Sobrevolando el universo de las matemáticas

INTRODUCCIÓN
Más de una vez le habrás preguntado a tu profe de Matemática: ¿y esto para que me sirve? Por lo general,
pensamos que la Matemática es una cuestión solo de la escuela; que hacemos un cálculo, nos ponen una nota;
aprobamos y ¡¡YA ESTÁ!! Sin embargo, esto no es así ¿te animas a demostrar conmigo que con cualquier
aspecto de la vida podemos hacer matemática?
Acompañame demostrémosle al mundo entero que vivimos inmersos en el UNIVERSO DE LAS
MATEMÁTICAS
Comencemos el viaje Tomaremos, entonces, como ejemplo, un simple globo aerostático que a medida que
asciende va midiendo la temperatura.
Los contenidos que abordaremos serán:
− Proporcionalidad inversa
− Escalas
− Trigonometría
− Densidad
− Permutaciones
− Volumen del prisma y la esfera
− Operaciones con fracciones
− Perímetro
− Superficie
− Movimiento rectilíneo uniforme
− Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado
− Intervalos
− Regla de tres simple
− Sistema de ecuaciones
− Operaciones con enteros
− Porcentaje
− Semejanza de figuras
− Vectores
1
− Operaciones con vectores
− Caída libre
− Estadística
Problema Inicial
¿Cómo llega a la tierra la
información que ha
Un globo aerostático1 lleva un termómetro2 digital para medir la temperatura3 recogido el globo?
a distintas alturas. Si se denomina x a la altura del globo respecto del nivel del
mar, e y a la temperatura en grados centígrados correspondiente a cada altura, En un momento dado, el
entonces, la siguiente fórmula nos permite conocer la temperatura para una
globo explota y los
altura determinada:
instrumentos
meteorológicos caen a la
tierra en paracaídas.
¿Sabías qué?
a − ¿Qué temperatura marcará el termómetro al nivel del mar? ¿y a 1km de
altura?
b − ¿A cuántos metros de altura la temperatura es de 0º C?
c − Realicen una gráfica que represente la función.
Resolución:
a−
El primer globo aerostático
fue construido con lino y
forrado en papel. Tenía
11m de diámetro y un peso
de 226kg aprox.
¿Sabías cuáles son los
termómetros más usados?
− Termómetro de vidrio4
− Termómetro de
resistencia5
Por lo tanto, al nivel del mar, el termómetro digital marcará 10º C.
− Pirómetro6
b−
− Termómetro de lámina
bimetálica7
En consecuencia, la altura alcanzada será de 2000m.
y
c − x (m) y (º C)
0 10
1.000 5
2
2.000 0
x
1. Según el planteo de la situación problemática inicial, la temperatura
desciende a medida que se incrementa la altura. Si sabemos que la temperatura
a los 1.000m de altura es de 5º C, calcula a que altura se encontrará el globo
cuando la temperatura sea de 4º C. entonces: ¿cada cuántos metros la
temperatura disminuye 1º C? Investiga porqué la temperatura disminuye en
función de la altura8.
Resolución:
5º C 1.000m
4º C
Los globos, ¿se lanzan o se
liberan?
A diferencia de un cohete
que posee un propulsante
que lo lanza para vencer la
2. Como lo plantea el problema inicial nuestro globo lleva un termómetro
digital para medir las temperaturas a distintas alturas. Supongamos qué, con el gravedad terrestre, el globo
mismo fin, se libera un globo en Inglaterra y otro es liberado por empleados de posee un sistema más sutil:
simplemente tenemos un
un laboratorio. El tema está en que los termómetros que llevan cada uno de
fluido tratando de encontrar
estos globos miden la temperatura en distintas escalas. Investiga cuál
corresponde en cada caso9 y tomando como parámetro los resultados obtenidos su equilibrio dentro de otro
fluido, en este caso la
en el problema inicial responde: ¿qué temperaturas marcará el termómetro
atmósfera. Este juego de
digital del globo liberado en Inglaterra? ¿y el del globo liberado por el
fuerzas y densidades
laboratorio?
comienza una vez que el
globo es despojado de sus
Resolución:
ataduras a Tierra, es decir
cuando es liberado.
−
Entonces, ¿tú qué opinas?,
los globos, ¿se lanzan o se
5º C = ?º F º F = . 5º C + 32
liberan?...
10º C = ?º F º F = . 10º C + 32
Por lo tanto la temperatura disminuye 1º C cada 250m.
Por lo tanto las temperaturas que marcará el termómetro digital del globo
liberado en Inglaterra serán 32º F; 41º F; 50º F
−
5º C = 273º K + 5
10º C = 273º K + 10
En consecuencia las temperaturas que marcará el termómetro digital del globo ¿Pensas que se puede
liberado por el laboratorio serán: 273º K; 278º K; 283º K.
dirigir un globo?
