ELO 313 - Guía #1: Señales y Sistemas

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ELO 313 - Guía #1: Señales y Sistemas
Procesamiento Digital de Señales con Aplicaciónes - 2012
Profesor: Matías Zañartu, Ph.D.
1. Considere un sistema tipo caja negra con entrada x[n] y salida y[n], como en la
figura 1. Suponga que este sistema es lineal e invariante en el tiempo con respuesta
a impulso h[n] = δ[n].
x[n]
y[n]
Sistema
Figura 1: Caja negra
a. Encuentre una expresión para la Dtft Y (ω) de la salida en términos de la Dtft
X(ω) de la entrada
Ahora considere al sistema de la caja negra descrito por la relación y[n] = (−1)n x[n]
b. ¿Es lineal este sistema?
c. ¿Es invariante en el tiempo?
d. Encuentre la respuesta a impulso para este sistema.
e. Repita el punto 1a para este nuevo sistema.
2. Encuentre la convolución entre las señales rect(t) y δ(2t − 1).
3. La señal x(t) = cos(2π5000t) + 21 cos(2π104 t) es muestreada a 15 [KHz]. Encuentre
y esboce la Dtft de esta señal.
4. Considere la señal continua x(t) con la Ctft X(f ) mostrada en la figura 2. Suponga
que se muestrea esta señal según el criterio de Nyquist a 8 [kHz] para generar la
señal de tiempo discreto x[n]. Diseñe un sistema para bajar el muestreo al 75 % de su
valor inicial. La salida de este sistema debe ser una señal y[n] tal que su muestreo
es a 6 [kHz]. Este diseño debe evitar efectos de aliasing en la salida (puede ser
necesario truncar las frecuencias altas).
a. Bosqueje el diagrama de bloques de su sistma mostrando los parametros necesarios de cada bloque requerido.
b. Bosqueje el espectro de la señal a la salida de cada uno de los pasos de su diseño.
5. Considere el sistema con entrada x[n] y salida y[n] definido por la relación
y[n] =
n+5
X
x[i]
i=n−5
Pruebe si es que cada una de las siguientes propiedades se cumple o no:
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Figura 2: Transformada en tiempo continuo para x(t)
a. Linearidad
b. Invarianza temporal
c. Causalidad
d. Estabilidad
6. Considere el sistema lineal e invariante en el tiempo definido por la ecuación de
diferencias
y[n] = x[n] − x[n − 2] − y[n − 1]
a. Encuentre una expresión simple para la respuesta en frecuencia H(ω) del sistema.
b. Bosqueje la magnitud |H(ω)|, etiquetando apropiadamente los ejes.
c. Bosqueje la fase ∠H(ω), etiquetando apropiadamente los ejes.
7. La señal x[n] = cos(2πn/3) se coloca como entrada a un filtro digital cuya magnitud
y fase están dados en las figuras 3a y 3b, respectivamente. Encuentre la salida de
este sistema.
8. Considere el sistema en tiempo discreto dado por el diagrama de la figura 4a, cuya
respuesta en frecuencia está en la figura 4b. A este sistema ingresa una señal x[n]
cuyo espectro se muestra en la figura 4c. Bosqueje, etiquetando adecuadamente los
ejes, los espectros de las señales a la salida de cada una de las etapas del sistema,
es decir, U (ω), V (ω) e Y (ω).
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|H(ω)|
1
1
3
0
ω
π
2π
3
2π
4π
3
(a) Magnitud de H(ω)
X(ω)
π
2
π
3
0
π
2π
3
− π3
− π2
ω
2π
4π
3
(b) Fase de H(ω)
Figura 3: Respuesta en frecuencia del filtro para la pregunta 7
x[n]
3↑
u[n]
H(ω)
v[n]
3↓
y[n]
(a) Diagrama de bloques del sistema
H(ω)
1
0
π
3
π
ω
5π
3
2π
(b) Respuesta en frecuencia del filtro
X(ω)
1
0
π
ω
2π
(c) Espectro de x[n]
Figura 4: Entrada y sistema para la pregunta 8.
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