Corrección de efectos sistemáticos por campo

Sociedad Mexicana de Ciencia de Superficies y de Vacío.
Superficies y Vacío 11, 88-93, Diciembre 2000
Corrección de efectos sistemáticos por campo magnético en el patrón primario de
frecuencia de bombeo óptico del CENAM
Mauricio López e Iván Dominguez
División de Tiempo y Frecuencia, CENAM
Km. 4.5 Carretera a los Cués, el Marqués, Qro., C.P. 76900, México.
Eduardo de Carlos
Facultad de Ciencias, UAEM
Avenida Universidad no. 1001, Colonia Chamilpa, Cuernavaca, Mor., C.P. 62210, México.
En este trabajo se presenta la deducción de la ecuación de Breit-Rabi para el caso del Cesio 133. Esta ecuación describe la
dependencia de los niveles de energía Zeeman del estado base de este átomo respecto a un campo magnético externo
constante. Se construye el operador del potencial de interacción dipolar magnética y se reescribe de manera apropiada en
función de operadores conocidos de momento angular, para así obtener los elementos de matriz de este operador
(potencial). Posteriormente se resuelve la ecuación de eigenvalores asociada a esta matriz, es decir, se encuentran las
soluciones de la respectiva ecuación secular.
Una vez encontrada la ecuación de Breit-Rabi, se despeja el campo magnético externo, el cual queda en función de
diferencias de energía, o lo que es lo mismo, en función de frecuencias de transición. Utilizando datos experimentales del
patrón primario de frecuencia de haz térmico de Cesio con bombeo óptico del CENAM, se hace una estimación del valor
del campo magnético externo, que es utilizado para hacer correcciones a la frecuencia por efecto Zeeman.
This work presents a deduction of the Breit-Rabi equation for Cesium 133. This equation describes the dependence of the
Zeeman energy levels for the ground state respect to an external and constant magnetic field. First, the dipolar magnetic
interaction potential is written in a convenient way, that is in terms of the well know angular momentum operators, so the
matrix elements can be determined for the potencial operator. Afterwards, the eigenvalues equation associated to the
matrix is solved, that is, the solutions for the secular equation are calculated.
Once the Breit-Rabi equation is found, an expression for the external magnetic field is easy to obtain and to write as a
function of the energy differences, or in terms of the transition frequencies. By using this result, the external magnetic
field in the CENAM’s frequency primary standard based on an optically pumped thermal cesium beam has been
calculated, as well the frequency shift of the transition 6 2 s1/ 2 , F = 3, mF = 0 → 6 2 s1/ 2 , F = 4, m F = 0 due to the
quadratic Zeeman effect and its uncertainty.
Keywords: Efecto Zeeman, Cesio-133, Patrón Primario de Frecuencia, Reloj Atómico de Cesio.
1.
con mF = 0 tiene corrimientos en frecuencia que dependen
cuadráticamente con el campo magnético.
En este trabajo reportamos los resultados
experimentales obtenidos en el Centro Nacional de
Metrología de medición del corrimiento energético por
efecto Zeeman cuadrático en los niveles hiperfinos con
proyección de momento angular mF = 0 del estado base del
átomo de Cesio 133, el cual es de (2.22 Hz)h, donde h es la
constante de Planck, para un valor de 7.21 µT en la
inducción magnética. Esto ha sido hecho con el objeto de
reproducir la definición del segundo con una exactitud de
partes en 1012 en esta primera etapa.
En la sección 2 se deduce la ecuación de BreitRabi la cual describe el corrimiento energético Zeeman de
los niveles hiperfinos del estado base de átomos alcalinos.
En la sección 3 se describe el arreglo experimental
utilizado, se muestran los datos obtenidos y se calcula el
corrimiento
en
frecuencia
de
la
transición
2
2
6 s1 / 2 , F = 3, m F = 0 → 6 s1 / 2 , F = 4, m F = 0 . En la
Introducción
El segundo está definido en función de la
frecuencia asociada a la transición entre los niveles
hiperfinos del estado base del átomo de Cesio 133 [1]. Esta
unidad es reproducida por medio de los así llamados relojes
atómicos de Cesio. El principio de funcionamiento consiste
básicamente en inducir una condición de resonancia entre
microondas y los niveles hiperfinos de los átomos de Cesio.
La definición del segundo considera condiciones ideales, es
decir, supone átomos aislados del resto del Universo