3. Supongamos que el globo aerostático es liberado en las costas de España. En Los globos vuelan en la
determinado momento cuando se encuentra a 500m de altura es sorprendido por misma dirección del viento.
la acción del viento Tramontana10, el cual provoca la variación de su rumbo en Esto les da un componente
45º. Si el globo, a partir de ese momento ha recorrido 200m. ¿A qué altura se de imprevisión y de
3
encontrará al cabo de dicho incidente? ¿Cuál será, en ese momento, la marca
del termómetro digital?
romanticismo que se
convierte en su más grande
atractivo.
Resolución:
¿Sabías que?
cos 45º = x = 141,42m
h = 500m + 141,42m
− Por lo tanto, el globo habrá alcanzado una altura de 641,42m.
1.000m 5º C
641,42m x
− La marca del termómetro en ese momento será de 7,8º C.
4. Según sabemos, por la definición vista de globo aerostático, dicho aparato
puede elevarse siempre y cuando contenga un gas menos denso que el aire. Si
un globo es de helio y otro es de hidrógeno, ¿cuál tardará más en alcanzar los
1000m de altura teniendo en cuenta la densidad de cada uno en ese momento?
Investiga:
El hidrógeno es 14 veces
menos denso que el aire,
por lo cuál hace que el
globo que lo contenga
ascienda mucho más veloz
que cualquier otro. Sin
embargo, es altamente
inflamable, lo que significa,
que a pesar de ser más
lento, se utilice con mayor
frecuencia el helio para
volar la nave.
− Densidad11
− Densidad del aire, del helio, del hidrógeno12
− Densidad y temperatura13
Resolución:
Teniendo en cuenta qué:
¿Sabías por qué vuela un
globo14?
− Densidad del aire: 1,3 g/dm3 a 20º C.
− Densidad del helio: 0,1784 g/dm3 a 20º C.
− Densidad del hidrógeno: 0,08987 g/dm3 a 20º C
20º C 1,3 g/dm3
5º C x1 =
densidad del aire a los 5º C
Los globos que se utilizan
en los vuelos con pasajeros
son globos de aire caliente.
Los globos de aire caliente
vuelan por diferencia de
temperatura. Se calienta el
interior del globo con un
quemador, con lo cuál este
se vuelve más ligero y
debido a ello, el globo se
eleva.
20º C 0,1784 g/dm3
5º C x2 =
densidad del helio a los 5º C
20º C 0,08987 g/dm3
4
5º C x3 =
densidad del hidrógeno a los 5º C
Por lo tanto el globo que tardará más en alcanzar los 1000m de altura será el
que contiene helio puesto que es más denso que el hidrógeno.
5. Supongamos que nuestro globo aerostático corresponde a la serie H y es más
precisamente el modelo H−7715. Este tipo de globo admite sólo una tripulación
de 4 personas. Un día determinado abordan a él Jairo, Pedro, Lucía y
obviamente el comandante. El problema consiste en que los 3 hermanos quieren
observar el paisaje desde los 4 puntos cardinales. ¿De cuántas formas diferentes
podrían ubicarse los cuatro tripulantes para complacer el deseo de los recién
llegados?
Resolución:
Cantidad de formas en las que pueden ubicarse:
4! = 4.3.2.1 = 24
Por lo tanto para que los tres hermanos puedan observar el paisaje desde los 4
puntos cardinales existen 24 posibles ubicaciones.
6. Resulta ser que para ofrecer mejor calidad en sus servicios los técnicos de la
compañía que fabrica globos aerostáticos han decidido implementar a nuestro
globo una cesta neumática18 en lugar de la tradicional cesta de sauce. Las
medidas de la cesta estándar para 4 personas son: 1,5m de ancho y de largo y
1,6m de alto. El volumen de la cesta varía por cada tripulante que se suma 1/4
del volumen estándar. ¿Cuál será el volumen que se necesita para que la
tripulación sea de 5 personas? ¿y para que sea de 7 personas?
¿Sabías que hay distintas
clases de globos y algunas
son más que exóticas?
− Los globos gemelos y el
globo al revés16.
− El dirigible17.
Resolución:
Volumen de la cesta estándar = l.a.h
Vol. de la cesta = 1,5m . 1,5m . 1,6m = 3,6m3
− Volumen de la cesta para 5 personas:
3,6m3 + . 3,6m3 =
El volumen que se necesita para que la tripulación sea de 5 personas es de
4,5m3.
¿Tú que piensas: hará frío
en el globo?
Más bien al contrario, pues
al tener el quemador para
calentar el aire no hace frío,
eso sí, en invierno es
necesario llevar los pies
bien abrigados porque el
calor del quemador no llega
hasta ellos.
− Volumen de la cesta para 7 personas:
3,6m3 + 3 . . 3,6m3 =
El volumen que se necesita para que la tripulación sea de 7 personas es de
6,3m3.
