1.- SISTEMAS DE REFERENCIA DE GALILEO

UaEN – UAZ
Reporte No. 007/NFM-01/0331012012
Enero 2012
Teoría de la Relatividad
Restringida
o Especial
Dr. Héctor René Vega-Carrillo
Unidad Académica de Estudios Nucleares de la Universidad Autónoma de Zacatecas
C. Ciprés # 10
Fracc. La Peñuela
98068 Zacatecas, Zac
Buzón electrónico: [email protected]
Portal: http://www.uaz.edu.mx/neutron/fermi.html
Vega-Carrillo, H.R. (2012). Teoría de la relatividad restringida o especial. Notas para el curso de Física Moderna.,
Unidad Académica de Ingeniería Eléctrica de la UAZ. (Versión 1.2).
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Contenido
1.- SISTEMAS DE REFERENCIA DE GALILEO
4
2.- TRANSFORMACIÓN DE GALILEO
5
3.- BÚSQUEDA DEL SISTEMA DE REFERENCIA ABSOLUTO
7
4.- CINEMATICA RELATIVISTA
12
4.1.- Principio fundamental de la relatividad restringida
4.2.- Tranformación de Lorentz
4.3.- Consecuencias de las fórmulas de Lorentz.
5.- DINÁMICA RELATIVISTA
12
13
19
26
5.1.- Ecuación del movimiento y relatividad de la masa.
5.2.- Energía Cinética
26
30
6.- RECAPITULANDO
35
REFERENCIAS
37
2
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Índice de figuras
Figura 1.- Movimiento relativo de un sistema de referencia respecto a otro ......................... 5
Figura 2.- Experimento de Michelson-Morley ....................................................................... 8
Figura 3.- Relación de los diferentes parámetros .................................................................. 9
Figura 4.- Diagrama esquemático de la variación de la masa con la velocidad ..................... 30
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1.- SISTEMAS DE REFERENCIA DE GALILEO
Las leyes de la Mecánica Clásica son válidas únicamente en el caso de que se
elija un sistema de referencia en el que se cumpla el principio de inercia, es
decir, un sistema en el que un punto material, no sometido a fuerza alguna,
permanezca en reposo o esté animado de un movimiento rectilíneo y
uniforme, con relación a este sistema. A estos sistemas, se les llama sistemas
de Galileo. Si se considera uno de estos, cualquier otro sistema que este
animado de un movimiento de traslación rectilínea y uniforme, con relación al
primero, es también un sistema de Galileo.
Al pasar de un sistema de Galileo a otro, la aceleración es invariante y sigue
siendo válido el principio fundamental de la Mecánica, que hace intervenir
precisamente esta magnitud.
En Mecánica clásica el principio de la relatividad se enuncia de la siguiente
forma: las leyes de la Mecánica son válidas cualquiera que sea el sistema de
Galileo, con respecto al cuál queden referidas. Esto implica que todos los
sistemas de referencia Galileanos son equivalentes y no es posible considerar
que uno de estos constituya un sistema de referencia absoluto. No existe
propiedad mecánica alguna que permita poner de manifiesto una velocidad
absoluta; únicamente se pueden medir las velocidades relativas y las
variaciones de velocidad (aceleraciones). Así pues la noción de velocidad es
una noción esencialmente relativa.
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2.- TRANSFORMACIÓN DE GALILEO
Dado un sistema de referencia, la posición de un punto móvil en el espacio
queda determinada por sus tres coordenadas espaciales x, y, z, que son función
de una coordenada de tiempo t.
Consideremos un primer sistema de Galileo y sean x, y, z, t, las coordenadas
relativas a este sistema.
Consideremos, igualmente, un segundo sistema,
animado, con relación al primero, de un movimiento de traslación rectilíneo,

uniforme, de velocidad V ; sean x', y', z', t', las coordenadas relativas a este
nuevo sistema. Con el fin de hacer este análisis más simple supondremos que

los ejes de referencia coinciden en el instante inicial (t = t' = 0) y la velocidad V
es igual a V i ; los ejes O i y O' i conservan, por tanto, el mismo soporte, tal
situación se muestra en la figura 1.
z
z'

