efectos de la fluencia lenta en la variación de energía durante la

1
PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE
ESCUELA DE INGENIERÍA
EFECTOS DE LA FLUENCIA LENTA EN LA
VARIACIÓN DE ENERGÍA DURANTE LA
PROPAGACIÓN DE UNA CAVIDAD EXCAVADA EN
ROCA
MAXIMILIANO VERGARA QUEZADA
Tesis para optar al grado de Magíster en Ciencias de la Ingeniería
Profesor Supervisor:
MICHEL VAN SINT JAN FABRY
Santiago de Chile, Agosto, 2009
2009, Maximiliano Vergara Quezada
2
A mi familia
3
AGRADECIMIENTOS
En primer lugar me gustaría agradecer al Don Michel Van Sint Jan, mi profesor guía, por
su constante interés, por sus ideas, y el enorme apoyo que significó para este trabajo. Él
siempre tuvo una excelente disposición para poderle plantear mis dudas y colaborar en el
desarrollo de este estudio.
Me gustaría agradecer a Don Loren Lorig y a la empresa ITASCA, quienes colaboraron
haciendo disponible el programa numérico utilizado.
Agradezco también a los profesores integrantes de la comisión por su disposición para ser
parte de ésta y aportar con sus valiosos conocimientos y experiencias.
4
NOMENCLATURA Y ABREVIACIONES
A
Factor de esfuerzo para el cálculo de N (adim.)
α
Constante de amortiguamiento (adim.)
B
Factor de orientación de fracturas para el cálculo de N (adim.)
C
Factor de ajuste por gravedad para el cálculo de N (adim.)
c
Cohesión (MPa)
cres Cohesión residual (MPa)
cmax Cohesión máxima (MPa)
δt
Paso de tiempo que utiliza el modelo (s)
D
Fracción de la resistencia máxima al corte desarrollada (adim.)
Du Valor umbral para la degradación de la resistencia (adim.)
ε
Deformación unitaria (adim.)
E
Módulo de Young (MPa)
FISH
Φ
Φm
FLACish, lenguaje de programación desarrollado por ITASCA
Ángulo de fricción (°)
Ángulo de fricción máximo (°)
Φres Ángulo de fricción residual (°)
fn
Fuerza normal en el contacto (MN)
fs
Fuerza de corte en el contacto (MN)
FLAC3D Fast Langrangian Analysis of Continua. Programa de modelación numérica del
continuo (tres dimensiones) de ITASCA
G
Módulo de corte (MPa)
ks
Rigidez de corte de la fractura (Mpa/m)
kn
Rigidez normal de la fractura (Mpa/m)
K
Módulo volumétrico (Mpa)
MRMR
Mining Rock Mass Rating
5
ν
Razón de Poisson (adim.)
N
Número de estabilidad de Mathews (adim.)
Ψ
Ángulo de dilatancia de la fractura (°)
PFC Particle Flow code. Programa de modelación numérica, mediante elementos discretos
circulares en dos dimensiones, de ITASCA
PFC3D
Q’
Versión de PFC en tres dimensiones
Modificación del Tunnel Quality Index para el cálculo de N (adim.)
RMR Rock Mass Rating (Beniawski)
RQD Rock Quality Designation
ζn
Tensión normal al contacto (Mpa)
ζ1
Tensión principal mayor (Mpa)
ζ3
Tensión principal menor (Mpa)
ζxx, sxx
Tensión en la dirección X (horizontal) (Mpa)
ζyy, syy
Tensión en la dirección Y (vertical) (Mpa)
ζxy, sxy
Tensión de corte en el plano del modelo, X-Y (Mpa)
ζzz, szz
Tensión fuera del plano del modelo (Mpa)
S
Factor de forma del Gráfico de Mathews (m)
smax Resistencia máxima al corte del contacto (Mpa)
smax_cm
Resistencia máxima inicial al corte del contacto (Mpa)
smax_cr
Resistencia máxima friccional al corte del contacto (Mpa)
η
Tensión de corte en el contacto (Mpa)
tc
Tiempo de cálculo del modelo (s)
ts
Tiempo de simulación del modelo (s)
tr
Tiempo real transcurrido en el modelo (s)
Uct
Energía elástica almacenada en los contactos debido a tracción (MJ)
Ucc
Energía elástica almacenada en los contactos debido a compresión (MJ)
Ucs
Energía elástica almacenada en los contactos debido a fuerza de corte (MJ)
6
Ucb
Energía elástica almacenada en los bloques (MJ)
UDEC
Universal Distinct Element Code. Programa de modelación numérica, mediante
elementos discretos en dos dimensiones, de ITASCA
us
Desplazamiento de corte en el contacto (m)
un
Desplazamiento normal en el contacto (m)
VC
Volumen de control
W
Trabajo realizado en la deformación elástica (MJ)
3DEC
Versión del programa UDEC en tres dimensiones.
7
RESUMEN
Al hacer una excavación en roca se genera una redistribución del estado de tensiones y la
acumulación de energía elástica en el macizo rocoso. Eventualmente, el nuevo estado de
tensiones puede producir la brusca rotura de un cierto volumen de roca, con la
consecuente liberación de la energía acumulada. La repentina liberación de energía
almacenada puede generar eventos sísmicos de magnitud suficiente para producir daños
en las labores subterráneas.
En este trabajo se desarrollaron las ecuaciones y se implementó el procedimiento para
poder incluir, en el programa de elementos discretos UDEC, el efecto de la fluencia lenta
de un macizo rocoso. Dicho procedimiento se aplicó a un modelo sencillo que trató de
capturar algunas de las características esenciales del método de explotación minera por
Block Caving o de su variante, el Panel Caving. El estudio se centró principalmente en un
modelo en deformaciones planas de un macizo rocoso con dos sistemas de fractura,
ortogonales entre sí y de persistencia infinita.
Se encontró que al considerar el efecto de la fluencia lenta, la cantidad de energía
almacenada en el macizo rocoso y que puede liberarse repentinamente (en menos de
0,2s) en forma de un evento sísmico, depende no solamente del volumen excavado, sino
que también de la velocidad de propagación de la cavidad, la que se correlacionó con la
velocidad de extracción. Sin embargo, para un mismo volumen extraído, la cantidad total
de energía elástica liberada resultó prácticamente constante, independiente de la
velocidad de extracción.
En síntesis, los resultados muestran que al disminuir la velocidad de extracción la energía
elástica acumulada se libera en una mayor cantidad de eventos, pero de menor
magnitud.
Palabras Claves: Estallidos de roca, Block Caving, fluencia lenta de fracturas en roca,
comportamiento del macizo rocoso en el tiempo.
8
ABSTRACT
The excavation of a volume of rock induces stress redistribution in the rock mass and an
increase of the strain energy. The new stress state can eventually result in a sudden
failure of a certain rock volume with the corresponding dissipation of stored energy. A
sudden energy release can result in damage to the surrounding underground openings.
In order to simulate the effect of rock creep in the computer software UDEC, a particular
set of equations were developed in this work and implemented into the software. The
procedure was used in a simple model which intends to capture some of the main
features of the Block Caving and Panel Caving extraction techniques used in underground
mining. The study focused on a plane strain, two dimensional models, including two
orthogonal sets of persistent joints.
The inclusion of rock creep into the numerical code demonstrated that the amount of
stored energy that can suddenly (in less than 0,2s) be liberated as a seismic event is a
function of the volume excavated and of the excavation rate. However, the total amount
of energy released depended only on the volume extracted.
In summary, the results show that as the extraction rate is decreased the strain energy is
released in a larger number of events, but of smaller magnitude than those associated
with higher extraction rates.
Keywords: Rockburst, Block Caving, time-dependent behaviour of rockmass, long-term
shear strength of rock joints.
9
1. INTRODUCCIÓN Y MOTIVACIÓN DEL ESTUDIO
1.1 Introducción
Una excavación en roca genera una redistribución en el estado de tensiones al interior del
macizo rocoso y al mismo tiempo, produce una acumulación de energía debido a la
deformación elástica de la roca. La energía acumulada debido al aumento del volumen de
roca excavada puede exceder la resistencia del macizo rocoso, produciéndose una brusca
liberación de energía mediante desplazamientos no elásticos y la propagación de ondas
sísmicas. La sismicidad que puede producirse al aumentar el volumen excavado es
particularmente importante en el caso de la minería subterránea.
En la actividad minera subterránea asociada a la explotación de minas por el método del
Block Caving o alguna de sus variantes como el Panel Caving, se han registrado sismos
de magnitud considerable que provocan daños materiales y personales. Este método de
explotación es utilizado en algunas de las minas más grandes alrededor del mundo,
incluidas algunas en Chile como El Teniente, El Salvador, Andina y, en el futuro próximo,
Chuquicamata.
Para poder entender y modelar el comportamiento del macizo rocoso en la generación de
eventos sísmicos, es necesario incluir en la modelación la fluencia lenta que se produce
en las discontinuidades, lo que está asociado a la magnitud de la energía liberada.
En este estudio se buscará mostrar cómo influye la velocidad de la propagación de una
cavidad en la magnitud de la energía elástica liberada. Para esto, se construirá un modelo
numérico basado en el método de los elementos discretos que incorpore los aspectos más
relevantes del método Block Caving, utilizando propiedades geotécnicas y dimensiones
geométricas dentro de valores tomados de casos reales.
1.2 Motivación
La explotación de minas por métodos como el Block Caving y Panel Caving se ha asociado
con la generación de sismos con magnitud del orden de 3 e incluso 4 en la escala de
Richter. La observación empírica en minas explotadas mediante este método muestra que
al disminuir la velocidad de extracción se produce un aumento de la cantidad de eventos
sísmicos pero disminuyendo la magnitud de éstos. Esta observación muestra que existe
un efecto del tiempo en la respuesta de un macizo rocoso sometido a un cambio de
tensiones. Sin embargo, hasta la fecha, no se ha estudiado satisfactoriamente el efecto
de la variable tiempo en el comportamiento de las fracturas. El propósito de esta tesis es
desarrollar una metodología para incorporar dicha variable en un análisis numérico e
iniciar una línea de estudio relativa a la fluencia lenta en la propagación de una cavidad
asociada a la explotación minera.
10
1.3 Estructura del trabajo
Este trabajo se compone de 7 capítulos. En el capítulo 2 se hace una revisión del
problema y de los conceptos básicos relativos al método de explotación. En el capítulo 3,
en base a esta información y a las interrogantes que motivan el estudio, se plantea la
hipótesis y los objetivos del presente trabajo.
En el capítulo 4 se presentan las propiedades geométricas y físicas de los materiales en
base a las cuales se construyó el modelo numérico.
En el capítulo 5 se hace una revisión de los estudios sobre la fluencia lenta en fracturas
en roca. Se explica de qué forma se reprodujo este comportamiento en el modelo
numérico desarrollado, teniendo en cuenta las limitaciones que ofrece para esto el
programa computacional utilizado (UDEC).
En el capítulo 6 se muestran los resultados de la modelación numérica del problema, que
incluyen comentarios y análisis de resultados obtenidos. En el capítulo 7 se presentan las
conclusiones en base a estos resultados y se indican además algunas recomendaciones
para futuros trabajos.
11
2. ANTECEDENTES
A continuación se presenta una breve descripción del método de explotación por Block
Caving y de los estallidos de roca asociados a este método de explotación minera.
2.1 Block Caving
2.1.1 Breve Descripción
En el método de extracción por Block Caving, un gran volumen de roca mineralizada es
cortado en su base, removiendo su soporte (Figura 2-1). La idea principal que hay detrás,
es causar su hundimiento debido a la socavación o caving de forma natural, y de esta
manera formar material fragmentado sin la necesidad de utilizar explosivos. Para cortar la
base de este gran volumen de roca y provocar su caída, la zona debajo de él es perforada
y tronada de manera de formar una cavidad que permita el hundimiento Al remover el
soporte de la masa de roca, se inducirá un nuevo estado de esfuerzos, lo que producirá
una propagación hacia arriba de nuevas fracturas y una apertura de las ya existentes. La
roca, se hundirá y caerá hacia la cavidad desintegrándose en fragmentos pequeños.
El mineral ya fragmentado “fluye” hacia el nivel de extracción. Este nivel consiste en una
red de túneles construidos bajo el nivel de hundimiento y conectados con éste mediante
conductos o “bateas”, a través de las cuales el material puede bajar. En los puntos de
extracción, el mineral fracturado es removido generalmente por cargadores tipo LoadHaul-Dump (LHD) para luego ser procesado.
El Block Caving se utiliza principalmente en yacimientos subterráneos masivos de gran
extensión vertical. La gran ventaja de este tipo de explotación es su bajo costo,
comparado con otros métodos de extracción subterránea, si se dan las condiciones
favorables para su implementación.
Figura 2-1. Esquema de la explotación por Block Caving. Mina El Teniente
12
Este método ha sido utilizado históricamente en rocas de baja resistencia, ya que éstas
producen una fragmentación más pequeña. Los fragmentos de roca más pequeños
pueden descender más fácilmente, disminuyendo el riesgo de colgaduras 1. Actualmente,
la utilización de este método se ha extendido a macizos rocosos de mayor resistencia
mecánica, que producen una fragmentación más gruesa que las aplicaciones tradicionales
del método.
2.1.2 Inicio y propagación del hundimiento del macizo rocoso
El caving o hundimiento se produce como resultado de dos principales causas, la
gravedad y los esfuerzos inducidos debido al corte de la base. El inicio y propagación del
caving dependerá, fundamentalmente, de la resistencia del macizo rocoso, los esfuerzos
inducidos por el corte de la base y por la orientación y resistencia de los sistemas de
fracturas presentes. De la orientación de las discontinuidades dependerá la facilidad que
tendrán los bloques formados por ellas para desplazarse.
Al hacer la excavación inicial o corte, se logra que la base inferior del bloque de roca se
comporte como una viga simplemente apoyada, y gracias a fuerzas externas,
principalmente la gravitacional, se produzca el desprendimiento sucesivo de fragmentos
de roca mineralizada, los que al ser extraídos permiten que la cavidad o “hundimiento” se
transmita progresivamente hacia arriba.
1
Situación en la que no caen nuevos bloques de roca, mientras que se extraen lo que ya
han caído
13
La propagación del caving se refiere al hundimiento continuo2 de la columna de mineral
sobre la cavidad. Si los esfuerzos inducidos en el coronamiento de la cavidad son bajos o
de tracción, los bloques podrán caer debido a la gravedad o deslizarse a través de las
discontinuidades existentes. Una vez alcanzada la continuidad del hundimiento, la tasa de
propagación de éste será controlada por la extracción del material desde los puntos de
extracción.
Duplancic y Brady (1999) desarrollaron un modelo conceptual basado en mediciones de
sismicidad, en el cual, durante el proceso de generación y propagación del Block Caving
pueden reconocerse las siguientes regiones conceptuales (Figura 2-2):
i Zona excavada (caved zone): Esta región consiste de bloques que ya se han soltado y
caído. El material de esta zona material provee soporte a los muros de la cavidad.
ii Cavidad (air gap): Durante el proceso de caving se podría formar una cavidad sobre el
material desprendido. El tamaño de la cavidad es función de la tasa extracción de
mineral.
iii Zona de colapso continuo (zone of loosening): En esta zona ocurren grandes
desplazamientos y desprendimiento de fragmentos de roca, sin producir actividad
sísmica.
iv Zona sísmica (seismogenic zone): Corresponde al sector donde se genera la actividad
sísmica, debido a la rotura frágil de la roca intacta y deslizamiento de las fracturas. Este
comportamiento se debe a cambios en los esfuerzos causados por la propagación de la
cavidad.
v Macizo rocoso circundante (pseudo-continuous domain): en esta zona se producen
deformaciones elásticas y corresponde al material que circunda la cavidad.
Figura 2-2. Modelo conceptual del caving desarrollado por Duplancic y Brady (1999)
2
Se produce un flujo continuo de material cayendo sobre la cavidad
14
La velocidad a la cual se produce la propagación de la cavidad depende de las
características del corte de la base del volumen de roca, la calidad de la roca, la
resistencia de las discontinuidades y los esfuerzos presentes. Bajo producción continua, la
tasa promedio de extracción será una función de la tasa de caving que se produce.
Por otra parte, no siempre es posible alcanzar el caving continuo. Es posible que el estado
de tensiones en el perímetro de la cavidad genere un efecto de arco (Terzaghi, 1936) que
no permita la caída de bloques ni la propagación del hundimiento. La posibilidad de
generar un arco estable se relaciona especialmente con el manejo que se haga de la
extracción y la interacción de los puntos de extracción adyacentes. La formación de arcos
o colgaduras interrumpe el proceso y es además potencialmente peligrosa, puesto que si
se continúa la extracción y eventualmente se rompe el efecto de arco, se podría producir
la caída de material desde una gran altura, transmitiendo gran cantidad de energía en
forma de un sismo y de una onda de aire comprimido (air blast) con efectos
devastadores.
2.1.3 Potencial de hundimiento del macizo rocoso
El potencial o capacidad del macizo rocoso para desarrollar caving depende de las
propiedades naturales de la roca y de las condiciones atribuibles al proceso minero.
Entre los factores naturales, se pueden mencionar las tensiones in situ, resistencia de la
roca intacta y la orientación, espaciamiento, persistencia, resistencia al corte y a la
tracción de las discontinuidades presentes.
La extracción es también una variable importante a considerar. Controlando la tasa de
extracción se puede impedir la formación de arcos estables y reducir la dilución del
mineral.
En el Anexo B se hace una revisión de la bibliografía referente al estudio del Block Caving.
15
2.2 Estallidos de Roca en la explotación por Block Caving
La generación de la cavidad en la explotación por Block Caving, produce una
redistribución en el estado de tensiones. Esta redistribución puede llevar a una
concentración de tensiones en algunos sectores del macizo rocoso, lo que se traduce en
una acumulación de energía elástica debido a la deformación de la roca. Al aumentar el
volumen de roca excavada, la energía acumulada puede exceder la resistencia del macizo
rocoso, produciéndose una brusca liberación de energía. Esta liberación repentina de
energía se conoce como estallido de roca o rockburst. La explotación de minas por este
método de explotación se ha asociado con la ocurrencia de este fenómeno.
