Algunas consideraciones sobre los fundamentos del cálculo

Algunas consideraciones sobre los fundamentos del cálculo
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eseconomía , vol. ix, 41, segundo semestre de 2014, pp. 129-138
Algunas consideraciones sobre
los fundamentos del cálculo
(Recibido: marzo 2014/Aprobado: agosto 2014)
José Ramos Poutuo*
Resumen. El presente trabajo va dirigido fundamentalmente a profesores
de matemáticas de nivel superior, el objetivo del mismo es exponer algunas
ideas acerca de la construcción del número real y las categorías del infinito.
No es posible comprender a cabalidad los conceptos de límite, continuidad, derivada, integral sin tener una plena comprensión del concepto de
números reales. Se destacan tres maneras diferentes aunque muy parecidas
de definir el número irracional.
Palabras clave: cálculo, números naturales.
Clasificación JEL: C02.
Abstract. This work is aimed primarily at teachers of mathematics higher
level, the objective is to present some ideas about the construction of the actual number and categories of infinity. It is not possible to fully understand
the concepts of limit, continuity, drift, comprehensive without having a full
understanding of the concept of real numbers. Highlights three different
but very similar ways to define irrational number.
Keywords: calculus, natural number.
JEL classification: C02.
*
Profesor en la Sección de estudios de Posgrado e Investigación de la Escuela Superior de Economía del
Instituto Politécnico Nacional.
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José Ramos Poutuo
1. Introducción
Los conceptos básicos del cálculo diferencial e integral se sustentan en el
concepto de número real.
El presente trabajo expone de manera simplificada las teorías más importantes sobre la construcción del número real base de la sustentación de
las ideas fundamentales del cálculo diferencial e integral. No es posible entender los conceptos de límite, continuidad, derivada e integral sin tener
claro el concepto de número real.
Así podemos decir que el cálculo diferencial tiene como objetivo básico
medir la tasa de variación entre dos variables continuas para un valor determinado de la variable independiente (derivada de una función en un
punto). Si esta relación entre variables continuas mide espacio tiempo, entonces la derivada mide la velocidad.
Desde el punto de vista geométrico se interpreta como la pendiente de
la curva en un punto dado. En las ciencias económicas se utilizan las derivadas para medir categorías marginales (ingreso, costo marginal). La integral definida cuya aplicaciones más conocida es la medición del área bajo
una curva en un intervalo dado. Tanto la derivada como la integral definida
tienen en común el concepto de limite funcional.
Los números reales
Una construcción intuitiva pero no formal del concepto de número real se
basa en la sucesivas ampliaciones del campo numérico para extender las
operaciones aritméticas inversas a la suma, multiplicación, extracciones de
raíces.
Los números naturales
Se representan por N (1,2 ,3……..N). Surgen como una abstracción de la
mente humana para facilitar la operación del conteo. Contar los elementos
de un conjunto finito es ponerlos en correspondencia biunívoca con una
parte finita de los números naturales, en este caso cada elemento tiene un
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número de orden (ordinal del elemento), la cantidad de elementos designa
el cardinal que en el caso de conjuntos finitos se corresponde con el ordinal del
último.
Podemos definir la suma de dos números naturales como el cardinal que
resulta del conteo de la unión de dos conjuntos disjuntos con n y m elementos respectivamente (m + n). Para la operación inversa a la suma (resta)
podemos verificar que no siempre es posible realizar esta operación y obtener un número natural, así por ejemplo no podemos restarle 4 al 3 pues el
resultado no es un numero natural. Esta dificultad se resuelve ampliando el
campo numérico a los números enteros.
Se denotan con la letra Z e incluyen el cero y los enteros negativos Z=1.1,2 -2, 3,-3……. Estos números representan magnitudes susceptibles a ser
agrupadas en dos categorías siendo el cero el número que las separa.
Tanto los números naturales como los enteros y en general los números
reales se pueden representar geométricamente por puntos de una recta denominada eje de los números reales.
