Dinámica de la partícula

Tema 4*
Dinámica de la
partícula
Física I
Grado en Ingeniería Electrónica,
Robótica y Mecatrónica (GIERM)
Primer Curso
*Prof.Dra. Ana Mª Marco Ramírez
Física I. Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica 2015/16
Prof.Dr. Emilio Gómez González
Dpto. Física Aplicada III, ETS Ingeniería
Tema 4
1
Índice
Introducción.
Primer principio de la dinámica: principio de
inercia.
Segundo principio de la dinámica: segunda
ley de Newton.
Ley de Newton de la Gravitación Universal.
Tercer principio de la dinámica: ley de acción
y reacción.
Principio de superposición.
Diagramas de cuerpo libre.
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Tema 4
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Introducción
Recordemos:
La Dinámica es la parte de la Mecánica que estudia el
movimiento de los cuerpos relacionándolo con
conceptos físicos como la fuerza (vector) y la masa
(escalar).
Fuerza: acción capaz de acelerar un objeto.
No siempre que se ejercen fuerzas se produce
movimiento. El estudio de los cuerpos en reposo
permanente o equilibrio pertenece a la Estática.
Igualmente, puede haber movimiento sin que actúe
ninguna fuerza sobre el cuerpo. Es el caso del
movimiento rectilíneo uniforme, 𝑎 = 0.
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Introducción (II)
Tipos de fuerzas:
Fuerzas de contacto: implican contacto físico entre
objetos.
Ej: dar una patada a una pelota, empujar un carrito, …
Fuerzas de campo: actúan a través del espacio vacío.
Ej: fuerza gravitatoria, fuerza eléctrica, ...
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Índice
Introducción.
Primer principio de la dinámica: principio de
inercia.
Segundo principio de la dinámica: segunda
ley de Newton.
Ley de Newton de la Gravitación Universal.
Tercer principio de la dinámica: ley de acción
y reacción.
Principio de superposición.
Diagramas de cuerpo libre.
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Primer principio de la dinámica:
principio de inercia
Aristóteles: Si un cuerpo se mueve, es porque actúa una fuerza sobre él.
Si no, no se movería.
Galileo: Tan natural es para un cuerpo estar en reposo como en
movimiento rectilíneo uniforme.
Newton, en sus "Philosophiæ naturalis principia mathematica" (Latín:
Principios matemáticos de la filosofía natural), recoge las ideas de Galileo.
Enunciado: Todo cuerpo que no se encuentra sometido a ninguna fuerza
permanece en estado de reposo o de movimiento rectilíneo y uniforme.
Un sistema de referencia en el que se cumple el Primer Principio se llama
sistema de referencia inercial.
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Índice
Introducción.
Primer principio de la dinámica: principio de
inercia.
Segundo principio de la dinámica: segunda
ley de Newton.
Ley de Newton de la Gravitación Universal.
Tercer principio de la dinámica: ley de acción
y reacción.
Principio de superposición.
Diagramas de cuerpo libre.
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Segundo principio de la mecánica: segunda ley de Newton (I)
Enunciado: La aceleración de un objeto es directamente proporcional a la
fuerza neta que actúa sobre él, e inversamente proporcional a su masa. La
dirección de la aceleración es la de la fuerza neta que actúa sobre el
objeto.
Como fórmula: 𝐹 = 𝑚𝑎
Masa: Propiedad intrínseca de un objeto que mide su resistencia a la
aceleración.
Observemos que para 𝑎 = 0 , se cumple 𝐹 = 0
Ojo:𝑎 = 0significa𝑣 = 𝑐𝑡𝑒. No implica 𝑣 = 0.
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Segundo principio de la mecánica:
segunda ley de Newton (II)
La segunda ley, como la primera y la tercera, sólo se cumple
en sistemas de referencia inerciales (no acelerados).
Definición: Si sobre un objeto no actúa ninguna fuerza neta,
cualquier sistema de referencia respecto al cual la aceleración
del objeto es cero, es un sistema de referencia inercial.
Ej: En un coche que acelerase (sistema no
inercial),
un objeto sobre el salpicadero, sobre el que no estaría
actuando ninguna fuerza neta, sin embargo se aceleraría.
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Índice
Introducción.
Primer principio de la dinámica: principio de
inercia.
Segundo principio de la dinámica: segunda
ley de Newton.
Ley de Newton de la Gravitación Universal.
Tercer principio de la dinámica: ley de acción
y reacción.
Principio de superposición.
Diagramas de cuerpo libre.
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Ley de Newton de la Gravitación Universal (I)
Enunciado: La fuerza que ejerce una partícula puntual con masa m1 sobre
otra con masa m2 es directamente proporcional al producto de las masas, e
inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa.
Esta fuerza siempre es atractiva, tiene alcance infinito, y es una fuerza
central (esto último se verá en el próximo tema).
𝑚1 𝑚2
𝑚1 𝑚2
𝐹12 = −𝐺
𝑟 − 𝑟1 = −𝐺
𝑢
𝑟2 − 𝑟1 3 2
𝑟2 − 𝑟1 2 12
donde 𝐺 = 6.67384 ⋅ 10−11 m3 kg−1 s−2es la constante de Newton de la
Gravitación universal y 𝑢12 =
𝑟2 −𝑟1
𝑟2 −𝑟1
el vector unitario que va de la posición de
la partícula 1 a la de la 2.