5
7. Imaginemos que nuestro globo es el perteneciente al doctor Fergusson, a su
criado Joe y a su amigo Dick Kennedy. Entonces, nuestro globo estaría punto
de atravesar parte del continente africano en el término de cinco semanas. Los
tres aeronautas del libro Cinco Semanas en Globo19 recorren 8 lugares.
Nosotros supondremos que los protagonistas han recorrido 5 lugares partiendo
de Zanzíbar y finalizando su vuelo en el punto de partida. Este sería un croquis
del trayecto realizado:
a − Realiza el croquis de acuerdo a la escala:
¿Sabías qué?
El Río Nilo es el río más
largo del mundo. Su
longitud es de 6.695km. Su
cuenca ocupa un área
aproximadamente de
3.350.000km2 y su caudal
medio es de 3,1 millones de
litros por segundo.
1cm = 1000km
Aprendiendo un poco más
b − ¿Cuál es el perímetro recorrido en el viaje? ¿Cuántos km2 han atravesado
los protagonistas del libro, al cabo de 5 semanas?
Resolución:
a − Zanzíbar − Lago Victoria = 2cm
Lago Victoria − Río Nilo = 3cm
Río Nilo − Desierto Sahara =2,7cm
Desierto Sahara − Río Níger = 3,3cm
Río Níger − Lago Chad = 2,5cm
Lago Chad − Zanzíbar = 3,5cm
El Desierto de Sahara es el
más extenso del mundo. Se
adentra 1610km en el
continente y tiene una
anchura de 5.150km. Su
superficie total supera los 9
millones de km2, de lo que
sólo 207.200km2 son oasis
parcialmente fértiles.
Las variaciones de las
temperaturas son extremas:
oscilan entre las heladas
nocturnas y unas máximas
diurnas de 54º C.
b−
¿Sabías qué?
− Perímetro recorrido = 1995km + 3053km + 2729km + 3326km +
El delta del Río Níger es el
mayor de África cubriendo
unos 36.000km2 de
superficie.
+ 2503km + 3497km
El perímetro recorrido en el viaje es de 17,103km.
Hurgando en la historia
− Superficie recorrida:
− Sup 1 = Sup 1 =
Sup 1 = 1.050.000km2
− Sup 2 = Sup 2 =
Sup 2 = 2.622.750km2
− Sup 3 =
En 1783 un físico francés
llamado Alexandre Charles
construyó y logró volar el
primer globo aerostático de
hidrógeno, pero como este
gas podía escapar
fácilmente a través del
forro de papel, el globo se
construyó con una tela fina
de seda recubierta de goma.
Sup 3 =
Sup 3 = 10.548.000km2
6
Sup total = 1.050.000km2 + 2.622.750km2 + 10.548.000km2
La superficie total que recorrieron los protagonistas fue de 14.220.750km2
8. Viajemos en el tiempo. Supongamos que estamos en el año 1783 y que
nuestro globo es el diseñado por los hermanos Montgolfier20. El 21 de
noviembre volamos por sobre París 25min. recorriendo unos 8km y
descendiendo con éxito cerca del camino a Fontaneibleau. ¿A qué velocidad
habremos viajado suponiendo que fuese constante?, y si en vez de haber
descendido hubiéramos seguido vuelo durante 20min. más, con una velocidad
final de 22km/h (causada por el accionar de una brisa). ¿Cuál hubiese sido,
entonces, la aceleración sufrida por el globo en ese intervalo de tiempo?
Resolución:
− Espacio: 8km
Tiempo: 25min. o sea 0,42h
v=v=
Entonces la velocidad a la que hemos viajado fue de 19,04km/h.
− t0 = 0,42h v0 = 19,04km/h
tf = 45min. o sea 0,75h vf = 22km/h
a=a=a=
Por lo tanto la aceleración sufrida por el globo en ese intervalo de tiempo habrá
sido de 8,96km/h2.
9. Hagamos de cuenta que nuestro globo no es un globo meteorológico sino más
bien un globo destinado al viaje por placer. Un día Pablo y su hijo Nahuel
deciden comunicarse con la empresa TANGOL21 para pedir presupuestos. La
telefonista, luego de explicarles que el vuelo dura aproximadamente 1 hora en la
cual se recorren entre 10 y 20km (según la intensidad de la brisa) y que
previamente se arma, se infla y se levanta el gigante les dice que: los montos que
deben pagar padre e hijo suman $700 y que las diferencias entre los cocientes
que se obtienen al dividir el monto de Pablo por 5 y el monto de Nahuel por 10
es de $35. ¿Puedes calcular, entonces, cuanto deben pagar, por persona, Pablo y
su hijo Nahuel para viajar en nuestro globo?
Resolución:
Monto de Pablo: x
Monto de Nahuel: y
Por lo tanto Pablo y Nahuel deben abonar $350 cada uno para viajar en nuestro
globo.