La característica importante de los estallidos de roca es la fractura violenta de la roca que
acompaña la liberación de energía. Los eventos sísmicos provocados por estallidos de
roca son un problema grave que puede presentarse en la minería subterránea, por los
daños materiales y personales que causan.
Es importante estudiar la velocidad a la cual la energía se libera, ya que la liberación lenta
de energía no resultaría en daño, en cambio, la liberación rápida de una gran cantidad de
energía almacenada, produciría un estallido de roca. (Hanzeng, 1987; Daihua y Miller,
1987; Wiles, 2000). Como ya se ha dicho, las causas de la liberación de energía pueden
ser el deslizamiento de una fractura ya existente o la rotura frágil de la roca intacta.
Las condiciones que llevan a la generación de estallidos de roca son: que la presencia de
esfuerzos inducidos por la excavación sean lo suficientemente altos para superar la
resistencia del macizo rocoso y que el deslizamiento o fractura resultante sea
mecánicamente inestable, liberando energía que no puede ser absorbida en el proceso de
deslizamiento o fractura. La energía liberada será una función de la diferencia entre el
esfuerzo máximo y la resistencia residual (Brown, 2002).
En la mina El Teniente, la experiencia ha mostrado que la ocurrencia de los estallidos de
roca es más probable en el estado temprano del hundimiento de un nuevo bloque (Brown,
2002).
16
3. HIPÓTESIS Y OBJETIVOS
3.1 Hipótesis
La hipótesis de este trabajo plantea que se produce fluencia lenta en aquellas fracturas
del macizo rocoso que están sometidas a una solicitación mayor que cierto umbral, por lo
que la resistencia mecánica de dichas fracturas disminuye con el tiempo. Debido a que la
resistencia del macizo rocoso disminuye con el paso del tiempo, la rotura se produce con
una solicitación menor, liberando menos energía y por lo tanto disminuyendo la
posibilidad de generar estallidos de roca. Por otra parte, al aumentar la velocidad de
extracción de mineral, aumenta la velocidad de incorporación del volumen de roca
sometido a tensiones elevadas, lo que se traduce en un aumento de la energía total
liberada en la ruptura de dicho volumen.
3.2 Objetivos
Los objetivos de este trabajo son:
i Desarrollar un procedimiento para reproducir el efecto que la fluencia lenta tiene sobre
la resistencia al corte de discontinuidades.
ii Utilizar este procedimiento para evaluar la incidencia de la fluencia lenta en el
comportamiento del macizo rocoso durante la propagación de una cavidad.
iii Implementar un modelo numérico que simule algunas de las características esenciales
del Block Caving, para lo cual se utilizarán características geométricas y propiedades
geotécnicas inspiradas en casos reales.
iv Mostrar el efecto de la velocidad de extracción en la variación de energía elástica
acumulada en el macizo rocoso.
17
4. IMPLEMENTACIÓN DEL MODELO NUMÉRICO
4.1 Programa computacional utilizado en la modelación numérica
El modelo numérico fue desarrollado con el programa computacional UDEC (Universal
Distinct Element Code).
Dada la naturaleza discontinua del problema, la alternativa de utilizar como base un
programa computacional que modele el problema mediante de elementos discretos
parece la más adecuada. Esto, fundamentalmente debido a que el método de los
elementos discretos permite representar de mejor manera la discontinuidad del problema,
dando la posibilidad de modelar bloques de roca que puedan desplazarse, rotar y
desprenderse.
El método de los elementos discretos consiste en una discretización espacial del continuo
mediante un conjunto de masas discretas vinculadas entre sí por elementos cuya rigidez
corresponde a la porción del medio que representan. De esta manera, el macizo rocoso es
representado por un conjunto de bloques y las fracturas son tratadas como las interfaces
entre ellos.
UDEC es un programa computacional que permite modelar problemas en dos
dimensiones. Su formulación supone un estado de deformaciones planas, el cual
considera la tensión fuera del plano. En el Anexo A se hace una descripción del programa
UDEC y de su formulación.
4.2 Geometría del modelo numérico
La geometría del modelo se definió inspirada en las dimensiones del problema real. La
gran restricción a la extensión vertical y horizontal es el costo computacional de agregar
demasiados elementos en el modelo. Esto, dado un cierto tamaño definido para los
bloques, tema que se tratará más adelante.
La dimensión horizontal del modelo numérico se definió dada la cantidad de puntos de
extracción (Drawpoints) y el ancho de ellos. Se modelaron tres puntos de extracción de
manera de aislar el punto de extracción central del efecto que pudieran producir los
bordes. Como se trata de un modelo en dos dimensiones, se modeló la dimensión mayor
de la abertura del punto de extracción. Para esta abertura se escogió un ancho de 22,4m.
Este valor va de acuerdo a lo que podría encontrarse en una explotación por Block Caving
(Brown, 2000).
Para el coronamiento de los pilares se definió un ancho de 1,5m. Las paredes de los
puntos de extracción se definieron verticales, puesto que lo que interesa es modelar el
proceso de desprendimiento de bloques y no el flujo de los bloques hacia el nivel de
producción.
En los extremos laterales se crearon contactos con la finalidad de generar fricción en el
deslizamiento vertical de los bloques que se encuentran en el borde del modelo. Las
18
propiedades de estos contactos son las mismas definidas para el resto de los contactos en
el modelo.
La extensión vertical se definió en 35m. Si bien la altura de explotación puede alcanzar
varias decenas de metros en la realidad, es en la zona inferior donde se produce la
actividad que se desea observar y medir. Se buscó una altura que fuera suficiente como
para mantener una cierta cantidad de bloques sobre el punto de extracción, y así permitir
la caída continua de ellos, en un tiempo suficiente para desarrollar redistribución de los
esfuerzos antes de llegar a una eventual total inestabilidad del sistema. La altura debe
ser suficiente para poder medir cambios en la energía en una zona un poco más alejada
del punto de extracción.
La porción de macizo rocoso simulada se apoyó sobre una estructura formada por bloques
rígidos que sirvieron de soporte.
Para escoger los sistemas de fracturas, se realizó un proceso iterativo de manera de
calibrar el tamaño adecuado de bloques que permita una buena representación de lo que
se quiere modelar. La elección de la orientación de los sistemas de fracturas, y el tamaño
de los bloques por ellos formados, se detalla en la sección 6.2. Esta elección se hizo de tal
manera de lograr primero una condición estable al no producir degradación de la
resistencia de los contactos y posteriormente, provocar el colapso o caída masiva de
bloques para algún tiempo de simulación.
La Figura 4-1 muestra la geometría definida para el modelo. Las modificaciones que se
hicieron posteriormente a la geometría fueron las diferentes orientaciones, arreglos de los
sistemas de fracturas y la altura del corte bajo los puntos de extracción.
Figura 4-1. Vista del modelo numérico construido en UDEC
19
4.3 Modelos constitutivos tensión-deformación utilizados en el
modelo
Como ya se ha mencionado, en el programa UDEC, el macizo rocoso es representado
mediante bloques y contactos. Para cada uno de ellos es preciso definir las propiedades
físicas y el modelo constitutivo tensión-deformación que controla su comportamiento.
4.3.1 Modelo del comportamiento de los bloques
En UDEC los bloques son subdivididos en zonas de diferencias finitas. Estas zonas son
capaces de deformarse pero no de romperse o dividirse para formar nuevos bloques.
Dadas las condiciones del problema que se modela, los bloques estarán sometidos, en
algunos casos, a grandes solicitaciones por prolongados periodos de tiempo. Esto puede
producir grandes deformaciones en ellos. Debido a que UDEC no simula la rotura de los
bloques, estas deformaciones podrían crecer indefinidamente y alejarse por completo de
valores reales en el caso de utilizar una constitutiva elastoplástica. Para evitar este
problema, se consideró la roca intacta como un material lineal elástico. Esto permite
deformación de los bloques y la posibilidad de determinar los esfuerzos internos en ellos
sin los inconvenientes antes mencionados. Se ha escogido un tamaño para los elementos
de diferencias finitas tal que cada bloque quede dividido en 4 elementos triangulares.
4.3.2 Modelo del comportamiento de los contactos
Considerando que el estudio no se aplica estrictamente a una situación particular, se
aceptó modelar los contactos con una constitutiva tensión-deformación elastoplástica con
criterio de falla de Mohr-Coulomb. Se utilizó el modelo descrito en detalle en el Anexo
A.2., pero asignándole a éste valores que permitan modelar el comportamiento residual,
es decir, luego de alcanzada la resistencia máxima. La Figura 4-2 muestra un ejemplo de
un ensayo numérico de corte directo, realizado en UDEC, en el cual se utilizó esta
constitutiva. Se observa, tal cual lo esperado, cómo se alcanzó un valor máximo, luego
del cual la resistencia cae a un valor residual.
Se eligió este modelo, con respecto a los otros con los que cuenta el programa UDEC,
fundamentalmente debido a su simplicidad, a que incorpora una menor cantidad de
variables y a que estas son más fáciles de obtener en comparación a los otros modelos
disponibles. El modelo de fluencia continua, que parece representar un comportamiento
más real del esfuerzo de corte en el contacto, no permite incluir la cohesión ni la
resistencia a la tracción. Se realizaron varias pruebas con el modelo de Barton-Bandis,
con él surgió el problema de incorporar demasiadas variables al modelo y aumentar
ostensiblemente el tiempo de cálculo.
Figura 4-2. Ensayo de corte directo simulado en UDEC
20
4.4 Propiedades mecánicas del macizo rocoso
Con el objetivo de modelar materiales cuyas propiedades sean representativas de una
explotación por Block Caving, se utilizó como guía un caso real. Se tomaron como
referencia las propiedades del macizo rocoso encontradas en la mina El Teniente,
mediante estudios previos relacionados con este yacimiento. Especialmente, se han
considerado los valores propuestos por Karzulovic (2001) y Verbeken (2005) en sus
respectivos estudios. A partir de esta información, se pudo asignar valores dentro de
rangos realistas a los materiales del modelo numérico.
4.4.1 Propiedades mecánicas de la roca intacta
El material de los bloques se definió utilizando como referencia valores conocidos de la
roca presente en El Teniente.
En UDEC, el material es representado por el módulo volumétrico K y el módulo de corte G
en lugar de módulo de Young E y razón de Poisson ν. K y G se calculan a partir de E y ν.
Las propiedades de los bloques se detallan en la Tabla 4-1.
Tabla 4-1. Propiedades mecánicas de la roca intacta.
21
4.4.2 Propiedades mecánicas de los contactos
El macizo rocoso es representado en UDEC, como un conjunto de bloques separados
entre sí por medio de contactos. Estos contactos se modelan asignándoles propiedades
geométricas y de resistencia, que permitan definir el comportamiento de la ecuación
constitutiva utilizada. Las propiedades asignadas a los contactos en el modelo se
presentan en la Tabla 4-2.
Tabla 4-2. Propiedades mecánicas de las fracturas asignadas a los contactos en modelo
numérico
Las propiedades de los contactos se han definido basándose en los estudios previos ya
mencionados en esta sección. Con respecto al estudio de Karzulovic (2001), se han
utilizado las propiedades correspondientes a vetillas de resistencia media con rellenos de
anhidrita y calcopirita en él señaladas. Los valores de las rigideces normal y de corte
fueron tomados del ábaco propuesto para ello en el estudio. Se utilizaron las curvas
correspondientes a vetillas a “escala labor” de resistencia media, suponiendo un espesor
de relleno de 4mm. Este valor se encuentra dentro del rango de 1 a 5mm, como se
señala en el estudio para este tipo de estructuras.
4.5 Condiciones de borde del modelo numérico
Las condiciones de borde correspondieron a fijar desplazamientos, velocidades y
esfuerzos en los límites del modelo.
4.5.1 Condición de desplazamientos de los bloques
En los bordes laterales, se asignó una condición de desplazamiento nulo en la dirección
horizontal, dejando libre el desplazamiento vertical. En este borde se creó un contacto de
iguales propiedades geotécnicas al resto de los contactos en el modelo, con el fin de crear
fricción en el deslizamiento vertical.
Al borde inferior se le asignó una condición de desplazamiento vertical nulo. Luego, al
simular la excavación, se removió esta restricción bajo las aberturas para permitir la
caída de los bloques. Al borde superior no se le asignaron restricciones de desplazamiento
o velocidad.
22
4.5.2 Estado tensional
Otra condición de borde impuesta es el estado tensional in situ existente. Esto se define
en UDEC mediante un comando especial. Además, debe definirse un estado de tensiones
en los bordes del modelo que sea compatible con las tensiones in situ asignadas. Para
definir los valores de las tensiones en terreno, se ha utilizado como referencia el estudio
hecho por Verbeken (2005) para la mina El Teniente. Los valores son los indicados en la
Tabla 4-3. Debido a que no se está modelando una situación particular, por simplicidad se
asignaron las tensiones originales como tensiones principales, y no se asignó la tensión
de corte que aparece al rotar el estado de tensiones original de acuerdo a los ejes X-Y del
presente modelo.
Tabla 4-3. Estado de tensiones in situ asignadas al modelo numérico
Figura 4-3. Condiciones de borde del modelo numérico
4.6 Energía elástica almacenada en el macizo rocoso
4.6.1 Cálculo de la energía elástica almacenada
Las fuerzas que causan la deformación de un cuerpo elástico realizan un trabajo. Este
trabajo es almacenado en el cuerpo sólido como energía elástica de forma análoga a
como ocurriría al comprimir un resorte. De acuerdo al principio de conservación de
energía, se puede suponer que la energía almacenada es igual al trabajo que se efectuó
para deformar el cuerpo. El trabajo realizado corresponde, según su definición, a la
integral de la fuerza aplicada multiplicada por el desplazamiento del punto sobre la cual
actúa.
En la Figura 4-4 se muestra la energía elástica almacenada en una barra de rigidez k
cargada axialmente con una fuerza F que sufre una deformación u. La energía
corresponde al área sombreada.
23
Figura 4-4. Barra de rigidez k, bajo una fuerza F, deformada en u. La energía elástica
corresponde al área sombreada
En el caso de una barra cuadrada de largo L sección A y cargada axialmente se tiene:
La energía elástica almacenada en el macizo rocoso corresponde a la energía elástica
almacenada en los bloques y en los contactos.
En el caso de un bloque sobre el cual actúan esfuerzos en los tres ejes perpendiculares X,
Y y Z, la energía almacenada en él, Ubi, se calcula de acuerdo a la ecuación 4-3. Esto
considera que el programa UDEC incluye la tensión en el eje fuera del plano, pero no así
las deformaciones de corte en este eje. Se supone un espesor de 1m para los bloques en
la dirección fuera del plano. La energía de cada uno de los n bloques que pertenecen a
una determinada zona de control son sumadas para obtener la energía total dentro de
ella (ecuación 4-4).
En la ecuación 4-3 ζxx, ζyy, ζzz y ζxy son las tensiones en el bloque; A, el área de cada
bloque; E y v, el módulo de Young y la razón de Poisson del material de los elementos.
La energía en los contactos se divide en tres componentes: energía debido a deformación
en tracción (Uct), compresión (Ucc) y corte (Ucs). En el caso de la deformación por corte,
una vez que se ha producido la falla fs >fs max, la energía se disipa en forma de calor. La
energía de cada contacto corresponde a la suma de estas tres componentes (ecuación 48). Luego, es posible calcular la energía de una determinada zona como la suma de la
energía de los m contactos que pertenecen a ella (ecuación 4-9).
24
Donde fsmax es la fuerza máxima resistida por el contacto, fs, y us fuerza y desplazamiento
de corte en el contacto y fn, y un la fuerza y desplazamiento normal al contacto
respectivamente.
El programa UDEC cuenta con una función capaz de calcular la energía en el modelo. Sin
embargo, al utilizar esta función el tiempo de cálculo se hizo extremadamente alto. Por
esta razón, la energía se calculó mediante una función escrita en lenguaje FISH, en base
a las ecuaciones aquí expuestas. Los resultados de esta operación coincidieron de muy
buena forma con los valores entregados por UDEC, con una diferencia menor al 1%.
El cálculo ha sido realizado en varios instantes a lo largo de la simulación, de manera de
conocer cómo varía la energía acumulada a lo largo del tiempo. Se ha mostrado que la
densidad de energía se correlaciona bastante bien con estallidos de roca observados.
(Wiles, 2000).
4.6.2
Volúmenes
de
control
para
el
cálculo
de
la
energía
almacenada
Con el fin de conocer cómo varía la energía elástica acumulada en las distintas zonas del
modelo, se han definido volúmenes de control, en los cuales se ha medido la energía
almacenada en contactos y bloques. En cada medición de la energía se contabilizó el
volumen total de bloques, de esta forma, al calcular la densidad de energía, se considera
el cambio que existe en la cantidad de material dentro de cada volumen de control. Estos
volúmenes de control no incluyeron los elementos que forman los bordes, ya que se
esperan valores distorsionados en estas zonas.
Se definió el tercio inferior como un volumen de control, ya que en las pruebas
efectuadas se observó que la formación de arcos estables ocurrió dentro de esta zona. Se
definió la mitad superior como un volumen de control y finalmente, como otro, al espacio
sobrante entre los dos volúmenes anteriores. El volumen de control 1 corresponde la
mitad superior, el volumen de control 3 al tercio inferior y el 2 al espacio entre ambos.
Los volúmenes del 4 al 12 son subdivisiones de los anteriores. Los volúmenes centrales 4,
25
5 y 6 se encuentran sobre los pilares centrales y el volumen 6 incluye la zona sobre ellos.
En cambio, los volúmenes 9 y 12 sólo incluyen la zona entre pilares.
Los volúmenes de control definidos se muestran en la Figura 4-5 y Figura 4-6.
