- ANALISIS DE COYUNTURA El objetivo buscado con este modelo de simulación es pronosticar las ventas de la empresa en 2012. El método consiste en averiguar cuáles son los pronósticos para cada subsector de actividad económica, en lo que suele denominarse como análisis de coyuntura. Las empresas grandes suelen adquirir servicios especializados en el análisis de coyuntura, como las resumidas antes en el punto 3); y con sus pronósticos nacionales es posible armar las columnas C) y G) del cuadro siguiente. En cada línea de un sector económico se multiplica el dato de la columna B por la variación de C para obtener su ponderación en D. La suma de todas estas ponderaciones figura en D34 (divida por 100 para compensar el producto por la columna B que también suma 100). Otra simplificación es considerar la evolución de los sectores productores de servicios (la mayoría) como reflejo del comportamiento que tengan los sectores productores de bienes (físicamente pronosticables mediante diversas pautas e indicadores sobre producción, venta y consumo de bienes diversos, que permiten anticipar con sobre bases reales el comportamiento de la demanda, frente al mayor retardo de las estadísticas oficiales sobre el producto nacional). En este caso aproximado, 4,4% sería el crecimiento esperado en la economía nacional (que también se correspondería con similar expansión de la demanda global en consumo, inversión y exportaciones. 226 4.- Una vez que los analistas de coyuntura consideran aceptable este pronóstico nacional, es posible utilizar algunos de estos porcentajes para utilizarlos también en el cuadro de ventas de Somisa (columna c): El próximo paso es multiplicar, en cada línea de sector de ventas de chapa de Somisa, el dato de la columna B por el C para obtener su ponderación en D. La suma de todas estas ponderaciones figura en D58 (divida por 100 para compensar la multiplicación por la columna B que también suma 100). De este modo, el modelo de simulación de la oferta y demanda global ha facilitado porcentajes sectoriales, que volcados en la estructura de ventas de la empresa permitieron estimar que la ventas de Somisa en 2012 aumentarían en conjunto 3,9%. En cuanto a la distribución de este porcentaje entre todos los productos a fabricar por la empresa también se tendrán en cuenta las pautas disponibles sobre pedidos, prioridades según la rentabilidad de cada producto, limitaciones de equipos, etc. Por ejemplo, los precios locales son generalmente más rentables que la exportación y la demanda local sería así prioritaria sobre la exportación (en ese caso solo complementaria, hasta agotar la capacidad). 227 DEMANDA COMO CONSUMO APARENTE VS. REAL: Una demanda siempre son kilos, metros, horas, billetes, pesos, unidades etc. de algún bien físico, servicio real (electricidad, gas, agua…), financiero ( $, tasas…), personal (limpieza, seguridad, acompañamiento), transporte, etc. En la empresa no hay funciones ni ecuaciones o cosas por el estilo: son uds. quienes tendrán que armarlas o calcularlas (mediante correlación múltiple con Anova, tipo ejemplo de los helados), y/o calcularla también mediante muestreos grandes o chicos; o con modelos de simulación como la de oferta y demanda global; etc.). Pero, suelen sobrar eventuales distorsiones especulativas en los mercados; e interesa diferenciar la demanda o consumo aparente, del consumo real de un bien o servicio. Por ejemplo, el consumo aparente de acero crudo o de chapas se calcula como la suma de la Producción + Importación – Exportación +/– la Variación de existencias en los consumidores y productores (CAAC = P + I - X +/- Stocks en toda la cadena de distribución). ¿Qué interesa? Cuando hay procesos inflacionarios o inestabilidad política, las personas y empresas suelen escaparle a mantener dinero en billetes; entonces procuran cambiarlo rápidamente comprando mucha chapa (o lo que sea) e incluso comprarla a crédito si es posible… El consumo “aparente” aumenta así mucho, pero el consumo “real” quizás no cambie… Simplemente habría una acumulación de existencias /stocks especulativa o preventiva … Este detalle es la diferencia entre la demanda vista como consumo aparente vs. el real. Vinculado con esto, también interesa tener en cuenta, especialmente desde la generalizada Globalización de los años 90, que una importante fuete de estadísticas de bienes esta en los registros del comercio exterior. Argentina publica las cantidades y precios de importaciones y exportaciones diariamente desde 1990. Algunos pocos países (pero nunca los EEUU) también publican estas informaciones (individuales para cada operación comercial), con nombres del importador y a veces también del proveedor, cantidad, precio, marca y modelo, países, transporte y seguro. En Argentina se puede ver toda operación individual en detalle ingresando a www.afip.gov.ar/aduana/SIM . En este sitio web se puede bajar cada operación individual mes por mes, con solo escribir el código de producto según el Nomenclador Arancelario Mercosur (a 12 dígitos, similar al tradicional de Bruselas a 6 dígitos; clasifica todos los productos en 100 capítulos: agrícolas, animales, alimentos, combustibles, minerales, plásticos, caucho, textiles, metales, manufacturas, maquinaria, motores, etc). Este nomenclador también figura ahí para ser consultado (o se baja del sitio web de este curso, que incluye además varios informes con los principales importadores con nombre, precios y cantidades, de cada producto en todo el país en un año reciente). Por otra parte, desde el s.XX, todos los países publican un resumen estadístico agregado anual para cada tipo o gran familia de principales productos (que con cargo publica la ONU; y algo se puede ver en el sitio web de Cepal.org y también en el del Indec argentino ….o similares de otros países). También conviene tener presente que en el sitio www.alibaba.com figura la mayor parte de los oferentes de bienes de todo tipo desde CHINA para el mercado mundial (en inglés o castellano; y en chino www.taobao.com con traducción automática por Google). 228 5- ETAPAS DEL PROCESO PRODUCTIVO Finalmente, con esta estimación de la demanda, será posible implementar las etapas del proceso productivo y efectuar en la empresa un plan de compras de insumos (neto de los stocks), el plan de producción y finalmente los planes de ventas, expedición o logística y marketing (paralelamente con la coordinación del flujo financiero y aspectos impositivos, contables, etc.). Para esta gestión global suelen utilizarse gráficos o diagramas de Gantt, con anotaciones en la barra de cada línea de actividad de las fechas de inicio y entrega de cada tarea (según el campo calendario vertical). Un escaso solapamiento vertical de barras horizontales o fechas entre algunas líneas, sería una orientación sobre sensibilidad ante eventuales contingencias. A veces se complementa esto mediante controles con el método PERT (program evaluation and review technique). Por otra parte, es usual simplificar las estadísticas globales de las empresas refriéndolas en pocas cantidades y precios, agrupando en productos representativos. Las empresas suelen producir y vender un numeroso conjunto de productos, pero se suele adoptar como una simplificación para comparaciones y seguimientos, la representación en precio y cantidad con un producto principal, identificatorio del conjunto, como un promedio de la familia de productos (o el modelo más frecuente, etc.). Esto es lo usual para comparaciones con la evolución histórica y/o con la competencia (por ejemplo aquí, bobinas de chapa laminada en caliente de 3,2 mm de espesor en calidad comercial) y también pa ra el seguimiento con las publicaciones locales e internacionales, que informan permanentemente los precios de cada producto testigo en los mercados (generalmente FOB en dólares por unidad, tonelada, etc.; ocasionalmente en libras). Por su parte, las memorias y balances que se publican en las bolsas, también contienen un conjunto muy reducido de datos de venta y de costos y suele ser necesaria esta simplificación para identificar y comparar la evolución con los indicadores en publicaciones del mercado. 229 CAPÍTULO 6 CONTEXTO ALEATORIO - TEORÍA DE LA PROBABILIDAD Según Pierre de Laplace, la teoría matemática de la probabilidad no es más que el sentido común aplicado a los cálculos, en situaciones que no son conocidas con certeza, o que sólo responden a una opinión o aserción con reserva. Inicialmente la teoría se desarrolló en conexión con la solución a problemas de los juegos de azar, pero luego se aplicó al análisis de los problemas demográficos, económicos y estadísticos en general. Es usual leer que las primeras nociones relevantes sobre la teoría de la probabilidad correspondieron a los matemáticos Pascal y Fermat, no obstante que en aquel momento el filósofo francés Compte (1798-1857) consideró como "una vergonzosa aberración científica" aquellos análisis "no determinísticos" para resolver problemas de cuestionables juegos de azar. Sin embargo, posteriores aportaciones de Gauss cimentaron estos conocimientos conformando una sólida rama de la "ciencia del azar"; con importantes aplicaciones a los fenómenos económicos, además de a la biometría, a la astronomía y a la estadística en general, después de los aportes de Santiago Bernoulli (16541705), que desarrollo un célebre teorema que permitió estructurar el cálculo de probabilidades como una disciplina orgánica. A principios del XIX varios trabajos de Laplace completaron los análisis de Bernoulli, impulsando la estructuración definitiva de esta disciplina, a la que se sumaron luego aportaciones de Possion, Gauss y otros, vinculando esta teoría con los diversos campos de la ciencia comentados inicialmente. PROBABILIDAD DE DISTRIBUCIONES Un aspecto fundamental de la metodología estadística reside en determinar si una distribución de observaciones se debe al azar o no. Por ello resulta interesante conocer determinados modelos estocásticos/probabilísticos, construidos a priori: distribuciones. Interesa explicar cómo se plantean y qué son las pruebas de significación, con significación en sentido opuesto al azar; tal que si una prueba resulta significativa implica que el resultado de la misma es muy poco probable que se haya dado por azar, y viceversa. Un planteo presupone que las observaciones correspondientes a cada una de las variables son "independientes" entre sí, es decir, que no se afectan mutuamente para presentarse en las experiencias (puede ocurrir un hecho ocurriendo o no el otro) Se precisa el concepto de probabilidad con tres criterios: - se define el valor numérico de probabilidad -siempre entre cero y uno- como la frecuencia relativa de ocurrencia: o sea, la frecuencia absoluta sobre cantidad total de observaciones. Se obtienen conclusiones empíricas, basadas en las observaciones. - un segundo criterio considera la probabilidad como el cociente entre los casos favorables sobre los posibles; siendo este punto de vista muy útil para obtener leyes a priori, tal como la probabilidad de sacar cara o cruz con una moneda. 230 - el tercer criterio apunta a verificar un modelo a priori o a construir un modelo empírico. Si N es una cantidad numerosa de observaciones de una variable y f es el conjunto de observaciones pertenecientes a una misma categoría, se define el valor numérico de la probabilidad de obtener una observación perteneciente a esa categoría en el conjunto de observaciones de la variables como la frecuencia relativa "a la larga" de las observaciones que pertenecen a una categoría dada. Es decir que no suministra un valor exacto sino solo un valor aproximado del mismo. Laplace aportó tres leyes que definen las propiedades matemáticas de la probabilidad: - Haciendo N ensayos no es posible tener menos de 0 éxitos ni más de N éxitos, entonces la probabilidad tiene necesariamente un valor numérico que oscila entre 0 y 1. - Probabilidad simple (suma). Si dos hechos A y B no pueden ocurrir simultáneamente, la probabilidad de obtener A o B es igual a la probabilidad de obtener A más la probabilidad de obtener B (la probabilidad de obtener 3 o 5 con un dato es 1/6 + 1/6 = 1/3) - Probabilidad compuesta (multiplicación). Dos o más hechos que se presentan juntos: la probabilidad de obtener A y B es el producto de la probabilidad de uno por la de probabilidad condicionada de obtener el otro: P(A) = P(A) P(B/A) = P(B) P(A/B) Las distribuciones son construcciones a priori que se utilizan para interpretar si los hechos concretos de la realidad se deben o no al azar. Entre estos modelos estocásticos o probabilísticos se destacan la distribución binomial y la distribución normal. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Suponiendo un universo con la variable en observación clasificada en dos categorías y se considera favorable (r) la obtención de una de ellas, que a priori tiene una probabilidad p dada. Si además interesa formar conjuntos de N elementos, en los cuales la probabilidad de obtención favorable varía entre 0 y N, es posible formar un modelo estocástico a priori que informa la p(r) según J. Bernouilli: P(r) = N! /r!(N - r)! . Pr .qN-r ESPERANZA MATEMÁTICA Si la variable aleatoria solo puede tomar un conjunto finito de valores enteros -como el número de hijos de una familia por ejemplo, o caras de un dado, etc.- es una variable discreta, no continua. En estos casos la distribución de frecuencias puede trasformare en una distribución de probabilidad. La media aritmética de una distribución de probabilidad es la esperanza matemática: el valor esperado E(x) que se obtiene sumando el producto de cada uno de los valores en que puede darse la variable por su probabilidad (en una lotería de 1000 números a $1 que ofrece un premio de $750, la esperanza es E(x) = 0,749 - 0,999 = = -0,25: un mal negocio para un jugador). DESVIACIÓN TÍPICA El equivalente de la desviación Standard o de la variancia para una distribución de probabilidad es ζ = [ E(x1/2) - (E(X))1/2 ]1/2. DISTRIBUCIÓN NORMAL 231 Cuando N tiende a infinito la gráfica de las ocurrencias deja de verse como de barras y toma la apariencia de una variable continua (campana), representada por una función matemática desarrollada en 1773 por De Moivre y paralelamente por Laplace y Gauss: y= 1 2 e 1 x M 2 2 que varía entre 0 y 1, siendo e y pi constantes conocidas. DESVÍO REDUCIDO Utilizando x (minúscula) para indicar la transformación del origen corrido hacia la media de la distribución, tal que la media original se transforma en 0 y además se expresan todas las medidas con desvíos respecto a su media, o sea, x = X-X (X sombrero o media) Así la unidad de medida se transforma en términos de desviación Standard, o puntaje Standard, denominado "desvío reducido" y simbolizado con z en muestras grandes: Z= X-X /ζ = x/ζ DISTRIBUCIÓN NORMAL ACUMULADA Es la suma de casos de cada intervalo más todos aquellos que están por debajo del mismo: una distribución de frecuencias acumuladas. Cuando se usan clases de intervalo muy numerosas y de módulo chico, con la frecuencia de estos intervalos como valores acumulados se obtiene una función constantemente creciente de x: una curva en forma de S conocida como ojiva (la integral de la curva de distribución normal). USO DE TABLAS Y DE LAS FUNCIONES INCORPORADAS EN EXCEL Cuando se conoce N, la media X y ζ para una distribución es posible calcular por ejemplo, la cantidad o porcentaje de individuos locales entre dos puntajes, o por encima, o por debajo de un puntaje dado de esa distribución. No es necesario realizar todos los cálculos en cada caso; basta consultar las tablas o bien utilizar las funciones incorporadas en Excel. En la tabla de distribución normal interesa la primer columna y la primer fila, con los valores de puntaje reducidos de x en la fila y las dos primeras cifras de ese puntaje en la columna; la fila la segunda y tercera del mismo. Aplicaciones usuales de estas tablas son por ejemplo, determinar el porcentaje de casos que caen entre dos límites dados en una distribución normal. También, encontrar los límites de cualquier distribución normal que incluyan un porcentaje determinado de casos (problema inverso al anterior). Otro ejemplo de aplicación es clasificar un grupo total en subgrupos de acuerdo con el aprendizaje o la aptitud para una materia; también determinar la dificultad relativa de las preguntas de un examen o de los ítem de un test; etc. 232 Excel trae ayudas incorporadas para éstas y muchas otras distribuciones (aproximadamente 10 ó 15 más); si bien no presenta ejemplos para su interpretación concreta de cada caso, tal como figuran en los textos técnicos, resultan un complemento perfecto para la aplicación práctica de este análisis. REGLA O TEOREMA DE BAYES Supónganse 6 cajas conteniendo 100 unidades cada una. En 4 hay 8 unidades falladas en cada una; en las otras 2 hay 20 falladas en cada una. Elegir una unidad implica bastante riesgo de que sea fallada (calculable, pero con resultado aleatorio). Por una parte, si hay 4 cajas con 8 falladas, el primer cálculo indica una probabilidad de 4/6 (ó 66%) de obtener una de ellas; pero se corre el riesgo de sacar de una caja peor con 20 falladas, cuya probabilidad es 2/6, ó 33%. Sin embargo, este riesgo de elegir una unidad fallada podría reducirse algo si existiera la posibilidad de poder extraer y ver una unidad de una caja, ya que las fallas en una de las convenientes son 8/100): La probabilidad compuesta de elegir una caja con 8 se multiplicaría por la de elegir una unidad fallada esa caja. Casos favorables sobre casos posibles: P = 4/6 (8/100) / [ 4/6 (8/1000) + 2/6 (50/100) ] = 0,053 / 0,053 + 0,166 = 0,24 (el 33% se redujo a 24% de riesgo que salga fallada). Excel calcula probabilidades seleccionando con el icono =probabilidad(fallas;probabilidad;límite inferior;límite superior) o bien, escribiendo directamente: 233 ANÁLISIS COMBINATORIO. Reglas de conteo Para el cálculo de la probabilidad puede ser difícil efectuar el conteo de los casos favorables y del número total de casos posibles. Regla de conteo 1: si cualquiera de los k eventos mutuamente exclusivos y colectivamente exhaustivos, diferentes, puede ocurrir en cada uno de los n ensayos, el número de resultados posibles es K n. Lanzando una moneda 4 veces el número de resultados es 24 = 16; lanzando un dado 2 veces el número de resultados diferentes sería 62 = 36. Regla de conteo 2: si hay k1 eventos en el primer ensayo, k2 en el segundo, ... y kn en el n=ésimo ensayo el número de resultados posibles es (k1) (k2) ... (kn). Si la patente de los autos fuera compuesta por tres dígitos seguidos por dos letras el número total de patentes sería (10) (10) (10) (26) (26) = 676000. Regla de conteo 3: Los arreglos de diferentes formas en que se pueden ordenar n objetos es factorial de n (n!); se define 0! como 1. El número de formas en que se pueden ordenar 4 objetos es 4! = (4) (3) (2) (1) = 24. Regla de conteo 4: Las permutaciones posibles al ordenar X objetos extraídos del conjunto Y, aunque se repitan en otro orden, es: Y! / (Y - X)! 234 Utilizando la función factorial de Excel se calculan las permutaciones posibles al ordenar 3 objetos extraídos de un conjunto de 4 son: 4! / (4 - 3)! = 24. PERMUTACIONES Excel también incluye la función permutaciones: los subconjuntos de 2 objetos que pueden obtenerse contando con 4 son 12 (aunque se repitan en otro orden, tal como 43 y 34, etc.). Regla de conteo 5: las combinaciones posibles para ordenar X objetos tomados del conjunto, tal que no se repitan en otro orden al tomarlos, es igual a Y! / X! (Y-X)! Las combinaciones posibles para ordenar 4 objetos tomados de a 3, tal que no se repitan en otro orden, son: 4! / 3!(4-3)! = 4 COMBINACIONES Las combinaciones diferentes de 4 elementos tomados de a 2, sin repeticiones, también pueden calcularse con la función "combinat" de Excel: 235 DISTRIBUCIÓN BINOMIAL En contexto aleatorio también se estudia la media ( ), la varianza ( 2) y la desviación típica ( ), además de la curtosis, sesgo y la desviación media. La distribución binomial (Bernoulli) se utiliza en los casos en que los ensayos son independientes y solo puede haber la posibilidad de éxito o fracaso, la probabilidad de éxito es constante en todo el experimento (caso contrario se utilizaría la distribución acumulada) y un número fijo de pruebas. Por ejemplo, para calcular la probabilidad de obtener 4 caras al lanzar una moneda 8 veces: en un lanzamiento la probabilidad de éxito sería 0,5 (50%); entonces Excel la calcula para 8 veces en 27,3% activando esta función al escribir en A1 =distr.binom.(4;8;0,5;falso): La notación “falso” corresponde a la densidad de probabilidad y no acumulada. DISTRIBUCIÓN NORMAL Calcula la probabilidad de un valor aleatorio dado en series grandes. Cuando N es grande y la probabilidad de éxito p y la de fracaso q no están próximas a cero entonces coincide la distribución binomial con la normal de Gauss (...con Np y Nq > 5) Excel incluye varias funciones para estudiar esta distribución. Un suceso que se distribuye normalmente con una media 25 y dispersión 8 tiene una campana ubicada en el primer cuadrante, centrada en la abscisa 25.(abarcando desde 0 y 50) y ordenada 1. 236 La función distribución normal indicará la probabilidad de que la campana abarque cualquier valor igual o inferior al deseado. Para el valor de abscisa 40 la probabilidad del área para todo valor hasta 40 es 96,9%. ESTIMACIÓN DE UNA DEMANDA MAYOR A 40 UNIDADES: la probabilidad es solo 3,04%; (1 - 0,9696 = 3.04%). Una campana de Gauss con media 0 está centrada en la ordenada. Si la abscisa abarca aprox. entre –3 y +3, para un desvío de 1 el área acumulada a la izquierda de 1 es 84,13%; para un desvío de 2 el área es 97.72% y si el desvío es 3 el área a la izquierda (o probabilidad acumulativa) es 99.86%) PRUEBA Z La prueba z indica la probabilidad de que un valor pertenezca a una población: se calcula mediante la tabla de distribución normal o bien con Excel, anotando el rango de las muestras de esa población, el valor a averiguar y el desvío estándar (aunque si se lo omite Excel toma los el desvío estándar de los valores del rango de las muestras). La prueba Z devuelve el valor P de dos colas de la distribución normal y permite evaluar la probabilidad de que una observación determinada provenga de una población específica. Su sintaxis es PRUEBA.Z(matriz;x;sigma), donde Matriz es la matriz o rango de datos frente a los que se ha de comprobar x; X es el valor a comprobar; sigma es la desviación estándar (conocida) de la población. Si se omite, se utiliza la desviación estándar de la muestra. 237 La Distribución Norma de Gauss considera comportamientos constantes, con poca probabilidad al principio y hacia el final: la distribución tipo campana simétrica: VIDA ÚTIL DE UN PRODUCTO La vida útil de un producto está calculada en 700 horas, según la distribución normal con un desvío estándar de 185. Para averiguar la posibilidad de que falle dentro de las 900 a 800 horas de uso el cálculo de la probabilidad acumulada con Excel sería: =distr.norm(900;700;185;verdadero) e indicará 86%. =distr.norm(800;700;185;verdadero) e indicará 71%. La diferencia 86% 75% = 11% es la probabilidad de fallar si al producto se lo utiliza entre 900 y 800 horas (la notación “verdadero” corresponde a la probabilidad acumulada). En las muestras mayores de 30 grados de libertad también se utiliza la distribución normal o de Gauss (en las muestras grandes coincidiría la distribución de Student con la normal). MUESTRA DE 200 ARANDELAS Ejemplo: una muestra de 200 arandelas tiene diámetro 0,502 mm, con desviación típica 0,005m. El estándar de rechazo es de 0.496 a 0.508m ¿Cuál es el % de rechazadas si la producción se distribuye normalmente? z= (0.496-0.502)/0.005 = -1,2; y z= (0.508-0.502)/0.005 =+1,2 238 El área de la curva normal tipificada en z entre –1,2 y +1,2 es dos veces el área z=0 y z=1,2, o sea: rechazo por 2 (1-0,88493=0,11507) = 0.23. Hay el 23% de defectuosas con las dos colas. Los valores pueden consultarse en las tablas de distribución normal o directamente escribir en Excel las funciones correspondientes que figuran en estas imágenes (o utilizar la ayuda para seleccionar en Funciones Estadísticas). MUESTRA DE 100 TUBOS FLUORESCENTES En otro ejemplo, la duración media de una muestra de 100 tubos fluorescentes es 1570 horas, con una desviación típica en la muestra de 120 horas. Si la duración media de todos los tubos producidos por esta empresa es =1600 horas (con desconocida) se busca comprobar la hipótesis nula que los tubos de la muestra difieren de la producción normal de esta fábrica, con una significación del 95% y del 99%. Corresponde un ensayo bilateral, ya que intervienen valores mayores y menores que 1600 horas y se utiliza la curva normal, tipificada en z. Z se estima como: z = (1570-1600)/ (aquí desconocida) Se adopta el criterio de suponer como aproximación que la muestral [igual a 120/(100)1/2=12] sea como la de la población, de modo que z= (1570-1600)/12 = -2,5 por lo que se rechaza la hipótesis nula ya que la z de la media muestral esta fuera del rango –1,96 a +1,96. TEORÍA DE LAS COLAS Casos como los de atención en mostrador, en los cuales la disposición de servicios implica tanto un costo como posibles beneficios, por evitar deserción de clientes ante tiempos excesivos de espera. La decisión depende de: - la aleatoriedad en la llegada de clientes - la aleatoriedad del tiempo requerido para la atención de cada uno. Si no hay ninguna constante y las llegadas son aleatorias se utiliza la distribución de POISSON para determinar la probabilidad “rara” de desatención. 239 DISTRIBUCIÓN DE POISSON En cuanto al tiempo requerido para la atención de cada uno, se suele utilizar la distribución exponencial porque es conceptualmente coincidente con la anterior. SIMULACIÓN DE MONTECARLO Un revendedor de aparatos sabe que tendrá fluctuantes suministros y clientela; supóngaselos según las siguientes probabilidades de recepción y venta, por lo cual necesita diagramar sus instalaciones y accionar futuro: a) Suministro mensual de equipos para la venta prevista: Cantidad de equipos mensual: 1 2 3 4 5 Probabilidad de recepción: 0.04 0.23 0.3 0.23 0.2 En una urna se preparan 100 papeles, anotando los números 1 a 5 en esa proporción anterior: 4 con 1; 23 con 2; 30 con 3, etc. Eligiendo 12 al azar se obtendría uno para cada mes del año, y podría tomarse como el suministro para la venta: E F 1 3 M A M J 2 3 1 3 J A S 4 3 5 O N D 1 1 2 La selección al azar con urnas es laboriosa. Excel simplifica esta tarea mediante Herramientas > Análisis de Datos > Generación de Números Aleatorios > Discreta e indicando que seleccione un número del rango A2:B6 indicado para los 12 meses necesarios en C2:C13, según se ve en la imagen: 240 luego, Herramientas > Análisis de datos >GENERACIÓN DE NÚMEROS ALEATORIOS b) Por otra parte, la empresa sabe que recibiría mensualmente la siguiente cantidad de clientes según estas probabilidades: N° de compradores: Probabilidad: 0 0.1 1 0.1 2 0.15 3 0.3 4 0.15 5 0.1 6 0.1 Utilizando el Análisis de Datos Excel > Generación de Números Aleatorios, etc. (o bien poniendo en una urna 100 papeles con estos números de compradores según esas probabilidades) se podrían obtener 12 para la recepción mensual de clientes: E F 2 3 M A M J J A 6 0 5 3 4 1 S O N D 3 0 4 3 c) La empresa también tiene registrada la probabilidad de que un cliente compre efectivamente: N° de clientes que compran: Probabilidad: 0 0.4 1 0.3 2 0.25 3 0.05 Con este mismo Análisis de Datos de Excel (o repitiendo en una urna con 100 papeles con las cantidades que compran según estos porcentajes) se podría obtener al azar las posibles compras para cada uno de los posibles clientes de cada mes según b): E F M A M J J A S O N D 1)2 1)0 1)2 1)1 1)1 1)1 1)2 1)0 1)2 1)2 2)0 2)1 2)0 ----2)2 2)1 2)0 2)2 --2)0 2)0 3)1 3)1 3)0 3)0 3)2 4)3 5)0 4)2 5)1 4)3 3)1 3)1 3)1 4)1 6)1 241 Por consiguiente, según las pruebas al azar, calculadas en el método de Montecarlo con Excel (o con las urnas), el resultado sería: a) Suministro E F M A M J J A S O N D TOTAL 1 3 2 3 1 3 4 3 5 1 1 2 29 c) Ventas 2 2 7 0 6 2 6 2 3 0 4 3 37 Saldo -1 1 -5 -3 -5 1 -2 1 2 1 -3 -1 -8 En esta simulación habría un saldo de –8 (suministro insuficiente). Surgió del rigor de una selección al azar. Sin embargo, hay que aclarar que si se repite la simulación con nuevas pruebas al azar seguramente el resultado sería otro. Una posibilidad es entonces efectuar numerosas pruebas al azar (con Excel) y observar los resultados posibles hasta que se estabilicen, para luego adoptar alguna decisión sobre las instalaciones y facilidades necesarias. Excel facilita esta larga tarea: es necesario armar una planilla anotando los 100 números, repitiendo cada uno las veces que corresponda en un cuadro de 10 por 10. Luego se encolumnan en A1 hasta A100. En B1 se escribe la fórmula “=aleatorio()”, copiándola hasta B100 con una macro que elija solo en el rango A1: A100. Seguidamente desde B1 se ordena la lista de la columna B utilizando el icono del botón A-Z. Cada vez que se apriete el botón A-Z, el número que ocupe la celda A1 será el elegido al azar por Excel, respetando la proporción necesaria para la simulación; igualmente para los números para los 12 meses del año, etc. 242 TAMAÑO DE LA MUESTRA Una forma técnica de calcular el tamaño n de la muestra (¿30 simulaciones necesarias?) sería calcular la varianza del resultado para una cantidad de, por ejemplo 1000 simulaciones, y medir la varianza. Si la distribución es normal y con un nivel de confianza de orden del 5%, se calcula la prueba Z de la distribución normal; y con el error absoluto (e) que se admita aceptable se calcula el tamaño de la muestra (n) n = Z2 ( ζ2) / e2 De todos modos, con posterioridad a los estudios y a lo que se implemente, la realidad seguramente será otra. Pero una planificación como esta puede representar alguna ventaja racional en aquellos casos en que no existe otra fórmula posible de previsión. PROGRAMACIÓN DINÁMICA - CADENAS DE MARKOV Procesos estocásticos (aleatorios) con variaciones discretas a lo largo del tiempo. Supóngase un estudio de dos marcas, tendiente a establecer la penetración del mercado con cada una, conociendo las proporciones actuales de cada marca A 60% y B 40%, así como cuántos clientes estarían dispuestos a cambiar hacia la otra marca: El producto A tiene 90% de clientes firmes y 10% estaría dispuesto a cambiar hacia B; en el producto B hay 95% de clientes fieles y 5% de clientes que estarían dispuestos a pasarse hacia A. Estas proporciones pueden disponerse en forma de una matriz [C] de fidelidad, en la cual A11 es la posibilidad de que un cliente de A continúe en A; A12 es la posibilidad de que un cliente de A se pase a B; B22 son los clientes de B que continúan en B; y B21 los clientes de B que se pasarían hacia A. 243 En H3 se muestra el producto de la participación inicial de clientes A 60% y B 40% por la matriz de fidelidad, de modo que al final del primer año la participación ha cambiado hacia A 56% y B 44%. Se utilizó la función "=MMULT(PARTICIPACIÓN;FIDELIDAD)" Para establecer el proceso dinámico es necesario efectuar el producto {[0,60 posteriores. 0,40] [C]}n en los años Repitiendo este producto con los nuevos clientes de cada año por la misma matriz de fidelidad (obsérvese en H3 que fue fijada como referencia absoluta con $D$2:$E$3 mediante F4) se copia hacia abajo durante n períodos, hasta que las proporciones se estabilizan en 1/3 y 2/3 (en este caso A) 0.34 y B 0.66 desde el año 21. Cadenas de Markov absorbentes Un laboratorio estudia casos excluyentes de salud o muerte (E y F) después de una serie de tratamientos sucesivos y periódicos, para una muestra con 60% de enfermos leves y 40% de enfermos graves. Se observaron los resultados en el primer y siguientes períodos, según este resumen: E F Grupo 1 Grupo 2 E F 1 0 0 1 0.2 0.1 0.05 0.15 Tratamiento Inicial Estado inicial [P 1 2 0 0 0 0 0.6 0.1 0.15 0.65 Tratamientos siguientes Q] = [0.60 0.40] La probabilidad final de enfermos curados después de un tiempo indefinido de tratamiento es: 0.20 0.60 0.40 * [I - A]-1 * 0.05 244 Siendo "l" matriz unitaria; y A = entonces [I - A] = 0.40 0.15 0.60 0.10 0.15 0.65 0.10 0.35 ; ; con la proporción de curados en el primer año 0,20 y 0,05; de modo que [0.60 0.40] * [I - A] * 0.20 0.05 = 0.52 (se esperan 52% de pacientes sanos, luego de los tratamientos sucesivos y periódicos). En una hoja Excel se anotan los datos en A2 hasta G3; en I2:J3 se resta la matriz unitaria menos la matriz A, ordenadamente celda a celda; en L2:M3 se calcula la matriz inversa pintando las cuatro celdas y escribiendo con Ctrl+Shift+Enter lo que indica el visor (cuando está pintado un rango de celdas la máquina agrega a la fórmula una llave inicial y otra final "{...}" ). En la fila 3 se anotó el concepto de fondo: multiplicar la muestra por la matriz inversa de los tratamientos por el vector de cura inicial. Pero procedemos en dos partes: en la primera multiplicamos la muestra por la matriz inversa de tratamientos, según se ve en D6 (previo pintar las cuatro celdas). En segundo lugar, multiplicamos el producto anterior por el vector de cura inicial, como se indica en el visor de G6. 245 El 52% de pacientes de la muestra serán curados, después de los tratamientos. 246 CAPÍTULO 7 MUESTREO Mediante muestras es posible la estimación estadística de la media y la varianza de la población. Esta estimación será insesgada o no según que la media y varianza de la muestra sean iguales a las de la población. Si dos muestras tienen iguales media y una tiene menor varianza que la otra se dice que ésta es un estimación más eficiente. Las pruebas de significación usuales son: hipótesis de nulidad; prueba estadística; nivel de significación; distribución muestral; zona de rechazo; decisión sobre la prueba. Conviene distinguir la estimación en estima de puntos y estima de intervalos. La estima de puntos dirá que el peso es 4 kilos. La estima de intervalos dirá 4 kilos + o – 0,1, o sea, peso entre 3,9 y 4,1 kilos. Hipótesis nula (Ho): por ejemplo, que un método o algo, no es mejor que otra cosa. Se distingue el error de tipo uno (rechazar algo verdadero) del error de tipo dos (aceptar algo erróneo). En cuanto a la significación de los ensayos admitiendo algún porcentaje de error, se explica -al 95% o al 99%- que entre las muestras y la población no difieren las medias ni las proporciones o desviación típica. Existen varios tipos de muestreo: al azar simple; al azar sistemático; estratificado (al azar, proporcional o no proporcional); conglomerados al azar; no probabilístico o directo, etc. Interesa la selección de la muestra, su tamaño y la varianza de las muestras y de la población. ENSAYOS CON UNA Y DOS COLAS Con una cola es para cuando se compara si un proceso es mejor que otro. De dos colas es para cuando se pregunta si el proceso es mejor o peor que el otro. El tipo de muestreo más importante es el muestreo aleatorio. Se numeran los elementos de la población. Se extrae solo uno, elegido al azar, i; se conforma una muestra eligiendo los elementos que ocupen los lugares i; i+K; i+2k; etc. tomándolos de k en k (con alguna corrección si casualmente existiera una periodicidad constante k en la población) Los resultado se someten a error muestral e intervalos de confianza, que varían de muestra a muestra y según se calculen al principio o al final. La diferencia entre un estadístico muestral (los de posición y de dispersión vistos) y su parámetro poblacional correspondiente dan la idea del valor que se obtendría con un censo en vez de con las muestras. El tamaño de la muestra dependerá del tipo de muestreo, del parámetro a estimar, del error admisible, de la varianza poblacional y del nivel de confianza del caso. Las poblaciones homogéneas tienen poca varianza y necesitan muestras menores. 247 El error muestral es la diferencia entre el parámetro o medida sobre la población y el estadístico o medida en la muestra. El nivel de confianza es la probabilidad de que la estimación se ajuste a la realidad, siguiendo una distribución normal o bien de Student, según el caso. NÚMEROS ALEATORIOS Excel tiene funciones para aplicar al análisis aleatorio. En el cuadro figuran el cálculo de números aleatorios: escribiendo en A1 “=aleatorio( )” los entrega como decimales cada vez que se recalcula con F9. Si se desea calcular números aleatorio entre 700 y 800 se escribirá en A2 „=aleatorio.entre(700;800)” y los calculará cada vez que se recalcule con F9. 248 PEQUEÑAS MUESTRAS DISTRIBUCIÓN STUDENT Esta distribución es aplicable para muestras pequeñas (entre 3 y 30 grados de libertad)… En vez del z de la distribución normal se utiliza t; y en vez del se utiliza el ŝ. La prueba t indica la probabilidad de que dos muestras sean de poblaciones con igual media. Cuando el valor calculado –para los grados de libertad y % de confianza del caso- es menor que el de la tabla bilateral se concluye que la diferencia entre medias es por azar, no significativa. MUESTRA DE 10 ARANDELAS Una máquina produce arandelas de 0,050mm de diámetro promedio. En una muestra de 10 hubo 0,053m de promedio, con una desviación típica de 0,003m. Ensayar la hipótesis de que la máquina funciona bien para un 97,5% de significación. Se trata de un ensayo bilateral, el coeficiente es parecido: t = ((x-μ)/s) (N-1)1/2 t = ((0.053 – 0.050) / 0.003)) (10-1)1/2 = 3 valor que es mayor al 2,26 que aparece en la tabla de distribución Student para 9 grados de libertad y 97,5% de significación, por lo que se acepta la Ho; de modo que se concluye que la máquina está funcionando mal. ESTIMACIÓN DE UNA DEMANDA DE UNIDADES CON MÁS DE 0,053 m: si fuera el caso de clientes de este diámetro habría al menos 97.5% de probabilidad de esta demanda (por la mitad que excede la medida, el lado derecho de la cola….) Comprobamos con Excel, modificando los valores de la muestra, en la imagen cercanos a 0,053 en promedio; también ponemos en la segunda fila producciones normales de la maquina como 0,053 en todos los casos. Parece evidente que el resultado debería ser que la muestra indique que la maquina funciona bien (ya que casi todos los valores son parecidos a 0,053...). En la celda A3 hacemos la prueba t con Excel: pero muestra que solo hay un 79,76% de probabilidad favorable… A3 con “=prueba.t( rangomuestra1; rango 2°muestra;2 colas;tipo3” (el tipo 3 corresponde a muestras con distinta varianza; tipo 2 si son muestras con igual varianza; tipo 1 si es sobre observaciones de pares). PRUEBA X2 (DE ASOCIACIÓN ENTRE DOS VARIABLES Y DOS O MÁS MUESTRAS) 249 Mide el promedio de la diferencia cuadrática relativa entre la frecuencia observada y la frecuencia teórica esperada. La prueba X2 permite observar el % de confiabilidad de que una serie teórica sea como otra real, escribiendo en B11 lo que figura en esta imagen; un alto porcentaje indica que el ajuste teórico es adecuado para representar los datos empíricos (o una muestra representa a una población, etc.) La prueba CHI.INV(probabilidad;grados) compara los resultados observados con los esperados (muestra con población) para ver si la hipótesis original es válida. Comparando el valor calculado con el de la tabla X2 -para los grados de libertad y el % de significación del caso- se puede observar que las variables no son independientes cuando el valor calculado sea mayor que el de tabla. Ejemplos: MUESTRA DE 16 PIEZAS TORNEADAS cuya altura tiene 2,4mm de desviación típica. ¿Toda la producción tiene esa desviación respecto del promedio? No se tiene la desviación típica de la población, pero sí la de la muestra, entonces se usa chi2: Con 95% de confiabilidad, los límites izquierdo y derecho de la distribución chi2 son: 2,4 (16/28.8)1/2 = 1,83, izquierdo; y 2,4(16/6.9)1/2 = 3,84, derecho. Para esa confiabilidad con límites 97,5% y 2,5% -y con 16 grados de libertad- la tabla muestra cuadrado” de 5,24 y de 2,5 -28.8 y 6,9- (igual que en Excel, anotando como se ve en A11 y B11): “el 250 Entonces, la producción habitual tendría una desviación típica en su altura media de 1,83mm a 3,84mm, según un nivel de confianza del 95%. ESTIMACION DE UNA DEMANDA CON DESVIACION TIPICA ENTRE 1,83 Y 3,84: si fuera el caso se estimaría esta demanda con 95% de probabilidad. MUESTRA DE 200 BOMBITAS que tienen una desviación típica de 100 hs. en su duración. ¿Será esta la desviación típica en la duración promedio de toda la producción? Si la tabla no mostrara 199 grados de libertad se utiliza Excel: Medimos los extremos con 95% de confiabilidad: izquierdo: 100(200/161)1/2 = 111.3 hs derecho: 100 (200/240)1/2 = 91.2 hs. (Excel muestra los cuadrados de 12,7 y 15,5 respectivamente: 161,8 y 240, en A16 y B16). ESTIMACION DE UNA DEMANDA CON DESVIACION TIPICA HASTA 100 HS: si fuera el caso de estimar una demanda para clientes hasta esta desviación típica habría una probabilidad del 95% en este rango, con no más de 111,3 ni menos de 91.2 hs de desvío, según surge de la prueba Chi 2 sobre esta muestra (por ejemplo, rango sobre una media de 6000 hs.con desviación típica con extremos en 6111,3 hs. y 5908,8 hs). Igualmente si se trabajara con una confiabilidad del 99%: Izquierdo: 100(200/254)1/2 = 88,9 horas. Derecho: 100(200/151)1/2 = 115,9 horas (Excel muestra los cuadrados de 12,2 y 15,9 respectivamente: 151,4 y 254,1 en A20 y B20) Se puede afirmar con 99% de confiabilidad que la producción normal de bombillas en esta fábrica tiene una desviación típica entre 88,9 y 115,9 horas respecto al promedio. SALIERON 115 CARAS y 85 CRUCES 251 se observó luego de lanzar 200 veces una moneda. Se puede afirmar que la moneda está bien hecha? La distribución X2 se puede calcular como la sumatoria del cuadrado de lo observado menos lo esperado, sobre lo esperado: X2 = ∑ (O – E )2 / E X2 = (115-100)2 / 100 + (85-100)2 /100 = 2,25 + 2,25 = 4,5 La tabla chi2 para k-1 grados de libertad (2-1=1) y 95% de significación indica 3,84 (o ver con Excel en A25). Como 4,5 es mayor que 3,84 no puede afirmarse que la moneda este mal hecha. Pero al 99% de significación la tabla indica 6,63 (con Excel ver B25), que es mayor que 4,5. Entonces, no puede afirmarse con gran seguridad que la moneda esté bien construida, ya que probablemente este mal hecha. ESTIMACION DE DEMANDA: si estos hubieran sido los gustos de una población, habría una probabilidad del 95% de obtener compradores para el producto con este rango de desvío típ EL KILO DE GUISANTES DE MENDEL fueron clasificados y en su muestra de 556 se encontró: 315 lisos amarillos; 108 lisos verdes; 101 rugosos amarillos; 32 rugosos verdes. Concluyó en la idea que ese año la cosecha posiblemente guardaría la proporción 9+3+3+1=16, algo diferente (y que para 556 representaría 312,75; 104.25; 104.25 y 34.75 respectivamente). ¿Es razonable aceptar la idea de Mendel para la cosecha? Para k-1=3 grados de libertad y al 95% de significación la tabla X2 indica 7,81; mientras que al 99% de significación indica 11,3. Según los valores de la muestra se tiene: X2 : (315-312.75)2 / 312.75 + (108-104.25)2 /104.25 + (101-104.25)2 /104.25 + (32-34.75)2 / 34.75 = 0,492 Como 0,492 es menor que 11,3 y 7,81 no se puede rechazar su idea (sin embargo, dado que la tabla al 5% indica 0,352, menor que 0,492, cabe aclarar que hay cierta influencia de error muestral). 252 ESTIMACIÓN DE LA DEMANDA DE GUISANTES: si hubiera sido el caso de los gustos de consumidores, esta sería la proporción demanda, con probabilidad al 95%. BONDAD DE UN AJUSTE Lanzando una moneda1000 series de 5 veces se registraron las siguientes presentaciones de cara en cada serie: 38:0 (38 veces de canto); 144:1 (144 veces una cara); 321:2; 287:3; 164:4 y 25:5. Un ajuste binomial estableció la siguiente ley de formación: Caras 0 1 2 3 4 5 p{x caras 0.0332 0.1619 0.3162 0.3087 0.1507 0.0294 Frecuencia esperada 33 162 376 309 151 29 Frecuencia observada 38 144 342 280 164 25 Para efectuar la bondad del ajuste se calcula X 2 : X2 = (38-33.2)2 /33.2 + (144-161.9)2/161.9 + (342-316)2/316 + (287-308.7)2 /308.7 + (164-150.7)2 /150.7 + (25-29.4)2 /29.4 = 7,54 Comparando con la tabla para 4 grados de libertad (6-1-1) indica 9,49 al 95%, o sea, un ajuste muy bueno (pero indica 0,102 al 5%, un ajuste malo). 253 CAPITULO 8 INVENTARIO ÒPTIMO (EOQ): ¿en cuántas compras conviene adquirir la necesidad anual de materiales ? Influyen 3 conceptos: el precio y cantidad del material, el flete y cantidad de viajes, el costo financiero y material de mantener existencias en depósito. La respuesta se obtiene según programación lineal Solver para muchos productos, o mediante análisis diferencial si es un solo producto, ya que no es practico o viable resolver esto por aproximaciones sucesivas. Inventario óptimo (existencias -EOQ- economic order quantity): Los insumos de la producción anual implican una demanda o compra Q =100 toneladas; ¿conviene comprarlos en una sola vez o distribuirlos en compras fraccionadas?. Influyen 3 conceptos: a) el costo financiero y gastos de mantener en depósito stocks, b) el/los fletes, c) el importe de la compra, P x Q (aun simplificamos aquí que no influyan descuentos por cantidad) Seguimos a Baumol, T.E.y A.Operaciones, cap.1 edición 1980 Aguilar ( o a Solana, Pro y Cont Producción) La idea se puede resolver por aproximaciones sucesivas, o tanteos, aunque algo imprecisamente. Pero más técnicamente podemos recurrir al análisis diferencial, aunque también se puede ver con programación lineal (vimos alguna muestra Excel sobre el tema al comienzo del curso, unidad 4) En el programa, al final de la unidad 6 este tema se trata con análisis diferencial así: Se distingue: el concepto de número o cantidad de pedidos CP (número o cantidad de compras o despachos, sinónimos) como algo diferente al del tamaño del pedido D. Entonces CP = Q / D (si el número de pedidos fuera 4, el tamaño de c/u sería de 25 ton.) a) El costo financiero se puede expresar en $ por unidad de trabajo como t; de modo que el costo financiero será ese importe t en $, multiplicado por el stock medio (el 1er. día hay mucho stock; el penúltimo día casi nada; en promedio será D / 2). El costo financiero será t por (D/2) b) el costo de transporte será el flete "a" por la cantidad de pedidos (Q/D): o sea: a (Q/D) c) el costo por compra de insumos es precio por cantidad: P (Q) Los tres conceptos se pueden plantear como una ecuación diferencial en D, ... ! que podemos minimizar ! INVENTARIO ÓPTIMO (EOQ) Para posibilitar una producción o la venta es necesario contar con existencias de materias primas, materiales, repuestos, y/o bienes terminados. No obstante que puede haber diferentes políticas de existencias 254 de productos terminados y de productos en proceso, según sea la situación competitiva de cada empresa se simplifica aquí el tratamiento a lo fundamental (puede haber diversos criterios sobre la magnitud de los inventarios; como algunas empresas que producen para asegurar stocks y entregar al momento de cada pedido sin la demora de esta producción; pero nos interesa el tratamiento referido solo a reducir los costos de los inventarios). Los costos de mantener existencias de los bienes necesarios se pueden simplificar a tres componentes: la compra, el transporte y el costo financiero de su almacenamiento: Costo total = compra + transporte + almacenaje Definimos la compra como precio por cantidad (suponiendo que no hay descuentos por mayoreo) Definimos el costo de transporte como la tarifa del fletero por la cantidad de viajes (la cantidad de los cuales serán Q/D, o sea la proporción entre la demanda anual Q / el tamaño o volumen de cada de spacho o D). El costo financiero de almacenaje puede calcularse según la tasa de interés y los demás gastos de almacenaje por unidad de barra comprada (alquiler del depósito, salarios, instalaciones, energía, etc.) Como ejemplo, supongamos que una empresa procesa barras y necesita 100 barras anuales para transformar; y que se pregunta cuál es el modo más barato de mantener la cantidad de barras en existencia necesaria para asegurar sus procesos. Minimizar el costo de ese inventario implicará un costos total, conformado por la compara (precio por cantidad) + fletes (tarifa por la cantidad de viajes Q/D) + costo financiero unitario por el stock promedio (o sea, D/2, que es el nivel medio de la compra que convenga hacer). Si la barra cuesta $3, el flete unitario $60 y el costo financiero y demás de almacenaje es $8 por barra, entonces el costo total será: Compra = P(Q) : $3(100) =$300 Fletes: $60(Q/D) =$ … Costo financiero = $8 (D/2) = $ ... Falta aquí determinar el nivel óptimo de cada compra o despacho D; luego la cantidad de ellos será Q/D: la variable en cuestión es aquí D; y entonces se puede formar una función polinómica de costos en esa variable: CT = P(Q) + $60(Q/D) + $8(D/2), o sea CT = P(Q) +60(QD -1 +8(D/2) = Para minimizar esta ecuación de costo de una variable se iguala a cero su derivada primera y se verifica que la segunda derivada sea positiva: CT´= -60QD-2 + 4 = 0; -60(100) / D2 +4 = 0; o sea 6000 =4D2 ; D2 = 1500; D = 38,7 siendo CT´´= 12000D-3 =+0.2 ( > 0 que asegura cumplir la condición de mínimo). Si el volumen del despacho óptimo es D = 38.7, entonces para adquirir 100 barras harán falta dos compras y viajes de esos más otro por solo D =22,6 barras (suponiendo cantidades así fraccionables) para sumar las 100 barras. Entonces el CT es: Compra; $3(100) = 300 Fletes: $60(3) =180 255 Costo financiero; dos períodos con $8(38,7 /2) y uno de $8(22,6 /2) = 135 Mínimo CT = 300+ 180 + 135 = $615 En cuanto al punto de pedido para ir reemplazando las existencias consumidas dependerá de la optimización y la modalidad del suministro. En particular, cada actividad puede presentar sus propias características y prioridades que invaliden este criterio (que surgió de los análisis de F.Harris y R.Wilson en 1913, para determinar el tamaño óptimo de los pedidos, o EOQ.-Economic orden quantity): puede haber riesgos de obsolescencia, descuentos de precios temporales, restricciones de cantidad ofrecida, dimensiones de embalaje, flujos de caja, costos de recepción, fechas de vencimiento y diferentes riesgos de incumplimiento o pérdida de negocios, etc., que influyan sobre este criterio, así como sobre el stock de seguridad (según un riesgo normal y el desvío estándar) y sobre el punto de pedido. Desde el punto de vista financiero de una corporación la fórmula anterior puede reexpresarse como donde S es el costo de ordenar, D la demanda, P el costo de producir e I la tasa de interés: en el numerador órdenes y demanda y cuanto más bajas reducen el EOQ; en el denominador el costo de producir y la tasas de interés, que cuanto más altos también reducen el EOQ. 256 INVENTARIOS-EOQ- CON SOLVER- MULTIPLES PRODUCTOS La condición matemática de mínimo permite racionalizar el costo de mantener inventarios. Influyen tres conceptos: a) la compra en sí de los pedidos, b) los fletes y c) el costo financiero de mantener existencias inmovilizadas (gastos de manejo o mantener el depósito de stocks). Se define la necesidad anual, luego se calcula el número de pedidos según sea el tamaño del despacho óptimo y finalmente el stock medio o promedio del periodo. Es posible armar así una función de costos lineal en la variable Despacho, cuyo mínimo matemático determinará el tamaño del lote a adquirir en cada pedido (y la cantidad de estos) y calcular el costo total. Esta solución analítica para el ejemplo se puede confirmar mediante Solver de Excel: (surge alguna diferencia por trabajar con unidades “enteras” en los despachos). Esta idea se podría resolver por aproximaciones sucesivas o tanteos, aunque serían inviables si existieran muchos productos en el inventario. Técnicamente se puede recurrir al análisis diferencial y también se pueden ver con programación lineal. Pero cuando hay muchos productos conviene usar Solver de Excel y replicarlo en sendas hojas una para cada producto, enlazándolas para obtener en el mínimo costo total. 257 Ejercicio- Teniendo los siguientes datos (ejercicio improvisado por un alumno): Una empresa que se dedica milanesas de soja sabe que sus insumos para una producción anual implican una demandan o compra de Q = 200 toneladas de soja. La empresa desea analizar si le conviene comprar todas las toneladas en una sola vez o distribuir las comprar en fracciones? Hay que distinguir entre el número o cantidad de pedidos (CP) como algo diferente al de tamaño del pedido (D). Supongamos que la empresa desea analizar si le conviene hacer 8 pedidos (es decir 24 toneladas por cada pedido). Entonces: Costo financiero: El costo financiero se puede expresar en $ por unidades de trabajo como “t”, de modo que el costo financiero será ese importe t en $, multiplicado por el stock medio (el primer día hay mucho stock, el penúltimo día casi nada; en promedio será D/2). El costo financiero será t.(D/2) . Se lo plantea como K. Costo de transporte: Será el flete (F) por la cantidad de pedidos (Q/D); o sea; F.(Q/D). Costo por compra de insumos: Será el precio por la cantidad. P (Q) Los tres conceptos mencionados anteriormente se pueden plantear como una ecuación diferencial en D (que se puede minimizar). La empresa nos pide que averigüemos cuál será el número de pedidos y el tamaño de ellos que haga el mínimo costo posible? Los datos que tenemos son: Q = 200 toneladas; t= 6; F = 50 y p=5. El costo total es la suma de los tres costos que influyen en el valor del producto. Costo = costo financiero + costo de transporte + costo por compra de insumos (reemplazamos con los valores que nos dio la empresa). C = 6 (D/2) + 50 (200/D) + 5 (200) C = 6 (D/2) + 50 (200 de al menos 1) + 1000 C = (3D + 10000/D + 1000) . D (multiplicamos por D para simplificar la derivada) C = 3D2 + 10000 + 1000D Ahora tenemos que minimizar, tal que D‟ = 0 y D‟‟>0 D‟ = 6D + 1000 = 0 D = 1000/6 D = 166,67 tamaño del pedido óptimo D‟‟ = 6 > 0 (por lo tanto es mínimo) Cantidad de pedidos (utilizando el tamaño de pedido óptimo obtenido en el punto anterior). Q / D = 200/166,67 = 1,2 (cantidad de pedidos óptimo dos) según hemos obtenido mediante programación matemática, con un simple cálculo diferencial. 258 Fuente: El ejercicio fue realizado por el alumno Reg.846422, cambiando los valores del ejercicio del ejemplo explicado en clase: se cambió la cantidad de 100 toneladas por 200 toneladas, el costo de manejo en el ejercicio era de 8 y aquí es de 6; el costo de flete era de $60 y se lo cambió por $50; y el precio era de 3 y se lo modificó por $5. 259 CAPITULO 9 COMPRAS Si bien comprar es demandar, la función de compras en una empresa no está vinculada con la demanda; la demanda se vincula con su área de ventas y sus complementarias marketing e investigación de mercado. El área compras se refiere a la gestión de los proveedores de materias primas y abastecimiento bienes (negociación; contratación; seguimiento y evaluación; apoyo o complementación técnica y perfeccionamiento de la “cadena de suministros” desde el punto de vista del abastecimiento de insumos); también a su coordinación con los planes de producción, y con los planes de la tesorería para pagos y los del área finanzas o recursos, que sustenten el abastecimiento y el balance de divisas requeridos. Otro de sus aspectos relevantes también es fijar una política de inventarios óptimos de materias primas, materiales y productos (gestión del riesgo de indisponibilidad). Las relaciones con los proveedores suelen ser una gestión de compras o bien de contrataciones; existen aspectos administrativos, legales, comerciales, de logística, coordinación con otras áreas, etc., que pueden ser ayudados con soft específicos (ERP-SAS; Gartner; Bravo S.; Ivalua, etc.) para reducir los costos, el riesgo de no disponibilidad y simplificación de la cadena de suministros. El conjunto de actividades de la gestión de compras se pueden enumerar según las siguientes funciones, que atienden a la calidad, precio de compra, plazos de pago y de entrega, y a la estabilidad del suministro: - Detección de la necesidad - Solicitud y análisis de alternativas de compra - Negociación con los proveedores - Colocación orden de compra (documento que inicia el procedimiento de compras) - Seguimiento y activación de órdenes de compra - Recepción de efectos comprados - Almacenaje y registro - Entrega de los insumos al sector que los requirió. - Estudio permanente del mercado de oferta - Mantenimiento de registros de stock - Control de calidad Peter Kraljic, "Purchasing Must Become Supply Management" - Harvard Business Review, 1983- utiliza la matriz de evaluaciones del Boston Consulting Group (BCG), para definir las estrategias en el área compras, según el tipo de proveedores en cada insumo y considerando la reducción de costos y la del riesgo de abastecimiento: MATRIZ DE KRALJIC: 260 O sea: Este criterio conceptual en forma de cuadro, matricial o cruz, es una adaptación que surgió de lo que se conoce como la Cruz de Porter, o Análisis de las cinco fuerzas, de Michael E. Porter, Harvard Business School, 1979. Las cinco fuerzas de Porter: 261 F1 Poder de negociación de los Compradores o Clientes F2 Poder de negociación de los Proveedores o Vendedores F3 Amenaza de nuevos entrantes F4 Amenaza de productos sustitutos F5 Rivalidad entre los competidores Modelo estratégico para evaluación de la situación competitiva de una empresa, según sean sus posibilidades de acuerdo a la situación ante muchos o pocos consumidores y proveedores; con diferente poder de negociación en ellos, así como con posibilidades de nuevos empresas y/o productos sustitutos. CRUZ DE PORTER La gestión de compras implica un amplio capítulo sobre las relaciones y negociación con los proveedores y se presenta a continuación una reseña sobre las negociaciones. Pero también es importante la colaboración tecnológica proveedor-cliente para mejorar la tecnología de procesos y de producto; que originaron la modalidad de gestión siguiendo políticas de “Calidad Total”, mediante controles para evitar totalmente los porcentajes de fallas. Asimismo y vinculado con los “inventarios óptimos” en los clientes para reducir sus costos, también progresó la modalidad de aprovisionamiento “J I T” o justo a tiempo, que se utilizó inicialmente para reducir los niveles de existencias de chapa necesarias en los astilleros japoneses (durante su auge de los años 70: primera crisis o guerra del petróleo o del Jom kipur,1973; y la promoción de los astilleros para los nuevos enormes petroleros y cargueros, así como de la siderurgia en Japón), y se extendió luego como modalidad competitiva, tanto para abaratar el costo de los inventarios como para mejorar la calidad de los suministros. COSTOS 262 Podemos comenzar el análisis de los costos, graficando los fijos y los variables: suponiendo el costo de una producción de X con por ejemplo: CF = 80, CV = 480, CT= 560 En la ordenada medimos $ y/o costos; en la abscisa medimos toneladas producidas del bien X o Qx: CT $ = 560 CV = 480 CF = 80 Q Los costos son como un sacrificio en que incurre el empresario durante el proceso de producción. Se analizan desde el corto plazo (costos fijos y variables), y lago plazo (todos los costos son variables) Costo fijo: es independiente del proceso de producción, produzca o no, está siempre. Costos variables: se modifican conforme al proceso de producción. El costo marginal: es el aumento que experimenta el costo cuando se produce una unidad adicional de producción. El costo medio: es el costo por unidad de producción. Se utiliza para costos el mismo modelo matemático y geométrico del X total, medio y marginal 263 Pero, según sea el modelo necesario para cada mercado, necesitaríamos utilizar funciones de costos totales de tipo lineal, cuadrático o cúbico. Para un caso típico utilizaríamos una función de costos tipo parabólico, tanto para el costo variable como para el costo total, que tendría la misma forma ascendente que el variable pero partiendo del nivel del costo fijo (con similares pendientes). Para una empresa sobredimensionada exportadora en un país en desarrollo convendría utilizar funciones de CT lineales (se explica este modelo aparte) Suponiendo que la función de CT fuera C= 0,04x3- 0,8x2 + 10x + 5 Los costos totales aumentarían según uso factores para producir, pero a partir de un costo fijo inicial $5; los variables dependen de la producción con más o menos factores (parten del origen en la gráf ica de totales) y en la gráfica por unidad inferior conforman la típica U del CMV; el costo marginal (aumento en la ordenada al aumentar algo la abscisa) se puede ver como la pendiente de la línea del costo total en todos sus puntos. En algún nivel de la producción la pendiente (o CMg) coincidirá con la pendiente de la línea desde el origen tangente al CT (máximo CM), de modo que en la gráfica de los costos unitarios necesariamente el CMg intersectará al CMV y al CM en sus mínimos, delimitando así los costos en decrecientes y crecientes (y/o sus conceptos inversos, rendimientos crecientes y decrecientes) El punto de máximo CM delimita las etapas de los costos decrecientes y crecientes (gráfica unitaria). Como hay costos fijos ($5, sin X en la esta función), indica que se está tratando de corto plazo. Normalmente sería irracional producir sin cubrir los costos variables; el mínimo de explotación a corto plazo es el punto de mínimo CMV. Interesa calcular ese nivel mínimo para encontrar esta cantidad y el valor de ese CMV. CMV= CV/x CMV= 0,04x2 – 0,8x + 10 y aplicando la condición matemática para mínimo: 264 CMV`= 0,08x – 0,8 que igualo a cero para ubicarse en un punto de giro y ver ahí cual es la cantidad 0,08x – 0,8= 0; x= 10 Volviendo a derivar, se verá si ese punto de giro era un máximo, un mínimo o un punto de inflexión (se cumple la segunda condición, ya que derivada segunda es positiva +0,08, indicando un mínimo) El importe del costo CMV= 0,04x2 – 0,8x + 10 es CMV= 0,04*100 – 0,8*10 + 10 = CMV= 4 – 8 + 10 = CMV= $6 Ejercicio 5) Grafique precisamente y explique las etapas de los rendimientos si C= 1/4X2+4X+12 P=$50 y ETAPA I/II (MinCM o bien CMg=CM) CMg=CM CMg= CT` = 1/2X + 4 CM= C/X = 1/4X + 4 + 12/X 1/2X + 4 = 1/4X + 4 +12/X , que simplificamos multiplicando ambos miembros por X. 1/4X2 – 12 = 0 ; o sea X= 6 ETAPA II/III (CM=P) 1/4X + 4 + 12/X = 50 1/4X + 4+ 12/X – 50 = 0 1/4X + 12/X -46 = 0 1/4X2 + 12 – 46X = 0 y resolviendo según Ruffini x1= 183,74; x2=0,26 (dos niveles en los que el precio es igual al CM; el precio horizontal corta en dos puntos a la curva en U del CM) Distinguimos tres etapas de costos: decrecientes; crecientes y la de rendimientos negativos (observando la grafica del CM: 1) CM decreciente...o bien CM>CMg; II) CM creciente...o bien CM<CMg; III) CM<precio. Si en el ejemplo se dispusiera del precio de mercado para este bien X se podría delimitar también la etapa de los rendimientos negativos. Etapa II significativa: costos crecientes o rendimientos decrecientes. COSTOS A CORTO PLAZO: En el corto plazo algunos costos son fijos y algunos son variables. Los COSTOS TOTALES (CT) son equivalentes a la suma de los costos variables totales (CV) más costos fijos totales (CF). CT = CF + CV COSTOS FIJOS: 265 Los costos fijos no varían de acuerdo con el volumen de producción. Son constantes. Por ejemplo: alquileres, salario de gerentes, etc. COSTOS VARIABLES: Los costos variables dependen del volumen de producción. Por ejemplo: materias primas, salarios de mano de obra directa, etc. La forma de la gráfica de costos variables se debe a los rendimientos marginales decrecientes. De acuerdo con lo anterior los costos totales quedan de la manera siguiente: COSTO PROMEDIO O COSTO MEDIO (CMe) son los costos por unidad de producción. Los costos medios totales se calculan como el costo total entre la cantidad producida. La curva de costo medio total a corto plazo es en forma de U, debido a que la disminución de los costos fijos promedio hace que los costos disminuyan a niveles bajos de producción. En niveles de producción más elevados, el marcado aumento en los costos variables promedio anula el efecto de la disminución de los costos fijos. COSTO VARIABLE MEDIO (CVMe) son los costos variables unitarios, es decir, los costos variables totales dividos entre el número de unidades producidas. COSTO MARGINAL (CMg) es el costo extra de producir una unidad adicional de producto. Se calcula como: dC / dX, o sea la primer derivada del CT. El costo marginal se origina a medida que aumenta la producción, ya sea inmediatamente o en niveles bajos de producción si los rendimientos decrecientes aparecen con alguna demora. Cuando los costos marginales son inferiores a los costos promedio, los costos medios están bajando; cuando los costos marginales son superiores a los costos medios, los costos medios están aumentando; cuando los costos marginales son iguales a los costos medios, los costos medios están en su punto mínimo. La curva del costo marginal cruza la curva del costo promedio total y la curva del costo variable promedio en sus puntos mínimos. El mínimo de operación a corto plazo para esta empresa Esta empresa del ejercicio 1 que está operando a corto plazo, su mínimo precio al cual está dispuesta a producir es de $6 y su cantidad inicial 10. y en el segundo ejemplo sería la cantidad y el importe que indique el punto de mínimo CMV (o aquí min. CM para el largo plazo) LARGO PLAZO: En el largo plazo es imprescindible cubrir todos los costos, variables más fijos; el punto óptimo coincide ahora con el mínimo costo medio total, porque las firmas con costos mayores van siendo reemplazadas por la competencia. El criterio de mínimo matemático se aplica de igual forma al CM, para calcular la cantidad y los importes de costos, ingresos y beneficios. ANALISIS DE COBERTURA ( otro punto de vista o lenguaje vs.el Análisis marginal; difieren en el lenguaje, pero sigue siendo solo el modelo matemático de máximo y mínimo, aqui con una variable, aplicado sobre la función de costos: mínimo CMV para el corto plazo (mínimo de explotación) y Minimo CM para el largo plazo (óptimo de explotacion): CF: Punto muerto o umbral de la rentabilidad: punto de operación donde el margen sobre el CV es igual al en este ej.) CF = 5; I = 65 ingreso por ventas; B = 5 Entonces se suelen distinguir: tres puntos relevantes: - Corto plazo: 266 Mínimo de explotación a cortísimo plazo (N ...con CMV=CMg ... o bien mínimo CMV); la cantidad que surge de aquí la reemplazamos en una de estas funciones y nos indicara el nivel de costo en $,.... de modo que si el precio de mercado cae abajo de eso la empresa cierra (salvo que le presten... o encuentre esa "eficiencia X"que surge en algunos pocas durante toda crisis extraordinaria y profunda s/ Liebenstein....site). Punto crítico (M... con CM=CMg... o bien mínimo CM; critico ya que si el precio de mercado cae abajo de esos $ de CM la empresa pierde (corto plazo). - Largo plazo: no hay costos fijos en el largo plazo. El óptimo de explotación es entonces el mínimo CM.... o bien CM=CMg que pasa a ser CMV=CMg....(un punto intermedio entre M y N del corto plazo...) Se dice que es óptimo a largo plazo ya que bajo competencia entran muchas empresas y los precios bajan....entonces interesa operar con mínimos CM....ya que si la firma tienen CM altos es desplazada por competidores más eficientes.... Igualando el CMg y el CMV surge una cantidad X producida del bien; reemplazándola en una de esas funciones surgen los $ de la misma y/o del precio. Es usual operar con curvas en vez de rectas de costos (salvo el CF constante); resolver los niveles críticos implica resolver cubicas (lo tienen aquí en Ruffini para polinomios o en Micro con Excel, pero no suele requerirse en estos ejemplos) Con los puntos relevantes y con las etapas de los costos (inversas a las de la producción) identificamos la producción y costos en importes, en $, a niveles importantes: Si el objetivo empresario es maximizar el beneficio no es racional producir en la etapa I (con costos decrecientes o rendimientos crecientes); tampoco lo es operar en la III con precio menor que CM. La etapa económicamente significativa es también aquí la II. - Sin embargo el punto de EQULIBRIO cuál es? Surge de admitir que el objetivo empresario básico es maximizar el beneficio B= IT - CT Max. B ...... con B ' = 0 y B ' '< 0 Se resuelve la primer derivada: B '= IT ' - CT '= 0 ..... Es decir Ingreso marginal = Costo marginal.....(el llamado punto de Cournot,Paris,1835) De este punto de giro surge una cantidad X, que remplazándola en la funciones de precio y en las demás indica sus importes .... Este es entonces, el punto E de equilibrio: IMg =CMg en el caso general (pero, como en competencia perfecta el precio es una constante horizontal se cumple que P=IM=IMg..... Así que el equilibrio de la firma competitiva será con P = CMg .....). Si el mercado empuja los precios hacia arriba el punto E va ascendiendo a F, G, etc...hacia arriba siguiendo su tangencia del precio con el CMg..... Por esto se dice que la línea y función de oferta es la del CMg ! desde el tramo superior al mínimo N.(llamando N al punto de mínimo CMV y M al punto de mínimo CM) Entonces, los puntos relevantes en los costos: punto crítico M, mínimo de explotación N, óptimo de explotación a largo plazo (digamos M también); y el punto de equilibrio o máximo beneficio o punto de Cournot E (con IMg= CMg cuando hacemos Max B con B'=0 y con B''<0) 267 Como solo teníamos el CT de esa empresa y su función cubica incluía también una constante (que evidencia Costos Fijos...de corto plazo) sabíamos que a la empresa en el costo plazo le interesa el mínimo de explotación N, que cubre al menos sus costos variables (aunque no los fijos, como alquileres, etc.) Es decir que por el corto la empresa puede operar la cantidad que indiquen las coordenadas de N (CMVariable = CMg) La derivada de la cubica es el CMg; La cubica sin la constante es el CV; dividiendo el CV por X obtenernos el CMV o CVM....Igualamos ambos y obtenernos X Sabemos que la empresa puede operar en el corto plazo produciendo al menos esa cantidad X... Pero conviene decir que la empresa empieza a ofrecer sus producciones a precios mayores o iguales a lo que surja de reemplazar X en la función de CMg o de CMV....ese importe de CMg o de CMV será el precio mínimo con el cual puede ofrecer esta empresa. Si en el mercado el precio baja más no podrá ofrecer. Resumiendo, la maximización y la minimización con una variable son una forma usual de representar la optimización de las empresas, una vez que ya se identificó su producción con un producto testigo (una variable: producto promedio ponderado de la gama óptima elegida con programación lineal). Las funciones con dos variables permiten modelizar la producción y los costos. En particular la función Cobb-Douglas es útil para representar los rendimientos a escala y la distribución de los ingresos generados con la producción entre dos factores intervinientes. El tratamiento de los costos con muchas variables es posible mediante el uso de programación lineal, con Solver, simplemente tildando su opción Mínimo, o bien utilizando matrices. Ejercicio 1) Largo plazo: Dada la función de costo C = x³ - 2x² + x, con un precio de venta de $5 por unidad. Determinar los mínimos de explotación y la oferta mínima, bajo el supuesto del largo plazo clásico; suponga y analice las consecuencias de una caída de $1 CT = x³ - 2x² + x Cme = x² - 2x + 1 Cmg = 3x² - 4x + 1 IMg = IM = P = 5 Máximo Beneficio cuando: B‟= 0 y B”< 0 Como B = I – C entonces B‟= I‟- C‟ que igualo a cero: 5 - 3x² + 4x –1 = 0 = -3x² + 4x + 4 y aplicando Ruffini: -4± = Con ( 16+48 )1/2 = -6 x =2 .......y -4±8 -6 x = - 0.66 Debe ser B” < 0 y se cumple solo con la raíz 2: IT2 = p(X) = $5(2) = $10 CT2 = 3(2)2 -4(2) +1 = $ 5 B2 = $10- $5 = $5 Mínimo de explotación: Si CM = X2 -2X + 1 268 Minimo con CMV‟ = 0 y CMV“ > 0 CM‟= 2x -2 = 0, entonces x = 2 Y cumple que CM” = 2 > 0 Oferta mínima: P = CMg (2) = 3(2)² - 4(2) + 1 = $ 5 Se analiza ante la caída del Precio: si el precio del mercado cae a $4, dado que la empresa puede operar con no menos de $5, deberá cerrar (o teóricamente, no producir durante algún tiempo hasta que suba el precio). Ejercicio 2, corto plazo: En este caso la función tiene un término fijo 100, que podría interpretarse como un alquiler, fijo aunque no se produzca). C = 0,03x2 + 12x + 100 P = $20 Etapa I/II separación entre los costos decrecientes y crecientes: según el Min CM o con CMg = CM (guiándose por la gráfica unitaria) Minimo Costo Medio (siendo CM = CT/X): CM = 0,03x2 /X+ 12x /X+ 100 /X CM = 0,03x + 12 + 100 /X CM‟= 0,03 – 100 /X2 = 0 , o sea, 0,03x2 – 100 = 0 ; …. 0,03x2 = 100 x1= 57,73 , x2= - 57,73 Igualmente, haciendo CMg = CM CMg = CT‟= 0,06x +12 0,06x + 12 = 0,03x + 12 + 100/x 0,06x + 12 – 0,03x – 12 – 100/x = 0 0,03x – 100/x = 0 ; …. 0,03x2 – 100 = 0 x1= 57,73 , x2= - 57,73 Etapa II/III (CM = p) separación de los costos crecientes y rendimientos negativos: CM = p 0,03x + 12 + 100/x = 20 0,03x + 12 + 100/x – 20 = 0 0,03x +100/x – 8 = 0 0,03x2 + 100 – 8x = 0, aplicando Ruffini x1= 253,51, x2= 13,15 que se grafica con enfoque unitario y total. Ejercicio 3: corto plazo, según la constante 120 Siendo C = 0,01x2 + 10x + 120 269 P = 30 Etapa I/II (con Min CM o con CMg = CM): Minimo Costo Medio = CM = CT/X = = 0,01x2 /X+ 10x /X+ 120/X CM = 0,01x + 10 + 120/X CM‟= 0,01 – 120 /X2 = 0 2 0,01x – 120 = 0 x1= 109,55, x2= - 109,55 Igualmente haciendo CMg = CM CMg = CT‟= 0,02x +10 , entonces 0,02x + 10 = 0,01x + 10 + 120/x 0,02x + 10 – 0,01x – 10 – 120/x = 0 0,01x – 120/x = 0 0,01x2 – 120 = 0 x1= 109,55, x2= - 109,55 Etapa II/III (CM = p) CM = p 0,01x + 10 + 120/x = 30 0,01x + 10 + 120/x – 30 = 0 0,01x +120/x – 20 = 0 0,01x2 + 120 – 20x = 0 x1= 1993,98, x2= 6,01 que se grafica con enfoque unitario y total. Este enfoque analítico de los costos vinculado con el punto de equilibrio de la empresa (con las variables según sea corto o largo plazo y bajo competencia perfecta o en otros mercados) es conocido tradicionalmente como el análisis costo-beneficio, o análisis de cobertura (que el precio cubra o no el CM). Según los enfoques también se pueden hacer estudios con solo los costos variables (como para exportaciones) u otros tipos de costeo, con “absorción” o no de los costos fijos. Uno de estos parece estar cobrando importancia en las últimas décadas: costeo ABC (o ABM y/o ABB). COSTEO ABC (ABM, ABB) Desde los años 80 hay corporaciones en algunos países que estarían implementando sistemas de costeo basados en las actividades: sistemas ABC (Activity Based Cost), relacionados en particular con el ABM (Activity Based Managemen o “gestión” de este costeo por actividades) y con la presupuestación o ABB (Activity Based Budgeting). Esta idea consiste en trasladar la atención de la tradicional medición contable por productos (costo de materiales directos–MD; de mano de obra directa-MOD; y costos indirectos de fabricación-CIF) hacia la medición de las actividades necesarias para obtener esos productos y/o para atender a determinados clientes; centrando la atención especialmente en la reasignación los costos indirectos-CIF (por ejemplo, se analiza cuánto tiempo se le dedica a cada cliente y luego ese costo se asigna los productos que compran estos clientes). 270 La finalidad es facilitar mediante “benchmarking” (comparadores/indicadores) la toma de decisiones sobre gestión general y estrategias de la corporación, obteniendo una selección más eficiente u optimizante de clientes o de productos , o una reingeniería, etc., que incluso puede llegar a implicar algo diferente a la tradicional búsqueda de minimización de costos (segmentación de mercados; redefinición del portafolio de servicios; optimización de canales de distribución; diseño de campañas publicitarias, adaptación al ciclo de vida del producto, estrategias de marketing, etc.). Un ejemplo: un jefe de almacén desea reasignar las actividades en función de la prioridad del servicio a usuarios de 20 productos, según el inventario medio y participación relativa. Desea privilegiar la atención sobre la categoría a) que agrupe al 80% del stock y luego sobre la categoría b) que agrupe al siguiente 15% a 16% del stock; en desmedro de los restantes productos c). a) Según la columna del % acumulado, los tres primeros productos acumulan el 80,39% del requerimiento promedio. b) El siguiente 15% a 16% se conforma con la suma de los productos 04 hasta 09, acumulando un % del 95,98%. c) La restante categoría c) a desatender en desmedro de las anteriores se conforma con los productos 10 hasta 20, menos demandados y que representan un 4.02% del total. Estos indicadores o comparadores de la importancia relativa del uso de productos, justifica reorientar las actividades para mejorar la atención a los usuarios de los productos a) y b). Para confeccionar un gráfico ilustrativo del criterio ABC /ABM se representa en la ordenada el % $ stock medio y en la abscisa el % de 20 categorías de productos, confirmando que tres productos (el 15% de 20) deben representar el 80,39% de los gastos por atención en depósito para los usuarios más importantes, etc. 271 Fuente del ejemplo: Master de Investigación en Contabilidad y Gestión Financiera-Universidad de Valladolid-Dr. J.C.DeMargarida CONTRATACIÓN EN COMPETENCIA PERFECTA: CRITERIO DE CONTRATACIÓN La empresa competitiva maximiza su beneficio contratando factores hasta el nivel en que la remuneración a abonar sea igual al valor del producto marginal obtenido con ella. En el siguiente ejemplo figuran las unidades de factor, producciones, salario, ingreso total, costos y beneficios. Con la cuarta unidad de factor el salario de 140 es igual al producto marginal que obtiene la empresa contratándola y a ese nivel obtiene su máximo beneficio. Si opera con menor contratación de factores pierde o no maximiza beneficios; igualmente si opera contratando más que 4 unidades del factor L. Para graficar esta situación con valores unitarios es necesario ubicar a la izquierda las unidades de factor, luego el valor del producto marginal y luego el salario. Icono de gráficos > Dispersión > título, etc. (y si se desea la ecuación en el gráfico picar sobre una línea y con el botón derecho > Agregar línea de tendencia, etc.). 