parte 003 - A la Sala

XI. ANGULOS:
Clasificación de ángulos
Según su medida, un ángulo puede ser:
DEFINICIÓN
Ángulo Agudo: su medida es menor
que 90°
AOB  α  90º
DEFINICIÓN
Ángulo Recto: su medida es 90°, es decir,
mide la cuarta parte del ángulo completo.
Se
dice
que
sus
lados
son
“perpendiculares” ( )
BOC  90 
DEFINICIÓN
Ángulo Obtuso: Su medida es mayor que
90° y menor que 180°
90   AOB  180 
DEFINICIÓN
Ángulo Extendido: Su medida es 180°
BAC  180 
Ángulos en el plano
DEFINICIÓN
Ángulos adyacentes: dos ángulos son
adyacentes si y solo si tienen en común el
vértice y un lado, y sus interiores no se
intersectan.
Ángulo BAC adyacente al ángulo CAD
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1
DEFINICIÓN
Ángulos complementarios: dos ángulos
son complementarios si la suma de sus
medidas es 90°.”Complemento” de un
ángulo es la medida del ángulo que le falta
para completar
1
de giro (90°).
4
α  β  9 0 , complemento de α  90   α
DEFINICIÓN
Ángulos Suplementarios: Dos ángulos son
suplementarios si la suma de sus medidas
es 180°. “suplemento” de un ángulo es la
medida del ángulo que le falta para
completar
1
de giro. (180°)
2
α  β  1 8 0
Suplemento de α  180   α
Así entonces, podemos tener:
a) ángulos adyacentes complementarios
α  β  9 0
b) ángulos adyacentes suplementarios:
α  β  1 8 0
DEFINICIÓN
Ángulos opuestos por el vértice: son dos
ángulos cuyos lados forman dos pares de
rayos opuestos.
Propiedad: ángulos opuestos por el vértice
tienen igual medida ( son congruentes)
α β
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y
γ δ
2
Ángulos entre paralelas y una transversal
Si dos rectas paralelas se cortan por otra recta
transversal, se determinan 8 ángulos; entre los cuales
hay parejas que cumplen propiedades importantes
Opuestos por el vértice .Son congruentes.
1  3
2  4
6  8
5  7
Ángulos Correspondientes.
Al trasladar L1 paralelamente hasta hacerla coincidir con
L2, se superponen ciertos ángulos, éstos reciben el
nombre de correspondientes, y obviamente son
congruentes.
1  5
2  6
3  7
4  8
Ángulos alternos internos.
Son los que están entre las paralelas y a distinto lado de
la transversal. Los ángulos alternos internos son
congruentes.
∡3  ∡5
∡ 4 ∡ 6
Ángulos alternos externos
Son los que están en el exterior de las paralelas y a
distinto lado de la transversal. Los ángulos alternos
externos son congruentes.
1  7
2  8
Observación: los recíprocos de las propiedades anteriores también se cumplen.
Observación: Sea L1 // L2, entonces:
(1) α  β si :
(2)     180
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3
Observación: T1 y T2 transversales, entonces se cumple: ε  α  β
Observaciones:
(a) Bisectriz de un ángulo: Es el rayo que divide al ángulo, en dos ángulos de igual
medida (congruentes)
α  β
(b) Rectas Perpendiculares: Son dos rectas que al cortarse forman un ángulo cuya medida
es de 90º
L1  L 2
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
TRIÁNGULO
DEFINICIÓN
Un
triángulo
lo
podemos
entender como la unión de tres
segmentos determinados por tres
puntos no colineales. Estos tres
puntos se denominan vértices, y
los
segmentos,
lados
del
triángulo; además, se determinan
tres ángulos, cuyos lados son los
lados del triángulo, y se
denominan ángulos interiores
del triángulo
Se
acostumbra
usar letras
minúsculas para los lados, de
acuerdo al vértice al que se
Teorema fundamental: “En todo triángulo, la suma
oponen.
de las medidas de los ángulos interiores es 180°”
α  β  γ  1 8 0
DEFINICIÓN
Ángulo Exterior
Se llama ángulo exterior de un
triángulo, al ángulo formado por
un lado del triángulo y la
prolongación de otro.
α' ; β' ; γ' ángulos exteriores
Propiedades
(1) La medida de un ángulo
exterior es igual a la suma de las
medidas de los ángulos interiores
no adyacentes
α'  β  γ
β'  α  γ
γ'  α  β
(2) La suma de las medidas de los
ángulos exteriores de un triángulo
es 360°
α'β' γ'  360
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
Clasificación de los triángulos
Los triángulos los podemos clasificar según la medida de sus lados y de sus
ángulos
Según la medida de sus ángulos
Acutángulo: es aquel que tiene sus tres
ángulos interiores agudos
Rectángulo: es aquel que tiene un ángulo
recto. Los otros dos ángulos interiores son
agudos y complementarios.
Los lados que forman el ángulo recto se
denominan “catetos” y el lado opuesto al
ángulo recto “hipotenusa”
Obtusángulo: es aquel que tiene un ángulo
interior obtuso
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6
Según la medida de sus lados
Equilátero:
tiene
sus
tres
lados
congruentes; por lo tanto, sus tres ángulos
interiores también lo son, y como la suma
de sus medidas es 180°, cada uno mide 60°
Isósceles: es aquel que tiene dos lados
congruentes, llamados “lados”, y el tercero
se llama “base”
Se puede demostrar que los ángulos
opuestos a los “lados” son también
congruentes. A estos ángulos se les llama
“ángulos basales”
Escaleno: es aquel cuyos tres lados tienen
distinta medida, y por ende, sus ángulos
también
ELEMENTOS DEL TRIÁNGULO
Se denominan “Elementos Primarios” del triángulo a sus lados y ángulos.
Los “Elementos secundarios” del triángulo son los llamados “Puntos Notables”
y “Rectas notables”