Figura 4-5. Volúmenes de control para el cálculo de la energía elástica
Figura 4-6. Volúmenes de control para el cálculo de la energía elástica.
26
5. FLUENCIA LENTA EN LAS FRACTURAS
5.1 Dependencia temporal del comportamiento del macizo rocoso
El efecto del tiempo en el comportamiento del macizo rocoso se manifiesta en una
deformación lenta a carga constante (fluencia lenta o creep), disminución de resistencia y
relajación de esfuerzos; tanto en las discontinuidades como en el material intacto
(Hudson et al., 2002).
Si un material, como en este caso roca, es sometido a una tensión constante por debajo
de la tensión de fluencia, se puede deformar hasta alcanzar la rotura. Existe además un
valor mínimo de la tensión aplicada que depende de cada material, bajo el cual nunca se
llegará a la rotura.
La fluencia lenta en la roca está asociada al microfracturamiento y al movimiento de
dislocaciones en la estructura de los cristales de los minerales que la componen. La tasa
de deformación es función de las propiedades de los minerales, la magnitud de la carga
aplicada, el tiempo de exposición a ésta y la temperatura. A mayor temperatura y
esfuerzos aumentará la velocidad de la deformación.
Las características de esta deformación se muestran en la Figura 5-1. Luego de la
deformación elástica instantánea (I) ocurre la fluencia lenta, la cual se divide en: fluencia
primaria (II), que corresponde a un rápido aumento de la deformación; una deformación
lenta o fluencia secundaria (III) y por último, una fase de deformación más rápida o
fluencia terciaria (IV) que conduce a la rotura. De manera inversa, si se mantiene
constante la deformación se tendrá una pérdida de carga o relajación.
Se han desarrollado diferentes modelos para simular el comportamiento de la fluencia
lenta. Entre ellos, los más comunes son relaciones constitutivas viscoelásticas y
viscoelastoplásticas. Estos modelos representan el comportamiento por medio de
componentes mecánicos como resortes, amortiguadores y deslizadores. En la Figura 5-2
se muestran en la diagonal estos componentes principales. Las combinaciones de ellos
dan origen a diferentes modelos reológicos.
Figura 5-1. Etapas de la fluencia lenta (Croll y Walker, 1972)
27
Figura 5-2. Modelos reológicos (Hudson y Harrison, 2002)
Por ejemplo, para el modelo de Maxwell y Kelvin, se tiene una deformación dependiente
del tiempo dada por las ecuaciones 5-1 y 5-2 respectivamente.
28
En estas ecuaciones, ε es la deformación unitaria, t el tiempo, E corresponde al módulo
de elasticidad del resorte y η al coeficiente de viscosidad del amortiguador.
Otra forma de representar la fluencia lenta es ajustar los datos de ensayos a una de las
tantas curvas empíricas existentes, del tipo envejecimiento, strain-hardening
(deformación-endurecimiento) o time-hardening (tiempo-endurecimiento). Mirza (1978)
sugiere algunas ecuaciones como las presentadas en la Figura 5-3 (Farmer, 1983). En
estas ecuaciones ε es la deformación unitaria, t el tiempo y A, B, C, D, m, n, p y q
corresponden a constantes de ajuste.
Figura 5-3. Ecuaciones empíricas para modelar la fluencia lenta en el macizo rocoso (Mirza
1978)
5.2 El efecto del tiempo en la resistencia al corte de las fracturas
La deformación por fluencia lenta en el macizo rocoso corresponde a la deformación que
se produce tanto en la roca intacta como en las fracturas.
La evidencia muestra que la deformación por fluencia lenta que sufre la roca intacta es
baja, y no logra explicar las deformaciones observadas en excavaciones subterráneas en
rocas duras como las que se encuentran en yacimientos de minerales metálicos. Estas
deformaciones serían entonces, el resultado de la reología de las discontinuidades y de la
influencia del tiempo en el comportamiento de la zona fracturada que rodea las
excavaciones (Malan et al., 1998).
29
La influencia del tiempo en la resistencia al corte de fracturas en roca ha sido estudiada
por diversos autores, distinguiendo el comportamiento entre fracturas limpias y con
relleno. En el caso de este estudio, se han considerado fracturas con relleno. De la
información que se tiene de la mina El Teniente, que ha sido utilizada como referencia, se
sabe que la gran mayoría de las estructuras posee algún tipo de relleno, los cuales están
formados por distintos minerales como anhidrita, calcopirita, cuarzo y molibdenita entre
otros. En general, estos rellenos poseen cohesión y espesores de 1 a 10mm (Karzulovic,
2001).
La estabilidad en el largo plazo de estructuras de roca, se encuentra fuertemente
afectada por la presencia de movimientos de corte debido a fluencia lenta a lo largo de
las discontinuidades (Höwing y Kutter, 1985). Diversos estudios concluyen que la
deformación por fluencia lenta, en las fracturas del macizo rocoso, es una función de los
esfuerzos normales y de corte que actúan sobre ellas. Esto se traduce en un aumento de
la deformación al aumentar el esfuerzo de corte, y, para un esfuerzo de corte constante,
como una disminución de la deformación al aumentar el esfuerzo normal sobre la fractura
(Malan et al., 1998). Los resultados de ensayos de laboratorio muestran que existen
valores umbrales del esfuerzo de corte, bajo los cuales no se producirá fluencia (Höwing y
Kutter, 1985; Glamheden et al., 2004). Estos valores se encontrarían entre el 10 y el
50% de la resistencia máxima al corte.
El potencial de falla por fluencia lenta en una fractura con relleno está determinado por el
contenido de materiales cohesivos y por el espesor del relleno. Mayores espesores de
relleno, y en especial, un mayor contenido de materiales cohesivos producirán un
aumento de la deformación a carga constante y la velocidad a la que ésta ocurre.
(Höwing y Kutter, 1985).
La disminución de la cohesión en el material de relleno de la fractura, puede ser
entendida a partir del comportamiento que exhiben los materiales cohesivos. Los ensayos
de fluencia lenta sobre arcillas pueden entregar alguna idea acerca de la influencia del
tiempo en la cohesión. Sin embargo, se debe tener en cuenta que el relleno de la fractura
se compone, en parte, por minerales con una resistencia mayor.
Los resultados de ensayos sobre arcillas muestran una dependencia de la resistencia al
corte en el tiempo (Vaid y Campanella, 1977). La Figura 5-4 muestra el tiempo de falla de
probetas de arcilla en ensayos triaxiales sobre las cuales se mantuvo una carga
constante, la que correspondió a una fracción de la resistencia máxima en el corto plazo
(no drenada). En este caso, la falla ha sido claramente identificada como una pérdida de
resistencia luego de alcanzar un valor máximo para una cierta deformación axial. Se
observa que a menores esfuerzos, el tiempo necesario para alcanzar la fluencia es mayor.
En estos ensayos se logró un máximo tiempo de falla de 20 días para una tensión de
corte igual al 50% de la resistencia máxima. En esta figura se aprecia también, que existe
un límite inferior o valor umbral del esfuerzo de corte bajo el cual no se producirá nunca
la fluencia de la probeta
Al graficar el tiempo de falla versus la deformación axial, para los mismos ensayos de la
Figura 5-4, se observa cómo mientras mayor es la carga aplicada, menor es el tiempo
necesario para conseguir la fluencia (Figura 5-5). Se han realizado otros ensayos en
suelos cohesivos que muestran también esta reducción de la resistencia en función del
tiempo (Casagrande y Wilson por Peck et al., 1974; Meschyan, 1996).
30
Figura 5-4. Fracción de la resistencia máxima no-drenada en el tiempo (minutos) en arcillas,
bajo carga constante (Vaid y Campanella, 1977)
Figura 5-5. Deformación axial en el tiempo en ensayos de esfuerzo constante (fracción de la
resistencia máxima) sobre arcillas.(Vaid y Campanella, 1977)
El estudio de Malan et al. (1998) muestra resultados de ensayos realizados sobre
fracturas en roca reconstruidas en el laboratorio. En ellas se utilizaron rellenos artificiales
y también de material obtenido de fracturas naturales, compuestas principalmente por
cuarzo y moscovita. En los ensayos efectuados, la carga de corte aplicada se incrementó
en pasos sucesivos, manteniéndose constante por periodos de 24 a 48 horas antes del
siguiente incremento. Los resultados de estos ensayos muestran un aumento de la
deformación con la razón tensión de corte-resistencia al corte última, además de un
aumento de la deformación con el espesor de relleno y la presencia de materiales
cohesivos. El tiempo de falla en fracturas de 2mm de espesor fue de aproximadamente 8
días. En estos ensayos la carga se aplicó en incrementos sucesivos. Por esta razón, el
31
tiempo de falla no puede ser asociado a un nivel de carga único y no puede hacerse una
adecuada correlación entre ambos.
Los ensayos de fluencia lenta en roca intacta permiten conocer como cambia la
resistencia en minerales más duros para diferentes magnitudes y tiempos de aplicación
de carga. El estudio de Schmidtke y Lajtai (1985) muestra el resultado de 140 ensayos
sobre probetas de granito, las cuales fueron sometidas a distintas cargas constantes en
compresión uniaxial hasta provocar la rotura (Figura 5-6). Los resultados de los ensayos
muestran un límite inferior correspondiente al 65% de la resistencia máxima obtenida en
un ensayo rápido. La rotura, a este nivel de carga, se produjo aproximadamente a los 18
días. Cargas inferiores a este límite no produjeron rotura de las probetas dentro de un
periodo de 45 días. Se puede observar que los ensayos se ajustaron a una función
exponencial. Esto es importante, ya que implica que existe un valor asintótico hacia el
cual tendería la curva y bajo el cual no se producirá la rotura. Dado que se trata de roca
intacta muy dura, estos resultados corresponderían a un límite superior del valor umbral
que produciría la carga en el caso del material de relleno de fracturas.
El resultado de ensayos sobre fracturas limpias (Bieniawski, 1970; Fahimifar y Soroush,
2005) muestra una dependencia de la resistencia máxima al corte con la velocidad de la
aplicación de la carga. La literatura sugiere también, que existe una disminución de la
fricción en el tiempo debido a la destrucción de las rugosidades en fracturas sometidas a
un esfuerzo de corte constante y prolongado (Afanas’ev y Abramov, 1975; Schneider,
1977). El estudio de Malan et al. (1998), concluyó que el desplazamiento por fluencia
lenta en este tipo de fracturas es despreciable en comparación al producido en fracturas
con relleno. Aún así, estos estudios tratan el caso de fracturas limpias, las que no
corresponden a las consideradas en el presente modelo.
Figura 5-6. Nivel de esfuerzo (% de la resistencia instantánea a la compresión uniaxial) para
tiempo de falla. Probetas de granito. (Schmidtke y Lajtai, 1985)
32
5.3 Modelación del efecto del tiempo
Para modelar la fluencia lenta de una manera realista, se requiere elaborar modelos que
incluyan resortes o amortiguadores, como los mencionados en la sección 5.1. Sin
embargo, en el programa UDEC no se cuenta con un modelo constitutivo capaz de
incorporar la dependencia temporal en el comportamiento tensión-deformación de las
fracturas.
Una manera alternativa de reproducir este comportamiento, es reducir la resistencia
máxima al corte de las fracturas. Esta metodología ha sido utilizada en alguna manera en
otros estudios, como en el de Glamheden et al. (2004). Sin embargo, en este estudio no
se ha correlacionado la disminución de resistencia con el tiempo o con el nivel de esfuerzo
en el material.
De acuerdo a la literatura, es el deslizamiento de corte en las fracturas lo que controla la
deformación del macizo rocoso en el tiempo, por lo tanto, se puede suponer que la
fluencia lenta es posible sólo en la medida que existan esfuerzos de corte actuando sobre
ellas. Al disminuir la resistencia máxima al corte de la fractura en el tiempo, en lugar de
calcular los desplazamientos, se está imponiendo la situación límite de relajación que se
alcanzará debido a los efectos de la fluencia lenta provocada por un esfuerzo de corte que
actúa sobre la fractura (Glamheden et al., 2004).
De acuerdo a los ensayos como los mostrados en las Figura 5-4 y Figura 5-6, si se aplica
una carga igual a una fracción de la resistencia máxima al corte, se producirá una
deformación hasta alcanzar la fluencia en algún determinado tiempo. Desde otro punto de
vista, para un cierto tiempo transcurrido, una fractura que sigue el comportamiento dado
por una de estas curvas, no podrá estar sometido a un esfuerzo mayor al que la curva
delimita, o de lo contrario ya habría fallado y se encontraría en su condición residual.
Según el modelo constitutivo que se ha utilizado para modelar las fracturas en este
estudio, la resistencia al corte está controlada por la tensión normal, el ángulo de fricción
y la cohesión. Se ha supuesto que la fricción no tiene una dependencia temporal, y que la
fricción residual se alcanza luego de alcanzar el ángulo de fricción máximo. En cambio, se
ha supuesto que la cohesión sí experimenta una reducción en el tiempo dependiendo del
nivel de esfuerzo al que está sometida la fractura, de manera de tener en cuenta que a
esfuerzos mayores, el tiempo para llegar a la fluencia es menor. De la revisión de la
literatura, resulta razonable suponer una reducción no-lineal de la cohesión decayendo
hacia un valor residual.
Con respecto al tiempo para alcanzar la condición residual, de los estudios se concluye
que este tiempo es variable y dependiente de factores como el espesor de relleno, tipo de
material, carga aplicada, velocidad de aplicación y tensión normal sobre la fractura.
Además, ninguno de los estudios revisados muestra resultados de ensayos de corte sobre
fracturas con relleno en los que se haya medido un tiempo de falla para distintas
solicitaciones, como los mostrados anteriormente. Por esta razón, parece difícil poder
determinar a ciencia cierta cual sería el tiempo para alcanzar la condición última para las
fracturas consideradas en el presente modelo. La información antes analizada permite,
sin embargo, tener algún orden de magnitud sobre la escala de tiempo en la que se
desarrolla este fenómeno.
El estudio sobre fracturas en roca de Malan et al. (1998) no permite conocer cabalmente
la fracción de la resistencia máxima que se ha utilizado, debido al cambio de la carga
33
durante el ensayo. En el caso de arcillas (Vaid y Campanella, 1977), éstas corresponden a
un material más blando, el cual podría sufrir mayores desplazamientos debido a la
fluencia lenta, que minerales más duros. De todas formas los valores obtenidos en los
ensayos en roca dura (Schmidtke y Lajtai, 1985) indican un límite superior en cuanto a la
tensión mínima para producir fluencia lenta. Los materiales más blandos tendrían un
umbral de carga menor y el tiempo hasta conseguir la rotura sería menor que en
materiales más duros.
En base a los estudios examinados, se ha supuesto un valor umbral correspondiente al
50% de la resistencia máxima en el corto plazo, con el cual se alcanzará la condición
residual de la cohesión en un tiempo de 400 horas, lo que equivale a 17 días
aproximadamente. Esto corresponde sólo a una estimación. Para obtener un valor real
deberían realizarse ensayos de corte directo en los cuales se mida el tiempo de fluencia
en las fracturas para distintos niveles de esfuerzo de corte.
5.4 Modelo para la reducción de la resistencia al corte de las
fracturas
La dependencia del tiempo se ha representado como una reducción de la resistencia
máxima de la fractura. De ésta forma, una solicitación de corte menor a la resistencia
máxima y mayor a un cierto valor umbral, que se mantenga constante en el tiempo,
provocará la rotura en algún instante de tiempo t. La literatura es concluyente en que el
tiempo necesario para alcanzar la rotura es menor para solicitaciones de corte más
cercanas a la resistencia máxima.
Se ha supuesto un comportamiento de la
cohesión depende de la solicitación y del
depende solamente del desplazamiento en
puede alcanzar su condición residual antes
movilizar toda la fricción en el contacto.
resistencia al corte del contacto, tal que la
tiempo transcurrido. La fricción, en cambio,
el contacto. Bajo este supuesto, la cohesión
que ocurra el desplazamiento necesario para
La resistencia máxima (smax) en la ecuación 5-3, sufre una disminución de la cohesión con
el aumento de la solicitación de corte (η) y el tiempo (t). Debido a la disminución de la
cohesión, la resistencia máxima pasa de un valor máximo inicial (smax_cm) a uno máximo
friccional (smax_cr), el cual se calcula con el valor máximo del ángulo de fricción pero con el
valor residual de la cohesión.
En estas ecuaciones ζn es la tensión normal sobre el contacto, cm la cohesión máxima, cr,
la cohesión residual y θm.el ángulo de fricción máximo.
La pérdida de resistencia al corte en la fractura, corresponde a una disminución de la
resistencia máxima, es decir, dado un valor de la solicitación de corte η, la solicitación que
34
produce la falla se hace cada vez menor a medida que el tiempo avanza. Esto no quiere
decir que se induzca la falla con el tiempo, sino solamente que se limita la resistencia
máxima al corte que puede resistir la fractura.
Para incluir el efecto de la solicitación de corte en la disminución de la resistencia al corte
de la fractura, debe considerarse que la resistencia al corte es variable con la tensión
normal a la fractura. En la Figura 5-7 pueden observarse los gráficos de las ecuaciones 54 y 5-5, las cuales corresponden a la resistencia máxima inicial y la resistencia máxima
friccional en función del esfuerzo normal ζn. Ambas rectas son paralelas y para un mismo
valor de ζn, la diferencia entre ambas rectas corresponde a la diferencia entre la cohesión
máxima y la residual, cm - cr.
En base a la literatura (sección 5.2), se ha supuesto que la disminución de la resistencia
al corte es también función del nivel de esfuerzo de corte en el contacto y que se tendrá
un decaimiento más rápido de la cohesión para una solicitación de corte más cercana a la
resistencia máxima. Para tomar en cuenta esto, se ha definido la razón D (ecuación 5-6),
como la fracción de la resistencia máxima alcanzada, suponiendo como cota mínima el
valor de resistencia máxima friccional. El valor D es función de la solicitación η y de la
tensión normal ζn. La fracción D sólo tiene sentido si el esfuerzo de corte solicitante es
mayor a la resistencia máxima friccional que se puede lograr.