272 Para graficar con enfoque total se ubican a la izquierda las unidades de factor y luego el ingreso total, el costo total y el beneficio total. Icono de gráficos > Dispersión > títulos (y picando en una línea elegir Agregar línea de tendencia, con el botón derecho). TEORIA DE LA DISTRIBUCION (unidad 8 del programa) En la siguiente función tipo Cobb-Douglas los exponentes están indicando cual es la participación de cada factor en la distribución de los ingresos producidos por los factores trabajo y capital: ¼ para el trabajo y ¾ para el capital. Se puede verificar que la cantidad de trabajo por su producto marginal, más la cantidad de capital por su producto marginal agotan o equivalen a la producción generada. Problema dual en Cobb-Douglas (en el capítulo sobre producción se planteó el primal de esta función): Por ejemplo ¿Min. costo para Q = 100 toneladas? La función objetivo es aquí el presupuesto y la condición o Restricción es producir 100 ton Q = 2 t1/4 c 3/4 = 100 273 Q = 2 t1/4 (2t)3/4 = 100 función de producción….) …. reemplazo c por su valor c=2t según el primal en ## (porque sigue la misma = 2 t1/4 * 2 3/4 * t3/4 = 100 = 2t 4√23 = 100 =t 2 100 4 √8 = 100 = 30 2,17 Entonces = c = 2*30 nuevamente según ## c = 60 Por consiguiente M = $4 (30) + $6 (60) + 80 fijos M = 560 con CF = 80 CV = 480 Ejemplo 2) Sea una empresa con la siguiente función de producción: Q = 8C¾T¼ Con : Pc = $4.Pt = $6.M = $280.Hallar el nivel de producción tal que la empresa alcance su Eficiencia Física. (Aplicar el enfoque Paretiano). a) TMST = Pc/Pt Q´c/Q´t = Pc/Pt (8*T¼*3/4*C-¼) / (8*C¾*1/4*T-¾) = 4/6 6T/2C = 2/3 9T = 2C C = 9/2T # Relación de Intercambio b) – Agotar el Presupuesto Pt(T) + Pc(C) = M 6T + 4(9/2T) = 280 6T + 18T = 280 T = 280/24 T = 11,67 Según # C = 52,5 Q = 8C¾T¼ Q = 8*(52,5)¾*(11,67)¼ Q = 288,4 Toneladas (Eficiencia Física). 274 Se Grafica la Recta de Presupuesto asignado dos valores a 6T + 4(9/2T) = 280 Se Grafica la isocuanta asignando 3 valores a Curva Isocuanta Q = 8(11,67)¾(52,5)¼ CONTRATACIÓN BAJO MONOPSONIO Supóngase una sola empresa provincial demandando factor trabajo (en ausencia de sindicatos). Su función de producción de un bien Z es Q=27,5X 2 -0,4X3; el precio del bien Z es Pz=$4. Su ingreso total IT = PQ = $4(27,5X 2 -0,4X3) = -1,6X3 +110X2 El ingreso marginal IT ' = 220X -4,8X2 El gasto medio en factor productivo depende el costo de éste: Oferta de factor w = 264 +43X (según el costo marginal de este factor trabajo). EL gasto total GT = w(X) = 264X + 43X 2; y el gasto marginal es GT' = 264 + 86X Maximiza el beneficio si su ingreso marginal es igual al gasto marginal y también se cumple que IT'' < GT'': 275 220X - 4,8X2 - 264 - 86X = 0; con dos raíces X=25,8 y X=-2,1 , pero B''<0 sólo con X=25,8 Para X=25,8 la función de producción representa Q25,8 = 27(25,8)2 -0.4(25,8)3 = 11436 unidades de Z. Su precio es Pz = -1.6(25.8)2 + 110(25.8) = $1773 El salario w25,8 = 264 + 43(25,8) = $1374, según la oferta del factor; sin embargo el salario posible sería el abonado según el gasto marginal = 264 +86(25,8) =$2483, por lo que la explotación monopsónica es la diferencia 2483 -1374 = $1109. El ingreso total IT25,8 = 110(25,8)2 -1,6(25,8)3 = $ 45742 El gasto total GT25,8 = 264(25,8) +43(25,8)2 = $ 35433 El beneficio total es 45742 -35433 = $10308, como se observa en la hoja Excel con las funciones (aproximación). OLIGOPSONIO (casos de hortalizas; autopartistas; depositantes; etc.) La teoría del oligopsonio puede explicarse generalizando el caso de monopsonio y de manera análoga a los modelos de oligopolio. En monopsonio hay un único comprador en vez de algunos pocos (¿3 a 8?), que contrata/n bienes finales o insumos a muchos productores competitivos. 276 Hay muchos ejemplos reales investigados, como el de un único o pocos empleador/es sin sindicatos; proveedores de autopartes para las pocas terminales automotrices; productores agrícolas para los pocos traders usuales; alimentos y productos hortícolas para los distribuidores y/o supermercados, o viñateros para pocos acopiadores de mosto; depositantes en pocas entidades bancarias; etc. También hubo muchas exposiciones teóricas, como en P.Sylos Labini (Oligopolio e progreso técnico), K.W.Rothschild, M.Rotschild; J.Stigler, O.Lange, etc. etc. El análisis puede suponer que hay pocos compradores, que tengan características y posean “información” homogéneas (o bien heterogéneas e incluso con comportamiento tipo líder y seguidoras). Sin pormenorizar en esto, la línea de demanda del/os monopsonista/s sigue el criterio clásico D = VPMg, demandar según el valor del producto marginal. Los oferentes competitivos ofrecen según sus costos marginales (Of= CMg con pendiente positiva: a mayor precio mayor cantidad ofrecida); y a su vez éste es para el/los comprador/es su gasto medio GM; en consecuencia su gasto marginal GMg tiene doble pendiente, positiva (en este caso mono). Optimiza/n según Cournot, en el punto E, donde es el GMg = VPMg (cumpliendo con las segundas derivadas negativas). Pero el salario oligopsónico ofrecido es Wo, bajo, comparado con el salario potencial o posible Wp (máximo si hubiera y cedieran o compartieran utilidades). En E el nivel de compra de bienes o empleo de factores es Xo. Si el mercado actuara como competitivo (compradores “precio aceptantes”, por ejemplo ante una imposición gubernamental que fijara salarios, o precios mínimos para la leche por ejemplo) el salario Wc, podría ser mayor que Wo; y el nivel de empleo podría ser mayor que el oligopsónico (Xc > Xo, al menos según mencionan textos (Varian, aunque no se ve la racionalidad de este nivel de empleo Xc luego de una imposición del precio máximo, ya que los monopsonistas tendrían incentivos para abonar esos altos salarios mínimos pero contratando solo Xo, y dejando oferta excedente de insumos, tal como dice la teoría básica sobre el resultado de todo control oficial con precios sostén: oferta excedente, de insumos en este caso). 277 Por simetría con el oligopolio, puede resumirse que cuanto mayor sea el número de empresas compradoras mayor será la elasticidad de su demanda agregada y menor su grado de oligopsonio. El análisis se complica suponiendo o no homogenidad, colusión y/o información imperfecta, que incluso se puede tratar con la teoría de los juegos. Por ejemplo, si hubiera colusión y solo dos demandantes similares, se impondría seguramente una solución como la de Chamberlin para duopolio: comprar cada una la mitad del nivel de monopsonio para mantener el ventajoso precio Wo. Pero si las firmas fueran pocas e iguales verían reducir sus beneficios, con empleo agregado y precios que tenderían a los de competencia. El perjuicio de estas formas de mercado no competitivo puede calcularse en los términos planteados sobre el excedente del productor y del consumidor, integrando (hasta y desde el precio) sus funciones definidas; y por diferencia con la del equilibrio competitivo surgiría una pérdida social, que gráficamente sería aquí el área del triángulo CES. Algunos otros análisis mencionados al comienzo se refieren a situaciones bajo colusión o con sindicatos, que remiten al tratamiento del caso del monopsonio y/o del monopolio bilateral. MONOPSONIO Y OLIGOPSONIO: CON MÁS PRECISIÓN Sea una oferta competitiva de un bien o servicio (como en todo caso típico, en función del costo marginal de los oferentes), que se enfrente a diferentes tipos de demanda. Si esta demanda fuera también competitiva, cada comprador individual tendría una demanda horizontal, pero el conjunto del mercado se ajustaría por concurrencia de la demanda y la oferta agregadas (la cruz normal del mercado). . Si los demandantes fueran pocos (oligopsonio) la demanda sería más rígida; y si hubiera un solo comprador (monopsonio), la demanda sería totalmente rígida (vertical), quedando a criterio del comprador fijar la cantidad que le convenga adquirir y el precio. El sentido común admite que un comprador monopsónico enfrentado a una oferta competitiva impondría la cantidad y el precio que le convienen; e igualmente bajo el análisis. 278 Al ser vertical su demanda coincidirían el IM y el IMg del comprador, por lo que optimiza al igualarlos con el mínimo CMg de los oferentes. Por su interés en optimizar, así como por su poder de compra, que ejercería para adquirir poca cantidad y a un bajo precio. Es racional admitir que el comprador adquirirá bienes o servicios mientras los oferentes tengan CMg decreciente, porque cada unidad le resultará más barata que las anteriores. El monopsonio (y oligopsonio) decide así comprar según la fase del CMg decreciente de los oferentes, tendiendo a la cantidad que indique el nivel en que el CMg de los oferentes sea mínimo: una cantidad menor que en monopolio y que en competencia; y también a menor precio que en estos dos mercados. En este nivel de gasto en el punto de equilibrio del comprador monopsónico, coincidente con el mínimo CMg del oferente de bienes o servicios, este CMg de los oferentes pasa de decreciente a creciente, o sea que es ahí constante. Entonces, si el comprador se enfrenta a un CMg constante, también será ahí constante el gasto medio (GM) del comprador y también será constante su GMg: todos constantes. Por esto no existiría la mayor pendiente positiva del GMg ante el GM que se menciona en los textos usuales para justificar el equilibrio en estos mercados. Los textos simplifican suponiendo una oferta laboral con pendiente positiva, justo a partir del punto de mínimo CMg; y complementan la idea de la oferta laboral con la teoría retroascendente. Sin embargo, la oferta laboral debiera modelarse como la de cualquier otro bien o servicio (parábolas en U para CM y CMg), si se considera que a largo plazo la unidad laboral competitiva depende de la unidad familiar (familia tipo compuesta por cuatro miembros, con dos en condiciones laborales), también sujeta al criterio del CMg decreciente si se contemplan los mayores costos marginales con las familias más reducidas, con un punto de CMg mínimo, que buscaría el monopsonio y oligopsonio: algo como un costo de vida cultural o socialmente contemplado que asegure una oferta sostenible. Esa oferta laboral creciente solo correspondería si el monopsonio /oligopsonio no optimizara y procurase operar aumentando la producción a mayor nivel que su óptimo, contratando más factor y con mayor salario. Un oligopsonio que colude conforma un monopsonio; la colusión no necesitaría ser explícita, considerando el accionar al unísono que ocurriría si todos procuran optimizar, adquiriendo mientras los CMg sean 279 descendentes. Pero analíticamente se concluye que bajo oligopsonio sin colusión pudiera haber alguna tendencia a subir cantidades y precios, en función de una demanda con alguna elasticidad. CONTRATACIÓN BAJO MONOPOLIO (CON SINDICATO) El máximo beneficio B se consigue con B'=0 y B'' <0. Siendo B= IT - CT, entonces IT'= CT' : 220X -4,8X2 = 264 + 43X Resolviendo esta cuadrática con Ruffini se obtienen las raíces X=35.3 y X=1.6; con X=35.3 se cumple la condición B''<0. Entonces P35.3 = 110(35.3) - 1,6(35.3)2 = $ 1889 y con el salario favorable al sindicato al nivel de ingreso medio. El beneficio B35.3 = IT - CT = 110(35.3)2 -1,6(35.3)3 -[264(35.3) +43(35.3)] = 66682 - 62901 = $ 3781, resulta menor para el productor del bien Z si abonara los salarios del sindicato. 280 MONOPOLIO BILATERAL - NEGOCIACIÓN CUASICOMPETITIVA Una situación intermedia podría ser viable para ambos, si aceptaran esta solución voluntariamente. En condiciones de competencia perfecta el equilibrio surgiría de igualar la demanda con la oferta: D = O, si originara ganancias: 110X -1,6X2 = 264 +43X -1,6X2 + 67X - 264 = 0, de donde X=37.5... Entonces, el precio P37.5 = 110(37.5) -1,6(37.5)2 = $ 1875 (intermedio) y el beneficio B= 110(37.5)2 -1.6(37.5)3 [264(37.5) + 43(37.5)2] = -$56, pérdida, por lo que la negociación pudiera no ser posible en estos términos. Una negociación de compromiso sería posible, con otros salarios competitivos suficientemente reducidos como para que la empresa alcance algún beneficio razonable. Se suele negociar en primera instancia la cantidad del empleo y luego se negocian los salarios que permitan alguna rentabilidad con ese empleo. 281 NEGOCIACION (BARGAINS) –METODOS de: Se estudian las técnicas de negociación de las personas e instituciones, en el intercambio económico y en todos los ámbitos, como políticos y demás. Existe un importante conjunto de técnicas, métodos o teorías, que conforman un universo conceptual todavía en desarrollo e incompleto. El tradicional “regateo” en el intercambio es la cuestión de fondo o esencial, pero se analiza con nuevos aportes y desde disciplinas tan opuestas como la sicología y la teoría de los juegos; que abarcan más allá de ese tradicional regateo (bargaining) en los mercados minoristas. Este regateo puede ser usual en regiones de Oriente Medio o Asia, pero que en zonas urbanas occidentales puede considerarse como una discriminación de precios; y a su ausencia como una señal de seriedad y fidelización del cliente; aunque en estas últimas también es usual en transacciones de otro tipo de bienes, como las viviendas, autos, etc.; y se lo estudia según las posiciones individuales de negociación “duras” o “blandas”; la oferta de precios individuales tipo gancho o especiales, bonificaciones, compras grupales, etc. ENFOQUE COMPETITIVO VS. COOPERATIVO La sociología y la neurosicología aportan pautas de comportamiento, distinguiendo según zonas o según tipos de bienes; pero tratando de diferenciar el comportamiento humano del enfoque matemático de la teoría de los juegos para estas decisiones: es como el problema de la hipótesis básica en C. Popper para construir un modelo con una base racional, enfrentado con la dificultad o imposibilidad del tratamiento matemático para el comportamiento humano (M. Bunge); las decisiones humanas van más allá que solo lo racional y que el simple regateo; y se estaría tendiendo actualmente hacia una visión holística, abarcativa, del tipo enfocado en la “economía de la información”. Existe diferentes enfoques: como este del comportamiento según diferentes zonas o países; también el enfoque procesual, que analiza los procesos de negociación, distinguiendo el rango de la negociación, las “posiciones” de las partes, sus “intereses” de fondo, los riesgos y puntos de seguridad, etc. Una variante más reciente la brida el enfoque de la computación evolutiva, sobre la base del desarrollo computacional y los análisis que permite la incorporación de algoritmos con aprendizaje, para el estudio masivo de las comunicaciones por internet y otras. Por otro lado está el enfoque según la teoría de los juegos, según los axiomas N-M de eficiencia, simetría, independencia de alternativas irrelevantes, invariancia escalar, monotonicidad, etc., que se plantean como casos de suma cero (competitivos) y también como casos del tipo juegos cooperativos, pero siempre con un enfoque matemático subyacente. Especialmente los juegos de suma cero ponen su acento en las “posiciones” de las partes, trabajando con sus justificaciones o argumentaciones, en una actitud agresiva (competitiva, de amenaza). También hay una visión cooperativa, según “los intereses” de las partes, los riesgos incurridos, el reconocimiento del otro y la “creación de valor” según alternativas que brinde el reconocimiento de los intereses, en vez del enfrentamiento de las posiciones. W. Ury, en la Escuela de Negociación de Harvard, habla de un enfoque “integrativo”, reconociendo los intereses comunes de las partes y los opuestos, apuntando a la creación de opciones y mayores alternativas (creación de valor) que posibiliten acuerdos negociados, incluso con la figura del “mediador”, en el ámbito económico, desarme nuclear, etc.; distingue MAAN como la mejor alternativa de un acuerdo negociado y PAAN como la peor alternativa de acuerdo negociado. 282 Herramientas: de tipo actitudinal: como por ejemplo, analizar si uno reconoce o no la idoneidad de la otra parte como interlocutor válido, o bien se está admitiendo desinterés en la negociación, etc. Herramientas de tipo comunicacional, como reconocer y no enfrentar o atacar la posición de la otra parte, escucharla atentamente, tomar notas de sus planteos, evitar la carga emocional, hacer preguntas, distinguiendo las de tipo cerrado, abierto, coercitivo, circulares, etc. que permitan un replanteo del tema. Herramientas procedimentales, diferenciando reuniones personales o vía representantes, acompañados o no, en diferentes lugares, tiempos y plazos, telefónicamente, por email, etc. NEGOCIACION Y TEORIA DE LOS JUEGOS La teoría de los juegos completa y enriquece la teoría tradicional de la negociación. En los juegos con información perfecta e imperfecta se utiliza el análisis secuencial según la presentación estructural, mediante inducción hacia atrás, desde el último nodo de decisión (excluidos los nodos de resultados) hacia los anteriores. Por ejemplo en el juego finito con información perfecta, de disuasión del ingreso de una empresa disputante E (contestable) hay dos nodos de decisión y tres de resultados (figurando con los pagos para cada una): JUEGO DE DISUASION El último nodo de decisión es el vértice M de las decisiones del monopolio, que debe observar hacia atrás la acción de la empresa E que juega primero: si E decide No ingresar entonces M no necesitaría ninguna acción ni estrategias y mira hacia adelante los pagos, que serían 0 y 4 respectivamente para cada uno según el segundo nodo de resultados. Si E decidiera ingresar entonces M tiene dos estrategias o planes de acción posibles, luchar (L) o bien aceptar (A), por lo que deberá adoptar la acción optimizante, aceptar, con un premio 2 y 2, que le evitaría perder -2, por lo cual esta estrategia le representa un equilibrio de Nash perfecto (ENP). Asimismo, para juegos con información incompleta, en 1987 Aumann aportó la idea de los equilibrios correlacionados, para conectar la tradicional teoría bayesiana de la incertidumbre con la reciente teoría de los juegos, agregando el concepto de los equilibrios de Nash (que consideran las conjeturas de un jugador sobre lo que hará el oponente) al equilibrio bayesiano (o idea de maximizar el pago esperado según una distribución de probabilidad): Cada jugador u oponente optimiza según sean sus creencias sobre las posibilidades de juego del oponente y su acción será la estrategia con la mejor respuesta a esa distribución de probabilidad cuando el juego no está estrictamente dominado por un estrategia pura o mixta (la teoría de los juegos incorpora a la tradicional teoría de la probabilidad laplaceana /bayesiana, pero no viceversa). En la negociación con otros juegos cooperativos interesa el período finito o infinito, la ventaja de mover primero o bien de accionar a las respuestas del oponente mediante promesas y amenazas “creíbles” , la 283 reputación, las consecuencias para cada uno de no acordar, los costos por demoras en acordar, etc que hacen a la negociación. No obstante que la teoría de los juegos no representa un nuevo enfoque que reemplace a la microeconomía tradicional (ya que en general presupone premios que fueron previamente calculados según los análisis matemáticos tradicionales; además utiliza supuestos demasiado fuertes, como que todos los jugadores conozcan las reglas o lógica, etc.), sus crecientes y tan recientes aportes están ampliando el carácter explicativo de diversos enfoques anteriores (como en este capítulo de la negociación, el de los contratos, las subastas, los mercados y otros tratados aquí por separado). 284 ECONOMIA DE LA INFORMACION INFORMACION ASIMETRICA (CONTRATOS) Continuando este capítulo microeconómico con el de los contratos también se estudian en ellos las consecuencias de las asimetrías en la información disponible por los agentes contractuales, el principal y los agentes; y se utiliza esta teoría de los juegos con información imperfecta (asimétrica). Esta economía de la información estudia los temas relacionados con la existencia de diferente grado de información disponible por los agentes o sujetos económicos, el principal y el agente o viceversa, originándose dos tipos de situaciones características: las de riesgo moral (riesgo por oportunismo de alguien que pueda no cumplir un contrato) y las de sección adversa (por ejemplo contratación de alguien que suministró datos falsos, información imperfecta, o “señalización”), que también son estudiadas en la teoría de los juegos. Básicamente, un contrato es todo compromiso entre partes: entre el principal y el (los) agente(s); y en forma general, se suele clasificar a estos análisis, observando que las asimetrías de información estén en que el agente disponga de información oculta o que efectúe una acción /jugada oculta; o bien según que la iniciativa corresponda a la parte informada o a la parte desinformada. RIESGO MORAL En los modelos de riesgo moral la parte desinformada mueve primero pero está imperfectamente informada de la acción que hará la parte informada (bajo información imperfecta es como si se debiera finalmente elegir contra la naturaleza, que en definitiva se planteará o juega al final). En estos problemas de riesgo moral la información asimétrica se manifiesta en que el principal no puede observar o verificar completamente el esfuerzo que efectúa el agente (problemas de la acción oculta) en el cumplimiento contractual luego de firmado este; sin embargo, el pago debe efectuarse, pero no se puede establecer en función de este esfuerzo. Por ejemplo, según K. Arrow (1970), las aseguradoras se enfrentan a situaciones como las de quienes pueden tomar un seguro y convertirse luego en menos cuidadosos con su salud o su propiedad, sabiendo que el posible costo monetario de un accidenta será cubierto por otros. SELECCIÓN ADVERSA En los modelos de sección adversa la parte desinformada juega primero y no tiene información sobre las características que reúne la parte informada (inicialmente se debe adoptar una decisión como jugando ante la naturaleza, que juega al principio). 285 En estos problemas de selección adversa las asimetrías de la información se refieren a las características o antecedentes del agente, que el principal no puede conocer: problemas de tipo oculto. Por ejemplo, si las compañías de seguros supieran que tipo de conductor es cada cliente podrían ofrecer diferentes tipos de pólizas en vez de una suponiendo una pericia promedio). G. A. Akerlof (1970, The market for lemons: quality, incertainty and the market mechanism) planteó el ejemplo de la venta de autos usados: los compradores no pueden saber si están adquiriendo un auto malo (solo el vendedor sabe si en realidad ese auto es un “lemon”) y la información asimétrica puede destruir este mercado. Otro ejemplo es el del regulador que debe controlar a un prestador de servicios públicos: en este tipo de monopolio, solo la empresa pudiera conocer el verdadero costo marginal y esta información asimétrica puede distorsionar la tarifa óptima. SEÑALIZACION En los modelos de señalización la parte informada mueve primero y la parte desinformada tiene información imperfecta sobre esta acción. En estos problemas de señalización el agente anticipa información imperfecta para influir en el contrato a firmar con el principal: por ejemplo en el caso de un postulante en una contratación de personal (A.M.Spence); en un vendedor de bienes semejantes pero con precios muy diferentes; en la venta de botellas de vino con dudosas referencias según la etiqueta, la bodega o el precio, que no siempre se corresponden con la calidad del producto. Otro ejemplo es el modelo J.E.Stiglitz-Weiss sobre el racionamiento del crédito en mercados con información imperfecta, donde el precio puede ser utilizado como una señal, que produce distorsiones impidiendo una adecuada asignación de los recursos. Tal es el caso de clientes que, no obstante tener proyectos similares a otros, están dispuestos a pagar mayor interés, pero son a veces penalizados por los bandos, porque presumen que podría tener algo negativo en su proyecto (característica contraintuitiva insertada en un mecanismo de los precios no optimizante). Hay muchos casos investigados bajo la teoría de los juegos: 286 AXIOMAS DE LA LÓGICA NEUMANN-MORGENSTERN 1- Transitividad. Si el individuo se muestra indiferente entre dos premios a y b; y entre b y c, entonces es indiferente entre a y c. 2- Continuidad de las preferencias como una función de p. Es posible establecer un valor intermedio de probabilidades para el cual el individuo sea indiferente entre el billete artificial y un bien a. 3- Independencia. Si el individuo se muestra indiferente entre un bien A y un bien B, será indiferente entre dos billetes de lotería idénticos en todos los sentidos, excepto que uno brinde como premio un bien A y el otro un bien B. 4- Deseo de grandes probabilidades de éxito. Dados dos billetes de lotería idénticos el individuo prefiere el que tenga mayores probabilidades de ganar. 5- Probabilidades compuestas. Si a la persona se le ofrece un billete de lotería cuyos premios son a la vez, otros billetes de lotería, su actitud respecto a este billete de lotería compuesta será cual si hubiese pasado por todos los cálculos de probabilidades de ganar el premio final. 287 LICITACIONES (SUBASTAS / AUCTIONS) En las últimas décadas se le está dando importancia a la búsqueda en general de mecanismos para explicar mercados, no analizados anteriormente y en particular en aquellos no institucionalizados o formalizados en las formas usuales (en materia de precios, demanda, oferta, lugares, momentos, producto, etc.), atendiendo a su eficiencia, a la autogestión, optimización, distribución con equidad, ausencia de corrupción, etc. Estos mecanismos, tal como son los de subastas, aportan claridad y facilitan las decisiones públicas (o privadas) en materia de oferta de bienes, concesiones de servicios públicos (como el de licencias para emisoras de radio y de TV, distribución de electricidad, etc.), adjudicación de pozos petrolíferos, de yacimientos o de áreas de pesca, oferta de bonos del tesoro o de la deuda pública, contratación de proveedores para servicios públicos y muchos otros casos. Estas licitaciones son uno de los tantos mecanismos de negociación (como lo son básicamente los mercados, el regateo, la votación, la asignación de tareas, las coaliciones, etc.). Sobre las licitaciones existe una amplia doctrina y legislación tanto local como en los demás países (e internacional en organismos regionales y de la ONU) sobre este amplio tema de las licitaciones públicas (y privadas). Contiene reglas de procedimiento sobre la confección de pliegos y también sobre los procedimientos para cotizar; buscando la transparencia y que tenga la equidad de la competencia; intentando evitar la corrupción (que se presenta incluso solapada bajo la propia forma de un exceso de requerimientos formales o de la venta de pliegos a “clubes” de interesados y sin amplia publicidad) mediante normas, como por ejemplo, sobre la impugnación de los pliegos por eventuales cláusulas con “favoritismos”, etc.; a veces se convoca a los oferentes para que participen en la confección de los pliegos. Destacamos que desde el punto de vista microeconómico no interesa analizar los largos listados de ofertas en los Boletines Oficiales de cada país, estado o provincia, sino que interesa analizar los mecanismos de las licitaciones, en cuanto a que son a) una fuente de ingresos a maximizar (y/o una asignaciones adecuada de recursos) y también b) en cuanto a sus reglas de competencia entre los propios oferentes, que condicionan c) su objetivo de ganar la licitación (tercer aspecto microeconómico a estudiar), buscando finalmente los mecanismos microeconómicos que las hagan competitivas y sin posibilidades de corrupción. En esta tarea interviene la teoría de los juegos (como los repetidos y los coalicionales) y por lo tanto también la programación lineal Simplex (para esos casos repetidos y las coaliciones /colusión), así como la programación computacional (especialmente o principalmente). Hay licitaciones de muy diversas formas, como por ejemplo las licitaciones o subastas a) para la venta o concesión de servicios, como las poco frecuentes del tipo “todos-pagan” (gana el mayor postor pero todos pagan según su oferta, que es solo aplicable en algunos casos muy particulares); las frecuentes licitaciones con cláusula de preferencia para inquilinos, socios, accionistas etc. y otras frecuentes que estudiamos abajo. Desde otro punto de vista, también están las b) “subastas inversas” (o de “procuración”, referidas a las compras por algún ente de los bienes o servicios que le son ofrecidos por muchos competidores). En general, las subastas son formas especiales de mercados que no son competitivos y generalmente están poco institucionalizados o formalizados (por con una indefinida oferta, demanda, precios, transparencia, etc.); pero tienen como característica común el hecho de referirse a bienes o servicios cuyo valor para los interesados es desconocido; y también comparten que usualmente no interviene en sus decisiones el costo (a veces desconocido o nulo) del oferente de estos bienes o servicios. Existe los remates (de derechos de explotación de yacimientos mineros o energéticos, de uso del agua de riego, o derechos de prestación de servicios públicos, de TV, Internet, radio, telefonía móvil o espectro 3G y 288 tantos otros), los concursos de oferentes y en general las licitaciones (subastas), las cuales hasta ahora se las suele simplificar en los siguientes cuatro los tipos o formas más frecuentes: 1) La licitación oral ascendente: todo oferente va conociendo el nivel ofrecido en cada momento y gana quien ofrece el mayor precio y queda único en la puja (también le dice subasta inglesa). 2) Licitación oral descendente: el subastador inicia con un precio alto y lo va reduciendo hasta que finalmente solo un comprador ofrece (también se le dice subasta alemana /holandesa /danesa) 3) Licitación al primer precio a sobre cerrado: gana quien presente el mayor precio entre los compradores potenciales. A diferencia con la licitación oral, los oferentes no pueden aquí observar las ofertas de los demás ni ir revisando su oferta. 4) Licitación al segundo precio a sobre cerrado (subasta W. Vickrey, 1971, generalizada para múltiples bienes por E.H. Clarke y T. Groves): gana quien presente el mayor precio, pero abona según la segunda oferta más alta (por lo cual podrían ser una fuente potencial de colusión, como por ejemplo si solo hubiera dos oferentes y se pusieran de acuerdo para que el segundo ofrezca muy poco). TEOREMA DEL INGRESO EQUIVALENTE En teoría (sin colusión, bajo supuestos de neutralidad al riesgo, simetría e independía), estos cuatro tipos básicos de licitación comparten el hecho de representar una asignación eficiente, acorde con la mayor valoración de los oferentes: así, el teorema del ingreso equivalente establece que, para el caso de valores individuales, estos diferentes mecanismos de subastas conducen a la obtención de un mismo ingreso esperado, siempre que el subastador establezca un precio de reserva óptimo. Bajo estas condiciones teóricas, este teorema de la equivalencia de ingresos equipara los resultados (Pareto eficientes) de los cuatro tipos; lo que permite simplificar calculando la solución básica de estas licitaciones teóricas según la maximización de ingresos que genera la oferta o precio del segundo oferente o costo marginal del segundo oferente mejor (entiéndase bien, ello bajo estas condiciones teóricas solamente; en la realidad, este principio y el criterio puede no cumplirse y estos tipos de subastas son objeto de críticas diversas: Solo la subasta inglesa y la de VIckrey implican estrategias dominantes, en cuanto los oferentes no necesitan recurrir a los complicados procesos combinatorios para calcular alternativas en las ofertas de sus rivales. Cuando se prevé la existencia de eventual colusión, con las subastas Vickrey y la inglesa se generarían menores ingresos que con la licitación descendente o con la licitación al primer precio a sobre cerrado, las cuales resultan más adecuadas para evitar la formación de coaliciones. Las licitaciones dependen de la credibilidad en el compromiso del subastador, sobre que no va a cambiar de criterio una vez observadas las ofertas: una eventual pérdida de la reputación sobre éste distorsionaría la presentación de ofertas en futuras licitaciones (por ejemplo, en las licitaciones Vickrey se puede implementar la firma electrónica encriptada, para evitar una eventual falta de honestidad o posibles problemas de corrupción). MALDICIÓN DEL GANADOR 289 Es un fenómeno parecido a una victoria pírrica, que se puede producir en las subastas de valor común con información incompleta. Esta expresión se refiere a que en dichas subastas, el ganador tenderá a pagar de más. El ganador puede pagar en exceso o ser "maldito" en una de dos maneras: 1) la oferta ganadora supera el valor del bien subastado de manera que el ganador es el peor en términos absolutos, o 2) el valor del activo es menor que el previsto por el postor, por lo que el licitante puede todavía tener una ganancia neta, pero será menor a la prevista. Sin embargo, un exceso de pago real generalmente sólo se producirá si el ganador no tiene en cuenta esta maldición del ganador al hacer una oferta (un resultado que, de acuerdo con el teorema de equivalencia de rentas, no necesita ocurrir). Así que a pesar de cómo suena este terrible nombre, la maldición de l ganador no necesariamente tiene efectos nocivos en la práctica. SUBASTA VICKREY W.Vickrey (en Counterspeculative, Auctions, and Competitive Seadle Tenders, 1961), efectúa un análisis del mercado de las subastas, detallando el mecanismo de competición de los oferentes y el de la optimización de ingresos para el licitante; analiza los casos de subastas simples (sin colusión, asimetrías, etc.) de un solo producto a sobre cerrado; también amplió para subastas de múltiples productos y para subastas múltiples de un productos idéntico. Estas subastas, al primer precio o al segundo precio (subasta Vickrey) son una extensión de las tradicionales subasta inglesa y subasta holandesa, que VIckrey extiende a sobre cerrado. Su complejo análisis teórico describe el tratamiento para subastas, pero bajo condiciones de perfección de mercado: considerando la inclusión de precios mínimos de reserva y neutralidad hacia el riesgo; ausencia de asimetrías; independencia de oferentes, o sea sin su colusión (suponiendo homogeneidad y continuidad en oferentes y valuaciones, etc.). Posteriores ampliaciones de estos análisis, por Myerson (1981) y Milgron (1985), McAfee y McMillan (1987) y otros, permiten concluir algunas observaciones que facilitan el complejo análisis inicial de Vickrey. En este esquema teórico simplificado sin asimetrías ni colusión (con homogeneidad, continuidad, etc.), se cumple que, en una licitación al primer precio bajo sobre cerrado, el mecanismo de oferta se puede definir, según McAfee y McMillan (1987), como: Donde B = oferta del oferente; vi = valoración del bien por cada oferente; ve = precio de reserva; F( ) =distribución de valuación; N = cantidad de oferentes; - Esta expresión muestra que la función B es creciente en el número de oferentes, o sea que las ofertas aumentan con el mayor número de oferentes. - Asimismo, si la cantidad de oferentes tiende a infinito las ofertas tenderán a coincidir con el efectivo valor del bien (desaparecería el beneficio extraordinario contemplado en el modelo de la competencia perfecta). - Bajo esas condiciones teóricas mencionadas, revelar los verdaderos valores resulta ser una estrategia dominante (débil) para los oferentes. 290 - Considerando una distribución uniforme de la valoraciones de los oferentes para el cálculo de la expresión anterior, se podría simplificar su cálculo, suponiendo la existencia de solo dos eferentes: en este caso el valor ofrecido se podría calcular como B(vi) = (Vi + Ve)/2 - La política de ingresos para el vendedor será óptima con tan solo establecer precios mínimos (precios de referencia) óptimos. - Los cuatro tipos básicos de licitaciones originan ingresos equivalentes para el vendedor: en la subasta ascendente y la subasta al segundo precio el ganador paga según la segunda cotización ofrecida. En la subasta al primer precio y en la subasta holandesa cada oferta coincide con la estimación de la segunda valoración más alta entendiendo que la propia es la mayor. Es decir que, se presentan precios que ganan si son los más altos pero abonan según el segundo precio; en definitiva, los precios esperados por el vendedor son coincidentes en los cuatro casos. - En la práctica, el principio de equivalencia de ingresos entre las cuatro formas básicas de licitaciones, permite simplificar estos casos (sin colusión ni asimetrías, etc.) calculando el ingreso óptimo según el nivel de la subasta Vickrey, al segundo precio a sobre cerrado. - Las cuatro formas básicas de licitación son las más fáciles y convenientes, comparándolas con otras formas más elaboradas posibles (como por ejemplo, permitir ofertas por solo un tiempo limitados; o exigir pagos acordes con cada oferta; o subsidiar a los ganadores; o fraccionar la licitación en diferentes ro ndas; etc.) 291 EJEMPLO DE SUBASTA VICKREY MULTIPLE OBJETO En este caso de licitación de 3 unidades idénticas de un bien, entre 5 oferentes, que cotizaron los siguientes precios: Ofe.1 Ofe.2 Ofe.3 Ofe.4 Ofe.5 b.1 20 18 19 15 21 b.2 16 13 17 13 20 b.3 14 12 16 12 12 Ordenando los precios cotizados, se pueden anotar la cantidad de oferentes para cada precio, hasta agotar la disponibilidad de bienes: Precios: 21 adjudicac.: 1 20 2 19 18 17 16 15… Las tres unidades subastadas son adquiridas por el Oferente 5 (dos unidades) y el oferente 1 (una); y pagan $19 por cada unidad (el primer precio perdedor). PRECIO MINIMO DE RESERVA Para asegura un mecanismo justo, resulta importante la fijación de un precio de reserva óptimo, a efectos de asegurar un mecanismo con valores que sean justos, tanto para el licitante como para la distribución entre los oferentes: Ejemplo de licitación de solo 3 bienes entre 2 oferentes, sin un precio de reserva: Ofe.1 Ofe.2 b.1 20 21 b.2 4 20 b.3 3 2 En ausencia de un precio de reserva el oferente 1 adquiriría una unidad y el oferente 2 adquiriría dos unidades; y si no hubiera precio mínimo de reserva pagarían solo $4 (el primer precio perdedor, que posiblemente hubiera sido producto de un acuerdo colusivo entre los concursantes). Pero en la realidad la colusión puede ocurrir también por parte del ente licitante; al igual que pueden ocurrir otras distorsiones, como sería la disuasión al ingreso de nuevos participantes; o la acción predatoria de un oferente más fuerte (reputación); etc., en una amplia variedad de juegos posibles. SUBASTA MULTIPLE (PAQUETES) Por otra parte, las licitaciones también reúnen algunas características, que pueden ser o no adecuadas según sean los tipos de bienes públicos a subastar. Por ejemplo, en el caso de licitación simultánea de varios bienes, se complica la obtención de una asignación eficiente (asignación para los compradores que más los valoren): estas subastas múltiples necesitan ser flexibles y permitir, las ofertas separadas cuando los bienes son sustitutos (si no existen excesivas combinaciones posibles que imposibiliten las presentaciones); cuando los bienes son complementarios deben permitir las ofertas simultáneas en paquete (ya que con el empaquetamiento el valor conjunto de estos bienes suele superar a la suma de sus valores individuales, debido a cierta sinergia o superaditividad propia del paquete). 292 Desde el punto de vista del subastador, también se puede necesitar la formación de paquetes para optimizar el valor a percibir; pero sobre todo el subastador siempre necesita determinar si el entorno en el cual se va a realizar la licitación se incluye la posibilidad de valores “comunes”, con colusión entre los agentes, o por el contrario las ofertas son de carácter individual privado (también puede existir una combinación de ambas situaciones). EJEMPLO SUBASTA VICKREY EN PAQUETES Por ejemplo, se subastan dos bienes X e Y en una licitación del tipo Vickrey (o VCG – VIckrey, Clarke, Groves): ¿Conviene admitir ofertas conjuntas en paquete? Licitación Vickrey - VCG: Ofer. 1 Ofer. 2 Ofer. 3 Bien X 50 22 34 Bien Y 30 50 32 Paquete XY 40 45 48 a) Si los bienes fueran sustitutos, en principio, ante ofertas individuales el oferente 1 ganaría la compra individual del bien X y pagaría solo 34 (el segundo precio ofrecido); el oferente 2 ganaría la compra individual del bien Y pagando solo 32, de modo que la licitación generaría un ingresos por 64. Pero si se previera la oferta en paquetes, el oferente 3 ganaría la compra del paquete con ambos bienes, de modo que se obtendría con esta licitación un ingreso de solo 45 (segundo precio), muy inferior a la suma de lo ofrecido individualmente por 1 y por 2 (quizás sería posible atenuar estos inconvenientes estableciendo algún tipo de descuento o compensación a efectos del cotejo para quienes presenten solo ofertas individuales) b) Si los bienes fueran complementarios habría que considerar la sinergia o superaditividad en la oferta conjunta del paquete XeY; individualmente los bienes X o Y pueden tener un valor reducido pero este aumenta con la posibilidad de obtenerlos conjuntamente. En estas ofertas en paquetes se suelen presentar dos problemas básicos, uno referido a la optimización del ingreso y otro a la determinación de los ganadores. En la optimización de ingresos dificultaría una presencia de demasiados paquetes, ya que cada postor debe definir ofertas entre 2 m-1 paquetes. Pero también hay otro aspecto, la veracidad de las valuaciones (o afines por eventual corrupción), que influyen decisivamente en la determinación final de los ganadores. La colusión puede distorsionar todo, tanto los resultados del licitante como una distribución eficiente. Por ejemplo, si 3 de los 7 más interesados concursantes se ponen de acuerdo y dos ofrecen “algo” mayor a los otros 4, pero el tercero ofrece “algo + un plus” ganan, pagarían solo el importe “algo” y se evitarían competir entre ellos. Es por esto último, que la teoría de los juegos (cooperativos, midiendo el valor según la formación de coaliciones con el criterio iniciado por Shapley) busca conseguir asignaciones que finalmente contengan las deseables cualidades de justicia, eficiencia y estabilidad, y se utiliza un complejo cálculo o valor de AumannShapley. Se observa entonces, que en este tipo de problemas microeconómicos sobre subastas están influyendo diversas disciplinas, como la programación computacional y la matemática o la investigación operativa (teoría 293 de los conjuntos, programación lineal y no lineal), que son enfoques para definir cuestiones según los criterios de decisión de la reciente teoría de los juegos cooperativos (nueva metodología que está complicando, enriqueciendo y encareciendo el panorama sobre las licitaciones, con creciente expansión local e internacional). Recordamos, que los primeros análisis con teoría de juegos correspondieron a casos simples únicos sin colusión, le siguieron otros también simples, en los cuales se calculó el equilibrio de Nash (conjunto de estrategias del juego tal que ningún jugador ganaría algo cambiando la suya); luego los juegos repetidos, etc. y en las últimas décadas esta teoría se aplicó al ámbito de la política y también al de las licitaciones, con posibilidades crecientes. 294 SUBASTAS CON EXCEL, … CON GAMS, WINQSB, MATLAB, TORA, LINDO, VIEWS, SPSS, STATA EJEMPLO DE SUBASTA MULTIPLE Un caso de bienes independientes, sin superaditividad (transferencia de utilidad), privada sin colusión ni asimetrías, en la cual se subastan 3 bienes entre 5 oferentes, que cotizan por uno o por varios bienes, en paquete, los siguientes importes ((bienes), importe)): Ofe1 = ((2), 2) Ofe2 = ((1, 2), 5) Ofe3 = ((1, 3), 9) Ofe4 = ((1), 8) Ofe5 = ((2, 3), 13) En estos casos simples se debe considerar la maximización de los ingresos (utilidad) para el licitante y simultáneamente también para cada uno de los oferentes, que compiten deseando asimismo minimizar su gasto al haber ajustado sus ofertas a sus valuaciones de cada bien. Se trata de una optimización mediante programación lineal, que conviene implementar con Solver de Excel (también se explicó antes aquí como resolver estos casos utilizando Gams, WinQsb, Matlab, Tora, Lindo, Eviews, SPSS, Stata), en la cual la función objetivo busca optimizar maximizando el producto de los valores cotizados por la mezcla de bienes, sujeto a una restricción de valores enteros y positivos, que se puede implementar considerando en el cuadro una digitación binaria (0 ó 1, salvo para las cotizaciones): 295 La imagen resalta en G6 el cálculo de las restricciones implementando suma-producto de cada bien por la fila de soluciones (celdas cambiantes B7:F7), incluyendo también la fila de las cotizaciones, que abarca hasta la celda objetivo G6; la digitalización binaria del cuadro permite cumplir con la restricciones indicadas en la columna G hasta I, también contempladas en “Sujeto a las restricciones:” Al ejecutar esta optimización Solver calculó como ganadores de la licitación a los oferentes 3 (bien 1 y 3) y 4 (bien2), generando un importe máximo por $ 17 (el ejemplo es fácilmente ampliable a mayor cantidad de bienes y/o empresas oferentes). EJEMPLO DE SUBASTAS REPETIDAS Los procesos repetidos de subastas son usuales en diversos mercados, como carnes, pesados, frutos y hortalizas, etc. La programación lineal también es el método adecuado para encarar subastas en los contextos dinámicos, en los cuales suelen presentarse problemas de señalización, reputación, aprendizaje, etc. El método adecuado es plantearlos según el esquema visto aquí anteriormente para juegos repetidos. Para el primal (principal, licitante) se trata de maximizar un VE, sujeto a las condiciones que cada una de las estrategias valga entre 0 y 1; que cada una sea un valor positivo no nulo; y que el conjunto de ellas debe valer uno, según la condición de las probabilidades de La Place y/o Bayes. Al activar la macro Solver se establece como objetivo la celda D13 (sin fórmulas subyacentes); se tilda Maximizar; se establecen como cambiantes a calcular por Excel las celdas D9:D10 y separado por punto y coma también ahí la propia celda objetivo D13, para que Excel también la optimice. Como condiciones, en “Sujeto a” las restricciones, que la suma de las celdas cambiantes en D11 sea =1; que los VE de cada estrategia sean mayores o iguales a la celda objetivo; y que las celdas cambiantes sean no negativo. Finalmente se tilda Convertir a no negativos y también programación de tipo lineal. Al ejecutar, Solver calcula los VE y el máximo, coincidentes, así como las probabilidades para la primera y segunda estrategias de A que figuran en el cuadro en D9:D10. En estas licitaciones repetidas el principal juega al azar pero 296 cuidando mantener estas proporciones con las dos estrategias (estos juegos matriciales requieren cumplir con la condición de juego sin ensilladura de Nash y también con las requeridas por al álgebra matricial, matriz no nula, etc. consideradas aquí anteriormente). Para el caso dual, B o juego repetido del agente en estas licitaciones, dado que con Solver se usa la matriz de pagos para A, para B se tilda Minimizar; las estrategias de B se asignan a Solver ahora según una fila de celdas cambiantes D10:E10 juntamente con la celda objetivo separada por punto y coma (previamente se sumaron ambas celdas en F10); las restricciones son análogas, pero en este caso las estrategias del oponente deben figurar como menores o iguales a la celda objetivo. Como esta matriz es la de pagos para A, el jugador B busca el mínimo de los máximos. Su óptimo no coincidirá con la estrategia pura de A, por lo que en ausencia de ensilladura (equilibrio) B adopta una estrategia mixta para este juego "repetido", jugando al azar pero cuidando de totalizar las proporciones que indique Solver. De este modo ambos (licitante y oferente) obtienen un mismo VE, según la condición de equilibrio del teorema mínimas: si ambos actúan bajo las reglas de la lógica N-M y sin asimetrías, optimizan estimando valores prudenciales, que coinciden asegurando a la otra parte un premio similar al propio. SUBASTAS DE UN UNICO BIEN Y DE PAQUETES Sin embargo, cuando en los casos estáticos (único bien o paquetes) se pasa a restringir esas condiciones teóricas de tipo competitivo, introduciendo diversas condiciones de asimetría o colusión, el tratamiento se complica, con innumerables posibilidades de juegos, objeto de los análisis recientes. En 1961 Vickrey explicó sobre la conveniencia de las subastas de un único bien al segundo precio para el caso de bienes públicos importantes. Otro hito es cuando en 1994 la Comisión Federal de Comunicaciones de los EEUU diseñó un mecanismo para las licitaciones de múltiples ítem, en forma instantánea (en las cuales influye si los ítem se subastan simultáneamente, permitiendo o no ofertas por paquetes o combinaciones de ítem) o con repetición, en una secuencia; pero en los textos estos temas eran todavía solo menciones superficiales; y numerosos casos diversos y aplicaciones fueron publicados ínterin y posteriormente. Los arreglos, permutaciones y combinaciones según corresponda a cada posible caso de licitación a dilucidar se complicarían (e impedirían el tratamiento manual de estas situaciones) para juegos grandes. Sin embargo, con el enfoque iniciado por Shapley y Banzhaf (para los acuerdos o colusión, que en el fondo consistente en listar y comparar todas las posibles situaciones y observar los incrementos de poder/costo/valor) se simplifica la innumerable gama de juegos posibles con colusión y agregación de utilidad, al implementarlos computacionalmente. Una idea del procedimiento concreto se puede obtener analizando el criterio según los ejemplos desarrollados anteriormente paso a paso para el valor de Shapley y su análogo el de poder de Banzhaf con Excel. 297 Estos análisis de la colusión o posibles acuerdos, siguiendo la idea de Shapley o de Banzhaf mediante Excel, resultaría ser una forma concreta de objetivar el tratamiento de estos problemas de licitaciones o subastas asimétricas. Concretamente, el campo profesional de aplicación de la teoría de licitaciones a los servicios públicos en los países es cada vez más frecuente (telecomunicaciones y medios, energía, etc.). Sin embargo, sobre estas aplicaciones generalmente solo aparecen presentaciones axiomáticas en forma simbólica (matemática de conjuntos y grupos), que no debieran asustar por ser específicas, sino por variadas y sin su objetivación. En la práctica, esos esquemas abundan en solo presentaciones formales (simbólicas, generalmente sin aclarar si los símbolos representan valores cardinales u ordinales y sin la objetividad de su correspondiente desarrollo numérico y/o computacional paso a paso. Por ello suelen brindar una apariencia de ser a veces poco más que pantallas (carteles, bluff, promociones) en estos tan variados y complejos asuntos de juegos computacionales múltiples, con asimetrías, transferencia de utilidad (UT), colusión, etc. Es importante tener presente que la presentación simbólica por sí sola no es suficiente, y que salvo excepciones simples, siempre es necesario recurrir a algún programa de computación para implementar estas ideas: la teoría de conjuntos parece ser el lenguaje apropiado para los algoritmos; pero también existen otros lenguaje algebraicos (como los expuestos aquí), así como muchísimos lenguajes computacionales, que en definitiva son los que permiten concretar las ideas y los cálculos. 298 Recientemente, se destaca (al menos a nivel académico) una aplicación de la teoría de los juegos, para el campo de la “negociación”, de conflictos internacionales y otros. La presentan Sergei Izmalkov y Muhamed Yildiz del MIT, pero con el tratamiento alternativo del álgebra abstracta de grupos (axiomática de Frobenius), muy específica, que podría resultar de interés como otra herramienta, otro enfoque algebraico, o modo de programación para generar nuevas aplicaciones informáticas sobre el tema. La exposición de la teoría de juegos en modo formal y axiomático, utilizando los variados símbolos lógicos matemáticos, fue contemplada por Neumann-Morgenstern en 1928 y en 1944, así como por gran cantidad de desarrollos ampliatorios de fines del s.XX y continúa en el XXI. Este lenguaje lógico de las diferentes ramas matemáticas usuales es amplio y complejo; pero con él la teoría de juegos no siempre se puede implementar concretamente. Es quizás la forma idónea de presentación y planteamiento de los juegos; pero muchísimos juegos requieren necesariamente la instrumentación computacional para su desarrollo concreto. Entonces este lenguaje lógico formal conforma una alternativa adecuada, pero no siempre imprescindible, para posibilitar la necesaria instrumentación computacional de muchos juegos, como son los juegos repetidos o las crecientes aplicaciones de los juegos con acuerdo, que aquí fueron expuestos mediante a) el análisis matemático, b) el análisis geométrico, c) la programación lineal Simplex, así como con d) varias formas de planteos con Solver (véanse antes los modos normales de Solver, el modo “paramatricial” y el modo “valores de”; equivalentes y alternativos a los modos de planteo del Simplex y/o del “Simplex matricial”; o a soluciones mediante matrices) 299 CAPÍTULO 10 Producción con un solo factor variable (y otros fijos, que se pueden reemplazar o simplificar en la función dada….) Se comienza definiendo el producto total, el medio y el marginal. El total simplemente como que depende el factor variable X (por ej. trabajo o capital) Q= F(x) PM= Q/x (el medio o promedio) PMg = ∆Q/ ∆X (producto marginal: delta Q por cada aumento de factor X) La producción total aumenta según el uso del factor variable; primero más que proporcionalmente y luego menos que proporcionalmente (punto de inflexión i), hasta un máximo M; luego disminuye, cae. El promedio o PM es máximo en N (máxima tangente desde el origen a la curva Q); por eso en el enfoque unitario abajo la curva del PM tienen máximo en N. El Prod. Marginal PMg es máximo en i del enfoque total e igualmente en i del enfoque unitario. El PMg en el punto N coincide con el máximo PM.... (por eso las dos curvas se intersectan en N del enfoque unitario). El PMg es nulo en M en los dos enfoques gráficos. Etapa I : Rendimientos crecientes hasta N. Si el objetivo es maximizar la producción es irracional auto limitarse a contratar y producir en esta etapa I. 300 Etapa II: Rendimientos decrecientes (Etapa económicamente significativa,) de N hasta M. Etapa III: Rendimiento negativo. No tiene sentido producir con rendimientos negativos ya que se gasta en factor pero decae la producción. Este análisis geométrico y analíticos es lo que en W. Baumol en TEAO llama el “X” Total, Medio y Marginal (que uds.también tienen en esos gráficos manuscritos improvisados de los sitios web mostrando la analogía grafica para utilidad, ingresos, producción, costos, beneficios) Ejemplo 1) PRODUCCION con un solo factor variable Supongamos que Q = -1/5 x3y + 3x2y + 2xy Siendo X variable más Y = 5 FIJO 1) reemplazo el factor fijo Q= -x3 + 15x2 + 10x Ahora quedó un solo factor (el variable X) Tengo que ubicar la etapa significativa para informar a la empresa el nivel a contratar entre N y M (como todavía no incluimos el precio del factor o costos aun no podemos informarle el punto de equilibrio preciso o nivel de máximo beneficio) Objetivo N = producción significativa contratando no menos de N en factor: que según el gráfico puedo calcularse de dos maneras: Hay dos formas: Max. PM PM = PMg con PM´= 0 y PM´´< 0 ; … o bien con : PM = Q/x = -x2 + 15x + 10 PMg = Q´ = -3x2 + 30x +10 -x2+15x+10 = -3x2+30x+10 2x2-15x = 0 o 2x-15=0 2x = 15 x = 7,5 N=7,5 No contratar menos de 7,5 de factor trabajo Etapa II/III) Tampoco se debe contratar más factor que hasta M (con más caería la producción): mirando el grafico se calcularía M según: PMg= 0 Max.PT PMg= 0 Q´= 0 y Q´´< 0 ; …. O bien con 301 -3x2 +30x +10 = 0 Se necesita aplicar Ruffini porque hay la constante 10 X= -30± √ 302-4(-3)*10 = ±10,3 2*(-3) M= 10,3: no contratar más de 10,3 unidades de factor. O sea, ni menos de 7,5 ni más de 10,3 Es decir que con un factor variable: se recurre al concepto de maximización (máximo y mínimo de una función de una sola variable), volvemos a ver aquí las … 302 Relaciones analíticas y geométricas entre el concepto de total, medio y marginal: DERIVADAS Se define el PT como que es dependiente de un factor X (trabajo) Qx=f(x), positiva, con máximo en M. Inicialmente creciente más que proporcionalmente al factor y luego de un punto de inflexión pasa a crecer menos; y en M no crece (máximo), descendiendo a partir de ahí. Entonces, máximo PT con PMg=0 y segunda derivada negativa (es decir que disminuye el PT a partir de ahí, o bien el PMG<0). Se define el producto medio como PM = PT/x , o Q/x; es decir ordenada sobre abscisa…; o sea, tangente de toda línea desde el origen al PT. Si esta línea corta dos veces al PT, ambos niveles tienen el mismo PM. Una línea se insinúa con dos puntos, una curva con tres, entonces graficamos: El max.PM coincide con el punto de máx.pendiente desde el origen al PT (en N). A un nivel inferior alguna línea al PT que lo corte dos veces indicará similar PM en ellos. Con estos 3 puntos se grafica el PM. Se define el PMg como dQ/dX, aumento en el PT consecuencia de un infinitésimo más de factor. DERIVADAS Infinitesimalmente es este el concepto de derivada de Q, o sea que Q‟x = dQ /dX es la derivada de Q (asimismo, dado que la función Q podría a su vez tener infinitas constantes, con cada una de ellas las Q conformarían sendas antiderivadas, de esa única derivada). Se deriva respecto a alguna variable multiplicando por su exponente, bajando este en una unidad y repitiendo constante el resto de ese término. Geométricamente dQ/dX es también la pendiente en todo punto del PT (no confundir pendiente de todo punto del PT con pendiente del origen al PT). Pero en el punto N el PMg será igual al max.PM. Al ser el PT inicialmente muy creciente y luego poco creciente, habrá un punto de inflexión” i“ o de máximo PMg. Proyectado a la gráfica unitaria este nivel de “i” coincidirá con el máximo PMg. A la izquierda de i hay un PMg inferior; también a la derecha. Además otro punto indicativo es que el PMg coincide con el máximo PM en N. Otra referencia es que el PT es máximo en M; a este nivel el PMg deber ser cero. Con esto LEY DE LOS RENDIMIENTOS MARGINALES DECRECIENTES: Cuando por lo menos un factor es fijo, una empresa experimentará un producto físico marginal decreciente conforme emplea una mayor cantidad de un factor variable (por ejemplo, mano de obra), esto a partir de un cierto punto (punto de inflexión). LAS ETAPAS DE LA PRODUCCION: Las gráficas anteriores permiten distinguir tres etapas de la producción: La primera etapa: se caracteriza porque el PFMg es mayor que el PFM. Va desde la producción de cero unidades hasta el punto en que el PFM es máximo e igual al PFMg. 303 La segunda etapa: en esta etapa el PFM es mayor que el PFMg. Empieza donde termina la primera y finaliza donde el PFMg es igual a cero (cuando PFT es máximo). La tercera etapa: en esta etapa el PFMg es negativo. Los productores se ubicarán en algún punto de la segunda etapa, que es donde alcanzan la mayor eficiencia. LA OPTIMIZACION de la empresa (en la teoría de la producción y/o vs. LA REALIDAD en LAS EMPRESAS): Nuevamente…. 1) Producción Con un factor variable: para el concepto de maximización (máximo y mínimo de una función de una sola variable), volvemos a ver aquí las “relaciones analíticas y geométricas entre el concepto de total, medio y marginal”. Se define el PT como que es dependiente de un factor X (trabajo) Qx=f(x), positiva, con máximo en M. Inicialmente creciente más que proporcionalmente al factor y luego de un punto de inflexión pasa a crecer menos; y en M no crece (máximo), descendiendo a partir de ahí. Entonces, máximo PT con PMg=0 y segunda derivada negativa (es decir que disminuye el PT a partir de ahí, o bien el PMG<0). Se define el producto medio como PM = PT/x , o Q/x; es decir ordenada sobre abscisa…; o sea, tangente de toda línea desde el origen al PT. Si esta línea corta dos veces al PT, ambos niveles tienen el mismo PM. Una línea se insinúa con dos puntos, una curva con tres, entonces graficamos: El max.PM coincide con el punto de máx.pendiente desde el origen al PT (en N). A un nivel inferior alguna línea al PT que lo corte dos veces indicará similar PM en ellos. Con estos 3 puntos se grafica el PM. Definimos el PMg como dQ/dX, aumento en el PT consecuencia de un infinitésimo más de factor. Infinitesimalmente este es el concepto de derivada de Q (o sea Q‟x). Geométricamente dQ/dX es la pendiente en todo punto del PT (no confundir pendiente de todo punto del PT con pendiente del origen al PT). Pero en el punto N el PMg será igual al max.PM. 304 Al ser el PT inicialmente muy creciente y luego poco creciente, habrá un punto de inflexión” i“ o de máximo PMg. Proyectado a la gráfica unitaria este nivel de “i” coincidirá con el máximo PMg. A la izquierda de i hay un PMg inferior; también a la derecha. Además otro punto indicativo es que el PMg coincide con el máximo PM en N. Otra referencia es que el PT es máximo en M; a este nivel el PMg deber ser cero. Con estos tres puntos se grafica la línea de PMg (coinciden las abscisas de la gráfica total con la unitaria). Estas fueron las “relaciones analíticas y geométricas entre el concepto de total, medio y marginal”, que también estudiamos para ver la maximización en la teoría de los ingresos, y en la de la demanda según la utilidad. 2) con dos factores variables: i) interesa la optimización, genéricamente denominada “paretiana” por W. Pareto, e identificada aquí como PMgx/PMgy = Px/Py (cociente de los productos marginales igual al cociente de los costos de factores en el mercado de factores). En realidad Pareto igualaba pendientes y a través del diferencial total nulo en la recta de presupuestos y en la isocuanta (curva de indiferencia), con iguales cocientes de incrementos dX/dY en ambas, despejaba su TMS = Px/Py (que calculaba igual que Marshall / Gossen como Q‟x/Q‟y = Px/Py, o bien el comentado arriba PMgx/PMgy = Px/Py) Este enfoque permite resolver planteos como el optimiza dada la función de producción Q =3XY 2 con Px=$1, Py=$2 y M=$70 y graficar este equilibrio como tangencia de la isocuanta e isocosto (presupuesto); aunque difícilmente sirva este solo planteo para optimizar efectivamente la situación en alguna empresa. ii) Otro enfoque útil también con dos factores es la conocida función Cobb-Douglas (de Nebraska, 1930). Estudiaron los exponentes de las funciones desarrolladas en 1800 por Euler (Suiza/Bavaria): la suma de los exponentes hace al rendimiento creciente (>1), decreciente (<1) o constante (=1); y que son homogéneas si todos sus términos tienen igual potencia. Se interesaron en la función lineal y homogénea (lineal por grado del exponente =1 y homogénea por tener un solo término) como Q = 3X 2/3Y1/3; de aquí concluyeron que 2/3 era la remuneración del factor X y 1/3 la del factor Y; y que la producción total se distribuía entre ambos factores justamente en esa proporción 2/3 y 1/3, explicando el comportamiento simplificado de una empresa. Corroboraron sus observaciones con los censos de EE en 1890, 1900, 1910, 1920 y similares en países como Sudáfrica y Etiopía; concluyendo que las cuentas nacionales indicaban rendimientos constantes para los factores trabajo y capital, en esos países. 3) con “N” factores variables: para disponer de un procedimiento efectivo de optimización en las empresas (y macroeconómico) es necesario y agregaremos algo más adelante...... otro método, el álgebra de matrices (especialmente la “matriz insumo-producto”. (los otros métodos vistos fueron: la maximización con una variable; maximización con dos variables (según Gossen/Marshall y según Pareto); la función combinada de LaGrange; la programación lineal método gráfico; y con método Simplex; y con Solver de Excel. Y aparte de estos métodos de modelación deductiva o matemática, también vimos el método inductivo o estadístico de la correlación múltiple con Anova para obtener funciones y para pronosticar variables como la demanda, producción, etc… Y si alguien necesitara funciones muy raras puede consultar Microeconomía Eiras.pdf sobre el sencillo Findgraph) Interesa aquí el breve álgebra de matrices; y también el método de Gauss-Jordan para invertir matrices y obtener así la matriz insumo-producto, o de repercusiones totales directas más indirectas. 305 Desarrollaremos ejemplos con solo 2 variables y 2 restricciones (sistema 2x2, o de cuatro variables) haciéndolo manualmente, y luego también esto pero según las matrices en Excel, con =minversa( ; ), con =mmult( ; ) y con =mdeterm( ; ). La ventaja de estas muy fáciles funciones en Excel es que con igual facilidad se pueden resolver sistema con miles de variables, efectivamente aplicables para la optimización en la generalidad de las empresas. Además, también con Solver podíamos resolver casos de hasta 450 variables y restricciones, mientras que la microeconomía neoclásica solo hacia una referencia a sistemas NxN meramente retórica, pues no hay ni hubo un solo texto con un sistema analítico de 5x5). En “6_metodos equivalentes.xls” se resuelve un caso de 2x2 mediante seis métodos, tanto en el primal como en su dual, para que cada alumno asegure el conocimiento personal de estos métodos presentando a fin de curso un caso (individual/exclusivo) similar. PERO VEAMOS AQUI CON DOS FACTORES VARIABLES.... Repitiendo el análisis de la teoría de la utilidad de Gossen, Marshall o Pareto: Ejercicio Texto: Teoría Microeconómica Autor: Henderson y Quandt Página: 118 Teniendo en cuenta la siguiente función de producción, hallar el producto máximo aplicando el método de LaGrange. Q = 18CT² Pc = $2.Pt = $3.M = $150.Función Combinada de LaGrange: L = Q + (PcC + PtT – M) L = 18CT² + (2C + 3T – 150) i) Cumple L´c = 18T² + 2 = 0 L´t = 36CT + 3 = 0 L´ = 2C + 3T – 150 = 0 2 = -18T² = -9T² 3 = -36CT = -12CT -9T² = -12CT T = 4/3C # Relación de Intercambio 2C + 3T – 150 = 0 2C + 3(4/3C) = 150 6C = 150 C = 25 Según # T = 33,3 Demanda derivada de C y T. Q = 18CT2 Q = 18*25*33,32 Q = 499000,5 Toneladas 306 ii) También cumple: H= 0 36T 3 36T 36C 0 2 3 3 0 1198,8 H= 1198,8 900 3 0 0 1198,8 1198,8 900 2 3 2 2 3 = 0(900)2 + 1199(0)2 + 3(1199)3 – 2(900)3 -3(0)0 – 2(1199)1199 = H = (0 + 7192,8 + 7192,8) – (3600) = 10785,6 H>0 .... (MÁXIMA PRODUCCIÓN) Ejercicio 3 (Método de LaGrange): Q = 5CT 3 ; Pc = 6 Pt = 3 M = 100 L = Q + (RP) L = 5 CT + (6C + 3T – 100) 1) F.O.C. L‟c = 5T + 6 = 0 L‟t = 5C + 3 =0 L‟ = 4C + 3T – 100=0 5T + 6 = 0 10T + 6 = 0 5T = 10C T = 2C (#) Según la tercera ecuación: 4C + 3T – 100 = 0 4C + 3(2C) – 100 = 0 4C + 6X – 100 = 0 10 C = 100 C = 10 Según (#) T = 2C T = 2 (10) T = 20 Q = 5(10)(20) Q = 1000 TONELADAS (Rendimiento Físico, en este caso creciente, porque la suma de exponentes es>1) 2) S.O.C. H > 0 0 5 6 5 0 3 = 150 > 0 4 3 0 (positivo, es máxima la utilidad y demandas de X e Y) H= 3) Significado de L‟t = 5C + 3 = 0 = 5/3 C = 50/3 = 16,67 Productividad marginal del dinero de ese presupuesto Ejemplo 4) 307 Supongamos una empresa con la siguiente función de producción (isocuanta), presupuesto y precios en el mercado de factores: Q= 3xy función de producción (graficamos la isocuanta si despejamos Y=Q/3x) Px = $6 ; Py = $8 ; M = $ 60 presupuesto Optamos por utilizar la función combinada de LaGrange, con sus dos términos, producción y presupuesto (multiplicada por una variable artificial, transitoria, landa λ): L= Q + λ(RP) L = 3xy + (6x + 8y -60) Condición de I orden) 3y + 6λ = 0 3x + 8λ = 0 6x + 8y – 60 = 0 L`x = 0 L`y = 0 L`λ= 0 Multiplico las dos primeras por esto para igualar el término en landa: *4) 12y + 24λ = 0 *3) 9x + 24λ = 0 12y = 9x 3/4x = y Reemplazo 6x + 8y – 60 = 0 6x + 8 (3/4x) = 60 12x = 60 X=5 despejo y = 3/4 *5 y = 3,75 Q= 3xy = 3(5)3,75 = 56 toneladas (con rendimientos crecientes por sumar los exponentes >1) Max Q = 56 toneladas de trigo 308 Problema dual ¿Mínimo gasto para 56 ton? Aquí ya sabemos el presupuesto. Si no lo supiéramos calcularíamos que es $60; pero el método determina igualmente si la condición o restricción de producción fuera otro tonelaje: ¿Min.gasto para Q = 80 toneladas? Aplicamos la combinada de LaGrange invirtiendo el orden de los términos, ahora función de presupuesto M y restricción de producción Q=80 (multiplicada por una variable artificial, transitoria, landa): L = M + λ (Q=80) L = 6x + 8y + λ (3xy – 80) Condición de I orden o F.O.C.) L`x = 6x + 3yλ = 0 L`y = 8y + 3xλ = 0 L`λ = 3xy – 80 = 0 Hay que despejar λ , por ejemplo igualando el término con λ en las dos primeras ecuaciones Multiplico * x/y la primera Y la primera queda 6 y/x + 3xλ = 0 309 La segunda queda igual 8y + 3xλ = 0 O sea, que simplificando resulta 6 y/x = 8 x = 6/8 y Nueva relación de intercambio Reemplazo en la tercera derivada: 3 .(6/8y).y = 80 18/18 y2 = 640/18 y = √32 y = 5,65 Volviendo a esa relación de intercambio x = 6/8 (5,65) x = 4,24 Ahora puedo calcular el presupuesto M = $6 * (4,24) * $8 * (5,65) M = $ 70,64 Condición de II orden o S.O.C) El hessiano H debe aquí ser negativo …Antes de repetirle las dos primeras filas reemplazo en 3Y calculados para X e Y y en 3X por los valores aquí Y puedo calcular el H = 0 + 0 + 0 -2298 -971 -0 = -3269 negativo, asegura que es un mínimo gasto. Rendimientos: aquí el presupuesto para producir 80 toneladas aumenta poco porque hay rendimientos crecientes (según lo indica el orden mayor que uno, 2 que suman los exponentes de Q=3XY): 80 ton cuestan $70,64 y antes 56 ton costaban $ 60, es decir producir 42% más cuesta solo 17% más. 310 FUNCION DE PRODUCCION COBB-LOUGLAS RENDIMIENTOS Y DISTRIBUCIÓN de los ingresos generados: EEUU,1927, según el luego senador de Nebraska Douglas , que escribió diciendo que estaba confirmada la idea con datos de los censos de 1898 y 1922 Usaron la función homogénea de primer grado de Euler, según sugirió el reverendo Wicksteed en 1897, para confirmar los rendimientos decrecientes en la producción que estudiaban von Thunen (Clark y Wicksteed) P = b LC con L a la 0,25 y C a la 0,75 respectivamente Es decir rendimiento constantes! según confirmaron otras mediciones en varios estados de USA; y en Australia y Sudáfrica..... FUNCION COBB – DOUGLAS El profesor Douglas usó la función de Euler para explicar que tanto en algunas empresas como en las cuentas nacionales de los países (según censos de 1880 a 1930) los rendimientos eran constantes ¡!! Y ello se podía resumir con esta función lineal y homogénea (con un solo termino, de grado o potencia uno). Euler explicó que la suma de exponentes menor a uno indicaba rendimientos decrecientes y mayor que uno crecientes; verifiquen) Q = X1/4 Y3/4 ( LAS POTENCIAS SUMAN uno.... 1 ) Ejemplo con función de producción y una restricción de presupuesto por $400 Q = 2t1/4 * c3/4 Pt = $4 Pc = $6 M (presupuesto) = $400 y con un CF = $80 (además de producción hay información de costos y precio de factores) ........... Q es una función lineal, homogénea ya que todos sus términos (hay uno solo) tienen potencia 1 Para maximizar aplicamos derivadas (tal como hacíamos en la Utilidad o demanda de la demanda....con derivadas o con la combinada de LaGrange Si graficáramos siguiendo a Pareto como en caso anterior: TMS) = Pt / Pc (tasa marginal de sustitución igual a precios de factores en el mercado), que calculamos con derivadas en dos pasos: a) Punto de giro o primera condición: PMg t = 4 PMg c 6 O sea, PMg t = 1/4( 2t -3/4 c3/4) = 4 baje una unidad al exponente de t 311 PMg c = 3/4 ( 2t1/4 c-1/4) = 6 baje una unidad al exponente de c 1/2 c 3/4 c 1/4 6/4 t 1/4 t 3/4 (subo c -1/4 sumando y bajo t-3/4 sumando) 1/2 c 3/2 t = = 4 6 3c = 6t c= 2t ## b) agotar el presupuesto: 4(t) + 6 (c) =400- 80 el costo variable menos el fijo 4 t + 6 (2t) = 320 16t = 320 t = 320 / 16 t = 20 Reemplazo c = 2(20) c = 40 Entonces Q = 2 (20)1/4 (40)3/4 Q = 67 toneladas Con $400 el máximo a producir es de 67 toneladas. En resumen, las funciones con dos variables permiten modelizar la producción y los costos. La función Cobb-Douglas es útil para representar los rendimientos a escala y la distribución de los ingresos generados con la producción entre los factores intervinientes (dos). Por otra parte, la maximización y la minimización con una variable son una forma usual de representar la optimización de las empresas una vez que ya se identificó su producción con un productos testigo (promedio ponderado de la gama óptima elegida con programación lineal). Finalmente, el tratamiento de los costos con muchas variables es posible mediante el uso de programación lineal, con Solver, simplemente tildando la opción Mínimo, o bien con matrices. 312 CAPÍTULO 11 - VENTAS -TEORÍAS DE LA DEMANDA Teorías de la demanda y sistemas económicos Las empresas estudian la demanda, básicamente la demanda de las personas. Pero para ello es necesario explicar la naturaleza de este acto; y existen tres teorías económicas que lo intentan, abarcando la filosofía del comportamiento humano individual, social, político y de la propia organización de los estados y sus gobiernos. Durante milenios hasta el presente, las naciones de todos los continentes han tenido diversos sistemas políticos; pero sus sistemas económicos presentaron numerosas constantes: Existencia de leyes (propiedad, herencia, comercio, etc), un estado encargado de mantener el orden social y administrar lo necesario para el bienestar general: efectuar actividades básicas como caminos, puentes, hospitales, escuelas, defensa territorial, seguridad de las personas y defensa del derecho de propiedad privada, asegurar el abastecimiento y normalidad en los mercados, cobrar impuestos, regular y garantizar un balance de divisas que asegurara el poder de importaciones, etc. Aristóteles en el s.III a.c. escribió sobre los precios del mercado, reconociendo que dependían de las necesidades del comprador y de los costos del productor. Santo Tomás de Aquino, en el s.XII (Summa Theológica y Summa para Gentiles) tradujo ese estado natural de cosas según Aristóteles en uno de los postulados del cristianismo: justicia conmutativa (justo precio para las transacciones en el mercado) y justicia retributiva (justo salario para el trabajador). Pero a mediados del siglo XVIII ocurre en Inglaterra la revolución industrial: el maquinismo, la revolución de los cercados, campesinos desposeídos que forman la naciente clase asalariada, etc., surgiendo la formación de excedentes exportables de productos industriales, para ubicarlos en las ciudades europeas, americanas, etc. Política, ardides, corrupción, invasiones, cortarle un dedo a los niños hindúes para que no compitieran hilando, etc. fueron diversos instrumentos utilizados para conseguir mercados. Pero interesa más comentar aquí el importante aporte de contar con unas nuevas ideas para ayudar esos esfuerzos: las "teorías" (en rigor, cualquier cosa que ayude a convencer). La escuela moral escocesa pensó una nueva filosofía para explicar la conducta humana, económica y el bienestar general, oponiéndola a la idea cristiana de la justicia conmutativa y distributiva. Para A. Smith, J. Benthan, D. Ricardo y otros escoceses, todas las personas actuarían principalmente guiadas por el egoísmo. El principio hedónico -procurar siempre el máximo beneficio con el mínimo esfuerzogarantiza que una especie de mano invisible (los precios libres) mantenga los mercados competitivos y en equilibrio, conduciendo al máximo bienestar general, ya que el Estado evita la formación de monopolios y conductas no transparentes. La propiedad privada es una idea natural en los sistemas económicos de la humanidad; pero el libre comercio en los mercados era una nueva idea (una teoría, que no coincidía con el orden natural tradicional). 