Momento Introducción Como se dijo en el capítulo anterior, algunas

Momento
Introducción
Como se dijo en el capítulo anterior, algunas de las herramientas más poderosas en física se basan en
principios de conservación. La idea detrás de un principio de conservación es que hay algunas propiedades
de los sistemas que no cambian, aunque otras cosas de los sistemas sí pueden cambiar. En este capítulo,
introduciremos el concepto de momento, el cual, como la energía, es una propiedad conservada de cualquier
sistema cerrado. El principio de Conservación del Momento es una herramienta poderosa en física y es,
como se demostrará más adelante, una consecuencia necesaria de la Primera y la Tercera Leyes de Newton.
Momento de un Objeto Simple
El momento de un solo objeto es simplemente igual al producto de su masa y su velocidad. El símbolo para el
momento es “p”. Ya que una masa es un escalar y la velocidad es un vector, el momento también es un vector.
La dirección del momento es siempre la misma que la dirección de la velocidad del objeto.
p = mv
El momento es un vector, así que tiene una magnitud y una velocidad.
Su magnitud es el producto de su masa y su velocidad, p = mv
Su dirección es la misma que la dirección de su velocidad.
Unidades del momento
La unidad del momento puede ser derivada de la ecuación anterior.
p = mv
Las unidades del Sistema Internacional para la masa son los kilogramos (kg) y para la velocidad los metros /
segundos (m/s). En consecuencia, las unidades del momento son kg· m/s.
No hay un nombre en especial para las unidades del momento.
Ejemplo 1: Un objeto de 20 kg tiene una velocidad de 4,5 m/s en la dirección positiva x. ¿Cuál es su momento?
p = mv
p = (20 kg) (4,5 m/s)
p = 90 kg· m/s
p = 90 kg· m/s en la dirección positiva x
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Ejemplo 2: Un objeto de 60 kg tiene una velocidad de 1,5 m/s en la dirección negativa x. ¿Cuál es su
momento?
p = mv
p = (60 kg) (-1,5 m/s)
p = -90 kg· m/s
p = 90 kg· m/s en la dirección negativa x
Observa dos aspectos de los ejemplos de arriba. Primero, cada respuesta requirió de una magnitud y de una
dirección. Segundo, como el momento es el producto de la masa y la velocidad, objetos de diferentes masas
pueden tener las mismas cantidades de momento. Esto sólo requeriría que el objeto de menor masa tenga
mayor velocidad.
Momento de un sistema cerrado de objetos
Para determinar el momento de un sistema que tiene más de un objeto, debes sumar los momentos de todos
los objetos individuales.
psistema= p1 + p2 + p3 +…
psistema = m1v1 + m2v2 + m3v3 + …
O
Momento - 1
v 1.1
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psistema = Σp
psistema = Σmv
Entonces, si un sistema tuviera los objetos de los ejemplos 1 y 2 de arriba, el momento total de ese sistema
simplemente sería la suma de esos dos momentos.
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Ejemplo 3: Determina el momento de un sistema que consiste de los dos objetos de los ejemplos 1 y 2 de
arriba.
psistema = Σp
psistema = p1 + p2
psistema = (90 kg.m/s) + (-90 kg·m/s)
psistema = 0
______________________________________________________________________
Ejemplo 4: Determina el momento del sistema que consiste de dos objetos. Un objeto m 1 tiene una masa de 2
kg y una velocidad de +5 m/s y un segundo objeto m2 tiene una masa de 20 kg y una velocidad de +3 m/s.
psistema = Σp
psistema = p1 + p2
psistema = m1v1 + m2v2
psistema = (2 kg) (+5 m/s) + (20 kg) (+3 m/s)
psistema = (10 kg.m/s) + (60 kg·m/s)
psistema = 70 kg·m/s
psistema = 70 kg·m/s en la dirección positive x.
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Ejemplo 5: Determina el momento de un sistema de dos objetos. Un objeto, m1, tiene una masa de 4 kg y una
velocidad de 17 m/s hacia el este, y el segundo objeto, m2, tiene una masa de 70 kg y una velocidad de 4 m/s
en la misma dirección.
