Desigualdades con pesos para la función maximal de Hardy

UNIVERSIDAD DE SONORA
División de Ciencias Exactas y Naturales
Departamento de Matemáticas
Desigualdades con pesos para la función maximal
de Hardy-Littlewood
TESIS
que para obtener el grado académico de:
Maestro en Ciencias
(Matemáticas)
presenta
Alejandro de Jesús Gómez Jurado
Directora de tesis:
Dra. Martha Dolores Guzmán Partida
Hermosillo, Sonora,
Agosto de 2012
ii
ÍNDICE GENERAL
INTRODUCCIÓN
v
1. FUNCIÓN MAXIMAL
1.1. Función maximal de Hardy-Littlewood . .
1.2. Función maximal con medidas duplicantes
1.3. Estimaciones para la función maximal . . .
1.4. La función maximal diádica . . . . . . . .
.
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1
1
9
13
20
1.5. La función maximal sharp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
.
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.
2. TRANSFORMADA DE HILBERT
2.1. Núcleo conjugado de Poisson . . . . . . . . .
2.2. El valor principal de 1=x . . . . . . . . . . .
2.3. De…nición y propiedades de la Transformada
2.4. Teoremas de M. Riesz y Kolmogorov . . . .
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27
27
29
32
33
3. OPERADORES DE CALDERÓN-ZYGMUND
3.1. Ejemplos de Operadores Integrales Singulares . . . . . . . . . . . . .
3.2. Operadores integrales de Calderón-Zygmund . . . . . . . . . . . . . .
3.3. El acotamiento Lp para ciertos operadores . . . . . . . . . . . . . . .
41
41
43
50
4. TEORÍA DE PESOS DE MUCKENHOUPT
4.1. La condición Ap . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Desigualdades con pesos de tipo fuerte . . . . . .
4.3. Pesos A1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4. Desigualdades con peso para integrales singulares
.
.
.
.
51
51
63
70
73
5. ESTIMACIONES PARA LA NORMA DE LA FUNCIÓN MAXIMAL
5.1. Las estimaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
79
CONCLUSIONES
84
APÉNDICES
86
BIBLIOGRAFÍA
90
iii
. . . . . .
. . . . . .
de Hilbert
. . . . . .
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iv
ÍNDICE GENERAL
INTRODUCCIÓN
Las desigualdades con pesos surgen de manera natural en el análisis de Fourier y su
gran variedad de aplicaciones justi…can aún mejor su uso y desarrollo. Algunas de estas
aplicaciones están relacionadas con el estudio de problemas de valores frontera para
la ecuación de Laplace en dominios Lipschitz (ver por ejemplo, [24], [13]). Algunas
otras guardan relación con la teoría de extrapolación, con desigualdades vectoriales y
con la obtención de estimaciones para cierto tipo de ecuaciones diferenciales parciales
no lineales ([5], [14]).
En términos generales, por un peso entenderemos una función no negativa u que
además es localmente integrable. Así, si u y w son dos funciones con estas características, los principales problemas que se abordan en el estudio de desigualdades con
pesos, son estimaciones del siguiente tipo:
Estimaciones de tipo fuerte (p; p), esto es,
Z
Z
p
jT f (x)j u (x) dx C
jf (x)jp w (x) dx
(1)
Rn
Rn
y estimaciones de tipo débil (p; p), a saber,
n
u (fx 2 R : jT f (x)j > g)
para 1
C
p
Z
Rn
jf (x)jp w (x) dx;
(2)
p < 1; donde para un conjunto E, u (E) signi…ca
Z
u (E) =
u (x) dx;
E
y T representa alguno de los operadores clásicos en el análisis armónico, por ejemplo,
el operador maximal de Hardy-Littlewood, o un operador integral singular. A su vez,
estos problemas se dividen en dos casos: el estudio para un par de pesos (u; w), o
bien, para un solo peso w, es decir, u = w.
La teoría de pesos, dio inicio con el estudio de potencias de pesos de la forma
w (x) = jxja . Posteriormente, en los años setentas del siglo pasado, empezó un período de prolongadas investigaciones en esta área con el trabajo de B. Muckenhoupt, R.
v
vi
INTRODUCCIÓN
Hunt y R. Wheeden. En [16] Muckenhoupt introdujo los pesos Ap , también conocidos
como los pesos de Muckenhoupt. La teoría Ap ha experimentado un desarrollo vertiginoso desde ese entonces, y actualmente es una línea de investigación muy activa.
Algunas de las principales cuestiones que hoy en día se investigan están relacionadas
con la obtención de constantes óptimas que satisfagan desigualdades del tipo (1) y
(2) para ciertos tipos de operadores aún más generales que los considerados en esta
tesis. Las técnicas empleadas para tal efecto comprenden desde argumentos de tipo
probabilístico, consideraciones de tipo diádico, hasta técnicas de funciones de Bellman, solo por mencionar algunas. El lector interesado puede consultar el excelente
artículo [14] de M. Lacey para ampliar su información al respecto.
Los prerrequisitos para este trabajo son que el lector esté familiarizado con los
elementos básicos de la teoría de la medida y el análisis funcional, (ver, por ejemplo [8]
y [12]). La notación que emplearemos es estándar. El conjunto de funciones localmente
integrables en Rn lo denotaremos por L1loc (Rn ) : Asimismo, S(Rn ) denotará la clase
de Schwartz y S 0 (Rn ) el espacio de distribuciones temperadas. Si F 2 S 0 (Rn ) y
2 S(Rn ), el valor de F en lo denotaremos por hF; i. La convolución de dos
funciones f y g la denotaremos por f g. Además fb denotará la transformada de
Fourier de f . Frecuentemente, utilizaremos la misma letra C para denotar a una
constante que podría variar renglón tras renglón.
En el Capítulo 1 trabajaremos con diferentes tipos de función maximal. Para
f en L1loc (Rn ) o en L1loc ( ), donde es una medida duplicante, esto es, (2Q)
C (Q) para todo cubo Q, de…niremos la función maximal de Hardy-Littlewood de
f y demostraremos la desigualdad de tipo débil (1; 1) y la desigualdad de tipo fuerte
(p; p), para 1 < p < 1. Para la demostración de estas desigualdades usaremos la
descomposición de Calderón-Zygmund. También trabajaremos con la función maximal
diádica y la funcion maximal sharp.
En el Capítulo 2 de…niremos la transformada de Hilbert, operador que sirve como
modelo de la familia de operadores integrales singulares estudiados en el Capítulo 3;
además probaremos la desigualdad de tipo débil (1; 1) y la desigualdad de tipo fuerte
(p; p), para 1 < p < 1.
En el Capítulo 3 estudiaremos los operadores integrales singulares de CalderónZygmund y también mostraremos desigualdades de tipo de débil (1; 1) y tipo fuerte
(p; p), para 1 < p < 1.
En el Capítulo 4 generalizaremos las desigualdades obtenidas en los Capítulos 1
y 3 a medidas de la forma w (x) dx, es decir, obtendremos desigualdades de la forma
(1) y (2). Veremos también como el “control” que la función maximal de HardyLittlewood ejerce sobre los operadores de Calderón-Zygmund, nos permite obtener
los resultados de acotamiento anteriormente mencionados.
INTRODUCCIÓN
vii
En el Capítulo 5 mostraremos que cuando w es un peso Muckenhoupt, la norma
en Lp (w) del operador maximal centrado de Hardy-Littlewood puede estimarse por
el producto de una constante que depende de p, de la dimensión y de una potencia
apropiada de la constante Ap del peso w. En este proceso, obtendremos también una
estimación uniforme en w para la norma del operador maximal centrado respecto a
la medida .
Una última parte de este trabajo contiene algunas conclusiones personales y
apéndices.
viii
INTRODUCCIÓN
CAPÍTULO 1
FUNCIÓN MAXIMAL
En este capítulo de…niremos la función maximal de Hardy-Littlewood, la función maximal diádica y la función maximal sharp, así como también, probaremos
algunas estimaciones que harán posible obtener resultados de acotamiento para estos
operadores. Adicionalmente, obtendremos la descomposición de Calderón-Zygmund,
herramienta que nos permitirá demostrar algunos de los resultados más importantes
de este trabajo. Las referencias principales para esta parte son [9], [6], [10].
1.1. Función maximal de Hardy-Littlewood
De…nición 1.1 Sea f una función localmente integrable en Rn . La función maximal de Hardy-Littlewood de f; es la función M f de…nida por,
Z
1
jf (y)j dy;
M f (x) = sup
Q3x jQj Q
donde el supremo se toma sobre todos los cubos Q que contienen a x y jQj representa
la medida de Lebesgue de Q. El operador maximal de Hardy-Littlewood M es
el operador que envía a la función f a la función M f:
Mostraremos que obtenemos el mismo valor de M f (x); si en la de…nición solamente tomamos los cubos en lo cuales x es punto interior.
Proposición 1.2 Sea f una función localmente integrable en Rn . Para x 2 Rn , sea
Z
1
0
M f (x) = sup
jf (y)j dy;
P 3x jP j P
donde el supremo se toma sobre todos los cubos P tales que x es punto interior de
P: Entonces se tiene que M 0 f (x) = M f (x):
1
2
CAPÍTULO 1. FUNCIÓN MAXIMAL
Prueba. Claramente se tiene que M 0 f (x)
M f (x). Para x 2 Rn sea Q un
cubo que contiene a x, no necesariamente en su interior. Sea fPk g1
k=1 una sucesión
decreciente de cubos tales que Q
Pk propiamente para cada k y \1
k=1 Pk = Q.
Tenemos que x es punto interior de cada Pk ; además por el lema de Fatou,
Z
Z
jf (y)j dy
l m nf
jf (y)j dy;
Q
k!1
Pk
y dado que l mk!1 jPk j = jQj se sigue que
Z
Z
1
1
jf (y)j dy
l m nf
jf (y)j dy
k!1
jQj Q
jPk j Pk
por lo tanto M f (x)
M 0 f (x);
M 0 f (x):
Por Proposición 1.2 se puede obtener de manera sencilla que la función M f es
semicontinua inferiormente.
Proposición 1.3 Sea f una función localmente integrable en Rn ; entonces el conjunto
Et = fx 2 Rn : M f (x) > tg
es abierto.
Prueba. Sea x 2 Et , entonces existe un cubo P tal que x es elemento del interior
de P , y se tiene que
Z
1
jf (y)j dy > t;
jP j P
como x está en el interior de P , existe r > 0 tal que B(x; r)
P Et obtenemos que x es punto interior de Et
P y puesto que
En algunas ocasiones haremos uso de la función maximal de Hardy-Littlewood
centrada en bolas, la cual está de…nida como,
Z
1
00
M f (x) = sup
jf (y)j dy:
r>0 jB (x; r)j B(x;r)
1.1. FUNCIÓN MAXIMAL DE HARDY-LITTLEWOOD
3
Ya que las medidas de un cubo y una bola son comparables, existen constantes cn y
Cn , dependiendo solo de n, tales que
cn M 00 f (x)
M f (x)
Cn M 00 f (x):
(1.1)
Puesto que se tiene la desigualdad (1.1), los operadores M y M 00 se pueden intercambiar y usaremos cualesquiera de ellos cuando sea conveniente dependiendo de las
circunstancias.
De…nición 1.4 Para k 2 Z, sea k = 2 k Zn , es decir el conjunto formado por
los números Zn dilatados por un factor de 2 k ; sea Dk el conjunto de cubos de
longitud de lados 2 k y cuyos vértices están en k . Los cubos diádicos son los
1
S
cubos pertenecientes a D =
Dk . Diremos que dos cubos Q y Q0 no se traslapan
1
si la intersección de sus interiores es vacía.
Observemos que si Q; Q0 2 D y jQ0 j
jQj, entonces Q0
Q, o Q y Q0 no se
n
traslapan. Notemos que cada Q 2 Dk es la unión de 2 cubos que no se traslapan
pertenecientes a Dk+1 .
Otra observación importante es el hecho de que si tenemos una sucesión estrictamente creciente fRj g de cubos diádicos entonces jRj j ! 1. Cuando la sucesión de
cubos es creciente y sus medidas están uniformemente acotadas, entonces existe un
índice k0 tal que Rj Rk0 para todo j < k0 y Rj = Rk0 cuando j k0 .
Proposición 1.5 Para f 2 L1 (Rn ) y t > 0, existe una familia de cubos fQj g tales
que:
Z
1
jf (x)j dx 2n t:
t<
jQj j Qj
Prueba. Denotaremos por Ct a la familia de cubos Q 2 D que satisfacen la
condición
Z
1
t<
jf (x)j dx
(1.2)
jQj Q
y son maximales entre los cubos que la satisfacen.
En virtud de las observaciones previas al enunciado de esta Proposición, tenemos
que cada Q 2 D que satisface la ecuación (1.2) está contenido en algún Q0 2 Ct ,
pues la condición (1.2) da una cota superior para la medida de Q, jQj < t 1 kf k1 .
4
CAPÍTULO 1. FUNCIÓN MAXIMAL
Los cubos en Ct no se traslapan por de…nición, también se tiene que si Q 2 Dk es
elemento de Ct y Q0 es el elemento en Dk 1 que contiene a Q, entonces
Z
1
jf (x)j dx t:
jQ0 j Q0
Por otra parte jQ0 j = 2n jQj, por lo cual,
Z
Z
2n
1
jf (x)j dx
jf (x)j dx
jQj Q
jQ0 j Q0
2n t:
Hemos obtenido una familia de cubos Ct = fQj g para los cuales se tiene
Z
1
jf (x)j dx 2n t;
t<
jQj j Qj
(1.3)
para cada j: Por lo que podemos dar la siguiente de…nición
De…nición 1.6 Sea f 2 L1 (Rn ) y t > 0. Los cubos de Calderón-Zygmund de f
correspondientes a t, es la colección Ct = fQj g de cubos diádicos maximales para
los cuales el promedio de jf j es mayor a t.
Ahora usaremos la Proposición 1.5 para mostrar que el operador maximal de
Hardy-Littlewood es de tipo débil (1; 1).
Teorema 1.7 Sea f 2 L1 (Rn ): Entonces para cada t > 0, el conjunto
Et = fx 2 Rn : M f (x) > tg
está contenido en la unión de una familia de cubos f3Qj g, que satisfacen:
Z
t
1
t
<
jf
(x)j
dx
;
4n
jQj j Qj
2n
por lo cual se obtiene
jEt j
C
t
Z
Rn
jf (x)j dx:
1.1. FUNCIÓN MAXIMAL DE HARDY-LITTLEWOOD
5
Prueba. Sea x 2 Et . Entonces existe un cubo R que contiene a x en su interior
y satisface
1
t<
jRj
Z
R
jf (y)j dy:
Sea k 2 Z tal que 2 (k+1)n < jRj 2 kn . Existe a lo más un punto de k en el interior
de R. Consecuentemente existe un cubo en Dk ; y a lo más 2n de ellos, que intersectan
el interior de R. Se sigue que existe un cubo Q 2 Dk que se traslapa con R y satisface
Z
t jRj
jf (y)j dy > n :
2
R\Q
Puesto que jRj
por lo tanto,
jQj < 2n jRj, se sigue que,
Z
t jQj
jf (y)j dy > n ;
4
R\Q
1
jQj
Así, obtenemos que Q Qj 2 C4
que los cubos fQj g satisfacen:
Z
Q
nt
1
t
<
n
4
jQj j
jf (y)j dy >
t
:
4n
para alguna j: Por Proposición 1.5 obtenemos
Z
Qj
jf (x)j dx
t
:
2n
Además,Scomo R y Q se traslapan y jRj < jQj, se sigue que R 3Q 3Qj por
lo que Et
3Qj (la notación 3Q denota al cubo con el mismo centro que Q y con
j
longitud de lado el triple del lado de Q).
Esto conlleva a
Z
X
X
3n 4n X
n
jEt j
j3Qj j = 3
jf (y)j dy
jQj j
t
Q
j
j
j
j
C
kf k1 :
t
Obtendremos algunos resultados de la desigualdad jEt j Ct 1 kf k1 del teorema
anterior, los cuales muestran la importancia del operador maximal M . El operador
M controla varios operadores que surgen en el Análisis. Por ejemplo, probaremos la
siguiente extensión del teorema de diferenciación de Lebesgue.
6
CAPÍTULO 1. FUNCIÓN MAXIMAL
Teorema 1.8 Sea f 2 L1loc (Rn ): Para x 2 Rn y r > 0 sea
Q(x; r) =
y 2 Rn : ky
xk1
Entonces para casi todo x 2 Rn se tiene
Z
1
jf (y)
lm
r!0 jQ(x; r)j Q(x;r)
max jyj
xj j
j
r :
(1.4)
f (x)j dy = 0:
Prueba. Supongamos que f 2 L1 (Rn ): De…namos el conjunto B por
Z
1
n
B= x2R :lm
jf (y) f (x)j dy = 0 ;
r!0 jQ(x; r)j Q(x;r)
ahora para t > 0 de…namos el conjunto
At =
Sea A =
1
S
1
x 2 R : l m sup
r!0
jQ(x; r)j
n
Z
Q(x;r)
jf (y)
f (x)j dy > t :
A1=j y mostremos que B = Ac : Sea x 2 B, entonces
j=1
1
l m sup
r!0
jQ(x; r)j
Z
Q(x;r)
jf (y)
1
f (x)j dy = l m
r!0 jQ(x; r)j
Z
Q(x;r)
se sigue que x 2
= At para todo t > 0, por lo cual x 2
= A:
Por otro lado, si x 2
= A obtenemos que
Z
1
l m sup
jf (y) f (x)j dy
r!0
jQ(x; r)j Q(x;r)
jf (y)
1
;
j
para todo j 2 N, así
0
Z
1
jf (y) f (x)j dy
l m nf
r!0
jQ(x; r)j Q(x;r)
Z
1
l m sup
jf (y) f (x)j dy = 0;
r!0
jQ(x; r)j Q(x;r)
f (x)j dy = 0;
1.1. FUNCIÓN MAXIMAL DE HARDY-LITTLEWOOD
7
luego
1
l m sup
r!0
jQ(x; r)j
Z
Q(x;r)
jf (y)
1
f (x)j dy = l m
r!0 jQ(x; r)j
Z
Q(x;r)
jf (y)
f (x)j dy = 0:
Será su…ciente demostrar que jAt j = 0 para todo t > 0; puesto que obtendremos
jB j = jAj = l mj!1 A1=j = 0: Sea > 0, dado que Cc (Rn ) es denso en L1 (Rn ),
existen funciones g y h tales que f = g + h, g es continua con soporte compacto y
khk1 < . Para g se tiene que
Z
1
jg(y) g(x)j dy = 0:
lm
r!0 jQ(x; r)j Q(x;r)
c
Por lo cual
1
l m sup
r!0
jQ(x; r)j
Z
Q(x;r)
jf (y)
f (x)j dy
Z
1
jg(y) g(x)j dy
l m sup
r!0
jQ(x; r)j Q(x;r)
Z
1
+ l m sup
jh(y) h(x)j dy
r!0
jQ(x; r)j Q(x;r)
Z
Z
1
1
l m sup
jh(x)j dy + l m sup
jh(y)j dy
r!0
r!0
jQ(x; r)j Q(x;r)
jQ(x; r)j Q(x;r)
jh(x)j + M h(x):
Así
At
fx 2 Rn : M h(x) > t=2g
Sin embargo por el Teorema 1.7
S
fx 2 Rn : h(x) > t=2g :
Et=2 = jfx 2 Rn : M h(x) > t=2gj
c khk1 =t < c =t
y
jfx 2 Rn : jh(x)j > t=2gj
2 khk1 =t < 2 =t:
En consecuencia At está contenido en un conjunto de medida menor a c =t , con
arbitrario, por lo tanto jAt j = 0:
Los puntos x para los cuales se satisface (1.4) se llaman puntos de Lebesgue de
f . Por Teorema 1.8 casi todo punto x 2 Rn es un punto de Lebesgue de f .
8
CAPÍTULO 1. FUNCIÓN MAXIMAL
Corolario 1.9 Sea f 2 L1loc (Rn ): Entonces, para cada punto de Lebesgue de f, y así
para casi todo x 2 Rn ,
Z
1
f (x) = l m
f (y)dy:
(1.5)
r!0 jQ(x; r)j Q(x;r)
jf (x)j
Prueba. Notemos que
Z
1
lm
f (y)dy
r!0 jQ(x; r)j Q(x;r)
(1.6)
M f (x):
1
lm
r!0 jQ(x; r)j
f (x)dy
Z
Q(x;r)
jf (y)
f (x)j dy;
por consiguiente obtenemos (1.5). Por otra parte, (1.6) es consecuencia directa de
(1.5) puesto que
Z
Z
1
1
f (y)dy sup
jf (y)j dy = M f (x):
f (x) = l m
r!0 jQ(x; r)j Q(x;r)
x2Q jQj Q
Enseguida, notemos que T
si x es un punto de Lebesgue de f y tenemos una sucesión
de cubos Q1 Q2 ::: con Qj = fxg, entonces
j
Z
1
f (y)dy:
f (x) = l m
j!1 jQj j Q
j
En efecto, si Qj tiene longitud de lado rj , tenemos que Qj
Q(x; rj ), jQ(x; rj )j =
n
n
2 jQj j y rj = jQj j, como l mj!1 jQj j = 0, entonces rj ! 0 cuando j ! 1. Así
1
jQj j
Z
Qj
f (y)dy
f (x)
1
jQj j
Z
Qj
jf (y)
2n
jQ(x; rj )j
Z
f (x)j dy
Q(x;rj )
jf (y)
f (x)j dy ! 0
cuando j ! 1:
Teorema 1.10 Sea f 2 L1 (Rn ) y t > 0, entonces existe una familia de cubos que no
se traslapan Ct que consiste en cubos diádicos maximales sobre los cuales el promedio
de jf j es mayor a t. Esta familia satisface:
1.2. FUNCIÓN MAXIMAL CON MEDIDAS DUPLICANTES
R
1
(i) Para cada Q 2 Ct : t < jQj
jf (x)j dx 2n t.