313 Algunos pensadores de la época ya vieron que esta idea teórica puede no ser realista si el estado no evita eficientemente esas conductas no transparentes anticompetitivas. Sobre todo, en 1848 el austriaco C. Marx escribió El Capital, alertando que la libre competencia lleva en sí el germen del monopolio. Agregó además que el beneficio empresario o plusvalía, era en el fondo un salario pretérito del trabajador y correspondía entonces la propiedad estatal de los medios de producción, con planificación estatal de las actividades y mercados (conformó otra nueva teoría, totalmente contraria al orden natural tradicional). Los economistas reconocen que competencia y monopolio son dos modelos teóricos extremos, mientras que en la realidad los mercados se desenvuelven en una gama intermedia de competencia, imperfecta. Situaciones de competencia incontrolada pueden llevar a excesos (Argentina, Rusia, en los años 1990). También un estatismo a ultranza conduciría al fracaso de la URSS (si bien cabe tener en cuentas que Gorbachov, en la Perestroika perseguía particularmente una "transparencia política", más que económica, para terminar con la ola de asesinatos políticos en aquel régimen). En resumen, tenemos tres ideas de sistema económico relevantes (el real históricamente tradicional en el mundo, la teoría liberal y la teoría marxista). Al nivel de teorías económicas, dos relevantes: la marxista, novedosa, contraria a la historia mundial sobre la propiedad privada; y la liberal, afin con la historia sobre la propiedad privada, pero no así en su idea del libre comercio, salvo con su cláusula teórica de un estado fuerte que controle efectivamente la formación de monopolios y conductas no transparentes que lesionen la competencia pura. De todos modos, bajo la evolución del pensamiento económico en aquella época, explicar la naturaleza de los precios de mercado implicaba considerar la demanda y la oferta. Pero liberales y Marx admitían una gran influencia del costo de producción en la determinación de los precios. Estos primeros clásicos prestaban poca importancia a la escasez, las necesidades y la demanda. Sin embargo, esta coincidencia de pensamientos era molesta a los clásicos liberales. En 1854 el austriaco Gossen escribió un libro (del que habría algunos ejemplares en Oxford) con dos célebres leyes, que explicaban los precios de manera distinta y más favorable a la teoría liberal, ya que sobre todo, fundamentaban la legitimidad del beneficio extraordinario para la empresa. Gossen se habría suicidado porque no lo entendieron en su momento; pero alcanzo a escribir cartas a varios economistas con estas ideas, los cuales 20 años después publicaron trabajos y Marshall los reunió como una síntesis en su libro de Principios económicos, con esta primera teoría. PRIMERA TEORÍA DE LA DEMANDA: sicológico-utilitaria Básicamente las dos leyes de Gossen conformaron la primer teoría de la demanda, sicológico-utilitaria. La ley 1) fue sintetizada por A. Marshall (escocés, 1890, Principios de Economía) así: conforme dispone de más unidades el consumidor siente menor utilidad con cada una (utilidad marginal decreciente) y las va valorando menos: paga menos por cada nueva unidad consumida; esto explica la pendiente negativa de la curva de demanda. La ley 2) explica el consumo de 2 o más bienes: a) el consumidor encuentra su equilibrio (y entonces demanda, compra) con igual relación placer sobre precio en todas sus compras: igualdad de las utilidades marginales ponderadas por sus precios (UMgx / Px = … = UMgy / Py = etc...) 314 Simultáneamente debía cumplirse b) gastar todo el presupuesto M (o sea, Px (X) + Py (Y) = M. Se explica matemáticamente así el máximo condicionado para dos o más variables: a) U'x / U'y = Px / Py con b) Px (X) + Py (Y) = M (El máximo, mínimo para una variable era: U' = 0 con U'' <0 máximo; y mínimo si es >0; o punto de inflexión si es también =0 la segunda derivada. Es decir, ponerse en un punto de giro /cambio con la primera derivada =0 y luego ver si la nueva derivada (incremento) cae o sube, explican el máximo o mínimo, etc. Con estas ideas de Gossen, los neoliberales (K.Menger, DL 1970; S. Jevons, UK 1972; L. Walras, Fr 1874; A. Marshall, UK 1890) perfeccionaban la teoría liberal y se diferenciaban de la teoría de Marx sobre los precios. El precio no es como decían los clásicos liberales y Marx, según el costo medio, sino que depende de la utilidad marginal. Explicaron la teoría sobre el sistema económico y en particular la teoría sobre los precios y la demanda. Distinguen la utilidad total (solo tiene sentido económico mientras es creciente, hasta la saturación; es así solo positiva, en el primer cuadrante; crece (primer derivada o incremento positiva) pero antes de la saturación el crecimiento es cada vez menor (segunda derivada negativa); hay un máximo (que coincide con la utilidad marginal nula) y si no se consume no hay utilidad. La primer derivada es la utilidad marginal (cociente incremental dU / dX). Tiene sentido económico si es positiva, pero es decreciente (primer cuadrante con pendiente negativa); es nula en la saturación. Avances posteriores permitirán explicar la utilidad con necesidades no primarias. Ejercicios sobre “Teoría de la utilidad del comprador” según Marshall 1) un consumidor tiene los siguientes gustos U y renta M, con estos precios de de X e Y: Px=15, Py=20, M=1.000 U=X(Y), a) igual relación placer sobre precios (UMg / precio) en todos los bienes, para justificar la compra simultánea de un auto y una caja de fósforos; o sea UMgx/Px = UMgy/Py según la Ley 2 de Gossen U‟x/Px = U‟y/Py entonces: U‟x/U‟y = Px/Py derivando y reemplazando queda Y/X = 10/20, o sea X(15) = Y (20) X = 1.33Y o * relación de intercambio b) Agotar gasto de todo el presupuesto: equivalente * : Px(X) + Py(Y) = M donde reemplazaremos X por su 15 ( X) + 20( Y) = 1.000 15 (1.33)y + 20 y = 1.000 40 y = 1000 Y = 50 , X = 67 demanda de ambos bienes, según (Marsahll), porque calculaba aritméticamente la siguiente UT= 67 ( 50) = 3350 Unidades de Utilidad Total. la Teoría utilitaria cardinal 315 2 Ejemplo) Encontrar el equilibrio y demanda de bienes con los siguientes gustos, presupuesto y precios en el mercado: U=3xy Px=8 Py=6 M=240 a) Umgx/Px = Umgy/Py según la Ley 2 de Gossen, actualizada por Marshall; o sea: U‟x/Px = U‟y/Py y ordenando, U‟x/U‟y = Px/Py Por lo que derivando y reemplazando precios: 3Y/3X = 8/6 3X(8) = 3Y(6) 24X = 18Y X = 3/4Y o relación de intercambio # que usaremos en b) b) Agotar el gasto de todo el presupuesto Px (X) + Py (Y) = M 8 (X) + 6(Y) = 240 y reemplazanro X por # 8 (3/4Y) + 6(y) = 240 12 y = 240 Y = 20 ; según # es X = 15, demandas de ambos bienes según la Teoría utilitaria cardinal, que totalizaba UT= 3(15)20 = 900 UUcardinal SEGUNDA TEORÍA DE LA DEMANDA: curvas de indiferencia del ingeniero W. Pareto, Milán 1910 Marsahll no alcanzó a ver que microeconomía era fundamentalmente economía de la empresa; y en sus Principios Económicos reunió los conocimientos de su época sin diferenciar micro y macroeconomía, o mejor aun enfatizando en los temas macroeconómicos. Sin embargo, el ingeniero W. Pareto tenía las cosas más en claro y en sus planteos simplificadores subyacía la noción de microeconomía como economía de la empresa. En 1880 el inglés Edgeworth había utilizado (ideado) las curvas de indiferencia para explicar el comercio entre Inglaterra y una colonia comercial (como Argentina; y en los programas de economía se estudia esta Caja de Edgeworth) y Pareto las utilizó para una nueva teoría sobre la demanda. Las canastas sobre una curva son indiferentes. Curvas más alejadas indican canastas mayores, preferidas. Hay un presupuesto para gastar; la recta de presupuesto más alejada indica mayor gasto. Los precios relativos del mercado se indican con la pendiente de esta recta: gastando todo en uno u otro bien se grafican los extremos de la recta y su pendiente. La demanda aparece si hay equilibrio: tangencia de la recta de presupuesto con la curva de indiferencia más alta. Incluso se puede medir la utilidad total, que será aquí de tipo ordinal (mayor o menor; por oposición a la idea de medición cardinal en Marshall). Deben cumplirse las dos condiciones de Gossen, ahora explicadas matemáticamente: a) TMS = Px / Py (tasa marginal de sustitución igual al cociente de precios relativos del mercado); y b) agotar el presupuesto Px (X) + Py (Y) = M 316 Geométricamente la TMS = dY / dX es la pendiente de la c.i. Por otra parte, en la c.i. el diferencial total entre sus puntos es necesariamente nulo: U'x dX + U'y dY = 0 lo que puede expresarse como U'x / U'y = dY / dX (cociente de las derivadas igual a la pendiente). Además, la pendiente de la recta de presupuesto también está presente en el punto de equilibrio. En toda esta recta hay el mismo presupuesto, de modo que al cambiar entre dos de sus puntos necesariamente (dY) Py debe ser igual a (dX) Px (cantidades por precios que indican igual monto de variación, porque ambas canastas valen M: igualmente, diferencial total nulo). Así, geométricamente, coinciden las pendientes de la función de utilidad o gustos y de los precios de mercado, explicando el equilibrio. Matemáticamente se calcula el equilibrio como a) U'x / U'y = Px / Py; con b) Px (X) + Py (Y) = M (igual que con Marshall, pero con un modelo distinto: geométrico-matemático y no sicológico/utilitario-matemático). Ejercicio 1) según Pareto: 1) Además de calcularlo demuestre cómo y por qué se puede encontrar el punto de equilibrio del consumo según Pareto: u = 3xy Px = 8 Py = 6 M = 240 A) Equilibrio del consumo según Pareto: u=3xy Px=8 Py=6 M=240 1)TMS = Px u’x = Px 3y = 8 Py u’y Py 3x 6 6y = 8x x = 0,75y (#) 2) Px X + Py Y = M Según (#) 8(0,75y) + 6y = 240 12y = 240 y = 20 x = 0,75y x = 0,75(20) x = 15 Reemplazamos en la utilidad u = 3xy; u = 3(15)(20) Efectivamente, la solución matemática es similar que con Marshall… Peo lo que cambia es aquí el modelo, ahora matemático- geométrico (y según el diferencial total), mientras que en Marshall era sicológico matemático (sin este gráfico de c.i.) 317 DIFERENCIAL TOTAL NULO: Por otra parte, en la c.i. el diferencial total al pasare de uno a otro de sus puntos es necesariamente nulo: U'x dX + U'y dY = 0; que puede re expresarse como U'x / U'y = dY / dX (o cociente de las derivadas igual a la pendiente) Igualmente, la pendiente de la recta de presupuesto también está presente en el punto de equilibrio. En toda esta recta hay el mismo presupuesto, de modo que al cambiar entre dos de sus puntos necesariamente el diferencial total es nulo dX(Px) +dY(Py) = 0, o bien que (dY) Py debe ser igual a (dX) Px (cantidades por sus precios que indican igual monto al pasar de un punto a otro de la recta de presupuestos, porque ambas canastas valen M ) Así, geométricamente en el equilibrio E, coinciden las pendientes de la función de utilidad o gustos y de precios de mercado, explicando el equilibrio. (Ver gráfico y nota ##) Luego de igualar y simplificar los delta surge matemáticamente que se calcula el equilibrio como a) U'x / U'y = Px / Py y cumpliendo b) Px (X) + Py (Y) = M (igual que con Marshall, pero con un modelo distinto: en Pareto geométrico-matemático y no sicológico-matemático como en Marshall). Ejercicio 2) Determine analíticamente y gráficamente el equilibrio paretiano si: U= 2xy2 Px = 2 Py= 3 a) TMS = Px/Py M= 540 2y2 /xy = 2/3 U'x/U`y = Px/Py 1 y = 2/3 y = 2/3 * c) reemplazando Y por * PX x + PY x = M 2x + 3y = 540 Y según * y = 4/3 x UT = 2xy2 2x + 3(4/3 x) = 540 y = 4/3 90 6x = 540 x = 90 y = 120 2 x 90 x 1202 = 2.592.000 = UT Ejercicios 3) Si aumentara el Px = 3 etc. (et ceteris paribus /el resto igual) a) TMS= Px/Py 2 y2 /4xy = 3/3 U'x/U`y = Px/Py 1 y /2x= 1 y = 2x # b) reemplazando # por y PX x + PY y = M 3x + 3y = 540 3x + 3 2 x = 540 x = 60 y=2x UT = 2xy2 y = 2 * 60 2 * 60 * 1202 y = 120 1.728.000 = UT 9x = 540 318 CONCEPTO de PRIMAL y DUAL Todo acto económico es social y siempre habrá dos puntos de vista (comprador y vendedor). En el ejemplo anterior U = 3xy sabemos que para tener una utilidad total de 300UUT y consumir X=15 e Y=20 necesitamos gastar $240. Este aspecto primal implica su dual: ¿cuál es el gasto o costo de demandar eso? Si no conociéramos el presupuesto no sería una tautología irrelevante. Supongamos que con estos datos preguntáramos DUAL: ¿cuál es el gasto para consumir esta persona y obtener una utilidad total U=360 uut? El planteo es ahora una función de gasto según el mercado con una restricción o condición que sea la utilidad U=3XY =360; el cálculo es ahora inverso: a) U= 3XY = 360 y considerando la anterior relación de intercambio * X=3/4Y será U= 3(3/4Y)Y = 360 ; o sea, U = 9/4Y2 = 360 de donde Y2 = 4/9(360); surgiendo Y=160 Volviendo a la relación de intercambio * es X = ¾(160) =120 Entonces b) el gasto para comprar estas cantidades sería M = $8(120) +$6(160) = $1920 (se ve que no es proporcional o simple regla de tres, porque la función no tiene grado 1 sino 2) CURVA DE INDIFERENCIA Y RECTA DE PRESUPUESTO CON EXCEL Siendo los gustos U = X Y, el presupuesto M= $100 y los precios en el mercado Px=$1 Py=$2. a) el cociente de las derivadas igualado al de los precios es Y / X = 1 / 2 de donde la relación de intercambio # es 2Y = X b) agotar el presupuesto: M = 1(X) + 2(Y) = 100 reemplazando # es: U=XY= 1250 unidades. M = X + X = 100; o sea, X= 50; e Y = 25 según #, resultando una utilidad cardinal Esto se calcula en la siguiente hoja Excel: la ecuación de la curva de indiferencia es Y = U/X = 1250/X; la ecuación de la recta de presupuesto es M = Px(X) +Py(Y), o sea, Y = 100/Py -Px/Py (X). 319 El equilibrio del consumidor surge cuando se igualan sus gustos con los precios relativos del mercado; y gasta $100, demandando X=50 e Y=25. FUNCIÓN COMBINADA DE LAGRANGE: NUEVA MATEMÁTICA DEL S.XIX Supóngase un consumidor con la siguiente función de gustos: U= 28X +28Y - 2X2 -3XY -2Y2, un presupuesto M=$12 y precios en el mercado Px=$1, Py=$6. LaGrange conforma una función combinada "L", compuesta de la suma de dos términos: uno con la función U; el otro con la restricción de presupuesto multiplicada por una variable auxiliar landa λ(Px(X)+Py(Y)M), entonces: L= 28X +28Y - 2X2 -3XY -2Y2 + λ(1X +6Y -12) a) La primera condición será ubicarse en un punto de giro de la función, igualando a cero las primeras derivadas de L; la segunda será averiguar si es un punto de inflexión, de máximo o de mínimo, según que el Hessiano H sea nulo, positivo o negativo. Las primeras derivadas de L son : L' x 28 4X 3Y λ 0 ' Ly 28 - 3X - 4Y 6λ 0 L X 6Y - 12 0 Igualamos el término en λ de las dos primeras multiplicando la primera por 6, quedando 168 -24X -18Y = 28 -3X -4Y; o sea, Y= 10 -3/2X. (#) Reemplazando esta relación (#) en la tercer derivada se obtiene X + 6(10 +3/2X) = 12, de donde surge X=6; y por consiguiente Y= 1 según (#). La utilidad total es U =28(6)+28(1) -2(6)2 -3(6)(1) -2(1)2 = 104 u.u….. SIGNIFICADO Y VALOR DE λ: Según L'x es: 28 -4(6) -3(1) = - λ; o sea, - λ = 1 (o λ = -1) Se interpreta λ como la utilidad marginal de dinero de este presupuesto, ya que gastando un peso más en los bienes la utilidad total variaría en -1. Por ejemplo, si el peso se gasta en consumir una unidad más de X la 320 utilidad total sería lo que indica la función U con X=7 (en vez de los 6 iniciales), e Y=1 y totalizaría 103 en vez de 104 inicialmente (ya que X es un bien inferior, cae la utilidad total). La Segunda condición es conformar el Hessiano con las derivadas segundas: H= L"xx L"yx L"xy L"yy L"x L"y L" x L" y L" 4 3 1 3 1 4 6 6 0 La resolución manual según Sarrus implica repetir abajo del H las dos primeras filas, y luego sumar las tres diagonales con pendiente negativa y restarle las tres diagonales opuestas (resultado = +112): (-4)(-4)(0) + (-3)(6+)(1) + ((1)(-3)(6) – (1)(-4)(1) – (6)(6)(-4) – (0)(-3)(-3) = +112 positivo, garantizando que los valores de a) maximizan la utilidad y las demandas son X=6 e Y=1 unidades. Es posible resolver manualmente determinantes chicos como este, pero no lo es si fueran mayores o grandes (¿En cuál libro vieron alguno resuelto; o quien les explicó cómo?... por esto se ilustra la fácil resolución con Excel, sin limitaciones: DETERMINANTES: Sin limitaciones de orden, Excel calcula estos determinantes, simplemente anotando en una celda “=mdeterm(A1:C3)” como se ve en la imagen (reemplazando antes λ = 1,75): (para estas anotaciones puede resultar cómodo disponer de caracteres griegos, disponibles en el Microsoft Office, insertando los símbolos deseados, λ ∆ μ β δ Σ δ ε ...). MAXIMIZACIÓN SEGÚN LA INDIFERENCIA DE W. PARETO utilizando LAGRANGE) U= 0,2XY + 8 con Px=$1; Py=$4; M=$70 El mismo caso anterior se explica con la teoría de las curvas de indiferencia de W. Pareto: gustos de Juan y presupuesto coincidentes con los requerimientos del mercado, mediante: TMS = Px / Py Según el diferencial total nulo en la curva de indiferencia y en la recta de presupuesto, en el punto de equilibrio (con igual pendiente por ser tangentes) se cumple 321 U‟x / U‟y = Px / Py Como en el caso anterior según Marshall, pero adoptando el método de LaGrange: Función combinada L = U + λ[Px(X) +Py(Y)] L = 0,2XY +8 + λ[(1(X) + 4(Y) – 70] U‟x = 0,2Y + λ U‟y = 0,2X + 4 λ U‟λ = X + 4Y- 70 I) ó foc: =0 =0 =0 Se resuelve este sistema por operaciones elementales, como ser por igualación de términos en las dos primeras derivadas, multiplicando la primera por 4: 0,8Y + 4λ = 0 02,X + 4λ = 0 quedando 0,8Y = 0,2X, o sea, Y = 1/4X relación de intercambio # que se puede reemplazar en la tercera derivada, para obtener los valores demandados: X + 4(1/4X) 0 70 o sea, 2X = 70, o bien X = 35 (demanda de X) que se puede reemplazar en # para obtener Y = 1/4(35) = 8,8 (demanda de Y) con una utilidad total por U = 0,2(35) 8,8 + 8 = 69,25 u.u. SIGNIFICADO DE λ (COMO UTILIDAD MARGINAL DEL DINERO DE JUAN): Según U‟x resulta – λ= 0,2(8,75)= 1,75: utilidad marginal de este dinero del presupuesto. Si Juan gastara $1 más ($71) la utilidad total sería: 69,25 +1,75 = 71 unidades de utilidad, demostrándolo (71 – 69,25= 1,75). II) ó soc: El Hessiano con las segundas derivadas debe ser positivo: H= 0 0,2 1 0,2 0 4 1 4 0 se resuelve repitiendo las 2 primeras filas y sumando las 3 diagonales descendentes y restando las 3 ascendes.... H= 0 0,2 1 0 0,2 0,2 0 4 0,2 0 1 4 0 1 4 = 0(0)0 + 0,2(4)1 + 1(0,2)4 -1(0)1 - 4(4)0 - 0(0,2)0,2 = +1,6 .... >0 322 Es decir, con el mismo cálculo práctico para las dos teorías (Marshall y Pareto), ya sea con ecuaciones diferenciales, con LaGrange, (o con la programación Solver no lineal en este caso) no obstante que una use el modelo sicológico de la utilidad marginal y otra el modelo geométrico de las curvas de indiferencia. FUNCION DE DEMANDA TEÓRICA HIPERBÓLICA Los clásicos como Smith, Ricardo y Marx pensaban que el valor de cambio (precio) no surgía de la utilidad. Lo consideraban simplemente como una característica de los bienes económicos, en tanto creían que el valor se basaba en los costos de producción. Posteriormente, los neoclásicos prefirieron redescubrir como que la naturaleza del valor la daría la utilidad marginal aportada y sostuvieron así la teoría del valor subjetivo, referente a los gustos y preferencias del consumidor, es decir una demanda subjetiva. Inicialmente esta idea estuvo sujeta a la crítica de referirse solo a demandas de bienes primarios, con saturación de su necesidad (con máximo) y sin abarcar a los necesidades social y culturales, siempre crecientes. Milton Friedman utilizó funciones hiperbólicas para abarcarlas; en ellas la utilidad marginal puede ser decreciente, creciente o constante y puede explicar así la teoría de la demanda en forma completa. Esta es la diferencia fundamental con el uso de las funciones lineales, que implican que la utilidad marginal sea sólo decreciente. Según se enfoque, la utilidad de dos bienes puede estar relacionada o no; y además la utilidad marginal puede ser constante, creciente o decreciente. El concepto de función de demanda teórica (Friedman) es útil para demostrar que la teoría de la utilidad tanto sirve para funciones con utilidad marginal decreciente igual que para las constantes o crecientes. Para funciones aditivas o multiplicativas (con varios o un solo término en el segundo. miembro.) o bien con utilidad marginal decreciente (U=logX + logy, exponente fraccionario....), o bien constante (U=X 0.4Y0.6, exponente 1 ....), o bien creciente (U=X2Y2... exponente >1...) En todos los casos se llega a similares resultados 2Px (x) = M …. o sea, Px = M / 2x , función de demanda implícita (hiperbólica, ya que X está dividiendo), útil para afirmar que la teoría de la demanda se explica con UMg de todo tipo.... (recuérdese que en Marshall se suponía saturación de las necesidades primarias y UMg decreciente...); y también en Pareto, la TMS se suponía decreciente.... para que las curvas de indiferencia fuesen convexas al origen (tipo media luna árabe...) Algunos ejemplos concretos: Si los gustos del consumidor son U= X0.4Y0.6 con Px=? desconocido, Py= ? y M=? 323 a) en equilibrio U'x/ U'y = Px/Py ; 04X-0.6Y0.6 / 0.6Y-0.4 X-0.4 = Px/Py ; 0.4Y0.4 Y0.6 / 0.6X0.6 X0.4 = Px / Py ; 0.6Y / 0.4X = Px/Py ; 0.6Y Px = 0.4X Px ; X = 0.6Y Py / 0.4Px, o relación de intercambio b) Px X Py Y = M ; Px (0.6Y Py / 0.4Px) + Py Y = M ; 0.6/0.4 Py Y + Py Y = M ; o sea, Py = M / 2(4/6)Y función de demanda hiperbólica, en este caso con utilidad marginal constante (e interdependencia funcional en los gustos; función multiplicativa) Si los gustos del consumidor fueran U= Log2X + Log 3Y a) U'x/ U'y= Px/Py ; 1/2X/ 1/3Y= Px/Py ; Y= 2/3X Px/Py (*) o relación de intercambio b) Px X+ Py Y= M ; Px X + 2/3X Px = M 5/3 X Px = M ; Px = 3M /5X demanda teórica o hiperbólica. ; Es teórica porque no hay valores para M, X o Px; e hiperbólica por ser Px= 3M/ 5X (con X como divisor). Como en este ejemplo, la utilidad es aditiva ( U= log2X + Log3Y) hay independencia de gustos y las utilidades marginales ( U'x= 1/2X y U'y= 1/3Y) son decrecientes, (a mayores valores de X e Y, la utilidad marginal es proporcionalmente menor por encontrarse las variables en el denominador.). Si los gustos del consumidor fueran U = 2X²Y³ con Px=? Py=5 M= 60 a) U'x/ U'y = Px/Py ; 4XY³/ 12X²Y² = Px/5 ; 4Y / 12X = Px/5 ; Y= 3/5 Px X (*) o relación de intercambio b) Px X+ Py Y = M ; Px X+ 5(3/5Px X) = 60 ; 4X Px = 60 ; Px = 15/X Hipérbole de Friedman. En este caso hay, según los gustos, dependencia funcional entre los bienes, porque la función de utilidad (U = 2X²Y³) es multiplicativa, y las utilidades marginales (U'x = 4XY³ y U'y = 12X²Y²) son crecientes (exponente > 1) En conclusión, la ventaja de la función hiperbólica de Friedman es que sirve para explicar la demanda de cualquier tipo de función de utilidad, tanto con utilidad marginal decreciente, creciente o constante (y con bienes funcionalmente interrelacionados o no). Despejando Px o Py del sistema sin precios concretos queda la función de demanda de cada bien con la variable dependiente como denominador en el segundo miembro......(grafica de hipérbole) que Friedman utiliza para explicar que la teoria sirve para casos de utilidad marginal decreciente (en el segundo miembro exponentes de las variables que suman menos que uno), constante (exponentes que suman uno) y crecientes (exponentes que suman mas que uno) (este tema tambien se ve en la produccion y los rendicimientos decrecientes, constantes y crecientes) 324 EQUILIBIO DEL CONSUMIDOR: DEMANDA DERIVADA (CON EXCEL) La teoría del consumidor (cardinal u ordinal) maximiza la utilidad por consumir bienes X e Y gastando el presupuesto M, dados ciertos gustos (función de utilidad) y precios en el mercado. Con las condiciones a) el cociente de las derivadas igualado al de los precios del mercado; junto con b) gastar todo el dinero disponible, se satisfacen las dos condiciones de máximo para funciones de dos variables (coinciden las posibilidades y gustos del consumidor con las pretensiones del mercado) MAXIMIZACIÓN SEGÚN LA UTILIDAD MARGINAL CON SOLVER (A. MARSHALL) U= 0,2XY + 8 con Px=$1; Py=$4; M=$70 a) se resuelve con: U‟X / U‟y = Px / Py 0.2Y / 0.2X = 1/4 b) Px(X) + Py(Y)=70 o sea, X=4Y # o bien reemplazando 4Y+4Y =70 Y=8,75 por lo cual X=35 (según #) La utilidad máxima es U = 0.2(35)(8,75) + 8 = 69,25 unidades Excel también facilita la resolución de estos problemas con funciones no lineales, utilizando su macro Solver, pero cuidando no elegir en Opciones “Adoptar el modelo lineal” (tal como cuando se hace programación lineal). Se anotan los pocos datos tal como aparecen en la siguiente imagen y se abre Solver en Herramientas. 325 Solver pregunta cuál será la celda objetivo (a maximizar); cuales las celdas a cambiar para calcular en ellas las cantidades de X e Y; también pregunta por las restricciones (en este caso el presupuesto $70). Al pulsar “Agregar” en la opción “Sujeta a las siguientes restricciones” se abre la pequeña ventana para anotar a la izquierda “D4”; en el centro “<=”; y a la derecha “=70” y Aceptar. Vuelve a la ventana Solver, se pulsa Resolver y luego Aceptar la solución Solver. Con Solver no hay limitación para el tipo de funciones de utilidad, sean lineales o no lineales. PROBLEMA DUAL: ¿MÍNIMO GASTO PARA OBTENER CIERTAS DEMANDAS CON UTILIDAD DE SOLO 32 UNIDADES? Aquí la función a) será la de presupuesto Px(X) + Py(Y) = M, mientras que la restricción b) es la función de utilidad igualada a 32: U = 0,2XY +8 = 32 a) b) 0,2XY +8 =32 manteniéndose los precios relativos en el mercado X=4Y # por lo cual 0,2(4Y) Y +8 =32 con 0,8Y2 = 24 e Y2=30 o bien Y=5,48 X=4(5,48)=21,92 según # El gasto necesaria será: M= $1 (21,92) + $4 (5,48) = $43,82 326 Con Solver de Excel se escriben los datos, incluyendo la función de utilidad en B5. Se abre en Herramientas Solver y se elige Minimizar. La celda objetivo es ahora D4 y las celda cambiantes siguen siendo B2 y C2. Sujeto a las siguientes restricciones y Agregar permite anotar ahora B5=32. Luego Resolver y Aceptar la solución de Solver. (nuevamente los precios deben ser >0 y además, se ha evitado elegir en Opciones Adoptar la solución lineal, ya que la función es de segundo grado). MAXIMIZACIÓN SEGÚN LA INDIFERENCIA DE W. PARETO (Y LAGRANGE) El mismo caso anterior se explica con la teoría de las curvas de indiferencia de W. Pareto: gustos y presupuesto coincidentes con los requerimientos del mercado, mediante: TMS = Px / Py Según el diferencial total nulo en la curva de indiferencia y en la recta de presupuesto, en el punto de equilibrio (con igual pendiente por ser tangentes) se cumple U‟x / U‟y = Px / Py 327 Como en el caso anterior según Marshall, pero adoptando el método de LaGrange: Función combinada L = U + λ(Px(X) +Py(Y) L = 0,2XY +8 + λ[(1(X) + 4(Y) – 70] I) U‟x = 0,2Y + λ U‟y = 0,2X + 4 λ U‟λ = X + 4Y - 70 =0 =0 =0 Según U‟x resulta – λ= 0,2(8,75)= 1,75: utilidad marginal de este dinero del presupuesto. Si se gastara $1 más ($71) la utilidad total sería: 69,25 +1,75 = 70.99 unidades de utilidad. II) El Hessiano con las segundas derivadas: 0 H = 0.2 1 0.2 1 0 4 4 = + 1.6 (>0) 0 con el mismo cálculo práctico para las dos teorías (Marshall y Pareto), ya sea con ecuaciones diferenciales, con LaGrange, o con la programación Solver no lineal en este caso (no obstante que una use el modelo sicológico de la utilidad marginal y otra el modelo geométrico de las curvas de indiferencia). Y 8,75 E ci U = 69,25 u .u. 35 X DETERMINANTES CON EXCEL Sin limitaciones de orden, Excel calcula estos determinantes, simplemente anotando en una celda “=mdeterm(A1:C3)” como se ve en la imagen (reemplazando antes λ = 1,75): 328 329 TERCERA TEORÍA DE LA DEMANDA: PREFERENCIA REVELADA El análisis distinguiendo los efectos sustitución y renta cuando cambia un precio permitieron presentar una tercer explicación sobre las razones de la demanda. Se desarrolla bajo el análisis de la ecuación de Slutsky y con el del efecto ingreso y sustitución según Hiks. Slutsky, Hicks, Samuelson explicaron que además de la vieja ley de la demanda también influía el menor poder adquisitivo si un aumento en el precio de algún bien importante deteriora el valor adquisitivo real del presupuesto disponible para demandar. Agregan las consecuencias de la inflación: al viejo efecto sustitución le agregan el nuevo efecto renta. Lo de preferencia revelada surge porque cuando, por ejemplo, el Instituto de Estadísticas y Censos mide mensualmente los índices de precios al por menor y otros, está obteniendo información objetiva (no contingencias sino hechos) de las preferencias reveladas (manifestadas) por los consumidores sobre la demanda, según sus gustos, su dinero y los precios de todos los bienes. Su abundancia de datos mensuales permite efectuar con Excel correlaciones, con valores homogéneos netos de inflación, y explicar las demandas mediante sus índices de consumo y gasto (para una gran cantidad de bienes individuales anotados mes a mes, en precios y cantidades consumidas). AXIOMAS Esta teoría se justifica con dos axiomas: débil (si una canasta le es mejor que otra, ese consumidor no puede decir racionalmente lo opuesto) y fuerte (si prefiere la canasta 1 a la 2 y también la 2 a la 3, entonces prefiere la 1 a la 3). Véase el ejemplo: a precio similar compraron más café de la marca 1 que de la 2. Igualmente comparando las marcas 2 y 3. Entonces, indirectamente prefiere la marca 1 a la 3 (salvo en la cafetería H, según muestra la celda i9 con la función lógica =Y( ; )). 330 NÚMEROS ÍNDICE El aporte de Excel no es solo por las funciones de correlación múltiple incorporadas sino además por las facilidades de la propia hoja de cálculo Excel para elaborar y trabajar con índices. Los complejos cálculos de Laspeyres o Paasche y otros se facilitan en minutos copiando celdas y relacionándolas mediante operaciones elementales (véase más en detalle al final de este capítulo). 331 Tercer teoría de la demanda: Preferencia revelada EFECTO RENTA - SUSTITUCION Introduciendo la inflación: el análisis sobre los efectos sustitución y renta permitieron incluir la inflación y presentar una tercer explicación sobre las razones de la demanda. Slutsky, Hicks, Samuelson explicaron que además de la vieja ley de la demanda también influía el menor poder adquisitivo si un aumento en el precio de algún bien importante deteriora el valor adquisitivo real del presupuesto disponible para demandar. Los dos efectos se explican mediante gráficos de c.i. (Hisck, 1938) y mediante una comleja ecuación (Slutsky, 1915); pero luego de las explicaciones teóricas se llega que los análisis se efectúan siguiendo los índices de precios que publican los gobiernos, ya que permiten ver la preferencias reveladas por los consumidores cuando cambian los precios. Cuando el instituto INDEC mide mensualmente los índices de Precios al por Menor está obteniendo información objetiva (no son contingencias sino hechos) de las preferencias reveladas (manifiestas /manifestadas) por los consumidores sobre demanda, según sus gustos, su dinero y los precios de todos los bienes. SEGÚN HICKS En el gráfico analizaremos el efecto renta y sustitución a través del modelo de curvas de indiferencia de HICKS Analizando el grafico podemos observar como varían el consumo de dos bienes “X” e “y” ante una variación en el precio de uno de los bienes (el bien “X”), manteniéndose tanto la Renta como la Curva de Utilidad. Podemos observar que el incremento del bien “X” genera una nueva restricción presupuestaria de m 0 a m1, con esta restricción nuestra Curva de Utilidad se desplaza de U0 a U1 y vemos que el consumo del bien “X” se reduce de x0 a x1, mientras que el consumo del bien “Y” se incrementa pasando de y 0 a y1. Ahora aplicamos un subsidio incrementando nuestra Renta, para volver a la Curva de Utilidad de nuevo a su posición de origen U0, compensando de esta forma el incremento del bien “X”. La nueva recta presupuestaria es s que como se puede observar en el grafico es paralela a m 1, este incremento en el consumo hizo suponer a SLUTZKY que se volvía al punto de equilibrio original “E”, pero HICKS, Verifico que esto no era cierto, que si bien el consumo se incrementaba volviendo a los valores históricos la composición de la canasta se veía alterada y no se volvía al punto de equilibrio “E” sino que a un nuevo equilibrio “S”. 332 Esta diferencia entre la posición de estos autores se conoce como la “Diferencia entre la demanda de Slutzky y Hicks”, donde la demanda de Slutzky es mayor que la de Hicks, respecto del bien que sufrió el incremento de precio. Este análisis dio lugar al descubrimiento de la existencia de dos efectos, que explican los comportamientos de dos bienes ante el incremento en el costo de alguno de los ellos. Observamos en nuestro grafico que la llave que une el punto de equilibrio “E” con el punto de equilibrio “S” corresponde a la diferencia generada por el Efecto Sustitución, mientras que la llave que une el punto de equilibrio “S” y el punto x1 corresponde a la diferencia que se produjo en el consumo del bien “X” por el Efecto Renta. O SEA, 3er.TEORIA DE LA DEMANDA: Distinguiendo el efecto renta (o ingreso o inflación) del efecto sustitución (o vieja ley de la demanda: P y Q): 1°) se calcula el equilibrio inicial del consumidor en E: los 2 pasos pueden resolverse con derivadas (o bien utilizando la función de LaGrange)... U=2XY; Px=5 Py=10 M=100$ resultando X=10 Y=5 U= 100 u.u.ordinal.... 2°) Su suponemos que luego sube el precio del bien X a Px=8$; la 2da. recta de presupuesto es más rígida. El nuevo punto de equilibrio F con X=6,3 Y=5 U=62 u.u.ordinal... Interesa aquí la menor cantidad demandada de X (no interesa por ahora la cantidad de Y...) La merma en X se debe a dos causas (según Slutzky, Hicks y otros). Hicks separa la merma en los dos efectos renta y sustitución, simplemente suponiendo un subsidio, tal que pudiera volver a la curva de indiferencia inicial y tener ahí una demanda "compensada". Como los precios son ahora distintos que al principio, la supuesta 3er. recta de presupuesto, paralela a la 2da., (la más rígida) seria tangente a la curva indiferencia inicial en un punto S (a la derecha del 2do. equilibrio F pero a la izquierda del 1ro. E); es decir que la merma del bien X puede ser así separada en dos partes: efecto renta (por el subsidio que lo traslada de F a S); y el resto es el efecto sustitución (vieja ley de la demanda de Marshall desde S a E) En S tenemos la demanda compensada de X(más rígida, supuestamente); en F su verdadera demanda "ordinaria" (más elástica, en la realidad). 3°) Esas mermas F a S y S a E pueden ser medidas en la abscisa si calculamos las coordenada de S: en S son tangentes la 3er. RP y la 1er. C.I.; al ser tangentes sus pendientes son iguales. Si las calculamos e igualamos podremos despejar y calcular X.: Expresamos las ecuaciones de ambas curvas o líneas despejando Y en ambas: la C.I. tiene una función U=2XY (o bien Y= 100/2X. o bien Y = 50X a la -1... según calculamos la constante U en el 1er. equilibrio...) La 3er. RP no la conocemos por ahora, pero sabemos que es paralela a la 2da. RP (aquí 8X+10Y=100$ o bien Y = -0,8X +10...) Las pendientes de c/u son su primer derivada: -50/X2 o -50X ala -2 y... -0,8 respectivamente. Igualamos pendientes y despejamos X= 7,9 resolviendo la cuadrática (X = -b+y- raíz b2 -4ac /2a....interesa el valor positivo) 333 La cantidad en E era X=10; en F es X=6,3; la merma de X fue 3,7 que podemos dividir en dos partes ahora que ya calculamos la coordenada de S como X=7,9 (e Y=6,3...): 7,9 - 6,3 = -1,6 por efecto renta o subsidio que llevo F a S; además 10 - 7,9 = -2,1 por efecto sustitución o parte no explicada por el efecto renta. Sumando ambas mermas tenemos el efecto total o precio de aquella suba de Px. 1,6 + 2,1 = 3,7 de caída en la demanda de X. Un gráfico similar está en el site, punto 6-teorias, pag. 39; Otro ejercicio similar según Hicks está en "Micro con Excel", cap.6. en "Efecto Renta y Sustitución según Hicks"... 4°) Si quisiéramos saber cuánto subsidio se necesitaría comparamos la RP inicial y la RP final: antes era $5(X)+ $10(Y) =100$; ahora 8(X)+$10(Y) = $???: veamos: 8(7,9)+10(6.3) =$127...Entonces 127-100 = $27 de (supuesto) subsidio necesario. SEGÚN SLUTZKY: Explicó años antes, en 1915, esto mismo, pero utilizando una novedosa ecuación, algo complicada, pero aparentemente útil para clasificar a los bienes según las elasticidades; también permitiría dividir ambos efectos, aunque nosotros debemos medirlos y comparar si realmente es igual o no que con esto según Hicks. Pero la veremos luego de repasar equilibrio, aunque ahora con la función combinada de LaGrange (y observar cual es el significado económico de su variable artificial landa (como UMg del dinero de ese presupuesto!). El efecto sustitución y renta fueron diferenciados en dos términos: el primero mide la caída de demanda considerando la utilidad marginal del dinero constante (con - λ ); el segundo la caída ponderando por lo gastado en el bien cuyo precio cambió. EFECTO DEL CAMBIO DEL PRECIO DEL BIEN X SOBRE LA DEMANDA DEL BIEN X: Conviene escribirlo en el orden del lenguaje matemático, tal como si fuera una derivada o cociente incremental (si cambia el denominador ¿cuánto cambiaría el numerador?): dX / dPx = - λ ( ∆xx / H) -X( ∆λx / H) = = 1 (-36/112) - 6 (-14/112) = 0,4 La ecuación expone que si sube el Px caerá la demanda de X por doble motivo: por el cambio de precio y por la inflación: dos términos, cuyo resultado es, efecto sustitución puro ( -0.3) y efecto renta (0.8), totalizando +0.4; por lo que el bien X es atípico, algo inelástico respecto a su precio, según su demanda ordinaria. Aunque el -0,3 de su demanda compensada del efecto renta indicaba que era típico X es tipo Giffen (como el pan; además, el término -14/112 negativo indica que X es un bien inferior): en los bienes Giffen el efecto renta supera al efecto sustitución. Cada elemento del Hessiano tiene un adjunto, o menor complementario, conformado con las demás filas y columnas. Excel calcula los adjuntos necesarios ∆11, ∆31, ∆12, ∆32, ∆21, ∆31, ∆32 como se muestra en D11, pero es necesario complementarlos con la regla de los signos para este análisis: anteponer un signo menos a los adjunto impares D12, D32 y D21. 334 El cálculo manual de un adjunto D11 =(-4)(0) – (6)(6) = -36 (cuando los subíndices suman impar se les antepone un signo menos (-) según Cramer. EFECTO DEL CAMBIO DEL PRECIO DE X SOBRE LA DEMANDA DEL BIEN Y: dY / dPx = - λ ( ∆12 / H) - 6 (∆32 / H) = = 1 (6 / 112) - 6 (21 / 112) = 0.05 - 1.1 = -1 si sube el precio de X compraría menos X (se compra más por ser Giffen) y menos Y (-1 <0); Y es complementario de X; el término 21/112 positivo indica que Y es un bien normal (carne). EFECTO DEL CAMBIO DEL PRECIO DE Y SOBRE LA DEMANDA DE X: dX / dPy = - λ (∆21 / H) -X (∆31 / H) = = 1 (6 / 112) - 1 (-12 / 112) = 0.05 + .013 = 0,18 si sube el precio de Y se compra menos bien Y pero más X; X es sustituto de Y (pan sustituto de carne). EFECTO DEL CAMBIO DEL PRECIO DE Y SOBRE LA DEMANDA DE Y: dY / dPy = - λ (∆22 / H) -Y(∆32 /H) = = 1 (-1 / 112) - 1 (21 / 112) = -0.01 - 0.18 = -0,2 cuando sube el precio de Y se compra menos Y (bien típico, con demanda muy inelástica); el efecto sustitución puro siempre es negativo (-0,01); el cociente 21/112 positivo indica que Y es un bien normal no suntuario; la demanda compensada del efecto renta caería muy poco, solo en la proporción -0,01, pero la demanda ordinaria cae según -0,2. Determinante Hessiano con las segundas derivadas: H = = + 1.6 (>0) con el mismo cálculo práctico para las dos teorías (Marshall y Pareto), ya sea con ecuaciones diferenciales, con LaGrange, o con la programación Solver no lineal en este caso (no obstante que una use el modelo sicológico de la utilidad marginal y otra el modelo geométrico de las curvas de indiferencia). DETERMINANTES Sin limitaciones de orden, Excel calcula estos determinantes, simplemente anotando en una celda “=mdeterm(A1:C3)” como se ve en la imagen (reemplazando antes λ = 1,75): EJERCICIO 2) Siendo la función de utilidad U= X 1X2², 335 Px1= 20. 7 Px2= 25. Y= 500. Hallar el efecto sustitución e ingreso. FOC) Condición necesaria para máximos en la función de LaGrange. L= x1* x2² +l (20* x1+ 25*x2- 500). X2²+ 20l =0. X1*2*x2+ 25* l = 0 20* x1+ 25 x2 –500 = 0. 1,25 x2² +25l = 0. 1,25 x2² = 2x1*x2. 1,25 x2 =2x1. X2= 1,6* x1. 20 X1 +40 X1 –500= 0. X1= 8,33. X2= 13,33. L = -8,88. (landa) SOC) H = 20000, positivo, máxima utilidad y demanda de esas cantidades de X 1 y X2 (o X e Y…) Ecuación de Slutsky Efecto del cambio de Px sobre la demanda estudiada de X: dX /dPx = -uo (dX/dPx) - X*dX/dM (se usa uo como landa ) = - l * D 11 / H - X* D31/H = 8,88 * -625/20000 – 8,33* 250/20000. = - 0,275 – 0,104. =- 0,379. Bien normal (efecto renta negativo sobre la cantidad demandada al subir el precio y disminuir el ingreso real) y típico dado que el efecto total es negativo. La demanda ordinaria de X baja 0.379 si sube el precio Px (X es un bien típico) , pero la demanda compensada solo caería 0.275 (si un supuestos subsidio le compensas del efecto renta) Efecto del cambio de Px sobre la demanda estudiada de Y: dydpx = -uo (dy/dpx) - x( d y/dm) = -l * D 12 /H - X* D31 /H = 8,88* (500)/20000 – 8,33*(-533,4)/ 20000. = 0,222 + 0,222 = 0.444. (Y es un bien inferior, efecto renta positivo). Son bienes sustitutos. Efecto del cambio de Py sobre la demanda estudiada de X 336 Dx/dy = -uo d x/dpy - y ( d x/dm) = -l * D 21 /H - X* D31 /H = 8,88* (500)/20000 – 13,33* 250/20000. =0,222 - 0,16; =0,062 (1 ) Efecto del cambio de Py sobre la demanda estudiada de Y Dy/dpy = -uo (dy/dpy) - y (d y/dm) = -l * D 22/H - X* D31/H =8,88 * (-400)/20000 – 13,33*(-533,4)/20000. =-0,177 + 0,35 = 0,173. Y no es un bien típico. Es atípico de la paradoja Giffen y también es un bien inferior (según el último cociente negativo): en los bienes Giffen el efecto renta absorbe /supera /es mayor que el efecto sustitución. Según (1), este valor (0,062) indica que no hay simetría entre los bienes. Por ser y un bien giffen, al aumentar su precio la cantidad demandada sube. También aumenta la cantidad demandada de x (0,062 mayor que 0), por lo tanto son complementarios. Como resumen del tema elasticidad y demanda: recurrimos a la Función combinada de LaGrange (en nuestro caso en particular para máximos). La combinada requería dos pasos: igualar a cero las derivadas parciales y luego ver que el Hessiano fuera positivo, para garantizar un máximo de utilidad con esas demandas de bienes. Este método matemático alternativo al anterior usado por Marshall, permitía calcular además la utilidad marginal del dinero de este presupuesto (como la derivada de una tercer variable auxiliar inventada). Una vez obtenidos los valores que nos permiten posicionarnos en la máxima utilidad, decidimos continuar nuestro desarrollo con la ecuación de Slutzky, que es aquella que agrega el análisis del efecto inflación (efecto renta), cosa que antes no se había tenido en cuenta. Pero previo a detallar la utilización de la ecuación de Slutzky, cabe mencionar que la separación en efecto renta y efecto sustitución dentro del efecto total fue también estudiada por Hicks. Hicks parte de Pareto (curvas de indiferencia) y desarrolla gráficamente los efectos de la compleja ecuación de Slutzky. Al cambiar un precio la nueva recta de presupuesto mostraba el segundo equilibrio y nuevas demandas. Luego, con un supuesto subsidio surgiría una tercer recta de presupuesta (RP) tangente a la curva de indiferencia (c.i.) inicial, en S distinto de E. Sus coordenadas permiten separar la caída total de demanda de X en el efecto Renta (subsidio) y el resto efecto sustitución (o ley de la demanda); también calcular así la demanda compensada (subsidiada) y la demanda total. Los gustos hacen que el nuevo equilibrio implique más, igual o menos del otro bien; y calificarlos en bienes sustitutos, independientes o complementarios. En 1915 Slutzky prestó atención al efecto de la inflación sobre la demanda aunque lo hizo en forma analítica, en lugar de grafica como haría Hicks. Este matemático descompuso el efecto del cambio de un precio (denominador) sobre la cantidad estudiada (numerador), en dos términos, considerando en uno la utilidad marginal del dinero (el landa de LaGrange) y en el otro la cantidad gastada en el bien que cambió de precio. Así calculó la demanda compensada (subsidiada) y la total. Tras desarrollar el cálculo de los 4 efectos por variación de ambos precios sobre ambos productos, hemos notado que la ecuación ilustra (al menos teóricamente) sobre las elasticidades precio, renta y cruzada para clasificar a los bienes; y explica mejor el gran efecto renta que convierte a los bienes Giffen con demanda anómala. 337 Pese a ello, podemos concluir que no se justifica tal desarrollo ya que resulta tedioso su cálculo y no vemos claramente su utilización practica y concreta en la empresa, resulta más sencillo, veloz y útil recurrir a funciones de Excel que nos permiten calcular al instante las elasticidades, incluyendo la elasticidad media o promedio. EFECTO INGRESO-SUSTITUCIÓN SEGÚN HICKS A) EQUILIBRIO DEL CONSUMIDOR Supóngase un consumidor con gustos U=Y(X+5) y presupuesto M=Px(X) +Py(Y)= $110; en el mercado los precios son Px=$2 y Py=$1. Las relaciones necesarias están indicadas en la hoja, en A1 hasta A12. EN A7 y A8 se calculan las derivadas pero anotándolas como fórmulas: en A7 irá =A2 (tal como indican las referencias de la columna B) y en A8 irá =A1+5; en A9 el cociente A7/A8; en A10 irá A5/A5; en A11 irá 2*A1+10; en A12 irá A4*A1+A5*A2. El equilibrio inicial se calcula con Herramientas > Solver > poniendo como celda objetivo maximizar la utilidad A3; celdas cambiantes A1:A2 (las cantidades de bien X e Y). Como "Sujeto a las relaciones" se anota que el cociente de las primeras derivadas sea igual al cociente de los precios del mercado (A9=A10) y que el presupuesto sea igual a 110 (A12=A6). Con Resolver y Aceptar Solver calcula la máxima utilidad 1800 unidades ordinales, así como la demanda de ambos bienes: X=25 unidades e Y=60 unidades. Excel también ayuda en la gráfica necesaria: en D1 hasta F15 se repite: la variable X (abscisa) y las ordenadas, que se reescriben como funciones: de utilidad (Y=U/(X+5)) y de presupuesto (Y=M/Py -Px/Py(X)). Conviene elegir el rango con incrementos en 4 para que sea un gráfico visible: en D2 y D3 se anota X=1 y X=5 y se copian las dos funciones en la línea 3. Se pinta las 6 celdas y se arrastra hacia abajo la esquina inferior derecha. 338 Pintando el rango D2:F15 se pulsa en el icono de gráficos > Dispersión > etc. Y para que el gráfico sea bien visible conviene activarlo (picarlo) de modo que recuadre el rango de datos: así se podrá arrastrar este rango achicándolo algo hasta que queden las líneas bien visibles (como en esta imagen). B) CAMBIO EN EL PRECIO DEL BIEN X Suponiendo luego un aumento a Px=$5,10 y las demás condiciones constantes, se recalcula el equilibrio según a), simplemente cambiando ese precio y volviendo a ejecutar Solver. Bajo los nuevos precios relativos la utilidad total pasa a ser U=900 y la demanda son X=8,28 e Y=67,8. Subió el precio de X, se consume menos de X, pero más de Y (Y sustituye a X); y hay menor utilidad total. Antes la demanda de X era 25, ahora solo 8,3. Esta reducción de 16,7 unidades se explica según Hicks por dos motivos: no solo por la vieja ley de la demanda de Marshall (efecto sustitución), sino también por el efecto renta (o deterioro del poder adquisitivo, por inflación) C) SEPARACIÓN DE EFECTO RENTA Y SUSTITUCIÓN Para calcular cuánto es cada efecto en esa disminución de X Hicks supone un imaginario subsidio al consumidor que le permitiera volver a la curva de indiferencia inicial U=1800. La recta de presupuesto imaginaria tocaría al curva U=1800 en un punto S, distinto del equilibrio inicial E. Las coordenadas de este punto S se pueden calcular igualando las pendientes de la curva de indiferencia inicial con la pendiente de la recta de presupuesto imaginaria. 339 Las pendientes (cateto opuesto sobre cateto adyacente) se pueden calcular como las primeras derivadas de cada línea: curva de indiferencia inicial U=Y(X=5)=1800, o bien Y=1800/(X+5), que tiene como derivada: Y'=1800(X+5)-2. La recta de presupuesto imaginaria (todavía no calculada) es paralela a la segunda recta (bajo la situación B): M=5.1(X) + 1(Y)=110, o bien Y=110/5.1 -5.1X; su pendiente es Y'= -5,1. Igualando pendientes -5.1 = -1800/(X+5)2 y resolviendo esta cuadrática surgirán las coordenadas de S, en particular X=13.8, que permite dividir la diferencia entre la demanda inicial y posterior de X en dos partes: en A) era X=25; en B) era X=8,28. Desde 8.28 hasta 13.8 hay 5,5 de disminución por efecto renta; desde13.8 hasta 25 hay 11,2 de disminución de demanda por efecto sustitución. 340 FUNCIÓN COMBINADA DE LAGRANGE Supóngase un consumidor con la siguiente función de gustos: U= 28X +28Y - 2X2 -3XY -2Y2, un presupuesto M=$12 y precios en el mercado Px=$1, Py=$6. LaGrange conforma una función combinada "L", compuesta de la suma de dos términos: uno la función U; el otro la restricción de presupuesto multiplicada por una variable auxiliar λ(Px(X)+Py(Y)-M), entonces: L= 28X +28Y - 2X2 -3XY -2Y2 + λ(1X +6Y -12) a) La primera condición será ubicarse en un punto de giro de la función, igualando a cero las primeras derivadas de L; la segunda será averiguar si es un punto de inflexión, de máximo o de mínimo, según que el Hessiano H sea nulo, positivo o negativo. Las primeras derivadas de L son : L' x 28 4X 3Y λ 0 L' y 28 - 3X - 4Y 6λ 0 L X 6Y - 12 0 Igualamos el término en λ de las dos primeras multiplicando la primera por 6, quedando 168 -24X -18Y = 28 -3X -4Y; o sea, Y= 10 -3/2X. (#) Reemplazando esta relación (#) en la tercer derivada se obtiene X + 6(10 +3/2X) = 12, de donde surge X=6; y por consiguiente Y= 1 según (#). SIGNIFICADO Y VALOR DE λ: Según L'x es: 28 -4(6) -3(1) = - λ; o sea, - λ = 1 (o λ = -1) Se interpreta λ como la utilidad marginal de dinero de este presupuesto, ya que gastando un peso más en los bienes la utilidad total variaría en -1. Por ejemplo, si el peso se gasta en consumir una unidad más de X la utilidad total sería lo que indica la función U con X=7 (en vez de los 6 iniciales), e Y=1 y totalizaría 103 en vez de 104 inicialmente (ya que X es un bien inferior, cae la utilidad total). b) L"xx " H = L yx L" x La Segunda condición es conformar el Hessiano con las derivadas segundas: L"xy L"yy L"x L"y L" y L" 4 3 1 3 1 4 6 6 0 Excel calcula este determinan con solo anotarlo y en D2 escribir "=mdeterm(A1:C3)" y pulsar Enter. 341 (para estas anotaciones resulta cómodo disponer de caracteres griegos, disponibles en el Microsoft Office, insertando los símbolos deseados, λ ∆ μ β δ Σ δ ε ...). GENERALIZACIÓN DE LA TEORIA NEOCLÁSICA de 2 a“N” VARIABLES a) LA DUALIDAD No fue el primero, pero por ejemplo, François Quesnay escribió en el Tableau Economique de 1758 sobre la idea de circularidad de las actividades (entre “producción -distribución de salarios y rentas – consumo”) y la idea continuó presente en los textos económicos posteriores. En 1938 H. Hotelling y Wold detallaron sobre la identidad del acto económico visto como un primal pero también como dual, considerando la unicidad de la visión del vendedor y la del comprador. La teoría neoclásica posterior hizo un amplio uso de las matemáticas, centrándose en el análisis de ambos aspecto de un mismo acto económico, el Primal (como en los máximos) y su equivalente el dual (como en los mínimos costos para esa misma producción), pero sobre la base de casos con solo dos variables: re-expresaron al menos unas 20 relaciones que se pueden obtener reconsiderando el primal y el dual, aprovechando el carácter tautológico de la matemática y su fácil identificación al utilizar solo dos variables (identidad de Hotelling-Wold, identidad de Roy, lema de Shephard, utilidad directa, utilidad indirecta, demanda ordinaria y compensada, ecuación de Slutsky, etc a partir de la reemplazos de expresiones derivadas con la función combinada de Lagrange, …las cuales luego se generalizaron mediante las condiciones Kuhn-Tucker desde este análisis hacia el Simplex con Solver multivariante (que es lo que nos interesa hoy prácticamente, ya que permite observar en sus presentaciones matriciales de resultados tanto los valores del primal como los precios sobra de ese dual). Esta profusión de replanteos con dos variables no fue solo por capricho expositivo (hubo algo de ello, así como para ocultar fines comerciales espurios /fraudulentos) sino sobre todo para allanar el camino desde los años 1950 hacia el álgebra de matrices y hacia la programación lineal Simplex, apuntando a generalizar la optimización con muchas variables, que es lo real en las empresas y nos ocupa en esta asignatura (aunque con nada de eso de infinitas variables…). Utilizaron varios enfoques alternativos del cálculo diferencial (como las derivadas parciales, los diferenciales totales y la regla de la cadena), pero recurriendo preferentemente a la función combinada de Lagrange, debido a que permite ir agregando operadores auxiliares para sucesivas variables (landa 1, landa2, λ3 , λ4, etc.), lo cual fue un gran avance en los años1950 cuando todavía no había PC… y aún hoy nos ayudan a interpretar las fáciles presentaciones del Simplex con Solver o de matrices de Excel sobre el primal y el dual de un mismo caso (ejemplos de 2x2, similares a otros de 20x20, cuatrocientas variables con Excel, tanto en sistemas cuadrados o no cuadrados y lineales o no lineales… con poco más que copiar, pegar y tildar … aunque por supuesto, con un posterior control y verificación mediante otros utilitarios, aquí disponibles y explicados para ustedes en PC pero que no tenían esos maestros clásicos, siempre limitados a sus dos variables según podían calcular manualmente; esto también es muy importante: ¿como harían los clásicos o uds.en la empresa para controlar un sistema de 10x10 a lápiz?). b) FUNCION DIRECTA E INDIRECTA DE UTILIDAD La teoría del consumidor con dos variables busca maximizar un sistema de ecuaciones sujeto a restricción; por cualquier método actual o clásico siempre se trata de casos sobre optimizar como en: Max U(X,Y) s.a. Px(X) + Py(Y) <= R 342 Siendo U(X,Y) la función directa de utilidad (dependiente de cantidades de bienes . y una restricción de presupuesto. Su dual consiste en minimizar el gasto para conseguir ese mismo nivel de utilidad y consumo de ambos bienes: como función objetivo ahora es un presupuesto y en “sujeto a” la restricción es aquel nivel concreto de utilidad y demanda de bienes dados: Min Px(X) + Py(Y) s.a. U(X,Y) >= U* Entonces, si los gustos, la renta y los precios del mercado son los mismo en ambos planteos es evidente que la solución implica valores coincidentes. Una visión observa que la función directa de utilidad representa las distintas canastas de bienes físicos X e Y que se pueden consumir según sean los gustos y la renta disponible del agente. Se supone que es una función continua, diferenciable y representada por curvas de indiferencia convexas al origen. Por ejemplo, si U = 10XY, con Px=$2, Py = $1, R= $10, se puede determinar el equilibrio. Si se cuantifican X e Y es posible calcular el nivel de unidades de utilidad total (cardinal, según Marshall; ordinal según Pareto, siguiendo ambos la ley 2 de Gossen): a) 10X / 10Y = 2/1… o sea 10Y = 20X… o bien Y = 2X # o relación de intercambio b) s.a. 2(X) + 1(Y) = 10…. Pero según # es 4X = 10 … X = 2,5… y según # Y = 5; concluyendo que U = 10(2,5)5 = 125 u.u. cardinal en Marshall (ordinal en Pareto) Sin embargo, si no se cuantifica esta función de utilidad también es posible realizar transformaciones y llegar a obtener la función de demanda ordinaria o marshalliana con el mismo método de Gossen (en forma genérica y/o numérica): a) U‟x / U‟y = Px / Py …..o sea, 10X / 10Y = Px/Py….. con Y = X(Px/Py) la relacion de intercambio # . b) s.a. Px(X)+ Py(Y) = R… que reemplazando por # permite obtener Px(X) + Py(Px/Py = R…. o sea, 2Px(X) = R … o bien Px = R /2X (idem para Py =), que es la demanda ordinaria (marshallinana) de X o de Y, conocida como identidad de Hotteing-Wold. Igualmente si se utiliza la función combinada de Lagrange, L = U(X,Y) + λ(PxX + PyY –R) Debiendo cumplir las c.p.o. (y las c.s.o., o el s.a.: el hessiano positivo para máximos y negativo para mínimos). Las c.p.o. son L‟x = 0 L‟y = 0 L‟λ = 0 Despejando λ en las dos primeras derivadas parciales surge la relación de intercambio #, que reemplazada en la tercera derivada parcial permite calcular las cantidades de X y de Y. Si embargo, si no se cuantifica también se puede despejar la relación de los precios normalizados con la renta (en proporción con la renta) y reemplazar en la tercera derivada para obtener la función de las demandadas ordinarias, Px = M/2X , y/o Py = M/2Y, que es la identidad de Hotelling-Wold. FUNCION INDIRECTA DE UTILIDAD Reemplazando esas funciones de demanda ordinaria o marshalliana en la función directa de utilidad se puede obtener la función indirecta de utilidad V(Px, Py, R), cuyo máximo se calcula mediante una función objetivo y el s.a. en las condiciones anteriores, aunque ahora expresando la función en términos de precios de mercado Px y Py y no de cantidades genéricas de bienes X e Y: Una situación con U(X,Y, R*) conduce a U* = 10(R/2Px) (R/2Py) = = 10(10/2(2)) + (10/ 2(1)) 0 10(10/2)(10/2) = 125 u.u. que es la identidad de René Roy. 343 c) DEMANDA ORDINARIA Y DEMANDA COMPENSADA Sin embargo, las funciones de demanda obtenibles en ambos planteos anteriores son diferentes: desde el primal se pueden despejar funciones de demanda ordinarias (marshallianas) , mientras que desde el dual se despejan funciones de demanda compensadas (o de Hicks, que hacen referencia a las relaciones que guardan en el planteo según la ecuación de Slutsky, como en el caso de una variación en los precios compensada por ejemplo con un subsidio, que permita volver a la utilidad inicial) FUNCION DE GASTO El dual anterior L = PxX + PyY + λ(U(X,Y) – U*) tiene c.p.o que permite obtener las demanda compensadas: X = gx(Px, Py, U*), e Y = gy(Px, Py, U*) sustituyendo en el presupuesto por las demandas compensadas resulta: G(Px, Py, U*) = Px gx(Px, Py, U*) + Py gy(Px, Py, U*) Desde la función de gasto también es posible calcular las derivadas parciales respecto al precio de cada bien y obtener las funciones de demanda compensadas de ambos bienes. LEMA DE SHEPHARD Esto según Shephard: el dual es el mínimo gasto para obtener la utilidad del primal y su lema afirma que la demanda compensada (hicksiana) se obtiene derivando la función de gasto ante un precio: Min Px(X) +Py(Y) s.a. U(X,Y, 125) a) Px(x) + Py(Y) = 10 es la función de gasto, con s. a. la restricción de utilidad, que era: b) 10XY = 125 o sea, = 2(2,5) + 1(5) = $10… dualidad o mínimo gasto para obtener aquella utilidad inicial. Shephard observa que la derivada de la función de gasto ante los precios es la demanda compensada (de Hicks); y Hicks había explicado en 1938 el efecto sustitución y el efecto renta (que identificó la ecuación de Slutsky en 1915) separándolos: un supuesto subsidio para volver a la curva de indiferencia inicial representaba el efecto renta, y ya sobre la c.i. inicial la diferencia restante hasta la canasta inicial era el efecto sustitución (esta derivada de la función de gasto es la demanda compensada conteniendo ambos efectos). d) MERCANCIA COMPUESTA: Para poder modelar usando solo dos variables (no tenían PC) Marshall, Pareto, Hicks, Samuelson, etc. identificaban un bien X y luego, para todo el conjunto del resto suponían un promedio ponderado de todos los demás bienes como el otro bien Y (les era muy fácil calcularlo, total solo lo suponían …axiomáticamente, sin tener que calcularlo efectivamente en alguna empresa con muchos item ). Alegaban que si uno quisiera estudiar otro bien en vez de X podría ir identificando uno a uno a los demás bienes (uno a uno….pero hoy sabemos que este cálculo uno a uno es solo una aproximación de trabajo no optimizante cuando no se tenían PC). Ahora optimizamos haciendo el calculo “simultáneamente”, para cientos o algunos miles de variables…tal como en nuestros ejemplos sobre mesas y sillas o con autos y motos del ejemplo Rio Kilombero…mediante Simplex/Solver y con matrices… y para 4 igual que para 400 ó 1700 variables simultáneas) 344 O sea que, con estos actuales recursos computacionales de optimización se ha revitalizado la mayor parte de la teoría neoclásica para la empresa. Pero entiéndase bien y muy claramente, solo para la empresa en el ámbito doméstico de los países; nunca para el equilibrio general (de un país) ni para el comercio internacional como se intenta imponer en forma no científica y peligrosa. CONVEXIDAD Este concepto geométrico es una simplificación teórica, pensando en la gráfica paretiana de solo dos variables, para disponer de continuidad en las relaciones de sustitución de bienes o de factores, así como un solo punto de equilibrio por tangencia de la curva de indiferencia con la recta de presupuesto, sin saltos por discontinuidades, varios equilibrios, etc. e) CONDICIONES KHUN-TUCKER Estos matemáticos buscaron ampliar las condiciones algebraicas necesarias y suficientes de los sistemas de 2 variables hacia los sistemas con más variables. Según sean los análisis los sistemas requieren cumplir determinadas condiciones para modelizar situaciones con alguna solución concreta (funciones homogéneas, continuas, convexas, sistemas determinados con similar cantidad de variables y funciones, no nulos, etc). Interesa en particular que los sistemas deben ser determinados y no nulos, de modo que si se pueden presentar cumpliendo las c.p.o. y las c.s.o. entonces esta garantizado que habrá al menos una solución concreta (puede haber más de una solución optimizante equivalentes, por ejemplo cuando la función objetivo tenga la misma pendiente que alguna restricción en el método gráfico). Los sistemas corresponden a coeficientes de variables reales más coeficientes de variables de restricciones; no necesariamente cuadrados del tipo 2x2, etc. Por ejemplo, al optimizar la producción de mesas y sillas o la de sofás con la condición de juegos con dos simples cada uno triple: además de la restricción de presupuesto y/o las disponibilidades se le agrega por esta restricción del juego de muebles una ecuación del tipo 1 triple = 2 simples, o sea 1 T – 2 S = 0 en su forma homogénea. TEOREMA DE LA ENVOLVENTE Hace referencia al rango o grado de sensibilidad dentro del cual, ante cambios de precios, se mantienen las soluciones para cada codo de la frontera de posibilidades en el método gráfico y/o su equivalente en el Simplex. Una variación infinitesimal en los precios sobre la función indirecta de utilidad desde el dual muestra según la derivada de este lagrangiano que no hay cambios en el nivel de utilidad. f) NADA DE EQUILIBRIO GENERAL: Esa parafernalia simbólica /axiomática /teórica/y algorítmica también les fue útil a algunos para pretender demostrar la eficiencia y equidad de este modelo o sistema como para representar a las economías nacionales. Pero nunca hubo (ni habrá) modelos para computación suficientemente amplios como para funcionar como piloto automático; y además porque las funciones representan decisiones humanas (de oferta, demanda, etc) que implican incertidumbre y las expectativas que condicionan las decisiones son muy cambiantes o inestables (in modelables). TEOREMA DEL PUNTO FIJO Esta metáfora es solo un concepto de lo obvio: si un mercado funcionó durante tiempo con precios y cantidades normales es obvio inferirlos como de su equilibrio; pero extender esta metáfora hasta el equilibrio macroeconómicos e internacional parece menos obvio. H. F. Sonneschein criticó los dos teoremas del bienestar según Arrow, porque en su modelo y recurrencia al punto fijo, no existe un equilibrio general ni tampoco es este estable: las funciones de 345 demanda, oferta y otras pueden tener cualquier forma (lineal, logística, u otras) y pueden conducir o no a equilibrios, o a múltiples equilibrios; tampoco es entonces cierto que el equilibrio competitivo según Arrow sea estable (no a la existencia y no a la estabilidad de Arrow). g) NADA DE EQUILIBRIO INTERNACIONAL Comercio internacional: el modelo de Pareto pretende ser un modelo eficiente y justo o equitativo socialmente, porque implicaría la supuesta atomicidad, homogeneidad y transparencia de la competencia perfecta, y además se supone un estado fuerte que controle las externalidades negativas de los monopolios. Entonces con esos dos supuestos demuestran mediante la Caja de Edgeworth (Ysidro), que dicen que también cumple las condiciones del equilibrio de Pareto. Pero es falso, ya que así solo demuestran la “supuesta” eficiencia paretiana, aunque nunca dicen nada de la equidad del comercio y/o relaciones internacionales (lo de “supuesta”, es aquí porque además trabajan con solo 2 variables…y hay un gran y demasiado camino como para homologar esto con la optimización del algebra de matrices o la programación lineal multivariante). No es cierto su lema de este criterio paretiano de bienestar: “algo es bueno si uno mejora y nadie empeora”. Ello no es cierto, ya que al cambiar las dotaciones finales entre ambos agentes, solo uno se queda con los recursos… y el otro con nada (tal como desean Chevron, Repsol, Total, etc con los energéticos de Loma de La Lata -equivalentes al PBI argentino de 24 años-, o Barrick Gold con el cobre y oro de Pascua Lama, también de magnitud mundial); o sea, es falso que nadie empeora… (y se sabe que además de eludir esas regalías, estas actividades suelen ocupar a 1 trabajador cada mil millones de dólares, frente a 10 ó 15 trabajadores en la mayoría de otras actividades y pymes; por esto suele haber reclamos sociales, por expoliación y por llevar al valor agregado a otros destinos) En cuanto al supuesto de la existencia de gobiernos fuertes que controlen las externalidades negativas de los monopolios, se han hecho referencias a la necesidad de alguna figura tipo Leviatán bíblico (diferente a los portaaviones atómicos), a la del subastador walrasiano para determinar el precio en cada mercado, al controlador de cada industria, los cuales ni existen en los mercados locales, ni coinciden con la idea de lo competitivo que en este modelo es afín a la de desregulado. Pero sobre todo, esa autoridad esta especialmente ausente en el ámbito del comercio y del equilibrio internacional, donde se imponen los intereses de las corporaciones y sus peculiares modos de negociación anticompetitiva (con y sin consenso de Washington e instituciones anticorrupción en el ámbito de las organizaciones internacionales). ECUACIÓN DE SLUTSKY J. Hicks explica en Valor y Capital, que cuando el consumidor pasa desde un equilibrio inicial E hacia otro final F consumiría menos de algún(os) bien(es) debido a un aumento de Px. Suponiendo un subsidio que le compensara este deterioro volvería a la utilidad inicial U1, pero consumiría ahora según una canasta S diferente a E: el subsidio trasladaría su recta de presupuesto mn2 hasta ser tangente con U1 en S (a diferencia de Slutsky, si la paralela a mn2 y pasara por E en vez de ser tangente sería secante a U1). 346 Calculando las coordenadas de S se obtendría una ordenada que dividiría en dos partes la pérdida de consumo de X entre E y F: a la izquierda el efecto renta (según el supuesto subsidio) y a la derecha el efecto sustitución o vieja ley de la demanda. La demanda compensada (efecto sustitución o perdida de X entre E y S)) según Hicks es algo diferente que según Slutsky, ya que la recta de presupuesto que pasara por E alcanzaría a una curva de utilidad U 3 superior. En la ecuación de Slutsky estos dos efectos se presentan en el segundo miembro con otro orden: primero el efecto sustitución y luego el efecto renta. Estos efectos sustitución y renta así separados en dos partes, se miden calculando la caída de demanda ponderando en un caso por la utilidad marginal del dinero constante (con - λ); y en el otro ponderando por lo gastado en el bien cuyo precio cambió. EFECTO DEL CAMBIO DEL PRECIO DEL BIEN X SOBRE LA DEMANDA DEL BIEN X: Conviene escribirlo en el orden del lenguaje matemático, tal como si fuera una derivada o cociente incremental (¿si cambia el denominador cuánto cambiaría el numerador?): dX / dPx = - λ ∆xx / H -X ∆λx / H = = 1 (-36/112) - 6 (-14/112) = 0,4 El pasaje desde la situación inicial hacia la final se explica con dos partes, cuyo resultado muestran: el efecto sustitución puro ( -0.3) y efecto renta (0.8), totalizando +0.4; por lo que el bien X es atípico, algo inelástico respecto a su precio, según su demanda ordinaria. Aunque el -0,3 de su demanda compensada del efecto renta indicaba que era típico, X es tipo Giffen (como el pan, sube su precio y su cantidad vendida); además, el factor -14/112 negativo indica que X es un bien inferior): en los bienes Giffen el efecto renta supera al efecto sustitución. PARADOJA GIFFEN En principio, todos los bienes son básicamente o en general típicos; pero algunos bienes pueden actuar ocasionalmente bajo la paradoja Giffen: aumenta su demanda no obstante aumentar su precio. La ecuación de Slutsky nos ayuda a interpretar esta observación: según sea el signo de sus dos términos, el efecto sustitución (ES, que es siempre negativo), al que se le resta el efecto renta (ER). 347 Si por alguna circunstancia este efecto renta fuera negativo (está restando) y es además grande o mayor que el ES, entonces el resultado final indicaría que la función de demanda del bien estudiado tendría pendiente positiva Paradoja: subiría el precio y también subiría el consumo de este bien; por ejemplo, porque un consumidor que depende de un alimento básico y viera subir su precio, compraría más para suplir cantidades de otros bienes que ya no pueda consumir conjuntamente. BIENES SUNTUARIOS Por otra parte, todos los bienes son normales para algunos niveles de ingreso, no obstante, puede haber bienes que para algún consumidor sean suntuarios, en función de su abundante dotación de ingresos: más allá de las comprobaciones estadísticas, en teoría, un bien sería suntuario si su elasticidad ingreso fuera mayor que uno: dXi /dY ( Y / Xi ) > 1. ADJUNTOS Cada elemento del Hessiano tiene un adjunto, o menor complementario, conformado con las demás filas y columnas. Excel calcula los adjuntos necesarios ∆11, ∆31, ∆12, ∆32, ∆21, ∆31, ∆32 como se muestra en D11, pero es necesario complementarlos con la regla de los signos para este análisis: anteponer un signo menos a los adjunto impares D12, D32 y D21. EFECTO DEL CAMBIO DEL PRECIO DE X SOBRE LA DEMANDA DEL BIEN Y: dY / dPx = - λ ∆12 / H - 6 ∆32 / H = = 1 (6 / 112) - 6 (21 / 112) = 0.05 - 1.1 = -1 si sube el precio de X compraría menos X (se compra más por ser Giffen) y menos Y (-1 <0); Y es complementario de X; el término 21/112 positivo indica que Y es un bien normal (carne). El efecto sustitución neto es positivo e indica que Y es sustituto de X, no obstante que el efecto total sea complementario bruto. EFECTO DEL CAMBIO DEL PRECIO DE Y SOBRE LA DEMANDA DE X: dX / dPy = - λ ∆21 / H -X ∆31 / H = = 1 (6 / 112) - 1 (-12 / 112) = 0.05 + .013 = 0,18 si sube el precio de Y se compra menos bien Y pero más X; X es sustituto de Y (pan sustituto de carne). Según el efecto sustitución neto positivo X es sustituto neto de Y; el efecto total también indica que es sustituto bruto. 348 EFECTO DEL CAMBIO DEL PRECIO DE Y SOBRE LA DEMANDA DE Y: dY / dPy = - λ ∆22 / H -Y∆32 /H = = 1 (-1 / 112) - 1 (21 / 112) = -0.01 - 0.18 = -0,2 cuando sube el precio de Y se compra menos Y (bien típico, con demanda muy inelástica); el efecto sustitución puro siempre es negativo (-0,01); el cociente 21/112 positivo indica que Y es un bien normal no suntuario; la demanda compensada del efecto renta caería muy poco, solo en la proporción -0,01, pero la demanda ordinaria cae según -0,2. DEDUCCION DE LA ECUACION DE SLUTSKY El conocimiento matemático acumulado a principios del siglo XX permitió explicar el equilibrio del consumidor (o cantidades demandadas de dos bienes) mediante la función combinada de LaGrange: L = función de utilidad + restricción de presupuesto (con sus dos condiciones: First order condition) o punto de giro, con primeras derivadas nulas; y Second o.c.) solo será un máximo si el determinante con las segundas derivadas es positivo). Sea un consumidor que maximiza la utilidad de demandar o consumir con U(x;y), sujeto a la restricción de agotar el gasto de su presupuesto según los precios en el mercado R=Px(X) +Py(Y). Su función combinada es: L = U(XY) + λ(R -PxX – PyY), creando una variable matemática auxiliar λ para la restricción. F.o.c.) L`x = 0 L´y = 0 L´λ = 0 o sea, Ux + λPx = 0 Uy – λPy = 0 R – PxX – PyY = 0 S.o.c.) El determinante hessiano es: H = Lxx´´ Lyx´´ L λx´´ Lxy´´ Lyy´´ L λy´´ Lxλ´´ Lyλ´´ L λλ´´ (los subíndices ya ilustran sobre las derivación primera y segunda, por lo que se omitirán los tildes) Considerando los precios del mercado y el presupuesto concreto, en vez de resolver el sistema de la F.o.c. por sustitución u otros, se calculará el diferencial total de estas expresiones simbólicas de la f.o.c., para estudiar luego los resultados: Uxx dx + Uxy dy – Px dλ – λdPx = 0 Uyx dx + Uyy dy – Py dλ + λdPy = 0 dR – Px dx – Py dy – XdPx –YdPy = 0 Dejando las incógnitas en el primer miembro se pasan los datos de las variaciones ocurridas al segundo: Uxx dx + Uxy dy – Px dλ = λdPx Uyx dx + Uyy dy – Py dλ = λdPy – Px dx – Py dy = dR – XdPx –YdPy (*) 349 Se expone este sistema en forma matricial y quedara: la matriz de coeficientes por el vector de las variables igual al vector columna de los términos independientes: ( Uxx ( Uyx ( -Px Uxy Uyy -Py -Px ) -Py ) 0 ) (X) (Y) (λ ) = ( λ dPx ) ( λ dPy ) ( dR + X dPx + Y dPy ) Para resolver este sistema por determinantes según Cramer y calcular sus tres incógnitas se hacen sendos cocientes de hessianos H /H, pero reemplazando en el del numerador la columna de la variable a resolver por los términos independientes. Resolvemos aquí solamente para X: ( λ dPx Uxy ( λ dPy Uyy dX = ( -dR +XdPx + YdPy -Py ---------------------------------------------------------H -Px ) -Py ) 0 ) = El determinante del numerador se resuelve, por ejemplo, agregándole las dos primeras filas, para sumar los productos de las diagonales descendentes y restarle los productos de las diagonales ascendentes. [λ dPx (Uyy) (0)] + [λ dPy ( -Py) ( -Px)] + [(-dR + X dPx + Y dPy ) (Uxy) ( -Py)] - [-Px (Uyy) ( -dR +X dPx +Y dPy)] -[-Py ( -Py) ) (λ dPx)] - [(0) (Ux λ) ( dPy)] = -------------------------------------------------------------------------------------H Simplificando y reordenando: -λ Py2 dPx + λ dPy Py Px + ( -dR + X dPx + Y dPy) ( Px Uxx – Uxy Py) dX = ---------------------------------------------------------------------------- = H Por otra parte, cada elemento del determinante orlado (hessiano H) contiene sendos determinantes adjuntos (o menores complementarios Dij) al eliminar los elementos de dicha fila y columna. Por lo que también se puede ver que ese numerador se puede expresar con adjuntos: λ Dxx dPx + λ Dyx dPy + Dλx ( -dR + XdPx + YdPy) dx = ------------------------------------------------------------------H (#) Ahora, interesa ver aquí (como ejemplo) el efecto directo de la variación del Px sobre la demanda de X (aunque también se puede estudiar el otro bien y los efectos cruzados): dX λ Dxx X Dλx ----- = ------- + -------Px H H (ya que el otro término desapareció por nulo para este caso) Es decir, = Efecto sustitución + Efecto Renta = Efecto total del cambio de ese precio. Falta ahora demostrar porque estos dos términos son así los efectos sustitución y renta: 350 a) El primer término de la ecuación de Slutsky es el efecto sustitución por lo siguiente: En el equilibrio paretiano es nulo el diferencial total para cualquier cambio de canasta sobre esa curva de indiferencia: U´x dX + U´y dY = 0 . También lo es nulo para cambios en la línea de presupuesto por ese punto: Px dx + Py dy = 0. Tangentes en ese punto de equilibrio, si se les simplifican los dx y dy en ambos, queda que la tasa marginal de sustitución entre bienes coincide con el cociente de precios relativos del mercado: TMS = Px /Py , conceptualmente; ( o bien, U´x /U´y = Px /Py en la forma diferencial) Observando la tercer línea del sistema (*) y el concepto del diferencial total nulo hacen que sea nulo el segundo miembro de (*), por lo cual también debe ser nulo el tercer término de (#). Además, si se está buscando el efecto del cambio de Px sobre la demanda de X también debe ser nulo el segundo término de (#), quedando solo el primero. Por otra parte, dX ) ---- ) = dPx )dU=0 λ Dxx ------H Si no tiene que variar la utilidad inicial ante el cambio del Px , este término que mide el efecto sustitución, se expresa en la forma diferencial (con el subíndice dU=0 ) y coincide con su medida en la forma matricial: b) El según término de la ecuación de Slutsky es el efecto renta por lo siguiente. El cambio de la cantidad demanda de X ante un cambio en la renta se expresa en la forma diferencial como dX /dR multiplicado por la cantidad de X. Al considerar esto en (#) todos los términos que no tiene dR son nulos y para explicar el efecto del cambio de la renta solo queda -Dλx / H, que se debe multiplicar por la cantidad demandada de X. Observaciones: Nuevamente está en este enfoque una simplificación a solo dos bienes. Varian y otros generalizan este enfoque axiomático a una cantidad n de bienes, en aquellas épocas en las que n no podía ser mayor a unas pocas variables calculables manualmente. Pero la informática permitiría medio siglo después concretar estas operaciones siendo n bastante mayor. Finalmente, además de los dos efectos directos y los dos cruzados, para clasificar a ambos bienes, también se ha utilizado el enfoque de la ecuación de Slutsky para analizar la oferta de trabajo (y explicar su evolución retroascendente ante aumentos considerables de salarios, debido a la mayor renta generada o efecto renta dotación). También se ha utilizado este análisis para estudiar el consumo a través del tiempo, o elección del consumo intertemporal, entre dos períodos, presente y futuro. 351 INDICES DE PRECIOS Y LOS INSTITUTOS DE ESTADISTICAS Y CENSOS (INDEC) En la práctica esta teoría de la ecuación de Slutsky no aporta mucho; su aporte fue mayormente conceptual; en la empresa se calcula la elasticidad mediante el análisis de la elasticidad media o promedio. Y para ver las preferencias esta teoría recurre a los cambios de la demanda que el INDEC informa sobre la canasta del costo de vida, precios mayorista y de la construcción, mediante sus índices de precios y cantidades. Más adelante se incluyò la teoría de los 12 índices de precios (y de cantidades), pero mayormente captar aquí este enfoque a través de solo los tres índices siguientes: interesa El índice de gasto, el de Laspayres y el de Paasche. G = ∑P1Q1 / ∑PoQo I. de Gasto (gasto actual / gasto base) I.de Laspayres L= ∑P1Qo /∑ PoQo (costo actual de la canasta base) I. de Paasche P = ∑P1Q1 / ∑PoQ1 (suba de precios ante el precio base) Ejemplo: supongamos datos de P y Q para el bien X y el bien Y en dos meses para esta canasta simplificada : Px Qx + Mes 1) $2 3 Mes 2) $4 5 G = 55/30 = 1,83; Py Qy $4 6 $5 7 L = 42/30 =1,4 P = 55/38 = 1,44; Puede afirmarse que existe una mejora del nivel de vida si P1X1 > P1Xo. Igualmente hay una mejora si G > L y si G > P……. Pero es indefinido si P > G > L…… o si L > G > P En este ejemplo resultó G > L … y G > P, por lo cual se registró una mejora del nivel de vida. En la práctica, los institutos de estadísticas como el INDEC suelen aplicar índices modificados, debido a la dificultad material de considerar índices que no distorsionen las comparaciones, según transcurren los años y los cambios en los precios y en los consumos dejan desactualizada la canasta base frente a la canasta actual. Por ejemplo, el índice de Laspayres L = P1X0 /P0X0 Laspayres mide la canasta base E a los precios actuales (mn 2). Suponiendo que sube el precio de X, la nueva recta de presupuesto pasa de man1 a mn2: el equilibrio y consumos pasan del E a F, en la curvas de indiferencia U1 y U2 respectivamente. Si se compensa la renta inicial P 0X0 por la suba de precios hasta volver a la canasta inicial, una línea de presupuesto sería paralela a mn 2 por el punto E inicial: P0X0 (P1X0 /P0X0) = P1X0 352 Pero esta línea de presupuesto sería tangente con una curva de consumo U 3 mayor que la utilidad inicial U1 , evidenciando que el índice de Laspayres sobrestima el consumo o bienestar (en la medida de la diferencia con la línea de presupuesto paralela que pasa por F 2, tangente a U1en una canasta distinta a E). Lo opuesto ocurre con el índice de Paasche P = P1X1 / P0X1 Paasche Mide la canasta actual F a los precios base (mn 1). Si la renta base P0X0 se compensa con este índice: P0X0 (P1X1 /P0X1) = canasta en F2 La línea de presupuesto paralela a mn 1 es tangente a U2 en F2, que es una canasta inferior a F: el índice de Paasche subestima los consumos o nivel de vida. Las modificaciones que introducen los institutos de censos a estos índices para medir el nivel o costo de vida, responden mayormente al gran costo que implica la medición de consumos de los años base, frente al menor gasto en las encuestas o mediciones mensuales de precios y cantidades; por lo que las bases se mantiene por 10 o más años (los censos económicos en los años terminados en 4, serían aprovechados aquí para estos cambios). 