Planificación a Coste Mínimo

Departamento de Expresión Gráfica y Proyectos de Ingeniería
Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial e Ingeniería
Técnica en Topografía
Vitoria - Gasteiz
GESTIÓN DE PROYECTOS
Coste Mínimo
Autores: Jenaro Fernández Martínez
Alfredo Martínez Argote
Karle Olalde Azkorreta
Fecha: Noviembre 1999
Ref.: GesPro-V10
Palabras claves: gestión-proyectos
Oficina Técnica y Proyectos
GESTION DE PROYECTOS: Coste Mínimo
Indice. Tabla de Contenidos
1Gestión de Proyectos: Planificación a Coste Mínimo 1
1.1 Objetivo de la programación a coste mínimo ............................................... 1
1.2 Relación entre duración y coste ................................................................... 4
1.3 Optimización de la duración de las diferentes actividades ........................... 6
1.4 Aplicación a un caso práctico ....................................................................... 9
1.5 El algoritmo de Ackoff y Sasieni (Grafos tiempo-sobrecoste) .................... 14
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Gestión de Proyectos: Planificación a Coste Mínimo
1.1 Objetivo de la programación a coste mínimo
Existen muchas funciones cuya duración es función inversa de la cantidad de recursos que se
utilizan en su desarrollo.
Considerando todas las actividades del proyecto y bajo este punto de vista puede suceder que
la duración del proyecto no sea totalmente fija si no que sea función de los recursos empleados.
La pregunta inmediata que se puede plantear es: ¿Cuál es la duración optima de un proyecto?
Empecemos por definir los extremos de esta función
- Qué las actividades se realicen con los mínimos recursos necesarios y con un nivel de
utilización de estos tan bajo que nunca llegen a realizarse. Esta situación impediria finalizar el
proyecto, por lo que resulta un limite inadmisible.
- Que las actividades se realicen tan rapidamente como tecnicamente sea posible con lo que
obtendremos la duración mínima del proyecto.
Entre estos dos extremos cabe un amplio abanico de duraciones posibles. Para optimizar
dicha duración debemos considerar respecto de que magnitud deseamos realizar la optimización.
Para optimizar la duración del proyecto respecto al coste total del proyecto podemos
representemos el coste del proyecto para distintas duraciones obteniendo una curva similar a la
siguiente:
Coste
Curva
duración/coste del
proyecto
Duración
B
A
C
Puntos a la Dcha.: Representan proyectos en los que se dilata su duración sin causa
aparente. Los recursos no estan en sus niveles máximos de utilización, lo que conlleva un
incremento del coste.
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Puntos a la Izq.: Representan proyectos en los que se utilizan superabundantemente
recursos a fin de reducir la duración de las actividades. Estos recursos adicionales pueden provenir
de una sobreutilización o de un aumento de los recursos disponibles lo que conlleva un incremento
del coste.
Consideremos el caso de una actividad: Levantar un cerramiento de 450 m2 de superficie con
ladrillo.
Productivida
Disponibilidad
d
h/dia
2
m /h
10
8
10
8
Recursos
Humanos
Oficial 1º
Ayudante
3
3
Coste unitario Pts/m
700
Recursos Materiales
Ladrillos,masa,etc
Productividad
2
m /h
10
10
Recursos
Humanos
Oficial 1º
Ayudante
h. Extras Precio
h/dia
Pts/dia
Coste unitario Pts/m
700
Recursos Materiales
Ladrillos,masa,etc
Oficial 1º
Ayudante
Coste unitario Pts/m
700
Recursos Materiales
Ladrillos,masa,etc
---
---
h. Extras
h/dia
3
3
Precio Precio h. extra Pts/h
Pts/dia
10.400 2.200
8.000
1.500
---
Coste
Pts
6
5,63
62.400
48.000
---
315.000
425.400
2
Actividad
2
m
450
450
Actividad m
--450
Total costes directos =
---
Total dias
450
450
Actividad m
--450
Total costes directos =
2
Productivida Disponibilidad
d
h/dia
2
m /h
10
8
10
8
Recursos
Humanos
Actividad
2
m
10.400 2.000
8.000
1.200
2
Disponibilidad
h/dia
8
8
Precio
h. extra Pts/h
Total dias
Coste
Pts
5+5 h extra 69.000
5+5 h extra 47.500
2
---
315.000
431.500
h. Extras Precio Precio h. extra Pts/h Actividad
2
h/dia
Pts/dia
m
Total dias
Coste
Pts
3
3
7
7
72.800
56.000
---
315.000
443.800
10.400 2.200
8.000
1.500
2
---
450
450
Actividad m
--450
Total costes directos =
---
2
Si analizamos la grafica de carga de uno de los recursos, por ejemplo del Oficial de 1º
Horas
Horas
Horas
Horas extras
0
1
2
3
4
5
6 0
1
2
3
4
5 0
1
2
3
4
5
7
6
Dias
CASO 1: Duración = 6 dias
Coste = 62.400 Pts
CASO 2 Duración = 5 dias
Coste = 69.000 Pts
CASO 3 Duración = 7 dias
Coste 72.800 Pts
A la hora de definir un proyecto la duración de este es, junto con el coste y la calidad, uno de
los factores importantes a tener en cuenta.
