Marcelo A. Delfino - marcelodelfino.net

Marcelo A. Delfino
¿Qué son los bonos?
Act ivo financiero que concede a un inversor ciert os
derechos que deberán ser sat isfechos en el fut uro
a cargo del emisor (Estado o empresas).
Esos derechos son la devolución del capit al y los
intereses.
Represent a una alt ernat iva de financiación frent e a
ot ras form as t radicionales com o prést am os
bancarios, em isión de acciones ( em presas) o el
cobro de impuestos (Estado)
Marcelo A. Delfino
Emisores de Bonos
Gobie r n o n a cion a l, pr ovin cia l o m unicipa l
“Títulos públicos”
Condiciones de emisión establecidas por ley
Em pr e sa s, or ga nism os no gu be r n a m e n t a le s,
a socia cion e s,
coope r a t iva s
o
e n t ida de s
financieras
“Títulos privados”
Condiciones cont ract uales en el “pr ospe ct o de
emisión”
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Características
Liquidez: dependerá del m ont o de la em isión. A
m ayor m ont o, m ayor ofert a, m as operaciones y
por lo tanto el precio será mas transparente
Garantías
Con garantía (secured bonds)
Sin garantías (unsecured bonds)
Forma de emisión
Cartulares (BONEX), laminas de cartulina
Escriturales: el comprador es registrado por VN
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Características
Tasa de interés: conocida como tasa de renta o cupón.
Fija
Flotante
Amortización
I nt ereses periódicos y am ort ización al final ( sist em a
americano) se denominan Bullet
I nt ereses y am ort izaciones periódicas ( sist em a
Alemán o Francés) Balloon
Sin int ereses periódicos y am ort ización al final se
denominan Cupón cero
Plazo (Maturity)
Corto plazo (con vencimientos hasta 1 año)
Largo plazo (con vencimientos de 2 a 10 años)
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Tasa Flotante
Los pagos de los cupones son variables. Los aj ust es a
los pagos de cupones est án vinculados a un ín dice de
tasa de interé s:
LIBOR: tasa interbancaria del mercado de Londres
PRI ME: t asa preferencial para prést am os en el
mercado norteamericano
BAI BOR: Tasa interbancaria del m ercado de Buenos
Aires
BADLAR: Tasa prom edio pagada por los bancos por
plazos fijos en dólares a 30 días.
Un bono con t asa flot ant e paga aproxim adam ent e las
tasas corrientes en el mercado.
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Otros tipos de bonos
Bon os de in gr e so: son sim ilares a los convencionales,
except o que los pagos de los cupones dependen de las
ut ilidades de la em presa. Est o significa que los cupones
se pagan a los t enedores sólo si las ut ilidades de la
empresa son suficientes.
Bon os con ve r t ible s: son aquellos que se pueden
int ercam biar por un núm ero convenido de acciones en
cualquier m om ent o ant es de que se produzca su
vencimiento, a elección del tenedor.
Bon os con r e de n ción a n t icipa da ( Putable) : son los
que perm it en al t enedor obligar al em isor a recomprarle
el bono a un precio est ablecido y con fecha ant erior al
vencimiento del mismo ( bond plus put option).
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Rescate, recuperación o reembolso
Los bonos pueden redim irse o rescat arse ( Callable) a
su vencim ient o o bien en form a parcial o t ot al ant es de
esa fecha a opción del emisor
Esta Clá u su la de r e de n ción a n t icipa da perm it e a la
em presa em isora volver a com prar o " redim ir" de form a
parcial o t ot al los bonos a precios previam ent e pact ados
y luego de t ranscurrido un ciert o período desde la
emisión (Refund provision)
La diferencia entre el precio de redención anticipada y el
valor nom inal se denom ina pr im a de r e sca t e
anticipado. Generalm ent e, son rescat ables con una
prima sobre la par. Marcelo A. Delfino
Riesgo de invertir en bonos
Riesgo crediticio: probabilidad que el em isor
present e dificult ades financieras que le im pidan
cumplir con sus obligaciones
Rie sgo de r e inve r sión : el inversor enfrent a el
riesgo de t ener que reinvert ir los int ereses
periódicos y am ort izaciones a una t asa de int erés
m enor, result ando un rendim ient o final inferior al
prometido.
