1. PROYECCIONES CARTOGRÁFICAS La posición de cualquier elemento sobre la superficie terrestre o el Universo esta definido por coordenadas únicas respecto a un sistema de referencia en particular. La primera dificultad es que la tierra por su configuración no puede representarse en un plano sin sufrir algún tipo de deformación Las proyecciones buscas la forma de conservar el mayor numero de propiedades, que al no poder mantenerlas simultáneamente, adoptaran las características según la finalidad del mapa, carta o plano. 1.1. Formas de la Tierra La Geodesia es la ciencia que estudia las formas y medidas de la Tierra, ella entrega a la Geografía y Cartografía los datos que se requieren para la localización, medición y representación de los elementos y fenómenos de la superficie terrestre. La Geodesia asimila la forma de la tierra a una figura geométrica la cual se puede expresarse, medirse y representar matemáticamente. 1.1.1. Esfera, Elipsoide y Geoide El planeta Tierra es el tercero desde el Sol. Debido a su distancia del astro, a la presencia de una atmósfera protectora y a la combinación idónea de sustancias químicas orgánicas, la Tierra es el único planeta de nuestro Sistema Solar capaz de tener vida. La Tierra es un planeta tremendamente dinámico y activo, cuya corteza se regenera constantemente debido al movimiento continuo de sus placas. Este último movimiento es también un problema constante para la posición de puntos de referencia sobre la superficie terrestre. La Tierra es el quinto planeta en tamaño de los nueve planetas en órbita alrededor del Sol. Tiene forma de esferoide aplanado por los polos. La tierra tiene esta afecto a varios movimientos siendo los dos fundamentales el de : a) Rotación sobre si misma, que determina la duración de día. b) Traslación alrededor de sol, que determina la duración del año y la existencia de las estaciones. APUNTES DE CARTOGRAFIA Profesor Alberto Utreras Valdivia 1 Se ha discutido desde tiempos antiguos la forma de la tierra, es así como el hombre en su afán de asignarle una forma a la tierra, al inicio se basaba solo en conjeturas. En los primeros tiempos la percepción había deducido que la tierra tenía la forma de un disco plano y, por ello, si navegaban en dirección a sus bordes, los barcos acabarían por caer en algo desconocido. Sin embargo, esos mismos navegantes podrían haber percibido, a través de un fenómeno óptico, que la superficie de la tierra no es plana sino curvada en forma convexa, como una pequeña parte de una esfera. LA ESFERA Es la primera aproximación de la forma de la tierra. Se caracteriza por ser un cuerpo geométrico en cual todas las distancias al centro de ella son idénticas. Bajo este punto de vista es un cuerpo regular en que todos los radios son idénticos de superficie lisa. Es utilizada para fines de representar la tierra en su totalidad, Hemisferios, o continentes a escalas pequeñas, no persigue fines métricos de precisión. Existen tres experimentos que demuestran la esfericidad de la tierra: a. Observación del horizonte en el Mar: El observar el mar desde una cima de cerro se observa al horizonte la curvatura de la tierra, mientras mas alto sea la ubicación del observador mejor se aprecia la curvatura. b. Eclipse de Luna: Cuando se produce un eclipse de luna se proyecta la sombra de la tierra sobre la superficie de nuestro satélite natural, mostrando un arco de circulo. c. Principio de Astronomía: Este principio fue usado por los árabes en el siglo IX D.C. Un observador situado en el Polo Norte siempre ve la Estrella Polar en su cenit porque esta estrella se encuentra en línea con el eje de rotación de la tierra. Si el observador viaja hacia el sur, la Estrella Polar parece cambiar su posición y desviarse hacia el horizonte, de tal manera que a mitad de camino entre el Polo Norte y el Ecuador (a 45 latitud N), la estrella se encuentra a mitad de camino entre su cenit y el horizonte. Una serie de mediciones del ángulo formado por el horizonte y la Estrella Polar mostraría que este ángulo disminuye siempre 1° cada 111 Km que el observador recorre hacia el sur. Esta observación demuestra que la trayectoria de la estrella sigue un arco de círculo. Si repitiera este experimento sobre diferentes