353 TEORÍA ESTADÍSTICA DE LOS NÚMEROS ÍNDICE Desde el punto de vista de la teoría estadística el análisis de los números índices es amplio. Siguiendo a F. Toranzos se exponen aquí los 12 índices, de precios y sus simultáneos 12 de cantidades. Unos tendrán sentido aplicándolos a algún problema específico, otros lo tendrán aplicados en casos diferentes. Como ejemplo, se supuso la realización de un estudio sobre la evolución del nivel de vida de algún sector de la población, caracterizado por el consumo de bienes importados. La primera tarea sería obtener la información. En el Instituto Indec se recopilan mensualmente muchos precios y cantidades de bienes, que utilizan para estimar consolidados sobre 1) Índices de precios al por menor; 2) Índice de precios mayoristas; 3) Índice del costo de la construcción; 4) estadísticas de importaciones mensuales; 5) estadísticas de exportaciones mensuales; 6) otros índices sectoriales diversos y también niveles de actividad del Producto Interno Bruto Nacional. Luego de averiguar cuales bienes importados serian representativos (con poca producción local) se definió un conjunto de 8 productos, conformado por bines de consumo perecedero (bananas y palmitos y diarios), bienes de consumo durables (sábanas, abrigos/camperas para mujer, lavarropas, aire acondicionado) y bienes de uso intermedio (PC y automóviles- en realidad, sus autopartes-). Para cada familia de productos se investigó cual era el bien particular con mayor volumen importado a fin de elegir aquel más importante de cada categoría, definiendo así 8 bienes, que INDEC y Aduana identifican con sendos números de nomenclador arancelario de 8 dígitos. Se adquirió una estadística anual con cantidades y valores importados en el quinquenio 1998/2002 para los 8 productos identificados por nomenclatura. Se volcaron luego a una hoja de cálculo las cantidades y los valores de cada bien. Una vez dispuestos los conjuntos de cifras encolumnados en la hoja de cálculo se procede a calcular los 12 índices de precios y los 12 de cantidades, así como las variaciones anuales, que permitirían emitir finalmente unas breves conclusiones económicas sobre lo observado y (cerrando este ejemplo) opinar cómo evolucionó la calidad, estándar o nivel de vida de este grupo argentinos (a juzgar por esta muestra tan limitada de solo 8 productos seleccionados) 1. Índice agregativo aritmético simple, de precios y de cantidades: 354 Este índice es algo primario y no posee la circularidad / reversibilidad de otros índices posteriores, Aun así, permite observar en este ejemplo algunas conclusiones económicas generales (deterioro en los consumos de este grupo social en 2001 y 2002 y que cuando los precios son altos baja el consumo y viceversa). El índice aritmético simple para precios tiene el inconveniente que pondera por los precios de todos los bienes, los cuales son aquí muy disímiles. En las conclusiones finales se hace referencia a este tema, al estudiar la evolución de los precios en dólares (solo visibles utilizando una escala logarítmica, para poder observar precios de centavos por unidad con otros de cientos de dólares por unidad). Igualmente el de cantidades, aquí muy disímiles. 2. Índice promedio aritmético de relativos: Estos índices tampoco ponderan la distinta magnitud absoluta de los diferentes bienes y/o la de sus precios, respectivamente. Además, estadísticamente no presentan la reversibilidad de otros índices: no es posible tener idea del valor y magnitud de los consumos (canastas) de 1998 y 2002 aplicando el índice de precios o el de cantidades sobre ambas bases, debido a que no pondera por los cambios de cantidades consumidas. No obstante, permiten ver las conclusiones generales que confirman otros índices más elaborados: precios altos en los años iniciales y bajos en 2002, junto con consumos deprimidos en este año 2002. 3. Índice promedio geométrico de relativos Estos índices tampoco ponderan la distinta magnitud absoluta de los precios y las cantidades de los distintos bienes (respectivamente disímiles en el conjunto de cada año). Sin embargo, es un índice reversible 355 y aplicándolo a precios y cantidades es posible reproducir los valores y consumos de otros períodos. Para el presente caso, permite observar las conclusiones generales que confirman los demás índices: baja de precios en 1999 y 2001, con una correspondiente suba de las cantidades consumidas (lo cual es razonable según la ley de la demanda). 4. Índice mediana de relativos Es un índice ordinal, pero tiene la ventaja de que no es afectado por los valores muy chicos (nulos o negativos) ni por los muy grandes. No tiene la circularidad de los índices reversibles, pero resulta útil para casos como el presente, en el cual tanto la canasta de bienes con los valores de los precios incluyen cifras muy altas junto con otras muy bajas para algunos bienes. Aplicado a precios y a cantidades confirma las conclusiones económicas generales: cierta baja de precios constantes (en dólares) y mayores consumo en los años 2000 y 2001 que en el inicio del período y en 2002. 5. Índice promedio aritmético ponderado de relativos Estos índices ponderan las magnitudes absolutas de precios y de cantidades, respectivamente, aunque estos índices se ven afectados por los valores muy grandes, distorsionando las conclusiones económicas en el presente caso (casi desaparece el consumo en 2002, exagerado la caída real producida). 356 6. Índice promedio geométrico ponderado de relativos Estos índices elevan la variación de precios o cantidades a la respectiva cantidad o precio y luego sacan la raíz del orden que compensa esos productos. Si bien es un índice ponderado, presenta el inconveniente de que resulta afectado por los valores muy chicos (y nulos o negativos); justamente en el presente caso surgen inconvenientes al aplicarlo a precios, ya que muestra valores nulos. Igualmente, también distorsiona las conclusiones al aplicarlo a cantidades, ya que subestima el consumo en 2002 (casi desaparece, lo cual es irreal: baja mucho pero no tanto; no desaparece totalmente). 7. Índice de Laspeyres Aplicado sobre precios, muestra la variación de precios actual ante la base multiplicada por el consumo base: sería como el costo actual de la canasta base... Sin embargo, no muestra así los cambios habidos en las canastas actuales frente a la base. Aunque se conozcan los precios actuales, si no se puede censar y no se conocen las cantidades actuales, este índice no resultaría adecuado. Estos índices de precios o de cantidades no son reversibles en el tiempo (por desconocer esas variaciones de las canastas actuales) El índice aplicado a precios muestra valores algo aumentados inicialmente, si bien confirma la tendencia a la baja de precios y consumos de cantidades altos en 2002-2001, frente a los años extremos, especialmente en 2002. 8. Índice de Paasche 357 El índice de Paasche muestra el valor de la canasta actual sobre la canasta actual a precios bases. Aplicado a precios sirve para indicar algo así como la variación del costo de vida o importe monetario de los consumos de hoy frente a los precios de la canasta vieja. Como no pondera los cambios de consumos no es perfecto; no es reversible en el tiempo. Orienta a concluir que los precios han bajado moderadamente mientras que las cantidades consumidas fueron altas en el bienio central 2000-2001. 9. Índice Ideal de Fisher, aplicado a precios y a cantidades Aplicado a precios muestra el valor de la canasta base a precios actuales sobre la canasta base a precios base, por la cantidad actual a aprecio actual sobre la cantidad actual por precios base (y recíprocamente para cantidades). Resulta ser así un promedio de aplicar Laspeyres y Paasche: la media geométrica del producto de ambos índices. Observando el resultado en este caso se aprecia que influye bastante el índice de Laspeyres. Este índice ideal de Fisher es reversible en el tiempo, ya que es un índice combinado de los dos anteriores: respeta el criterio de circularidad ya que aplicándolo resulta igual la canasta base por la variación de precios como la canasta actual por la variación de precios en ese período, consecuencia de la ponderación completa que utiliza. Este índice ideal es homogéneo y proporcional: respeta ambas características, aunque cambien las canastas o los relativos de precios (satisface las condiciones estadísticas referidas por F. Toranzos). En este ejemplo mostró una leve caída de precios en dólares junto con otra caída de consumos en 2002. 10. Índice de Edgeworth-Marshall para precios y cantidades 358 Aplicado a precios toma el precio actual por el promedio de la canasta base más la actual dividiendo esto por el precio base por similar promedio de canasta base más actual. Aplicado a cantidades usa el promedio de ambos precios por la cantidad actual dividiendo por ese promedio por la cantidad base. Mostró en este caso una leve caída de precios en dólares y una muy marcada caída de consumos en 2002 (coincide con la ley general observada sobre la demanda, salvo en 2002, ya que bajan los precios y también los consumos (orientando a explicar esta situación desde otro punto de vista, por el retroceso en los ingresos y producciones locales generalizadas durante ese año 2002). 11. Índice de Walch para precios y a cantidades Aplicado a precios muestra el precio actual por el promedio de la canasta base y actual dividido por el precio base por similar promedio de canasta base y actual. Implica conocer no solo los precios sino las cantidades actuales, lo cual define su aplicación para casos en los que se dispone de estos datos (no es el caso del Indec cuando elabora su índice de precios al por mayor, ya que los censos nacionales con cantidades producidas, consumidas, etc. no se hacen mensualmente sino cada 10 años; los años terminados en 4...). 12. Índice de Drovish-Bowley para precios y cantidades Resulta ser el promedio simple o aritmético de Laspeyres y Paasche. En nuestro caso, el valor de la canasta base es mayor que el de la canasta 2002, evidenciando que cayeron los consumos (un deterioro del nivel o estándar de vida, ante la paralización de producciones y merma de ingresos). 359 A modo de ejemplo de informe final sobre este análisis puede decirse que el estudio se refirió a la evolución del estándar o nivel de vida de un grupo social dado en 1998-2002. Se observaron variaciones en los precios y en las cantidades consumidas año a año. Los datos son originarios del Indec y la Administración Nacional de Aduanas, tanto en las canastas consumidas como los importes monetarios en pesos, los cuales se convirtieron a dólares utilizando el tipo de cambio vendedor Banco Nación. Si bien casi todos los índices confirman la ley de la demanda -bajos consumos en períodos de altos precios- los índices combinados de Fisher y otros muestran también una caída muy importante del consumo 2002, que se explicaría por la retracción general de la actividad nacional. a Adicionalmente se graficó la distribución anual de bienes consumidos, destacándose las franjas correspondientes 2000 y 2001 como las más amplias (mejores). 360 También se dispuso en otro gráfico la composición de la canasta de vida año por año, mostrando que se han mantenido (o aumentaron relativamente) las cantidades de productos perecederos (bananas, palmitos) en desmedro de otros productos durables cuyos consumos bajaron abruptamente. Finalmente, se graficó en escala logarítmica la evolución de precios absolutos en el quinquenio, observando tendencia a la baja en cinco de ellos y mantenimiento o leve alza en solo un bien. 361 CAPITULO 12 Naturaleza de la empresa Las empresas y los agentes en general pueden tener varios o diferentes objetivos simultáneos. Pero el objetivo básico de la empresa es maximizar el beneficio. En particular, M. Friedman ve que todos disponemos de recursos para uso propio o para ofrecerlos en relación de dependencia, según nos convenga la renta residual y sea la capacidad empresarial de cada uno (es decir que una empresa lo es cada uno). Problema de los incentivos Siempre “puede” haber intereses contrapuestos entre un principal y el cliente: empresa/cliente; empresa/trabajador... Friedman trata este tema de los incentivos a través de la metáfora de la zanahoria. Pero lo que interesa reconocer es que según el modelo de la competencia hay muchos agentes y muchos principales, por lo que se maximiza el beneficio y simultáneamente el bienestar general; mientras que en monopolio hay un oferente que impone su voluntad según sus intereses sobre los agentes. Entonces, el problema de los incentivos puede ser la opción de elegir entre alquiler de un campo o como aparcería, etc. y además del competencia y monopolio y sus excedentes del consumidor o productor también se verán diferentes desarrollos recientes al final de la asignatura, como con la tragedia de los (bienes) comunes (comunales) y los costos de transacción (Coase; Tow), etc. Equilibrio de la empresa según las formas de mercados La diferencia entre el caso especial competitivo y el caso general está en los ingresos: en el especial, el de una pequeña empresa competitiva, el precio lo pone el mercado y si vende una unidad más el precio seguirá igual... (por ello es D=P=IM=IMg). En el caso general de la empresa no competitiva (ej. Monopólicas, oligopólicas, etc.) los precios tienen la pendiente negativa según la ley de la demanda; entonces el IMg tiene doble pendiente o mitad de abscisa, tal que el punto E de Cournot en el caso general queda más a la izquierda (los monopolios producen menos cantidad que en competencia... y a ese nivel de E suben hasta la línea de P o IM....más arriba, o sea, cobran más caro ... que en competencia (donde el P era una constante, una horizontal....) y ofrecen menos cantidad. El tratamiento de los costos es, en principio, similar e independiente de la forma del mercado. La minimización de costos se encara modelizando la optimización con una variable (en el capítulo de los costos y en la optimización empresarial, teniendo presente la relación inversa entre producto medio y costo medio con una variable); también es útil el tratamiento con dos variables, según el enfoque paretiano y la función CobbDouglas en la teoría de la producción y en la distribución de ingresos. Finalmente, la minimización de costos con muchas variables puede ser encarada utilizando programación lineal Solver, tildando su opción Minimo, o con matrices. Ejemplo con una empresa competitiva 362 En un mercado competitivo, la empresa estudia la posibilidad de instalarse en el mismo. Determinar si la decisión de instalarse en el mismo es factible si el precio es $10 y la empresa trabaja con la siguiente función de costo total: C = 3X3 – 15X2 + 52X Recordamos los niveles relevantes o críticos: CMg = 9X2 – 30X + 52 CM = 3X2 – 15X + 52 Igualándolos encontraríamos el punto de mínimo CM, u òptimo de explotaciòn para este largo plazo (ya que no figuran costos fijos) 9X2 – 30X + 52 = 3X2 – 15X + 52 6X2 = 15X X = 2,5 unidades Oferta Inicial P = CMg = 9(2,5)2 – 30(2,5) + 52 P = $33,25.(recordando que la oferta es el tramo ascendente del costo marginal) Si en este mercado el precio es $10.- vemos que la empresa no puede instalarse en el mismo ya que el mínimo precio al que puede ofrecer su producto es $33,25.Comprobación Equilibrio de la empresa (punto E) => CMg = Img 9X2 – 30X + 52 = 10 9X2 – 30X + 42 = 0 Aplicando la fórmula de resolución de raíces cuadráticas obtenemos una raíz cuadrada negativa, esto nos indica que la empresa trabajaría a pérdida si decidiera instalarse en este mercado. EQUILIBRIO DE UNA EMPRESA COMPETITIVA Y CANTIDAD DE COMPETIDORES. Otra empresa, con CT = 10X3 -200X2 +1100X; y con una demanda en el mercado X=5000-3P Se pide 1) equilibrio individual 2) cantidad ofrecida en el mercado 3) número de empresas en esa industria; 4) número de empresas que ingresaría si la demanda sube a X=5500 -3P En el largo plazo las empresas operan en el óptimo de explotación (mínimo CM o CMV); el CM = CT / X; luego minimizamos con CM' = 0 y CM '' > 0 , CM = 10X2 -200X +1100 363 CM`= 20X – 200 que igualada a cero permite despejar X=10 kilos como cantidad individual; de modo que reemplazando, surge que el importe de ese CM mínimo $CM = 10(10)2 -200(10) +1100 = $ 100, que es el precio individual Si en teoría, el precio en competencia es igual para todas, reemplazamos ese precio en la demanda y queda X= 5000 -3(100)= 4700 kilos en el mercado o industria; Dado que la cantidad total es 4700 y la individual 10, hay 470 empresas competitivas (teóricamente iguales). Si la nueva demanda pasa a ser X=5500 -3(100) = 5200 kilos ahora; la cantidad de firmas en esta industrial sería ahora, 5200/10 = 520 empresas; antes 470; por lo que ingresarían 50 nuevas firmas. Pero se debe aclarar sobres estos modelos clásicos simplificados y tener en cuenta las aclaraciones sobre modelos con 1 y con 2 o con n factores.... teóricos... mientras que en realmente en las empresas intervienen problemas con N variables.... !!!!, que encararemos aprendiendo a resolver sistemas de 2x2... manualmente y con Excel...(porque Excel resuelve igual otros con cientos y miles de variables...!!!). Una vez que sepamos resolver sistemas con n variables es posible determinar la mezcla óptima de producción o venta. Esta mezcla óptima puede luego ponderarse para obtener algo como un producto medio o testigo e incluso calcular el máximo beneficio con solo una variable. EQUILIBRIO DE LA EMPRESA Y DEL MERCADO Estudiamos primero el mercado y luego la empresa en competencia perfecta. Para el caso especial de la empresa competitiva, atomizada, la demanda es una constante (precio horizontal), que coincide con el IM y el IMg, Sus costo medios tienen forma de U y el equilibrio de la empresa según el criterio de Cournot (max.B) implica que en el CORTO PLAZO se cumple IMg = CMg , o sea aquí P=CMg….a la derecha del punto crítico o de mínimo CM (gran cantidad en competencia). Pero, si fuera LARGO plazo, con CMV=CM porque no hay costos fijos, el punto de equilibrio o de Cournot coincidiría con el punto de mínimo CM, ahora punto óptimo de explotación; con IT = CT e IM=P=CM, sin los beneficios extraordinarios del corto plazo. En este largo plazo la propia competencia hace que bajen los precios y desaparezcan las empresas con costos altos, quedando solo las eficientes, que operan con precios iguales al costo medio mínimo. Para el conjunto del MERCADO competitivo el equilibrio implica demanda = oferta. Pero los ejercicios usuales plantean una función de costos de una empresa y una función de demanda del mercado. Se solucionan calculando como aquí el punto de operación de esa empresa en corto (o largo) plazo, mínimo CMV y una vez despejada esa cantidad se la reemplaza en la función de demanda del mercado para calcular la totalidad de este (y por diferencia o división conocer el número de firmas en esa industria). En el caso general de la empresa en cualquier otro mercado no competitivo, la única diferencia es que la demanda tiene pendiente negativa y el IMg doble pendiente. El equilibrio de Cournot surge ahora a la izquierda del punto de mínimo CM (en monopolio la cantidad ofrecida es poca comparando con la competencia); a su vez el precio debe buscarse a ese nivel de cantidad X subiendo hasta la línea de demanda, aquí más elevada que en competencia (altos precios en monopolio); existiendo beneficios extraordinarios para la empresa monopólica. Recordamos la unidad 2 y 3: el mercado está en equilibrio por interacción de demandantes y oferentes. Igualando D = O surge la cantidad de equilibrio, que reemplazada en el ingreso medio o D indicara el precio. 364 Pero en la Unidad 6 y 7, para la empresa individual el equilibrio consiste en maximizar su beneficio, con B'=0 y B''<0..... (Cournot) Ya vimos el caso especial de la empresa competitiva ( con demanda o P = IM = IMg, a su vez = CMg); y ahora seguimos con el caso general: con demanda = IM; pero el IMg tiene doble pendiente o mitad de abscisa...; los costos son igual en cualquier caso o mercado (solo hemos diferenciado los costos para la empresa sobredimensionada, utilizando un CT lineal -y no parabólico- con CM hiperbólico -y no parabólico, lineal o constante) MERCADO COMPETITIVO. EQUILIBRIO Y CANTIDAD DE COMPETIDORES La demanda del mercado es X= -50P +1000 y las empresas operan en el óptimo de explotación (mínimo CMVariable). Una de las empresas competitivas tienen costos de largo plazo: CT = X 3 -3X2 +6X; su costo medio variable mínimo se obtiene minimizando o también igualando el CMVariable con el C.Marginal: CMVar = X2 -3X +6; CMg = 3X2 -6X +6; igualándolos surge la cantidad X =1,5 para esa empresa "A", así como el importe $3,75 de ambos CMVar.y CMg., que deben coincidir con el precio en ese mercado competitivo en el largo plazo. Reemplazando ese precio en la demanda del mercado se obtiene la cantidad total demanda en el mercado X=812,5. Como la empresa "A" produce solo 1,5 se concluye que hay 542 empresas competidoras actuando. SOLVER también permite la maximización: Herramientas > Solver > Celda objetivo: la cantidad demanda por el mercado total; celda cambiante: la cantidad producida por "A"; restricción: CMVar.=CMg, como se verá en las siguientes hoja Excel. LA TOMA DE DECISIONES DE LA EMPRESA Y LA OFERTA A CORTO PLAZO: DETERMINACION DEL VOLUMEN DE GANANCIAS O PÉRDIDAS: DETERMINACION DEL VOLUMEN DE GANANCIAS O PÉRDIDAS: Se ha dicho que le empresa maximizará sus ganancias donde el ingreso marginal se iguale con el costo marginal, pero no se han cuantificado las ganancias. Para lograr esto es necesario incorporar los costos medios (CMe), también llamados costos totales medios (CTM), que se obtienen dividiendo el costo total entre el número de unidades producidas (CMe = CT/Q). 365 Para calcular las ganancias unitarias (ganancia por unidad de producto) se compara el precio con el costo medio: Si P > CMe, existen ganancias: Si P = CMe, se está en un punto donde las ganancias extraordinarias son cero, sólo hay ganancias normales: Si P < CMe, habrá pérdidas: Así, es importante señalar que: La empresa producirá con pérdidas si el precio es más elevado que el costo variable medio (P > CVMe), debido a que todavía puede cubrir los costos variables promedio. La empresa suspenderá la producción si el precio es más bajo que el costo variable medio (P < CVMe), debido a que no puede cubrir los costos variables. El precio mínimo que la empresa estaría dispuesta a aceptar para producir con pérdidas y no cerrar se le conoce como punto de cierre, y se da donde el costo variable medio es mínimo. LA CURVA DE OFERTA INDIVIDUAL A CORTO PLAZO La curva de la oferta individual a corto plazo de la empresa es aquella porción de la curva del costo marginal arriba de su intersección con la curva de costos variables promedio. La cantidad producida en la intersección entre el costo marginal y la curva de la demanda es la cantidad de equilibrio. Debido a que la empresa suspendería la producción si la curva de la demanda está debajo de la curva del costo marginal no es parte de la curva de la oferta de la empresa. El punto de nivelación Q2,P2 se encuentra donde la curva de CM corta a la de costos totales medios en su mínimo. El punto de cierre es aquel en el que los CM cortan a los costos variables medios también en su mínimo. En cualquier punto entre Q2,P2 y el punto de cierre la empresa cubre sus costos variables y parte de los fijos, interesándole producir. 366 En síntesis, sobre este tema: Si P > CMe, existen utilidades y la empresa producirá Q´. Si P = CMe, existen beneficios normales. Si P < CMe, habrá perdidas. La empresa producirá con pérdidas si el precio es más elevado que el costo variable medio (P>CVMe), debido a que todavía puede cubrir los costos variables medios y si esta situación se presenta sólo a corto plazo. La empresa suspenderá la producción si el precio es más bajo que el costo variable medio (P<CVMe), debido a que no puede cubrir los costos variables. La curva de la oferta individual a corto plazo de la empresa: es aquella porción de la curva del costo marginal arriba de su intersección con la curva de costos variables medios. La cantidad producida en la intersección entre el costo marginal y la curva de la demanda es la cantidad de equilibrio. Debido a que la empresa suspendería la producción si la curva de la demanda está debajo de la curva del costo marginal, entonces esa porción de la curva de CM no es parte de la curva de la oferta de la empresa. Un ejercicio práctico podría ser: Una firma en competencia perfecta produce 400 unidades del bien X mediante el empleo de dos factores, uno fijo y otro variable. Se sabe, además, que el costo variable promedio es mínimo e igual a $100 cuando la empresa produce las citadas 400 unidades del bien X. Si la demanda y la oferta de mercado establece un precio de equilibrio para el bien X de $300 la unidad, ¿deberá esta empresa mantener o cambiar su nivel de producción? Solución: Cuando la empresa produce las 400 unidades el costo variable medio es mínimo (y además igual al costo marginal, o sea, CM = 100), es decir, la empresa está produciendo la cantidad correspondiente a su punto de cierre. Pero sabe que el precio (ingreso marginal) es de $300, por tanto el ingreso marginal y el costo marginal no son iguales, así que la empresa debe incrementar la producción hasta que CM = IM. OPTIMIZACION – PUNTO DE EQUILIBRIO, 367 ¿por qué varios enfoques?: CON UNA SOLA VARIABLE Pero, para qué se estudia la optimización con una variable? .Interesan las relaciones entre el concepto total, medio y marginal, para demostrar que la demanda depende de la utilidad marginal (curvas con pendientes negativas similares). Igualmente en la teoría de los ingresos (suponiendo costos transitoriamente nulos) se busca maximizar ingresos, con las condiciones de máximo y mínimos para una variable: IT‟= 0 e IT‟‟< 0). También en la optimización de la producción con una variable, se calculaban los rendimientos crecientes, decrecientes y negativos, para delimitar la región económicamente significativa si se define el objetivo como maximizar la producción (sin considerar los costos no se puede todavía maximizar beneficios). De manera análoga, pero inversamente, se optimizan costos, mediante la minimización con una sola variable (CT‟= 0 y CT‟‟> 0), por ejemplo, para ubicar el punto mínimo de explotación a corto plazo (mínimo CMV, con CMV‟= 0 y CMV‟‟> 0) o punto de cierre o quiebre. También para ubicar la cantidad de factor en el punto crítico, o mínimo CM (CM‟=0 y CM‟‟>0). Finalmente, utilizamos la optimización con una solo variable para calcular el punto de equilibrio o máximo beneficio de la empresa (B‟= 0 y B‟‟< 0). Dado que el B = IT –CT y siendo el IT = P(X) y a su vez P=a-bX, una ecuación de la de la demanda para todo nivel de P o todo nivel de cantidad. Entonces IT = aX –bX2, de donde el IM = P y el IMg es IT‟ = a -2bX (la pendiente b es así doble que para el IM). Maximizar el beneficio significa B‟= 0 y B‟‟< 0, o sea, B‟= IT‟ – CMg = 0 (y B‟‟< 0…); de donde el punto de equilibrio o de Cournot (Paris, 1835) implica IMg = CMg (y B‟‟<0). Este concepto de optimización con IMg=CMg es el criterio de contratación según el esquema clásico OPTIMIZACION CON DOS VARIABLES: La optimización clásica, según la ley2 de Gossen, implicaba la doble condición a) igual relación Utilidad/precio en todos los bienes y b) agotar el presupuesto para ese gasto. En términos de la utilidad cardinal de Marshall esto era a) UMgx/UMy = Py/Px (precios del mercado en el segundo miembro) y b) Px(X) +Py(Y) = M. Este planteo de Gossen/Marshall fue utilizado por Pareto para su teoría de la utilidad ordinal, agregándole las curvas de presupuesto y de indiferencia, que si son tangentes, coinciden sus diferenciales totales nulos, quedando TMS = Px/Py o sea, UMgy/UMgx = Py/Px y la condición b) de agotar el gasto del presupuesto. Con este esquema ordinal y gráfico se explicaban casos de utilidad marginal decreciente, constante y creciente (todos con similar función de demanda teórica o hiperbólica del tipo Px = M/2aX). Esta optimización paretiana explicaba que debe haber proporcionalidad entre las utilidades (y productividades marginales) con los precios de los bienes (factores) en el mercado. La extensión de este criterio hacia el comercio internacional fue el summum para las explicaciones analíticas clásicas: una situación o proyecto “es bueno si alguien mejora y nadie empeora”. Se utilizó la caja de Edgewourth, para demostrarlo: superponiendo dos pares de ejes cartesianos, para medir en cada uno los recursos de dos países, que proceden a intercambiar bienes según varios puntos de coincidencia entre las respectivas curvas de indiferencia (en la curva de contrato). 368 Otro punto ineficiente está representado por la extensión de las c.i. de ambos países hasta que se corten. Era ineficiente, ya que trasladándose por alguna de las curvas se podría alcanzar la tangencia en un punto de la línea de contrato, por el cual pasaría una curva superior a la de ese país por el punto ineficiente. Alguien gana y nadie empeora: criterio de óptimo paretiano. Además, en esos puntos de contrato hay equilibrio según el esquema de Pareto (Ley2 de Gossen), lo cual también implicaba proporcionalidad entre remuneración de factores y su PMg (“distribución” paretiana u optimización analítica posterior al criterio de Cournot). OPTIMIZACION CON TRES O CUATRO VARIABLES: La función combinada de LaGrange introdujo la consideración del operador landa como una variable artificial para el presupuesto. Se podría calcular el valor de menos landa y con ello calcular los efectos del cambio de precios sobre la demanda de dos bienes, según el criterio de la ecuación de Slutsky: Dos efectos directos para observar si ambos bienes eran típicos o de la paradoja Giffen; y la demanda compensada del efecto renta con un subsidio (solo el efecto sustitución) diferente del efecto total o demanda ordinaria. En el efecto renta hay un cociente, que si es positivo indica que el bien es normal o suntuario; y si negativo, será inferior). En los dos efectos cruzados estudiamos si los bienes son sustitutos, complementario o independientes, según que el resultado final sea < 0; > 0; = 0. Si los bienes son típicos y el efecto del cambio del Px sobre la demanda de Y fuera un valor negativo, significaría que: supe el Px y caería la Demanda de X; como también cae la de Y (según el resultado final negativo) indicaría esto que el bien Y estudiado sería complementario del bien X. La función combinada de LaGrange permite reiterar las operaciones para despejar el uso de más de un operador auxiliar landa (por ejemplo, landa uno y landa2); este tratamiento permite trabajar con dos variables reales y dos restricciones: entonces así, cuatro variables…. OPTIMIZACION CON CIENTOS DE VARIABLES La programación lineal, método gráfico permite dos variables reales y varias restricciones, que graficadas formarán una frontera acodada. Para ubicar el codo o combinación optima, basta con graficar la familia de líneas isobeneficio o isocosto (la función objetivo) hasta observar el primer punto de contacto con esta frontera. También la programación lineal con la tablas “Simplex” permite cálculos manuales con quizás más de cinco variables. Las dos páginas del esquema de MicroeconomiaEiras.pdf son un planteo simplificado de este enfoque de Dantzing (Chicago, 1940). Antes de las PC, estas eran las posibilidad de la optimización empresaria: realmente no muchas…. Pero Solver de Excel permitía la optimización “Simplex” con 16 variables y restricciones (el office 2072010 permite 100 variable y 400 restricciones o más). Un verdadero avance para la microeconomía en la empresa. Por otra parte, están también las matrices, que manualmente permiten la optimización de sistema de hasta 4x4 (8 variables). Sin embargo, Excel agregó sus aplicaciones para calcular determinantes, =mdeterm( : ); 369 para invertir matrices, =minversa( : ) y para multiplicar matrices, =mmult( : ), con las que podemos resolver sistemas de cientos y miles de variables, realmente aplicables para la optimización de la empresa. Métodos vs. mercado? Reubicándonos, vemos que se estudian métodos para maximizar, optimizar, mercados y empresas: con una, dos y muchas variables (matemáticos, geométricos, algebraicos con Simplex, con Solver y con matrices, manualmente y con Excel para cientos o miles de variables). Luego estudiaremos los diversos tipos de mercados, ya que la optimización depende en ellos, según sus formas (legales o no). MONOPOLIO Y MERCADOS IMPERFECTOS: DEMANDA CON PENDIENTE NEGATIVA. Su optimización como monopolio puro sigue el criterio de Cournot comentado para el caso general. El monopolio puede actuar de diferente manera: monopolio puro, que maximiza su beneficio con el criterio conocido B'=0 y B ''<0, surgiendo menor cantidad y mayor precio que en competencia. Además puede ofrecer a dos mercados y actuar en ellos como monopolio puro (igualando los IMg de ambos). También puede ejercer discriminación perfecta en uno de ellos (apropiándose de todo el excedente del consumidor, integrando el área bajo la demanda hasta el precio) y actuar como monopolio puro en el otro. El monopolio es una empresa que es la única en un mercado porque vende un producto que no tiene sustitutos cercanos. Este tipo de mercado presenta ciertas características: • Se presenta UN SOLO VENDEDOR (la empresa es toda la industria). • Los bienes producidos NO TIENEN sustitutos cercanos. • Puede existir información imperfecta sobre el conocimiento de datos importantes (precios, calidades, oferentes). • Se es un fijador o buscador de precios: la curva de la demanda con pendiente negativa a la cual se enfrenta el monopolista es la curva de la demanda del mercado. • El precio puede bajar si el monopolista trata de vender más. Si el monopolista aumenta el precio, la cantidad vendida disminuirá. • El monopolista puede elegir aumentar el precio o la cantidad vendida, pero no ambos. BARRERAS DE ENTRADA: El monopolio se caracteriza por la existencia de barreras de entrada a la industria, las cuales pueden surgir por varias razones: 1. Barreras legales, patentes y licencias. 370 2. Las economías de escala mantienen fuera a la competencia, debido a que los costos por unidad de un nuevo entrante a la industria son mucho más elevados que los del monopolista establecido, que puede cobrar precios más bajos (monopolio natural). 3. El control de un recurso esencial puede impedir que los competidores ingresen al mercado. INGRESO MARGINAL: Debido a que el precio baja a medida que aumenta la producción, el ingreso marginal es menor que el precio. La curva de ingreso marginal tiene el doble de la pendiente de la curva de demanda y la misma intersección con el eje vertical. MAXIMIZACION DEL BENEFICIO O GANANCIA: Del mismo modo que en competencia, el monopolista busca maximizar su beneficio, lo cual logra en el punto donde su ingreso marginal se iguala con su costo marginal creciente (IM = CM). En ese punto: • El ingreso total se maximiza. • La elasticidad de la curva de la demanda es unitariamente elástica. • PRODUCCIÓN: el monopolista aumenta la producción a Q*, hasta que el ingreso marginal es igual al costo marginal. • PRECIO: una vez que se selecciona un nivel de producción, la curva de la demanda da el precio (P*) que se debe cobrar con el fin de persuadir a los consumidores para que compren lo que está disponible. BENEFICIO: la producción continuará a corto plazo siempre y cuando el precio exceda al costo variable medio. 1. Si el precio excede al costo variable promedio (CMV), pero es menor que el costo promedio total (CM), el monopolista producirá con pérdidas. 2. Si el precio excede al costo promedio total, el monopolista obtendrá un beneficio. 3. A largo plazo, el monopolista ganará beneficios económicos positivos, pero cerrará teniendo una pérdida. La gráfica ilustra las ganancias del monopolio, mostradas como la región amarilla: Los monopolios no siempre tienen ganancias. La siguiente gráfica ilustra las pérdidas del monopolio, sombreadas en verde: 371 MONOPOLIO Y EFICIENCIA • LA AUSENCIA DE COMPETENCIA NO CONDUCE AL MONOPOLISTA A PRODUCIR EN DONDE LOS COSTOS POR UNIDAD SON MÁS BAJOS. Por consiguiente, no se puede lograr la eficiencia productiva. • EL MONOPOLISTA PRODUCE CUANDO EL PRECIO ES MAYOR QUE EL COSTO MARGINAL. Por consiguiente, el consumidor paga más por una unidad extra de producción de lo que le cuesta a la socieda d. No se logra la eficiencia de la asignación. • LOS MONOPOLISTAS PRODUCEN MENOS Y A UN PRECIO MÁS ELEVADO DE LO QUE SE PRODUCIRÍA BAJO UNA COMPETENCIA PERFECTA. La utilidad del monopolio reduce el bienestar del consumidor al cobrarles a los consumidores un precio más elevado. Una reducción en la producción reduce todavía más su bienestar, es una pérdida de eficiencia para el consumidor. MONOPLIO CON DOS PLANTAS (MULTIPLE FACTORIA) Cuando tiene dos plantas, logra su óptimo o máximo beneficio produciendo de modo que el costo marginal en ambas sea igual al ingreso marginal. La optimización empresaria se analiza con funciones en la forma implícita; pero para sumar los costos marginales en un costo marginal conjunto es necesario trasponerlos a la forma explícita, para hacer la suma horizontal. Una vez sumados se debe volver ese CMg conjunto a la forma implícita, a efectos de igualar con el IMg y calcular así la cantidad de equilibrio. Esta cantidad permite obtener el importe en pesos del CMgc o IMg; con ese importe en pesos se reemplaza en cada función de costo marginal de las plantas para calcular la cantidad a producir por cada una. Con la cantidad total también podemos calcular el IT, el CT, el Beneficio; y el precio. 372 Ejemplo múltiple factoría) Siguiendo con las empresas de estos ejemplos, ambas plantas deben actuar con iguales costos marginal, a su vez iguales al ingreso marginal, en un Monopolio con dos plantas (el costo marginal conjunto se suma en la forma implícita; en forma similar a la suma de ingresos marginales para el monopolio discriminador de precios o mercados). Supóngase solo dos plantas en un mercado cuya demanda es competitiva P= 30-X (con X=X1 + X2). Sus costos son, para la primera C1 = 1/4 X12 +10 X1 + 20 y para la otra planta C2 = 1/3X22 + 8X2 + 18. Una vez sumados horizontalmente los costos marginales se traspone el costo marginal conjunto (para optimizar igualándolo con el ingreso marginal). C1´ = 1/2X1 +10 C2´ = 2/3X2 + 8 1/2X1 = C1´-10 2/3X2 = C2´- 8 X1 = 2C1´- 20 X2 = 3/2C2´- 12 X = 7/2Cc´- 32 costo marginal conjunto Volviéndolo a la forma implícita: 7/2Cc´= X + 32 o sea, Cc´= 2/7X + 64/7 El equilibrio es Max. Beneficio, con B´= 0 (o IMg = CMg) y que sea B´´< 0 (es decir Img´< CMg´) 30-2X = 2/7X + 67/7 ; 16/7X = 30 – 64/7; con X = 7/16 (30 – 67/7); X = 9,1 que cumple la segunda condición de máximo: -2 < 2/7. En ese punto el valor del Costo marginal conjunto es C c´= 2/7(9.1) + 64/7 = $11,80 Que si se reemplaza en la suma horizontal precisa el reparto de las producciones: X1 = 2 (11.80) – 20 = 3,5 kilos X2 = 7/2 (11.80) -12 = 5,6 kilos 9,1 El precio es igual en las dos plantas P 9,1 = 30-9,1 = $20.90 El ingreso total es PX = 30X – X2 = 190,19 El ingreso marginal es IT´= 30 – 2X = 30 – 18.2 = $11.80. (el Ingreso marginal es igual a ambos costos marginales). El beneficio B= IT –CT1 –CT2 = -5/4(3,5) -4/3(5,6)2 -2(3,5)5,6 +20 (3,5) +22 (5,6) -38 = $59, Nota sobre CARTEL: Si las dos planta no fueran de la misma empresa sino una asociación (colusión) tipo cartel, este beneficio tendrían que repartirlo entre las empresas, con algún criterio no analítico (por ejemplo, mejorando algo los resultado de cada una si decidiera actuar por su cuenta bajo duopolio, como líder o como seguidora; es decir, repartiendo solamente el plus que generarían con la colusión). Los criterios de reparto pueden ser, por ejemplo, a) el de proporcionalidad con la ganancia anterior en cada uno; b) reparto igualitario de la ganancia; c) participación proporcional, según KalaiSmorodinsky; d) solución según alguna estrategia mixta tipo J. Nash e) el criterio de Pareto, o sea todo para uno: uno mejora y nadie empeora (el “modelo del dictador” vs. el modelo del “ultimátum” de la teoría de los juegos) (Microeconomía, Tugones – Castro, Un. Barcelona) 373 DISCRIMINACIÓN DE PRECIOS Monopolio que segmenta mercados: vende a dos mercado y cobra solo un precio mayor al que tiene la demanda más rígida y solo un precio menor al que tiene la demanda más elástica. Estos casos están en Diéguez y Porto (ver programa). En clase detallamos el modelo: gráficamente y analíticamente. Según el grafico, se obtiene el IMg conjunto (por simple suma horizontal) de ambos IMg (el IMg conjunto es la línea intermedia entre las dos demanda lineales...). Maximiza con IMg conjunto =CMg: se obtiene así la cantidad total a producir para ambos en la única planta. Reemplazando esa cantidad en el IMg conjunto se obtienen el importe de este (igual al CMg ahí). Lo que interesa es que ese importe se puede reemplazar en cada IMg individual y obtener así las cantidades que optimizan con esta discriminación. Calculado el Beneficio total ( = IT1 + IT2 - CT) se puede comprobar que es mayor que el que hubiera obtenido la empresa si no discriminara con estos 2 precios diferentes y solo hubiera actuado como monopolio puro cobrando un mismo precio monopólico en ambos mercados (aquí hacemos suma horizontal de las demandas explicitas, que luego trasponemos a explicitas para la optimización. Lamentablemente deben estudiarlo por Diéguez y Porto, ya que no tengo este ejemplo en el site (y no tipeo para ustedes los ejemplos de las clases: recuerden que es obligatorio asistir a clase; el diluvio puede ser una causa excepcional, pero lo lamento por uds.) El MONOPOLIO QUE DISCRIMINA PRECIOS O MERCADOS puede superar el beneficio del monopolio puro si puede discriminar precios en marcados no comunicados. Su lógica es cobrar mayor precio al de demanda rígida y menor precio al de demanda más elástica. Debe calcular el ingreso marginal conjunto mediante suma horizontal; parea esto se necesita trasponer los ingresos marginales implícito a la firma explicita. Una vez sumado es necesario volver a la forma implícita del IMg conjunto a fin de igualarlo con el CMg y calcular la cantidad total de equilibrio. Además, ese nivel de equilibrio también permite calcular el importe de ese CMgc y/o IMgc. Con ese importe en pesos igualado a cada IMg de ambos mercados se puede obtener la cantidad a vender en cada uno. Esa cantidad también permite elevarse hasta la correspondiente línea de precio para calcular el de cada mercado (o remplazarlo en cada demanda). Mayor precio para la demanda más rígida y menor precio para la más elástica. Discriminación: Monopolio que segmenta mercados: vende a dos mercado y cobra solo un precio mayor al que tiene la demanda más rígida y solo un precio menor al que tiene la demanda más elástica. 373 374 Estos casos están en Diéguez y Porto (ver programa). En clase detallamos el modelo: gráficamente y analíticamente. Según el grafico, se obtiene el IMg conjunto (por simple suma horizontal) de ambos IMg (el IMg conjunto es la línea intermedia entre las dos demanda lineales...). Maximiza con IMg conjunto =CMg: se obtiene así la cantidad total a producir para ambos en la única planta. Reemplazando esa cantidad en el IMg conjunto se obtienen el importe de este (igual al CMg ahí). Lo que interesa es que ese importe se puede reemplazar en cada IMg individual y obtener así las cantidades que optimizan con esta discriminación. Calculado el Beneficio total ( = IT1 + IT2 - CT) se puede comprobar que es mayor que el que hubiera obtenido la empresa si no discriminara con estos 2 precios diferentes y solo hubiera actuado como monopolio puro cobrando un mismo precio monopólico en ambos mercados (aquí hacemos suma horizontal de las demandas explicitas, que luego trasponemos a explicitas para la optimización. Lamentablemente deben estudiarlo por Diéguez y Porto, ya que no tengo este ejemplo en el site (y no tipeo para uds. los ejemplos de las clases: recuerden que es obligatorio asistir a clase) Ejercicio 2) Discriminación de mercados 2) Monopolio que discrimina precios en dos mercados competitivos P1 = 2X 1 +100 y P2 = -1/3X2 + 150; con costos C = -0.2X2 + 20X + 40 Introducción: Si discrimina precios diferenciando mercados aumentara más sus beneficios P1 = -2X 1 +100 P2 = -1/3X2 + 150 Costos C = -0.2X2 + 20X + 40 Desarrollo: Cuando le es permitido fraccionar la demanda pueden cobrar precios diferentes según la elasticidad de cada tramo (más caro en el tramo rígido), vendiendo la misma cantidad pero con mayores ingresos que en su optimización pura. IT1 = P1(x) = (-2x1 + 100)*x = -2x2 + 100x IT2 = P2 (x) = (-1/3x2 – 150) * x = -1/3x2 + 150x 374 375 IMg1 = -4x + 100 -4x = IMg1 – 100 x1 = -1/4 IMg1 + 25 IMg2 = -2/3x + 150 -2/3x = IMg2 – 150 x2 = -3/2 IMg2 + 225 X = -7/4IMgconjunto + 250 Que despejamos -7/4IMgc = X – 250 IMgc = -4X + 1000 Se maximizan los beneficios con: B´= 0 y B´´<0 CMgc = -0,4x + 20 B´= ITMg – CTMg -4x + 1000 = -0,4x + 20 3,6X = 980 X =245 IMgc = -4x + 1000 IMgc = -4(245) + 1000 IMgc = 20 IMg1 20 = -4x + 100 4x = 80 x1 = 4 IMg2 20 = -2/3x + 150 2/3x = 130 x2 = 24 P1 = -2(4)+100=$92 P2 = -1/3(24)+150=$142 Ct = -0.2X2+20X1+40 = -0.2(357)+20(47)+40 = -71.4+980 =909 BT = IT1+IT2-CT IT1 = -2(47) 2+100(47)=282 IT2 = -1/3(357) 2+150(357)=11067 B TOTAL=10440. Conclusión: 375 376 Podemos concluir que mediante esta manera, la empresa puede mejorar más sus beneficios ya que vende a distintos precios (con el mismo costo) según la elasticidad de ese mercado competitivo al que se dirige. Existen diversos grados de discriminación y estos casos lesionan la competencia, según las normas domésticas y de la OMC. Ejercicio MONOPOLIO DISCRIMINADOR Sea el caso de un monopolio que puede dividir su demanda en dos grupos y cobrar diferente el mismo producto en ambos. La teoría explica que si fuera posible esta actitud la empresa maximizaría beneficios vendiendo más caro en la demanda con menor elasticidad precio (más rígida) y más barato en la demanda más elástica. La condición es vender en ambos mercados con similar ingreso marginal, a su vez igual al costo marginal único; y que desde ahí el costo marginal crezca más rápido que el ingreso marginal conjunto. Supóngase un caso con costo marginal no constante, decreciente, como es el caso general en monopolio: Su costo total CT= -0,2X2 +30X + 40; costo marginal es CM'= -0,4X + 30 y ambas demandas P1= - 2X1 +100 y P2 = -3X22 + 150; los ingresos totales son: IT1= -2X12 +100X1 e IT2 = -3X22 + 150X2 y los ingresos marginales: IT'1 = -4X1 + 100 y IT'2 = -6X2 +150 Para la suma horizontal de ambos ingresos marginales se trasponen a la forma implícita: X1 = 1/4 IT'1 + 25 X2 = 1/6 IT'2 + 25 Sumando: X = 10/24 IT'+50 o sea, IT'= -2,4X +120 (trazo grueso punteado) Para maximizar el beneficio B debe cumplirse B' =0 y B'' <0 B'= 0 implica IT'- CT' = 0: -2,4X +120 = -0.4X +30 o sea, X=45 reemplazando en CT'o en IT' = -2,4(45) +120 = $12 Del ingreso marginal, $12, puede deducirse la cantidad a vender en cada mercado: $12 = -4X1 + 100 o bien, -4X1 = -88 con X1 = 22 igualmente en el otro mercado: $12 = -6X2 + 150 o bien, -6X2 = -138 con X2 = 23 La cantidad total 22 + 23 = 45 unidades; los precios: P1 = -2(22) + 100 = $56 P2 = -3(23) + 150 = $81 376 377 El beneficio máximo es: B = IT1 + IT2 -CT = 56(22) + 81(23) -[-0,2(45)2 +30(45) + 40] = 3095 - 985 =$2110. Falta observar si cobra más caro a la demanda más rígida y más barato a la más elástica. E1 = dQ/dP (P/Q) = - [-1/2(56/22)] = +1,3 la más elástica E2 = -[-1/3(81/23] = 1,1 la menos elástica (cobra menos en la demanda más elástica, P 1 =$56, P2 =$81) Este MONOPOLIO SIN DISCRIMINACIÓN: También conviene comparar con la situación frente al monopolio sin discriminación, para ver cuánto representa: P1 = -2x21 +100 P2 = -3X2 + 150 Sumando: o sea, X1 = -1/2 P + 50 X2 = -1/3P + 50 X = -5/6P +100 o bien P =-6/5X +120 El ingreso total IT = P(X) = -6/5X2 + 120X Su ingreso marginal IT' = -12/5X +120 Maximizando B con B'=0 y B'' <0 IT' = CT' -12/5X +120 = -0.4X +30 (24/10 - 4/10)X + 90 = 0 con X= 45 similar que antes. El precio P = -6/5(45) + 120 =$66 intermedio entre los anteriores EL beneficio B= IT - CT = 45(66) -[-0,2(45)2 + 30(45) + 40] = $2970 - 985 =$1985, inferior que el obtenido bajo discriminación ($2110). Y si se lo hubieran hecho con Excel: 377 378 CONTROL DE LOS MONOPOLIO CON IMPUESTOS Los métodos usuales del control antimonopólico son a) la apertura de las importaciones competitivas y/o b) mediante la aplicación de impuestos: sobre ventas –ya específicos o bien ad-valorem- que afectan subiendo los precios y bajando cantidades y/o retrayendo la actividad general; y también impuestos sobre beneficios y/o fijos (que no alteran los precios y cantidades del mercado) y son así socialmente más recomendables. La apertura de importaciones es una navaja que tiene doble filo, ya que beneficia transitoriamente a los consumidores con bajos precios, pero a largo plazo elimina la fuente local de trabajo y puede generar el caos y pérdida del bienestar general. En cuanto a los impuestos, puede ser de dos categorías, según que además afecten o no a los consumidores y al conjunto de la sociedad. Para ver el efecto de un impuesto como un aumento de costos planteamos anteriormente un ejemplo paso a paso, partiendo de funciones explícitas e implícitas. Pero en la unidad 6 y 7 estudiamos a la empresa individual; aquí el equilibrio no será D = O sino maximizar el Beneficio, con B ' = 0 y B'' < 0. El beneficio es B = IT - CT y este optimo empresarios o punto E de Cournot implica IT ' = CT ' Los impuestos fijos y sobre beneficios no están multiplicados por la cantidad X y al derivar B implican el mismo CMg que sin impuestos, entonces no se altera el punto E y el precio y cantidad son los mismos que en el equilibrio sin impuestos: solo baja el beneficio por igual monto que el impuesto. Pero con los impuestos específicos y ad-valoren sobre ventas aparecen estos en el B multiplicando a X, y al derivar cambia el CMg y hay un nuevo equilibrio F diferente a E: suben los costos y se vende más caro, a mayor precio y menor cantidad. Además el monto recaudado por el fisco es menor a la suma de perjuicios en compradores y vendedores: hay una merma del excedente del consumidor y 378 379 del productor más una perdida social adicional, que ilustra el triángulo central del grafico sobre excedentes del productor y consumidor (el funcionario público estudia también el efecto de los impuestos; y en la unidad 10 también se estudia y calcula el excedente del consumidor y productor en competencia y monopolio, mediante integrales definidas) Ejercicio) Monopolio con impuestos El gobierno puede controlar a los monopolios con impuestos (o abriendo las importaciones a la competencia externa) C= 50x + 120 , con P= -5x + 250 El impuesto representa una suba de costos que limitara sus beneficios y puede afectar o no a la cantidad y precios de ese mercado EQUILIBRIO SIN IMPUESTO IT= Px= (- 5x + 250) x =- 5 x2 + 250x IMg = - 10x + 250 CMg= 50 B‟ = I‟ – C‟ = 0, de donde I‟ = C‟ -10x + 250 = 50 = -10x + 200 = 0 con x = 20 P20 = - 5x + 250= -5 * 20 + 250= 150 IT20 = - 5 x2 + 250x= -5 * 202 + 250 * 20= 3.000 CT20 = 50x + 120= 50 * 20 + 120= 1.120 B20 = 3.000 – 1.120= 1.880 IMPUESTO DE $ 30 POR UNIDAD. B= IT – CT + 40x = -5x2 + 250x – 50x –120 - 40x = -5 x2 + 160x = 120 , de donde x = 16 P16 = - 5x + 250= - 5 (16) + 250= 170 $ IT16 = - 5 x2 + 250x= – 5 ( 16)2 + 250 (16)= 2720 CT16 = 50x + 120= 50 (16) + 120= 920 B16 = 2720 – 920= 1.800 $ IMPUESTO DE 5% SOBRE LAS VENTAS B= (1 – 0,5) I – C = 0,95 (250X – 5x2) – (120 + 5x) = 237x – 4,75x2 – 120 –50x = 4,75 x2 + 187x –120= 0 Máx. B B‟= - 9,5x + 187=0 , o sea x= 19,6 379 380 P19,6 = - 5x + 250= - 5 (19,6) + 250= 152 IT19,6 = - 5 x2 + 250x= – 5 (19,6)2 + 250 (19,6)= 2979,2 CT19,6 = 50x + 120= 50 * 19,6 + 120= 1.100 B19,6 = I – C= 2979,2– 1.100= 1879,2 IMPUESTO DEL 10% SOBRE EL BENEFICIO B= 0,90 (I – C) = 0,90 * ((-5 x2 + 250x) – (50x+ 120)) = 0,90 (- 5 x2 + 200x – 120) = - 4,5 x2 + 180x -108 B‟= - 9x + 180 = 0 Þ x = 20 B"= - 9 < 0 P20 = - 5x + 250= - 5 * 20 + 250= 150 IT20 = - 5 x2 + 250 x= – 5 * 202 + 250 * 20= 3000 CT20 = 50x + 120= 50 * 20 + 120= 1.120 B= (3000* 10%) - (1.120 * 10%) = 2700 – 1008 B= 1692 IMPUESTO FIJO DE $120 B= IT – CT – t IT= Px = - 5 x2 + 250x CT+ t= 50x + 120 + 120 = 50x +240 B= - 5 x2 + 250x –50x –240 , o sea, = - 5 x2 + 200x –240 Máximo Beneficio B‟= - 10x – 200 , de donde x= 20 B" = -10<0 P20 = - 5x + 250= - 5 (20) + 250= 150 IT20 = - 5 x2 + 250x= – 5 * 202 + 250 * 20= 3.000 CT20 = 50x + 120= 50 * 20 + 120= 1.240 B= I – C= 3.000 – 1.240= 1.760 Conclusión Los impuestos fijos o sobre beneficios no alteran las condiciones del mercado (como aquellos sobre ventas) y solo limitan los beneficios. Hay igual precio y cantidad que sin impuestos, pero menores beneficios (si la firma no los elude mediante fraude). Comparando, los impuestos sobre ventas (ad-valorem o específicos en $) son más perjudiciales ya que alteran el mercado, subiendo precios y 380 381 disminuyendo cantidades; además la recaudación fiscal es inferior que el monto de negocios perdido en el mercado (pérdida social) Ejercicio 3) “Monopolio con Impuestos” El gobierno puede controlar a los monopolios con impuestos. El impuesto represente una suba de costos que limitara sus beneficios y puede afectar o no a la cantidad y precios de ese mercado. Haya varios tipos de impuestos que se le pueden implementar a la producción. Algunos solo afectan a los productores y otros afectan tanto a los productores como a los consumidores: Que afectan solo al productor: Impuesto sobre el beneficio, Impuesto fijo. Que afectan a productores y consumidores: Impuesto sobre las ventas, Impuesto directo sobre las unidades. Una empresa monopolística (que no discrimina el precio) presenta una función de demanda tal que p = 500-15X y un costo igual CT = 25X2 + 10X + 170 (con CF = 170, por ende es a corto plazo). Para maximizar el Beneficio hay que sacar B‟=0 y B‟‟<0 B = IT – CT = 0 B‟ = IT‟ – CT‟ = 0 IT‟ = CT‟ El equilibrio sin impuesto en “E”, punto de Cournot ( con IMg = CMg). IT = al precio multiplicado por X => IT = X.p IT = (500 – 15X) .X => IT = 500X – 15X2 Obtener las derivadas de la función de ingreso total y de costo total: IMg = -30X + 500 ; CMg = 50X + 10 Para sacar el punto de Cournot hay que igualar ambas funciones: -30X + 500 = 50X + 10 -30X + 500 – 50X + 10 = 0 -80X + 490 = 0 ; 490 = 80X ; X = 490/80 => X = 6,125 Reemplazando el valor X obtenido en la función p se obtiene el precio de las 6,125 unidades. p = 500 – 15X ; p = 500 – 15(6,125) p = 500 – 81,875 => p = $408 Punto de Cournot (6,125 ; 408) el máximo beneficio se encuentra en E = (6,125 ; 408,125). B = IT – CT (reemplazando la X por 6,125) 381 382 IT = -15X2 + 500X CT = 25X2 + 10X + 170 Por lo tanto. B = -15X2 + 500X – (25X2 + 10X + 170) = B = -15X2 + 500X – 25X2 – 10X –170 = B6,125 = -40X2 + 490X – 170 = (reemplazamos las X por 6,125) B6,125 = -40(6,125)2 + 490 (6,125) –170 = B6,125 = -1500 + 3001 – 170 => B6,125 = $1330 (sin impuestos) Por lo tanto para esta empresa el punto de equilibro para el mayor beneficio se encuentra en vender 6,125 unidades como mínimo a $408 cada unidad para obtener un beneficio de $1330 SIN IMPUESTO (alumno: …….. ) Impuesto fijo de $30: B = IT – CT – impuesto El ingreso total no varía, porque la función de ingreso no se modifica por un impuesto de $30. Por lo tanto el ingreso sigue siendo de $2499. El costo cambia, por lo tanto la nueva función de costo es: C = 25X2 + 10X + 170 + 30 C = 25X2 + 10X + 200 Reemplazamos con el valor de X = 6,125 (ya que el punto de equilibrio es igual que en la producción sin impuesto, ya que si derivamos los costos fijos pasan a ser cero). C = 25 (6,125)2 + 10 (6,125) + 200 C = $1199 El nuevo beneficio pasa a ser de: B = IT – C ; B = 2499,76 – 1199,15 => B = $1300 Por lo tanto, con un impuesto fijo de $30 el beneficio baja en $30 si lo comparamos con el beneficio sin impuesto que calculamos antes. El beneficio sin impuesto era de $1330 y ahora es de $1300. Se recaudan solo $30 de impuestos (el Estado es el que los recauda). (alumno: …………..) Impuestos por Unidad Vendida: Ahora la empresa tiene un impuesto de $30 por unidad vendida. Como el impuesto es sobre las unidades vendidas afectan tanto a la empresa como al consumidor. Ya que la empresa ofrece menos unidades, pero a mayor precio como verificaremos con el ejemplo que estamos siguiendo. 382 383 Nuevo costo: C = 25X2 + 10X + 170 + 30X (impuesto sobre unidad vendida) C = 25X2 + 40X + 170 (nueva función de costo). Por lo tanto la función de beneficio también se modifica. B = IT – C; B = 500X – 15X2 – (25X2 + 40X + 170) B = 500X – 15X2 – 25X2 – 40X – 170 B = -40X2 + 460X – 170 (nueva función para sacar el beneficio del productor) Para maximizar el beneficio sacar la primer y segunda derivada del beneficio. B‟ = 0 y B‟‟ < 0 B‟ = -80X + 460 = 0 ( con B‟‟ = -80 < 0, por lo tanto es máximo) -80X = -460; X = -460 / -80 => X = 5,75 unidades Hay que calcular el Nuevo precio para estas unidades. p5,75 = 500 – 15 (5,75); p5,75 = $413,75 Por lo tanto con este impuesto sobre unidades vendidas, el productor tendría que vender 5,75 unidades a $413,75 cada una. Ahora hay que calcular cual sería el beneficio para el productor vendiendo 5,75 unidades a $413,75 y con el nuevo costo. B5,75 = -40X2 + 460X – 170 B5,75 = -40.(5,75)2 + 460.(5,75) – 170 B5,75 = -1322,5 + 2645 – 170 B5,785 = $1152,5 El beneficio inicial sin impuestos era de $1330 y con un impuesto de $30 sobre cada unidad vendida ahora tiene un beneficio de $1152,5. Es decir que se recaudan $178 de impuestos. . Impuesto Porcentual sobre las ventas (Ad-Valorem): En este caso se le va a aplicar un 20% sobre las ventas. El impuesto es . Por lo tanto el beneficio va a disminuir, la cantidad ofrecida por el productor también va a disminuir, pero el precio va a aumentar, por ser un monopolio. B = IT – C - IT B = (1 - )IT – C B = (1 – 0,2) IT – C B = 0,80 (500X – 15X2) – 25X2 – 10X – 170 B = 400X – 12X2 – 25X2 – 10X – 170 B = 390X – 37X2 – 170 (nueva función para calcular el beneficio con este impuesto). 383 384 Para maximizar el beneficio hay que averiguar qué cantidad y a qué precio le conviene a este empresario para alcanzar el mayor beneficio posible con este impuesto. Por eso hay que sacar las nuevas derivadas primera y segunda de la esta nueva función de beneficio. B‟ = 0 y B‟‟< 0 B‟ = -74X + 390 = 0 ; (con B‟‟ = -74 < 0, por lo tanto es máximo) -74X = -390 => X = -390 / -74 => X = 5,27 unidades Reemplazamos en la función precio para saber cuánto costaría cada unidad. p5,27 = 500 – 15 (5,27) p5,27 = $420,95 por unidad La cantidad de unidades que produciría es menor que en los tres casos anteriores (sin impuesto, y con los dos primeros impuestos estudiados), y el precio a su vez es mayor. Ahora calcularemos el beneficio que obtendría este empresario. B5,27 = 390 (5,27) – 37(5,27)2 – 170 B5,27 = 2055,3 – 1027,59 – 170 B5,27 = $857,71 Como se puede apreciar, el beneficio es menor que en los tres casos anteriores, ya que se venderían menos unidades. La recaudación del Estado se calcula como el 20% de los ingresos por venta: 0.2(420.95)5.27 = $444 Pero además, este impuesto es perjudicial tanto para el productor, como para el consumidor (ya que las unidades ofrecidas van a ser menores, pero a mayores precios), así como para el conjunto de la sociedad, debido a que el valor total del negocio se ha reducido: esto se ve comparando inicialmente $1330; ahora 444 + 858 = $1301 y la menor cantidad y mayor precio. Impuesto sobre el beneficio del productor: Supongamos un impuesto del 25% sobre el beneficio para realizar el ejemplo hay que volver a calcular el beneficio máximo a obtener otra vez. B = IT – CT – 0,25 (IT – CT) B = (1- 0,25) . (IT – CT) B = 0,75 (IT – CT) B = 0,75 (500X – 15X2 – 25X2 – 10X – 170) 384 385 B = 0,75 (490X – 40X2 – 170) B = 367,5X – 30X2 – 127,5 (nueva función de beneficio) Hay que calcular la cantidad de unidades necesaria y a qué precio venderlas para obtener el máximo beneficio posible con este impuesto sobre el beneficio. Con B‟ = 0 y B‟‟< 0 B‟ = 367,5 – 60X = 0; -60X = -367,5 X = -367,5 / -60 (con B‟‟ = -60 < 0, por lo tanto es máximo) => X = 6,125 unidades Para calcular el precio de las 6,125 unidades, reemplazamos dicho valor en la función de precio que sigue siendo la misma que la primera del ejercicio: P6,125 = 500 – 15 (6,125) => P6,125 = $408, Por lo tanto podemos observar que es la misma cantidad y el mismo precio que si no sufriera ningún impuesto. Ahora pasamos a calcular el beneficio para esta cantidad (6,125), pero con la nueva función de beneficio: B = 367,5X – 30X2 – 127,5 B6,125 = 367,5 (6,125) – 30 (6,125)2 – 127,5 B6,125 = 2250 – 1125, – 127,5 B6,125 = $998 Ya que la cantidad y el precio son similares, también lo podríamos calcular tomando el beneficio que obtendría el empresario sin ningún impuesto y restándole el 25% de ese mismo beneficio: Beneficio inicial = $1330 25% de $1330 = $332 (recaudación fiscal para el Estado) Por lo tanto = $1330, - $ 332 = $998 Este impuesto sólo es perjudicial para el productor y no afectaría a los consumidores, ya que el precio y la cantidad son iguales que sin impuestos; solo bajan los beneficios. Como conclusión estos impuestos serían más indicados o convenientes que los anteriores sobre ventas (al igual que los impuestos fijos a la empresa) siempre que no sean trasladados a precios hacia el comprador: reducen el excedente del productor pero no así el excedente del consumidor. Por el contrario los impuestos sobre ventas (específicos o advalorem) son perjudiciales, ya que reducen el excedente del productor y el del consumidor, afectando también a la comunidad con otra reducción adicional de negocios. 385 386 EMPRESA SOBREDIMENSIONADA No necesariamente todos los monopolios actúan en forma no competitiva. Es frecuente que las empresas industriales superen la capacidad del mercado en países en desarrollo y necesiten exportar a fin de ocupar más sus instalaciones y conseguir menores costos medios y menores precios. La limitada venta al mercado local no permite que alcance el punto crítico o mínimo CM. Su CM es siempre decreciente (una hipérbola) y se corresponde con funciones de CT lineales y no parabólicas. Cuando exportan deben hacerlo a los bajos precios internacionales (dumping). Los grandes niveles exportados también suelen tener precios menores que las pequeñas operaciones del mercado local (con mayor MC y mayor P). Pero suele haber denuncias internacionales por dumping o subsidios y es necesario defender las acusaciones mediante esta teoría de la competencia. Con tablas de extras o descuentos de precio por cantidad según los CM decrecientes; listados de costos y balances firmados por cantador público (sin pérdidas) que suelen incluir en el cuadro y anexo 1 los principales datos necesarios: importe total de venta; cantidad vendida; total de costo fijo; total de costo variable; resultado. Consulten el TP 6:tp_28 sobredimensionada.xls Y lean más adelante sobre uno de los casos reales de antidumping norteamericanos en chapa de acero argentina. El modelo utilizado ahí fue con CT lineales y así CM hiperbólicos para ilustrar el insuficiente mercado local y la necesidad de exportar para ser competitivos; tablas de extras de precios según diferentes costos por volumen comprado; 5 simples datos del balance firmado por un contador público y documentos de costos y facturación auditados in-situ por funcionarios del Dep.of Commerce - ITC. Ejercicio teórico) a) determine la necesidad de acercar la producción al nivel de mínimo CM, nunca alcanzable con el mercado local: Demanda P = -5X +250 ; costos C= 50X +120 (una lineal) IT = -5X” +250X o sea precio (demanda) por cantidad IMg = C‟ = -10X +250 con doble pendiente que el IM o P CMg = C‟ = 50 constante ya que el CT es lineal CM = C/X = 50 +120/X costo medio hipérbole por el costo lineal Equilibrio: Max B, con B= IT – CT; B? = 0 y B‟‟ < 0 IMg = Cmg ; -10X +250 = 50 o sea -10X +200 = 0; X = 20 y el precio P = -5(20) +250= $150 $B = 150(20) –( 50(20) +120) = $1880 386 387 b) Si actúa competitivamente en “C”: el equilibrio competitivo sería con P = CMg O sea, -5X +250 = 50 ; -5X = -200 ; X = 40 ; con P = -5(40) +250 = $50 $B = $50(40) –(50(40) +120) = $-120, perdida. c) Si exporta a precios competitivos Para actuar competitivamente debe vender al nivel del mínimo CM posible: P = CM -5X + 250 = 50 + 120/X ; -5X2 +250X = 50X +120 ; -5X2 +200X – 120= 0 y según Ruffini X = -b+-(b2 -4ac)1/2 / 2(a) = 39 y 0,8 La raíz 39 cumple la condición B‟‟ < 0. El precio P = 5(39) + 250 = $52 Con beneficios $B = 52(39) –(50(39) + 120) = 2070 – 2070 = 0$ (cubre sus costos pero no obtiene beneficios extraordinarios, según el modelo competitivo de largo plazo. VIGILANCIA ANTIDUMPING Un paréntesis con un ejemplo: Clarín de hoy 9/09/03 pag. 19: "Colchoneros a los almohadazos- Piero denuncia a Basf por presunto contrabando"... Petroquímica Rio III (Piero) dice que estafó a la Aduana evadiendo derechos de importación. La gomapluma es producida por P.Rio III (que abastece al colchonero cordobés Piero) y por la Petroquímica Basf (que abastece a Simmons, La Cardeuse y Espumas Pilar). 387 388 Piero denuncia que Basf importó la materia prima (TDI) declarando un precio menor al real, para reducir con esta subvaluación el pago de derechos de importación e IVA correspondientes, perjudicando al Fisco (Aduana) y descolocando además con esta competencia desleal a la producción de colchones de Piero: u$s/ton 1400 en vez de los 1950 reales del mercado internacional. Esta es una faceta poco utilizada de la microeconomía: la vigilancia antidumping o de la competencia desleal. Quién vigila, informa documentando adecuadamente y mueve mejores influencias que la competencia se queda con el mercado ilegalmente. Quien pierde reduce su producción y/o quiebra. Esto es generar demanda !!! y defenderla /mantenerla !! (generar trabajo !; y es una de las tareas del profesional que aplica la microeconomía haciendo respetar las normas de la libre competencia según la legislación nacional y de la Organización Mundial de Comercio, que les comentaba. El tema del colchonero /Petroquímica Rio III aparecerá seguramente en el sitio del Ministerio de Economía, Secretaria de Comercio Interior... o Exterior (según donde concreten la denuncia: Comisión Nacional de Defensa de la Competencia o bien Comis. Nac. de Comercio Exterior...) en http://www.mecon.gov.ar (avanzado el curso tienen que ingresar ahí para ver muy por arriba las numerosas denuncias efectuadas), ya que la segunda parte del curso es precisamente sobre el mercado de libre competencia y las conductas monopólicas...... Estas últimas forman parte de la naturaleza humana; y cada uno tiene que ayudarse ayudando a las instituciones /Estado a regular competitivamente. Vigilância antidumping: Para que estudiamos tantos modelos? para defender la demanda de su empresa ! Otro relato abreviado de algo real que sucedió aquí con EEUU: la ley domestica (interna) y del comercio internacional (OMC ex GATT) solo admiten la transparencia y competencia según el modelo competitivo. Todo lo demás es ilegal. Si ud. ve que su empresa pierde mercado ante un competidor por prácticas no competitivas lo denuncia y recuperaría la demanda para su empresa... Le envían inspectores a observar al denunciado y tiene que entregar ya (no le dejan fabricar, hacer o preparar) las pruebas; por ejemplo, demostrar que no discrimina precios, ya que cobra a todos igual (demostrando que ello es así si corresponden a igual costo medio, ya que el precio y costo para mayoristas es menor que minorista. Demostrarlo? En el acto razoné ahi: solo tengo la memoria y balance firmada por el contador (legal en todo el mundo); el balance solo informa: el total en $ vendido; total unidades vendidas; total costo fijo y total costo variable; nada más. Pero esto es suficiente para armar una tabla de extras de precios o costos (extras o descuentos a minoristas/mayoristas...según los 388 389 costos la producción para unos u otros, coincidente con unos porcentajes publicados para clientes) Recuerden que al exportar a EEUU u otros la venta local de la empresa se duplicaba con esas exportaciones de 15.000 ton. Por esto hice una tabla de extras para 16, 17, hasta ...29 y 30 mil. EL costo fijo total se repite los 15 veces; también se repite el CMV (siempre una ton. de chapa lleva 1,6 ton. de mineral y 0,7 de carbón....sea cual sea el nivel de producción mensual , una ton es una tonelada. Lo demás del cuadro cambia según el nivel producido porque se reparten mejor los costos fijos con la mayor cantidad.... Una simple cuenta elemental que tienen uds. en foto más abajo, pero que demostró que existía un informe interno para aplicar estos descuentos de lista de precio para a mayoristas...y que no fue una rebaja arbitraria o un invento. Fax a Washington a las 2 horas y así salvado aquel filtro legal. Luego ayudó mucho que los consumidores de aquel país, presionaron a su Congreso apoyando a sus importadores; y así la empresa argentina pudo dar trabajo directo e indirecto a 70 mil personas (esto se repitió varias veces cada 2 o 3 años.). Había trabajo porque se defendía la demanda, con los argumentos de microeconomía. ¿Captan uds. para qué se estudian tantos modelos aparentemente inservibles? 389 390 Dumping: Definición El dumping se define como aquella práctica de comercio desleal en la cual se vende un producto en el extranjero a precios inferiores a los del mercado nacional. La legislación antidumping. Es importante aclarar que la sola existencia de dumping no da lugar a la aplicación de derechos antidumping. Para que dichas medidas sean aplicadas es necesario que exista el resultado definido de daño a la producción nacional. 390 391 Para que se dé una situación dumping, es necesario que los productos extranjeros (importados) se vendan en el mercado doméstico a un precio inferior a su valor normal. Precio de Importación > Valor Normal No hay dumping Precio de Importación < Valor Normal Hay dumping Definimos al daño como cualquier lesión o menoscabo patrimonial importante, o la privación de cualquier ganancia lícita y normal importante, que sufra o pueda sufrir la industria o producción nacional, como consecuencia de alguna de las prácticas de comercio desleal. También puede definirse como una amenaza de perjuicio o daño Caso real de competitivamente una empresa sobredimensionada que actúa El siguiente relato sintético de algo ocurrido (y que ocurre constantemente a toda empresa) busca explicar el sentido práctico que tiene estudiar modelos teóricos sobre demanda, oferta, mercados y situaciones incluidas en los programas de Principios de Economía y Microeconomía Las funciones de costos totales cúbicas llevan a curvas de costos medios en forma de U que explican el accionar de las pequeñas empresas competitivas. Pero cuando las empresas son muy grandes para su mercado no alcanzan a actuar en el punto de mínimo costo medio; trabajan con alto costos medio y cantidades a la izquierda del mínimo. Entonces, para este caso las funciones de costos totales lineales llevan a curvas de costos medios de tipo hiperbólico: nunca de alcanza el mínimo costo medio y explican mejor la situación de las grandes empresas sin mercado local suficiente. Si el objetivo de la empresa es maximizar el beneficio (minimizar la perdida), la empresa competitiva debe vender la más posible que le permitan sus costos. En el largo plazo opera en mínimo costo medio (punto óptimo de explotación); no hay beneficios extraordinarios debido al ingreso de nuevos competidores y consecuente baja de la demanda. Pero cuando no hay suficiente mercado, la empresa puede buscarlo exportando, si no la acusan de dumping para evitar sus envíos. Los EEUU prestaron U$S 5000 millones a Utopilandia para venderle una planta siderúrgica. El equipo es grande pero esperan que el pequeño mercado local crezca, o bien exporte los excedentes a EEUU u otros. El equipo está diseñado para 30 mil ton/mes, y como el mercado local es de solo 15 mil se buscó un cliente en EEUU por otras 15 mil ton/mes. 391 392 Las usinas de EEUU y sus sindicatos efectuaron un fuerte lobby ante su gobierno, que inició investigaciones antidumping a través del Dep.of Commerce y la ITC -International Trade CommisionSe denunciaban precios de exportación de $ 380, contra $700 por ton para ventas internas del mismo producto en Utopilandia. El exportador preparó la defensa demostrando que $700 era el precio para ventas minoristas por un camión de 25 ton.; mientras que $380 era un precio mayorista para 15 mil ton.. Al producir esta gran cantidad adicional bajan los costos medios (mejor reparto de los costos fijos) y esta diferencia de precios no es así una discriminación ajena al modelo competitivo, sino buscar el objetivo competitivo de optimizar, maximizar el beneficio. Muchas otras acusaciones fueron agregadas: subsidio por reembolso a la exportación (aunque en realidad éste era solo una parte de la carga impositiva efectivamente soportada por el exportador); y otras acusaciones, cuya defensa siempre es inútil, ante la aplicación "ad-baculum" del antidumping proteccionista que puede ejercer aquel gran país. Sólo en algunos momentos los consumidores norteamericanos hicieron valer sus derechos a importar barato y se condonó este antidumping. Pero generalmente nadie puede vender a EEUU acero, textiles, ni ningún producto manufacturado (paralelamente, subsidian allí sus granos en un 100%, perjudicando en terceros mercado a los productores de Utopilandia, que no obstante, aspiran a ingresar al ALCA sin estas interferencias a la libre competencia; especialmente después de la desilusión que el desarrollismo brasileño impuso a su entrega unilateral y transparente al Mercosul. EL exportador soporto imprevistas inspecciones desde EEUU (tanto de D. Commerce como de la ITC); en pocas horas debió presentar copias de las facturas locales por ventas minoristas y las de otro cliente local también mayorista, coincidente a $ 380. También debió explicar por escrito porque esos diferentes precios no eran la discriminación acusada. Fue necesario recordar principios de economía, sus modelos competitivos, gráficos y teorías sobre costos, y el legítimo accionar de la empresa buscando maximizar beneficios, según este modelo que sustenta la legislación internacional (OMC /GATT) y doméstica en todo país. De todos modos, el éxito en la defensa no duró muchos, ya que las denuncias se suceden cada muy pocos años a fin de cerrar su mercado. Esta explicación teórica puede verse en la copia facsímil que fue necesario enviar por fax aquella mañana, mientras que los inspectores retiraban copias de la contabilidad de costos anual y trimestral con los valores detallados (principal secreto reservado en toda empresa), así como las Memorias y Balances de los últimos ejercicios de la empresa, que son siempre documentos públicos legales, ya que están firmados por algún contador registrado (interesa tener en cuenta que en ese momento no existía Micro Soft ni Windows; sólo rígidos procesadores IBM de la familia 360 y todavía pocas PC tipo XT) 392 393 En cuadros 1 y anexo A de las memorias figuran siempre datos vitales: total de ventas en pesos y toneladas; total de costos, clasificados en fijos y variables. Con estos datos legales se confeccionó la tabla de extras de precio /costos según tramos de volumen adicional entre 15 y 30 mil toneladas. Los costos fijos se reparten mejor conforme aumenta el volumen producido (menor costo medio fijo). Los costos variables son siempre los mismos si se miden por tonelada. El costo medio total baja así según aumenta el volumen producido y coincide con el precio establecido para cada tramo de ventas, demostrando que no una discriminación predatoria de precios sino la adecuación competitiva a los costos reales. Finalmente, la decisión favorable dependió mayormente del apoyo de los consumidores / importadores en EEUU, pero aun así no hubiera ocurrido si la defensa no presentara la documentación pedida y demostrara con Principios de Economía la legalidad de su accionar CARGA IMPOSITIVA SOBRE LOS EXPORTADORES MAYOR QUE LOS REINTEGROS (REEMBOLSOS) Las empresas exportadoras pueden ser acusadas de vender a precios inferiores al costo o al precio local (dumping), o bien de recibir subsidios como por ejemplo a través de reintegros o reembolsos de impuestos al exportador, mayores a la carga impositiva (subsidio). La carga impositiva, en cascada, mucho mayor a la carga directa de cada empresa, aunque internacionalmente solo se acepta la devolución parcial a los exportadores como reintegro (para evitar la doble imposición en origen y destino): solo se acepta la devolución de los incorporado físicamente (sin mano de obra ni gastos financieros...) CARGA IMPOSITIVA EN LAS EXPORTACIONES Los exportadores pueden tener denuncias desde otros países por presuntos subsidios a la producción y/o exportación, por recibir algún reintegro impositivo (ex reembolso o devolución para compensar una probable doble imposición). La OMC (ex GATT) reconoce legítima la devolución de la carga impositiva incorporada físicamente (sin la del costo salarial c) ni la de los costos financieros d) Es importante justificar la carga impositiva devuelta con los reintegros, conformada por los impuestos pagados directamente por la empresa y aquellos incorporados en la facturas por compra de insumos y servicios para la producción exportable. 393 394 Suponiendo para un bien exportable una estructura de costos como esta hay que detallar cada impuesto, su alícuota y su incidencia, para ponderar y obtener la carga: 394 395 EJEMPLO DE CÁLCULO DE LA CARGA IMPOSITIVA: COSTOS DETALLE IMP PONDERACIÓN a) 22 % Insumos nacionales ..18? 18 / 1.18 = 15.25 b) 30% Insumos importados...15? 15 / 1.15 = 13.04 c) 20% Mano de obra ............ ....... d) 20% Gastos financieros ............ ........ f) 7% Impuestos directos 7.0? 100 g) 1% Ganancia 0.33? 100% TOTAL CARGA 0.22X0.1525=3.36. 0.30X0.1304=3.91 ..... ..... 7.00 0.01X0.33=0.0033 14.27 % Se trata de discriminar y detallar todos los impuestos que puede contener cada factura pagada para producir para completar la columna Detalle IMP (que aquí simplemente se estimó en 18%). Es conocido que todas las empresas pagan impuestos nacionales, provinciales y municipales. También es sabido que la carga impositiva nacional suele ser de un 40% del producto nacional (según informa la Sec.de Hacienda cada trimestre) y que en principio solo debiera excluirse de ella al IVA, que abonan los consumidores y no las empresas). Cada empresa abona directamente impuestos nacionales, provinciales y municipales. Supongamos que los tiene listados y suman 7% de su costo total del producto exportable. Además tiene la incidencia indirecta, ya que esto mismo soporta todo proveedor de insumos del rubro a), b) c), etc., incluyendo fletes, energía, combustibles, materiales, servicios financieros y demás (igualmente correspondería incluir la pequeña incidencia de las etapas anteriores incorporadas en cascada sobre el proveedor, suponiendo que los suyos tienen una estructura y carga similar). Algunos de estos impuestos del conjunto que hay que detallar en cada rubro son: Ingresos brutos %, Débitos bancarios 1.2%, Inmobiliario %, tasas municipales de seguridad e higiene %, por conservación de la vía publica %, a la publicidad y propaganda %, tasas de habilitación %, funcionamientos %, disposición de residuos %, sellos %, construcciones civiles %, instalaciones electrodomésticas %, inspección de motores %, retención de impuesto a las ganancias %, impuestos al gas %, a los combustibles %, impuestos internos %, tasa de estadística %, derechos de importación % según sea el insumo, a los seguros %, a los gastos bancarios %, etc. Se trata de individualizar cada uno de estos y muchísimos más municipales, provinciales o nacionales y detallar su alícuota y su incidencia en el costo de producción de ese insumo del rubro a), b), f), g) integrados físicamente. Los exportadores suelen comunicarse con los encargados de costos de sus proveedores para pedirse su estructura de costos y el listado y alícuotas de sus impuestos; suelen colaboran una vez que entienden para qué se les pide la información (ya que redundará en beneficio y trabajo mutuo) Finalmente, para obtener la carga impositiva total, una vez ponderados estos en cada rubro por el % de ese rubro hay que dividir estas sumas (por 1,22 en el 1er rubro; por 1,3 en el segundo; etc) para evitar una doble consideración o grossing up en el insumo. 