Momento Introducción Como se dijo en el capítulo anterior, algunas de las herramientas más poderosas en física se basan en principios de conservación. La idea detrás de un principio de conservación es que hay algunas propiedades de los sistemas que no cambian, aunque otras cosas de los sistemas sí pueden cambiar. En este capítulo, introduciremos el concepto de momento, el cual, como la energía, es una propiedad conservada de cualquier sistema cerrado. El principio de Conservación del Momento es una herramienta poderosa en física y es, como se demostrará más adelante, una consecuencia necesaria de la Primera y la Tercera Leyes de Newton. Momento de un Objeto Simple El momento de un solo objeto es simplemente igual al producto de su masa y su velocidad. El símbolo para el momento es “p”. Ya que una masa es un escalar y la velocidad es un vector, el momento también es un vector. La dirección del momento es siempre la misma que la dirección de la velocidad del objeto. p = mv El momento es un vector, así que tiene una magnitud y una velocidad. Su magnitud es el producto de su masa y su velocidad, p = mv Su dirección es la misma que la dirección de su velocidad. Unidades del momento La unidad del momento puede ser derivada de la ecuación anterior. p = mv Las unidades del Sistema Internacional para la masa son los kilogramos (kg) y para la velocidad los metros / segundos (m/s). En consecuencia, las unidades del momento son kg· m/s. No hay un nombre en especial para las unidades del momento. Ejemplo 1: Un objeto de 20 kg tiene una velocidad de 4,5 m/s en la dirección positiva x. ¿Cuál es su momento? p = mv p = (20 kg) (4,5 m/s) p = 90 kg· m/s p = 90 kg· m/s en la dirección positiva x ______________________________________________________________ Ejemplo 2: Un objeto de 60 kg tiene una velocidad de 1,5 m/s en la dirección negativa x. ¿Cuál es su momento? p = mv p = (60 kg) (-1,5 m/s) p = -90 kg· m/s p = 90 kg· m/s en la dirección negativa x Observa dos aspectos de los ejemplos de arriba. Primero, cada respuesta requirió de una magnitud y de una dirección. Segundo, como el momento es el producto de la masa y la velocidad, objetos de diferentes masas pueden tener las mismas cantidades de momento. Esto sólo requeriría que el objeto de menor masa tenga mayor velocidad. Momento de un sistema cerrado de objetos Para determinar el momento de un sistema que tiene más de un objeto, debes sumar los momentos de todos los objetos individuales. psistema= p1 + p2 + p3 +… psistema = m1v1 + m2v2 + m3v3 + … O Momento - 1 v 1.1 © 2009 por Goodman & Zarorotniy psistema = Σp psistema = Σmv Entonces, si un sistema tuviera los objetos de los ejemplos 1 y 2 de arriba, el momento total de ese sistema simplemente sería la suma de esos dos momentos. _____________________________________________________________________ Ejemplo 3: Determina el momento de un sistema que consiste de los dos objetos de los ejemplos 1 y 2 de arriba. psistema = Σp psistema = p1 + p2 psistema = (90 kg.m/s) + (-90 kg·m/s) psistema = 0 ______________________________________________________________________ Ejemplo 4: Determina el momento del sistema que consiste de dos objetos. Un objeto m 1 tiene una masa de 2 kg y una velocidad de +5 m/s y un segundo objeto m2 tiene una masa de 20 kg y una velocidad de +3 m/s. psistema = Σp psistema = p1 + p2 psistema = m1v1 + m2v2 psistema = (2 kg) (+5 m/s) + (20 kg) (+3 m/s) psistema = (10 kg.m/s) + (60 kg·m/s) psistema = 70 kg·m/s