V
V t
O
O'
x
x'
y
y'
Figura 1.- Movimiento relativo de un sistema de referencia respecto a otro
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Las fórmulas de transformación que ligan las coordenadas de los dos sistemas
son:
x'  x  Vt
y'  y
z'  z
(1)
t'  t
A estas expresiones se les conoce como fórmulas de transformación de Galileo
con ellas se permite pasar del movimiento en un sistema al movimiento en el
otro. Como podrá notarse en estas expresiones, el tiempo es un invariante, es
decir, que tiene el mismo valor para todos los sistemas de referencia.
La noción de simultaneidad tiene un sentido absoluto, lo que significa que dos
acontecimientos simultáneos para un observador, los son también para otro
observador, cualquiera que sea su movimiento con relación al primero. De la
misma forma, la distancia que separa dos acontecimientos simultáneos es un
invariante; no depende del sistema de referencia utilizado por la medida.
Las fórmulas de transformación de las velocidades son las siguientes:
dx'

dt
dy'

dt
dz'

dt
dx
V
dt
dy
dt
dz
dt
6
(2)
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3.- BÚSQUEDA DEL SISTEMA DE REFERENCIA ABSOLUTO
Para explicar la propagación de las ondas electromagnéticas, los físicos del siglo
XIX creyeron necesario apoyarse en la noción del éter (ente al que se le
atribuían propiedades paradójicas, pues era tan sutil como para no ser
detectado, ni medido y a la vez era tan rígido (más que cualquier sólido) como
para servir como medio de propagación para la luz). Siguiendo esta idea,
llegaron a creer que el sistema de Galileo, ligado a este éter hipotético, era un
sistema de referencia excepcional, que podría considerarse como absoluto; en
el vacío, la luz se propagaba con una velocidad perfectamente determinada
con relación al éter.
Naturalmente, era necesario precisar este sistema de referencia y,
especialmente su movimiento con relación a la Tierra.
Para llegar a resolver éste problema del movimiento del éter, resultaría
decisivo el experimento de Michelson-Morley[1]. Entre 1879 y 1905 este
experimento se realizó varias veces aumentando cada vez la precisión. En este
experimento se utilizó un interferómetro de 3 espejos M0, M1 y M2, de los
cuales, el primero es una lámina semitransparente como se muestra en la
Figura 2.
La luz procede de una fuente luminosa S y se trasmite parcialmente por la
lamina M0. Los rayos de luz se reflejan respectivamente en los espejos M1 y
M2, situados en planos perpendiculares entre si, e interfieren en el plano focal
de una lente L, después de haber sido nuevamente trasmitidos y reflejados por
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la lámina M0. La disposición de las franjas de interferencia así obtenidas,
depende de la diferencia de camino óptico de los rayos, es decir, de la distancia
recorrida y de la velocidad propagación de la luz con relación al sistema.
M2
l2
M0
S
M1
O
l1
45o
L
Figura 2.- Experimento de Michelson-Morley
Admitiendo como verdadera la hipótesis de la existencia del éter y
suponiendo con ello que el interferómetro, es decir la Tierra, se desplaza con

una velocidad V con relación al éter y que está orientado de forma tal que
tenga la dirección SO, calculemos la diferencia de tiempo correspondiente a las
dos trayectorias, si l1 = l2 = l. Para ello, consideremos el sistema de ejes ligado
al éter (X, Y, Z) y ligado al interferómetro (x, y, z), como en la figura 3.
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Y
y

Vt
x
O
X
ct
Figura 3.- Relación de los diferentes parámetros
Suponiendo válidas las fórmulas de composición de las velocidades de Galileo,
y que la velocidad de la luz es c, en el sistema X Y Z, según el eje Ox, valdrá ésta
c - V, y c + V en el sentido opuesto y
c2  V2 en la dirección Oy.
El tiempo transcurrido, correspondiente a la trayectoria de ida y vuelta O M1 O
es,
t1 
2lc
l
l
,

