2.4 Función cuadrática

1
2.4 Función cuadrática
La función cuadrática como caso particular de la función polinomial.
Matemáticamente, la función cuadrática se define como sigue:
f: R  R tal que f(x) = ax2 + bx + c
donde a, b, c, x  R
a  0, es llamado coeficiente cuadrático,
a, b, c son constantes.
EJEMPLO:
1. Grafica f(x) = 2x2 – 2x – 4
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
f(x)
20
8
0
-4
-4
0
8
20
P(x, f(x)
(-3, 20)
(-2, 8)
(-1, 0)
(10, -4)
(1. -4)
(2, 0)
(3, 8)
(4, 20)
y
20
10
x
–10
–5
5
10
La gráfica de una función cuadrática resulta ser una parábola. La función del
ejemplo en cuestión no es inyectiva, ya que si tomamos dos elementos del dominio,
digamos x = -1 y x = 2 tienen la misma imagen (f(x) = 0). En consecuencia, la función f(x)
= 2x2 – 2x – 4 no es biyectiva. En general, ninguna función cuadrática es biyectiva.
 Dominio y rango de la función
El dominio y rango de toda función cuadrática es el conjunto de números reales, pero en
nuestro caso particular f(x) = 2x2 – 2x – 4, el rango sólo corresponderá al subconjunto de
9 
9
números reales mayores o iguales a  ;  y    ; por tanto,
4 
4
9
C = {y  R | y   }
4
 Imagen del dominio de la función
El punto más bajo (más alto) de la parábola se obtiene evaluando la función cuadrática en
b
x
2a
2
1 9
El punto más bajo de la parábola tiene como coordenadas  ,   . Esto significa que a
2 4
9
cada número real x del dominio se asocia un número real y mayor o igual que  .
4
I. EJERCICIOS PARA RESOLVER :
I) Graficar en hojas cuadriculadas las siguientes funciones cuadráticas y obtener su dominio
y rango de la función.
a) f1(x) = x2 + 1
b) f2(x) = -x2 + 1
c) f3(x) = x2 – 1
d) f4(x) = -x2 – 1
Gráfica y parámetros
En un mismo plano coordenado, grafiquemos las siguientes funciones:
f1(x) = 2x2 + 1
f2(x) = -2x2 + 1
El coeficiente cuadrático determina
si la gráfica abre hacia arriba o
hacia abajo. Abrirá hacia arriba
cuando a>0 (en tal caso se dice que
la curva es cóncava hacia arriba),
abrirá hacia abajo si a<0 (y se
dice que es cóncava hacia abajo).
En nuestro ejemplo, f1(x) y abre
hacia arriba pues su coeficiente
cuadrático es positivo (a1=2), f2(x)
es cóncava hacia abajo, por ser el
a2<0.
y
f1(x)
8
6
4
2
x
–10
–5
5
10
–2
f2(x)
–4
–6
Por otro lado, grafiquemos
F1(x) = 2x2 + 1
y
f3(x) =
1 2
x 1
2
Observemos que el coeficiente
cuadrático permite que la gráfica se
aleje más rápido del eje Y cuando
éste pertenece al intervalo cerrado
[-1,1] como en f3(x) y lo haga de
manera lenta si / a / > 1, como en
f1(x).
Ahora, el parámetro c indica el
punto de intersección de la gráfica
con el eje Y, en nuestro caso, c=1,
así las gráficas en cuestión cortan al
eje Y en el punto de coordenadas
(0, 1).
f3(x)
y
12
f1(x)
10
8
6
4
2
x
–10
–5
5
–2
10
3
El punto máximo o mínimo de una función recibe el nombre de vértice de la parábola y sus
 b 4ac  b 2 
coordenadas son:  ,
 En nuestro caso, el punto mínimo de nuestras funciones
4a 
 2a
es en ambos casos (0, 1).
II. EJERCICIOS PARA RESOLVER :
Realiza un análisis de cada una de las siguientes funciones, indicando cuál es el punto
máximo o mínimo, la concavidad y los puntos donde la gráfica corta al eje de las x.
a) f(x) = 2x2 + 9x + 4
b) f(x) = x2 + 3x – 4
c) f(x) = 4x2 + 19x – 5
d) f(x) = x2 - 4x + 3
e) f(x) = x2 - 3x + 21
f) f(x) = x2 + 7x + 12
2
g) f(x) = x + 5x + 6
h) f(x) = (x – 2)(x + 8)
i) f(x) = (2x + 1)(x + 1)
Problemas sencillos de máximos y mínimos.
*Modelos cuadráticos.
Teorema del valor máximo o mínimo en una función cuadrática
 b 
Si f(x) = ax2 + bx + c, donde a  0, entonces f    será:
 2a 
a) un máximo si a < 0
b) un mínimo si a > 0
Ejemplo:
1. Un proyectil se dispara verticalmente hacia arriba, desde una altura de 600 m sobre el
piso. Su altura en metros a los 1 segundos está expresada por:
h(t) = - 16t2 + 803 t + 600
a) Realizar la gráfica de h
y
10000
x
–50
50
–10000
–20000
b) Encontrar el tiempo empleado en alcanzar la altura máxima
c) Encontrar la altura máxima del proyectil
100
4
III. EJERCICIOS PARA RESOLVER
2. Se van a usar 1,000 m de tela de alambre para construir seis jaulas para animales como se
ve en la figura.
a) Expresar el ancho y como función de la
longitud x
a.
b) Exprese el área total encerrada A de las
b.
Jaulas, como función de x.
c) Calcule las dimensiones que hagan máxima
b.
el área encerrada.
3. Un granjero desea cercar un campo rectangular para luego dividirlo en tres terrenos
rectangulares, colocando dos cercas paralelas a uno de los lados. Si sólo cuenta con
1000 yardas de cerca, ¿Qué dimensiones harán que el área del rectángulo sea máxima?
4. Un campo rectangular va a ser cercado a lo largo de un río en el cual no se requiere cerca
alguna. Si el material de la cerca cuesta dos dólares por pie lineal para los extremos y
tres dólares por pie lineal para el lado paralelo al río. Encontrar las dimensiones del
campo de mayor área posible que puede ser cercado con un costo de 900 dólares.
5. Un fabricante de cajas de cartón desea hacer cajas abiertas de piezas de cartón de 12
pulgadas cuadradas cortando en las esquinas cuadrados iguales y doblando sus lados.
Encontrar la longitud del lado del cuadrado que se debe cortar para obtener una caja
cuyo volumen sea el mayor posible.
6. Encontrar el área del mayor rectángulo que tenga un perímetro de 200 cm.
7. Encontrar el área del mayor triángulo isósceles que tenga un perímetro de 18 cm.
8. Desde una plataforma que está a 80 m bajo el suelo se lanza un proyectil con una
velocidad inicial de 48 metros por segundo. La altura h, en metros, del proyectil a los t
segundos de tiempo está dada por: h = - 4t2 + 48t – 80
a) Determina el tiempo en que el proyectil alcanza su altura máxima
b) Encuentra la altura máxima que alcanza el proyectil.
c) Traza la gráfica de la función.
d) Interpreta el significado físico de las intersecciones de la curva con los ejes
coordenados.