Tercera Comunicación del Primer Nivel

Tercera Comunicación del Primer Nivel
Llegamos a la última comunicación con los participantes de la Olimpíada, y por
ello quisiéramos hacer notar algunas cuestiones que consideramos
fundamentales.
Hoy en día, a nadie se le escapa pensar que la Matemática se ha constituido en
un poderoso instrumento de comunicación. Es por ello que una “buena formación
matemática” contribuirá claramente a analizar y comprender distintas
situaciones, organizar de manera conveniente la información que nos
proporciona el medio, describir de manera eficiente distintos fenómenos de
diferentes áreas del conocimiento, generalizar procedimientos que permitan la
construcción de las soluciones a las problemáticas con las que nos enfrentamos,
etc. Evidentemente esas y muchas otras pueden ser las metas que nos fijamos
los docentes que enseñamos Matemática, pero estamos convencidos que a
través de la resolución de problemas y el trabajo colaborativo se pueden
alcanzar importantes resultados, no debiendo invertirse un gran esfuerzo para
ello, pero si recoger inmensas satisfacciones.
Un capítulo aparte merecen para su tratamiento los medios tecnológicos que
cada día ocupan un lugar más importante en el aula de clase. Utilizarlos y
extraer de ellos el máximo provecho deberá ser uno de los desafíos a abordar
en el futuro inmediato. Entre el crecimiento de la tecnología, la abundancia de
la información y la velocidad que adquieren los medios para comunicarnos, nos
exigen realizar un continuo análisis de las variables y de las distintas relaciones
que se ponen en juego entre ellas, así como ejercitan nuestra capacidad de
interpretación y selección del material adecuado para utilizarlo en nuestro
provecho.
Poder modelizar un fenómeno y reconocer las relaciones entre las variables que
lo definen, ser capaz de sistematizar esa información y representarla de
manera adecuada, contribuirá a una real y efectiva comunicación de los
resultados que se obtienen del análisis del mismo.
Ahora los problemas:
1) Dos atletas, Agustín y Benicio, salen simultáneamente del mismo lugar y
recorren durante una hora una pista en sentidos opuestos. Si Agustín la recorre
en 60 segundos y Benicio en 75 segundos, ¿cuántas veces se cruzan durante la
hora de práctica?
2) En el dibujo se muestran cuatro círculos tangentes cuyos radios son de 1cm y
los centros coinciden con los vértices de un cuadrado. ¿Cuánto valdrá la región
coloreada?
3) Determinar el valor que debe tener el producto entre los números x e y para que
x  3 1372
5  y 1372 sea un número racional, sabiendo que x e y también son números
racionales.
4) Según una teoría, el efecto más benéfico de un ejercicio como trotar, se obtiene
cuando el ritmo pulsatorio se mantiene dentro de cierto intervalo. Los extremos del
mismo se obtienen multiplicando el número (220 edad) en años, por los
coeficientes 0,70 y 0,85. Determinar el intervalo del ritmo cardiaco “ideal” para tres
trotadores, uno de 30 años, otro de 40 años y otro de 57 años. ¿Qué edad tendrá
un trotador curso ritmo pulsatorio ideal está dado por el intervalo [153,3; 186,15]?
Analizar la respuesta.
5) ¿Cuánto suman las potencias enteras de 2 comprendidas entre 50 y 5000?
6) En un triángulo rectángulo uno de los catetos mide 2a y el otro mide a 2 -1.
Suponiendo que a > 1, ¿cuánto mide la hipotenusa? Contestar: ¿por qué se debe
suponer que a > 1?
7) Un señor llegó hasta un puente ferroviario y empezó a correr por él. Cuando
había recorrido 3/8 del puente, oyó el silbato de un tren. En forma mental calculó:
si retrocedo llegaré al extremo del puente justo en el momento en que esté
entrando el tren, si avanzo llegaré al otro extremo del puente al mismo tiempo que
el tren. Sabiendo que este señor estaba corriendo a 10km/h, y que tanto
retrocediendo o avanzando conservaría esa velocidad promedio, se pide calcular
la velocidad que llevaba el tren.
8) ¿Qué condición ha de cumplir un número para que al restarle la suma de sus
cifras el resultado sea múltiplo de 9?
9) El producto de cuatro números enteros positivos consecutivos es 3.024.
¿Cuáles son estos números?
10) Una pista para desarrollar distintas actividades atléticas tiene la forma y las
longitudes dadas en la siguiente figura.
Si cada uno de los cruces de las líneas punteadas que forman ángulos de 90°,
¿cuál es el área total de la pista?
11) Silvia debe colocar sobre los guiones de los espacios vacíos 2 _ _ 8 dos
dígitos de manera tal que el número de 4 dígitos, que se forma de esa manera,
sea múltiplo de 3. ¿Cuántas posibilidades tiene Silvia para elegir esos dígitos?
12) Se llaman “números primos gemelos” a un par de números primos cuya
diferencia es 2. Por ejemplo 11 y 13 son primos gemelos, pues 13 – 11 = 2.
¿Qué números primos gemelos se encuentran entre 100 y 150?
13) El consumo de combustible de una empresa (en miles de litros) y los índices
de precios del combustible en seis años han sido:
Año
2006
2007
2008
2009
2010
2011
Consumo
(en Índice de precios por
miles de litros)
litro (base 2009, se
considera el 100%)
60
91%
70
93%
75
95%
78
100%
80
114%
85
120%
Si se sabe que el precio del combustible era de $5,20 en el año 2011, se pide
calcular el gasto total (en pesos) en combustible por año, y el gasto promedio a lo
largo de los 6 años señalados.
14) ¿Qué relación guarda el número de oro con su cuadrado?
15) De un conjunto de nueve números sabemos que el promedio de los cinco
primeros es 16 y el promedio de los cuatros último es 25, ¿cuál es el promedio de
los nueve números?
Respuestas:
1) 108
2) Aproximadamente 0,86cm2
3) 15
4) [133; 161,5], [126; 153], [114,1; 138,55]
Con un1 año, seguro que no va a estar trotando
5) 8128
6) a2 + 1
7) 16km/h
8) Ninguna condición particular, así como se enuncia siempre es divisible por 9
9) 6, 7, 8 y 9
10) Aproximadamente 2714,16m2
11) 33
12) 101 y 103, 107 y 109, 137 y 139
13) Aproximadamente:
2006
236418
2007
281883
2008
308513
2009
337740
2010
394896
2011
442000
Promedio $333575
14) La diferencia entre el cuadrado y el número de oro es 1.
15) 20