líneas en dirección N-S (meridianos) se podría APUNTES DE CARTOGRAFIA Profesor Alberto Utreras Valdivia 2 establecer que el hemisferio norte es la mitad de una verdadera esfera. La misma observación podría realizarse en el hemisferio sur, utilizando una estrella menor que esté en línea con el Polo Sur. Este principio se utiliza actualmente en la navegación interestelar. Cuando consideramos que, durante más de dos siglos las posiciones de los barcos en el mar se han determinado con exactitud utilizando este método, la forma esférica de la tierra ha quedado demostrada más allá de toda duda. APUNTES DE CARTOGRAFIA Profesor Alberto Utreras Valdivia 3 ELIPSOIDE Es la segunda aproximación a la forma de la tierra, es un cuerpo geométrico que se genera por una elipse girando en torno de su eje menor, este movimiento genera el conocido ELIPSOIDE DE REVOLUCION. Los componentes de una elipse son un eje menor que corresponde a la distancia entre el Ecuador y los polos, y el eje mayor que esta definido por el circulo máximo del Ecuador. Es así como el ELIPSOIDE es una figura matemática representativa de tamaño y forma de la Tierra, la cual considera un achatamiento en las zonas polares y un abultamiento en la zona del Ecuador, derivado del movimiento de rotación y la fuerza centrifuga. Los primeros indicios de la forma de elíptica de la tierra, fue realizada por JEAN RICHER, en 1671, astrónomo Francés, súbdito de Luis XIV. Solo con las publicaciones de las leyes de Newton de Gravitación en 1687, se pudo deducir que el efecto de gravedad es menor en el ecuador por encontrarse mas distante del centro de la tierra que en las regiones polares. La diferencia entre radio ecuatorial y el radio polar es de aproximadamente 21 km. El achatamiento terrestre eta dado por la razón existente entre el semieje mayor o ecuatorial (a) y el semieje menor o polar (b) de la elipse, el cual se calcula a través de la formula: 1 ( a − b) = f a Esta figura es utilizada para fines de construcción de cartografía regular, en donde la excentricidad debe ser considerada como una variable. La cartografía regular de Chile 1:50.000 esta basada en el Elipsoide de Hayford, adoptada Internacionalmente en 1924, conocido como elipsoide Internacional de 1924. Recientemente se ha utilizado también el Sudamericano de 1969, convenido por Unión Internacional De Geodesia Y Geofísica, conocido como internacional 1967. APUNTES DE CARTOGRAFIA Profesor Alberto Utreras Valdivia 4 GEOIDE La superficie del Geoide corresponde a un cuerpo irregular considerando la fuerza de gravedad, la cual varia de un punto a otro por la desigual repartición de masa en la corteza terrestre, es la figura mas representativa de la forma real de la Tierra. Si la distribución de la masa fuera idéntica en todos los puntos de la tierra seria un cuerpo regular parecido a un elipsoide. La superficie del Geoide se determina basándose en la gravedad observada en el lugar y ésta calculada al nivel medio del mar. APUNTES DE CARTOGRAFIA Profesor Alberto Utreras Valdivia 5 Lo anterior implica que dependiendo de la situación de topográfica del lugar, encontraremos esta línea representativa sobre o bajo el nivel medio del mar, dependiendo de la atracción de la gravedad del lugar, por ejemplo encontraremos que en los continentes el Geoide alcanza una elevación de 20 o 30 m. Sobre el elipsoide, ya que la fuerza de gravedad es menor en el continente, sin embargo en las cuencas oceánicas la superficie del Geoide quedará bajo el elipsoide. Otra forma de explicar la superficie del Geoide, es decir, que corresponde al nivel medio de los mares, prolongados bajo los continentes, y cuyas aguas no están afectadas por ningún movimiento. • Todos los puntos de la superficie tienen igual intensidad de fuerza de gravedad. • La vertical verdadera o la dirección indicada por la plomada es siempre perpendicular a su superficie. • La atracción varia inversamente al cuadrado de la distancia que separa los centros de ambas masas. Su aplicación se considera en Geodesia para levantamientos topográficos y dirección de satélites artificiales. APUNTES DE CARTOGRAFIA Profesor Alberto Utreras Valdivia 6 1.1.2. Dimensiones de la Tierra. Las dimensiones de la Tierra a preocupado al hombre