Rectas Notables: Se llaman así a las transversales de gravedad, alturas,
bisectrices, simetrales y medianas.
Puntos notables: Son los puntos que surgen de la intersección de un mismo
tipo de rectas notables, ellos son: el centro de gravedad (Baricentro), el
ortocentro, el incentro y el circuncentro.
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DEFINICIÓN
1. Transversal de gravedad.Es la recta que une un vértice, con el punto
medio del lado opuesto. Se denominan ta, tb,
tc, donde el subíndice indica el vértice por el
cual pasa. Las tres
transversales de
gravedad se intersectan en un mismo punto
llamado Centro de Gravedad ( o baricentro)
D,E, F : P untos medios
de los
lados
A D  t a ; BE  t b ; C F  t c
t a  t b  t c  {G}
G : C entro de G ravedad ( o
Baric entro
)

AG BG CG 2



GD GE GF 1
Propiedad: El baricentro divide a cada
transversal de gravedad en dos segmentos
que están en la razón 2: 1. El segmento que
va desde el vértice al Baricentro mide el
doble que el segmento que va del Baricentro
al lado
DEFINICIÓN
2.- Altura.
Es la perpendicular bajada desde un vértice
al lado opuesto. Se denominan ha , hb , hc ;
donde el subíndice indica el vértice por el
cual pasa. Las tres alturas se intersectan en
un mismo punto llamado Ortocentro.
AE  BC ; BF  AC ; CD  AB
AE  h a ; BF  h b ; CD  h c
h a  h b  h c  H
H : Ortocentro
Propiedad: Las alturas de un triángulo son
inversamente proporcionales a los lados
a  ha  b  hb  c  hc  k
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Observaciones:
∗ En un triángulo obtusángulo el ortocentro queda en el exterior del triángulo
∗ En un triángulo rectángulo, el ortocentro coincide con el vértice del ángulo recto,
puesto que los catetos se confunden con las alturas.
DEFINICIÓN
3.- Bisectriz.Es la recta que pasa por un vértice y divide
al ángulo en dos ángulos congruentes. Se
denominan: b α ; bβ ; b γ ; donde el subíndice
indica el ángulo que dimidia. Las tres
bisectrices se intersectan en un mismo
punto
llamado
Incentro,
el
cual
corresponde al centro de la circunferencia
inscrita al triángulo, es decir, el incentro
equidista de los lados del triángulo. El
radio de esta circunferencia se designa por
la letra griega “  ”.
A F  bα ; B G  bβ ; C E  bγ
b α  bβ  b γ  I
I:I nc entro
P, Q, R :P untos de tangenc ia
AE AC

;
EB C B
FB A B

;
FC A C
C G BC

GA BA
Propiedad: Las bisectrices dividen al lado
opuesto en la razón de las medidas de los
lados que forman el ángulo
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Observaciones:
∗ En general, los puntos de tangencia de los lados con la circunferencia inscrita al
triángulo no coinciden con los pies de las bisectrices
∗ Si se dibujan las bisectrices de los ángulos exteriores de un triángulo, se
determinan tres puntos que equidistan de los lados del triángulo. Dichos puntos
son los “Excentros” o centros de las circunferencias exinscritas al triángulo.
DEFINICIÓN
4.- Simetral
Es la recta perpendicular a un lado del
triángulo, en su punto medio. Las
simetrales se designan por: Sa , Sb , Sc ,
donde el subíndice indica el lado al cual es
perpendicular.
El punto de intersección de las simetrales se
denomina Circuncentro y corresponde al
centro de la circunferencia circunscrita al
triángulo, es decir, el circuncentro es un
punto que equidista de los tres vértices del
triángulo. Su radio se designa por “r”
O D  Sa
; O F  Sb ; O E  Sc
Sa  Sb  Sc  O
O:C irc unc ent
ro
Observación: En general, las simetrales no
pasan por los vértices del triángulo.
DEFINICIÓN
5.- Mediana
Es el segmento de recta que une los
puntos medios de dos lados del
triángulo
P, Q, R : Puntos medios de los lados
P Q,
Q R, RP
: M edianas
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Propiedades:
 La mediana es paralela al tercer lado:
RP //AB ; QR //AC ; PQ //BC

La mediana mide la mitad del lado al cual es paralela:
AB  2PR ; BC  2PQ;

AC  2QR
Cuando se dibujan las tres medianas de un triángulo, se forman cuatro triángulos
congruentes
Nota: En general, las cuatro primeras rectas notables no coinciden, excepto en los
triángulos equiláteros e isósceles.
Observación: TRIÁNGULO EQUILÁTERO
PROPIEDADES
(1) AB  BC  CA  a
( 2 ) ángulos iguales a 60 cada uno,
α  60
(3) Las transversales de gravedad, alturas
y bisectrices son una misma recta
ta  tb  tc  ha  hb  hc  bα  bβ  bγ
( 4 ) AM  MB M ; punto medio
lado 3 a