Q
S
(ii) Para casi todo x 2
= Q, donde Q varía sobre
S Ct , jf (x)j t.
n
(iii) Para t > 0, Et = fx 2 R : M f (x) > tg
3Q donde Q varía sobre C4
9
nt
.
Prueba. Por Proposición 1.5 y Teorema 1.7 obtenemos (i) y (iii), respectivamente.
Para demostrar (ii), sea Ct = fQS
j g la familia de cubos de Calderón-Zygmund
de f correspondientes a t y sea x 2
= j Qj . Entonces el promedio de jf j para cada
cubo diádico que contiene
T a x es menor a t. Sea fRk g una sucesión de cubos diádicos
decrecientes tales que k Rk = fxg. Para cada uno de ellos se tiene
Z
1
jf (y)j dy t:
jRk j Rk
Si x es un punto de Lebesgue de f , por ende es punto de Lebesgue de jf j y se obtiene
Z
1
jf (y)j dy t:
jf (x)j = l m
k!1 jRk j R
k
S
Se concluye que jf (x)j t para casi todo x 2
= j Qj :
1.2. Función maximal con medidas duplicantes
Estudiaremos ahora una generalización de la función maximal. Para un cubo Q y
> 0 denotaremos por Q al cubo con mismo centro que Q y con longitud de lado
veces la longitud del lado de Q.
De…nición 1.11 Sea una medida positiva de Borel sobre Rn , …nita en conjuntos
compactos. Diremos que es una medida duplicante si existe una constante C > 0
tal que
(2Q) C (Q);
(1.7)
para cada cubo Q.
Como ejemplo de medidas duplicantes tenemos las medidas jxja dx para a >
es decir
Z
(E) =
jxja dx:
n,
E
Aunque no lo haremos aquí, no es difícil veri…car que esta medida cumple con la condición (1.7) (ver por ejemplo [11], p. 285). La medida de Lebesgue en Rn es claramente
una medida duplicante.
10
CAPÍTULO 1. FUNCIÓN MAXIMAL
Proposición 1.12 Sea una medida duplicante y
tante C , que depende solo de , tal que
( Q)
C
> 0, entonces existe una cons-
(Q):
Prueba. Por de…nición de medida duplicante se tiene claramente que para m 2 N
(2m Q)
Sea
C m (Q):
> 0, entonces existe n 2 N tal que
( Q)
2n (Q)
2n , por lo que Q
2n Q, y así
C n (Q):
Se tiene que es …nita en conjuntos compactos de Rn , esto implica que es
regular (ver [8], p. 99). Notemos que para cada cubo Q, (Q) > 0, puesto que si
(Q) = 0 para algún cubo Q, tendríamos que ( Q)
C (Q) = 0, por lo que
n
(R ) = 0, que resulta ser una medida trivial.
De manera análoga de…niremos las función maximal de Hardy-Littlewood para
una función localmente -integrable.
De…nición 1.13 Sean f 2 L1loc ( ) y x 2 Rn , entonces la función maximal de
Hardy-Littlewood con respecto a de f , es la función M f dada por,
Z
1
jf (y)j d (y) ;
M f (x) = sup
(Q) Q
Q3x
donde el supremo se toma sobre todos los cubos Q que contienen a x. El operador
maximal de Hardy-Littlewood con respecto a es el operador M que envía a
la función f a la función M f:
De manera similar a la Proposición 1.2 obtenemos que M f (x) toma el mismo
valor si solo consideramos los cubos que contienen en su interior a x, por lo que a su
vez se obtiene que M f es semicontinua inferiormente.
Para f 2 L1 ( ) y t > 0 queremos obtener la descomposición en cubos de
Calderón-Zygmund de f y t relativos a la medida : A su vez queremos estimar
la medida del conjunto Et = fx 2 Rn : M f (x) > tg, el cual es abierto.
1.2. FUNCIÓN MAXIMAL CON MEDIDAS DUPLICANTES
11
Proposición 1.14 Sea medida duplicante. Existe una constante K > 1 tal que si
Q y Q0 son cubos diádicos con Q0
Q propiamente, entonces K (Q0 )
(Q):
Prueba. Sea Q00 un cubo diádico contenido en Q, y contiguo a Q0 y con el mismo
diámetro que Q0 . Entonces Q0 3Q00 y consecuentemente se tiene que:
(Q0 )
(3Q00 )
C (Q00 )
C( (Q)
(Q0 )):
Esto implica que
(1 + C) (Q0 )
C (Q);
por lo tanto, con K = (1 + C)=C obtenemos el resultado.
Como consecuencia de la Proposición 1.14 se tiene que si fQj g es una sucesión
de cubos diádicos estrictamente crecientes, entonces (Qj ) K j (Q0 ) ! 1 cuando
j ! 1. Concluimos que si tenemos una cadena de cubos diádicos crecientes tal que su
-medida es acotada por arriba, entonces su diámetro es acotado, es decir, la cadena
termina en un cubo que contiene a los demás.
Proposición 1.15 Si A > 0; entonces existe B > 0 tal que para cada par de cubos
Q y R que se traslapen y satisfagan jQj < A jRj, se cumple que (Q) < B (R) :
Prueba. Se tiene que jQj1=n < A1=n jRj1=n , entonces Q
= 2A1=n + 1, así (Q) < ( R) B (R).
R propiamente con
Denotaremos por Ct = Ct (f; ) a la colección formada por todos los cubos diádicos maximales que satisfacen la condición:
Z
1
jf (y)j d (y):
(1.8)
t<
(Q) Q
Por la desigualdad (1.8) (Q), está acotado por t 1 kf k1 . La Proposición 1.14
implica que cada cubo diádico que satisface la ecuación (1.8) está contenido en algún
elemento de Ct . Sea Q 2 Ct , si Q 2 DK y Q0 es el elemento en DK 1 , tal que Q Q0 ,
tenemos que
Z
1
jf (y)j d (y) t:
(Q0 ) Q0
Como Q0
3Q se tiene que
(Q0 )
(3Q)
C (Q) ; en consecuencia
12
CAPÍTULO 1. FUNCIÓN MAXIMAL
1
(Q)
Z
Q
C
(Q0 )
jf (x)j d (x)
Por lo tanto para Q 2 Ct se tiene,
Z
1
t<
jf (x)j d (x)
(Q) Q
Z
jf (x)j d (x)
Q0
C
(Q0 )
Z
Q0
jf (x)j d (x)
Ct:
Ct:
Sea x 2 Et , esto es M f (x) > t. Entonces existe un cubo R que contiene a x en
su interior y satisface
Z
1
t<
jf (y)j d (y) :
(R) R
Ahora sea Q un cubo diádico que se traslapa con R, y satisface jRj
y además
Z
t (R)
:
jf j d >
2n
R\Q
jQj < 2n jRj
Sea B la constante correspondiente a A = 2n en la Proposición 1.15 entonces
(Q) < B (R) y se sigue que
Z
t (Q)
jf j d > n ;
2 B
R\Q
por lo que inferimos
1
(Q)
Se sigue que Q
fQj g se obtiene Et
Z
Q
jf j d >
Qj para algún Qj 2 C2
S
j 3Qj y …nalmente,
(Et )
X
j
(3Qj )
C
nB
X
t
2n B
1t
:
yR
3Qj : Si C2
nB
1t
=
(Qj )
j
Z
C2n B X
jf j d
t
Q
j
j
3Q
C
t
Z
Rn
jf j d :
De manera análoga a como se probó el Teorema 1.8 y el Corolario 1.9, obtenemos
la siguiente extensión del teorema de diferenciación de Lebesgue:
1.3. ESTIMACIONES PARA LA FUNCIÓN MAXIMAL
13
Teorema 1.16 Sea f 2 L1locR( ): Entonces para casi toda x 2 Rn se tiene:
1
a)
l mr!0 (Q(x;r))
jf (y) f (x)j d (y) = 0.
Q(x;r) R
1
b)
f (x) = l mr!0 jQ(x;r)j Q(x;r) f (y)d (y).
c)
jf (x)j M f (x).
En particular, si Ct (f; ) = fQj g, se tiene que jf (x)j t para casi todo x 2
=
Finalmente podemos establecer el siguiente teorema:
S
j Qj :
Teorema 1.17 Sea f 2 L1 ( ) y t > 0. Entonces existe una familia de cubos que no
se traslapan Ct = Ct (f; ), formada por cubos diádicos maximales para los cuales el
promedio de jf j relativo a es mayor a t.
R Estos cubos satisfacen:
1
jf j d
Ct.
(i) Para cada Q 2 Ct : t < (Q)
Q
S
(ii) Para casi todo x 2
= Q, donde Q varía sobre Ct , se tiene jf (x)j
S t.
n
Además, para cada t > 0, el conjunto Et = fx 2 R : M f (x) > tg
3Q donde
Q varía sobre Ct=C , y se tiene la estimación:
Z
C
jf j d :
(Et )
t Rn
La letra C representa una constante absoluta, posiblemente diferente en cada ocurrencia.
1.3. Estimaciones para la función maximal
En esta sección obtendremos algunas estimaciones para la medida de Lebesgue
del conjunto Et , las cuales nos permitirán demostrar la desigualdad de tipo débil (1; 1)
y la desigualdad fuerte (p; p), 1 < p < 1, para el operador M .
Teorema 1.18 Sea f una función localmente integrable en Rn y sea t > 0. Entonces
se tienen las siguientes estimaciones de la medida de Lebesgue del conjunto Et =
fx 2 Rn : M f (x) > tg .
Z
C
jEt j
jf (x)j dx:
(1.9)
t fx2Rn :jf (x)j>t=2g
Z
C0
jEt j
jf (x)j dx:
(1.10)
t fx2Rn :jf (x)j>tg
Aquí C y C 0 son constantes que no dependen de f ni de t.
14
CAPÍTULO 1. FUNCIÓN MAXIMAL
Prueba. Sea f = f1 + f2 , donde f1 (x) = f (x) si jf (x)j > t=2 y f1 (x) = 0 de
otra manera. Puesto que jf2 j t=2 implica que M f2 t=2 obtenemos
M f (x)
M f1 (x) + M f2 (x)
M f1 (x) + t=2;
de aquí que si x 2 Et entonces t=2 < M1 f (x) por lo cual
jEt j
n
jfx 2 R : M f1 (x) > t=2gj
Z
C
=
jf (x)j dx:
t fx2Rn :jf (x)j>t=2g
3n 4n
t=2
Z
Rn
jf1 (x)j dx
Para probar la desigualdad (1.10) asumamos que f 2 L1 (Rn ). Entonces usamos
la descomposición de Calderón-Zygmund para f y t. Tenemos cubos Qj que no se
traslapan tales que
Z
1
jf (x)j dx 2n t;
t<
jQj j Qj
S
n
y jf (x)j t para
casi
todo
x
2
=
j Qj . Por lo que para casi todo x 2 R , si jf (x)j > t
S
entonces x 2 j Qj . Por otra parte x 2 Qj implica que M f (x) > t, es decir Qj Et ;
entonces se obtiene
Z
X
S
1 X
jQj j
jEt j
jf (x)j dx
j Qj =
2n t j Qj
j
Z
1
jf (x)j dx:
2n t fx2Rn :jf (x)j>tg
El siguiente resultado se prueba de manera análoga.
Teorema 1.19 Supóngase que es una medida positiva regular de Borel en Rn que
es duplicante. Entonces existen constantes C y C 0 , tales que para cualquier función
Borel medible f y cualquier t > 0:
Z
C
n
(fx 2 R : M f (x) > tg)
jf (x)j d (x) :
t fx2Rn :jf (x)j>t=2g
Z
C0
n
(fx 2 R : M f (x) > tg)
jf (x)j d (x) :
t fx2Rn :jf (x)j>tg
1.3. ESTIMACIONES PARA LA FUNCIÓN MAXIMAL
15
Del Teorema 1.18 se deriva la siguiente estimación para la función maximal.
Teorema 1.20 Para cada p con 1 < p < 1, existe una constante Cp;n > 0 tal que
para cada f 2 Lp (Rn )
Z
1=p
p
(M f (x)) dx
Cp;n
Rn
Prueba.
Z
Z
p
(M f (x)) dx = p
Rn
Z
1=p
p
Rn
1
tp
jf (x)j dx
:
jfx 2 Rn : M f (x) > tgj dt
0
Z
Z 1
p 2
jf (x)j dxdt
t
Cp
fx2Rn :jf (x)j>t=2g
0
!
Z
Z 2jf (x)j
Z
C2p 1 p
p 2
= Cp
jf (x)j
t dt dx =
jf (x)jp dx:
p
1
n
n
R
0
R
1
De manera análoga obtenemos el siguiente resultado.
Teorema 1.21 Sea una medida positiva regular de Borel en Rn que es duplicante.
Entonces para cada p con 1 < p < 1, existe una constante Cp > 0 tal que para cada
f 2 Lp ( ):
kM f kp Cp kf kp :
Es trivial que para f 2 L1 (Rn ) se tiene kM f k1
C kf k1 . Por lo que por el
Teorema 1.20 obtenemos que el operador M es acotado en Lp (Rn ) para 1 < p
1. Sin embargo M , no es acotado en L1 (Rn ). De hecho para f
0 se tiene que
Mf 2
= L1 (Rn ) al menos que f (x) = 0 para casi todo x 2 Rn . Esto el fácil de ver:
supongamos que M f 2 L1 (Rn ), para a > 0 y jxj > a se tiene que
Z
1
jf (y)j dy
M f (x)
jQ (x; 2 jxj)j Q(x;2jxj)
Z
C
= n
jf (y)j dy:
jxj Q(0;a)
1
jQ (0; 2 jxj)j
Z
Q(0;a)
jf (y)j dy
16
CAPÍTULO 1. FUNCIÓN MAXIMAL
Dado que jxj
n
no es integrable para jxj > a se sigue que
Z
Q(0;a)
jf (y)j dy = 0;
para a > 0 arbitrario, por lo que f = 0 casi en todas partes.
1
Ejemplo 1.22 Sea f (x) = x
(log x)
2
X(0;1=2] . Entonces f 2 L1 (R) y M f 2
= L1loc (Rn ).
Prueba. El cambio de variable u = log x muestra que f 2 L1 (R). Probaremos
que M f 2
= L1loc (Rn ). Sea x 2 (0; 1=2). Para n 2 N con x + 1=n < 1=2, consideremos
el intervalo [0 + 1=n; x + 1=n], se tiene
M f (x) = sup
[a;b]3x
=
1
jb
1
1
x ln y
aj
Z
[a;b]\(0;1=2]
x+1=n
=
1=n
1
x
dy
y (log y)2
1
x
Z
x+1=n
1=n
1
ln (x + 1=n)
1
ln (1=n)
dy
y (log y)2
,
para todo n 2 N con x + 1=n < 1=2, por lo cual
M f (x)
1
;
x ln jxj
para x 2 (0; 1=2). Un cálculo sencillo muestra que
1
jxj lnjxj
no es localmente integrable.
La estimación jfx 2 Rn : M f (x) > tgj Ct kf k1 actúa como un sustituto al acotamiento en L1 . A continuación presentamos otro sustituto a este acotamiento.
Teorema 1.23 Sea f una función integrable con soporte en una bola B
Rn . En-
tonces M f es integrable sobre B si y solo si:
Z
B
jf (x)j log+ jf (x)j dx < 1:
Prueba. Si se tiene (1.11) entonces
(1.11)
1.3. ESTIMACIONES PARA LA FUNCIÓN MAXIMAL
Z
Z
Z
1
17
1
jfx 2 B : M f (x) > 2tgj dt
jfx 2 B : M f (x) > tgj dt = 2
0
0
Z 1
Z 1
2
jBj dt +
jE2t j dt
0
1
Z 1 Z
1
jf (x)j dxdt
2 jBj + C
t fx2Rn :jf (x)j>tg
1
Z
Z jf (x)j
dt
= 2 jBj + C
jf (x)j
dx
t
n
1
ZR
= 2 jBj + C
jf (x)j log+ jf (x)j dx:
M f (x)dx =
B
Rn
En esta parte de la prueba no se utilizó
el hecho de que f tenga soporte en B.
R
El mismo argumento muestra que si Rn jf (x)j log+ jf (x)j dx < 1 entonces M f es
localmente integrable.R
Supongamos que B M f (x)dx < 1. Sea c el centro de la bola B, denotemos por
0
B laR bola con centro en c y con radio dos veces el radio de B: Mostraremos primero
que B 0 M f (x)dx < 1: Sea x 2 B 0 n B y sea x el punto simétrico a x con respecto
a la frontera de B: Para r > 0 se tiene que B \ B (x; r)
B (x ; r). Como f tiene
soporte en B se sigue que
Z
Z
1
1
jf (y)j dy
jf (y)j dy CM f (x ):
jB(x; r)j B(x;r)
jB(x ; r)j B(x ;r)
En consecuencia M f (x) CM f (x ): Así
Z
Z
Z
M f (x)dx =
M f (x)dx +
B0
B
B 0 nB
M f (x)dx
(1 + C)
Z
Además para x 2
= B 0 tenemos
M f (x)dx:
B
Z
Z
1
1
CM f (x) = sup
jf (y)j dy = sup
jf (y)j dy
r>0 jB(x; r)j B(x;r)
r>jx cj=2 jB(x; r)j B(x;r)
Z
Z
1
1
jf (y)j dy
jf (y)j dy < 1:
jB(x; jx cj =2)j B
jBj B
Como jB(x; jx
cj =2)j ! 1 cuando jxj ! 1 entonces
Z
1
CM f (x)
jf (y)j dy ! 0
jB(x; jx cj =2)j B
18
CAPÍTULO 1. FUNCIÓN MAXIMAL
cuando jxj ! 1: Así, dado t > 0 existe r > 0 tal que si jxj r entonces M f (x) t,
por lo cual fx 2 Rn : M f (x) > tg B(0; r), luego
Z
Z
Z
Z
M f (x)dx
M f (x)dx =
M f (x)dx +
M f (x)dx
fx2Rn :M f (x)>tg
B(0;r)
B0
B(0;r)nB 0
Z
M f (x)dx + C jB(0; r) n B 0 j < 1:
B0
Por lo que
Z
Z
M f (x)dx
fx2Rn :M f (x)>1g
fx2Rn :M f (x)>1g
Z 1
n
Z
M f (x)
dtdx
1
jfx 2 R : M f (x) > tgj dt
Z 1
Z
1
jf (x)j dxdt
2n t fx2Rn :jf (x)j>tg
1
Z
Z f (x)
dt
1
jf (x)j
dx
= n
2 Rn
t
1
Z
1
= n
jf (x)j log+ jf (x)j dx:
2 Rn
=
1
En consecuencia se obtiene la ecuación (1.11)
Este teorema se extiende para M donde
es una medida positiva de Borel
duplicante.
Para f 2 L1loc (Rn ). Denotaremos por fQ al promedio de f sobre el cubo Q, esto
es
Z
1
fQ =
f (x) dx:
jQj Q
medible y no negativa y sea f 2 L1loc (Rn ). Entonces
Z
C
(x) dx
jf (x)j M (x) dx:
t Rn
fx2Rn :M f (x)>tg
Proposición 1.24 Sea
Z
Prueba. Sin pérdida de generalidad supongamos que f 0: Existe una sucesión
f1
f2
:::, fj ! f casi en todas
ffj g1
j=1 de funciones integrables tales que, 0
partes.
1.3. ESTIMACIONES PARA LA FUNCIÓN MAXIMAL
19
Primero veremos que
fx 2 Rn : M f (x) > tg =
[
j
fx 2 Rn : M fj (x) > tg :
(1.12)
Como fj
f casi en todas partes, entonces M fj (x)
M f (x) para x 2 Rn , por
lo que si M fj (x) > t entonces M f (x) > t. Por otra parte, si x 2 Rn satisface que
M f (x) > t, existe un cubo Q tal que fQ > t; dado que fj ! f casi en todas partes
y crecientemente, se sigue que (fj )Q ! fQ ; por lo cual existe k tal (fk )Q > t, de aquí
que M fk (x) > t.