Primero, necesitamos decidir cómo orientar los ejes positivos y negativos. La forma más simple sería
posicionar el este como positivo. Luego, ambas velocidades serán positivas.
psistema = Σp
psistema = p1 + p2
psistema = m1v1 + m2v2
psistema = (4 kg) (17 m/s) + (70 kg) (4 m/s)
psistema = (68 kg· m/s) + (280 kg· m/s)
psistema = 348 kg· m/s
psistema = 348 kg· m/s hacia el este.
Nota que en el último paso volvimos a las direcciones dadas en el problema. La persona que escribió el
problema no sabe qué dirección nosotros asignaríamos como positiva, por lo cual debemos dar una respuesta
para el problema como fue planteado; en este caso, el este no es positivo.
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Ejemplo 6: Determina el momento de un sistema de dos objetos. Un objeto, m1, tiene una masa de 4 kg y una
velocidad de 17 m/s hacia el este, y el segundo objeto, m2, tiene una masa de 70 kg y una velocidad de 14 m/s
hacia el oeste.
Primero, necesitamos decidir cómo orientar los ejes positivos y negativos. La forma más simple sería
posicionar el este como positivo. Esto significa que la dirección opuesta, el oeste, será negativa. Luego,
Momento - 2
v 1.1
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psistema = Σp
psistema = p1 + p2
psistema = m1v1 + m2v2
psistema = (4 kg) (17 m/s) + (70 kg)(-4 m/s)
psistema = (68 kg· m/s) + (-280 kg· m/s)
psistema = -212 kg· m/s
psistema = 212 kg· m/s hacia el oeste
Una vez más, nota que en el último paso interpretamos que la dirección negativa sea hacia el oeste.
Conservación del momento en un sistema cerrado
En el capítulo anterior aprendimos que la energía en un sistema cerrado sólo puede ser modificada si una
fuerza exterior actúa sobre él. El cambio en la energía de un sistema es igual al trabajo ejercido por una fuerza
externa.
De la misma manera, el momento de un sistema cerrado sólo puede ser modificado por una fuerza externa que
provee un impulso sobre él. El cambio en el momento del sistema es igual al impulso que provee la fuerza
externa. Esto puede representarse simbólicamente como:
p0 + I = pf
donde I es el símbolo para el impulso, p0, representa el momento inicial del sistema y pf representa el momento
final del mismo sistema.
En muchos casos, no habrá fuerzas externas actuando sobre un sistema cerrado. En esos casos, el momento
no cambiará independientemente de lo que pasa dentro del sistema. Observemos primero esos casos en los
que el impulso sobre un sistema es cero.
p0 + I = pf
pero
I=0
entonces
p0 = pf
Esto significa que si medimos el momento total de un sistema en cualquier momento, su momento no cambiará
si no es afectado por algo exterior al sistema. Los objetos pueden colisionar, explotar, romperse, adherirse, etc.
Nada de lo que pase dentro del sistema cambiará su momento.
Cuando resolvamos el siguiente ejemplo, cambiaremos cómo indicamos inicio y final. Eso es porque, como
verás, los subíndices pueden ser bastante confusos. Hay simplemente demasiados. Entonces, la primera vez,
escribiremos vo1 para la velocidad inicial del primer objeto y vf1 para su velocidad final. Luego cambiaremos a
una notación más fácil que usaremos de ahora en más al realizar problemas sobre el momento. Indicaremos la
velocidad inicial del primer objeto con v1 y su velocidad final con v´1. Pensamos que te resultará más fácil
comprender de esta manera, especialmente para cuando escribas tu propio desarrollo.
Ejemplo 7: Un sistema cerrado tiene dos objetos. Un objeto, m 1, tiene una masa de 15 kg y una velocidad de 6
m/s hacia el este, y el segundo objeto, m2, tiene una masa de 20 kg y una velocidad de 3 m/s hacia el oeste.
