Guión 2 Medida del campo magnético terrestre

Prácticas de Electromagnetismo
Curso 2015/16
Dpto. de Física
Aplicada ETSII – UPM
Guión práctica 2.- Medida del campo magnético
terrestre.
Coordinador:
Dª Sara Lauzurica Santiago
Profesores:
D. Miguel Castro Baeza
D. Juan Antonio Porro González
Dª Sara Lauzurica Santiago
Autores:
D. Alconchel Pecino, Francisco.
Dª Gámez Mejia, Berta.
Dª Gámez Mejia, Mª Linarejos.
Práctica 21: Medida del campo magnético
terrestre
Objeto de la práctica
El campo magnético de la tierra apunta en la dirección norte-sur y, en nuestra latitud, forma unos
60 con la horizontal. Esta misma dirección es la que adquiere una barra imantada cuando se cuelga
mediante un hilo por su centro de gravedad. Desplazando un poco el punto de suspensión se logra que
el eje del imán permanezca paralelo a la horizontal. En estas condiciones, si se separa un ángulo θ de
la dirección norte-sur, las oscilaciones que realiza el imán dependen de la componente horizontal del
campo magnético terrestre. El objeto de la práctica es medir esta componente mediante el estudio
de aquellas oscilaciones.
o
Fundamento teórico
La magnitud que caracteriza a un imán cilı́ndrico es su magnetización. Esta magnetización multiplicada por el volumen del imán nos proporciona su momento magnético m,
~ que es un vector paralelo
al eje del imán. Este parámetro es el adecuado para estudiar la dinámica del imán sumergido en un
~ pues si θ es el ángulo que forman estos vectores, la energı́a potencial
camo magnético uniforme B,
magnética es
Ep = −mB cos θ
(1)
Entonces, si se suspende el imán mediante un hilo de forma que quede en posición horizontal
describiendo pequeñas oscilaciones en torno a la dirección norte-sur, la energı́a de este movimiento
periódico es la suma de las energı́as cinética y potencial, esto es
1
E = Jw2 − mBt cos θ
2
donde
ω=
dθ
dt
(2)
(3)
es la velocidad angular de las oscilaciones, y
1
M L2
(4)
12
es el momento de inercia del imán, M su masa, L su longitud y Bt la componente horizontal del
campo magnético terrestre. Derivando (2) con respecto al tiempo, la conservación de la energı́a nos
permite escribir
dE
1
dω
dθ
= 0 ⇒ J2ω
+ mBt sin θ
=0
(5)
dt
2
dt
dt
J=
1
o lo que es lo mismo
d2 θ mBt
sin θ = 0
(6)
+
dt2
J
Para pequeñas oscilaciones (6) permite obtener el periodo del movimiento armónico simple correspondiente
s
r
J
M L2
= 2π
(7)
Tt = 2π
mBt
12mBt
De (7) podemos despejar la componente horizontal del campo magnético terrestre
Bt =
π 2 M L2
3mTt2
(8)
Como los parámetros M , L y m del imán son desconocidos, lo que se hace es introducir el imán
en el campo magnético creado por unas bobinas de Helmholtz, como las mostradas en la figura 1.
Figura 1: Bobinas circulares de Helmholtz con su fuente de alimentación. También se muestra una
brújula testigo de campo alineada en la dirección del eje de las bobinas
El eje de las bobinas se sitúa paralelo al campo magnético terrestre. Entonces podemos volver a
aplicar el mismo razonamiento que lleva a la fórmula (8), pero donde ahora el campo total será la
suma del terrestre Bt más el de las bobinas de Helmholtz Bh , esto es
π 2 M L2
3mTh2
Bt + Bh =
(9)
donde Th es el periodo de las oscilaciones del imán situado en el centro de las bobinas, como se indica
en la figura 2. El campo que crean las bobinas de Helmholtz viene dado por
Bh =
8µ0 N I
(10)
3
52 R
siendo
−7
µ0 = 4π · 10
2
N
A2
(11)
Figura 2: Oscilaciones del imán situado en el centro de las bobinas
la permeabilidad magnética del vacı́o
N = 154
(12)
el número de espiras de las bobinas, I la intensidad de corriente que las recorre y R su radio, que es
igual a la distancia que las separa.