desde siempre, pero solo ahora con las nuevas tecnologías se ha logrado establecer con mayor precisión las dimensiones reales, para ello indicaremos las siguientes alternativas: APUNTES DE CARTOGRAFIA Profesor Alberto Utreras Valdivia 7 La Esfera Los antiguos griegos, entre ellos Pitágoras (540 a.C.) y los seguidores de Aristóteles (384-322 A.C.) creían que la tierra era esférica y especularon sobre la longitud de su circunferencia, con hipótesis sumamente erróneas. Entre ellas se encontraba la de la figura perfecta. Eratóstenes (hacia el 200 A.C.), jefe de la biblioteca de Alejandría. (Egipto), realizó una medida directa de la circunferencia de la tierra basándose en un sencillo principio de geometría. • Observó que en un día concreto del año (hacia el 21 de junio, en el solsticio de verano) en Siena, ciudad localizada en el alto Nilo, los rayos del sol al mediodía iluminaban directamente el fondo de un pozo vertical. En otras palabras, el sol al mediodía estaba en su cenit y sus rayos eran perpendiculares a la superficie de la tierra en ese punto concreto del globo • En ese mismo día, en Alejandría, los rayos del sol al mediodía estaban inclinados con respecto a la vertical en un ángulo que suponía 1/50 parte de un circulo completo, es decir 7' 12”'. • Determino la distancia entre Siena y Alejandría en 5.000 estadios, considerando el estadio ateniense que equivale a 185 m. Distinto al estadio romano que equivale a 172 m. El obtener la distancia entre Siena y Alejandría, de 5000 Estadios, multiplico por 50 veces y obtuvo como resultado de la circunferencia de la tierra en 46.250 km., valor muy cercano al de 40.000 km. de hoy en día, por lo cual es considerada una muy buena aproximación. Otros estudiosos en el afan de determinar la longitud de la Tierra, considerada como esfera, fueron definidos los siguientes valores para un cuadrante de meridiano. APUNTES DE CARTOGRAFIA Profesor Alberto Utreras Valdivia 8 MAGNITUD FORMA MEDICION CUADRANTE EPOCA DE MERIDIANO Metros Esfera Eratóstenes 200 A.C. 11.562.500 Esfera Poseidonius 100 - 60 A.C. 11.100.000 Esfera Arabes 827 D.C. 10.359.000 Esfera Fernel 1527 D.C. 10.015.795 Esfera Snellius 1614 D.C. 9.660.000 Esfera Norwood 1633 D.C. 10.077.912 Esfera Picard 1666 D.C. 10.014.030 Esfera Muschenbroek 1722 D.C. 10.004.000 Radio del Ecuador: 6.378.388 m Circunferencia del Ecuador: 40.076.594 m Radio del eje terrestre: 6.356.911 m Circunferencia de eje (meridiano): 40.009.152 m Achatamiento : 1 : 297 Area total: 5101101000 km2 Superficie de tierras emergidas: 26.1% 135.470.000 km2 Superficie de Mares y océanos: 73.9% 383.991.900 km2 Volumen del Globo: 1.083.319.780.000 km3 Peso : 5.976 Trillones de toneladas Punto Mas alto 8.840 m s.n.m.m. Punto mas Bajo -395 m ( Mar Muerto) Profundidad media de los Océanos -3.556 m b.n.m.m. Profundidad máxima oceánica -10.915 m b.n.m.m. El Elipsoide Desde que el astrónomo francés JEAN RICHER, en 1671, descubrió que la tierra se asemeja a una esfera que ha sido comprimida en el eje polar y que esta ligeramente abultada en el ecuador, se considera a la figura geométrica mas próxima a la forma de la Tierra, al APUNTES DE CARTOGRAFIA Elipsoide De Profesor Alberto Utreras Valdivia 9 Revolución como la figura que se acerca a la realidad de la Tierra. Sobre esta figura se define como coordenadas las Geodésicas. Los elementos de la Elipse se definen como: Semi-eje mayor (a), semi-menor (b), Achatamiento (f), eje de revolución (PP’). APUNTES DE CARTOGRAFIA Profesor Alberto Utreras Valdivia 10 APUNTES DE CARTOGRAFIA Profesor Alberto Utreras Valdivia 11 El Elipsoide De Revolución se define especificando solamente dos dimensiones. Por convención se utiliza el semi-eje mayor y el Achatamiento. Los de uso más corriente son los siguientes: Elipsoide Semieje Mayor Semieje Achatamiento Usado en (a) (f) menor (b) Everest (1830) 6377276.300 6356075.200 300.80 India Bessel (1841) 6377397.155 6356078.963 299.15 Japón Clarke ( 1866) 6378206.400 6356583.800 294.98 América del Norte Clarke ( 1880) 6378249.100 6356515.000 293.47 Francia, Africa 6378240.000 6356560.000 294.20 6378388.000 6356909.000 296.96 6378388.000 6356911.946 297.00 Nacional Australiano 6378160.000 6356774.700 298.25 Krasovsky (1942) 6378245.000 