Dualidad Gravedad/Teorıa Cu´antica de Campos en el Frente de Luz

Dualidad Gravedad/Teorı́a Cuántica de Campos
en el Frente de Luz
Guy F. J. de Téramond
Universidad de Costa Rica
Simposio Centroamericano y del Caribe de Fı́sica
XXVIII CURCCAF
Universidad de Costa Rica
GdT and Brodsky, PRL 102, 081601 (2009)
XXVIII CURCCAF, 27 Julio 2009
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Electrodinámica Cuántica (QED)
• QED teorı́a fundamental de la interacción de electrones y fotones
• Lagrangiano de QED: ψ(x) → eiα(x) ψ(x)
1
LQED = − (F µν Fµν ) + iψDµ γ µ ψ + mψψ
4
• QED describe la electrodinámica, la fı́sica atómica, la quı́mica y las propiedades básicas del electrón
con precisión extraordinaria. Ej. factor g del electron:
gexp = −2.0023193043622(15)
gQED = −2.002319304 . . .
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Estructura Interna del Protón: SLAC (1969)
• Experimentos a altas energı́as (20 GeV) en SLAC revelaron la estructura interna del protón
• Estudio de colisiones profundamente inelásticas (1967-1973): constituyentes puntuales (partones de
Bjorken y Feynman ) identificados con los quarks de Gell-Mann y Zweig
• Interacciones de los constituyentes fundamentales del protón, quarks y gluones, pueden describirse
mediante una generalizacion notable de QED: cromodinámica cuántica (QCD)
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Cromodinámica Cuántica (QCD)
qu = 32 , qd = − 31
• QCD teorı́a fundamental de la interacción de quarks y gluones mediante la carga de “color”
• Lagrangiano de QCD
ψ(x) → eiα
LQCD
a (x)T a
ψ(x)
1
= − 2 Tr (Gµν Gµν ) + iψDµ γ µ ψ + mψψ
4g
• A diferencia de QED los gluones interactúan
entre si: CONFINAMIENTO
• Problema complejo de la dinámica de las interacciones fuertes: determinar la composición de los
hadrones en términos de sus constituyentes fundamentales quarks y gluones
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Simulación de QCD
(Lattice QCD)
• Simulaciones numéricas a escala de
teraflops/sec (resolución ∼ L/a)
–a–
• LQCD (2009) > 1 petaflop/sec
←
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L
→
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AdS/QCD
• Desarrollos recientes inspirados en la correspondencia AdS/CFT [Maldacena (1998)] entre teorı́as de
cuerdas en el espacio de anti-de Sitter (AdS) y teorı́as de campo conformes (invariante de escala)
en el espacio-tiempo fı́sico, han introducido nuevos métodos para el estudio de teorı́as de campo
fuertemente acopladas como QCD
• AdS/QCD: Teorı́a gravitacional efectiva se construye de manera a incluir propiedades sobresalientes
de QCD (“bottom-up” vs “top-down”)
• Derivación no-perturbativa reglas de conteo colisiones a altas energı́as para teorı́as de calibre (gauge)
con confinamiento duales a teorı́as de cuerdas en espacio curvo [Polchinski y Strassler (2001)]
• Interacciones fuertes entre quarks y gluones representadas por teorı́a semiclásica (sin efectos cuánticos
como creación y aniquilamiento de partı́culas) de gravedad en un espacio de más dimensiones: AdS5
• Nueva visión del confinamiento de color y predicciones cuantitativas para el espectro de mesones y
bariones y la función de onda que describe la estructura de los hadrones
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Geometrı́a del Espacio AdS
• Ejemplo de curvatura positiva esfera: distancia entre cualquier punto y su centro r2 = x2 + y 2 + z 2
(Euclides 300 AC). Distancia infinitesimal entre dos puntos ds2 = (dx)2 + (dy)2 + (dz)2
• Métrica del espacio AdS5 :
R2 2
2
2
2
2
2
ds = 2 (dx) + (dy) + (dz) − c (dt) −du
|{z}
{z
}
z |
2
LAdS
LMinkowski
• Una distancia LAdS se contrae por el factor
de distorsión R/u medido por un observador
en el espacio de Minkowski (du = 0):
