diseño y puesta a prueba con profesores de aula de una secuencia

DISEÑO Y PUESTA A PRUEBA CON PROFESORES DE AULA DE UNA
SECUENCIA DIDÁCTICA PARA LA ENSEÑANZA DE LAS CÓNICAS, BASADA
EN LA TEORÍA DE LOS MODOS DE PENSAMIENTO DE SIERPINSKA
Marcela Parraguez González (Pontificia Universidad Católica de Valparaíso-Chile),
Daniela Bonilla Barraza (Colegio Tamelcura, Ovalle-Chile),
Leonardo Solanilla Chavarro (Universidad del Tolima-Colombia),
Jocelyn Díaz Pallauta (Liceo Católico de Atacama-Copiapó-chile)
Antecedentes y objetivos de investigación
La presente investigación, muestra elementos matemáticos teóricos y prácticos de una
propuesta didáctica que busca la comprensión de las cónicas en estudiantes entre 16 y 18
años, bajo un enfoque cognitivo, donde se utiliza los modos de pensamiento de Anna
Sierpinska como referente teórico (Sierpinska, 2000). Ella distingue tres modos de pensar
un concepto: sintético-geométrico (SG), analítico-aritmético (AA) y analítico-estructural
(AE).
Nuestra problemática se sitúa en la enseñanza-aprendizaje de las cónicas (circunferencia,
elipse, parábola, hipérbola) cuando el discurso matemático escolar da prioridad a las
ecuaciones cartesianas que las describen. Consideramos que este contexto de enseñanza, no
favorece la comprensión de sus definiciones como lugares geométricos.
Postulamos como hipótesis de investigación, que para lograr una comprensión de las
cónicas es necesario que el aprendiz de estos tópicos transite entre los distintos modos de
comprenderla: SG (como figuras que las representan), AA (como pares ordenados que
satisfacen una ecuación) y AE (como lugar geométrico). La Figura 1, muestra el caso de la
elipse en una geometría no euclidiana –la geometría del taxista–.
Figura 1: Modos de pensar la elipse en la geometría del taxista (Bonilla y Parraguez,
2013).
Estos tres modos de pensar: (1) SG (como figuras que las representan), (2) AA (como pares
ordenados que satisfacen una ecuación) y (3) AE (como lugar geométrico), que hemos
definido para las cónicas, permiten analizar la forma en que los estudiantes las comprenden,
además de explicitar los enfoques (analíticos, geométricos o estructurales) que ellos
priorizan al momento de desarrollar diferentes tareas y mostrar en sus argumentos
observables conexiones que logran establecer entre ellos.
Con el propósito de que los aprendices (estudiantes de 16 a 18 años) comprendan cada una
de las cónicas, nos planteamos como objetivo de investigación: Diseñar y aplicar una
secuencia didáctica que promueva el tránsito entre estos tres modos de pensar las cónicas
(SG, AE y AA). El elemento principal de nuestra propuesta es la métrica discreta propia
de la geometría del taxista (Krausse, 1986).
La geometría discreta del taxista
Por Geometría del Taxista entenderemos una estructura matemática definida para el
producto cartesiano
, entendido como una versión discreta del plano cartesiano. La
estructura algebraica en
es aquella de módulo bilateral sobre el dominio entero ℤ,
)
)) = |
la distancia entre los puntos
),
es
),
Con esta distancia o métrica,
posee una estructura de espacio métrico que difiere de
la que se obtiene con la métrica euclidiana usual. Por ello, la geometría del Taxista puede
llamarse no-Euclidiana. El nombre proviene del hecho de que la métrica remeda la forma
cómo un taxi recorre una ciudad, sólo puede recorrer tramos en dirección norte-sur o esteoeste y no puede pasar diagonalmente a través de los bloques o manzanas.
