representación grafica de un vector

CANTIDADES ESCALARES Y VECTORIALES
En este tema se introduce el concepto de vector para estudiar la
magnitud, la dirección y el sentido de las cantidades físicas.
Algunas cantidades pueden ser descritas totalmente por un número y
una unidad; por ejemplo las magnitudes de superficie, volumen, masa, longitud
y tiempo reciben el nombre de magnitudes escalares.
Por definición, una magnitud escalar es aquella que se define con sólo
indicar su cantidad expresada en números y la unidad de medida.
Existe otra clase de magnitudes que para definirlas, además de la
cantidad expresada en números y el nombre de la unidad de medida, se
necesita indicar claramente la dirección y sentido en que actúan; estas
magnitudes reciben el nombre de magnitudes vectoriales. Por ejemplo, cuando
una persona visita la ciudad de Mérida, Yucatán, y nos pregunta cómo llegar al
puerto de Progreso, dependiendo de dónde se encuentre le diremos
aproximadamente a qué distancia está y qué dirección seguir. Lo mismo
sucede cuando se habla de la fuerza que se debe aplicar a un cuerpo, pues
aparte de señalar su valor se debe especificar si la fuerza se aplicará hacia
arriba o hacia abajo, a la derecha o a la izquierda, hacia el frente o hacia atrás.
Una magnitud vectorial se define por su origen, magnitud, dirección y
sentido. Consiste en un número, una unidad y una orientación angular.
Estática de partícula.
Concepto de vector y su clasificación.
Obtención de vectores resultantes por métodos gráficos y analíticos.
a. Instrucciones específicas para el autoaprendizaje.
1.- Enunciará el concepto de vector y como se clasifica.
2.- Resolverá ejercicios para hallar vectores resultantes por métodos
gráficos (polígono y paralelogramo) y analíticos (Teorema de Pitágoras).
b. objetivos del tema.
1.- El alumno enunciará el concepto de vector, conocerá sus características
así como su clasificación.
2.- El alumno resolverá ejercicios para obtener un vector resultante por el
método gráfico del paralelogramo (para 2 vectores a la vez) por el método
gráfico del polígono (para más de 2 vectores a la vez) y por el método
analítico del Teorema de Pitágoras.
c. desarrollo del tema.
Como se señaló en el tema anterior, una cantidad vectorial es aquel que
tiene una magnitud, dirección y sentido, como por ejemplo un automóvil que
lleva una velocidad de 80 km/h al Noreste, o un desplazamiento de un móvil
de 5 km a 40° al Suroeste.
Una magnitud vectorial puede ser representada gráficamente por medio
de una flecha llamada vector, la cual es un segmento de recta dirigido. Para
simbolizar una magnitud vectorial se traza una flechita horizontal sobre la
   
letra que la define por ejemplo: v , d , F y a representan cada una un vector
como son la velocidad, el desplazamiento, la fuerza y la aceleración,
respectivamente.
REPRESENTACIÓN GRAFICA DE UN VECTOR
Un vector tiene las siguientes características
 Punto de aplicación u origen
 Magnitud. Indica su valor y representa por la longitud del vector de
acuerdo con una escala convencional.
 Dirección. Señala la línea sobre la cual actúa, y puede ser horizontal,
vertical u oblicua.
 Sentido. Indica hacia donde va el vector, ya sea hacia arriba, abajo, a la
derecha o a la izquierda, y queda señalado por la punta de la flecha.
Para representar un vector se necesita una escala convencional, la cual se
establece de acuerdo con la magnitud del vector y el tamaño que se le desee
dar.
Vectores Coplanares y no Coplanares
Los vectores pueden clasificarse en coplanares, si se encuentran en el
mismo plano o en dos ejes, y no coplanares si están en diferente plano, es
decir en tres planos.
Sistema de vectores colineales
Se tiene un sistema de vectores colineales cuando dos o mas vectores se
encuentran en la misma dirección o línea de acción. Un vector colineal cera
positivo si su sentido es hacia la derecha o hacia arriba y negativo si su
sentido es hacia la izquierda o hacia abajo.
Sistema de vectores concurrentes
Un sistema de vectores es concurrente cuando la dirección o línea de acción
de los vectores se cruza en algún punto, el punto de cruce constituye el punto
de aplicación. A estos vectores se les llama angulares o concurrentes porque
forman un ángulo entre ellos.