395 396 Como la OMC solo admite la devolución de la carga físicamente incorporada se excluyen del informe los rubros c) y d); pero siempre se obtiene una carga física quizás del orden del 15%; mucho mayor que la generalidad de los reintegros a la exportación. IMPUESTOS EN ARGENTINA Gravan a las empresas 3 tipos de impuestos y tasas. Los nacionales, los Provinciales y las municipales IMPUESTOS NACIONALES: I.V.A Impuesto al valor agregado. La tasa general es del 21% habiendo muy pocos productos exceptuados (pan, leche diaria y revistas) algunos con una alícuota del 10.5% y si el comprador es monotributista se le aplica una alícuota del 27%. Este impuesto recae exclusivamente en el consumidor, por tanto, la empresa no lo toma en cuenta en su estructura de costos Impuesto a las Ganancias. Es el que se aplica a las ganancias empresariales y personales. La alícuota es del 33 % en general con diferencias según la categoría del contribuyente y el mono de las ganancias. Ganancia Mínima Presunta. Este impuesto se tributa en caso de que no se tribute ganancias. Es un 1% sobre el total del patrimonio para patrimonios mayores a 1.000.000,00 de pesos. Es muy distorsivo Bienes personales. Se tributa sobre el patrimonio de los individuos. Es deducible de ganancias. Impuestos Internos. Son con el fin de proteger la salud de la población y elevar el precio de productos potencialmente dañinos a la salud. Ej. Impuesto al tabaco. Son siempre para un determinado producto Derechos aduaneros. Son derechos a la importación o retenciones a las exportaciones. Impuestos a los combustibles. Es un monto fijo por litro de combustible. Lo pagan las petroleras directamente cuando despachan los camiones hacia las estaciones de servicio. Para evitar fraudes los combustibles se diferencian por color. Al sur del paralelo 33 este impuesto es más bajo para fomentar la actividad en la Patagonia Impuestos A los débitos y créditos bancarios. Se aplica el 2 % a cada debito/crédito que tenga una cuenta corriente o caja de ahorro exceptuando los realizados por ventanilla del propio banco. Multas por cheque sin fondos. Es un fondo especial que lo reciben las asociaciones de bien público de discapacitados. Es el 2% del valor del cheque o el 4% del valor del cheque según el motivo del rechazo. El mínimo es de 396 397 100.00$ pero en caso de que el cliente devuelva el caratular se le bonifica el 50%. PROVINCIALES: Ingresos Brutos. Difiere la alícuota por provincia y por rama de la actividad. Es un impuesto distorsivo normalmente del 2% de los ingresos brutos. No se permiten deducciones. Hay casos que se cobran sumas fijas. Por ejemplo, en Capital federal los hoteles alojamiento pagan por habitación. Patentes. Para vehículos empadronados (autos, motos, embarcaciones) Es un porcentaje de acuerdo al año y modelo del mismo. Los vehículos importados en algunos distritos tienen un recargo. En Capital federal por ejemplo con más de 12 años de antigüedad el vehículo no paga más patente.Impuesto a los sellos. Es Sobre el sellado de contratos. Varían las alícuotas por distrito y según el tipo de contrato MUNICIPALES: TASA POR ALUMBRADO, POR INSPECCION, POR ESTO Y LO OTRO EN cada partido; COIMAS para TODO Se conforma una cascada impositiva según el ejemplo de Micro con Excel. La OMC reconoce que no es subsidio la carga impositiva integrada físicamente (sin la salarial ni la financiera) OLIGOPOLIO Un oligopolio (de oferta) se caracteriza porque la demanda es competitiva pero la oferta está atendida por unos pocos oferentes. El caso extremo del oligopolio es aquel en el que existen dos productores y se denomina duopolio. Una de las características de este mercado es la capacidad que el empresario tiene de influir sobre las decisiones de sus competidores con sus propias acciones y condicionar las decisiones de sus rivales; un ejemplo clásico de esta posibilidad son las guerras de precios. -Los compradores de un oligopolista se comportan de acuerdo con una función de demanda decreciente. El equilibrio del oligopolista se determina por la regla IMg = CMg,si bien ,debido a la interdependencia mutua, el empresario oligopolista no posee una función de demanda estable. -Una solución del oligopolio tiene carácter colusivo cuando todos los rivales, de forma explícita o tácita, establecen acuerdos que les permitan tener información sobre el comportamiento o reacción de los demás ante una decisión que se tome en el mercado. Dentro de este tipo de soluciones la más característica es el cartel, (combinación de empresas que tratan de limitar la acción de las fuerzas de la 397 398 competencia para acordada un precio común y o alcanzar una maximización conjunta de los beneficios) -La competencia monopólica surge cuando existen muchos vendedores, pero cada uno de ellos es capaz de diferenciar su producto del fabricado por sus competidores, actuando de hecho como monopolista de una marca, y se enfrenta a una curva de demanda con inclinación negativa. En consecuencia, en el equilibrio a largo plazo en un mercado de competencia monopólica la cantidad producida es inferior a la que corresponde al mínimo de los costos medios. Este resultado se conoce como teorema del exceso de capacidad. DUOPOLIO SEGÚN COURNOT En el ejemplo de Diéguez y Porto (pag.127) se usan dos funciones de costos C1=1/4X12 + 10X1 +20 y C2= 1/3X22 + 8X2 +18 y una demanda lineal, aclarando que la cantidad es para ambas empresas. P = 30 –X (con X= X1 +X2) (1). EL método de optimización es la conocida maximización con una variable: B‟=0 y B‟‟<0 Para obtener el IT de cada una hay que hacer IT = P(X1+X2), por lo cual aparecerán las cantidades de ambas empresas en cada IT1=…(2) e IT2=…(3). Calculando los CMg de cada una se puede optimizar según Cournot (usual punto de equilibrio E ). Se obtiene B‟1= 20 -5/2X1 –X2=0 y despejando X1=82/5X2 (4) (FR1 o función de reacción, que expresa la producción de la empresa 1 como dependiente de lo que haga la otra) Igualmente, derivando el B2 surge B‟2=0 y de aquí se despeja la FR2 : X2=33/4 -3/8X1 (5) La optimización / mazimizacion en ambas se hace simultánea al reemplazar las cantidades de la otra empresa, ya que el modelo de Cournot supone que la otra mantiene la producción fija (100 años después Stackelber cambiaría este supuesto de producción fija en la otra; y al optimizar la lider (no la seguidora) maximiza. Reemplazando la (5) en la (4) se obtiene X1= 5,53 y según (5) X2 = 6.17. Ambas suman 11,7‟. El precio P11,70 = 30-11.70 = $18.30. B1= $18.36 y B2 = $32.86. Este sería un reparto racional según las funciones de reacción de Cournot (sin colusión o mutua puesta en acuerdo). Su supuesto básico es que cada empresa cree que la otra mantiene una producción fija, entonces su 398 399 maximización la calcula antes de reemplazar el valor de la función de reacción de la otra. En 1934 Stackelber cambiaría este supuesto por el de producción no fija en la otra; y su cálculo difiere en que mazimiza la empresa lider después de haber reemplazado en su propia función de beneficio la producción de la seguidora. Ejercicio EMPRESA LIDER Y SEGUIDORAS, DE STACKELBERG Con el mismo ejemplo anterior de ingresos y costos, de Dieguez y Porto Si la empresa 1 líder reemplaza la función de reacción de la seguidora (5) en su beneficio (2): B1= -5/4X12 +20X1 –X1 (FR2) -20)= 47/4 -7/8X12 -20. Ahora optimiza, maximizando con B‟=0 y B‟‟<0 … B‟ = 47/4 -14/8X1=0 con X1=6.71, de modo que según (5) es X2=5.74; sumando ambas X=12,45. El precio P12.45 =30-12.45=$17.55 y el B1= según (2) =$19.42 y según (3) B2=$25.84. LIDER LA 2da. Y SEGUIDORA LA 1ra: Utilizando las mismas funciones (1), (2), (3) la líder reemplaza en su función de Beneficio (3) la función de reacción de la seguidora (4): B 2= -4/3X22 +22X22 – X2(FR1) -18; Luego optimiza con B‟=0 y B‟‟<0, o sea, B‟= 14 -28/15X2=0, surgiendo X2=7.5, además según (4) X1= 8- 2/5(7.5)= 5; en total X=12.5; P 12.5= 30 -12.5 = $17.50. El B1=$11.255 según (2) y el B2=$34.50 según (3). A diferencia del supuesto de Cournot sobre producción fija en la otra empresa, Stackelber incorpora la cantidad de la seguidora en la función de beneficio de la lider, que recién entonces procede a maximizar, considerando así la producción de ambas empresas variable (pero la seguidora no optimiza). Los valores obtenido por cada empresa en estas estrategias competitivas individuales o sin colusión serán tenidas en cuenta al momento de conversar entre ellas sobre el reparto de alguna alternativa conjunto (en cartel). Ejercicio: Duopolio Siendo la función de demanda Pd= 100 - 0.5 (x1 + x2) y las funciones de costo c1= 5x1 y c2= (0.5x2)2. Hallar el equilibrio según Cournot. Hallar el equilibrio de colusión. Qué ocurriría si la empresa 1 actúa como líder y la 2 como seguidora? a) EQUILIBRIO SEGÚN COURNOT Introducción: Solo dos oferentes, sin colusión, ante una demanda competitiva. 399 400 Pd= 100 - 0.5 (x1 + x2) c1= 5x1 c2= (0.5x2)2 Desarrollo: Cada uno actúa considerando su oferta dependiente de la cantidad ofrecida por el otro I1= [100- 0.5(x1+x2)] x1 I1= P(x1)= 100x1- 0.5x12 – 0.5x1x2 B1= I1 – C1 B1= [100 - 0.5(x1+x2)] x1 -5 x1 dB1/dx1 = 100 - x1 - 0.5x2 - 5 = 0 x1 = 95 - 0.5x2 à función de reacción x1 I2= P(x2)= [100- 0.5(x1+x2)] x2 I2= P(x2)= 100x2 - 0.5x22 – 0.5x1x2 B2= I2 – C2 B2= [100 - 0.5(x1+x2)] x2 - (0.5x2)2 dB2/dx2 = 100 - 0.5x1 - x2 - x2 2x2 = 100 - 0.5x1 x2 = 50 - 0.25x1 à función de reacción x2 (*) Reemplazo (*) en x1 x1= 95 - 0.5(50 - 0.25x1) x1 = 95 -25 - 0.125x1 0.875 x1 = 70 x1 = 80 à x2 = 50 - 0.25*80 = 30 Pd = 100 - 0.5 (80 +30) = 100 - 55 = 45 P = 45 B1= P(x1) – C1 B1= 80*45 - 5*80 = 3200 B2= P(x2) – C2 B2= 30*45 - 0.5*30^2 = 900 DUOPOLIO SEGÚN BERTRAND (o EDGEWOURT) Ejemplificado por dos hoteles de un pueblo. Cuando se instala el segundo hotel, observa que el primero está optimizando el mercado disponible (como si fuera un monopolio). Para simplificar se suponen costos nulos (como pozos de agua mineral) de modo que si la demanda es nula para P=12 y X=10 para precio nulo, entonces el IMg tendría ordenada 12 y abscisa 5. Con costos nulos el costo marginal también cortaría la abscisa en 5 (punto E de Cournot), de modo que la primera está optimizando vendiendo 5 unidades al precio $6. La segunda observa el mercado remanente a precios menores (entre 5 y 10 unidades, que podría optimizar vendiendo a un precio de $3, pero con muy bajos resultados. Le queda entonces la alternativa de efectuar una guerra de 400 401 precios, bajando un peso para quitarle los clientes a la otra empresa. Pero la otra haría lo mismo, bajando otro peso, etc. hasta que alguna quiebre. Al ser un duopolio ingresaría otra, reiniciando el proceso; un sinsentido dada la limitación fijada teóricamente y comparando con las funciones de reacción de Cournot. DUPOLIO SEGÚN CHAMBERLIN Si la primera está optimizando con X=5 y P=6, cuando ve que ingresa la segunda, resuelve mantener ese precio pero también reducir su cantidad vendida a X=2,5, dejándole la mitad del negocio a su competidor. Es la mejor solución posible si existe la situación de ser un duopolio (un segundo mejor, second best). OLIGOPOLIO DE STACKELBERG: LIDER - SEGUIDORAS Generalmente el beneficio de cada duopolista es función de los niveles de output de ambas. Pero cada empresa puede hacer algún otro supuesto sobre la reacción de su rival. La variación conjetural es la respuesta que se supone que cada empresa tendrá ante el output de su rival. Uno de los conjuntos de supuestos más interesantes, acerca del relación conjetural es el contenido en el análisis de la conducta de líderes y seguidores formulado por Henrich Von Stackelberg. El seguidor actúa de acuerdo con su función de reacción y ajusta su nivel de outpu de modo que dada la cantidad decidida por su rival, al que supone líder, maximiza su beneficio. El líder no actúa de acuerdo a su función de reacción. Maximiza su beneficio, dada la función de reacción de su rival, ya que efectúa la maximización una vez que reemplazó en su propia función de beneficio la producción de la seguidora. Cada duopolista calcula los niveles de beneficios máximos que puede conseguir actuando como líder y actuando como seguidor. Consecuentemente deseará desempeñar el papel que le rinda un beneficio superior. Si uno desea actuar como seguidor y el otro como líder, se produce un equilibrio determinado, lo que implica que las condiciones de primero y segundo grado para los máximos se cumplen. Si los dos desean actuar como seguidores, se alcanza la solución de Cournot, de otro modo para alcanzar el equilibrio, uno de los dos tendría que modificar sus modelo de conducta y actuar como líder. Si ambos quieren actuar como líderes, esta situación se conoce como desequilibrio de Stackelberg. Ejercicio 1) empresa líder/seguidora según Stackelber 401 402 Una líder con varias seguidoras (aquí reducido a solo dos empresas) P = 100 - 0,5x1 – 0,5x2 ; C1= 5x1 ; C2= 0,5 x22 Cada uno estudia eligiendo ser líder o seguidor y coloca la función de producción del oponente en su propia función de beneficio. Actuando por su cuenta según Cournot la empresa 1 tiene la siguiente función de ingresos, beneficios y reacción: IT1= P(x) = (100 -0,5x1 – 0,5x2)x1 IT1= 100X1 -0,5x12 – 0,5x1x2 B1= IT1 – C1 B1= 100X1 -0,5x12 – 0,5x1x2 – 5x1 B‟1= 100 -x1 – 0,5x2 – 5 = 0 X1= 95 - 0,5x2 función de reacción 1 u oferta 1 ( cumpliendo B``= -1 < 0) Igualmente, según Cournot la empresa 2 tiene la siguiente function de ingresos, beneficios y reacción: IT2= P(x)= (100 -0,5x1 – 0,5x2)x2 IT2= 100x2 -0,5x22 - 0,5x1x2 B2= IT2 – C2 B2= 100x2-0,5x22 - 0,5x1x2 - 0,5 x22 B2= 100x2 – x22 -0,5x2x1 Maximizando: B‟2=100 –2x2 - 0,5x1 = 0 X2= 50 -0.25X1 oferta o función de reacción 2 actuando por su cuenta según Cournot. ( cumpliendo B``= -2 < 0) En este planteo de Cournot (actuando por su cuenta y suponiendo fija la oferta de la otra empresa) los beneficios para ambas empresas serían: Según las funciones de reacción 1 y 2 es X1 = 95 -05.(50 -0.25X1), o sea, X1 = 80, por lo cual reemplazando es X2 = 50 -0.25(80) = 30. Entonces los beneficios son: B1 = 95(80) – 0.5(30)80 -5(80) = $ 6000. B2 = 100(30) -0.5(80)30 – (30)2 = $ 2083. Pero Stackelber entiende que las empresas no consideran fija la producción de su competidor: entonces, la empresa 1 lider reemplaza la 402 403 función de producción x2 en su función de beneficio de la empresa 1 para obtener la cantidad y el beneficio: B1= 95x1-0,5x12 – 0,5x1 (50 -0,25x1) B1= 95x1 -0,5x12 -25x1 + 0,125x12 Maximizando B‟1= - 0.75x1 +95 = 0 ; X1= 93 la cantidad de la lider. Cumpliendo B‟‟ = -0.75 < 0. Su beneficio es B1= 95(93) -0,5 (93)2 – 5(93)27; B1= $ 3445 Igualmente si la empresa 2 actúa como lider, reemplaza en su función de beneficio la oferta de X1 : B2= 100 x2 - x22 – 0,5x2 (95 – 0,5x2) B2= - 0.75x22 + 55x2 Optimiza con B‟2= -1,5x2+55 = 0; o sea, con X2= 36.7 (cumpliendo B‟‟ = -1.5 < 0) Y según la función de reacción 1 es X1 = 95 – 0.5(36.7) = 95 – 18.4 = 76.7 El importe de su beneficio es B 2= 100 (36.7) - 0,5 (76,7)36.7 -(36.7)2; B2= $ 915 El resultado de estos escenarios se compara con otros posibles sin y con colusión, para determinar cuál conducta le conviene (y según sean las posibilidades legales de actuar con colusión) . OLIGOPOLIO Y BARRERAS DE ENTRADA La industria de servicio fúnebres – R. Blackwell, Un. Ohio. Suelen tener mercados solo locales. Era un tema tabú, poco estudiado hasta que surgieron algunos modelos de competencia imperfecta: Son análisis análogos, de 1962, 1956, 1958 respectivamente, ejemplificados con el mercado de pompas fúnebres en las grandes ciudades. Varias firmas prestan un servicio de menor calidad mientras que una firma mayor presta un servicios mejor y más caro, que mantiene porque goza de una licencia municipal, que la protege de nuevos competidores (Sylos Labini, Oligopolio y Progreso Técnico, Roma 1957, estudió el oligopolio basado en tecnología no homogénea, información asimétrica y fijación de precios que impida nuevos competidores: las licencias / “acuerdos” con gobiernos municipales serían un caso) Paolo Sylos –Labini, 1966, en Oligopolio y progreso técnico; 403 404 Bain, 1957, con Barreras a nuevos competidores; Modigliani, 1958, con Nuevos desarrollos sobre oligopolio Coinciden en el enfoque de fondo, por lo que puede hablarse del modelo SBM: los oligopolistas evalúan las dificultades para el ingreso de nuevos competidores computándolas como un sobreprecio, suficiente para cubrir nuevos costos al introducir importantes mejoras del servicio en el corto plazo, pero tal que esos precios no alienten la entrada de nuevos competidores en largo plazo: Po = Pc ( 1 + S / e ) donde Po es el precio oligopólico que evita la entrada Pc es el precio competitivo e es la elasticidad de la demanda a precios competitivos S es la porción del mercado; medida como Mercado total competitivo / porción del oligopolista que optimiza. Hay una mayor Po si la empresa es grande y la demanda es algo inelástica; tal como en el sector de pompas fúnebres. Según Bain y Modigliani los precios Po serán mayores según sean mayores (y calculables) las dificultades legales para el ingreso de competidores El precio de la oligopólica principal dependerá de la elasticidad de la demanda local y también de cual sea su porción del mercado; tanto mayor cuanto más sea su participación o cuota del mercado, market share. Calcularemos dos niveles para ver el precio del oligopolio Po; siendo el precio competitivo= $4; S= % mercado, 50% y 20%; y Ep =0.8 elasticidad precio: Po = 4(1 +S / Ep) = 4(1 +0.5/0.8) = $4 + 2.50 = $6.50 (mayor precio con mayor market share) Po = 4(1 +S / Ep) = 4(1 +0.2/0.8) = $4 + 1 = $5.00 (menor precio con menor cuota del Mercado) Más adelante se reseñan otros modelos de disuasión o barreras de entrada, que fueron estudiados bajo la teoría de los juegos, repetidos finitos e infinitos, por Spence, Dixit, Selten y otros en los años 80. MODELO DE SWEEZY O DE LA DEMANDA QUEBRADA: Es el caso parecido a de la empresa líder con seguidoras. Una firma grande compite con varias menores, que podría hacer quebrar bajando su precio, pero no le convendría por las represalias del gobierno: control de precios, cantidad mínima obligatoria, impuestos fijos o sobre los beneficios, y especialmente, la apertura de las importaciones para que la líder compita con los menores precios (dumping) del mercado internacional; obligándola a operar a un nivel cuasi-competitivo, como el de máxima producción sin ganancia ni perdida (P=CMg), si no fuera el caso de operar a pérdida... 404 405 La demanda quebrada, muy elástica arriba de determinado precio y muy inelástica abajo del mismo, para indicar con ese quiebre que todas actúan en ese punto de precio y cantidad dado, que fija la líder quizás algo alto para que no quiebren las restantes y evitar represalias del gobierno (prefiere un second best que competir con la importación o multas y controles). Ninguna puede vender a mayor precio, ya que no encontraría clientes si el producto es homogéneo. Ninguna puede vender a menor precio, para quitarle los clientes a los demás, ya que otras harían lo mismo y todos perderían. Creo que sería bueno el ejemplo de Acindar, líder en perfilería para construcción e industrias y en hierro redondo para hormigón, compitiendo con Aceros Bragado, Sipar de Rosario y Zapla de Jujuy (además de la importación hoy desde Turquía, etc y permanentemente cualquier otro país que haga dumping: China, Brasil, Corea del Sur actualmente en 2011 y siempre ….). Nota, una cosa es el punto de equilibrio según el criterio de Cournot y otra sus funciones de reacción para duopolio o cartel; si no se aclara se habla generalmente del punto de máximo beneficio (E) para una variable (beneficio). DEMANDA QUEBRADA (APUNTADA) EJERCICIO 4: Henderson-Quandt – Teoría Microeconómica – Pág. 265 Supongamos que las funciones de demanda y costo de los duopolistas son: Px= 100 – 2x – y Py= 95 – x – 3y Cx= 2,5 x2 Cy= 25y Y que los precios y cantidades normalmente establecidos son Px= 70, X= 10, Py= 55 e Y= 10. (Se puede dar cuenta de que estas combinaciones preciocantidad representan una solución de Cournot. Cada duopolistas iguala el CMg e IMg, en el supuesto de que el nivel de output de su rival permanezca inalterado. En el análisis de la curva de demanda apuntada no tiene ninguna relevancia el método por el que se han alcanzado las combinaciones preciocantidad iniciales). Si I aumentara su precio, II dejaría el suyo inalterado, en $55. Sustituyendo y=55 en la función de demanda de II y hallando el valor de y: 405 406 y= 40 - x 3 Mientras I aumente su precio, y disminuya por lo tanto su nivel de output, II aumentará el suyo y su participación en el mercado. Sustituyendo el valor de y en la función de demanda de I: Px= 260 – 5x 3 En el supuesto de que II mantenga su precio en $55, el precio de I es función solamente de x. Partiendo de la situación inicial, es válida solamente para x > 70 e y < 10. Formando la función de ingreso total de I, se puede derivar su función de IMg de I para aumentos del precio, Ix= qx 260 – 5x 3 y dx= 260 – 10x dy 3 Para x= 10, IMg de I para un aumento del precio es de 53 1/3 pesos. Si I reduce su precio, las funciones de demanda y de IMg dadas por Ix y px no son válidas. En este caso, II reducirá su precio con objeto de seguir manteniendo la mitad del volumen total de ventas. Para mantener su participación en el mercado, II debe aumentar su nivel de output en la misma cantidad que I: y=x. Sustituyendo y=x en la función de I, Px= 100 – 3x Dado que II mantiene su participación en el mercado, el precio de I es función solamente de x. La función de demanda dada por la función arriba mencionada es válida para Px < 70 y x> 10. Formando una función de ingreso total, puede derivarse la función de I para disminuciones de precios: Ix= x ( 100 – 3x ) y dIx = 100 – 6x dqx Siendo x= 10, el IMg de I para una disminución del precio es $ 40. La situación inicial representa un punto de máximo beneficio para I. Su CMg para un output de 10 unidades es de $50. I no puede aumentar su beneficio aumentando el precio (reduciendo su nivel de output) puesto que el IMg es mayor que CMg (53 1/3 < 50>) y esta diferencia se incrementaría si se aumentara el precio. Tampoco puede aumentar su beneficio reduciendo el precio (aumentando su nivel de output) ya que IMg es menor que CMg (40<50) 406 407 y esta diferencia se haría mayor para las siguientes reducciones del precio. Para cualquier valor de CMg comprendido entre 53 1/3 y 40 pesos, su combinación precio-cantidad inicial es óptima. Una reducción de 10 o menos pesos en su CMg no le inducirá a disminuir su precio y aumentar sus ventas. Asimismo, un aumento de 3 1/3 o menos pesos en su CMg no le moverá a aumentar su precio y reducir sus ventas. Gráficamente, la curva de demanda efectiva de I está “apuntada” y su curva de IMg efectivo es discontinúa en el nivel inicial de output. Si II reacciona en forma conducente a mantener su participación en el mercado, su curva de demanda es D´D´ y si reacciona con la intención de mantener su precio, es DD. Las porciones de trazado grueso de estas curvas de demanda constituyen su curva de demanda efectiva. DD es válida para aumentos de precio y D´D´ para disminuciones. A la izquierda del nivel inicial de output la curva efectiva de IMg sigue a la curva de IMg correspondiente a DD y, hacia la derecha, a la curva de IMg´ correspondiente a D´D´. I es incapaz de igualar IMg y CMg. OLIGOPOLIO DE 3 A 8 EMPRESAS La teoría clásica y los desarrollos de la programación lineal han explicado suficientemente casos de oligopolio y especialmente el duopolio. No es frecuente la definición sobre la cantidad o número de las pocas empresas en estos mercados, por lo que adoptamos aquí la definición de tres hasta nueve (3 hasta 9) empresas, que surge de lo observado en los casos de investigaciones antidumping en los EEUU (según se tomó conocimiento durante las defensas varias de esas acusaciones -todas con resultado favorable para SOMISA- en la siderúrgica argentina durante 1978 y 1993). 407 408 Para las investigaciones en general, el congreso norteamericano consideraba que existía conformación monopólica en un mercado cuando solo cuatro empresas abarcaban el 50% del mismo; por lo cual adoptamos aquí como criterio que 10 o más empresas conforman mercados competitivos y con solo 3 a 8 empresas son mercados oligopólicos. La optimización en cada una de estas empresas de un mercado oligopólico también se encara mediante programación lineal Simplex. No es un caso de optimización multiproducto / multicriterio o simultánea de varias funciones objetivo, ya que sin colusión, las empresas compiten entre sí (ver más adelante con teoría de los juegos). CON COLUSION: CARTEL Si hubiera permiso del gobierno, las empresas pueden ponerse de acuerdo para fijar precios comunes o cantidades mínimas a producir (perjudicando a la libre competencia y a los consumidores). Se plantean varias posibilidades: estudiar la colusión antes de instalar las dos plantas; ya instaladas las dos plantas; ya instaladas cerrando una o la otra; antes de instaladas ver el resultado instalando solo una o la otra. CARTEL ANTES DE INSTALADAS LAS DOS PLANTAS Si les fuera permitido asociarse actuarían como un monopolio con dos plantas y la solución es similar al caso de multifactoría que analizamos anteayer; suma horizontal de ambos costos marginales para obtener el CMg conjunto. Luego volviendo a trasponer este a la forma implícita e igualándolo con el IMg se puede calcular la optimización monopólica según el criterio de máximo beneficio según Cournot, B‟=0 y B‟‟<0, o sea, con IMg=CMgc. Surge así una importe para ese CMgc= IMg que igualado a cada costo marginal permite calcular la cantidad en cada planta. Con la suma de cantidades surge el precio y el beneficio para la función conjunta de ambas empresas. La solución analítica no explica cómo repartir este beneficio; no tiene por qué ser proporcionalmente, por mitades, según los costos teóricos de cada una u otro criterio. Sin embargo el reparto debe necesariamente originar mayor ganancia para cada una que cualquier otro resultado obtenido por ellas actuando por su cuenta, bajo duopolio según Cournot, como líder o como seguidora según Stackelberg. En todo caso, también podrían repartir proporcionalmente la diferencia entre el mejor resultado individual y al promedio según cartel. CARTEL (COLUSIÓN ENTRE EMPRESAS) Bajo el supuesto de que las empresas efectúan (ilegales) acuerdos para trabajar conjuntamente, la decisión conduciría a obtener el mayor beneficio conjunto posible; con algún tipo de reparto posterior del beneficio sin criterio definido analíticamente. 408 409 Siguiendo con las empresas de estos ejemplos, ambas plantas deben actuar con iguales costos marginal, a su vez iguales al ingreso marginal, en un Monopolio con dos plantas (el costo marginal conjunto se suma en la forma implícita; en forma similar a la suma de ingresos marginales para el monopolio discriminador de precios o mercados). Supóngase solo dos plantas en un mercado cuya demanda es competitiva P= 30-X (con X=X1 + X2). Sus costos son, para la primera C1 = 1/4 X12 +10 X1 + 20 y para la otra planta C2 = 1/3X22 + 8X2 + 18. Una vez sumados horizontalmente los costos marginales se traspone el costo marginal conjunto (para optimizar igualándolo con el ingreso marginal). C1´ = 1/2X1 +10 C2´ = 2/3X2 + 8 1/2X1 = C1´-10 2/3X2 = C2´- 8 X X1 = 2C1´- 20 X2 = 3/2C2´- 12 = 7/2Cc´- 32 costo marginal conjunto Volviéndolo a la forma implícita: 7/2Cc´= X + 32 o sea, Cc´= 2/7X + 64/7 El equilibrio es Max. Beneficio, con B´= 0 (o IMg = CMg) 0 (es decir Img´< CMg´) 30-2X = 2/7X + 67/7 ; y que sea B´´< 16/7X = 30 – 64/7; con X = 7/16 (30 – 67/7); X = 9,1 que cumple la segunda condición de máximo: -2 - 2/7 < 0. En ese punto el valor del Costo marginal conjunto es C c´= 2/7(9.1) + 64/7 = $11,80 que si se reemplaza en la suma horizontal precisa el reparto de las producciones: X1 = 2 (11.80) – 20 = 3,5 kilos X2 = 3/2 (11.80) -12 = 5,6 kilos Total 9,1 El precio es igual en las dos plantas P 9,1 = 30-9,1 = $20.90 El ingreso total es PX = 30X – X2 = 190,19 El ingreso marginal es IT´= 30 – 2X = 30 – 18.2 = $11.80. marginal es igual a ambos costos marginales). (el Ingreso El beneficio B= IT –CT1 –CT2 = -5/4(3,5) -4/3(5,6)2 -2(3,5)5,6 +20 (3,5) +22 (5,6) -38 = $59, 409 410 Como las dos planta no son de la misma empresa sino una asociación (colusión tipo cartel), este beneficio tendrán que repartirlo entre las empresas, con algún criterio no analítico (por ejemplo, mejorando algo los resultado de cada una si decidiera actuar por su cuenta, bajo duopolio, como líder o como seguidora; es decir, repartiendo solamente el plus que generarían con la colusión). Si SOLO SE INSTALA LA 1ª PLANTA En la función de beneficio de la 1rase reemplaza la función de reacción de la 2da. Planta: B1=30X1 –X12 -1/4X12 -10X1 -20 y procede a optimizar maximizando, con B‟1= 20-5/2X1=0 , con X1=8; P8= 30 -8=22$; B8= $60, a repartir entre ambas según el criterio comentado. Si SOLO SE INSTALA LA 2da. PLANTA En la función de beneficio de la 2da.se reemplaza la función de reacción de la 1ra. Planta: según (3) B = 30X2 –X22 +1/3X22 -8X2 -18, maximizando con B‟=0 y B‟‟<0, o sea B‟= 22 -8/3X2=0 con C2=8.25 y P = 21.75; B= 72.70 según (3) a repartir según lo comentado. Si YA INSTALADAS AMBAS SOLO OPERARAN LA 1ra.PLANTA Al beneficio de la 1ra. deberían restarle el CF de mantener la 2da. planta cerrada $20: B= 60 -18=$42, a repartir según lo comentado. COLUSION: CARTEL El recurso analítico suele permitir varias aproximaciones a cada punto de estudio; por ejemplo en el modelo del monopolio con dos plantas de un bien homogéneo, o el de su casi similar el cartel, la idea central es que para optimizar, deben operar cumpliendo con que el costo marginal en ellas sea igual y también similar al ingreso marginal del conjunto de ambas plantas. En un enfoque anterior se ha obtenido el costo marginal conjunto, mediante suma horizontal (con las funciones explícitas) y a partir de ahí las condiciones maximizantes según el criterio de Cournot (punto de giro nulo y las derivadas 410 411 para este creciendo a partir de ahí más la del costo marginal que la del ingreso marginal, a fin de confirmar que ese punto era un máximo). Otra forma equivalente es la utilizada aquí anteriormente para Duopolio de Cournot (que figura en Henderson y Quandt), obteniendo la función de beneficios a partir del ingreso de cada planta, el cual es dependiente de la producción de la otra planta (resolviendo un binomio cuadrado perfecto, por multiplicar la función de IM por X= X1 +X2). Al maximizar en cada empresa se obtienen sus condiciones óptimas, cumpliendo con el criterio de operar con similar CMg en ambas y ser también iguales al Img. EJERCICIO 1: Henderson-Quandt – Teoría Microeconómica – Pág.254 Suponiendo que las funciones de demanda y de costo vienen dadas por, P= 100 – 05 (x + y) Cx= 5x Cy= 0,5y 2 Resolviendo en, P= F(x + y) = C‟x(x) P= F(x + y) = C‟y(y) Sustituyendo, x = Ix(x, y) – C (x) y =Iy(x, y) – C (y) Obtenemos primero la siguiente solución cuasi-competitiva X= 185 Y= 5 p= 5 x= 0 y= 12,5 Compararemos dicha solución con las que obtendremos a continuación para cartel: I(x + y) = Ix(x, y) + Iy(x + y) = (x + y) F(x + y) El beneficio agregado es = x + y = I (x + y) – Cx(x) – Cy (y) Función de beneficio del monopolista con dos factorías: las condiciones de primer grado requieren, que el CMg de cada productor sea igual al IMg correspondiente al output total; y las de segundo orden que cada CMg, crezca luego más que el IMg respectivo (0 y -1 vs. -1 y -2, respectivamente). El beneficio de la industria es, = x + y = 100 (x + y) – 0,5 (x + y)2 – 5x –0,5y2 Desarrollando el binomido cuadrado perfecto e Igualando a cero las derivadas parciales de : = 95 – x – y= 0 ; x = 100 – x – 2y=0 y 411 412 Despejando X e Y en las ecuaciones de primer orden y sustituyendo en las de beneficio y demanda resulta: X= 90 Y= 5 P = 52,5 x= 4.275 y= 250. Comparándolo con la solución cuasi-competitiva, la venta total es menor, pero el precio y los beneficios son más altos. Los CMg de las dos empresas son los mismos en ambos casos, pero ahora debieron igualar al IMg de la industria en lugar de al precio. Los niveles de beneficio son los obtenidos a partir de las funciones individuales de beneficio. Los duopolistas tendrán, pues, que negociar, entre ellos, la distribución total del beneficio agregado EJERCICIO 2: Henderson-Quandt – Teoría Microeconómica – Pág.254 Supongamos que las funciones de demanda y de costos de las dos empresas vienen dadas por: C1= 0,3 x2 P= 100 – 0,5 (x + y) C2= 20y Solución cuasicompetitiva: Beneficio en cada una es Ben = IT - CT 100 – 0,5 (x + y)x – 0,3y2 y= 100 – 0,5 (x + y)y – 20y x= Primera condición en ambas: d x= 100 – x – 0,5 y – 0,6 x = 0 dx d y= 100 – x – 0,5 x – y – 20 = 0; o sea, dy 1,6 x + 0,5 y = 100 0,5 x + y = 80 Resolviendo por determinantes: Qx = Qy = 100 80 1,6 0,5 0,5 1 0,5 1 1,6 100 0,5 80 1,6 0,5 0,5 1 = 60 / (1,6 – 0,25) = 60 / 1,35 = 44,44 = (128 – 50) / (1,6 – 0,25)= 78 / 1,35 = 57,78 p= 100 – 0,5 (44,44 + 57,77) = 48,89 412 413 x= 2172,89 – 519,41 = 1.581,48 y= 2.824,37 – 1.155,40 = 1.668,96 Comparando ahora con la solución bajo cartel: # = 100 – 0,5 (x + y) x – 0,3 y2 + 100 – 0,5 (x + y) y – 20 y d x= 100 – 0,5 y – 0,6 x – 0,5 y= 0 dx d y= 100 – 0,5 x – y – 20 – 0,5 x = 0 dy 1,6 x + y =100 x + y = 80 Resolviendo por determinantes: Qx = qy = p= 60 100 80 1,6 1 1 1 1 1 1,6 1 1,6 1 100 80 1 1 = 20 / 0,6 = 33,33 = 28 / 0,6 = 46,66 100 - ,05 (33,3 + 46,6) = 6 x= 1.999,80 – 333,26 = 1.666,53 y= 2.799,60 – 933,20 = 1.866,40 Y se cumplen las condiciones de segundo orden (a partir del punto de giro crece más el costo marginal que el ingreso marginal en cada firma). Ambos son mayores que cuando producían solos. Puede que uno tenga mayor beneficio por lo tanto puede que el que gane menos quiera mantener la participación. = 3.250,45 1.581,48 = 0,48 3.250,45 La participación en el mercado de éste es 48%. Va a querer mantener la participación (3.252,93) 0,48 = 1.695,80 = x El segundo 3.250,45 * 0,52 y = 1.837,12 413 414 Esto nos conduce a.: menor cantidad de bienes Mayor precio Mayor beneficio Si hay duopolios hay tendencia a que suban los precios. Si hubiese economía abierta no se podría vender al exterior a ese precio. SIMPLIFICACION CON EXCEL(o también con matriz inversa): ACLARACION CON TEORÍA DE LOS JUEGOS: Más adelante, se vuelve a re exponer el modo de la decisión o elección del empresario entre estas diferentes formas de comportamiento empresarial dentro de esta teoría del oligopolio, mediante el tratamiento complementario (adicional) según (con) la teoría de los juegos, que para estas cosas funciona como una interpretación (supuestamente) convincente, una vez que ya se calcularon los resultados con esta teoría analítica convencional (maximización del beneficio con una variable, resolución de sistemas para 2 ó 3 variables, etc.). 414 415 ECONOMIA U ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL: La naturaleza de la empresa en el control de los monopolios y de la concentración de los mercados: En las últimas décadas se ha impuesto en el mundo, la explotación de los recursos naturales de los países a través de empresas privadas internacionales, bajo el Consenso de Washington, en vez de empresas de propiedad nacional o comunal. La razonabilidad de este criterio se basa en el estudio de la naturaleza de la empresa y en consecuencia, así deben interpretarse el control de los monopolios, la concentración de los mercados y la explotación de los bienes públicos. El tema nos conduce hacia: a) al estudio de las concepciones sobre la naturaleza de la empresa; y b) a las estrategias empresarias anticompetitivas (cooperativas o no) y en general al análisis de la concentración industrial, con aplicación de la teoría de los juegos; c) al análisis de los tipos de “organización industrial”, en los mercados bajo condiciones competitivas imperfectas; d) a los lineamientos legales en defensa de la competencia. a) NATURALEZA DE LA EMPRESA: principales concepciones. El enfoque clásico es analítico, matemático o diferencial; parte de considerar que el objetivo básico de personas y empresas es maximizar el beneficio (criterio de Cournot, 1835), lo cual es socialmente justo en el ámbito doméstico de los países, en los que se supone la existencia de gobiernos fuertes que controlen los excesos de los monopolios y la libre competencia conduce a maximizar el bienestar general. Frente a la obtención de bienes o servicios en el mercado o bien a través de contratos, existe ventaja para obtenerlos al concentrar factores productivos en una sola empresa, porque ello genera economías de escala (en los bienes homogéneos; o economías de alcance en los bienes diferentes). El costo de producir con una sola empresa es menor al costo de producir con esos factores separados u organizados en varias empresas: se aprovechan las ventajas de la especialización (A. Smith, 1776); la mejora de coeficientes técnicos (por indivisibilidad /complementaridad de los recursos y por la I&D); el trabajo en equipo y mejor uso de la información disponible sobre insumos y recursos. Desde el ámbito jurídico surgió el enfoque de los costos de transacción: la naturaleza de la empresa (R. Coase, 1937) reside en que con la empresa se evitan sobrecostos en la producción u obtención de bienes, frente al adquirirlos mediante contratos adquirirlos en los mercados: se reducen los “costos de búsqueda” (conformados por la acumulación en cascada entre empresas de márgenes de ganancia, de impuestos, de transportes y hasta de costos de vigilancia de mantener los acuerdos como 415 416 contratos ante los requerimientos necesarios, garantías, eventuales gastos judiciales, mayor incertidumbre, etc. que existen en las transacciones a través del mercados o con contratos pero no existen dentro de una empresa propia) Según otro enfoque jurídico, el de los derechos de propiedad, la naturaleza de la empresa está en el hecho de que los contratos no siempre son del todo completos; y los derechos de propiedad de bienes que no están en un contrato subsisten para el propietario al no estar definidos en el contrato: por ejemplo, el hallazgo de un yacimiento, recurso minero o energético en el subsuelo de una campo alquilado como explotación agrícola, cuya propiedad corresponde al propietario y no al inquilino (O. E. Williamson, The Economics of Organization: The Transaction Cost Approach, sobre los contratos incompletos y el rompecabezas de Coase de un sistema de precios si no existieran derechos de propiedad; S. J.Grossman y O. Hart: Incomplete Contracts and. Property Rights, 1986). La naturaleza de la empresa depende de los derechos de propiedad y genera incentivos para efectuar las negociaciones al minimizar la incertidumbre y maximizar ganancias frente a los contratos, los cuales no siempre es posible explicitar en forma completa. Si bien estas tres concepciones sobre la empresa son las destacadas actualmente, existen muchas otras concepciones acerca de la naturaleza de la empresa: Fayol propuso la teoría funcional en 1916; E. Mayo la de la relaciones humanas en 1920; M. Weber la teoría burocrática en 1926; March y Simon la teoría del comportamiento en 1961; E. Ostrom enfatiza el rol social de la propiedad de los bienes comunes; etc. B) ESTRATEGIAS ANTICOMPETITIVAS SEGÚN LA TEORIA DE LOS JUEGOS Para qué se estudian tantos casos de conductas y mercados no competitivos?: la defensa de la competencia es una prioridad si se considera que el bienestar general consiste en el pleno empleo eficiente de los recursos, con una distribución equitativa que maximice el excedente del consumidor mediante la libre competencia. El control de los monopolios es una función natural de los gobiernos; la historia confirma esta actividad como una facultad normal de todos los gobiernos, ya desde la época griega, para el control de los precios y del abastecimiento en los mercados del pan (alimentos); pero los antecedentes legales próximos disponibles nos refieren a las leyes Sherman, Clayton y complementarias en EEUU desde fines del s.IXX y s.XX (gran primer ejemplo con el control y multa en 1900 a la Standart Oil Co (aquí ESSO, Texaco, Chevron) obligándola a vender 100 estaciones de servicio que había captado mediante extorsión con precios predatorios). Por una parte, interesa la discriminación de precios de los monopolios hacia los consumidores; y por otra también interesa analizar las estrategias empresarias frente a sus competidores. Muchos casos publicados describen estrategias anticompetitvas, tanto 1) No cooperativas como 2) Cooperativas: 416 417 1) Estrategias anticompetitivas No cooperativas, pueden ser: I) En cuanto a la discriminación hacia clientes, en la discriminación de precios o mercados se distinguen algunos tipos de cobro diferente de precios para un producto homogeneo: 1) discriminación del precio para cada cliente, en función del precio que se calcula puede abonar (cobro ilegal según la cara del cliente o bien considerando que algún cliente pueda o no ser atendido por competidores: los precios dumping en el comercio internacional, frecuentemente inferiores a similares para el mercado doméstico y a veces a los costos). 2) discriminación de precios para mercados separados, que tengan diferente elasticidad precio por el producto (se cobra mayor precios al de demanda más elástica, pero observando que el ingreso marginal conjunto sea igual al costo marginal del monopolio; más allá de diferencias de flete es ilegal). 3) discriminación (legal) de precios por tramos de cantidad a comprar (pequeñas compras tipo minorista generan mayores costos que las grandes partidas y se suelen ofrecer con mayores precios que para mayoristas). 4) tarifas en dos tramos: ejemplo un cargo por conexión del servicio más otro según la cantidad consumida (teléfonos; Mickey Mouse en Disneylandia). 5) discriminación temporal en la venta de bienes de consumo duradero, como artefactos de audio, video, etc. cuyo consumo sea postergable: el monopolista vende primero a quienes tienen mayores preferencia por el producto, pero queda una demanda residual que es posible aprovechar reduciendo el precio mediante alguna discriminación intertemporal (pero, según la “conjetura de Coase”, este poder de discriminación se reduciría conforme sea bajo el costo de los clientes por retrasar e consumo, por lo que un monopolista de bienes durables no tendría poder de mercado si el número de consumidores es finito; conjetura sujeta a verificación empírica). 6) discriminación por localización preferente y diferenciación de producto. II) En cuanto a la conducta empresaria frente a sus competidoras las estrategias pueden ser competir en localización y diferenciación del producto o con barreras de entrada, ya sea con bajos precios limitantes; o con precios predatorios; con ampliaciones de capacidad; o procurando subas en los costos de los rivales, etc. Según la localización y con diferenciación del producto: varios economistas clásicos consideraban que toda empresa es en sí algo como un monopolio parcial, en cuanto pueda diferenciar el producto o conseguir clientes que aleje de otros competidores. Por ejemplo, una ligera reducción de precios que haga un comercia no arruinará a otro situado en otra zona de la ciudad (Fisher, EPE), ya sea por la distancia entre ambos comercios o también por alguna afinidad creada por costumbre entre el cliente con su proveedor habitual, que le genera algo como un mercado privativo (en M. Dobb; y en Chamberlin: presunción de que una competencia atomizada generaría mayor diferenciación del producto, en contra de la estandarización que promueven las grandes empresas…). 417 418 Así el modelo de Hotelling sobre diferenciación por localización de empresas como en una “ciudad lineal” equidistantes (pueblo alineado sobre una calle principal) hace referencia al solapamiento de zonas entre cada par de firmas colindantes, en donde las exigencias competitivas serían mayores que en el centro de la ubicación de cada una, en el cual sería posible el cobro de mayores precios (por costo de traslado / “costos de cambio”, diferenciación de producto, etc). Pero, existiría alguna inconsistencia al considerar la ubicación en ambos extremos de esa ciudad lineal; por esto Salop presentó en 1979 el modelo de diferenciación por localización alrededor de una ciudad circular, con ubicación equidistante y continua sin extremos, en la cual se cumple que si la distancia total es 1 entonces la demanda para cada una de la N empresas es 1/N, con similares consideraciones sobre el solapamiento, en donde hay mayores presiones competitivas que en el centro (en donde son posibles mayores márgenes monopólicos). 418 419 Salop, S. (1979): “Monopolistic competition with outside goods”, Bell Journal of Economics, 10, 141-156. Su planteamiento es como un juego en dos etapas: en la primera, cada empresa decide si entrar o no a compartir una localización equidistante; en la segunda la cada empresa procede a competir en precios según su localización y el número de competidores. La solución por inducción hacia atrás (backward induction: mirar hacia adelante razonando hacia atrás comparando los nodos de un árbol del juego estructural que muestre las consecuencias de cada decisión de uno y de las demás empresas). Razonando en la segunda etapa, se observa que si ingresaron N empresa en la primera etapa surgiría un equilibrio simétrico, con precios similares; en este caso; cuando N tienda a ser grande los precios tenderían a ser como los costos; habría mayor competencia según sea menor la distancia entre cada empresa; cuanto mayor sea el costo de traslado por distancia entre las empresas tendrán estas mayor poder de mercado (si N tendera a infinito no habría costo de traslado y los precios serían similares al costo, simple competencia en precios tal como en el modelo de Bertrand). III) Estrategia con precios predatorios: en general, las amenazas anticompetitivas con precios predatorios deben ser “creibles” para que sean efectivas. Según McGee, 1958, si las empresas son simétricas no habría credibilidad en una amenaza; pero la amenaza sería creíble si Entrón es más pequeña que Incumbrón (quien tendría como opciones, fusionarse con Incumbrón (o bien quizás, defenderse buscando contratos de precio fijo con clientes; o abandonar y buscar nuevos mercados, o quizás entrar y salir del mercado varias veces de este mercado). La estrategia con bajos precios disuasivos: el análisis convencional de la competencia imperfecta suele resumirse con los modelos de duopolio según Cournot y el de Stackelber, cuyos precios y cantidades resultan intermedios entre la situación de altos precios del monopolio (cartel) y los bajos precios de la competencia perfecta (y con cantidades a contrario sensu). Pero desde 1949 también también se utilizan en particular los análisis elaborados por Bain, por Sylos Labini y por Modigiani (modelo(s) BSLM), confluyentes en la fijación de barreras de entrada mediante bajos precios 419 420 limitantes por parte de la firma 1 (Incumbent /Incumbrón), para que no ingrese la firma 2 (Entrant /Entrón), que pueden o no ser disuasivos del ingreso de este competidor, dependiendo de los costos, de la elasticidad de la demanda y de la existencia o no de información asimétrica sobre el conocimiento de los verdaderos costos de la firma 1. Hubo algunos estudios en la Universidad de Chicago que dudaron del valor empírico de estos modelos “BSLM” ni que constituyan estrategias creíbles bajo el enfoque de la teoría de los juegos o que se alcance en ellos equilibrios de Nash; pero nuevos aportes de Kreps y Wilson y de Milgrom y Roberts los ampliaron agregándoles información asimétrica sobre el conocimiento por la firma 2 de los verdaderos costos de la firma 1. Barreras con bajos precios limitantes: en este modelo “BSLM” (con producto homogéneo) se supone que la firma 1 no fija un precio optimizante alto como el de un monopolio sino un precio inferior, como una estrategia para disuadir el ingreso de la firma 2. Sin embargo, este precio es mayor que el de duopolio y alcanza para generarle algunos beneficios. La firma 2 razona esto y supone que sus costos le permitirán competir si luego la firma 1 bajara su precio a nivel de duopolio (postulado de Sylos Labini), por cual 2 ingresa al mercado, confirmando que la estrategia de precio límite en 1 no fue efectivamente una amenaza creíble. El cambio de supuestos: a este modelo “BSLM” se le agrega ahora el supuesto de existir información asimétrica (Milgrom-Roberts), por desconocimiento en 2 sobre los verdaderos costos de 1, denotado aquí por el recuadro punteado sobre Incumbrón. Es así un juego en dos períodos; inicialmente la firma 2 no sabe cuáles son los costos de la firma 1, si altos o bajo. Si fueran bajos no le convendría a 2 ingresar. Pero si fueron altos, seguramente la firma 1 necesitaría emitir señales como que sus costos fueran bajos (por ejemplo fijando un precio límite bajo para disuadir el ingresos de 2). Sin embargo, la firma 2 puede pensar que la firma 1 esta simplemente engañando sobre esto y decidir ingresar. Desde otro punto de vista, el análisis también puede completarse considerando el bienestar general, según los intereses de los consumidores. Efectivamente, la información asimétrica sobre los costos de 1 podría tener consecuencias para los consumidores: si la firma 1 tiene alto costo y dispone un bajo precio disuasivo en el mercado ello beneficiaría a los consumidores durante el primer 420 421 período; pero en el segundo período, luego que ve que la firma 2 no ingresó, procede a subir el precio perjudicando a los consumidores. Estrategia con precios máximos, precios mínimos o con franquicias Las conducta anticompetitivas también pueden adoptar la forma de requerir al cliente un volumen mínimo para serlo, o bien la exigencia de ser un distribuir exclusivo de este proveedor; también es frecuente la exigencia la asignación de un territorios exclusivo de la representación comercial. Otro caso de consideración y evaluación especial pormenorizada en el capítulo de los bienes públicos, es el de la empresa con conductas oportunistas (tipo free rider), que se apropia de un recurso público sin pagar por el mismo. Estrategia con ampliaciones de capacidad, Bain en 1956 y Sylos Labini en1962 (también Modigliani y otros presentaron luego modelos parecidos) con trabajos referidos a la competencia oligopólica basada en las barreras de entrada. Se explicaron utilizando incialmente los modelos de duopolio /oligopolio de Cournot (según mutuas funciones de reacción u oferta interdependientes entre ambos) y el de Stackelberg: Incumbrón mueve primero (optimizando) y a Entrón solo le queda como estrategia adaptarse al mercado remanente que le deja Incumbrón (sin optimizar). En la Universidad de Harvard se hacían estudios sobre la lucha antimonopólica, centrados también en las barreras de entrada mediante sobreinversiones en la firma 1 (costos hundidos) para disuadir el ingreso de la firma 2, tal como el modelo de Dixit (1980) o según los costos hundidos de Spence (estructurando las decisiones como un juego secuencial, para ver los EPS en el subjuego y los ENPS, observando desde la última etapa cual es la estrategia dominante de Incumbrón (aquí con marco punteado indicando información asimétrica en Entrón sobre los costos de Incumbrón). M. Spence (1977) había afirmado que la “amenaza” es “creible” si la refuerza con incrementos de capacidad: si Incumbrón aumenta así su producción y con ello baja los precios, entonces Entrón encuentra dificultades para ingresar a este mercado. La capacidad de bloqueo de Incumbrón será tanto mayor cuanto menor sea la demanda del mercado; asimismo cuanto más alto sea el costo de expandir la 421 422 capacidad, ya que evidenciará mayor decisión; igualmente cuanto mayores sean los costos fijos, que dificultarían el acceso de Entrón. En 1972 la FTC (Federal Trade Commission de EEUU) sancionó a cuatro productores de cereales para consumo humano por ofrecer 80 marcas de cereales diferenciados, pero con la finalidad y resultado de establecer barreras de entrada bloqueantes de nuevos competidores, ante la denuncia de uno que logró ubicar un nicho diferenciando el producto por 10% del mercado total. Otro caso parecido fue la presentación contra barreras de entrada establecidas por las ligas de basket, de hockey y de football, que tenían contratos en las grandes ciudades que les garantizaban el bloqueo al ingreso de nuevos clubes competidores. D. Funderberg y J. Tirole (The fat-cat efect, the puppy-dog, and the lean and hungry look, 1984) también analizaron las barreras de entrada como disuasión según una sobreinversión en la capacidad de la firma 1. Esta firma tiene la ventaja de ser la primera en estar en el mercado y puede efectuar esta sobreinversión disuasiva en capacidad (costos hundidos), o en I&D, publicidad, capacitación de personal, etc. La firma 2 piensa si le conviene ingresar o no: si no lo hace no obtendría ganancias; si considera que puede competir y obtener alguna ganancia ingresaría en el período 2. En este caso, ambas empresas (modelo sin colusión) deberían competir, llegándose a un equilibrio de Nash. El resultado dependerá de cual sea el verdadero costo de la firma 1: si la firma 1 sobreinvierte y tuviera un bajo costo se fortalecería; pero si tuviera un alto costo se debilitaría especialmente luego del ingreso de la firma 2. El efecto consecuente de una sobreinversión en el primer período le significaría una reducción del beneficio de la firma 1; pero en período dos esperaría obtener convenientes efectos estratégicos sobre la firma 2 para que no ingrese, según que esta considere que los costos de 1 no son altos y 2 quebraría. Acomodación /aceptación de la entrada: Otra alternativa es cuando la sobreinversión fuera demasiado costosa para la firma 1 y prefiera competir aceptando el ingreso de la 2 (sin estrategia disuasiva). 422 423 TAXONOMIA DE LAS ESTRATEGIAS según Fundenberg y Tirole Firma 2º Estrat. agresiva Inversión en la firma 1º Agresiva (IV) Tolerante (I) Puppy dog / Fat cat Top dog / Lean and hungry look / (III) Estrat. tolerante Top dog / Top dog (II) Lean and hungry look / Lean and hungry look Top dog (estrategia como perro bravo) Lean and hungry dog (estrategia como perro flaco y hambriento) Fat cat (estrategia como Gato gordo) Puppy dog (estrategia como cachorrazo) Otros ejemplos: Con limitación voluntaria de capacidad en el periodo uno, para poder competir en precios durante el periodo dos gracias a aquel ahorro (puppy dog). Con diferenciación del producto, tal como en el modelo de ciudad lineal de Hotelling; la ubicación equidistante limita la posibilidad de competencia agresiva (puppy dog). Con sobreinversión en capacidad en la firma 1 durante el período uno. En el período dos ingresa la firma 2, pero tendrá mayor costo, por erigir su planta y para producir, respecto a la uno que solo tiene costos para producir (top dog). Con inversiones en publicidad en el período uno, para general clientes cautivos en el periodo dos. Si la firma 1 acepta la entrada de la firma 2 actuaría como tipo fat cat. Si no la acepta actuaría como tipo lean and hangry dog. Con cuotas de importación / subsidios a la exportación: si se fijara una cuota de importación baja subirían los precios de los productos, perjudicando al bienestar de los consumidores (puppy dog). Si se alienta a los exportaciones con subsidios sería como una estrategia tipo top dog. Con cláusulas de cliente más favorecido, que asegure cubrir eventuales diferencias de precios entre el periodo uno y el dos (fat cat) Cuando los consumidores tienen un importante mayor costo por de cambio de proveedor, las firmas 1 y 2 actuarían como en el modelo de Cournot: la función de reacción de la 1 se beneficiaría por no tener clientes con este costo de cambio tal como le ocurre a la firma 2 en el segundo período (top dog). Con ventas conjunta en paquete de varios bienes a precio único en la firma 1, la cual vende a dos mercados: uno monopólico y el otro con un competidor, al que puede así disuadir de entrar. En el periodo dos la firma 2 puede no entrar, si la estrategia de la firma 1 fue tipo top dog; o bien entra (si la estrategia de 1 fue de tipo puppy dog) 423 424 3) Estrategias Cooperativas Estrategias de integración vertical y horizontal (combatida por la ley Clayton de 1914 en EEUU, etc.): Estrategia de integración Horizontal: este tipo de integración procura reducir los costos fijos y así aumentar las economía a escala: menores totales, e incluso menores costos variables mediante una sinergia por mejor aprovechamientos de instalaciones y/o de cambios tecnológicos, con nuevas tecnología de procesos y/o de productos (por ejemplo, el cambio en tecnología de procesos en los 70, sobre la colada de acero en tochos de 40 cm de lado (sección cuadrada), con gran costo posterior de recalentamiento y relaminado, frente a la colada continua de tochos y/o de planchones (sección rectangular), que originó un 30% de ahorro de costo en el acero laminado al pasar del alto horno incandescente hacia los laminadores de no plano o de chapas en un nuevo proceso continuo, sin enfriamiento ni costosos recalentamientos. Igualmente, con la tecnología de producto, cuando se dejaron de fabricar automóviles con chapa comercial al carbono oxidable de 0.60 mm de espesor, reemplazándola por chapa más delgada 0.35 mm pero luego galvanizada por una o por dos caras así mucho más durable; nuevo producto, chapa galvanizada de 0.35 mm, tecnología de producto de chapas para automóviles). F. Farrel y C. Shapiro (1990) ilustraron con el modelo de duopolio según Cournot y según Stalkelberg, por ejemplo actuando fusionada como lider frente al resto si con ello consigue menores costos variables…. Estrategia de integración Vertical: es el caso cuando una firma compra a un proveedor o a un cliente (o no cliente) productor del bien final cuyo insumo produce esta firma. El planteo de fondo es la consolidación de la firma en cuestión, cuya acción estratégica es anticompetitiva. Sus argumentaciones (interés) pueden ser avaladas con la teoría de los costos de tansacción de Coase (reducir costos ahorrando márgenes mediante operaciones intrafirma…), o bien avaladas mediante la teoría de los Derechos de Propiedad (según Grossman y Hart, 1986, o Williamson) para reducir la incertidumbre. M. Salinger, 1988, en Vertical Mergers and Market Foreclosure, hace referencia a la integración vertical que puede conducir a un ahorro de costos, como en el caso de los monopolios sucesivos tipo proveedor-distribuidor. Observación: nuevamente el planteo de las estrategias mediante la teoría de los juegos, la cual puede ayudar en algunas interpretaciones (Entrón e Incumbrón), aunque no siempre resulta imprescindible, por ejemplo en el caso de cooperar o no: viéndolo en la forma matricial vectorial, se presentan dos columnas (Cooperar y No cooperar) y dos filas (Cooperar y No cooperar). La empresa 2 encolumnada y la empresa 1 enfilada. En los cuatro casilleros se escriben los beneficios optimizante de cada opción fila-columna (pero es evidente que estas cifras deben ser obtenidas previamente mediante al análisis clásico infinitesimal, marginalista o maximización matemática con una variable, según Cournot). 424 425 Tampoco genera sorpresas observar que el EPN se obtiene bajo cooperación de ambos (y que no es en absoluto necesaria la teoría de los juegos para llegar a esta conclusión elemental y primaria o básica (véase el ejemplo de Dieguez y Porto desarrollado analíticamente y mediante teoría de los juegos en Microeconomía con Excel.pdf o en Microeconomía en Empresas (caso Somisa).pdf. C) ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL: CONCENTRACION Sobre la base de estas ideas de la naturaleza de la empresa se continúa su análisis observando el desenvolvimiento de estas en los mercados, la tendencia a la concentración de estos, las estrategias anticompetitivas y el control de los monopolios. La actividad empresaria implica esfuerzos en aumentar la participación en el mercado y general una tendencia a la concentración de estos, conforme sean mayores las barreras al ingreso para otros competidores: esta concentración anticompetitiva implica una disminución del bienestar social, que debe ser regulada como fallo del mercado. El enfoque de la eficiencia conduce la interacción empresaria según el uso de la información disponible, la tecnología e I&D, la diferenciación de productos, el aprendizaje; por lo que interesa la definición de su mercado relevante para precisar sobre la competencia, considerando el tipo de producto, el aspecto geográfico y el aspecto temporal. En el aspecto físico del producto interesa definir la existencia de sustitutos competitivos (por el lado de la oferta y el de la demanda); también interesa las áreas geográficas de competencia e incluso el aspecto temporal de la competencia. TEST HIPOTÉTICO MONOPOLISTA En los EEUU (1982) y en la CEE (1992) se definió el mercado relevante de un producto mediante el text hipotético monopolista (SSNIP-test según la sigla en inglés de "Small but Significant Non-Transitory Increase in Price") para el estudio y control de fusiones empresarias o de investigaciones sobre competencia. Este text consiste en observar si un aumento no transitorio (del 5% ó 10%) en el precio de un producto genera o no un desplazamiento de los compradores hacia otro producto sustituto, ocasionando pérdidas en vez mayores ingresos: si la demanda tuviera una alta elasticidad precio no resultaría conveniente aumentar el precio, ya que se generaría pérdida de ingresos, posiblemente por la existencia de otros productos sustitutos. 425 426 Bajo otras circunstancias, pudiera ocurrir que la elasticidad precio (directa y cruzada) fuese baja y que el efecto generado por ese aumento del precio fuese poco significativo en la demanda de los productos sustitutos, por lo que la empresa tendría incentivos en monopolizar este mercado relevante aplicando este aumento de precios. EL coeficiente de elasticidad precio se aplica sobre la demanda total de un mercado y también sobre la demanda residual para la empresa. Pudiera ser que un mercado tenga baja elasticidad precio, pero que la demanda residual de la empresa sea muy elástica en función de la oferta elástica de las empresas competidoras. Por el lado de la oferta cabe tener en cuenta la disposición de otros oferentes a reasignar sus producciones sustitutivas frente a un cambio no transitorio de precios en aquel producto relevante: su alta elasticidad precio en la oferta indica una participación que aumenta este mercado relevante. En el aspecto geográfico interesa la cercanía de otras fuentes de abastecimiento, en particular las barreras legales que condicionan la importación competitiva (derechos de importación, diferencias cambiarias, fletes y gastos de nacionalización hasta depósito del cliente local, etc.) y según productos los momentos o tiempos del suministro (bienes transables y commodities; o no transables). Son usuales varias medidas para medir el grado de competitividad de los mercados, según la concentración industrial y el grado de monopolio, utilizando la elasticidad precio o cruzada para un producto (comparando con la que corresponde en condiciones competitivas), con diversas mediciones según Amoroso, Robinson, Lerner, Herfindahl y otros. La relación Amoroso-Robinson (1932) mide la diferencia entre el ingreso marginal y el precio: IMg = P( 1-1/E) = (con IMg = p solo bajo competencia perfecta) En competencia pura la elasticidad precio E es infinita, de modo que IMg = P; pero en competencia monopólica la elasticidad es más baja y P e IMg difieren. Según las condiciones de primer orden para el equilibrio de la empresa establecidas por A. A. Cournot en Lyon,1938, bajo competencia, P = IMg = CMg; y análogamente en 1934 A.P. Lerner también utilizó la relación entre el precio y el CMg para medir el grado de monopolio que se utiliza en la regulación de la competitividad industrial. ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL: GRADO DE COMPETITIVIDAD Estas aplicaciones de la elasticidad nos lleva al tema del capítulo especial conocido desde los años 1950 como economía u organización industrial, donde se mide la concentración y competitividad de los mercados mediante las elasticidades y también con los siguientes índices. 426 427 La economía u organización industrial estudia en forma particular la asociación anticompetitiva entre empresas, así como también la evolución de la estructura industrial como un indicador de la competitividad general. Inicialmente, en Harvard (Bain, 1956 y Mason, 1957) estudiaron la relación causal entre la “estructura, conducta y desempeño” (resultados, ROE), que se conoce como análisis E.C.D, mediante estos índices usuales, que luego se perfeccionó en Europa en los años 80 (Jaquemin, S.Labini, Arndt) observando las relaciones e interacción entre estos tres conceptos: si la competencia perfecta conduce a optimizar el bienestar general frente al monopolio, toda concentración empresaria implica una disminución del bienestar social y debe ser regulada como un fallo del mercado. Con posterioridad J. Tirole y otros orientaron el enfoque hacia el estudio de las decisiones de las empresas sobre sus estrategias de negociación y concentración con aplicación de la teoría de los juegos. Finalmente, también se estudian recientemente las tendencias sobre concentración industrial en los países, globalmente y por ramas, aplicando índices de Gini o de Lorenz, sobre los datos del ranking de ventas de las principales empresas, que se publican en los medios de cada país (Fortune en EEUU, Mercado aquí, etc.) El índice de Herfindahl, que eleva al cuadrado la participación de cada empresa en el mercado: para un monopolio sería: H = ∑ s2 H = (100)2 = 10.000 (máximo o total…). Si hubiera 3 empresas, con participación del 50%, 30% y 20%, el índice sería: H = ∑ s2 H = 2500 + 900 + 400 = 3.800 (grado de monopolio parcial o industria bastante concentrada, para la Federal Trade Commission de los EEUU…) (menor concentración que frente a los 10.000 de un monopolio puro). El índice de Lerner mide el poder monopólico de una empresa relacionando su precio con el costo marginal competitivo: L = ( P – CMg / P ) = (cercano a cero indica competencia; tanto más alto cuanto menor competencia o mayor concentración exista) El indice de Entropía se construye con el logaritmo neperiano de la inversa la cuota de la empresa W i = Ln 1/Si Theil utilizó este concepto del grado de desorden que puede haber en un sistema físico llevando la analogía hacia el grado de perfección o imperfección en una industria; el índice sería 0 bajo un monopolio y sería mayor si hubiera varias empresas. Otro índice usual es el de concentración de Hannah y Kay, que es una generalización del índice Herfindahl- Hirschman que permite controlar el peso otorgado a las empresas más grandes. Toma valores entre 1/n y 1: 427 428 Donde: es el ponderador; empresa dentro del mercado; es la participación porcentual de cada es el número total de empresas. El índice de Dominación se utiliza en el análisis para autorización de fusiones entre empresas: Relaciona en el numerador la participación en el mercado de la empresa más grande y en denomidaor el índe HH; los valores más altos del índice corresponden a la mayor participación de empresas dominantes, de modo que comparando el índice antes y luego de la fusión, la variación dependerá del tamaño de las empresas a fusionar y de su comparación en relación con la empresa dominante: si la concentración o fusión fuera entre empresas pequeñas el índice tendría una variación negativa, indicando una operación procompetitiva. En cuanto a medir la evolución de los mercado se utiliza el índice de inestabilidad, que compara la cuota de mercado de las empresas en dos períodos: si el índice tiende a cero es por que las empresas mantienen su participación de mercado en ambos períodos y si tiende a uno indica inestabilidad. d) Lineamientos legales en Defensa de la Competencia En 1890 la Ley Sherman de EEUU, prohíbe los contratos, confabulaciones o conspiraciones para restringir el comercio, producción y la colusión para acordar precios; en general declara ilegal a las conductas monopólicas (caso célebre contra la Standart Oil Co, por precios predatorios y desprendimiento de 110 distribuidoras de combustible adquiridas). En 1914 la Ley Clayton de EEUU, prohíbe impedir a un comprador o arrendatario las compras a competidores; prohíbe los precios predatorios para quebrar a competidores; y prohíbe las fusiones de empresas que reduzcan significativamente la competencia. En 1936 la Ley Robinson-Patman de EEUU, prohíbe discriminar precios entre compradores de un mismo producto. 428 429 En 1914 y por leyes posteriores se crea en EEUU la Federal Trade Commission -FTC- o Comisión Federal de Comercio, que prohíbe las prácticas desleales y anticompetitivas en el comercio, la publicidad o etiquetado engañoso y los acuerdos con minoristas para excluir a marcas rivales. En Argentina, existieron posteriormente leyes sobre defensa de la competencia entre empresas y sobre lealtad comercial con los consumidores, que se adecuan periódicamente a las nuevas circunstancias y presiones internacionales (de corporaciones; del Consenso de Washington). Los órganos de aplicación son las Secretarías de Comercios Interior y de C. Exterior, del ministerio de I. y Comercio. Estas secretarías suelen mantener en sus sitios web largos listados de investigaciones antidumping o afines (sanciones a farmacias, tarjetas de crédito, YPF por garrafas de gas domiciliario, etc.). Quien escribe tramitó en 1990-1992 denuncias por importaciones de chapa de acero dumping desde Brasil, Corea del Sur, Japón y algún otro país; también con éxito defendió las denuncias similares, pero gestionadas sin fundamento desde EEUU, entre 1978 y 1993 contra las exportaciones de chapa de acero argentina. No cualquier empresa podía exportar chapa a U$S/t 320, especialmente si sus costos eran mayores y vendía en su mercado local a mayor precio; era necesario ser eficiente como SOMISA, con costo inferior a 320 para poder mantener al menos durante estos 16 años esas exportaciones denunciadas sin fundamento. 429 430 EQUILIBRIO DE LA EMPRESA (UTILIZANDO EXCEL) MAXIMIZACIÓN DE LA PRODUCCIÓN Siendo la función de producción Q = 2L 2C2, si se dispone de un presupuesto M=$60 y los costos de los factores X e Y en el mercado son P L =$1 y PC = $2, se calcula la producción máxima de un bien final Q en unidades con la misma herramienta conceptual que en el enfoque de la demanda (ya sea con derivadas o utilizando la combinada de LaGrange). Tanto en Marshall como en Pareto el método matemático es el mismo en ambos enfoques, por ejemplo: Q' L / Q'C = PL/PC y con M=60. a) 4LC2 / 4L2C = 1/2; o bien 8C = 4L; o sea, C = 1/2L # b) además debe ser Pl(L) + Pc(C) = M: L + 2C = 60 y según # resulta L+2(1/2L) = 60, con: L=30; C=15 y Q=405.000 kilos. Igualmente con la aplicación Solver, pero para funciones "no" lineales. Se presentan los datos básicos en una hoja Excel, con celdas para los requerimientos de ambos factores; para sus precios o costos; lo gastado en cada uno y para la producción máxima: la celda objetivo B5 contiene la fórmula con la función de producción. En D4 estará el gasto total en factores B4 + C4. En Herramientas > Solver> se anota la celda objetivo; se elige Maximizar; las celdas cambiantes B2yC2 en las que Solver calculará los requerimientos de factores. Sujeta a las siguientes restricciones > Agregar y presenta una pequeña ventana que permite anotar “D4” a la izquierda; “ ” en el centro y “=60” a la derecha (el presupuesto). Finalmente, luego de aceptar se abre la ventana final para Utilizar la solución de Solver y Aceptar 430 431 Al no haber entrado en Opciones para modificar se continúa trabajando en Solver sin Adoptar el modelo lineal, ya que esta función de producción no es lineal. C 15 E Q = 405.000 kilos 30 L DUALIDAD MÍNIMO COSTO PARA OBTENER UNA PRODUCCIÓN DE 200.000 KILOS Manteniendo la técnica y los costos de los factores en el mercado, se busca saber cuál sería el mínimo costo para producir exactamente Q=200.000 kilos del bien final: 431 432 Q = 2L2C2 = 200.000 y siendo # C = 1/2L resulta 2L 2(1/2)2L2 = = 200.000; de donde 1/4L 4 = 200.000, o sea, L=25,15 de modo que C=12,6 según la relación # vigente. El costo de esta producción será M= $1(25,5) +$2(12,6)=$50,30. Con Excel, se escriben los datos con la misma disposición en una hoja de cálculo. Al abrir Herramientas > Solver se elige la celda objetivo, ahora D4 y seguidamente se pulsa en Minimizar; luego las mismas celdas cambiantes B2 y C2. En Sujeta a las restricciones > “se Agrega” producción (antes de presupuesto): B5 = 200000 la restricción ahora de Con Resolver y Utilizar la solución de Solver, se calcula el presupuesto mínimo necesario para esa producción de 200.000 kilos (así como las cantidades de las demandas derivadas de factores productivos L y C). Obsérvese que para producir la mitad que antes el presupuesto no bajó a la mitad, debido a que la función de producción no tiene rendimientos constantes sino crecientes (según la suma de exponentes de la función de producción mayor que uno), de modo que al bajar el ritmo productivo el gasto no se reduce proporcionalmente (no es programación "lineal"). 432 433 TEORÍA DE LOS COSTOS CON EXCEL En una hoja de cálculo se introducen las fórmulas de cada concepto de costo en la línea 2, como se muestra en el ejemplo. Se copian hacia abajo y surgen evidentes los puntos relevantes: mínimo costo medio E6; mínimo costo medio variable F4; costo medio igual a costo marginal con X=4,6 (costo marginal o aumento del costo total por producir una unidad más de X; la derivada del CT= CT'). La gráfica se obtiene con: Icono de gráficos > Dispersión > etc. y si se prefiere, eligiendo en Formato de Ejes la escala logarítmica para la ordenada. MINIMIZACIÓN DE COSTOS CON SOLVER A partir de esos datos es posible pedirle a Herramientas > Solver> que minimice, eligiendo como celda objetivo alguna celda del costo medio, por ejemplo E7; celda cambiante la correspondiente de las X, A7; tildar Mínimo; en Sujeta a las siguientes restricciones A7>=0, y que el costo medio sea igual al costo marginal, E7=H7; con Resolver y Aceptar calculará el valor exacto X=4,65871 que minimiza el costo medio total (nivel óptimo de explotación en el largo plazo; o en el corto plazo punto crítico, por ser el umbral de pérdidas si los precios llegaran a bajar de ese importe). 433 434 RESTRICCIONES ADICIONALES CON MATRICES DOS SOFAS SIMPLES MÁS UNO TRIPLE Una fábrica de muebles vende juegos de sofás. Sus costos de producción para sofás simples son $ 70 variables más $60 fijos; para los sofás triples son $ 200 variables más $ 150 fijos; y su capital de trabajo son $10.000. Necesita minimizar el costo de producir la máxima cantidad posible de juegos. La restricción adicional es, en este caso, respetar la proporción dos simples más uno triple (-2+1= 0 es la restricción planteada según la fila 3 de la hoja Excel). La otra restricción es el capital de trabajo para insumos: 10.000 menos costos fijos = 9.730, disponibles para costos variables, según la proporción mencionada, que se muestra en la fila 2 de la hoja Excel. 434 435 La función Excel para matriz inversa ayuda a resolver el problema: se pinta desde A5 hasta B6 y se escribe “MINVERSA(A2:B3)” pulsando luego Ctrl+Shift+Enter como muestra la imagen. Seguidamente se multiplica la matriz inversa por el vector de las disponibilidades: se pinta D5 y D6 y se escribe “mmult(A5:B6;D5:D6)” y Excel calcula la proporción máxima de juegos de sofás, 29 triples más 57 simples, que es posible producir con los recursos disponibles. 435 436 PROGRAMACION ENTERA DE UNA DIETA En una dieta alimenticia interesan los costos, los requerimientos mínimos y el nivel de calorías. Se sabe que para mantener el peso adecuado alguien de consumir 1350 kcalorías y un mínimo de 500 mgr de vitamina A, 350 mgr de calcio, 200 mgr de proteínas y 150 mgr de minerales. Dada una tabla de contenido de los alimentos y su costo formule el programa lineal entero que optimiza la dieta. Una vez volcada la tabla y hecho el cuadro resumen en la hoja de cálculo, al ingresar a Solver se puede elegir minimizar el costo e “Integer” (entero) como restricción ( B6:B11=Integer). Las otras restricciones hacen a cumplir con los requerimientos mínimos y con el tope de calorías. En las opciones se tildó Adoptar el modelo líneas y Adoptar no negativos para las cantidades de alimentos. Al resolver Utilizando la solución de Solver también se pueden pintar los tres informes usuales con los resultados. Al haber elegido Integer como restricción solo se consideran unidades enteras para las celdas cambiantes B6:B11 y esta optimización se cumple con el costo mínimo de $57 . (Utilice Ver o Vista > Zoom > 200% para leer bien la imagen) PROBLEMA DE LA MOCHILA CON ENTEROS El problema de la mochila es otro característico caso de programación entera. Consiste en llenarla con objetos cuyo peso se conoce y a los que se le 436 437 asignó determinada valoración (ambos, peso y valoración positivos). Con una capacidad limitada en la mochila el problema consiste en escoger aquellos objetos (enteros) que maximicen la utilidad sin exceder aquella capacidad. En el siguiente ejemplo la función objetivo a maximizar incluye en C10 la valoración de cada objeto. En C11 se anotaron como fórmula las restricciones sumando los pesos de cada objeto; y se agregó la condición C11<=20; también se agregó en Sujeto a las condiciones que los cuatro objetos sean enteros (Integer) y no negativos (esta condición puede tildarse en las opciones junto con estimación lineal). Solo se transportan 18 kilos en 6 unidades de X2 porque no pueden incluirse fracciones de alguna; y la utilidad máxima es 54 unidades. (Utilice Ver o Vista > Zoom > 200% para leer bien la imagen) PROGRAMACION BINARIA En un problema similar al anterior puede incluirse la condición de considerar las variables como elementos binarios (0 ó 1) tildando en “Sujeto a las restricciones” la condición binario; es el caso en que las variables a incluir no son divisibles, repetibles (replicables).También se pueden plantear casos en que algunas variables sean conjuntas o que alguna sea mutuamente excluyentes de alguna otra. En este caso la utilidad máxima bajó a 35; se transporta una unidad de X1, otra de X2 y otra de X4, que pesan 20 kilos; la utilidad máxima bajo a 35 porque no pueden repetirse varias unidades del mismo bien. Además, combinando fórmulas en las celdas con las posibilidades que incluye “Sujeto a las restricciones” se pueden introducir diversas restricciones binarias (opción 0 ó 1) para alguna o varias de las variables. 