Como la definición de una fecha exacta de terminación y el cumplimiento de esta resulta casi
imposible se suele proceder de la siguiente forma:
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1) Se define un intervalo de tiempo dentro del cual el proyecto debera estar finalizado, a dicho
intervalo le corresponde un precio, denominado precio base.
2) Si el proyecto sobrepasa el intervalo anterior su precio se vera sometido a unas
penalizaciones, representadas por la linea de penalizaciones.
3) Si el proyecto finaliza con anterioridad al intervalo prefijado este goza de unos premios
representados por la linea de premios.
Tenemos asi una representación superpuesta de la grafica de coste/duración, obtenida del
analisis de la planificación del proyecto, y de la grafica de precio/duración, obtenida del contrato, con
sus correspondientes lineas de penalización y de premios, en la que podemos apreciar el optimo
(técnico) de duración del proyecto, el margen de ganacia, y los puntos más pronto y más tarde de
ejecución del proyecto desde el punto de vista economico.
También existe la posibilidad de hacer un estudio estadistico de la duración de un proyecto a
partir de la probabilidad de acabar una actividad en un determinado tiempo (distribución estadistica
de los tiempos de realización de una actividad) aunque esta tecnica no se encuentra totalmente
integrada en los programas informaticos de planificación de proyectos.
Representación superpuesta de la grafica de coste/duración y de la grafica de precio/duración
Unidades $
Gráfica
Coste/Duración
Duración Mínima
Premios
Duración Máxima
Máximo
Zona donde
existe beneficio
Duración Optima
Precio báse
Penalizaciones
Gráfica
Precio/Duración
Optimo Técnico
Duración
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1.2 Relación entre duración y coste
En el punto anterior vimos como existia una variación en la duración del proyecto para
diferentes niveles de utilización de los recursos. El método MCE se hace cargo de esta caracteristica
y trata de definir la función que lige la duración y el coste de un proyecto de forma que esta pueda
ser sometida a analisis.
Cij
B
Cijt
Coste de ejecución de la actividad ij
CijT
tij Cijt
Tij CijT A
tij
Duración de la actividad ij
Tij
X
Para ello considera que a cada actividad ij en que se descompone el proyecto le podemos
asignar dos tiempos de ejecución distintos: el tiempo normal y el tiempo tope. A cada uno de estos
tiempos les corresponde un tiempo de ejecución diferente.
Tij
Tiempo normal de ejecución de la actividad ij. Corresponde al nivel razonables de
utilización de los recursos (Tiempo PERT).
CijT
Coste inherente a la ejecución de la actividad ij en el tiempo Tij (coste mínimo)
tij
Tiempo tope de ejecución de la actividad ij. Esta duración corresponde al nivel
máximo de utilización de los recursos, es el tiempo mínimo de ejecución.
xij
Duración de la actividad ij, que es la variable incognita en el método MCE.
A
Es el llamado punto normal, tiempo de ejecución máximo y coste mínimo.
B
Es el llamado punto tope, tiempo de ejecución mínimo y coste máximo.
Los puntos A y B estarán unidos por una cierta curva
llamada curva coste duración.