De esta forma, si cada fj satisface
Z
Z
C
jfj (x)j M (x) dx;
(x) dx
t Rn
fx2Rn :M fj (x)>tg
esto nos lleva a
Z
fx2Rn :M f (x)>tg
Z
(x) dx = l m
(x) dx
j!1 fx2Rn :M f (x)>tg
j
Z
C
=
jf (x)j M (x) dx:
t Rn
C
lm
t j!1
Z
fj (x)M (x) dx
Rn
Entonces podemos asumir que f 2 L1 (Rn ). Sea t > 0, por la descomposición de
Calderón-Zygmund obtenemos una colección de cubos que no se traslapan fQj g tales
que
Z
1
t
t
<
f (x)dx
;
n
4
jQj j Qj
2n
[
fx 2 Rn : M f (x) > tg
3Qj :
j
Por lo cual
Z
Z
(x) dx
fx2Rn :M f (x)>tg
(x) dx
[j 3Qj
=
X
j
1
j3Qj j
Z
3Qj
XZ
j
(x) dx
3Qj
(x) j3Qj j dx
Z
Z
1
3n 4n
(x)
f (y)dydx
j3Qj j 3Qj
t
Qj
j
Z
Z
3n 4n X
1
=
f (y)
(x) dxdy:
t
j3Qj j 3Qj
Qj
j
X
20
CAPÍTULO 1. FUNCIÓN MAXIMAL
Si y 2 Qj , se sigue que y 2 3Qj , en consecuencia
Z
1
M (y)
(x) dx:
j3Qj j 3Qj
Por lo tanto
Z
fx2Rn :M f (x)>tg
Z
3n 4n X
f (y) M (y) dy
(x) dx
t
Q
j
j
Z
C
=
f (x)M (x) dx:
t Rn
1.4. La función maximal diádica
Ahora estudiaremos otro tipo de función maximal para la cual también obtendremos la desigualdad de tipo débil (1; 1).
De…nición 1.25 Sea f 2 L1loc (Rn ), y sea
Ek f (x) =
X
Q2Dk
1
jQj
Z
Q
f
XQ (x);
La función maximal diádica de f está de…nida por
Md f (x) = sup jEk f (x)j :
k
El operador maximal diádico Md es el operador que envía a la función f a la
función Md f:
De la de…nición de Ek f (x) se tiene que si
es la unión de los cubos en Dk ,
entonces
Z
Z
Ek f =
f:
Teorema 1.26 (1) El operador maximal diádico Md es de tipo débil (1; 1).
(2) Si f 2 L1loc (Rn ) entonces l mk!1 Ek f (x) = f (x) :
1.4. LA FUNCIÓN MAXIMAL DIÁDICA
21
Prueba. Sea f 2 L1 (Rn ), sin pérdida de generalidad supongamos que f
k
= fx 2 Rn : Ek f (x) >
y Ek f (x)
0. Sea
si j < kg :
Notemos primero que
fx 2 Rn : Md f (x) > g =
[
k:
k
S
Claramente k k
fx 2 Rn : Md f (x) > g : Sea x 2 Rn tal que Md f (x) > ,
entonces existe k1 2 Z, tal que Ek1 f (x) > . Por otra parte, como f 2 L1 (Rn ) existe
k2 2 Z tal que para Q 2 Dk2 se tiene kf k1 = jQj
, por lo que para j k2 obtenemos
que Ej f (x)
. Sea k = m n fz 2 Z : Ez f (x) > g, consecuentemente Ek f (x) >
y Ej f (x)
si j < k.
Si x 2 k , existe Q 2 Dk tal que x 2 Q y fQ > , donde
Z
1
f (x) dx:
fQ =
jQj Q
Además para j < k; si Q0 2 Dj con x 2 Q0 , entonces fQ0
es la unión de cubos en Dk . Por construcción, los conjuntos
de aquí que
n
jfx 2 R : Md f (x) > gj
X
j
k
X1Z
kj
k
X1Z
: Se sigue que cada k
k son ajenos por pares,
k
f
k
1
Ek f
k
kf k1 :
(2) es una consecuencia del Teorema de diferenciación de Lebesgue puesto que la
medida de Q 2 Dk tiende a cero cuando k tiende a in…nito.
Observemos que el operador Md es de tipo fuerte (p; p), para 1 < p < 1. Puesto
que si f 2 L1 (Rn ) y x 2 Rn , existe un único cubo Q 2 Dk tal que x 2 Q, por
consiguiente
Z
1
jEk f (x)j =
f
kf k1 ;
jQj Q
para todo k 2 Z; así jMd f (x)j kf k1 , lo que implica la desigualdad de tipo fuerte
(1; 1). Por el Teorema de interpolación de Marcinkiewicz se obtiene que Md es de
tipo fuerte (p; p), para 1 < p < 1.
22
CAPÍTULO 1. FUNCIÓN MAXIMAL
1.5. La función maximal sharp
De…nición 1.27 Sea f 2 L1loc (Rn ), la función maximal sharp de f , es la función
M # f , de…nida por
Z
1
#
M f (x) = sup
jf (y) fQ j dy;
Q3x jQj Q
para todo x 2 Rn . El supremo se toma sobre todos los cubos Q que contienen a x, y
fQ representa el promedio de f en Q, es decir
Z
1
fQ =
f (x) dx:
jQj Q
El operador maximal sharp f ! M # f , es análogo al operador maximal de HardyLittlewood M , mas sin embargo tiene ciertas ventajas sobre M . Claramente se tiene
M # f (x) 2M f (x) :
Enseguida probaremos un par de lemas cuya demostración será un ingrediente
muy importante para la obtención de algunos resultados cruciales en el Capítulo 4.
Lema 1.28 Sea f 2 Lp0 para algún p0 , 1
> 0 se tiene:
p0 < 1, entonces para toda
x 2 Rn : Md f (x) > 2 ; M # f (x)
> 0 y
2n jfx 2 Rn : Md f (x) > gj :
Prueba. Sin pérdida de generalidad supongamos que f
Se tiene que
Z
Z
1=p0
1
1
p0
f
f
;
jQj Q
jQj Q
0. Fijemos ;
> 0:
por lo que de manera análoga a como se hizo en el Teorema 1.26, el conjunto
fx 2 Rn : Md f (x) > g
se puede representar como la unión de cubos disjuntos diádicos maximales. Así, si Q
es uno de estos cubos, será su…ciente con demostrar que
x 2 Q : Md f (x) > 2 ; M # f (x)
2n jQj :
e el cubo diádico que contiene a Q, cuya longitud de los lados es el doble de la
Sea Q
longitud de los lados de Q. Puesto que Q es maximal, se sigue que fQe
:
1.5. LA FUNCIÓN MAXIMAL SHARP
23
Si Md f (x) > 2 , existen k 2 Z y Q0 2 Dk con x 2 Q0 tal que fQ0 > 2 . Dado que
Q es maximal y fQ0 > , se sigue que Q0 Q: Entonces
Z
Z
1
1
f XQ = 0
f >2 ;
jQ0 j Q0
jQ j Q0
consecuentemente Md (f XQ ) (x) > 2 .
Esto implica que
Md
fQe XQ (x) + fQe
f
Md
f
= Md
f
fQe XQ (x) + fQe XQ (x)
fQe XQ + fQe XQ (x)
= Md (f XQ ) (x) > 2 :
Entonces
Md
f
fQe XQ (x)
Md (f XQ ) (x)
Como Md es de tipo débil (1; 1) tenemos que
Z
o
n
1
x 2 Q : Md f fQe XQ (x) >
fQe > :
f (x) fQe dx
Z
2n jQj 1
f (x) fQe dx
e Qe
Q
Q
2n jQj
Si el conjunto
x 2 Q y M # f (x)
x 2 Q : Md f (x) > 2 ; M # f (x)
, entonces
nf M # f (x) :
x2Q
es vacío, es trivial. Si
x 2 Q : Md f (x) > 2 ; M # f (x)
jfx 2 Q : Md f (x) > 2 gj
n
o
x 2 Q : Md f fQe XQ (x) >
2n jQj
nf M # f (x)
x2Q
2n jQj :
La estimación que hemos establecido en el Lema previo se conoce como una
desigualdad de tipo good lambda.
Finalmente, compararemos los operadores Md y M # .
24
CAPÍTULO 1. FUNCIÓN MAXIMAL
Lema 1.29 Si 1
p0
Z
Rn
p < 1 y f 2 Lp0 entonces
Z
p
p
[Md f (x)] dx C
M # f (x) dx:
Rn
Prueba. Para N > 0 sea
Z N
p
IN =
p 1
0
jfx 2 Rn : Md f (x) > gj d :
Mostraremos primero que IN es …nito
Z
p N
p0 p p0 p0 1 jfx 2 Rn : Md f (x) > gj d
IN =
p0 0
Z
p p p0 1
N
p0 p0 1 jfx 2 Rn : Md f (x) > gj d
p0
0
p p p0
kMd f kpp00 < 1:
= N
p0
Si hacemos cambio de variable = 2 obtenemos
Z N=2
p
IN = 2
p p 1 jfx 2 Rn : Md f (x) > 2 gj d
0
Z N=2
p
2
p p 1
x 2 Rn : Md f (x) > 2 ; M # f (x)
+
0
x 2 Rn : M # f (x) >
Por Lema 1.28 se sigue que
Z N=2
p
IN 2
p p
0
Z N=2
+ 2p
p p
1
p+n
2
IN + 2
jfx 2 Rn : Md f (x) > gj 2n d
x 2 Rn : M # f (x) >
1
0
p
d :
Z
N=2
p
p 1
0
Ahora con
x 2 Rn : M # f (x) >
d ;
tenemos
=
IN
d
p+n
2
IN +
2p
p
Z
0
N=2
p
p 1
x 2 Rn : M # f (x) >
d :
1.5. LA FUNCIÓN MAXIMAL SHARP
Fijemos
25
tal que 2p+n = 1=2, luego
2p+1
IN
p
Z
N=2
p
p 1
0
x 2 Rn : M # f (x) >
d ;
(1.13)
El caso M # f p = 1 es trivial. Supongamos que M # f p < 1: Tomemos límite
cuando N ! 1 en (1.13)
Z 1
Z
2p+1 1 p 1
p 1
n
p
jfx 2 R : Md f (x) > gj d
x 2 Rn : M # f (x) >
p
d ;
p
0
es decir,
0
Z
Rn
p
[Md f (x)] dx
2p+1
p
Z
p
M # f (x) dx:
Rn
En el Capítulo 4 generalizaremos este resultado a medidas de la forma w (x) dx,
con w una función apropiada.
26
CAPÍTULO 1. FUNCIÓN MAXIMAL
CAPÍTULO 2
TRANSFORMADA DE HILBERT
En este capítulo empezaremos por abordar el núcleo conjugado de Poisson y el
valor principal de 1=x, los cuales utilizaremos para de…nir la transformada de Hilbert.
Después introduciremos los Teoremas de M. Riesz y Kolmogorov que nos permitirán
mostrar su acotamiento. La transformada de Hilbert es el operador que sirve como
modelo en la familia de operadores de Calderón-Zygmund que estudiaremos en el
próximo capítulo. Nuestra exposición se basa primordialmente en [6].
2.1. Núcleo conjugado de Poisson
Dada una funcion f en S (R), su extensión armónica al semiplano superior está
dada por la función u(x; t) = Pt f (x), donde Pt es el núcleo de Poisson unidimensional
Pt (x) =
Se sabe que Pbt ( ) = e
(t2
t
:
+ x2 )
2 tj j
, entonces por el teorema de inversión se tiene
Z
Z
2
ix
\
u(x; t) = P
d = e 2 tj j fb( )e2 ix d :
t f ( )e
Sea z = x + it, luego
Z
1
e
fb( )e2
Z
0
d +
e2 t fb( )e2 ix d
0
1
Z 0
Z 1
fb( )e2 i(x+it) d +
fb( )e2 i(x it) d
=
0
1
Z 1
Z 0
=
fb( )e2 iz d +
fb( )e2 iz d :
u(z) =
2 tj j
ix
0
1
Ahora de…namos
iv(z) =
Z
0
1
fb( )e
2 iz
d
27
Z
0
1
fb( )e2
iz
d :
28
CAPÍTULO 2. TRANSFORMADA DE HILBERT
Se puede veri…car directamente que v es armónica en R2+ . Además u y v son reales si
f es real. También se tiene que u + iv es holomorfa pues
Z 1
fb( )e2 iz d ;
(u + iv)(z) = 2
0
y el integrando es holomorfo con respecto a z: De aquí inferimos que v es el conjugado
armónico de u. Para z = x + it obtenemos que
v(x; t) =
Z
1
0
=
Z
1
( i)fb( )e2
( i)e
2 t
0
=
Z
1
i(x+it)
fb( )e2
( i)sgn( )e
Z
d
ix
2 tj j
1
d +
0
( i)fb( )e2
1
Z 0
( i)e2
1
fb( )e2
ix
d :
i(x it)
t
d
fb( )e2
ix
d
Por el teorema de inversión esto equivale a
v(x; t) = Qt f (x);
donde
ct ( ) = ( i)sgn( )e
Q
2 tj j
:
ct ( ) obtenemos el núcleo conjugado de
Si invertimos la transformada de Fourier de Q
Poisson.
De…nición 2.1 El núcleo conjugado de Poisson Qt está dado por
Qt (x) =
(t2
x
:
+ x2 )
Nótese que Q(x; t)
Qt (x) es una función armónica en R2+ y que Qt (x) es el
conjugado armónico del núcleo de Poisson Pt (x), puesto que para z = x + it se tiene
Pt (x) + iQt (x) =
t + ix
=
(t2 + x2 )
i(x it)
i
=
;
(x + it) (x it)
z
la cual es analítica en R2+ .
Dado que u(x; t) = Pt f (x) y fPt gt>0 es una identidad aproximada, tenemos que
para f 2 Lp (R), 1 p < 1, se cumple que u(x; t) ! f (x) en Lp (R) cuando t ! 0.
2.2. EL VALOR PRINCIPAL DE 1=X
29
Nos gustaría obtener una estimación análoga para v(x; t); sin embargo fQt gt>0 no es
una identidad
p aproximada, de hecho Qt no es integrable para cualquier t > 0; pues
para jxj
t se tiene
jQt (x)j =
jxj
(t2 + x2 )
jxj
1
;
=
2 x2
2 jxj
y 1=2 jxj es claramente no integrable. Obsérvese que para x 6= 0 se tiene
l m Qt (x) =
t!0
1
:
x
La función 1= x no es localmente integrable, así no es posible de…nir convolución con
funciones suaves.
2.2. El valor principal de 1=x
La función 1=x 2
= S(R), sin embargo de…ne una distribución temperada de la
siguiente manera.
De…nición 2.2 El valor principal de 1=x es la distribución temperada, denotada
1
v:p: , dada por
x
Z
(x)
1
dx,
2 S (R) :
(2.1)
v:p: ( ) = l m+
!0
x
x
jxj>
Para mostrar que la ecuación (2.1) de…ne efectivamente una distribución temperada notemos que
Z
Z
Z
(x)
(x)
(x)
dx = l m+
dx +
dx;
l m+
!0
!0
x
jxj>
<jxj<1 x
jxj>1 x
como la función 1=x es impar se tiene
Z
Z
(x)
(x)
(0)
dx =
dx:
x
<jxj<1 x
<jxj<1
Por el teorema del valor medio se sigue que
Z
(x)
dx
<jxj<1 x
C1 k 0 k1 ;
30
CAPÍTULO 2. TRANSFORMADA DE HILBERT
además
Z
jxj>1
Z
Z
j (x)j
jx (x)j
dx =
dx
x2
jxj>1 jxj
jxj>1
Z
dx
= C2 kx (x)k1 ;
kx (x)k1
x2
(x)
dx
x
de lo que se sigue que
1
v:p: ( )
x
C(k 0 k1 + kx (x)k1 );
lo que prueba que v:p: x1 2 S 0 (R):
Proposición 2.3 En S 0 (R), se tiene
l m Qt =
1
t!0
1
v:p: :
x
Prueba. Para cada > 0; sea (x) = x 1 Xfjxj> g : Cada
es acotado, se sigue
que cada
de…ne una distribución temperada. Para 2 S(R) se tiene que
Z
Z
(x)
l mh ; i = l m
(x) (x)dx = l m
dx
!0
!0
!0 jxj>
x
1
1
= v:p: ( ) = v:p: ;
;
x
x
por lo cual
1
en S 0 (R):
!0
x
Por lo tanto basta con demostrar que en S 0 (R)
lm
= v:p:
l m Qt
t!0
Sea
h Qt
1
t
= 0:
2 S(R), entonces
Z
Z
(x)
x (x)
dx
dx
t; i =
2
2
jxj>t x
R t +x
Z
Z
x
1
x (x)
=
dx +
2
2
2
2
t +x
x
jxj>t
jxj<t t + x
Z
Z
y (ty)
(ty)
=
dy
dy:
2
2
jyj<1 1 + y
jyj>1 y (1 + y )
(x)dx
(sustituyamos x = ty)
2.2. EL VALOR PRINCIPAL DE 1=X
31
R
M1
Tenemos que jy (ty)j
M1 y j (ty)j
M2 , también que jyj<1 1+y
2 dy < 1 y
R
M2
dy < 1, por lo que el teorema de convergencia dominada implica que
jyj>1 y(1+y 2 )
l m h Qt
t!0
t;
i=
Z
jyj<1
y (0)
dy
1 + y2
Z
jyj>1
(0)
dy:
y (1 + y 2 )
Como ambos dominios son simétricos y ambos integrandos son impares se sigue
que l mt!0 h Qt
2 S(R), concluyendo así que l mt!0 Qt 1
t ; i = 0 para todo
0.
Como consecuencia de la Proposición 2.3 obtenemos que para f 2 S(R)
1
l m (Qt f ) (x) =
t!0
1
v:p:
x
f
(x) =
1
lm
t!0
Z
f (x
jyj>t
y)dy
y
:
Proposición 2.4 En S 0 (R), se tiene
1
1
p:v:
x
b
( ) = ( i)sgn( ):
Prueba. Es conocido que la transformada de Fourier es continua en S 0 (R) y como
[1 en S 0 (R). Además
ct = 1 v:p:
l mt!0 Qt = 1 v:p: 1 en S 0 (R), se sigue que l mt!0 Q
x
x
ct ( ) = ( i)sgn( )e
Q
2 tj j
;
de lo cual se obtiene que para toda 2 S(R)
Z
D
E
c
l m Qt ;
= l m ( i)sgn( )e 2 tj j ( )d
t!0
t!0
Z
= ( i)sgn( ) ( )d = h( i)sgn( ); ( )i ;
ct = ( i)sgn( ) en S 0 (R), y por lo tanto
de lo que se in…ere l mt!0 Q
1
p:v:
1
x
b
( ) = ( i)sgn( ):
t
=
32
CAPÍTULO 2. TRANSFORMADA DE HILBERT
2.3. De…nición y propiedades de la Transformada de Hilbert
De las proposiciones 2.3 y 2.4 obtenemos la siguiente de…nición.
De…nición 2.5 Sea f 2 S(R), la transformada de Hilbert de f , denotada por Hf ,
está dada por cualquiera de las siguientes expresiones
Hf = l m (Qt f )
t!0
Hf =
1
v:p:
1
x
f
(Hf )b( ) = ( i)sgn( )fb( ) :
(2.2)
Notemos que (2.2) permite de…nir la transformada de Hilbert en L2 (R). Para
f 2 L2 (R) sea f n g una sucesión en S(R) tal que n ! f en L2 (R). Nótese que
fH n g es una sucesión de Cauchy, puesto que
kH
m
H
n k2
= kH(
= (
n )k2
m
m
b
n) ( )
= (H(
2
= k(
b
n )) (
m
)
2
n )k2 :
m
Se sigue que fH n g converge en L2 (R). Por lo tanto la Transformada de Hilbert de
f es la función Hf de…nida por
Hf = l m H
n!1
n
en L2 (R):
Veamos que Hf es independiente de las sucesión elegida. Si
2
L2 (R); entonces n
n ! 0 en L (R) y como
kH
n
H
n k2
= H( \
n
n)
2
\ n)
= ( m
2
n
= k(
!f y
m
! f en
n
n )k2
;
entonces H n H n ! 0 en L2 (R):
La transformada de Hilbert satisface las siguientes propiedades en L2 (R).
Proposición 2.6 Sean f; g 2 L2 (R), entonces se tiene
kHf k2 = kf k2 ;
Z
H(Hf ) = f;
Z
Hf g =
f Hg:
(2.3)
(2.4)
(2.5)
2.4. TEOREMAS DE M. RIESZ Y KOLMOGOROV
33
Prueba. La igualdad (2.3) se satisface puesto que
kHf k2 = (Hf )b( )
2
= fb( )
2
= kf k2 :
Por otra parte se tiene
(H(Hf ))b( ) = ( i)sgn( ) (Hf )b( ) =
fb( ) = ( f )b( ) ;
y como la transformada de Fourier es una biyección en L2 (R) se obtiene (2.4).