u
LMinkowski ∼ LAdS
R
• AdS es un espacio de curvatura negativa
cuya frontera asintótica es el espacio
cuadri-dimensional (Minkowski)
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Invariancia de Escala y Confinamiento
• Métrica AdS invariante a cambios simultáneos en las escalas de distancia y tiempo en el espaciotiempo usual xµ → λxµ con el cambio de escala en la quinta dimensión de AdS: u → λu
• Diferentes valores de u corresponden a diferentes escalas a las cuales el protón es examinado
• Intervalos cortos xµ xµ → 0 son mapeados a la frontera UV de AdS, u → 0, que corresponde al
lı́mite Q → ∞: distancia cero en 4-dim
• Dimensiones de confinamiento extensas xµ xµ ∼ 1/Λ2QCD son mapeadas a la región IR de AdS
u0 ∼ ~c/ΛQCD : existe una máxima separación de quarks y un valor máximo de u0 en la frontera IR
• Operadores locales como los operadores de interpolación O (que crean los hadrones en QCD) y
LQCD estan definidos en términos de campos de quarks y gluones en la frontera UV
• Utilizamos las isometrı́as de AdS para mapear los operadores de interpolación en la frontera UV de
AdS en los modos que se propagan al interior de AdS
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Holografı́a en el Frente de Luz
• Formulación usual de AdS/QCD [Erlich, Katz, Son y Stephanov (2005); Da Rold y Pomarol (2005)] no
existe conexión explı́cita con la estructura de los constituyentes fundamentales hadrónicos
• Cuerdas describen objetos extendidos de spin J (sin quarks). Constituyentes fundamentales de QCD
son partı́culas puntuales y los hadrones tienen momento orbital: como pueden estar relacionados?
• Quantización en el frente de luz [Dirac (1949)] es el método ideal para describir la estructura hadrónica
en términos de quarks y gluones: estructura simple del vacı́o permite definición precisa del contenido
partónico de los hadrones y sus funciones de onda
• Ecuación Hamiltoniana de movimiento Pµ P µ |P i = M2 |P i independiente del sistema de referencia. Estructura similar a las ecuaciones de movimiento en AdS
• Aproximación semiclásica a ecuación Hamiltoniana de estados ligados relativistas en QCD equivalente a ecuaciones de onda en AdS [GdT y Brodsky (2009)] y puede perfeccionarse sistematicamente
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Dinámica en el Frente de Luz
• Diferentes posibilidades para parametrizar el espacio-tiempo [Dirac (1949)]
• Difieren en la superficie en la cual especificamos las condiciones iniciales. Cada una evoluciona con
“tiempos” diferentes y tiene su propio Hamiltoniano, pero deben llevar a resultados fı́sicos idénticos
• Forma Instantánea: superficie inicial definida por t = 0, la forma usual
• Forma del Frente: superficie inicial tangente al cono de luz τ = t + z/c = 0
x+ = x0 + x3
tiempo en el frente de luz
x− = x0 − x3
variable espacial longitudinal
k+ = k0 + k3
momento longitudinal
k− = k0 − k3
energı́a en el frente de luz
k · x = kµ xµ =
1
2
> 0)
(k + x− + k − x+ ) − k⊥ · x⊥
Relación de dispersión k 2
+
(k +
−
= kµ k µ = m2 implica (capa de masa)
k = (k , k , k⊥ ),
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k2⊥ + m2
k =
k+
−
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Representación Partónica en el Frente de Luz
GdT and Brodsky, PRL 102, 081601 (2009)
• Generadores de momento en el frente de luz para un protón con momento P = (P + , P − , P⊥ ) en
términos de sus partı́culas constituyentes con momento q = (q + , q − , q⊥ )
X Z dq + d2 q⊥ q2 + m2 †
⊥
bλ (q)bλ (q) + interacciones
P− =
3
(2π)
q+
λ
X Z dq + d2 q⊥
+ †
P+ =
q
bλ (q)bλ (q)
(2π)3
λ
X Z dq + d2 q⊥
†
q
b
(q)bλ (q)
P⊥ =
⊥
λ
3
(2π)
λ
• En el frente el Hamiltoniano P − es dinámico pero los generadores P + and P⊥ son cinemáticos !
