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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD
ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA
CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100401 – MÉTODOS NUMÉRICOS
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA
100401 – METODOS NUMERICOS
Elaborado Carlos Iván Bucheli Chaves
Corregido por Ricardo Gómez Narváez
Revisado por Carlos Edmundo López Sarasty
(Director Nacional)
PASTO
Enero de 2013
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ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA
CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100401 – MÉTODOS NUMÉRICOS
UNIDAD III:
“Diferenciación, Integración Numérica y Solución de Ecuaciones
Diferenciales.”
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Lección 15 Diferenciación Numérica………………………………………….
177
…………………………………………..
180
Lección 16 Integración Numerica
Lección 17 Regla del trapecio……………………………………………….
Lección 18 Regla de Simpson…………………………………………...…
Lección 19 Integración de Romberg y Ejercicios del Capitul…………...
186
189
198
C
CA
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Lección 20 Método de Euler…………………………………………..….…
216
Lección 21 Método de Runge Kutta…………………………………….…
217
Lección 22 Método Multipasos, Ejercicios del Capitulo y Autoevaluación 223
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CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100401 – MÉTODOS NUMÉRICOS
ALCANCE DEL CURSO ACADEMICO
El estudiante comprenderá la importancia de los métodos numéricos y conocerá Las
características operativas del software de cómputo numérico comercial.
Implementará métodos de solución de ecuaciones algebraicas o trascendentales, con
apoyo de un lenguaje de programación.
Implementará los métodos numéricos de solución de sistemas de ecuaciones, con apoyo
de un lenguaje de programación.
Aplicará los métodos numéricos para la solución de problemas de diferenciación e
integración numérica, usando un lenguaje de programación.
Por ultimo, Aplicará los métodos numéricos para la solución de problemas de
diferenciación e integración numérica, usando un lenguaje de programación.
Por tanto al finalizar la lectura y comprensión de este modulo el estudiante estará en la
capacidad de:
 Analizar en grupo la importancia de los métodos numéricos en la ingeniería y en las
ciencias.
 Analizar en grupo los conceptos de cifra significativa, precisión, exactitud, sesgo e
incertidumbre, así como los diferentes tipos de error: absoluto y relativo por redondeo
por truncamiento numérico total humanos.
 Buscar y diferenciar las características de un software de cómputo numérico.
 Exponer por equipos, las características de un software de cómputo numérico.
 Realizar prácticas del uso de un software de cómputo numérico, apoyándose en
tutoriales y manuales correspondientes.
 Buscar y analizar la interpretación gráfica de una raíz y la teoría de alguno de los
métodos iterativos.
 Buscar y catalogar los diferentes métodos numéricos de solución de ecuaciones.
 Diseñar e implementar los métodos numéricos catalogados, utilizando la herramienta de
cómputo numérico.
 Resolver ejercicios aplicando los métodos implementados, validando sus resultados.
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CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100401 – MÉTODOS NUMÉRICOS
 Buscar y clasificar los fundamentos matemáticos de la solución de sistemas de
ecuaciones lineales.
 Identificar gráficamente, los casos de sistemas de ecuaciones lineales mal
condicionadas y su relación matemática con el determinante.
 Analizar en grupo la solución de sistemas de ecuaciones, empleando los métodos
iterativos de Jacobi y Gauss-Seidel.
 Implementar y evaluar los métodos iterativos empleando un lenguaje de programación.
 Buscar y clasificar los fundamentos matemáticos de la solución de sistemas de
ecuaciones no-lineales.
 Analizar en grupo la solución de sistemas de ecuaciones no-lineales, empleando
métodos iterativos.
 Implementar y evaluar los métodos iterativos empleando un lenguaje de programación.
 Buscar y clasificar los métodos numéricos de diferenciación.
 Representar gráficamente los métodos clasificados.
 Analizar en grupo la diferenciación, empleando los métodos clasificados.
 Diseñar e implementar los métodos de diferenciación numérica.
 Diseñar e implementar los métodos de integración numérica.
 Buscar y clasificar los métodos numéricos de integración.
 Representar gráficamente los métodos clasificados.
 Analizar en grupo la integración, empleando los métodos clasificados.
 Buscar y clasificar los métodos numéricos de diferenciación.
 Aplicar los métodos a la solución de ejercicios, empleando una calculadora.
 Diseñar, implementar y evaluar los métodos numéricos de Euler y de Runge-Kutta.
 Investigar aplicaciones de estos métodos numéricos y mostrar resultados.
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CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100401 – MÉTODOS NUMÉRICOS
UNIDAD 3:
“DIFERENCIACIÓN, INTEGRACIÓN NUMÉRICA Y SOLUCIÓN DE
ECUACIONES DIFERENCIALES”
CAPITULO 5: DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA E
INTEGRACIÓN NUMÉRICA
Lección 15 Diferenciación Numérica
Concentremos ahora nuestra atención
a procedimientos para diferenciar
numéricamente funciones que están
definidas mediante datos tabulados o
mediante curvas determinadas en
forma experimental.
Un método consiste en aproximar la
función en la vecindad del punto en
que se desea la derivada, mediante
una parábola de segundo, tercer o mayor grado, y utilizar entonces la derivada de la
parábola en ese punto como la derivada aproximada de la función.
Otro ejemplo, que comentaremos aquí, utiliza los desarrollos en serie de Taylor.
La serie de Taylor para una función Y = f(X) en
respecto al punto Xi es
, desarrollada con
(1)
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en donde Yi es la ordenada que corresponde a Xi y
región de convergencia. La función para
se encuentra en la
está dada en forma similar por:
(2)
Utilizando solamente los tres primeros términos de cada desarrollo, podremos obtener
una expresión para Y'i restando la ec. (2) de la ec. (1),
(3)
Fórmulas de diferencia
(Diferencias centrales, hacia adelante y hacia atrás)
../../../Documents and Settings/ESC. AGRARIAS/Escritorio/para clase y cuaciones/metodos para
clase/tema6/derivada.html - atras
Fig. 1
Observando la figura, vemos que si designamos los puntos uniformemente espaciados a
la derecha de Xi como Xi+1 , Xi+2, etc. y los puntos a la izquierda de Xi como Xi-1, Xi-2 ,
etc. e identificamos las ordenadas correspondientes como Yi+1, Yi+2, Yi-1, Yi-2,
respectivamente, la ec. (3) se puede escribir en la forma:
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CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100401 – MÉTODOS NUMÉRICOS
(4)
La ec. (4) se denomina la primera aproximación, por Diferencias Centrales de Y', para X.
La aproximación representa gráficamente la pendiente de la recta discontinua mostrada
en la figura. La derivada real se representa mediante la línea sólida dibujada como
tangente a la curva en Xi.