psistema = 70 kg·m/s en la dirección positive x. ______________________________________________________________________ Ejemplo 5: Determina el momento de un sistema de dos objetos. Un objeto, m1, tiene una masa de 4 kg y una velocidad de 17 m/s hacia el este, y el segundo objeto, m2, tiene una masa de 70 kg y una velocidad de 4 m/s en la misma dirección. Primero, necesitamos decidir cómo orientar los ejes positivos y negativos. La forma más simple sería posicionar el este como positivo. Luego, ambas velocidades serán positivas. psistema = Σp psistema = p1 + p2 psistema = m1v1 + m2v2 psistema = (4 kg) (17 m/s) + (70 kg) (4 m/s) psistema = (68 kg· m/s) + (280 kg· m/s) psistema = 348 kg· m/s psistema = 348 kg· m/s hacia el este. Nota que en el último paso volvimos a las direcciones dadas en el problema. La persona que escribió el problema no sabe qué dirección nosotros asignaríamos como positiva, por lo cual debemos dar una respuesta para el problema como fue planteado; en este caso, el este no es positivo. ______________________________________________________________________ Ejemplo 6: Determina el momento de un sistema de dos objetos. Un objeto, m1, tiene una masa de 4 kg y una velocidad de 17 m/s hacia el este, y el segundo objeto, m2, tiene una masa de 70 kg y una velocidad de 14 m/s hacia el oeste. Primero, necesitamos decidir cómo orientar los ejes positivos y negativos. La forma más simple sería posicionar el este como positivo. Esto significa que la dirección opuesta, el oeste, será negativa. Luego, Momento - 2 v 1.1 © 2009 por Goodman & Zarorotniy psistema = Σp psistema = p1 + p2 psistema = m1v1 + m2v2 psistema = (4 kg) (17 m/s) + (70 kg)(-4 m/s) psistema = (68 kg· m/s) + (-280 kg· m/s) psistema = -212 kg· m/s psistema = 212 kg· m/s hacia el oeste Una vez más, nota que en el último paso interpretamos que la dirección negativa sea hacia el oeste. Conservación del momento en un sistema cerrado En el capítulo anterior aprendimos que la energía en un sistema cerrado sólo puede ser modificada si una fuerza exterior actúa sobre él. El cambio en la energía de un sistema es igual al trabajo ejercido por una fuerza externa. De la misma manera, el momento de un sistema cerrado sólo puede ser modificado por una fuerza externa que provee un impulso sobre él. El cambio en el momento del sistema es igual al impulso que provee la fuerza externa. Esto puede representarse simbólicamente como: p0 + I = pf donde I es el símbolo para el impulso, p0, representa el momento inicial del sistema y pf representa el momento final del mismo sistema. En muchos casos, no habrá fuerzas externas actuando sobre un sistema cerrado. En esos casos, el momento no cambiará independientemente de lo que pasa dentro del sistema. Observemos primero esos casos en los que el impulso sobre un sistema es cero. p0 + I = pf pero I=0 entonces p0 = pf Esto significa que si medimos el momento total de un sistema en cualquier momento, su momento no cambiará si no es afectado por algo exterior al sistema. Los objetos pueden colisionar, explotar, romperse, adherirse, etc. Nada de lo que pase dentro del sistema cambiará su momento. Cuando resolvamos el siguiente ejemplo, cambiaremos cómo indicamos inicio y final. Eso es porque, como verás, los subíndices pueden ser bastante confusos. Hay simplemente demasiados. Entonces, la primera vez, escribiremos vo1 para la velocidad inicial del primer objeto y vf1 para su velocidad final. Luego cambiaremos a una