Según lo que se ha expuesto anteriormente, se ha definido un valor umbral Du sobre el
cual se producirá la reducción de la cohesión. Este valor corresponde al 50% del valor de
la resistencia al corte máxima. Sobre este umbral se producirá una reducción de la
cohesión, mientras que valores de D menores a Du no producirán una reducción de la
cohesión en el contacto. Valores mayores a 1 no son posibles, puesto que en ese caso, la
falla ya se habrá producido con D =1.
Figura 5-7. Ecuaciones 5-4 y 5-5. Esfuerzo de corte y tensión normal en el contacto
35
Para construir una función que tomara en cuenta las características que se buscaron en la
reducción de la cohesión, se consideró lo siguiente:
i Una reducción mayor, mientras la solicitación del esfuerzo de corte se encuentre más
cercano al valor de resistencia máxima del contacto.
ii Para un valor de D mayor a Du y un tiempo infinito, debe entregar el valor residual.
iii La literatura sugiere una función de tipo exponencial.
iv Debe considerarse un posible cambio en la solicitación sobre el contacto.
Se encontró una función, la ecuación 5-7, que permite cumplir con las condiciones
solicitadas. Por cierto, esta función sólo corresponde a una de las muchas funciones que
pueden utilizarse para modelar este problema.
Donde k (1/hora) y a (adim.) corresponden a constantes de ajuste y cmi (MPa), a la
cohesión máxima en el tiempo ti, cr (MPa) a la cohesión residual y D’ a un valor que
permite que D sólo tenga validez entre Du y 1.
Se ha supuesto que con D=1 el tiempo para alcanzar la cohesión residual es 1 hora, lo
que correspondería al tiempo de ensayo estándar. El tiempo para que una solicitación
36
equivalente a D=0,5, alcance la cohesión residual es de 400 horas. Con estos valores se
ajustó la curva, llegando a valores de k=0,377 1/hr. y a=0,760.
Dado que la ecuación es asintótica al valor de cohesión residual, se fijó como tiempo
límite aquel para la cual la cohesión es 0,02% de su valor máximo.
En la Figura 5-8, es posible visualizar el comportamiento de la cohesión representada por
la ecuación 5-7. Se muestra el cambio de la cohesión para distintos valores de D
constantes en el tiempo. Se observa que, mayores valores de D producen un decaimiento
más rápido de la cohesión. Para realizar estos gráficos, se han utilizado cm = 4MPa y
cr=0.
El incluir en la ecuación 5-7, el valor de la cohesión obtenida en el paso anterior permite
considerar cambios en la solicitación. Si se produce un cambio en la solicitación, este
cambio será efectivo a partir del valor de la cohesión al que se ha llegado con la
solicitación anterior. De esta manera, se está tomando en cuenta el tiempo transcurrido
bajo la solicitación previa. Un ejemplo de cambio en la solicitación bajo este supuesto se
muestra en la Figura 5-9. Se observa cómo se produce un cambio en la curva para tender
a aquella descrita por el valor de D actualizado. No considerar esto, implicaría cambiarse
entre las curvas D=cte. de la Figura 5-8, y por lo tanto, suponer una cohesión igual a la
que obtendría si se hubiera tenido el valor nuevo de D desde el inicio (t=0).
Figura 5-8. Disminución de la cohesión en el tiempo para distintos valores del parámetro D
Figura 5-9. Disminución de la cohesión en el tiempo para cambio de la solicitación D
37
Dada esta función de la cohesión, es posible calcular el tiempo con el cual se llega a la
condición residual dado un cierto valor de D. La Figura 5-10 muestra cómo varía el
tiempo de llegada al valor de cohesión residual para distintos valores de la solicitación,
expresado en términos de D. Se observa cómo, para valores inferiores al valor umbral Du
(en este caso 0,5) el valor residual nunca se alcanza. Para valores de D mayores, el
tiempo para llegar al valor residual es menor a medida que aumenta la solicitación. Para
D=1 el tiempo para alcanzar el valor residual es 1 hora. Se puede apreciar a simple vista
que la forma de la curva es similar a la de la Figura 5-4.
Figura 5-10. Tiempo para alcanzar la cohesión residual según valor de D
5.5 Consideración del tiempo en el presente modelo
El programa UDEC determina el paso de tiempo δt bajo la hipótesis de que éste es
suficientemente pequeño para que las velocidades y aceleraciones permanezcan
constantes dentro de él. El paso de tiempo se calcula a partir de la frecuencia del sistema.
Para esto, se utilizan los valores mínimos de esta frecuencia, calculados a partir de los
bloques y los contactos.
38
En esta ecuación mi corresponde a la masa asociada al nodo i del bloque i; ki, la rigidez de
la masa que rodea al nodo i (de las que se busca el mínimo dentro del bloque); Mmin, la
masa del bloque más pequeño en el sistema; Kmax, la máxima rigidez en contactos y frac,
el factor de reducción que toma en cuenta que cada bloque pueda estar en contacto con
varios bloques al mismo tiempo (0,01 por defecto). El δt corresponde, por lo tanto, a una
unidad de tiempo real (segundos).
Por otra parte, en UDEC, “ciclo” se refiere a un paso de cálculo del programa. Para llegar
al equilibrio de un determinado sistema se requiere de una cierta cantidad de ciclos. Cada
uno de estos ciclos corresponde a un δt de tiempo real. Por lo tanto, para simular un
cierto periodo de tiempo real Δtr es necesario correr una cantidad N de ciclos.
Δtr= N δt
(5-11)
El tiempo real tr es totalmente distinto del tiempo de cálculo tc, empleado por el
programa, ya que dependiendo del valor del δt utilizado, una situación que simule sólo
algunos segundos de tiempo real, podría tardar varias horas de tiempo de cálculo.
Para realizar el cálculo de la pérdida de resistencia, se ha definido en el modelo una
variable de tiempo de simulación ts, distinta al tiempo real tr, que permite efectuar los
cálculos que determinan las propiedades del material. De esta forma, el tiempo ts se
convierte en el verdadero tiempo transcurrido en el modelo.
Luego de revisar los contactos y realizar los cambios correspondientes, se corre una
cantidad de ciclos en el programa que permitan llevar el modelo al equilibrio bajo las
nuevas condiciones impuestas. Una vez alcanzado el equilibrio, la cantidad de tiempo real
(tr) que transcurra en el programa posteriormente es indiferente para el modelo, ya que
no se producirán cambios en él. Por esta razón, es posible incrementar el valor del tiempo
utilizado para el cálculo, ts, y de esta forma, llevar el modelo a un tiempo posterior donde
se aplicarán nuevos cambios. Esto permite un avance más rápido del tiempo en la
simulación. En cada incremento Δts se considera también el tiempo Δtr que ha
transcurrido antes de lograr el equilibrio en el modelo, aunque en la práctica es muy
pequeño en comparación a Δts. El tiempo de simulación ts se incrementó en intervalos
constantes, pero cuidando de que fuera suficientemente pequeño para que en el
comienzo tomara en cuenta la rápida disminución de la resistencia.
En la Figura 5-11 se muestra un diagrama con las tres variables de tiempo consideradas.
Figura 5-11. Los tres diferentes tiempos considerados en el modelo
39
5.6 Cálculo de la disminución de la resistencia al corte en los
contactos
El algoritmo para reducir la resistencia en los contactos se implementó a través de una
función programada en lenguaje FISH. Esto se hizo mediante la siguiente secuencia:
i Se revisan los contactos uno a uno, determinando para cada uno el valor de la fracción
D a partir de los esfuerzos que actúan sobre él y las propiedades geotécnicas. Si D es
mayor al valor Du, se produce la reducción, en caso contrario no se realiza cambio alguno.
ii Si se trata de la primera vez que el contacto entra bajo un esfuerzo que produce un
valor de D mayor a Du, y que por lo tanto, disminuye su resistencia, se guarda ese tiempo
para el contacto. Luego, este tiempo es restado al tiempo de la simulación al momento de
calcular el nuevo valor de la cohesión.
iii A partir del valor de D y del tiempo en que se encuentre la simulación, se calcula el
valor de la cohesión según la ecuación 5-7.
iv Se cambia el valor de la propiedad en el contacto correspondiente.
v Luego de revisar todos los contactos, se lleva el modelo al equilibrio. Esto significa
correr el programa el tiempo necesario para que el sistema se estabilice en un nuevo
punto de equilibrio, antes de realizar el siguiente incremento del intervalo de tiempo.
Si se trata de la primera vez en que el contacto entra bajo un esfuerzo que produce un
valor de D mayor a Du, y que por lo tanto disminuye su resistencia, ese tiempo es
guardado para el contacto. Éste, corresponde a un tiempo “cero”, es decir, a partir de
cuando comienza la degradación de la resistencia en el contacto. Luego, este tiempo es
restado al tiempo de la simulación al momento de calcular el nuevo valor de la cohesión
para cada nuevo incremento de Δt. De esta forma, no se considera el tiempo en el cual el
contacto ha estado sometido a cargas inferiores a Du.
Para poder controlar las propiedades de cada contacto de manera individual, se debieron
asignar las propiedades mediante el comando joint. Al hacer esto, es posible acceder a la
memoria del programa UDEC y realizar los cambios de cada propiedad en cada uno de los
contactos del modelo.
40
Para poder simular la metodología aquí descrita es necesario entregar como datos de
entrada los valores de las variables que se presentan en la Tabla 5-1, lo que va de
acuerdo a los modelos constitutivos elegidos para representar el comportamiento de
bloques y contactos.
Tabla 5-1. Parámetros de entrada del modelo numérico
5.7 Resultado de la aplicación del método de reducción de
resistencia
Al implementar este método para la disminución de la resistencia en las fracturas
consideradas en el modelo numérico, se encuentra que la pérdida de resistencia mecánica
y la caída de bloques ocurren en forma gradual. En cada paso de tiempo se evalúan las
variaciones de esfuerzos, que significa un cambio en la cohesión de cada contacto y por lo
tanto en su resistencia. Luego, el modelo es llevado al equilibrio y se llega a una nueva
condición estable en la que no se produce un aumento de los desplazamientos. Esto se
repite hasta llegar a una situación de colapso, en la que el único equilibrio posible es
luego de la caída total de los bloques.
41
6. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS DE LAS
SIMULACIONES
Se realizó un estudio para observar el efecto del tamaño de los bloques y de la
orientación y persistencia de los sistemas de fracturas. Luego, se eligió una configuración
de fracturas y se hicieron simulaciones variando la velocidad de extracción.
Se modeló una situación de extracción sin restricción, que consiste en sacar los bloques
del sistema tan rápido como se desprenden de manera que no interfieran con la caída de
otros bloques. Se modeló también una situación de extracción controlada, en la cual los
bloques se extrajeron lentamente a distintas tasas.
6.1 Condición inicial
Antes de permitir la caída de bloques en el modelo, se aplicaron las tensiones in situ y las
cargas en los bordes hasta alcanzar el equilibrio del sistema. Luego de alcanzar una
situación de equilibrio, se simuló la excavación, para lo cual se removieron las
restricciones que impedían la caída de bloques.
Los resultados y análisis de la aplicación de las condiciones iniciales se muestran con
mayor detalle en el Anexo C.
6.2 Tamaño de bloques y orientación de las fracturas en el modelo
Existe una gran cantidad de posibles propiedades geométricas que podrían definirse para
los sistemas de fracturas en el modelo. Puede variarse su inclinación, separación entre
fracturas y persistencia. Estas variables condicionarán el tamaño y forma de los bloques
que los sistemas de fracturas generen.
Definir un adecuado tamaño de los bloques es fundamental para poder modelar el
problema. Dado que se supone una falla progresiva en los contactos, se quiere encontrar
bloques con los cuales el modelo se mantenga relativamente estable en la condición
estática inicial y que luego, debido a la reducción de las propiedades, estos caigan en
forma gradual.
6.2.1 Tamaño de los bloques
En primer lugar, se intentó determinar el tamaño de bloques suponiendo una situación
simple. Se simularon bloques cuadrados formados por dos sistemas de fracturas
persistentes, como en la Figura 6-1-a. Luego, manteniendo todas las demás condiciones
del modelo tales como esfuerzos, tamaño de la abertura, propiedades de los materiales,
etc. constantes; se realizó una calibración para encontrar el tamaño de bloques que
permitiera modelar lo que se buscaba. Se realizaron pruebas con bloques de distintos
42
tamaños en las que también se hicieron rotaciones del sistema de fracturas (Figura 6-1b).
Figura 6-1 a y b. Sistemas de fracturas que definen bloques cuadrados
Las pruebas mostraron que, para las condiciones impuestas en el modelo, con bloques de
dimensión mayor o igual a 0,8m, lo que corresponde a 1/28 del tamaño de la abertura,
no se llegó a una situación de colapso. Para este tamaño, se produjo la caída de algunos
bloques en la condición inicial. Luego, al simular la disminución de la cohesión, se
formaron arcos que se mantuvieron estables en el tiempo, impidiendo la caída de los
demás bloques y un colapso del sistema (Figura 6-2). En estas pruebas se incluyeron
cambios en la orientación de los sistemas de fracturas (0°, 15°, 20°, 30° y 45°),
obteniéndose resultados similares en todos ellos. Cabe señalar que una inclinación de 30°
es equivalente a una de 60° medida desde el lado opuesto, análogamente lo son 15° y
75°.
Los arcos formados se asemejan bastante a los obtenidos por McNearny y Abel (1993),
descrito en la sección B.1.2. En ese estudio este fenómeno fue explicado como una
consecuencia de la configuración de los ladrillos o bloques.
Se redujo el tamaño de los bloques hasta que, con bloques con un tamaño de 0,7m se
cumplió con lo que se requería. Este tamaño corresponde a 1/31 el ancho de la abertura.
Con estas dimensiones se produjo la caída de algunos bloques en la condición inicial y, al
simular la reducción de resistencia, los bloques cayeron gradualmente hasta llegar al
punto en el que se desató una caída masiva.
Figura 6-2. Formación de arcos estables. Tamaño de bloques 0,9 x 0,9m
43
Debe tenerse en consideración que en una situación real los bloques podrían
fragmentarse, lo que no es posible en este caso. Los bloques aquí definidos podrían ser
más pequeños que los formados por sistemas de fracturas con separaciones entre
fracturas típicas encontradas en la minería. Además, en un caso real, en lugar de ser
uniforme, la distribución del tamaño de los bloques variaría en función de la ubicación del
material dentro del flujo descendente de mineral.
6.2.2 Ordenamiento de los bloques
Se realizaron simulaciones para determinar la influencia del arreglo de los bloques. Para
esto, mediante fracturas no-persistentes, se crearon bloques con un traslape igual a la
mitad de su lado, ordenados como un muro de ladrillos (Figura 6-3). Se utilizaron bloques
de 0,7m, tamaño con el cual no se produjeron arcos estables con los sistemas de
fracturas mostrados en la Figura 6-1
Figura 6-3. Sistemas de fracturas que definen bloques traslapados
De las pruebas efectuadas se pudo observar que, manteniendo todas las demás
condiciones del modelo constantes, el sistema formado por fracturas no-persistentes
(bloques traslapados) es más estable que uno formado por fracturas persistentes. En el
primero de ellos, para la condición estática y una misma inclinación de los sistemas de
fracturas, se produjeron menores desplazamientos y una menor caída de bloques. Al
simular el paso del tiempo, el arreglo de bloques traslapados se mostró también más
estable, formando arcos y no produciéndose una caída masiva de bloques (Figura 6-4).
44
Figura 6-4. Formación de arcos estables con configuración de bloques traslapados
Se compararon los resultados de tensiones y desplazamientos para diferentes
orientaciones y configuración de los sistemas de fracturas que produjeron arcos estables.
Los resultados se muestran en el Anexo D.
6.3 Simulación de extracción sin restricción
Debido a que el sistema de fracturas persistentes inclinado en 30° produjo mayores
esfuerzos e inestabilidad, comparado con las otras configuraciones de fracturas
modeladas, se decidió utilizar esta configuración, con bloques cuadrados de 0,7m para las
siguientes simulaciones, exceptuando las mostradas en la sección 6.3.2.
6.3.1 Simulaciones con dos sistemas de fracturas
Se simuló una situación extrema, en la cual se supuso una velocidad de extracción
suficientemente rápida, como para que los bloques que se desprenden y caen, no puedan
interferir con el resto del material que aún no ha caído. En estas simulaciones se calculó
la energía elástica almacenada en cada volumen de control (VC).
Para lograr esto, luego de aplicar las condiciones iniciales, se realizó la excavación
removiendo para ello las restricciones que impedían la caída de bloques desde los puntos
de extracción. La altura del corte excavado fue suficiente para que los bloques que se
desprendieran tuvieran espacio para caer y ubicarse en una posición donde no
interfirieran con el resto. La caída de bloques se produjo de manera paulatina. El tiempo
de simulación ts se aumentó, llevando el modelo al equilibrio después de cada paso. En
algún instante el equilibrio no pudo mantenerse, y se produjo una caída masiva de
bloques (colapso). En la Figura 6-5 se muestran algunas imágenes del proceso de caída
de bloques hasta llegar a esta situación.
Durante la simulación se calculó la energía elástica almacenada en los bloques y
contactos. Se calculó la densidad de energía, esto es, energía por unidad de volumen.
45
Como se mencionó anteriormente (sección 2.2), existe una relación entre la magnitud de
la energía liberada del macizo rocoso y la generación de estallidos de roca.
Figura 6-5. Distintas etapas de la caída de bloques durante la simulación de extracción sin
restricción
46
Figura 6-5. Continuación…
De la Figura 6-6 a la Figura 6-8 se muestra el resultado del cálculo de la densidad de
energía elástica para los volúmenes de control 1, 2 y 3 respectivamente. Como se puede
observar, es en el tercio inferior donde se produce un mayor almacenamiento de energía.