Si sumamos las ecuaciones (1) y (2) y utilizamos la notación descrita previamente,
podemos escribir la siguiente expresión para la segunda derivada:
(5)
La ec. (5) es la primera aproximación, por Diferencias Centrales, de la segunda derivada
de la función en Xi. Esta expresión se puede interpretar gráficamente como la pendiente
de la tangente a la curva en Xi+1/2 menos la pendiente de la tangente a la curva en Xi-1/2
dividida entre
las expresiones:
, cuando las pendientes de las tangentes están aproximadas mediante
(6)
es decir,
(7)
Para obtener una expresión correspondiente a la tercera derivada, utilizamos cuatro
términos en el segundo miembro de cada una de las ecs. (1) y (2). Restando la ec. (2) de
la ec. (1) se obtiene:
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(8)
Si desarrollamos la serie de Taylor respecto a Xi para obtener expresiones
correspondientes a Y = f(X) en
obtenemos:
y
, respectivamente,
(9)
Restando la primera ec. (9) de la segunda, y utilizando solamente los cuatro términos
mostrados para cada desarrollo, se obtiene:
(10)
La solución simultánea de las ecs. (8) y (10) produce la tercera derivada:
(11)
La ec. (11) es la primera expresión de Diferencias Centrales correspondiente a la tercera
derivada de Y en Xi.
Por este método se pueden obtener derivadas sucesivas de mayor orden, pero como
requieren la solución de un número cada vez mayor de ecuaciones simultáneas, el
proceso se vuelve tedioso. La misma técnica se puede utilizar también para encontrar
expresiones más precisas de las derivadas utilizando términos adicionales en el desarrollo
en serie de Taylor. Sin embargo, la derivación de expresiones más precisas,
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especialmente para derivadas de orden superior al segundo, se vuelve muy laboriosa
debido al número de ecuaciones simultáneas que se deben resolver.
No se presentan aquí esas derivaciones, pero dichas expresiones, para diferentes
derivadas, se incluyen en el resumen que sigue a estos comentarios.
Las expresiones correspondientes a las derivadas de mayor orden se logran con mucho
mayor facilidad y bastante menos trabajo, utilizando operadores de diferencias, de
promedios y de derivación. Este método se encuentra fuera de los alcances fijados, pero
se pueden encontrar en varios libros referentes al análisis numérico.
Se ha demostrado que las expresiones de Diferencias Centrales para las diversas
derivadas encierran valores de la función en ambos lados del valor X en que se desea
conocer la derivada en cuestión. Utilizando desarrollos convenientes en serie de Taylor,
se pueden obtener fácilmente expresiones para las derivadas, completamente en
términos de valores de la función en Xi y puntos a la derecha de Xi. Estas se conocen
como expresiones de Diferencias Finitas Hacia Adelante.
En forma similar, se pueden obtener expresiones para las derivadas que estén totalmente
en términos de valores de la función en Xi y puntos a la izquierda de Xi. Estas se conocen
como expresiones de Diferencias Finitas Hacia Atrás.
En la diferenciación numérica, las expresiones de diferencias hacia adelante se utilizan
cuando no se dispone de datos a la izquierda del punto en que se desea calcular la
derivada, y las expresiones de diferencias hacia atrás, se utilizan cuando no se dispone
de datos a la derecha del punto deseado. Sin embargo, las expresiones de diferencias
centrales son más precisas que cualquiera de las otras dos.
Resumen de fórmulas de diferenciación
../../../Documents and Settings/ESC. AGRARIAS/Escritorio/para clase y cuaciones/metodos para
clase/tema6/deriva02.html - atrasLo que sigue es un resumen de las fórmulas de
diferenciación que se pueden obtener a base de desarrollos en serie de Taylor.
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Expresiones de Primeras Diferencias Centrales
(12)
Expresiones de Segundas Diferencias Centrales
(13)
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Expresiones de Primeras Diferencias Hacia Adelante
(14)
Expresiones de Segundas Diferencias Hacia Adelante
(15)
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Expresiones de Primeras Diferencias Hacia Atrás
(16)
Expresiones de Segundas Diferencias Hacia Atrás
(17)
EJEMPLO
../../../Documents and Settings/ESC. AGRARIAS/Escritorio/para clase y cuaciones/metodos para
clase/tema6/deriva02.html - atrasÚsense aproximaciones de Diferencias Finitas Hacia
Adelante, Hacia Atrás y Centradas para estimar la primera derivada de:
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Utilizando un tamaño de paso de
Repetir los cálculos usando
= 0.5.
= 0.25.
Nótese que la derivada se puede calcular directamente como:
y evaluando tenemos:
f'(0.5) = -0.9125
SOLUCIÓN:
Para
= 0.5 se puede usar la función para determinar:
Xi-1 = 0.0
Yi-1 = 1.200
Xi = 0.5
Yi = 0.925
Xi+1 = 1.0
Yi+1 = 0.200
Estos datos se pueden utilizar para calcular la Diferencia Hacia Adelante:
la Diferencia Dividida Hacia Atrás será:
y la Diferencia Dividida Central:
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Para
= 0.25, los datos son:
Xi-1 = 0.25
Yi-1 = 1.10351563
Xi = 0.50
Yi = 0.92500000
Xi+1 = 0.75
Yi+1 = 0.63632813
que se usarán para calcular la Diferencia Dividida Hacia Adelante:
la Diferencia Dividida Hacia Atrás:
y la Diferencia Dividida Central:
Para los dos tamaños de paso, las aproximaciones por Diferencias Centrales son más
exactas que las Diferencias Divididas Hacia Adelante o las Diferencias Divididas Hacia
Atrás. También, como lo predijo el análisis de la serie de Taylor, la división del intervalo en
dos partes iguales, divide a la mitad el error de las Diferencias Hacia Atrás o Hacia
Adelante y a la cuarta parte el error de las Diferencias Centrales.
En ingeniería se presenta con frecuencia la necesidad de integrar una función que sería,
en general, de una de las tres formas siguientes:
1. Una función simple y continua tal como un polinomio, una función exponencial o
una función trigonométrica.
2. Una función complicada y continua que es difícil o imposible de integrar
directamente.
3. Una función tabulada en donde los valores de X y f(X) se dan en un conjunto de
puntos discretos, como es el caso a menudo, de datos experimentales.
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CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100401 – MÉTODOS NUMÉRICOS
En el primer caso, la integral simplemente es una función que se puede evaluar fácilmente
usando métodos analíticos aprendidos en el cálculo. En los dos últimos casos, sin
embargo, se deben emplear métodos aproximados.
Las fórmulas de integración de Newton-Cotes son los esquemas más comunes dentro de
la integración numérica. Se basan en la estrategia de reemplazar una función complicada
o un conjunto de datos tabulares con alguna función aproximada que sea más fácil de
integrar.
La integral se puede aproximar usando una serie de polinomios aplicados por partes a la
función o a los datos sobre intervalos de longitud constante.
Se dispone de las formas abierta y cerrada de las fórmulas de Newton-Cotes. Las formas
cerradas son aquellas en donde los puntos al principio y al final de los límites de
integración se conocen. Las fórmulas abiertas tienen los límites de integración extendidos
más allá del rango de los datos. Las fórmulas abiertas de Newton-Cotes, en general, no
se usan en la integración definida. Sin embargo, se usan extensamente en la solución de
ecuaciones diferenciales ordinarias.