3
2
2
(lado) 2 3 a 2
(6 ) Área 

3
4
4
(7 ) Radio de la circunferencia inscrita
( 5) Altura 
lado 3 a 3

6
6
(8) Radio de la circunferencia circunscrita


lado 3 a 3

3
3
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TRIÁNGULO ISÓSCELES
PROPIEDADES
(1) AC  BC ; AB base
( 2 ) α 1  α 2 ángulos basales
( 3) β ángulo del vértice
(4) La altura, bisectriz, simetral y
transversal trazadas desde el vértice
del ángulo distinto o trazadas a la base
son una misma recta. Para los otros
vértices y lados no ocurre lo Mismo
hc = tc = b= CM
La bisectriz de un ángulo interior del triángulo divide interiormente el lado
opuesto en dos segmentos, cuyas medidas son proporcionales a las de los lados
del correspondiente ángulo del triángulo
u a
v b
 o bien 
v b
u a
La bisectriz de un ángulo exterior divide exteriormente el lado opuesto en dos
segmentos, cuyas medidas son proporcionales a las de los lados del
correspondiente ángulo interior del triángulo.
EA
EB
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
b
a
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TEOREMA DE PITÁGORAS
“El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa
de un triángulo rectángulo es igual a la suma de las
áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos”
“En todo triángulo ABC rectángulo en C se cumple que
el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los
cuadrados de los catetos, es decir a2  b 2  c 2 ”
RECÍPROCO DEL TEOREMA DE PITÁGORAS
“Sea un triángulo ABC cualquiera, con lados menores a y b y lado mayor c, tales
que c2 = a2 + b2, entonces el triángulo ABC es un triángulo rectángulo”
· Tríos pitagóricos: (a – b – c)
a
3
5
8
7
20
12
b
4
12
15
24
21
35
c
5
13
17
25
29
37
TEOREMAS RELATIVOS AL TRIÁNGULO RECTÁNGULO
Teorema:
“Si uno de los ángulos de un triángulo rectángulo mide 30º, entonces el lado
opuesto a dicho ángulo es igual a la mitad de la medida de la hipotenusa”
Tesis: BC 
AB
2
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13
Teorema:
“En un triángulo rectángulo la medida de la transversal de gravedad
correspondiente a la hipotenusa, es igual a la mitad de la medida de dicha
hipotenusa”
Tesis: BM 
AC
2
Corolario:
“En un triángulo rectángulo, el circuncentro coincide con el punto medio de la
hipotenusa”
Nota: Un triángulo rectángulo queda determinado por solo dos datos: la medida
de un lado y la de uno de sus ángulos agudos o la medida de dos lados. El otro
dato es propio de su condición de triángulo rectángulo (ángulo de 90º)
CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA A UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO
Sabemos que la medida de un ángulo inscrito en una circunferencia es igual a la
mitad del arco que abarcan sus lados. Por esta razón, si el triángulo es rectángulo,
el arco que abarcan los dos catetos es de 180º
Por tanto, se cumplirá:
a. La hipotenusa es el diámetro de la circunferencia.
b. El triángulo rectángulo de mayor área cuya hipotenusa mide c es el isósceles de
base c.
c. La mediana relativa a la hipotenusa es igual a la mitad de la hipotenusa.
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TEOREMAS DE EUCLIDES
El triángulo de la figura es rectángulo en C
y CD es altura.
a y b: catetos
c: hipotenusa
p y q: proyecciones de los catetos a y b,
respectivamente.
Los triángulos ACB, ADC y CDB son
semejantes.
Referente a la altura: En todo triángulo rectángulo, la altura correspondiente a
la hipotenusa es media proporcional geométrica entre las proyecciones de los
catetos sobre la hipotenusa.
h 2c  p  q
Referente a los catetos: En todo triángulo rectángulo cada cateto es media
proporcional
Geométrica entre la hipotenusa y la proyección de dicho cateto sobre la
hipotenusa.
a2  p  c
b2  q  c
hc 
ab
c
Clasificación angular de un triángulo conocidas las medidas de sus lados
ACUTÁNGULO
RECTÁNGULO
c2  a2  b2
OBTUSÁNGULO
c2  a2  b2
c2  a2  b2
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OBSERVACIÓN:
“En todo triángulo rectángulo, el radio de la circunferencia inscrita en él, es igual al
cociente entre el producto de los catetos y el perímetro del triángulo”
ρ
s
ab
abc
abc
; s : semiperímetro
2
PROPIEDAD DE LA ALTURA CORRESPONDIENTE A LA HIPOTENUSA
En un triángulo rectángulo, la altura correspondiente a la hipotenusa
determina dos triángulos semejantes entre sí y semejantes al triángulo inicial
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EJEMPLO PSU-1: En el triángulo ABC rectángulo en C, BC = 5 cm y
BD = 4 cm. La medida del segmento AD es:
3
2
9
B)
4
3
C)
4
D) 4
A)
cm
cm
cm
cm
E) 9 cm
EJEMPLO PSU-2: En la figura, si ABC y BDF son triángulos equiláteros
y BFEC es un rombo, entonces ¿cuál(es) de las expresiones siguientes
es(son) verdadera(s) ?
I) x = z
II) x + y = EBD
III) x + y – z = 60°
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y II
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-3: Si en un triángulo equilátero se dibuja una de sus
alturas, entonces se forman dos triángulos
A) isósceles rectángulos congruentes.
B) acutángulos escalenos congruentes.
C) acutángulos congruentes.
D) escalenos rectángulos congruentes.
E) equiláteros congruentes.
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EJEMPLO PSU-4: Si sobre el tercio central de uno de los lados del
triángulo equilátero ABC se construye otro triángulo equilátero, como se
muestra en la figura, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
verdadera(s)?
I) El área del Δ DEF es la sexta parte del área del Δ ABC.
II) El lado FE es paralelo al lado AB .
III) El lado FE es perpendicular al lado AC .
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo I y III
E) Sólo II y III
EJEMPLO PSU-5: En la figura, ABC es un triángulo equilátero de 18 cm
de perímetro y DBEC es un rectángulo. El área de la región achurada es:
A) 9 cm2
B) 9 3 cm2
C) 9 5 cm2
9
5 cm2
2
9
E)
3 cm2
2
D)
EJEMPLO PSU-6: En la figura, si el Δ ABC es rectángulo en C y
AC  BC = 2 6 , entonces C D es
A) 2
3
B) 2 6
C) 3
D) 6
E) 12
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EJEMPLO PSU-7: Si en el triángulo ABC de la figura, C E= 3 cm y
BE = 12 cm, entonces la medida de C D es:
A) 6 cm
B) 3 5 cm
C) 3 2 cm
D) 9 cm
E) Indeterminable con los datos dados
EJEMPLO PSU-8: ¿Qué pasa con el área de un triángulo si su altura se
divide por dos y se mantiene su base?
A) Se reduce en media unidad cuadrada
B) Se reduce a la mitad
C) Se reduce a la cuarta parte
D) Se reduce en un cuarto de unidad cuadrada
E) Falta información para decir que ocurre con el
EJEMPLO PSU-9: En la figura, el D ABC es rectángulo en C. D y E son
puntos que dividen a BC en tres segmentos iguales. Si B' C '//BC ,
área AB' D'
AC = 12, AC' = 4 y B' C' = 3, entonces
áreaAC E
A)
B)
C)
D)
E)
1
18
1
3
1
4
1
6
1
9
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EJEMPLO PSU-10: En la figura, el triángulo ABC es rectángulo en C. Si
p 4
y p + q = 10, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones

q 1
es(son) verdadera(s)
I) a + b = 6 5
II) h = 4
III) El área del triángulo ABC = 20
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-11: Si uno de los catetos de un triángulo rectángulo
isósceles aumenta su largo en un 20% y el otro disminuye en el mismo
porcentaje, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera para el
área del triángulo rectángulo resultante, respecto del área original?
A) Se mantiene igual
B) Aumenta en un 4%
C) Disminuye en un 4%
D) Aumenta al doble
E) Disminuye a la mitad
EJEMPLO PSU-12: El perímetro del triángulo isósceles de la figura es
2s. Si uno de sus lados iguales mide a, entonces la base c mide:
sa
2
2s  a
B)
2
C) s  a
A)
D) 2s  a
E) 2(s  a)
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20
EJEMPLO PSU-13: ¿Cuánto mide el ángulo x en el triángulo ABC de la
figura?
A) 32º
B) 39º
C) 45º
D) 52º
E) No se puede determinar, faltan datos
EJEMPLO PSU-14: El triángulo ABC es rectángulo en C. C Des
perpendicular a AB . AD = 9 y DB = 4 ¿Cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) C D  6
II) AC  117
III) BC  52
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-15: Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 0,25
1
cm y
cm, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
3
verdadera(s)?
5
I) Su hipotenusa es igual a del cateto menor.
3
5
II) El área del triángulo es
cm2
12
III) Su perímetro es igual a 1 cm.
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y III
E) Sólo II y III
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21
c
EJEMPLO PSU-16: En la figura, el  ABC es rectángulo en C y hc = .
2
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) (p + q)2 = 4pq
p
q
ó p
II) q 
2
2
III) El  ABC es isósceles.
A) Sólo II
B) Sólo III
C) Sólo I y II
D) Sólo I y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-17. En un triángulo rectángulo de catetos 3 y 6 cm,
¿Cuál es la razón entre las longitudes de las proyecciones de las alturas
correspondientes de los catetos?
A) 1 : 2
B) 1 : 4
C) 3 : 45
D) 1 : 6
E) No se puede det er min ar
EJEMPLO PSU-18. Las medidas de los lados de un triángulo son a, b y
c, donde c es el lado mayor. Para que el triángulo sea rectángulo debe
ocurrir que
A) a  b y c  2a
B) c  a  b
C) a  c2  b2
D) (a  b)2  c2
E) c  a  b
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22
XIII. CONGRUENCIA DE TRIANGULOS:
DEFINICIÓN
Dos triángulos son congruentes si y sólo si existe una correspondencia entre sus
vértices, de modo que cada par de lados y ángulos correspondientes sean
congruentes.
A B  P Q

A C  P R

C B  RQ

ΔA B C  ΔP Q R 
A  P

B  Q

C  R

POSTULADOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
ALA: Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente iguales un lado y
los dos ángulos adyacentes a ese lado.
LAL: Dos triángulos son congruentes cuando tienen dos lados y el ángulo
comprendido entre ellos respectivamente iguales.
LLL: Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados respectivamente
iguales.
LLA >: Dos triángulos son congruentes cuando tiene dos lados y el ángulo opuesto
al mayor de esos lados respectivamente iguales.
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EJEMPLO PSU-1: En la figura, PQRS es un paralelogramo y las
diagonales SQ y PR se intersectan en T. ¿Cuál(es) de las siguientes
congruencias es(son) siempre verdadera(s)?
I) PTS  STR
II) PTS  RTQ
III) PSR  RQP
A) Solo III
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-2: En la figura, Δ PTR y Δ SVQ son congruentes.
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre
verdadera(s)?
I) TR // VQ
II) PT // SV
III) RQV  RPT
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y II
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-3: El triángulo ABC de la figura es isósceles de base AB .
Si P, Q y R son puntos medios de sus lados respectivos, entonces
¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) Los triángulos AQP y PRC son congruentes
II) Los triángulos QBP y RPB son congruentes
III) El área del triángulo QBP es la cuarta parte del área del
triángulo ABC
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) I, II y III
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EJEMPLO PSU-4: El triángulo ABC es isósceles de base AB . La
circunferencia de centro C y radio r interfecta a los lados del triángulo
en D y E. ¿Cuál(es) de la(s) siguiente(s) afirmación(es) es(son)
verdadera(s)?
I) Δ ABE  Δ ABE
II) Δ BEC  Δ ADC
III) Δ ABD  Δ ADC
A) Sólo III
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-5: En la figura ABC  BAD
I) AEC  ADB
II) AEC  BED
III) AC  DB
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-6: En la figura, los triángulos ABC y DAE son isósceles
congruentes de bases BC y AE , respectivamente. Si ∡BAC = 36º,
¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) ∡ DAC  ∡ CAB
II)  ABC   ACD
III)  AEP   DCP
A) Sólo I
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
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25
EJEMPLO PSU-7: Si el triángulo ABC de la figura es equilátero de lado
2 y AD  DB, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)
verdadera(s)?
I)  ADC   BDC
II) ∡ ACD = 30º
3
III) C D 
2
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-8: ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
verdadera(s)?
I) Dos triángulos son congruentes si sus lados homólogos con
congruentes
II) Dos triángulos son congruentes si sus ángulos respectivos son
congruentes
III) Dos triángulos rectángulos son congruentes si sus catetos
homólogos son congruentes
A) Solo I
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-9. En la figura el ABC  ABD . ¿Cuál de las siguientes
aseveraciones es (son) verdadera(s):
I) Es posible inscribir el cuadrilátero ADBC en una circunferencia
II) ∡ CAB = ∡ DBA
III) ∡ CBD = 90º
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) II y III
E) I, II y III
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26
EJEMPLO PSU-10.
En la figura, el triángulo ABC es equilátero y AD
es bisectriz del ángulo CAB. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es
(son) verdadera(s)?
I) El ángulo CDA mide 90º
II) AD es eje de simetría del triángulo ABC
III) Los triángulos ADC y ADB son congruentes
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-11. Si en la figura, DA  BA , C B  AB y α  β ¿Cuál(es)
de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?
I) C B  DA
II) DB  AC
III) OA  OB
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo II y III
E) I, II y III
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27
XIV. SEMEJANZA DE TRIANGULOS:
DEFINICIÓN:
Dos polígonos de un mismo número de lados se dirán semejantes, cuando los
ángulos del uno sean respectivamente iguales con los ángulos del otro y cuando,
además, tengan sus lados homólogos proporcionales
∡A∡P
∡B∡Q
AB
∡ C ∡ R
PQ
∡D∡S