excepto por su interacción con microondas de una
frecuencia aproximada a 9.2 GHz. Sin embargo,
experimentalmente es imposible reproducir tales
condiciones ideales, habiendo otras interacciones que
considerar. Una de éstas es la interacción de los átomos con
campos magnéticos. La aparición del efecto Zeeman en una
consecuencia de este hecho. Debido a esto, los niveles
hiperfinos del estado base rompen su degeneración, dando
lugar a varios niveles de energía que corresponden a los
diferentes valores de la proyección del momento angular
total, h/ mF. Para campos magnéticos pequeños, la
frecuencia de transición entre los estados hiperfinos
sección 4 se da una estimación de la incertidumbre asociada
a la corrección por efecto Zeeman cuadrático. Finalmente
en la sección 5 se dan las conclusiones de este trabajo.
88
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2
r
Ecuación de Breit-Rabi
por el electrón en el sitio del núcleo, y B0 es la inducción
magnética externa.
Necesitamos escribir a Vˆ de forma conveniente
para encontrar sus elementos de matriz. Los operadores de
momento magnético se pueden representar como
2.1
Átomos Hidrogenoides
La importancia de estudiar a los átomos
hidrogenoides se debe a la similitud que tienen éstos con
los átomos alcalinos. Como es sabido, los átomos alcalinos
tienen un solo electrón de valencia, mientras que el resto de
los electrones ocupan los niveles de energía inferiores.
Estos electrones interactúan entre sí dando como resultado
un efecto de "cancelación mutua", por lo que la interacción
del electrón de valencia con el resto de los electrones se
puede despreciar. Por lo tanto, los átomos alcalinos pueden
ser tratados como átomos hidrogenoides.
El operador Hamiltoniano total de un átomo
hidrogenoide se puede escribir como sigue:
g µ r
r
µˆ I = I B Iˆ
h/
g J µ B rˆ
rˆ
µJ = −
J
h/
donde gI y gJ son los factores de Landé del núcleo y del
electrón, respectivamente. µB es el magnetón de Bohr. Por
lo tanto, el operador del potencial se puede escribir como
Hˆ = Hˆ ceo + Vˆ
Vˆ = −
donde Ĥ ceo representa al operador Hamiltoniano que
contiene solamente la interacción Coulombiana y de espínorbita, mientras que Vˆ contiene las interacciones dipolares
magnéticas. La ecuación de eigenvalores del operador
Hamiltoniano total, en la representación matricial, es
(H ceo
El primer sumando de la ecuación anterior se puede
r
r
expresar en términos de Iˆ y Ĵ . Si definimos la constante
A como
HC = EC
+ V )C = (E nJ + δE )C .
A=−
r r
g I µ B B J ⋅ Jˆ
h/
Jˆ 2
r
y si suponemos que B0 apunta en la dirección z, el
operador de potencial se convierte en
Aquí H representa la matriz del Hamiltoniano total, C su
respectivo eigenvector y E su eigenvalor (energía total).
Hceo y V son las matrices asociadas a los operadores Ĥ ceo y
r r g µ
g µ
Vˆ = AIˆ ⋅ Jˆ − I B B0 Iˆz + J B B0 Jˆ z .
h/
h/
Vˆ con sus correspondientes eigenvalores EnJ y δE.
2.2
g I µ B rˆ r
g µ r r
g µ r r
I ⋅ B J − I B Iˆ ⋅ B0 + J B Jˆ ⋅ B0
h/
h/
h/
-(2)-
El siguiente paso consiste en escribir al producto
Deducción de la Ecuación de Breit-Rabi
r r
Iˆ ⋅ Jˆ en función de operadores conocidos de momento
r r
angular. Expresamos explícitamente el producto Iˆ ⋅ Jˆ :
Se busca determinar la forma de la dependencia de
la energía de los niveles Zeeman respecto a un campo
magnético externo constante, así entonces es necesario
resolver la ecuación de eigenvalores
r r
Iˆ ⋅ Jˆ = Iˆx Jˆ x + Iˆ y Jˆ y + Iˆz Jˆ z .
VC = δEC
-(3)-
Por otro lado, los operadores de asenso y desenso están
definidos como
es decir, se tiene que resolver la ecuación secular
det (V − δEI ) = 0 .
Iˆ± = Iˆ x ± iIˆ y
Jˆ ± = Jˆ x ± iJˆ y .
Proseguimos a escribir el operador Vˆ que contiene
las interacciones dipolares magnéticas:
Entonces, la ecuación (3) puede ser reescrita en función de
las anteriores relaciones
r r
r r
r r
Vˆ = − µˆ I ⋅ BJ − µˆ I ⋅ B0 − µˆ J ⋅ B0
-(1)-
r r 1
Iˆ ⋅ Jˆ = (Iˆ+ Jˆ − + Iˆ− Jˆ + ) + Iˆz Jˆ z .
2
en donde µ̂r I y µ̂r J son los operadores correspondientes a
los momentos magnéticos del núcleo y del electrón,
r
respectivamente. B J es la inducción magnética producida
Por lo tanto, la ecuación (2) se convierte en:
89
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A
gµ
g µ
Vˆ = (Iˆ+ Jˆ− + Iˆ− Jˆ+ ) + AIˆz Jˆ z − I B B0 Iˆz + J B B0 Jˆ z .
2
h/
h/
1
1
1
1
1
1 1
1
, m F − Vˆ − , mF +
= − , mF + Vˆ , mF −
2
2
2
2
2
2 2
2
-(4)-
2
1
1