notación más fácil que usaremos de ahora en más al realizar problemas sobre el momento. Indicaremos la velocidad inicial del primer objeto con v1 y su velocidad final con v´1. Pensamos que te resultará más fácil comprender de esta manera, especialmente para cuando escribas tu propio desarrollo. Ejemplo 7: Un sistema cerrado tiene dos objetos. Un objeto, m 1, tiene una masa de 15 kg y una velocidad de 6 m/s hacia el este, y el segundo objeto, m2, tiene una masa de 20 kg y una velocidad de 3 m/s hacia el oeste. Estos dos objetos colisionan y se adhieren el uno al otro. ¿Cuál es la velocidad del objeto combinado? Una vez más, elijamos el este como positivo y el oeste como negativo. Luego, Momento - 3 v 1.1 © 2009 por Goodman & Zarorotniy p0 + I = pf Como no hay fuerzas externas, I = 0, entonces p0 = pf m1vo1 + m2vo2 = m1vf1 + m2vf2 Simplificando la notación obtenemos m1v1 + m2v2 = m1 v´1 + m2 v´2 Como los dos objetos se adhieren, deben tener la misma velocidad después de la colisión v´1 = v´2 = v´ m1v1 + m2v2 = m1 v´ + m2 v´ m1v1 + m2v2 = (m1+ m2) v´ v´ = (m1v1 + m2v2) / (m1+ m2) v´ = ((15 kg) (6 m/s) + (20 kg)(-3 m/s)) / (15 kg + 20 kg) v´ = ((90 kg· m/s) + (-60 kg· m/s)) / (35 kg) v´ = (30kg· m/s) / (35 kg) v´ = 0,86 m/s v´ = 0,86 m/s hacia el este ______________________________________________________________________ Ejemplo 8: Un sistema cerrado consiste de un objeto inmóvil que explota y se parte en dos pedazos. Después de la explosión, un pedazo, m1, tiene una masa de 25 kg y una velocidad de 8 m/s hacia el norte y el segundo pedazo, m2, tiene una masa de 40 kg. Determina la velocidad del segundo pedazo. Elijamos el norte como positive y el sur como negativo. Luego, p0 + I = pf Como no hay fuerzas externas, I = 0, entonces p0 = pf Como el objeto no tenía velocidad inicial, p0 = 0 0 = m1 v´1 + m2 v´2 Luego averiguamos v´2 m2 v´2 = - m1 v´1 v´2 = (- m1 v´1) / m2 Y sustituimos por números v´ = (- (25 kg)( 8 m/s) / (4 kg) v´ = (- (25 kg)( 8 m/s)) / (4 kg) v´ = (- 200 kg· m/s) / (4 kg) v´ = (- 50 m/s) Luego interpretamos la velocidad negativa en términos de dirección v´ = 50 m/s hacia el sur Momento - 4 v 1.1 © 2009 por Goodman & Zarorotniy Así es como resolvemos los problemas sobre el momento cuando no hay fuerzas externas actuando sobre el sistema. Hay toda clase de problemas, llamados problemas de Colisión cuando éste es el caso. Colisiones Las colisiones descriptas en esta sección son todas entre objetos dentro de un sistema cerrado. No hay una fuerza externa actuando sobre el sistema, así que no hay impulso actuando sobre el sistema, I = 0. Todas las colisiones son de una de estas tres categorías: perfectamente inelásticas, inelásticas o perfectamente elásticas. En el caso de colisiones perfectamente inelásticas, los objetos que colisionan se adhieren. Mientras que el momento es conservado, como sucede en todos estos casos, la energía mecánica no es conservada. Parte de la energía mecánica se ve en calor, sonido, para deformar el objeto, etc. Mientras que la energía total es conservada, ésta es en formas que todavía no hemos estudiado. Esto es, el total de la energía gravitacional potencial, cinética, y energía elástica potencial no es conservado en este tipo de colisiones. Esto es válido para cualquier colisión inelástica. Mientras que en las colisiones perfectamente inelásticas los dos objetos que colisionan se adhieren, en el caso de las colisiones inelásticas, a pesar de que no se adhieren, parte de la