En esta zona, la densidad de energía es casi 3 veces mayor que en los demás volúmenes
de control. Se aprecia que, la mayor cantidad de energía se almacena en los contactos y
corresponde en general al 85% de la energía total acumulada.
47
Figura 6-6. Densidad de energía elástica almacenada, Volumen de control (VC) 1
Figura 6-7. Densidad de energía elástica almacenada, VC2
Figura 6-8. Densidad de energía elástica almacenada, VC3
El salto observado en los gráficos anteriores (Figura 6-6 a Figura 6-8) en t = 6,6hr ocurre
al pasar de la situación de la Figura 6-5-h a la de la Figura 6-5-i. Se puede apreciar que
se produce un colapso de los bloques sobre los pilares del modelo, lo que se traduce en
una pérdida de sostenimiento del sistema y una falla abrupta o colapso. La Figura 6-9
48
muestra en detalle esta situación para el volumen de control 6. Resultados para los
demás volúmenes de control se muestran en el Anexo E.
Dentro del VC6, en el cual se incluye la zona sobre los pilares, se producen dos cambios
bruscos en la energía elástica almacenada, en t=24148,5s y t=24150s. El segundo
cambio es más importante, y la densidad de energía cae en más de 0,7MJ/m3.
Figura 6-9. Variación de la energía elástica almacenada en VC6
6.3.2 Simulación con tres sistemas de fracturas
Se realizó una simulación sin restricción, con una configuración distinta de bloques a la
utilizada anteriormente. Se definieron tres sistemas de fracturas, de manera de generar
bloques con una forma más cercana a lo que podría encontrarse en la realidad y
compararlo con los resultados hasta ahora obtenidos. Las características de los sistemas
de fracturas definidos se presentan en la Figura 6-10 y en la Tabla 6-1. La Figura 6-11
muestra una secuencia de la caída de los bloques.
Figura 6-10. Simulación utilizando tres sistemas de fracturas
Tabla 6-1. Propiedades de los sistemas de fracturas de la Figura 6-10.
49
Figura 6-11. Distintas etapas de la caída de bloques en la extracción sin restricción del modelo
definido por tres sistemas de fracturas
50
A continuación se muestra lo ocurrido en el punto de extracción central, volumen de
control 6. Se observa que el colapso para este modelo ocurre en un tiempo menor,
produciendo una mayor liberación de energía. Al momento de producir el colapso, la
liberación de energía elástica es de 1MJ/m3 (Figura 6-13). Este valor se encuentra dentro
del mismo orden que el obtenido en el modelo de bloques definidos por dos sistemas de
fracturas, en el cual la caída de energía fue de 0,7MJ/m3 (ver Figura 6-9)
Figura 6-12. Comparación de densidad de energía elástica. VC6
Figura 6-13. Densidad de energía elástica en VC 6. Luego del colapso. Modelo con tres
sistemas de fracturas de igual rumbo
Al comparar ambos modelos se aprecia que inicialmente se produce una menor
acumulación de energía elástica en el modelo con tres sistemas de fracturas. Esto podría
deberse a que este modelo resulta más flexible que el modelo definido por dos sistemas
de fracturas, debido a la mayor cantidad de contactos que existen en él (Figura 6-14 y
Figura 6-15).
Figura 6-14. Tensión sxx (MPa). Bloques definidos por dos sistemas de fracturas
51
Figura 6-15. Tensión sxx (MPa). Bloques definidos por tres sistemas de fracturas
6.4 Energía elástica en la simulación de extracción controlada
En estas simulaciones se modelaron bloques cuadrados de 0,7m definidos por dos
sistemas de fracturas como los mostrados en la Figura 6-1, con una inclinación de 30°.
Se modeló una situación en la que los bloques fueron extraídos lentamente. Se realizó un
corte de 2,5m de altura bajo el nivel de extracción para permitir la caída de bloques. Los
bloques desprendidos en la condición inicial se acumularon formando una cavidad entre el
material ya excavado y el resto del bloque (Figura 6-16). Posteriormente, al simular la
pérdida de resistencia en los contactos, se produjo una caída paulatina de bloques,
52
desplazando la cavidad hacia arriba. Al caer los bloques y perder el orden, ocuparon un
mayor volumen. Este esponjamiento permitió que, eventualmente, entraran en contacto
con los bloques que aún no habían caído, llegando a un nuevo punto estable (Figura 619) el cual de mantuvo estable con el avance del tiempo (Figura 6-17). Esta condición se
utilizó como un punto inicial a partir del cual se realizaron las simulaciones de extracción
de bloques.
Figura 6-16. Simulación de extracción controlada. Condición inicial.
6.4.1 Comparación de condiciones iniciales de simulación de
extracción sin restricción y simulación controlada
Se graficó la densidad de energía elástica almacenada para las simulaciones de extracción
sin restricción con dos sistemas de fracturas y la condición inicial de la extracción
controlada. Los resultados para el volumen de control 6 se muestran en la Figura 6-17.
Figura 6-17. Densidad de energía extracción controlada y sin restricción. VC6
53
Al comparar las curvas, se aprecia que antes del colapso del modelo libre (t = 6,6hr), el
valor de la densidad de energía elástica almacenada es casi idéntico en ambas
simulaciones.
El aumento de la energía elástica almacenada es suave en el caso del modelo de
extracción controlada y no se producen grandes oscilaciones como en el modelo sin
restricción. El aumento en la energía elástica coincide con el momento en el que se llena
completamente la cavidad, pasando de la situación de la Figura 6-18 a aquella de la
Figura 6-19. Esto produce una redistribución de las tensiones, y la densidad de energía
aumenta en un 15% aproximadamente, manteniéndose estable de aquí en adelante.
Figura 6-18. Simulación extracción controlada, t = 7,8hr
Figura 6-19. Simulación extracción controlada, t = 10,2hr
54
La Figura 6-20 muestra la tensión principal mayor para la misma situación de la Figura 619. Se observa cómo el aumento de la tensión de compresión se produce en el pilar hasta
llegar al coronamiento del arco, es decir, en la zona que rodea el material excavado. En el
lado izquierdo se observa un mayor aumento de la tensión a lo largo del arco, lo que
puede deberse al efecto de la cercanía del borde. En esta figura se considera un signo
negativo para la compresión.
Figura 6-20. Tensión principal mayor σ1 (MPa). Simulación extracción controlada, t = 10,2hr
6.4.2 Diferentes velocidades de extracción
A partir del punto en que se logra un equilibrio en el sistema, se modeló una extracción
gradual de bloques. Para esto, en cada punto de extracción se borraron bloques del
55
modelo en una franja sobre la base de apoyo, y de esa forma se produjo un espacio que
permitió que continuara la caída de bloques. Este proceso supuso el retiro instantáneo de
una cierta cantidad de material y el aumento del tiempo de simulación ts en cada etapa.
El proceso se repitió, corriendo los ciclos necesarios para llevar cada vez el modelo al
equilibrio entre cada etapa de extracción. Para simular diferentes velocidades de
extracción, se borraron diferentes cantidades de bloques en cada paso.
En la Figura 6-21 se grafican 3 curvas que muestran el porcentaje de material extraído,
para realizar 3 simulaciones. La extracción comienza a partir de t =11,4hr, que es
después de lograr el equilibrio del sistema (ver Figura 6-17). Las simulaciones SV1, SV2 y
SV3 extrajeron 0,93, 0,42 y 0,22 % del material total por hora respectivamente. El
porcentaje se calcula con respecto al área total inicial de material sobre el nivel de los
puntos de extracción.
Figura 6-21. Material excavado. (%) del bloque para 3 velocidades de extracción controlada
En la Figura 6-22 se grafica la densidad de energía elástica almacenada para el punto de
extracción central.
Figura 6-22. Densidad de energía elástica. VC6
56
Es interesante observar con mayor detalle lo que ocurre durante la pérdida de energía,
entre dos de los puntos estables. Se graficó con mayor detalle lo que ocurre entre t =
12,7hr y 14hr en la simulación SV1 (roja), entre t=16,7hr y t=18hr en la SV2 (azul) y
entre t=19,5 y 20,9hr en la SV3 (verde). En estos intervalos de tiempo se producen las
variaciones más importantes de la energía elástica en cada una de las respectivas curvas.
Para la simulación SV1, la Figura 6-23 muestra que primero se produce una disminución
brusca de la energía almacenada. Luego de esto, se produce un pequeño aumento y se
llega al estado final después de 4s aproximadamente (Figura 6-23).
Figura 6-23. Primeros instantes de la variación de densidad de energía elástica almacenada
simulación SV1 entre t =12,7hr y t =14hr. VC6
La Figura 6-24 muestra un detalle de la Figura 6-23. Se puede observar que la gran
pérdida de energía elástica se produce rápidamente, cayendo en 0,45MJ/m3
aproximadamente, en un intervalo de 0,17s.
Figura 6-24. Ampliación de la Figura 6-23
En el caso de la simulación SV2 (azul) (Figura 6-25) la densidad de energía elástica
almacenada cae en 0,33MJ/m3. La mayor pérdida se produce en un tiempo de 0,13s.
Luego de 0,4s ya se ha estabilizado en el valor final.
57
Figura 6-25. Primeros instantes de la variación de densidad de energía elástica almacenada
simulación SV2, entre t=16,7hr y t=18hr. VC6
Al observar de cerca lo ocurrido para la simulación SV3 (Figura 6-26) se nota que la
pérdida de energía elástica es mucho más gradual que en los casos anteriores. Se
produce transcurrido un tiempo mayor, cerca de 1,5s, y no se observa una variación
brusca importante. El mayor salto observado en una ventana de 0,2s es de 0,14MJ/m3.
Figura 6-26. Primeros instantes de la variación de densidad de energía elástica almacenada
simulación SV3, entre t=19,5 y 20,9hr. VC6
En general, se aprecia que las caídas son más pronunciadas y rápidas cuanto mayor es la
velocidad de extracción.
La Figura 6-27 muestra un registro típico de un estallido de roca ocurrido en la mina El
Teniente (Van Sint Jan et al., 2007). Este registro fue tomado en una estación ubicada
alrededor de 170m de la fuente. Para esa distancia, la diferencia en el tiempo de llegada
entre las ondas de compresión y de corte es del orden de 0,02s, por consiguiente, se
puede suponer que el fenómeno de ruptura asociado al evento sísmico dura alrededor de
0,2s.
58
Por lo tanto, Liberaciones de energía en periodos de tiempo inferiores a 0,2s son
candidatos a producir eventos sísmicos (estallidos de roca). El que el evento registrado
produzca daño depende de la cantidad de energía liberada.
En el caso de las simulaciones SV1 y SV2 (Figura 6-24 y Figura 6-25) la liberación de
energía se produce en 0,17s y 0,13s respectivamente, por lo que liberaciones de energía
de este tipo podrían generar un evento sísmico.
Figura 6-27. Registro de velocidades a 170m de la fuente. Mina El Teniente (Van Sint Jan et
al., 2007)
La Figura 6-28, dibujada a partir de la información de la Figura 6-22 muestra la energía
liberada en el tiempo para las simulaciones SV1 y SV3. Se observa que para la velocidad
rápida de extracción (SV1) la misma cantidad de energía liberada por la simulación más
lenta (SV3), es liberada en un tiempo menor y con variaciones más bruscas.
Figura 6-28. Energía liberada en el tiempo para simulaciones SV1 y SV3
La Figura 6-29 muestra cómo, para un mismo volumen excavado, se libera una misma
cantidad de energía para ambas velocidades de extracción.
59
Figura 6-29. Energía liberada y porcentaje de volumen total extraído para simulaciones SV1 y
SV3
De los resultados ilustrados en las Figura 6-28 y Figura 6-29, queda en evidencia que
para liberar una misma cantidad de energía, la velocidad de extracción más lenta (SV3) lo
hace en varios saltos pequeños, en cambio la simulación rápida (SV1) lo hace
bruscamente. Vale decir, con la extracción lenta se produce una mayor cantidad de
eventos pero de menor magnitud. Esto muestra que, en minas explotadas con el método
del Block Caving o alguna de sus variaciones, la liberación rápida de grandes cantidades
de energía, y por lo tanto, la posibilidad de generar eventos sísmicos aumenta con la
velocidad de extracción de mineral.
6.5 Ubicación de los cambios de energía elástica almacenada
En terreno, la actividad sísmica ha sido ubicada en una zona que rodea al material
excavado, como lo muestra el modelo conceptual de Duplancic y Brady (1999), (Figura 22) que se elaboró a partir de mediciones en la mina Northparkes (NSW, Australia).
Mediciones realizadas por Trifu et. al (2007) en la mina Darlot, Australia, muestran una
zona similar para la ubicación de los eventos sísmicos, indicados en la Figura 6-30 con
puntos alrededor de la zona de hundimiento en color naranjo. En este caso, también se
midieron algunos eventos en el material excavado aunque en menor número. Estas
mediciones se ubican en una escala diferente a la del problema modelado en este trabajo,
sin embargo, corresponden al mismo concepto, en el cual la concentración de tensiones
se produce alrededor del material excavado.
Figura 6-30. Distribución de microsismicidad, con respecto al hundimiento. Escala superior
izquierda en metros (Trifu et al., 2007)
60
En la Figura 6-31y Figura 6-32, se grafica la tensión principal mayor (signo negativo para
la tensión de compresión) para el volumen de control 6 correspondiente a la simulación
SV1 de la Figura 6-22, en t=18hr. y t=19.5hr. respectivamente. En este periodo la curva
muestra una gran disminución de la energía elástica. En las figuras se puede observar
que se produce una disminución de las tensiones, principalmente sobre los pilares y en la
zona que rodea la cavidad. En este caso se están tomando 2 mediciones separadas por
horas, pero como se ha mostrado anteriormente, se sabe que la disminución de la
energía elástica almacenada ocurre en un tiempo muy breve, del orden de 0,2s o menor.
La energía elástica acumulada está asociada al nivel de tensiones y se ha comprobado
que sus variaciones coinciden. Es en la zona que rodea el volumen excavado donde se
producen las mayores concentraciones de tensiones. Es aquí también, donde se producen
las mayores variaciones de las tensiones de compresión y, por lo tanto, de la energía
elástica almacenada.
Por lo tanto los resultados ilustrados en las Figura 6-31 y Figura 6-32 coinciden con la
observación empírica.
Figura 6-31. Tensión principal mayor σ1 (MPa). Extracción controlada, simulación SV1
(curva roja), VC6, t=18hr
61
Figura 6-32. Tensión principal mayor σ1 (MPa). Extracción controlada, simulación SV1
(curva roja), VC6, t=19.5hr
62
7. CONCLUSIONES
7.1 Conclusiones generales
En el presente trabajo se desarrollaron las ecuaciones y se implementó el procedimiento
para poder incluir en el programa de elementos discretos UDEC el efecto de la fluencia
lenta de un macizo rocoso. Dicho procedimiento se aplicó a un modelo sencillo que trató
de capturar algunas de las características esenciales del método de explotación minera
por Block Caving o de su variante, el Panel Caving. El modelo permitió apreciar la
influencia de la fluencia lenta en la generación de eventos sísmicos durante la
propagación de la cavidad o caving.
Se encontró que al considerar el efecto de la fluencia lenta, la cantidad de energía
almacenada en el macizo rocoso y que puede liberarse repentinamente (en menos de
0,2s) en forma de un evento sísmico, depende no solamente del volumen excavado sino
que también de la velocidad de propagación de la cavidad, la que se correlacionó con la
velocidad de extracción. El estudio se centró principalmente en un modelo en
deformaciones planas de un macizo rocoso con dos sistemas de fractura, ortogonales
entre sí y de persistencia infinita. La Tabla 7-1 indica la máxima energía elástica liberada
repentinamente de acuerdo con las diferentes simulaciones.
Tabla 7-1. Máxima energía liberada en las diferentes simulaciones efectuadas
Se encontró que la energía liberada aumentó a medida que aumentó la velocidad de
extracción de bloques.
Se deduce que la máxima energía liberada en un evento sísmico depende de la velocidad
de extracción. Sin embargo, para un mismo volumen extraído, la cantidad total de
energía elástica liberada resultó prácticamente constante, independiente de la velocidad
de extracción.
En síntesis, los resultados muestran que al disminuir la velocidad de extracción la energía
elástica acumulada se libera en una mayor cantidad de eventos, pero de menor
magnitud.
7.2 Trabajo Futuro
El trabajo presentado en esta Tesis entrega un procedimiento para poder incluir el efecto
de la fluencia lenta en el comportamiento de un macizo rocoso. A continuación se indican
63
algunas actividades que se consideran necesarias para representar condiciones más
realistas y obtener resultados que puedan orientar el juicio en la práctica.
Realizar ensayos de fluencia lenta sobre fracturas reales, determinando el tiempo a la
rotura para distintos niveles de solicitación de corte y de tensión normal aplicada. Los
ensayos debería realizarse sobre probetas tomadas en terreno de modo de representar
rellenos de distinta naturaleza.
Incluir la tercera dimensión en los análisis. Por ejemplo, usando 3DEC o PFC3D. De esta
manera se puede modelar geometrías más realistas, la orientación espacial de las
discontinuidades y del campo de tensiones.
Investigar la relación entre la cantidad de energía liberada y la magnitud del evento
sísmico generado. Con tal propósito se debería incorporar el estudio de la propagación de
la onda sísmica.
Definir algún mecanismo para que los bloques individuales se puedan romper.
Se estima que las actividades señaladas permitirían que el procedimiento desarrollado en
este trabajo se pueda extender al estudio del Block Caving o del Panel Caving.
BIBLIOGRAFÍA
Afanas’ev, B. G., & Abramov, B. K. (1975). Determining the long-term shear strength of
contacts between rocks. Journal of Mining Science, 11(5), 588-591.
Anzeng, H. (1987). Rockburst and energy release rate. Proceedings of the 6th International
Congress on Rock Mechanics (Montreal, 1987), , 2 971-974.