= h/ 2 A  I +  − m F2 .
2
2

Para encontrar los elementos de matriz de (4), utilizaremos
los vectores de estado J , I , m J , m I los cuales los
Con estos elementos de matriz se construye la
ecuación secular, la cual resulta ser una ecuación
cuadrática. Las soluciones se calculan de manera usual
utilizando la fórmula general para encontrar las raíces de un
polinomio de segundo grado, obteniendo como resultado:
abreviaremos como m J , m I . Recordemos los efectos que
tienen los operadores de momento angular sobre estos
vectores:
Iˆ± m J , m I = h/
Jˆ ± m J , m I = h/
(I m m I )(I ± m I + 1) m J , m I ± 1
(J m mJ )(J ± m J + 1) m J ± 1, mI
1
δE = − g I µ B B0 mF − h/ 2 A
4
Iˆz m J , m I = h/ m I m J , m I
2
±
Jˆ z m J , m I = h/ m J m J , m I .
1
1
2

2h/ 2 AB0 µ B (g I + g J )mF + h/ 4 A2  I +  + B02 µ B2 (g I + g J ) .
2
2

-(5)Utilizando las anteriores ecuaciones, podemos calcular los
elementos de matriz de Vˆ :
El próximo paso consiste en encontrar el valor de
A. Una forma fácil de calcularla, sin recurrir a su definición,
es la siguiente: Lo que nos interesa es encontrar la energía
de los niveles Zeeman correspondiente al estado base del
átomo de Cesio 133. Como mencionamos anteriormente, el
segundo se define en función de la frecuencia de transición
entre los niveles hiperfinos del estado base de éste átomo,
cuyo valor a sido dado por convención internacional [1].
Aprovechemos esta situación.
En ausencia de inducción magnética externa
(B0 = 0), la ecuación (2) se puede escribir como
m' J , m' I Vˆ m J , m I = V m' J m ' I , mJ mI
h/ A
2
2
h/ A
+
2
=
2
( J + m J )(J − mJ + 1)(I − m I )(I + mI + 1)δ m' ,m −1δ m ' ,m +1
J
(J − mJ )(J + mJ + 1)(I + mI )(I − mI + 1)δ m'
J
J
I
I
δ
, m J +1 m ' I , m I −1
+ h/ 2 Am J m I δ m' J , mJ δ m ' I ,mI − g I µ B B0 m I δ m ' J ,mJ δ m ' I ,mI
+ g J µ B B0 m J δ m ' J , m J δ m ' I , m I .
r r
Vˆ = AIˆ ⋅ Jˆ
Para que la solución de la ecuación secular
det(V – δEI) = 0 tenga solución analítica exacta, el tamaño
de la matriz correspondiente al operador debe ser de 2 × 2.
Esto se traduce en resolver el problema solamente para los
casos en que el momento angular orbital sea cero (L = 0),
que es el caso que nos interesa.
Dado que L = 0, el número cuántico mJ puede
tomar únicamente los valores de ±½. También podemos
expresar al número cuántico mI en términos de mJ y mF:
mI = mF - mJ = mF ± ½. Por lo tanto, para un valor dado de
mF, este sistema tiene dos posibles estados:
mJ ,mI
por otro lado, sabemos que
r
Fˆ 2
r r r
Fˆ = Jˆ + Iˆ
r
r
r r
= Jˆ 2 + Iˆ 2 + 2 Iˆ ⋅ Jˆ
entonces,
(
r r 1 r
r
r
Iˆ ⋅ Jˆ = Fˆ 2 − Iˆ 2 − Jˆ 2
2
 1
1
 − 2 , m F + 2
=
 1 ,mF − 1
 2
2
)
por lo tanto:
(
)
r
r
A r
Vˆ = Fˆ 2 − Iˆ 2 − Jˆ 2 .
2
Calculamos los elementos de matriz ayudados de los
resultados anteriores
Utilizando el anterior operador, calculamos la
diferencia de energía entre los niveles hiperfinos del estado
base del átomo de Cesio 133. Para ello utilizaremos la
representación F, I, J, esto es, usaremos los vectores de
estado
1
1
1
1
, m F ± Vˆ m , m F ±
2
2
2
2
1 1
1
1