6356863.000 298.30 6378160.000 6356775.000 298.25 Airy 6377276.000 6356074.949 300.80 Airy 1930 6377563.396 6356256.909 299.32 WGS 84 6378137.000 6356752.314 298.26 Internacional Map Comittee 1909 Hayford (1909) Internacional de Referencia 1924 Internacional de Referencia 1967 APUNTES DE CARTOGRAFIA Europa Rusia Gran Bretaña Profesor Alberto Utreras Valdivia 12 2. LA REPRESENTACION DE LA TIERRA 2.1. Las Coordenadas Geográficas Asumiendo a la tierra como un cuerpo esférico, dotado de rotación, se hace necesario definir ciertos puntos y líneas de referencia, a objeto que otros puntos puedan ser localizados respecto a ellos, por medio de cantidades lineales o angulares de referencia, conformando un sistema de coordenadas esféricas. El eje de rotación de la tierra es una línea definida, diferente a cualquier otro diámetro. Los puntos terminales son los Polos Terrestres y el círculo máximo que lo corta perpendicularmente al eje de la tierra y divide en dos partes iguales o Hemisferios, es conocido como el Ecuador, que por ser resultante de los polos y el eje terrestre es en si una línea definida. Un círculo máximo es la distancia mas corta entre dos puntos ubicados en la superficie terrestre y a la vez pasa por el centro de la tierra. Este se relaciona con temas como los meridianos y los paralelos, las estaciones o las proyecciones. Las propiedades de un círculo máximo son las siguientes: a. Siempre un plano al pasar por el centro de una esfera determina un círculo máximo, independientemente de la orientación del plano. b. Un circulo máximo es el mayor círculo que puede trazarse en la superficie de una esfera. c. Sobre una esfera puede trazarse un número infinito de círculos máximos. d. Por dos puntos dados de la superficie de la esfera ( no opuestos), pasa un circulo máximo y sólo uno. e. Un arco de círculo máximo es la distancia más corta entre dos puntos de la superficie de la esfera. f. Si un círculo máximo corta a otro, lo divide en dos semicírculos. A partir de los polos y del ecuador se genera una red de coordenadas cuyos círculos se denominan Paralelos y Meridianos. 2.1.1. Caracterización de Paralelos y Meridianos APUNTES DE CARTOGRAFIA Profesor Alberto Utreras Valdivia 13 Los Meridianos Son círculos máximos que pasan por los polos conteniendo al eje de rotación y cortan al ecuador normalmente y en dos partes iguales. Las principales características de los meridianos son las siguientes: a. Todos los meridianos siguen la dirección norte-sur. b. Los meridianos tienen su máxima separación en el Ecuador y convergen hacia un punto en cada polo. c. Sobre el globo puede trazarse un infinito número de meridianos. Por lo tanto, para cada punto del globo existe un meridiano. Sin embargo, sobre mapas y globos sólo se representan meridianos seleccionados de forma que sean equidistantes. Para determinar el numero de meridiano finito, se ha utilizado el sistema sexagesimal que permite dividir el circulo ecuatorial en 360 grados y se traza en cada grado un círculo máximo que atraviese los polos, resultando 180 círculos o bien 360 semicírculos máximos o meridianos (aunque se consideran círculos máximos, pero estrictamente son elipses debido al achatamiento de la Tierra). El meridiano de origen fue adoptado oficialmente en 1885 por 25 países el cual coincidieron en establecer como Meridiano 0° al que pasa por el Real observatorio de Greenwich, en Londres, dentro de un acuerdo que establecía también un sistema horario universal. La localización exacta esta indicado por hito metálico que muestra el meridiano de Greenwich. Los meridianos se numeran de 0º a 180º de Este (E) y Oeste (W), siendo el 0º el semicírculo correspondiente al de Greenwich y el 180° su semicírculo opuesto. También es posible numerarlos de 0º a 360º en cuyo caso se avanza desde Greenwich hacia el este. Los paralelos Son círculos menores perpendiculares al eje de rotación y paralelos al plano ecuatorial y divide a la tierra en dos partes desiguales. La intersección de cada paralelo con cada meridiano es en ángulo recto. Respecto a las áreas delimitadas por dos paralelos y dos meridianos consecutivos, estas disminuyen en la medida que se alejan del ecuador, pero son iguales si se encuentran sobre APUNTES DE