Para cada número entero su opuesto (el número asociado al punto simétrico con respecto al cero en el eje real) hace posible la resta de dos números
enteros, la operación de restar se reduce a sumar el opuesto o sea 3-(-3) = 3 +
opuesto (-3) = 6 de esta manera el conjunto Z es cerrado para las operaciones
de suma y resta.
De manera similar se introducen los números fraccionarios para hacer
posible la operación de dividir excepto cuando el denominador sea cero.
Con los números fraccionarios y enteros tenemos una nueva ampliación
del campo numérico a los números racionales (Q) que se definen como el
cociente de dos enteros primos relativos (su máximo común divisor la unidad) y diferente de cero el denominador o se x€Q si x = p/q mcd (p,q) = 1 (fracción irreducible).
Entre los números racionales y los puntos de la recta existe una correspondencia unívoca. Recta (a cada número racional corresponde un punto de
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la recta) veremos más adelante que esta correspondencia no es biunívoca
(unívoca en ambos sentidos).
Los números racionales tienen las siguientes propiedades:
• propiedad
• conjunto denso
Entre dos números racionales por pequeños que sean podemos encontrar otro número racional (por ejemplo, la media aritmética) a≤(a+b)/2≤b.
O sea entre dos números racionales podemos obtener infinitos número
racionales en forma reiterativa. Comprendidos entre dos números racionales. A esta propiedad de los números racionales se expresa diciendo que
forman un conjunto denso.
Sin embargo existen otro tipo de números (irracionales) que no pueden
ser expresados como el cociente de dos enteros primos relativos como es el
caso de √2 (demostración el tomo del libro calculo, T Apóstol).
Geométricamente esto significa que la diagonal y el lado del cuadrado
unitario son magnitudes inconmensurables (no es posible medir exactamente la diagonal del cuadrado tomando el lado como unidad de medida).
A diferencia de los números racionales cuyo desarrollo decimal es
periódico (es posible saber siempre la cifra siguiente) los números irracionales no siguen este patrón de comportamiento, así √2=1,4142, no existe una
periodicidad en su desarrollo decimal.
Como podemos observar existen puntos de la recta cuya representación
geométrica no es un número racional, entonces se hace necesario que para
poder efectuar la extracción de raíces pares de números racionales no negativos es necesario ampliar el campo de los números racionales con la introducción de los números irracionales obteniendo así el conjunto de números
reales (R). De esta manera es posible el establecimiento de una correspondencia biunívoca entre R y los puntos de la recta o sea a cada número real
(racional o no) le corresponde un punto de la recta y viceversa.
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Para hacer posible la extracción de raíces pares de números negativo se
introducen los números complejos, cuya representación geométrica son los
puntos del plano complejo (a+bI).
2. Formalización del concepto de número real
En la formalización del concepto de número real el principal obstáculo es la
definición de número irracional, para la formalización del número irracional existen varias teorías, consideraremos las siguientes.
a) Como sucesiones convergentes de números racionales (Cantor).
b) Como cortadura de Dedekind.
c) Intervalos encajados.
Axioma del extremo superior
a) sucesiones convergentes de números racionales
Una forma de definir el número irracional como sucesiones convergentes de
números racionales. Así por ejemplo l constante de Euler se puede definir
como el límite de la sucesión
Es posible demostrar que la sucesión anterior es convergente y su límite
es la constante de Euler (número irracional cuya aproximación hasta la cuarta
cifra es 2.4142…).
En resumen, todo número real (racional o no) se puede expresar como el
límite de sucesiones convergentes de números racionales.
b) Cortadura de Dedekind
Durante el siglo xix se desarrollaron entre otras teorías para la formalización
del número irracional la llamada cortadura de Richaard Dedekind.
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Consideremos los siguientes subconjuntos de números racionales.
A=x€Q tal que x2<2 B=x€Q tal que x2>2
Estos dos conjuntos son disjuntos por lo que.