 2
cV
cV
c  V2
(3)
y el tiempo transcurrido, correspondiente a la trayectoria de ida y vuelta O M2
O es,
t2 
2l
c2  V2
9
.
(4)
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Así,
t1  t 2 
c
c2  V2
.
c2  V2
(5)
Si se hace girar el interferómetro en el plano xOy, cambia esta diferencia y el
sistema de franjas de interferencia debería modificarse. Por ejemplo, si la
rotación es de 90o, se tiene:
t1  t 2  2 l
'
'
c2  V2
c V
2
 c
2
,
(6)
es decir, una diferencia igual y de signo contrario.
Si la hipótesis de que el Éter existe fuera verdadera, entonces es lógico suponer
que la rotación del interferómetro debería producir un desplazamiento de las
franjas de interferencia y que éste podría depender de la velocidad de la Tierra
con relación del éter. Sin embargo el experimento demostró que el sistema de
franjas permanecía invariable, por lo tanto la conclusión empírica implica que
el Éter no existe.[1]
Este resultado, también podía tener otra explicación: 1) que el Éter existe pero
el experimento no arrojó un desplazamiento de las franjas; para poder explicar
este hecho, se supuso que en el momento en que se realizó el experimento, la
velocidad de la Tierra con relación al éter era nula. Por lo que se repitió este
experimento en otra época del año, pero los resultados experimentales fueron
los mismos.
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Esto mismo ocurre si el experimento se realiza en cualquier latitud y longitud
sobre la Tierra y sin importar la época del año.
De hecho este tipo de
experimento se ha realizado en las estaciones espaciales la MIR de la antigua
Unión Soviética y el SKYLAB de los Estados Unidos y el resultado es el mismo:
no hay corrimiento de las franjas.
Esta situación trajo como conclusión que todo ocurría como si la velocidad de
la luz con relación a la Tierra fuera independiente de la velocidad de
desplazamiento de ésta, encontrándose, además el mismo resultado para
cualquier dirección.
La evidencia experimental encontrada por el experimento de Michelson y
Morley alcanza una conclusión irrefutable y ésta se podría reducir a una sola
frase: el éter no existe.
Tal situación le permitió a Einstein hacer una revisión profunda de los
conceptos clásicos encontrando un nuevo principio reportado en 1905[2] que
eliminó las inconsistencias.
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4.- CINEMATICA RELATIVISTA
4.1.- Postulados de la relatividad restringida o especial
Las leyes de la Mecánica son válidas con relación a cualquier sistema de
referencia de Galileo.
Generalizando esta propiedad a todas las leyes de la Física, Einstein enunció el
principio fundamental de la relatividad restringida, también llamada relatividad
especial: Desde el punto de vista de la expresión de todas las leyes de la
Física, todos los sistemas de referencia de Galileo son equivalentes.
Este principio de relatividad significa que los fenómenos físicos son de un
carácter tal que no es posible introducir la noción de movimiento absoluto.
Tiene, como consecuencia inmediata, la invariancia de las ecuaciones de
Maxwell y la constancia de la velocidad de la luz, en el vacío, con relación a
cualquier sistema Galileano.
El resultado negativo del experimento de Michelson y Morley se explica
entonces inmediatamente, puesto que la velocidad de propagación de la luz es
la misma en todas las direcciones y cualquiera que sea el movimiento de
traslación de la Tierra.
Pero resulta inmediatamente que esta invarianza de la velocidad de la luz está
en contradicción con la ley de composición de las velocidades de la Mecánica
clásica. Einstein vio claramente que esta contradicción procedía de una
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concepción demasiado estrecha de las nociones de espacio y de tiempo. Para
que la medida de la velocidad de la luz sea independiente del sistema de
referencia Galileano, había que admitir otras fórmulas de transformación
distintas de las de Galileo y en particular abandonar el postulado de la
invarianza del tiempo.
Los postulados de Einstein en su artículo de 1905[2] acerca de la teoría de la
relatividad especial o teoría de la relatividad restringida son:
1. Las leyes de la Física son las mismas (invariantes) para todos los
observadores que se encuentren en sistemas inerciales (no acelerados)
de referencia.
2. La velocidad de la luz en el vacío medida por cualquier observador
inercial es independiente del movimiento de la fuente y es igual a:
c
1
 2.99792458 x 10 8
o o
m
seg
4.2.- Tranformación de Lorentz
Hallemos las fórmulas de transformación que son compatibles con el principio
de relatividad.
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Primeramente, para que los espacios ligados a un sistema de Galileo sean
homogéneos (que significa que las leyes físicas no se modifican cuando se
cambia el origen de coordenadas), es preciso que estas fórmulas de
transformación sean lineales.
Consideremos dos sistemas de referencia galileanos Oxyz y Ox'y'z', sean t y t'
los tiempos correspondientes. Si, en el instante inicial t = t' = 0, los orígenes O
y O' son coincidentes, se pueden escribir las fórmulas de transformación bajo
la forma siguiente:
x  a 1 x '  b1 y '  c1 z '  d 1 t '
y  a 2 x '  b2 y'  c2z'  d 2 t '
z  a 3 x '  b3 y'  c3z '  d 3 t '
(7)
t  a 4 x '  b4 y'  c4z'  d4 t '
Supongamos que el sistema O'x'y'z' esté animado, con relación al sistema Oxyz
de un movimiento de traslación uniforme según el eje Ox, de velocidad