Beck, D., Reusch, F., Arndt, S., Thin, I., Stone, C., Heap, M., et al. (2007) Numerical
modelling of seismogenic development during cave initiation, propagation andBreakthrough.
Intl. Symposium Deep and High Stress Mining. Laval University, 275-282.
Bieniawski, Z. (1970). Time-dependent behaviour of fractured rock. Rock Mechanics and
Rock Engineering, 2(3), 123-137.
Brady, B. H. G., & Brown, E. T. (2004). Rock mechanics: For underground mining Springer.
Brown, E., & Julius Kruttschnitt Mineral Research Centre. (2002). Block caving geomechanics
Julius Kruttschnitt Mineral Research Centre, The University of Queensland.
Brummer, R., O’Connor, C., Swan, G. & Henderson, A. (2004). Modelling the Progression of
Back and Wall Caving in Deep Blasthole Stope Failures at Kidd Mine Using FLAC3D. Proc.
MassMinn, Santiago, 252-257
64
Castro, R., Trueman, R., & Halim, A. (2007).A Study of isolated draw zones in block caving
mines by means of a large 3D physical model. International Journal of Rock Mechanics and
Mining Sciences, 44(6), 860-870.
Cristescu, N., & Hunsche, U. (1998). Time effects in rock mechanics. Wiley.
Croll, J. G. A., & Walker, A. C. (1972). Elements of structural stability Macmillan London.
Daihua, Z., & Miller, H. (1987). A proposed mechanism of rock failure and rockbursting.
Proceedings of the 6th International Congress on Rock Mechanics (Montreal, 1987), , 2 13571362.
Duplancic, P., & Brady, B. (1999). Characterisation of caving mechanisms by analysis of
seismicity and rock stress. Proceedings of the 9th International Congress on Rock Mechanics
(Paris, 1999), , 2 1049-1053.
Fahimifar, A., & Soroush, H. (2005). Effect of time on the stress–strain behaviour of a single
rock joint. Bulletin of Engineering Geology and the Environment, 64(4), 383-396.
Fakhimi, A., & Fairhurst, C. (1994). A model for the time-dependent behavior of rock.
International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences & Geomechanics Abstracts, ,
31(2) 117-126.
Farmer, I. W. (1983). Engineering behaviour of rocks Chapman and Hall.
Feng, J., Gang, W., & Guanglun, W. (2003). Creep modeling in excavation analysis of a high
rock slope. Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering, 129, 849.
Glamheden, R., Hokmark, H., & Christiansson, R. (2004). Modeling creep in jointed rock
masses. Numerical Modelling of Discrete Materials in Geotechnical Engineering, Civil
Engineering and Earth Sciences, , 131.
Guest, A. R., & Cundall, P.A. (1994). A three-dimensional particle flow code for block cave
modeling. The Application of Numerical Modeling in Geotechnical Engineering, 15-18.
Hart, R., Cundall, P. A., & Lemos, J. (1988). FORMULATION OF A THREEDIMENSIONAL
DISTINCT
ELEMENT
MODEL-PART
II.
MECHANICAL
CALCULATIONS FOR MOTION AND INTERACTION OF A SYSTEM COMPOSED OF
MANY POLYHEDRAL BLOCKS. International Journal of Rock Mechanics and Mining
Sciences & Geomechanics Abstracts, 25(3), 117-125.
65
Höwing, K. & Kutter, H. (1985). Time-dependent shear deformation of filled rock joints. A
keynote lecture. Fundamentals of rock joints: Proceedings of the international symposium on
fundamentals of rock joints, björkliden, 15-20 september 1985 Centek, 113-122.
Hudson, J., Harrison, J., & Popescu, M. (2002). Engineering rock mechanics: An introduction
to the principles. Applied Mechanics Reviews, 55, B30.
ITASCA. (2004). UDEC Universal Distinct Element Code. (2004). Manual de usuario.
ITASCA. (2009), sitio web: www.itascacg.com
Jaeger, J. C., Cook, N. G. W., & Zimmerman, R. W. (2007). Fundamentals of rock mechanics
Blackwell Pub.
Karzulovic, A. (2001). Propiedades Geomecánicas de Estructuras en Roca Primaria, AKL,
Chile.
Kvapil, R. (2008). Gravity flow in sublevel and panel caving: a common sense approach.
Luleå : Luleå University of Technology.
Larson, M. K., & Wade, R. G. (2001). Creep along weak planes in roof and how it affects
stability. TRANSACTIONS-SOCIETY FOR MINING METALLURGY AND EXPLORATION
INCORPORATED, 310, 47-54.
Lorig, L., Gibson, W., Alvial, J y Cuevas, J. (1995). Gravity Flow Simulations with the
Particle Flow Code (PFC), ISRM News J., 3(1), 18-24.
Lorig, LJ, MP Board, DO Potyondy & MJ Coetzee (1995). Numerical modeling of caving
using continuum and micro-mechanical models. Proc. 3rd Canadian Conf. on Computer
Applications in the Mineral Industry. 416-425
Malan, D., Drescher, K., & Vogler, U. (1998). Shear creep of discontinuities in hard rock
surrounding deep excavations. Proc.Mechanics of Faulted and Jointed Rock, MJFR, 3, 473478.
Malan, D. (1999). Time-dependent behaviour of deep level tabular excavations in hard rock.
Rock Mechanics and Rock Engineering, 32(2), 123-155.
Malan, D. (2002). Manuel rocha medal recipient simulating the time-dependent behaviour of
excavations in hard rock. Rock Mechanics and Rock Engineering, 35(4), 225-254.
Mawdesley, C. (2002). Predicting Rock Mass Cavability in Block Caving Mines
[Ph.D.Thesis], Brisbane: University of Queensland.
66
McNearny, R. L., & Abel Jr., J. F. (1993). Large-scale two-dimensional block caving model
tests. International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences & Geomechanics
Abstracts, 30(2), 93-109.
Melo, F., Vivanco, F., & Fuentes, C. (2009). Calculated isolated extracted and movement
zones compared to scaled models for block caving. International Journal of Rock Mechanics
and Mining Sciences, 46(4), 731-737.
Melo, F., Vivanco, F., Fuentes, C., & Apablaza, V. (2008). Kinematic model for quasi static
granular displacements in block caving: Dilatancy effects on drawbody shapes. International
Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences, 45(2), 248-259.
Meschyan, S. R. (1996). Two methods of determining the ultimate long-term shear strength of
clayey soils. Soil Mechanics and Foundation Engineering, 33(1), 16-20.
Nakata, Y., Bolton, M.D. y Cheng, Y.P. (2004). Macro-Mechanical behavior for an assembly
of grains modeled by bonding spheres. Numerical Modeling in Micromechanics Via Particle
Methods - 2004: Proceedings of the 2nd International PFC Symposium, Kyoto, Japan, 28-29
October 2004, 407-414.
Peck, H. Thornburn 1974 peck, RB, hanson, WE, and thornburn, TH 1974. Foundation
Engineering
Pierce, M. E., Cundall, P. A., van Hout, G. J. y Lorig, L. (2002). PFC3D modeling of caved
rock under draw. International PFC Symposium, Gelsenkirchen, Germany, november 2002.
211-217.
Schmidtke, R., & Lajtai, E. (1985). The long-term strength of lac du bonnet granite.
International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences, 22(6), 461-465.
Schneider, H. (1977). The time dependence of friction of rock joints. Bulletin of Engineering
Geology and the Environment, 16(1), 235-239.
Selldén, H., and M. Pierce. (2004) PFC3D Modelling of flow behaviour in sublevel caving.
Proceedings of MassMin 2004, Santiago, Chile, 2004, 201-210.
Singh, S. (1988). Burst energy release index. Rock Mechanics and Rock Engineering, 21(2),
149-155.
Stephansson, O. (1985). Fundamentals of rock joints: Proceedings of the international
symposium on fundamentals of rock joints, björkliden, 15-20 september 1985 Centek.
67
Stagg, K. G., & Zienkiewicz, O. (1968). Rock mechanics in engineering practice John Wiley
& Sons.
Tang, C., & Kaiser, P. (1998). Numerical simulation of cumulative damage and seismic
energy release during brittle rock failure-part I: Fundamentals. International Journal of Rock
Mechanics and Mining Sciences(1997), 35(2), 113-121.
Terzaghi, K. (1936). Stress distribution in dry and in satured sand above a fielding trap door.
Proc. 1st International Conference on Soil Mechanics, Cambridge, Massachusets Vol 1; 307311
Trifu, C-I., Shumila, V., Burgio, N. (2007). Characterisation of the Caving Front at Ridgeway
Mine, New South Wales, Based on Geomechanical Data and Detailed Microseismic Analysis.
Intl. Symposium Deep and High Stress Mining. Laval University, 455-460
Trueman, R., Castro, R., & Halim, A. (2008). Study of multiple draw-zone interaction in block
caving mines by means of a large 3D physical model. International Journal of Rock
Mechanics and Mining Sciences, 45(7), 1044-1051.
Trueman, R., & Mawdesley, C. (2003). Predicting cave initiation and propagation. CIM
Bulletin, 96(1071), 54-59.
Vaid, Y. P., & Campanella, R. G. (1977). TIME-DEPENDENT BEHAVIOR OF
UNDISTURBED CLAY. American Society of Civil Engineers, Journal of the Geotechnical
Engineering Division, 103(7), 693-709.
Van Sint Jan, M., Rojas, E. & Boldrini, S. (2007). Analysis of Support Behaviour During a
Rockburst. Intl. Symposium Deep and High Stress Mining. Laval University, 381-386
Verdugo, R. y Ubilla, J. (2004). Geotechnical analysis of gravity flow during block caving.
Proceedings of the MassMin 2004, Santiago, Chile, 2004, 195–200.
Verbeken, J. (2005). Modelación del pre-acondicionamiento del macizo rocoso en el
yacimiento El Teniente mediante fracturamiento hidráulico y debilitamiento dinámico con
explosivos (Tesis de Magister en Ingeniería), Santiago: Pontificia Universidad Católica de
Chile.
Wiles, T., Lachenicht, R., & van Aswegen, G. (2001). Integration of deterministic modelling
with seismic monitoring for the assessment of rock mass response to mining: Part I theory. 5th
International Symposium on Rockbursts and Seismicity in Mines (RaSiM 5),
68
Yeryomenko, A. A., Gaidin, A. P., Vaganova, V. A., & Yeryomenko, V. A. (1999).
Rockburst-hazard criterion of rock mass. Journal of Mining Science, 35(6), 598-601.
ANEXOS
A. DESCRIPCIÓN DEL PROGRAMA COMPUTACIONAL
UDEC
UDEC (Universal Distinct Element Code) es un programa computacional
numérico bidimensional basado en el método de los elementos discretos,
creado por ITASCA Consulting Group.
El programa UDEC simula la respuesta de medios discontinuos, en particular un macizo
rocoso con discontinuidades, sujeto a cargas dinámicas y/o estáticas. El medio
discontinuo es representado como un conjunto de bloques separados entre sí por
contactos. Esto permite que cada bloque pueda rotar, desplazarse y separarse del resto,
lo que hace que el programa sea muy adecuado para modelar el macizo rocoso.
La formulación del programa supone un estado de deformaciones planas, el cual
considera la tensión fuera del plano, aunque también es posible optar por un estado de
tensiones planas.
Los bloques pueden definirse como rígidos o deformables. Los bloques deformables son a
su vez divididos en elementos de diferencias finitas respondiendo a una ley de tensión
deformación. Los modelos constitutivos que gobiernan el comportamiento de bloques y
contactos pueden ser elegidos de entre los variados modelos con que cuenta el programa,
tanto lineales como no-lineales.
UDEC cuenta con un lenguaje de programación llamado FISH. Este lenguaje permite crear
programas y funciones desde las cuales pueden ser llamadas otras funciones o comandos
ya incorporados en la librería de UDEC. La operación del programa UDEC se hace en base
a comandos aunque también existe la opción de utilizar una interfaz gráfica.
A.1 Método de los elementos discretos en el programa UDEC
A.1.1 Breve descripción del método de los elementos discretos
Este método consiste en discretizar el continuo, espacialmente, como un conjunto de
masas discretas vinculadas entre sí por elementos cuya rigidez corresponde a la parte del
medio que representan.
En el método de elementos discretos, el macizo rocoso es representado por un conjunto
de bloques y las fracturas son tratadas como interfaces entre estos elementos. Las
fuerzas de contacto y desplazamientos en las interfaces, son calculadas mediante
operaciones que logran determinar el movimiento de los bloques. Los movimientos
resultan de la propagación, a través del medio, de las perturbaciones causadas por
fuerzas aplicadas a los cuerpos. Este es un proceso dinámico, en el cual la velocidad de
propagación depende de las propiedades físicas del sistema.
69
El comportamiento dinámico es representado numéricamente por un algoritmo en el cual
el tamaño del paso de tiempo está limitado por el supuesto que velocidades y
aceleraciones son constantes dentro este intervalo. El método de elementos discretos se
basa en el concepto que el paso de tiempo es lo suficientemente pequeño como para que
durante él, las perturbaciones no puedan propagarse entre los bloques. Esto corresponde
al hecho que existe una velocidad limitada a la cual la información puede ser transmitida
a través de un medio físico.
Los bloques pueden definirse como rígidos o deformables. Los bloques deformables son a
su vez discretizados en elementos triangulares de diferencias finitas. Para bloques rígidos,
la masa del bloque y la rigidez de la interfaz entre bloques definen el paso de tiempo.
Para bloques deformables, esta se define en base al tamaño de elementos que se utiliza y
la rigidez del sistema, la que incluye la contribución de las rigideces de los contactos y
bloques.
Los cálculos se alternan entre la aplicación de la ley de fuerza desplazamiento en los
contactos y la segunda ley de Newton en los bloques. La ley de fuerza desplazamiento se
usa para encontrar las fuerzas en los contactos debido a desplazamientos conocidos. La
segunda ley de Newton determina el movimiento de los bloques como resultado de
fuerzas actuando sobre ellos.
Si los bloques son deformables, el movimiento es calculado en los vértices de las zonas
definidas dentro del bloque. De esta manera, la aplicación de las relaciones constitutivas
del material del bloque entrega los nuevos esfuerzos en los elementos.
A.1.2 Ecuaciones de movimiento de los bloques
El movimiento de un bloque individual es determinado de acuerdo a la magnitud y
dirección del momentum y fuerzas actuando sobre él. Si se tiene una fuerza F actuando
sobre un cuerpo de masa m, en una dimensión se tiene:
En el esquema de diferencias finitas centrales la aceleración del cuerpo se expresa de la
siguiente forma:
Combinando 4-1 y 4-2
70
En dos dimensiones las ecuaciones 4-3 y 4-4 corresponden a desplazamientos en dos ejes
perpendiculares, más una rotación del bloque. Si se tiene un cuerpo sobre el cual actúan
varias fuerzas, las velocidades se expresan por:
En cada paso de tiempo se calculan nuevas posiciones de los bloques, las que generan
nuevas fuerzas en los contactos. Las fuerzas resultantes y sus momentos se utilizan para
calcular aceleraciones lineales y angulares de cada bloque. La velocidad de los bloques se
determina por la integración sobre los incrementos de tiempo. Las ecuaciones de
movimiento se integran en el tiempo mediante un esquema explícito, como el método de
diferencias finitas centrales. Este proceso se repite hasta que se alcance un equilibrio del
sistema.
A.1.3 Amortiguamiento mecánico
El método de elementos discretos considera el amortiguamiento para resolver problemas
estáticos y dinámicos. Se introduce un factor de amortiguamiento proporcional a la
velocidad de los bloques. En el caso del programa UDEC, éste cuenta con un
amortiguamiento llamado local damping. Este amortiguamiento es una fuerza, aplicada
en cada nodo, que es proporcional a la magnitud de la fuerza no balanceada. Si se incluye
el amortiguamiento en la ecuación 4-1 se tiene lo expresado en 4-9. Donde α
corresponde a una constante. La magnitud de esta constante es adimensional e
independiente de las propiedades o condiciones de borde. El valor por defecto
corresponde a 0,8. Un amortiguamiento de este tipo es recomendable para problemas
estáticos, cuasi-estáticos o de falla progresiva como es el caso de este modelo.
71
A.1.4 Representación de los contactos.
Los contactos son representados numéricamente como una superficie entre dos bordes de
bloques adyacentes. La interacción entre bloques se expresa mediante resortes que
representan las propiedades del elemento del contacto. Las fuerzas entre contactos se
desarrollan sobres estos elementos (Figura A-1).
Las relaciones tensión-deformación del contacto están gobernadas por las rigideces
normal y de corte kn y ks respectivamente. Las fuerzas en los contactos serán calculadas a
partir de los desplazamientos relativos calculados para los bloques, y la relación tensióndeformación que se utilice. A medida que el movimiento de los bloques ocurre, se realiza
una actualización para agregar nuevos contactos o borrar aquellos entre bloques que se
hayan separado.
Existen muchos tipos de modelos constitutivos para representar el comportamiento de los
contactos. En la sección A.2 se hace una descripción de los modelos disponibles en UDEC.
Figura A-1. Vinculación entre los bloques
A.1.5 Representación de los bloques
En el método de elementos discretos, los bloques pueden ser rígidos o deformables. La
formulación de bloques rígidos es adecuada para representar bloques que no sufren un
cambio en su geometría debido a las cargas aplicadas (Manual UDEC, 2004). Esto podría
ser válido en problemas dominados por las discontinuidades, con bajos esfuerzos o en los
cuales el material presente una alta resistencia y baja deformabilidad. Los bloques
deformables, en cambio, son discretizados en elementos triangulares de diferencias
finitas y su deformación depende de la cantidad de elementos en que sea dividido y la
constitutiva que se defina para ellos.