El origen común a la semirrecta que los separa no pertenece a A ni a B entonces podemos asumir que el número representado por este origen común
es precisamente √2.
Dedekind demostró que sólo existe un número que satisface la siguiente
propiedad definido como A∩B en este caso √2.
A = x€Q si X2 ≤ 2 B=x€Q si X2>2
De esta manera podemos introducir el concepto de número irracional
como una cortadura de Dedekind.
Una cortadura de Dedekind es un par(A, B) de dos conjuntos cuya intersección A∩B no es el conjunto vacío y su unión son los números racionales.
c) Intervalos encajados
Es posible la formalización del número real mediante el procedimiento
de intervalos encajados. Como se detalla a continuación.
Sean {I1, I2,...} subconjuntos con las siguientes características:
1. Cada uno de los conjuntos Ik es un intervalo (abierto o cerrado o semi
abierto).
2. Se cumple que !k "!, I k+1 # I k , esto es, cada intervalo Ik está contenido
en el anterior.
3. Se tiene que, si los extremos de cada intervalo Ik son ak y bk , entonces,
lim ( bk # ak ) = 0 , esto es, los intervalos se hacen cada vez más pequen!"
ños y terminan siendo de longitud menor a cualquier cantidad positiva.
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La pregunta que surge ante una familia de intervalos encajonados {I1, I2,...}
es saber si existen números reales que pertenezcan a todos los elementos de
esta familia, es decir, saber si el conjunto:
" I es vacío o no.
k!!
k
Si se trata de una familia de intervalos encajados cerrados es posible demostrar que sólo existe un punto que pertenece a todos los intervalos. Este
principio se conoce como teorema de Cantor. De esta manera podemos definir
un número real como la intersección de una familia de intervalos encajados
cerrados
Axioma del extremo superior
En el tomo I del libro de cálculo de T Apóstol se describe una construcción del número real partiendo de tres grupos de axiomas:
• de cuerpo o campo
• de orden
• del extremo superior
También es posible formalizar el concepto de número real a través del
axioma del extremo superior.
Este axioma establece la existencia del extremo superior (cota superior
mínima) para subconjuntos no vacíos de números reales acotados superiormente o su equivalente para subconjuntos acotados inferiormente de
números reales (en este caso el extremo inferior o cota inferior máxima).
Este axioma no es válido para los números racionales como lo muestra
el siguiente ejemplo
A = x !Q si X 2 " 2 Ente este caso el extremo superior es √2 que no es un número racional.
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2.1. Las categorías del infinito
Uno de los conceptos más paradójicos cuya evolución siempre ha presentado un reto para el intelecto humano es precisamente el concepto de infinito. Por lo general entendemos por infinito algo ilimitado e imposible de
alcanzar o contar. Esta noción ha sido fuente de grandes confusiones desde
la época de los griegos quienes trataron de entender el infinito a partir de la
idea de la intuición del sentido común la cual está influenciada por la concepción del mundo finito lo que condujo a conclusiones paradójicas.
Posteriormente Aristones distingue entre dos tipos:
De infinito: infinito potencial como un proceso de crecimiento ilimitado
como es el caso de los números naturales tienen esta categoría pues por
grande que sea un numero natural, existe otro mayor o siguiente según uno
de los axiomas de Piano para definir los números naturales o como un proceso de subdivisiones ilimitadas como es el caso de la división de un
segmento a la mitad (por pequeño que éste sea siempre existe otro más
pequeño con la mitad de la longitud del anterior (este proceso nos conduce a la famosa paradoja de Zenon) en esta modalidad del infinito su base
es la reiteración o recursividad interminable a diferencia de la consideración
del infinito como un todo infinito potencial ejemplo el conjunto de todos
los segmentos que se obtienen al subdividir un segmento de recta por un
número infinito de puntos, a estos segmentos cuyas longitudes se aproximan a cero lo llamamos infinitesimales.