V  V i .
Postularemos que, en estas condiciones el sistema S se está
moviendo con una velocidad  V i , con relación al sistema S'.
Teniendo en cuenta la disposición de los ejes, es preciso por una parte que y =
0 cuando y' = 0, cualesquiera que sean x', y', y t'.
Se debe tener, por tanto,
a2 = c 2 = d 2 = a 3 = b 3 = d 3 = 0
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Además, las relaciones que dan x y t deben ser independientes de y' y z', pues
todos los puntos de un mismo plano perpendicular a Ox son equivalentes.
De donde:
b1 = c1 = b4 = c4 = 0,
entonces,
x  a 1 x'  d1 t'
y  b 2 y'
(8)
z  c 3 z'
t  a 4 x'  d 4 t'
Si se invierten los papeles de los sistemas de referencia, las relaciones que ligan
a y e y' así como a z y z', deben seguir siendo las mismas ya que por simetría,

son independientes del sentido de la velocidad V . Se tiene, por tanto,
y'  b 2 y
(9)
z'  c 3 z
lo que implica que b2 = c3 = 1.
Para precisar la primera relación de (8), observemos que para x = 0, se tiene x'
= -V t'. De donde, sustituyéndola,
0 = - a1 V t' + d1 t',
o
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d1 = a1 V.
La primera relación de (8) se escribe entonces de la siguiente forma,
x = a1 (x' + V t').
(10)
De la misma manera, invirtiendo el papel de los sistemas se tiene que,
x' = a1 (x - V t),
(11)
puesto que la velocidad del sistema Oxyz, con relación a O'x'y'z', es  V i .
Si se aplica ahora el principio de la relatividad, es preciso expresar que la
velocidad de propagación de las ondas electromagnéticas es la misma en los
dos sistemas.
Si se supone que en el instante inicial (t = t' = 0), la onda se
emite desde el origen común de los ejes, esta se propaga con la misma
velocidad c en todas las direcciones y se debe tener:
x2 + y2 + z2 = c2t2
(12)
x'2 + y'2 + z'2 = c2t'2
(13)
y
En particular, a lo largo de los ejes Ox y O'x', se tendrá que,
x = ct
x' = ct'
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y remplazando en las ecuaciones (10) y (11), se encuentra que,
ct = a1(c t' +V t') = a1 t' (c + V)
ct' = a1(c t - V t) = a1 t (c - V)
Multiplicando, miembro a miembro, se obtiene que,
a1 
1
V2
1 2
c
De donde,
x
x'  V t '
1
V2
c2
Reemplazando en la ecuación (11), se obtiene que,




