Densidad de energía en ondas mecánicas - Ludifisica

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍN
FACULTAD DE CIENCIAS-ESCUELA DE FÍSICA
FÍSICA DE OSCILACIONES ONDAS Y ÓPTICA
MÓDULO # 10: ONDAS MECÁNICAS –ENERGÍADiego Luis Aristizábal R., Roberto Restrepo A., Tatiana Muñoz H.
Profesores, Escuela de Física de la Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín
1
Temas






Introducción
Densidad de energía en ondas mecánicas
Potencia e intensidad
Un análisis sobre el transporte y la conservación de la energía en ondas mecánicas
Energía en ondas viajeras
Energía en ondas estacionarias
Introducción
En una onda lo que se transmite es energía. En
una onda mecánica la energía se propaga a
través de la vibración de la materia y su
velocidad de propagación depende de las
propiedades elásticas del medio y de la inercia
del mismo.
Para los cálculos energéticos en las ondas
mecánicas hay ciertos inconvenientes si se toma
el modelo de partícula para el elemento del
medio, ya que suele llevar a grandes confusiones.
El modelo que se adoptará es el de un elemento
diferencial del medio continuo de longitud dx y
sección transversal constante de área A. Se
hará el análisis bien detallado para el caso de las ondas transversales en una cuerda y los resultados se
generalizarán para todas las ondas mecánicas a través de la generalización de la ley de Hooke.
Densidad de energía en ondas mecánicas
Densidad de energía cinética
La energía cinética de un elemento de cuerda de longitud dx y de masa
a:
1
 y 
dK = dm  
2
 t 
2
dm = ρAdx dm, Figura 1, es igual
y
corresponde a la velocidad de vibración del elemento dx, A es el área de la sección transversal de
t
la cuerda y su ρ la densidad volumétrica. Con base en esto la expresión anterior toma la siguiente forma,
aquí
2
Figura 1
dK
1  y 
= ρ 
Adx
2  t 
uK =
donde
2
1 2
ρy t
2
[1]
u K corresponde a la densidad de energía cinética de la cuerda (y en general de un medio material a
través del cual se propaga una onda). Se mide en J.m-3.
La ecuación [1] es de validez general para todas las ondas mecánicas tratadas en estas notas. En el caso de
las ondas en los hilos o filamentos (cuerdas muy delgadas) y en los resortes es de mayor uso la densidad
lineal de energía cinética
ρ=
w K . Como,
μ
A
se obtiene que la ecuación [1] se transforma en,
wK =
1 2
μy t
2
y se mide en J.m-1.
[1A]
Densidad de energía potencial
El elemento de cuerda cuando pasa la onda a través de él es estirado por la acción de la fuerza de tensión
cuya magnitud es F, la cual es ejercida por la porción de la cuerda izquierda (para una onda viajando hacia
valores crecientes de x) y almacena una cantidad dU de energía potencial debido al trabajo realizado por
dicha fuerza,
dU = Fdξ
donde
 dx 
3
dξ corresponde a la deformación sufrida por la cuerda que medía dx y pasó a medir
2
+  dy  , es decir,
dU = F 

2
 dx 
2
+  dy  - dx 

2
2


y 

dU = F dx 1+   - dx 


 x 


haciendo la aproximación binomial,
2
 

1  y  
dU = F dx 1 +    - dx 

2  x  
 

1
 y 
dU = Fdx  
2
 x 
2
y dividiendo pro el volumen del elemento diferencial de cuerda se obtiene,
dU 1 F  y 
=
 