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Ley de Newton de la Gravitación Universal (II)
Usando la Ley de la Gravitación Universal, podemos calcular la fuerza de
atracción entre la Tierra y un cuerpo de 50.0 kg que se encuentra sobre la
superficie terrestre. La masa de la Tierra es 5.974 × 1024 kg y vamos sustituir
la distancia por el radio terrestre, que es 6.37814 ·106 m Entonces, la fuerza
(en módulo) es:
𝑚 𝑇 𝑚𝑐
𝐹=𝐺
𝑅𝑇 2
6.67384 ⋅ 10−11 m3 kg−1 s−2 ⋅ 5,974 × 1024 kg ⋅ 50.0kg
𝐹=
6.37814 ⋅ 106 m 2
𝐹 = 490N = 50.0kp
(Recordemos que 1kp=9.8 N)
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Ley de Newton de la Gravitación Universal (III)
Llamando 𝑔 = 𝐺
𝑚𝑇
𝑅𝑇 2
= 9.81 m/s 2 a la aceleración de la gravedad sobre la
superficie terrestre, escribimos:
𝐹 = 𝑚𝑐 𝑔 = Peso (𝑃)
Peso: fuerza de atracción gravitatoria
ejercida por la Tierra sobre un objeto.
No es una propiedad intrínseca del
objeto, como la masa, porque depende
de la localización.
Vectorialmente 𝐹 = 𝑚𝑔, siendo 𝑔un vector de dirección radial y sentido
𝑚
hacia el interior de la Tierra. En general, 𝐹 = 𝑚𝑔 𝑟 , con 𝑔 𝑟 = 𝐺 2𝑇.
𝑟
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Primer principio de la dinámica: principio de
inercia.
Segundo principio de la dinámica: segunda
ley de Newton.
Ley de Newton de la Gravitación Universal.
Tercer principio de la dinámica: ley de acción
y reacción.
Principio de superposición.
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Tercer principio de la mecánica: ley de acción y reacción
(I)
Enunciado: Siempre que un objeto ejerce una fuerza sobre un segundo
objeto, el segundo ejerce una fuerza sobre el primero de igual módulo y
dirección pero sentido opuesto.
Como fórmula: 𝐹12 = −𝐹21
Ojo: No perder de vista que
𝐹12 (acción) y 𝐹21 (reacción) se
ejercen simultáneamente y
sobre objetos diferentes.
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Tercer principio de la mecánica: ley de acción y reacción
(II)
Ejemplos:
Ley de Newton de la Gravitación Universal
𝑚1 𝑚2
𝐹12 = −𝐺
𝑟 − 𝑟1 = −𝐹21
𝑟2 − 𝑟1 3 2
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Primer principio de la dinámica: principio de
inercia.
Segundo principio de la dinámica: segunda
ley de Newton.
Ley de Newton de la Gravitación Universal.
Tercer principio de la dinámica: ley de acción
y reacción.
Principio de superposición.
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Principio de superposición
Enunciado: Cuando un conjunto de fuerzas actúan
simultáneamente sobre un objeto, la aceleración que producen
sobre él es la suma de las aceleraciones que cada una de las
fuerzas produciría actuando por separado sobre el objeto.
Ej: En las tres primeras figuras, la aceleración
es nula. En la cuarta, está dirigida hacia arriba.
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Introducción.
Primer principio de la dinámica: principio de
inercia.
Segundo principio de la dinámica: segunda
ley de Newton.
Ley de Newton de la Gravitación Universal.
Tercer principio de la dinámica: ley de acción
y reacción.
Principio de superposición.
Diagramas de cuerpo libre.
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Diagramas de cuerpo libre (I)
Ej: Disco de hockey deslizándose a velocidad constante sobre una
superficie plana horizontal de hielo que suponemos sin fricción.
¿Cuál de los tres diagramas es el correcto?
No hay aceleración, luego 𝐹 = 𝑚𝑎 = 0
Y sólo se cumple para (b), donde 𝐹𝐺 + 𝐹𝑁 = 0
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Diagramas de cuerpo libre (II)
Ej: Dos cajas unidas por una cuerda indeformable.
Sólo movimiento horizontal:
Figura (b): Σ𝐹𝑥 = 𝐹𝑃 − 𝐹𝑇 = 𝑚𝐴 𝑎𝐴
Figura (c): Σ𝐹𝑥 = 𝐹𝑇 = 𝑚𝐵 𝑎𝐵
Si la cuerda está tensa, 𝑎𝐴 = 𝑎𝐵 = 𝑎
Queda: (𝑚𝐴 +𝑚𝐵 )𝑎 = 𝐹𝑃 − 𝐹𝑇 + 𝐹𝑇 = 𝐹𝑃
Despejando: 𝑎 =
𝐹𝑃
𝑚𝐴 +𝑚𝐵
=
40.0 N
22.0 kg
= 1.82
m
s2
→ 𝐹𝑇 = 𝑚𝐵 𝑎𝐵 = 𝑚𝐵 𝑎 = 12.0 kg ⋅ 1.82 m
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s2
= 21.8 N
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Diagramas de cuerpo libre (III)
En general, al resolver problemas tridimensionales, podremos pasar de la
ecuación vectorial, 𝐹 = 𝑚𝑎, 𝐹 fuerza neta , a las tres ecuaciones escalares:
Σ𝐹𝑥 = 𝑚𝑎𝑥 ; Σ𝐹𝑦 = 𝑚𝑎𝑦 ; Σ𝐹𝑧 = 𝑚𝑎𝑧
En ciertas situaciones, puede interesar descomponer la aceleración en sus
componentes intrínsecas:
Σ𝐹𝑇 = 𝑚𝑎 𝑇 ; Σ𝐹𝑁 = 𝑚𝑎𝑁
Esto tiene especial interés en el caso, ya estudiado en Cinemática, del
movimiento circular, donde quedaría:
𝑑𝑣
𝑣2
Σ𝐹𝑇 = 𝑚
; Σ𝐹𝑁 = 𝑚
𝑑𝑡
𝑅
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