x'  V t '
1

x' 
 V t

2 
2
V
V

1 2  1 2

c 
c
de donde,
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V
x'
2
c
t
V2
1 2
c
t' 
(14)
Por lo tanto las fórmulas de transformación de Lorentz son,
x'  Vt'
x
V2
1 2
c
y  y'
z  z'
V
x'
c2
V2
1 2
c
t' 
t
Se
comprueba
(15)
inmediatamente
que,
aplicando
estas
fórmulas
de
transformación a la ecuación (12), se obtiene la ecuación (13).
Inversamente, resolviendo la ecuación (15) con relación a x', y', z' y t', se tiene,
xVt
x' 
1
V2
c2
y'  y
z'  z
(16)
V
x
c2
t' 
V2
1 2
c
t
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lo que se obtiene directamente remplazando V por -V, en (15).
En lo sucesivo, adoptaremos una notación abreviada,
 = V/c
Observaciones,
1. Cuando c   , se volverían a encontrar las fórmulas de transformación
de Galileo.
2. En los casos particulares en los que la velocidad V es muy pequeña con
relación a c, las fórmulas de Galileo son válidas como primera
aproximación.
4.3.- Consecuencias de las fórmulas de Lorentz
a) Contracción de la longitud
Consideremos una barra de longitud l 'o que se encuentre en reposo con
relación al sistema S'(O' x' y' z') que está dirigida según el eje O' x' y cuyos
extremos tengan como abscisas x 1' y x '2 .
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Si un observador ligado al sistema S(Oxyz) desea medir la longitud l de esta
barra, debe determinar las abscisas x1 y x2 del extremo de la barra, en un
mismo instante t.
Se tiene, por definición que,
l = x2 - x1
En virtud de la ecuación (16), se tiene:
x 1' 
x '2 
x1  V t
1  2
x2  V t
1  2
de donde
x '2  x11 
x 2  x1
1  2
Para el observador del sistema S, la longitud l de la barra es, por tanto,
l  l 'o 1   2
(17)
Esto demuestra que si un observador mide la longitud l de una barra en
movimiento con relación a sí mismo, encontrará una longitud aparente más
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pequeña que la longitud real. A éste fenómeno se le conoce como contracción
de la longitud.
b) Dilatación de los intervalos de tiempo
Consideremos un fenómeno que tenga lugar en un punto del sistema S', de
abscisa x', y sean t 1' y t '2 los instantes correspondientes al comienzo y al fin
de este intervalo. Para un observador del sistema S, los instantes t1 y t2 vienen
expresados por la última ecuación de (15).
t1 
t2 
V
x'
c2
1  2
t 1' 
V
x'
c2
1  2
t '2 
t '2  t 1'
t 2  t1 
1  2
o también*:
t '
t 
1  2
(18)
________________________________
* NOTA: Para expresar que el intervalo de tiempo t' es relativo a un fenómeno que se produce en un
punto fijo S', la ecuación (18) se puede escribir de la siguiente forma,
t 
t 'o
1  2
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La física detrás de la ecuación (18) implica que para un observador que
contempla un fenómeno que sucede en un punto que se desplaza con relación
a él, la duración de éste fenómeno es mayor que la que se mide en el sistema
ligado al punto; por lo que existe una dilatación en los intervalos de tiempo.