Rie sgo de infla ción
Rie sgo de r e sca t e : algunos bonos habilit an al
em isor a cancelar su deuda en form a ant icipada
devolviendo
el
capit al
a
los
t enedores.
Generalm ent e se ej erce est e derecho cuando las
tasas de mercado están bajas.
Marcelo A. Delfino
Riesgo de invertir en bonos
Rie sgo de t a sa de int e r é s: si las t asas suben el
precio de los bonos caen y por lo t ant o el inversor
experimenta una pérdida de capital.
Rie sgo de t ipo de ca m bio: para aquellos t ít ulos
denom inados en m oneda ext ranj era exist e la
posibilidad que la cot ización result e desfavorable
debido a una depreciación de la divisa, al
momento de liquidación
Rie sgo sobe r a n o: riesgo inherent e al país donde
reside el em isor. I ncluye no solo la sit uación
económica sino también político e institucional
Marcelo A. Delfino
Rie sgo por in cu m plim ie n t o o default
Est e riesgo se refiere a la incert idum bre de pago
de los cupones de renta o amortización del bono.
Las grandes consultoras financieras internacionales
como Moody’s y St a nda r d a n d Poor ’s estiman
el Riesgo de Default im plícit o en los papeles
mediante la calificación ( rating) que le otorgan
Para est o ut ilizan inform ación pública, de los
est ados financieros que m iden la ca pa cida d pa r a
pa ga r sus de u da s y ge n e r a r fon dos de m anera
estable.
Marcelo A. Delfino
Calificaciones de riesgo
Las em isiones de t ít ulos de deuda baj o el ROP
deben present ar en form a obligatoria dos
calificaciones de riesgo de calificadoras autorizadas
Se califica la emisión y no la empresa.
Una em presa puede t ener dist int as calificaciones
para distintas emisiones que depende de:
el plazo
la moneda
estructura de las garantías
En Argent ina se califica la deuda de la em presa en
forma general.
Marcelo A. Delfino
Estimando calificaciones
Ant es de cada em isión, el em isor debe solicit ar su
calificación de riesgo a fin de asegurarle al fut uro
inversor, información mas transparente y objetiva.
Con esta calificación (rating) que le ot organ las
agencias especializadas se int ent a m edir el riesgo de
incumplimiento de las obligaciones de la firma
La calificación es est im ada a t ravés de sus indicadores
financieros. El rat io m ás ut ilizado es la t asa de
cobertura de intereses (interest coverage ratio)
TCI
GAIT
Gastos en Intereses
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Rie sgo por in cu m plim ie n t o o default
Los prest at arios que generan un m a yor r ie sgo de
incum plim ient o deberían pagar t a sa s de in t e r é s m a s
altas que aquellos con uno menor.
El riesgo de incum plim ient o puede expresarse com o
una función que depende de dos variables:
Su capacidad para generar fondos operativos y
Sus obliga cion e s fin a n cie r a s, incluyendo el pago
de intereses y principal.
Marcelo A. Delfino
Rie sgo por in cu m plim ie n t o o default
Por lo tanto:
Las em presas que generan fluj os de fondos elevados
en relación a sus obligaciones financieras t ienen un
menor riesgo de default.
Mient ras m ás est ables sean esos fluj os de fondos,
menor es el riesgo de incumplimiento de la empresa.
Las fir m a s con a ct ivida de s e st a ble s son m e n os
riesgosas que ot ras con negocios m ás fluct uant es,
cíclicos o volátiles.
Marcelo A. Delfino
Rie sgo por in cu m plim ie n t o o default
Las calificadoras realizan un seguim ient o periódico del
deudor, pudiendo m odificar la calificación original
durante la vida del bono.
Las dos principales agencias calificadoras de bonos son
St a n da r d a n d Poor ´ s ( S& P) y M oody´ s ( M d) y
aunque sus rat ings son sim ilares, exist en las diferencias
que se muestran en la Tabla 1.