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Lección 16 Integración Numérica
Lección 17 Regla del trapecio
La regla del trapecio o regla trapezoidal es una de las fórmulas cerradas de NewtonCotes.
Considérese la función f(X), cuya gráfica entre los extremos X = a y X = b se muestra en
la fig. 1. Una aproximación suficiente al área bajo la curva se obtiene dividiéndola en n
fajas de ancho
indica en la figura.
y aproximando el área de cada faja mediante un trapecio, como se
Fig. 1
Llamando a las ordenadas Y i (i = 1, 2, 3,...., n+1), las áreas de los trapecios son:
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CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100401 – MÉTODOS NUMÉRICOS
(1)
El área total comprendida entre X = a y X = b está dada por:
(2)
Sustituyendo las ecs. (1) en esta expresión se obtiene:
(3)
La cual recibe el nombre de Fórmula Trapezoidal, y se puede expresar como:
(4)
En esencia, la técnica consiste en dividir el intervalo total en intervalos pequeños y
aproximar la curva Y = f(X) en los diversos intervalos pequeños mediante alguna curva
más simple cuya integral puede calcularse utilizando solamente las ordenadas de los
puntos extremos de los intervalos.
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CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100401 – MÉTODOS NUMÉRICOS
Si la función f(X) se puede expresar como una función matemática continua que tiene
derivadas continuas f'(X) y f''(X), el error que resulta de aproximar el área verdadera en
una faja bajo la curva f(X) comprendida entre Xi y Xi+1 mediante el área de un trapecio,
se demuestra que es igual a:
(5)
Este error es la cantidad que se debe agregar al área del trapecio para obtener el área
real. Se llama Error por Truncamiento, ya que es el error que resulta de utilizar una serie
de Taylor truncada, en vez de una serie de Taylor completa, para representar en forma de
serie el área de una faja. Generalmente no se puede valuar directamente el término
mostrado como error por truncamiento. Sin embargo, se puede obtener una buena
aproximación de su valor para cada faja suponiendo que f '' es suficientemente constante
en el intervalo de la faja (se supone que las derivadas de orden superior son
despreciables) y evaluando f '' para
. La estimación del error por truncamiento
para la integración total se obtiene sumando las estimaciones para cada faja. Si la
estimación obtenida para el error total por truncamiento es mayor de lo que se puede
tolerar, se debe utilizar una faja más angosta o un método más preciso.
Otro error que se introduce al obtener el área aproximada de cada faja es el Error por
Redondeo. Este se produce cuando las operaciones aritméticas requeridas se efectúan
con valores numéricos que tienen un número limitado de dígitos significativos.
Se puede demostrar que una aproximación a el límite del error por redondeo es:
(6)
Tenemos entonces que el límite en el error por redondeo aumenta proporcionalmente a
, lo cual pronto domina al error por truncamiento que es proporcional a
En realidad, el error por redondeo en sí no crece proporcionalmente con
.
sino con
en que 0 < p < 1, pero sin embargo aún supera al error por truncamiento si
decrece lo suficiente.
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CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100401 – MÉTODOS NUMÉRICOS
El error por redondeo se puede minimizar utilizando aritmética de doble precisión o
mediante compiladores que pueden manejar un gran número de dígitos significativos.
De la información anterior se puede ver que el error total en el intervalo de integración
deseado, es la suma de los errores de truncamiento y redondeo. Si el error total se
debiera únicamente al error por truncamiento, se podría hacer tan pequeño como se
deseara reduciendo suficientemente el ancho de la faja. Por ejemplo, bisectando el ancho
de la faja se duplicaría el número de errores por truncamiento que hay que sumar, pero la
expresión para el error en cada faja indica que cada uno sería aproximadamente un
octavo de su valor previo.
Sin embargo, disminuyendo el ancho de la faja se afectaría también el error total al
aumentar el error por redondeo, debido al mayor número de operaciones que hay que
efectuar al valuar la ec. (3). Entonces, cuando se disminuye el ancho de la faja para
disminuir el error total, existe un punto óptimo en el cual disminuciones adicionales del
ancho de la faja harían que el error aumentara en lugar de disminuir, porque el error por
redondeo se volvería dominante. El ancho óptimo de la faja para una función especial se
puede determinar fácilmente en forma experimental en la computadora (suponiendo que
el área real bajo la gráfica de la función se puede valuar) pero es difícil definirlo
analíticamente.
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CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100401 – MÉTODOS NUMÉRICOS
Lección 18 Regla de Simpson
Además de aplicar la regla trapezoidal con segmentos cada vez más finos, otra manera
de obtener una estimación más exacta de una integral, es la de usar polinomios de orden
superior para conectar los puntos. Por ejemplo, si hay un punto medio extra entre f(a) y
f(b), entonces los tres puntos se pueden conectar con un polinomio de tercer orden.
A las fórmulas resultantes de calcular la integral bajo estos polinomios se les llaman
Reglas de Simpson.
Regla de Simpson 1/3
La Regla de Simpson de 1/3 proporciona una aproximación más precisa, ya que consiste
en conectar grupos sucesivos de tres puntos sobre la curva mediante parábolas de
segundo grado, y sumar las áreas bajo las parábolas para obtener el área aproximada
bajo la curva. Por ejemplo, el área contenida en dos fajas, bajo la curva f(X) en la fig. 2, se
aproxima mediante el área sombreada bajo una parábola que pasa por los tres puntos:
(Xi , Yi)
(Xi+1, Yi+1)
(Xi+2, Yi+2)
Fig. 2
20
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CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100401 – MÉTODOS NUMÉRICOS
Por conveniencia al derivar una expresión para esta área, supongamos que las dos fajas
que comprenden el área bajo la parábola se encuentran en lados opuestos del origen,
como se muestra en la fig. 3. Este arreglo no afecta la generalidad de la derivación.
La forma general de la ecuación de la parábola de segundo grado que conecta los tres
puntos es:
(7)
La integración de la ec. (7) desde hasta
dos fajas mostradas bajo la parábola. Por lo tanto:
proporciona el área contenida en las
(8)
Fig. 3
La sustitución de los límites en la ec. (8) produce:
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CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100401 – MÉTODOS NUMÉRICOS
(9)
Las constantes a y c se pueden determinar sabiendo que los puntos
, (0,
Yi + 1), y
deben satisfacer la ec. (7). La sustitución de estos tres pares de
coordenadas en la ec. (7) produce:
(10)
La solución simultánea de estas ecuaciones para determinar las constantes a, b, c, nos
lleva a:
(11)
La sustitución de la primera y tercera partes de la ec. (11) en la ec. (9) produce:
(12)
que nos da el área en función de tres ordenadas Yi, Y i+1, Y i+2 y el ancho
faja.
de una
Esto constituye la regla de Simpson para determinar el área aproximada bajo una curva
contenida en dos fajas de igual ancho.