Estos dos objetos colisionan y se adhieren el uno al otro. ¿Cuál es la velocidad del objeto combinado?
Una vez más, elijamos el este como positivo y el oeste como negativo. Luego,
Momento - 3
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p0 + I = pf
Como no hay fuerzas externas, I = 0, entonces
p0 = pf
m1vo1 + m2vo2 = m1vf1 + m2vf2
Simplificando la notación obtenemos
m1v1 + m2v2 = m1 v´1 + m2 v´2
Como los dos objetos se adhieren, deben tener la misma velocidad después de la colisión v´1 = v´2 = v´
m1v1 + m2v2 = m1 v´ + m2 v´
m1v1 + m2v2 = (m1+ m2) v´
v´ = (m1v1 + m2v2) / (m1+ m2)
v´ = ((15 kg) (6 m/s) + (20 kg)(-3 m/s)) / (15 kg + 20 kg)
v´ = ((90 kg· m/s) + (-60 kg· m/s)) / (35 kg)
v´ = (30kg· m/s) / (35 kg)
v´ = 0,86 m/s
v´ = 0,86 m/s hacia el este
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Ejemplo 8: Un sistema cerrado consiste de un objeto inmóvil que explota y se parte en dos pedazos. Después
de la explosión, un pedazo, m1, tiene una masa de 25 kg y una velocidad de 8 m/s hacia el norte y el segundo
pedazo, m2, tiene una masa de 40 kg. Determina la velocidad del segundo pedazo.
Elijamos el norte como positive y el sur como negativo. Luego,
p0 + I = pf
Como no hay fuerzas externas, I = 0, entonces
p0 = pf
Como el objeto no tenía velocidad inicial, p0 = 0
0 = m1 v´1 + m2 v´2
Luego averiguamos v´2
m2 v´2 = - m1 v´1
v´2 = (- m1 v´1) / m2
Y sustituimos por números
v´ = (- (25 kg)( 8 m/s) / (4 kg)
v´ = (- (25 kg)( 8 m/s)) / (4 kg)
v´ = (- 200 kg· m/s) / (4 kg)
v´ = (- 50 m/s)
Luego interpretamos la velocidad negativa en términos de dirección
v´ = 50 m/s hacia el sur
Momento - 4
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Así es como resolvemos los problemas sobre el momento cuando no hay fuerzas externas actuando sobre el
sistema. Hay toda clase de problemas, llamados problemas de Colisión cuando éste es el caso.
Colisiones
Las colisiones descriptas en esta sección son todas entre objetos dentro de un sistema cerrado. No hay una
fuerza externa actuando sobre el sistema, así que no hay impulso actuando sobre el sistema, I = 0.
Todas las colisiones son de una de estas tres categorías: perfectamente inelásticas, inelásticas o
perfectamente elásticas. En el caso de colisiones perfectamente inelásticas, los objetos que colisionan se
adhieren. Mientras que el momento es conservado, como sucede en todos estos casos, la energía mecánica
no es conservada. Parte de la energía mecánica se ve en calor, sonido, para deformar el objeto, etc. Mientras
que la energía total es conservada, ésta es en formas que todavía no hemos estudiado. Esto es, el total de la
energía gravitacional potencial, cinética, y energía elástica potencial no es conservado en este tipo de
colisiones.
Esto es válido para cualquier colisión inelástica. Mientras que en las colisiones perfectamente inelásticas los
dos objetos que colisionan se adhieren, en el caso de las colisiones inelásticas, a pesar de que no se adhieren,
parte de la energía mecánica también se libera de otras formas.
El único caso en el que la energía mecánica es conservada es durante una colisión perfectamente elástica. En
este caso, los dos objetos rebotan sin pérdida de energía mecánica. (Un buen ejemplo de esto es cuando
colisionan las bolas de billar). En este caso, y solamente en este caso, podemos combinar nuestras
ecuaciones para la conservación de la energía con las ecuaciones para la conservación del momento.