Sistema de vectores paralelos.
Son aquellos vectores que por más que alargan su trayectoria, jamás se
pueden unir.
Resultante y equilibrante de un sistema de vectores
La resultante de un sistema de vectores es el vector que produce él solo,
el mismo efecto que los demás vectores del sistema. Por ello un vector
resultante es aquel capaz de sustituir un sistema de vectores.
La equilibrante de un sistema de vectores, como su nombre lo indica, es
el vector encargado de equilibrar el sistema, por lo tanto tiene la misma
magnitud y dirección que la resultante, pero con sentido contrario.
Propiedades de los vectores (principio de transmisibilidad y propiedad de
los vectores libres.
Principio de transmisibilidad de los vectores.- Este principio se enuncia como “
El efecto externo de un vector o fuerza no se modifica si es trasladado en su
misma dirección, es decir sobre su propia línea de acción”. Por ejemplo si se
desea mover un cuerpo horizontalmente, aplicando una fuerza, el resultado seá
el mismo si empujamos el cuerpo o si lo jalamos,
Propiedad de los vectores libres.- Los vectores no se modifican si se trasladan
paralelamente a sí mismos. Esta propiedad se utilizará al sumar vectores por
los métodos gráficos del paralelogramo y del polígono.
SUMA DE VECTORES.
Cuando necesitamos sumar 2 o más cantidades escalares de la misma especie
lo hacemos aritméticamente: por ejemplo 2 kg + 5 kg = 7 kg, 3 horas + 7
horas= 10 horas, 200 km + 300 km = 500 km. Sin embargo para sumar
magnitudes vectoriales, que como ya se mencionó aparte de magnitud tienen
dirección y sentido, debemos utilizar métodos diferentes a una simple suma
aritmética. Estos métodos pueden ser gráficos o analíticos.
SUMA GRÁFICA de VECTORES
Para realizar la suma gráfica de dos vectores, utilizamos el "método del
paralelogramo". Para ello, trazamos en el extremo del vector A, una paralela al
vector B y viceversa. Ambas paralelas y los dos vectores, determinan un
paralelogramo. La diagonal del paralelogramo, que contiene al punto origen de
ambos vectores, determina el vector SUMA. Puedes ver un ejemplo en el
gráfico que va a continuación:
Si tenemos que sumar varios vectores, podemos aplicar el método
anterior, sumando primero dos y a la suma, añadirle un tercero y así
sucesivamente. Pero también podemos hacerlo colocando en el extremo del
primer vector, un vector igual en módulo, dirección y sentido que el segundo. A
continuación de éste, colocamos un vector equivalente al tercero y así
sucesivamente. Finalmente, unimos el origen del primer vector con el extremo
del último que colocamos y, el vector resultante es el vector suma.
http://usuarios.lycos.es/pefeco/sumavectores/sumavectores.htm
METODO PARALELOGRAMO
En este método, los vectores se deben trasladar (sin cambiarle sus
propiedades) de tal forma que la "cabeza" del uno se conecte con la "cola" del
otro (el orden no interesa, pues la suma es conmutativa). El vector resultante
se representa por la "flecha" que une la "cola" que queda libre con la "cabeza"
que también está libre (es decir se cierra un triángulo con un "choque de
cabezas”. En la figura 1 se ilustra el método.
Figura 1
En la figura 1 el vector de color negro es la suma vectorial de los vectores de
color rojo y de color azul.
Si la operación se hace gráficamente con el debido cuidado, sólo bastaría
medir con una regla el tamaño del vector de color negro utilizando la misma
escala que utilizó para dibujar los vectores sumandos (el rojo y el azul). Esa
sería la magnitud de la suma. La dirección se podría averiguar midiendo con un
transportador el ángulo que forma con una línea horizontal.
Pero no nos basta con saberlo hacer gráficamente. Tendremos que aprenderlo
a realizar analíticamente. Para ello se deben utilizar los teoremas del seno y del
coseno y si es un triángulo rectángulo se utilizará el teorema de Pitágoras.
En el caso de la figura 1 las relaciones posibles entre los lados de ese triángulo
son las siguientes:
Ejemplo:
Supongamos que en dicha figura los vectores sean la magnitud fuerza.