Las calificaciones se dividen en dos grupos:
Investment grade o grado de inversión
H igh yie ld bon d o inversiones especulat ivas o de
alto riesgo
Marcelo A. Delfino
Tabla 1
Standard and Poor´s
Moody´s
Ca lifica dor a s de r ie sgo e n Ar ge n t in a
Duff & Phelps de Argent ina Soc. Calificadora de
Riesgo S.A.
Evaluadora Lat inoam ericana S.A. Calificadora de
Riesgo
Fitch Argentina Calificadora de Riesgo S.A.
Humphreys Argentina Calificadora de Riesgo S.A.
Magíster / Bankwatch Calificadora de Riesgo S.A.
Standard & Poor's International Ratings, Ltd.
Value Calificadora de Riesgo S.A.
Marcelo A. Delfino
Tabla 2
Descripción
Marcelo A. Delfino
Rie sgo por in cu m plim ie n t o o default
La Tabla 3 present a la m e dia n a de los coe ficie n t e s
correspondient es
a
em presas
de
la
indust ria
m anufact urera de Est ados Unidos em pleados por S&P
para asignar las calificaciones.
La calificación de las firmas en gran medida depende que:
generen fluj os de fondos m ayores que los
compromisos derivados de su deuda,
tengan una buena rentabilidad y
exhiban un bajo endeudamiento
Es evident e que las em presas con alt a rent abilidad y
bajo endeudamiento obtienen mejores calificaciones que
las demás.
Marcelo A. Delfino
Tabla 3
Marcelo A. Delfino
Rie sgo por in cu m plim ie n t o o default
A veces las calificaciones no son consist ent es con los
rat ios financieros debido a que las agencias en sus
decisiones finales emplean criterios subjetivos.
La rent abilidad de un bono corporat ivo est á en función
de su riesgo de default medido por su calificación,
Por lo t ant o las obliga cion e s con u n r a t in g e le va do
deberían valuarse de m odo que generen una menor
tasa de interés que las que tengan uno menor.
Esta pr im a de r ie sgo ( default spread) varía con el
plazo del bono y puede cam biar período a período
conforme lo haga la situación económica general.
Marcelo A. Delfino
Rie sgo por in cu m plim ie n t o o default
La Tabla 4 presenta el rating que propone S&P
la prim era colum na m uest ra diferent es niveles de
TCI en base a los que se confeccionan intervalos.
la segunda las calificaciones asignadas que varían
ent re AAA y D para las que t ienen m ayor y m enor
capacidad de pago de intereses.
la últ im a la t a sa de in t e r é s dife r e n cia l ( spr e a d)
que pagan por encim a del rendim ient o de un bono
del gobierno con el mismo período de maduración.
Marcelo A. Delfino
Tabla 4
Marcelo A. Delfino
La tasa de cobertura de intereses
Si una em presa t iene Ganancias ant es de int ereses e
im puest os ( GAI T) por $ 1 m illón y paga I nt ereses por $
250 mil, la tasa de cobertura de intereses (TCI) sería:
TCI
GAIT
Gastos en Intereses
1
0, 250
4
De acuerdo a la Tabla 4 S&P le asignaría una calificación
A- y por lo tanto:
Costo de la deuda = Rf + PRE = 6% + 2% = 8%.
Marcelo A. Delfino
La tasa de cobertura de intereses
La t a sa de cobe r t u r a de in t e r e se s TCI es el
indicador m ás im port ant e que em plean S&P y Moody’s
para det erm inar los rat ings de los bonos corporat ivos
porque es una m uy buena m edida de la ca pa cida d de
la firma para atender sus pagos de intereses.
La TCI ca m bia cu a n do lo h a ce la e st r u ct u r a de l
fin a n cia m ie n t o de la e m pr e sa y dism inuye cuando
aum ent a el coeficient e de Endeudam ient o ( definido
como la relación D / PN).