= − g I µ B B 0  m F ±  m g J µ B B 0 m h/ 2 A m F ±  ;
2
2
2
2



m
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
1
1
 I + 2 , I , 2
F, I, J = 
 I − 1 , I, 1

2
2
mF
Energía (Joules)
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
Entonces,
F=4
1
1
1
1
Vˆ I + , I , = δE F I + , I ,
2
2
2
2
1
1
1 1
Vˆ I − , I , = δE F −1 I − , I ,
2
2
2
2
Inducción Magnética (Teslas)
F=3
-4
-3
por lo que la diferencia de energía es
δE F − δE F −1 = E HFS =
-2
-1
0
1
2
3
1 2
h/ A(2 I + 1)
2
Figura 1. Gráfica de la ecuación de Breit-Rabi para el estado base del
Cesio 133.
es decir,
A=
δE ( F = 4, m F ) − δE ( F = 3, m F ) = hν
2 E HFS .
2
h/ (2 I + 1)
Aquí EHFS representa la energía de separación de
los niveles hiperfinos y esta dada como EHFS = hνHFS, donde
νHFS = 9.192631770 × 109 Hz [1] corresponde la frecuencia
de transición entre estos niveles.
Finalmente, y utilizando el valor encontrado de A,
la ecuación (5) se reescribe como:
De la ecuación anterior podemos obtener a B0
B0 =
hν HFS
δE = −
− g I µ B m F B0
2(2 I + 1)
4m F µ B ( g I + g J )
µ 2 (g + g )
1
B0 + B 2I 2 J B02
hν HFS 1 +
2 I + 1 hν HFS
2
h ν HFS
-(6)-
 2m F
−
±
 2I + 1

4m F2
(2 I + 1)
2
+

ν2
− 1
2

ν HFS

6 2 s1 / 2 , F = 3, m F = 0 → 6 2 s1 / 2 , F = 4, m F = 0
la cual es conocida como la ecuación de Breit-Rabi. El
signo “+” en la raíz corresponde al nivel hiperfino superior
(F = 4), mientras que el signo “-“ corresponde al nivel
inferior (F = 3). Una gráfica de la dependencia de δE
respecto a la inducción magnética B0 se observa en la figura
1.
3
hν HFS
(g J + g I )µ B
-(8)en donde el signo mas en la raíz se utiliza para mF ≥ 0 y el
signo menos para mF < 0.
Cabe hacer notar que utilizando la ecuación (7) se
puede justificar el hecho de que la frecuencia
correspondiente a la transición
2
±
µ 2 (g + g )
4m F µ B ( g I + g J )
B0 + B 2I 2 J B02 .
2 I + 1 hν HFS
h ν HFS
-(7)2
= hν HFS 1 +
para campos magnéticos pequeños sea la más cercana a la
frecuencia que define al segundo (νHFS). Esto se verifica
haciendo un desarrollo en series de Taylor de (7) alrededor
de B0 = 0:
Correcciones por efecto Zeeman cuadrático
2m F ( g J + g I )µ B
B0
2I + 1
h
2
1 ( g J + g I ) µ B2 
4m F2  2
+
1
−
B + ...