A.2 Modelos disponibles para simular el macizo rocoso.
a) Modelos para simular los bloques de roca intacta
72
Para representar el material de los bloques, el programa UDEC cuenta con distintos
modelos constitutivos:
i Nulo: simula el material excavado.
ii Elástico e isotrópico: Modela un material lineal elástico, isotrópico y continuo.
iii Drucker-Prager: Modelo de plasticidad. Útil para modelar el comportamiento de arcillas
con baja fricción.
iv Mohr-Coulomb: Modelo para representar falla por corte en suelos y rocas.
v Ubicuo-discontinuidad: es un modelo de plasticidad para materiales anisotrópicos con
planos de falla en orientaciones específicas.
vi Deformación-endurecimiento/ablandamiento: modelo que permite representar material
no-lineal con un comportamiento de endurecimiento o ablandamiento basado en las
propiedades del modelo de Mohr-Coulomb.
vii Doble fluencia: permite modelar materiales en los cuales pueda haber compactación
que cause decrecimientos permanentes de volumen.
De todos estos, dadas las características del problema que se quiere resolver, pareció
como lo más adecuado utilizar para el presente modelo, la constitutiva elástica, como se
encuentra expresado en la sección 4.3.1
b) Modelo para simular los contactos
Las discontinuidades pueden ser tratadas en UDEC según los siguientes modelos:
i Contacto puntual: modelo elastoplástico que utiliza el criterio de falla de Mohr-Coulomb.
El contacto es representado como un punto por lo que es adecuado para modelar
materiales no compactados y bloques irregulares.
ii Contacto de área: modelo elastoplástico que utiliza el criterio de falla de Mohr-Coulomb.
En este caso el contacto es representado como un área, por lo que es adecuado para
modelar fracturas o fallas geológicas.
iii Contacto de área con valores residuales: igual que el modelo anterior pero incluye la
posibilidad de incorporar comportamiento residual.
iv Fluencia continua: reproduce la pérdida de resistencia progresiva en la fractura.
v Modelo Barton-Bandis: permite representar discontinuidades a partir de las propiedades
de índice de Barton-Bandis.
c) Modelo elastoplástico con criterio de falla de Mohr-Coulomb
A continuación se describe el algoritmo que utiliza el programa UDEC para modelar un
contacto con el modelo elastoplástico de Mohr-Coulomb, según lo detallado en su manual
de usuario (Manual UDEC, 2004).
73
En la dirección normal al contacto, la relación esfuerzo deformación se supone lineal en
función de la rigidez kn. Por lo tanto la tensión normal en el contacto se expresa:
El contacto también puede tener una resistencia limitada a la tracción T. En este caso:
La dilatancia por defecto no afecta la resistencia al corte, aunque existe como opción la
posibilidad de incluirla en el ángulo de fricción de la fractura.
Figura A-2. Consideración de la dilatancia en los contactos (ITASCA, 2004)
74
B. MODELOS PARA EL ESTUDIO DEL BLOCK CAVING
B.1 Modelos físicos para el estudio del Block Caving
Este proceso ha sido ampliamente estudiado y explicado, en parte, mediante teorías de
flujo granular. Los modelos físicos (Kvapil, 2008; Trueman et al., 2003; McNearny y Abel,
1993; Encina et al., 2004, Melo et al., 2007) se han orientado a estudiar el
comportamiento del flujo granular (o de fragmentos de roca), el tamaño de la zona
movilizada (geometría y volumen de roca que participa del movimiento), dilución,
medición de esfuerzos al interior del material, el efecto de la separación de los puntos de
extracción y su correlación con valores teóricos.
B.1.1 Conceptos básicos del flujo gravitacional, trabajo de
Kvapil
Uno de los trabajos más importantes en el desarrollo de los conceptos que describen el
flujo gravitacional, ha sido el desarrollado por Kvapil (2008) mediante estudios con
modelos físicos, en dos y tres dimensiones, utilizando en ellos materiales granulares,
especialmente arena.
Los modelos en dos dimensiones consistieron en una sección vertical de un silo rellenado
con arena, del cual se extrajo la arena desde su extremo inferior. Este tipo de modelos
poseía una placa transparente por el frente, a través el cual se pudo observar el
movimiento de las partículas. En el interior, se dispuso material de diferentes colores
formando ciertos patrones, como por ejemplo, capas horizontales o pequeños cubos, y de
esta forma reconocer el movimiento del material a partir de la observación de la
distorsión de dichos patrones (Figura B-1). Modelos como este permitieron descubrir que
75
el material movilizado sigue, en dos dimensiones, la forma aproximada de una elipse, lo
que en tres dimensiones correspondería a un elipsoide de revolución.
Figura B-1. Distorsión de los estratos horizontales en un modelo en arena debido a la
extracción de material por el fondo (Kvapil, 2008)
d) Características del movimiento del flujo gravitacional
En modelos con varios puntos de extracción, se observó cómo las distintas zonas en
movimiento interactuaron entre sí, produciendo una zona en movimiento mayor. Se
demostró además, que la interacción entre los distintos flujos decrece con al aumento en
la distancia entre ellos. Se observó que abriendo en distintos tiempos estos puntos de
extracción o cambiando la distancia entre ellos, se puede controlar la forma en que el
material cae y se puede impedir la formación de pilares de material entre las zonas de
movimiento. Esto es importante de considerar, ya que en el caso minero es necesario
producir esta interacción para impedir la formación de un pilar de material, entre dos
puntos de extracción adyacentes.
Respecto al tamaño de los materiales, se observó que la presencia de materiales finos,
aunque sea en proporciones bajas, puede cambiar el comportamiento del sistema,
haciendo el flujo más expedito. En este trabajo se recalca la importancia que podría tener
el tamaño y forma de las partículas con respecto a la escala del modelo, en el
comportamiento del flujo descendente. Estas variables podrían influir en la forma de la
zona movilizada y la formación de arcos.
Sobre la velocidad de las partículas, se determinó que la velocidad de éstas no es
uniforme, sino que es mayor a menores distancias de la abertura y del eje vertical del
flujo.
De los ensayos también se concluyó que para materiales más finos, el ancho de la elipse
de movimiento será menor. La forma de la zona en movimiento no tendrá siempre la
forma de una elipse y materiales más gruesos y heterogéneos formarán zonas
movilizadas menos elípticas.
Los estudios de Kvapil permitieron plantear algunas relaciones entre la forma y tamaño
de la elipse de movimiento con el volumen de material extraído (Figura B-2).
76
Figura B-2. Relaciones entre volumen extraído y zonas de extracción y de movimiento
(Kvapil. 2008)
e) Modelo físico con material cohesivo
Kvapil ensayó modelos similares a los ya mencionados, utilizando arena húmeda, con la
idea de formar en ella una cohesión aparente. En estos ensayos se produjo una falla
intermitente. Se formaron arcos que lograron mantenerse por un cierto tiempo, luego del
cual fueron cayendo y formándose nuevos cada vez más arriba, como se muestra en la
Figura B-3.
Esto muestra la importancia del efecto de la cohesión, ya que materiales con cohesión
presentarían una gran diferencia en el comportamiento del flujo con respecto a los que
carecen de ella. Por esta razón, se debe ser cuidadoso al tratar de extrapolar relaciones
que fueron deducidas para arenas secas, a macizos rocosos donde sí podría estar
presente la influencia de la cohesión entre las partículas.
Figura B-3. Ensayo con arena húmeda (Kvapil, 2008)
77
B.1.2 Otros modelos físicos relevantes en el estudio del Block
Caving
a) Modelo físico en tres dimensiones a gran escala
Dentro de los trabajos hechos con modelos físicos, destaca la investigación realizada por
Trueman et al. (2008) y Castro et al. (2007). Este trabajo consistió en la construcción de
un modelo físico en tres dimensiones, con el fin de estudiar la interacción entre las zonas
de material movilizado, producidas por varios puntos de extracción contiguos y
simultáneos.
Como se expuso anteriormente, las relaciones deducidas para las zonas movilizadas
planteadas por Kvapil fueron obtenidas a partir de materiales granulares finos, como
arena. En este modelo se utilizó grava sin cohesión. Durante el ensayo se midieron los
esfuerzos verticales y horizontales al interior del material.
Los resultados de los ensayos mostraron que cuando existe una extracción desde varios
puntos, la zona que permanece inmóvil entre zonas movilizadas contiguas está
caracterizada por un incremento en la carga vertical de hasta 1,4 veces la inicial y por
una disminución de la carga horizontal. Sin embargo, en estos ensayos, esta
redistribución de esfuerzos no fue suficiente para provocar el colapso del material, incluso
para separaciones menores a los valores propuestos por otros autores.
Se concluyó que la diferencia en los resultados se debió al efecto de arco, lo que produjo
menores esfuerzos verticales que en los modelos de arena. Esto se debería a la mayor
fricción de las paredes del contenedor y del material en comparación con los modelos en
arena.
Este estudio concluyó también que el tamaño de las partículas y el ancho de la abertura
en el punto de extracción no tienen efecto significativo sobre la geometría de la zona
78
movilizada. Se encontró que la principal variables que controla la geometría de las zonas
de flujo es la masa extraída.
b) Ensayo físico en dos dimensiones
Este modelo (McNearny y Abel, 1993) estudió principalmente la separación de los puntos
de extracción y su efecto en la dilución.
Para simular el mineral se utilizaron bloques de tamaño uniforme. Los bloques fueron
dispuestos con un traslape de medio ladrillo, como en un muro de albañilería. Sobre los
ladrillos, se dispuso material fino simulando ser el material estéril en una explotación
minera, y de esta forma observar la dilución del material extraído. En la parte inferior,
bajo los bloques, también se rellenó con material fino para simular el material ya
socavado. El ancho de la abertura de los puntos de extracción se fijó en 6 veces la
dimensión máxima de los bloques.
Figura B-4. Modelo en dos dimensiones utilizando bloques (McNearny y Abel, 1993)
Con respecto a la separación de los puntos de extracción, se concluyó que espaciamientos
menores al ancho de la zona movilizada por un punto de extracción aislado, producen
dilución con el material del estrato superior.
El ensayo mostró un comportamiento de la zona de extracción que fue diferente al de los
ensayos realizados por otros autores. En lugar de una elipse, la zona de extracción tuvo
una forma de cono invertido. Esta forma fue explicada como una consecuencia de la
configuración de los ladrillos o bloques, mostrando que el ordenamiento puede tener un
efecto en la forma cómo las zonas de flujo pueden desarrollarse. Este ordenamiento
también contribuyó a la formación de arcos.
Es importante la observación de que el ordenamiento de los bloques tendría un efecto
relevante en el desarrollo de la zona de extracción y en el comportamiento del sistema.
En un caso real, las fracturas definen bloques que se encuentran, en un principio,
ensamblados entre sí y con una gran superficie en contacto. En los ensayos en arena, en
cambio, no existe un ordenamiento de los elementos, por lo tanto, no hay ingerencia de
éste en el comportamiento del flujo gravitacional.
79
B.2 Modelos numéricos para el estudio del Block Caving
a) Simulación con un medio continuo
Se han desarrollado modelos numéricos en los cuales se ha modelado el problema como
un medio continuo. Algunos de estos modelos (Verdugo y Ubilla, 2004; Brummer et al.,
2004, Lorig et al., 1995) se desarrollaron utilizando el programa computacional FLAC3D
de modelación mediante diferencias finitas.
En el estudio de Verdugo y Ubilla (2004) los resultados reprodujeron bien las formas
elípticas de la zona de extracción cuando se utilizó un punto de extracción pequeño. Por
el contrario, cuando el tamaño de la abertura fue suficientemente grande, la columna de
material sobre la abertura falló y se deslizó verticalmente. Al aumentar el ángulo de
fricción del material, se produjeron mayores concentraciones de tensiones. Se observó
que los esfuerzos verticales alrededor de los puntos de extracción alcanzaron valores de
hasta 2 veces los valores iniciales. Se mostró que la interacción entre las zonas
movilizadas comienza con una separación de 1.2 veces el ancho de la zona movilizada por
un punto aislado. Este valor está de acuerdo con lo expresado por algunos autores, sin
embargo, es contrario a lo observado en otros (Trueman et al., 2008).
Otro modelo desarrollado en FLAC3D se ha realizado con el fin de predecir el corte
necesario para producir caving (sección B.3.2).
b) Simulación con un medio discontinuo
Se han desarrollado también modelos que representan el macizo rocoso como un medio
discontinuo. En varios de estos modelos numéricos se ha utilizado el programa
computacional PFC (Particle Flow Code) de ITASCA en dos y tres dimensiones. Se han
realizado modelos para estudiar de manera general el comportamiento del caving, la
dilución y su relación con valores teóricos (Guest y Cundall, 1994; Lorig et al., 1995,
Selldén 2004).
El modelo desarrollado por Pierce et al. (2003) buscó aislar el efecto del tamaño y la
forma de las partículas en el flujo gravitacional. Los ensayos se realizaron utilizando
diferentes formas y tamaños de partículas. Las partículas menos esféricas produjeron
zonas elípticas de extracción más pequeñas. Para el caso de las partículas esféricas,
partículas más grandes produjeron también zonas de extracción más pequeñas. La
explicación para esto estaría en que partículas más grandes o alargadas tenderían a
formar arcos más fácilmente, y por lo tanto, impedir la propagación del movimiento.
Por otra parte, las zonas de extracción tomaron la misma forma casi-elíptica en los
diferentes ensayos. Se logró mostrar que no se produjo un cambio en la forma de la zona
de extracción como causa del cambio en el tamaño de las partículas, lo cual es opuesto a
lo señalado por Kvapil (2008) en este sentido.
Este estudio concluye que el flujo del caving no puede ser satisfactoriamente descrito por
las teorías desarrolladas para el flujo granular, debido a que el tamaño y características
de las partículas difieren con respecto al volumen donde están contenidas, además, la
descarga y condiciones de borde no son análogas.
B.3 Predicción del hundimiento del macizo rocoso
80
Predecir cómo lograr el inicio del caving, su propagación y de que manera lograr un
proceso continuo es algo esencial para poder optimizar económica y operacionalmente
este método. Se han desarrollado métodos empíricos para determinar el tamaño del corte
de la base del bloque, de manera de lograr un hundimiento continuo. Los principales
métodos empíricos corresponden al gráfico de Laubscher y al gráfico de estabilidad de
Mathews. Se han creado también modelos numéricos, sin embargo, estos métodos se
encuentran aún en una etapa de desarrollo.
B.3.1 Métodos empíricos para la predicción del hundimiento
Estos métodos han buscado la manera de predecir el inicio del caving y el desarrollo
continuo de éste en relación a la geometría del corte para un determinado conjunto de
variables. La experiencia recogida de distintos yacimientos en el mundo ha aportado con
información a partir de la cual ha sido posible correlacionar esta geometría y las variables
geotécnicas del problema, con la generación, exitosa o no, del caving.
La estimación de la geometría del corte que provocará el inicio y desarrollo del caving
dependerá de las propiedades geotécnicas presentes, como por ejemplo: las propiedades,
orientación, espaciamiento y persistencia de discontinuidades, presencia de fallas y
esfuerzos in situ.
Dentro de los métodos empíricos, se destacan el gráfico de Laubscher y el gráfico de
Mathews, debido a que son los más documentados y utilizados en la práctica.
a) Gráfico de Laubscher
El método empírico hasta ahora más utilizado, en la predicción del caving, es el gráfico de
Laubscher (Figura B-5).
Laubscher desarrolló un método para predecir el caving, en el cual logró combinar
medidas de la calidad de la roca, geometría del precorte y los esfuerzos in situ. Esto se
logró graficando el valor del índice MRMR (Mining Rock Mass Rating) versus el radio
hidráulico (área/perímetro) del corte. Al hablar de radio hidráulico, se hace referencia al
radio hidráulico del área cortada de la base del bloque, y que es por donde caerá el
material. A medida que más información fue recolectada y analizada, fue posible reajustar
y mejorar este gráfico.
El MRMR es un sistema de clasificación geotécnica para macizos rocosos, basado en el
índice RMR de Bieniawski, el cual califica un macizo rocoso de acuerdo a factores que dan
cuenta de la resistencia de la roca intacta, el índice RQD, el espaciamiento de las
fracturas, condición de las fracturas y la presencia de agua. El MRMR de Laubscher
considera estos mismos factores, sin embargo, algunos de ellos son medidos de una
manera diferente y se aplican algunos factores de ajuste que incluyen la meteorización,
orientación de las fracturas, tronadura y esfuerzos presentes en el terreno.
En este gráfico se observó una delimitación en zonas que muestran el distinto
comportamiento del caving. Estas tres zonas son “estable”, “en transición” y “en caving”.
Dadas estas zonas y un cierto set de propiedades geotécnicas del macizo rocoso que
permitan el cálculo del MRMR, es posible utilizar el gráfico para obtener el radio hidráulico
requerido para conseguir el hundimiento.
81
El gráfico de Laubscher ha mostrado ser, en general, exitoso al aplicarse en macizos
rocosos de baja resistencia, que es para los cuales fue desarrollado en primera instancia
(Brown, 2002). Sin embargo, la experiencia muestra que no siempre puede predecir
caving de manera satisfactoria en cuerpos rocosos más competentes (con un MRMR
mayor que 50, Lorig et al. 1995, Mawdesley, 2002). Algunas otras desventajas de este
método estarían en la subjetividad y falta de claridad para aplicar los ajustes en el cálculo
del MRMR y la falta de verificación de algunos casos de estudio incluidos en el gráfico
(Mawdesley, 2002).
Figura B-5. Gráfico de Laubscher (Bartlett 1998 por Brown 2002)
b) Gráfico de Mathews
Este método, cuyo concepto es el mismo del gráfico de Laubscher, está basado en el
cálculo de dos factores, uno que da cuenta de las propiedades de la roca (numero N) y
otro de las características geométricas de la excavación (factor S o radio hidráulico). El
gráfico muestra 3 zonas, una “estable”, una “potencialmente inestable” y una zona
“potencialmente de caving” (Figura B-6).