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C i j = f (x i j )que
constituye la
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Cij
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B tij Cijt
Cijt
Coste de ejecución de la actividad ij
Cij = f ( Xij)
A
CijT
tij
Duración de la actividad ij
Tij
X
Dada la complejidad de la curva Cij como hipotesis de trabajo consideraremos que existe una
proporcionalidad estricta entre las disminuciones de los timepos de ejecución y los costes inherentes
a estas reducciones. Esto permite abordar el problema de forma operativa, transformando el
problema de la programación de proyectos a coste mínimo en un problema de programación lineal
paramétrica.
Curvas coste-duración con la nueva hipotesis (lineas rectas)
Cij T - Cij t
Cij =Cij T+ Tij - tij
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(xij -tij)
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1.3 Optimización de la duración de las diferentes actividades
Otra manera de plantear el problema del coste podria ser el de relacionar las duraciones de
las actividades con los costes suplementarios inherentes a las correspondientes reducciones. En
este caso la ordenada del punto A de la recta coste suplementario-duración sería cero, ya que para
el tiempo normal de ejecución no se incurre en ningún sobrecoste adicional.. En cuanto a la
ordenada del punto B de la recta coste suplenmtario-duración será igual al sobrecoste en que se
incurre por reducir el tiempo de ejecución de la actividad ij desde su tiempo máximo Tij a su tiempo
mínimo tij. Este coste suplementario Sijt se obtendría restando al coste máximo Cijt el coste mínimo
CijT, es decir :
Sijt= Cijt-CijT
La pendiente de las rectas, reperesenta el coste suplementario en que se incurre por reducir
la duración del proyecto en una unidad de tiempo, es decir, el coste marginal en concepto de
reducción.
Planteado como un problema de programación lineal paramétrica, que nos permita obtimizar
el tiempo de ejecución de las diferentes actividades para una duración dada del proyecto,
deberemos primero establecer la función objetivo de dicho modelo de programación matematica.
Para ello comenzaremos calculando el coste total de ejecución del proyecto, o bien el coste
suplementario total en que se incurre en concepto de reducción de los tiempos de ejecución de las
actividades, con objeto de minimizar dicho coste. Este coste suplentario total lo podremos obtener
sumando los costes suplementarios correspondientes a las diferentes actividades del proyecto.
Introduciendo el cambio de notación :
Sijt = Qij
Tij - tij
La estructura del modelo de programación matematica en que desemboca el método MCE,
tras varias operaciones nos queda:
max
å Qijxij
"i, j / $mij
[1]
En cuanto al conjunto de restricciones, debemos tener en cuenta que la duración Xij de una
cierta actividad ij no puede ser superior a su tiempo máximo de ejecución Tij, ni inferior a su tiempo
mínimo de ejecución tij. Originando el siguiente conjunto de restricciones:
tij £ xij £ Tij, "i, j / $mij
[2]
Es interesante que se observe que este conjunto de restricciones obliga a que las variables
que estamos progamando tomen valores no negativos. Por lo tanto no será necesario incluir en el
modelo de restriccioners lógicas de no negatividad, que son usuales en los modelos de
programación lineal.
Por otra parte, si representamos por l la duración del proyecto, esta duración coincidirá con
la longitud generalizada del camino crítico. Por tanto, la longitud generalizada de cualquier camino
que una el vértice del grafo que representa el suceso de inicio del proyecto con el vértice del grafo
que representa el suceso fin del proyecto tendrá que ser menor o igual que la duración del proyecto
l.
Esta condición origina el siguiente conjunto de restricciones:
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å
xij £ l"p
"i, j ÎWp
[3]
El símbolo lógico situado en la parte inferior del signo sumatorio nos indica que la suma se
extenderá a todos los arcos pertenecientes al conjunto Wp. Este conjunto está formado por los arcos
del camino p-ésimo, que une el vértice del grafo que representa el suceso inicio del proyecto, con el
vértice del grafo que representa el suceso fin del proyecto. Tendremos tantas restricciones como
caminos existan en el grafo que unen dichos vértices extremos.
Conclusiones :
Como tanto la función objetivo como el conjunto de las restricciones son lineales, el problema
de programar un proyecto a coste mínimo se transforma en un problema de programación lineal
paramétrica, ya que para valor que demos a l, el programa nos dará el tiempo óptimo de ejecución
de las diferentes actividades.