Marcelo A. Delfino
Ejemplo
La Tabla 5 present a el Est ado de Result ados de una
empresa de servicios en diferentes escenarios:
En el primero no tiene deuda,
en el segundo el coeficient e de Endeudam ient o es
0,10 ( su deuda represent a el 10% de sus act ivos
totales, pues E = PT / AT = 0,10),
en el tercero se eleva a 0,50 indicando que su pasivo
es igual a su patrimonio neto, y
en el últ im o se supone un caso ext rem o en el que
llega a 0,90.
Marcelo A. Delfino
Tabla 5
Ganancia antes de intereses e impuestos
5.559
5.559
5.559
5.559
Ganancia final
3.558
3.272
1.522
-1.090
Coeficiente Endeudamiento (E)
Tasa cobertura intereses (TCI)
0
->
0,10
12.44
0,50
1,75
0,90
0,77
i
t
Marcelo A. Delfino
Resultados
La t asa de cobert ura de int ereses TCI dism inuye a
m edida que el coeficient e de endeudam ient o E crece
pues desde el alt o nivel de 12,44 cae a 0,77 cuando E
aumenta de 0,10 a 0,90.
En est e últ im o caso los int ereses de la deuda absorben
casi la t ot alidad de las ganancias ant es de int ereses e
impuestos de la empresa.
A m edida que E aum ent a t am bién lo hace el riesgo de
default , m ient ras que por el ot ro lado la caída en TCI
reduce la calificación de AAA a CC.
Est o significa que los int ereses que t endrá que pagar la
firm a a m edida que se endeuda crecen debido al
aum ent o en la prim a de riesgo, elevándose de 7,20% al
13% anual.
Marcelo A. Delfino
Marcelo A. Delfino
D e t e r m in a ción de l pr e cio de u n bon o
El precio o valor de un bono de pe n de de l flu j o
de in gr e sos que pr opor cion a r á h a st a su
vencimiento, o maduración.
Para det erm inarlo es necesario conocer sus
característ icas, que se det allan en el cont rat o de
emisión.
Supongam os un bono con un valor nom inal de $
100, plazo de vencim ient o T = 30 años y paga un
cupón anual de $10, la t asa de int erés vigent e en
el mercado para operaciones similares es r = 10%.
Marcelo A. Delfino
D e t e r m in a ción de l pr e cio de u n bon o
Para determinar el valor de mercado se suma:
El Valor present e de los cupones VPC que el
em isor pagará al t enedor en cada uno de los 30
años hasta el vencimiento y
El Valor present e de su valor nom inal VPN, que
es el que pagará a su tenedor al vencimiento:
PB = VPB = VPC + VPN
Marcelo A. Delfino
D e t e r m in a ción de l pr e cio de u n bon o
Valor cupón 1
VPC
1
(1
r)T
10 1
r
1
(1 0,10) 30
0,10
$ 94,3
El valor present e del nom inal ( VPN) es el valor
act ual de un m ont o I , que se coloca a una t asa de
interés r por un plazo de T períodos:
VPN
Valor nominal bono
(1 r ) T
100
(1 0,10) 30
Marcelo A. Delfino
$ 5 ,7
D e t e r m in a ción de l pr e cio de u n bon o
Por lo t ant o VPB = $94,3 + $5,7 = $100 e
indica que este bono se emitirá a la par.
Est e es el precio que est á dispuest o a pagar
hoy un inversor por el derecho a percibir ese
flujo de fondos en el futuro.
Valor del cupón
1
(1 r ) t
T
PB
t
Valor nominal bono
(1 r ) T
Marcelo A. Delfino
Paridad
Los bonos en general se negocian por su precio
expresado com o paridad. Los precios se expresan
como porcentaje del valor nominal o principal.
Cuando el precio coincide con su valor al
vencim ient o es decir su precio es el 100% del VN,
el bono cotiza a la par. Su paridad es del 100%
Si el precio es inferior a su VN, el bono cot iza bajo
la par o también se dice que cotiza a descuento
Si el precio es superior a su VN, el bono cot iza
sobre la par o también se dice que cotiza a prima
Marcelo A. Delfino
D e t e r m in a ción de l pr e cio de u n bon o
Cuando se em it en bonos generalm ent e se lo hace
a la t asa de int erés vigent e en el m ercado, lo que
implica que son emitidos a la par.