¿Qué se ha de llevar para
volar en globo?
Se ha de llevar ropa
adecuada al tiempo en que
se vuela (verano o
invierno), también un
calzado cómodo y se
recomienda a los
tripulantes llevar gorra o
sombrero.
¿Cómo se realiza el inflado
de un globo aerostático?
Se utilizan ventiladores
para llenar el globo con aire
frío, el que luego se
calienta con los
quemadores permitiendo
que el globo se eleve. El
tiempo total de inflado
varía entre los 10 y 20 min.
y los pasajeros son
invitados con el fin de que
disfruten plenamente de la
experiencia de viajar en
globo.
¿Sabes cuál es el mejor
momento del día para
volar?
10. Supongamos, ahora, que el viaje en globo por placer lo realizaremos en
España con la empresa Ocioaventura22. Las tarifas de esta empresa son
7
150euros por persona sin IVA. El globo es liberado con sus tripulantes en
Granada. Resulta ser que si la actividad se realiza fuera de la base de vuelos el
costo por desplazamiento es de 0,27euros/km y a su vez el almuerzo para la
tripulación mínima (3 personas) cuesta 150euros. ¿Cuánto deberá pagar en total
cada tripulante si parten de una ciudad situada a 33km de Granada y deciden
almorzar en los establecimientos de la empresa?
¡¡Atención!!: Los tripulantes son tres y la tarifa por persona está dada sin IVA.
Resolución:
− Tarifa por persona: 150euros + IVA
100% 150euros
21% x = 31,50euros
Los mejores momentos del
día son: las primeras horas
luego del amanecer y dos o
tres horas antes de la puesta
del sol.
¿Sabías qué, por seguridad,
los pilotos de los globos
aerostáticos son sometidos
a exámenes teóricos y
prácticos antes de ser
habilitados por la
Autoridad Aeronáutica de
la República Argentina y a
su vez deben superar un
estricto examen
psicofísico?
Tarifa por persona: 150euros + 31,50euros = 181,50euros
− Desplazamiento: 0,27euros/km
0,27euros . 33km = 8,91euros
Desplazamiento = 8,91euros
− Almuerzo: 150euros entre los 3 pasajeros.
150euros : 3 = 50euros
Almuerzo por tripulante = 50euros
Costo total del paseo = 181,5euros + 8,91euros + 50euros
Cada pasajero deberá abonar en total 240,41euros.
11. La empresa FESTO23 , para promocionar en una exposición el modelo de
nuestro globo aerostático, pretende realizar, una maqueta a imagen y semejanza,
de él. Suponiendo que nuestro globo sea esférico, sus medidas son: diámetro,
25m; altura total, 29m; alto de la cesta, 1,6m; largo y ancho de la cesta, 1,5m.
Los encargados de realizar la maqueta han reducido en 100 veces las medidas
reales. ¿Cuáles son las medidas del gigante en miniatura? ¿Cuál será su
volumen? ¿Podríamos decir que el globo real y la maqueta son figuras
semejantes? ¿Por qué?
Resolución:
− Diámetro = 25m
25m : 100m = 0,25m o sea 25cm
Altura total = 29m
29m : 100m = 0,29m o sea 29cm
Yendo un poquito más allá
¿Alguna vez has escuchado
hablar del globo − cometa y
los globos libres?
Estos globos eran
empleados en los servicios
de Aerostación Militar con
el propósito de realizar
observaciones en los
campos de batalla, en
algunos de los vuelos de
entrenamiento se llevaban
meteorógrafos con el fin de
realizar observaciones.
Como alternativa o
complemento a estas
observaciones con globos
8
Alto de la cesta = 1,6m
se empleaban cometas.
1,6m : 100m = 0,016m o sea 1,6cm
Ancho y largo de la cesta = 1,5m
1,5m : 100m = 0,015m o sea 1,5cm
Por lo tanto las medidas de la maqueta serán 25cm; 29cm; 1,6cm; 1,5cm.
− Diámetro = 25cm r = 12,5cm
Vol. de la esfera =
Vol. de la esfera =
El volumen de la esfera será de 8.181,23 cm3
− El globo real y la maqueta son figuras semejantes puesto que tienen la misma
forma pero no tienen el mismo tamaño. O sea, los ángulos que se corresponden
son iguales y varían las longitudes en forma proporcional.
12. ¡¡Tenemos compañía!! Supongamos que en uno de nuestros viajes se suma a
nosotros un segundo globo. Ambos son liberados al mismo tiempo pero, en
determinado momento, el soplido de un viento nos separa. Nuestro acompañante
recorre 7km hacia el este y 4km hacia el norte. Nosotros recorremos 3km hacia
el sur y 5km hacia el este. ¿Podrías indicar gráficamente qué distancia se ha
recorrido en total entre ambos gráficos? ¿En qué punto del plano queda
representada esa distancia?