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Si el área bajo una curva entre dos valores de X se divide en n fajas uniformes (n par), la
aplicación de la ec. (12) muestra que:
(13)
Sumando estas áreas, podemos escribir:
(14)
o bien
(15)
en donde n es par.
La ec. (15) se llama Regla de Simpson de un Tercio para determinar el área aproximada
bajo una curva. Se puede utilizar cuando el área se divide en un número par de fajas de
ancho
.
Si la función f(X) se puede expresar como una función matemática continua que tiene
derivadas continuas f ' a
, el error que resulta de aproximar el área verdadera de dos
fajas bajo la curva f(X) comprendida entre Xi-1 y Xi+1 mediante el área bajo una parábola
de segundo grado, se demuestra que es:
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(16)
Este error por truncamiento es la cantidad que se debe agregar al área aproximada de
dos fajas, que se obtiene mediante la regla de un tercio de Simpson, para obtener el área
real bajo la curva en ese intervalo. El término mostrado del error por truncamiento
generalmente no se puede valuar en forma directa. Sin embargo, se puede obtener una
buena estimación de su valor para cada intervalo de dos fajas suponiendo que
es
suficientemente constante en el intervalo (se supone que las derivadas de orden superior
son despreciables) y valuando
para
. La estimación del error por
truncamiento para toda la integración se obtiene sumando las estimaciones
correspondientes a cada dos fajas. Si la estimación del error total por truncamiento es
mayor de lo que se puede tolerar, se deben utilizar intervalos de dos fajas menores.
Considerando el error por redondeo que también aparece, existe un ancho óptimo de la
faja para obtener un error total mínimo en la integración.
Regla de simpson 3/8
La derivación de la Regla de los Tres Octavos de Simpson es similar a la regla de un
tercio, excepto que se determina el área bajo una parábola de tercer grado que conecta 4
puntos sobre una curva dada. La forma general de la parábola de tercer grado es:
(17)
Fig. 4
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En la derivación, las constantes se determinan requiriendo que la parábola pase a través
de los cuatro puntos indicados sobre la curva mostrada en la fig. 4. El intervalo de
integración es de -
a
, lo que produce:
(18)
que es la regla de los tres octavos de Simpson.
La regla de Simpson de 3/8 tiene un error por truncamiento de:
(19)
Por lo tanto es algo más exacta que la regla de 1/3.
La regla de Simpson de 1/3 es, en general, el método de preferencia ya que alcanza
exactitud de tercer orden con tres puntos en vez de los cuatro puntos necesarios para la
versión de 3/8. No obstante la regla de 3/8 tiene utilidad en las aplicaciones de segmentos
múltiples cuando el número de fajas es impar.
EJEMPLO
Utilícese la regla trapezoidal de cuatro segmentos o fajas para calcular la integral
de
Desde a = 0 hasta b = 0.8 y calcular el error sabiendo que el valor correcto de la
integral es 1.64053334.
SOLUCIÓN
n=4
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X
f(X)
0.0
0.200
0.2
1.288
0.4
2.456
0.6
3.464
0.8
0.232
Usando la fórmula trapezoidal:
ex = 1.64053334 - 1.4848 = 0.15573334
e% = 9.5 %
1. Utilícese la regla de Simpson de 1/3 con n = 4 para calcular la integral
del inciso anterior
../../../Documents and Settings/ESC. AGRARIAS/Escritorio/para clase y cuaciones/metodos
para clase/tema5/integ03.html - atras
SOLUCIÓN
n=4
X
f(X)
0.0
0.200
0.2
1.288
26
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0.4
2.456
0.6
3.464
0.8
0.232
Usando la regla de Simpson de 1/3
ex = 1.64053334 - 1.62346667 = 0.01706667
e% = 1.04 %
2. Utilícese la regla de Simpson de 3/8 para calcular la integral anterior:
../../../Documents and Settings/ESC. AGRARIAS/Escritorio/para clase y cuaciones/metodos
para clase/tema5/integ03.html - atras SOLUCIÓN
Como se requieren cuatro puntos o tres fajas para la regla de Simpson de 3/8,
entonces:
X
f(X)
0.0000
0.20000000
0.2667
1.43286366
0.5333
3.48706521
0.8000
0.23200000
27
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Usando la ecuación de Simpson de 3/8
ex = 1.64053334 - 1.51917037 = 0.121164
e% = 7.4 %
3. Utilícese en conjunción las reglas de Simpson de 1/3 y 3/8 para integrar la misma
función usando cinco segmentos.
SOLUCIÓN
Los datos necesarios para la aplicación de cinco segmentos (h = 0.16) son:
X
f(X)
0.00
0.20000000
0.16
1.29691904
0.32
1.74339328
0.48
3.18601472
0.64
3.18192896
0.80
0.23200000
La integral de los primeros dos segmentos se obtiene usando la regla de Simpson
de 1/3:
Para los últimos tres segmentos, se usa la regla de Simpson de 3/8 para obtener:
28
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La integral total se calcula sumando los dos resultados:
I = 0.38032370 + 1.26475346 = 1.64507716
ex = 1.64053334 - 1.64507716 = -0.00454383
e% = -0.28 %
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Lección 19 Integración de Romberg y Ejercicios del capitulo
Sea
el valor de la integral que aproxima a
partición de subintervalos de longitud
Entonces,
donde
,
mediante una
y usando la regla del trapecio.
es el error de truncamiento que se comete al aplicar la regla.
El método de extrapolación de Richardson combina dos aproximaciones de
integración numérica, para obtener un tercer valor más exacto.
El algoritmo más eficiente dentro de éste método, se llama Integración de
Romberg
,
la
cual
es
una
fórmula
recursiva.
Supongamos que tenemos dos aproximaciomnes :
e
Se puede demostrar que el error que se comete con la regla del trapecio para n
subintervalos está dado por las siguientes fórmulas:
donde
es un promedio de la doble derivada entre ciertos valores que
pertenecen a cada uno de los subintervalos.
Ahora bien, si suponemos que el valor de
es constante, entonces :
30
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Sustituyendo esto último en nuestra primera igualdad, tenemos que:
De aquí podemos despejar
En el caso especial cuando
:
(que es el algoritmo de Romberg), tenemos :
31
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Esta fórmula es solo una parte del algoritmo de Romberg. Para entender el
método, es conveniente pensar que se trabaja en niveles de aproximación. En un
primer nivel, es cuando aplicamos la regla del Trapecio, y para poder usar la
fórmula anterior, debemos de duplicar cada vez el número de subintervalos: así,
podemos comenzar con un subintervalo, luego con dos, cuatro, ocho, etc, hasta
donde se desee.
Posteriormente, pasamos al segundo nivel de aproximación, que es donde se usa
la fórmula anterior, tomando las parejas contiguas de aproximación del nivel
anterior, y que corresponden cuando
.
