PROYECTO 4 - Hypatia CUCEI

SEMINARIO DE SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE MÉTODOS MATEMÁTICOS II 1
PROYECTO 4
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PROBLEMA 10
Tema: Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden
I. Ecología
En un bosque ocurre el depósito natural de basura, tal como hojas y ramas caídas,
animales muertos, etcétera. Sea 𝐴 = 𝐴(𝑡) la cantidad de basura presente en el tiempo 𝑡,
donde 𝐴(𝑡) se expresa en gramos por metro cuadrado y 𝑡 está en años. Suponga que no
hay basura en 𝑡 = 0. Suponga que:
a) La basura cae al suelo continuamente a razón constante de 200 gramos por metro
cuadrado cada año.
b) La basura acumulada se descompone continuamente a razón del 50% de la
cantidad presente por año.
La diferencia de las dos tasas es la razón de cambio de la cantidad presente de
basura con respecto al tiempo:
tasa de cambio de la
basura presente
=
tasa de caída
al suelo
̶
tasa de
descomposición
1. Modele el problema anterior utilizando una ecuación diferencial ordinaria.
2. Resuelva la ecuación diferencial obtenida, con solución dada en forma explícita.
3. Determine la cantidad de basura por metro cuadrado después de un año.
II. Tiempo de un asesinato
Se cometió un homicidio y la policía descubrió el cuerpo de la víctima a las 4:15 a.m. En
ese momento la temperatura del cadáver era de 28 °𝐶. Una hora después su temperatura
era de 20 °𝐶. Después de consultar con la oficina meteorológica, se determinó que la
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temperatura en el lugar del crimen era de −10 °𝐶 desde las 11:00 p.m. hasta las 6:00 a.m.
¿A qué hora ocurrió el asesinato?
PROBLEMA 11
Tema: Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden
I. Salto en paracaídas
La caída de un paracaidista viene descrita por la ecuación diferencial
𝑤 𝑑2𝑦
𝑑𝑦
−𝑘
=𝑤
2
𝑔 𝑑𝑡
𝑑𝑡
donde 𝑤 es el peso del paracaidista, y su altura en el instante 𝑡, 𝑔 la aceleración de la
gravedad, y 𝑘 la constante de amortiguamiento del paracaídas. Si el paracaídas se abre a
2000 pies, 𝑦(0) = 2000, y en ese instante la velocidad es 𝑦 ′ (0) = −100 pies/s, para un
paracaidista que pese 160 libras, usando 𝑘 = 8
a) Obtén la ecuación diferencial con los valores dados.
b) Clasifica la ecuación diferencial según su orden y linealidad.
c) Con las condiciones iniciales dadas, verificar que la solución de esa ecuación
diferencial es
𝑦 = 1.950 + 50𝑒 −1.6𝑡 − 20𝑡
II. Cadena cayendo
Un segmento de una cadena uniforme de 8 pies de longitud está enredado holgadamente
alrededor de una clavija situada a la orilla de una plataforma horizontal elevado, y la parte
restante de la cadena cuelga en reposo sobre la orilla de la plataforma. Vea la Figura 1.
Asuma que la longitud de la cadena colgante es de 3 pies, que la cadena pesa 2 lb/ft, y que
la dirección positiva es hacia abajo. En 𝑡 = 0 segundos, el peso de la porción colgante
ocasiona que sobre la plataforma la cadena se desenrolle suavemente y caiga hacia el
piso. Si 𝑥(𝑡) denota la longitud de la cadena colgante que sobresale de la plataforma en el
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momento 𝑡 > 0, entonces su velocidad es 𝑣 =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
. Cuando se ignoran todas las fuerzas
resistivas, es posible demostrar que un modelo matemático que relaciona a 𝑣 con 𝑥 está
dado por
𝑥𝑣
𝑑𝑣
+ 𝑣 2 = 32𝑥
𝑑𝑥
a) Resuelva la ecuación diferencial para 𝑣 en términos de 𝑥, encuentre una solución
explícita 𝑣(𝑥).
b) Determine la velocidad a la cual la cadena abandona la plataforma.
Figura 1 Cadena desenrollándose
III. Pandeo de una columna delgada vertical
En el siglo 𝑋𝑉𝐼𝐼, Leonhard Euler fue uno de los primeros matemáticos en estudiar un
problema de valores en la frontera cuando analizó cómo una delgada columna elástica se
pandeaba bajo una fuerza axial compresiva.
Considere una columna vertical larga y delgada de corte transversal uniforme y longitud 𝐿.
Digamos que 𝑦(𝑥) denota la deflexión de la columna cuando una fuerza, o carga, vertical
compresiva 𝑃 se aplica a su parte superior, como indica la Figura 2. Al comparar los
momentos de flexión en cualquier punto a lo largo de la columna obtenemos
𝑑2 𝑦
𝑑2 𝑦
𝐸𝐼 𝑑𝑥 2 = −𝑃𝑦 O 𝐸𝐼 𝑑𝑥 2 + 𝑃𝑦 = 0
donde 𝐸 es el módulo de Young de la elasticidad e 𝐼 es el momento de inercia de un corte
transversal en relación con la línea vertical a través de su centroide.
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La carga de Euler. Encontrar la deflexión de una delgada columna homogénea vertical de
longitud 𝐿 sujeta a una carga axial constante 𝑃 si la columna está articulada en ambos
extremos.
Figura 2 Columna elástica pandeándose bajo una fuerza compresiva