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1.4 Aplicación a un caso práctico
En la figura 4.3 hemos representado el grafo PERT de un proyecto descompuesto en nueve
actividades: A, B, C, D, E, F, G, H, e I. Asimismo, en dicha figura están reflejados los tiempos early de
los diferentes sucesos, que se han calculado de acuerdo con los tiempos normales de ejecución de las
actividades. Estos tiempos normales están contenidos en la columna (2) del cuadro 4.1. Como el
tiempo early del suceso final es 35, podemos afirmar que si las actividades se realizan en sus tiempos
normales, la duración del proyecto será de 35 unidades de tiempo.
Por otra parte, en la figura 4.4 están reflejados los tiempos early de los diferentes sucesos,
calculados esta vez de acuerdo con los tiempos tope de ejecución de las actividades (mínimos). Estos
tiempos tope están contenidos en la columna (3) del cuadro 4.1. En este caso, el tiempo early del
suceso final del proyecto es de 21. Es decir, para los tiempos tope, la duración del proyecto será de 21
unidades de tiempo.
10
3
B= 10
H= 12
0
18
C= 12
25
F= 7
4
1
35
5
6
I= 10
D= 10
A=8
G= 14
Figura 4.3
8
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5
3
B= 5
H= 8
0
21
10
C= 6
F= 4
1
I=7
4
A= 4
5
6
14
D= 6
G= 9
2
Figura 4.4
4
Del razonamiento efectuado hasta ahora, se desprende que es posible elegir cualquier duración
del proyecto comprendida entre 21 y 35 unidades de tiempo. Una vez elegida la duración
correspondiente, se deberá determinar el tiempo de ejecución de las diferentes actividades, de manera
que el correspondiente coste suplementario en concepto de reducción del tiempo de ejecución del
proyecto sea mínimo. Para poder programar estos tiempos de ejecución deberemos conocer los costes
unitarios de reducción de las diferentes actividades. Estos costes están contenidos en la columna (4)
del cuadro 4.1.
CUADRO 4.1
Actividad (1)
1-2
1-3
1-4
2-4
2-5
3-4
3-6
4-5
5-6
Tiempo normal de ejecución
(máximo) (2)
8
10
12
10
14
7
12
7
10
Tiempo tope de ejecución
(mínimo) (3)
4
5
6
6
9
5
8
4
7
Coste unitario de
reducción (4)
2
4
3
4
3
5
2
5
1
Las correspondientes ecuaciones de las rectas costes suplementarios-duraciones, que se
pueden deducir fácilmente de los datos del cuadro 4.1, están representados en la figura 4.5. Conocidos
los tiempo tope, os tiempos normales, los costes de reducción y la correspondiente estructura del grafo
PERT, estamos en condiciones de poder aplicar el métodop de programción lineal paramétrica
desarrollado en el apartado anterior, expresiones [1], [2] y [3]., que nos permitirá programar el proyecto
que estamos estudiando. La función objeto de este programa la obtendremos sin más que sustituir en
la ecuación [1] los coeficientes Qij por los correspondientes costes unitarios de reducción contenidos en
la columna (4) del cuadro 4.1. De esta manera obtenemos:
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máx Y = 2x12 +4x13+3x14+4x24+3x25+5x34+2x36+5x45+x56
[4]
Sustituyendo en el conjunto de inecuaciones los tiempos normal Tij y tope tij por sus valores
dados por las columnas (2) y (3) del cuadro 4.1 obtenemos el siguiente conjunto de restricciones:
4 £ x12
5 £ x13
6 £ x14
6 £ x24
9 £ x25
£8
£ 10
£ 12
£ 10
£ 14
5 £ x34
8 £ x36
4£ x45
7 £ x56
£7
£ 12
£7
£ 10
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[5]
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S13
S12
Figura 4.5
20
S13 = 40-4X13
8
S12 = 16-2X12
X13
4
X12
8
5
10
S14
S24
18
16
S14 = 36 - 3X14
S24 = 40 - 4X24
X14
6
X24
12
6
10
S34
S25
S25 = 42 - 3X25
15
S34 = 35 - 5X34
10
X25
9
14
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X34
5
7
12
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S36
S45
8
S36 = 24 - 2X36
8
12
15
S45 = 35 - 5X45
X36
4
7
X45
S56
S56 = 10 - X56
3
X56
7
10
Finalmente la aplicación del conjunto de inecuaciones [3] al grafo PERT que estamos estudiando
nos lleva a establecer las siguientes restricciones:
x14 + x45 + x56
x12 + x24 + x45 + x56
x12 + x25 + x56
x13 + x34 + x45 + x56
x34 + x36
21 £ l £ 35
£l
£l
£l
£l
£l
[ 6]
Es conveniente observar que los primeros miembros del anterior conjunto de restricciones
representan las longitudes generalizadas de los diferentes caminos del grafo PERT, que van desde el
vértice que representa el suceso fin del proyecto. El objetivo perseguido con esta programación es
determinar la duración de las diferentes actividades, de forma que se consiga finalizar el proyecto en un
tiempo l (comprendido entre 21 y 35 unidades de tiempo ), consiguiendo minimizar el correspondiente
sobrecoste en concepto de reducción de los tiempos de ejecución. Por tanto, debemos maximizar la
expresión [4], sujeta a los conjuntos de restricciones [5] y [6].