Adx 2 A  x 
1 F  y 
uU =
 
2 A  x 
2
2
u U es la densidad volumétrica de energía potencial y se mide en J.m-3. Ahora, como para la
cuerda el parámetro de elasticidad β es,
en donde
β=
F
A
se obtiene para la su densidad volumétrica de energía potencial,
1  y 
uU = β  
2  x 
2
[2]
La ecuación [2] es de validez general para todas las ondas mecánicas tratadas en estas notas. En el caso de
las ondas en los hilos o filamentos (cuerdas muy delgadas) y en los resortes es de mayor uso la densidad
lineal de energía potencial
ρ=
w U . Como,
μ
A
se obtiene que la ecuación [2] se transforma en,
wU =
1 2
Fy x
2
[2A]
y se mide en J.m-1.
Observar que la densidad de energía potencial es proporcional al cuadrado de la pendiente, por lo que el
elemento de cuerda que está en una cresta o en un valle tiene una densidad de energía potencial igual a
CERO, lo cual confunde ya que en el modelo de partícula oscilando armónicamente debería tener la máxima
energía potencial. Es aquí en donde no se debe usar el modelo de partícula sino de elemento continuo, y así
se entiende que su densidad energía potencial es nula porque no está deformado.
El elemento que está pasando por la posición de equilibrio tiene máxima densidad de energía potencial (es el
que está más deformado).
Densidad de energía mecánica
La energía mecánica es igual a la suma de la energía cinética y la energía potencial. Por lo tanto la densidad
volumétrica de energía mecánica para una onda mecánica es,
1  y 
1  y 
uE = ρ    β  
2  t 
2  x 
2
2
[3]
Para el caso de cuerdas y resortes es preferible hablar de densidad lineal de energía mecánica,
1  y 
1  y 
μ    F 
2  t 
2  x 
2
wE =
2
[3A]
Potencia e intensidad
Potencia transmitida
Si se supone una onda viajando hacia valores crecientes de x (de izquierda a derecha) la potencia que
entrega el elemento de cuerda de la izquierda al de la derecha, Figura 2, es igual a,
4
5
Figura 2
P = Fy Vy =  Fsenα  Vy
Para pequeñas amplitudes,
P
 Ftanα Vy
 y  y 
P = F   
 x  t 
[4]
Esta es la potencia transmitida por una onda mecánica que se propaga a través de una cuerda y se mide en
Watts. Es decir la expresión [4] sirve para calcular la energía mecánica transmitida a través de la cuerda
por cada unidad de tiempo: en 1 segundo cuántos Joules se transmiten.
Intensidad
La intensidad se define como la energía que fluye a través de una superficie en la unidad de tiempo. Es
decir, es potencia por unidad de área,
I=
P
A
Por lo tanto según la ecuación [4],
I=
F  y  y 
  
A  x  t 
Ahora, como para la cuerda el parámetro de elasticidad
β es,
β=
F
A
se obtiene para la intensidad,
 y  y 
I = β   
 x  t 
[5]
La ecuación [5] es de validez general para todas las ondas mecánicas tratadas en estas notas. La intensidad
se mide en W.m-2.
Un análisis sobre el transporte y la conservación de la energía en ondas mecánicas
La variación instantánea de la densidad de energía mecánica en u medio continuo a través del cual se
propaga una onda es,
2
2
u E
  1  y 
1  y  
=
 ρ   β  
t
t  2  t 
2  x  
2
  2 y   y 
u E
 y    y 
= ρ 2   + β 

t
 x   xt 
 t   t 
Pero según la ecuación de onda de orden 2,
2 y 2 y
V

x 2 t 2
2
y por lo tanto,
2
 2  2 y   y 
u E
 y    y 
= ρ V

 + β 
2 
t
 x   xt 
 x   t 
2
  2 y   y 
u E
 y    y 
= V 2ρ  2    + β   

t
 x   xt 
 x   t 
y como para una onda mecánica,
V=
β
ρ
se obtiene,
6
2
  2 y   y 
u E
 y    y 
= β 2   + β 

t
 x   xt 
 x   t 
u E
   y  y 
=
β   
t
x   x  t 
y según la ecuación [5],
7
u E
I
=
t
x
u E
I
=0
t
x
que es la ecuación de conservación de la energía en el proceso de transporte de energía a través del medio
continuo. Por ejemplo, la variación neta de energía la mecánica acumulada en un tramo de cuerda entre dos
posiciones x1 y x2 es,
E d

t dt
2
u E
1 P
u
Adx
=
A
dx
=
A
x E
x t
x A x dx = P  x 2  - P  x1 
1
1
1
x2
x2
x
haciendo un balance entre los instantes t y t+t se obtiene,
E  t + Δt   E  t 
 P  x 2  - P  x1 
Δt
E =  P  x 2   P  x1   Δt
E final = E inicial   P  x 2   P  x1   Δt
"La energía mecánica final, transcurrido un tiempo t, es IGUAL a la energía mecánica inicial MAS la
energía mecánica que se transfiere a la sección del medio continuo comprendida entre x 1 y x2 en el
intervalo de tiempo t”. P(x) es la energía, por unidad de tiempo, que fluye por a través de sección
transversal A ubicada en el punto x, es decir la POTENCIA TRANSMITIDA en la dirección x. Se puede
deducir entonces que la energía mecánica en una porción de medio continuo VARÍA CON EL TIEMPO,
lo cual NO significa que no se conserve: es simplemente que se está TRANSMITIENDO.
Energía en ondas viajeras
Densidades de energía
En la cinemática de la onda viajera, se mostró que estas cumplen la ecuación diferencial de onda de orden 1,
-V
y y