El principio de la relatividad especial implica que la medida del tiempo es
relativa ya que depende del sistema de referencia. La fórmula (18) expresa la
diferencia entre los intervalos de tiempo en los dos sistemas. Se llama tiempo
"propio" de un fenómeno, al tiempo medido por el reloj del sistema ligado al
punto en el que se produce el fenómeno. Si el movimiento del punto no es
rectilíneo y uniforme, se debe considerar el sistema ligado al punto durante un
tiempo infinitamente pequeño. El tiempo propio es entonces el resultado de
una integración.
c) Relatividad de la simultaneidad
Consideremos dos puntos fijos A y B de un sistema de referencia y supongamos
que se emite un destello instantáneo en cada uno de estos puntos. Por
definición se dirá que estos dos destellos son simultáneos cuando un
observador M, colocado en el centro de AB, reciba en el mismo instante las dos
señales luminosas emitidas en A y B.
Observemos que esta definición de la simultaneidad permite precisar la forma
de medir el tiempo en un sistema de referencia.
En efecto, si se elige un
movimiento tipo, llamado reloj, cuyas indicaciones deben servir para medir el
paso del tiempo en el punto en el que se encuentra, y si se colocan dos relojes
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idénticos en A y B, se puede comprobar si estos dan simultáneamente la misma
indicación, colocándose en el punto medio M. Se dice entonces que estos
relojes marchan sincrónicamente. Basándose en la invariancia de la velocidad
de la luz, se demuestra fácilmente que dos relojes en sincronismo con un
tercero, son igualmente síncronos entre sí.
Es posible colocar entonces, en cada uno de los puntos de un sistema de
referencia, un reloj que marche en sincronismo con todos los demás; estos
relojes síncronos miden, por tanto, el tiempo en cada punto del sistema.
Se puede plantear ahora la siguiente pregunta: ¿Dos acontecimientos
simultáneos en un sistema de referencia, son igualmente simultáneos con
relación a otro sistema?
Consideremos dos acontecimientos que tienen lugar simultáneamente en dos
puntos de abscisa x1' y x '2 en el sistema S'. Para un observador del sistema
S, estos dos acontecimientos se producen en los instantes siguientes (según la
ecuación (15)),
t1 
t2 
V '
x1
c2
1  2
t' 
V '
x2
c2
1  2
t' 
de donde,
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t1  t 2 
V
2
c
1 
2
( x1'  x'2 ) .
Estos dos acontecimientos no ocurrirán simultáneamente para el observador
del sistema S y la noción de simultaneidad es, por tanto, relativa.
d) Transformación de velocidades
r
Consideremos un punto animado de una velocidad v' con relación al sistema
S’.
v' i 
dx'
dt '
v' j 
dy'
dt '
v' k 
dz'
dt '
Busquemos la velocidad de ese punto con relación al sistema S. Utilizando las
fórmulas de transformación (15), se encuentra lo siguiente:
dx 
1
1  2
( dx '  V dt '),
dy  dy ',
dz  dz '.
y
dt 
V 
1
V 