Estrategias para la resolución de problemas sobre colisiones
El primer paso para la resolución de estos problemas es determinar el tipo de colisión. No puedes asumir que
el problema debe decirte esto directa o indirectamente. Obviamente, si te dicen de qué tipo de colisión se trata
estará bien. Pero también podría decírtelo indirectamente a través de pistas. Por ejemplo, si te dicen que los
objetos se adhieren, sabrás que se trata de una colisión perfectamente inelástica sin que te lo hayan dicho
directamente. A partir de esa información, sabrás que la energía mecánica no se conservó y, lo más
importante, que v´1 = v´2 = v´. Este último hecho es crítico para la resolución del problema. Un ejemplo de este
tipo puede verse en el Ejemplo 7.
Si no te dicen de qué tipo de colisión se trata, si los objetos se adhieren o que la energía mecánica es
conservada, entonces sólo puedes asumir que se trata de una colisión perfectamente elástica. En este caso, el
problema debe darte más información para que puedas resolverlo, por ejemplo, la velocidad y la masa de uno
de los objetos después de la colisión. Sin esta información, el problema no podría resolverse.
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Ejemplo 9: Una bala se dispara contra una pieza de madera que está quieta sobre una superficie libre de
fricción. La bala tiene una masa de 0,025 kg y una velocidad de 300 m/s y la masa de la madera es de 2,0 kg.
Después de atravesar la madera, la velocidad de la bala es de 200 m/s. ¿Cuál es la velocidad de la madera?
Como no nos dicen que ésta es una colisión perfectamente inelástica o perfectamente elástica, que los objetos
se adhieren o que la energía es conservada, debemos asumir que se trata de una colisión inelástica. Pero sí
nos dan la información de la velocidad de la bala después de la colisión.
p0 + I = pf
Como no hay fuerzas externas, I = 0, entonces
p0 = pf
mbvb + mwvw = mbv´b + mwv´w
Pero la madera estaba inicialmente quieta, entonces vw = 0
mbvb = mbvb´ + mw vw´
mbvb - mbvb´ = mw vw´
mw vw = mbvb - mbvb´
vw = mb (vb - vb) / mw
vw = (0,025kg) (300 m/s – 200 m/s) / (2 kg)
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vw = (2,5 kg· m/s ) / (2 kg)
vw = (1,25 m/s ) en la misma dirección en la que iba la bala.
Si te dicen que la energía mecánica es conservada, ya sabes que era una colisión perfectamente elástica. Eso
te permite usar lo que estudiamos sobre la conservación de la energía para resolver el problema. Resulta que
en este caso que un resultado general muy importante puede obtenerse para las colisiones perfectamente
elásticas. Esto es, la diferencia de velocidades previo a la colisión es igual al opuesto de la diferencia después
de la colisión. (Esto se explica al final de este capítulo).
v1 - v2 = v2´ - v1´
O, otra forma de decirlo es que el total de las velocidades antes y después de la colisión son las mismas para
ambos objetos.
v1 + v1´= v2 + v2´
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Ejemplo 10: Dos objetos colisionan y rebotan de forma tal que la energía mecánica es conservada. Uno de los
objetos, m1, tiene una masa de 2,0 kg y una velocidad de 8 m/s hacia el este, y el segundo objeto, m2, tiene
una masa de 4,0 kg y una velocidad de 3 m/s hacia el oeste. ¿Cuáles son las velocidades de los dos objetos
después de la colisión?