Lo cual nos lleva a la resolución de un problema de programación lineal paramétrica, con 9
variables y 23 restricciones, figurando el parametro l como término independiente del conjunto de
restricciones [6].
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En general, el método MCE nos lleva a la resolución de un problema de programación lineal
paramétrica, cuyo número de variables es igual al número de actividades en que se ha descompuesto
el proyecto y cuyo número de restricciones es igual a la suma del doble del número de actividades, más
el número de caminos que tienen la propiedad de unir los vértices extremos del grafo.
Para un numero pequeño de actividades el problema de programación lineal parametrica puede
resolverse con la ayuda del SOLVER de la hoja de cálculo Excel. En este fichero de Excel'97
(programa01.xls) se encuentra resuelto el ejemplo anterior.
1.5 El algoritmo de Ackoff y Sasieni (Grafos tiempo-sobrecoste)
Aunque el método MCE nos lleva a la resolución de un programa lineal paramétrico, en la
práctica suele resolverse el problema mediante algoritmos específicos, que resultan más sencillos de
aplicar que los algoritmos propios de la programación lineal paramétrica. En este apartado vamos a
exponer un algoritmo heurístico muy sencillo debido a Ackoff y Sasieni, que resulta muy práctico en
proyectos descompuestos en un número no demasiado elevado de actividades. Para explicar este
algoritmo nos vamos a apoyar en los datos del proyecto del apartado anterior, que habíamos
programado por medio de un modelo de programación lineal paramétrica.
Para aplicar el algoritmo de Ackoff y Sasieni a la programación de nuestro proyecto,
comenzaremos por construir un cuadro con arreglo a la estructura que vamos a explicar seguidamente
(véase cuadro 4.2). En la primera columna del cuadro representamos los cinco caminos que van desde
el vértice que representa el suceso inicio del proyecto al vértice que representa el suceso fin del
proyecto. Las nueve columnas siguientes se utilizan para representar las diferentes actividades en que
se ha descompuesto el proyecto. Debajo de cada actividad se escribe el coste unitario de reducción
(véase columna (4) del cuadro 4.1) siempre que esa actividad forme parte del camino que viene
indicado por la fila correspondiente. Si, por el contrario, la actividad no forma parte de dicho camino, se
deja en blanco el espacio correspondiente. El cuadro se completa, inicialmente, con una columna que
marcamos con un (1) y con una fila que marcamos asimismo con un (1). Los elementos de la columna
(1) son las longitudes generalizadas de los caminos representados en las filas correspondientes,
calculadas sobre la base de los tiempos normales de ejecución (véase columna (2) del cuadro 4.1). Los
elementos de la fila (1) representan las reducciones posibles (tiempos normales menos tiempos topes)
de las diferentes actividades.
De la observación de la columna (1) se deduce que la duración del proyecto es de 35 unidades
de tiempo y que si queremos reducir dicha duración habrá que reducir la duración del camino III, ya
que este camino es el crítico. Para reducir la duración de este camino será necesario reducir el tiempo
de ejecución de alguna de las actividades que lo forman. Para ello elegiremos aquella actividad cuyo
coste unitario de reducción sea más pequeño. En nuestro caso se trata de la actividad 5-6, ya que su
coste unitario de reducción es uno. La reducción máxima que puede efectuarse en la duración de esta
actividad es de 3 unidades de tiempo, según nos lo indica el elemento correspondiente de la fila (1).
Esta reducción origina un cambio en las longitudes generalizadas de aquellos caminos que contienen a
la actividad 5-6. Estas nuevas longitudes generalizadas están reflejadas en la columna marcada con un
(2).