¿Sabes cuál es la mejor
época para volar?
Todas las estaciones del
año tienen su atractivo,
puesto que el paisaje va
cambiando. El invierno, por
ejemplo, ofrece la visión de
Aclaración: Ubica en el centro de coordenadas el momento en que ambos globos las montañas nevadas,
mientras que en el verano
se han separado.
la vista se deleita con
infinitos colores y matices.
y
x
Fin del viaje
= (7; 4) + (−5; −3)
¿Sabes como se realiza el
aterrizaje de un globo
aerostático?
= (7 + 5; 4 − 3)
Hacia el final del vuelo, el
piloto elige un campo libre
de animales y sembrados
para el aterrizaje. Esta
13. Un día a nuestro globo aborda Matilda con su mamá. Cuando ya el vuelo
puede ser la parte más
había considerado una altura considerable la niña deja caer una piedra y un
segundo más tarde lanza otra con una velocidad de 18m/s. ¿Te animas a calcular emocionante de toda la
travesía, ya que si el viento
a que distancia por debajo del globo se encontrarán las dos piedras que tiró
toma cierta intensidad, la
Matilda?
barquilla puede arrastrarse
unos metros sobre la
Resolución:
superficie hasta detenerse y
apoyarse suavemente sobre
Primera piedra = tiempo: t1 ; espacio: e1
Por lo tanto la distancia recorrida entre ambos globos está representada en el
punto (12; 1).
9
Segunda piedra = tiempo: t2 ; espacio: e2
uno de sus lados.
t1s − t2s = 1s
t2s = t1s − 1s
e1 = ; e2 =
Si igualamos los espacios y reemplazamos t2 :
=
Por lo tanto las dos piedras que tiró Matilda se encontrarán a los 12,54m por
debajo del globo.
14. Por último: juguemos con la imaginación. Pensemos que nuestro globo ahora
es una nave aerostática24 de aire caliente. Esta aeronave gracias a su motor no
está a merced del viento sino que podemos dirigirla. El único recurso que
necesitamos para emprender el viaje es que el viento no supere los 20km/h.
hemos programado el paseo, en esta extraña aeronave, para el 4 de septiembre
con tres posibles destinos: Bariloche, Río Gallego e Iguazú. Previamente hemos
tenido que investigar cuales serán las distintas velocidades de los vientos en
estos tres lugares ese día, para asegurarnos la realización del vuelo. Estos han
sido los resultados:
18
22
17
25
16
22
15
18
14
22
13
18
12
22
10
HORA
VIENTO (km/h)
Bariloche: Río Gallego:
HORA
VIENTO (km/h)
18
9
17
9
16
13
15
9
14
9
13
20
12
29
Iguazú:
HORA
18
17
16
15
14
13
12
VIENTO
(km/h)
14
24
24
27
24
27
27
11
a − Necesitamos que calcules la media aritmética de la velocidad de los vientos en cada uno de estos lugares
para descubrir así, que cielos volaremos el 4 de septiembre.
b − ¿Cómo quedarían representadas, en un gráfico de torta, las frecuencias de las distintas velocidades del
viento en cada uno de los destinos?
Resolución:
a − Bariloche:
Viento (km/h) (xi)
9
13
20
29
TOTAL
Frecuencia (fi)
4
1
1
1
7
fi . xi
36
13
20
29
98
Por lo tanto, la velocidad media del viento en Bariloche es de 14km/h.
Río Gallego:
Viento (km/h) (xi)
22
25
18
TOTAL
Frecuencia (fi)
4
1
2
7
fi . xi
88
25
36
149
Por lo tanto la velocidad media del viento en Río Gallego es de 21,28km/h
Iguazú:
Viento (km/h) (xi)
14
24
27
TOTAL
Frecuencia (fi)
1
3
3
7
fi . xi
14
72
81
167
En consecuencia, la velocidad media del viento en Iguazú es de 23,85km/h.
Por consiguiente, teniendo en cuenta la característica de la aeronave, el lugar más apropiado para realizar el
vuelo es en Bariloche.
b − Bariloche:
12
9km/h
4
13km/h
1
20km/h
1
29km/h
1
7 100% 7 100%
4x=1x=
100% 360º 100% 360º
57% x = 14% x =
Río Gallego:
22km/h 4 = 57% = 205º
25km/h 1 = 14% = 50º
18km/h 2
7 100% 100% 360º
2 x = 29% x =
Iguazú:
14km/h 1 = 14% = 50º
24km/h 3
27km/h 3
7 100% 100% 360º
3 x = 42% x =
1. Un globo aerostático es un recipiente esférico o cilíndrico que contiene un gas menos denso que el aire, lo
que permite la elevación del aparato. El valor del empuje ascensional viene dado por el principio de
Arquímedes, el cuál postula que:
Todo cuerpo sumergido en un fluido (en nuestro caso el aire) experimenta un vertical y hacia arriba igual al
peso del fluido que desaloja.