BC
QR

CD
RS

DE
ST
∡E∡T
Observación: Esta definición de semejanza encierra la idea de similitud de forma;
es decir, dos polígonos son semejantes, sí y solo si, tienen la “misma forma”. Así,
por ejemplo;
(1) todos los cuadrados son semejantes entre sí
(2) todos los triángulos equiláteros son semejantes entre sí
(3) todos los pentágonos regulares son semejantes entre sí
En general, todos los polígonos regulares de un mismo número de lados son
semejantes entre sí; e incluso podemos extender esta definición y decir también
que todas las circunferencias son semejantes entre si.
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
El hecho que todo polígono, de más de tres lados, admita descomposición en
triángulos, motivó en los geómetras una especial atención por estas elementales
figuras
ΔABC  ΔP Q R si y so lo si :
A  P ; B  Q ; C  R
y
AB
PQ
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
BC
QR

CA
RP
28

EA
TP
TEOREMAS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
Los geómetras griegos de la antigüedad, notaron que para establecer la semejanza
entre dos triángulos no era necesario verificar cada una de las seis condiciones
expuestas anteriormente, sino que la ocurrencia de algunas de ellas provocaba
necesariamente la ocurrencia de los otros restantes.
* TEOREMA FUNDAMENTAL
Para que dos triángulos sean semejantes, basta que los
ángulos de uno sean iguales a los ángulos del otro
Corolario: Toda paralela a un lado de un triángulo,
determina un triángulo semejante al primero
Si DE // A B , entonces  CDE ~ CAB
Los criterios de semejanza son condiciones mínimas para decidir si dos triángulos
son semejantes. Una vez comprobada la semejanza se cumplen todas las
condiciones que le son propias, es decir, los tres ángulos correspondientes son
congruentes y los tres pares de lados homólogos proporcionales.
TEOREMA AA (O CRITERIO AA DE SEMEJANZA)
Dos triángulos
semejantes
que
tienen
Hipótesis: ∡ A  ∡ D y
Tesis
 ABC   DEF
dos
ángulos
respectivamente
congruentes
son
∡C∡F
Nota: Ten presente que si un triángulo es semejante a otro y este último es
congruente con un tercero, el primero y el tercero son semejantes.
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29
TEOREMA LAL (O CRITERIO LAL DE SEMEJANZA)
Si en dos triángulos las medidas de dos pares de lados son proporcionales y los
ángulos comprendidos entre esos lados son congruentes, entonces los triángulos
son semejantes.
CA
CB

 C  C'
C' A' C' B'

∆ ABC ~ ∆ A’B’C’
TEOREMA LLL (o criterio LLL de semejanza)
Si las medidas de los tres pares de lados de dos triángulos son proporcionales,
entonces los triángulos son semejantes.
AB
BC
CA


A' B' B' C' C' A'
 ∆ ABC ~ ∆ A’B’C’
Nota: Como criterios de semejanza de
triángulos tenemos el teorema AA y los
teoremas LAL y LLL
Nota: los criterios de semejanza son condiciones mínimas para decidir si dos
triángulos son semejantes. Una vez comprobada la semejanza se cumplen todas
las condiciones que le son propias, es decir, los tres ángulos correspondientes son
congruentes y los tres pares de lados homólogos, proporcionales.
Nota: Se llaman figuras equivalentes a aquellas que poseen igual área
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Dos triángulos rectángulos siempre tienen un ángulo congruente entre ellos: el de
90°. Por lo tanto, se tiene dada, de antemano, una condición para que sean
semejantes. Entonces, a partir del teorema de semejanza AA (para cualquier
triángulo), se deduce:
a. Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen un ángulo agudo
congruente.
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30
b. Dos triángulos rectángulos
respectivamente proporcionales
son
semejantes
si
tienen
los
catetos
c. Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen las medidas de la
hipotenusa y de un cateto respectivamente proporcional.
RAZÓN ENTRE LAS ALTURAS DE TRIÁNGULOS SEMEJANTES
Si dos triángulos son semejantes, entonces sus alturas correspondientes son
proporcionales a los lados respectivos.
Sea  ABC   A’B’C’. Por el postulado AA se tiene que ADC   A’D’C’. De esa
CD
AC

semejanza se deduce que:
C 'D' A' C '
En general, esto se puede demostrar para todos los elementos secundarios
homólogos de dos triángulos semejantes.
h a t c bα


 ..........
........ λ
h' a t' c b' α
RAZÓN DE LOS PERÍMETROS DE DOS TRIÁNGULOS SEMEJANTES
Los perímetros de triángulos semejantes están en la misma razón que dos trazos
homólogos cualesquiera
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31
perímetro ΔABC
h
b
 c  a  ..........
..........
..........
......
perímetro ΔA' B' C' h c' b a'
RAZÓN DE LAS ÁREAS DE DOS TRIÁNGULOS SEMEJANTES
Las áreas de triángulos semejantes están en una razón equivalente al cuadrado de
la razón en que se encuentran dos trazos homólogos cualesquiera
2
2
h 
área ΔABC  b a 
   c   ..........
 
..........
......
área ΔA' B' C'  b a' 
 h c' 

Al comparar por cuociente las medidas de dos segmentos expresados en la
misma unidad, se establece una razón entre estas medidas.
Nota: MN es el segmento.
MN es la medida de MN
La razón entre dos segmentos, es decir, entre sus medidas, es un número real
positivo. Dicho número puede ser racional o irracional.

Si la razón entre dos segmentos es un número racional, diremos que lo
segmentos son conmensurables entre sí.
Si la razón entre dos segmentos es un número irracional, diremos que
esos segmentos son inconmensurables entre sí.
Nota: los lados de un polígono se dicen homólogos si están comprendidos entre
dos ángulos respectivamente congruentes.