Por lo t ant o, la t asa del cupón es igual a su
rendimiento.
Pero cuando después esos bonos se com ercializan
en los m ercados de valores su precio fluct úa
inversamente con la tasa de interés del mercado.
La s flu ct u a cion e s e n la t a sa de in t e r é s son la
pr incipa l fue n t e de r ie sgo de va lor e s que
proporcionan ingresos
fijos.
Marcelo
A. Delfino
I m pa ct o de l ca m bio e n la t a sa de in t e r é s
Detalles
Valor nominal del bono
Tasa de interés anual
Valor nominal del cupón
Años de maduración
Precio del bono
Valor presente cupones
Valor presente bono
Emisión
(a la par)
Escenario 1
(bajo la par)
100
10%
10
30
100
94,3
5,7
100
14%
10
30
72
70
2
Marcelo A. Delfino
Escenario 2
(sobre la
par)
100
6%
10
30
155
137,6
17,4
I m pa ct o de l ca m bio e n la t a sa de in t e r é s
Plazo
maduración
5 años
10 años
30 años
4%
6%
8%
Interés
10%
126,7
148,7
203,8
116,8
129,4
155,1
108,0
113,4
122,5
100
100
100
Marcelo A. Delfino
12%
14%
16%
92,8
88,7
83,9
86,3
79,1
72,0
80,4
71,0
62,9
D e t e r m in a ción de l pr e cio de u n bon o
El riesgo de invert ir en bonos m edido por las
variaciones en sus precios es m ayor m ient ras m ayor
sea el plazo de maduración del bono
Mayor es la sensibilidad del precio a fluct uaciones en la
tasa de interés.
Intuición: si uno com pra un bono a la par con un
cupón del 10% y luego la t asa de m ercado aum ent a
sufre una pérdida porque pensaba t ener un rendim ient o
del 10% cuando exist en inversiones alt ernat ivas que
ofrecen una tasa mas alta.
Est o se reflej a en una pérdida de capit al en el bono, es
decir, una caída en el precio.
Marcelo A. Delfino
D e t e r m in a ción de l pr e cio de u n bon o
Mient ras m ayor sea el período que se m ant iene ese
bono, m ayor es la pérdida y por consiguient e m ayor la
caída en su precio.
Además, m ient ras m ayor sea la t asa de int erés m enor
será el precio de los bonos porque el valor present e de
los ingresos futuros será menor.
La Figura siguiente m uest ra la relación ent re el precio
de los bonos y la tasa de interés y también muestra que
la fluct uación de los precios es m ayor m ient ras m ayor
sea el período de maduración.
Marcelo A. Delfino
Relación precio- tasa de interés
250
200
150
100
50
0
4%
6%
8%
10%
12%
14%
Ta sa de int e ré s (%)
P re c io Bono T=30
P re c io Bono T=10
Marcelo A. Delfino
P re c io Bono T=5
16%
D e t e r m in a ción de l pr e cio de u n bon o
La curva es convexa con respet o al origen porque
a m edida que la t asa de int erés aum ent a en
cant idades iguales la reducción en el precio del
bono es cada vez menor.
Est a propiedad del precio de los bonos se llam a
convexidad debido a esa form a de la curva de
precios.
Marcelo A. Delfino
Indicadores básicos
VALOR RESIDUAL.
MONTO EN CIRCULACION.
RENTA ANNUAL. Rendimiento
nominal. (Coupon Yield).
sobre
el
valor
YIELD ANNUAL (Current Yield): Cupón/precio.
TIR (Yield to maturity): Cupón/precio/Valor Actual
Marcelo A. Delfino
Valor Residual
Es la parte del título que aún no amortizó.
Valor residual = Valor nominal - amortizaciones
Necesario para el cálculo del valor técnico.
Pago
Cupón Nº Amortización Valor residual
Marcelo A. Delfino
Valor Residual
Se ut iliza para calcular el m ont o efect ivo de la
inversión en caso que se t om e la cot ización de la
BCBA.