energía mecánica también se libera de otras formas. El único caso en el que la energía mecánica es conservada es durante una colisión perfectamente elástica. En este caso, los dos objetos rebotan sin pérdida de energía mecánica. (Un buen ejemplo de esto es cuando colisionan las bolas de billar). En este caso, y solamente en este caso, podemos combinar nuestras ecuaciones para la conservación de la energía con las ecuaciones para la conservación del momento. Estrategias para la resolución de problemas sobre colisiones El primer paso para la resolución de estos problemas es determinar el tipo de colisión. No puedes asumir que el problema debe decirte esto directa o indirectamente. Obviamente, si te dicen de qué tipo de colisión se trata estará bien. Pero también podría decírtelo indirectamente a través de pistas. Por ejemplo, si te dicen que los objetos se adhieren, sabrás que se trata de una colisión perfectamente inelástica sin que te lo hayan dicho directamente. A partir de esa información, sabrás que la energía mecánica no se conservó y, lo más importante, que v´1 = v´2 = v´. Este último hecho es crítico para la resolución del problema. Un ejemplo de este tipo puede verse en el Ejemplo 7. Si no te dicen de qué tipo de colisión se trata, si los objetos se adhieren o que la energía mecánica es conservada, entonces sólo puedes asumir que se trata de una colisión perfectamente elástica. En este caso, el problema debe darte más información para que puedas resolverlo, por ejemplo, la velocidad y la masa de uno de los objetos después de la colisión. Sin esta información, el problema no podría resolverse. ______________________________________________________________________ Ejemplo 9: Una bala se dispara contra una pieza de madera que está quieta sobre una superficie libre de fricción. La bala tiene una masa de 0,025 kg y una velocidad de 300 m/s y la masa de la madera es de 2,0 kg. Después de atravesar la madera, la velocidad de la bala es de 200 m/s. ¿Cuál es la velocidad de la madera? Como no nos dicen que ésta es una colisión perfectamente inelástica o perfectamente elástica, que los objetos se adhieren o que la energía es conservada, debemos asumir que se trata de una colisión inelástica. Pero sí nos dan la información de la velocidad de la bala después de la colisión. p0 + I = pf Como no hay fuerzas externas, I = 0, entonces p0 = pf mbvb + mwvw = mbv´b + mwv´w Pero la madera estaba inicialmente quieta, entonces vw = 0 mbvb = mbvb´ + mw vw´ mbvb - mbvb´ = mw vw´ mw vw = mbvb - mbvb´ vw = mb (vb - vb) / mw vw = (0,025kg) (300 m/s – 200 m/s) / (2 kg) Momento - 5 v 1.1 © 2009 por Goodman & Zarorotniy vw = (2,5 kg· m/s ) / (2 kg) vw = (1,25 m/s ) en la misma dirección en la que iba la bala. Si te dicen que la energía mecánica es conservada, ya sabes que era una colisión perfectamente elástica. Eso te permite usar lo que estudiamos sobre la conservación de la energía para resolver el problema. Resulta que en este caso que un resultado general muy importante puede obtenerse para las colisiones perfectamente elásticas. Esto es, la diferencia de velocidades previo a la colisión es igual al opuesto de la diferencia después de la colisión. (Esto se explica al final de este capítulo). v1 - v2 = v2´ - v1´ O, otra forma de decirlo es que el total de las velocidades antes y después de la colisión son las mismas para ambos objetos. v1 + v1´= v2 + v2´ ______________________________________________________________________ Ejemplo 10: Dos objetos colisionan y rebotan de forma tal que la energía mecánica es conservada. Uno de los objetos, m1, tiene una masa de 2,0 kg y una velocidad de 8 m/s hacia el este, y el segundo objeto, m2, tiene una masa de 4,0 kg y una velocidad de 3 m/s hacia el oeste. ¿Cuáles son las velocidades de los dos objetos después de la colisión? Elijamos el este como positivo. Luego, p0 + I = pf Como no hay fuerzas externas, I = 0, entonces p0 = pf m1v1 + m2v2 = m1 v´1 + m2 v´2 Como la colisión es elástica, v1 - v2 = v2´ - v1´ Resolver v2´ lleva a v2´ = v1 - v2 + v1´ Luego sustituir v2´ lleva a m1v1 + m2v2 = m1 v´1 + m2 (v1 - v2 + v1´) Distribuir m2 lleva a m1v1 + m2v2 = m1 v´1 + m2 v1 - m2v2 + m2v1´ Dejando todos los términos en v´1 a la derecha pero moviendo el resto a la izquierda m1v1 - m2 v1 + m2v2 + m2v2 = m1 v´1 + m2v1´ Factorizando y combinando términos comunes (m1- m2) v1 + 2m2v2 = v´1 (m1 + m2) Moviendo v´1 (m1 + m2) a la derecha v´1 (m1 + m2)= (m1- m2) v1 + 2m2v2 Resolver v´1 dividiéndolo por (m1 + m2) Momento - 6 v 1.1 © 2009 por Goodman & Zarorotniy v´1 = ((m1- m2) v1 + 2m2v2) / (m1 + m2) Sustituyendo con números v´1 = ((2 kg- 4 kg) (8 m/s) + 2 (4 kg) (-3 m/s) / (2 kg + 4 kg) v´1 = ((-16 kg· m/s) + -24 kg· m/s) / (6 kg) v´1 = -6,7 m/s Luego sustituyendo esto de vuelta a la ecuación que obtuvimos para la conservación de la energía v2´ = v1 - v2 + v1´ v2´ = 8 m/s – (-3 m/s) + (-6.7 m/s) v2´ = 8 m/s + 3 m/s - 6,7 m/s v2´ = 4,3 m/s v´1 = 6,7 m/s hacia el oeste v2´ = 4,3 m/s hacia el este Cambio en el momento e impulso Si ninguna fuerza externa actúa sobe un sistema cerrado, su momento no cambiará. Sin embargo, cuando una fuerza externa actúa sobre el sistema, el momento del sistema será alterado por el Impulso aplicado por esa fuerza externa. Entonces la cantidad de momento inicial de un sistema puede alterarse por una cantidad igual de Impulso aplicado. El resultado es que el momento final de ese sistema ha cambiado. p0 + I = pf I = p f - p0 Ahora usemos la Segunda Ley de Newton para obtener la ecuación para el Impulso (I). Sabemos que p = mv, así que sustituyamos eso para p I = mvf - mv0 Ahora factorizamos m I = m (vf - v0) I = m Δv Pero la aceleración es definida como a = Δv / Δt Entonces podemos reemplazar Δv por a Δt I = ma Δt Pero si hay una fuerza actuando sobre el sistema F = ma y podemos reemplazar ma por F I = F Δt Entonces el impulso en un sistema, o en un objeto, debido a una fuerza externa es igual a la fuerza aplicada sobre él multiplicado por la cantidad de tiempo que la fuerza es aplicada. Como esto también es igual para el cambio en el momento del sistema, u objeto, también podemos escribirlo como I = Δp = F Δt De esta ecuación puede verse que las unidades de Impulso deben ser iguales a las del momento, kg· m/s. Momento - 7 v 1.1 © 2009 por Goodman & Zarorotniy ______________________________________________________________________ Ejemplo 11: Una bola inmóvil con una masa de 4,5 kg está sujeta a un impulso de 36 kg· m/s hacia el norte. ¿Cuál será el cambio en su momento? p0 + I = pf pf = p 0 + I mv´= mv + I Pero la bola está inicialmente en reposo, entonces v = 0 mv´= I v´= I/m v´= 36 kg· m/s / 4,5 kg v´= 36 kg· m/s / 4,5 kg v´= 8 m/s v´= 8 m/s hacia el norte I = Δp Entonces Δp = 36 kg· m/s hacia el norte Ejemplo 12: Si la fuerza sobre la bola del ejemplo 11 fue ejercida por 1,8 s, ¿cuál fue su magnitud promedio y dirección? I = F Δt F = I / Δt F = (36 kg· m/s( / (1,8 s) F = 20 