Todos los polígonos regulares de igual número de lados son semejantes
(todos los triángulos equiláteros son semejantes)

Dados dos polígonos semejantes, aun cuando no sean regulares, se cumple
que sus perímetros están en la razón que hay entre cualquier par de lados
homólogos.
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32
Perímetro polígono ABCDE = P = a + b + c + d +e
Perímetro polígono A’B’C’D’E’ = a’ + b’ + c’ + d’ + e’
P a P b
P e
 ;
 ;.........
....; 
P' a' P' b'
P' e'
EJEMPLO PSU-1: ¿En cuál(es) de las siguientes figuras el triángulo P
es semejante con el triángulo Q?
A) Sólo en I
B) Sólo en II
C) Sólo en I y en II
D) Sólo en II y en III
E) En I, en II y en III
EJEMPLO PSU-2: Una torre de TV proyecta una sombra que mide 150
metros de longitud. A 148,8 metros del pie de la torre y en la misma
dirección que se proyecta la sombra, se encuentra un poste que mide
1,6 metros de altura. Sabiendo que los puntos extremos de la sombra
que proyectan la torre y el poste coinciden, ¿qué altura tiene la torre?
A) 200 metros
B) 198,4 metros
C) 113,2 metros
D) 112,5 metros
E) 110 metros
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33
EJEMPLO PSU-3: ¿Qué significa que dos triángulos sean semejantes?
A) Que tienen igual área
B) Que tienen igual perímetro
C) Que sus lados son proporcionales
D) Que sus tres lados respectivos coinciden
E) Que sus ángulos son proporcionales, en razón distinta de uno
EJEMPLO PSU-4: Según la figura, ¿Cuál(es) de los siguientes pares de
triángulos es(son) semejante(s)?
I) AC D y BC E
II) BEC y AEB
III) AC D y C AB
A) Sólo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-5: En la figura, ¿cuál(es) de los siguientes triángulos
es(son) semejantes
I)  ABE   AFD
II)  FEC   BDC
III)  CFE   ABE
A) Solo I
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
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34
EJEMPLO PSU-6: ¿Cuáles de los siguientes triángulos son semejantes
entre sí?
A) Solo I y II
B) Solo I y III
C) Solo II y III
D) I, II y III
E) Ninguno de ellos son semejantes entre si
EJEMPLO PSU-7: En la figura se representa un poste y una niña. Si la
niña tiene una altura de 1 metro, y las sombras del poste y de la niña
miden 7 metros y 50 centímetros, respectivamente, ¿cuál es la altura
del poste?
A) 3,5 metros
B) 7,1 metros
C) 14 metros
D) 35 metros
E) No se puede determinar
EJEMPLO PSU-8: En la figura, el triángulo ABC es semejante con el
triángulo DEC. Si C M= 5, AB = 21 y C N= 15, ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) C N: AB  C M: ED
II) Área ΔEDC 
III)
Área ΔEDC
Área ΔABC