437 438 OPTIMIZACION DE LA PRODUCCION / MINIMIZACION DEL COSTO La solución tradicional de problemas con solo hasta tres variables implicaba recurrir al análisis deferencia (análisis marginal, ilustrativo). Aun con esta reducida cantidad de variables el proceso resultaba largo y engorroso. Excel y su macro Solver permiten estandarizar este tipo de problemas (hasta 450 variables; lógicamente dando por conocido este análisis marginal). Una empresa produce tres bienes (A, B, C) con insumos que adquiere mensualmente a otro productor, según coeficientes técnicos que se indican. Los insumos totalizan 20.000 kilos por mes a $/k 2,50. Los costos fijos son $80.000 mensuales. Los costos variables de conversión ascienden a $240 por hora máquina y se trabaja 25 días al mes en dos turnos de 8 horas. Optimizar la producción considerando que la empresa tiene por 5 años dos contratos impostergables por las cantidades que se indican. 438 439 (use Ver o Vista > Zoom 200% para ver los detalles) Se volcaron los datos en la hoja de cálculo, construyendo las formula correspondientes para la cuantificación de los costos y de los ingresos según el cuadro. En la celda objetivo B30 se maximizan los beneficios y se seleccionó como celdas cambiantes B23:D23 para que Solver calcule ahí las cantidades que optimizan la producción y repercuta en las fórmulas de costos e ingresos. Como la empresa tiene contratos ineludibles las cantidades a optimizar son menores que la demanda total disponible; no obstante en el cálculo final de beneficios se consideran tanto las producciones para contratos como las de los tres mercados remantes. Las restricciones del modelo implican no superar los insumos disponibles ni la demanda remanente; al ingresar en Opciones se tildaron Adoptar modelo lineal y también No negativos. 439 440 Como en todos los demás casos, el archivo Excel con este ejemplo muestra mejor a los interesados la interrelación en cada celda (según las fórmulas del cuadro) con las cantidades seleccionadas por Solver. 440 441 PROGRAMACION DE TURNOS DE TRABAJO Supóngase una empresa que preste servicios continuados las 24 horas durante todo el año. Su personal trabaja 8 horas diarias, ingresando en 6 turnos cada 4 horas y no se trabajan horas extra. Las dotaciones mínimas requeridas son las siguientes restricciones. Los jornales varían según los turnos del cuadro. Para minimizar el costo salarial sujeto a las restricciones se plantearon dos hojas con diferente distribución de los cálculos. En la primera se tiene en cuenta que la jornada de 8 horas permite que en cada turno pueda haber “presente” personal del turno anterior, por ej. i16 = i14+n14. Al abrir Solver se marcó como celdas cambiantes a los turnos i8:n13. Las restricciones i16:n16 >= i18:n18 y que las celdas cambiantes sean positivas y también que sean enteros (integer). La función objetivo es la suma-producto de los jornales por los presentes, con $1208 de mínimo costo. 441 442 En esta segunda presentación se adoptó la sugerencia del archivo de las muestras Excel incluido en el Office de Microsoft. Se dispuso matricialmente la condición de personal presente del turno anterior. Las celdas cambiantes de la solución permiten cumplir con las restricciones i4:i9 >= que la dotación requerida. También permiten la suma producto por los jornales que figura en la función objetivo, con un mínimo costo de $1208. 442 443 Al abrir Solver se establecieron como celdas cambiantes c10:h10 y se agregaron como restricciones que esas celdas cambiantes fueran enteras (int) y no negativas. Igualmente que el personal no fuera menor que el requerido. En ambas presentaciones se tildó adoptar la solución lineal (y no negativo). Finalmente esta siguiente es la presentación de Microsoft Excel para el ejemplo de Muestras.xls sobre la programación del personal de un parque. Su presentación matricial atiende a mostrar cómo cada empleado trabaja cinco días semanales y tiene dos feriados; siendo lo demás parecido. (use Ver o Vista > Zoom > 200% para leer los detalles) EQUILIBRIO EMPÍRICO CON HOJA DE CÁLCULO EXCEL La teoría económica explica el punto de equilibrio de la empresa maximizando el beneficio. Se procede conceptualmente y desde funciones y se suelen aceptar las explicaciones, no obstante que en la empresa no existen funciones sino solo series históricas de venta y compra de insumos. 443 444 Se aceptan las explicaciones teóricas y el criterio de óptimo (ingreso marginal igual a costo marginal y simultáneamente crecimientos de éste mayor que el del ingreso marginal; es decir máximo B si B‟= 0 y B‟‟ <0)) Si fuera necesario demostrarlo empíricamente, sería necesario calcular la función de demanda Px; luego el ingreso total IT =Px (X); así como el ingreso marginal, IT‟. En los costos sería necesario ajustar la serie del costo medio histórico a una función cuadrática (parábola invertida, tipo U); luego obtener el costo total como el producto CMe(X); y finalmente el costo marginal C‟. Igualando I‟ = C‟ se calcula la cantidad X que optimiza la operatoria de la empresa y maximiza su beneficio. Solo mediante una hoja de cálculo como Excel se facilitarían estos cálculos: A) AJUSTE LINEAL DE LA DEMANDA En este ejemplo se quiere explicar cómo a partir de las estadísticas reales de venta se obtienen precios y cantidades de, por ejemplo 30 o más meses. Mediante Excel se efectúa el ajuste lineal X = a – bP, estimando los coeficientes que se muestra en D4 a D6 y armando la ecuación de ajuste en C2, para copiarla hacia hasta C9. Siendo la demanda X = 7.98 –0,99P, se despeja P = 7.98 –0.99X. Así, el ingreso total, que es precio por cantidad, resulta: IT = (7.98 –0.99X)X = 7.98X – 0.99X2; y el ingreso marginal es IT‟ = 7.98 – 1.98X, que luego se utilizará para igualar con el costo marginal. B) AJUSTE PARABÓLICO DEL COSTO MEDIO Los registros históricos, reales, con costos medios y cantidades producidas permiten efectuar una ajuste cuadrático y encontrar la parábola que minimiza los desvíos entre los datos y la parábola de ajuste en forma de U. 444 445 Bajo ritmo de producción, con insuficiente reparto de costo fijos, implica costos medios elevados; igualmente producir a mayor ritmo que el diseñado para el equipo implicaría subir los gastos de mantenimiento y reparaciones, aumentando el costo medio y explicando así la forma usual en U de éste. El método de mínimos cuadrados requiere el siguiente cuadro de trabajo, en el cual X son las cantidades e Y los costos medios históricos. En I2 se escribe la función de ajuste, con “referencias absolutas” (con F4 o $ ) a los coeficientes de la parábola obtenida más abajo. Aplicando el método de Sarrus y de Cramer, se calculan las ecuaciones formales y se resuelve con Excel los determinantes y el Hessiano, según se muestra en la imagen. Cabe aclarar que la función Excel para calcular determinantes es “=mdeterm(rango)” y así también se calculó el Hessiano en N13. Pero para calcular los tres coeficientes A, B, C del ajuste es necesario dividir cada determinante ∆ por el Hessiano, del modo como se muestra en N17. Con A, B, C es posible conformar la parábola de ajuste que ilustra la fila 20 y se calcula en 12 hasta 18 (imagen anterior). 445 446 Falta comprobar que el ajuste cuadrático sea bueno, calculando el coeficiente de correlación R y determinación R 2. Se obtienen en J38, como cociente de las sumas de los cuadrados de "diferencias" teóricas sobre las reales. Obtenida la función de costo medio CM = 1,8+15X-0,13X2, se obtiene el costo total como el producto CM(X): CT = 1,8X +15X 2 - 0,13X3. El costo marginal es la primer derivada CT‟ = 1,8 +3X -0.39X2. Ahora es posible calcular el nivel óptimo de la empresa, maximizando beneficios B= IT–CT. El máximo beneficio implica que se cumpla B‟ = 0 y B‟‟<0. B'= 0.30X2 -5X +6,2 =0; sus raíces son X =1,4 y X =0,1; sin embargo, solo con X=1,4 se cumple la segunda condición B''<0. La empresa maximiza beneficios produciendo 1,4 unidades; su precios de venta es P=$6,61; su ingreso total $9.21 y su costo total $5.07 y su beneficio $4.15.EQUILIBRIO DE LA EMPRESA CON SOLVER 446 447 En el punto anterior se ha calculado el equilibrio empírico con la hoja de cálculo Excel, aplicando también diferenciales. Adoptando esas funciones de demanda y costos, se puede calcular el equilibrio, sin cálculo diferencial, directamente con Herramientas > Solver > y pidiéndole en Parámetros de Solver que Maximice la celda objetivo (A9), cambiando las cantidades X (A1) y sujeto a las restricciones Img=CMg, o sea (A5)=(A7); así como I''<C', o (A6) (A8) de la siguiente imagen: EL MERCADO COMPETITIVO Es una figura ideal, base principal de toda legislación comercial doméstica en los países y también en el comercio internacional entre ellos (Org. Mundial de Comercio-OMC ... o WTO...ex GATT...) Implica que exista un régimen jurídico liberal: con propiedad privada de bienes y de recursos; libre circulación de bienes, servicios y factores; trabajo asalariado, etc.. El principal motivo del accionar económico: solo maximizar beneficios (hedonismo o principio hedónico: máximo beneficio con mínimo esfuerzo...pero cuidado porque no es el único!). Los precios y costos en los mercados "libres" organizan o dirigen las inversiones, sin orientaciones ni controles de los gobiernos.... No hay monopolios: supone empresas muy pequeñas y compradores individuales no organizados: atomización (debe haber un fuerte poder de policía para esto...); la demanda es así una línea horizontal (D = P = IM = IMg no hay descuentos; cualquier cantidad se puede conseguir y vale siempre lo mismo) Se prohibe la discriminación: para todos debe haber un solo precio para el mismo producto (...si este tiene homogenidad real, espacial y temporal). 447 448 No debe haber corrupción: supone plena "transparencia" (la glasnost, de Adam Smith y de la Perestroika de Gorbachov) o sea, el conocimiento "perfecto" de precios y costos por todos sin corrupción. Este modelo ideal también se simplifica suponiendo costos nulos en la movilidad de los recursos/factores.... O sea: a) en esta teoría (que es la base de la ley y un ícono de los sistemas políticos): hay competencia perfecta, libre mercado y propiedad privada; transparencia, atomización, sin discriminación ni corrupción. b) en la realidad: monopolios, dumping, subsidios, lobby (o la práctica del vestíbulo), cohecho y prevaricato: corrupción en todos los mercados, ya que el hedonismo es una parte importante del espíritu humano. Y entonces?: aprender las reglas del juego; exigirlas a los competidores, denunciarlos ; defendernos de sus denuncias para retener el mercado propio sin dejárselo usurpar por prácticas anticompetitivas siempre tan generalizadas en todos los países y mercados (domésticos e internacionales) En ningún mercado se da la competencia perfecta plena: hay barreras arancelarias y paraarancelarias para productos, servicios y también para los factores (mano de obra y capital) en Europa, Japón, China, EEUU y resto de “todos” los países, incluido Argentina. Pero cada vez se avanza más en la competencia: los países grandes la exigen a los demás pero no la practican y se discuten las excepciones en la OMC (Europa se cierra en bloque; igualmente Japón y China o India; y por ello EEUU subsidia indiscriminadamente, se cierra y protege, pero obliga a los países chicos a abrir sus mercados de bienes, de servicios y del factor capital (pero no del factor trabajo: ahora sus empresarios utilizan y aprovechan las ventajas competitiva en países con mano de obra barata: Asia, Europa del Este, Brasil pronto...? afectando así a sus propios trabajadores...) La competencia es un tema vital para que la empresa pueda vender normalmente. Quien lo desconoce pierde su mercado. Este será el "principal asunto": casi todo el curso de Micro 1 gira sobre este tema, precisando detalles en las diversas unidades.... Todo el mundo tiende parcialmente hacia estos mercados competitivos; pero no siempre rigen plenamente: EEUU, Europa, Japón y muchos en general tienen barreras para importaciones, mientras que subsidian sus exportaciones... Clarín publicó sobre una reunión en Argentina de la Organización Internacional de Estándares (ISO), promovida por el instituto argentino de racionalización de materiales (IRAM): muchos países promueven impedimentos comerciales: a) barreras arancelarias (derechos de importación); b) barreras para-arancelarias (denuncias de dumping indiscriminadas; denuncias por subsidios (CVD); cupos de importaciones limitadas c) uso de estándares locales que impiden importaciones discrecionalmente. 448 449 En 1776 La Riqueza de las Naciones, de A. Smith propició el libre comercio y la "transparencias de los mercados" (competitivos). En 1985 Gorbachov presidia la URSS; en 1987 edito su Perestroika, cuyo postulado principal era la transparencia (política: para evitar la purgas genocidas; y la transparencia económica: para que la URSS lograr tener precios competitivos con los mercado internacionales y poder exportar y conseguir las escasas divisas (el comité central definía los precios en un orden proporcional, pero resultaban mayores a los del mercado internacional); gastos por carrera armamentista e insuficiencia de divisas llevaron al fin de la URSS en 1991; Ucrania, Rusia, etc. se readaptaron progresivamente a las reglas del mercado competitivo, bajo un desorden caracterizado por apropiaciones criticables, corrupción y mafias, en un proceso que continua hoy buscando mayor transparencia. (Clarín recordó el otro día la foto en que Yeltsin le señaló con el dedo /indicó a Gorbachov la puerta... hecho histórico sobresaliente del sXX) También Argentina en 1992 rompió con una tradición de regulaciones estatales y orden económico que confluía en precios locales mayores a los internacionales. Pero con problemas de caída de actividad por el congelamiento del tipo de cambio, importaciones de manufacturas con valor agregado (mano de obra) mayores que en las exportaciones de estas; pago de deuda externa; huida de productores hacia Brasil o importar de China o Mercosur; etc.; persistencia de monopolio locales, concesiones y corrupción que todavía parece existir, no obstante los nuevos mecanismos de control, como los entes que regulan las prestaciones de servicios públicos y otros (Comisiones Nac. de Defensa de la Competencia; y de Comercio Exterior; Derechos Humanos; etc.) procurando transparencia y accionar "competitivo". El mercado competitivo es la base de toda la ley comercial (no está definido en los código sino que se estudia aquí); su importancia es máxima. También estudiaremos otros mercados imperfectos muy reales... EQUILIBRIO del MERCADO y SU ESTABILIDAD El equilibrio del mercado competitivo es, en principio, con demanda = oferta ( D = O). Pero cabe estudiar mercados con competencia no perfecta (monopolio y oligopolio) en los cuales el equilibrio del mercado se estudia como equilibrio de una empresa que enfrenta a una demanda competitiva o no. En esos casos el equilibrio es estudia como la maximización del beneficio de esa empresa, siguiendo la condición matemática de máximo: primer derivada nula y que la segunda sea negativa para indicar que el anterior punto de giro era un máximo (con beneficio = Ingreso – costo) Para el caso del equilibrio en el mercado competitivo suele plantearse el problema de conocer por un lado la demanda del mercado pero solo los costos de una de las pequeñas empresas. En estos casos se calcula la situación de 449 450 esta empresa en la unidad 6 y luego se divide el total del mercado por la producción de esta firma para averiguar la cantidad de competidores. Para el caso competitivo si se conoce la demanda y la oferta se calcula el equilibrio D = O en los términos estudiados en la asignatura introducción a la economía. EJERCICIO: Dadas las curvas de Demanda y Oferta del mercado del producto X determine el equilibrio: Xd = -1.000p + 400.000 Xo = 2.000p - 80.000 Equilibrio: D = O ; -1000P +400.000 = 2000P -80.000 ; -1000P -2000P = -80.000 – 400.000 ; -3000P = -480.000 ; +400.000= 240 kilos P = $160; y según la D u O es X = -1000(160) ( recordamos cómo graficar la demanda: si P=0 entonces sería X=400.000; y si fuera X=0 entonces P tendría que valer P=400; igual para graficar la oferta: una recta se insinúa con dos puntos; las curvas con tres…) ESTABILIDAD ESTATICA La estabilidad o inestabilidad de los mercados se verá a) en estática: hay 2 explicaciones no coincidentes: Walras vs. Marshall; luego veremos b) la estabilidad dinámica (con el modelo de la telaraña: los alquileres; las cosechas de granos; la cría de cerdos /jamones... Como modelo icónico de estabilidad recuerden el juguete infantil (el tentetieso o tentempié para bebes: luego de moverlo vuelve solo al equilibrio; ….modelo o imagen de estabilidad)... Pero si mueven una bolilla ubicada sobre una media esfera (o taza de café invertida) nunca volverá sola a su sitio: modelo o imagen de algo inestable. 450 451 Equilibrio según Walras: un mercado es estable si cuando el precio es bajo hay exceso de demanda... y al subir el precio disminuye el excedente de cantidad demanda (si fuera el gráfico anterior Walrás observaría el triángulo inferior entre el punto E, el origen y la abscisa X=400.000 para ver que disminuye el excedente de cantidad demandada) Además calcula el excedente de demanda restando la oferta a la demanda, con funciones explicitas; luego observa el resultado y lo deriva: si la derivada es negativa es estable, porque disminuye el excedente de cantidad demandada. Xd = 60 - P -Xo = 10 +2p --------------------------Ep = 50 - 3P Y si la 1er. derivada es negativa; el mercado es estable: E‟p = -3, <0, estable. Equilibrio según Marshall: en un mercado estable, si la oferta es insuficiente los demandantes suben sus precios: entonces ante una baja oferta hay excedente de precio demandado y al aumentar esa oferta se reduce ese excedente de precio demandado (Marsahll observaría el triángulo a la izquierda del punto E del gráfico anterior y las ordenadas P=400 y P=40) Obsérvese que calcula el excedente de precio demandado restando la oferta de la demanda pero con funciones implícitas. Pd = 60 - X - Po = -5 + 1/2 X -------------------------------Fx = 65 - 3/2 X es estable porque su derivada es F'x = -3/2 (negativa, estable) Sin embargo, este análisis no es concluyente, ya que Walras y Marshall se contraponen bajo otras funciones de demanda y de oferta que no tienen las formas típicas (y aquí estamos en esta teoría) EJERCICIO 2: Estabilidad del Mercado Competitivo Con las siguientes funciones de demanda y oferta, establecer las condiciones de estabilidad según Walras y Marshall D = 40 - 6p O = 20 - 2p Equilibrio: O sea, $5 = p D=O; 40 - 6p = 20 - 2p 20 = 4p Y según la D o la O es X= 40 - 6 * 5 ; X= 10 kilos 451 452 Estabilidad según: WALRAS: La estabilidad se presenta cuando el exceso de la cantidad demandada disminuye cuando aumenta el precio. Se resta = -4 D = 40 - 6p O = 20 - 2p E(p) = 20 - 4p con primer derivada negativa: dE(p)/dp 0 Mercado Estable porque disminuye el excedente de cantidad demandada. MARSHALL: Considera un mercado estable si el exceso de precio disminuye cuando aumenta la cantidad. D = 40 - 6p P = 6.6 - 1/6 Xd Para restar: O = 20 - 2p P = 10 - 1/2 Xo (se resta en la forma implícita) F(x) = -3.4 + 0.33X df(x)/dX = 0.33 0 Mercado Inestable porque no disminuye el exceso de precio demandado. Pero con funciones de oferta de pendiente negativa y/o demandas positivas no coinciden ambos criterios de estabilidad. 452 453 DIVERSOS MODIFICADORES DEL EQUILIBRIO : - Impuestos: aumentan los costos y así suben o encarecen la oferta... Calcularemos como baja el "excedente del productor y el del consumidor" al aplicar un impuesto...y también la perdida social adicional, pero lo haremos luego en la unidad 7... Ejercicio 1) Grafique la curva de demanda del mercado del caviar C= 300 – P y la curva de oferta del mercado C= (p-60)/2. Determine el equilibrio del mercado, con solución inicial es C=80 y p= $220. Luego si un impuesto de 15 grava cada recipiente de caviar vendido, ¿cuál será el nuevo equilibrio? ¿Cuál es el importe de la transferencias o recaudación (cobros fiscales)? Equilibrio inicial sin impuestos: D = O Xd= 300 – p ; Xo= (p – 60)/2. 300 – p = (p- 60)/2. -p= (p-60)/2 – 300. -p= p/2- 30 – 300; -3/2 p = - 330; P= 220. Y según la D u O: X= 300 – 220; X= 80 kilos. Impuestos de $15 sobre ventas: Nueva curva de oferta Xo= (p – 60)/2; o sea, 2Xo= p- 60; 2Xo + 60 = p; P= 2Xo + 60. Ahora con el impuestos de $15 será: P1 = 2Xo + 75. También traspongo la demanda X d= 3oo – p como -P= Xd – 300; o sea P= -Xd + 300; 2q + 75 = -q + 300; o sea, 3q = 225; Q= 75 menor que inicialmente sin impuestos. Y según la vieja demanda Do o la nueva oferta P1 resulta que sin impuesto. P= $225, mayor La recaudación fiscal es 75* $15= $1125,00 que graficamos en la zona rayada. En cuanto al precio neto recibido por los vendedores hay que restarle esos impuestos recaudados a su venta total y el resultado coincidirá con lo que indica su antigua curva de oferta ( ese nivel con la vieja oferta es el que sigue indicando cuanta cantidad estarán motivados los vendedores a producir recibiendo ahora el menor precios neto). Xo= (p – 60)/2. P= 2Xo + 60 = 2(75)+60 = $210 es el cobro neto del producto con el impuesto y esta menor cantidad 75 consecuente. Mientras que antes percibía $220 y vendía más (X = 80). Hay un perjuicio para el productor. 453 454 Por otra parte también hay un perjuicio para los consumidores, ya que antes pagaban $220 y ahora $225 con el impuesto y además antes compraban 80 unidades contra solo 75 ahora. Si sumamos estos perjuicio, del productos y del consumidor, veríamos que superan al monto de la recaudación fiscal; es decir que hay una pérdida social por excesivo achicamiento del mercado (que estudiaremos en la unidad 7 mediante un fácil recurso de calcular el área superior e inferior al viejo precio mediante fáciles integrales definidas entre O y 80 (excedentes del consumidor y del productor respectivamente). Ejemplo 2: Incidencia de un impuesto (en las formas explícita e implícita) Forma Explícita: Demanda X = 300 –p Forma Implícita: -p=X-300 Oferta X = (p-60) /2 Equilibrio mercado: ....... p= -X+300 1/2p= X -30 ......... D=O p= 2X+60 Equilibrio mercado: Pd = Po 300-p = (p-60) /2 -X + 300 = 2X + 60 600 -2p = p-60 3X = 240 X = 80 3p =660 ; p = $220 Según Pd o Po……P= - 80 +300 =$220 Según D u Of…….. X=300-220 =80 kilos Con el IMPUESTO $15 por unidad vendida Igualmente: Oferta anterior X = (p-60) /2 Oferta anterior p = 2X + 60 454 455 Oferta actual X = (p-75) /2 Nuevo equilibrio: D = O Oferta actual Equilibrio Pd = Po 300 - p = (p - 75) /2 600 - 2p = p – 75 3 p = 675 ; p = 2X + 75 - X + 300 = 2X + 75 3 X = 225 X = 75 kilos p = 225$ Según Pd o Po.... P = -75 +300 = $225 Según D u Of…. X = 300 - 225 = 75 kilos (hay mayor precio y menor cantidad por el impuesto) El gráfico del mercado tiene demanda con 300 de ordenada y 300 de abscisa; la oferta tiene abscisa -30 y pasa por el punto de equilibrio inicial; la nueva oferta tiene abscisa -38 y pasa por el segundo punto de equilibrio... La oferta es el costo marginal de los productores: los costos aumentaron con el impuesto y la nueva oferta es una línea superior (esa cantidad solo la ofrecen a mayor precio...). Aquí se partió de una demanda y una oferta (basada en los costos marginales). En la unidad 7 veremos diversos tipos de impuestos; en vez de trabajar con la oferta partiremos del costo total (cuya primer derivada es el costo marginal u oferta...); en ese momento compararán uds. aquel enfoque con este y verán que es consistente. Veremos que los impuestos sobre ventas (específicos como éste o ad-valorem en %) implican pérdida social; pero impuestos sobre beneficio o impuesto fijos no la implican (continua la misma cantidad y precio y solo baja el beneficio empresario...) Ejercicio 3) Dadas las siguientes funciones de oferta y demanda de gasolina, en los Estados Unidos en 1986, analizar el efecto causado por un impuesto de 50 centavos por galón. D(p) = 150 - 50pC S (p) = 60 + 40pV a) Sin impuestos el equilibrio surge al igualar la oferta y la demanda: D (p) = S (p) ; 150 - 50pC = 60 + 40pV ;, con p=$1 y cantidad según la D u S = 100 galones. b) Se pasa ahora al análisis del efecto del impuesto: Como la cuantía del impuesto es de 50 centavos, significa que esa cantidad es la que recibirá el Estado por galón. Es lógico suponer que este monto 455 456 surgirá de la diferencia del precio de compra y precio de venta, por ende: pC - pV = 0.5 Esta última condición se puede reformular de la siguiente manera: pC = 0.5 + pV , de esta manera se puede sustituir en la ecuación donde se iguala la demanda con la oferta. 150 - 50 (0.5 + pV ) = 60 + 40pV o sea, 150 -50(0.5) -50pv = 60 +40pv ; 150 -25 -60 = 50pv +40pv ; 90pv De donde galones pV = $0.72 y reemplazando en 65 = D (p) = S (p) = 89 Recuérdese que pC = 0.5 + pV por lo que ahora el pC = $ 1,22. Finalmente obsérvese que el efecto de la carga impositiva producirá un descenso de 100 galones a 89 galones. Por otra parte la carga del impuesto se repartiría en este caso más o menos por igual entre los consumidores y los productores; los primeros pagarían de más alrededor de 22 centavos por galón ($1,00 antes y ahora $0.72+$0.5=$1.22); en tanto que los segundos recibirían 28 centavos menos por galón (antes $1 y ahora $0.72). Of erta sin Impuesto Demanda sin Impuesto Demanda con Impuesto Of erta con Impuesto Precio (dólar por galón) 2 1,75 1,5 1,25 1 0,75 0,5 0,25 0 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 Cantidad (m iles de m illones de galones) Ejemplo 4) Determinar los efectos que producirá un impuesto sobre la oferta en una cuantía de $0,90 por unidad vendida. D (p) = - 400p + 4000 S (p) = 500p - 500 a) Punto de equilibrio sin el impuesto: D (p) = S (p) ; - 400p + 4000 = 500p – 500; de donde según D o S X= 2000 p = $5 ; y b) Efecto de la cuantía impositiva $0.90 sobre ventas: 456 457 D1(p) = - 400 p + 4000 S 2(p) = 500 * (p - 0.9) - 500 = 500p - 950 Nuevo equilibrio: D1 (p) = S2 (p) ; - 400p + 4000 = 500p – 950 ; con p = 5,5 y según la vieja demanda o la nueva oferta D1 = S2 la cantidad es X = 1800 unidades. Demanda Oferta Oferta con carga impositiva 6,5 6 Pesos 5,5 5 4,5 4 1600 1650 1700 1750 1800 1850 1900 1950 Cantidad ( unidades) 2000 2050 2100 2150 2200 - Subsidios Lo contrario que los impuestos, los subsidios a las empresas rebajan, abaratan costos y/o la oferta (resultaría igual un subsidio a la empresa que si este fuera otorgado al comprador); es decir que también pueden alterar el equilibrio del mercado alentándolo. Efecto de los Subsidios: Suponga que el gobierno deseara fomentar el consumo de leche, Muestre mediante un gráfico como podría aumentarlo la concesión de una subvención (lo contrario de un impuesto) a los productores de leche (debe mostrar las curvas de oferta y demanda y colocar el precio que pagan los consumidores en el eje de ordenadas). 457 458 Al nivel de precios Po los productores están dispuestos a vender la cantidad X1. Con el subsidio estarán motivados con esa baja de costos (y precio P2) a aumentar la producción hasta X2. Este precio es más bajo que el anterior, para los consumidores (precio neto) y aumenta la cantidad vendida hasta X2. - TECNOLOGIA - GUSTOS: También hay otros factores que suelen alterar el mercado, como las mejoras en la tecnología, que bajarían los costos y alentarían la oferta, alterando el equilibrio. Por el contrario, un cambio de los gustos o moda, puede por ejemplo reducir bruscamente la demanda de un mercado... - BAJOS Precios máximos de venta obligatorio de $140: alterarían transitoriamente. Pero esa disposición legal sería inviable ya que pronto habría demanda excedente u oferta insuficiente, desabastecimiento CD; en 2010 desapareció la carne del mercado doméstico argentino porque la secretaría de comercio fijo precios máximos durante años (y paralelamente había suba de costos productivos por el corrimiento de tierras a que obligó sembrar 62% del país con soja). 458 459 -ALTOS Precios mínimos de venta obligatorios $200 (o precios sostén para la leche u otros): alterarían transitoriamente. Pero pronto serian inviables, habría oferta excedente AB, o demanda insuficiente, salvo que el Gobierno la adquiera y acumule el excedente. -Mercados Relacionados: Incluso puede haber distorsiones en mercados relacionados, como en el caso de una mayor cosecha de cebada porque fracasó la siembre de trigo/maíz; o mayor siembra de girasol y maíz porque baje el precios de la soja; menor oferta de carnes o de alimentos porque se acapare el 62% de la tierra fértil para soja; etc. (Friedman 7) Sigan aquí la Guía Distancia (se la entregan gratis en Distancia) , tomo 1, pag. 133 a 146 (o sino Friedman, T. De los Precios, cap. 7, según el programa), sobre mercados relacionados por el lado de la demanda y otros relacionados por el lado de la oferta. También oferta conjunta y demanda compuesta que tiene ahí algunas actividades explicadas. - Oferta conjunta: Puede ser otra distorsión del equilibrio.... Ej. máquina y hojas de afeitar; impresoras y tinta...etc. (muy baratas unas pero cara la otra) También alteraciones por casos de oferta conjunta como el mercado del benzol porque se desplomo el mercado de la chapa (la cual se hace con mineral y carbón (cuya destilación deja benzol/ benceno en proporciones fijas coeficientes fijos-) si no hay chapa no hay benzol... - Demanda compuesta: de piel para zapatos y para bolsos. Uno puede distorsionar al otro mercado - Demanda "derivada": Puede haber distorsiones si la demanda es "derivada" de la mayor o menor actividad en otro mercado (ej. la demanda de chapa es derivada de la mayor o menor venta de heladeras, o autos. casas... No es en sí (o tanto) el precio de la chapa el decisorio sino la participación chica o grande de esta en el bien final... Lo definitorio para el mercado de chapa será cual sea el mayor o menor precio del bien final heladeras, autos, casas etc ... La distorsión viene por los autos y no por la chapa... 459 460 (vean los ejemplos usados para elasticidad y tipos de bienes: los siderúrgicos vs. los importadores....aquí y en EEUU) 460 461 ESTABILIDAD DINAMICA–MODELO DE LATELARAÑA Estudia cambios del mercado en el tiempo, con desfase o retardo de la oferta. La demanda se ajusta instantáneamente; pero la oferta a cortísimo plazo es fija (porque la nueva cosecha tarda 12 meses...), mientras que a mediano plazo se ajusta según el precio del periodo anterior No interesa la duración del periodo (en granos es 12 meses hasta repetir la cosecha; en viviendas para alquiler 18 a 20 meses para terminar una vivienda de alquiler; en el ciclo del cerdo (jamones, con maíz) las cerdas paren en 6 meses pero las estadísticas son anuales y los ciclos observados en EEUU eran de 2 y 4 años (según las sequias y el mercado internacional del maíz...) Entonces, si el precio del trigo fue alto el periodo anterior esta siembra seria ahora grande (y viceversa...). Pero puede alterarse el equilibrio inicial tanto debido a cambios en la demanda como en la oferta. Veamos un ejemplo, cuando suben 20% los costos (tal que al precio actual la oferta produciría un 20% menos....) Se parte del equilibrio inicial; cuando cae la oferta 20% ya se conoce así la nueva cantidad y el precio. Entonces, aplicamos el concepto de recta por 2 puntos, en el cual recordamos que el primer cociente del segundo miembro representa la pendiente (cateto opuesto sobre el adyacente). Dado que ya teníamos la pendiente de la oferta inicial la utilizamos juntamente con los nuevos valores de P y Q para obtener así la nueva recta de oferta (que pasa por este punto y otro infinitésimo inmediato según esa pendiente). Finalmente, la demanda inicial y ya con ecuación de la nueva oferta permite calcular el nuevo equilibrio de largo plazo. Si se calcularan las aproximaciones sucesivas de precios y cantidades (los tanteos del mercado, de Walras) y vemos que cada nueva diferencia de precio y de cantidades fuera siendo cada vez menor, el proceso seria convergente al nuevo equilibrio definitivo (telaraña concéntrica o convergente, que existe cuando el valor absoluto de la pendiente de la oferta es mayor que el de la demanda (oferta más rígida, que la demanda elástica, … en valores absolutos). En teoría podrían existir casos con pendientes iguales en valor absoluto (telaraña recurrente, indefinida); o de divergente /explosiva, si fueran casos de demanda rígida y la oferta elástica... Tipos de estos modelos: Modelo de la telaraña Amortiguado o Convergente: en este caso el nivel de precios y las cantidades tienden al equilibrio, partiendo de una situación en la cual la demanda del producto en su periodo inicial es mucho mayor a la 461 462 cantidad ofrecida, que luego por presiones de demanda y de oferta, tiende en el mediano o largo plazo al equilibrio, ver las siguientes graficas; En esta grafico se puede observar más fácilmente como el precio del producto tiende el largo plazo a estabilizarse e igualarse con el precio de equilibrio. En esta grafico se puede observar más fácilmente como el precio del producto tiende el largo plazo a estabilizarse e igualarse con el precio de equilibrio. Modelo de telaraña Explosivo o Divergente: Es llamado de esa manera porque existen fuertes y grandes fluctuaciones en el nivel de precios, lo que va generando la no existencia de un punto de equilibrio, es decir, no va a ver coincidencia entre los productores y los demandantes, gráficamente se puede visualizar lo anterior; Al contrario del Grafico 2, en este se puede evidenciar como conforme pasa el tiempo el nivel de precio del producto tiende a retirarse paulatinamente del precio de equilibrio 462 463 Modelo de Telaraña recurrente o Constante: en este caso, debido a que las inversas de las pendientes de las curvas de oferta y demanda son iguales, se presenta una forma de telaraña que se mantiene fuera del equilibrio, pero no se va alejando del mismo, se mantiene en un movimiento constante en el mismo sitio, observe la siguiente gráfica: Obsérvese como en este caso la evolución del precio del producto se mantiene alrededor del precio de equilibrio y nunca de aleja lo suficiente como para asemejarse al modelo explosivo o nunca se aleja lo demasiado para parecerse al modelo amortiguado. 463 464 EJEMPLOS: Además de los ejemplos usuales sobre 1) el mercado de cereales o 2) el mercado de viviendas para alquiler puede haber otros ejemplos en los cuales la oferta dependa de los precios del período anterior: 3) Teorema de la Telaraña y el ciclo del cerdo Se estudió en EEUU esta industria, observando allí ciclos de 2 y 4 años, según las series de precios previas a 1950, las cosechas y la matanza (rastro) en EEUU durante décadas. Se consideran diversos ciclos. El destete a los 2 meses, más 4 a 6 meses de engorde permiten 2 camadas por año: cruzas en otoño = crías en primavera (4 meses) + cruza en verano y cría en otoño.... Los precios del cerdo son según la oferta y demanda pero también según los ingresos de consumidores y según el precio y la oferta de carnes competitivas. La oferta de cerdo depende de las cosechas de maíz, de la genética; de la oferta externa y del clima... Pero lo datos estadísticos son anuales y no semestrales. En los USA durante los años 1930 /50 se concluyó que hay ciclos de 4 años: si los precios son altos baja la matanza y viceversa. Teorema: si 1) los productores planifican según los precios actuales; 2) no se producen cambios en sus planes hasta el próximo periodo; 3) el precio se fija según la oferta disponible; o sea, según sea la demanda actual y con la oferta vertical ( la oferta a corto es rígida, además, porque no pueden subir la producción luego que ya cruzaron las hembras ; si venden las hembras les pagan menos si ya van en 2 meses de gestación.... por lo que la oferta a corto plazo es fija); se observaron ofertas según los precios viejos y los ciclos. Se estudiaron varios ciclos y el biológico no era el preponderante: el lapso entre la cruza y el rastro es de 12 meses; pero el ciclo era de 2 años, aproximadamente, según lo observado en los precios y en la comercialización, con algún retardo. Pero la series estudiadas dieron mayormente allí ciclos entonces de 4 años entre los precios, la oferta de maíz y la matanza , según el modelo de la telaraña (aunque no de 1 ó 2 años); pero dependería también de la mayor información disponible para los productores.... EJEMPLO ESTABILIDAD DINAMICA (PROBLEMA DE LA TELARAÑA) 1 -CASO EN QUE CAE LA OFERTA: Mercado competitivo con demanda que se ajusta instantáneamente a los cambios de precios pero la oferta es rígida a cortísimo plazo y a mediano plazo se ajusta con retardo de un período. Caso en que cae la oferta 20%: 464 465 Demanda Pd = -6X +24; Oferta Po = 8X -4 Equilibrio con D=O que hemos calculado como sea X=2 y reemplazando en Pd o Po..... P=$12 -6X +24 = 8X -4...... o Si cae la oferta 20% se puede interpretar como que a ese precio p=$12 ofrece 20% menos que 2 unidades (x=1,6 unidades...) Usamos Recta que pasa por 2 puntos: P - P1 = P2 - P1 / X2 - X1 (X X1)........donde el cociente del segundo miembro es la pendiente de la recta de demanda (la tangente o cateto opuesto P sobre cateto adyacente X). Cambio la oferta y solo conocemos un punto, el formado por P=12$ y X=1,6...... Pero la pendiente de la segunda recta de oferta es similar a la primera (la cual ya conocemos: el 8 que afecta a la variable X en la oferta inicial) Ahora podemos completar la Recta por dos puntos: P - 12 = 8 (X 1,6)....... o sea, P - 12 = 8X - 12,8......o sea, P = 8X -12,8 +12.......O sea, P = 8X -0,8 es la segunda oferta. Nuevo equilibrio: D = O: -6Z+24 = 8X - 0,8..... o bien 14X = 24,8....o sea X=1,77......se según la D u O es P = 6(1,77)+24 = $13,37. Se llega a este nuevo equilibrio de largo plazo luego de un proceso de ajustes sucesivos o aproximaciones (tanteos) que incluyen variaciones de precio y cantidad cada vez menores. Este tendencia concéntrica lo asegura el hecho de que la pendiente de la oferta inicial es mayor (en valor absoluto) que el de la demanda! (la velocidad del ajustamiento depende de cuanto mayor sea esa diferencia en valor absoluto) Ya tienen el grafico (demanda con ordenada=24 y abscisa=4); oferta inicial con ordenada =-08 y pasa por el primer equilibrio; segunda oferta con ordenada -4 y pasa por el segundo equilibrio) EJEMPLO ESTABILIDAD DINAMICA (TELARAÑA) 2 CASO EN QUE CAE LA DEMANDA: Mercado competitivo; la demanda se ajusta instantáneamente; la oferta a cortísimo plazo es fija pero a mediano plazo se ajusta con retardo de un periodo. Demanda P = -4X + 25; oferta P = 6X +5; equilíbrio D = O -4X +25 = 6X +5........ 10X = 20........X=2; reemplazando en D u O: P = -4(2) +25 = $17. Si cae la demanda a $10, se interpreta que esa cantidad X=2 en vez de comprarla a $17 la pagaría a $10. 465 466 Uso Recta por 2 puntos: P - P1 = P2 - P1 / X2 - X1 (X -X1)...... donde el cociente es la pendiente de la nueva recta de demanda (paralela a la primera, cuya pendiente es el 4 que multiplica a X). En esta nueva situación conozco la cantidad X=2 y el precio P=$10 así como la pendiente 4: P - 10 = 4 (X - 2)....... o sea P = -4X + 18 nueva demanda (paralela a la inicial) Equilibrio nuevo: D = O: -4X + 18 = 6X + 5............10X = 13............... X = 1,3 y según la D u O: P = 6(1,3) + 18 = $12,80 A este nuevo equilibrio se llegaría luego de un proceso de ajustes por aproximaciones sucesivas, que tiende a este nuevo equilibrio de largo plazo (en telaraña), ya que también aquí se ve que en valor absoluto la pendiente de la oferta es mayor que la de la demanda inicial (según observaron Walras y Marshall); y el proceso de ajustamiento es tanto más rápido cuanto mayor sea esa diferencia.. En el grafico la oferta tiene ordenada al origen =5 y pasa por ambos equilibrios; la demanda inicial tiene ordenada 25 y para por el primer equilibrio; la segunda tiene ordenada= 18 y pasa por el segundo equilibrio. NOTA: Los textos presentan las conclusiones mediante expresiones que parecen matemáticas y son solo para llamar la atenciòn sobre que la pendiente se observa en la forma inversa o implícita: Si las pendientes de las curvas de oferta (1/A) y de demanda (1/a) tienen signo opuesto, el precio oscilará alrededor del precio de equilibrio. Si el valor absoluto de la pendiente de la curva de demanda es menor que el valor absoluto de la pendiente de la curva de oferta, 1/ |a| < 1/ |A|, la amplitud de las oscilaciones será decreciente y el mercado será dinámicamente estables, tal y como se muestra en la figura 1. Si el valor absoluto de la pendiente de la curva de demanda es mayor que el valor absoluto de la pendiente de la curva de oferta 1 / |a| > 1 / |A|, la amplitud de las oscilaciones será creciente y el mercado será dinámicamente inestable, tal y como se muestra en la figura 2, Finalmente, si las pendientes de las curvas de oferta y demanda son iguales en el valor absoluto, 1 / |a| = 1 / |A|, la amplitud de las oscilaciones será constante y en consecuencia el mercado será dinámicamente inestable. 466 467 En el último caso resuelto arriba la demanda tiene pendiente -4 y la oferta 6 (en el anterior tenían -6 y 8 respectivamente, calculadas en la forma inversa o modo con funciones implícitas) Los textos no explican la cantidad de períodos necesaria hasta el nuevo ajuste y no se pregunta en el examen. OTROS MODELOS DINAMICOS: En Microeconomía con Excel.pdf se explica en el cap.7 y cap.10 sobre el modelo de la cerveza del MIT; el MIT usa este juego o modelo en forma rudimentaria, solo para ilustrar cómo funcionan los modelos dinámicos, en los cuales los pedidos de un cliente van a ser la producción y entrega de otro productor durante el periodo siguiente (y así sucesivamente, considerando consumidores, minoristas, mayoristas , distribuidores y productores...). Pero en estos cursos el tema lo consideramos como modelos dinámicos de simulación y solo a finales de cursada, ya que en forma profesional este punto requiere haber estudiado y entendido toda la asignatura. ESTABILIDAD DINAMICA (Telaraña) CON EXCEL Es el caso del mercado competitivo cuando la oferta se ajusta con retardo de un periodo (depende de los precios del período anterior); como por ejemplo en las cosechas anuales de cereales, en la construcción de vivienda para alquiler; o en los ciclos de la industria del cerdo (de los jamones) etc periódicos. 467 468 En este mercado competitivo la demanda se adapta instantáneamente a los precios, pero la oferta si bien es rígida (fija) a cortísimo plazo (ya que no puede cambiar sus cantidades y necesita vender) a mediano plazo puede producir más o menos según sea el aliciente de los precios del periodo anterior. Equilibrio inicial 35 y = 5x + 4 30 Precio $ 25 20 15 y = -4x + 35 10 5 0 0 2 KILOS y = -4x + 23,86 4 6 Se parte de un equilibrio inicial: Demanda: P = 35 – 4X Oferta: P = 4 + 5X En equilibrio D = O 35 – 4X = 4 + 5X 31 = 9X X = 3,44 Y según la D u O P = 35 – 4 (3,44) = $21 el precio inicial graficado . El proceso de ajuste puede ocurrir tanto por alteraciones en la demanda como en la oferta. Si bien podría haber teóricamente situaciones transitorias inestables (de indefinición por recurrencia o también por divergencia en el ajustamiento), es normal que luego de la alteración ocurra un proceso de ajustes y se llegue a un nuevo equilibrio de largo plazo diferente (por aproximaciones convergentes). Esto lo asegura una pendiente de la oferta mayor que en la demanda (en valor absoluto), simplemente por una cuestión geométrica, pensando que los ajustes de precio y cantidad serán cada vez menores si las endientes son más empinadas en la oferta (pero no se pueden ampliar conclusiones sobre las elasticidades ni sobre pendientes en funciones diferentes a las normales). Simplificando para el caso típico, si el precio del trigo fue alto en el periodo anterior esta siembra seria grande (y viceversa) y la oferta así mayor. Esta reacción o actitud es la que genera las aproximaciones sucesivas entre 468 469 oferentes y demandantes. No interesa en sí cual sea la duración del periodo (en granos sería de12 meses hasta repetir la cosecha; en viviendas para alquiler se dice que hacen falta unos 18 a 20 meses para terminar una vivienda; en la industria del cerdo (producción de jamones con maíz) estos animales paren en 6 meses pero las estadísticas serían anuales y los ciclos observados en algunos países serían de 2 y 4 años (según las sequías y el mercado internacional del maíz, etc.). Lo que sí interesa es el proceso de convergencia y disponer de alguna idea del tiempo de este proceso, que el modelo explica con la diferencia de pendientes comentada. AJUSTE ANTE UNA BAJA EN LA DEMANDA Ahora compraría esa cantidad pero solo al menor precio P = $10; Surge así un nuevo punto P = 10 y X = 3,44 diferente al equilibrio inicial, que la oferta no estaría dispuesta a aceptar. Para calcular el nuevo equilibrio faltaría conocer la ecuación de la nueva demanda que pasa por ese punto. Se la puede deducir recurriendo al concepto de recta que pasa por dos puntos: el nuevo y otro inmediato que no es imprescindible conocer, ya que en este concepto matemático el siguiente cociente entre paréntesis representa la pendiente de esa recta de demanda buscada. P- P1 = (P2-P1 / X2-X1) (X-X1) P = -4X + 23,86 segunda recta demanda 4 En el nuevo equilibrio se iguala la nueva demanda con la oferta: -4X + 23,86 = 5X + 19,86 = 9 X X = 2,2 y reemplazando en P2 u O1 el precio P = $ 15 Como la pendiente de la oferta es mayor (en valor absoluto) que la de la demanda el proceso de aproximaciones a un nuevo equilibrio está asegurado. La oferta es más rígida, firme, empinada.... que la demanda , es decir oferta con mayor coeficiente en la forma implícita... (menor coeficiente en la forma explícita) Las aproximaciones sucesivas serán más o menos rápidas, según la diferencia entre las pendientes de la oferta y demanda (aquí 5 vs. 4 en valores absolutos). Aquí 5 indica que la oferta es muy rígida; 4 muestra que la demanda es más inclinada (pero esto no implica afirmar que son más o menos elásticas o inelástica) 469 470 MEDICIÓN DE LA RAPIDEZ DEL AJUSTE El gráfico muestra cómo se llega al nuevo precio $15 en 13 fases. Según el modelo este lapso cambia conforme se modifiquen las pendientes (junto con el precio de equilibrio y magnitud de los ajustes). Pero ello no quiere decir que en la realidad se deban esperar los períodos indicados hasta llegar a un nuevo equilibrio (los agentes económicos se encargan de efectuar estos ajustes muy rápidamente para no perder negocios); el modelo solo muestra que a mayor diferencia de pendientes mayor será la rapidez del ajuste y menores las fases; Excel permite comprobar esta lógica fácilmente (los agentes procuran abreviar drásticamente el lapso para no perder operaciones frente a competidores). La interactividad de la hoja Excel permite ver esto instantáneamente. Por ejemplo, subiendo la pendiente de la oferta a 7 como una prueba, cambiaría también el nuevo equilibrio. Excel muestra que el proceso de ajuste se cumple ahora en 8 fases; bastante más corto / rápido porque subió la diferencia de pendientes (en valor absoluto) entre demanda y oferta (medidas en la forma implícita sus coeficientes serían ahora 4 y 7; antes 4 y 5). 470 471 La pendiente 7 en la oferta se cambió en la celda 05 y simplemente se copió a toda esa columna. (use Ver o Vista > Zoom > 200% para leer los detalles) NÚMERO DE PERIODOS HASTA EL AJUSTE Antes que existiera Excel los textos solo explicaban intuitivamente que la velocidad dependía de las pendientes. Pero hoy Excel permite contar el número exacto de períodos hasta el ajuste, con la función =contar.si( ; ), en la cual los argumentos del paréntesis son: a) el rango con las diferencias Pd-Po ; y b) ”>0”. 471 472 AJUSTE ANTE UNA BAJA DE OFERTA POR SUBA DE COSTOS Mercado competitivo con una demanda que se ajusta instantáneamente a los cambios de precios, pero la oferta es rígida a cortísimo plazo y a mediano plazo se ajusta con retardo de un período. En este caso luego del equilibrio inicial cae la oferta 20%: Demanda Pd = -3X +40; Oferta Po = 5X +15 Equilibrio con D = O que hemos calculado como -3X + 40 = 5X + 15...... o sea X=3,12 y reemplazando en Pd o Po..... P=$30,60 Si cae la oferta 40% se puede interpretar como que a ese precio p=$30,60 ofrecería 40% menos que 3,122 unidades (X =1,87 unidades ahora...) Usamos Recta que pasa por 2 puntos: X1) ........ P - P1 = (P2 - P1 / X2 - X1) (X - donde el cociente del segundo miembro es la pendiente de la recta de oferta (la tangente o cateto opuesto P sobre cateto adyacente X). Cambió la oferta y solo conocemos un punto, el formado por P=30,60 $ y X=1,87...... Pero la pendiente de la segunda recta de oferta es similar a la primera (la cual ya conocemos: el 5 que afecta a la variable X en la oferta inicial) Ahora podemos completar la Recta por dos puntos: P – 30,60 = 5 (X 1,87)....... o sea, P – 30,60 = 5X – 9,35......o sea, P = 5X –9,35 +30,60 .......O sea, P = 5X + 20,65 es la segunda oferta. Nuevo equilibrio: D = O: -3X+40 = 5X + 20,65..... o bien 8X = 19,35....o sea X = 2,42......y según la D u O es P = 5(2,42) + 20,65 = $32.75. Se llega a este nuevo equilibrio de largo plazo luego de un proceso de ajustes sucesivos o aproximaciones (tanteos) que incluyen variaciones de precio y cantidad cada vez menores. Esta tendencia concéntrica lo asegura el hecho de que la pendiente de la oferta inicial es mayor (en valor absoluto) que la de la demanda (la velocidad del ajustamiento depende de cuanto mayor sea esa diferencia en valor absoluto). El grafico muestra la demanda con ordenada 40 y abscisa 3; la oferta inicial con ordenada 15 y pasa por el primer equilibrio; segunda oferta con ordenada 20,65 y pasa por el segundo equilibrio. X DEMANDA OFERTA 2da.Oferta -1 43 10 15,65 0 40 15 20,65 472 473 1 37 20 25,65 2 34 25 30,65 3 31 30 35,65 4 28 35 40,65 5 25 40 45,65 Si se retrae la oferta 40% (linena superior) Precio 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 -2 y = 5x + 20,65 y = 5x + 15 y = -3x + 40 0 2 Kilos 4 6 473 474 ECUACIONES EN DIFERENCIAS FINITAS Y LA TELARAÑA El modelo de la telaraña ha tenido múltiples presentaciones y aplicaciones. Surgieron hacia 1930, como consecuencia del análisis y críticas a la ley de Walras y su idea del comportamiento estable de los mercados (con exceso de demanda nulo, según el proceso de tanteos o aproximaciones sucesivas convergentes entre oferentes y demandantes) Por otra parte, P. Samuelson en 1939 utilizó ecuaciones en diferencias finitas cuando publicó un análisis macroeconómico determinista (vinculando la evolución de la renta nacional según su magnitud en períodos anteriores y la propensión marginal al consumo y el coeficiente de aceleración) utilizando ecuaciones en diferencias finitas, que utilizaremos aquí para mostrar el proceso de ajustamiento en el modelo de la telaraña (también se utilizaron las ecuaciones en diferencias finitas para otros modelos dinámicos, como el de una teoría del aprendizaje computacional (con programas o algoritmos que por ejemplo afinan los procesos de búsqueda mediante sucesivas aproximaciones por exceso y por defectos de magnitud decreciente); también se usaron para demostrar la ley de evolución y crecimiento de poblaciones diversas de animales y otros con flujos migratorios; e incluso se usaron para algunas alternativas del modelo de la telaraña, como una en la que los productores en vez de ajustar según los precios del período anterior lo hacen observando las variaciones de existencias (según los inventarios: si estos disminuyeron suben los precios y si estos subieron bajan los precios; Alpha Chiang, Métodos fundamentales de economía matemática, cap.16, Amorrortu 1977) En los ejemplos anteriores aquí del modelo de la telaraña se ha calculado un equilibrio inicial y luego otros, considerando una modificación en la oferta y luego otra en la demanda. Se explicó cómo proceder para obtener las nuevas funciones de oferta o de demanda y como calcular estos nuevos equilibrios (y también agregamos aquí como se puede determinar el proceso de ajuste y el número exacto de aproximaciones o períodos que implican los ajustamientos). 474 475 Ahora presentamos el proceso de tanteos mediante ecuaciones en diferencias finitas, como una somera aproximación a este método matemático de las ecuaciones en diferencias finitas. Se utiliza el ejemplo anterior con un equilibrio inicial, según una demanda P t = 24 - 6Xt; y con una oferta Pt = -4 + 8Xt-1 Para calcular la deferencias finitas en los precios es necesario despejarlas hacia la expresiones explícitas, obteniendo como demanda X t - -1/6Pt + 4; y como oferta Xt = 1/8 Pt-1 + ½. El equilibrio es ahora con D = O: -1/6Pt + 4 = 1/8Pt-1 + ½ ; a continuación se procede a igualar t = t+1 y a sustituir: -1/6 Pt+1 + 4 = 1/8 Pt+1 -1 + ½ , que simplificamos como -1/6 Pt+1 + 4 = 1/8 Pt +1/2 Y simplificando nuevamente resulta 1/6 P t+1 + 1/8 Pt = 3,50 , ecuación en diferencias finitas, con una solución general dada del tipo P t = k(b/a)t + c/a+b en la cual a = 1/6 ; b = 1/8 ; c =3,50 Aquí es Pt = k(1/8 / 1/6)t + 3,50 / (1/6 + 1/8) = Pt = k(0,75)t + 3,50 / 0,2916 = $12 , que está mostrando que la tendencia del precio a largo plazo es $12 (ya que si “ t ” tendiera a infinito el primer término sería nulo; y además, como en valor absoluto el paréntesis afectado por k es inferior a uno está indicando que es este un modelo estable (1/8 / 1/96 = 0,75; pero sería explosivo si fuera > 1 y sería de tipo recurrente si fuera = 1). El proceso de aproximaciones sucesivas se puede cuantificar asignando sucesivos valores a t: P1 = (0,75)1 + 3,50 /0,2916 = $ 12,75 P2 = (0,75)2 + 3,50 /0,2916 = $ 12,56 P3 = (0,75)3 + 3,50 /0,2916 = $ 12,42 P4 = (0,75)4 + 3,50 /0,2916 = $12,32 ……. Pt = (0,75)t + 3,50 /0,2916 = $ 12,00 (si t→oo, tiende a infinito; y es convergente en este caso con a/b < 1). Este fue el análisis del caso bajo el equilibrio inicial planteado antes como ejemplo para el modelo de la telaraña. Sería un análisis similar si hubiéramos 475 476 calculado el nuevo equilibrio luego de las modificaciones en la oferta o en la demanda, tal como cuando se presentó antes el modelo de la telaraña: hubiéramos obtenido así los nuevos precios estables P = $13,37 y P = $12,80 de largo plazo (solo hemos necesitado recurrir antes al concepto de recta por dos puntos para calcular aquellas nuevas funciones de oferta y de demanda surgidas luego de sendas alteraciones en el mercado). 476 477 TEORÍAS ECONÓMICAS Y LEGISLACIÓN OBLIGATORIA La legislación comercial local –ámbito interno de la Comisión Nacional de Defensa de la Competencia y ámbito externo de la Secretaría de Comercio Exterior, según puede consultarse por ejemplo en www.mecon.gov.ar- procura el accionar de las empresas industriales y comerciales bajo las condiciones de la libre competencia. Asimismo, la legislación doméstica en otros países, así como la legislación sobre el comercio internacional, según la Organización Mundial de Comercio ex GATT- también se basan en el accionar sobre la libre competencia, según el modelo económico teórico de la competencia perfecta. Se destaca la exigencia de un solo precio para el mismo producto, ausencia de discriminaciones, de acuerdos entre empresas competidoras (colusión), de aranceles proteccionistas a la importación, reservas de mercado, ventas, importaciones o exportaciones en condiciones subsidiadas y dumping, etc. Son célebres y numerosos los casos legislados -sobre la Standard Oil Company hace un siglo, por precios predatorios; hasta los recientes casos locales sobre YPF por discriminación; y otros numerosos sobre diferentes empresas- y ponen de manifiesto un ámbito sobre el accionar de las empresas, que repercute directamente sobre la demanda y mercado disponible de todas las demás, generalmente en una magnitud tan relevante como pueden serlos las modificaciones extraordinarias de tipos de cambio o de la legislación comercial y política macroeconómica. Las empresas, sus cámaras y las autoridades discuten sobre las condiciones competitivas de los competidores locales o externos. Las presentaciones incluyen argumentos teóricos así como contrastaciones empíricas, que Excel facilita, al presentar series y gráficos de estas o de las funciones / ecuaciones de los modelos en soportes magnéticos estandarizados. TABLAS DE EXTRAS DE PRECIOS Y COSTOS A través de un ejemplo se concreta la idea. Una empresa industrial dispone de instalaciones modernas, pero que superan la capacidad de compra doméstica. Sus producciones insuficientes le impiden operar con el costo medio mínimo, en la medida que está obligada a repartir los importantes costos fijos entre la poca producción y sus precios locales son así altos. La conducta competitiva le orienta a buscar mercados externos para operar en el punto de mínimo costo medio u óptimo de explotación de largo plazo. Consigue exportar a los EEUU la mitad de su producción mensual. Esos grandes lotes son exportados a precio rebajado, tanto por el tamaño del pedido, como por operar ahora en el punto óptimo. 477 478 Los competidores de aquel país impulsan una denuncia de dumping contra el exportador argentino, alegando que el precio de venta a EEUU es inferior al precio de venta local, según fotocopia de facturas a varios pequeños clientes argentinos. El “Department of Commerce” de EEUU envía inspectores para controlar costos y facturas del productor y requiere constancias y explicaciones en el acto, inmediatamente. Los argumentos para explicar la conducta competitiva sobre costos, precios y óptimo de explotación según textos no sirven. Son necesarios documentos empresarios, pero en el acto. Se recurre a las últimas memorias y balances anuales firmados por el contador de la empresa. En sus anexo A y cuadro 1 figuran cinco datos vitales: total facturado en pesos; volumen facturado en kilos; total del costo fijo; total del costo variable; Y pequeño porcentaje de utilidad, no pérdidas. Se explica que al operar ahora en el punto óptimo de explotación el bajo precio de exportación coincide con el mínimo costo medio -y con el precio local a algún cliente muy grande- no obstante que los mayores precios locales para el menudeo se corresponden con los mayores gastos variables de comercialización, administrativos, etc. La estructura de precios debe responder a la de los costos; debe presentarse una tabla de extras o descuentos (quizás no exista impresa, si las pocas ventas muy grandes o exportaciones pocos numerosos no lo justifican). Con Excel puede armarse rápidamente un cuadro de extras como el de la imagen y cumplimentar esta exigencia legal, tal que permita mantener el mercado y evitar multas antidumping: 478 479 MERCADO COMPETITIVO EQUILIBRIO Y CANTIDAD DE COMPETIDORES La demanda del mercado es X= -50P +1000 y las empresas operan en el óptimo de explotación (mínimo CMVariable) Una de las empresas competitivas tienen costos de largo plazo: CT = X 3 3X +6X; su costo medio variable mínimo se obtiene minimizando o también igualando el CMVariable con el C.Marginal: 2 CMVar = X2 -3X +6; CMg = 3X2 -6X +6; igualándolos surge la cantidad X =1,5 para esa empresa "A", así como el importe $3,75 de ambos CMVar.y CMg., que deben coincidir con el precio en ese mercado competitivo en el largo plazo. Reemplazando ese precio en la demanda del mercado se obtiene la cantidad total demanda en el mercado X=812,5. Como la empresa "A" produce solo 1,5 se concluye que hay 542 empresas competidoras actuando. SOLVER permite la maximización: Herramientas > Solver > Celda objetivo: la cantidad demanda por el mercado total; celda cambiante: la cantidad producida por "A"; restricción: CMVar.=CMg, como se ve en la siguiente hoja Excel: 479 480 480 481 OTROS MERCADOS - MONOPOLIO Operan en la etapa de rendimientos crecientes, ya que reduciendo la cantidad pueden maximizar beneficios, frente a otra conducta, como la competitiva. Maximizan su beneficio, B= IT-CT, con B'=0 y B'' <0; es decir, B' = IT' CT'=0, ingreso marginal igual a costo marginal y que desde ese nivel crezca más CT'que IT'. Si la demanda es X = 400 -20P, o bien P = -1/20X +20, y su costo total CT = 5X + X2/50, resulta: IT = -1/20(X2) +20X, con IT'= -1/10X + 20 Su costo marginal CT'= 5+ 1/25X IT'= CT' con -1/10X +20 = 5 +1/25X (-1/10-1/25)X = -15 o sea cantidad X= 107 con IT'' = -1/10 menor que CT'= 5+ 1/25(107) El precio P= -1/20(107) +20 = $14.65 El monto del beneficio es B=IT -CT = $14.65 (107) -[5(107) +(107)2/50] = $ 1568 - $ 765 = $803 Ingresando estas fórmulas en la fila 2 de una hoja de cálculo, se elige un rango como en A3 y se las copia. Luego se pintan las dos filas y se arrastra por el ángulo inferior derecho hacia abajo, hasta que aparezca el máximo beneficio. También se pude efectuar la solución con Herramientas > Solver >: se elige la celda objetivo, las cambiantes y las restricciones como se indica en la imagen y al resolver, Solver emite los resultados en la fila 8 de la hoja. 481 482 MONOPOLIO QUE ACTÚA COMPETITIVAMENTE Si decidiera actual como en competencia, tendría que igualar su precio al costo marginal. En competencia las empresas operan con rendimientos decrecientes y su ingreso marginal es igual al precio de mercado, común para todas: optimizan entonces igualando precio con costo marginal (y desde ahí que su IMg crezca menos que su CMg). Aquí: P = CT' sería: -1/20X +20 = 5 +1/25X con X = 166,6 y P= 1/20(166,6) +20 = $11.67 Su beneficio B =11,67(166,6) -[5(166,6) +(166,6)2 /50] =$556, inferior que si optimiza como monopolio puro. Puede observarse en la imagen que Solver calculó esta situación en la fija 8 simplemente cambiando en la restricción la columna G por la anterior que era B (igualar precio en vez de ingreso marginal). 482 483 MONOPOLIO DISCRIMINADOR Sea el caso de un monopolio que puede dividir su demanda en dos grupos y cobrar diferente el mismo producto en ambos. La teoría explica que si fuera posible esta actitud la empresa maximizaría beneficios vendiendo más caro en la demanda con menor elasticidad precio (más rígida) y más barato en la demanda más elástica. La condición es vender en ambos mercados con similar ingreso marginal, a su vez igual al costo marginal único; y que desde ahí el costo marginal crezca más rápido que el ingreso marginal conjunto. Supóngase un caso con costo marginal no constante, decreciente, como es el caso general en monopolio: Su costo total CT= -0,2X2 +30X + 40; costo marginal es 30 y ambas demandas P1= - 2X1 +100 y P2 = -3X22 + 150; los ingresos totales son: IT1= -2X12 +100X1 e IT2 = -3X22 + 150X2 y los ingresos marginales: IT'1 = -4X1 + 100 y IT'2 = -6X2 +150 CM'= -0,4X + Para la suma horizontal de ambos ingresos marginales se trasponen a la forma implícita: X1 = 1/4 IT'1 + 25 X2 = 1/6 IT'2 + 25 Sumando: X = 10/24 IT'+50 o sea, IT'= -2,4X +120 Para maximizar el beneficio B debe cumplirse B' =0 y B'' <0 B'= 0 implica IT'- CT' = 0: -2,4X +120 = -0.4X +30 o sea, X=45 reemplazando en CT'o en IT' = -2,4(45) +120 = $12 Del ingreso marginal, $12, puede deducirse la cantidad a vender en cada mercado: $12 = -4X1 + 100 o bien, -4X1 = -88 con X1 = 22 igualmente en el otro mercado: $12 = -6X2 + 150 o bien, -6X2 = -138 con X2 = 23 La cantidad total 22 + 23 = 45 unidades; los precios: P1 = -2(22) + 100 = $56 P2 = -3(23) + 150 = $81 El beneficio máximo es: B = IT1 + IT2 -CT = 56(22) + 81(23) -[-0,2(45)2 +30(45) + 40] = 3095 - 985 =$2110. Falta observar si cobra más caro a la demanda más rígida y más barato a la más elástica. 483 484 E1 = dQ/dP (P/Q) = - [-1/2(56/22)] = +1,3 la más elástica E2 = -[-1/3(81/23] = 1,1 la menos elástica (cobra menos en la demanda más elástica, P 1 =$56, P2 =$81) MONOPOLIO SIN DISCRIMINACIÓN También conviene comparar con la situación frente al monopolio sin discriminación, para ver cuánto representa: P1 = -2x21 +100 P2 = -3X2 + 150 Sumando: o sea, X1 = -1/2 P + 50 X2 = -1/3P + 50 X = -5/6P +100 o bien P =-6/5X +120 El ingreso total IT = P(X) = -6/5X2 + 120X Su ingreso marginal IT' = -12/5X +120 Maximizando B con B'=0 y B'' <0 IT' = CT' -12/5X +120 = -0.4X +30 (24/10 - 4/10)X + 90 = 0 con X= 45 similar que antes. El precio P = -6/5(45) + 120 =$66 intermedio entre los anteriores EL beneficio B= IT - CT = 45(66) -[-0,2(45)2 + 30(45) + 40 = $2970 - 985 =$1985, inferior que el obtenido bajo discriminación ($2110). EMPRESA CON DOS PLANTAS (MULTIPLE FACTORIA) 484 485 Cuando tiene dos plantas, logra su óptimo o máximo beneficio produciendo de modo que el costo marginal en ambas sea igual al ingreso marginal. La optimización empresaria se analiza con funciones en la forma implícita; pero para sumar los costos marginales en un costo marginal conjunto es necesario trasponerlos a la forma explícita, para hacer la suma horizontal. Una vez sumados se debe volver ese CMg conjunto a la forma implícita, a efectos de igualar con el IMg y calcular así la cantidad de equilibrio. Esta cantidad permite obtener el importe en pesos del CMg conjunto o IMg; con ese importe en pesos se reemplaza en cada función de costo marginal de las plantas para calcular la cantidad a producir por cada una. Con la cantidad total también podemos calcular el IT, el CT, el Beneficio; y el precio. Supóngase solo dos plantas en un mercado cuya demanda es competitiva P= 30-X (con X=X1 + X2). Sus costos son, para la primera C1 = 1/4 X12 +10 X1 + 20 y para la otra planta C2 = 1/3X22 + 8X2 + 18. Una vez sumados horizontalmente los costos marginales se traspone el costo marginal conjunto (para optimizar igualándolo con el ingreso marginal). C1´ = 1/2X1 +10 C2´ = 2/3X2 + 8 1/2X1 = C1´-10 2/3X2 = C2´- 8 X X1 = 2C1´- 20 X2 = 3/2C2´- 12 = 7/2Cc´- 32 costo marginal conjunto Volviéndolo a la forma implícita: 7/2Cc´= X + 32 o sea, Cc´= 2/7X + 64/7 El equilibrio es Max. Beneficio, con B´= 0 (o IMg = CMg) y que sea B´´< 0 (es decir Img´< CMg´) 30-2X = 2/7X + 67/7 ; 16/7X = 30 – 64/7; con X = 7/16 (30 – 67/7); X = 9,1 Que cumple la segunda condición de máximo: -2 < 2/7. En ese punto el valor del Costo marginal conjunto es C c´= 2/7(9.1) + 64/7 = $11,80 que si se reemplaza en la suma horizontal precisa el reparto de las producciones: X1 = 2 (11.80) – 20 = 3,5 kilos X2 = 7/2 (11.80) -12 = 5,6 kilos 9,1 El precio es igual en las dos plantas P 9,1 = 30-9,1 = $20.90 El ingreso total es PX = 30X – X2 = 190,19 El ingreso marginal es IT´= 30 – 2X = 30 – 18.2 = $11.80. marginal es igual a ambos costos marginales). (el Ingreso El beneficio B= IT –CT1 –CT2 = -5/4(3,5) -4/3(5,6)2 -2(3,5)5,6 +20 (3,5) +22 (5,6) -38 = $59, 485 486 30 $ C1` 20.90 c2´ P CC´ 11.80 E 3,5 5,5 9,1 15 30 kios COMPETENCIA MONÓPOLICA DUOPOLIO SEGÚN COURNOT Supóngase solo dos empresas competidoras en un mercado cuya demanda es competitiva P= 30-X (con X=X1 + X2). Sus costos son, para la primera C1 = 1/4 X12 +10 X1 + 20 y para la otras empresa C2 = 1/3X22 + 8X2 + 18 La solución de Cournot prevé que cada uno considera su producción dependiente de la cantidad que produzca su competidor, que mantendría la producción fija haga lo que haga su competidor. Los ingresos de cada uno son: IT1 = 30X1 - X12 - X1X2 ; e IT2 = 30X2 -X1X2 - X22 O sea, B1 = -5/4 X12 +20X1 -X1X2 -20 para la primera y B2 = -4/3X22 + 22X2 -X1X2 -18 para la segunda. Sus costos marginales son: CT'1 = 1/2X1 +10; y CT'2 = 2/3X2 +8 Se puede maximizar el beneficio en cada uno, ya que B = IT - CT y el óptimo en ellos es cuando su B'= IT'- CT'=0 y desde ese punto se cumpla B'' = IT'' -CT''<0 B'1 = 20 - 5/2X1 - X2 = 0, de donde X1 = 8 -2/5X2 (función de reacción de la primer empresa, que expresa su producción dependiente de la de su competidor fija) B'2 = 22 - 8/3X2 - X1 = 0, de donde X2 = 33/4 -3/8X1 (función de reacción de la segunda empresa, que expresa su producción, asimismo, dependiente de la de su competidor fija) 486 487 Igualando ambas funciones de reacción y resolviendo surgen X 1 = 5,53 unidades; y X2 = 6,17 unidades, cantidades que surgen de la una previa maximización en cada una. El precio es P = 30 -5,53 - 6,17 = $18,30 igual para ambas. Reemplazando estas cantidades en sus funciones de beneficio se obtiene: B1 = $ 18,26 y B2 = $32,86. Esto mismo puede hacerse en una hoja de cálculo Excel, anotando las funciones en la fila 2, según la siguiente imagen (recordamos que las ecuaciones se comienzan con "=" para que Excel las acepte como fórmulas). Se anotan una cantidad en A2 y en A3; en B2 va la función de reacción X2; en C2 el costo marginal de una y en D2 el de la otra; en E2 va el beneficio de la primera y en F2 el de la segunda. Simplemente se escribe en G2 que la suma de ambos sea el beneficio total, para poder observar cuando éste es máximo (G2 = E2 + F2). Al anotar la otra cantidad en A3 el rango entre A2 y A3 puede elegirse convenientemente para evitar series demasiado largas). Se copia B2 a G2 hacia B3; se pintan ambas filas y se las arrastra hacia abajo. Se puede ver que el máximo beneficio aparece en la fila 5, con cantidades y beneficio diferentes para cada empresa, cumpliendo con la condición de B'1 y B'2 nulos. Otra forma es recurrir a Herramientas > Solver > y anotar como celda objetivo alguna de la columna beneficio (por ejemplo G4). Como celda cambiante la primera columna de esa fila. Las restricciones serán igualar los beneficios marginales de ambas en esa fila y también que la cantidad de la primera columna sea 0. Con Resolver y Aceptar, Solver encuentra la solución que ya conocemos. En esta imagen se eligió la fila 4 al azar. 487 488 EMPRESA LÍDER Y SEGUIDORAS En la competencia imperfecta una empresa puede ser relativamente más eficiente (o con más poder) que la o las pocas otras, que adoptan la actitud de seguidoras. Sus costos mayores le impiden operar con el precio más bajo de la líder. Esta toma la decisión de optimizar sus intereses: en su función de beneficios (aquí la misma que la primer empresa del ejemplo anterior) reemplaza X 2 por la función de reacción de la seguidora, y simplificando queda como: B1 = 47/4X1 - 7/8 X12 - 20 Recién ahora procede a la maximiza beneficios con B' = 0 y B''<0: B'= 47/4 -14/8X1 = 0, o sea, X1 = 6,71 Reemplazando este valor en la función de reacción X2 surge X2 = 5,74; producciones obtenidas considerando no fijas la producción de la(s) seguidora(s), al maximizar después de su incorporación a la función de beneficio de la lider. El precio para ambas queda: P= 30 - 6,71-5,72=$17,55 En cada función de beneficio se reemplazas las dos cantidades y se obtiene B1 = $19,42 y B2= $25,84. Con Excel se hacen estos cálculos: reemplazando en la hoja anterior la fórmula del B'1 por la aquí comentada y anotando los valores de X 1 se observa al copiar cual es el máximo beneficio, con B'1 nulo. 488 489 Pero aplicando la solución Solver como se muestra en la imagen siguiente también se calcula esta nueva situación (aquí en la fila 8 por azar). La diferencia con lo anterior fue cambiar la formula B' 1 y además en Sujeta a la condición, se anotó aquí que el B' 1 sea igual a cero. Si fuera el caso que la segunda empresa decidiera ser la líder y la demás seguidoras, la solución sería análoga a este desarrollo. CARTEL (COLUSIÓN ENTRE EMPRESAS) Bajo el supuesto de que las empresas efectúan (ilegales) acuerdos para trabajar conjuntamente, la decisión conduciría a obtener el mayor beneficio conjunto posible; con algún tipo de reparto posterior del beneficio sin criterio definido analíticamente. Siguiendo con las empresas de estos ejemplos, ambas plantas deben actuar con iguales costos marginal, a su vez iguales al ingreso marginal, en un Monopolio con dos plantas (el costo marginal conjunto se suma en la forma implícita; en forma similar a la suma de ingresos marginales para el monopolio discriminador de precios o mercados). Supóngase solo dos plantas en un mercado cuya demanda es competitiva P= 30-X (con X=X1 + X2). Sus costos son, para la primera C1 = 1/4 X12 +10 X1 + 20 y para la otra planta C2 = 1/3X22 + 8X2 + 18. 489 490 Una vez sumados horizontalmente los costos marginales se traspone el costo marginal conjunto (para optimizar igualándolo con el ingreso marginal). C1´ = 1/2X1 +10 C2´ = 2/3X2 + 8 1/2X1 = C1´-10 2/3X2 = C2´- 8 X X1 = 2C1´- 20 X2 = 3/2C2´- 12 = 7/2Cc´- 32 costo marginal conjunto Volviéndolo a la forma implícita: 7/2Cc´= X + 32 o sea, Cc´= 2/7X + 64/7 El equilibrio es Max. Beneficio, con B´= 0 (o IMg = CMg) 0 (es decir Img´< CMg´) 30-2X = 2/7X + 67/7 ; X = 9,1 y que sea B´´< 16/7X = 30 – 64/7; con X = 7/16 (30 – 67/7); Que cumple la segunda condición de máximo: -2 < 2/7. En ese punto el valor del Costo marginal conjunto es C c´= 2/7(9.1) + 64/7 = $11,80 Que si se reemplaza en la suma horizontal precisa el reparto de las producciones: X1 = 2 (11.80) – 20 = 3,5 kilos X2 = 7/2 (11.80) -12 = 5,6 kilos 9,1 El precio es igual en las dos plantas P 9,1 = 30-9,1 = $20.90 El ingreso total es PX = 30X – X2 = 190,19 El ingreso marginal es IT´= 30 – 2X = 30 – 18.2 = $11.80. marginal es igual a ambos costos marginales). (el Ingreso El beneficio B= IT –CT1 –CT2 = -5/4(3,5) -4/3(5,6)2 -2(3,5)5,6 +20 (3,5) +22 (5,6) -38 = $59, 30 $ C1` 20.90 c2´ P CC´ 11.80 3,5 5,5 E 9,1 15 30 kilos 490 491 Como las dos planta no son de la misma empresa sino una asociación (colusiòn tipo cartel), este beneficio tendrán que repartirlo entre las empresas, con algún criterio no analítico (por ejemplo, mejorando algo los resultado de cada una si decidiera actuar por su cuenta, bajo duopolio, como líder o como seguidora; es decir, repartiendo solamente el plus que generarían con la colusión). MODELO DI TELLA SOBRE INTERMEDIARIOS COMERCIALES (CONCESIONARIOS) La producción automotriz se entrega o vende vía concesionarios, desvinculados. Ambas firmas, productor y distribuidor, son un monopolio, pero c/u con intereses opuestas al otro; no son duopolio ni tampoco un monopolio bilateral. En esta intermediación comercial hay un margen bruto (y otro neto) de ganancia para el distribuidor, que el autor llama landa (lambda). Si ambas fueran una sola firma esa landa sería el margen crítico. Pero no lo son; y cuando este margen es mayor que el crítico, el concesionario querría vender más y además que el productor baje su precios. Si el margen real está entre el crítico y el mínimo, el productor querría vender más que el concesionario y se formarían stocks excedentes... y el productor presionaría para que el margen fuese menor y así aumentar ventas.... Como son dos monopolios los precios tienden a subir y la cantidad a bajar frente a si fueran una sola firma... Vimos un ejercicio maximizando la operatoria para el concesionario. Un ejemplo del concesionario: Determinar el máximo beneficio para el productor y para el intermediario comercial (concesionario automotriz) considerando: Demanda Pd = -2X +350; Oferta del productor Po= 15X +150 Costo de la intermediación: Ci=$10X (10 pesos por unidad) Beneficio del productor: B = IT – CT IT = Pd(X) = (-2X +350)X = -2X2 +350C CT = Po(X) = (15X + 150)X = 15X2 + 150X + Ci = = 15X2 + 150X + 10X Max B si B`= 0 y B``< 0…. Con B´= IT „ – CT ` = 0 B´= -50 +350 –(30X +150 +10) = 0 ; -80X + 190 = 0; X = 2,38 491 492 Pd = -25(2.38) + 350 = 290,5 precio final Po = 15 82.38) + 150 = 185.70$ precio para el productor Diferencia: $ 104.80 margen para el intermediario - Costo de intermediación $10 = $94.80 beneficio del intermediario Beneficio del productor: B = IT –CT = -25X2 +350X -15X2 -150X -10X = -40(2.38)2 +190(2.38) = $225.62 492 493 MODELACION NEOCLÁSICA (ejercicios conceptuales tipo integrador de varios principios de las teorías neoclásicas sobre demanda, ingresos, producción, costos, beneficios, según tipos de mercados) RAPIDITO Y LENTITO EN LA ESTACION VIVITOS El enunciado está en la Guía Distancia Actividad 4 del tomo II, 7-4 pag 156 Guía Distancia Tow, (eventuales errores de interpretación o tipeo me pertenecen) Este ejercicio es un ejemplo de lo que en el fondo quiere decir el prof. Tow: lo mandatorio es el programa (y no alguna simplificación de la Guía que el alumno pueda suponer que lo demás no se incluye porque no está ahí desarrollado....). Es decir, hemos estudiado la teoría de los ingresos, la de la producción y la de los costos. Luego el accionar de la empresa en competencia y en el caso general, como por ej. monopolio (que puede optimizar, discriminar o actuar competitivamente para no ser controlado con impuestos, precios máximos (o venta mínima) o abriéndole la importación competitiva con bajos aranceles de importación ...) También les recomendé leer algo de Microeconomía con Excel (por ej. para poder obtener las ecuaciones partiendo de una serie de valores, etc.) ya que nadie puede memorizar sin sentido y es necesario disponer de métodos para identificar, transformar, obtener funciones. En este TP se habla de la estación Vivitos a 10 km de la ciudad; cada domingo llega un tren con 48 pasajeros, que quieren ir a la ciudad, y llevan un cartel con el precio que están dispuestos a pagar: de $ 0 a 47 y ninguno se repite. El único micro, Rapidito, maximiza beneficios y está autorizado a un solo viaje pero debe cobrar el mismo precio a todos. Su costo fijo es $100 y el variables de $8 por pasajero. A) Cuántos pasajeros transportara y a qué precio? A un peso habría 47 pasajeros; a dos pesos 46; a tres pesos 45; etc.... La demanda según una hoja Excel es P = -X +48 .... 493 494 Haciendo P por X el IT = +X2+48X …. Su derivada es el IMg = -2X +48 El CT = 100 +8X .... Su derivada es el CMg = 8 El máximo Ben es según el caso general (Cournot) con la derivada primera IT´= 0 (punto de giro) y que la segunda IT´´ negativa.... O sea, con IMg = CMg .... surgiendo así X=20 con P=$28 y un IT=$ 560; un CT= $260 y un max. Ben =$ 300 (y se quedaron sin viajar en micro las 28 personas que tenían la más baja valoración del viaje en su cartelito) B) A penas salido Rapidito, llega otro micro con similar autorización... . pero su costo fijo es $150 y su costo variable es $4 por pasajero. Cuál será el precio de este Lentito y cuando transportara? Con la demanda remanente de las 28 personas con las menores valoraciones del viaje puestas en una hoja Excel, se grafican pintando con el iconito de gráfico, luego elegimos por ej. dispersión..... agregamos línea de tendencia.... y en su opciones ... Presentar ecuación en el grafico... Así obtenemos la función, ecuación, de esa demanda remanente como P = -X +28 Su IT = -X2 + 28X... y su IMg = -2X +28 Su CT = 150 + 4X .... y su CMg = 4 Optimiza Lentito también según Cournot.... con IMg = CMg (punto de giro) surgiendo C= 12 y luego P = -12 +28 = $126 Su IT es así $192.... y su CT = $198....resultando una pedida de $8...... C) Si ambos fueran una única empresa.... llegaría primero el que tomara menos café los sábados y madrugara... Pero siendo la demanda para ambos asociados buscarían de optimizar como un monopolio, usando el ómnibus con menor costo, que es el Lentito. Ya que optimizando con una demanda plena de 48 personas optimizaría con 22 pasajeros, cobrando P=$26, con un IT = $572 y un CT = $238... y un Benef = $334 (mayor que el de Rapidito)... pero cuidado, menos el costo fijo de Rapidito ahora parado les quedaría... $234. Por eso Usarían Lentito y.... luego se repartirían ese beneficio ...