Ejemplo
Precio del PRE 2 al 31/ 3/ 2000 US$ 131,20. Valor
residual al 31/3/2000 25,12%
Monto efectivo de la inversión= US$ 32,96
Marcelo A. Delfino
Cot iza ción de bon os e in t e r e se s cor r idos
Pr e cio sucio ( dirty price): es el precio del bono
calculado com o el valor act ual de los fluj os de
fondos futuros que promete el bono.
Pr e cio lim pio ( clean price) : es igual al precio
sucio m enos los int ereses devengados del cupón
de renta vigente denominados intereses corridos
Precio limpio = Precio sucio – intereses corridos
Marcelo A. Delfino
Intereses corridos
Los bonos t ípicam ent e t ienen períodos fraccionales
de tiempo.
Cuando se com pra un bono, se paga el precio de
cotización m ás una part e proporcional de los
int ereses del últ im o cupón ( int ereses acum ulados
o corridos; “ accrued interest” ).
La form a de com put ar los días influye en cóm o los
precios y el yield son calculados.
El precio pagado ( invoice price) es igual al precio
de cotización mas los intereses acumulados.
Marcelo A. Delfino
Detalles de cálculo
Precio = Precio de cotización + Intereses acumulados
Interés acumulado
u
u
v
interés del período
u = días desde el último cupón
v = días hasta el próximo cupón
Marcelo A. Delfino
Intereses corridos
Ejemplo
Calculam os los int ereses corridos del Bonte 2002,
120 días después del últ im o vencim ient o del
cupón.
I nt erés del período: 8,75% * 100/ 2= 4,375
Días corridos=120
Días del período corriente= 180
Intereses corridos= 4,375*120/180=2,91
Marcelo A. Delfino
Valor técnico
Una form a com ún de indicar la paridad de un bono
es en función de su valor técnico en lugar de VN
El valor t écnico es el valor de rescat e del t ít ulo al
momento actual.
Valor técnico = Valor residual + Intereses corridos
Ejemplo
Bonte 2002:
Valor residual= 100 ; Intereses corridos=2,91
Valor técnico= 102,91
Marcelo A. Delfino
Paridad técnica
Es la relación del precio del bono con su valor
técnico.
Paridad técnica (%)
Precio Sucio
* 100
Valor técnico
Si la Paridad = 100% cotiza a la par.
Si la Paridad > 100% cotiza sobre la par
Si la Paridad < 100% cotiza bajo la par
Marcelo A. Delfino
Paridad técnica
Ejemplo
Precio del Bonte 2002 = 101,20
Paridad
101,20
102,91
98
El bono cotiza bajo la par.
Marcelo A. Delfino
Marcelo A. Delfino
El rendimiento de los bonos
I ndependient em ent e de la paridad a la que cot iza
un bono el inversor debe elegir ent re varios bonos
por su tasa de rentabilidad y no por su precio.
Un bono puede est ar cot izando a prim a y ofrecer
un rendim ient o m ayor que ot ro que se negocia a
descuento.
A igual plazo y riesgo elegirá aquel que prom et a
m a yor r e n dim ie nt o ( no confundir con la t asa de
cupón).
Marcelo A. Delfino
Current yield
Current yield ( r e n dim ie nt o cor r ie n t e ) : es una
m edida de rendim ient o que relaciona el cupón
anual con el precio de mercado del bono.
Current yield
Cupón anual
Precio de bolsa
VR(%) - Int. corrido
Perm it e una aproxim ación rápida de la rent abilidad
del bono pero no t iene en cuent a la ganancia o
pérdida de capital entre la compra y la venta.
Tam poco t iene en cuent a la reinversión de los
cupones cobrados
Marcelo A. Delfino
Current yield
Ejemplo
Bonte 2002
Current yield
8,75
101,20 100% - 2,91
8,90%
Desventajas:
el valor del dinero en el t iem po no es t enido en
cuenta
sólo considera
cupón.
el
rendim ient o
Marcelo A. Delfino
del
próxim o
Ta sa de r e n dim ie n t o h a st a e l ve n cim ie n t o
La t a sa de r e ndim ie nt o ha st a e l ve n cim ie nt o
TRV (o yield to maturity YTM) de un bono es la que
se obt iene desde que se com pra hast a su
amortización final o rescate.