R
R
Por último, para demostrar (2.5), se sabe que fb g = f gb, en consecuencia
Z
Z
Z
Z
b
b
ge = (Hf ) ( ) b
ge( )d = ( i)sgn( )fb( ) b
ge ( ) d
Hf g = Hf b
Z
Z
b
b
b
= f ( ) (He
g ) ( ) d = fb( ) (He
g) ( ) d
Z
Z
e
f
f ( ) Hg ( ) d =
f Hg.
=
2.4. Teoremas de M. Riesz y Kolmogorov
Mostraremos que la de…nición de la transformada de Hilbert, de…nida hasta ahora
en S(R) o L2 (R), se puede extender a funciones en Lp (R), para 1 p < 1.
Teorema 2.7 (Teorema de Kolmogorov) Sea f 2 S(R); entonces H es de tipo débil
(1; 1):
C
kf k1 :
jfx 2 R : jHf (x)j > gj
Prueba. Supongamos que f
0. Sea > 0, por descomposición de CalderónZygmund existe una sucesión de intervalos fIj g tales que
[
f (x)
para casi todo x 2
= =
Ij ;
j
j j
1
kf k1;
34
CAPÍTULO 2. TRANSFORMADA DE HILBERT
1
<
jIj j
Z
f
2 :
Ij
Ahora descompongamos a f como la suma de las funciones g y b, dadas por
f (x)
R
1
g (x) =
jIj j
y
f
Ij
b(x) =
si x 2
=
si x 2 Ij
X
bj (x)
1
jIj j
Z
j
donde
bj (x) =
f (x)
!
f
Ij
XIj (x) :
Notemos primero que kgk1 = kf k1 pues
Z "X
# Z
"
Z !
Z !#
X Z
1
1
g=
f+
f+
f X Ij =
f
jIj j Ij
jIj j Ij
c
c
R
Ij
i
i
"
! Z
# Z
Z
Z
Z
Z !
X
X Z
1
f =
f+ f=
f:
f+
f jIj j =
f+
=
jIj j Ij
c
c
c
Ij
R
i
i
Z
Z
También nótese que g 2 L2 (R) puesto que
Z
g2 =
R
Z
Z
=
Z
f2 +
c
1
jIj j
i
2
f +
c
Z "X
i
2
f +
c
Z "X
X Z
i
Ij
f
1
jIj j
!
2
Z
f
Ij
Z
f
!
2
Ij
=
Z
XIj
!
#2
#
XIj =
2
f +
c
Z
De aquí obtenemos que b 2 L1 (R) \ L2 (R) y
Como Hf = Hg + Hb, se sigue que
jfx 2 R : jHf (x)j > gj
=
Z
Z
2
f2 +
c
2
f +
c
f =
Z
R
R
2
X
4
Z
i
X
i
"Z
Ij
1
jIj j
1
jIj j
Z
f
Ij
Z
Ij
f
!2
2
3
XIj 5
!#
f 2 < 1:
b = 0.
jfx 2 R : jHg(x)j > =2gj + jfx 2 R : jHb(x)j > =2gj :
2.4. TEOREMAS DE M. RIESZ Y KOLMOGOROV
35
Estimaremos el primer sumando usando (2.3) y que g (x) 2 casi en todas partes.
Z
2Z
2
4
2
jfx 2 R : jHg(x)j > =2gj
jHg (x)j dx = 2
[g (x)]2 dx
R
R
Z
Z
8
8
=
g (x) dx =
f:
R
R
Sea
S 2Ij el intervalo con mismo centro que Ij y con el doble de longitud, y sea
= j 2Ij . Entonces
j
X
j
j
y obtenemos
j2Ij j = 2
X
j
jIj j = 2 j j
2
kf k1
jfx 2 R : jHb(x)j > =2gj = jfx 2
: jHb(x)j > =2gj + jfx 2
=
j j + jfx 2
=
: jHb(x)j > =2gj
Z
2
2
jHb (x)j dx:
kf k1 +
: jHb(x)j > =2gj
Rn
P
P
Observemos que j bj converge a b en L2 (R), pues j bj converge a b puntualmente,
P
Pn
jbj para todo n: Por (2.3) se sigue j Hbj converge Hb en
b 2 L1 (R) y
j bj
o
nP
nk
2
que converge casi en todas
L (R): De aquí que existe una subsucesión
j Hbj
k
partes a Hb, es decir
Hb(x) = l m
k!1
por lo cual
X
jHb(x)j
Entonces se tiene que
Z
Z
jHb (x)j dx
Rn
Rn
nk
X
j
X
j
j
Hbj (x) para casi todo x 2 R;
jHbj (x)j para casi todo x 2 R:
jHbj (x)j dx =
XZ
j
Para terminar la prueba falta mostrar que
XZ
jHbj (x)j dx
j
Rn2Ij
Rn
jHbj (x)j dx
C kf k1 :
XZ
j
Rn2Ij
jHbj (x)j dx:
36
CAPÍTULO 2. TRANSFORMADA DE HILBERT
Primero notemos que si x 2
= 2Ij , aunque bj 2
= S(R) se tiene
Z
bj (y)
Hbj (x) =
dy:
y
Ij x
(2.6)
En efecto, como bj 2 L2 (R), kbj k2
kbk2 , considérese f n g en Cc1 (R), tal que
2
sop n Ij y n ! bj en L (R): Para x 2
= 2Ij y y 2 Ij se tiene jx yj > jIj j =2, por
lo cual
Z
Z
n (y)
n (y)
H n (x) = l m
dy =
dy:
!0 fy2I :jx yj> g x
y
y
Ij x
j
Dado que h (y) =
Z
Ij
Z
(y)
dy
x y
n
1
x y
Ij
2 L2 (Ij ) cuando x 2
= 2Ij , se sigue que
Z
bj (y)
dy
x y
1
x
Ij
y
j
n
(y)
bj (y)j dy
khk2 k
bj k2 ! 0;
n
cuando n ! 1. Puesto que H n ! Hbj en L2 (R), existe una subsucesión fH
que converge casi en todas partes a Hbj . Por lo cual
Z
Z
bj (y)
nk (y)
Hbj (x) = l m H nk (x) = l m
dy =
dy,
k!1
k!1 I x
y
y
Ij x
j
lo cual establece (2.6)
R
Denotemos por cj el centro de Ij . Se tiene bj = 0, luego que
Z
Rn2Ij
jHbj (x)j dx =
Z
Rn2Ij
Z
Rn2Ij
Z
Ij
y puesto que jy
jx
cj j
yj
jx
Z
Ij
bj (y)
dy dx =
x y
Z
Ij
jbj (y)j
jbj (y)j
Z
Rn2Ij
jIj j =2 y jx
cj j
cj j
jHbj (x)j dx
Z
Rn2Ij
Z
Rn2Ij
Ij
!
1
x
1
y
x
jx
cj j
cj
jx
cj j =2, ya que
jIj j
> jx
2
cj j
obtenemos
Z
Ij
bj (y)
jy cj j
dy dx
jx yj jx cj j
!
jy cj j
dx dy;
jx yj jx cj j
yj > jx
jy
Z
jbj (y)j
Z
Rn2Ij
cj j
!
jIj j
dx dy:
(x cj )2
2
;
nk gk
dy dx
2.4. TEOREMAS DE M. RIESZ Y KOLMOGOROV
También se tiene
Z
Rn2Ij
jIj j
dx =
(x cj )2
Z
cj jIj j
1
jIj j
dx +
(x cj )2
cj jIj j
jIj j
(x cj )
=
37
Z
1
cj +jIj j
jIj j
dx
(x cj )2
1
jIj j
(x cj )
+
1
= 2;
cj +jIj j
y
Z
Ij
jbj (y)j =
Z
f (y)
Ij
Z
f (y) dy +
Ij
Ij
Se concluye que
XZ
j
Rn2Ij
jHbj (x)j
1
jIj j
Z
2
XZ
j
Ij
Z
f
Ij
1
jIj j
!
Z
jbj (y)j
dy
!
f
Ij
4
f (y) dy:
fj (y)
4 kf k1 .
dy = 2
Ij
XZ
j
Z
Ij
Se ha demostrado que H es de tipo débil (1; 1) para f
0. Esto es su…ciente,
pues una función real se descompone en su parte positiva y en su parte negativa, y
una función compleja en su parte real e imaginaria.
Teorema 2.8 (Teorema de M. Riesz). Sea f 2 S(R); entonces H es de tipo fuerte
(p; p), para 1 < p < 1, es decir:
kHf kp
Cp kf kp :
Prueba. Por el Teorema 2.7, H es de tipo débil (1; 1) y por la igualdad (2.3) es
de tipo fuerte (2; 2), entonces por Teorema de Interpolación de Marcinkiewicz, H es
de tipo fuerte (p; p) para 1 < p < 2. Para p > 2, se tiene que p0 < 2 con 1=p+1=p0 = 1,
por lo cual usaremos que H es de tipo fuerte (p0 ; p0 ) y la igualdad (2.5).
Z
Z
kHf kp = sup
Hf g : kgkp0 1 = sup
f Hg : kgkp0 1
n
o
kf kp sup kHgkp0 : kgkp0 1 = Cp0 kf kp :
38
CAPÍTULO 2. TRANSFORMADA DE HILBERT
Mediante los teoremas de Kolmogorov y de M. Riesz, extenderemos la de…nición
de la transformada de Hilbert a los espacios Lp (R), para 1 p < 1.
1
Sean f 2 L1 (R) y ffn g1
n=1 una sucesión en S(R) que converge a f en L (R).
Entonces por Teorema de Kolmogorov y la desigualdad de tipo débil (1; 1), fHfn g1
n=1
es una sucesión de Cauchy en medida, es decir para cada > 0
l m jfx 2 R : j(Hfn
m;n!1
Hfm ) (x)j > gj = 0.
En consecuencia, fHfn g1
n=1 converge en medida a una función medible, la cual llamaremos la transformada de Hilbert de f , denotada por Hf , es decir
Hf := l m Hfn en medida.
n!1
p
Sean f 2 Lp (R) y ffn g1
n=1 una sucesión en S(R) que converge a f en L (R).
1
Por el Teorema de M. Riesz y la desigualdad de tipo fuerte (p; p), fHfn gn=1 es una
p
sucesión de Cauchy en Lp (R), así fHfn g1
n=1 converge a una función en L (R) la cual
llamaremos la transformada de Hilbert de f , denotada por Hf ,
Hf := l m Hfn en Lp (R).
n!1
El operador H no es de tipo fuerte (p; p) para p = 1 o p = 1. Consideremos
la función f = X[0;1] 2 Lp (R), para 1
p
1. Sea f n g1
n=1 en Cc (R), tal que
n
n
sop n (0; 1), 0
1 y n = 1 en [1=2 ; 1 1=2 ]. Entonces se tiene que n ! f
n
en L2 (R), luego que H n ! Hf en L2 (R) y por lo tanto existe una subsucesión
f k g1
k=1 tal que Hf (x) = l mk!1 H k (x) casi en todas partes. Así para casi todo
x 2 R se tiene
Z
1
k (y)
Hf (x) = l m l m
dy:
k!1 !0 fy2R:jx yj> g x
y
2.4. TEOREMAS DE M. RIESZ Y KOLMOGOROV
39
Si x 2 (0; 1), para cada k que satisface x 2 1=2k ; 1 1=2k elíjase
B (x; k )
1=2k ; 1 1=2k , por lo que para < k se tiene
"Z
#
Z 1 1=2k
x
dy
1
dy
Hf (x) = l m l m
k!1 !0
y
y x
x+
1=2k x
=
=
=
1
1
1
l m l m [ ln (x
k!1 !0
lm lm
k!1 !0
l m ln x
k!1
y)]y=x
y=1=2k
ln ( ) + ln x
1=2k
ln 1
1=2k
> 0 tal que
k
1=2
x)]y=1
y=x+
[ln (y
1=2k
k
ln 1
x
=
1=2k
x + ln ( )
1
x
ln
x
1
:
1
De manera similar obtenemos que Hf (x) =
ln jx= (x 1)j para x 2
= [0; 1]. La
función ln jx= (x 1)j no es integrable y tampoco es acotada.
40
CAPÍTULO 2. TRANSFORMADA DE HILBERT
CAPÍTULO 3
OPERADORES DE CALDERÓN-ZYGMUND
La expresión “operador integral singular” hace mención a dos propiedades de
operadores que estudiaremos. Son de…nidos como integrales,
Z
T f (x) = K (x; y) f (y) dy;
donde K es singular de alguna manera. En este capítulo de…niremos operador de
Calderón-Zygmund y probaremos el acotamiento en Lp . Nuestra exposición estará
basada en las referencias [2], [6], [22].
Con el objeto de motivar la de…nición de esta familia de operadores, empezaremos
dando algunos ejemplos.
3.1. Ejemplos de Operadores Integrales Singulares
Ejemplo 3.1 La transformada de Hilbert.
Para f 2 S(R), sea
Z 1
Z
f (y)
1
1
dy = l m
Hf (x) = v:p:
!0 fy2R:jx
y
1 x
yj> g
f (y)
dy:
x y
La transformada de Hilbert es un ejemplo donde el integrando es no integrable,
por esta razón se utiliza el término “integral singular”. Si el núcleo (x y) 1 se
reemplaza por su valor absoluto, entonces el límite del valor principal no existe en
x siempre que f (x) 6= 0. De aquí que la de…nición de la transformada depende de
la cancelación de la integral. De hecho la teoría de operadores integrales singulares
descansa en tal cancelación.
Ejemplo 3.2 Las transformadas de Riesz.
Sea n 2 y 1 j n. Para f 2 S(Rn ) sea
Z
Rj f (x) = Cn l m
!0
fy2Rn :jx yj> g
donde
Cn =
((n + 1) =2) =
41
xj y j
f (y) dy;
jx yjn+1
(n+1)=2
:
42
CAPÍTULO 3. OPERADORES DE CALDERÓN-ZYGMUND
Las transformadas de Riesz constituyen una generalización directa a varias variables de la transformada de Hilbert. El límite en la de…nición existe para toda
f 2 S(Rn ) debido a la cancelación. La j-ésima transformada de Riesz satisface:
(Rj f )b( ) =
i
j
j j
fb( ) :
Las transformadas de Riesz tienen un interés particular en el análisis de ecuaciones
diferenciales parciales. Para f 2 S(Rn ) se tiene
@ 2f
=
@xi @xj
(Ri Rj 4f ) ;
puesto que
b
(Ri Rj 4f ) ( ) =
i
i
j j
i
d( ) =
4f
j
j j
También se tiene que
@ 2f
@xi @xj
i
b
jf ( ) =
@ 2f
@xi @xj
b
( ):
k4f kL2 ;
L2
ya que
@ 2f
@xi @xj
b
=
( )
L2
i
i
j j
i
j
j j
d( )
4f
L2
d
4f
L2
:
Es decir, el laplaciano controla todas las derivadas parciales de orden 2 en la norma
L2 .
Ejemplo 3.3 Transformadas con núcleo homogéneo.
De…namos
Z
(xj yj )
T (x) = l m
f (y) dy:
!0 fy2Rn :jx yj> g jx
yjn
donde
es una función que satisface ( x) = (x) para todo x 2 Rn y
además como función de…nida en la esfera unitaria S n 1 satisface que
Z
n 1
1
2L S
y
( ) d = 0:
Sn
1
> 0, y
3.2. OPERADORES INTEGRALES DE CALDERÓN-ZYGMUND
43
Para n
2; si (x) = xj = jxj, obtenemos la transformada de Riesz Rj . Para
n = 1, con (x) = sgn (x), se tiene la transformada de Hilbert. En ambos casos es
impar.
Ejemplo 3.4 La transformada de Beurling.
Para (x; y) ; ( ; ) 2 R2 , sea z = x + iy y = + i , por lo que la transformada
de Fourier se puede representar por
Z
fb( ; ) =
e 2 i( x+ y) f (x + iy) dxdy:
R2
Sea
m( ; ) =
i
= :
+i
Para f 2 L2 la transformada de Beurling está dada por
(Bf )b( ; ) := fb( ; ) m ( ; ) :
Al igual que la transformada de Riesz, la transformada de Beurling es un caso
particular de la transformada con núcleo homogéneo. Para f 2 Cc1 (R2 ) se tiene que
Z
1
f (w)
(Bf ) (z) =
v:p
d (w) ;
w)2
C (z
donde
denota la medida de Lebesgue en C. Este operador tiene núcleo
1
K (z) = 2 = jzj
z
2
(z) con
jzj2
(z) = 2 :
z
3.2. Operadores integrales de Calderón-Zygmund
En esta sección generalizaremos la teoría de acotamiento en Lp a operadores
integrales singulares. Estos operadores serán de…nidos usando distribuciones. Para
motivar la de…nición, supóngase que se tiene el siguiente operador de tipo convolución
Z
T f (x) = v:p: K (x y) f (y) dy;
donde K (x) = jxj
n
(x= jxj) ; y
es de tipo Hölder, es decir, j ( )
( 0 )j
44
CAPÍTULO 3. OPERADORES DE CALDERÓN-ZYGMUND
0
Cj
j ; para 0 <
< 1: Notemos las siguientes propiedades fundamentales:
jK (x)j
jK (x)
K (y)j
Para x 6= 0 se tiene
x
jxj
Así
x
jxj
x
x0
C
jxj jx0 j
C
C
;
jxjn
jx yj
jxjn+
x0
jx0 j
+
(3.1)
si jx
+
x0
jx0 j
jxj
:
2
yj
x0
jx0 j
C2 +
(3.2)
x0
jx0 j
;
es acotada en S n 1 , por lo que se sigue (3.1).
Para mostrar (3.2) veamos que
jK (x)
K (y)j =
1
jxjn
1
jxjn
y
+
jyj
y
+
jyj
x
jxj
x
jxj
y
jyj
y
jyj
1
jxjn
1
jxjn
1
jyjn
1
= S1 + S2 :
jyjn
Para S1 se tiene
S1
jx jyj y jxjj
jx jyj x jxjj
jx jxj y jxjj
C
+C
n
n+
jxj jyj jxj
jyj jxj
jyj jxjn+
jx yj
C jxj jjyj jxjj
jx yj
+
C2 2
;
n+
n+
jyj
jxj
jxj
jxjn+
C
dado que jxj =2 < jyj.
Por otro lado para S2 ,
S2
jyjn jxjn
C
= C jjyj
jxjn jyjn
jxjj
jyjn
1
+ jxj jyjn 2 + ::: + jxjn
jxjn jyjn
yj Cn jyjn 1
pues jxj < 2 jyj
jxjn jyjn
jx yj1
jxj1
= Cn jx yj
Cn jx yj
jxjn jyj
21
C
1
jx
1 2
jx yj1
= Cn;
jxjn jxj
jxjn+
;
3.2. OPERADORES INTEGRALES DE CALDERÓN-ZYGMUND
45
por lo que obtenemos (3.2).
Consideraremos operadores integrales singulares que no necesariamente son de
tipo convolución, es decir operadores de la forma
Z
T f (x) = K (x; y) f (y) dy:
Ejemplo 3.5 La integral de Cauchy de…nida sobre la grá…ca de una función. Sea
= f(x; A (x)) : x 2 Rg la grá…ca de la función A : R ! R que tiene regularidad de
tipo Lipschitz, es decir, jA (x) A (y)j
M jx yj. Dada f 2 S(R), la integral de
Cauchy de f sobre la grá…ca Lipschitz = (t; A (t)) está de…nida por
Z 1
f (t) (1 + iA0 (t))
1
dt
C f (z) =
2 i 1 t + iA (t) z
la cual representa una función analítica en el abierto
Sus valores frontera en están dados por
+
= fz = x + iy : y > A (x)g :
l m C f (x + i (A (x) + ))
!0
lo cual nos conduce a considerar el operador
Z
f (y)
T f (x) = l m
!0 jx yj> x
y + i (A (x)
A (y))
dy:
La integral de Cauchy no es un operador del tipo convolución, y lo incluiremos en
la familia de operadores integrales singulares. Por lo tanto extenderemos el concepto
de operador integral singular.
Se denotará D = Cc1 (Rn ), y por D0 al espacio de distribuciones en Cc1 (Rn ), esto
es, el dual de Cc1 (Rn ). D0 está dotado de la topología de la convergencia puntual, es
decir, Tk ! T en dicha topología si y solo si hTk ; i ! hT; i para todo 2 Cc1 (Rn ).
De…nición 3.6 Un núcleo K en Rn es una función K : Rn Rn nf(x; y) : x = yg !
C la cual es localmente integrable fuera de la diagonal. Diremos que un núcleo K en
Rn es un núcleo estándar, si existen > 0 y 0 < C < 1, tales que para todo par
de puntos distintos x; y 2 Rn y toda z 2 Rn con jx zj < jx yj =2 se cumple:
jK (x; y)j
jK (x; y)
C jx
K (z; y)j
yj
C
n
jx
jx
(3.3)
;
zj
yjn+
;
(3.4)
46
CAPÍTULO 3. OPERADORES DE CALDERÓN-ZYGMUND
jK (y; x)
K (y; z)j
C
jx
jx
zj
yjn+
:
(3.5)
Algunos ejemplos básicos de núcleo estándar son (x y) 1 y jx yj 1 en R,
y los ejemplos previamente vistos en la sección anterior. Veamos que la condición
jrK (x; y)j C jx yj n 1 implica (3.4) y (3.5).