(por mitades u otro método que el modelo no incluye, por lo cual se supone podrían repartir solo la diferencia que exceda el costo de oportunidad que tenga cada uno) - Indemnización si le obligaran a poner un precio competitivo: Trabajarían competitivamente (el caso especial) buscando operar con P = CMg (en vez de IMg = CMg) Surgiendo así una cantidad de X=40.... con un P= -40 + 48 = $ 8..... Así el IT seria $320 y el CT $238 con un beneficio de solo $82..... 494 495 Entonces debería indemnizarles por la diferencia entre 334 (max. Ben de Lentito) y 82, o sea $252 de subsidio. - SI PUDIERAN DISCRIMINAR: cobrándole la cada uno según la cara (su cartelito). El ingreso total en una discriminación perfecta surge de sumar los 48 valores, totalizando $1128. El costo total de Lentito era $238, surgiendo un Beneficio de $890..... En este caso si el municipio admite subsidiarles la diferencia entre actuar competitivamente y discriminado tendría que pagarle 890 - 82 =$ 808 de subsidio. D) Qué pasaría si su objetivo fuera maximizar ingresos (en a), b) y c)? Da) Disponemos de la función de ingreso total de Rapidito... y si el objetivo es max. Ingreso lo encontramos con IT´=0 y con IT´´ negativo, surgiendo X=24.... Con 24 el ingreso total es $576... y el costo total con 24 es de $292..... El beneficio por diferencia es $284... Db) maximizando ingresos Lentito tendría el mismo IT=$576 pero diferente costo CT= 150 +4)24) =$246..... por lo que el Ben = 576 - 246 = $330 Dc) si ambas fueran un monopolio..... maximizando ingresos con Lentito sacarían $330 menos el costo fijo de lentito 100 quedaría un Benef =$ 230 En esta programación neoclásica, la idea central es que se trabaje sobre la base de los principios, los diferentes tipos de mercados, los diversos métodos (con hasta 3 variables) y bastantes pautas confusas y/o simplificadores para agilizar el razonamiento (esto es bueno; pero mejor es suministrar métodos de aplicación concreta a la operatoria real de toda empresa) 495 496 TELEFOCOM Ejercicio 4: Ejercicio conceptual tipo integrador de varios principios (el enunciado está en la guía de tp de Tow-ejercicios combinados; eventuales errores de interpretación o tipeo me pertenecen) La empresa TELEFOCOM debe instalar 500 teléfonos públicos (TP) en distintos locales comerciales de empresas privadas (y maximizadoras de beneficio). Por su estratégica localización se estima que cada TP tendrá una demanda por parte del público usuario igual a X = 15.000 -5.000Px donde X: número de llamadas mensuales medidas en número de fichas y Px: precio por ficha (al público). (Nótese que los TP serán instalados lo suficientemente lejos entre sí de modo que diferencias en el valor de la ficha en un TP, de existir, no modifican la demanda en los restantes TP. Asimismo téngase presente que el número de solicitudes para que se instalen TP se supone será muy grande por parte de los eventuales tenedores de TP, puesto que se sabe que el TP aumenta la concurrencia a dichos locales y en consecuencia la evolución comercial de los mismos. Se proyecta en $50 + 0,01x el beneficio mensual derivado de este factor para cada tenedor de TP). En el marco regulatorio de la Concesión de Teléfonos se prevé que Telefocom opte por una de las siguientes modalidades para otorgar el servicio de TP: a) Dejar en manos del dueño del comercio la fijación del valor -único- de la ficha al público y cobrarle un monto fijo mensual por la instalación del TP más el costo de cada llamada. b) Cobrarle al tenedor del TP un precio único por cada llamada y otorgarle libertad en cuanto a fijar el valor -único- de la ficha al público (el precio cobrado por Telefocom incluye el costo de éste). Suponga que el costo de cada llamada es de $0,20 para Telefocom, siendo su costo mensual de mantenimiento del servicio de cada TP de $800, adicionalmente. ¿Cuál alternativa es la más conveniente para Telefocom? (A efectos de responder el interrogante planteado determine en cada caso cantidad demandada, precio (al público) de la ficha, precio de la ficha al comerciante y beneficio mensual del Telefocom. Compare y comente los resultados obtenidos. RESPUESTAS: 496 497 El enunciado no se refiere a un mercado competitivo (ni a monopolio, duopolio, empresa líder, cartel, monopsonio, monopolio bilateral, modelo SylosLabini, Modigliani o de Sweezy). No hay información sobre competidores de Telefocom o productos sustitutos. No cabe aquí la discriminación de precios por alguna de las dos partes. Se menciona un régimen de concesiones, pero no se dice que Telefocom sea una empresa pública. Tampoco se aclara si puede o no alternativamente instalar los TP en la vereda por su cuenta, sin los comerciantes intermediarios. En este caso de información insuficiente, un modelo algo asimilable podría ser el de Di Tella para intermediarios comerciales (concesionarios automotrices). Está claro que si Telefocom también es una empresa privada, es imprescindible que ambas partes ganen algo y/o más que operando alternativamente por su cuenta (en la vereda). Sin embargo, el modelo matemático solo explica la optimización (B´=0 y B´´<0); nada informa sobre el modo de reparto de las utilidades entre las partes. 1) Según el modelo Di Tella se optimiza considerando los ingresos finales y los costos del productor básico, para repartir los beneficios con algún criterio comercial no definido: Demanda X = 15000 – 5000Px; -5000Px = X –15000; Px = -X/5000 + 3; Ingreso total: IT = -X2/5000 + 3X; Ingreso marginal IT´= -X/2500 + 3; Costo total neto de la ventaja: CT = 800 + 0,20X -50 – 0,01X; CT = 750 + 0,19X; Costo medio: 750/X + 0,19; costo marginal: CT´= 0,19. Beneficio del intermediario comercial: BTC = -X2/5000 + 3X – 800 – 0,20X + 50 + 0,01X = = -X2/5000 + 2,81X – 750. Maximizando: B´ = -X/2500 + 2,81 = 0, con X=7025; B´´= -1/2500 (<0); 497 498 Precio: P7025 = -7025/5000 + 3 = $1,60 Px 750 CT CMe IT 3 1,60 Px= CMg 7025 IMg 15000 Situación primaria sobre beneficios, sin explicación del modelo Di Tella sobre su reparto entre Telefocom y el intermediario comercial: Resultados si Telefocom solo cobrara sus costos: Comerciante: BC = 1,60(7025) – 800 – 0,20(7025) + 100 + 0,01(7025) = = 1405 - 800 - 140,50 + 100 + 70,25 Telefocom: = $ 10470 BT = 0,20(7025) + 800 - 0,20(7025) – 800 = $0; situación extrema inviable si ambas fueran empresas comerciales privadas, que conduciría a cobrar Telefocon mayores importes, según algún indefinido criterio comercial. 2) Si Telefocom pudiera alternativamente operar los TP en la vereda sin intermediarios comerciales: Demanda: Px = -X/5000 + 3 Ingreso total: IT = -X2/5000 + 3X; ingreso marginal: IT´= -X/2500 + 3; Costo total: 800 + 0,20(X); costo medio: CMe= 800/X + 0,20; costo marginal: CT´= 0,20. Beneficio; B = -X2/5000 + 3X – 800 – 0,20X. Maximizando; B´= -X/2500 + 3 = 0; X = 8000. Precio: P8000 = -8000/5000 + 3 = $1,40 Beneficio: B = 1,40(8000) -800 – 0,20(8000) = $8800. 498 499 3) Para operar con intermediarios comerciales, bajo el supuesto que Telefocom también pudiera operarlos por su cuenta en la vereda, ambas partes tendría que tener algún beneficio, mejorando la alternativa de operar cada uno por su cuenta. Esto significaría repartir la diferencia de beneficios entre las situaciones extremas de 1) y 2): $10470 - $8800= $1670 . Dado que el comerciante no puede operar por sí solo, podrían aceptar por ejemplo repartir esa diferencia por mitades (1670/2= $835 cada uno); en este caso la respuesta a la pregunta 4 a) sería: Respuesta 4 a) Beneficio alternativo de Telefocom $8800 + 835 = $9635; para obtener este beneficio necesitaría cobrar un mayor cargo fijo: BT = 10435 + 0,20(7025) – 800 – 0,20(7025) = $9635 (o sea, $835 más que actuando por su cuenta). Beneficio del intermediario comercial: BC = 1,60(7025) + 100 + 0,01(7025) – 10435 – 0,20(7025) = $835. 4) Respuesta a la pregunta 4 b), si Telefocom solo debiera cobrar por ficha: El ingreso del comerciante es 1,60(7025)= $11350 El costo de Telefocom es 800+0.20(7025) = $2205 La diferencia 11350 – 2205 = 9145. - Si Telefocom le cobra la ficha a $1,60 (7025)=11350, el comerciante no tendría beneficio (y Telefocom ganaría 11350-2205=9145). - Si Telefocon solo le cobra la ficha a $0,314 entonces Telefocom no tendría beneficio: $0,314(7025)=$2205; solo cubriría su costo, $800+0,20(7025); mientras que el comerciante ganaría $9145. - Si Telefocom pudiera operar alternativamente por su cuenta, podrían repartir la diferencia entre $9145 y los 8800 actuando en la vereda $ 345; a repartir, por ejemplo por mitades (173 cada uno): el comerciante debería ganar $173 Quedaría $11350 – 173 = $11178 para las fichas: o sea 1,59(7025)= 11178. El beneficio de Telefocom sería: $11178 - 800- 0,20(7025) = $ 8973 (173 más que los 8800 operando los TP por su cuenta en la vereda). TELEFOCOM **EJERCICIO 7: 499 500 Ejercicio conceptual tipo integrador de varios principios (el enunciado es de la Guía de tp de Tow -ejercicios combinados; eventuales errores de interpretación y tipeo me pertenecen) La empresa Telefocom ha decidido instalar 1000 Teléfonos Públicos (TP) en todo el territorio en distintos locales comerciales de empresas privadas -y maximizadoras de beneficio-. Por su estratégica localización se estima que cada TP tendrá una demanda igual a X = 10.000 -10.000Px donde x: número de llamadas mensuales medidas en número de fichas y Px: precio por ficha. (Nótese que estos “TP” serán localizados lo suficientemente lejos entre sí, de modo que diferencias en el valor de la ficha en un TP, de existir, no modifican la demanda en los restantes TP. Asimismo téngase presente que las solicitudes para que se instalen TP se estima será muy grande por parte de los dueños de los locales comerciales, puesto que se sabe que la presencia de TP aumenta la concurrencia a dichos locales y en consecuencia la evolución comercial de los mismos, proyectándose en $100 el beneficio neto mensual derivado de este factor para cada tenedor de TP). En el pliego de Concesión de Teléfonos se prevé que el concesionario de la red de teléfonos -en este caso Telefocom- opte por una de las siguientes modalidades para otorgar el servicio de TP: a) Dejar en manos del dueño del comercio la fijación del valor -único- de la ficha y cobrarle un monto fijo mensual por la instalación del TP más el costo de cada llamada. b) Fijar el valor de la ficha y otorgarle un porcentaje de dicho valor al comerciante. c) Cobrarle al tenedor del TP un precio por cada ficha de modo de maximizar beneficios, teniendo en cuenta que aquel lo fijará a su vez al público según su conveniencia. d) Cobrar un alquiler por el TP y fijar la tarifa al valor de competencia. Suponga que el costo de cada llamada es de $0,20 para Telefocom, siendo su costo mensual de mantenimiento del servicio de cada TP de $30, $35, $40 y $47,5 en cada una de las alternativas anteriores respectivamente. ¿Cuál alternativa es la más conveniente para Telefocom? ¿Y para cada tenedor? ¿Y para los consumidores? A efectos de responder los interrogantes planteados determine en cada caso: cantidad demandada, precio (al público) de la ficha, precio de la ficha al comerciante, beneficio mensual de Telefocom, beneficio de cada comerciante, excedente del consumidor. RESPUESTAS: El enunciado no se especifica ni incluye pautas inequívocas, de que Telefocom sea una empresa competitiva, ni tampoco sus clientes; no es un mercado competitivo, ni tampoco un monopolio (un productor exclusivo), duopolio (dos exclusivos), empresa líder y seguidora, cartel (con colusión), monopsonio (único comprador), monopolio bilateral, modelo Sylos-Labini, 500 501 Modigliani (privilegio por acceso inicial o con restricciones de acceso) o demanda quebrada de Sweezy (competencia imperfecta bajo conveniencia sin optimización). No hay información sobre competidores de Telefocom o de productos sustitutos. No cabe aquí la discriminación de precios por alguna de las dos partes (no obstante que la función de costos de Telefocom indica que el costo medio es asintótico, es decir que nunca se alcanzar un mínimo costo medio, lo que es sinónimo de un mercado insuficiente para Telefocom, tipo “empresa sobredimensionada”). Se menciona un régimen de concesiones, pero no se dice que Telefocom sea una empresa pública. Tampoco se aclara si puede o no alternativamente instalar los TP en la vereda por su cuenta, operándolos sin los comerciantes intermediarios. Pero está claro que si Telefocom también es una empresa privada, es imprescindible que ambas partes ganen algo si negociaran; también que ganen más que operando alternativamente por su cuenta (Telefocom en la vereda y los comerciantes algo más que la alternativa nula, sin TP, ya que nada se dice de sustitutos). En este caso de información insuficiente, un modelo asimilable podría ser el de Di Tella para intermediarios comerciales (concesionarios automotrices), considerando que cada intermediario tiene un costo negativo (ventaja) de $100. Como se está informado el costo del productor básico, la demanda final y el costo de cada empresa concesionaria (no competitivas, sin precio uniforme, sino en competencia imperfecta), cabe optimizar en ellas según el caso general. Sin embargo, el modelo matemático solo explica la optimización (B´=0 y B´´<0); nada informa sobre el modo de reparto de las utilidades entre las partes. 7 a) Dejar en manos del dueño del comercio la fijación del valor -único- de la ficha y cobrarle un monto fijo mensual por la instalación del TP más el costo de cada llamada. Se estipula que el comerciante no puede discriminar precios, pero puede fijarlos libremente (según le convenga con su demanda) y su costo será un cargo fijo más otro por llamada. Según el modelo Di Tella se optimiza considerando los ingresos finales por venta al público y los costos del productor básico, para repartir los beneficios con algún criterio comercial no definido: 1) Operando con intermediarios comerciales y maximizando ambos, se debe considerar la demanda final, el costo de Telefocom y el del intermediario (en este caso $100 de ventaja): 501 502 La demanda, X = 10000 -10000Px; -10000Px = X -10000; Px = -X/10000 +1; El ingreso total, IT = Px(X) = -X2/10000 +X; IMg = -X/5000 +1 El costo total, CT = 0,20X + 30 -100, lineal (empresa sobredimensionada); costo medio CM = 0,20 -70/X (hiperbólico); costo marginal CMg= 0,20 (constante) Se optimiza maximizando el beneficio, B = IT-CT; max.B con B´=0 IMg –CMg=0) y B´´< 0;: B = -X2 /10000 + X –(0.20X + 30) +100 = -X2/10000 - 0.80X + 70 B´= -X/5000 +1= 0.20; -X/5000 = -0,80; públicos ; cumpliendo B´´= -1/5000 < 0; P4000 = -4000 /10000 + 1 = $0.60 (B´= X = 0,8(5000) = 4000 teléfonos El modelo matemático no explica cómo distribuir los resultados de este negocio compartido (este es el tan comentado gran impedimento invalidante de la teoría neoclásica, microeconómica y macroeconómica). Tomando un extremo; el beneficio podría ser, por ejemplo, todo para el comerciante intermediario y nada para Telefocón: Beneficio del comerciante intermediario: BC = 0,60(4000) – 0,20(4000) -30 +100= $1670 Beneficio para Telefocom: 0,20(4000) +30 -0,20(4000) -30 = $0. En cuanto a lo opuesto, todo para Telefocom y nada para el comerciante, tampoco parece viable. Alguna alternativa intermedia debiera existir para justificar el accionar conjunto de dos empresas privadas. El comerciante no tiene alternativa, no puede operar los TP por sí solo; Telefocom tendría la alternativa de operarlos por su cuenta en la vereda, ante lo cual, si el negocio conjunto generara mayor beneficio que Telefocom por su cuenta, cabría repartir ese mayor beneficio con algún criterio, que mejore las alternativas de ambas partes (su costo de oportunidad). Para esto es necesario calcular el beneficio de Telefocom operando por su cuenta y compararlo con el caso anterior. 2) Sin intermediarios comerciales, porque Telecom puede operar los TP por su cuenta: La demanda puede trasponerse a la forma implícita y calcular el ingreso total y el marginal. Con el costo total se calcula el costo medio y el marginal. En principio, el beneficio máximo surge (sin considerar en este caso la ventaja (costo negativo) de $100 por mayor concurrencia) aplicando la condición matemática de máximo, con un nivel de 4000 fichas a $0,60 al público en cada concesionario. La demanda, X = 10000 -10000Px; -10000Px = X -10000; Px = -X/10000 +1; 502 503 El ingreso total, IT = Px(X) = -X2/10000; IMg = -X/5000 +1 El costo total, CT = 0,20X + 30; costo medio CM = 0,20 +30/X (asintótico, porque el costo es lineal; indica una empresa sobredimensionada según el modelo SOMISA-Eiras). EL costo marginal, CMg = 0,20. Optimiza maximizando el beneficio, B = IT-CT; max.B con B´=0 (B´= IMg –CMg=0) y B ´´< 0; : B´= -X/5000 +1= 0.20; -X/5000 = -0,80; X = 0,8(5000) = 4000 teléfonos públicos operados directamente en la vereda. P4000= -4000/10000 +1 = $0,60; B4000 =$0,60(4000) – 0,20(4000) – 30 = $1570 503 504 Px CMe CT 30 IT 0,60 Px= ( -X/10000) + 1 0,20 CMg X 4000 IMg 10.000 3) Si operaran conjuntamente, repartiéndose el mayor beneficio diferencia de las dos alternativas anteriores, la situación podría ser: Beneficio del comerciante BC = $0,60(4000) – 0,20(4000) - 30 -- 1620 + 100 = $50. El público paga $0,60 por llamado. Al ingreso del comerciante se le resta el costo de mantenimiento y un cargo fijo diferencial 1620 (que Telefocom calculó repartiendo la diferencia de las dos alternativas anteriores: en 1) el beneficio es $1670; en 2) el beneficio es 1570; con diferencia de $100; por ejemplo $50 para cada una). Dado que Telefocom ganaría por su cuenta $1570 debería ganar ahora $1620, cobrando al costo de 0,20 las llamadas a su costo de $0,20 y además estos 1620 como un cargo fijo adicional al costo de $30. BT = IT – CT = 0,20(4000) + 30 +1620 -0,20(4000) -30 = $1620 Excedente del consumidor: es el área entre la (función) línea de demanda hasta (menos) el precio, que se puede calcular mediante la integral definida ( ∫ entre el origen cero y 4000) de la función de demanda menos el precio $0,60. ∫04000 [( –X/10000 + 1) -0,60] dx = ∫04000 [(–X/10000 +0,40] dx = = -0.0001X2 /2 + 0,4X] 04000 = ; para X=4000 es Excedente = -1600 /2 + 1600 = $800. 7 b) Fijar el valor de la ficha y otorgarle un porcentaje de dicho valor al comerciante. Si Telefocom solo cobrara un porcentaje de Px para resarcirse de su de $0,20X + 35, tendría que considerar el planteo de Di Tella más la distribución 504 505 (con algún criterio comercial no definido) de los beneficios adicionales al costo de oportunidad de cada uno. El comerciante no tiene alternativa; Telefocom ganaría $1570 por su cuenta en la vereda; el máximo beneficio conjunto era $1670. Si repartieran la diferencia 1670 -1570 = $100 por mitades, el comerciante debería ganar $50 y Telefocom $1620 (ahora $47,50 y 1617,50 debido al mayor costo fijo de $35). La peculiaridad de este enunciado b) es que requiere maximizar pero cobrándole al comerciante solo un porcentaje del costo de la llamada que Telefocom fije para el público Px. Se trata de calcular beneficios considerando ingresos menos costos, de modo que el resultado $47,50 para el comerciante: ingreso $0,60(4000) mas $100 menos costo por cada llamada; pero, el comerciante no puede aumentar el precio al público, ya que se optimiza con $0,60 y 4000 llamadas y considerando su ventaja de $100 como ingreso debería repartirla con Telefocón para obtener un beneficio de solo $47,50. Esto implicaría cobrar al público 0,60 y pagarle a Telefocom más que esto, $ 0,6131 (circunstancia que posiblemente se enfrentaría a las normas de la realidad comercial, por ser una modalidad o asociación poco usual y sujeta a eventuales reclamos del comerciante, que se quejaría por la opresión tipo tómelo o déjelo. Mayoristas, minoristas, centrales de compras, agentes comerciales, comisionistas, representantes, leasing, concesionarios, distribuidores, etc pueden tener diferente legislación comercial e impositiva doméstica en cada país e internacionalmente). O sea, BC = $0,60(4000)+100 -0,6131(4000) = $47,50. Telefocom ingresa el costo del comerciante 0,6131(4000) y le resta sus propio costo de 0,20(4000) +35. O sea, BT = 0,6131(4000) – 0,20(4000) +35 = $ 1617,50 Con similar precio y cantidad para el público, $0,60 y 4000 llamadas, implican igual excedente del consumidor, $ 800. 7 c) Cobrarle al tenedor del TP un precio por cada ficha de modo de maximizar beneficios, teniendo en cuenta que aquel lo fijará a su vez al público según su conveniencia. Con las mismas circunstancias y explicaciones del caso b), solo aumenta aquí el costo fijo a $40. BC = $0,60(4000)+100 -0,613(4000) = $45. BT =0,613(4000) – 0,20(4000) +35 = $ 1615. Con similar precio y cantidad para el público, $0,60 y 4000 llamadas, implican igual excedente del consumidor, $ 800. 505 506 7 d) Cobrar un alquiler por el TP y fijar la tarifa al valor de competencia. Se entiende aquí que Telefocom decide operar cobrándole una tarifa como si actuara competitivamente. Es decir que la optimización ya no sería en esta caso con un punto de giro con IMg=CMg sino con IM o demanda igual a costo marginal (y cumpliendo las segundas derivadas con CMg>IM) Recuérdese que en la gráfica competitiva unitaria coinciden el IMg y el IM, horizontales; además téngase presente que la simplificación teórica supone que en el largo plazo coincide el mínimo costo medio con el costo marginal y el precio o demanda, pero aquí se indican costos fijos, de corto plazo. Es decir que la respuesta a esta pregunta surge identificando las coordenadas del mínimo costo medio total de corto plazo (que en este caso no es posible debido a la desafortunada elección del costo total lineal como para una empresa sobredimensionada). Pero también es posible ubicarse en ese punto de giro (o primera condición de máximo) igualando la demanda con el costo marginal: -X/10000 +1 = 0,20 ; -x/1000 = 0,80 ; X = 0,80(10000) = 8000 llamadas; P8000 = -8000/10000 +1 = $0,20. Los ingresos serían de $0,20(8000) +100 de la ventaja comercial =1700 Los costos de Telefocom son: $0,20(8000) + 47,50= 1647,50. Surge una diferencia de $52,50, a repartir con algún criterio comercial no específico, por ejemplo por mitades. En este caso los beneficios serían BC = $0,20(8000) +100 – alquiler de $1674,25 = $26,75 (alquiler calculado por diferencia para que el beneficio sea 26,75) BT = ingreso por alquiler $1674,25 - $0,20(8000) – 47,50 = $ 26,75. cálculo similar del alquiler) (con El público abonaría $0,20 por cada una de las (mayores 8000) llamadas competitivas. El excedente del consumidor aumentaría, según la mayor diferencia de área entre la misma demanda y el menor precio competitivo, desde el origen hasta las ahora 8000 llamadas: ∫08000 [( –X/10000 + 1) -0,20] dx = ∫08000 [(–X/10000 +0,80] dx, que calculamos integrando directamente para el valor 8000 (desde el origen nada se resta) = -0.0001X2 /2 + 0,8X] 08000 Para X=8000 el Excedente es ahora mayor = - 6400 /2 + 6400 = $3200. 506 507 (es fácil visualizar estos valores en la gráfica del caso 2 actuando en la vereda) 507 508 MULTIPRODUCTO MODELACION Y PROGRAMACION MULTIPRODUCTO EQUILIBRIO Y OPTIMIZACION MULTIPLE PRODUCTO SEIS METODOS EQUIVALENTES EQUILIBRIO DE LA EMPRESA CON PRODUCCION DIVERSIFICADA: El objetivo básico de la empresa es, en principio, maximizar beneficios de largo plazo, reinvirtiendo utilidades en el propio rubro, salvo que según el ciclo vital del producto u otras causas competitivas, la direcciòn considere necesario un cambio de rubro o una diversificacion. En las producciones de tipo ”por proceso” (y no las de tipo fijo, como barcos o diques) las funciones de producción y las funciones de costos dependen mayormente de la naturaleza de los productos y de los tipos de procesos productivos que se utilizan: -A) Producción simple: Es usual estudiar las producciones comenzando por casos de producciòn simple, en los cuales cada rama de una empresa produce un solo bien de tipo homogéneo, ya sea mediante: - un único proceso técnico (soja, pan, cal, carbón, soda cáustica) - o bien con la unión de varios procesos técnicamente separados (boogies para trenes; equipos especializados). - B) Producciones múltiples que son muy frecuentes en general: - producción múltiple de varios bienes diferentes (obtenidos tanto con - procesos únicos (dos líneas de producción no vinculadas, como aluminio y neumáticos); o con - uniones de varios procesos (como tejidos, tubos metálicos, barras y piezas metálicas). En estos casos, la optimización se estudia comenzando con el uso de uno o de dos factores, con coeficientes fijos o variables. El principio matemático de máximo y mínimo y la función combinada de LaGrange permiten la optimización de estos casos simples elementales con una o con dos variables. 508 509 En estos casos de coeficientes fijos o variables, salvo preferencias de algún producto para algún cliente tradicional o preferenciales con abastecimiento obligado (para ese usuario protegido, o bien para clientes por otras razones similares, como en el accionar de la empresa socialmente responsable –ESR-) la optimizaciòn en estos casos suele utilizar el análisis marginal. La demanda de cada producto condiciona los ingresos y el ingreso marginal en cada producto; igualándolo al costo marginal indicará la contribuciòn marginal de cada producto. La selección permitirá optimizar o maximizar el beneficio de la empresa. Cuando la cantidad de restricciones aumenta, es necesario avanzar en los análisis y optimizar mediante sistemas de ecuaciones, utilizando el álgebra matricial o con programación lineal o no lineal, usando Solver de Excel o sus equivalentes de otras empresas informáticas para programación multivariante. - C) producciones múltiples conjuntas o conexas, obtenidas en diferentes etapas de uno o varios procesos a partir de una misma materia prima (con coeficientes fijos o semifijos; y algún “punto de separación” que determina la formación de cada subproducto y que os contadores tienen en cuenta para la determinación de los costos de cada coproducto); - ya sea sucesivamente (laminación de chapas de acero en caliente, en frío, hojalata; diversos combustibles en una torre de destilería); - o bien en forma alternativa (diferentes automotores; maquinaria; confecciones textiles variadas en color, talle, tipo, sexo, temporada etc.). (en éstos y en todos los otros casos, también puede haber además generacion conjunta de subproductos de menor importancia) En algunos rubos los analisis de “estacionalidad” son muy importantes y se pueden incorporar dentro de la programación de la producción multivariante. En estas producciones conjuntas o conexas es caracterísitica la existencia de multiples restricciones, por lo cual es también necesario optimizar mediante sistemas de ecuaciones, utilizando el álgebra matricial o con programación lineal o no lineal, utilizando Solver de Excel o sus equivalentes de otras informáticas. La cantidad de variables involucradas depende de cada actividad, decenas, cientos, miles o más según sean las actividades industriales o la prestaciòn de algunos servicios, como distribución de energía, fluídos, transportes, etc. 509 510 - C) Uniones transitorias de empresas – UTE Cuando dos o varios productores actúan conjuntamente: la negociación suele simplificar la participación de cada empresa en el negocio, a través de alguna fijación del precio del insumo o del valor agregado en cada etapa del negocio (usualmente en bienes de tipo “posición fija”, como barcos, diques, plantas energéticas, usinas, puertos), los que son más frecuentes que la formación de UTE para las anteriores producciones de “tipo por proceso”. 510 511 SUBPRODUCTOS Además de los coproductos en las producciones conexas, cualquier tipo de producción enumerada anteriormente puede originar otros materiales: - subproductos (se pueden reusar o vender); - sobrantes (con valor, se reincorporan al proceso; o sin valor); - residuos (que no se pueden aprovechar pero quizás son vendibles); y también - desperdicios de materiales o productos (que se venden sin otro proceso). En principio, los subproductos son una consecuencia de los procesos y no suelen formar parte de la programación básica de la empresa. Los métodos clásicos eran utilizados para la economía, con enfoque preferentemente macroeconómico y se limitaban a casos de muy pocas variables. La programación lineal y el cálculo de matrices mediante Excel y otros han otorgado autonomía a la microeconomía, al permitir la resolución multivariante en forma práctica o fácil. En este trabajo se incluyó un ejemplo sobre 6 métodos equivalentes, que para una sistema de 2x2 incluye los operadores de Lagrange, el método gráfico y el Simplex junto con matrices manualmente; además el Simplex mediante Solver y también matrices, ambos según Excel. La ventaja de la exposición o tratamiento conjunto de los 6 métodos es que mediante los dos últimos pueden ser resueltos con cientos y miles de variables respectivamente. Se incluyeron además otros diez utilitarios de empresas informáticas para esto, en función de la necesidad de verificar cualquier cálculo mediante las más diversas formas posibles (en todos los casos las explicaciones están abreviadas y simplificadas) 511 512 PRODUCCION CONJUNTA DEPENDIENTE (CONEXA) Por producción conjunta dependiente se entiende una función de producción de un solo insumo del cual se pueden derivar dos o más productos (ejemplo: de la leche se pueden obtener queso y yogurt) Como ejemplo numérico se puede suponer una función de producción conjunta: del insumo X se obtienen dos productos Q 1 y Q2 X = Q1² + Q2² Esta función muestra las cantidades del producto 1 y 2 que se pueden obtener del insumo X. Si tuviésemos una cantidad fija de 100 de insumo X, y el producto Q1 y Q2 se venden en el mercado a $3 y a $2 respectivamente. ¿Qué cantidad de producto 1 y 2 convendría producir para maximizar el ingreso, sujeto a esta cantidad de insumo de X=100? El planteo es similar al de la maximización de la utilidad cuando disponíamos de dos bienes: la combinada de Lagrange es ahora B = 3(Q1) + 2(Q2) + &(100 – Q1² - Q2²) FOC) Obtenemos las derivadas parciales: dB/dQ1 = 3 - &2q1 = 0 => & = 3/2q1 => 3/2q1 = 1/q2 dB/dQ2 = 2 - &2q2 = 0 => q1 = (3/2)q2 (*) => & = 1/2q2 dB/d& = 100 – Qqi² - Qq2² = 0 según (*) => 100 – [(3/2)q2] ² - q2² = 0 => 100 – (13/4)q2² = 0 => Q2 = 5,55 (de donde surge => Q1 = 16,64 &= ½(5.55)=2,97) Estas son las cantidades de q 1 y q2 que habría que producir para maximizar el ingreso contando con un insumo de 100. SOC) con H >0: 512 513 -2& 0 1- 0 -2Q1 -2& 1- -2Q2 0 -2(2.97) = 0 -1 0 -2(2.97) -1 -2(16.64) -2(5.55) = 0 = +246, positivo, que garantiza ser máxima esa producción. En la realidad suele haber situaciones más complicadas, con numerosas restricciones, que se resuelven mediante programación lineal, generalmente con Solver de Excel y/o también con matrices de Excel. 513 514 MODELACION Y PROGRAMACION MULTIPRODUCTO. OPTIMIZACION MULTIPLE PRODUCTO EQUILIBRIO Y . SEIS METODOS EQUIVALENTES Las conocidas limitaciones de los economistas clásicos para resolver sistemas con más de dos o tres variables han orientado a un usual tratamiento del cálculo del equilibrio con múltiples productos con una incorrecta simplificación de la situación mediante el supuesto de un costo promedio y el cálculo de las contribuciones marginales según un criterio de obtener algo posible y satisfactorio (que Herbert Simon denominó “sufficing”) pero que elude la optimización. Sin embargo, la mayoría de las empresas se enfrenta a la producción de varios o muchos bienes, mediante costos que pueden o no ser separables por producto, bienes complementarios o sustitutos, diferentes situaciones de preferencias, condicionamientos intertemporales, metas diferenciadas, alternativas y otras circunstancias muy diversas. Los modelos pueden ser lineales, no lineales, de programación entera, binomial, dinámica, con variables discretas, estocásticos, etc. Estas situaciones conducen a la resolución de sistemas de ecuaciones, que pueden plantearse axiomáticamente y simbólicamente con diferentes enfoques, pero que para concretar su cálculo llevan finalmente y necesariamente en la generalidad de los casos a planteos mediante matrices y/o especialmente a la solución mediante programación lineal, bajo rendimientos constantes usualmente en la mayoría de los casos; y en algunas ocasiones a otras bajo rendimientos no constantes mediante programación no lineal, cumpliendo las condiciones Kuhn-Tucker. Por analogía con la optimización con una variable (y restricción de no negatividad), en la extensión paretiana a dos variables, el equilibrio exigía las condiciones de convexidad en la curvas isocuantas y cumplir la restricción presupuestaria; estas condiciones al menos simbólicamente pueden ser generalizadas agregando operadores y restricciones y estudiando el hessiano y sus menores. Se requieren condiciones (solo teóricas) para la función, su combinada lagrangeana y los operadores (precios sombra; sensibilidad respecto al lado derecho o recursos), que igualmente implican o conducen al álgebra de matrices, pero abordando en la práctica solo estos casos lagrangeanos con muy pocas variables, que finalmente son de relativa o muy limitada utilidad práctica. En definitiva la modelación y programación multiproducto se concreta en la práctica solamente con programación lineal, no lineal y otras o bien con matrices, pero siempre mediante Excel y alguno de los otros 10 utilitarios desarrollados en MCE (igualmente con la programación multiobjetivo o multicriterio, tratada más adelante) Convienen preferentemente, las diferentes alternativas de Solver de Excel para programación lineal, no lineal y otras que se explican en los ejemplos de MCE. Y para matrices conviene Excel, mediante los dos métodos usuales: 514 515 matriz inversa utilizando =MINVERSA( ; ) o el métodos de los determinantes utilizando (=MDETERM( ; ) de Excel, que también es el utilizado en todos los demás utilitarios explicados). O sea, se plantea la función objetivo y el sistema de las restricciones del problema y se procesa en Excel … y en otros utilitarios, simultáneamente para confrontación de los resultados. En el caso de utilizar matrices, se trata de calcular la matriz inversa y luego multiplicar está por el vector de los recursos para obtener los valores maximizantes de cada variable, los cuales se utilizarán finalmente para calcular el resultado según la función objetivo. Si se utilizar el método de resolución del sistema mediante determinantes, para calcular cada variable maximizante se reemplaza en el hessiano la respectiva columna por el vector de los recursos; finalmente se divide el valor obtenido en este determinante por el valor del hessiano para obtener la raíz o valor de la variable optimizante. Una vez calculadas todas, se las utiliza para obtener el resultado reemplazando esos valores en la función objetivo. En este sentido también se incluyó en MCE un ejemplo comparando “seis métodos equivalentes”, que desarrolla un sistema de 2x2 mediante los procesos clásicos de los operadores de Lagrange, programación lineal por método gráfico, método Simplex y matrices, todos en forma manual. Adicionalmente se resuelve el mismo ejemplo utilizando Solver y utilizando matrices, ambos de Excel, ya que estos dos últimos, que no disponían los economistas clásicos hasta mediados del siglo XX, son el procedimiento específico ineludible para la operatoria concreta en las empresas, casi siempre abocadas a múltiples productos y alternativas. A diferencia de otras disciplinas, como mecánica, física, etc. los problemas económicos se reducen al primer cuadrante, acotando mucho los requerimientos analíticos necesarios. La programación matemática puede ser tan amplia como la gama de problemas planteados y/o también con el tipo de lenguaje simbólico y axiomático que se utilice, pero refiriéndose a las n variables, que en la práctica solo son las inviables 1, 2, 3 ó 4 clásicas. Igualmente ocurre con el álgebra matricial; esta también se simplifica mucho para la optimización empresaria en general (máximos y mínimos condicionados): implica utilizar sistemas cuadrados, no nulos porque no optimizarían. Puede haber variables nulas (originan capacidades ociosas), pero no todas pueden ser nulas. No debe haber restricciones colineales o múltiplos entre sí, ya que bajaría el rango u orden de la matriz y no sería cuadrada (se requieren sistemas determinados con igual número de ecuaciones que de incógnitas). Para la matriz insumo-producto se necesita además que los vectores columna contengan coeficientes fraccionarios menores a la unidad y totalicen uno; y en vez de la matriz inversa de los coeficientes se invierte aquí la matriz del complemento de los coeficientes a la matriz I (ver en el capítulo 3). 515 516 516 517 COMPETENCIA DESLEAL Las decisiones en materia de competencia desleal y de cuestiones antidumping / subsidios, representan variables que condicionan en muy alto grado la magnitud de la demanda de las empresas. Suelen depender fuertemente de consideraciones de política internacional y local, además de las cuestiones económicas. El tratamiento de estas últimas se efectúa en términos del modelo de la competencia perfecta y sus presentaciones alternativas que posibilita Excel; la claridad y documentación no es absolutamente decisoria, pero ayuda a relativizar las consideraciones extraeconómicas de política internacional y local. En el ámbito del comercio interior argentino la Comisión Nacional de Defensa de la Competencia, controla las conductas monopólicas bajo la Ley 25156, tal como ocurre en los EEUU y otros países. Son célebres los casos CNDC s/YPF SA; American Express c/ Visa, Mastercard y Argencard; Sadit c/ Massalin Particulares SA; Editorial AMFIN SA c/ Arte Gráfico Editorial Argentina SA y muchos otros. El mercado legal es el que se aproxima al modelo competitivo; los monopolios restringen la cantidad y suben los precios, afectando el excedente del consumidor. Las presentaciones en este ámbito implican argumentaciones según los modelos aquí comentados, para las cuales Excel representa facilidades de consideración. 517 518 ANTIDUMPING En el ámbito de la Comisión Nacional de Comercio Exterior se diligencian las presentaciones argentinas por conductas anticompetitivas vinculadas con el comercio exterior. Los productores locales pueden sentirse afectados en doble sentido: en importaciones sustitutivas con precios dumping a niveles inferiores que los precios en sus mercados domésticos de origen. Por otra parte, los productores que exportan también pueden afectar los intereses de productores en mercados externos, y recibir denuncias de éstos a través de sus gobiernos por ventas a precio dumping (venta a precio menor que para el mercado local) o bien denuncias por subsidios, tal como suele ser la inquietud de que el reintegro de impuestos a exportadores representa un subsidio. En los países latinoamericanos existen estadísticas aduaneras pormenorizadas al nivel de cada despacho (individualizando precios, marcas, empresa y demás datos comerciales particulares, de cada una y absolutamente todas las importaciones y exportaciones), los cuales son de circulación pública a través de operadores informáticos particulares de las administraciones aduaneras. Estos datos se publican clasificados por posición del nomenclador arancelario de importación / exportación y fecha. El nomenclador clasifica todo tipo de bienes en 96 capítulos, a 8 (y a 11) dígitos, incluyendo derechos de importación, tasa estadística y reintegro de exportación: Cap.1 hasta 24) carnes, cereales, alimentos, bebidas, tabaco Cap. 25 a 27) tierras, minerales, combustibles Cap. 28 a 30) química inorgánica, orgánica y medicamentos Cap. 31 a 39) fertilizantes jabones, explosivos, plásticos 518 519 Cap. 40 a 71) caucho, madera, textiles, calzado vidrio Cap. 72 a 81) acero, laminados, metales comunes varios Cap. 82 a 96) manufacturas, maquinaria, automotores, muebles, etc. Por normas de la ONU y OMC existe en casi todos los países información muy "agregada", por industria (sin individualizar despachos ni productos), que recopilan anual o mensualmente los institutos de estadísticas y censos de cada país. En algunos pocos casos están disponibles por Internet. Pero paradójicamente, no existe esta información detallada para operaciones individuales de importación o exportación en EEUU, Europa, Asia y África. Sin embargo, mediante ella es aquí posible realizar comparaciones sobre precios dumping u otros y preparar en Excel cuadros mensuales de los últimos 4 años (con producción, importación y exportación) cuyo registro magnético (disquete) requiere el régimen para estas presentaciones. El mercado disponible y demanda de chapas de acero, miel, perfiles y numerosos bienes diversos son permanentemente incluidos en estas presentaciones, según puede observarse en los listados de las Secretarías respectivas (www.mecon.gov.ar). CARGA IMPOSITIVA PARA EXPORTADORES La carga impositiva que afecta a las producciones locales y exportables suele ser muy alta. A las empresas les afecta directamente menos de 10%, pero considerando los impuestos incorporados en sus compras, la incidencia puede triplicarse. Los proveedores soportan la misma carga impositiva y la incorporan en sus facturas de venta, al igual que lo hicieron los proveedores anteriores en aquellos lo hicieron, incorporándola en los costos del exportador, en un efecto piramidal o en cascada. Para calcular este efecto "neto", se evita duplicar la piramidación, dividiendo cada incidencia por su inverso ("el grossing up"), porque las facturas de compra ya incluyen el importe de la carga. 519 520 La legislación de los EEUU y de la Organización Mundial de Comercio OMC- solo admite la carga piramidal integrada físicamente al producto exportable, que se compara con el porcentaje de reintegro para observar si hay devolución excesiva o subsidio. PROTECCIÓN EFECTIVA DE UNA INDUSTRIA La demanda de las empresas suele depender también de la protección efectiva, o derecho de importación relativo de su producto comparado con el de su insumo. Supóngase por ejemplo, que la participación del costo del algodón en la producción de hilado fuera 50%. Si el derecho de importación del algodón fuera 0 %, mientras que el derecho de importación del hilado fabricado con aquel fuera 10%, la protección efectiva para los productores del hilado de algodón sería: 0,10 / 0,50 = 0,20 (20%). Igualmente con cualquier otro producto y sus materias primas, generalmente liberadas de derechos en los casos en que no existen yacimientos o abastecimiento locales. 520 521 Con intereses opuestos a los de los comerciantes, los productores requieren elevados derechos para sus bienes manufacturados y ninguno para sus materias primas (y hay dificultadas cuando también existen yacimientos o recursos locales de aquellas). Por el contrario, los comerciantes están interesados en competir con importaciones de productos manufacturados y reclaman bajos derechos de importación, alegando favorecer el interés de los consumidores. 521 522 CAPITULO 13 TEORIA DE LOS INGRESOS / GASTO Para encontrar fórmulas que permitan inferir soluciones cuando aparenta haber insuficientes datos... Por ej. ante el caso de un vencimiento de deuda importante tal que o se abona o bien quebraría la empresa y entonces, por el cortísimo plazo es necesario maximizar ingresos en vez de beneficios (suponiendo costos nulo). Utilizando conceptos matemáticos simples, como el de máximo de una función; el de recta que pasa por dos puntos; pendiente o tangente; doble pendiente del ingreso marginal vs.la demanda y poco más...). 8 CONCEPTOS NECESARIOS: 1)_ “Relaciones analíticas y geométricas entre el concepto de Total, medio y marginal” (igualmente válidas, son parecidas para el ingreso, que para la utilidad, la producción y su opuesto el costo ! se analizan luego más detalladamente en el capítulo sobre Producción). Para ingresos simplificamos suponiendo demandas “lineales” (como en este gráfico del 3er ejemplo siguiente). 522 523 Se define el ingreso total o IT como que es dependiente de la venta de unidades de un bien por su precio IT=P (X), conde P es una función lineal de demanda (se elige lineal por conveniencia simplificadora!) ; el IT es una función positiva, con máximo en M. Inicialmente creciente más que proporcionalmente que la cantidad y luego de un punto de inflexión pasa a crecer menos (según los descuentos teóricos de precio por la ley de la demanda); y en M no crece (es máximo porque desciende a partir de ahí). Entonces, máximo IT coincide con el IMg=0 o primer derivada nula y tiene segunda derivada negativa (es decir que disminuye el IT a partir de ahí, o también el IMg<0). También se define el Ingreso medio como IM = P(X) /X , ó sea IM=P; es decir ordenada sobre abscisa…; o sea, tangente de toda línea desde el origen al IT. Una línea se insinúa con dos puntos, una curva con tres, entonces graficamos (aquí juntos el enfoque total y el unitario): Finalmente definimos el ingreso marginal, IMg como dIT/dX, o aumento en el IT consecuencia de un infinitésimo más en la cantidad vendida (igualmente para el producto marginal por usar un infinitésimo más de factor, etc). Infinitesimalmente este es el concepto de derivada de IT (o sea IT‟x). Geométricamente dIT/dX es la pendiente en todo punto del IT Proyectado abajo en la gráfica unitaria graficamos el IM y el IMg: el IT es máximo en M; a este nivel el IMg deber ser cero. Estas “relaciones analíticas y geométricas entre el concepto de total, medio y marginal”, son válidas tanto para la variable ingreso, como para utilidad, o como para producción y para su inversa costos. Aquí difieren algo con la producción ya que no se utilizan funciones lineales para el concepto medio, sino cuadráticas, que original PT como parábolas cúbicas (las relaciones son allí más ilustrativas: verlas más adelante en el capítulo sobre Producción); y para el caso de los costos son análogas aunque opuestas. 2) Concepto de pendiente o tangente trigonométrica = cateto opuesto sobre cateto adyacente En economía interesa el primer cuadrante porque no puede haber peras ni naranjas negativas, pero este concepto de tangente es simétrico en los cuatro cuadrantes ( y prácticamente es el único que nos interesa de la trigonometría). Obsérvese que es el cociente Y/X o P/X; e igual midiendo con incrementos (es el cociente incremental que hay en el segundo miembro de la recta por dos puntos); y en general el cociente precio sobre cantidad (o también el cociente de los incrementos que surgen al graficar los aumentos de precios y cantidades con los triángulos alfa y beta usados para ver las relaciones entre elasticidad a precios altos o bajos siguientes. La pendiente es la tangente trigonométrica del ángulo que forma la línea con la abscisa; la pendiente de esa línea de demanda o lo que sea. 3) DOBLE PENDIENTE DEL IMg: Para la maximización de Ingresos Conviene considerar funciones de demanda lineales, ya que el ingreso 523 524 marginal tiene así doble pendiente, lo cual facilita inferir conclusiones geométricas y analíticas que facilitan razonar el comportamiento de la empresa. Suponiendo, por ahora, costos nulos, el objetivo básico de la empresa competitiva, maximizar su beneficio, pasaría a ser maximizar el ingreso (como si en el cortísimo plazo debiera levantar un pagaré para no quebrar). Aplicando la condición de máximo en una función con una variable (primer derivada nula y segunda negativa) surge la cantidad óptima, que reemplazamos en las funciones para calcular el ingreso total, medio (demanda) y marginal. El ingreso total es precio por cantidad. La función de precio es la demanda P = a- bX, por lo que IT = (a -bX)X = aX –bX2 Al calcular el ingreso marginal como la derivada IT‟ = a -2bX vemos que tiene doble pendiente que el ingreso medio o demanda (-2b). La doble pendiente surge al derivar el cuadro del ingreso total. 4) Máximo de una función de una variable para el concepto de maximización (máximo y mínimo de una función de una sola variable), vemos aquí la condición matemática de máximo (o mínimo); i) con la primer derivada igualada a cero por ud. se ubica en un punto de giro o cambio en esa función; ii) volviendo a derivarla le dirá si aquel punto era un máximo (segunda negativa) o un mínimo (segunda positiva); si la segunda derivada también fuera nula indicaría que la primera se calculó en un punto de inflexión. (los 4 puntos de giro o cambio en una sinusoide o parábola son dos inflexiones, máximo y mínimo….). Este es el método matemático, deductivo, para una variable, el primero que estudiamos, quizás el más importante, por lo usual o general….de gran ayuda conceptual, aunque suele servir para casos puntuales más que para optimizar en la realidad empresaria multivariante…. 5) Elasticidad diferente según precios altos o bajos La función de demanda lineal permite otros análisis. Se dice que a precios altos la demanda es elástica y a precios bajos inelástica (podríamos entender la elasticidad como sinónimo de demandantes inestables o bien firmes /seguros, para ambos precios respectivamente) Graficando una demanda con pendiente -1 (o con 45°), uniendo el origen con el punto central de la demanda, queda así indicado un precio y una cantidad correspondientes a ese nivel. Suponiendo otro precio menor, con su correspondiente mayor cantidad y al graficarlos surge un pequeño triangulo en ese punto central de la demanda; que es semejante (iguales lados y ángulos correspondientes) que el triángulo mayor que forma la perpendicular desde este punto central, la línea de demanda y la cantidad extrema. 524 525 Entonces, están ahí graficados el precio y su variación; la cantidad y su variación. Los catetos del triángulo pequeño son los incrementos de precio y de cantidad. Los catetos del triángulo mayor son el precio y cantidad originales. El eje horizontal indica la cantidad y es la base de un triángulo, formado con la línea desde el origen y la demanda. Llamando alfa al ángulo en el origen y beta al ángulo en la cantidad extrema, la tangente de alfa (cateto opuesto sobre el adyacente) es así el precio sobre la cantidad. La tangente de beta es el precio sobre algo equivalente a la cantidad. La elasticidad precio de la demanda es Ep = (-) dQ / dP. ( P / Q ) El primer cocientes es la inversa de la tangente de beta; el segundo cociente es la tangente de alfa. La elasticidad puede medirse ahora como tangente de alfa sobre tangente de beta; y en este punto es igual a la unidad. Pero si se empina el segmento desde el origen, la tangente de alfa se haría mayor que la de beta, indicando que a precios altos la elasticidad es superior a uno (la demanda es elástica; los clientes son inestables). Al contrario, si se achata el segmento desde el origen sería menor la tangente de alfa: la elasticidad pasa a ser menor que uno (a precios bajos la demanda es inelástica; clientes inmóviles, firmes) 6) Ecuación de la recta por dos puntos es un coeficiente matemático usual (nos interesa en varios temas: ingresos, telaraña , etc). Una recta tiene una ordenada al origen y una pendiente (o coeficiente angular)... P- P1 = P2-P1 / X2-X1 (X - X1)........ donde el cociente del segundo miembro es la pendiente de la recta de demanda (es decir la tangente, o cateto opuesto P sobre cateto adyacente X). En las formulas P1 y X1 siempre son un dato y en esta teoría de los ingresos se trata de conocer dos puntos de una recta, graficando la teoría del “X total, medio y marginal” (ver en Baumol y en varias unidades del programa) para conocer su ecuación. El origen de esta fórmula es la propia definición de pendiente por un punto, como cateto opuesto sobre adyacente, o Y/X, o bien dY/dX, o bien Y-Y1 / XX1…. 7) Relación L. Amoroso-J. Robinson entre IMg y Precio Al ser la demanda lineal (ingreso medio) el ingreso total incluye un término cuadrático. El ingreso marginal es su primer derivada y tiene así dos veces la pendiente del ingreso medio (demanda); por esto es cada vez mayor la 525 526 diferencia entre precio e ingreso marginal conforme va siendo más bajo el precio. Con este esquema de demanda lineal, Amoroso-Robinson explicaron que el ingreso marginal es positivo cuando la elasticidad de la demanda es mayor a uno y cuanto la elasticidad de la demanda es menor a uno el ingreso marginal es negativo. Por consiguiente: IMg = p ( 1 - 1/E ) En el caso general de la pequeña empresa competitiva el precios es una constante impuesta por el mercado y la elasticidad infinita, así coinciden el Precio o IM =IMg (Ingreso marginal igual a precio) En el caso general de cualquier otra empresa, como por ej. monopólio, la demanda es inelástica y el precio es mayor que el ingreso marginal (el monopolio impide la competencia de bienes sustitutos....). El IMg tiene aquí doble pendiente que el IM o precio, de modo que según mayor sea la elasticidad precio de la demanda menor será esa diferencia, ya que la elasticidad es el divisor del cociente restado al precio en esta relación inicial de L. Amoroso (1930), que J. Robinson popularizó como una referencia del grado de monopolio según la elasticidad, estudiando la necesidad de la regulación de estos mediante controles e impuestos para evitar su discriminación de precios. Con posterioridad a la Ley Sherman (EEUU) numerosos economistas calcularon el grado de monopolio en industrias: Amoroso, Hotelling, Robinson, Baumol, etc., en general comparando los precios con los costos medios variables (10 a 12% en los ferrocarriles norteamericanos, etc). 8) Se supone costo nulo a cortísimo plazo: Este supuesto es necesario para este caso muy puntual de una empresa que debe levantar el pagaré o quebrar. Transitoriamente le conviene vender incluso a pérdida y define que necesita maximizar ingresos y no beneficios como ocurre en la situación general. Este supuesto arbitrario es un típico ejemplo de la irrealidad de la teoría neoclásica y sus simplificaciones microeconómicas que explican solo situaciones puntuales y no situaciones generales. La microeconomía no era así efectivamente aplicable en las empresas. Este gran defecto surgió ante la gran dificultad de resolver sistemas de ecuaciones con más de 4 ó 5 variables manualmente. Antes de la generalización del uso de Excel solamente expertos econometristas y matemáticos enfrentaban esos problemas con enorme dificultad y tiempo. Con Excel cambió la situación y se resuelven sistema de 2x2 tan fácilmente como con cientos o miles de variables (tesis de Microeconomía con Excel). EJERCICIO 1) INGRESOS: 526 527 Si una empresa tiene que levantar un pagare importante, está vendiendo con elasticidad 1,832 y su máximo IT es cuando vende 503,2 unidades.... Se pregunta si en el corto plazo debe expandirse o contraerse? La grafica combinada del enfoque total y unitario indica que el IT máximo está al nivel de la demanda lineal con elasticidad = 1 (punto central).........Si le dicen que está vendiendo con elasticidad 1,832 quiere decir que está vendiendo menos que 502,3 unidades (a la izquierda de ese punto central).... Entonces, suponiendo por el corto plazo costos nulos (ya que su prioridad es vender al precio que sea para levantar ese pagare) su objetivo sería maximizar el ingreso..., cosa que no hace si vende menos de 502 u. O sea, debe expandirse. EJERCICIO 2) en el que también parecieran faltar datos: Una empresa tiene la función de demanda 250X + 8P = 1000 (cuidado con esta presentación). Si debe levantar un pagaré importante en el corto plazo, cuál sería su nivel de producción o venta más conveniente? Consideramos costos nulos de corto plazo y como único objetivo empresario maximizar ingresos (en vez del único objetivo normal /general que es maximizar el beneficio o minimizar perdidas...). Máximo IT sale con primer derivada cero y segunda negativa.... Despejamos la demanda para poder calcular luego el IT como IT = p(X) 250X + 8P = 1000; ..........o sea P = 1000/8 – 250 X/8 ..... o sea p= 125 – 31,25X Entonces el IT = (P)X .......será IT .= 125X – 31.25X2 Máximo IT con IT´= 0 y que ahí sea la segunda IT´´< 0 O sea, Img.... ó IT´ = 125 – 62.5X =0 entonces X = 2 (y es máximo ya que la segunda es –62.5) Graficamos la cantidad 2 y el máximo IT, que será $125........ La línea del IT va desde 0 hasta 4 como parábola de Gauss, invertida. La del IM o demanda va desde 125 hasta 4........ Y la del IMg va desde 125 hasta 2..... Todos estos ejercicios dependen de conocer la condición matemática de máximo, la de doble pendiente, la relación Amoroso-Robinson sobre elasticidad, precio e IMg.... y suponer por teoría que el costo es nulo en el corto plazo, cambiando el objetivo normal (max. Beneficio) por el de max.ingresos...... 527 528 Trampas: Se suele jugar cambiando las fórmulas de demanda y las de elasticidad en formas explicitas e implícitas o pasando coeficientes según reglas aritméticas elementales. Pero esta teoría ayuda mucho cuando otros razonamientos normales llevarían a considerar que faltarían datos, aunque no es así si uno tiene presente esta teoría del ingreso (o gasto) y las relaciones del X total, medio y marginal. Ejercicio 3 Una empresa que debe levantar un pagaré para no ser rematada supone que no tiene costos; y que su único objetivo de cortísimo plazo es el máximo ingreso Cual es el nivel de actividad que le conviene a la empresa? Demanda p = px = - 0,10 x + 60 IT = px = ( - 0,10 x + 60) x = - 0,10 x2 + 60 x IM = IT = p = - 0,10 x + 60 x Img = I’ = 2 ( - 0,10 ) x + 60 I’ = - 0,20 x + 60 Se grafica una recta fijando los extremos (suponiendo una u otra variable nula resulta uno u otro valor). Para una curva necesitamos 3 puntos, por ejemplo el origen, el máximo y el otro extremo a precio nulo: I ’ = - 0,20 x + 60 - 0,20 x + 60 = 0 x = 300 I ’’ = -0,20 < 0 $IT = - 0,10 ( 300 ) + 60 . 300 = 9.000 528 529 Por el corto plazo le conviene vender (aunque sea a pérdida) para maximizar ingresos, vendiendo con P = -0.10 (300) + 60 =$30 y la cantidad 300, con IT = 9.000, con los cuales podrá levantar su pagaré (y se supone abonar salario e impuestos; con posterioridad reanudará su actividad normal, vendiendo el nivel que indique su optimización normal (maximizando beneficios: ingresos netos de costos). Es decir que vendió materiales en existencia o aún fabricados a pérdida para levantar el pagaré y no perder la empresa. Una circunstancia muy puntual, como toda esta teoría clásica o neoclásica( no generalizable a la actividad diaria normal). Precauciones (trampas): Se suele jugar cambiando las fórmulas de demanda y las de elasticidad en formas explicitas e implícitas o pasando coeficientes según reglas aritméticas elementales .... Pero esto teoría ayuda mucho cuando otros razonamientos normales llevarían a considerar que faltarían datos y no es así si uno conoce la teoría del ingreso (o gasto). Siempre se comienza haciendo la gráfica teórica del X total, medio y marginal (aquí en el concepto 2) y buscando luego dos puntos para aplicar el concepto de recta por dos puntos, la doble pendiente, etc. 529 530 MARKETING Investigación de mercado (mercadeo) es un conjunto de técnicas todavía no muy bien definido (o en expansión), que hacen referencia a empresas especializadas o a las secciones de cualquier empresa grande dedicadas a actividades diversas, pero cuyo fin es suministrar a la dirección de una empresa informaciones sobre novedades (amenazas y oportunidades) en los mercados (sobre demanda, gustos, productos complementarios o sustitutos, técnicas de producto o de proceso, costos; e incluso ideas sobre creación de nuevas necesidades, etc.), tal que le ayuden a mejorar los ingresos o a reducir los costos de esa empresa comercial o productora de bienes o servicios (tangibles o intangibles). Las ideas sobre marketing están evolucionando y recientemente avanzaron desde una simplificación inicial en el s.XX, como simples técnicas de promoción o publicidad de venta, para ir incorporando nuevas actividades, como ser la distinción entre marketing B2C (business “to” customer, o sea Emprea”2”cliente) y B2B (empresas“2”empresa), cuando en el años 80 se ampliaron estas actividades de investigación de mercado para abarcar las técnicas de producción de insumos que fueran mejor adaptados a las necesidades del cliente empresario: por ejemplo, en tecnología de producto se pasó de las autopartes elaboradas con chapa comercial al carbono (que se oxida si no se pinta), hacia chapa más delgada pero en calidad apta para ser recubierta en una o dos caras con cinc (galvanizada): igual superficie, menor espesor, menor peso, menor consumo de combustibles y mayor duración. Desde hace décadas, una actividad usual B2B es la presentación por las empresas grandes, sus cámaras o sus institutos sectoriales (por ejemplo el Instituto Argentino de Siderurgia), ofreciendo información útil para los usuarios fabricantes sobre nuevos productos (insumos), técnicas de proceso o aplicaciones (usos finales), etc. con una interacción técnica permanente entre proveedores y clientes y viceversa (caños de plástico para usos petrolíferos y de conducción; unión por termo-soldado; paragolpes de plástico; tablestacas de chapa, galvanizada corrugada para alcantarillados viales, perfilería o carpintería metálica de chapa vs. aluminio, etc.. La American Marketing Association promocionó la idea de las “4 P”, para hacer referencia a un conjunto de actividades involucradas en este campo: “producto, promoción, precio, place”, enfoque que también se conoce con la sigla “VISA” (por Solución técnica con un material o producto, Información o publicidad, Valor de uso y de cambio, Plaza o lugar de distribución) y la concepción actual del marketing es de tipo holistico (o globalista), incluyendo algunas actividades sobre RSE (responsabilidad social empresaria o empresa socialmente responsable). En enfoque holístico (Ph.Kotler) surgen sobre la idea de Aristóteles en su Metafísica, cuando se refiere a temas en los que “el todo es mayor que la suma de las partes” (por oposición a la visión de la física (o de la matemática, en el V 530 531 postulado de Euclides, el todo es la suma de las partes). Por ejemplo, una semilla transgénica más un defoliante glifosato, representan mucho más que solo un tipo diferente de semilla y de agroquímico; pueden representar la sustitución masiva de cultivos, deforestación, erradicación de poblaciones, traslación de ingresos regionales hacia otros sectores privados o estatales, riesgos por monocultivo o ecológicos, etc. con franca influencia sobre la actual RSE. La organización de actividades en una empresa dedicada al marketing es compleja y puede reunir a sociólogos, economistas, ingenieros, médicos neurólogos, etc. Al igual que en las empresas grandes y corporaciones, el área de marketing, tal como en la siderúrgica SOMISA, se diferenciaba en dos secciones: una dedicada a la tarea de campo (encuestas e intercambio de información con usuarios o grandes consumidores, distribuidores, etc) y otra dedicada a la investigación econométrica y económica sobre la base de los datos recabados en esos estudios de campo (por ejemplo analizar que no es igual lo que dicen los consumidores en una encuesta a lo que realmente o efectivamente suelen comprar); y sobre el análisis de la información estadística de precios, cantidades, comercio exterior competitivo, costos de competidores, novedades en los mercados internacionales que puedan representar amenazas u oportunidades en el área de ventas o en el área de compra, etc (con revistas como Metal Bulletin, JSJ, CRU-MM, AMM) . En el caso SOMISA esta oficina efectuaba los estudios de mercado y también las proyecciones y pronósticos de ventas; por afinidad de materia, también se ocupaba de la defensa del mercado (el antidumping), sobre la base de la teoría microeconómica de la libre competencia: evidentemente, todas novedades sobre amenazas y oportunidades que surgían en los mercados e interesaban a la dirección de la empresa). 531 532 CAPITULO 14 EVALUCION PROYECTOS ALGUNOS CONCEPTOS NECESARIOS: - Financiamiento de las inversiones: Ingresos por venta; préstamos bancarios; crédito de proveedores, etc. pero interesa particularmente la colocación de bonos a largo plazo y de acciones a corto (que además facilitan las "burbujas" económicas, tan lucrativas para algunos grupos empresarios en muchos países... ironía...); las acciones pueden ser comunes (con voto en asambleas y un % de dividendo anual); preferentes (dividendo fijo y sin voto); convertibles (dividendo fijo pero con opción a convertirse en comunes) - Para la evaluación de inversiones o proyectos hay diferentes métodos: Métodos del VAN y de la TIR: VAN Y TIR (VALORACION DEL TIEMPO) VAN (o VNA): Un cierto importe dado tiene hoy mayor valor que si recién lo tuviéramos disponible dentro de un próximo período. Asimismo, considerando un costo normal del dinero, ese importe o valor actual sería menor que si hubiese estado disponible antes hace algunos períodos, ya que por ejemplo, hoy se podría haber tenido ese importe más el interés que hubiera redituado en algún depósito a plazo por ese lapso. Entonces, un dinero hoy equivale a más que si recién se lo tuviera en el futuro; y también hoy equivale a menos que si ya se lo hubiera tenido anteriormente. Por esto, siendo la tasa de interés “i” y los períodos del tiempo “t”, el VAN o valor actual neto o VNA de un importe futuro M es: VAN = M / (1+i)t (el interés divide, reduce) Igualmente, en valor actual de un importe que tuvimos disponible anteriormente, en el pasado es: VAN = M(1+i)t (el interés multiplica, aumenta) Esta simple ecuación, que se viene practicando desde la enseñanza secundaria, es la base del tratamiento económico y financiero de los proyectos (es decir, la base de la valoración del tiempo). 532 533 Excel tiene incorporadas otras funciones alternativas para estos tratamientos de valoración (hay ejemplos al pulsar F* y ahí “ayuda sobre esta función”). Pero interesa antes analizar este concepto mediante un simple ejemplo: Supongamos ingresos en los tres próximos meses por $100; $120 y $150. ¿Cuál es el valor actual si consideráramos un costo normal del dinero del 5%?: PERÍODO FUTURO: VA = $100 / (1+0,05)1 + $120 / (1+0,05)2 + $150 / (1+0,05)3 = 108.84 + 129.58 = $336,66. 95.23 + Función VAN en Excel Sintaxis: =VNA(tasa normal A2;flujo de fondos futurosB1:E1) …y si hubo un gasto inicial (nada aquí en A1) es: =VNA(tasa normal A2; inversión inicial A1;rango B1:E1 flujo de fondos futuros) Pero por otra parte, ¿cuál sería el valor actual al 1 de abril de tres importes, $80, $90 y $ 95 devengados en los anteriores tres meses enero, febrero, marzo?: PERÍODO PASADO: $80 (1+ 0,05)3 + $90 (1+0,05)2 + $95 (1+0,05)1 = $92.61 + 99.23 + 99.75 =$291,59. (en este último ejemplo no se aplica la función VNA de Excel ya que calcularía otra cosa: el valor presente al día 1 de enero y no al día 1 de abril…). La función =VNA( ; ; ) de Excel tiene tres argumentos separados por “;”en el paréntesis para calcular este valor, ya sea escribiéndolos o con solo pintar la celda con la tasa a considerar, las celdas con los gastos de cada período (con 533 534 signo menos) y finalmente las celdas con los importes positivos de los ingresos de cada período). También existen otras funciones parecidas, que pueden consultarse con F1. INFLACION En las evaluaciones es importante que la comparación sea a valores reales, constantes, sin inflación. Por ejemplo, durante 43 años entre 1969 y 2012 al peso argentino se le quitó valor por trece ceros (2 en 1970; 4 en 1983; 3 en 1985 y 4 en 1992), o sea, vale hoy casi 11 Billonésimos (millones de millones menos). El concepto de valor actual permitiría obtener la tasa media de inflación en estos 43 años: 101 % anual acumulativo (aunque estuvo concentrada especialmente en 1989: 4924%, en 1990: 1344%, en 1984: 688% y en 1976: 347%): Acumulando: 1(2,01)^43 = 10.900.000.000.000. Deflacionado: 10.900.000.000.000 / (2,01)^43 = 1 (leyes 3871; 18188; 22707; D.Ley 1096/85; D.Ley 2128/91; en Excel se eleva a una potencia con el signo ^) TIR: La tasa interna de retorno (TIR) de un proyecto es el rendimiento que alguien piensa que le va a redituar ese proyecto, luego de restar el valor presente de los gastos al de los ingresos esperados (en otras palabras es la tasa que hace igual el valor actual de los ingresos esperados al de los gastos del proyecto). Función TIR en Excel La función TIR devuelve la tasa interna de retorno de una serie de flujos de caja, que iguala el valor actual de los ingresos con el valor actual de los egresos (o sea, el rendimiento esperado o teórico neto). Por ejemplo, si se gastan $100 y $100 durante dos períodos para obtener en el tercero $110 y en cuarto $120, Excel calcula como TIR= 6,032%; y los cálculos que realiza mediante aproximaciones serían: -100 /1,06032 –100 /1,1242 + 110 / 1,192 + 115 / 1,2639 = -183,27 + 183,27 = 0 534 535 Sintaxis: =TIR(matriz de celdas que contiene los flujos de caja) Tanto para gastos como para ingresos Excel aplica período a período el concepto del valor actual con la tasa 6,032% que calcula para que se igualen ambos conceptos. Microsoft incluye otras funciones especiales parecidas para estos cálculos TIR no periódicos y con costo de reinversión, básicamente anotando o pintando en todas los importes de gastos e ingresos (con su signo correspondiente) en las celdas que representan a cada período (en este caso cuatro). Verlas pulsando F1 en las fórmulas financieras o eligiéndolas en F* y allí “Ayuda para esta función”. Valor actual neto (VAN o VNA) de ingresos menos egresos (dividiendo por (1+i) a la t los futuros y multiplicando los del pasado). El van se calcular así con la tasa bancaria (simplificando aquí como que fuera igual para depósitos que para préstamos)........... TIR: pero si utilizan esta fórmula para igualar el VAN de los Ingresos que ud. cree que va a tener con el de VAN de los egresos.... entonces esa igualdad obtenida por aproximaciones sucesivas.... le está indicando la tasa interna de retorno de su inversión.... la TIR, que ud. empresario cree que va a tener , o rendirle su negocio... Si la TIR es mayor que el resultado según VAN puede el empresario ir a convencer a un banco para que le preste esos fondos para la inversión.....(si el banco le cree esa TIR....) Influyen: el concepto de Valor Actual; los diferentes costo del dinero para empresas chicas o grandes; la liquidez inicial; los costos de explotación consecutivos; reglamentaciones fiscales; valor residual; la alternativa compra vs. alquiler (visión como inversión o como gasto en los balances); el riesgo de la inversión; etc. Existen diferentes medidas de rentabilidad además de la tir, como el periodo de repago, arboles de decisión, ciclo vital, etc. Recordamos algo sobre la Tasa Interna de retorno TIR: en un ejemplo del VAN usamos una tasa bancaria del 25%......y calculamos el valor actual neto de aquel proyecto...... Si en vez de usar esa tasa bancaria hubiéramos hecho esas cuentas con una tasa que el empresario supone que va a ganar con ese negocio....la tasa que iguala el VAN de los ingresos y egresos...seria la tir..... Entonces el empresario podría ir a un prestamista o inversor y lo convence de invertir o que le preste porque tiene una tir del 30% mientras que las tasas bancarias son menores.... 535 536 Trabajo Practico Evaluación de Proyectos (Método del Valor Actual Neto) Ejercicio 1: Egresos año: 0 = $ 3.000 Ingresos año: 0 = $ 0 1 = $ 1.200 2 = $ 1.200 3 = $ 1.250 4 = $ 1.300 Tasa estándar: 14 % VAN = (Ing n – Egre n ) / (1 – i )n VAN = 1.200 + 1.200 + 1.250 + 1.300 - 3.000 (1,14)1 (1,14)2 (1,14)3 (1,14)4 (1,14)0 VAN = 1.052,63 + 923,36 + 843,71 + 769,70 – 3.000 VAN = 589,40 Ejercicio 2: Egresos año: 0 = $ 1.000 Ingresos año: 0 = $ 0 1 = $ 1.000 2 = $ 1.500 3 = $ 2.000 Tasa estándar: 12 % VAN = (Ing n – Egre n ) (1 – i )n VAN = 1.000 + 1.500 + 2.000 - 3.000 (1,12)1 (1,12)2 (1,12)3 (1,12)0 VAN = 892,85 + 1.195,80 + 1.423,56 – 1.000 VAN = 2.512,21 Ejemplo 3) EVALUACIÓN DE PROYECTOS Ingresos año 3 4 5 6 7 500.000 1.000.000 1.300.000 1.800.000 2.500.000 Egresos 1.500.000 3.000.000 1.350.000 año 0 1 2 536 537 i = 0.05 VAN = -1.500.000/(1+0,05)° - 3.000.000/(1,05)1 - 1.350.000/(1,05)2 + 500.000/(1,05)3 + 1.000.000/(1,05)4 + 1.300.000/(1,05)5 + 1.800.000/(1,05)6 + 2.500.000/(1,05)7 = -188536,35 EVALUACIÓN DE INVERSIONES – TIR Y VAN Se trata de calcular el VAN y la TIR en una inversión para producir PVC, estimando las siguientes necesidades, ventas en unidades e importes por 10 años. Matérias primas: Cloro 645 kg/Tm Etileno 480 “ Soda cáustica 40 “ ( a 6400 $/Tm) ( a 21000 “ ) ( a 8000 “ ) Coste de servicios: 721 $/Tm Mano de obra 70 Mantenimiento % de la inversión Gastos generales 130 Impuesto Beneficios 35% Gastos comerciales 1% Ventas Precio de venta del PVC 25000 $ /tm La inversión necesaria es $4500 (30% al inicio del proyecto; 50% al comienzo del año de puesta en marcha y 20% un año después). La amortización se efectúa al 10%. Coste del dinero: 10% anual. El gráfico muestra el VAN, la evolución del acumulado del cash flow actualizado. 537 538 La función Excel para el VAN se calcula escribiendo: =vna(tasa;importes). Si los períodos no fueran anuales se utiliza =vna.no.per(tasa;importes;fechas) que incluiría además el rango de las fecha. En este caso el VAN es $159 y se ve también en el acumulado. Para calcular la TIR en Excel se escribe =TIR(B21:M21) que abarca el rango con los importes según el cash flow . 538 539 EVALUACION CONTABLE DE UNA EMPRESA Si bien sobre el tema evaluación de proyectos interesa, en principio, el criterio del valor actual neto (VAN) y el de la tasa interna de retorno (TIR) de cualquier proyecto, considerando que licenciados e ingenieros no son técnicos contables, puede ser adecuado reseñar aquí algunos aspectos contables básicos, así como algunas distorsiones usuales, tanto para evitar el pago de impuestos como por efectos de la inflación. Bajo la globalización es más usual el tema de la evaluación de empresas, ya que las corporaciones suelen dispersar filiales con su actividad entre muchos países y crecieron estas compras y ventas de empresas de corporaciones. DEFORMACIONES CONTABLES USUALES: a) Deformaciones para evitar impuestos: - menores ventas (o ventas en negro) - menores utilidades (bajando stocks o subvaluarlos, transitoriamente…) - cargos diferidos (para ocultar pérdidas, presentándolos como costos de/en/para futuros ejercicios….); - subvaluar importaciones (se pagan menores aranceles, pero aumenta utilidades…). COSTOS por absorción: se incluye todo: M.Prima +M.O.directa (el Costo PRIMO) + G.Generales Fabricación. Costeo Directo: no se incluyen los C.Fijos (en el análisis marginal para exportaciones; para discriminación de precios, etc) Valuación inventarios En general, es usual en las firmas industriales tomar el valor de mercado y no el de compra. En las empresas comerciales se valoran como un % del precio de venta (menos el gasto de comercialización). Estas cuatro formas son usuales: -método Promedios: entrar a valor de compra y salen al promedio (es lo más utilizado) -método FIFO: salen a los precios más viejos. -método LIFO: el último entrado es el que sale primero (por la inflación, se recargan costos y bajan utilidades) -método Reposición: a lo que costaría hoy (no es legal) Amortizaciones: 4 métodos de Depreciación 539 540 (considerando el valor inicial, la duración y el valor de rezago) -partes constante: resultan cuotas cada vez mayores al valor neto…(lo tradicional para la DGI) -proporcional al valor neto: amortiza mucho al principio y poco al final… (por ejemplo, porque que habría más mantenimiento…) -suma de los dígitos: también amortiza acelerado (suma los dígitos del período y amortiza cada año el dígito/suma; ejemplo en 5 años: 5+4+3+2+1 =15; 1ro.5/15; 2do 4/15; 3ro: 3/15, etc.) -según valor de uso: cuando el uso no es constante Sin embargo, la inflación distorsiona estos métodos. b) Deformaciones por la inflación: Efectos de la Inflación: - En las amortizaciones: traslada a utilidades la parte subvaluada… - En las cuentas a cobrar: las favorece, al disminuirlas. - Costo mercaderías vendidas: traslada a utilidades la parte subvaluada - Deudas: las favorece, al disminuirlas - Estrategias bajo inflación: Descuentos por pronto pago: bajan las utilidades contables, pero aumentan las reales. Mayor política de endeudamiento (bajar el patrimonio mínimo) Costeo ajustado a Reposición TRES ESTADOS CONTABLES: -Balance Activo-Pasivo Caja 10 Créditos 1300 Mercaderías 2200 Activo fijo 1500 Activo 5100 Pasivo exigible Patrimonio Pasivo 2000 3100 5100 -Cuadro demostrativo de pérdidas y ganancias Ventas 3000 Costo 1800 Utilidad bruta 1200 Gastos.g. adm. com.y fin. 700 Utilidad no operativa 500 Utilid.No operativa…. 100 Utilid.antes imp.indir. 600 Impuestos indirectos 240 Utilidad neta 360 (Incluidas Provisiones y Previsiones, aproximadas) 540 541 Los Resultados pueden ir a: Acumular reservas Dividendos a acciones Dividendos en efectivo Honorarios directorio Donaciones Utilidades acumuladas -Estado movimiento Patrimonial Patrimonio inicial 200000 Utilidades 30000 Aportes capital --Honorarios directores (10000) Dividendos (20000) Gratificaciones (5000) Patrimonio final 195000 ANÁLISIS DE BALANCES Evaluación contable de una empresa, comparando su balance con el de otro período o con los de esa industria; según índices típicos como: -Rentabilidad: Utilidad / Patrimonio -Utilidad / Ventas -Rotación patrimonio: Ventas /Patrimonio -Margen bruto /Ventas -Pérdidas por inflación /Ventas -Índice de liquidez: Activo circulante /Pasivo Exigible -Índice de liquidez seco: Disponibil.+créditos por ventas / Pasivo exigible a c/p -Endeudamiento: Pasivo exigible /Pasivo total (< 40%, pocos activos con fondos ajenos) -Índice Volumen de stocks (en % costos, o en meses o días) -Plazo crédito concedido: crédito ventas+ documentos descontados +documentos endosados a proveedores /Ventas -Período de cobranza: crédito ventas / Ventas -Índice financiación externa: pasivo exigible operativo y financiero /Ventas -Índice financiación operativa: pasivo exigible operativo /Ventas 541 542 542 543 INFLACION En la evaluación de proyectos y empresas se utiliza los conceptos de VAN y de TIR así como muchos otros indicares o coeficientes (ROI = utilidad media / inversión media; período de repago = cantidad de ejercicios para recuperar la inversión; máxima exposición = máximo valor negativo de los flujos de cana acumulados; índice de rentabilidad = suma del VA de los flujos futuros / inversión; etc.). Por otra parte, interesan las evaluación a valores constantes o reales, netos de la inflación, que puede ser un riesgo muy importante en algunos países. Por ejemplo, para Argentina estos valores tabulados en el siguiente cuadro suman 10448 y dividiendo por 43 años surge un promedio de 243 %. 