2 0
2
h 2ν HFS
 (2 I + 1) 
ν ( B0 ) = ν HFS +
3.1
Expresión analítica de la inducción magnética
en función de corrimientos energéticos
De la ecuación (6) podemos despejar la inducción
magnética B0. Por la geometría del arreglo experimental
utilizado, las transiciones inducidas obedecen a la regla de
selección ∆mF = 0. La energía asociada a la transición
F = 3, m F → F = 4, m F esta dada por:
De la ecuación anterior se puede ver claramente que para
mF ≠ 0 la frecuencia de transición depende linealmente de
B0, mientras que para mF = 0 la dependencia es cuadrática.
91
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Dado el espectro de resonancia de la figura 2 es
posible determinar el valor de la inducción magnética B0.
Una forma de hacer esto es utilizando un método iterativo,
el cual describimos a continuación:
Dada una mF diferente de cero se propone un valor inicial
de B0. Utilizando este valor y auxiliados de la ecuación (7)
se calcula la frecuencia del pico central (mF = 0), la cual
denominamos ν0. Posteriormente se calcula la frecuencia ν
del pico correspondiente al número cuántico mF. Esto se
logra sumando a ν0 la diferencia de frecuencia
(experimental) que hay entre el pico central y el pico
correspondiente a mF. Esta ν calculada se utiliza en la
ecuación (8) para dar un nuevo valor a B0. Ahora este nuevo
valor se utiliza como el inicial y el proceso se repite hasta
que el proceso converja. Un diagrama a bloques de este
método se muestra en la figura 4.
Los valores calculados de B0 (en Teslas) se
muestran a continuación:
Adicionalmente hacemos notar que los valores típicos de B0
en nuestro experimento son del orden de 10-6 Teslas.
3.2
Arreglo experimental
Se usa un láser semiconductor del tipo DBR
(Distributed Bragg Reflector) para controlar la población en
los niveles hiperfinos del estado base en un haz térmico de
Cesio 133. Esto se logra induciendo la transición
6 2 s1 / 2 , F = 4 → 6 2 p3 / 2 , F = 3 por medio de este láser,
el cual llamamos láser de bombeo. Otro láser similar es
utilizado
para
inducir
la
transición
cíclica
6 2 s1 / 2 , F = 4 → 6 2 p3 / 2 , F = 5 , el cual llamamos láser
de detección. Ambos láseres emiten alrededor de 852 nm
con una potencia de 5 mW. Ambos son estabilizados en
frecuencia utilizando la técnica de espectroscopía de
saturación. Esta estabilización en frecuencia es hecha con el
objeto de inducir a voluntad y por tiempos prolongados
(hasta varios días de manera continua) las transiciones
arriba mencionadas.
Se usa un sintetizador de microondas desarrollado
en el National Institute of Standards and Technology,
NIST, en colaboración con el CENAM. Este sintetizador a
sido diseñado para brindar una alta pureza espectral de las
microondas. El intervalo de frecuencias en el que opera es
de 180 kHz alrededor de la frecuencia de transición entre
niveles hiperfinos del estado base del Cesio 133.
La cavidad de microondas utilizada es una cavidad
dual (cavidad de Ramsey) [3] con una longitud de 13 cm,
con la cual se generan anchos de banda en la espectroscopí
hiperfina del Cesio del orden de 1 kHz, siendo esta anchura
dada por el principio de incertidumbre. La cavidad esta
inmersa en un campo magnético homogéneo con el
propósito de separar lo suficiente las líneas espectrales de
los niveles Zeeman. La cavidad está contenida en una
cámara de vacío con una presión del orden de 10-7 mb, un
haz de 3 × 1015 átomos de Cesio por segundo es generado
en un horno que opera a 100 grados Celcius. El tiempo de
interacción estimados entre los átomos de Cesio y las
microondas es del orden de 0.5 ms.
B0(mF = -3) = 7.2178845365133532 × 10-6
B0(mF = -2) = 7.2131957905398905 × 10-6
B0(mF = -1) = 7.2170681413953045 × 10-6
Figura 2. Datos experimentales del espectro Zeeman de los niveles
hiperfinos del estado base del Cesio 133.
3.3
Resultados experimentales
La figura 2 muestra los datos experimentales del
espectro Zeeman de los niveles hiperfinos del estado base
del átomo de Cesio 133 obtenidos en el CENAM con el
arreglo experimental descrito en la sección anterior. Los
datos mostrados no tienen ningún tipo de promediación o
corrección. La frecuencia de microondas a sido modulada