CARTOGRAFIA Profesor Alberto Utreras Valdivia 14 un mismo paralelo. Los paralelos o líneas de latitud discurren paralelas al ecuador. Su longitud va siendo menor a medida que se alejan del mismo, hasta convertirse en un punto en los polos. Los paralelos están numerados de 0º, en el ecuador, a 90º, en los polos, en dirección Norte y Sur. Los paralelos son círculos menores completos, formados por planos paralelos al Ecuador, que cortan a la tierra y poseen las siguientes características: a. Siempre son paralelos entre ellos. Aunque son líneas circulares mantienen una separación constante. b. Todos los paralelos siguen la dirección este-oeste. c. Los paralelos cortan a los meridianos en ángulos rectos. Esto es cierto para cualquier lugar del globo, excepto los polos, aunque en ellos la curvatura de los paralelos es muy acusada. d. Todos los paralelos, a excepción del Ecuador, son círculos menores; el Ecuador es el único circulo máximo completo. e. Pueden trazarse infinitos paralelos sobre el globo. Por lo tanto, cualquier punto, excepto los polos norte y sur, está situado sobre un paralelo. De los paralelos, cuatro de ellos tienen especial interés; son los Trópicos y Círculos Polares los cuales se determinan por posiciones astronómicas del Sol. Los trópicos de Capricornio y de Cáncer son paralelos fijados a 23° 27' aproximadamente, correspondiendo a la declinación máxima que alcanza el Sol en su movimiento aparente anual. Los círculos polares fijados a 66° 33” aproximadamente corresponden a la tangencia de los rayos solares en la superficie terrestre durante los solsticios. Geográficamente estos cuatro paralelos tienen gran importancia por las zonas que ellos delimitan. Tanto los trópicos como los círculos polares sufren pequeñas variaciones en su posición, debido a movimientos secundarios de la Tierra que inciden en la inclinación del eje terrestre respecto al eje del plano orbital. También los polos experimentan un leve desplazamiento por causas aún no bien determinadas, aunque se cree que es debido al distinto peso de las masas de hielo polar. El movimiento de los polos geográficos en un radio de alrededor de 10 metros, aunque muy pequeño, implica el desplazamiento de toda la red de coordenadas geográficas. APUNTES DE CARTOGRAFIA Profesor Alberto Utreras Valdivia 15 Junto a la generación del sistema de coordenadas, la rotación terrestre permite fijar los puntos cardinales, los cuales posibilitan la orientación; los meridianos señalan la dirección hacia los polos o norte-sur y los paralelos indican el oeste-este que corresponde a la dirección de la rotación. Además, “ ... la gratícula formada por meridianos y paralelos... e el único sistema Isométrico Ortogonal de geodesia posible sobre la superficie de un elipsoide de revolución” (Thomas 1952). 2.1.2. Latitud y Longitud Las coordenadas geográficas permiten la localización matemática de cualquier punto sobre la superficie terrestre, la cual es una distancia expresada en grados y referida a los círculos de origen: el ecuador es el origen para la posición norte-sur o latitud, y el meridiano de Greenwich es la referencia para la posición este-oeste o longitud. Longitud es un ángulo diedro formado por los planos correspondientes a el meridiano origen y el que lo contiene al punto. También la longitud de un lugar es el arco de paralelo medido desde el meridiano origen en sentido este u Oeste y su calculo se hace sobre el ecuador o el paralelo que corresponda; se puede definir como el arco de la circunferencia ecuatorial comprendido entre el meridiano de Greenwich y el meridiano del lugar. Está universalmente aceptado como meridiano principal aquel que pasa por el antiguo Observatorio de Greenwich, situado cerca de Londres, en Inglaterra, y a menudo se le designa como. A este meridiano le corresponde 0° de longitud. La longitud de cualquier otro punto sobre el globo se mide hacia el este o el oeste a partir del Meridiano de Greenwich oscilando entre los 0 y los 180° hacia el este o hacia el oeste. La extensión de un grado de longitud dependerá del lugar en el que sea medido. En el Ecuador, la distancia aproximada de un grado se halla dividiendo la circunferencia de la tierra entre 360°. S D° = 360 ° APUNTES DE CARTOGRAFIA Profesor Alberto Utreras Valdivia 16 Considerando S como el Perímetro : S = 2 *π * R R = Radio de la Tierra = 6366,198 km D° = 2 *π * R 40000 = = 111 . 