La ecuación de Schrödinger para una partícula de carga q

La ecuación de Schrödinger para una partícula de carga q moviéndose en el seno de
campo magnético 𝑩 se obtiene haciendo el cambio 𝒑 → 𝒑 − 𝒒𝑨, donde 𝑨 es el
potencial vector, 𝑩 = 𝛁 × 𝑨. Supongamos que el campo magnético es constante:
𝑩 = 𝑩𝒆𝒛 , por lo que podemos tomar 𝑨 = 𝑩𝒙𝒆𝒚 .
a) Escribe la ecuación de Schrödinger (independiente del tiempo) para ψ(x,y,z)
en ese caso.
El operador Hamiltoniano por una autofunción propia es igual a otro operador por esa misma
autofunción, en este caso ese operador será la energía total:
𝐻 Ψ x, y, z, t = EΨ(x, y, z, t)
O bien:
𝑝2
Ψ x, y, z, t
2𝑚
𝐻 Ψ x, y, z, t =
Introducimos el cambio 𝑝 → 𝑝 − 𝑞𝐴. Cuando hagamos el cuadrado del momento
2
obtendremos 𝑝2 + 𝑞𝐴 − 𝑝 ∙ 𝑞𝐴 − 𝑞𝐴 ∙ 𝑝, ahora bien como 𝑝 y 𝐴 pueden
conmutar, podemos decir que al hacer el producto escalar entre ambos dará igual el
orden de los términos por lo que podremos poner 𝑝2 + 𝑞𝐴
𝐻 Ψ x, y, z, t =
𝑝
2
2𝑚
+
𝑞𝐴
2𝑚
2
−
𝑝 ∙ 𝑞𝐴
𝑚
2
− 2 𝑝 ∙ 𝑞𝐴
Ψ x, y, z, t
A partir de esta expresión el desarrollo matemático para obtener la ecuación de Schrödinger
independiente del tiempo es el mismo que el que aparece en la teoría. Por último en la
ecuación final expresaremos el momento como 𝑝 = −𝑖ħ∇
ħ2 2
−
∇ ψ(x, y, z) +
2𝑚
2
𝑞𝐴
𝜕 𝑞𝐴
+ 𝑖ħ
ψ(x, y, z) = 𝐸ψ(x, y, z)
2𝑚
𝜕𝑦 𝑚
b) Haciendo el cambio 𝛙 𝐱, 𝐲, 𝐳 = 𝐞𝐢
𝐤 𝐲𝐲 + 𝐤𝐳 𝐳
ħ𝒌
𝛗(𝐱´), donde 𝒙´ = 𝒙 − 𝒎𝝎𝒚 , 𝝎 ≡
demuestra que la ecuación que verifica 𝛗(𝐱´) es
ħ𝟐 𝒅𝟐
𝟏
ħ𝟐 𝐤𝟐𝐳
𝟐 ´𝟐
−
𝛗 𝐱´ + 𝐦𝛚 𝐱 𝛗 𝐱´ = 𝐄 −
𝛗 𝐱´
𝟐𝒎 𝒅𝒙´𝟐
𝟐
𝟐𝐦
Comenzamos haciendo el cambio ψ x, y, z = ei
Schrödinger independiente del tiempo:
ky y + kz z
φ(x´) en la ecuación de
𝒒𝑩
,
𝒎
ħ2 2 i
−
∇ e
2𝑚
2
ky y + kz z
φ(x´) +
𝑞𝐴
𝜕 𝑞𝐴 i
+ 𝑖ħ
e
2𝑚
𝜕𝑦 𝑚
ky y + kz z
φ(x´) = 𝐸 ei
ky y + kz z
φ(x´)
Solo calcularemos el momento en función de las coordenadas x e y, la ecuación anterior se
podrá expresar de la siguiente forma:
ħ2 𝑘𝑦2 ħ2 𝑘𝑧2 i
ħ2 𝑑2
−
+
+
e
2𝑚 𝑑𝑥 ´2
2𝑚
2𝑚
2
ky y + kz z
= 𝐸 ei
De esta expresión podemos eliminar ei
φ x´ +
ky y + kz z
ky y + kz z
ħ𝑘𝑦 𝑞𝐴 i
𝑞𝐴
−
e
2𝑚
𝑚
ky y + kz z
φ x´ =
φ(x´)
por estar en ambos miembros:
2
ħ2 𝑘𝑦2 ħ2 𝑘𝑧2
ħ2 𝑑2
−
+
+
φ x´ +
2𝑚 𝑑𝑥 ´2
2𝑚
2𝑚
ħ𝑘𝑦 𝑞𝐴
𝑞𝐴
−
φ x´ = 𝐸φ(x´)
2𝑚
𝑚
ħk y
Por último introducimos los cambios que nos daba el problema (x´ = x − mω , ω =
, A = Bx)
ħky
𝑞 2 𝐴2 1
1
= 𝑚𝜔2 𝑥 2 = 𝑚𝜔2 x´ +
2𝑚
2
2
mω
2
qB
,
m
ħ2 𝑘𝑦2
1
= 𝑚𝜔2 𝑥 ´2 +
+ 𝜔ħ𝑘𝑦 𝑥´
2
2𝑚
ħ𝑘𝑦 𝑞𝐴 ħ𝑘𝑦 𝑞
ħ2 𝑘𝑦2
=
𝐵𝑥 = 𝜔ħ𝑘𝑦 𝑥´ +
𝑚
𝑚
𝑚
Sustituimos:
−
ħ2 𝑘𝑦2 1
ħ2 𝑘𝑦2
ħ2 𝑘𝑦2
ħ2 𝑑 2
2 ´2
+
+
𝑚𝜔
𝑥
+
+
ωħ𝑘
𝑥´
−
ωħ𝑘
𝑥´
−
φ x´ =
𝑦
𝑦
2𝑚 𝑑𝑥 ´2
2𝑚
2
2𝑚
𝑚
ħ2 𝑘𝑧2
= 𝐸−
φ(x´)
2𝑚
Simplificando esta expresión nos dará la ecuación que verifica φ x´ :
ħ2 𝑑2
1
ħ2 k2z
2 ´2
−
φ x´ + mω x φ x´ = E −
φ x´
2𝑚 𝑑𝑥´2
2
2m
¿Qué situación física está descrita por una ecuación formalmente idéntica a la anterior?