El factor de forma o radio hidráulico, corresponde al mismo utilizado en el gráfico de
Laubscher. El número de estabilidad N representa la capacidad de la roca para
permanecer estable bajo ciertas condiciones de esfuerzo en base a sus propiedades
geotécnicas y se define mediante la ecuación B-1
Q’: corresponde a una modificación del valor Q de Barton, la que supone iguales a 1 los
factores de reducción por presencia de agua en las fracturas y por esfuerzo. El valor A es
82
un factor del esfuerzo en la roca, B corresponde a un factor de ajuste de las orientaciones
de las fracturas presentes y C es un factor de ajuste por gravedad según la orientación de
la excavación.
Este método fue originalmente diseñado para una explotación de caserones abiertos. A lo
largo del tiempo ha sufrido algunas modificaciones y ha sido extendido a más casos
(Mawdesley, 2002), recolectando más información desde diversas faenas mineras, y de
esta manera ampliar y aumentar la confianza en su utilización.
Las ventajas del método de Mathews modificado son, según Mawdesley (2002), poseer
una base de datos mayor y más documentada que el de Laubscher, y que, en contraste
con el MRMR, el valor de Q’ es menos ambiguo y puede ser más claramente definido, lo
que reduce la subjetividad al evaluar la calidad del macizo rocoso y por lo tanto el número
de estabilidad.
Figura B-6. Gráfico de Mathews extendido por Mawdesley (Mawdesley, 2002)
B.3.2 Modelos numéricos para la predicción del hundimiento
A diferencia de los modelos empíricos anteriormente mencionados, los modelos
numéricos tienen la ventaja de entregar una predicción más rigurosa del potencial de
hundimiento, a partir de las propiedades y condiciones particulares que cada caso pudiera
presentar. Sin embargo, hasta ahora no ha sido posible consolidar un método que logre
de manera satisfactoria la predicción del caving. Esto, debido a la gran cantidad de
variables que gobiernan el problema y a los costos computacionales involucrados.
a) Modelo del Block Caving construido en programa FLAC3D
83
Este modelo ha sido desarrollado por la empresa ITASCA, utilizando el programa
computacional FLAC3D (Figura B-7). El modelo consiste en un dominio continuo de
diferencias finitas en tres dimensiones, discretizado en una malla de poliedros. Se ha
aplicado en varios yacimientos y su desarrollo ha evolucionado y perfeccionado con el
tiempo. Este modelo, tiene la misma finalidad que los modelos empíricos ya descritos, y
permite determinar las dimensiones requeridas del precorte para alcanzar un caving
continuo.
Figura B-7. Modelo numérico en FLAC3D para la predicción del Block Caving (Brown, 2002)
Una suposición hecha para construir este modelo es la que plantea que la roca posee una
reducción gradual de su resistencia a medida que el hundimiento ocurre. Particularmente,
en el caso real, la cohesión de la roca in situ parece reducirse durante este proceso y
puede suponerse que termina por perderse completamente. Es por esto que se ha
representado la roca como un material tipo strain-softening (deformaciónablandamiento), en el cual la cohesión disminuye desde un valor inicial hasta llegar a
cero. Para determinar el tamaño del corte necesario para producir el caving, éste se hace
crecer en un proceso iterativo, hasta encontrar el tamaño que produce un hundimiento
continuo. En este modelo, el macizo rocoso es tratado como un continuo suponiendo que
su comportamiento no será controlado por sistema específico de discontinuidades.
El análisis de Mawdesley (2002), concluye que pequeños cambios en el tamaño de la
discretización o malla de diferencias finitas, se tradujeron en diferencias significativas en
los resultados del cálculo de la altura del caving. También indica, que los modelos no han
podido ser validados y que estos se han mostrado muy sensibles a algunos cambios en
las propiedades de los materiales en el modelo.
b) Modelo del Block Caving construido en programa PFC3D
ITASCA ha desarrollado un modelo construido utilizando el software PFC3D (Particle Flow
Code). Este programa computacional permite modelar un medio discontinuo, lo que
implicaría grandes ventajas con respecto al modelo de diferencias finitas.
Actualmente hay un proyecto en desarrollo que busca crear un material que logre
reproducir la sismicidad en el macizo rocoso y comparar su resultado con datos medidos
en terreno. Todavía este modelo no se utiliza en la predicción del caving, y se encuentra
aún en desarrollo (ITASCA, 2009).
84
C. CONDICION INICIAL
Antes de simular la extracción de bloques en el modelo, se aplicaron las tensiones in situ
y las cargas en los bordes hasta alcanzar el equilibrio del sistema. Luego de alcanzar una
situación de equilibrio, se simuló la excavación. Para esto se removieron las restricciones
que impedían la caída de bloques.
Para verificar que el modelo se encontrara en equilibrio antes de permitir la caída de los
bloques, se observó el valor de la máxima fuerza desbalanceada. Esta fuerza corresponde
a la máxima fuerza actuando sobre alguno de los bloques del modelo, y se considera que
el modelo se encuentra en equilibrio cuando el valor de esta fuerza es pequeño
comparado con el total de fuerzas que actúan en el modelo. Otra forma en que se verificó
el equilibrio, fue no observar posteriores cambios en el desplazamiento de los bloques.
En la Figura C-1 se muestra la máxima fuerza desbalanceada, dondequiera que ella
ocurra dentro del modelo, una vez transcurridos los ciclos necesarios para llegar al
equilibrio, luego de aplicados los esfuerzos iniciales y previo a la excavación.
Figura C-1. Máxima fuerza desbalanceada (MPa) en el modelo
La Figura C-2 muestra los desplazamientos de los bloques. Aunque los valores de los
desplazamientos son muy pequeños, puede apreciarse que se produce un acomodamiento
de los bloques.
Figura C-2. Contorno de desplazamientos (m)
85
De la Figura C-3 a la Figura C-6 se muestra el estado de tensiones considerado,
correspondiente al momento previo a la excavación. Se aprecia que los valores
alcanzados por los esfuerzos internos son uniformes y coherentes con los asignados
mediante las condiciones de borde impuestas. Debido a que se consideraron tensiones
principales, la tensión de corte es nula en el plano X-Y (el que muestra el programa).
En estos gráficos, así como en todos los siguientes, se considera un signo negativo para
la compresión.
Figura C-3. Tensión en horizontal sxx (MPa)
Figura C-4. Tensión vertical syy (MPa)
86
Figura C-5. Tensión de corte sxy (MPa)
Figura C-6. Tensión horizontal fuera del plano szz (MPa)
87
Luego de llegar al equilibrio, se simuló la excavación. La apertura de los puntos de
extracción se realizó removiendo las restricciones que impedían la caída de bloques. Una
vez abiertos los puntos de extracción, se corrieron los ciclos necesarios para llevar el
modelo a un nuevo equilibrio. Durante este tiempo, en el cual no se han reducido
artificialmente los parámetros de resistencia de los contactos, se produjo desplazamiento
y caída de algunos bloques y luego, una situación estable en la que no caen más bloques.
Este estado del modelo fue utilizado como punto de partida de las simulaciones. En las
Figura C-7 a la Figura C-10 se muestra, para un caso de ejemplo, los desplazamientos y
tensiones verticales y horizontales luego de la excavación.
Los contornos de desplazamiento toman una forma de elipse o parábola, con un mayor
desplazamiento hacia el centro del punto de extracción. Lo que se muestra coherente con
los valores teóricos. La tensión vertical disminuye hacia el centro del punto de excavación
y se hace máxima en la zona de los pilares. La tensión horizontal, en cambio, disminuye
en la zona sobre los pilares y se hace mayor sobre los puntos de extracción, lo que está
de acuerdo a lo esperado según lo que indican algunos de los ensayos físicos revisados
(Anexo B).
Figura C-7. Bloque luego de la excavación inicial
88
Figura C-8. Contorno de desplazamientos (m) luego de la excavación inicial
Figura C-9. Tensión horizontal sxx (MPa) luego de la excavación inicial
89
Figura C-10. Tensión vertical syy (MPa) luego de la excavación inicial
D. FORMACIÓN DE ARCOS ESTABLES
D.1 Simulaciones con dos sistemas de fracturas persistentes
La formación de un arco estable sobre el punto de extracción impide la propagación de la
cavidad. En la práctica, la formación de arcos estables interrumpe el proceso productivo
y, dependiendo a qué altura se formen, pueden ser difíciles de destruir y presentan un
riesgo si se produce su caída desde una altura importante.
En las simulaciones mostradas en las secciones 6.2.1 y 6.2.2 para determinar el tamaño
de bloques y la configuración de las fracturas, se formaron arcos estables cuando el
tamaño de los bloques fue demasiado grande para la abertura o cuando se arreglaron los
bloques de manera de producir un traslape entre ellos.
90
Se realizaron simulaciones con bloques cuadrados de 1m de lado, en las que se cambió la
orientación de los sistemas de fracturas. Según lo expresado en la sección 6.2.1, este
tamaño de bloques sería suficiente para permitir la formación de un arco sobre el punto
de extracción. Para las fracturas se utilizó una configuración como la de la Figura D-1,
rotada en 3 orientaciones diferentes. Las orientaciones correspondieron a inclinaciones de
15°, 30° y 45° con respecto a la horizontal. En estas simulaciones se realizaron 10 pasos
de reducción de la cohesión. Entre cada uno de ellos se corrió una cantidad de ciclos
suficiente para que el programa se estabilizara en una nueva posición de equilibrio. Al
final de cada uno de estos pasos se midió, para el punto de extracción central, el máximo
valor de la tensión principal mayor (ζ1) sobre la zona de los pilares.
Figura D-1. Dos sistemas de fracturas persistentes
Durante la simulación se produjo una caída progresiva de bloques hasta formar un arco.
Una vez alcanzada esta condición, el arco se mantuvo estable y no siguió siendo
perturbado por la reducción de la resistencia en los contactos. El resultado para las 3
orientaciones se muestra en la Figura D-2 y Figura D-3. Estos gráficos muestran el
aumento de la tensión con respecto a la condición inicial luego de producida la
excavación. Este instante se tomó también como el tiempo inicial.
Figura D-2. Esfuerzo principal mayor σ1 en pilar derecho punto de extracción central. Sistema
de fracturas persistentes, bloques de 1x1m.
Figura D-3. Esfuerzo principal mayor σ1 en pilar izquierdo del punto de extracción central.
Sistemas de fracturas persistentes, bloques de 1x1m.
91
En estos gráficos, se puede notar que para una misma orientación, se produce un mayor
aumento de los esfuerzos en uno de los dos pilares. Para las tres orientaciones simuladas,
la inclinación a 30° presentó una mayor diferencia entre ambos pilares. En el caso del
pilar con mayor esfuerzo, el aumento de la tensión principal mayor llegó a cerca del 17%
sobre el valor inicial. La altura máxima hasta el coronamiento de los arcos, fueron de
6.1m, 10.5m y 10.8 para las inclinaciones de 15°, 30° y 45° respectivamente. Para las
inclinaciones de fracturas de 15° y 30°, la altura máxima y definitiva del arco se alcanzó
aproximadamente, con t =3,5hr. Este cambio puede apreciarse en el gráfico como un
aumento del esfuerzo en el pilar. Para la inclinación de 45° la altura máxima se alcanza
en el instante t = 3,7hr y se observa también un aumento en uno de los pilares mientras
que en el otro disminuye.
D.2 Simulaciones con un sistema de fracturas no-persistente
Para comparar el efecto del ordenamiento de los bloques, se simularon dos casos para la
inclinación de 30°, que fue la que presentó mayor aumento de los esfuerzos sobre los
pilares.
Se simularon dos situaciones, una con fracturas persistentes (Modelo 1A) con una
configuración como la de la Figura D-1, y otra (Modelo 1B) en la cual se traslaparon los
bloques (Figura D-4). Para esta última se incluyó 1 sistema de fracturas no-persistentes
de modo de producir un traslape (offset) de ½ bloque.
Figura D-4. 1 sistema de fracturas persistentes y 1 sistema de fracturas no-persistentes
92
Los resultados del aumento en la tensión principal mayor y la tensión vertical en los
pilares del punto de extracción central se muestran en la Figura D-5 y Figura D-6. En
estas figuras se graficó el aumento de la tensión con respecto a la condición inicial, luego
de producida la excavación.
Figura D-5. Cambio en la tensión principal mayor σ1 sobre el pilar derecho Modelos 1A y 1B
Figura D-6. Cambio en la tensión vertical sobre pilar derecho. Modelos 1A y 1B
En el modelo 1A, se produjo un aumento de la tensión vertical de un 14% con respecto al
valor inicial. Este aumento fue más del triple del registrado en el modelo 1B, donde sólo
fue de un 4% (Figura D-6).
De la Figura D-7 a la Figura D-15 se muestran los resultados de desplazamientos, tensión
vertical y tensión horizontal para el punto de extracción central. Todas estas figuras
corresponden a un tiempo t=9hr. Es importante mencionar que la compresión tiene signo
negativo.
Figura D-7. Modelo 1A. Fracturas persistentes (sin traslape)
93
Figura D-8. Modelo 1B.Un sistema fracturas no-persistentes (traslape ½ bloque)
Figura D-9. Modelo 1A. Contorno de desplazamientos (m)
Figura D-10. Modelo 1B. Contorno de desplazamientos (m)
94
Las Figura D-9 y Figura D-10 muestran, utilizando la misma escala, que los
desplazamientos dentro del modelo 1B, corresponden en general a un 50% de los que
resultan en el modelo con fracturas persistentes (1A).
La Figura D-11 muestra el mismo resultado del modelo 1A (Figura D-9) pero se cambió la
escala para mostrar más detalle de los desplazamientos al interior del modelo. Se aprecia
que las zonas de igual desplazamiento toman una forma parabólica o elíptica con respecto
a la superficie libre del arco. La forma de parábola tiende a torcerse para llegar
verticalmente al borde superior.
Figura D-11. Modelo 1A. Contorno de desplazamientos (m). Detalle de la Figura D-9
Al comparar las tensiones horizontales (Figura D-12 y Figura D-13) se observa que en
general la tensión horizontal es mayor en el modelo 1A que en el 1B. Esto implica que es
más fácil que se produzca la caída de bloques.
95
Figura D-12. Modelo 1A. Tensión horizontal sxx (MPa)
Figura D-13. Modelo 1B. Tensión horizontal sxx (MPa)
Figura D-14. Modelo 1A. Tensión vertical syy (MPa)
96
Figura D-15. Modelo 1B. Tensión vertical syy (Mpa)
El aumento de la tensión vertical sobre el pilar y en general la magnitud y el área donde
se produce este aumento, resulta menor en el modelo 1B (Figura D-14 y Figura D-15). El
modelo 1A muestra una mayor zona de baja tensión vertical sobre los arcos.
En ambos modelos, el esfuerzo horizontal y vertical sobre los pilares es mayor que en el
resto del bloque. Sin embargo, muy cercano a esta zona y sobre la superficie del arco, se
genera una zona en la cual ambas tensiones son muy bajas e incluso de tracción. Esta
zona es soportada por la superficie del arco que se encuentra comprimida.
Los resultados muestran que las fracturas no-persistentes producen un mayor efecto de
arco, en general, aumentando las tensiones horizontales, disminuyendo las verticales y
produciendo menores desplazamientos de los bloques.
97
E. Otros resultados extracción sin restricción
A continuación se presentan resultados (Figura E-1), no incluidos en la sección 6.3, de la
variación de energía para la simulación de extracción sin restricción dentro de los
distintos volúmenes de control (ver Figura 4-5 y Figura 4-6).
Debido a la inclinación de las fracturas, el colapso del sistema se produce de derecha a
izquierda como lo muestra la Figura 6-5. En los gráficos de la Figura E-1 se observa que
para la situación de colapso, la liberación de energía ocurre primero en el punto de
extracción derecho (VC12), luego en el central (VC6) y finalmente en el izquierdo (VC9).
En la zona comprendida por el volumen de control 12 (lado derecho) se produce una
liberación importante de la energía elástica acumulada. La densidad de energía pasa de
0,42MJ/m3 a 0,09MJ/m3 en aproximadamente 0,2s. Luego de esto, no se produce una
nueva acumulación de energía, ya que como se aprecia en la Figura 6-5, se genera un
plano de falla en el lado derecho del modelo, que no permite una posterior compresión
del material.
En el lado izquierdo (VC7, VC8 y VC9) en cambio, se produce un aumento de la energía
acumulada al mismo tiempo que se registra una liberación en las zonas central y derecha,
lo que se debe a que el sistema completo falla desplazándose hacia la derecha y hacia
abajo, produciendo una compresión de los bloques en el pilar del extremo izquierdo. Esto
significa un aumento de la energía acumulada en VC8. El aumento de la energía elástica
observado en los VC1 y VC2 corresponde al aumento producido en la zona izquierda del
modelo.
Figura E-1. Variación de la energía elástica almacenada en los diferentes volúmenes de control
(VC) durante el colapso del modelo. Extracción sin restricción
98
Figura E-1. Continuación…
99
F. Otros resultados extracción controlada
En la Figura F-1, Figura F-2 y Figura F-3 se presentan resultados para la energía elástica
almacenada en los volúmenes de control VC1, VC2 y VC3 respectivamente. En estas
figuras, se puede apreciar que es en el tercio inferior donde se produce la mayor
concentración y cambios en la energía elástica. La simulación más rápida (SV1) muestra
también mayores variaciones de energía que la más lenta (SV3). La curva azul (SV2) se
encuentra en una situación intermedia.
Figura F-1 .Densidad de energía elástica. VC1
Figura F-2. Densidad de energía elástica. VC2
100
Figura F-3. Densidad de energía elástica. VC3
Al observar la Figura F-4, correspondiente al lado izquierdo, se ve cómo tiende a
producirse una acumulación de energía elástica debido a una compresión del material, tal
cual como fue descrito para el caso de extracción sin restricción. En el lado derecho
(Figura F-5), en cambio, la densidad de energía elástica tiende a disminuir. En ambos
casos, las variaciones en la densidad de energía elástica crecen con la velocidad de
extracción.
Figura F-4. Densidad de energía elástica almacenada en VC9
101
Figura F-5. Densidad de energía elástica almacenada en VC12