kg· m/s2 hacia el norte F = 20 N hacia el norte La fuerza y el impulso son siempre en la misma dirección ya que Δt es un escalar. Ejemplo 13: Una pelota de 5,0 kg se desliza a una velocidad de 25 m/s hacia el este cuando rebota contra una pared con una velocidad de 20 m/s hacia el oeste. (a) ¿Cuál es el cambio en su momento? (b) ¿Qué impulso ejerció la pared sobre la pelota? (c) Si la pelota estuvo en contacto con la pared por 0,25 s, ¿cuál fue la fuerza promedio que actuó sobre la pelota? (d) ¿Cuál fue la fuerza promedio que actuó sobre la pared? (e) ¿Cuál fue el impulso enviado por la pelota contra la pared? (Recuerda responder todas las preguntas sobre vectores con magnitudes y direcciones). Elijamos el este como de dirección positiva. (a) Δp = pf - po Δp = pf - po Δp = mvf - mvo Δp = m(vf - vo) Δp = 5,0 kg (-20 m/s -25 m/s) Δp = 5,0 kg (-45 m/s) Δp = 220 kg· m/s hacia el oeste (b) I = Δp = 220 kg· m/s hacia el oeste (c) I = F Δt F = I / Δt F = 220 kg· m/s / 0,25 s F = 880 N hacia el oeste (d) Por la Tercera Ley de Newton sabemos que la fuerza actuando desde la pelota sobre la pared debe ser igual y opuesta a la fuerza actuando sobre la pelota debido a la pared. En consecuencia, la fuerza sobre la pared debe ser 880 N hacia el este. Momento - 8 v 1.1 © 2009 por Goodman & Zarorotniy (e) I = F Δt Como la fuerza actuando sobre la pared es igual y opuesta a la fuerza actuando sobre la pelota, y Δt es la misma, eso significa que el impulso enviado hacia la pared por la pelota debe ser igual y opuesto al impulso ejercido por la pared hacia la pelota. Entonces el impulso es 220 kg· m/s hacia el este. Siempre es verdad que si dos objetos colisionan, el impulso que uno le envía a otro es igual y opuesto al impulso que recibe. Derivación de la relación de velocidades antes y después de una colisión elástica p0 + I = pf No hay fuerzas externas, entonces I = 0 p0 = pf m1v1 + m2v2 = m1 v1´ + m2 v2´ Reorganiza esto para poner todos los the m1 en términos de un lado y todos los m2 en términos del otro lado m1v1 - m1 v1´ = m2 v2´ - m2v2 Factoriza las masas m1 (v1 - v1´) = m2 (v2´ - v2) Deja ese resultado para después. Ahora, usemos la conservación de la energía mecánica para colisiones perfectamente elásticas para obtener la segunda ecuación E0 + W = Ef Pero no hay fuerzas externas, entonces W = 0 E0 = Ef No hay cambios en la altura o resortes participando así que toda la energía es cinética KE0 = KEf ½ m1v12 + ½ m2v2 = ½ m1v1´2 + ½ m2v2´2 Multiplicando por 2 simplifica a m1v12 + m2v2 = m1v1´2 + m2v2´2 Ahora reorganiza la ecuación para poner todos los the m 1 en términos de un lado y todos los m 2 en términos del otro lado m1v12 – m1 v1´2 = m2 v2´2 - m2v2 Factoriza las masas m1 (v12 - v1´2)= m2(v2´2 - v22) Ahora factoriza usando la diferencia de cuadrados m1 (v1 - v1´) (v1 + v1´) = m2 (v2´- v2) (v2´+ v2) Momento - 9 v 1.1 © 2009 por Goodman & Zarorotniy Ahora divide la ecuación, la conservación de energía por la que obtuvimos para la conservación del momento. m1 (𝐯𝟏 − 𝐯𝟏′ )(𝐯𝟏 + 𝐯𝟏′ ) = m2 (𝐯𝟐 − 𝐯𝟐′ )(𝐯𝟐 + 𝐯𝟐′ ) m1 (𝐯𝟏 − 𝐯𝟏′ ) = m2 (𝐯𝟐 − 𝐯𝟐′ ) v1 + v1´ = v2´+ v2 Lo cual está bien. O también puedes decir v1 - v2 = v2´ - v1´ Lo que indica que la diferencia de velocidades es revertida durante la colisión. Lo más importante es notar que este resultado es verdadero independientemente de las masas. Pueden ser las mismas o diferentes, y esto no tendrá efecto alguno en el resultado. Momento - 10 v 1.1 © 2009 por Goodman & Zarorotniy