35
2
1
9
A) Solo I
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
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35
EJEMPLO PSU-9: En relación a la figura, la razón
A)
B)
C)
D)
E)
AN
NM
es equivalente a:
BC
AB
AB
BC
AC
BC
AN
NC
AM
AC
EJEMPLO PSU-10: Una torre de dos pisos proyecta una sombra de
20 m; si el primer piso tiene una altura de 15 m y el segundo piso una
altura de 10 m, ¿cuánto mide la sombra proyectada por el segundo
piso?
A) 8 m
B) 10 m
C) 15 m
40
D)
m
3
E) No se puede determinar
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36
EJEMPLO PSU-11. ¿Cuál de los siguientes triángulos son semejantes al
de la figura?
A) Solo I
B) Solo II
C) I y III
D) II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-12. ¿Cuál de las siguientes es FALSA?
A) Todos los triángulos equiláteros son semejantes
B) Todos los cuadrados son semejantes
C) Todos los triángulos rectángulos isósceles son semejantes
D) Todos los círculos son semejantes
E) Todos los triángulos isósceles son semejantes
EJEMPLO PSU-13.
verdadera(s)?
¿Cuál(es)
de
estas
semejanzas
es
(son)
I) T1  T2
II) T1  T3
III) T2  T4
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) Solo I y III
T4
T3
T1
T2
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37
XV. CUADRILATEROS:
 Los ángulos interiores suman 360º
Los ángulos exteriores suman 360º
Clasificación según par de lados opuestos paralelos:
> Paralelogramos (2 pares)
> Trapecios (1 par)
> Trapezoides (ningún par)
A. PARALELOGRAMOS:
 Tienen 2 pares de lados opuestos paralelos.
Cuadrado – Rectángulo – Rombo – Romboide
1. CUADRADO:
 4 ángulos interiores rectos
 4 lados iguales
 Lados opuestos paralelos
 Las diagonales son iguales y son perpendiculares
 Las diagonales se dimidian (÷ en partes iguales)
 Las diagonales bisectan los ángulos
 Se puede inscribir una circunferencia
 Se puede circunscribir una circunferencia
d= a 2
 p = 4a
 A = a2
C
D
d1
d2
A
B
a
C
D
2. RECTANGULO:
 4 ángulos interiores rectos
 Lados opuestos de igual medida
 Lados opuestos paralelos
 Las diagonales son iguales y se dimidian
 Se puede circunscribir una circunferencia
 p = 2a + 2b
 A = ab
d1
b
d2
A
3. ROMBO:
 4 lados iguales
 Lados opuestos paralelos
 Ángulos opuestos iguales
Ángulos contiguos suplementarios
Las diagonales son perpendiculares
Las diagonales se dimidian y bisectan los ángulos
 Se puede inscribir una circunferencia
 p = 4a
ef
 A = a · h // A =
2
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B
a
C
D
d2
d1
h
e
A
f
a
B
38
4. ROMBOIDE:
 Lados opuestos de igual medida
Lados opuestos paralelos
Ángulos opuestos iguales
 Ángulos contiguos suplementarios
 Las diagonales se dimidian
 p = 2a + 2b
A=a·h
D
C
d1
h
b
d2
A
B
a
B. TRAPECIOS:
 Tienen 1 par de lados opuestos paralelos llamados basales.
Trapecio Escaleno – Trapecio Isósceles – Trapecio Rectángulo
1. TRAPECIO ESCALENO:
 Lados no paralelos no son
congruentes.
 A B//C D
 α + δ = 180º
 β + γ = 180º
p=a+b+c+d
 A = M N· h / A =
MN
b
D
c
γ
δ
C
M
d
N
h
α
β
A
B
a
(a  b)
h
2
ab
2
2. TRAPECIO ISOSCELES:
 Lados no paralelos son iguales ( A D  BC )
 A B//C D
 Las diagonales son iguales
 Ángulos contiguos suplementarios
α=β
γ=δ
p = a + b + 2c
D
b
δ
d1
γ
c
d
M
α
C
N
d2
h
β
A
B
a
(a  b)
h
 A = M N· h / A =
2
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39
3. TRAPECIO RECTANGULO:
 Uno de sus lados no paralelos es
perpendicular a las bases.
 A B es perpendicular a A D
 D A es perpendicular a D C
 A B//C D
 c = h = altura
 Ángulos en A y D son rectos
 β + γ = 180º
p=a+b+c+d
A = M N · h / A =
b
D
γ
c
M
d
N
h
β
A
B
a
(a  b)
h
2
4. MEDIANA DE UN TRAPECIO:
 Segmento que une los puntos medios de los lados no
paralelos.
Es paralela a las bases.
 MN
C
D
C
M
A B  DC
2
N
A
B
D
C. TRAPEZOIDES:
No tienen lados opuestos paralelos.
δ
b
γ C
c
d
α
β
A
D. PROPIEDADES DE OTROS CUADRILATEROS:
D
 En todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia, los
ángulos opuestos son suplementarios.
(α + γ = β + δ = 180º)
δ
α
A
D
γ
β
C
B
c
C
d
b
A
B
a
a
 En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, las
sumas de cada par de lados opuestos son iguales entre sí.
(a + c = b + d)
B
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EJEMPLO PSU-1: En la figura, AD = 3, DC = 4 y C B= 1. El área del
cuadrilátero ABCD es:
A) 6  2 6
B) 6  6
C) 12  2 6
D) 12  6
E) Ninguno de los valores anteriores
EJEMPLO PSU-2: En la figura, ABCD es un rectángulo y FCGI es un
cuadrado.
¿Cuál(es)
de
las
siguientes
afirmaciones
es(son)
verdadera(s)?
I) El área de FCGI es 12
II) El área de EBFI es 6
III) El área de AEIH es 3
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo I y III
E) Solo II y III
EJEMPLO PSU-3: Los vértices de una figura son: A(2, 0); B(0, 2);
C(−2, 0) y D(0, −2). ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)
verdadera(s) ?
I) El perímetro de la figura es 8 2 .
II) Cada diagonal mide 4.
III) El área de la figura es 4 2 .
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo II y III
E) I, II y III
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41
EJEMPLO PSU-4: ¿Cuál de las afirmaciones es correcta para todos los
paralelogramos?
A) Si sus ángulos son rectos es un cuadrado.
B) Los ángulos consecutivos son complementarios.
C) Las diagonales son bisectrices.
D) Los ángulos opuestos son congruentes.
E) Los ángulos opuestos son suplementarios.
EJEMPLO PSU-5: El cuadrado ABCD de lado a se ha dividido en 9
cuadrados congruentes entre sí, como se muestra en la figura. El área
del cuadrado PQRS es
A)
B)
C)
D)
E)
4a2
9
5a2
3
3a2
4
5a2
9
8a2
9
EJERCICIO PSU-6: En el plano de la figura, se muestra el polígono
ABCD, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) ?
I) El perímetro del polígono es 8 2 .
II) Cada diagonal del polígono mide 4.
III) El área del polígono es 4 2 .
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo II y III
E) I, II y III
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42
EJEMPLO PSU-7: En la figura, ABCD es un rectángulo que se ha
dividido en seis cuadrados congruentes. Si los arcos corresponden a
cuartos de círculo, entonces
¿Cuál(es) de las afirmaciones siguientes es(son) verdadera(s)?
I) La suma de las áreas sombreadas es igual al área de un círculo de
1
radio BC
2
II) La suma de los perímetros de las áreas sombreadas es igual al
1
perímetro de una circunferencia de radio
AB
3
III) La suma de los perímetros de las regiones sombreadas es mayor
que el perímetro de ABCD.
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y II
E) Sólo I y III
EJEMPLO PSU-8: Dado el cuadrado ABCD de lado k en la figura, donde
PC  3PB , QD  2QC y M es el punto de intersección de DP y AQ,
entonces el área del ∆ DMQ es
A)
B)
C)
D)
E)
k2
9
k2
3
4k 2
9
2k 2
9
2
k
6
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43
EJEMPLO PSU-9: En la figura, dadas las dimensiones del rectángulo
ABCD, entonces la medida del lado BE en el rectángulo DBEF mide
A)
B)
C)
D)
5
2
1
5
2
5
3
2
5
E) 1
EJEMPLO PSU-10: En la figura, ABCD es un rectángulo en el cual
BC = 8 cm. Los triángulos son todos equiláteros y congruentes entre sí.
El perímetro de la región sombreada es
A) 42 cm
B) 46 cm
C) 48 cm
D) 50 cm
E) 56 cm
EJEMPLO PSU-11: El largo de una piscina rectangular es el doble de su
ancho. Se construyó una cerca, rodeándola, separada un metro de sus
bordes. Si el área cercada es de 40 m2, ¿cuál es el largo de la piscina de
la figura?
A) 3 m
B) 6 m
C) 12 m
D) 80 m
  3  165 
 m
E) 