111 km 360 360 Debido a la convergencia de los meridianos hacia el norte y hacia el sur, esta medida sólo puede aplicarse al Ecuador. También resulta útil saber que la longitud de 1° de longitud se reduce aproximadamente a la mitad en los paralelos 60°, es decir, a unos 55,5 km. Para ello es necesario considerar el Radio del paralelo en función de la LATITUD. Latitud La latitud de un lugar es el arco de meridiano, medido en grados, entre ese lugar y el Ecuador. La latitud oscila entre los 0° en el Ecuador y los 90° norte y sur en los polos. Cuando conocemos la latitud y la longitud de un punto podemos localizarlo con precisión en la red geográfica. Si la tierra fuera una esfera perfecta, la distancia de 1° de latitud (es decir, 1° de arco de meridiano) seria un valor constante en cualquier lugar de la tierra. Esa longitud es casi la misma que la de 1° de longitud en el Ecuador, de tal forma que el valor de 111.111 km por grado puede ser utilizado en la mayoría de casos. Para ser precisos, y teniendo en cuenta el achatamiento de la tierra, es necesario admitir que la distancia de un grado de latitud varía ligeramente desde el Ecuador a los polos. La longitud en el Ecuador es de 110,6 km, mientras que en los polos es de 111,7 km, es decir 1,1 km más largo. Por lo tanto, un grado de latitud en los polos es un 1 % más largo que en el Ecuador. APUNTES DE CARTOGRAFIA Profesor Alberto Utreras Valdivia 17 El ecuador divide a la Tierra en Dos Hemisferios, el Hemisferio Norte, conocido como Boreal, Septentrional o Positivo, y el Hemisferio Sur conocido como Meridional, Austral o negativo. APUNTES DE CARTOGRAFIA Profesor Alberto Utreras Valdivia 18 La milla náutica Tanto en la navegación marina como en la aérea se utiliza la milla náutica como unidad de distancia. La meteorología (ciencia del tiempo) de la alta atmósfera también ha adoptado como medida de la velocidad del viento el nudo marino, que equivale a una milla náutica por hora. Por todo esto merece la pena que el geógrafo comprenda el valor de la milla náutica. La milla náutica puede ser definida como la longitud de 1' de arco del Ecuador terrestre. Como la medida de la longitud del Ecuador fue precisándose durante el siglo pasado, el valor exacto de la milla náutica también tuvo que ser revisado. En 1954, el Departamento de Defensa de los Estados Unidos estableció la equivalencia de la milla náutica en kilómetros y millas terrestres tal como sigue: mnauit = mterr = Distgrado 60 = 111 . 111 km = 1,852 km 60 1,1508 1,1508 = = 1,609 km millanauit 1,852 2.2. Cálculos Por Medio De Coordenadas Esféricas La utilización de las coordenadas esféricas de latitud y longitud, ayudan a determinar ciertas mediciones para definir distancias, ángulos y direcciones. En los próximos párrafos se abordaran en forma somera las formulas generales que permiten definir estas longitudes. Distancia Para definir una distancia entre dos puntos de la superficie terrestre, conociendo sus coordenadas esféricas (Latitud y longitud) se puede señalar los siguientes casos: APUNTES DE CARTOGRAFIA Profesor Alberto Utreras Valdivia 19 a. • Dos puntos ubicados en el mismo meridiano • Dos puntos ubicados en el mismo paralelo • Dos puntos ubicados en cualquier lugar de la superficie terrestre Dos puntos ubicados en el mismo PARALELO Esta es una labor que sostiene la ubicación de dos puntos sobre la esfera ubicados en el mismo paralelo, por lo cual, es necesario determinar la diferencia de latitud entre ambos puntos aplicando la siguiente relación: Dp = ∆ φ * π *R 180 Donde ∆φ = φ 2 − φ1 R = Radio Terrestre b. Dos puntos ubicados en el mismo paralelo Medir la distancia entre un arco de meridiano presenta la dificultad que cada paralelo posee un radio diferente dependiendo de la ubicación de los puntos en cuestión. La siguiente relación muestra la forma como se debe enfrentar el problema: R * π * cos φ 180 ∆ λ = λ 2 − λ1 Dm = ∆ λ * φ = Latitud Paralelo c. Dos puntos ubicados en cualquier lugar de la superficie terrestre APUNTES DE CARTOGRAFIA Profesor Alberto Utreras Valdivia 20 Una de las dificultades