Se tiene que
jK (x; y)
K (z; y)j = jrK ((1
t) (x; y) + t (z; y)) ( x + z; 0)j para algún t 2 (0; 1)
jz xj
jrK [(1 t) x + tz; y]j jz xj C
j(1 t) x + tz yjn+1
jx zj
jx zj
C
=C
n+1
jx y t (x z)j
(jx yj t jx zj)n+1
jx zj
jx zj
C
Cn
:
n+1
n+1
(1 t=2)
jx yj
jx yjn+1
De…nición 3.7 Un operador lineal y continuo T : D ! D0 está asociado a un
núcleo K si para cada pareja f; g 2 D con soportes ajenos se veri…ca
Z Z
hT f; gi =
K (x; y) f (y) g (x) dydx:
(3.6)
Además si K es un núcleo estándar, diremos que T es un Operador Integral Singular.
Notemos las siguientes observaciones importantes:
(I) La Transformada de Hilbert está asociada al núcleo 1 (x y) 1 ; el operador
identidad I está asociado al núcleo K (x; y) = 0 porque If (x) = 0 si x 2
= sop f . Un
operador está asociado a lo más a un núcleo, sin embargo, un mismo núcleo puede
estar asociado a distintos operadores. Por ejemplo, el núcleo cero está asociado al
operador identidad y al operador de multiplicación puntual por una función acotada.
(II) La condición (3.6) es equivalente a que para todo x 2
= sop , 2 D se cumple
Z
T (x) = K (x; y) (y) dy:
3.2. OPERADORES INTEGRALES DE CALDERÓN-ZYGMUND
47
De…nición 3.8 Un operador T : D ! D0 ; es un operador de Calderón-Zygmund
si se cumple que:
(I) T es un Operador Integral Singular.
(II) T puede extenderse a un operador acotado en L2 (Rn ) :
Teorema 3.9 Sea T un operador de Calderón-Zygmund, entonces T es de tipo débil
(1; 1) :
Prueba. Sean f 2 D y > 0. Ahora sea C = fQj g la familia de cubos de
Calderón-Zygmund de jf j correspondientes a . Así
Z
1
jf j 2n ; para todo j;
<
jQj j Qj
jf (x)j
para casi todo x 2
=
1
j j
=
[
Qj ;
j
kf k1 :
Ahora sea f = g + b, donde
f (x)
R
1
g (x) =
jQj j
y
Qj
b(x) =
si x 2
=
si x 2 Qj
f
X
bj (x);
j
con
bj (x) =
1
jQj j
f (x)
Z
f
Qj
!
XQj (x) :
Por lo anterior tenemos que:
Z
(I)
bj (x) = 0;
Qj
Z
jbj =
XZ
j
Qj
jbj j
"
X Z
j
1
jf j +
jQj j
Qj
Z
Qj
#
f jQj j
2 kf k1 ;
(II)
48
CAPÍTULO 3. OPERADORES DE CALDERÓN-ZYGMUND
kgk1 = kf k1 ;
(III)
2n casi en todas partes.
jgj
(IV)
Dado que T f = T g + T b, se sigue
jfx 2 Rn : jT f (x)j > gj
jfx 2 Rn : jT g(x)j > =2gj + jfx 2 Rn : jT b(x)j > =2gj :
Por una parte
2
jfx 2 R : jT g(x)j > =2gj
2
kT gk2
4C 2
2
Sea
=
S
j
2C
2n kgk1 =
C
p
Qj , donde Qj = 2 nQj , notemos que,
j
p
2 n
j
n
X
j
jQj j
C
2
kgk2
kf k1 :
kf k1 :
Esto implica que
jfx 2 R : jT b(x)j > =2gj = jfx 2
: jT b(x)j > =2gj + jfx 2
=
j j + jfx 2
=
: jT b(x)j > =2gj
Z
C
2
jT b (x)j dx:
kf k1; +
: jT b(x)j > =2gj
Rn n
P
La serie j bj converge a b en L2 (Rn ); como T es acotado en L2 (Rn ) se sigue que
P
2
j T bj converge T b en L (R): De aquí que
X
jT b(x)j
jT bj (x)j para casi todo x 2 Rn :
j
Denotemos por yj al centro de Qj , así
Z
Z
Z
X
2
2
2X
jT b (x)j dx
jT bj (x)j dx =
Rn n
Rn n
2
j
XZ
j
Rn nQj
j
Rn nQj
Z
2X
j
jT bj (x)j dx =
Z
Qj
jK (x; y)
Rn n
Z
2X
j
Rn nQj
jT bj (x)j dx
Z
(3.7)
K (x; y) bj (y) dy dx
Qj
K (x; yj )j jbj (y)j dydx:
3.2. OPERADORES INTEGRALES DE CALDERÓN-ZYGMUND
p
Puesto que y 2 Qj y x 2
= 2 nQj , se tiene 2 jy
2
Z
Z
CX
jT b (x)j dx
Rn n
j
Rn nQj
Z
CX
j
Qj
Z
Qj
jbj (y)j
p
yj j
jy
jx
Z
n jQj j1=n < jx
yj j
yj jn+
49
yj j, luego
jbj (y)j dydx
jy
jx yj j>2jy yj j
yj j
yj jn+
jx
dxdy:
Ahora vemos que
Z
jy
jx yj j>2jy yj j
Por lo tanto
Z
2
Rn n
jx
yj j
n+
yj j
Z
dx = jy
yj j
= jy
yj j
= jy
yj j S
jT b (x)j dx
Z
Cn X
j
Qj
du
n+
juj>2jy yj j juj
Z 1
rn 1
S n 1 n+ dr
r
2jy yj j
r=1
n 1 r
=
r=2jy yj j
jbj (y)j =
Cn
kbk1
jS n 1 j
= Cn :
2
Cn
kf k1 :
Se concluye que
jfx 2 R : jT b(x)j > =2gj
Cn
kf k1 :
Si T : Lp ! Lp , 1 < p < 1, es un operador acotado con núcleo asociado K (x; y),
0
0
el operador adjunto T : Lp ! Lp tiene asociado el núcleo K (y; x) ya que
Z
Z
Z
hT (g) ; f i = hg; T (f )i = g (s) T f (s) ds = g (s) K (s; t) f (t) dtds
Z Z
=
K (s; t) g (s) dsf (t) dt:
Y puesto que T es acotado si y solo si T es acotado, entonces obtenemos el
siguiente resultado.
Corolario 3.10 Si T es un operador de Calderón-Zygmund, entonces T es de tipo
fuerte (p; p), 1 < p < 1:
50
CAPÍTULO 3. OPERADORES DE CALDERÓN-ZYGMUND
Prueba. Sea K (x; y) el núcleo estándar al cual el operador T está asociado. Por
Teorema 3.9 T es de tipo débil (1; 1) y por hipótesis es de tipo fuerte (2; 2). Por
interpolación, T es de tipo fuerte (p; p), para 1 < p < 2:
0
0
Si p > 2 entonces p0 < 2, dado que el operador adjunto T : Lp ! Lp tiene
asociado el núcleo estándar K (y; x), por Teorema 3.9 el operador T es de tipo
fuerte (p0 ; p0 ), de lo que se sigue que T es de tipo fuerte (p; p) :
Corolario 3.11 Se obtiene la misma conclusión que en el Teorema 3.9, si en el núcleo
K(x; y) en lugar de suponer las estimaciones (3.4) y (3.5), suponemos la condición
de Hörmander, a saber:
Z
jK (x; y) K (x; z)j dx C y
jx yj>2jy zj
Z
jx yj>2jx wj
jK (x; y)
K (w; y)j dy
C:
La prueba es exactamente igual a la del Teorema 3.9, solo que hay que usar la
condición de Hörmander en la estimación (3.7).
3.3. El acotamiento Lp para ciertos operadores
De acuerdo al Teorema 3.9 y por interpolación, la pregunta sobre el acotamiento
L , 1 < p < 1, de operadores integrales singulares se reduce a obtener el acotamiento
en L2 . Para ciertos casos, este acotamiento en L2 se traduce en propiedades expresadas
a través de la transformada de Fourier.
p
Teorema 3.12 Supóngase que el operador integral singular T cumple (T f )b( ) =
m ( ) fb( ) ; para cierta función m ( ) y para toda f 2 Cc1 (Rn ). Entonces T puede
extenderse a un operador acotado en L2 (Rn ) si y solo si m 2 L1 (Rn ).
Prueba. Supongamos que m 2 L1 (Rn ), entonces para f 2 L2 (Rn ) se tiene
kT f k2 = Tcf
2
= mfb
2
kmk1 fb
2
= kmk1 kf k2 :
Ahora supóngase que m 2
= L1 (Rn ), defínase fN por medio de fc
N = XEN donde
n
EN R es un subconjunto acotado de medida positiva donde jm ( )j N para todo
2 EN . Entonces
kT fN k2 = Td
fN
2
= mfc
N
2
= kmXEN k2
N kXEN k2 = N kfN k2 ;
para todo N 2 N, y así inferimos que T no es acotado en L2 (Rn ).
CAPÍTULO 4
TEORÍA DE PESOS DE MUCKENHOUPT
Las desigualdades obtenidas en los capítulos 1 y 3 en la medida de Lebesgue para
cierto tipo de operadores, se pueden generalizar a un tipo particular de medidas de
la forma w (x) dx. En este capítulo nos dedicaremos a estudiar dichas desigualdades.
Daremos condiciones necesarias y su…cientes en w para que el operador maximal de
Hardy-Littlewood M sea de tipo fuerte (p; p) con respecto a w, para 1 < p < 1:
Gracias al “control”que la función maximal ejerce sobre los operadores de CalderónZygmund, obtendremos también la desigualdad de tipo fuerte (p; p), para 1 < p < 1,
y de tipo débil (1; 1) para dicha familia de operadores. La obtención de todas estas
desigualdades forma parte del estudio de la teoría Ap , introducida por B. Muckenhoupt, R. Hunt and R. Wheeden en [16] y [17] y desarrollada posteriormente por otros
autores (ver [3], [20], [1], [15], [14], [19]). Desarrollaremos nuestra exposición basados
en las referencias [9], [6], [5], [11], [24].
4.1. La condición Ap
De…nición 4.1 Dado un espacio de medida, un peso es una función medible w con
valores en [0; 1].
Los problemas que abordaremos serán los siguientes:
Problema 4.2 Dado 1 < p < 1, determinar aquellos pesos w en Rn para los cuales
el operador maximal M es de tipo fuerte (p; p) con respecto a la medida w (x) dx, esto
es, existe C > 0 tal que
Z
1=p
p
(M f (x)) w (x) dx
C
Rn
Z
Rn
1=p
jf (x)jp w (x) dx
:
(4.1)
Si generalizamos el problema anterior a un par de pesos (u; w) obtenemos lo
siguiente.
51
52
CAPÍTULO 4. TEORÍA DE PESOS DE MUCKENHOUPT
Problema 4.3 Dado 1 < p < 1, determinar aquellos pares de pesos (u; w) en Rn ,
para los cuales el operador maximal M es de tipo fuerte (p; p) con respecto al par de
medidas u (x) dx y w (x) dx, es decir, para los cuales existe una constante C > 0 tal
que
Z
Z
1=p
1=p
p
p
(M f (x)) u (x) dx
C
jf (x)j w (x) dx
:
(4.2)
Rn
Rn
También nos interesa obtener desigualdades del tipo débil, por lo que tenemos
Problema 4.4 Dado 1 p < 1, determinar aquellos pares de pesos (u; w) en Rn ,
para los cuales el operador maximal M es de tipo débil (p; p) con respecto al par de
medidas u (x) dx y w (x) dx, es decir, para los cuales se tiene la desigualdad
Z
n
p
u (fx 2 R : M f (x) > tg) Ct
jf (x)jp w (x) dx;
(4.3)
Rn
para cierta constante C > 0, donde para un conjunto E, u (E) signi…ca
Z
u (E) =
u (x) dx:
E
Empezaremos abordando el Problema 4.4. Supongamos que el par de pesos (u; w)
satisface la desigualdad (4.3) para una p dada, 1 p < 1, y para toda función f 2
L1loc (Rn ) y toda t > 0.
Sea f 0, sea Q un cubo tal que fQ > 0. Se tiene que
fQ
M (f XQ ) (x) para todo x 2 Q:
Puesto que
1
M (f XQ ) (x) = sup
R3x jRj
Z
f (y) dy
R\Q
1
jQj
Z
f (y) dy;
Q
entonces, para cada t con 0 < t < fQ se veri…ca
Q
Et = fx 2 Rn : M (f XQ ) (x) > tg :
Por la desigualdad (4.3) obtenemos
u (Q)
Ct
p
Z
Q
f (x)p w (x) dx:
4.1. LA CONDICIÓN AP
53
Ahora tomamos límite cuando t tiende a fQ para llegar a
Z
p
(fQ ) u (Q) C
f (x)p w (x) dx:
(4.4)
Q
así
Si S es un subconjunto medible de Q, podemos reemplazar f en (4.4) por f XS ,
Z
Z
p
1
f (x) dx u (Q) C f (x)p w (x) dx:
(4.5)
jQj S
S
Nótese que (4.5) es equivalente a (4.4). Con f (x)
jSj
jQj
1 en (4.5) obtenemos
p
u (Q)
Cw (S) :
(4.6)
De (4.6) podemos extraer la siguiente información acerca del par de pesos (u; w) :
Proposición 4.5 Sea (u; w) un par de pesos para los cuales el operador maximal M
es de tipo débil (p; p). Entonces
(a) w (x) > 0 para casi toda x 2 Rn , a menos que u (x) = 0 casi en todas partes.
(b) u es localmente integrable, a menos que w (x) = 1 casi en todas partes.
Prueba. Para probar (a), supongamos que w (x) = 0 en un conjunto S de medida
positiva, sin pérdida de generalidad supongamos que S es acotado, esto implica que
w (S) = 0; por (4.6) se sigue que u (Q) = 0 para todo cubo Q que contiene a S, en
consecuencia u (x) = 0 casi para toda x 2 Rn .
Ahora probaremos (b). Si u (Q) = 1, para algún cubo Q, consecuentemente
u (Q0 ) = 1 para cualquier cubo Q0 tal que Q Q0 , (4.6) conlleva a w (S) = 1 para
cualquier conjunto S con medida positiva, de lo que se deduce que w (x) = 1 casi en
todas partes.
Derivaremos una condición necesaria sobre el par de pesos (u; w), a …n de que la
condición de tipo débil se satisfaga para toda f 2 Lp (Rn ) y t > 0.
Si p = 1, la desigualdad (4.6) se puede escribir de la forma
Z
Z
1
1
u (x) dx C
w (x) dx:
(4.7)
jQj Q
jSj S
La desigualdad (4.7) es válida para todo cubo Q y todo conjunto S
jSj > 0. Sea a 2 R tal que
a > nf esQ (w) = nf ft > 0 : jfx 2 Q : w (x) < tgj > 0g ;
Q con
54
CAPÍTULO 4. TEORÍA DE PESOS DE MUCKENHOUPT
así, el conjunto Sa = fx 2 Q : w (x) < ag tiene medida positiva. Sustituyendo el conjunto S en (4.7) por Sa obtenemos
u (Q)
jQj
Ca:
Puesto que esta desigualdad se veri…ca para todo a > nf esQ (w), concluimos que
Z
1
u (y) dy C nf esQ (w) Cw (x) para casi toda x 2 Q:
(4.8)
jQj Q
Mostraremos que (4.8) es equivalente a:
M (u) (x)
Cw (x) para casi toda x 2 Rn :
(4.9)
Es claro que (4.9) implica (4.8) para todo cubo Q. Recíprocamente, si (4.8) se
cumple para todo cubo Q, entonces veremos que el conjunto
B = fx 2 Rn : M (u) (x) > Cw (x)g
tiene medida cero. Si x 2 Rn , cumple que M (u) (x) > Cw (x) ; entonces existe un
cubo Q que contiene a x para el cual
Z
1
u (y) dy > Cw (x) :
jQj Q
Sin pérdida de generalidad supongamos que Q tiene vértices con todas sus coordenadas racionales. Por consiguiente, el conjunto B está contenido en una unión
numerable de conjuntos de medida cero, y así B tiene medida cero.
De…nición 4.6 La condición (4.9),
M (u) (x)
Cw (x) para casi toda x 2 Rn ;
se denomina la condición A1 para el par de pesos (u; w) : Cuando se satisface decimos
que el par de pesos (u; w) pertenece a la clase A1 .
Veremos a A1 como una colección de pares de pesos (u; w). La constante A1 será
la C más pequeña para la cual se veri…ca (4.9).
En los cálculos anteriores hemos visto que si M es de tipo débil (1; 1) con respecto
al par (u; w) ; entonces (u; w) 2 A1 , es decir, la condición A1 es una condición necesaria
para que M sea de tipo débil (1; 1) con respecto al par (u; w) : A continuación veremos
que A1 también es su…ciente para garantizar desigualdad de tipo débil (1; 1) :
4.1. LA CONDICIÓN AP
55
Proposición 4.7 El operador maximal de Hardy-Littlewood M es de tipo débil (1; 1)
con respecto al par de pesos (u; w), si y solo si (u; w) 2 A1 :
Prueba. Quedó demostrado que si M es de tipo débil (1; 1) entonces (u; w) 2 A1 .
Supongamos que (u; w) 2 A1 , por lo que M (u) (x) Cw (x) para casi toda x 2 Rn :
Sea f 2 L1 (Rn ), por Proposición 1.24 se tiene que
Z
Z
C
u (x) dx
jf (x)j M u (x) dx:
t Rn
fx2Rn :M f (x)>tg
Así, la condición A1 nos produce
n
u (fx 2 R : M f (x) > tg)
1
Ct
Z
Rn
jf (x)j M u (x) dx
Ct
1
Z
Rn
jf (x)j w (x) dx:
Enseguida trataremos el caso 1 < p < 1. Comenzaremos buscando una condición
necesaria para que M sea de tipo débil (p; p) con respecto al par de pesos (u; w).
Si M es de tipo débil (p; p) con respecto a (u; w) entonces se satisface (4.5), esto
es,
Z
Z
p
1
f (x) dx u (Q) C f (x)p w (x) dx
jQj S
S
para toda función f
tal que
0, todo cubo Q y todo conjunto medible S
Q. Tomemos f
f (x) = (f (x))p w (x) ;
es decir,
f (x) = w (x) p
1
1
:
Esta función no es necesariamente localmente integrable. Fijemos un cubo Q y sea
Sj =
x 2 Q : w (x) >
En cada Sj , f es acotada, se sigue que
1
jQj
Z
Sj
w (x)
1
p 1
R
!p
dx
Sj
1
j
para j = 1; 2; :::
f < 1, por lo que (4.5) implica
u (Q)
jQj
C
jQj
Z
Sj
w (x) p
1
1
dx:
56
CAPÍTULO 4. TEORÍA DE PESOS DE MUCKENHOUPT
Puesto que las integrales son …nitas llegamos a
1
jQj
Z
u (x) dx
Q
1
jQj
Z
w (x)
1
p 1
dx
Sj
!p
1
C:
Se tiene S1
S2 ; ::: y [1
j=1 Sj = fx 2 Q : w (x) > 0g, y por (a) de la Proposición
S
4.5 el conjunto Q n [1
j=1 j tiene medida cero. Finalmente obtenemos
1
jQj
Z
u (x) dx
Q
1
jQj
Z
w (x)
1
p 1
p 1
dx
C:
(4.10)
Q
De…nición 4.8 Sea p > 1, diremos que el par de pesos (u; w) satisface la condición
Ap o que pertenece a la clase Ap si existe una constante C tal que
1
jQj
Z
Q
u (x) dx
1
jQj
Z
w (x) p
1
1
p 1
dx
C;
Q
para todo cubo Q. La mas pequeña de tales constantes C se llama la constante Ap
para el par (u; w).
Hemos probado que si M es de tipo débil (p; p) con respecto al par (u; w), entonces
(u; w) 2 Ap . Es decir, la condición Ap es una condición necesaria para garantizar la
desigualdad del tipo débil (p; p).
1
Proposición 4.9 Si (u; w) 2 Ap , entonces u y w p 1 son localmente integrables.
R
R
Prueba. Si jQj 1 Q u (x) dx = 1, tenemos que jQ0 j 1 Q0 u (x) dx = 1 para
R
1
todo cubo Q0
Q . Por condición Ap obtenemos jQ0 j 1 Q0 w (x) p 1 dx = 0, de lo
1
cual w (x) p 1 = 0 casi en todas partes, en consecuencia w (x) = 1 casi en todas
partes, el cual es un caso que excluimos.
R
1
Análogamente si jQj 1 Q w (x) p 1 dx = 1, entonces u (x) = 0 casi en todas
partes, el cual también en un caso que se excluye.
La condición A1 puede verse como un caso límite de la condición Ap cuando p ! 1.