Un esquema que resume el mecanismo de un globo aerostático es el siguiente:
13
2. Un termómetro es un instrumento que permite medir la temperatura de un sistema. Una forma usual de
construirlo es utilizando una sustancia que tenga un coeficiente de dilatación que permanezca
aproximadamente constante, como el mercurio. Dicha sustancia se supone dentro de un tubo de vidrio
graduado de manera que las variaciones de temperatura conllevan una variación de longitud que se visualiza a
lo largo de la escala.
3. La temperatura es un parámetro termodinámico del estado de un sistema que caracteriza el calor, o
transferencia de energía térmica, entre ese sistema y otros.
Algunos tipos de temperaturas son:
− Temperatura seca: se llama temperatura seca, a la del aire, prescindiendo de la radiación calorífica de los
objetos que rodean ese ambiente concreto y de los efectos de la humedad relativa y de la velocidad del aire.
− Temperatura radiante: la temperatura radiante tiene en cuenta el calor emitido por la radiación de los
elementos del entorno.
− Temperatura húmeda: la temperatura húmeda es la temperatura que da un termómetro a la sombra con el
bulbo envuelto en una mecha de algodón húmeda bajo una corriente de aire.
4. Termómetro de vidrio: es un tubo de vidrio sellado que contiene un líquido, generalmente mercurio o
alcohol, cuyo volumen cambia con la temperatura. Este cambio se visualiza en una escala graduada.
5. Termómetro de resistencia: consiste en un alambre de platino cuya resistencia eléctrica cambia cuando
cambia la temperatura.
6. Pirómetro: se utilizan para medir temperaturas elevadas.
7. Termómetro de lámina bimetálica: está formado por dos láminas de metales de coeficientes de dilatación
muy distintos arrollados dejando el de coeficiente más alto en el interior.
8. Para comprender porqué disminuye la temperatura a medida se incrementa la altura tomaremos un ejemplo
cotidiano: ¿qué ocurre cuando se calienta una olla con agua?
Como el calor se aplica en el fondo de la olla, la temperatura del agua disminuye rápidamente hacia el tope de
la olla, y nuestra experiencia nos indica que en este caso se producen fuertes movimientos verticales. Esta
forma de movimientos verticales energéticos y distribuidos al azar se denomina turbulencia. Algo similar
puede ocurrir en la capa superficial de la atmósfera durante el día, dependiendo del tipo de superficie y de la
cantidad de energía solar. La energía del sol atraviesa la atmósfera casi en su totalidad y es absorbida en la
superficie terrestre (al igual que en una olla, el sol calienta el fondo de la atmósfera). La superficie calienta el
aire en contacto con ella, y si este calentamiento es suficientemente grande, la atmósfera también experimenta
turbulencia.
9. Escalas de temperaturas: la escala más usada en la mayoría de los países es la escala centígrada,
denominación usual renombrada como Celsius en 1984, en honor a Anders Celsius (1701 − 1744).
Otras escalas usadas en la fabricación de termómetros son:
• Fahrenheit, en los países anglosajones (º F).
• Kelvin o temperatura absoluta, usada casi exclusivamente en laboratorios (º K).
Tanto la escala centígrada como la escala Kelvin se dividen en 100 partes a diferencia de la escala Fahrenheit
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que se divide en 180 partes iguales.
Por consiguiente para realizar pasajes de la escala centígrada a la escala Kelvin no existe conveniente alguno;
pero para pasar de la escala centígrada a la escala Fahrenheit se necesita la siguiente fórmula:
Las equivalencias de las tres escalas serán:
100º C 373º K 212º F
0º C 273º K 32º F
10. El viento es el movimiento del aire. Los vientos globales se generan como consecuencia del
desplazamiento de aire desde zonas de alta presión a zonas de baja presión, determinando los vientos
dominantes de un área o región. Hay que tener en cuenta numerosos factores locales que influyen o
determinan los caracteres de intensidad y periodicidad de los movimientos del aire. Estos factores, difíciles de
simplificar por su multiplicidad, son los que permiten hablar de vientos locales. Estos tipos de vientos son los
siguientes:
• Brisa marina.
• Brisa de valle.
• Brisa de montaña.
• Viento catabático: vientos que descienden desde las alturas al fondo de los valles producidos por el
deslizamiento al ras del suelo del aire frío y denso desde los elementos del relieve más altos. Soplan a
velocidades continuas que superan los 200km/h.
• Viento anabático: vientos que ascienden desde las zonas más bajas hacia las más altas a medida que el
sol calienta el relieve.
Dentro de los vientos con nombre propio existe el:
Viento tramontana: viento frío y turbulento del nordeste o norte que en España sopla sobre las costas de
Baleares y Cataluña.