Referentes metodológicos
En relación a nuestro objetivo de investigación, realizamos un estudio de caso (Stake,
2010), puesto que son particularmente apropiados para estudiar una situación en intensidad
y en un período de tiempo. La unidad de análisis se compone de 7 establecimientos
educacionales de las comunas de Copiapó y Ovalle. La totalidad de los casos (ver Tabla 1),
está formado por 11 docentes de matemática que realizan clases en enseñanza media y
alrededor de 100 estudiantes que pertenecen a dichos establecimientos. Para la descripción
de los casos se consideraron antecedentes del establecimiento como, dependencia, grupo
socioeconómico, resultados de la prueba SIMCE 2012 (en las cuales participaron los
estudiantes de los casos) e índice de vulnerabilidad social de los participantes.
Tabla 1: Resumen de los casos de estudio.
Caso 1
1 docente
12 estudiantes
Colegio
Almenar
Caso 2
Caso 3
Copiapó
3 docentes
1 docente
17 estudiantes 28 estudiantes
Liceo Católico
Liceo
Atacama
politécnico
Belén
Caso 4
Caso 5
1 docente
33 estudiantes
Colegio Buen
Pastor
2 docentes
17 estudiantes
Colegio
Tamelcura
Caso 6
Ovalle
1 docente
20 estudiantes
Colegio
Santa María
Eufrasia
Caso 7
2 docente
18 estudiantes
Colegio
Pucará
La secuencia didáctica y su puesta a prueba en aula
La secuencia consiste en diversas actividades para las cónicas en el primer cuadrante
(
) del plano de la geometría del taxista, en su parte inicial promueve el tránsito
entre los modos SG a AE de las cónicas, para ello, se muestran las representaciones de cada
una de ellas en la geometría del taxista, y se espera que los aprendices sean capaces de
identificar características que presentan los puntos que forman cada una de las cónicas, en
relación a puntos o rectas fijas.
Posteriormente la secuencia aborda el tránsito de AE a AA, para ello, se entrega algunas
características de las cónicas relativas a puntos o rectas, se solicita a los estudiantes que
realicen la gráfica respectiva y luego consideren un punto P(x, y) cualquiera de la cónica
y escriban una posible ecuación.
Previo a la aplicación de las actividades se familiariza a los estudiantes con la distancia de
la geometría del taxista y el plano discreto (
).
Para cada una de las cónicas, al final de la aplicación de la secuencia didáctica, se realiza
una evaluación (consta de 3 preguntas abiertas), con el objeto de indagar si el estudiante
transita o no, entre los distintos modos de pensar las cónicas.
Principales resultados
A continuación, se presentan los resultados del caso 5 para cada una de las cónicas, como
representante de este apartado.
 LA CIRCUNFERENCIA
Caso 5: (3° medio, Colegio Tamelcura de Ovalle, participan 17 estudiantes).
En vías de comprensión
Categorías No comprende (NC)
Comprende (C)
(VC)
/ tránsito
Cantidad
%
Cantidad
%
Cantidad
%
SG - AE
0
0%
0
0%
17
100 %
AE – SG
0
0%
0
0%
17
100%
SG – AA
0
0%
2
12,8%
15
88,2%
AA - SG
0
0%
3
17,7%
14
82,3%
 LA ELIPSE
Caso 5 : (3° medio, Colegio Tamelcura de Ovalle, participan 17 estudiantes).
Categorías No comprende
En vías de comprensión
Comprende (C)
/ tránsito
(NC)
(VC)
Cantidad
%
Cantidad
%
Cantidad
%
SG - AE
0
0%
0
0%
17
100 %
AE – SG
0
0%
0
0%
17
100 %
SG – AA
0
0%
3
17,7%
14
82,3%
AA - SG
0
0%
4
23,6%
13
76,4 %
 LA PARÁBOLA
Caso 5: (3° medio, Colegio Tamelcura de Ovalle, participan 17 estudiantes).
Categorías No comprende
En vías de comprensión
Comprende (C)
/ tránsito
(NC)
(VC)
Cantidad
%
Cantidad
%
Cantidad
%
SG - AE
0
0%
0
0%
17
100 %
AE – SG
0
0%
2
11,7 %
15
88,2 %
 LA HIPÉRBOLA
Caso 5 : (3° medio, Colegio Tamelcura de Ovalle, participan 17 estudiantes).