Asumamos además que el ángulo entre los vectores sumandos (el rojo y el
azul) es igual a 60.0º y que sus módulos son respectivamente 100 dinas (rojo)
y 90.0 dinas (azul). Deseamos calcular el vector resultante.
Para ello empleemos la relación:
su dirección sería:
Método del polígono
Cuando vamos a sumar más de dos vectores, podemos sumar dos de ellos por el método del
triángulo. Luego el vector resultante sumarlo con otro vector también por el método del triángulo, y así
sucesivamente hasta llegar a obtener la resultante final.
Otra forma de hacer la suma, es utilizando el llamado método del polígono. Este método es
simplemente la extensión del método del triángulo. Es decir, se van desplazando los vectores para
colocarlos la "cabeza" del uno con la "cola" del otro (un "trencito") y la resultante final es el vector que
cierra el polígono desde la "cola" que quedo libre hasta la "cabeza" que quedo también libre (cerrar
con un "choque de cabezas"). Nuevamente el orden en que se realice la suma no interesa, pues
aunque el polígono resultante tiene forma diferente en cada caso, la resultante final conserva su
magnitud, su dirección y su sentido.
Este método sólo es eficiente desde punto de vista gráfico, y no como un método analítico. En la
figura 1se ilustra la suma de cuatro vectores.
Figura 1
http://letty220.tripod.com/id15.html
SUMA ANALITICA DE VECTORES.
Merli quiere saber donde se encuentra, si ella quiere llegar a su casa.
Conociendo que camina 13 km al este; cambiando de rumbo para luego
caminar 19 km al este. Hallar el resultado grafico y analíticamente.
N
V2 = -19 km
Y
v1 = 13 km
O
E
-6
13
S
X
DATOS
V1 = +13 KM
V2 = -19 KM
 VX = V1 + V2
 VX = 13+(-19)
 VX = 13-19 = -6
2.- Norma quiere saber si la nueva ruta que toma hacia su casa es
más corta si camino 15 km. al norte después 10 al sur para de
ultimo caminar 12 km. al oeste. ¿Calcularle la distancia o el punto
donde Norma se encuentra?
15 km. al norte V1
10 km. al sur V2
12 km. al oeste V3
y = V1 + V2
y = 15 + (-16)
y = 5
x = V3
y = .12
a2= b2 + C2
R= (Fy)2 = (Fx)2
R= (Fy)2 + (Fx)2
R= (5)2 + (-12)2
R= 25 + 144
R= 169
R= 13 km.
θ= Tan-1 Fy/Fx = tan-1 5/12= tan-1 0.4166= 22.61°.
d. Evaluación del tema.
1.- Son los tipos de vectores que por más que prolonguen su trayectoria, nunca
se van a unir.
Paralelos
Concurrentes
Colineales
Perpendiculares
Libres
2.- Son los tipos de vectores que se intersectan entre sí formando ángulos
rectos (90°).
Perpendiculares
Concurrentes
Paralelos
Libres
Libres.
3.- Es el método gráfico para la obtención del vector resultante, el cuál es
aplicable a sólo 2 vectores a la vez.
Paralelogramo
Polígono
Ley de Senos
Ley de cosenos
Teorema de Pitágoras
4.- Es el método gráfico para la obtención del vector resultante, el cual es
aplicable a más de dos vectores a la vez.
Polígono
Ley de senos
Ley de cosenos
Paralelogramo
Teorema de Pitágoras.
5.- A los vectores concurrentes también se les denomina:
Angulares
Libres
perpendiculares
Paralelos
No coplanares
e. Bibliografía.
Física General. Héctor Pérez Montiel. Publicaciones Cultural. Cuarte
reimpresión de la Segunda Edición 2004.
a. Tema 1.3 Fuerzas en el espacio.
Subtema 1.3.1 Obtención de las componentes rectangulares de
una fuerza en el plano.
Subtema 1.3.2. Resolución de problemas Con el cálculo de la
resultante de un sistema de fuerzas coplanares en el plano y en el
espacio.
Subtema 1.3.3. Enunciación y significado de la Primera Ley de
Newton.
b. Instrucciones específicas.
1.- Obtenga las componentes rectangulares de una fuerza o vector en el
plano.
2.- Resuelva problemas del calculo de un vector resultante en el plano y en
el espacio, y la dirección de dichos vectores resultantes.
3.- Definir el concepto de la primera Ley de Newton e interprétala.
c.- Objetivos del tema.