dt '  2 dx' 
1  2 v 'i '  dt '




c
c
1  2 
1  2 
1
De donde,
24
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v 'i '  V
dx 
v i 
i
V
dt
1  2 v 'i '
c
dy 
v j 
j
dt
dz 
v k 
k
dt
v 'j'
V
1  2 v 'i '
c
v 'k '
V
1  2 v 'i '
c
1  2
(19)
1  2


Éstas son también las fórmulas de composición de dos velocidades V y v' .
Observaciones
1.- Si v i ' = c, se encuentra v i = c, lo que está, evidentemente, de acuerdo con
el principio de la relatividad.
2.- Si se hiciera c =  , se volvería a encontrar la ley clásica de composición
de las velocidades: (Las fórmulas 19 se convertirían en v i  v 'i '  V ,
v j  v 'j' , v k  v 'k ' )
  
v  v'  V
3.- Cuando las velocidades son muy pequeñas al lado de c, la ley clásica es
válida con mucha aproximación. Es el caso de la Mecánica clásica.
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5.- DINÁMICA RELATIVISTA
5.1.- Ecuación del movimiento y relatividad de la masa
En Mecánica clásica, la ecuación fundamental de la dinámica del punto
material es la segunda Ley de Newton es,


F ma,
(20)
o también, puesto que se supone constante la masa:
 d ( m v )
.
F
dt
(21)
Si imponemos la condición de una de estas ecuaciones permanezca invariante,
para una trasformación de Lorentz, podemos prever que la masa no
permanecerá constante cuando se pase de un sistema a otro.
Vamos a
encontrar las fórmulas de transformación de la masa.
Consideremos, para ello, el sistema S tal que, en el instante inicial, la velocidad

v del punto material esté dirigido según Ox ( v i  v,
v j  0,
v k  0 ) y el
sistema S'x, tal que el punto material esté inicialmente en reposo con relación
al mismo ( v i  v j  v k  0 ). Sea mo la masa del punto material en este
sistema.
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La ecuación (20) se descompone en:
F' i '  m o a ' i '
F' j'  m o a ' j'
(22)
F' k '  m o a ' k '
Aplicando las fórmulas de transformación de la aceleración y de la fuerza se
encuentra:
Fi  m o  3 a ' i '
 Fj  m o  2 a ' j'
(23)
 Fk  m o  2 a ' k '
Con

1
v2
1 2
c
,
es decir,
Fi  ( m o  3 ) a i
Fj  ( m o  ) a j
Fk  ( m o  ) a k
Se ve así que la fórmula de transformación de la masa depende del eje según el
cuál se considera el movimiento. Se debería distinguir, por tanto, entre una
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masa "longitudinal" (según la dirección de la velocidad) y una masa
"transversal" (según una dirección perpendicular a la velocidad). Esto nos
permite escribir la ecuación del movimiento bajo una forma vectorial simple.
Por el contrario, si se utiliza la ecuación (21), lo que viene a ser lo mismo que
definir la masa por intermedio de la cantidad de movimiento (definición de
Maupertius), se tiene que aplicando las fórmulas de transformación, se
encuentra,
Fi 
Fj 
Fk 
d ( m o  v i )
dt
d ( m o  v j )
dt
d ( m o  v k )
(24)
dt
En efecto, puesto que en el instante inicial v i  v y v j  v k  0 , se
comprueba que*:
d ( m o  v i )
dt
 m o v i
d v i
d
 mo 
dt
dt
 v2 2

v2 3
 m o 2  a i  m o  a i  m o   2   1 a i
c
c

 m o  3 a i
d(m o  v ĵ )
dt
m o v ĵ
d v ĵ
d
m o 
m o  a ĵ ,
dt
dt
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d ( m o  v k )
dt
 m o  a k .
y a partir de (24), se vuelven a encontrar las relaciones dadas en (23).
2
2
2
Como v 2  v i  v j  v k , se tiene,
d

dt
1

v2 
c 2 1  2 
c 

3
v i
2
d v i
dt

v i
c
2
 3 a i
Por consiguiente, las ecuaciones del movimiento pueden ponerse bajo la forma
(24). Estas son simétricas con relación a las coordenadas y son, por tanto,

independientes de la orientación de los ejes con relación a la velocidad v . Se
escribirá, por tanto, la ecuación general del movimiento, bajo la forma
vectorial,
 d ( m v )
F
dt
(25)
Con
m
mo
v2
1 2
c
29
(26)
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La fórmula (26) es la fórmula de transformación que expresa la relatividad de la
masa.
La masa es, por tanto, función de la velocidad (Figura 4) y
frecuentemente se llama la masa relativista, por oposición a la masa en reposo
mo. El aumento de la masa es del 1% para v/c ~ 0.14, es decir, para v  42000
km/seg. Por otra parte, para v/c = 0.99 se tiene que m  7 mo.
Figura 4.- Diagrama esquemático de la variación de la masa con la velocidad
5.2.- Energía Cinética

