UNIDAD 12 Cálculo de primitivas

UNIDAD 12 Cálculo de primitivas
5. Ejercicios de refuerzo:
cálculo de “la función primitiva” de otra función
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Soluciones
1
Encuentra la función F para que F' (x) = 2x – 1 y F (5) = 6.
Resolución
F (x) = x 2 – x + k °
¢ 25 – 5 + k = 6 8 k = –14. Por tanto, F (x) = x 2 – x – 14
F (5) = 6
£
2
De una función F (x) se sabe que F' (x) = x 2 – 2x – 4 y F (3) = 1. ¿Cuál es la función F (x)?
Resolución
x3
F (x) = — – x 2 – 4x + k
3
F (3) = 1
3
°
x3
§
2
¢ 9 – 9 – 12 + k = 1 8 k = 13. Por tanto, F (x) = 3 – x – 4x + 13
§
£
Halla la función F que verifica F' (x) =
x
y F (0) = 2.
(x 2 + 1)2
Resolución
–1
+k °
F (x) = x (x 2 + 1)–2 dx = —
§ –1
5
–1
5
2(x 2 + 1)
+ k = 2 8 k = . Por tanto, F (x) =
¢
2 + 1) + 2
2
2
2(x
§
F (0) = 2
£
∫
4
Si F' (x) =
1
+ x y F (1) = 3, ¿cuál es la función F (x)?
x3
Resolución
(
)
x2 x2
1
1
° 1
(1 – 1) + k = 3 8 k = 3
F (x) = (x –3 + x) dx = — + — + k = — x 2 – —
+k §
2
2
–2 2
2
x
¢
§ Por tanto, F (x) = 1 x 2 – 1 + 3
F (1) = 3
£
2
x2
∫
5
(
Encuentra la función G que verifica: G'' (x) = 6x + 1, G (0) = 1, G (1) = 0.
Resolución
∫
G (x) = (3x
∫
G' (x) = (6x + 1) dx = 3x 2 + x + a
2
+ x + a) dx = x 3 +
x2
+ ax + b
2
°
G (0) = b = 1
x2 5
§
1
5 ¢ Por tanto, G (x) = x 3 +
– x+1
G (1) = 1 + — + a + 1 = 0 8 a = – — §
2
2
2
2 £
)
UNIDAD 12 Cálculo de primitivas
5. Ejercicios de refuerzo:
cálculo de “la función primitiva” de otra función
Soluciones
6
¿Cuál es la función G que cumple G''' (x) = 2x, G (0) = 0, G (1) = –
1
2
, G (2) = ?
4
3
Resolución
G'' (x) = x 2 + a; G' (x) =
x3
x 4 ax 2
+ ax + b; G (x) =
+
+ bx + c
3
12
2
G (0) = 0; G (0) = c 8 c = 0
1
1
a
1
G (1) = – —; G (1) = — + — + b = – —
4
12
2
4
2
4
2
G (2) = —; G (2) = — + 2a + 2b = —
3
3
3
Por tanto, G (x) =
7
°
§ a=0
¢
1
§ b = –—
3
£
x4 x
–
12 3
De la función G sabemos que G''' (x) = 2x, G'' (0) = 1, G' (1) =
4
, G (0) = 2. Halla G (x).
3
Resolución
G '' (x) = x 2 + a °
¢ G '' (x) = x 2 + 1
G '' (0) = a = 1 £
x3
°
G ' (x) = — + x + b
§
x3
3
+x
¢ G ' (x) =
4
4
3
G ' (1) = — + b = — 8 b = 0 §
3
3
£
x4 x2
G (x) = — + — + c
12
2
G (0) = c = 2
8
°
x4 x2
§
+
+2
¢ Por tanto, G (x) =
12
2
§
£
Encuentra la función G de la que se sabe que G''' (x) = x + 1, G (0) = 0, G' (0) = 5, G'' (0) = 1.
Resolución
°
x2
2
G'' (x) = — + x + a § G'' (x) = x + x + 1
¢
2
2
§
G'' (0) = a = 1
£
x3 x2
G' (x) = — + — + x + b
6
2
G' (0) = b = 5
°
x3 x2
§
+
+x+5
¢ G' (x) =
6
2
§
£
x4 x3 x2
G (x) = — + — + — + 5x + c
24
6
2
G (0) = c = 0
°
x4 x3 x2
§
+
+
+ 5x
¢ Por tanto, G (x) =
24
6
2
§
£
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