mas frecuente es determinar la distancia entre dos puntos ubicados en cualquier parte del globo, para ello se considera la definición que por dos puntos sobre la esfera se genera un circulo máximo, y se resuelve de la siguiente forma: Dab = c * π *R 180 Donde c = arccos( sen φ a * sen φ b + cos φ a * cos φ b * cos ∆ λ ) c = Circulo max imo APUNTES DE CARTOGRAFIA Profesor Alberto Utreras Valdivia 21 Direcciones La dirección junto con la distancia es un elemento fundamental para la localización de un punto en la superficie terrestre. A diferencia de la distancia que es un intervalo de espacio o de tiempo entre dos lugares, la dirección se define como un camino a seguir o bien, como la posición de un punto con relación a otro; necesariamente ella está ligada a los puntos cardinales y a la orientación. El problema de la dirección se relaciona con los aspectos tratados anteriormente respecto a los ángulos. Para expresar una dirección puede usarse el RUMBO que es una medida angular que fluctúa de entre 0° hasta 90°, tomándose como origen el norte o el sur aumentando hacia el este o el Oeste. La parametrizacion del azimut en función de las coordenadas esféricas se da según la siguiente relación: También puede utilizarse el ACIMUT que es una dirección de un objeto respecto a un observador u otro objeto; se mide como el ángulo horizontal con relación al norte su valor fluctúa entre los ángulos de 0° a 360°. La dirección siempre se toma en el sentido de las agujas del reloj a partir del norte, que se designa como 0°. Este concepto simple se complica por la existencia de diferentes definiciones de norte. Una dirección verdadera se refiere a la dirección respecto del polo norte (polo verdadero). Sin embargo cuando se miden rumbos en los mapas es más común utilizar las líneas de cuadrícula, que aparecen impresas en la mayor parte de los mapas topográficos. Aún dependiendo de la proyección del mapa que se utilice, el norte de la malla no coincide con la dirección del norte real, excepto en el meridiano central de la proyección. Aunque la dirección cartográfica se mide generalmente basándose en el norte de la cuadrícula, el rumbo magnético o de la brújula utiliza como norte el polo norte magnético, El Polo Magnético norte se ubica en las 0 0 Islas de la Reina Isabel, Canadá, aproximadamente a 78 N y 101 W, por lo cual no coincide con el polo geográfico. La diferencia angular entre el Norte Verdadero y el Norte Magnético es la declinación magnética, la cual se representa en cartas especiales que indican las líneas isogónicas o líneas de igual declinación magnética; en las cartas topográficas, normalmente se indica la declinación, más la variación anual que ella sufre. La dirección se mide generalmente en grados sexagesimales (360° en la circunferencia), pero APUNTES DE CARTOGRAFIA Profesor Alberto Utreras Valdivia 22 algunos países utilizan grados centesimales (400° en la circunferencia) y, cuando se utiliza para fines militares, las milésimas (6.400° en una circunferencia). Las líneas de dirección constante se denominan líneas de rumbo o LOXODRÓMICAS. Como dirección de referencia, puede considerarse el Norte Verdadero o Geográfico determinado por el Polo Norte, o bien el Norte Magnético determinado por el Polo Magnético al cual se orienta la aguja imantada. La relación en función de las coordenadas esféricas es la siguiente: cos α = sen φ b − sen φ a * cos c cos φ a * senc RETROAZIMUT sen ∆ λ * cos α b senc α = Rumbo sen α = APUNTES DE CARTOGRAFIA Profesor Alberto Utreras Valdivia 23 3. Clasificación de las proyecciones Concepto Una proyección es una red ordenada de paralelos y meridianos utilizada como base para trazar un mapa sobre una superficie plana. El problema principal que se plantea es trasladar la red geográfica esférica a una superficie plana para representar la tierra o parte de ella de la forma más adecuada para el propósito deseado. Una Proyección Cartográfica es una correspondencia biunívoca entre los puntos de la superficie terrestre y los puntos de un plano llamado Plano de proyección. Puesto que cualquier punto de la esfera está definido por sus coordenadas geográficas (λ,φ) y cualquier punto del plano lo está por sus coordenadas cartesianas (X,Y), existirá una