1.- Que el alumno aprenda a obtener las componentes rectangulares de un
vector o fuerza en el plano (Fx y Fy) utlizando las ecuaciones Fx= Fcos θ y
Fy= F cos θ.
2.- El alumno resolverá problemas del cálculo de un vector resultante en el
plano de un sistema de vectores concurrente.
3.- El alumno resolverá problemas calculando un vector resultante en el
espacio, conociendo sus componentes (Fx, Fy y Fz).
4.- El alumno resolverá problemas calculando las componentes de un vector
resultante en el espacio (Fx, Fy y Fz) conociendo los cosenos directores θx,
θy y θz.
5.- El alumno resolverá problemas buscando los cosenos directores de una
fuerza en el espacio, conociendo las fuerzas y sus componentes (fx, Fy y
Fz).
6.- El alumno resolverá problemas buscando la fuerza resultante en el
espacio, conociendo solamente dos de los ángulos directores y una sola de
las componentes, hallar además las otras dos componentes y el otro ángulo
director.
7.- El alumno enunciara la Primera Ley de Newton y podrá interpretarla.
d.- Desarrollo del tema.
COMPONENTES RECTANGULARES DE UNA FUERZA O VECTOR EN
EL PLANO.
Componentes rectangulares de una fuerza.
Todo vector se puede expresar como la suma de otros dos vectores a
los cuales se les denomina componentes.
.
Cuando las componentes forman un ángulo recto, se les llama
componentes rectangulares. En la figura 2 se ilustran las componentes
rectangulares del vector rojo.
Las componentes rectangulares cumplen las siguientes relaciones
Las 2 primeras ecuaciones son para hallar las componentes rectangulares del
vector a. y Las 2 últimas son para hallar el vector a (Teorema de Pitágoras a
partir de sus componentes rectangulares. La última ecuación es para hallar la
dirección del vector a (ángulo) con la función trigonométrica tangente.
Ejemplo:
Una fuerza tiene magnitud igual a 10.0 N y dirección igual a 240º.
Encuentre las componentes rectangulares y represéntelas en un plano
cartesiano.
El resultado nos lleva a concluir que la componente de la fuerza en X tiene
módulo igual a 5.00 N y apunta en dirección negativa del eje X . La
componente en Y tiene módulo igual a 8.66 y apunta en el sentido negativo
del eje Y. Esto se ilustra en la figura 3.
SUMA DE VECTORES
EMPLEANDO
COMPONENTES RECTANGULARES.
EL
METODO
DE
LAS
Cuando vamos a sumar vectores , podemos optar por descomponerlos
en sus componentes rectangulares y luego realizar la suma vectorial
de estas. El vector resultante se logrará componiéndolo a partir de las
resultantes en las direcciones x e y.
Ejemplo:
Sumar los vectores de la figura 1 mediante el método de las
componentes rectangulares.
Lo primero que debemos hacer es llevarlos a un plano cartesiano para de
esta forma orientarnos mejor. Esto se ilustra en la figura 2
A continuación realizamos las sumas de las componentes en X y de las
componentes en Y:
DESCOMPOSICIÓN DE UNA FUERZA EN SUS
COMPONENTES RECTANGULARES EN EL ESPACIO
Considere
una fuerza F actuando en el origen O del sistema de
coordenadas rectangulares X, Y, Z.
Para definir la dirección de F, se dibuja el plano vertical OBAC que
contiene a F (véase la figura de abajo). Este plano pasa a través del eje
vertical y su orientación está definida por el ángulo Ø que este formo con el
plano XY. La dirección de F dentro del plano está definido por el ángulo Ø y que
F forma con el eje Y. la fuerza F se puede descomponer en una componente
vertical Fy y una componente horizontal Fh; las componentes escolares
correspondiente son:
Fy  F cos y
Fh  F sen y
Fh
F
Fh  Fsen y
sen y 
cos y 
sen Ø =
Fy
F
Fz
Fh
Fz  Fh sen Ø
Fz Fsen Ø y sen Ø
Fh se puede descomponer en dos componentes rectangulares F x y Fz a
lo largo de los ejes X, Y, Z, respectivamente. Esta operación se lleva acabo en
el plano X, Z. Se obtiene las siguientes expresiones para los componentes
escolares correspondientes a Fx y Fz Fx.