Elijamos el este como positivo. Luego,
p0 + I = pf
Como no hay fuerzas externas, I = 0, entonces
p0 = pf
m1v1 + m2v2 = m1 v´1 + m2 v´2
Como la colisión es elástica, v1 - v2 = v2´ - v1´
Resolver v2´ lleva a v2´ = v1 - v2 + v1´
Luego sustituir v2´ lleva a
m1v1 + m2v2 = m1 v´1 + m2 (v1 - v2 + v1´)
Distribuir m2 lleva a
m1v1 + m2v2 = m1 v´1 + m2 v1 - m2v2 + m2v1´
Dejando todos los términos en v´1 a la derecha pero moviendo el resto a la izquierda
m1v1 - m2 v1 + m2v2 + m2v2 = m1 v´1 + m2v1´
Factorizando y combinando términos comunes
(m1- m2) v1 + 2m2v2 = v´1 (m1 + m2)
Moviendo v´1 (m1 + m2) a la derecha
v´1 (m1 + m2)= (m1- m2) v1 + 2m2v2
Resolver v´1 dividiéndolo por (m1 + m2)
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v´1 = ((m1- m2) v1 + 2m2v2) / (m1 + m2)
Sustituyendo con números
v´1 = ((2 kg- 4 kg) (8 m/s) + 2 (4 kg) (-3 m/s) / (2 kg + 4 kg)
v´1 = ((-16 kg· m/s) + -24 kg· m/s) / (6 kg)
v´1 = -6,7 m/s
Luego sustituyendo esto de vuelta a la ecuación que obtuvimos para la conservación de la energía
v2´ = v1 - v2 + v1´
v2´ = 8 m/s – (-3 m/s) + (-6.7 m/s)
v2´ = 8 m/s + 3 m/s - 6,7 m/s
v2´ = 4,3 m/s
v´1 = 6,7 m/s hacia el oeste
v2´ = 4,3 m/s hacia el este
Cambio en el momento e impulso
Si ninguna fuerza externa actúa sobe un sistema cerrado, su momento no cambiará. Sin embargo, cuando una
fuerza externa actúa sobre el sistema, el momento del sistema será alterado por el Impulso aplicado por esa
fuerza externa. Entonces la cantidad de momento inicial de un sistema puede alterarse por una cantidad igual
de Impulso aplicado. El resultado es que el momento final de ese sistema ha cambiado.
p0 + I = pf
I = p f - p0
Ahora usemos la Segunda Ley de Newton para obtener la ecuación para el Impulso (I).
Sabemos que p = mv, así que sustituyamos eso para p
I = mvf - mv0
Ahora factorizamos m
I = m (vf - v0)
I = m Δv
Pero la aceleración es definida como a = Δv / Δt
Entonces podemos reemplazar Δv por a Δt
I = ma Δt
Pero si hay una fuerza actuando sobre el sistema
F = ma y podemos reemplazar ma por F
I = F Δt
Entonces el impulso en un sistema, o en un objeto, debido a una fuerza externa es igual a la fuerza aplicada
sobre él multiplicado por la cantidad de tiempo que la fuerza es aplicada. Como esto también es igual para el
cambio en el momento del sistema, u objeto, también podemos escribirlo como
I = Δp = F Δt
De esta ecuación puede verse que las unidades de Impulso deben ser iguales a las del momento, kg· m/s.
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Ejemplo 11: Una bola inmóvil con una masa de 4,5 kg está sujeta a un impulso de 36 kg· m/s hacia el norte.
¿Cuál será el cambio en su momento?
p0 + I = pf
pf = p 0 + I
mv´= mv + I
Pero la bola está inicialmente en reposo, entonces v = 0
mv´= I
v´= I/m
v´= 36 kg· m/s / 4,5 kg
v´= 36 kg· m/s / 4,5 kg
v´= 8 m/s
v´= 8 m/s hacia el norte
I = Δp
Entonces Δp = 36 kg· m/s hacia el norte
Ejemplo 12: Si la fuerza sobre la bola del ejemplo 11 fue ejercida por 1,8 s, ¿cuál fue su magnitud promedio y
dirección?
I = F Δt
F = I / Δt
F = (36 kg· m/s( / (1,8 s)
F = 20 kg· m/s2 hacia el norte
F = 20 N hacia el norte
La fuerza y el impulso son siempre en la misma dirección ya que Δt es un escalar.
Ejemplo 13: Una pelota de 5,0 kg se desliza a una velocidad de 25 m/s hacia el este cuando rebota contra una
pared con una velocidad de 20 m/s hacia el oeste. (a) ¿Cuál es el cambio en su momento? (b) ¿Qué impulso
ejerció la pared sobre la pelota? (c) Si la pelota estuvo en contacto con la pared por 0,25 s, ¿cuál fue la fuerza
promedio que actuó sobre la pelota? (d) ¿Cuál fue la fuerza promedio que actuó sobre la pared? (e) ¿Cuál fue
el impulso enviado por la pelota contra la pared? (Recuerda responder todas las preguntas sobre vectores con
magnitudes y direcciones).