En efecto, hemos visto que la condición A1 es equivalente a
Z
1
u (x) dx C nf esQ (w) ;
jQj Q
4.1. LA CONDICIÓN AP
57
la cual puede escribirse como
Z
1
u (x) dx sup esQ w
jQj Q
1
C:
Mientras que
1
jQj
Z
w (x)
1
p 1
p 1
dx
= w
1
Lp
Q
! w
1
1
(Q;jQj
1
L1 (Q)
1
dx)
= sup esQ w
1
;
cuando p ! 1, pues 1= (p 1) ! 1.
Similarmente a la Proposición 4.9 tenemos que si (u; w) 2 A1 entonces u es
localmente integrable y w 1 es localmente acotada.
Ahora demostraremos que la condición Ap para el par (u; w), es una condición
su…ciente para que el operador M sea tipo débil (p; p) con respecto a (u; w) :
Proposición 4.10 Sea 1 < p < 1: El operador maximal de Hardy-Littlewood M es
de tipo débil (p; p) con respecto al par de pesos (u; w), si y solo si (u; w) 2 Ap :
Prueba. Hemos mostrado que si M es de tipo débil (p; p) con respecto a (u; w)
entonces (u; w) 2 Ap . Supongamos que (u; w) 2 Ap , por la desigualdad Hölder para
p y p0 = p= (p 1) tenemos que para todo cubo Q y toda f 0 se tiene
Z
1
f (x) w (x)1=p w (x) 1=p dx
fQ =
jQj Q
Z
Z
1=p
(p 1)=p
1
1
1
p
f (x) w (x) dx
w (x) p 1 dx
:
jQj Q
jQj Q
De lo que obtenemos
p
(fQ ) u (Q)
Z
u (Q)
f (x)p w (x) dx
jQj
Q
Z
C
f (x)p w (x) dx:
1
jQj
Z
w (x)
1
p 1
(p 1)
dx
Q
Q
Es decir, para todo cubo Q y toda f 0 se cumple la desigualdad (4.4).
L1loc (Rn ). Ahora mostraremos que la
Nótese que (4.4) implica que Lploc (w)
desigualdad (4.4) implica la desigualdad de tipo débil.
58
CAPÍTULO 4. TEORÍA DE PESOS DE MUCKENHOUPT
En efecto, sea f 2 Lploc (w), y sea fk = f XQ(0;k) para k 2 N, por lo que se tiene
que f = l m fk puntualmente, con fk 2 Lp (w) \ L1 (Rn ). Si la desigualdad de tipo
débil (4.3) se cumple para todo fk entonces por la igualdad (1.12) de la prueba de la
Proposición 1.24 tenemos
Z
Z
Z
p
u (x) dx = l m
u (x) dx
l m Ct
fk (x)p w (x) dx
j!1
j!1
n
n
n
fx2R :M f (x)>tg
fx2R :M fj (x)>tg
R
Z
= Ct p
f (x)p w (x) dx:
Rn
Por lo tanto podemos asumir que f 2 Lp (w) \ L1 (Rn ). Sea t > 0, por descomposición
de Calderón-Zygumund obtenemos una colección de cubos que no se traslapan fQj g
tales que
Z
t
1
t
<
;
f
(x)dx
4n
jQj j Qj
2n
[
fx 2 Rn : M f (x) > tg
3Qj :
j
Puesto que (4.4) es equivalente a (4.5), esto es,
Z
Z
p
1
f (x) dx u (Q) C f (x)p w (x) dx para S Q,
jQj S
S
tomando Q = 3Qj y S = Qj tenemos que
! pZ
Z
1
u (3Qj ) C
f (x) dx
f (x)p w (x) dx:
j3Qj j Qj
Qj
De este modo,
u (fx 2 Rn : M f (x) > tg)
X
u (3Qj )
j
C
X
1
j3Qj j
j
Z
f (x) dx
Qj
!
p
Z
f (x)p w (x) dx
Qj
!
Z
Z
1
C
3
f (x) dx
f (x)p w (x) dx
jQj j Qj
Qj
j
Z
X
C3np 4np t p
f (x)p w (x) dx
X
Ct
p
np
Z
Rn
j
Qj
f (x)p w (x) dx:
p
4.1. LA CONDICIÓN AP
59
Con lo anteriormente visto, obtenemos que la condición Ap es la respuesta al
problema 4.4. Reunimos los resultados en el siguiente teorema.
Teorema 4.11 Sean u, w pesos en Rn y sea 1
p < 1. Entonces las siguientes
a…rmaciones son equivalentes.
(a) M es de tipo débil (p; p) con respecto a (u; w), es decir, existe una constante
C tal que para toda f 2 L1loc (Rn ) y toda t > 0
n
u (fx 2 R : M f (x) > tg)
p
Ct
Z
Rn
jf (x)jp w (x) dx:
(b) Existe una constante C tal que para toda función f
cubo Q se cumple ( 4.4), es decir
1
jQj
Z
p
f (x) dx
u (Q)
C
Z
0 en Rn y para todo
f (x)p w (x) dx:
Q
Q
(c) (u; w) 2 Ap , esto es, existe una constante C, tal que para todo cubo Q
1
jQj
Z
u (x) dx
Q
1
jQj
Z
1
jQj
Z
w (x)
1
p 1
p 1
dx
Q
1
u (x) dx sup esQ w
C; para 1 < p < 1.
C, para p = 1.
Q
Enseguida mostraremos un resultado de acotamiento fuerte para el operador
M que se obtiene como una consecuencia simple del teorema de interpolación de
Marcinkiewicz.
Corolario 4.12 Sea (u; w) 2 Ap , entonces para todo q con p < q < 1, el operador
maximal M es acotado de Lq (w) a Lq (u), es decir, existe una constante C tal que
para todo f 2 Lq (w)
Z
Rn
q
(M f (x)) u (x) dx
C
Z
Rn
jf (x)jq w (x) dx:
60
CAPÍTULO 4. TEORÍA DE PESOS DE MUCKENHOUPT
Prueba. Por Teorema 4.11, el operador M es de tipo débil (p; p) con respecto
a (u; w). Entonces por el teorema de interpolación de Marcinkiewicz, bastará con
demostrar que M es acotado de L1 (w) en L1 (u). Probaremos que
kM f kL1 (u)
kM f k1
kf k1
kf kL1 (w) :
Recordemos que
kf kL1 (u) = sup f : u (fx 2 Rn : jf (x)j > g) > 0g ;
Dado que u es absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue, se tiene
que si satisface que u (fx 2 Rn : M f (x) > g) > 0, entonces jfx 2 Rn : M f (x) > gj >
0, por lo que
f : u (fx 2 Rn : M f (x) > g) > 0g
f : jfx 2 Rn : M f (x) > gj > 0g ;
de aquí que kM f kL1 (u) kM f k1 .
Si cumple que jfx 2 Rn : f (x) > gj > 0, por Proposición 4.5 se tiene w (x) > 0
casi en todas partes, por lo cual w (fx 2 Rn : f (x) > g) > 0, así
f : jfx 2 Rn : f (x) > gj > 0g
f : w (fx 2 Rn : f (x) > g) > 0g ;
por lo tanto kf k1 kf kL1 (w) .
Para x 2 Rn se tiene
1
M f (x) = sup
Q3x jQj
consecuentemente kM f k1
Z
Q
jf j
kf k1 ;
kf k1 :
Como caso particular del Corolario 4.12 obtenemos
Z
Z
p
jf (x)jp M u (x) dx;
(M f (x)) u (x) dx C
Rn
Rn
para 1 < p < 1, puesto que (u; M u) 2 A1 .
Enseguida, pasaremos a demostrar algunas propiedades básicas de las clases Ap .
Teorema 4.13 (a) Sea 1 < p < q < 1. Entonces A1 Ap Aq .
(b) Sea 1 p < 1, 0 < < 1 y (u; w) 2 Ap . Entonces (u ; w ) 2 A p+1 .
(c) Sea 1 < p < 1. Entonces (u; w) 2 Ap si y solo si
donde p0 es el conjugado de p.
w
1
p 1
;u
1
p 1
2 Ap0 ,
4.1. LA CONDICIÓN AP
Prueba. (a) A1
Ap , pues si (u; w) 2 A1 entonces existe una constante C tal
que
por consiguiente
Z
1
u (x) dx
jQj Q
61
1
jQj
1
jQj
Z
Z
u (x) dx sup esQ w
1
C;
Q
w (x)
1
p 1
p 1
dx
Q
1
jQj
Z
u (x) dx sup esQ w
1
C;
Q
es decir (u; w) 2 Ap .
Sean 1 < p < q < 1 y (u; w) 2 Ap : Entonces (q 1) 1 < (p
Z
Z
q 1
1
1
1
q
1
dx
u (x) dx
w (x)
jQj Q
jQj Q
Z
Z
p
1
1
1
p
1
u (x) dx
w (x)
dx
jQj Q
jQj Q
1) 1 , por lo que
1
C:
De lo que obtenemos que (u; w) 2 Aq .
(b) Sea (u; w) 2 Ap . Ahora sea r = p + 1 , de aquí que r 1 = (p
Z
Z
r 1
1
1
1
r
1
u (x) dx
[w (x) ]
dx
jQj Q
jQj Q
1
jQj
Z
Q
u (x) dx
1
jQj
Z
w (x)
1
p 1
1), luego
(p 1)
dx
C.
Q
Por lo tanto (u ; w ) 2 A p+1 .
Si (u; w) 2 A1 , entonces por (a) (u; w) 2 Ap para todo p > 1. Sea r = p + 1
por lo tanto se tiene
Z
Z
r 1
1
1
1
u (x) dx
[w (x) ] r 1 dx
C:
jQj Q
jQj Q
Tomando límite cuando p ! 1 se llega a
Z
1
u (x) dx esQ sup w
jQj Q
esto es, (u ; w ) 2 A1 .
C;
,
62
CAPÍTULO 4. TEORÍA DE PESOS DE MUCKENHOUPT
(c) Supongamos que (u; w) 2 Ap , por lo que se tiene
Z
Z
p 1
1
1
1
p
1
u (x) dx
w (x)
dx
jQj Q
jQj Q
Z
Z
1
1
1
1
p0 1
dx
=
u (x) p 1
w (x)
jQj Q
jQj Q
ahora elevamos a la (p0
Z
1
w (x)
jQj Q
1
1), de lo que obtenemos
Z
1
1
1
p 1 dx
u (x) p 1
jQj Q
p0
1
p 1
p 1
dx
C;
(p0 1)
1
1
dx
C (p
0
1)
.
1
Se concluye que w p 1 ; u p 1 2 Ap0 . Como los roles de p y p0 son simétricos, se
obtiene del mismo modo la otra implicación.
Daremos un ejemplo donde mostraremos que el Corolario 4.12 no se puede extender al caso p = q. Encontraremos pesos u; w tales que (u; w) 2 Ap y sin embargo M
no es acotado de Lp (w) a Lp (u).
Ejemplo 4.14 Existen pesos u, w tales que (u; w) 2 Ap y el operador M no es
acotado de Lp (w) a Lp (u).
Si p = 1, tomamos u w
1, pues sabemos que si g > 0 casi en todas partes
y es integrable, entonces M g no es integrable. Este caso nos permite también dar un
ejemplo para p > 1.
Sea g 0; integrable y no trivial, de modo que M g 2
= L1 . Tomemos g acotada a
…n de poder garantizar que M g (x) es siempre …nita. Entonces (g; M g) 2 A1 Ap0 ,
por lo tanto
1
1
(M g) p0 1 ; g p0 1 = (M g)1 p ; g 1 p 2 Ap :
Tomemos u = (M g)1 p , w = g 1 p , entonces (u; w) 2 Ap , pero la desigualdad
Z
Z
p
(M f (x)) u (x) dx C
jf (x)jp w (x) dx
Rn
Rn
no se satisface para toda f 2 L1loc (Rn ), puesto que para f = g, obtenemos
Z
Z
p
(M f (x)) u (x) dx =
(M g (x))p (M g (x))1 p dx
n
Rn
ZR
M g (x) dx = 1;
=
Rn
4.2. DESIGUALDADES CON PESOS DE TIPO FUERTE
63
y
Z
Rn
p
jf (x)j w (x) dx =
=
Z
(g (x))p (g (x))1
p
dx
n
ZR
Rn
g (x) dx < 1:
Del ejemplo anterior concluimos que la condición Ap no da respuesta al Problema
4.3. La condición Ap es necesaria para la desigualdad de tipo fuerte, mas sin embargo
no es su…ciente.
4.2. Desigualdades con pesos de tipo fuerte
A partir de aquí, enfocaremos nuestra atención en el caso u = w. Diremos que
w 2 Ap si (w; w) 2 Ap . Así tenemos lo siguiente:
La condición A1 es
w (Q)
Cw (x) ;
jQj
casi en todas partes en Q, para todo cubo Q: Lo cual es equivalente a
M w (x)
casi en todo Rn .
La condición Ap , para 1 < p < 1, es
1
jQj
Z
Q
w (x) dx
1
jQj
Cw (x) ;
Z
1 p0
w (x)
(p 1)
dx
C;
(4.11)
Q
donde 1 p0 = 1= (p 1) y C es una constante independiente de Q:
Una observación notable la constituye el hecho de que la medida w (x) dx es
duplicante, como lo mostramos a continuación.
Proposición 4.15 Si w 2 Ap entonces existe una constante C tal que
w (2Q0 )
C2np w (Q0 )
para cada cubo Q0 .
Prueba. Solo basta aplicar la desigualdad (4.6) con S = Q0 y Q = 2Q0 .
Además, tenemos las siguientes propiedades de los pesos Ap .
64
CAPÍTULO 4. TEORÍA DE PESOS DE MUCKENHOUPT
Proposición 4.16 (a) Ap Aq , para 1 p < q < 1.
0
(b) w 2 Ap si y solo si w1 p 2 Ap0 .
(c) Si w0 ; w1 2 A1 entonces w0 w11 p 2 Ap .
Prueba. (a) y (b) se siguen del Teorema 4.13. Mostraremos (c).
Sea Q un cubo, dado que wi 2 A1 para i = 0; 1, tenemos que para todo x 2 Q,
wi (x)
1
1
wi (Q)
jQj
Ci
:
Por lo que
1
jQj
Z
1
jQj
w0 w11 p
Q
1
jQj
= C1
Z
w 0 C1
Q
w1 (Q)
jQj
1 p
Z
p 1
0
w01 p w1
Q
w1 (Q)
jQj
1 p
w0 (Q) p
C0
jQj
!
1
1
jQj
Z
C0
Q
w0 (Q)
jQj
1
w0 (Q)
jQj
w1 (Q)
jQj
1 p0
w1
!p
1
p 1
= C:
Nuestro objetivo es probar que si w 2 Ap , con p > 1, entonces el operador M es
acotado en Lp (w). Para ello mostraremos que existe q tal q < p con w 2 Aq , así por
Teorema 4.11 M será de tipo débil (q; q), y por Corolario 4.12 M será de tipo fuerte
(p; p). Para mostrar la existencia de tal q usaremos la llamada desigualdad reversa de
Hölder. Su nombre se debe a que la desigualdad opuesta es consecuencia inmediata
de la clásica desigualdad de Hölder.
Antes demostraremos el siguiente lema que será de mucha utilidad.
Lema 4.17 Sea w 2 Ap , para 1
p < 1. Entonces, para cada , 0 <
< 1,
existe , 0 < < 1 tal que si Q es un cubo y S es un subconjunto medible de Q con
jSj
jQj, se veri…ca que w (S)
w (Q).
Prueba. De acuerdo a la desigualdad (4.6)
jSj
jQj
p
w (Q)
Cw (S) ;
4.2. DESIGUALDADES CON PESOS DE TIPO FUERTE
65
substituyendo S por Q n S tenemos
1
puesto que jSj
p
jSj
jQj
w (Q)
C (w (Q)
w (S)) ;
jQj se sigue que
C
w (S)
)p
(1
C
w (Q) ;
tomando = 1 C 1 (1
)p obtenemos el resultado deseado.
Con la ayuda del Lema anterior ya podemos demostrar la desigualdad reversa de
Hölder.
Teorema 4.18 ( Desigualdad reversa de Hölder). Sea w 2 Ap , 1 p < 1. Entonces
existen constantes C > 0 y > 0 que dependen solo de p y de la constante Ap de w,
tales que para cada cubo Q
Z
1
jQj
w
1
1+
1+
Z
C
jQj
Q
w:
(4.12)
Q
Prueba. Fijemos un cubo Q y formemos la descomposición de Calderón-Zygmund
de w con respecto a Q a alturas dadas por la sucesión creciente
w (Q)
=
jQj
Para cada
k
0
<
1
< ::: <
k :::
obtenemos una familia de cubos ajenos fQk;j g tales que
w (x)
k
Observemos primero que
k
si x 2
=
1
<
jQkj j
k+1
k+1
Z
k.
k
=
[
Qkj
j
w
2n
k:
Qkj
Si Qk+1;i 2 fQk+1;j g entonces
Z
1
<
w;
jQk+1;i j Qk+1;i
66
CAPÍTULO 4. TEORÍA DE PESOS DE MUCKENHOUPT
por lo que
k
1
<
jQk+1;i j
Z
w;
Qk+1;i
S
esto
implica
que
existe
Q
2
fQ
g
tal
que
Q
Q
,
por
lo
cual
k;i
k;j
k+1;i
k;i
j Qk+1;j
S
j Qk;j:
Si …jamos Qk;jo de la descomposición de Calderón-Zygmund correspondiente a k ,
entonces Qk;jo \ k+1 es la unión de cubos Qk+1;i de la descomposición correspondiente
a k+1 . Así
Z
X
1 X
w
jQk;jo \ k+1 j =
jQk+1;i j
i
1
k+1
Fijemos
< 1 y elijamos los
k
k+1
Z
n
2
w
de modo que 2n
k
=
k
k+1
Qk;jo
Qk+1;i
i
k = k+1
jQk;jo j :
= , esto es
1 k
(2n
) w (Q)
:
jQj
Por lo tanto
jQk;jo \
por Lema 4.17 existe , 0 <
< 1, tal que
w (Qk;jo \
k
jQk;jo j ;
k+1 j
w (Qk;jo ) :
k+1 )
Ahora sumamos sobre la descomposición de todos los cubos correspondientes a
para obtener:
w ( k+1 )
w ( k) ;
e iterando obtenemos
w(
k)
k
w(
j
kj
k
j
o) :
Análogamente
oj ;
por lo tanto
1
\
k=1
k
= lm j
k!1
kj
= 0:
4.2. DESIGUALDADES CON PESOS DE TIPO FUERTE
67
Entonces
1
\
jQj = Q n
= (Q n
o)
k
n
1
jQj
k+1 ,
Z
w
Q
1
jQj
1
jQj
o)
0
1
=
jQj
[
Z
Qn
k+1
k+1 .
w
1 X
w+
jQj k=0
o
k+1
1 X
w
(Q
n
)
+
o
0
jQj k=0
1
1
1
Z
k)
.
Z
w1+
kn
k+1
w
kn
k+1
k+1 w (
k+1 w (
w (Q)
1 X n
+
2
0
jQj
jQj k=0
!
1
o
1 X
w
(Q)
+
0
jQj k=0
n (Q n
1 X
+
jQj k=0
1+
#
En consecuencia
1
Qn
k
k+1 )
n
k
k=0
Z
Qn
(Q n
se tiene w (x)
1+
1
jQj
k=0
"
[ [
[
1
[
=
k=0
= (Q n
Además, si x 2
k
k=0
!
k
n
k
w(
k+1 )
k)
1 (k+1)
0
o) :
(4.13)
Fijemos > 0 de modo que (2n 1 ) < 1, entonces la serie en (4.13) es convergente,
así
Z
1
w (Q)
1
w (Q) X n 1 (k+1) k
1+
w
+ 0
2
0
jQj Q
jQj
jQj k=0
w (Q)
+
jQj
=
0
1
jQj
Z
es decir,
Q
w1+
0
C
w (Q)
C=C
jQj
w (Q)
jQj
0
1+
;
w (Q)
;
jQj
68
CAPÍTULO 4. TEORÍA DE PESOS DE MUCKENHOUPT
de lo cual se obtiene (4.12).
Notemos que si para > 0 se cumple la desigualdad reversa de Hölder entonces
para ; con 0 <
también se cumple la desigualdad reversa de Hölder, puesto
que
1
1
Z
Z
Z
1+
1+
1
C
1
1+
1+
w
w
w:
jQj Q
jQj Q
jQj Q
Como corolario de la desigualdad reversa de Hölder obtendremos la propiedad
que necesitamos para probar que w 2 Ap implica que M es acotado en Lp (w).
Corolario 4.19 (a) Ap = [q<p Aq , para 1 < p < 1.
(b) Si w 2 Ap , 1 p < 1, entonces existe > 0 tal que w1+ 2 Ap .
(c) Si w 2 Ap , 1 p < 1, entonces existe > 0 tal que dado un cubo Q y S
w (S)
w (Q)
jSj
jQj
C
.