543 544 Algunos valores de la tabla son datos oficiales que difieren con otros cálculos privados. 4 CAMBIOS MONETARIOS: Otra medición rústica podría considerar que en este período de 43 años hubo 4 cambios monetarios quitándole valor al pesos por 13 ceros (desde la Ley3871 4/11/1899 m$n; Ley 18188 1/01/1970 $ quitó 2 ceros; Ley 22707 1/06/83 $argentino quitó 4 ceros; D.Ley1096/85 15/06/85 austral quitó 3 ceros; D.Ley2128/91 1/01/92 $ convertible quitó 4 ceros al austral) Esta memoria es útil para fijar el concepto de VAN: una quita de valor por 13 ceros implica inflacionar $1 por 10 billones (millones de millones, o sea 13 ceros), con una inflación promedio del 101%; aplicando el concepto de VAN sobre esta tasa resulta: $1(2,01)^43 = 10.900.000.000.000 (esto sería el valor actual de aquel peso de 1969 en 2012). 544 545 Haciendo el cálculo hacia atrás con esa tasa de inflación del 101%: un importe actual de $10,9 billones deflacionado al 101% sería solo $1 en el año 1969: (10.900.000.000.000) / (2,01)^43 = $1 (parece una paradoja; muy influida por aquellos períodos de hiperinflación según el cuadro, pero que conviene tener presente al momento de hacer evaluación de proyectos o empresas). MONEDA DURA La inflación es un aumento generalizado de precios que suele generar distorsiones en los precios relativos de las empresas, frente a otros bienes y a monedas duras o divisas que intervienen en el intercambio con el exterior. Es usual considerar flujos de fondos ajustados por la inflación local; y luego se los convierte a moneda dura utilizando los tipos de cambio de futuro; para obtener finalmente el VAN en moneda dura también se suele descontar esto con la tasa nominal para esa divisa dura. Otra forma alternativa de obtener el VAN de un proyecto o empresa en moneda dura (dólar, euro, etc) podría ser calcular el VAN con la moneda y las dificultosas tasas nominales locales y luego pasarlo a moneda dura utilizando los tipos de cambio. 545 546 CAPITULO 15 MÉTODOS CIENTICOS: Formas de estudiar; informes profesionales; métodos científicos. Tres temas sobre métodos para adquirir, para presentar conocimientos y para demostrarlos, que se refieren al modo de estudiar; a las presentaciones metódicas de “informes”, exámenes o trabajos prácticos; y a la demostración mediante el razonamiento lógico científico. Temas muy densos, que se podría resumir (sin rigurosidad) como material de alguna ayuda para orientar a los alumnos. A) FORMAS DE ESTUDIAR René Descartes (El Discurso del Método, 1600) fue la fuente clásica sobre cuál era la manera de ordenar el proceso de adquisición de conocimientos. Sin releer ahora su trabajo digamos aproximadamente, que para estudiar proponía seguir estos pasos: subdividir el material en tantas partes como sea necesario, para poder analizarlas individualmente; efectuar extensos listados con ellas, a manera de índice que permitan ir ordenando y reuniendo la información. Estos listados de temas (tipo índice) permitirán la agrupación por temas y finalmente llegar a una síntesis manejable, etc. Por una parte, listados y el análisis, para poder estudiar ordenadamente. A continuación la agrupación y la síntesis. Entonces, para un alumno de economía que debe hacer trabajos prácticos o rendir en un par de horas exámenes sobre temas expuestos, se trataría en la práctica de listar contenidos y analizar hasta poder sintetizarlos (a libro cerrado) en pocas páginas. Adicionalmente, como los tiempos cambian hoy se impone el estudio mediante Internet y uso de PC. Muchas presentaciones son archivos de solo lectura (que no se pueden copiar y pegar) con extensión .PDF. Las PC modernas traen lectores de estos archivos .pdf, o bien el Office y también sigue vigentes versiones libres de Accrobat Reader. Para estos archivos es muy importante buscar por palabra clave, mediante Cntrl + F (en Word usamos Cntrl + B) B) PRESENTACION TIPO INFORME PROFESIONAL El modo de presentar o hacer los exámenes o trabajos prácticos es mediante informes profesionales; que en principio, deben reunir 546 547 cinco partes: 1) identificación, lugar, fecha, tema. 2) introducción de un párrafo, con los supuestos necesarios y con el tema a exponer (algo como “diga que va a decir”), 3) desarrollo o explicación detallada de los principales pasos demostrativos ( el “dígalo”), pero en una forma que lo entienda todo lector que no tenga antecedentes sobre el tema ; sin dar por sobreentendido absolutamente nada importante, para presentar una demostración rigurosamente documentada y vinculando por ejemplo las ecuaciones con los (supuestos) hechos reales de su tema . 4) conclusión de un párrafo, con lo relevante expuesto, lo obtenido o una idea clara de lo que ello es o no es (un “diga que dijo”). 5) fuentes de información, las “primarias” que expusieron el tema, pero muy detalladas, con autor, obra, editorial, año y de ser posible número de página o párrafos concretos. (evitando referencias vagas a solo el autor u obra). Si fueran de Internet, debe figurar específicamente la dirección URL de la página concreta con el tema y no solo la referencia a un sitio web o su página de inicio, que obligaría a posterior navegación para ubicar el punto. C) METODOS DE DEMOSTRACION En cuanto a los métodos científicos, para la demostración rigurosa en el ámbito económico, hay que retrotraerse al análisis clásico aristotélico, la metafísica causal: de un antecedente verdadero llegar a un consecuente también verdadero mediante razonamiento lógico (”todos los hombres son mortales, Sócrates es hombres, entonces Sócrates es mortal”…. O según descartes “cogito ergo sum”, pienso luego existo). Desde el siglo pasado simplificamos reconociendo este planteo bajo dos situaciones: las deducciones matemáticas (lógica pura, sin contenido real, económico) y la inducción estadística (razonamiento lógico para los hechos sociales). En economía se recurre a la deducción matemática (aquí aplicada) cuando se quiere demostrar la optimización, la maximización o minimización. Se habla de una sola, o todo más dos variables: maximizar el beneficio, optimizar la producción, minimizar el costo, mediante el análisis diferencial. La derivada se define como U`x = dU/dx, variación de una función U (utilidad, producción) si varia x (un bien o un factor) un infinitésimo. La condición de máximo consiste en igualar a cero la primer derivada (para despejar la cantidad) y luego comprobar que es máxima si la segunda derivada es negativa (o viceversa para un 547 548 mínimo). Por analogía con una curva sinusoide en un primer cuadrante, con una punto de inflexión, un máximo, otro punto de inflexión, un mínimo, etc. Igualar a cero la primera derivada es ubicase en uno de esos puntos de giro o cambio; con la segunda se ve si un infinitésimo después la curva o función crece, desciende o es nula (inflexión). Con dos variables, se sigue esto pero con la segunda ley de Gossen, expuesta por Marshall o por Pareto, como : a) proporción entre la utilidad (o producto) marginal sobre el precio, igual en ambos bienes y b) agotar el gasto del presupuesto dado: Px(X) + Py(Y) = M Para los casos de optimización con más de 4 o 5 variables, estudiamos en microeconomía varios procedimientos: el cálculo diferencial con la función combinada de Lagrange hasta cuatro variables (por ejemplo dos variables reales y dos restricciones), mediante sustitución de las variables landa 1 y landa 2. Algo quizás más práctico y para hasta 5 o 6 variables, son las tablas “Simplex” de programación lineal. Igualmente mediante el uso de matrices, con la matriz inversa y el producto de matrices para obtener la matriz “insumo-producto” y el resultado total directo e indirecto en cascada decreciente. Excel simplificó la programación lineal con su macro Solver hasta 450 variables. Por otra parte, Excel también tiene funciones simplificadas calcular matrices determinantes: mdeterm( ; ); para invertir matrices =minversa( ; ); y para multiplicarlas: y =Mult.( ; ), mediante las cuales es posible resolver sistema de por ejemplo 1700 variables. En cuanto al otro método básico, el de las inferencias estadísticas, o inducción, Excel incluye una muy útil y simplificada aplicación, a la que se puede acceder de varias formas, como por ejemplo, en el menú Herramientas; Análisis de datos; regresión; para casos de correlación múltiple, con varias o muchas variables independientes y otra dependiente (trae un ejemplo de estimación de la producción de helados, según las series históricas de calor, lluvia y turistas; que es posibles correlacionar y hacer la estimación siempre que alguna institución las pronostique para el año siguiente. Esta macro Excel calculará los coeficientes de cada variable independiente, para poder armar luego la ecuación del ajustamiento o estimación. También aportará los parámetros para estudiar la bondad del ajustamiento, análisis de la varianza, o “anova”. O sea, el alumno tiene aquí un esbozo de método racional para estudiar. También tiene el modo de presentar profesionalmente sus trabajos prácticos y exámenes. Y finamente, se le comentan cuales son los dos métodos científicos para demostraciones rigurosas: deducción e inducción, que se practican durante este curso. 548 549 En microeconomía, deducimos maximizaciones, generalmente con uno o dos variables, rigurosamente; además explicamos la vinculación de esto con algún hecho económico supuesto (en un informe). También optimizamos producciones u otras situaciones con muchas variables recurriendo a las funciones de Excel, Solver, matriz inversa y multiplicación; y como trabajo de integración todo alumno resuelve en Excel un mismo ejemplo de cuatro variables mediante 4 a 6 métodos alternativos. Por otra parte, también presenta en Excel alguna estimación de funciones mediante la correlación múltiple de Excel (la inferencia o inducción estadística comentada). DUDAS SOBRE MICROECONOMIA Y SUS METODOS CIENTIFICOS: Desde siempre y al menos hasta 1980, cuando se fue conociendo Lotus y especialmente luego que en 1994 se usó Excel (con sus funciones para correlación múltiple con “anova” (inducción); las de regresión; las de programación lineal; y las de matrices, matriz inversa, etc (deducción)) algunos reconocieron que el sistema científico de la economía clásica y moderna era inaplicable o “puro verso”, y solo mediante computación (Excel) era efectivamente practicable en una empresa. Antes solo tenía sentido lógico en una realidad artificial limitada a dos o tres variables, quizás útil para definir algunas ideas básicas (análisis marginal; contribución marginal) pero aun así poco aplicable a una empresa. Algunos vieron que todo cambió con la computación, especialmente con Excel, porque simplificó y especialmente popularizó tres cosas: 1) como hacer o construir funciones, con varias variables independientes (correlación múltiple con análisis de variancia o anova, con su archivo del Office sobre la estimación del Productor de helados, que tiene series de 30 períodos incluyendo helados, lluvia, calor y turistas llegados al balneario). Excel también simplificó muchas otras aplicaciones y distribuciones sobre estimación. (método: inducción) 2) Solver para programación lineal o no lineal, tildando pocas opciones (método: deducción) 3) cálculo de una matriz (determinante) con =mdeterm( ;), matriz inversa con =minversa( ; ), matriz multiplicar con =Mult.( ; ). (deducción) Entonces, el rigor científico ya es hoy realmente aplicable a lo cotidiano de cualquier empresa. 549 550 Este rigor científico, pasa en la “economía de la empresa” por la cuestión de los métodos científicos básicos rigurosos (inducción estadística, para la estimación; y deducción matemática, para la optimización;… ambos con contrastación con la realidad). Y la aplicación en la empresa, en forma generalizada, depende mayormente de Excel. ¿Dos dudas sobre microeconomía? PRIMERA ) ¿Hace falta gran conocimiento previo de matemática? Coloquialmente, para no iniciados se aclara que hay una trampa (verso) clásica: esconder /dificultar (a los indios) las cosas (y la verdad en estas explicaciones), ya que así era más fácil, y habría pocos críticos (caciques), o quizás porque se buscaba solo figurar y simultáneamente que nadie pudiera criticar las cosas hechas por los supuestos expertos. Por ejemplo se inundaba con reglas y casos de derivación etc. , seguramente necesarios en física o química, pero no en economía, donde por ejemplo, solo tiene sentido el primero de los cuatro cuadrantes. Igualmente con la programación lineal Simplex (con dos páginas se reemplazó aquí profusión de textos superfluos). También se habló siempre de resolución de sistemas NxN, pero ningún texto incluyó resuelto un sistema de 4x4 ni mayor. En estos cursos se resuelven aquí casos con muchas variables, con Solver. Y con matrices mediante Excel se resuelven casos con al menos 1700 variables). Pero lo importante es que ninguna de estas aplicaciones requiere más de una hora de dedicación básica. SEGUNDA ) Para qué sirve todo esto de los métodos? , en qué cosas concretas se aplica el rigor de la ciencia económica en una empresa? Veamos algunos ejemplos de aplicación, en las cinco áreas básicas de cualquier empresa (incluida su dirección o gerencia general): Las 5 áreas se definen aquí según el ciclo empresario, (tal como por ejemplo se hacía en la siderúrgica Somisa que competía eficientemente exportando masivamente a EEUU y otros países y enfrentaba localmente la competencia de importaciones de sus productos): El ciclo anual comenzaba con el pronóstico cuantificando el mercado; luego el plan de compras de materiales (restando las existencias); luego el plan de producción (restando las existencias de semiterminados); finalmente el plan de ventas, promoción, marketing, expedición…. 550 551 Una de las tareas en 1971-1993 de quien escribe era coordinar para presentar anualmente el estudio de mercado (demanda/oferta); otra era coordinar la defensa de la “competencia”, local y de las importaciones, con pormenorizado seguimiento de precios y especialmente antidumping; así como la defensa en la competencia ante las autoridades de los EEUU y la CEE; para lo cual resultaban imprescindibles los conocimientos microeconómicos según el programa actual de la FCE-UBA. Es usual en las empresas, esta actividad en diversas áreas: 1 Ventas: por ejemplo, optimizar el beneficio (Ben= ingresos– Costos) eligiendo la mezcla óptima entre una serie de bienes, ya sea con programación lineal con Solver o con matrices para hasta 1700 variables con Excel. 2 Compras: por ejemplo minimizar el costo eligiendo la mezcla óptima entre una serie de insumos; minimizar el inventario óptimo. 3 Producción: por ejemplo producción óptima eligiendo alguna mezcla de autos y motos; optimizar rutas de envío desde varios depósitos. 4 Finanzas: por ejemplo canasta óptima de bonos o de acciones; VAN y TIR de proyectos. 5 Personal: plan rotativo de personal, vacaciones, etc. (Excel trae 5 “muestras” de aplicaciones de programación con Solver, de la gran variedad posible) Sigue esto valiendo aunque se utilice el criterio de organización de M. Hammer sobre “reingeniería” y el “gerente de producto”, o supuesto experto que conoce todo sobre un producto y reemplaza a los tradicionales gerentes (aunque si no vende suficiente se lo sustituye por otro), junto con la útil tercerización de servicios (pagos y cobros a través de depósitos en bancos; suprimir papeleo de pagos y cobros con email o internet y transferencias bancarias online; etc. y se entiende que en finanzas o contaduría la racionalizaron con las PC y Excel fue muy importante. 6 METODOS EQUIVALENTES: La inferencia estadística (inducción científica), con suficiente análisis de la varianza (anova) es el método básico para las disciplinas sociales, como la economía. También se utiliza la modelación de cualquier asunto económico 551 552 mediante el método (deductivo) de la matemática; además de procedimientos específicos diversos según los asuntos. En cuanto al método básico deductivo, interesa especialmente el proceso para modelar situaciones de máximo y/o mínimo. En la práctica las situaciones pueden implicar numerosas variables y restricciones (condiciones, que se procesan como variables adicionales). Sin embargo, la idea lógica se plantea con una variable (y una condición, ya que salvo en filosofía o matemática pura no tiene sentido hablar sobre los infinitos). Pensando en el dibujo de una onda sinusoide en un primer cuadrante, en la ordenada se mide la variable y en la abscisa las ondas durante un tiempo. Si se estudia la amplitud durante solo el primer período más un infinitésimo se puede estudiar el máximo o mínimo relativo a solo ese primer período. La variable crece al principio muy aceleradamente, llega a un punto de inflexión y luego crece menos aceleradamente, hasta que en el máximo deja de crecer y luego decrece rápidamente, hay otro punto de inflexión y pasa a decrecer más lentamente hasta llegar al mínimo (rápido o lento, proporcionalmente con la abscisa). En el punto de máximo, en el de inflexión y en el de mínimo el crecimiento infinitesimal es ahí nulo. E interesa conocer cómo cambia esta variable un infinitésimo a la derecha de estos puntos. Para ello el análisis diferencial se ubica en uno de estos puntos (de giro o cambio) haciendo la primer derivada igual a cero. Luego, volviendo a derivar esta primera derivada se observa el resultado de la segunda derivada, para saber si el punto de giro era un máximo, un mínimo o un punto de inflexión: 1ra = 0 y 2da < 0 un máximo; 1ra = 0 y 2da > 0 un mínimo; 1ra = 0 y 2da = 0 un punto de inflexión (de giro o cambio). Cuando se estudian dos variables y alguna restricción, se siguen varios procedimientos alternativos, que guardan analogía con este criterio para una variable (y una restricción). Con dos variables reales y una restricción (3 en total), como consumir o producir dos bienes dado un presupuesto, se utilizan el análisis diferencial de Gossen, Marshall o Pareto: resolver a) igual cociente utilidad marginal sobre precio del bien (o insumo) en ambos, juntamente con b) agotar el gasto del presupuesto. También según las dos condiciones de la función combinada de Lagrange. La combinada suma la función de utilidad (o producción) más la restricción de presupuesto multiplicada por una variable artificial u operador landa (también 3 en total). 552 553 Sus dos condiciones son: FOC) igualar a cero las primeras derivadas de estas 3 variables; despejar landa por igualación de dos de ellas y reemplazar en la tercera para calcular ambos bienes. SOC) formar un determinante con las derivadas segundas del sistema anterior. Si este determinante (Hessiano) es positivo indicará un máximo; si es negativo un mínimo; si fuera también nulo indicaría un punto de inflexión. Para más de dos tres variables, cambia algo este criterio según el Hessiano; pero en la práctica no se puede utilizar Lagrange sino que se recurre a Solver de Excel o matrices con Excel para los casos con muchas variables y restricciones. Excel procesa fácilmente sistemas de muchas variables, cuantificándolas y calculando también los precios sombra (remuneraciones). Los operadores “landa” de Lagrange son el valor del producto marginal (utilidad marginal), precio sombra o remuneración de cada factor, etc. que también se obtienen con programación lineal según otros procesos equivalentes. Resolver el caso de dos variables más dos restricciones es interesante, ya que permite ver la analogía entre los 5 ó 6 métodos principales. Además ilustra los procesos con Solver y con matrices mediante Excel que sirven para resolver efectivamente problemas con muchas variables. UN ATAJO SOBRE 6 METODOS EQUIVALENTES PROGRAMACIÓN LINEAL: Cualquier tema o asignatura sin algunas ideas directrices, claves o “atajos” se convierte en una dificultad (un gran Q…., haciendo referencia a la modalidad de nuestros estimados connacionales “originarios” del rio Kilombero, de Tanzania). Pues bueno, “harto me place” presentarles aquí y abreviar (bien objetivo y breve) en solo dos páginas 5 métodos que hacen a los TP 3, 4 y 7….!!!! del curso. Sea, optimizar la producción de autos y motos, maximizando el beneficio de este funcional (o F. Objetivo) Z =$2,50(X1) +$2,00(X2), … “sujeto a” estas restricciones r1 y r2: X1 X2 Autos Motos Recursos Hs.hombre 1 2 <= 8000 Hs.maquina 3 2 <= 9000 553 554 Los muy diversos planteos se simplifican utilizando para razonarlos esta presentación tipo cuadro resumen para los “coeficientes técnicos” o datos: en la cual arriba ubicamos los dos bienes y los recursos; y a la izquierda ubicamos las “restricciones” (talleres, insumos o factores productivos…( y si se quiere también podemos agregar otra línea con estos beneficios unitarios por producto $2,50 y $2,00, o bien guiarnos por el funcional). MÉTODO GRÁFICO: Se representa cada una de estas dos restricciones (lineales, a la 1er potencia) con dos puntos: r1) Hs. Hombre: X1 + 2X2 <= 8000…. Si hago X1 =0… X2= 4000 …y si X2=0….X1 =8000 (y así lo grafico) r2) Hs. Máquina: 3X1 + 2X2 <= 9000… Si hago X1=0…. X2=4500….y si X2=0… X1=3000 ( y así grafico ) Desde el origen surge un área posible con máximos en la frontera acodada (que tiene 4 puntos: el origen; X2=4000; X1=3000 y la intersección de ambas líneas…). Para saber cuál de esos 4 puntos es el optimizante, cuya mezcla genere el máximo beneficio, debemos graficar también el funcional F = 2,50(X1) + 2,00(X2). Se facilita si despejamos su ordenada: 2(x2) = F – 2,50(X2) ….. o sea, X2 = ½F - 2,50/2 (X1) en la que observamos que la pendiente es 2.5/2 ( = 1,25), o sea que por cada 1 de ordenada corresponde 1,25 de abscisa para esta familia de líneas según sea el monto F….. Si las graficamos (aquí punteadas en rojo) vemos que el codo de la frontera de posibilidades de producción (región factible) que toca a la más alta línea de beneficios F es el codo con coordenadas 500 autos y 3750 motos (el cual obtenemos igualando r1 = r2: X1 +2x2 -8000 = 3X1 + 2X2 -9000; eliminamos 2X2 en ambos miembros y surge X1 = 500 (luego obtenemos X2 = 3750 reemplazando en r1 o en r2 el valor de r1=500). Finalmente en F se reemplaza y surge F = $2,50(500) + $2,00(3750) = $8750. 554 555 SIMPLEX “MATRICIAL” . Para los sistemas NxN el proceso Simplex “matricial” consiste en ubicar una matriz unitaria (tiene solo 1 en la diagonal principal y el resto son 0) a la derecha de la de los coeficientes técnicos (no interesa que no esté completa; y equivale a completar el sistema con las variables de holgura en otra presentación algebraica del Simplex, en sus varias alternativas; vean MCE si tuvieran curiosidad); también se agrega otra columna con los términos independientes (o recursos). Luego se efectúan operaciones aritméticas elementales por línea hasta que esta matriz unitaria llegue a quedar a la izquierda (con unos en la diagonal principal y ceros abajo y arriba de ella): X1 Hs/h 1 Hs/m 3 2,5 X2 2 2 2,0 X3 1 0 0 X4 0 1 0 V.S. 8000 9000 Z Observamos en este caso que ya es 1 el elemento de la fija 1 y columna 1 (elemento 1 1) y solo falta ubicar ceros debajo de este elemento, etc.. Restando a la anterior fila 2 la fila1 por3 surge la segunda fila de la próxima tabla. Restando a la anterior fila 3 la fila 1 por 2,5 surge la tercera línea de esta próxima tabla: 1 0 0 2 -4 -3 1 -3 -2,5 0 1 0 8000 -15000 Z-20000 El próximo paso es conseguir 1 en el elemento 2 2 (multiplicando la vieja fila 2 por 1/4); luego convertiremos a cero arriba y debajo de él: a la anterior fila 1 se le suma la fila 2 por ½; y luego a la anterior fila 3 se le resta la fila 2 por ¾, según muestra la siguiente tabla. 1 0 0 1 -1/2 ¾ ½ -1/4 500 3750 555 556 0 0 -1/4 -3/4 Z-8750 Esta tabla ya muestra la solución del sistema, porque las variables reales muestran ceros en la última fila y solo quedan elementos cero o negativos en esta última fila. En la columna de los recursos quedaron las cantidades optimizantes: X1= 500 autos; X2= 3750 motos; con beneficios por $8750 ( al lado de Z quedaron -1/4 y -3/4, que indican los salarios /contribución marginal/ precio sombra / remuneración para cada restricción o factor productivo: $0,25 para el trabajo y $0,75 para maquinaria). ATAJOS: Hete aquí … que ya tenemos vistos los métodos 1º) gráfico, 2º) Simplex (matricial) y también 3º) Matrices: interesa el álgebra matricial porque lo usan las PC (procesando Determinantes por ser más fácil) y también se calcula la “matriz inversa”, que hemos visto aquí, ya que al pasar esta unitaria de la derecha a la izquierda nos quedó la “inversa” (1 / C) de los coeficientes técnicos (C) a su derecha; un 4º) método es esto mismo con Excel, usando =minversa( ; ) y =mmult( ; ) para calcular; y ahora veremos el método 5º) con Solver de Excel. SIMPLEX CON SOLVER DE EXCEL FÁBRICA DE MESAS Y SILLAS ZONDA Este otro ejemplo está planteado en una hoja Excel: y se le deben anotar las relaciones básicas, por ejemplo las fórmulas B7 = B5 por B6; C7= C5 por C6; D7 = B7 más C7; y D2 según indica la solapa, etc. Luego Herramientas >Complementos> Solver > y se abrirá este cuadro, que pide: la celda objetivo D7; las celdas cambiantes B5:C5 y 556 557 Agregar....restricciones (le orienta como agregar una a una en segundos). Finalmente Resolver y calcula en D7 la solución $37,50 del máximo beneficio, con producción de 3 mesas y 4,5 sillas en B5 y C5 (es usual trabajar con beneficios en vez de ingresos menos costos). Además al Resolver, Excel también puede ofrecer ahí 3 informes adicionales: Respuestas (con 1,5 de capacidad ociosa en el Sector B). Sensibilidad (cuánto costaría contratar una unidad más en las secciones A y C totalmente ocupadas). Límites (suponiendo alternativas). Lo importante de Solver es que procesa igual 2x2 = 4 variables que 500 variables…. Igualmente el método matricial, que con Excel procesa miles (tienen un archivo con un ejemplo de 1700 variables) ¿¿ Y el 6º método ?? Bueno, el 6º es un bosquejo rústico que utilizaron los clásicos del s.XIX y XX con papel y lápiz: Lagrange, que permitió llegar a donde estamos hoy gracias a ellos y a las PC… ( y se analiza en la clásica Unidad 5 sobre demanda). “ARCHIVO” CON 6 METODOS EQUIVALENTES (UN CASO CON 12 RESULTADOS IGUALES, ENTRE PRIMAL Y DUAL) A continuación tienen aquí resuelto en varias hojas el ejemplo del 557 558 honorable W. Baumol y/o del libro de Henderson y Quandt sobre la optimización para producir autos y motos (aunque que solo lo presentan allí con un proceso, tal como otros ejemplos en los demás libros ). Asimismo, se incluyeron aquí las seis soluciones del caso PRIMAL (máximo beneficio) y las del correspondiente DUAL (mínimo costo para esa producción dada). Al llegar a similar resultado el lector puede captar mejor la utilidad o sentido de cada método. Los seis casos de primal y sus 6 duales se presentan aquí para los métodos usuales: 1) ecuaciones diferencias usando operadores de Lagrange; 2) programación lineal método gráfico; 3) programación lineal Simplex; 4) programación con Solver de Excel; 5) matrices, manualmente; 6) matrices con funciones Excel (que son las efectivamente generalizables a miles de variables por cualquier usuario de PC desde 1995!) Interesa ver como se llega al mismo resultado en todos estos 12 casos. Además es especialmente útil resolver este ejemplo manualmente y sobre todo también con las aplicaciones Excel para Solver y para invertir y para multiplicar matrices. Al saber resolver este caso de 2x2 (cuatro variables o restricciones) y saber hacerlo con las funciones Excel se tiene abierto el camino para resolver otros casos con miles de variables. Al permitir resolver decenas y cientos de variables, Excel permitió superar efectivamente la falacia clásica sobre sistemas NxN, antes prácticamente solo retórica pura, imposible de aplicación concreta en la empresa o realidad. ¡De hecho, no existen textos con ejemplos de 4x4 ó 5x5 resueltos !. Por otra parte, algo similar ocurrió con la estimación de funciones por mínimos cuadrados (inducción), que solo fue prácticamente realista cuando Excel popularizó su ejemplo de los HELADOS con 4 variables (o más) y facilitando el análisis de la varianza (anova), para los coeficientes de correlación ajustado; el "F" de Snedecor para ver la aleatoriedad y auto correlación y el "t" de Student, sobre representatividad de cada variable independiente y en general "bondad" del ajustamiento). Planteo del problema: Se busca optimizar la producción de autos y/o motos, disponiendo de 8000 hs. Máquina y 9000 hs. Hombre. Un auto deja como beneficio $2,50 y una moto $2,00. Los insumos o coeficientes técnicos 558 559 están en el cuadro 2x2 del resumen. Cuadro resumen del ejemplo autos y motos: Requerimiento autos motos Maquina 1 2 Total requer 8000 Hombre 3 2 9000 Cant. vendida 500 3750 Ben. unitario 2.50 2.00 Total beneficio 1250 7500 capacidad 8000 9000 8750 Aproximación, recordando como derivar: Tratando de simplificar el cálculo: supongamos una función Ux. Su primer derivada será U´x;y = (o bien dU/dx,y); su derivada segunda será U``respecto a X o a Y (según a cual derivemos), es decir volvemos a derivar la primera derivada. Ejemplo: Ux=3X2, tiene como U'x=6X (se multiplica por el exponente y se baja una unidad este). Su derivada segunda es U´´x =6 (se vuelve a derivar la derivada primera) Otro ejemplo Uxy=4X2Y2, que tiene como U´x= 8XY2 (se multiplica por el exponente y se le baja una unidad a este...y acompaña lo demás igual). Asimismo, U´´y =8X2Y (se multiplica por el exponente y se le baja una unidad a este.... y acompaña lo demás sin cambios). La simbología cambia según los textos, pero es similar U´x que dU/dx 1) LAGRANGE La solución analítica diferencial, con o sin Lagrange, permite el razonamiento, pero tiene limitaciones (manuales), es para pocas variables (por esto usaremos aquí 6 métodos, llegando al mismo resultado). 559 560 Las condiciones y restricciones técnicas son: auto Moto Recurso hs. Maquina X1 2X2 <=8000 hs. Hombre 2X1 2X2 <=9000 PRIMAL La función combinada de Lagrange incluye la función de beneficio más las de dos restricciones G = 2,50 X1 + 2,00 X2 + L1(X1 + 2X2 -8000) + L2(3X1 + 2X2 9000) Lagrange prevé dos condiciones (FOC y SOC) . Usaremos aquí dos operadores, landa L1 y landa L2. 1) F.O.C.: G´1 = 0 G´2 = 0 2.5 + L1 + 3L2 = 0 2 + 2L1 + 2L2 = 0 G´3 = 0 G´4 = 0 X1 + 2X2 - 8000 = 0 3X1 + 2X2 - 9000 = 0 Con estas dos últimas se puede despejar X1 y X2 por igualación: X1 - 8000 = 3X1 - 9000 o sea, 1000 = X1…X1= 500 y según G´3 …… 500 + 2X2 -8000 = 0… o sea, 2X2 = 7500…….. X2= 3750 Con estas cantidades optimas el beneficio es: B = $2.50 (500) + $2.00 (3750) = $8750 Con precios sombra según G´1 y G´2: 2.5 + L´1 + 3L´2 = 0 multiplico por 2: 2 + 2L´1 + 2L´2 = 0 5 + 2L´1 + 6L´2 = 0 2 + 2L´1 + 2L´2 = 0 y por igualación surge 5 + 6L´2 = 2 + 2L´2 . O sea 4L´2 = -3…….. -L´2 = 0,75 y según L´1 es 2,5 + L´1 + 3(-0,75) = 0 o sea, 2,5 + L´1 - 2,25 = 0…..y -L´1 = 0,25 (remuneración de ambos factores o precios sombra) 2) S.O.C.: Si el determinante Hessiano es positivo se asegura que esta solución es óptima. El determinante Hessiano se conforma volviendo a derivar cada línea del primer sistema respecto a las cuatro variables 1, 560 561 2, 3 y 4. L´´11 L´´21 L´´31 L´´41 = L´´12 L´´22 L´´32 L´´42 L´´13 L´´23 L´´33 L´´43 L´´14 L´´24 L´´34 L´´44 o sea, H = 0 0 1 3 0 0 2 2 1 2 0 0 3 2 0 0 = 16 Calcular el Hessiano manualmente solo es práctico hasta 3 variables, pero para muchas (o miles de) variables Excel tiene la función =Mdeterm( G26;J31). (estudiamos los métodos y sus condiciones en estos casos simples con pocas variables, porque algunos son generalizables a múltiples variables utilizando Excel u otros con matrices y con programación lineal y no lineal. Kuhn-Tucker generalizaron estas condiciones para los casos de programación no lineal. En particular este otro ejemplo usual en los textos económicos, tampoco serviría como un ejemplo insumoproducto ya que su determinante de coeficientes técnicos es negativo y no satisface las condiciones Hawkins-Simon vistas) 1b ) DUAL: (el mínimo de este máximo) Este mismo caso tiene otro aspecto a considerar. Busquemos cual sería la mínima remuneración para optimizar esos recursos de 800 hs.máquina y 9000 hs.hombre, sabiendo que un auto deja $250 y una moto $ 2,00 de beneficio (es como la otra cara en una misma moneda). Para minimizar, Lagrange armó su función combinando ahora la función objetivo y agregando sus operadores "landa" multiplicando las restricciones de cumplir con el beneficio unitario en autos y en motos (usamos dos operadores landa 1 y 2 porque hay dos restricciones; además de la variables reales, ambos beneficios unitarios en este caso de minimizar) K = 8000 Y1 + 9000Y2 + h1 (Y1 + 3Y2 - 2,50) + h2 (2Y1 + 2Y2 - 2,00) (cambio las letras por K, Y1y2 imprescindible) y h1y2 pero quizás no sea Lagrange prevé dos condiciones (FOC y SOC) . Usaremos aquí dos operadores, landa 1 y landa 2. 561 562 1) F.O.C.: (al igualar a cero las derivadas primeras nos ubicamos en un "punto de giro", por analogía con una variable…) K´1= 0 8000 + h1 + 2h2 = 0 K´2= 0 9000 + 3h1 + 2h2 = 0 K´3= 0 Y1 + 3Y2 - 2,5 = 0 K´4= 0 2Y1 + 2Y2 - 2 = 0 Multiplicando la tercera por 2 y repitiendo la cuarta 2Y1 + 6Y2 - 5 = 0 2Y1 + 2Y2 - 2 = 0 por igualación surge: 6Y2 - 5 = 2Y2 - 2 o sea, 4Y2 = 3 ….Y2 = 0,75 Y según k´3 es: Y1 + 3 (0,75) - 2,5 = 0 Y1 = 0,25 remuneraciones que optimizan minimizando el costos para usar estos recursos. Min C = 8000 (0,25) + 9000 (0,75) = $8750 y según k´2: 9000 + 3h1 + 2 (-3750) = 0 -3h1 = 9000 - 7500 -h1 = 500 que en este dual seria como las cantidades "sombra" 2) S.O.C.: En los sistemas con 3 variables la segunda condición de Lagrange para el dual (mínimo) era que el Hessiano de la derivadas segundas fuese negativo (y si se buscara otro punto de inflexión debería ser H = 0…). Pero el tema cambia y se complica para sistemas con 4 o más variables; cambian los criterios y se complican mucho las reglas para los resolver determinantes mayores a 3x3. Comparando métodos se pueden ver estas limitaciones y la practicidad de cada uno, destacándose la ventaja de usar Excel para los sistemas grandes. DETERMINANTE con Excel (en E73;H73 ) H= 0 0 1 2 0 0 3 2 =16 562 563 1 2 3 2 0 0 0 0 Excel calcula fácilmente estos determinantes grandes con su función =mdeterm(E70:H73) 2 ) METODO GRAFICO - Maximización el método gráfico admite dos variables y no demasiadas restricciones (tantas como no ensucien el gráfico…). Consiste en graficar cada restricción y elegir el área interior entre el origen y la frontera de codos o soluciones alcanzables. Las soluciones posibles son aquí el origen (nada producido y solo capacidad ociosa); solo 4000 de X2; solo 3000 de X1; y el punto con 500 de X1 y 3750 de X2. Falta ahora determinar cuál de estas posibilidades genera mayor beneficio. Para esto se grafican las líneas de beneficio (la función objetivo), obteniendo una familia de líneas de isobeneficio, por ejemplo B=60000; B=30000; B=15000; etc. paralelas, con pendiente según los valores de la función objetivo. La solución se encuentra en el punto de tangencia entre la curva de beneficio más elevada con uno de los codos de la frontera de la producción factible, en este caso el punto de coordenadas (500;3750) con B=8750 563 564 Función objetivo: B = 2,5X1 + 2X2 2X2 = -2,5X1 + B X2 = -1,225X1 + B/2 (pendiente -1,25 y ordenada según valores de B) 2X2 = -X1 + 8000; X2 = -1/2X1 + 4000 (grafico: si X1=0 entonces X2=4000; igualmente, si X2=0 entonces X1=2000 ) Igualmente, 2X2 = -3X1 + 9000 X2 = -3/2X1 + 4500 (si X1=0 entonces X2= 4500; igualmente si X2=0 entonces X2=6750 ) Igualando ambas restricciones resulta -1/2X1 + 4000 = -3,/X1 + 4500, de donde surge X1=500 Reemplazando en la primer restricción X2 = -1/2 (500) +4000 = 3750 Este es el punto que coincide con la máxima línea de isobeneficio B= 2,5(500) + 2,0(37850) = $8750 2b ) DUAL - Minimización: En este mismo ejemplo será buscar el mínimo costo (remuneración) para producir esas cantidades de autos y motos utilizando los recursos disponibles El procedimiento es similar en los casos de minimización. Pero aquí 564 565 el área factible es la región superior de los costos más alejada del origen. La región inalcanzable es la cercana al origen (ya que no es posible producir estas cantidades con poco o ningún costo); el origen no es aquí una solución posible. En este dual la función objetivo permite graficar la familia de líneas de isocosto; cuanto menores sean alguna llegará a alcanzar un codo de la frontera formada por los pares de restricciones, indicando el óptimo. Según C = 8000Y1 + 9000Y2 surge Y2 = -0.89Y1 + C. 565 566 Graficando esta familia de líneas de isocosto, la más reducida será coincidente con el codo (0,25; 0,75), indicando que el mínimo costo para producir 500 autos y 3750 motos (usando todos los recursos) es Y1= 0,25 e Y2 = 0,75, la remuneración de ambos factores productivos para obtener esas producciones dadas y $8750 beneficio. Función objetivo: Min C = 8000Y1 + 9000Y2 Restricciones: que las remuneraciones permitan obtener un beneficio de $2,50 por auto y de $ 2,00 por moto: Y1 + 3Y2 = 2,50 2Y1 + 2Y2 - 2,00 Grafico los extremos de hs. hombre: si Y2=0 entonces Y= 2,50; igualmente si Y1 = 0 entonces Y2 = 2,50/3 = 0,83 Grafico los extremos de hs. Máquina: si Y2 = 0 entonces Y1 = 2/2 = 1; igualmente si Y1 = 0 entonces Y2 = 2/2 = 1 Surgen aquí 3 codos factibles, Y1=1; Y2 = 1 y la intersección ambas restricciones con coordenadas (0,25;0.75) 3 ) AUTOS y MOTOS SEGÚN SIMPLEX Función Objetivo: Max Benef. = $2,50 (X1) + $2,00 (X2) Sujeto a: X1 + 2X2 <= 8000 hs. Maquina 3X1 + 2X2 <= 9000 hs. Hombre ( y siendo X1 y X2 >=0 ) Agregando ociosidad sería: X1 + 2X2 + X3 = 8000 3X1 + 2X2 + ……….+ X4 = 9000 566 567 2,5 tabla 0: tabla 1 tabla 2 REC. 2 FO X X1 X2 X3 X4 0 X3 8000 1 2 1 0 8000 0 X4 9000 3 2 0 1 3000 -2,5 -2 0 0 V.S. 0 X3 5000 0 4/3 1 -1/3 3750 2,5 X1 3000 1 2/3 0 1/3 4500 0 -1/3 0 0,83 2 2,5 X2 3750 0 1 3/4 -1/4 X1 500 1 0 -1/2 1/2 0 0 0,25 0,75 precios sombra (todos positivos en la última fila). Max. Benef.=$2,50(500 autos)+$2.00(3750 motos) = $8750 Verificación del uso de los recursos: 1 (500) + 2 (3750) = 8000 hs. Maquina 3 (500) + 2 (3750) = 9000 hs. Hombre (sin capacidad ociosa). (ver las dos páginas con los pasos del método Simplex en el cap. 3) 567 568 3b) VERIFICACION DE LA ULTIMA TABLA SIMPLEX CON MATRICES Recursos ¾ -1/2 -1/4 8000 3750 MOTOS 1/2 9000 500 AUTOS ver fórmula y ** Estos valores difieren de los que se verán como la matriz inversa porque el orden de presentación fue alterado en el proceso quedando como motos y autos. El producto de esta tabla (matriz) por el vector de recursos tiene la fórmula: =mmult(A2:B3;D2:D3) ingresada en Excel previo pintar estas dos celdas aquí F2:F3; y con Cntrl+Shift+Enter para que Excel la aplique a ambas. 568 569 4 ) SOLUCION CON SOLVER de Excel Planteo del problema y Ayuda previa para Solver: Se busca optimizar la producción de autos y/o motos, disponiendo de 8000 hs. Máquina y 9000 hs. Hombre. Un auto deja como beneficio $2,50 y una moto $2,00. Los insumos o coeficientes técnicos están en este cuadro 2x2 del resumen. Cuadro resumen del ejemplo autos y motos: Requerimient o autos motos Total requer capacidad maquina 1 2 8000 8000 Hombre Cant. vendida Ben. unitario Total beneficio 3 500 2 9000 9000 2.50 1250 3750 2.00 7500 8750 Luego use HERRAMIENTAS / SOLVER/ ETC están prearmadas las formulas en la hoja Excel. una vez que ya O use Datos / Solver en Office 2007 ó 2010 (instálelo si no le aparece en Datos / Solver). Si no le es aquí fácil recurra a alguno de estos archivos que incluyen ejemplos con Solver Paso a Paso (en www.microeconomiaconexcel.com ) 569 570 Al pulsar la celda objetivo deberá marcar la que tiene el resultado final 8750 (D6 en esta imagen Word); tilde Máximo; en Cambiando las celdas pinte las dos que tienen 500 y 3750 (B4:C4 de la imagen Word); más abajo agregue restricciones: que el total requerido sea <= a la capacidad (D3:D4<=E3:E4 de la imagen Word); se omitieron la condiciones de no negatividad, que autos y motos no sean negativos, porque en Opciones se tildó No negativo y también adoptar el modelo lineal. Finalmente se pulsa resolver (y permite tildar tres informes auxiliares, de respuestas, sensibilidad y límites. Esta opción Solver de Excel es interesante porque permite la programación lineal, no línea, entera y binaria con poco más que tildar opciones, para 450 variables y restricciones. 5 ) MATRICES (…MANUALMENTE) El álgebra de matrices recurre a operaciones elementales. El proceso según Gauss-Jordan consiste en ubicar la matriz de los coeficientes técnicos: 1 2 3 2 a la izquierda de una matriz unitaria de similar rango. 1 0 0 1 Ya ubicado este par de matrices se tratará de pasar hacia la derecha la matriz de coeficientes mediante operaciones elementales. 1 3 2 2 1 0 (2º -1ªx3 ) el resultado aparece en el próximo par de matrices: 1 0 2 -4 1 -3 0 1 (2da / -7) el resultado aparece en el próximo par de matrices: 1 2 1 0 0 1 0,07 0,025 el resultado aparece en el próximo par de matrices: 1 0 0 1 -0,5 0,75 (1ª- 2ª x2) 0,5 -0,25 Obsérvese que la matriz unidad está ahora a la izquierda y los coeficientes fueron invertidos para pasar a la derecha. 570 571 Esta matriz inversa de los coeficientes es la necesaria para multiplicar por el vector de los recursos para obtener el resultado final. -0,5 0,75 0,5 -0,25 x 8000 9000 = El producto de esta matriz 2x2 por el vector de recursos original otro vector de 2x1 con los resultados para autos y motos -0,5(8000)+0,5(9000) 0,5(8000+0,5(9000) = 500 3750 El beneficio máximo es B = 2.50(500) + 2.00 (3750) = $8750 571 572 AYUDA: ALGEBRA MATRICIAL 1. INTERCAMBIAR FiLAS 2. MULTIPLICAR UNA FILA POR UN ESCALAR 3. SUMAR A UNA FILA OTRA POR UN ESCALAR. B 4. Producto: A11 A21 5. matriz unidad o identica, A12 A22 I = B1 por B2 A11 B1 + A12 B2 B = 1 0 0 0 1 1 A21 B1 + A22 B2 (matriz cuadrada por un vector columna da otro vector columna) tiene 1 en la diagonal principal y 0 en el resto 6. matriz inversa (ver en antes) Otra exposición sobre el álgebra matricial se planteó anteriormente en el capítulo de proyección y programación (luego de la estimación de funciones de demanda (mediante la matriz insumoproducto) y como otra alternativa a la optimización mediante la programación lineal. 572 573 6 ) MATRICES …CON EXCEL Excel trae numerosas funciones, entre ellas para calcular determinantes (=mdeterm( ; ), para invertir matrices (=minversa( ; ), para multiplicar matrices (=mmult( ; ) M.inversa Recursos Producción autos -0,5 0,5 8000 500 motos 0,75 -0,25 9000 3750 Máxima ** Producciòn A la izquierda está el resultado de invertir la matriz de coeficientes técnico iniciales. Los recurso son el dato inicial. A la derecha está el producto de la matriz inversa por el vector de los recursos. El resultado es el mismo que con los otros métodos (500 autos ; 3750 motos): Ben = 2.5 (500) + 2.0 (3750) =$8750. Sin embargo, hay que destacar la ventaja de este proceso con Excel, ya que resuelve en instantes cientos o miles de variables, superando la limitación clásica de dos variables con una o dos restricciones. La referencia ** es el atajo Excel (shortcut) Cntrl+Shift+Enter, para procesar esas fórmulas simultáneamente en todas las celdas previamente pintadas. Confirmación Insumo – Producto Distribución del Producto Ben /u 2,50 1250 2,00 7500 8750 Producto Recurso 8000 9000 Distribución del Ingreso Salarios Ingresos 0,25 2000 0,75 6750 8750 Ingreso Los 500 autos y 3750 motos por su beneficio unitario originan un producto de $8750 (en los sectores máquinas y hombres). Igualmente, las remuneraciones para máquinas y para hombres multiplicadas por la capacidad disponible genera ingresos para cada factor cuya distribución agota lo producido, $8750. 573 574 DUALIDAD: También se llega al mismo resultado con el enfoque dual de estos otros métodos. Mínimo costo para obtener esas producciones y beneficios conocidos. 3b ) MINIMIZACION CON SIMPLEX: Minimizar C = 8000(Y1 + 9000(Y2) sujeto a: Y1 + 3Y2 >= 2.50 2Y2 + 2Y2 >= 2,00 Restando dos variables ociosidad y sumando dos variables artificiales: Y1 + 3Y2 -Y3 …. 2Y1 + 2Y2…… T.0 + MY5 + .... . - Y4 …. = 2,50 ..+ MY6 = 2.00 8000 9000 FO Y REC Y1 Y2 Y3 0 Y4 Y5 Y6 V.S. M Y5 2,5 1 3 -1 0 1 0 0,83 M Y6 2 2 2 0 -1 0 1 1 3M 5M -8000 -9000 0 -M M -M 0 M 0 (positivo) T.1 9000 Y2 M Y6 0,83 1/3 1 -1/3 0 1/3 0 2,5 1/3 4/3 0 2/3 -1 -2/3 1 0,25 1,33M 0 -500 0,67M -M -3000 -1,67M 0 +3000 (positivo) T. 2 9000 Y2 0,75 0 1 -1/2 1/4 1/2 -1/4 8000 Y1 0,25 1 0 1/2 -3/4 -1/2 3/4 -500 -3750 0 0 autos ,motos -M -500 -M +3750 ( todos negativos !!) Mínimo Costo = 8000(0.25) + 9000 (0.75) = $ 8750 $maquina 0,25 $salario 0,75 574 575 4 b) Dual Minimo costo con Solver autos motos salario s Recurs Costo h maq h hom 1 3 2,5 Ben /u 2,5 2 2 2 2 0,25 0,75 8000 9000 2000 6750 8750 Ingreso En la hoja Excel debe hacerse previamente la fórmula para el costo de horas máquina y horas hombre (en este Word sería 0.25 por 8000=2000 y también 0.75 por 9000=6750. Ambas remuneraciones de factores están sumadas en la fórmula del costo total 8750 = 2000+6750. Así mismo, las remuneraciones de máquina y hombres para autos y similares para motos no deben ser mayores a los beneficios unitarios del óptimo primal: las fórmulas en la columna D en este Word multiplican 0.25 y 0.75 por el coeficiente de máquinas y hombres para autos (igualmente para motos). Estas dos celdas con fórmulas será una de las restricciones para indicar que lo distribuido como remuneraciones sea igual al beneficio producido por autos y por motos. En esta imagen del caso en Excel la celda objetivo es en este Word 8750. Las cambiantes son 0.25 y 0.75. En sujeto a las restricciones (figuran valores no negativos para ambas remuneraciones porque no se tildó en opciones No negativos). Las otras dos restricciones son para que los ingresos sean igual al producto con cada bien. 575 576 Interpretación general como Ingresos recibidos: Rec Remuner Ingre 8000 0,25 2000 para h. maquinaa 9000 0,75 6750 para h. hombre 8750 ingreso nacional 6 B ) Dual: Verificacion con matrices maquina auto moto 1 2 8000 hombre 3 2 9000 El proceso consiste en multiplicar la matriz inversa de los coeficientes del dual por el vector de los beneficio unitarios. -0,5 0,5 0,75 -0,25 0,25 0,75 por La matriz izquierda es la inversa de los coeficientes del dual -0,5 0,75 0,5 -0,25 hecha con =minversa( : ). El vector columna de la derecha es el producto de esta matriz inversa por el vector de los beneficio unitarios (2.50 y 2.00), hecho con =mmult( ; ). 0,25 0,75 Muestra que el resultado de ese producto son las remuneraciones para máquina y para hombre; compatibles con la optimización del primal y con la confirmación Insumo – Producto que ya se incluyó anteriormente. Recurso Remuneración Ingresos 8000 0,25 2000 9000 0,75 6750 8750 Ben /u Producción 2,5 2.0 500 3750 BEN TOTAL 1250 7500 8750 576 577 MODELACION MATEMÁTICA Para diseñar en las empresas la solución de las diversas situaciones problemáticas es usual esbozar el esquema resolutorio mediante expresiones matemáticas simples: este es (en términos de los creadores del álgebra hace 1200 años) “el arte de explicar LA COSA”. Pero en los casos con pocas variables la solución puede plantearse manualmente mediante diferentes métodos usuales, como operadores de LaGrange, programación lineal gráfica, simplex o con matrices. Sin embargo, el método matricial ya requiere planteos cuadrados mediante PC para casos de ocho o más variables; los operadores de LaGrange están limitados a cálculos manuales para muy pocas variables; el método gráfico es aplicable a casos de dos variables con no demasiadas restricciones y además no suministra información sobre capacidades ociosas, el método Simplex permite algunas variables y restricciones NxM y suministra información sobre capacidades ociosas, precios sombra y costos de oportunidad, pero también resulta inviable con no muchas variables. Por esto lo más práctico suele ser en general recurrir a alguna de las alternativas de presentación de Solver de Excel, como se introdujo con los ejemplos orientativos resueltos aquí anteriormente y algunos otros siguientes. CARPINTERIA Una carpintería necesita una unidad de carpintero para obtener una mesa y 6 unidades de despacho; necesita una unidad de tapizado para obtener una silla y 4 unidades de despacho. Si sus recursos son 3 unidades de carpintero, 6 de tapizado y 36 de despacho. Estas son las tres restricciones a introducir en “Sujetas a las siguientes restricciones:” (las condiciones de no negatividad de las variables y el tipo lineal de la programación se tildan en opciones): Restric /Var. Mesas Sillas Recursos R1 carpintería X1 <= 3 R2 tapicería X2 <= 6 R3 expedición 6X1 + 4X2 <= 36 (con X1 ; X2 >= 0) TELEVISORES Para un TV hace falta un bastidor, un tubo, un altavoz, un generador eléctrico y dos piezas electrónicas. Para un estéreo hace falta un bastidor, dos altavoces, un generador y una pieza electrónica. Un altavoz requiere un cono 577 578 altavoz y una pieza electrónica. Los recursos son 450 bastidores, 250 tubos de imagen, 800 conos altavoz, 450 generadores eléctricos y 600 piezas electrónicas. Estas son las 5 restricciones a introducir en “Sujetas a las siguientes restricciones:” (las condiciones de no negatividad de las variables y el tipo lineal de la programación se tildan en opciones): Restr / Var: TV Estéreo Altavoz Recursos R1 bastidores X1 + X2 <= 450 R2 tubos X1 <=250 R3 altavoz 2X1 + 2X2 + X3 <= 800 R4 generador. X1 + X2 <= 450 R5 piezas elec. 2X1 + X2 + X3 <= 600 y la condiciones de no negatividad todas de las variables >= 0 Por otra parte, la presentación en las hojas Excel permite además otras diagramaciones alternativas para el Solver, que figuran en las muestras del Office presentadas en el capítulo 1. MINIMIZACION, ENTERO - MINERA La compañía Minas Universal opera tres minas en West Virgina. El mineral de cada una se separa, antes de embarcarse, en dos grados. La capacidad diaria de producción de las minas así como sus costos diarios de operación son los del cuadro siguiente. La Universal se comprometió a entregar 54 toneladas de mineral de grado alto y 65 toneladas de mineral de grado bajo para fines de la siguiente semana. Además, tiene contratos de trabajo que garantizan a los trabajadores de las minas el pago del día completo por cada día o fracción de día que la mina esté abierta. Determínese el número de días que cada mina debería operar durante la siguiente semana, si Minas Universal ha de cumplir su compromiso a un costo total mínimo. 578 579 Sean X1, X2, X3 los días que las minas I, II y III habrán de operar durante la semana venidera. Entonces, la función objetivo será: Min C = 20X1 +22X2 +18X3 Sujeto a las restricciones: r1 La demanda de mineral de grado alto es: 4X1 +6X2 +X3 >= 54 r2 La demanda de minera de grado bajo es:4X1 +4X2 +6X3 >= 65 r3 Las minas solo pueden operar 7 días: X1<= 7 r4 X2 <= 7 r5 X3 <= 7 r6 Todas las variables son enteras, ya que los contratos laborales son por día completo o fracción. r7 Todas las variables son no negativas, ya que no puede haber número negativo de días trabajados en las minas. Con Datos / Solver/ se asigna D13 como celda objetivo a minimizar; se tilda el método lineal Simplex LP y se introducen las restricciones indicadas, surgiendo como mínimo $ 284 miles y los días indicados en el cuadro por mina. 579 580 MODELACION DE PROGRAMACION CON SOLVER COMPUTADORES Una empresa optimiza la producción de computadores para los próximos 4 trimestres, con un mínimo costo. Tiene en stock 5000, pero sus pedidos suman 7000, 15000, 10000 y 8000 respectivamente. Puede producir 10000 cuatrimestrales a un costo de $2000 o bien agregar otros 2500 a un costo de $2200. Si produce en exceso puede despacharlos posteriormente, con un costo operativo de almacenaje de $100 cuatrimestrales Modelación: en la definición de variables figuran ambos tipos de producción, normal (Xt,) otra con sobrecosto (Yt) y la producción para stock (It); durante los 4 trimestres (t = 1 : 4). El balance trimestral debe considerar lo producido más lo proveniente del stock junto con la demanda, de modo que la función objetivo será: Min C = 2000(X1 + X2 + X3 + X4) + 2200(Y1 + Y2 + Y3 + Y4) + 100( I1 + I2 + I3) Sujeto a las restricciones: 5000 + X1 + Y1 = 7000 + I1 I1 + X2 + Y2 = 15000 + I2 I2 + X3 + Y3 = 10000 + I3 I3 + X4 + Y4 = 8000 Xt <= 10000 Yt <= 2500 con X; Y; I; t >= 0 (no negativos) (o sea P29 = P31) (o sea Q29 = Q31) (o sea R29 = R31) (o sea S29 = S31) (o sea, U26 ) (o sea, U27 ) También se simplifica el problema suponiendo que no se pueden mezclar las producciones normal y de sobrecosto; y no se usa la restricción “entero” como si las unidades fuesen fraccionables (Solver permite la programación no lineal, entera, binaria con solo tildar estas opciones y presentar adecuadamente el cuadro básico de relaciones matemáticas en la hoja de cálculo de presentación básica) Un primer planteo básico con Solver, fue ubicar los costos en O26 hasta O28; las celdas cambiantes en P26 hasta S28 y la función objetivo en U30 (el cursor ubicado sobre U30 está mostrando en la imagen la minimización de la suma de costos). 580 581 En Herramientas / Solver (o Datos / Solver, según sea la versión del Office) se accede a la ventana para agregar los parámetros de Solver, según muestra la imagen: función objetivo en U30. Valor: mínimo. Cambiando las celdas P26 hasta S28. En sujeto a las restricciones se agregaron todas las de igualdad y las de <=. En opciones se tildó adoptar el modelo lineal y asumir no negativos. SOLVER EN FORMA TIPO MATRICIAL / SIMIL MATRICIAL / o PARAMATRICIAL 581 582 Otra presentación alternativa para esta misma solución mediante Solver figura en las imágenes siguientes. Los tres tipos de suministro son las variables horizontales en la línea 4 (producción normal, producción de sobrecosto; de stock); verticalmente se ven las 12 restricciones necesarias. Los costos están en la línea 17 y el suministro óptimo (celdas cambiantes) figura en la línea 18 (también se anotaron como celdas cambiantes al ejecutar Solver, según la imagen inferior) Las restricciones tienen el tope indicado en la columna P, que se compara con el suministro que figura en la columna N como “=sumaproducto” (N5 hasta N17; en dos tramos, según la forma de los signos = y <= de la imagen inferior) En opciones también se tildó adoptar el modelo lineal y asumir no negativos. Al momento de ejecutar la optimización se puede seleccionar (sombrear) la presentación de informes ( de respuestas, sensibilidad y límites) REFINERIA AZTECA La Refinería Azteca vende nafta Regular a $12 y Extra a $14 por barril, que elabora mediante las siguientes relaciones técnicas. 582 583 ¿Qué cantidad de petróleo nacional e importado se deberá refinar para maximizar el Beneficio? Sean: X1 = barriles de petróleo nacional para nafta Regular X2 = barriles de petróleo importado para nafta Extra X3= barriles de petróleo nacional para nafta Regular X4= barriles de petróleo importador para nafta Extra Ingreso total por nafta Regular = $12(X1+X2). Ingreso total por nafta Extra = $14(X3+X4). Costo nacional por nafta Regular = $8(X1+X3). Costo importado por nafta Extra =$15(X2+X4). Se trata de maximizar el beneficio, definido como ingresos menos costos: $Ben = 12(X1 + X2) + 14(X3 + X4) - 8(X1 + X3) -15(X2 + X4) Simplificando, el programa queda como: Max Ben = 4X1 -3X2 +6X3 -X4 Sujeto a las restricciones: X1 + X3 <= 40000 (disponibilidad petróleo nacional) X2 + X4 <= 60000 (disponibilidad petróleo importado) X1 + X2 >= 50000 (requerimiento mínima de Regular) X1 + X2 <=100000 (demanda máxima de Regular) X3 + X4 >= 5000 (requerimiento mínimo de Extra) X3 + X4 <= 20000 (demanda máxima de Extra) Si la restricción de octanaje debe ser 87(X1/X1+X2) + 98(X2/X1+X2) >=88% en nafta Regular, pasando 88 al lado izquierdo y simplificando surge X1 -10X2 <= 0 (octanaje mínimo nafta Regular) 6X3 - 5X4 <= 0 (asimismo con la restricción de octanaje nafta Extra) Si la restricción de presión debe ser 25X1 /X1+X3 + 15X3 /X1+X3 <= 23, pasando 23 al lado izquierdo y simplificando surge 2X1 - 8X2 <= 0 (restricción presión vapor Regular) 2X3 - 8X4 <=0 (igualmente con la restricción presión vapor Extra) Y como restricción final, todas las variables no negativas. 583 584 En una hoja Excel se anotan los coeficientes y las restricciones ordenadamente, incluyendo los coeficientes del funcional; e insertando una columna F5:F15 para efectuar las sumas producto como se indica para F7. Finalmente se abre la macro con Datos / Solver, para indicarle las celdas y las opciones: celda objetivo F15; se tilda maximizar; cambiando las celdas B16:E16; e insertando las restricciones y sus signos ordenadamente, una a una o bien agrupando conjuntos con similar sentido de desigualdad. Al ejecutar el resultado aparece en la celda F15: máximo beneficio por $125000; incluyendo en la fila 16 las cantidades de 35000 de nafta Regular, 15000 de nafta Extra; se consume todo el petróleo importado y sobran 5000 del nacional. (antes de ejecutar pueden solicitarse los informes usuales sobre respuestas, sensibilidad y límites) 584 585 (de Investigación Operativa –R. Bronson, Ed. Schaum-McGraw-Hill y con Excel 2010 o anteriores) MODELACION DEL EQUILIBRIO EMPRESARIO (Y ”GENERAL”) OMAN: COMUNIDAD DE PESCADORES Y CAZADORES Érase una vez una comunidad de pescadores y cazadores que contaba con 1000 hombres y 1500 mujeres. Como era conocido, para pescar se formaba un equipo de dos mujeres y un hombre para obtener una unidad de pescado, mientras que para la caza los equipos eran constituidos por un miembro de cada sexo, obteniendo una unidad de caza por equipo. La producción era comprada por los mercaderes a razón de $1,70 y $ 1,00 por unidad respectivamente el pescado y las presas. 585 586 Era una comunidad muy competitiva. Los miembros de cada grupo sexual tenían igual remuneración (aunque podría diferir entre sexos) y el beneficio era desconocido entre ellos. Se le debe al gran Omán la industrialización de los productos de la caza y de la pesca, quien logró de los mercados un precio unitario por unidad de producto procesado de $2 y$2,20 para la caza y la pesca respectivamente; y quien enseñó cómo se procedía a elaborar los productos primarios con la sola participación de un miembro de la comunidad sin distinción de sexo por unidad de producto procesado. La historia cuenta que Omán fue brutalmente asesinado por uno de los grupos comunitarios. ¿Puede ud. deducir por quién? (ayuda: la distribución relativa del ingreso de la comunidad era un bien social muy preciado) RESPUESTAS Las incursiones de la macroeconomía en la microeconomía tiene dos fundamentos: uno de ellos es que las empresas operan bajo el entorno de las políticas económicas (generalmente cambiantes) que condicionan sus circunstancias de operación y optimización fundamentalmente (análisis del equilibrio general). El segundo fundamento es que la adaptación de los recursos escasos a la satisfacción de necesidades y/o producción múltiples y alternativas requiere un preciso método de programación (que en la teoría neoclásica también se le decía modelación). La modelación (programación) neoclásica inglesa y norteamericana del siglo XIX y XX se limitó a casos de 1, 2, 3 ó 4 variables. El resultado fue una simplificación artificiosa, que precisó un conjunto de principios, demasiado limitado y no aplicable a la realidad de la actividad concreta de las empresas (algunos economistas criticaron a esta teoría microeconómica como una mera retórica pura, por impracticable efectivamente en la empresa). Sin embargo, el desarrollo de la técnica computaciones a fines del XX, especialmente con aplicaciones de Excel, permitió generalizar la modelación de casos elementales de 2x2 variables a cientos de ellas con Solver y a miles de variables utilizando matrices de Excel, con misma simplicidad que en los casos de 2x2 (es esta una de las refutaciones a la microeconomía clásica neoliberal que se demuestra en Microeconomía con Excel.pdf) Este caso se resuelve con los 6 métodos usuales de programación líneas gráfica, Lagrange, Simplex, matrices, Solver y matrices Excel. Pero se señala como salvedad que el Office presenta varias alternativas para el Solver y en el caso de la última aquí planteada, debe aclararse que deja a cargo del usuario el ingenio intuitivo de complementación de la macro Solver con las ingeniosas operaciones aritméticas que cada uno pueda realizar en la hoja de cálculo básica de trabajo. 586 587 1) Programación lineal método gráfico 2) Diferenciación según la función combinada de Lagrange, con dos operadores auxiliares 587 588 3) Matriz inversa En otras páginas se desarrolló el proceso de inversión manual de una matriz (solo posible hasta 4 variables, trasladando la matriz unitaria de derecha a izquierda mediante operaciones elementales por línea). Por este motivo se omite aquí y se expone la más práctica solución utilizando las funciones de Excel, =minversa( ; ); =mmult( ; ) e =mdeterm( ; ), que son idénticas tanto para 2x2 como para miles de variables. También se agrega el método de determinantes, que suelen utilizar todos los utilitarios computacionales para resolver sistemas (tal como se explica breves párrafos para cada uno en Microeconomía con Excel.pdf) La imagen muestra la matriz inversa con Excel: el cursor fue ubicado en la celda C11 para mostrar la fórmula para la matriz inversa (ejecutando con Ctrl +Shift +Enter); y en G1;G12 se aclara la forma de multiplicar la matriz inversa por los recursos para obtener el resulta X=500 e Y=500.. 588 589 Por otra parte, la resolución por determinantes manualmente o con Excel y los demás programas computacionales consiste en reemplazar los términos independientes por la variable a calcular y efectuar el cociente que se indica en G22 y G26. 4) Programación lineal Simplex (tablas manuales) En otras dos páginas se explicó el método Simplex paso a paso, por lo cual desarrollamos aquí el caso sin mayores explicaciones. En la última tabla figuran los resultados: 500 de X y 500 de Y; también figuran los precios sombra o remuneraciones de cada factor productivo: $0,70 y $0,30; así como el valor total de la producción $1350. 589 590 Al utilizar computadores para la aplicación práctica real en las empresa es necesario siempre, contrastar los resultados mediante otros métodos u equipos. En este caso incluimos la simple verificación matricial, con similares producciones optimizantes: 500 de X y 500 de Y (en Microeconomía con Excel hay al menos otros 10 programas de computación, cada uno explicado en pocos párrafos; y pueden bajarse libremente en la web) 5) Programación lineal con Solver de Excel Abandonando las limitaciones neoclásicas de solo hasta cuatro variables, Solver permite resolver optimizando con cientos de variables con este mismo procedimiento para 2x2. 590 591 En Herramientas (o en Datos, según sea la versión del Office) se puede abrir la macro Solver: se le indica la celda objetivo D12; las cambiantes B10yC10; y sujeto a las restricciones indicadas arriba. En opciones se tilda Adaptar modelo lineal y No negativos. 591 592 Obviamente, primero fue necesario escribir en las celdas B12 y C12 las fórmulas del precio por cantidad y luego sumarlas en D12. Igualmente, hay limitaciones de no superar las disponibilidades, entonces, lo que se utilice de mujeres para caza más mujeres para pesca debe figurar como fórmula en E8 (e igual para hombres en E9) Al resolver se obtiene los valores de las variables que maximizan (el primal de este problema, de optimización /programación / modelación). 6) PROBLEMA DUAL: MINIMIZACION DE ESTOS COSTOS 592 593 Es el mismo problema, pero se plantea al revés, suponiendo que no se conocen las remuneraciones para mujeres y hombres y el resultado muestra, lo que ya se había obtenido como precios sombra con el primal (y con el Simplex manualmente, para solo 2x2) 7) ¿QUIEN FUE EL ASESINO? 593 594 Las modificaciones que introdujo Omán fueron cambiar la venta de productos como industrializados (con coeficientes 1 y 1 en cada sexo) y cambiar los precios, ahora 2,20 pescado y 2,00 caza. A la programación con Solver se le agrega una columna para Industria y en los requerimientos de la columna F48:F49 se suman los industriales a los previos de pesca y caza. En las filas 55 y 56 se comparan los ingresos anteriores con los actuales por sexo, observando que los de hombres aumentaron 62% mientras que las de mujeres solo 51%; esto induciría a pensar en una asesina. (Recuerde que estas imágenes se pueden ver mayores y leer, eligiendo con el zoom de Ver o Vista) 8) PROGRAMACION LINEAL -OTRA FORMA DE SOLVER Otro formato para aplicar la macro Solver es este (figura incluido entre las 5 “muestras” que trae el Office). Aquí, las reglas de presentación en la propia hoja de cálculo (para las fórmulas y poder indicarle las celdas operativas a Solver) dependen de la intuición (adaptándose a la modalidad de la macro Solver, por ejemplo al multiplicar matrices por vectores columna; utilizar funciones como =sumaproducto( ; ); =mmult(B2:G6;J11:J16); =trasponer(K11:K23) ...), etc tantas otras de Excel que nos convenga según el problema) En Este caso para aplicar =sumaproducto(B2:G7;K11:K16) manteniendo pintado todo H2:H7 se escribe esta fórmula y para que se aplique a todo K11 a K16 finalmente se pulsa Ctrl + Shift + Enter. 594 595 SOLVER MATRICIAL También se le indica a Solver que la solución no implique más que los recursos disponibles, incluyendo en Sujetas a las siguientes restricciones: J2:H6<=i2:i6; etc En esta forma de modelación se acumula la ventaja de implementar múltiples variables con la de construir las relaciones de la hoja de cálculo utilizando tantas otras funciones de Excel como requiera un problema. Pero, no hay en el Office ni en Excel una ley de formación fija para esta presentación en filas y columnas. Es necesario cierta práctica y razonamiento por aproximaciones sucesivas con el planteo de esos coeficientes 1 en estas filas y columnas (mediante prueba y error) hasta lograr la coherencia del modelo (y comprobarlo mediante alguno de los otros utilitarios que se explican en Microeconomía con Excel.pdf). 595 596 Desde otro punto de vista, si por ejemplo se expandiera este modelo con importaciones y exportaciones habría que agregar cuatro columnas luego de G (imp pesca; imp caza; exp pesca; exp caza). También agregar 4 líneas en J17 con estos nombres. Quedaría un sistema de 10x10: multiplicar una matriz cuadrada de 10 coeficientes por un vector columna de 10 filas, cuyo resultado sería una columna con 10 filas. En Opciones se tildan las usuales comentadas; y al resolver se seleccionan los informes de Respuestas, Sensibilidad y Límites para ver los precios sombra y demás relaciones necesarias, por ejemplo para el modelo de insumo producto de Letonia, con salarios, precios, cantidades, uso de factores. Modificando los precios y las condiciones teóricas se implementan modelos de simulación de la oferta y demanda globales, usuales para el pronóstico de ventas o demanda; y problemas de equilibrio general tipo Walrasiano, que no son viables con la modelación Simplex, pero facilita Solver (con las limitaciones de cada caso, como ser funciones lineales, relaciones de cambio tipo TMS constantes, factores con productividad homogénea, gustos constantes y condiciones de intercambios según el modelo competitivo etc, en la medida que Solver también permite programación no lineal, entera y binaria seleccionando o tildando opciones. VARIAS FORMAS DE SOLVER 596 597 Se han expresado aquí varias formas de planteos con Solver: se presentaron los tres modos normales, según Parámetros de Solver, para máximos, mínimos y su modo “valores de…”, junto con su modo “paramatricial”; equivalentes y su vez alternativos a los modos de planteo según el método Simplex estándar/canónico y/o al planteo según el “Simplex matricial”; y/o también alternativos a las soluciones mediante matrices. 597 598 CAPITULO 16 DECISION / INCERTIDUMBRE CUATRO CONTEXTOS EN EL ANALISIS Y TOMA DE DECISIONES INFLUENCIA DE LA INCERTIDUMBRE ANTE DISPONIBILIDAD DE "INFORMACIÓN IMPERFECTA" EN LAS DECISIONES ECONOMICAS: Las clasificaciones de los capítulos microeconómicos son variadas, pero se suelen encarar cuatro contextos para encuadrar el análisis científico en sus variados campos, incluido el económico y la correspondiente toma de decisiones con ellos: 1) la certidumbre determinista, 2) el riesgo aleatorio probabilístico medible, 3) el riesgo en un contexto hostil ante conflicto con oponentes, teoría de los juegos (como para duopolio) optimizables; y 4) la incertidumbre ante lo desconocido (estructurada y no ergódica, más recientes. Los análisis económicos, tanto con los modelos concretamente aplicados a la realidad de la empresa o del consumidor (así como con los modelos abstractos, sin relación con las características de la realidad práctica) se pueden entonces plantear como abarcados bajo estos cuatro contextos diferentes: 1. Bajo certidumbre: con consecuencia determinísticas; cuando se conocen todas las características y antecedentes del problema; existe una relación directa entre causa y efecto y los modelos generan soluciones óptimas invariantes: maximización y minimización en la empresa, con una, pocas y optimización con muchas variables (programación líneal y álgebra de matrices). 2. Contexto aleatorio: con consecuencias solo probables; cuando se conoce el problema en forma incompleta y no se conoce con certeza el resultado o las posibles soluciones; se utilizan modelos matemáticos; modelos con probabilidades tanto objetivas según hechos concretos, como subjetivas, dependientes de opiniones y juicios personales (estimación de funciones por correlación múltiple, con anova; muestreo; etc.). 3. Contexto hostil: con consecuencias influidas por el oponente; cuando hay decisiones bajo conflicto con algún oponente, en las que se desconocen los resultados de los eventos porque están influidas por lo que decida el oponente, que tiene intereses opuestos (teoría de los juegos estratégicos, vectoriales, dinámicos, cooperativos, repetidos, etc.). 4. Contexto incierto: con consecuencias desconocidas; en situaciones cuando se dispone de información incompleta para la toma de decisiones; 598 599 aunque se pueden reconocer alternativas de solución, no se les puede asignar probabilidades. Antes del siglo XX los análisis científicos eran preferentemente deterministas; además de la lógica binaria matemática solo se incluían situaciones mayormente bajo el análisis de probabilidades (casos favorables sobre posibles de Bayes y principios de razón insuficiente de Laplace o 50 y 50% o 1/n posibilidades); y durante el siglo XX se desarrollaron otros enfoques diferentes para el razonamiento lógico y para la metodología de las disciplinas, que fueron abarcando los conceptos y las situaciones no incluidas este análisis anterior. Entonces, las metodologías de análisis (y sus decisiones) están adaptadas al tipo de contexto en que ocurre el planteo o problemas. Cuando se considera razonable que se puede predecir el comportamiento económico con precisión se adoptan decisiones con procesos bajo un contexto cierto, como en los casos de la optimización. Otras veces la información disponible es incompleta, pero basándose en estudios y datos preexistentes se conocen las posibles alternativas adoptándose ciertas probabilidades objetivas de ocurrencia, como también en los análisis para la estimación de funciones por correlación múltiple con Anova. Por otra parte, la toma de decisiones bajo contexto hostil ocurre cuando un agente enfrenta a un oponente, que se esfuerza en conseguir para si el mejor resultado posible, perdiéndolo aquel si este lo consigue, como en la teoría de los diferentes tipos de juegos. Las decisiones (métodos) existen bajo todo o cualquier contexto; pero el contexto incierto es solo uno de los marcos en que se estudian aquellas: descartado el contexto cierto, el incierto se diferencia del aleatorio y de los juegos: es cuando se desconocen aspectos importantes, que hacen inviable el análisis bajo el concepto tradicional de probabilidad porque no se sabe que ocurrirá. Ante estas contingencias las decisiones pueden surgir influidas por alguna determinada actitud personal frente al riesgo (existen diferentes criterios de valuación), pero igualmente deben ser racionalmente o científicamente determinadas u optimizantes. Por otra parte, otros análisis recientes también presentan casos bajo tipos de incertidumbre no estructurada según alguna coherente modalidad racional o ergódicos sino erráticos (urna dePólya, curva logística de Lorenz, matemática fuzzy de Zadeh). TEORIA DE LA DECISION EL concepto de teoría de la decisión hace referencia a la consideración de los diferentes métodos que en materia económica se utilizaron para analiza y resolver cualquier tipo de cuestión, ya sea en una forma científica o de otra manera: en definitiva, métodos. 599 600 Nada mejor que un recuento de las referencias a este término decisión haciendo un seguimiento por esta palabra mediante” Cntrl + F”: se puede observar una reseña del avance del conocimientos, desde la geometría y matemáticas euclidiana y su presentación sincopada en letras o símbolos de Diofanto hacia el álgebra actual; la geometría analítica con los ejes “cartesianos”; la optimización con una variable según los cuatro “puntos de giro” de Cournot, la presentación paretiana para dos variables (muy importante en el s.XX mientras en la ciencia todavía no se descartaba esa peligrosa pretensión de un equilibrio general y el conocimientos todavía se limitaba a las demostraciones con papel y lápiz), pasando por nuevos enfoques, como el del Códice V de Alfonso X el Sabio fundando el ajedrez, hasta la programación computacional, las lógicas polivalentes como la teoría de los juegos y la SEU de von Neumann-Saavage; y las decisiones no racionales como el “satisficingsuficcing” de H. Simon, o las decisiones a “dedo” de Selten y otros enfoques con racionalidad no estructurada tradicionalmente. En este libro se fueron presentando estas ideas a través de la consideración de la toma de decisiones bajo cuatro contextos o entornos básicos: contexto cierto, aleatorio, hostil e incierto. Bajo el contexto cierto se presenta la optimización matemática, con una variable según el equilibrio de Cournot, con dos variables según Pareto, con la función combinada de Lagrange para 3 ó 4 variables, la programación lineal Simplex para pocas variables, con Solver para cientos de variables y con matrices de Excel para miles de variables. El contexto aleatorio según el análisis de Laplace y Bayes, incluye los métodos de estimación de funciones por correlación múltiple con Anova; también la toma de decisiones según grandes y pequeñas muestras. El contexto hostil siguiendo los enfoques de la SEU y la teoría de los juegos de von Neuman, Morguenstern, Nash, Wald, Saavage, etc. El contexto incierto, con los enfoques basados en ”asimetrías” entre principal y agentes y especialmente ante una disponibilidad de” información”, cuya asimetría origina la necesidad de buscar mecanismos para la normalización en los mercados, especialmente en los no convencionalmente estructurados; Hurwicz, Maskin, Mayerson, la teoría de los contratos: la moral hazard o decisiones ante el riego de que la contraparte sea fraudulenta; la selección adversa debida a una “señalización” engañosa; las subastas; la teoría de la negociación. Nuevos enfoques sobre decisión ante casos de incertidumbre con racionalidades diferentes incluso a la SEU, según R. Selten o H. Simon; y también procesos de tipo no ergódico, como la urna de Pólya, la función logística de Lorenz o la matemática fuzzy. En este análisis de la evolución de los métodos se destacó preferentemente la optimización multiobjetivo / multicriterio, que en siglo pasado ya se enfocaba con numerosos algoritmos pero solo simbólicamente o en forma manual muy limitada; y que en las últimas décadas alcanzó gran desarrollo computacional efectivamente práctico, con profusión de aplicaciones individuales (cientos o miles) y decenas de “paquetes”, como los software aquí presentados (Excel, WinsQsb, SPSS, Matlab, etc). 600 601 ELECCIONES RACIONALES, COMPORTAMIENTO NO EGOISTA, LIMITACIONES CONGNITIVAS Y NUEVOS ENFOQUES La teoría microeconómica clásica complementada con los enfoques modernos (econometría, investigación operativa, teoría juegos matemáticos y la SEU, recientes aportes sociológicos y otros enfoques actuales) continúa siendo la base científica de la optimización de la empresa y de las decisiones de las demás unidades económicas. Ninguna de estas modernas disciplinas o enfoques adicionales reemplaza a la microeconomía convencional y por el contrario, todos requieren o funcionan a partir de los cálculos cuantitativos clásicos. RACIONALIDAD Además, la elección racional del consumidor y del productor según Gary Becker depende mayormente de evaluaciones económicas, (en The Economic Approach to Human Behavior, The University of Chicago Press, 1976) y va más allá del comportamiento en los mercados. Las decisiones abarcan mucho más que lo atendido por los mercados normalmente estructurados; y si bien la importancia del altruismo y de otros comportamientos no egoístas, como la elección a dedo, el “sufficing” o la incapacidad corriente para efectuar optimizaciones, así como las limitaciones cognitivas de las personas, también están presentes en muchos actos corrientes; no obstante, para la toma de decisiones en general es preponderante la evaluación de los pros y de las contras mediante el análisis económico convencional y nuevas metodologías. Sus investigaciones abarcan a la “economía extravagante o rara” (freakonomics): y concluyen en que en alguna medida, todas las actividades se vinculan con lo económico, tanto sea la evaluación sobre constituir una familia (o separarla) como también cuestiones con matices macroeconómicos, como su sugerencia de establecer una tasa de 50.000 dólares por visa para solucionar el exceso de inmigrantes en EEUU, limitándolos a solo un millón. La teoría clásica era algo como una ciencia encuentro de diversas disciplinas (liberalismos, utilitarismo, historicismo, marxismo, monetarismo, etc) y había recibido antes aportes de disciplinas complementarias no necesariamente matemáticas, como ser de las de la propia escuela sicológicoutilitaria o también la idea institucional biológica de la evolución, que había planteado T.Veblen para justificar la tendencia a la concentración de los mercados. La teoría de