Después pasamos al nivel tres de aproximación, pero aquí cambia la fórmula de
Romberg, y así sucesivamente hasta el último nivel, que se alcanza cuando solo
contamos con una pareja del nivel anterior.
Desde luego, el número de niveles de aproximación que se alcanzan, depende de
las aproximaciones que se hicieron en el nivel 1. En general, si en el primer nivel,
iniciamos con n aproximaciones, entonces alcanzaremos a llegar hasta el nivel
de aproximación n.
Hacemos un diagrama para explicar un poco más lo anterior.
Ejemplo
Usar el algoritmo de Romberg, para aproximar la integral
1.
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usando segmentos de longitud
.
Solución.
Primero calculamos las integrales del nivel 1, usando la regla del trapecio para las
longitudes de segmentos indicadas:
Con estos datos, tenemos:
Ahora pasamos al segundo nivel de aproximación donde usaremos la fórmula que
se dedujo anteriormente:
33
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donde
es la integral menos exacta (la que usa menos subintervalos) e
es la más exacta (la que usa el doble de subintervalos).
En un diagrama vemos lo siguiente:
Para avanzar al siguiente nivel, debemos conocer la fómula correspondiente. De
forma similar a la deducción de la fórmula,
se puede ver que la fórmula para el siguiente nivel de aproximación (nivel 3)
queda como sigue:
donde:
es
la
integral
más
exacta
es la integral menos exacta
En el siguiente nivel (nivel 4) se tiene la fórmula
En el ejemplo anterior, obtenemos la aproximación en el nivel 3 como sigue:
Así, podemos concluir que el valor de la aproximación, obtenido con el método de
Romberg en el ejemplo 1, es:
34
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Ejemplo
Usar el algoritmo de Romberg para aproximar la integral:
Agregando a la tabla anterior
donde
2.
.
Solución.
Calculamos
con la regla del trapecio:
Tenemos entonces la siguiente tabla:
De donde concluímos que la aproximación buscada es:
Ejemplo
Aproximar la siguiente integral:
3.
35
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Usando el método de Romberg con segmentos de longitud
,
,
,
Solución.
Igual que arriba, primero usamos la regla del trapecio (con los valores de
indicados) para llenar el nivel 1. Tenemos entonces que:
h
A continuación, usamos las fórmulas de Romberg para cada nivel y obtenemos la
siguiente tabla:
De donde concluímos que la aproximación buscada es:
Podemos escribir una fórmula general para calcular las aproximaciones en cada
uno de los niveles como sigue:
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DE ALGORITMO DE INTEGRACIÓN ROMBERG
Los coeficientes en cada una de las fórmulas en el método de Romberg,
deben
sumar
1.
Así se tiene la siguiente fórmula recursiva:
donde:
es
la
integral
más
exacta
es la integral menos exacta
y el indice
digamos que
k
indica el nivel de integración o de aproximación. Por ejemplo,
, entonces tenemos:
que es nuestra fórmula del nivel 2 de aproximación.
Como todo proceso iterativo, éste se detiene cuando se obtiene una aproximación
suficientemente buena. En este caso se pide que:
donde
es la cota suficiente.
Ejemplo
1.Aplicar el algoritmo de integración de Romberg a la integral:
tomando
37
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Solución.
En este caso no sabemos exactamente cuantas aproximaciones debemos hacer
con la regla del trapecio. Así que para comenzar hacemos los cálculos
correspondientes a uno, dos, cuatro y ocho subintervalos:
Con estos datos, podemos hacer los cálculos hasta el nivel 4. Tenemos la
siguiente tabla:
Haciendo los cálculos de los errores, nos damos cuenta que efectivamente la
aproximación se obtiene hasta el nivel 4, donde
Por lo tanto, concluimos que la aproximación buscada es:
.
38
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EJERCICIOS
1. Usar la regla del trapecio para aproximar,
i)
Dividiendo en un solo intervalo.
ii)
Dividiendo en 6 intervalos.
Soluciones: i) 3.4115
ii) 0.36907
2. Usar la regla de Simpson 1/3 para aproximar,
i)
Dividiendo en un solo intervalo.
ii)
Dividiendo en 4 intervalos.
Soluciones: i) 82.60511
ii) 76.94497
3. Usar la regla de Simpson 3/8 para aproximar,
i)
Dividiendo en un solo intervalo.
ii)
Dividiendo en 4 intervalos.
Soluciones: i) 2.76591
ii) 2.76501
4. Integrar las siguientes tablas de datos:
i)
ii)
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Soluciones:
i) -17.11458
ii) 9.425
5. Usar el algoritmo de integración de Romberg para aproximar,
i)
Usando 1, 2 y 4 intervalos.
ii)
Agregando al inciso anterior, 8 intervalos.
Soluciones:
i)
9.156626413
ii) 9.153287278
6. Aproxime la integral del EJEMPLO anterior, tomando
suficiente.
como cota
Solución. 9.153112082
41
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CAPITULO 6: SOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES
PROBLEMAS DE VALOR INICIAL PARA ECUACIONES
DIFERENCIALES
Ecuaciones diferenciales ordinarias
Las ecuaciones diferenciales tienen importancia fundamental en las aplicaciones,
ya que muchas leyes y relaciones físicas pueden idealizarse matemáticamente en
la forma de estas ecuaciones. En particular, el estudio de problemas de equilibrio
de sistemas continuos se encuentra dentro de este contexto.
Solución de una ecuación diferencial.
Dada una ecuación diferencial ordinaria de orden n y cualquier grado, cuya forma
general es:
(1)
Se establece en matemáticas que en su solución general deben aparecer n
constantes arbitrarias. Entonces, puede aceptarse que la solución general de (1)
es:
G( X , Y , C1 , C2 ,..., Cn )  0 (2)
Gráficamente esta ecuación representa una familia de curvas planas, cada una de
ellas obtenidas para valores particulares de la n constante, C1 , C2 ,..., Cn , como se
ve en la gráfica:
42
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Cada una de estas curvas corresponde a una solución particular de la ecuación
diferencial (1) y analíticamente puede obtenerse sujetando la solución general (2)
a n condiciones independientes que permiten valuar las constantes arbitrarias.
Dependiendo de como se establezcan estas condiciones, se distinguen dos tipos
de problemas: los llamados de Valores Iniciales y los de Valores en la Frontera.
Un problema de valores iniciales está gobernado por una ecuación diferencial de
orden n y un conjunto de n condiciones independientes todas ellas, válidas para el
mismo punto inicial. Si la ecuación (1) es la ecuación diferencial que define el
problema, y X = a es el punto inicial, puede aceptarse que las n condiciones
independientes son:
(3)
Se tratará de obtener una solución particular de (1) que verifique (3) como se
presenta en la gráfica
43
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Por el contrario, en los problemas de valores en la frontera deben establecerse
condiciones de frontera en todos y cada uno de los puntos que constituyen la
frontera del dominio de soluciones del problema. En particular en el espacio de
una dimensión, hay dos puntos frontera, por ejemplo, X = a y X = b, si el dominio
de soluciones es el intervalo cerrado
; por esto mismo el orden
mínimo de la ecuación diferencial de un problema de valores en la frontera será
dos y como podemos observar en la siguiente gráfica:
44
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Básicamente la solución numérica de ecuaciones diferenciales consiste en
sustituir el dominio continuo de soluciones por uno discreto formado por puntos
aislados igualmente espaciados entre sí.