El rendimiento de un bono hasta su vencimiento es
la t a sa int e r na de r e t or n o (TIR) de la inversión
en ese valor suponiendo que los cupones cobrados
se reinvierten a la misma tasa de interés.
Marcelo A. Delfino
Tasa interna de rendimiento
El rendimiento de un bono con cupones satisface la
siguiente ecuación:
Pr ecio
Precio=90
Precio=100
Precio=110
100
C1
1
C2
y
1
y
2
Cn
...
1
TIR=17,3%
TIR= 9,5%
TIR= 2,6%
4,75
(1 y )
4,75
(1 y ) 2
104,75
(1 y ) 3
Marcelo A. Delfino
y
n
Tasa interna de rendimiento
Ventajas:
No sólo t iene en cuent a el cupón corrient e sino
también las ganancias y pérdidas de capital
Tiene en cuenta el valor tiempo del dinero
Dos condiciones:
Se debe m ant ener el bono hast a el vencim ient o RIESGO DE TASA DE INTERES
Todos los cupones deben ser reinvert idos a la
misma tasa - RIESGO DE REINVERSION
Marcelo A. Delfino
Duration
Cuando los bonos hacen m uchos pagos es út il cont ar
con el prom edio de m aduración de t odos esos fluj os de
fondos com o una aproxim ación a su m aduración
efectiva (o media).
Est a m edida t am bién puede em plearse para m edir la
sensibilidad del precio de un bono ant e cam bios en la
tasa de interés,
Aquella t iende a aum ent ar con el t iem po que falt a para
la maduración.
Est a m edida se denom ina Duration de u n bon o y se
calcula com o un prom edio ponderado del t iem po de
pago de cada cupón y del principal.
Marcelo A. Delfino
Pr e cio de los bon os, pe r iodo de m a du r a ción
y tasas de interés
Tasa de Interés
8%
9%
Cambio en el precio (%)
8%
9%
Cambio en el precio (%)
T = 1 año T = 10 años T = 20 años
Con Cupón
100,00
99,06
0,94%
Cupón Cero
92,45
91,57
0,96%
Marcelo A. Delfino
100,00
93,49
6,50%
100,00
90,79
9,20%
45,63
41,46
9,15%
20,82
17,19
17,46%
Duration
El ponderador w t asociado con cada pago es el valor
presente del pago VPFt dividido por el precio del bono.
VPFt
y) t
(1
PB
Wt
Se calcula el prom edio ponderado del t iem po hast a el
cobro de cada uno de los pagos que hace el bono hast a
su rescate, obteniéndose la duración media:
T
D
t
t 1
Wt
Marcelo A. Delfino
Duration de un bono
Tasa
anual
10%
10%
10%
10%
Total
Cupón cero
Cupón cero
Total
Período de
tiempo
hasta el
pago (t)
Pagos
($)
0,5
1,0
1,5
2,0
5
5
5
105
0,5 – 1,5
2,0
0
100
Pagos ($)
descontados 4%
semestralmente
PB Bono A
4,807
4,622
4,445
89,754
103,63
PB Bono B
0
82,27
82,27
Marcelo A. Delfino
wt
D=
t wt
0,0464 0,0232
0,0446 0,0446
0,0429 0,0643
0,8661 1,7322
1,0000 1,8644
0
1,0
1,0
0
2
2
Como se obtiene la Duration?
El cam bio en el precio del bono provocado por un
pequeño cambio en el rendimiento se calcula
dP
dy
( 1) C
(1 y ) 2
( 2)C
(1 y ) 3
....
( n) C
(1 y ) n
1
( n) VNB
(1 y ) n 1
reordenando y dividiendo am bos m iem bros por P se
obtiene el cambio porcentual en el precio
dP 1
dy P
1
1
1C
y (1 y )
2C
(1 y ) 2
....
Marcelo A. Delfino
nC
(1 y ) n
nVNB 1
(1 y ) n P
Como se obtiene la Duration?