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Ecuación de Hamilton Sistema Compuesto
• Hamiltoniano invariante en el frente de luz para el sistema compuesto: P 2 = Pµ P µ = P − P + −P2⊥
P 2 | ψ(P )i = M2 | ψ(P )i
• Estado hadrónico |ψi superposición QM de estados de Fock | ni del Hamiltoniano libre



|uudi


X
|ψi =
ψn |ni,
|ni =
|uudgi


n

 |uudqqi · · ·
donde ki2
= m2i , ki = (ki+ , ki− , k⊥i ), para cada componente i
• Componentes de Fock ψn (xi , k⊥i ) independientes de P + y P⊥ . Dependen únicamente de coor+
denadas partónicas relativas: la fracción del momento xi = ki /P + y momento transverso k⊥i
n
X
i=1
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xi = 1,
n
X
k⊥i = 0.
i=1
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• Computo de M2 a partir del elemento de matriz hadrónico
hψH (P 0 )|P 2 |ψH (P )i = M2 hψH (P 0 )|ψH (P )i
• Resultado
2
M =
XZ n
2
X k2⊥` + m2` 2
dxi d k⊥i
ψn/H (xi , k⊥i ) + interacciones
xq
`
• Normalización del espacio de fase
XZ 2
2
dxi d k⊥i ψn/h (xi , k⊥i ) = 1
n
• En términos de n−1 coordenadas de impacto transverso independientes b⊥j , j = 1, 2, . . . , n−1,
M2 =
X n−1
YZ
∗
dxj d2 b⊥j ψn/H
(xi , b⊥i )
n j=1
X −∇2b
⊥`
`
xq
+ m2` ψn/H (xi , b⊥i )+interacciones
• Normalización
X n−1
YZ
dxj d2 b⊥j |ψn (xj , b⊥j )|2 = 1
n j=1
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Aproximación Semiclásica a QCD
• Estado ligado de dos partones en el espacio de impacto transverso en el limite mq → 0
Z 1
Z
dx
2
2
∗
2
M =
d b⊥ ψ (x, b⊥ ) −∇b⊥ ψ(x, b⊥ ) + interacciones
1
−
x
0
• Dependencia funcional para un estado de Fock fuera de la capa de masa M2 − M2n
M2n
=
n
X
a=1
kaµ
2
X k2 + m 2
a
⊥a
=
xa
a
• Variable equivalente en espacio transverso de impacto :
k2⊥
→
x(1 − x)
ζ 2 = x(1 − x)b2⊥
• Separación de modos angulares, longitudinales y transversos en términos de la variable transversa ζ
iM ϕ
ψ(x, ζ, ϕ) = e
φ(ζ)
X(x) √
2πζ
• Resultado (L = |M |)
Z
Z
2
2
p
d
1
d
L
φ(ζ)
√ + dζ φ∗ (ζ) U (ζ) φ(ζ)
M2 = dζ φ∗ (ζ) ζ − 2 −
+ 2
dζ
ζ dζ
ζ
ζ
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• Fuerzas de confinamiento de los términos de interacción incluidos en el potencial efectivo U (ζ)
• Lı́mite ultra-relativista mq → 0 los modos longitudinales X(x) se desacoplan y la ecuación de
autovalores en el frente P 2 |φi = M2 |φi es una ecuación de onda para φ
1 − 4L2
d2
− 2−
dζ
4ζ 2
|
{z
}
energia cinetica de partones
+
U (ζ)
| {z }
φ(ζ) = M2 φ(ζ)
conf inamiento
• Ecuación de onda de Schrödinger : relativista, independiente sistema de referencia y analı́tica
• Autofunciones φ(ζ) determinan espectro hadrónico y representan la probabilidad de encontrar n
partones de masa zero a una distancia transversa ζ en el hadron a tiempo igual en el frente de luz
• Normalización de autofunciones φ(ζ) = hζ|φi
Z
hφ|φi = dζ |hζ|φi|2 = 1
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Modelo de Barrera Infinita
• Potencial de barrera infinita (hard wall)

 0 if ζ ≤ 1
ΛQCD
U (ζ) =
 ∞ if ζ > 1
ΛQCD
•
Si L2
L ≥ 0 el Hamiltoniano es positivo hφ HLF φi ≥ 0 y M2 ≥ 0
• Si L2 < 0 el Hamiltoniano no esta limitado por debajo ( Problema de “caı́da al centro” en Q.M.)
