INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME CULHUACAN Carrera

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Para definir el movimiento tenemos que
calcular su ecuación, donde veremos la
relación entre las magnitudes que intervienen
e influyen sobre él. Como cualquier
movimiento,
debemos
encontrar
una
ecuación que nos relacione la posición x(t)
con el tiempo, es decir, encontrar la
expresión de la posición en función del
tiempo. Para ello vamos a partir de dos leyes
muy conocidas en Física:
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1. Ley de Hooke: que determina que la fuerza
recuperadora del resorte es proporcional a la
posición y de signo contrario. La expresión de la
ley es:
F = - Kx
(1)
2. La 2ª ley de Newton: que nos viene a decir
que toda aceleración tiene su origen en una
fuerza. esto lo expresamos con la conocida:
F = ma
(2)
2
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d x
Fm 2
dt
Es obvio que la fuerza recuperadora del resorte
es la que origina la aceleración del
movimiento, lo que supone que ambas
fuerzas, expresadas arriba, son iguales.
Luego (1) y (2):
2
d x
 kx  m 2
dt
donde hemos expresado la aceleración como la
segunda derivada de la posición con respecto
al tiempo. A partir de esta ecuación
encontramos dos soluciones para el valor de
la posición en función del tiempo:
El valor de la frecuencia angular está relacionado
con la constante recuperadora por la ecuación
que viene a continuación:
k
ω
m
o
  2
Soluciones
x (t)= A sen(t + )
o
x(t) = A cos(t + )
siendo x la elongación, A la amplitud,  la
pulsación o frecuencia angular y  el desfase, que
nos indica la discrepancia entre el origen de
espacios (punto donde empezamos a medir el
espacio) y el origen de tiempo.
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En un movimiento rectilíneo, dada la posición
de un móvil, obtenemos la velocidad
derivando respecto del tiempo y luego, la
aceleración derivando la expresión de la
velocidad.
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La posición del móvil que describe un M.A.S.
en función del tiempo viene dada por la
ecuación
x(t)=A·sen(ωt+φ)
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Derivando
con
respecto
al
obtenemos la velocidad del móvil
dx
v
 A cos(t   )
dt
tiempo,
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Derivando de nuevo respecto del tiempo,
obtenemos la aceleración del móvil
2
dv d x
2
2
a
 2  A sen(t   )   x(t )
dt dt
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Primer caso cuando ω es mayo a 1 (ω>1) en
la figura se observan las tres graficas del
desplazamiento, velocidad y aceleración y por
último se observa que hay un desfasamiento
de 90 grados del desplazamiento con
respecto a la velocidad y también la velocidad
con respecto a la aceleración tienen un
desfasamiento de 90 grados, por lo tanto el
desplazamiento con respecto a la aceleración
tienen un ángulo de desfasamiento de 180
grados.
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Segundo caso especial si ω es igual a 1
(ω=1) las amplitudes de la velocidad y
de la aceleración son de la misma magnitud
que la del desplazamiento figura
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Tercer caso ocurre cuando ω es menor a uno
1 (w<1) en la figura 9.3.6 se
observa que la amplitud de la velocidad es
menor a la del desplazamiento y la
de la aceleración aun es menor que la de la
velocidad.
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Física para ciencias e ingenieras volumen I
sexta edición
Raymond A. Serway and John W. Jewett p.
457‐459
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1. La posición de una partícula está dada por
la expresión x = (4.00 m) cos (3.00 t + ),
donde x es en metros y t es en segundos.
Determine (a) la frecuencia y periodo del
movimiento, (b) la amplitud del movimiento,
(c) la constante de fase y (d) la posición de la
partícula en t = 0.250 s.
R. (a) 1.50 Hz, 0.667 s (b) 4.00 m (c) TT rad
(d) 2.83 m
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2. Un oscilador armónico simple tarda 12.0 s
para
experimentar
cinco
vibraciones
completas. Hállese (a) el periodo de su
movimiento, (b) la frecuencia en hertz y (c) la
frecuencia angular en radianes por segundo.
R. (a) 2.40 s
(b) 0.417 Hz
(c) 2.62 rad/s
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3. Una pelota lanzada desde una altura de
4.00 m hace una colisión perfectamente
elástica con el suelo. Si se supone que no se
pierde energía mecánica debido a la
resistencia del aire, (a) Explique que el
movimiento resultante es periódico y (b)
determine el periodo del movimiento, (c)
Calcule su frecuencia y frecuencia angular, (d)
Escriba la ecuación que represente a este tipo
de movimiento
3. Una partícula que se mueve a lo largo del
eje x en movimiento armónico simple inicia
desde su posición de equilibrio, el origen, en
t = 0 y se mueve a la derecha. La amplitud de
su movimiento es 2.00 cm, y la frecuencia es
1.50 Hz. (a) Demuestre que la posición de la
partícula está dada por
x = (2.00 cm.) sen (3.00t)
Determine (b) la máxima rapidez y el primer
tiempo (t > 0) en el que la partícula tiene esta
rapidez, (c) la máxima aceleración y el primer
tiempo (t > 0) en el que la partícula tiene esta
acelera-ción y (d) la distancia total recorrida
entre t = 0 y t = 1.00 s.
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