2.2. La cardinalidad de los conjuntos
Al efectuar la operación de contar (poner en correspondencia los elementos de
un conjunto con el conjunto de números naturales ocurre que si dicho conjunto
es finito entonces el número de elementos del mismo cardinal y el orden de su
último elemento (ordinal) coinciden, no así en el caso de conjuntos infinitos.
Será entonces posible contar los conjuntos que tienen infinitos número de
elementos. Si extrapolamos la operación de contar como el mecanismo que
pone en correspondencia biunívoca los elementos de dos conjuntos entonces
podemos establecer una correspondencia biunívoca entre números pares
y números naturales.
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Dado el conjunto N (números naturales) y el conjunto P (número pares
positivos) podemos poner en correspondencia biunívoca ambos conjuntos.
1 2 3 4 5 6 7 …, n …
2 4 6 8 10 12 0 … 2n …
entonces podemos afirmar que hay tantos números pares como números
naturales lo cual parece ser paradójico pues los números pares positivos
forman un subconjunto propio o parte de N.
Fue precisamente el célebre matemático alemán George Cantor quien se
percato que tal contradicción no existe sino más bien es una propiedad que
caracteriza a los conjuntos infinitos de la categoría del numerable (todos
los conjuntos que puedan parearse con los números naturales reciben el
nombre de infinito numerable). Todos los conjuntos del infinito numerable
tales como los números enteros, los racionales, los naturales etc. tienen esta
propiedad que los caracteriza.
Podemos aceptar como definición de infinito numerable como aquellos
conjuntos infinitos que se pueden poner en correspondencia biunívoca con
subconjuntos propios no finitos. Este concepto es la base para la definición
de los conceptos de sucesiones y variable discreta. Todos los conjuntos con
esta categoría tienen la cardinalidad (l infinito numerable).
Cantor demostró que existen otros conjuntos cuya cardinalidad es mayor
a la del infinito numerable como por ejemplo los números reales comprendidos en el intervalo abierto entre cero y uno. Cantor demostró que tal conjunto escapa a cualquier tipo de ordenamiento. A estos conjuntos se le asigna la
cardinalidad del infinito continuo y son la fundamentación de la definición
de variables continuas.
2.3. Números transfinitos
Para designar los diferentes tipos de categorías del infinito utilizamos los
números transfinitos como a continuación se detalla.
ℵ0, alef-0. Primer cardinal transfinito para designar los conjuntos de
categorías del infinito numerable.
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c = 2ℵ0: es el cardinal del continuo, el número cardinal de los puntos de
una recta o de los números reales.
La hipótesis del continuo
No es posible ni refutar ni demostrar la existencia de conjuntos con cardinalidad mayor a ℵ0 , alef-0 y menor aℵ2 .
3. Conclusiones
En la formalización del concepto de número real el principal problema
es la definición de número irracional. En este trabajo se expusieron las
ideas de cómo formalizar el número irracional partiendo de los números
irracionales utilizando las cortaduras de Dedekind, límites de sucesiones
de números racionales, de intervalos encajados de números racionales y
axioma del extremo superior.
Acerca del concepto del infinito se expusieron las ideas fundamentales reconsiderando dos tipos de infinitos: el infinito potencial como algo posible
de alcanzar mediante la recursividad de determinados procedimientos y el
infinito actual como ya dado. Se mostraron que no todos los infinitos tiene
el mismo tamaño. Se presentaron de manera somera los números transfinitos para denotar la cardinalidad de los distintos conjuntos infinitos. La
comprensión cabal de la teoría de los números reales y su formalización
son las bases del cálculo integral y diferencial.
Referencias
Apostol, J. (1972). “Cálculo con funciones de una variable, Tomo I y II”, editorial, Reverte. Barcelona.
Ramos, José (2010). “Reflexiones sobre el proceso de Enseñanza Aprendizaje de las Matemáticas”, Revista Universitaria Tiempo Económico, núm. 4,
primer cuatrimestre, 2010.
“números Transfinitos”. Boletín universidad Palermo, 2005 2006.