• Valor crı́tico del potencial corresponde a L = 0, el estado estable mas bajo posible
• Soluciones:
p
φL (ζ) = CL ζJL (ζM)
• Espectro de modos a partir de condiciones de frontera
1
φ ζ=
=0
ΛQCD
Por consiguiente:
M2 = βLk ΛQCD
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• Espectro de excitación del modelo de barrera infinita: Mn,L ∼ L + 2n
Espectro orbital de los mesones livianos ΛQCD
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= 0.32 GeV
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Mapeo Holográfico
• Mapeo holográfico en el frente de luz descubierto inicialmente comparando factor de forma electromagnético y gravitacional en AdS y en QCD [Brodsky and GdT (2006, 2008)]
• Substitución
Φ(ζ) ∼ ζ 3/2 φ(ζ), ζ → u en la ecuacion de onda en el frente de luz
2
2
1 − 4L
d
2
φ(ζ)
=
M
φ(ζ)
− 2−
dζ
4ζ 2
• Solución
con (µR)2
u2 ∂u2
2
2
2
− 3u ∂u + u M − (µR)
Φ(u) = 0
= −4 + L2 , la ecuación de onda en AdS5 !
• Isomorfismo del grupo SO(4, 2) de transformaciones conformes P µ , M µν, D, K µ con el grupo de
isometrı́as del espacio AdS5 : xµ → λxµ , u → λu
• Condición de estabilidad en AdS de Breitenlohner-Freedman (µR)2 ≥ −4 equivalente a la condición
de estabilidad QM L2 ≥ 0
• Dimensión conforme ∆ del modo Φ en AdS en términos de la masa 5-dim: (µR)2 = ∆(∆ − 4).
Por consiguiente ∆ = 2 + L de acuerdo al escalamiento en QCD para un objeto de dos partones
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Gravedad en AdS
• Métrica AdS5 x` = (xµ , u):
2
`
ds = g`m dx dx
m
R2
= 2 (dxµ dxµ − du2 )
u
• Acción para la gravedad acoplada con un campo escalar en AdS5
Z
1 `m
√ 1
4
2 2
S = d x du g
(R − 2Λ) + g ∂` Φ∂m Φ − µ Φ
2
κ
|
{z
} |2
{z
}
SG
• Ecuaciones de movimiento
SM
1
R`m − g`m R − Λg`m = 0
2
1
µR 2
3
ρ
u ∂u 3 ∂u Φ − ∂ρ ∂ Φ −
Φ=0
u
u
• Soluciones fı́sicas en AdS ΦP (x, u) ∼ e−iP ·x Φ(u) ondas planas a lo largo de las coordenadas
de Poincaré con cuadri-momento P µ y masa hadrónica invariante Pµ P µ = M2
• Sustituyento en la ecuación de movimiento
2 2
2
2
2
u ∂u − 3u ∂u + u M − (µR) Φ(u) = 0
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Campos de Spin J en AdS
• Campo de spin J en AdS representado por un tensor simétrico de rango J : Φ(x, u)`1 ···`J
[Fronsdal; Fradkin y Vasiliev]
• Acción en AdS5 para un campo de spin J
Z
1
√ 4
` `1 ···`J
2
`1 ···`J
d x du g ∂` Φ`1 ···`J ∂ Φ
− µ Φ`1 ···`J Φ
+ ...
SM =
2
• Estado hadrónico con spin total J es dual a un modo normalizable en AdS
ΦP (x, u)µ1 ···µJ = e−iP ·x Φ(u)µ1 ···µJ
con cuadri-momento Pµ e ı́ndices de spin en las coordenadas fı́sicas 3 + 1 (Pµ P µ
= M2 )
• Para campos con indices en 3+1, Φzµ2 ···µJ = Φµ1 z···µJ = · · · = 0, sistema de ecuaciones
diferenciales acopladas de SM se reduce a ecuación homogenea para Φ(u)µ1 ···µJ
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• Campo de spin J , Φµ1 ···µJ , con indices en 3+1 mediante cambio de dimensiones
u −J
Φ(u)
ΦJ (u) =
R
• Normalización [Hong, Yoon and Strassler (2006)]
Z umax
du
2
Rd−2J−1
Φ
(u) = 1
d−2J−1 J
u
0
• Sustituyendo en la ecuación de onda escalar para Φ
2 2
2
2
2
u ∂u − (3−2J)u ∂u + u M − (µR) ΦJ = 0
• Dimensión conforme del modo J : (µR)2 = (∆ − J)(∆ − d + J)
• Sustituyendo u → ζ y φJ (ζ) ∼ ζ −3/2+J ΦJ (ζ)
2
2
1 − 4L
d
2
φ
=
M
φµ1 ···µJ
− 2−
µ
···µ
1
J
dζ
4ζ 2
con (µR)2
= −(2 − J)2 + L2 . Desacople de J en el modelo de barrera infinita
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Modelo de Barrera Suave
[Karch, Katz, Son and Stephanov (2006)]
• Ecuación de onda en AdS para ΦJ (Dilatón ϕ(u) = ± κ2 u2 )
2 2
2 2
2
2
2
u ∂u − 3−2J ∓ 2κ u u ∂u + u M − (µR) ΦJ = 0
2 ζ 2 /2
• Sustituyendo u → ζ y φJ (ζ) ∼ ζ −3/2+J eκ
ΦJ (ζ) para ϕ(u) = +κ2 u2
d2
1 − 4L2
− 2−
+ κ4 ζ 2 + 2κ2 (L + S − 1) φµ1 ···µJ = M2 φµ1 ···µJ
2
dζ
4ζ
• Autofunciones
s
φnL (ζ) = κ1+L
2n!