2


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EJEMPLO PSU-12: En el triángulo ABC de la figura, ADEF es un rombo,
AF  FC y  mide 60º, entonces ¿cuál(es) de las afirmaciones siguientes
es(son) verdadera(s)?
I) FE  FC
AB
2
III) AB  BC
II) FE 
A) Sólo I
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-13: La figura está formada por 6 cuadrados congruentes
de 30 cm de lado cada uno. El área de la región achurada mide
A) 50 cm2
B) 75 cm2
C) 100 cm2
D) 112,5 cm2
E) 125 cm2
EJEMPLO PSU-14: ¿Cuánto mide el perímetro del polígono de la figura
con p > q?
A) 4p + 3q
B) 4p + 4q
C) 3p + 3q
D) 3p + 2q
E) No se puede determinar
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45
EJEMPLO PSU-15: En la figura, ABCD es un cuadrado de lado a, M y N
son puntos medios de los lados AD y AB , respectivamente. ¿Cuál es el
área del triángulo MAN?
A)
B)
C)
D)
E)
a2
2
a2
4
a2
8
a
4
a
8
EJEMPLO PSU-16: ABCD es un rectángulo tal que AB = 5 y BC = 4. Si
se ha dividido en cuadrados congruentes como se muestra en la figura,
¿cuál(es) de las afirmaciones siguientes es(son) verdadera(s)?
I) Área de la región sombreada es 13
II) Perímetro de la región sombreada es igual al perímetro de
ABCD
III) Suma de los perímetros de las áreas no sombreadas es
mayor que el perímetro del rectángulo ABCD
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo I y III
E) I, II, III
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46
EJEMPLO PSU-17: En el cuadrado ABCD de la figura T, M, L y P son
puntos medios de los lados respectivos. ¿Cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)?
I) TLP  TMB
II) PML  LTM
III) DTA  C BL
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) Solo I y III
EJEMPLO PSU-18: ¿Cuál es la conclusión más precisa respecto al
perímetro y al área de un cuadrado cuando su lado se duplica?
A) El perímetro se duplica y el área se cuadruplica
B) El perímetro se cuadruplica y el área se duplica
C) El perímetro se duplica y el área aumenta en mayor proporción que el
perímetro
D) El perímetro se cuadruplica y el área aumenta en menor proporción
que el perímetro
E) El perímetro aumenta en mayor proporción que el área
EJEMPLO PSU-19: En la figura AQ= 1 y QC = 2, entonces ¿cuál es el
área del rectángulo ABCD?
A) 2
B) 6
C) 2 3
D) 3 3
E) 3 2
Álvaro M. Sánchez Vásquez
Prof. Matemática y Física
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EJEMPLO PSU-20: En la figura ABCD es un cuadrado. El área del
triángulo AMN es:
9
8
B) 1
A)
C) 2
D)
E)
2 3
3
3 1
EJEMPLO PSU-21: En la figura ABCD es un cuadrado de lado 3 cm y
C Q= 3 3 cm. Si P, B y Q son puntos colineales, entonces el área de la
región NO sombreada mide:
A) 6 3 cm2
B) 9 3 cm2
C) 12 3 cm2
D) 9 cm2
E) 18 cm2
EJEMPLO PSU-22: En la figura, el cuadrado se ha dividido en 5
rectángulos congruentes entre sí, y cada rectángulo tiene un perímetro
de 30 cm. ¿Cuál es el perímetro del cuadrado?
A) 50 cm
B) 48 cm
C) 60 cm
D) 150 cm
E) Ninguno de los valores anteriores
Álvaro M. Sánchez Vásquez
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48
EJEMPLO PSU-23: Con un cordel de largo d se forma un cuadrado.
¿Cuánto mide el área del cuadrado?
a) d2
d2
2
d2
C)
4
d2
D)
8
d2
E)
16
B)
EJEMPLO PSU-24: EFGH es un rectángulo. Si  AHD   C FB y
 DGC   BEA entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones
es(son) siempre verdadera(s)?
I) DC B  DAB
II) DC  AB
III) DC G  ADG
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-25: ¿Cuál es el perímetro de la figura plana formada por
4 rombos congruentes cuyas diagonales miden 8 cm y 6 cm?
A) 60 cm
B) 70 cm
C) 80 cm
D) 84 cm
E) 120 cm
Álvaro M. Sánchez Vásquez
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EJEMPLO PSU-26: En la figura, ABCD es un cuadrado de lado 10, en el
cual se ha inscrito el trapecio isósceles EFGH. ¿Cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) El área de EFGH es 48
II)  AEH   CFG
III) HJ  EF
A) Solo II
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-27: En el rectángulo ABCD de la figura, EF // AB ,
EG = 4 cm y BG = 10 cm. ¿Cuál es el perímetro del
DG= 5 cm,
trapecio ABGE?
A) 28 cm
B) 34 cm
C) 32 cm
D) 35 cm
E) 42 cm
EJEMPLO PSU-28: para cercar un terreno rectangular se necesitan 100
metros de malla. ¿Cuál es el área del terreno si el largo mide 30
metros?
A) 600 m2
B) 1.050 m2
C) 1.200 m2
D) 2.100 m2
E) 2.400 m2
Álvaro M. Sánchez Vásquez
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EJEMPLO PSU-29: Si dos circunferencias son congruentes, ¿cuál(es)
de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s) ?
I) Sus perímetros son iguales.
II) Sus radios son de igual longitud.
III) Sus centros son coincidentes.
A) Sólo III
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-30. Si a un rectángulo se le duplica el ancho y se le
reduce a la mitad el largo, se cumple que:
A) El área se cuadruplica
B) El área se mantiene igual
C) El área se duplica
D) El área es la mitad
E) Ninguna de las anteriores
EJEMPLO PSU-31. ¿En cuál de estos cuadriláteros, al trazar una
diagonal, NO se forman dos triángulos congruentes?
A) Cuadrado
B) Rombo
C) Romboide
D) Rectángulo
E) Trapecio Isósceles
EJEMPLO PSU-32. La figura está formada por tres rectángulos
congruentes. ¿Cuánto mide el área de otra figura formada por 21 veces
la figura original?
A) 2055
B) 294
C) 6174
D) 2058
E) Ninguna de las anteriores
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EJEMPLO PSU-33. Si en la figura los triángulos ABC y EAD son
congruentes, entonces el perímetro del polígono ABCED es
A) 32 cm
B) 40 cm
C) 42 cm
D) 48 cm
E) 56 cm
EJEMPLO PSU-34. En la figura ABCD es un rectángulo. ¿Cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)
I. ∆ AGD  ∆ BFC
II. el área del ∆ EBF es el doble del área del ∆ AGD.
2
III. el área del trapecio ABFG corresponde a
del área del rectángulo
3
ABCD
A) Solo I
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y II
E) I, II y III
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