180 kHz alrededor de la frecuencia νHFS. El ancho a la
altura media del lóbulo central es de 1 kHz
aproximadamente, como es de esperarse. Estos resultados
muestran un cociente señal a ruido de 100 para el espectro
completo y de 200 para el lóbulo central.
3.4
Cálculo del corrimiento de la frecuencia central
por inducción magnética
Figura 3. Ampliación del lóbulo central de los datos mostrados en la figura
2.
92
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B0(mF = 1) = 7.2145394788693382 × 10-6
B0(mF = 2) = 7.2158435133887185 × 10-6
B0(mF = 3) = 7.2197159631615825 × 10-6
Es decir, para tener una mejor reproducción del segundo, a
la frecuencia del oscilador de microondas, el cual esta en
resonancia con la frecuencia de transición del pico central,
se le debe restar aproximadamente 2.22 Hz. Esta sería una
primera corrección en frecuencia al patrón primario de
frecuencia de bombeo óptico del CENAM.
Utilizando los resultados anteriores podemos calcular
diferentes valores de la frecuencia central ν0. Estos valores,
en Hz, son:
4.
ν0(mF = -3) = 9.1926317722269400 × 10
ν0(mF = -2) = 9.1926317722240477 × 109
ν0(mF = -1) = 9.1926317722264363 × 109
ν0(mF = 1) = 9.1926317722248764 × 109
ν0(mF = 2) = 9.1926317722256808 × 109
ν0(mF = 3) = 9.1926317722280703 × 109
Estimación de incertidumbres
9
Con el objeto de minimizar las incertidumbres en
el cálculo de la inducción magnética que produce los
corrimientos Zeeman mostrados en la sección 3.3, figura 2,
se midieron la separación en frecuencia entre el pico central
y los restantes. Esto fue hecho con el propósito de eliminar
corrimientos sistemáticos presentes al momento de medir la
recuencia de las microondas,
quedando presentes
inestabilidades del instrumento de medición las cuales se
estiman del orden de partes en 108. Los máximos del
espectro de resonancia fueron encontrados haciendo un
ajuste local de los datos experimentales a una curva
gaussiana. Encontrando de esta forma la separación en
frecuencia del pico central respecto a los seis restantes, con
una incertidumbre de 20 Hz, con lo cual se obtiene una
inducción magnética de 7.216(3) µT. Finalmente la
corrección en frecuencia por efecto Zeeman cuadrático del
pico central del espectro del resonancias es de 2.226(2) Hz,
con una incertidumbre fraccional de 2 partes en 1013.
Valor de mF ≠ 0
Valor inicial de B0
α
Cálculo de la frecuencia
respectiva a mF = 0 (ν0)
con la ecuación (7)
νmF = ν0 + ∆νmF,0 (medida)
5. Conclusiones.
Cálculo de B0 con la
ecuación (8)
SI
α
En este trabajo se ha revisado la deducción de la
ecuación de Breit-Rabi la cual describe la ruptura de la
degeneración de los niveles hiperfinos del estado base de
átomos alcalinos. Se han mostrado los resultados
experimentales de la espectroscopía del Cesio obtenidos en
el Centro Nacional de Metrología, CENAM, por medio de
haces térmicos de Cesio con bombeo óptico. Se ha
estimado la corrección en frecuencia hacia el rojo del pico
central del espectro de resonancias en 2.226(2) Hz. Con una
evaluación adicional de corrimientos sistemáticos de
frecuencia debidos a asimetrías en la cavidad resonante de
microondas, efectos por radiación de cuerpo negro y efectos
relativistas por gravedad se espera obtener una
reproducción experimental de la definición del segundo con
una exactitud no menor que partes en 1013.
NO
¿B0 cambió?
FIN
Figura 4. Diagrama a bloques del cálculo de la inducción
magnética externa.
Finalmente podemos calcular el corrimiento de la
frecuencia central ν0 respecto a la frecuencia hiperfina νHFS.
Esto se hace simplemente restando a los valores anteriores
el valor de νHFS = 9.192631770 × 109 Hz [1]. Los
resultados de estos cálculos (en Hz) son los siguientes:
Referencias
∆ν(mF = -3) = 2.2269400
∆ν(mF = -2) = 2.2240477
∆ν(mF = -1) = 2.2264363
∆ν(mF = 1) = 2.2248764
∆ν(mF = 2) = 2.2256808
∆ν(mF = 3) = 2.2280703
[1] 13a Conferencia General de Pesas y Medidas, 1967.
[2] Cohen-Tannoudji, C., Diu, B., Laloë, F. Quantum Mechanics
(John Wiley & Sons, New York, 1977).
[3] Ramsey, N. F. Molecular Beams (Oxford University Press,
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[4] Vanier, J., Audoin, C. The Quantum Physics of Atomic
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