Así, en un problema de valores iniciales, el dominio de definición de soluciones
se sustituye por el conjunto infinito numerable de puntos,
X 0  a, X 1  X 0  h, X 2  X 0  2h, X 3  X 0  3h,...
y en el caso de valores en la frontera se sustituye el intervalo
conjunto finito de puntos
por el
X 0  a, X 1  X 0  h, X 2  X 0  2h, X 3  X 0  3h,..., X n  X 0  nh  b
Obtenidos, al dividir el intervalo en n partes iguales.
La presentación gráfica muestra estas dos cosas:
45
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Discretización del dominio de definición de soluciones
Habiéndose discretizado el problema continuo, se tratará de obtener la solución
para los puntos considerados, y esto se hará, en general, sustituyendo las
derivadas que aparezcan en la ecuación diferencial con condiciones iniciales o en
la frontera, por fórmulas numéricas de derivación que proporcionen
aproximaciones a las derivadas o tratando de integrar la ecuación diferencial y
reemplazando al proceso de integración por una fórmula numérica que se
aproxime a la integral.
Una vez hecho esto, la ecuación obtenida expresada en diferencias finitas (ya que
se han sustituido diferenciales por incrementos finitos) se aplica repetidamente en
todos los puntos pivotes donde se desconoce la solución para llegar a una
solución aproximada del problema.
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Solución numérica de problemas de valores iniciales
Un problema ordinario de valores iniciales está gobernado por una ecuación
diferencial ordinaria y un conjunto de condiciones, todas ellas válidas para el
mismo punto inicial, X  X 0 . La solución numérica de este problema consiste en
evaluar la integral de Y(X) en todos los puntos pivotes de su intervalo de
definición, los que estarán igualmente espaciados en h unidades. Estos valores se
obtienen paso a paso, a partir del punto inicial, lo que da el nombre de métodos de
integración paso a paso.
La evaluación de Y en los puntos pivote
X 1  X 0  ih , para i = 1, 2, 3,...
Se lleva a cabo usando fórmulas de recurrencia, que usan los valores conocidos
de Y en las estaciones anteriores.
X i 1 , X i 2 , X i 3 ,...
Así, para aplicar estas ecuaciones, es necesario entonces evaluar muy
aproximadamente a Y(X) en algunos de los primeros puntos pivotes (uno a
cuatro); y esto se hace usualmente desarrollando f(X) en serie de potencias.
EJEMPLO
Encuentre la solución del siguiente problema de valores iniciales por medio de los
primeros cuatro términos de la serie de Taylor para X = 0.1, 0.2, 0.3, 0.4 y 0.5.
Y (0) = 1
47
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SOLUCIÓN
Se obtienen las derivadas sucesivas:
Sustituyendo valores:
Por lo que:
Evaluando para cada valor de X en esta última ecuación se tiene:
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X
Y
0
1
0.1
1.055375
0.2
1.123000
0.3
1.205125
0.4
1.304000
0.5
1.421875
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Lección 20 Métodos de integración de Euler
La solución de un problema de valores iniciales se obtiene generalmente paso a paso por
métodos de integración hacia adelante, lo que permite valuar Yi+1 tan pronto se conozcan
los valores Yi, Yi+1 de Y en uno o más pivotes anteriores. El más simple de estos métodos,
debido a Euler, es aplicable a ecuaciones de primer orden y no requiere conocer la
solución en los pivotes anteriores.
Dado el problema de valores iniciales
Se
debe
integrar
la
ecuación
diferencial
en
el
intervalo
y evaluar la integral aplicando la fórmula de
integración numérica:
(4)
Entonces
De donde se obtiene la siguiente expresión aproximada llamada fórmula de Euler
Yi 1  Yi  hf ( X i , Yi )
(5)
EJEMPLO
Resolver el problema del ejemplo anterior aplicando el método de Euler.
50
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Se tiene
Yi 1  Yi  hf ( X i , Yi )
Donde
Entonces
(6)
En la tabla aparecen tabulados los valores de la solución aproximada obtenidos a partir de
la condición inicial conocida Y0 (0) = 1
Xi Yi
Yi solución exacta
0.0 1.000 000 1.000 000
0.1 1.050 000 1.055 409
0.2 1.110 638 1.123 596
0.3 1.184 649 1.208 459
0.4 1.275 870 1.315 789
0.5 1.389 819 1.454 545
51
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Lección 21 Método de Runge – Kutta
En la sección anterior se estableció que el método de Euler para resolver la ecuación
diferencial de primer orden
Y' = f(X, Y) (7)
Con la condición inicial
Y ( X 0 )  Y0 (8)
Consiste en aplicar repetidamente la fórmula de recurrencia
Yn1  Yn  hf ( X n , Yn ) donde n = 1, 2, 3, ... (9)
Para determinar la solución de la ecuación diferencial en
X  X 1 , X 2 , X 3 ,...
Sustituyendo la función f(X, Y) dada en (7), en (9), se tiene que
Yn1  Yn  hYn' (10)
Expresión que indica que el método de Euler consiste gráficamente, en ir de un valor Yn
conocido de la solución de la ecuación diferencial (7) en un punto, al siguiente por medio
de la tangente T1 a la curva integral Y = Y(X) en el mismo punto de la solución conocida,
como se muestra en la siguiente figura.
52
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De este planteamiento gráfico puede verse que una mejor aproximación a la solución de
la ecuación diferencial se obtendría si en vez de ir por la tangente T1 para determinar la
solución en el siguiente Punto Pivote, se utiliza una secante con pendiente igual al
promedio de pendientes de la curva integral en los puntos coordenados (Xn, Yn), (Xn+1,
Yn+1) en donde Xn+1 y Yn+1 pueden estimarse con el procedimiento normal de Euler, como
se muestra en la siguiente gráfica:
Con lo anterior se obtendría un método mejorado de Euler con error del orden de
definido por la expresión
(11)
En donde f (Xn+1, Yn+1) es el valor de la función f(X, Y) para:
X = Xn+1
Y  Yn  hf ( X n , Yn )
53
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Observando las expresiones para resolver la ecuación diferencial, puede decirse que
ambas consisten en aplicar la fórmula de recurrencia
(12)
En donde
(13)
En el método de Euler y
(14)
En lo que
Y' = f(X, Y) (15)
En el método de Euler Mejorado.
Como se ve, estos métodos tienen los siguientes puntos en común:
1. Son métodos de un paso; para determinar Yn+1 se necesita conocer únicamente
los valores de Xn y Yn del punto anterior.
2. No requieren evaluar ninguna derivada, sino únicamente valores de la función f(X,
Y).