x t
por lo tanto reemplazando en la ecuación [1] ,
1
1  y 
u K = ρy2t = ρ -V 
2
2  x 
1
 y 
u K = ρV2  
2
 x 
2
8
2
Como para ondas mecánicas se cumple,
V=
β
ρ
Se obtiene,
1  y 
uK = β  
2  x 
2
es decir según la ecuación [2],
uK = uU
[6]
y por ende,
uE = uK + uU = 2 uK  2 u U
 y 
uE = β  
 x 
 y 
uE = ρ  
 t 
[7]
2
[7A]
2
[7B]
Las expresiones [6] y [7] SÓLO las cumplen las ondas viajeras. No las cumplen las ondas estacionarias:
recordar que las ondas estacionarias NO cumplen la ecuación diferencial de orden 1.
En las ondas viajeras la densidad de energía potencial y la densidad de energía cinética son iguales. Esto es
una aparente contradicción puesto que no hay una aparente conversión de energía cinética en energía
potencial. Por ejemplo, en la cuerda el “pedacito” que está en una cresta o en un valle tienen densidad de
energía tanto cinética como potencial nulas y el “pedacito” que está pasando por la posición de equilibrio
posee máximas estas dos densidades. Sin embargo, esto no debe ser motivo de preocupación puesto que en
el caso de la onda viajera un elemento del medio está cediendo la energía al elemento contiguo y así
sucesivamente. Hay flujo de energía: la aparente pérdida de energía en ausencia de fuerzas de rozamiento
se debe a que está ella fluyendo. ESTO FUE LO QUE SE ANALIZÓ en la sección anterior.
Intensidad
La intensidad se calcula con la expresión [5],
 y  y 
I = β   
 x  t 
9
y por lo tanto se tendrá para la onda viajera,
y 
 y  y 
 y 
I = β    = β   V 
x 
 x  t 
 x 
 y 
I =  Vβ  
 x 
2
Reemplazando [7A],
I =  Vu E
[8]
Y se mide en W.m-2. El signo MENOS si se quiere se puede obviar y su significado es: Si la onda se propaga
hacia valores crecientes de x (sea por ejemplo hacia la derecha) la velocidad de propagación es POSITIVA
y la intensidad es NEGATIVA entendiéndose que el segmento de medio continuo de la izquierda cede al de
la derecha. Si la onda se propaga hacia valores decrecientes de x (hacia la izquierda) la velocidad de
propagación es NEGATIVA y la intensidad es POSITIVA entendiéndose que el segmento de medio continuo
de la izquierda gana energía (esta es cedida por el segmento de la derecha). El signo pues en la expresión
[8] indica es el sentido en que se cede la energía, por lo tanto se obviará con esa salvedad,
I = Vu E
[8A]
Ondas viajeras armónicas
Densidades de energía
Si la onda que se propaga por el medio material es armónica plana en el sentido positivo de la x, la
elongación y la velocidad de vibración de los elementos del medio son respectivamente,
y = Asen  kx - ωt + φo 
vy = -ωAcos  kx - ωt + φo 
por lo tanto la densidad de energía cinética de un elemento dx de medio continuo es según la ecuación [1],
uK =
2
1
ρ - ωAcos  kx - ωt + φ o  
2
10
1
u K = ρω2 A 2 cos 2  kx - ωt + φ o 
2
como en la onda es viajera,
uU =
u K = u U , la densidad de energía potencial de un elemento será,
1 2 2 2
ρω A cos  kx - ωt + φ o 
2
además la densidad de energía mecánica es,
uE = ρω2A2cos2  kx - ωt + φo 
[9]
La energía mecánica de un elemento dx por ejemplo en una cuerda NO se conserva. El elemento cuyo
centro de masa está instantáneamente en la posición de equilibrio, tiene máxima deformación y máxima
rapidez, por tanto tendrá máxima densidad de energía potencial y máxima densidad de energía cinética. El
elemento cuyo centro de masa está instantáneamente en una cresta o en un valle, tendrá pendiente cero
(no está deformado) y rapidez cero, por lo tanto tendrá densidad de energía potencial nula y densidad de
energía cinética nula. En definitiva no hay conversión de energía cinética en potencial y viceversa. Podría
pensarse como un caso de violación de la conservación de la energía, sin embargo, la energía mecánica no
permanece constante es debido a que la energía está fluyendo (se está propagando): RECORDAR de nuevo
la discusión que se hizo atrás.
En la siguiente simulación se ilustra la variación de las energías cinética, potencial y mecánica de todos los
elementos de una cuerda por la que se propaga una onda transversal. Se detalla la variación de estas
energías en uno de los elementos.
Simulación:
Analizar la simulación de SimulPhysics correspondiente al Ondas > Energía en ondas > Energía en ondas
viajeras. Para acceder a ella hacer clic con el mouse en el ítem señalado en la Figura 3. Se despliega la
simulación de la Figura 4. En ésta hacer las variaciones permitidas y observar detenidamente los
