Proyecto Eratóstenes Fundamentación y objetivo Hace 2200 años el astrónomo griego Eratóstenes efectuó la primera medición de la circunferencia de la Tierra. Ya en ese momento él suponía que la Tierra era esférica y se propuso probarlo calculando su perímetro y luego el radio de la misma. Eratóstenes escribió un libro sobre esta medición, que justamente se llamaba “Sobre la medición de la Tierra”. Este texto se ha perdido pero conoció su existencia y el resultado de esta medida por otros astrónomos. Nosotros nos propusimos, junto con otras escuelas de América y Europa, por iniciativa del Departamento de Física de la Universidad de Buenos Aires, repetir esa medición utilizando fundamentalmente las mismas herramientas que el propio Eratóstenes utilizó: el Sol, la form a de la Tierra, la sombra de una varilla y un poco de matemática más moderna de la que fue utilizada en ese momento. Procedimiento Mirando la siguiente figura observamos que el arco de circunferencia y ángulo al centro son directamente proporcionales. Eratóstenes sabiendo esto pensó que si fuese posible medir el ángulo al centro y el arco de circunferencia en donde incide ese ángulo el problema de medir la circunferencia de la T ierra estaría resuelto porque utilizaría para ello fórmulas matemáticas que utilizaran esos datos medidos. ¿Como medir, entonces, el ángulo al centro? Eratóstenes utilizó un dato muy particular : la sombra de una varilla en el mediodía solar . En la ciudad de Siena el día del solsticio de verano (20 de junio en el hemisferio norte) , al mediodía, el Sol se reflejaba en el fondo de un pozo, es decir que en ese lugar y en ese momento el Sol llegaba en forma bien vertical. Ese mismo día y a la misma hora en Alejandría, donde vivía Eratóstenes, el Sol se encontraba inclinado de 7° respecto a la vertical y una varilla mostraba una sombra. Taller de Ciencia y Tecnología – Instituto San Cayetano – Ciudad Autónoma de Buenos Aires Página 1 Proyecto Eratóstenes Con un razonamiento geométrico muy simple utilizando dos paralelas cortadas por una transversal, Eratóstenes mostró que ese ángulo de 7° es exactamente igual al ángulo al centro que quería medir él porque son ángulos alternos internos. La figura nos muestra esto: De esta manera visto que el ángulo de 7° es aproximadamente 50 veces menor que el de 360° , consideró que la distancia entre Siena y Alejandría es 50 veces menor que toda la circunferencia de la Tierra. Por esto, midiendo la distancia entre las dos ciudades se puede aplicar la ecuación: Ángulo medido = distancia entre las ciudades 360º Perímetro de la Tierra Eratóstenes llegó así a calcular el tamaño de la Tierr a: su perímetro y a través de él, su radio, ya que: Perímetro de la circunferencia = 2 . Π . Radio La medición de Eratóstenes hoy Para repetir la experiencia de Eratóstenes en la actualidad no es necesario estar en Alejandría o Siena ni mucho menos hacer la medición el día del solsticio. Los requisitos son mínimos. Es necesario que haya dos localidades donde se mida la sombra de una varilla y estén separadas por lo menos por 400 km. La medición se tiene que realizar en el momento en que el Sol proyecte la menor sombra en el lugar, ese momento no necesariamente es el mediodía. La menor sombra depende del lugar y del día, no ocurre siempre a la misma hora. Cualquiera sea el día del año del que se trate, el mediodía en el lugar donde uno se encuentra es el momento del día en el que el sol alcanza su altura máxima en el cielo. Lo ideal es realizar las mediciones unos días antes del solsticio del 21 de septiembre. Para determinarlo, se debe clavar la varilla con la que se hace la medición en el piso, sobre una madera o sobre un telgopor, asegurándose de que esté perfectamente vertical usando una plomada o un nivel de carpintero. Se mide el largo de la parte de la varilla que no ha quedado bajo el piso. Cuando la mañana esté suficientemente avanzada, se comienza a medir la longitud de la sombra de la