11. Densidad: los cuerpos difieren por lo general en su masa y su volumen. Estos dos atributos físicos varían
de un cuerpo a otro, de modo que si consideramos cuerpos de la misma naturaleza, cuanto mayor es el
volumen, mayor es la masa del cuerpo considerado.
Aún cuando para cualquier sustancia la masa y el volumen son directamente proporcionales, la relación de
proporcionalidad es diferente para cada sustancia. Es precisamente la constante de proporcionalidad de esa
relación la que se conoce por densidad y se representa con la letra griega . Entonces:
La densidad es una propiedad o atributo característico de cada sustancia. En los sólidos la densidad es
aproximadamente constante, pero los líquidos, y particularmente en los gases varían con las condiciones de
medida.
12. Densidad del aire: 1,3g/dm3 a 20º C.
Densidad del helio: 0,1784g/dm3 a 20º C.
Densidad del hidrógeno: 0,08987g/dm3 a 20º C.
13. Densidad y temperatura: la densidad del aire depende fuertemente de su temperatura, a mayor temperatura
decrece la densidad del aire (en forma alternativa: un volumen fijo de aire es más pesado cuando el aire está
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frío y se hace más liviano a medida que el aire se calienta).
14. Flotabilidad: es una fuerza que está dirigida de abajo hacia arriba, o en sentido contrario del peso. Siempre
hay flotabilidad en un fluido. El fluido puede estar en movimiento o estacionario. El científico griego
Arquímedes dedujo que la fuerza de flotabilidad era igual al peso del fluido desplazado por el cuerpo.
Si un objeto que cae al agua pesa menos que el agua desplazada (desalojada), entonces flotará; si pesa más,
entonces se hundirá.
Los globos de aire caliente utilizan la fuerza de flotabilidad para conseguir ponerse a flote, pero desplazan un
volumen de aire tan extremadamente grande que la fuerza de flotabilidad excede su peso de modo que pueden
flotar en el aire y volar.
15. Según el tipo de bolsa los globos pueden clasificarse en: abiertos o cerrados; rígidos o elásticos.
Globo cerrado: aparato más ligero que el aire que se encuentra cerrado para no perder el gas que lleva en su
interior. A medida que asciende, debido a los rayos del sol que inciden sobre él se producen cambios de
presión en el gas que contiene pero mantiene siempre un tamaño constante.
Serie H
16. El globo al revés − una visión única en el cielo
A primera vista el globo al revés parece que esté volcado. Pero en realidad hay una cabina disimulada en la
parte inferior y una cabina falsa en la parte superior.
Los globos gemelos
A menudo los dos globos aerostáticos de aire caliente se ven juntos. La razón es simple: Cuando el globo al
revés sube al cielo requiere orientación. Su diseño inusual, con su cabina integrada bajo su falda (o envoltura
inferior), impide la visión del piloto, significando que tiene que volar el globo a ciegas. Por ello necesita las
orientaciones del globo acompañante, sobre todo durante la difícil fase de aterrizaje.
17. El dirigible: consiste en un globo aerostático con aspecto fusiforme al que se une una nave en la que se
sitúan pilos y viajeros.
Tiene un aparato propulsor; hélice que provoca el avance en el aire y otros medios complementarios de
conducción.
El primero se construyó en 1852 desprovisto de armadura rígida y se movía por un motor de vapor de
potencia muy reducida.
En los años siguientes se lograron varias mejorías, y en las primeras décadas de este siglo, se construyeron
dirigibles semirígidos o rígidos y de grandes dimensiones, alcanzando velocidades mayores a 100km/h.
16
Estos vuelos en general eran costosos, poco manejables, embarazosos e incluso peligrosos cuando las
condiciones atmosféricas eran desfavorables.
Posteriormente, el dirigible fue desplazado por el aeroplano. Solo sobrevive para usos en el campo militar.
18. Cesta neumática inflable: este nuevo desarrollo, que consiste de cinco componentes neumáticos
individuales, ofrece numerosas ventajas frente al tipo tradicional de la cesta de sauce, como por ejemplo el
aterrizaje más suave proporcionado por la "amortiguación" neumática, la manera en la que la cesta puede
desmontarse formando un práctico paquete reducido, y la facilidad para aterrizar en el agua y el llenado vía
válvulas.
19. Cinco semanas en globo − Julio Verne.
El doctor Samuel Fergusson, sabio y explorador francés, acompañado por su criado Joe y por su amigo Dick
Kennedy, decide atravesar el continente africano, usando un globo hinchado con hidrógeno. Un dispositivo de
su invención, que permite subir o bajar a voluntad sin perder gas o echar lastre en busca de corriente
favorable, convierte al globo en un aparato dirigible.
La idea de este viaje es unir las exploraciones realizadas por Burton y Speke en África oriental con las de
Heinrich Barth en las regiones del Sahara y Chad y hallar las fuentes del Nilo.