Categorías
/ tránsito
SG - AE
AE – SG
SG – AA
AA - SG
No comprende
(NC)
Cantidad
%
0
0%
0
0%
0
0%
0
0%
En vías de comprensión
(VC)
Cantidad
%
3
17,6%
0
0%
5
29,4%
2
11,7%
Comprende (C)
Cantidad
14
17
12
15
%
82,4 %
100 %
70,6%
88,2%
Discusión de los resultados
El objetivo principal implícito en el proyecto es acercar las teorías de la didáctica de la
matemática al sistema escolar, porque es el lugar desde donde efectivamente se puede
mejorar la calidad de los aprendizajes de la matemática escolar; por ello resaltamos la
participación de 11 profesores para la puesta a prueba en aula de nuestra secuencia
didáctica, a través de la cual los docentes fueron capaces de aplicar el diseño y
posteriormente planificar otros objetos matemáticos desde SG, AA y AE.
En relación a los resultados de la aplicación de las actividades propuestas en el diseño, se
destaca que:
 Los tránsitos de SG–AE y AE–SG, en su mayoría fueron exitosos, superior a 90%
en estudiantes 3°M y 4°M. Estos informantes muestran en sus respuestas evidencia
de comprender las definiciones de lugar geométrico a partir de sus representaciones
y recíprocamente.
 La mayoría de los estudiantes de 3°M y 4°M, esto es alrededor de un 80%, muestran
evidencias de comprensión en las articulaciones de AA–SG y AE–AA, es decir,
son capaces de establecer o identificar una ecuación dada la representación de la
cónica respectiva.
Por otra parte, se tendrán en cuenta las dificultades y comentarios dados por los docentes
participantes en los casos de estudio, para la mejora de la secuencia didáctica.
Actualmente se está trabajando en plasmar los resultados en un artículo o un reporte de
investigación, que muestre los elementos de la propuesta didáctica que busca la
comprensión de las cónicas en estudiantes entre 16 y 18 años, bajo un enfoque cognitivo,
donde se utiliza los modos de pensamiento de Anna Sierpinska como marco teórico, y las
cónica como contenido matemático del currículo escolar y la geometría del taxista
(geometría no euclidiana) como agente articulador.
Conclusiones e implicancias para la formación inicial y continúa de profesores
Específicamente en la asignatura Matemáticas Finitas para estudiantes de Pedagogía en
Matemáticas de la PUCV, proponemos la realización de un taller, donde el estudiante
trabaje una geometría discreta, no usual, –la geometría del taxista– para visualizar
elementos que articulen las distintas formas de pensar las cónicas. Esto lo proveerá de un
modelo, que al reproducirlo le permitirá articular tres interpretaciones de un concepto
matemático: Interpretación Geométrica del concepto, Interpretación Analítica del concepto
e Interpretación Estructural del concepto, que reúne en forma sistémica lo teórico y lo
práctico de un concepto y que actualmente no está presente en la formación inicial de
profesores.
Así también, a partir de un seminario taller, dirigido a estudiantes de Pedagogía de último
año, dar a conocer:
 La teoría los modos de pensamiento.
 Cómo se desarrolla una investigación a partir de dicha teoría.
 Mostrar como ejemplo: “Las cónicas: una propuesta didáctica desde la teoría de
los modos de pensamiento”.
Agradecimientos
Los autores agradecen el apoyo del convenio de Desempeño MECESUP (CD UCV-1203),
así como también manifestan además sus agradecimiento por la buena voluntad, la
franqueza y el buen humor de los participantes en las diversas ocasiones en que se realizó
lo que llamamos “la puesta a prueba en aula”.
Referencias bibliográficas
Bonilla, D. y Parraguez, M. (2013). La elipse desde la perspectiva la teoría los modos de
pensamiento. Alemania: Editorial académica española.
Krause, E. (1986). Taxicab Geometry: An Adventure in Non-Euclidean Geometry. New
York, United States of America: Dover Publications.
Sierpinska, A. (2000). On some aspects of students' thinking in linear algebra. En J.L.Dorier (ed.), On the Teaching of Linear Algebra. Kluwer Academic Publishers,
209-246.
Stake, R.E. (2010). Investigación con estudio de casos. Barcelona: Labor.