resultados.
11
Figura 3
Figura 4
En la siguiente simulación se ilustra la variación de la energía cinética y la potencial en una partícula que
oscila armónicamente. Se observa la constancia en la energía mecánica y la conversión permanente de
energía cinética en potencial y viceversa.
Simulación:
Analizar la simulación de SimulPhysics correspondiente al Oscilaciones > Energía en el MAS
> Energía
vs tiempo en el MAS. Para acceder a ella hacer clic con el mouse en el ítem señalado en la Figura 5. Se
despliega la simulación de la Figura 6. En ésta hacer las variaciones permitidas y observar detenidamente
los resultados.
12
Figura 5
Figura 6
Potencia e intensidad
La intensidad de la onda viajera se calcula con la ecuación [8A],
I = Vu E
En el caso de una onda armónica plana, reemplazando [9],
I = ρω2A2V cos2  kx - ωt + φo 
y en promedio,
I=
1 2 2
ρω A V
2
[10]
en donde A es a amplitud de la onda y V su velocidad de propagación.
13
Dependencia de la intensidad de la geometría del frente de onda
Despreciando la disipación de energía cuando la onda se propaga, se tendrá,
intensidad promedio Area del frente de onda  = constante
Frente de onda plana
Como el área del frente de onda plano permanece constante cuando la onda viaja, se concluye que su
intensidad se mantiene constante,
I = constante
[11]
Frente de onda cilíndrico
Como el área del frente de onda cilíndrico aumenta proporcionalmente con el radio de éste, (área frente
onda = 2RL), se concluye que:
I1  2πR1L = I2  2πR 2L
I1
R
= 2
I2
R1
[12]
Frente de onda esférico
Como el área del frente de onda esférico aumenta proporcionalmente con el cuadrado del radio, (área
frente onda = 4R2), se concluye que:
I1  4πR12  = I2  4πR 22 
I1
R2
= 22
I2
R1
[13]
esta expresión se conoce con el nombre de ley del inverso cuadrado.
Energía en ondas estacionarias
Densidades de energía
Las ondas estacionarias no satisfacen la ecuación de onda de orden
que
-Vyx = yt , y por lo tanto no cumplen
u K = u U , como es el caso de ondas viajeras.
14
Ondas estacionarias armónicas
Densidades de energía
Si se consideran ondas estacionarias armónicas como por ejemplo las que se presentan en una cuerda con
sus extremos fijos, la elongación es igual a,
yn = 2Ansenk n x cosωn t
por tanto, las densidades de energía cinética y potencial son según las ecuaciones [1] y [2],
uK = 2ρωn2 An2sen2k n x sen2ωn t
u U = 2βk2n A2n cos2k n x cos2ωn t
Como en ondas mecánicas se cumple que,
V=
β
ρ
Y como,
k n V = ωn
se obtiene,
u E = u K + u U = 2ρωn2 A n2 sen 2 k n x sen 2ωn t + cos 2 k n x cos 2ωn t 
Se debe observar que si se toma un elemento de cuerda dx, la energía cinética de la partícula que lo
representa, (es decir, su centro de masa) no es igual a la energía potencial como si lo es en el caso de una
onda viajera. Para los elementos cuyos centros de masa están ubicados en un nodo la energía cinética es
nula siendo su energía toda potencial. Sucede lo opuesto para los elementos cuyos centros de masa están
ubicados en los vientres. Es decir en las ondas estacionarias se da la conservación de la energía en cada
elemento: hay conversión de energía cinética en potencial en cada elemento del medio: recordar que esta
onda no viaja por lo tanto NO propaga la energía. Esto se ilustra en la siguiente simulación.
Simulación:
Analizar la simulación de SimulPhysics correspondiente al Ondas > Energía en ondas > Energía en ondas
estacionarias. Para acceder a ella hacer clic con el mouse en el ítem señalado en la Figura 7. Se despliega
la simulación de la Figura 8. En ésta hacer las variaciones permitidas y observar detenidamente los
resultados.
15
Figura 7
Figura 8
Densidad de energía mecánica promedio
Tomando el ejemplo de la cuerda con extremos fijos y promediando en x se obtiene,
1
1

u E = 2ρωn2 An2  sen 2ωn t + cos 2ωn t 
2
2

u E = ρωn2 An2
Y como
ωn = 2πf n y f n =
 π 2ρV 2 A 2n  2
uE = 
 n
2
 L

nV
se obtiene,
2L
[14]
expresión que corresponde al promedio de la energía mecánica del armónico n.
Intensidad
La intensidad según la ecuación [8A] para una onda que viaja es,
I = Vu E
Como la onda estacionaria se compone de dos ondas viajeras que tiene todo sus parámetros iguales pero se
propagan en direcciones opuestas se tiene,
I = Ionda incidente + Ionda reflejada = -VuE + VuE = 0
y por lo tanto la intensidad NETA en la onda estacionaria es cero como era de esperarse ya que NO
porpaga energía.
FIN
16