Dividiendo (9) por (8) y eliminando los parámetros del imán se tiene que
2
Tt
Bt + Bh
=
(13)
Bt
Th
Finalmente de (13) podemos encontrar ya la componente horizontal del campo magnético terrestre
Bt = Tt
Th
Bh
2
(14)
−1
Ası́ pues, midiendo los respectivos periodos de las pequeñas oscilaciones Tt y Th en el campo magnético
terrestre y en las bobinas de Helmholtz, podemos, usando (14), calcular la componente horizontal
del campo magnético terrestre Bt .
Descripción del instrumental
A continuación se da una lista de los instrumentos necesarios para realizar la práctica.
Un par de bobinas de Helmholtz circulares
Una fuente de alimentación
Un amperı́metro
3
Cables de conexión
Una brújula
Un cronómetro
Un imán cilı́ndrico
Un pie cónico-pass
Una doble nuez-pass
Una varilla cuadrada de 1630 milı́metros
Una varilla cuadrada de 400 milı́metros
Hilo de coser
Una regla
Montaje
A continuación se indican los pasos a seguir para realizar el montaje del instrumental.
Se conectan las bobinas de Helmholtz a la fuente de alimentación sin encenderla todavı́a.
Usando la brújula se coloca el eje de las bobinas paralelo a la dirección norte-sur, de forma que
el campo magnético que genera la corriente eléctrica apunte hacia el norte.
Se intercala en serie el amperı́metro en el circuito, de forma que mida la corriente que circula
por las bobinas.
Con el pie cónico se coloca la varilla de 1630 milı́metros en posición vertical.
Con la doble nuez se coloca la varilla de 400 milı́metros en posición horizontal sujeta a la varilla
de 1630 milı́metros.
Con hilo de coser se cuelga el imán cilı́ndrico del extremo de la varilla horizontal, de forma que
permanezca en posición horizontal y aproximadamente a la altura del centro de las bobinas de
Helmholtz.
Se posiciona el imán en el centro de las bobinas de Helmholtz.
Realización y observaciones
A continuación se indican los pasos a seguir para realizar las medidas.
Sin encender aún la fuente de alimentación, se separa el imán de su posición de equilibrio un
ángulo θ pequeño, de forma que realice oscilaciones en un plano horizontal.
4
Con el cronómetro se mide el tiempo que tarda el imán en realizar 10 oscilaciones sometido
solamente al campo magnético terrestre. De esta medida se obtiene el periodo Tt de una sola
oscilación.
Se enciende la fuente de alimentación y se selecciona una corriente I comprendida entre 0.1 y
0.3 amperios.
Con el cronómetro se mide el tiempo que tarda el imán en realizar 10 oscilaciones pequeñas
sometido ahora al campo magnético terrestre y también al campo que crean las bobinas de
Helmholtz. De esta medida se obtiene el periodo Th de una sola oscilación.
Con el amperı́metro se mide la intensidad I que se ha impuesto.
Se apaga la fuente de alimentación y con la regla se mide la distancia R que hay entre las
bobinas de Helmholtz, que es igual a su radio.
Resultado de las medidas
A continuación se indica el orden para realizar los cálculos.
Introduciendo los valores medidos de R e I en la fórmula (10) se calcula Bh .
Introduciendo Bh y las medidas obtenidas de los periodos Tt y Th en la fórmula (14) se calcula
finalmente la componente horizontal del campo magnético terrestre Bt .
Ley de propagación de incertidumbres
Cuando se hace una medida indirecta de una magnitud y (x1 , x2 , x3 ...) que depende de las medidas
directas de otras magnitudes independientes x1 , x2 , x3 ..., la incertidumbre uy se obtiene mediante la
ley de propagación de incertidumbres
s
2
2
2
∂y
∂y
∂y
2
2
uy =
·u +
·u +
· u2 ...
(15)
∂x1 0 1
∂x2 0 2
∂x3 0 3
donde u1 , u2 , u3 ... son las incertidumbres de las medidas de x1 , x2 , x3 ... y el subı́ndice 0 indica que
las derivadas hay que calcularlas en los valores medidos.
Ejercicios
Ejercicio 1
Calcular la incertidumbre en la medida de Bh . Para R e I tomar como incertidumbres
uR = 0, 5 (cm)
(16)
uI = 0, 01 (A)
(17)
5
Ejercicio 2
Calcular la incertidumbre en la medida de Bt . Para Th y Tt tomar la misma incertidumbre
uT = 0, 1 (s)
(18)
Cuestión
Imagı́nese que debido a alguna catástrofe natural desapareciera el campo magnético de la Tierra.
¿Tendrı́a este fenómeno alguna repercusión para la vida en el planeta? Explicar por qué.
6