Fx  Fh
Cos
  F Sen
y
Cos

F2  Fh
Sen
  F Sen
y
Sen

Por lo tanto, la fuerza dada F se ha descompuesto en 3 componentes
vectoriales rectangulares Fx y Fy Fz, que están dirigidas a lo largo de los tres
ejes coordenados.
Aplicando el teorema de Pitágoras a los triángulos OAB y OCD se
escribe:
F2 = (OA) 2 = (OB)2 + (BA)2 = F2y+ F2h
F2 = (OC)2 = (OD)2 + (DC)2 = F2x+ F2z
Eliminando F2h de estas dos ecuaciones y resolviendo F, se obtiene la
siguiente relación entre la magnitud de F y sus componentes escalares
rectangulares.
F 2  ( Fh) 2  ( Fh) 2
F 2  F ( x) 2  F ( z ) 2  F ( y ) 2
F  Fx2  Fy2  Fz
cos Ø=
2
Fx
Fh
Fx = Fh cos Ø
Fx Fsen Øy cos Ø
La relación existente entre la fuerza F y sus tres componentes Fx y Fy Fz
se visualiza más fácilmente si, como se muestra en la figura se dibujo una caja
que tenga Fx y Fy Fz como aristas. Entonces, la fuerza F se representa por la
diagonal OA de dicha caja. La figura b muestra el triángulo rectángulo OAB
empleado para derivar primera de las fórmulas Fy = F cos Øy. En las figuras
2,31a y c, también se han dibujado otros dos triángulos rectángulos. OAD y
OAE. Se observa que estos triángulos ocupan en la caja posiciones
comparables con la del los triángulos OAB. Al enunciar Ø x y Øz, como los
ángulos que F forman con los ejes x y z, respectivamente, se pueden derivar
dos fórmulas similares a Fy = F cos Øy entonces se escribe.
Los tres ángulos  x , y , y z definen la dirección de fuerza F; éstos son los
que se utilizan con mayor frecuencia para dicho propósito, más comúnmente
que los ángulos  y y Ø introducidos al principio de esta sección. Los cosenos de
 x , y , y z se conocen como los cosenos directores de la fuerza F.
Introduciendo los vectores unitarios i, j y k, dirigidos, respectivamente, a
lo largo de los x, y y = figura 2.32 F puede expresarse de la siguiente forma.
Donde los componentes escalares Fx y Fy Fz están definidas por las
relaciones (2.19).
Ejemplo 1. Una fuerza de 500 N forma ángulos de 60º, 45º y 120º con
los ejes x y y z, respectivamente. Encuentre los componentes Fx y Fy Fz de la
fuerza.
Sustituyendo F = 500 N,  x  60º , y  60º , y  45º y z  120º en las
formulas se escribe.
Fx F cos x Fy  F cos y Fz  F cos z
Llevando los valores obtenidos para las componentes escalares de F a
la ecuación (2.20) se tiene.
F = Fxi + Fyj + Fzk
Como en el caso de los problemas bidimensionales, un signo positivo
indica que la componente tiene el mismo sentido que el eje que le corresponde
y un signo negativo indica que esta tiene un sentido opuesto al del eje.
El ángulo que forma una fuerza F con un eje siempre debe ser medido a
parir del lado positivo del eje y siempre debe estar entre 0 y 180º. Un ángulo  x
menos que 90º (agudo) indica que F (la cual se supone que está fija a 0 x está
en el mismo lado del plano yz que el eje x positivo; entonces cos  x y Fx serán
positivos. Un ángulo  x mayor que 90º (obtuso) indica que F está en el otro
lado del plano yz; entonces cos  x y Fx serán negativos. En el ejemplo 1. Los
ángulos  x y y son agudos, mientras que  y es obtuso; consecuentemente Fx y
Fy son positivos mientras que Fz es negativo.
Sustituyendo las expresiones obtenidas para Fx y Fy Fz en (2.19) se
obtiene la siguiente expresión.
La cual muestra que la fuerza F puede ser expresada como el producto
del escalar F y un vector.
Obviamente, el vector  es un vector cuya magnitud es igual a 1 y cuya
dirección es la misma que la de F (figura 2.33). El vector  se conoce como el
vector unitario a lo largo de la línea de acción de F. A partir de (2.22) se
observa
que
las
componentes
del
vector
unitario

son
iguales,
respectivamente, a los cosenos directores de la línea de acción de F:
Se debe señalar que los valores de los tres ángulos  x , y , y z no son
independientes. Recordando que la suma de los cuadrados de las
componentes de un vector es igual a su magnitud elevada al cuadrado se
escribe.