La expresión ent re parént esis dividida por el precio es
comúnmente conocida como Macaulay duration (D)
tC
y) t
1 (1
nVNP
(1 y ) n
T
D
t
P
si se reem plaza est e result ado en la ecuación ant erior
resulta:
dP
P
D
dy
(1 y )
DMdy
Donde DM = D / (1+y) se denomina duración modificada.
Marcelo A. Delfino
Como se obtiene la Duration?
Ese result ado dice que el cam bio porcent ual en el precio
del bono ( dP/ P) es igual a su du r a ción m odifica da
m ult iplicado por el cam bio en el YTM o rendim ient o del
bono.
Est e result ado m uest ra que la se n sibilida d de los
bon os a ca m bios e n la t a sa de in t e r é s depende
principalmente de tres factores:
1) El tiempo hasta el vencimiento del bono t,
2) La tasa del cupón C y
3) El YTM o TRV simbolizada por y.
Marcelo A. Delfino
Duration ( D ) se gú n r e n dim ie n t o, cu pón y
t ie m po de m a dur a ción
Años hasta el
vencimiento
1
2
5
10
20
Infinito (perpetuidad)
6%
Tasa del
cupón
8%
10%
0,985
1,913
4,361
7,454
10,922
13,000
0,980
1,888
4,218
7,067
10,292
13,000
0,976
1,864
4,095
6,772
9,870
13,000
Nota: Valor nominal del bono $100, yield 4%
Marcelo A. Delfino
Conclusiones
La duration de un bono cupón cero es igual a su t iem po
hasta la maduración.
Si se m ant iene const ant e el plazo de m aduración, la
duration de un bono es m ayor cuando la t asa del cupón
es menor.
Si se m ant iene const ant e la t asa del cupón, la duration
se incrementa con el tiempo hasta el vencimiento.
Si los otros factores se mantienen constantes, la duration
de un bono con cupón es m ayor m ient ras m enor sea su
YTM.
Marcelo A. Delfino
Convexidad
La duration es sólo una aproxim ación de la volat ilidad
en el precio de un bono para pequeños cam bios en el
yield o tasa de interés,
El problem a que se present a es que la duration intenta
est im ar una relación convexa ( precio – yield) con una
línea recta (la línea tangente).
Por lo t ant o puede ser suplem ent ada con una m edida
adicional que capt ura la curvat ura o convexidad de un
bono.
Generalmente, se calcula la derivada segunda del precio
con respect o a la yield, com o aproxim ación a la
convexidad precio del bono.
Marcelo A. Delfino
Convexidad
d 2P
dy2
n
t
t ( t 1) Cupón
1
(1 y ) t 2
n( n
(1
1) VNB
y)n 2
La convexidad C se representa por:
C
d 2P 1
dy2 P
y el cambio porcentual debido a la convexidad es
dP
P
1
2
C dy2
Marcelo A. Delfino
Re la ción e n t r e pr e cio de u n bon o y t a sa de
rendimiento
Período
(t)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Totales
Flujo de
fondos
(C, VNB)
4,50
4,50
4,50
4,50
4,50
4,50
4,50
4,50
4,50
104,50
VP =
1/(1+y)t+2
t (1+t) C
t(t+1)C /
(1+y)t+2
0,876296
0,838561
0,802451
0,767895
0,734828
0,703185
0,672904
0,643927
0,616198
0,589663
9
27
54
90
135
189
252
324
405
11.495
12.980
7,89
22,64
43,33
69,11
99,20
132,90
169,57
208,63
249,56
6.778,19
7.781,02
Nota: Valor nominal del bono $100, cupón 9%, tiempo 5 años, yield 9%
Marcelo A. Delfino
Conclusiones
Por lo t ant o ut ilizando la duration y convexidad
j unt as se obt iene una m ej or aproxim ación al
cam bio act ual en el precio del bono debido a un
movimiento considerable en el yield
dP
P
dy
D
(1 y )
1
2
C dy2
Lo que significa que la convexidad m ej ora la
est im ación del cam bio en el precio de un bono
para un determinado cambio en la tasa de interés.
Marcelo A. Delfino
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