Los tres aeronautas parten de la isla de Zanzíbar en el globo Victoria y recorren durante cinco semanas los
Montes de la Luna, el lago Victoria, el Nilo, los Montes Auríferos, el Lago Chad, el Desierto de Sahara, el Río
Níger hasta las Cataratas del Güina en el Río Senegal antes de volver a Inglaterra donde son recibidos con
entusiasmo.
20. El 21 de noviembre de 1783, dos franceses: y , fueron los primeros en elevarse por los aires, en un globo
diseñado por los hermanos Montgolfier, el cual tenía incorporada una cesta de mimbre provista de un horno
con leña que mantenía el aire caliente en el interior del globo. Este vuelo duró 25min. Por sobre París,
recorriendo unos 8km, y descendiendo con éxito cerca del camino a Fontainebleau.
21. En esta empresa se puede volar todo el año siempre y cuando las condiciones meteorológicas lo permitan.
El tiempo total desde que se parte del lugar de reunión hasta el regreso al mismo es de unas 3 horas.
Finalizado el vuelo se brinda, conforme a la tradición y se vuelve al lugar donde previamente los pasajeros
habrán dejado su vehículo.
− Duración: mediodía.
− Validez: todos los días.
− País: Argentina
− Zona: Bs. As.
Tarifa:
Promoción Vigencia
1
1/4/05 −
31/12/06
Categoría Moneda Precios
Edad Precio
Excursión
$
regular
Adulto
Menor
350
350
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22. Esta empresa brinda servicios no solo de vuelo sino también de bautismos de aire. El vuelo en cuanto a
duración viene determinado por la orografía y el propio desarrollo del vuelo en sí, aproximadamente una hora.
La actividad comienza al amanecer y tiene una duración de 3 a 4 horas.
Duración
vuelo en globo 3 a 4 horas
pax min (a) pvp pax (b)
3
150euros
a − Grupo mínimo necesario para la realización.
b − Precio por persona (sin IVA).
23. Para la realización de esta situación problemática se han utilizado algunos de los siguientes datos extraídos
de la empresa Festo. Ten en cuenta que han sido usados a conveniencia.
Datos técnicos
Identificativo
Fabricante
Tipo
Volumen bruto
Volumen activo
Peso
Altura
Ancho
Superficie horizontal
Tripulación
Capacidad de gas Propano
Globo
PH−HIO
Cameron
N−133
3970 m3
3970 m3
128 kg
29 m
25 m
105 m²
Piloot+4
240 Litros
Invertido
PH−OIH
Cameron
Special−78
3823 m3
2210 m3
298 kg
29 m
25 m
108 m²
Solo piloto
180 Litros
24. La aeronave aerostática de aire caliente:
Innovación en los cielos: Un examen minucioso revela que es un globo aerostático de aire caliente
dirigible motorizado. Esta es la última creación del equipo de aerostaciones, con numerosas
innovaciones dentro y en su envoltura, la culminación de una corta pero muy exitosa tradición.
Gracias a su motor, la aeronave aerostática de aire caliente no está a merced del viento y puede
dirigirse. Esto significa que son posibles vuelos circulares a velocidades de hasta 10 nudos (20 km/h) y
que duran de 45 a 70 minutos. El único requisito previo para emprender el viaje son vientos no
superiores a 10 nudos.
CONCLUSIÓN
¡¡Lo hemos demostrado!! ¡¡Hemos cumplido con nuestra misión!!
La matemática vive con nosotros, de hecho nosotros vivimos con ella MATEMÁTICA no es sinónimo
de escuela, MATEMÁTICA es sinónimo de ¡¡VIDA!!
Ahora ya lo sabes, la próxima vez que oigas preguntar ¿y esto para qué me sirve? levántate y comenta
lo que hemos aprendido
18
A partir de este momento te toca a ti elije un tema, el que tú quieras, introdúcelo y llévalo contigo a
donde quiera que vayas, las ideas surgirán por sí solas simplemente tú dedícate a reconocerte inmerso
en el UNIVERSO DE LAS MATEMÁTICAS simplemente: ¡¡VIVE!!
El desafío, RECIÉN COMIENZA
250m
0º C = 32º F
5º C = 41º F
10º C = 50º F
0º C = 273º K
5º C = 278º K
10º C = 283º K
h = 641,42m
x = 7,8º C
x1 = 5,2 g/dm3
X2 = 0,7136 g/dm3
4,5m3
6,3m3
X3 = 0,35948 g/dm3
Perímetro recorrido = 17,103km
Sup total = 14.220750km2
v = 19,04km/h
a = 8,96km/h2
x = 350
y = 350
Vol. de la esfera = 8.181,23cm3
Costo total del paseo = 240,41euros
= (12; 1)
19
= (12; 1)
12,54m
x = 57%
x = 14%
x = 205º
x = 50º
x = 29%
x = 105º
x = 151º
x = 42%
1
7
3
8
8
9
2
5
0
4
6
5
2
20