En el caso del ejemplo 1, una vez que se han seleccionado los valores
 x  60º y y  45º , el valor de  z debe ser igual a 60º o a 120º para que se
cumpla la identidad (2.24)
Cuando se conocen las componentes Fx y Fy Fz de una fuerza F, la
magnitud F de la fuerza se obtiene a partir de las relaciones se pueden resolver
para los cosenos directores.
Y se pueden encontrar los ángulos  x , y , y z que caracterizan la
dirección de la fuerza F.
Ejemplo 2. Una fuerza F tiene las componentes Fx = 20Ib, Fy=-30Ib y Fz
= 60Ib. Determine su magnitud F y los ángulos  x , y , y z que está forma con
los ejes coordenados.
A partir de la fórmula (2.18) se obtiene.
F 2  ( Fx ) 2  ( Fz ) 2  ( Fy ) 2
F  Fx  Fy  Fz
2
2
2
Sustituyendo los valores de las componentes y la magnitud F en las
ecuaciones se escribe.
cos x 
Fx
F
Cos y 
Fy
F
Cos z 
Fz
F
Calculando sucesivamente cada uno de los cocientes y su respectivo
arco coseno se obtiene.
Estos cálculos pueden llevarse a cabo fácilmente con la ayuda de una
calculadora.
Otro tipo de problemas de vectores en el espacio, es cuando se da como datos,
solamente 2 de los ángulos directores, y una sola de las componentes, y se
pide hallar la Fuerza resultante F, las otras dos componentes y el ángulo
restante. Para ilustrar como se resuelven este tipo de problemas considere lel
siguiente ejemplo.
Una fuerza actúa en el origen de un sistema coordenado en la
dirección dada por los ángulos Θy=55° y Θz=45°. Sabiendo que la
componente de la fuerza en x (Fx)= -500 lb, determine a) las otras
componentes (Fy y Fz) y la magnitud de la fuerza y b) el valor de Θx.
Lo primero que hay que hallar el el ángulo faltante es decir en este
caso Θx.
cos2 Θx+cos2 Θy+ cos2Θz= 1 despejando cos2 Θx tenemos:
cos2 Θx= 1- (cos2 Θy+ cos2Θz).
sustituyendo valores: cos2 Θx= 1- (cos2 55°+ cos2 45°)
cos2 Θx= 1- (0.3289+0.5)= 1-(0.8289)= 0.1711. Este resultado es el
resultado del coseno cuadrado de Θx, por lo tanto se le saca la raíz
cuadrada para obtener el valor del coseno de Θx:
cos Θx= √0.1711= 0.4136.
Una vez obtenido el valor del coseno de Θx (0.4136) se procede a
hallar el valor de la fuerza resultante F, utilizando la componente Fx,
tomando su valor absoluto, es decir de forma positiva. con la
ecuación:
Fx= F cos Θx. despejando F tenemos: F= Fx/cos Θx
Sustituyendo valores: F= 500/0.4136= 1209 lb.
Una vez obtenido el valor de la fuerza resultante F, ya se pueden
hallar las otras dos componentes de la fuerza Fy y Fz con las
ecuaciones ya conocidas: Fy= Fcos Θy y Fz= Fcos Θz.
Sustituyendo valores: Fy= 1209 Nx cos 55° Fy= 1209 N x 0.5735
Fy= +694 N
Fz= 1209 N x cos 45° F= 1209 N x 0.7071= +855 lb.
Finalmente se halla el valor del ángulo Θx, mediante la siguiente
ecuación:
Fx= Fcos Θx. Despejando cos Θx= Fx/F. Sustituyendo valores
tenemos: cos Θx= -500 lb/1209 lb= cos Θx= -0.4135.
Θx= cos-1 -0.4135. Θx= 114.4°.
Con el resultado anterior, se corrobora que cuando la componente
tiene un signo negativo, el ángulo respectivo será obtuso y viceversa.
Recapitulando: las respuestas son:
a) Fy= +694 lb, Fz= +855 lb, b) F= 1209 lb, c) Θx= 114.4