(4.14)
Prueba. (a) Si w 2 Ap entonces por la Proposición 4.16, w1
sigualdad reversa de Hölder, existe > 0 tal que
1
jQj
Z
w
(1 p0 )(1+ )
Q
w
1
jQj
Z
q 1
q 1
w
Z
w1
p0
1 q0
Q
C
jQj
Z
1
jQj
Z
p0
:
Z
Q
w
1+
1
1+
1) (1 + ) y
1) = (q
(1+ )(q 1)
w1
p0
;
Q
C
jQj
w
Q
Z
p 1
w
1 p0
C
jQj
Z
Q
w;
C:
Q
Se concluye que w 2 Aq .
(b) Si p > 1. Sea > 0 lo su…cientemente pequeño tal que w y w1
desigualdad reversa de Hölder, esto es
1
jQj
2 Ap0 . Por de-
Q
1) (1 + ), entonces (p
por lo cual
Z
C
jQj
Q
Fijemos q tal que (q 0 1) = (p0
q < p, así
Z
1
0
w1 q
jQj Q
1
jQj
1
1+
Q
p0
satisfacen la
4.2. DESIGUALDADES CON PESOS DE TIPO FUERTE
De este modo
Z
1
w1+
jQj Q
1
jQj
1
jQj
Z
Z
w
1
1+
(1 p0 )(1+ )
Q
p 1
w
C
jQj
(1 p0 )(1+ )
Q
=C
C
jQj
"
Z
Z
p0
w1
:
Q
1+
C
jQj
w
Q
Z
1
jQj
69
Z
1
jQj
w
Q
(p 1)(1+ )
w
1 p0
Q
Z
Q
w1
p0
#
(p 1) 1+
C;
por lo cual w1+ 2 Ap .
Si p = 1: Entonces para cualquier cubo Q
w (Q)
jQj
Cw (x) para casi todo x 2 Q;
aplicando la desigualdad reversa de Hölder tenemos que para casi todo x 2 Q
Z
Z
1+
1+
1
w (Q)
C
1+
w
w
=C
Cw (x)1+ ;
jQj Q
jQj Q
jQj
es decir
w1+ (Q)
jQj
Cw1+ (x) ;
por lo tanto w1+ 2 A1 .
(c) Fijemos S Q, supongamos que w satisface la Desigualdad Reversa de Hölder
con exponente (1 + ), entonces
1
1
Z
Z
Z
1+
(1+ )0
(1+ )0
1+
w
w (S) =
XS w
XS
Q
Q
=
Z
w
1+
1
1+
Q
jSj
1
(1+ )0
=
Z
Q
w
jSj 1+
Q
Cw (Q) jQj 1+ jSj 1+ = Cw (Q)
Si ahora despejamos obtenemos el resultado deseado con
w (S)
w (Q)
1
1+
1+
C
jSj
jQj
.
jSj
jQj
1+
:
= =(1 + ), esto es,
70
CAPÍTULO 4. TEORÍA DE PESOS DE MUCKENHOUPT
Por (a) del Corolario 4.19 ha quedado demostrado el siguiente Teorema.
Teorema 4.20 Sea 1 < p < 1, M es acotado en Lp (w) si y solo si w 2 Ap .
De…nición 4.21 Si un peso w satisface la condición (4.14), esto es, existe
que para todo cubo Q y S Q
w (S)
w (Q)
C
jSj
jQj
,
> 0 tal
(4.15)
diremos que w 2 A1 .
El Corolario 4.19 muestra que para cada 1 p < 1 se tiene la inclusión Ap A1 .
Aunque no lo demostraremos aquí, puede probarse que en realidad se tiene la siguiente
igualdad
[
A1 =
Ap ,
p 1
lo cual explica el nombre de la familia de pesos que satisface la condición (4.15).
4.3. Pesos A1
En esta sección daremos una caracterización constructiva de A1 usando la función
maximal de Hardy-Littlewood. Esto, junto con la Proposición 4.16 nos permitirá construir pesos Ap para toda p. El resultado que mostraremos fue probado originalmente
en [4].
Teorema 4.22 (a) Sea f 2 L1loc (Rn ), tal que M f (x) < 1 casi en todas partes. Si
0
< 1, entonces w (x) = [M f (x)] es un peso A1 cuya constante A1 depende solo
de .
(b) Recíprocamente, si w 2 A1 entonces existen f 2 L1loc (Rn ), 0
< 1 y una
1
1
función K tal que K; K 2 L de modo que w (x) = K (x) [M f (x)] .
Prueba. (a) Para mostrar que w 2 A1 , será su…ciente probar que existe una
constante C tal que para todo cubo Q y para casi toda x 2 Q se cumple
Z
1
(M f )
C [M f (x)] :
jQj Q
4.3. PESOS A1
71
Fijemos Q, y descompongamos f como f = f1 + f2 donde f1 = f X2Q y f2 = f f1 .
Entonces M f (x) M f1 (x)+M f2 (x), y así para 0
< 1 se tiene [M f (x)]
[M f1 (x)] + [M f2 (x)] , luego que
Z
Z
Z
1
1
1
[M f (x)] dx
[M f1 (x)] dx +
[M f2 (x)] dx:
jQj Q
jQj Q
jQj Q
Puesto que M es de tipo débil (1; 1) tenemos que
Z
Z 1
1
1
jfz 2 Q : M f1 (z) > gj d
[M f1 (x)] =
jQj Q
jQj 0
Z 1
C
1
m n jQj ; kf1 k1 d
jQj 0
Z Ckf1 k1 =jQj
Z 1
1
jQj d +
C
jQj 0
jQj Ckf1 k1 =jQj
2
kf1 k1 d
C C 1 kf1 k1 1
=
+
kf1 k1 :
1 jQj
jQj
jQj 1
Z
Z
1
C
1
n
=
jf j = C 2
jf j
kf1 k1 = C
jQj 2Q
j2Qj 2Q
jQj
C kf1 k1
C 2n [M f (x)] ;
para
x 2 Q. Para estimar M f2 notemos que si y 2 Q y R es un cubo tal que y 2 R y
R
jf j > 0, entonces
R 2
1
l (R) > l (Q) ;
(4.16)
2
R
R
de lo contrario tendríamos que R 2Q, lo cual implicaría R jf2 j
jf j = 0: La
2Q 2
desigualdad (4.16) implica que existe una constante c tal que Q
cR. Por lo que
para x 2 Q, x 2 cR y se cumple
Z
Z
Z
cn
cn
1
jf2 j
jf2 j
jf j cn M f (x) :
jRj R
jcRj cR
jcRj cR
Así
M f2 (y)
cn M f (x) ;
para toda y 2 Q. Por lo tanto
Z
1
[M f2 (y)] dy
jQj Q
cn [M f (x)] :
72
CAPÍTULO 4. TEORÍA DE PESOS DE MUCKENHOUPT
(b) Si w 2 A1 , entonces por la desigualdad reversa de Hölder existe > 0 tal que
para todo cubo Q
1
Z
Z
1+
1
C
1+
w
w:
jQj Q
jQj Q
Por condición A1 obtenemos
M w1+ (x)
1
1+
CM w (x)
Cw (x) ;
para casi toda x 2 Rn . Por el Teorema de Diferenciación de Lebesgue tenemos que
para casi todo x 2 Rn
1
Z
1+
1
1+
w (x) = l m
[M f (x)]
Cw (x) ;
w (y) dy
jQj!0 jQj Q
donde f = w1+ , = 1= (1 + ). Sea K (x) = w (x) = [M f (x)] , esto implica que
K; K 1 2 L1 y w (x) = K (x) [M f (x)] .
Observaciones.
(a) En la parte (a) del Teorema 4.22 podemos reemplazar f 2 L1loc (Rn ), por
una medida de Borel …nita tal que M (x) < 1 casi en todas partes, ya que la
desigualdad débil (1; 1) se veri…ca para tales medidas. En efecto:
Z
j j (Br (x))
1
d j j (y) = sup
:
M (x) = sup
jBr (x)j
r>0
r>0 jBr (x)j Br (x)
Sea E = fx 2 Rn : M (x) > g y x 2 E. Existe r > 0 tal que
Z
1
jBr (x)j <
d j j (y) :
(4.17)
Br (x)
1
Como Rn = [1
k=1 Bk (0), entonces E = [k=1 Ek con Ek = E \ Bk (0). Sea F la familia
de bolas con centros en puntos de Ek que cumplan la condición (4.17). Si Ek 6= ;, por
el Lema de Cubrimiento de Vitali (ver Apéndice B), existe una sucesión de bolas que
no se intersectan fBj g tales que Ek [j 3Bj . Por lo cual tenemos
Z
X
[
3n X
3n
3n
n
jEk j 3
jBj j <
d j j (y) =
j j
Bj
j j (Rn ) ;
j
j
Bj
Tomando el límite cuando k ! 1 se llega a
jEj
3n
j j (Rn ) =
3n
k k:
4.4. DESIGUALDADES CON PESO PARA INTEGRALES SINGULARES
(b) En particular, si
73
es la medida de Dirac en el origen, entonces
M (x) = C jxj
n
:
En efecto, dado que
M (x) = sup
r>0
C (Br (x))
(Br (x))
= sup
;
jBr (x)j
rn
r>0
se tiene que
(Br (x)) = 1 si r > jxj ;
(Br (x)) = 0 si r
jxj ;
entonces
C (Br (x))
C
=
:
rn
jxjn
r>jxj
M (x) = sup
(c) Consecuentemente
(1) jxja 2 A1 si n < a
(2) jxj jxj (1 p) 2 Ap si
0.
n<
0y
n<
0.
Por (b) tenemos M (x) = Cn jxj n , ahora por Teorema 4.22 Cn jxj n 2 A1 si
0
< 1. Tomemos a = n , entonces Cn jxja 2 A1 si n < a 0. La propiedad
(2) se sigue de (1) y de la Proposición 4.16.
4.4. Desigualdades con peso para integrales singulares
En esta sección probaremos desigualdades con peso para operadores de CalderónZygmund. Recordemos que un operador de Calderón-Zygmund es un operador acotado en L2 tal que para f 2 Cc1 (Rn ) y x 2
= sop f
Z
T f (x) =
K (x; y) f (y) dy
Rn
donde K es un núcleo estándar.
Empezaremos probando un par de lemas, que nos permitirán concluir, como veremos en la prueba del Teorema 4.25 que un operador de Calderón-Zygmund se puede
“controlar”por medio de la función maximal de Hardy-Littlewood.
74
CAPÍTULO 4. TEORÍA DE PESOS DE MUCKENHOUPT
Lema 4.23 Si T es un operador de Calderón-Zygmund, entonces para cada s > 1 se
tiene
1=s
M # (T f ) (x) Cs [M (jf js ) (x)] ,
donde M # es el operador maximal sharp.
Prueba. Fijemos s > 1. Sea x 2 Rn y Q un cubo tal que x 2 Q.
Notemos que para cualquier constante a se tiene
Z
Z
Z
Z
Z
1
jfQ aj
jf (y) aj dydx =
jf (y) aj dy =
jf (x)
Q
Q jQj Q
Q
Q
de aquí obtenemos
Z
jf (x) fQ j dx
Z
Q
Q
jf (x)
Z
aj dx +
Q
ja
fQ j dx
2
Z
Q
jf (x)
aj dx;
aj dx:
Por lo tanto bastará con demostrar que
Z
1
1=s
jT f (y) aj dy Cs [M (jf js ) (x)] .
jQj Q
p
Sea Q = 23 nQ. Descompongamos f como f = f1 + f2 , donde f1 = XQ f . Sea
a = T f2 (x), entonces
Z
Z
Z
1
1
1
jT f (y) aj dy
jT f1 (y)j dy +
jT f2 (y) T f2 (x)j dy: (4.18)
jQj Q
jQj Q
jQj Q
Puesto que s > 1, T es acotado en Ls (Rn ), por consiguiente
1
jQj
Z
Q
jT f1 (y)j dy
1
jQj
C
jQj
Z
Q
Z
Q
1=s
C
jQj
s
jT f1 (y)j dy
1=s
s
jf (y)j dy
Z
1=s
s
Q
jf1 (y)j dy
1=s
C [M (jf js ) (x)]
.
Enseguida estimaremos el segundo sumando de (4.18). Como K es un núcleo
estándar se tiene que
jK (x; y)
K (w; y)j
C jx
jx
wj
n+
yj
si jx
wj <
jx
yj
2
:
4.4. DESIGUALDADES CON PESO PARA INTEGRALES SINGULARES
75
Representemos por l (Q) a la longitud del lado de Q: Entonces
1
jQj
Z
Q
jT f2 (y)
1
T f2 (x)j dy =
jQj
C
jQj
C
jQj
Z
Q
Z
Z Z
jy
Rn nQ
Q
Z
[K (y; z)
K (x; z)] f (z) dz dy
Rn nQ
l (Q)
Q
xj
jf (z)j
2k l(Q)<jx zj<2k+1 l(Q)
k= 1
1
X
jf (z)j dzdy
jx zjn+
1 Z
X
Z
1
jx
zjn+
dzdy
jf (z)j dz
[2k l (Q)]n+ jx zj<2k+1 l(Q)
Z
1
X
1
1
jf (z)j dz
=C
2ks (2k l (Q))n jx zj<2k+1 l(Q)
k= 1
"
#
Z
1
X
1
1
=C
jf (z)j dz
2k B2k l(Q) (x) B2k l(Q) (x)
k=0
Cl (Q)
k= 1
1
X
1
M f (x) = CM f (x)
C
2k
k=0
1=s
C [M (jf js ) (x)]
.
El siguiente lema es una versión con peso del Lema 1.29.
Lema 4.24 Sea w 2 Ap , 1
p0
Z
Rn
p < 1: Si f es tal que Md f 2 Lp0 (w), entonces
p
jMd f j w
C
Z
M #f
p
w;
Rn
donde Md es el operador maximal diádico y M # f es el operador maximal sharp,
siempre que el lado izquierdo sea …nito.
Prueba. Como se vio en la demostración del Lema 1.29, será su…ciente probar
que para alguna > 0
w x 2 Rn : Md f (x) > 2 ; M # f (x)
C
w fx 2 Rn : Md f (x) > g :
76
CAPÍTULO 4. TEORÍA DE PESOS DE MUCKENHOUPT
Puesto que fx 2 Rn : Md f (x) > g puede descomponerse en unión de cubos diádicos
Q ajenos por pares, bastará con demostrar que para cada cubo
w x 2 Q : Md f (x) > 2 ; M # f (x)
C
w (Q)
Por el Lema 1.28 tenemos
x 2 Q : Md f (x) > 2 ; M # f (x)
2n jQj ;
y como w 2 Ap tenemos también que se cumple (4.14), esto es, existe
para todo cubo Q y S Q
w (S)
jSj
C
.
w (Q)
jQj
Entonces
> 0 tal que
w x 2 Q : Md f (x) > 2 ; M # f (x)
w (Q)
C
x 2 Q : Md f (x) > 2 ; M # f (x)
jQj
!
C (2n ) ;
por lo cual
w x 2 Q : Md f (x) > 2 ; M # f (x)
C
w (Q) :
Ya poseemos todas las herramientas para demostrar el resultado principal de esta
sección.
Teorema 4.25 Si T es un operador de Calderón-Zygmund, entonces para cualquier
w 2 Ap , 1 < p < 1, T es acotado en Lp (w) :
n
p
Prueba. Fijemos w 2 Ap . Como L1
c (R ) es denso en L (w), supongamos sin
n
pérdida de generalidad que f 2 L1
c (R ). Por Corolario 4.19, Ap = [q<p Aq , esto
implica que podemos encontrar s > 1 tal que w 2 Ap=s . Nótese que jT f (x)j
Md (T f ) (x), pues
jT f (x)j = l m jEk T f (x)j
k!1
sup jEk T f (x)j
k
Md T f (x) .
4.4. DESIGUALDADES CON PESO PARA INTEGRALES SINGULARES
77
Se sigue de los Lemas 4.23 y 4.24 que
Z
Z
Z
p
p
p
jT f j w
[Md (T f )] w C
M # (T f ) w
n
Rn
RZ
Rn Z
p=s
C
[M (jf js )] w C
jf jp w;
Rn
siempre y cuando
Z
Rn
Rn
[Md (T f )]p w < 1:
Si T f 2 Lp (w), por acotamiento fuerte M (T f ) 2 Lp (w), además Md (T f )
M (T f ) casi en todas partes, por lo que será su…ciente con demostrar que T f 2 Lp (w).
Sea R tal que sop f BR (0), por la desigualdad de Hölder se sigue que para > 0
Z
Z
p
jxj<2R
jT f (x)j w (x) dx
1=(1+ )
1+
w (x)
dx
Z
=(1+ )
jxj<2R
jxj<2R
jT f (x)jp(1+ )= dx
Ahora dado que w 2 Ap , por desigualdad reversa de Hölder existe > 0 tal que
Z
1=(1+ )
w (x)
1+
dx
C
jxj<2R
Z
jxj<2R
w (x) dx < 1:
Además T f 2 Lq , para 1 < q < 1; ya que T es de tipo fuerte (q; q) y f 2 Lq . Por lo
que
Z
=(1+ )
p(1+ )=
jT f (x)j
w (x) dx
< 1.
jxj<2R
Para completar nuestra estimación, para jxj > 2R se tiene
Z
Z
jf (y)j
dy
jT f (x)j =
f (y) K (x; y) dy
C
yjn
jyj<R jx
Rn
pues jx
yj
Z
jxj
jxj>2R
jyj
C
kf k1
;
jxjn
jxj =2. Por lo tanto
p
jT f (x)j w (x) dx
C
C
1 Z
X
k=1
1
X
k=1
2k R<jxj<2k+1 R
2k R
np
w (x)
dx
jxjnp
w B 0; 2k+1 R
:
:
78
CAPÍTULO 4. TEORÍA DE PESOS DE MUCKENHOUPT
Puesto que w 2 Ap , existe q < p tal que w 2 Aq . Por (4.6)
jSj
jQj
q
w (Q)
Cw (S) ;
para S
Q, que también es válido para bolas, por lo que tomemos S = B (0; R) y
Q = B 0; 2k+1 R . Así
w B 0; 2k+1 R
C2knq .
De esta manera
Z
jxj>2R
p
jT f (x)j w (x) dx
C
1
X
2k R
np
2knq
k=1
= CR
np
1
X
k=1
2(nq
np)k
< 1;
pues q < p: Concluimos que T f 2 Lp (w).
De manera análoga a como se probó el Teorema 3.9 obtenemos el siguiente resultado.
Teorema 4.26 Sea T un operador de Calderón-Zygmund y sea w 2 A1 . Si f 2
L1 (w), se cumple que
Z
C
n
jf (x)j w (x) dx:
w (fx 2 R : jT f (x)j > g)
Rn
CAPÍTULO 5
ESTIMACIONES PARA LA NORMA DE LA FUNCIÓN
MAXIMAL
En este capítulo consideraremos una versión más general de la función maximal
de Hardy-Littlewood, tal y como lo hicimos en la Sección 1.2 del Capítulo 1, pero aquí
nuestra medida será de la forma d = wdx, donde w es un peso. Mostraremos que
cuando w está en la clase de Muckenhoupt, la norma en Lp (w) del operador maximal
centrado de Hardy-Littlewood puede estimarse por el producto de una constante que
depende de p y de la dimensión, y una potencia apropiada de la constante Ap del peso
w. De paso, obtendremos una estimación uniforme en w para la norma del operador
maximal centrado respecto a la medida . Nuestra herramienta principal para probar
dicha estimación será el teorema de cubrimiento de Besicovitch. En este capítulo
nuestras principales referencias serán [11], [9], [15], [5].
5.1. Las estimaciones
Damos inicio estableciendo primeramente las siguientes de…niciones.
De…nición 5.1 Sea w un peso y f 2 L1loc (w). La función maximal de HardyLittlewood de f en el espacio L1loc (w) ; es la función M w f de…nida por,
Z
1
w
jf (y)j w (y) dy;
M f (x) = sup
Q3x w (Q) Q
donde el supremo se toma sobre todos los cubos Q que contienen a x: El operador
maximal de Hardy-Littlewood M w es el operador que envía a la función f a la
función M w f:
De manera análoga también podemos de…nir la función maximal de Hardy-Littlewood
de f centrada en cubos, es decir
Z
1
w
Mc f (x) = sup
jf (y)j w (y) dy;
>0 w (Q (x; )) Q(x; )
79
80CAPÍTULO 5. ESTIMACIONES PARA LA NORMA DE LA FUNCIÓN MAXIMAL
Como los operadores Mcw y M w son puntualmente comparables, usaremos cualesquiera
de ellos cuando sea conveniente.
También, denotaremos por Mc al clásico operador maximal de Hardy-Littlewood
de f centrado en cubos, esto es
Z
1
Mc f (x) = sup
jf (y)j dy.