Consideremos un punto material de masa m, de velocidad v y sobre el cuál

actúa una fuerza F .
Calculemos, utilizando (25), el trabajo elemental

correspondiente a un desplazamiento dl ,
  


 
dW  F dl  F v dt  v d( m v)  v 2 dm  m v dv
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(27)
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Ahora bien, según (26):
dm 
v
mo
c2

v2 
1  2 
c 

3
2
 
m v dv
,
dv 
v2 
2 
c 1  2 
c 

y se encuentra, remplazando en (27),


v2  
dW  v 2  c 2 1  2   dm  c 2 dm ,
c 


es decir,
dW = d(m c2)
(28)
El trabajo así producido corresponde a un aumento de la energía cinética y
entraña un aumento proporcional de la masa. Integrando la ecuación (28)
desde la velocidad nula hasta la velocidad v, se obtiene la energía cinética del
punto material.
Wcin = m c2 - mo c2.
Se puede poner también esta expresión bajo la forma siguiente,
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(29)
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Wcin
1


2 2
v 
2 
 m o c  1  2   1 ,


c 


Expresando el término elevado a la potencia – ½ en términos de una serie,
 1 v2 3 v4

5 v6
Wcin  m o c 2 


 ......
2
4
6
8 c
16 c
2 c




1
3 v2 5 v4
mo v 2 1 

 ...........
2
4
2
4c
8c


Caso particular
Si v/c << 1, se tiene,
Wcin 
1
mo v 2 ,
2
es decir, se obtiene la expresión de la Mecánica clásica.
5.3.- Energía total. Relación de equivalencia masa-energía
La relación (28) muestra que todo aumento de energía cinética un aumento de
la masa tal que,
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m 
Wcin
c2
Aparece así una relación de equivalencia entre masa y energía y se puede
suponer que toda masa corresponde a la existencia de una cierta energía. Se
llega así a considerar que la energía total de un sistema de masa m viene dada
por,
E = m c2
(30)
En reposo, el sistema posee, por tanto, una energía Eo tal que,
Eo = m c2,
y se considera que ésta energía se encuentra bajo una forma potencial.
En estas condiciones la expresión (29), que da la energía cinética, puede
expresarse como,
Wcin = m c2 - mo c2 = E - Eo
Inversamente, es preciso considerar que todo sistema que tenga una energía E,
posee una masa de inercia m tal que,
m
E
c2
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(21)
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La relación (20) expresa, por tanto, la equivalencia masa-energía.
Esta
propiedad permite reducir a uno solo, dos de los más importantes principios de
conservación de la Física clásica: el de la energía y el de la masa. Estos
principios, que se consideraban, erróneamente, independientes, se comprueba
que no lo son por las consecuencias de la relatividad. Si se aplica la relación de
equivalencia, se reducen a un principio más general: el de la conservación de la
energía total.
La teoría de la relatividad ha generalizando así el principio de conservación de
la energía: la energía se conserva siempre que se tenga en cuenta la energía
correspondiente a la masa en reposo.
Inversamente, se puede decir que la masa se conserva siempre que se tenga en
cuenta la masa de la energía.
Esto implica un principio más general: la
materia no se crea ni se destruye, solo se transforma.
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6.- RECAPITULANDO
Acorde a la Teoría Especial de la Relatividad,

Todo movimiento es relativo.

En el vacío, la velocidad de la luz es constante para todos los observadores
e independiente de la velocidad de la fuente que la emite.

Las leyes de la Física son las mismas in todos los sistemas inerciales de
referencia.

Las dimensiones y la masa de un cuerpo varían con la velocidad, así como
el tiempo relacionado con el cuerpo.
Las ecuaciones que relacionan estos hechos son,
t = to/,
L =Lo , m = mo/
donde
 = (1 - 2)1/2
=v/c
El momentúm (o cantidad de movimiento) relativista es,
p = mv/
La segunda Ley de Newton en términos relativistas es,
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F = m a/3
La energía cinética relativista es,
K = (-1 – 1) m c2
La energía total, T, es
T=E+K
donde E = mo c2
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REFERENCIAS
[1]. Michelson, A.A. and Morley, E.W. (1887). On the relative motion of the Earth and
the luminiferous Ether. Am. J. Sci., Vol. XXXIV, No. 203: 332-345.
[2].- Einsten, A. (1905). Ann. der Phys., 17, 891-921.
37