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Cuadro 4.2
1-2
1-3 1-4 2-4
I=1,4,5,6
3-6 4-5 5-6
3
II=1,3,4,5,6
4
III=1,2,4,5,6
2
IV=1,2,5,6
2
V=1,3,6
¬
­
®
¯
°
±
²
2-5 3-4
5
4
5
1
29 26 26 23 23 23 21
5
1
34 31 31 28 25 23 21
5
1
35 32 31 28 25 23 21
1
32 29 28 28 25 23 21
3
4
¬ ­ ® ¯ ° ± ²
2
22 22 22 22 19 17 17
4
5
6
4
5
2
4
3
3
4
5
6
4
5
2
4
3
0
3
5
6
4
5
2
4
3
0
3
5
6
4
5
2
4
0
0
0
2
6
4
5
2
4
0
0
0
0
6
2
3
2
4
0
0
0
0
4
0
1
0
4
0
0
De esta columna se deduce que la duración del proyecto ha pasado a ser de 32 unidades de
tiempo. El sobrecoste en concepto de reducción lo obtendremos multiplicando el coste unitario de
reducción (que es uno) por la correspondiente reducción de tiempo (que es de 3); es decir, en este
caso el sobrecoste debido a la reducción es de 3 unidades monetarias. En la figura 4.6 hemos
representado el punto de la función sobrecostes-tiempos de ejecución del proyecto, que acabamos de
obtener (la abscisa de este punto es de 32, y la ordenada de 3). Para completar esta etapa del
algoritmo agregamos al cuadro una nueva fila, que marcamos con un (2) en la que figuran las
reducciones posibles que presentan ahora las diferentes actividades.
De la observación de la columna (2) se deduce que la duración del proyecto es ahora de 32
unidades de tiempo, y que el camino crítico sigue siendo el III. Para reducir la duración de dicho
camino, reduciremos el tiempo de ejecución de aquella actividad que, formando parte de ese camino,
tenga el coste unitario de reducción más pequeño, siempre que sea todavía susceptible de reducción.
En nuestro caso se trata de la actividad 1-2, ya que su coste unitario de reducción es de 2. En efecto, la
actividad 5-6 tiene un coste unitario de reducción más pequeño, pero según nos indica el
correspondiente cero de la fila (2), esta actividad no es susceptible de reducción. En cuanto a la
reducción máxima posible de la actividad 1-2, en principio es de 4 unidades de tiempo, según nos
indica el correspondiente elemento de la fila (2). Ahora bien, hay que tener en cuenta que cualquier
reducción que hagamos del tiempo de ejecución de la actividad 1-2 superior a la unidad no repercutirá
en el tiempo de ejecución del proyecto, pues la longitud generalizada del camino II es de 31 unidades
de tiempo, es decir, una unidad inferior a la del camino III. Por tanto, la reducción máxima que
podemos efectuar en la actividad 1-2 es de una unidad de tiempo. Las nuevas longitudes generalizadas
de los diferentes caminos están reflejadas en la columna marcada con un (3). De esta columna se
deduce que la duración del proyecto ha pasado a ser de 31 unidades de tiempo. En este caso, el sobre
coste debido a la reducción es de 2 unidades monetarias (ya que el coste unitario de la reducción es de
2, y la reducción introducida, de 1 unidad de tiempo). En la figura 4.6 representamos el punto de la
función sobrecostes-tiempos de ejecución del proyecto que acabamos de obtener (la abscisa de este
punto es 31 y la ordenada 5, que es la suma de los sobre costes que hemos calculado hasta ahora).
Para completar esta segunda etapa del algoritmo agregamos al cuadro una nueva fila que marcamos
con un (3) y que representa las nuevas reducciones posibles de las diferentes actividades.