>0 jQ (x; )j Q(x; )
Teorema 5.2 (Teorema de Cubrimiento de Besicovitch). Sea K un conjunto acotado
en Rn . Para cada x 2 K, sea Qx un cubo abierto centrado en x. Entonces existe
m 2 Z+ [ f1g y un conjunto de puntos fxj gm
j=1 en K tales que
m
[
K
Qxj ;
(5.1)
j=1
y para casi todo y 2 Rn se tiene
m
X
j=1
XQxj (y)
24n :
(5.2)
Prueba. Sea
s0 = sup fl (Qx ) : x 2 Kg :
Si s0 = 1, entonces existe x1 2 K tal que l (Qx1 ) > 4L, donde [ L; L]n contiene a
K. Entonces K está contenido en Qx1 , por lo que el teorema es válido con m = 1.
Supongamos ahora que s0 < 1. Elijamos x1 2 K tal que l (Qx1 ) > s0 =2. De…namos
K1 = K n Qx1 ,
s1 = sup fl (Qx ) : x 2 K1 g ;
y seleccionemos x2 2 K1 tal que l (Qx2 ) > s1 =2. Luego de…namos
K2 = K n (Qx1 [ Qx2 ) ,
s2 = sup fl (Qx ) : x 2 K2 g ;
y seleccionemos x3 2 K2 tal que l (Qx3 ) > s2 =2. Continuamos este proceso hasta
encontrar el primer entero m tal que Km es vacío. Si tal m no existe, continuamos el
proceso inde…nidamente y sea m = 1.
A…rmamos que para cada i 6= j se tiene que
1
1
Qxi \ Qxj = ;:
3
3
5.1. LAS ESTIMACIONES
81
En efecto, supongamos que i > j. Entonces xi 2 Ki 1 = K n Qx1 [
xi 2
= Qxj . También xi 2 Ki 1 Kj 1 , lo que implica que
l (Qxi )
sj
1
[ Qxi
1
, así
< 2l Qxj :
Si existiera y 2 31 Qxi \ 13 Qxj tendríamos
p
p
p
n
n
n
jxi xj j jxi yj + jy xj j <
l (Qxi ) +
l Qxj <
l Qxj ;
6
6
2
y así concluiríamos que xi 2 Qxj ; lo cual no ocurre.
Ahora
Sm probaremos la inclusión (5.1). Si m < 1, entonces K1m = ;, por lo tanto
K
j=1 Qxj . Supongamos que m = 1, puesto que los cubos 3 Qxi son ajenos por
1
pares y tienen centros en un conjunto acotado, se sigue que la sucesión l Qxj j=1
S1
converge a cero. Si existe y 2 K r j=1 Qxj , entonces y 2 Kj para j = 1; 2; :::; y
l (Qy ) sj para todo j, y puesto que sj 1 < 2l Qxj se sigue l (Qy ) = 0, por lo que
el cubo abierto Qy es vacío, lo cual es una contradicción y así obtenemos (5.1).
Enseguida, mostraremos la desigualdad (5.2). Sea y 2 Rn , consideremos n hiperplanos Hi paralelos a los hiperplanos coordenados, que pasen por el punto y. Así
podemos escribir Rn como la unión de 2n octantes abiertos Or y n hiperplanos Hi de
medida de Lebesgue cero. Mostraremos que existe una cantidad …nita de puntos xj
sobre cada octante Or . Fijemos Or , y sea xko tal que Qxko contiene a y y la distancia
de xko a y es la más grande posible. Si xj es otro punto en K \ Or tal que Qxj contiene
l Qxj lo que conlleva a xj 2 Qxk0 . Como i > j implica
a y, entonces l Qxko
xi 2
= Qxj , se sigue que j < k0 ; de lo cual l Qxk0 =2 < l Qxj . Así, todos los cubos
Qxj con centros en K \ Or que contienen al punto …jo y, tienen lados comparables a
los de Qxk0 . Sea = l Qxko =2 y fQxr gr2I la colección de cubos tales que para cada
r 2 I se tiene que < l (Qxr ) 2 , Qxr contiene a y, y los cubos 31 Qxr son ajenos
por pares. Entonces
n
jIj
3n
X 1
[1
Qxr =
Qxr
3
3
r2I
r2I
[
Qxr
(4 )n ;
r2I
dado que todos los cubos Qxr contienen el punto y y tienen longitud de lado a lo
más 2 , y por tanto, deben de estar contenidos en un cubo de longitud de lado 4
y centrado en y. Esta observación prueba que jIj
12n , y puesto que existen 2n
conjuntos Or concluimos (5.2).
Antes de establecer el resultado principal de este capítulo, será necesario introducir la siguiente notación.
82CAPÍTULO 5. ESTIMACIONES PARA LA NORMA DE LA FUNCIÓN MAXIMAL
Si w 2 Ap , 1 < p < 1, denotaremos por [w]Ap al ín…mo de las constantes C que
satisfacen la condición (4.11). Este número se denomina la constante Ap del peso w.
Cuando T sea un operador que actúa entre espacios Lp (w) denotaremos su norma
por kT kLp (w)!Lp (w) .
Teorema 5.3 Sea w 2 Ap para algún 1 < p < 1: Entonces existe una constante
Cn;p tal que
1=(p 1)
:
(5.3)
kMc kLp (w)!Lp (w) Cn;p [w]Ap
Prueba. Fijemos un peso w y sea
Q = Q (x0 ; r) en Rn y escribamos
Z
1
jQj
Q
jf j dy =
w (Q)
1
p 1
=w
(3Q)
jQj p
p
1
(
1=(p 1)
jQj
w (Q)
. Ahora …jemos un cubo abierto
1
(3Q)
Z
p 1
Q
jf j dy
)p11
:
Para cada x 2 Q, consideremos el cubo Q (x; 2r) : Entonces Q
Q (x; 2r)
Q (x0 ; 3r) y así
Z
Z
1
1
jf j dy
jf j dy Mc jf j 1 (x) :
(3Q) Q
(Q (x; 2r)) Q(x;2r)
Así para cada x 2 Q, se tiene
1
jQj
Z
Q
jf j dy =
w (Q) p
1
(3Q)
1
jQj
p
p 1
(
1
w (Q)
Z
Q
p 1
1
Mc jf j
dy
)p11
Puesto que
w (Q) (3Q)p
jQjp
se sigue que
1
jQj
Z
Q
jf j dy
3
np
p 1
1
p 1
[w]Ap
Mcw
h
1
3np [w]Ap ;
Mc jf j
1
p 1
w
1
i
(x0 )
dado que x0 es el centro de Q. Así
Mc (f )
np
1
3p
1
[w]Ap p 1 Mcw
h
Mc jf j
1
p 1
w
1
i
1
p 1
:
1
p 1
;
3Q =
:
5.1. LAS ESTIMACIONES
83
Tomando normas en Lp (w), deducimos
h
1
np
p 1
w
p
1
kMc f kLp (w) 3
[w]Ap Mc Mc jf j
3
np
p 1
np
1
= 3p
3
np
p 1
np
1
= 3p
1
p 1
[w]Ap
p 1
1
w
1
1
kMcw kLp p01(w)!Lp0 (w)
1
1
1
1
i
1
p 1
Lp0 (w)
Mc jf j
[w]Ap p 1 kMcw kLp p01(w)!Lp0 (w) Mc jf j
p 1
1
1
p 1
Lp0 (w)
1
Lp ( )
[w]Ap p 1 kMcw kLp p01(w)!Lp0 (w) kMc kLp (
)!Lp ( )
[w]Ap p 1 kMcw kLp p01(w)!Lp0 (w) kMc kLp (
)!Lp ( )
1
w
1
f
1
Lp ( )
1
kf kLp (w) :
La desigualdad (5.3) se obtiene si probamos que
kMcw kLq (w)!Lq (w)
Cq;n < 1
(5.4)
para todo 1 < q < 1 y cualquier peso w: Obtendremos esta estimación uniforme
haciendo uso del teorema de interpolación de Marcinkiewicz. Para q = 1 se tiene
C1;n = 1 pues
Z
1
w
jf j wdy kf k1 :
Mc (f ) (x) = sup
>0 w (Q (x; )) Q(x; )
Si probamos que Mcw es de tipo débil (1; 1) en L1 (w) con una constante que solo
depende de n; se seguirá (5.4).
Sea f 2 L1 (w), mostraremos primero que el conjunto E = fMcw (f ) > g es
abierto. Sea r > 0 y x0 2 Rn , por teorema de convergencia dominada tenemos que si
xn ! x0 entonces w (Q (xn ; r)) ! w (Q (x0 ; r)) y también
Z
Z
jf j wdy !
jf j wdy;
Q(xn ;r)
por lo que la función
1
x 7!
w (Q (x; r))
Q(x0 ;r)
Z
Q(x;r)
jf j wdy
es continua y dado que Mcw (f ) es el supremo de funciones continuas, obtenemos que
Mcw (f ) es semicontinua inferiormente y así E es abierto.
Dado un subconjunto compacto K de E , para cada x 2 K seleccionamos un
cubo abierto Qx centrado en x tal que
Z
1
jf j wdy > :
w (Qx ) Qx
84CAPÍTULO 5. ESTIMACIONES PARA LA NORMA DE LA FUNCIÓN MAXIMAL
Por el teorema de cubrimiento de Besicovitch, existe una subfamilia Qxj
K
m
[
m
j=1
tal que
Qxj ;
j=1
y para casi todo y 2 Rn se tiene
m
X
j=1
XQxj (y)
24n :
Por lo cual
w (K)
m
X
j=1
w Qxj
Z
m
X
1
j=1
Q xj
jf j wdy
24n
Z
Rn
jf j wdy:
Ahora tomamos el supremo sobre todos los subconjuntos compactos K de E y usamos
la regularidad de w, para deducir que Mcw es de tipo débil en L1 (w) con constante a
lo mas 24n :
En virtud de la estimación (5.4) podemos establecer el siguiente resultado.
Corolario 5.4 Sea 1 < p < 1. Para cualquier peso w (no necesariamente en Ap ),
la norma del operador maximal Mcw en Lp (w) está acotada por una constante que
solo depende de p y de la dimensión n:
Es importante destacar este resultado, pues al igual que en el caso sin pesos,
podemos obtener una estimación para la norma de la función maximal centrada que
solo depende del exponente p y de la dimensión n (ver Teorema 1.18 y Teorema 1.20).
De hecho, puede demostrarse un resultado similar al Corolario 5.4 para cualquier
tipo de medida de Borel regular en Rn y no necesariamente duplicante. Esto puede
consultarse en [7].
CONCLUSIONES
Los principales resultados de este trabajo fueron dar condiciones necesarias o
su…cientes para que se cumplan las desigualdades:
Z
Z
p
jT f (x)j u (x) dx C
jf (x)jp w (x) dx
(1)
Rn
Rn
y
n
u (fx 2 R : jT f (x)j > g)
C
p
Z
Rn
jf (x)jp w (x) dx;
(2)
donde u y w son pesos, 1 p < 1; y T representa el operador maximal de HardyLittlewood o un operador integral singular.
Para el operador maximal de Hardy-Littlewood M , la desigualdad de tipo débil
(p; p) con respecto a (u; w), es decir,
Z
C
n
u (fx 2 R : M f (x) > g)
jf (x)jp w (x) dx;
p
Rn
es equivalente a la condición Ap , esto es, existe una constante C, tal que para todo
cubo Q
Z
Z
p 1
1
1
1
u (x) dx
w (x) p 1 dx
C; para 1 < p < 1.
jQj Q
jQj Q
Z
1
u (x) dx sup esQ w 1
C, para p = 1.
jQj Q
Además, la condición Ap no es su…ciente para garantizar que M sea acotado con
respecto a (u; w). Mas sin embargo, si u = w, la condición Ap es una condición
necesaria y su…ciente para que M satisfaga (1).
Por otra parte, si T es un operador Calderón-Zygmund, en virtud del “control”
que el operador maximal de Hardy-Littlewood ejerce sobre T , la condición w 2 Ap es
su…ciente para garantizar las desigualdades: (1) para 1 < p < 1, y (2) para p = 1.
85
86
CONCLUSIONES
Finalmente, mostramos que la norma en Lp (w) del operador maximal centrado
de Hardy-Littlewood puede estimarse por el producto de una constante que depende
de p y de la dimensión, y una potencia apropiada de la constante Ap del peso w, esto
es
1=(p 1)
;
kMc kLp (w)!Lp (w) Cn;p [w]Ap
desigualdad cuya prueba nos condujo a obtener una estimación uniforme en el peso
para la norma del operador maximal centrado respecto a la medida con dicho peso.
En esta tesis hemos hecho una reseña de los resultados más básicos de la teoría
de pesos Ap . Una excelente exposición de estos tópicos puede encontrarse en [9] y
[5]. Además, como lo hemos comentado previamente, la teoría de pesos Ap continúa
siendo en la actualidad una línea muy activa de investigación. Para el lector interesado
en ampliar este panorama, le sugerimos consultar [14], [18] y [19].
APÉNDICE A
Dado un espacio de medida (X; ) y f : X ! R, la función de distribución de f
está dada por
df (t) = (fx 2 X : jf (x)j > tg) :
Teorema 5.5 Teorema de interpolación de Marcinkiewicz
Sean (X; ) y (Y; ) espacios de medida, 1 p0 < p1 1, y sea T un operador
sublineal de…nido en Lp0 ( ) + Lp1 ( ) que toma valores en el espacio de funciones
medibles de…nidas en Y y que además es de tipo débil (p0 ; p0 ) y de tipo débil (p1 ; p1 ).
Entonces T es de tipo fuerte (p; p) para p0 < p < p1 :
Prueba. Sea f 2 Lp ( ), p0 < p < p1 , y t > 0. De…namos
f0 = f X(x:jf (x)j>ct) , f1 = f
f0 ,
donde la constante c > 0 la escogeremos en el transcurso de la prueba. Notemos que
f0 2 Lp0 ( ), pues
Z
Z
Z
p0
p
p0 p
p0 p
jf0 j d = jf0 j jf0 j
d
t
jf j d ;
ya que p0 p
0. Similarmente tenemos que f1 2 Lp1 ( ). Puesto que jT f j
jT f0 j + jT f1 j entonces dT f (t) dT f0 (t=2) + dT f1 (t=2). Por hipótesis tenemos que
2Ai kfi kpi
t
dT fi (t=2)
entonces
kT f kp
p
+p
Z
Z
1
0
1
p 1 p0
t
tp
1 p0
(2A0 )
p0
(2A1 )p0
0
=
p0
p2
p p0
Ap00
cp p0
Z
Z
p1
+
p2
p1
87
pi
; i = 0; 1
fx:jf (x)j>ctg
jf (x)jp0 d dt
jf (x)jp1 d dt
fx:jf (x)j ctg
Ap11
kf kpp
p cp p 1
:
88
APÉNDICES
Hemos establecido el teorema excepto para el caso p1 = 1. Hasta el momento no
hemos hecho alguna elección de la constante c > 0. Elíjase ahora c = 1=2A1 , donde
A1 es la constante para la cual kT gk1
A1 kgk1 . Esta desigualdad implica que
dT f1 (t=2) = 0. Ahora utilizamos la desigualdad de tipo débil (p0 ; p0 )
dT f0 (t=2)
p0
2A0 kf0 kp0
t
,
por lo que
kT f kp
p
Z
1
p 1 p0
t
0
p (2A0 )p0
=
p
p
p0
Z
(2A0 )
p0
jf (x)jp0
Z
Z
fx:jf (x)j>ctg
jf (x)j=c
p 1 p0
0
p p0
(2A0 )p0 (2A1 )
jf (x)jp0 d dt
t
kf kpp :
dtdu
APÉNDICE B
Lema 5.6 Lema de cubrimiento de Vitali
Sea E
Rn un conjunto acotado y F una colección de bolas abiertas en Rn
centradas en puntos de E, tal que todo punto de E es el centro de alguna bola en F.
Entonces existe una subcolección fBj gm
F, con m 2 Z[ f+1g, tal que
j=1
Bj
y
\
Bk = ; para j 6= k;
E
m
[
(5.5)
(5.6)
3Bj
j=1
Prueba. Si los radios de las bolas en F no son acotados, existe B 2 F tal que
E B, ya que E es acotado.
Supongamos que los radios de las bolas en F son acotados. De…namos
d1 = sup frad (B) : B 2 Fg
y elijamos B1 tal que d1 =2 < rad (B1 ). Recursivamente de…namos
(
)
n[1
dn = sup rad (B) : B 2 F y B \
Bk = ; :
k=1
Sn
Si no existe B 2 F tal que B \ k=11 Bk = ; entonces el proceso recursivo termina y
m = n 1. De otro modo se elige Bn 2 F tal que
n[1
dn
< rad (Bn ) y B \
Bk = ;:
2
k=1
Por construcción se tiene (5.5). Para demostrar (5.6), sea x 2 E, consideremos B 2 F
tal que x es el centro de B. Sea = rad (B).
89
90
APÉNDICES
A…rmamos que existe j0 tal que B \ Bj0 6= ;. De otro modo, si B \ Bj = ; para
toda k, entonces m = 1 y
dk para k = 1; 2; 3:::, esto implicaría que
rad (Bk ) >
dk
2
2
> 0:
Pero esto es imposible, pues
1
[
Bk =
k=1
1
X
k=1
jBk j
S
la cual es una serie divergente, mientras que 1
k=1 Bk es acotado.
Como B intersecta a algún Bk existirá el mínimo k0 para el que B \ Bk0 6= ;. Por
lo tanto
k[
0 1
B\
Bk = ;
k=1
y concluimos que
dk0 < 2rad (Bk0 ).
Sea y 2 B \ Bk0 . Si z es el centro de Bk0 entonces
jx
zj
por lo tanto x 2 3Bk0 .
jx
yj + jy
zj <
+ rad (Bk0 ) < 3rad (Bk0 ) ;
BIBLIOGRAFÍA
[1] S. M. Buckley, Estimates for operator norms on weighted spaces and reverse
Jensen inequalities, Transactions of the American Mathematical Society 340
(1), (1993), pp. 253-272.
[2] M. Christ, Lectures on singular integral operators, CBMS, Vol. 77, American
Mathematical Society Publications, 1990.
[3] R. R. Coifman, C. Fe¤erman, Weighted norm inequalities for maximal functions
and singular integrals, Studia Mathematica 51, (1974), pp. 241-250.
[4] R. R. Coifman, R. Rochberg, Another characterization of BM O, Proceedings of
the American Mathematical Society 79 (1980), pp. 249-254.
[5] D. Cruz-Uribe, J. M. Martell, C. Pérez, Weights, Extrapolation and the Theory
of Rubio de Francia, Series: Operator theory: advances and applications, Vol.
215, Springer Basel, 2011.
[6] J. Duoandikoetxea, Fourier Analysis, Graduate Studies in Mathematics, Vol. 29,
American Mathematical Society Publications, 2001.
[7] R. Fe¤erman, Strong di¤erentiation with respect to measures, American Journal
of Mathematics 103 (1), (1981), pp. 33-40.
91
92
BIBLIOGRAFÍA
[8] G. B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, John
Wiley & Sons, 1999.
[9] J. García-Cuerva, J. L. Rubio de Francia, Weighted Norm Inequalities and Related Topics, North Holland Mathematics Studies, Vol. 116, North Holland, 1985.
[10] L. Grafakos, Classical Fourier Analysis, Graduate Texts in Mathematics, Vol.
249, Springer, 2008.
[11] L. Grafakos, Modern Fourier Analysis, Graduate Texts in Mathematics, Vol. 250,
Springer, 2009.
[12] F. Jones, Lebesgue Integration on Euclidean Space, Jones and Bartlett Publishers, 2001.
[13] C. E. Kenig, Harmonic analysis techniques for second order elliptic boundary
value problems, CBMS, Vol. 83, American Mathematical Society Publications,
1994.
[14] M. Lacey, The linear bound in A2 for Calderón-Zygmund operators: a survey,
Banach Center Publications 95 (2011), pp. 97-114.
[15] A. K. Lerner, An elementary approach to several results on the Hardy-Littlewood
maximal operator, Proceedings of the American Mathematical Society 136 (8),
(2008), pp. 2829-2833.
[16] B. Muckenhoupt, Weighted norm inequalities for the Hardy maximal function,
Transactions of the American Mathematical Society 165 (1972), pp. 207-226.
[17] B. Muckenhoupt, R. Hunt, R. Wheeden, Weighted norm inequalities for the con-
BIBLIOGRAFÍA
93
jugate function and the Hilbert transform, Transactions of the American Mathematical Society 176 (1973), pp. 227-251.
[18] C. Pérez, The growth of the Ap constant on classical estimates, Revista de la
Unión Matemática Argentina 50 (2), (2009), pp. 119-135.
[19] C. Pérez, A course on singular integrals and weights, Advanced Courses in
Mathematics-CRM Barcelona, Birkhäuser Verlag, Basel, 2011.
[20] J. L. Rubio de Francia, Factorization theory and Ap weights, American Journal
of Mathematics 106 (3), (1984), pp. 533-547.
[21] W. Rudin, Real and complex analysis, McGraw-Hill, 1986.
[22] E. M. Stein, Singular integrals and di¤erentiability property of functions, Princeton University Press, 1970.
[23] E. M. Stein, G. Weiss, Introduction to Fourier analysis on euclidean spaces,
Princeton University Press, 1971.
[24] E. M. Stein, Harmonic analysis: real variable methods, orthogonality and oscillatory integrals, Princeton University Press, 1993.