Estas características dan origen a una gran variedad de métodos conocidos como de
Runge-Kutta. La diferencia entre ellos cosiste en la forma como se define la función
que aparece en la expresión (12).
La ventaja de los métodos de Runge-Kutta con respecto al uso de la serie de Taylor, que
es también un método de un paso, está expresado en el punto (2) anterior; es decir, los
métodos de Runge-Kutta requieren sólo de la función f(X, Y) y de ninguna derivada,
mientras que la serie de Taylor sí requiere de la evaluación de derivadas. Esto hace que,
en la práctica, la aplicación de los métodos de Runge-Kutta sean más simples que el uso
de la serie de Taylor.
54
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Un método de Runge-Kutta para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de primer
orden con error del orden de
, de uso tan frecuente que en la literatura sobre métodos
numéricos se le llama simplemente el Método de Runge-Kutta, se dará a conocer sin
demostrar y consiste en aplicar la ecuación de recurrencia (12) en donde la función
está dada por la expresión:
(16)
En el cual
(17)
La ecuación (16) se obtiene haciendo un promedio de las cuatro pendientes, k1 , k 2 , k 3 , k 4
a la curva integral, en forma semejante a como se procedió con las pendientes de las
tangentes T1 y T2 que dieron lugar a (11)
EJEMPLO
Resolver
Aplicando el método de Runge-Kutta.
SOLUCIÓN
De la condición inicial del problema se tiene que X = 0, y Y = 1; además, h = 0.1.
Sustituyendo estos valores en (17) se obtiene:
55
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Llevando estos valores a (16) y el resultante a (12) se obtiene que para X = 0.1 la solución
del problema es
Los valores de las ki para este punto obtenido de la solución, son:
Luego
Continuando de la misma forma se obtiene la solución que se muestra en la siguiente
tabla:
56
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X
Y
k1
k2
k3
k4
0.0
1.0000
0.5000
0.5516
0.5544
0.6127
0.1
1.0554
0.6126
0.6782
0.6823
0.7575
0.2
1.1236
0.7575
0.8431
0.8494
0.9494
0.3
1.2085
0.9492
1.0647
1.0745
1.2121
0.4
1.3158
1.2119
1.3735
1.3896
1.5872
0.5
1.4545
1.5868
1.8234
1.8517
2.1509
57
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Lección 22 Métodos multipasos
• Métodos de un paso• Métodos en varios pasos• Métodos de predictor y corrector
• Método de Adams-BashforthlAdams-Moulton• Estabilidad de los métodos numéricos
Los métodos de Euler y de Runge-Kutta descritos en las seccionas anteriores son
ejemplos de los métodos de un paso. En ellos, se calcula cada valor sucesivo yn+1 sólo
con base en información acerca del valor inmediato anterior yn Por otra parte, un método
en. varios pasos o continuo utiliza los valores de varios pasos calculados con anterioridad
para obtener el valor de yn+1 Hay numerosas fórmulas aplicables en la aproximación de
soluciones de ecuaciones diferenciales. Como no intentamos describir el vasto campo de
los procedimientos numéricos, sólo presentaremos uno de esos métodos. Éste, al igual
que la fórmula de Euler mejorada, es un método de predicción-corrección; esto es, se usa
una fórmula para predecir un valor y*n+1, que a su vez se aplica para obtener un valor
corregido de Yn1
Método de Adams-Bashforth/Adams-Moulton Uno de los métodos en multipasos más
populares es el método de Adams-Bashforth/Adams-Moulton de cuarto orden. En este
método, la predicción es la fórmula de Adams-Bashforth:
(1)
para n ≥ 3. Luego se sustituye el valor de y*n+1 en la corrección Adams-Moulton
(2)
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Obsérvese que la fórmula (1) requiere que se conozcan los valores de yo, y1, y2 y y3 para
obtener el de y4. Por supuesto, el valor de yo es la condición inicial dada. Como el error
local de truncamiento en el método de Adams-Bashforth/Adams-Moulton es O(h5), los
valores de Y1 , Y2 y Y3 se suelen calcular con un método que tenga la misma propiedad de
error, como la fórmula de Runge-Kutta de cuarto orden.
EJEMPLO 1 Método de Adams-Bashforth/Adams-Moulton
Use el método de Adams-Bashforth/Adams-Moulton con h = 0.2 para llegar a una aproximación a y(0. 8) de la solución de
y' = x +y -1, y(0)=1.
SOLUCIÓN Dado que el tamaño de paso es h = 0.2, entonces Y4 aproximará y(0.8). Para
comenzar aplicamos el método de Runge-Kutta, con X0 = 0, Y0 = 1 y h = 0.2 con lo cual
Y1 = 1.02140000,
Y2 = 1.09181796,
Y3 = 1.22210646.
Ahora definimos X0 = 0, X1, = 0.2, X2 = 0.4, X3 = 0.6 y f(x, y) = x + y - 1, y obtenemos
Y’0 = f(X0,Y0) = (0) + (1) - 1 = 0
Y'1 = f (X1,Y1) = (0.2) + (1.02140000) -1 = 0.22140000
Y′2 = f (X2, Y2) = (0.4) + (1.09181796) - 1 = 0.49181796
Y′3 = f (X3, Y3) = (0.6) + (1.22210646) - 1 = 0.82210646.
Con los valores anteriores, la predicción, ecuación (1) da
Para usar la corrección, ecuación (2), necesitamos primero
Por último, la ecuación (2) da
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Estabilidad de los métodos numéricos Un aspecto importante del uso de métodos
numéricos para aproximar la solución de un problema de valor inicial es la estabilidad de
los mismos. En términos sencillos, un método numérico es estable si cambios pequeños
en la condición inicial sólo generan pequeñas modificaciones en la solución calculada. Se
dice que un método numérico es inestable si no es estable. La importancia de la
estabilidad radica en que en cada paso subsecuente de una técnica numérica, en realidad
se comienza de nuevo con un nuevo problema de valor inicial en que la condición inicial
es el valor aproximado de la solución calculado en la etapa anterior. Debido a la presencia
del error de redondeo, casi con seguridad este valor varía respecto del valor real de la
solución, cuando menos un poco. Además del error de redondeo, otra fuente común de
error se presenta en la condición inicial misma; con frecuencia, en las aplicaciones físicas
los datos se obtienen con mediciones imprecisas.
Un posible método para detectar la inestabilidad de la solución numérica de cierto
problema de valor inicial, es comparar las soluciones aproximadas que se obtienen al
disminuir los tamaños de etapa utilizados. Si el método numérico es inestable, el error
puede aumentar con tamaños mentores del paso. Otro modo de comprobar la estabilidad
es observar qué sucede a las soluciones cuando se perturba ligeramente la condición
inicial; por ejemplo, al cambiar y(0) = 1 a y(0) = 0.999.
Para conocer una descripción detallada y precisa de la estabilidad, consúltese un texto de
análisis numérico. En general, todos los métodos descritos en este capítulo tienen buenas
características de estabilidad.