Elijamos el este como de dirección positiva.
(a) Δp = pf - po
Δp = pf - po
Δp = mvf - mvo
Δp = m(vf - vo)
Δp = 5,0 kg (-20 m/s -25 m/s)
Δp = 5,0 kg (-45 m/s)
Δp = 220 kg· m/s hacia el oeste
(b) I = Δp = 220 kg· m/s hacia el oeste
(c) I = F Δt
F = I / Δt
F = 220 kg· m/s / 0,25 s
F = 880 N hacia el oeste
(d) Por la Tercera Ley de Newton sabemos que la fuerza actuando desde la pelota sobre la pared debe ser
igual y opuesta a la fuerza actuando sobre la pelota debido a la pared. En consecuencia, la fuerza sobre la
pared debe ser 880 N hacia el este.
Momento - 8
v 1.1
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(e) I = F Δt
Como la fuerza actuando sobre la pared es igual y opuesta a la fuerza actuando sobre la pelota, y Δt es la
misma, eso significa que el impulso enviado hacia la pared por la pelota debe ser igual y opuesto al impulso
ejercido por la pared hacia la pelota. Entonces el impulso es 220 kg· m/s hacia el este.
Siempre es verdad que si dos objetos colisionan, el impulso que uno le envía a otro es igual y opuesto al
impulso que recibe.
Derivación de la relación de velocidades antes y después de una colisión elástica
p0 + I = pf
No hay fuerzas externas, entonces I = 0
p0 = pf
m1v1 + m2v2 = m1 v1´ + m2 v2´
Reorganiza esto para poner todos los the m1 en términos de un lado y todos los m2 en términos del otro lado
m1v1 - m1 v1´ = m2 v2´ - m2v2
Factoriza las masas
m1 (v1 - v1´) = m2 (v2´ - v2)
Deja ese resultado para después. Ahora, usemos la conservación de la energía mecánica para colisiones
perfectamente elásticas para obtener la segunda ecuación
E0 + W = Ef
Pero no hay fuerzas externas, entonces W = 0
E0 = Ef
No hay cambios en la altura o resortes participando así que toda la energía es cinética
KE0 = KEf
½ m1v12 + ½ m2v2 = ½ m1v1´2 + ½ m2v2´2
Multiplicando por 2 simplifica a
m1v12 + m2v2 = m1v1´2 + m2v2´2
Ahora reorganiza la ecuación para poner todos los the m 1 en términos de un lado y todos los m 2 en términos del
otro lado
m1v12 – m1 v1´2 = m2 v2´2 - m2v2
Factoriza las masas
m1 (v12 - v1´2)= m2(v2´2 - v22)
Ahora factoriza usando la diferencia de cuadrados
m1 (v1 - v1´) (v1 + v1´) = m2 (v2´- v2) (v2´+ v2)
Momento - 9
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Ahora divide la ecuación, la conservación de energía por la que obtuvimos para la conservación del momento.
m1 (𝐯𝟏 − 𝐯𝟏′ )(𝐯𝟏 + 𝐯𝟏′ ) = m2 (𝐯𝟐 − 𝐯𝟐′ )(𝐯𝟐 + 𝐯𝟐′ )
m1 (𝐯𝟏 − 𝐯𝟏′ ) = m2 (𝐯𝟐 − 𝐯𝟐′ )
v1 + v1´ = v2´+ v2
Lo cual está bien. O también puedes decir
v1 - v2 = v2´ - v1´
Lo que indica que la diferencia de velocidades es revertida durante la colisión.
Lo más importante es notar que este resultado es verdadero independientemente de las masas. Pueden ser
las mismas o diferentes, y esto no tendrá efecto alguno en el resultado.
Momento - 10
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