varilla a intervalos regulares. La sombra va a ir disminuyendo a medida que se acerque el mediodía y luego, comenzará a aumentar, cuando el mediodía ya haya pasado. La longitud más corta que se haya medido es el largo de la varilla que entra en la ecuación para el cálculo del ángulo . Taller de Ciencia y Tecnología – Instituto San Cayetano – Ciudad Autónoma de Buenos Aires Página 2 Proyecto Eratóstenes Nosotros la medimos en la escuela tomando mediciones cada 15 min, y representando luego los valores obtenidos y, de esa forma, determina mos a qué hora del día la sombra proyectada por la varilla es la menor. 120 Longitud (cm) 115 110 105 100 95 11 11.5 12 12.5 13 13.5 Tiempo 14 (horas) El valor obtenido fue 12:45 Realizamos cada medición varias veces (tomando los valores todos los alumnos del Taller ) y calculamos luego el valor promedio para minimizar el error cometido al medir. Eratóstenes tuvo suerte porque conocía un lugar en donde el sol caía en forma exactamente vertical al mediodía. Nosotros pudimos hacer el experimento sin saber dónde hay un lugar así, pero considerando que en fecha dada (cercana al 21 de septiembre) el sol cae perpendicularmente al Ecuador terrestre. Para realizar las mediciones, nos asociamos con otra escuela pero a una cierta distancia al norte o al sur (a la que llamamos d) del lugar de nuestra escuela. Una vez establecido cuál es la escuela “socia”, los chicos de la otra escuela y nosotros medimos el largo y la sombra de una varilla , plomada vertical o estaca y compartimos el resultado de la medición. Compartimos también cuál es la distancia entre cada escuela y el Ecuador y cuál es el valor del ángulo determinado entre la altura de la varilla y su sombra. Esto lo calculamos utilizando funciones trigonométricas (específicamente tangente del ángulo) Tg α = cateto opuesto (la longitud de la sombra) / cateto adyacente al ángulo (la longitud de la varilla) Los alumnos de cada escuela medimos el ángulo que forman los rayos del sol con la vertical al mediodía en el lugar donde está su escuela. Idealmente, ambas escuelas deben medir este ángulo el mismo día. Taller de Ciencia y Tecnología – Instituto San Cayetano – Ciudad Autónoma de Buenos Aires Página 3 Proyecto Eratóstenes El experimento va a funcionar mejor cuanto mayor sea la distancia entre ambas escuelas. Los ángulos que se necesita determinar son θN y θS. Después de medir distancias y ángulos utilizamos la fórmula para calcular el perímetro de la Tierra: Ángulo medido = distancia entre las ciudades 360º Perímetro de la Tierra Con ese valor aplicamos la ecuación: Perímetro = 2 𝝅 R Donde R es el radio de la Tierra. En este caso la distancia d en la primera ecuación debe ser la distancia norte-sur entre las escuelas. Una manera sencilla de determinar esta última es conocer la distancia entre cada escuela y el Ecuador (será provista por los organizadores en el momento de la inscripción de la escuela). Otra posibilidad es utilizar un mapa y medir sobre el mismo la distancia entre las latitudes correspondientes a las localidades de las dos escuelas. Este procedimiento puede realizarse también utilizando el Google Earth. Taller de Ciencia y Tecnología – Instituto San Cayetano – Ciudad Autónoma de Buenos Aires Página 4 Proyecto Eratóstenes Si las escuelas son de Hemisferios diferentes se s uman distancias y ángulos medidos por cada una. Si ambas escuelas son del mismo Hemisferio la distancia al Ecuador y los ángulos se restan entre sí. Resultados obtenidos Instituto San Cayetano, Liniers, Ciudad Autónoma de Buenos Aires, Argentina Escuela Santo Domingo Savio, Úbeda, Jaén, España Resultados en días coincidentes: 12-sep-12 12-sep-12 España varilla (cm) ÚBEDA SanCa 98,3 127 Valor “real”: sombra (cm) d Ecuador (Km) alfa (o) 66,3 99,2 4227,14 3847,23 suma (Km) 8074,37 RmT (Km): 6371 34,00 38,00 suma (rad) Valor medido: 1,256494 6426,1 km 0,87 13-sep-12 13-sep-12 España varilla (cm) ÚBEDA SanCa Argentina 98,3 126 Valor“real”: sombra (cm) d ecuador (Km) alfa (o) 67,1 97,9 4227,14 3847,23 suma (Km) 8074,37 % error RmT (Km): 6371 34,32 37,85 suma (rad) Valor medido: 1,2595038 6410,8 km 0,62 Valor “real”: 14-sep-12 14-sep-12 España varilla (cm) ÚBEDA SanCa Argentina 98,3 126 sombra (cm) d ecuador (Km) 65,4 97,93 4227,14 3847,23 suma (Km) 8074,37 % error RmT (Km): 6371 alfa (o) 33,64 38,21 suma (rad) Valormedido: 1,2477599 6471,1 km 1,57 Taller de Ciencia y Tecnología – Instituto San Cayetano – Ciudad Autónoma de Buenos Aires % error Página 5 Proyecto Eratóstenes Análisis de resultados Participaron del proyecto 275 escuelas de diversos lugares de Argentina, Brasil, Perú, Paraguay, Uruguay, Chile, México, Venezuela y España. Nos asociamos a tres escuelas distantes más de 400 km: Escuela Santo Domingo Savio, Úbeda, Jaén, España Escuela Paideia, Mérida, Venezuela EPEM 17, Villa La Angostura, Neuquén, Argentina Coincidimos en las mediciones realizadas sólo con la escuela española. El colegio de Villa La Angostura no pudo realizar mediciones por condiciones climáticas adversas, ya que nevó y llovió durante las dos semanas en las que hemos medido. La escuela de Venezuela comenzaba sus clases el día lunes 17 de septiembre y hasta ese momento no podía realizar sus mediciones. El colegio de España, si bien comenzaba sus clases también el día lunes 17, reunió a los alumnos participantes del proyecto desde una semana antes. Así fue que coincidimos en las medidas realizadas los días 12, 13 y 14 de septiembre. El día en que realizamos en conjunto una mejor medición fue el jueves 13, cometiendo sólo un 0,62% de error. Conclusión Siguiendo el método de Eratóstenes pudimos medir el radio de la Tierra obteniendo un valor de 6410,8 km. El valor real aceptado hoy en día es 6371,0 km . Nuestra medición fue un éxito, ya que se informó solamente un 0,62% de error respecto del valor real. Taller de Ciencia y Tecnología – Instituto San Cayetano – Ciudad Autónoma de Buenos Aires Página 6 Proyecto Eratóstenes Anexo Fotos de algunos grupos participantes de l proyecto Instituto San Cayetano, Ciudad de Buenos Aires, Argentina Instituto Santo Domingo Savio. Úbeda, Jaén, España. Taller de Ciencia y Tecnología – Instituto San Cayetano – Ciudad Autónoma de Buenos Aires Página 7 Proyecto Eratóstenes Instituto Marechal Rondon, Río de Janeiro, Brasil Escuela Vicente Heredia Las Salinas, Tucumán, Argentina Taller de Ciencia y Tecnología – Instituto San Cayetano – Ciudad Autónoma de Buenos Aires Página 8 Proyecto Eratóstenes Proyección Es nuestra intención volver a realizar las mediciones el próximo año participando nuevamente del proyecto. Datos a tener en cuenta, mejoras: Utilizar una varilla de menor longitud, pues comparando con las mediciones realizadas por otras escuelas pudimos comprobar que cuanto menor es la longitud de la varilla es también menor el error cometido. Realizar la medición varios alumnos a la vez con dispositivos individuales, antes de enviar el valor promedio de las mediciones a la escuela “socia”. De esta forma la participación de los alumnos que componen el Taller es mayor y cada uno puede realizar cada día una medición más exacta “compitiendo” así también alumnos de la misma escuela entre sí. Elaborar un programa informático, junto con el profesor de la asignatura, que permita realizar en Excel los cálculos que realizamos esta vez manualmente. Comenzar con la preparación del proyecto meses antes para minimizar las dificultades al momento de realizar las mediciones durante el mes de septiembre. Agradecimiento especial A Nazarena y Esteban, que nos acompañaron cada día, reuniéndonos para realizar la tarea de medir. A Dante, Julio y Marcelo que nos prepararon el material de trabajo y cuidaron del mismo durante más de 15 días para que podamos medir satisfactoriamente. A los directivos de la escuela que nos permitieron participar del proyecto. Taller de Ciencia y Tecnología – Instituto San Cayetano – Ciudad Autónoma de Buenos Aires Página 9