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GESTION DE PROYECTOS: Coste Mínimo
Sobrecostes en
concepto de reducción
Tiempo --Sobrecoste
100
90
80
60
40
20
60
38
20
5 3
0
21 23 25 28 31 32 35
Tiempo de ejecución del proyecto
Figura 4.6
De la observación de la columna (3) se deduce que la duración del proyecto es ahora de 31
unidades de tiempo, existiendo dos caminos críticos, que son el II y el III. Para reducir la duración de
dichos caminos a mínimo coste, aparentemente bastará con disminuir el tiempo de ejecución de las
actividades 1-2 y 1-3, pues siendo todavía susceptibles de disminución, son las que poseen el coste
unitario de reducción más bajo. Ahora bien, si actuáramos de esta forma llegaríamos a una solución
equivocada. En efecto, observemos que la actividad 4-5 forma parte de los dos caminos críticos, por lo
que una disminución de su tiempo de ejecución produce una disminución simultánea del tiempo de
ejecución de dichos caminos. Como el coste unitario de disminución de la actividad 4-5 es inferior al de
reducir simultáneamente las actividades 1-2 y 1-3 (ya que 5 < 2 + 4), la reducción a mínimo coste en
esta iteración se efectuará disminuyendo el tiempo de ejecución de la actividad 4-5, que es de 3. Por
tanto, la duración del proyecto pasa a ser de 28 días, tal como indican las longitudes generalizadas de
los diferentes caminos reflejadas en la columna marcada con un (4). En esta iteración, el sobre coste
debido a la reducción es de 15 unidades monetarias. En la figura 4.6 hemos representado el punto
correspondiente de la relación sobrecoste-tiempo de ejecución. Para completar esta iteración
agregamos al cuadro una nueva fila que marcamos con un (4) y que representa las nuevas
reducciones posibles de las diferentes actividades.
Repitiendo el mismo proceso completaríamos las demás etapas del algoritmo, tal como quedan
reflejadas en el cuadro 4.2 y en la figura 4.6. Al determinar la columna y la fila marcadas con un (7) se
ha llegado al final del algoritmo. En efecto, según nos indican los elementos de la fila (7), ninguna
actividad de las que forman parte de los caminos críticos II y III es susceptible de reducción.
Una vez finalizada la fase algorítmica, el cuadro 4.2 y la figura 4.6 contienen toda la información
necesaria para efectuar la programación del proyecto a coste mínimo. Así, por ejemplo, si el
responsable del proyecto desea finalizar el mismo en 28 unidades de tiempo (es decir, reducir el tiempo
de ejecución del proyecto en 7 unidades de tiempo), la figura 4.6 indica que el sobre coste mínimo para
conseguir ese tiempo de ejecución es de 2O unidades monetarias (ordenada correspondiente al punto
de abscisa 28). Por otra parte, restando en el cuadro 4.2 a los elementos de la fila marcada con un (1)
los de la fila marcada con un (4), obtenemos que los tiempos de ejecución de las diferentes actividades
deberán coincidir con sus tiempos normales excepto: el de la actividad 1-2, que deberá reducirse en
una unidad de tiempo, y los de las actividades 4-5 y 5-6, que deberán reducirse en tres unidades de
tiempo. Con los nuevos tiempos de ejecución se procederá al control del proyecto por medio de los
métodos usuales: PERT, CPM...
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Por otra parte, de la figura 4.6 se puede obtener una información que es asimismo de gran
utilidad para el responsable del proyecto. En efecto, a partir de la figura 4.6 se puede construir sin
dificultad un cuadro (véase cuadro 4.3) cuya estructura vamos a explicar seguidamente. En la columna
1 de dicho cuadro figuran reflejadas las disminuciones unitarias en el tiempo de ejecución del proyecto,
y en la columna 2 los correspondientes sobre costes unitarios, es decir, los costes marginales en
concepto de reducción. Al responsable del proyecto le convendrá reducir su tiempo de ejecución hasta
un punto en el cual el sobre coste marginal en concepto de reducción sea menor que el ingreso
marginal que se obtiene debido a la reducción. Así, por ejemplo, si en este proyecto el ingreso marginal
debido a la reducción es de 7 unidades monetarias, el tiempo óptimo de ejecución del proyecto será de
25 unidades de tiempo, pues para ese tiempo de ejecución el coste marginal (que es de 6 unidades
monetarias) es inferior al ingreso marginal, y por otra parte, para un tiempo de ejecución inferior, el
coste marginal supera al ingreso marginal.
Cuadro 4.3
Disminución tiempo de
ejecución
(1)
35-34
34-33
33-32
32-31
31-30
30-29
29-28
28-27
27-26
26-25
25-24
24-23
23-22
22-21
Sobrecoste marginal en
concepto de reducción
(2)
1
1
1
2
5
5
5
6
6
6
11
11
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Tema 1: El Proyecto
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