Ventajas y desventajas de los métodos multipasos En la selección de un método para
resolver numéricamente una ecuación diferencial intervienen muchos aspectos. Los
métodos en un paso -en especial el de Runge-Kutta- suelen usarse por su exactitud y
facilidad de programación; sin embargo, una de sus mayores desventajas es que el lado
derecho de la ecuación diferencial debe evaluarse muchas veces en cada etapa. Por
ejemplo, para el método de Runge-Kutta de cuarto orden se necesitan cuatro
evaluaciones de función en cada paso (véase el problema 21 en los ejercicios 9.3). Por
otra parte, si se han calculado y guardado las evaluaciones de función en la etapa
anterior, con un método multipasos sólo se necesita una evaluación de función por paso.
Esto puede originar grandes ahorros de tiempo y costo.
Por ejemplo, para resolver numéricamente y' = f(x, y), y(xo) = yo con el método de
Runge-Kutta de cuarto orden en n pasos, se necesitan 4n evaluaciones de función. Con el
método de Adams-Bashforth se necesitan 16 evaluaciones de función para iniciar con el
método de Runge-Kutta de cuarto orden y n - 4 evaluaciones para los pasos de
Adams-Bashforth; el_ total es n + 12 evaluaciones de función. En general, el método de
Adams-Bashforth requiere un poco más de la cuarta parte de las evaluaciones de función
que precisa el método de Runge-Kutta de cuarto orden. Si la evaluación de f(x, y) es
complicada, el método multipasos será más eficiente. Otro asunto que interviene en los
métodos en multipasos es la cantidad de veces que se debe repetir la de Adams-Moulton
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en cada paso. Cada que se usa el corrector ocurre otra evaluación de función, con lo cual
aumenta la precisión al costo de perder una de las ventajas del método en varios pasos.
En la práctica, el corrector sólo se calcula una vez, y si el valor de yn+1 cambia mucho, se
reinicia todo el problema con un tamaño menor de paso. Con frecuencia, esto es la base
de los métodos de tamaño variable de paso, cuya descripción sale del propósito de este
libro.
EJERCICIOS
1. Dada la ecuación diferencial:
Usa el método de Euler para aproximar
paso del proceso iterativo.
SOLUCION:
tomando
en cada
tomando
en cada
.
2. Dada la ecuación diferencial:
Usa el método de Euler para aproximar
paso del proceso iterativo.
SOLUCION:
.
3. Dada la ecuación diferencial:
Usa el método de Euler mejorado para aproximar
en cada paso del proceso iterativo.
tomando
SOLUCION:
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4. Dada la ecuación diferencial:
Usa el método de Euler mejorado para aproximar
en cada paso del proceso iterativo.
tomando
SOLUCION:
5. Dada la ecuación diferencial:
Usa el método de Runge-Kutta para aproximar
cada paso del proceso iterativo.
tomando
en
tomando
en
SOLUCION:
6. Dada la ecuación diferencial:
Usa el método de Runge-Kutta para aproximar
cada paso del proceso iterativo.
SOLUCION:
7. Determine la solución exacta del problema de valor inicial en el ejemplo 1.
Compare los valores exactos de y(0.2), y(0.4), y(0.6) y y(0.8) con las
aproximaciones y1, y2, y3 y y4.
8. Escriba un programa de computación para el método de
Adams-Bashforth/Adams-Moulton.
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AUTOEVALUACION
Ejercicio
La función
tiene una raíz en
. Empezando con
y
, usar ocho iteraciones del método de la bisección para aproximar la raíz.
Tabular el error después de cada iteración y también las estimaciones del error máximo.
¿El error real siempre es menos que la estimación del error máximo? Los errores reales
continúan disminuyendo?
Ejercicio
Encontrar la raíz cerca de
de
empezando con
.
¿Cuán exacta es la estimación después de cuatro iteraciones del método
de Newton? ¿Cuántas iteraciones requiere el método de la bisección
para lograr la misma exactitud? Tabule el número de dígitos correctos en
cada iteracción del método de Newton y observe si se duplican cada vez.
(SOLUCION)
Ejercicio
Usando el método de eliminación gaussiana con pivoteo y sustitución regresiva, resuelva
el siguiente sistema de ecuaciones:
Calcule el determinante y la descomposición LU de la matriz de coeficientes.
Ejercicio
Utilizar el método de reducción de Crout para obtener una descomposición
matriz:
de la
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Ejercicio
Dado que
,
y
polinomio de Lagrange el logaritmo natural de cada entero desde
anterior junto con el error en cada punto.
, interpole con un
hasta
. Tabule lo
Ejercicio
Dados los datos:
1
5,04
2
8,12
3
10,64
4
13,18
5
16,20
6
20,04
Realizar un ajuste por mínimos cuadrados de los mismos a una recta y a una
cuadrática. ¿Cuál de los dos ajustes es mejor?
Ejercicio
La siguiente tabla tiene valores para
regla trapezoidal con
,
y
. Integre entre
y
usando la
.
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Ejercicio
Usa la integración de Romberg para evaluar la integral de
entre
y
. Lleva seis decimales y continúa hasta que no haya cambio en la quinta cifra
decimal. Compare con el valor analítico.
.
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BIBLIOGRAFIA
1. Burden, R.; Faires, D. Análisis Numérico. ED. Thomson, 6a. ed., 1998.
2. Chapra Steven y Canale R. Métodos Numéricos para Ingenieros. Cuarta edición
Ed. Mc Graw Hill. México.
3. De Levie, Robert. Advanced Excel for Scientific Data Analysis. Oxford University
Press, 2004.
4. Liengme, B.; A Guide to Microsoft Excel 2002 for Scientists and Engineers.
Butterworth Heinemann, 3rd, ed. 2002.
5. Mathews, J; Fink, K. Métodos Numéricos con MATLAB. Prentice Hall, 3a. ed., 2000.
6. Nakamura Shoichiro. Métodos Numéricos Aplicados con Software. Ed. Prentice Hall
Hispanoamericana, México.
7. Press, W.; Teukolsky, S.; Vterling, W.; Flannery, B. Numerical Recipes in C.
Cambridge University Press, 2nd ed., 1992.
(VER COMPLEMENTARIA EN GUIA DE MODULO).
DIRECCIONES DE SITIOS WEB:
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1. http://www.mhhe.com/chapra que contiene recursos educativos adicionales que están a la
vanguardia.
2. www.uacj.mx/gtapia/AN/Unidad2/regla.htm
3. www.mitecnologico.com/Main/ErroresDeRedondeo.
4. www.virtualum.edu.co/antiguo/.../error/deferror.htm
5. www.wikipedia.org/wiki/Método_de_bisección
6. www.monografias.com/.../descomposicion-lu.shtm
7. www.uaem.mx/posgrado/mcruz/cursos/mn/euler
8. html.rincondelvago.com/metodo-de-minimos-cuadrados-ordinarios
9. www.scribd.com/doc/2993252/branchandbound
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