Oscilador armónico simple
c) Utilizando la equivalencia anterior, indica cual son los niveles energéticos de la
partícula cargada si kz = 0
Una vez que sabemos qué modelo matemático se ajusta mejor a la ecuación dada podemos
saber cuales serán los niveles energéticos. La teoría nos dice que la energía asociada a un
oscilador armónico simple será:
𝐸= 𝑛+
1
ℎ𝑣
2
Anexo
A continuación se muestra la demostración matemática del apartado c.
Lo primero que debemos hacer es aplicar la condición impuesta por el problema en la ecuación
anterior y llamaremos a mω2 = C:
ħ2 𝑑2
1 ´2
−
φ
x´
+
Cx φ x´ = Eφ x´
2𝑚 𝑑𝑥´2
2
El valor de la frecuencia viene dado por la expresión clásica de:
𝑣=
1 𝐶
2𝜋 𝑚
Quedando nos la ecuación anterior de la siguiente manera:
ħ2 𝑑2
−
φ x´ + 2πm𝑣2 x´2 φ x´ = Eφ x´
2𝑚 𝑑𝑥´2
Esta expresión se puede poner también de la siguiente manera:
𝑑2
2mE
2πm𝑣
φ x´ +
−
2
´2
ħ
ħ
𝑑𝑥
Si llamamos 𝛽 =
2mE
ħ2
y 𝛼=
2πm𝑣 ´2
x
ħ
2
x ´2 φ x´ = 0
tenemos entonces que:
𝑑2
φ x´ + β − α2 x ´2 φ x´ = 0
𝑑𝑥 ´2
Introduciremos un nuevo término denominado 𝑢 = 𝛼𝑥´.El término
𝑑2
φ
𝑑𝑥 ´2
x´ lo
expresaremos en función de u y para ello recurriremos a la regla de la cadena:
𝑑2
du d dφ(x´)
d2 φ(x´)
φ
x´
=
=
α
dx´ dx´ dx´
du2
𝑑𝑥 ´2
Introducimos este cambio en la ecuación anterior:
𝑑2
𝛼 2 φ u + β − αu2 φ u = 0
𝑑𝑢
O bien:
𝑑2
β
φ u + − u2 φ u = 0
2
𝑑𝑢
α
u2
Además sabemos que φ u = Ae− 2 H(u) y que
u2
𝑑2
φ
𝑑𝑢 2
u = Ae− 2 −H + u2 H − 2u
dH
du
+
d2H
du 2
La ecuación nos quedara de la siguiente manera:
𝑑2 𝐻
dH
β
− 2u
+ −1 H =0
2
𝑑𝑢
du
α
H es el polinomio de Hermite que viene dado por la expresión 𝐻 =
de los polinomios de Hermite serán:
dH
=
du
𝑑2 𝐻
=
𝑑𝑢2
∞
𝑛
𝑛=0 𝑎𝑛 𝑢
las derivadas
∞
𝑎𝑛 𝑢𝑛−1
𝑛=1
∞
𝑛 − 1 𝑛𝑎𝑛 𝑢𝑛−2
𝑛=1
La ecuación anterior resulta de la siguiente forma:
∞
∞
𝑛 − 1 𝑛𝑎𝑛 𝑢
𝑛=1
𝑛−2
− 2u
𝑎𝑛 𝑢
𝑛−1
𝑛=1
β
+ −1
α
∞
𝑎𝑛 𝑢𝑛 = 0
𝑛=0
Conforme 𝑢 → ∞ esta ecuación aumenta, es decir, H contendrá un número infinito de
términos lo cual no es aceptable. Solo es aceptable si
β
α
toma ciertos valores. Entonces esto
fuerza la seria restante de H(u) a que termine en:
β
= 2n + 1
α
Sustituyendo β y α por sus correspondientes valores obtenemos cuales son los niveles
energéticos de la partícula cargada:
𝐸= 𝑛+
1
ℎ𝑣
2