2 2
2 2
ζ 1/2+L e−κ ζ /2 LL
n (κ ζ )
(n+L)!
• Autovalores
M2n,L,S = 4κ2
S
n+L+
2
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• Addición de cuantos
4κ2 for ∆n = 1
4κ2 for ∆L = 1
2κ2 for ∆S = 1
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1−−
2++
3−−
4++
JPC
M2
L
Trayectorias de Regge para la familia I
= 1 de mesones ρ (rojo)
y la familia I = 0 de mesones ω (negro) para κ = 0.54 GeV
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Gravedad de los Bariones en AdS
• Modelo de barrera infinita [GdT y Brodsky (2005)]
De Nick Evans
• Modelo de barrera suave equivalente a ecuación de Dirac en AdS con potencial lineal
h i
`
2
i u Γ ∂` + 2Γu + µR + κ z Ψ(x` ) = 0.
• Solución (µR = ν + 1/2)
5
2 z 2 /2
Lνn (κ2 z 2 )
2 z 2 /2
2 2
Lν+1
n (κ z )
Ψ+ (z) ∼ z 2 +ν e−κ
Ψ− (z) ∼ z
7
+ν
2
e−κ
• Autovalores
M2 = 4κ2 (n + ν + 1)
• Modo de spin J > 12 , Ψµ1 ···µJ−1/2 , con indices en 3+1 a partir de Ψ por cambio de dimensiones
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4κ2 for ∆n = 1
4κ2 for ∆L = 1
2κ2 for ∆S = 1
M2
L
Trayectorias de Regge para la familia 56 de baryones N y ∆ para κ
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= 0.5 GeV
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Otras Aplicaciones de Dualidad Calibre/Gravedad
• Rompimiento simetrı́a chiral [Erlich, Katz, Son y Stephanov, Da Rold y Pomarol . . . ]
• Espectro Hadrónico [Boschi-Filho, Braga, de Paula, Frederico, Vega, ...]
• Factores de forma electromagnéticos, gravitacionales y de transición
[Abidin y Carlson, Grigoryan y Radyushkin, Kwee y Lebed, Brodsky y GdT ...]
• Dispersión profundamente inelástica y fı́sica del pomerón [Polchinski, Strassler, Brower, Tan, ...]
• Materia de quarks y gluones en condiciones extremas (RHIC, LHC)
[Policastro, Son, Starinets, Kovtun, Gubser, Kim, Sin, Zahed, Cáceres, Güijosa, Edelstein, . . . ]
• Fı́sica de la materia condensada y superconductores [Herzog, Kovtun, Son . . . ]
Aplicaciones futuras de holografı́a en el frente de luz
• Introducción de quarks masivos
• Introducción de efectos cuánticos: fuerzas de Coulomb por intercambio de gluones, estados de Fock
sobre el estado de valencia . . .
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Ejemplo: Factor de forma electromagnético del pion
PRELIMINAR
|πi = ψqq/π |qqi + ψqqqq/π |qqqqi
Mρ 2 → 4κ2 (n + 1/2)
κ = 0.54 GeV
Γρ = 130, Γρ0 = 400, Γρ00 = 300 MeV
Pqqqq = 13 %
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