serie infinita de relaciones que liguen (λ,φ) con (X.Y). Cada una de estas infinitas relaciones será un sistema de proyección Cartográfico. Uno de los problema de especial importancia para la Cartografía es el trazado de la red de coordenadas geográficas en una superficie plana. Esto implica la imposibilidad de traspasar todas las características simultáneamente que esta red presenta en la realidad; por ello existen de múltiples proyecciones, las cuales responden a la necesidad de reproducir las diferentes propiedades que las coordenadas presentan en la esfera terrestre. Cada proyección, buscara los medios de representar al menos una propiedad de la realidad en forma correcta sobre un plano de proyección. Nunca una misma proyección podrá mostrar conjuntamente y sin distorsión alguna cualidad. Estas cualidades son las dimensiones de las coordenadas, las distancias, los ángulos entre paralelos y meridianos, las áreas que éstas encierran y las direcciones, Es sabido que la intersección de los meridianos y paralelos es en ángulo recto en la esfera. El mantener esta característica de intersección entre los meridianos y paralelos en una proyección implica que los meridianos se formen como líneas paralelas pero no pueden converger en el polo. Es así como la conservación de una cualidad, como sería el mantener los ángulos rectos, distorsiona las verdaderas distancias entre los meridianos APUNTES DE CARTOGRAFIA Profesor Alberto Utreras Valdivia 24 La limitación de las proyecciones respecto a representar conjuntamente todas las cualidades de la realidad, es proporcional al área representada, puesto que las deformaciones serán mínimas si la superficie abarcada en la proyección es suficientemente pequeña como para excluir la incidencia de la curvatura terrestre. Por el contrario, en áreas extensas, y más aún en la representación de la totalidad del globo, las distorsiones serán mayores como producto de la dificultad de traspasar al plano una superficie curva. Los diferentes sistemas de construcción de proyecciones, los cuales permiten reproducir diferentes cualidades de la red de coordenadas; se pueden clasificar basándose en distintos aspectos que inciden en su realización y según esto se presentan los siguientes aspectos: 3.1. • Propiedades • Superficie auxiliar de proyección • tangencia de la superficie de proyección • Punto de vista de proyección • Construcción geométrica o modificada PROPIEDADES Las propiedades de la red de coordenadas del globo que pueden reproducirse en las proyecciones son básicamente tres: • Formas o ángulos • Áreas • Distancias. También, se puede mencionar una cuarta propiedad, el acimut, el cual se refiere a la dirección de un punto en relación a otro; esta cualidad es propia de las proyecciones acimutales o planas. APUNTES DE CARTOGRAFIA Profesor Alberto Utreras Valdivia 25 Mantenimiento de las propiedades Se entiende por propiedad aquella cualidad que significa la falta absoluta de un determinado tipo de deformación que ocurre al proyectar la esfera a un plano. En la representación de la esfera al plano, esta dicho que resultará imposible mantener todas las propiedades geométricas: ángulos, superficies y distancias, estas se veran distorsionadas de alguna manera. Las proyecciones, según la propiedad representada correctamente, se clasifican en conformes, equivalentes y equidistantes. • Si un mapa mantiene los ángulos que dos líneas forman en la superficie terrestre, se dice que la proyección es conforme. • El requerimiento para que haya conformidad es que en el mapa los meridianos y los paralelos se corten en ángulo recto y que la escala sea la misma en todas las direcciones alrededor de un punto, sea el punto que sea. • El término "mapa conforme" es a veces erróneo pues las condiciones de conformidad pueden llevarse a cabo sólo en pequeñas áreas de un mapa plano. La forma de grandes continentes mostradas en el plano difieren de la forma que tienen en el globo. • Equivalencia es la condición por la cual una superficie en el plano de proyección tiene la misma superficie que en la esfera. La equivalencia no es posible sin deformar considerablemente los ángulos originales. Por lo tanto, ninguna proyección puede ser equivalente y conforme a la vez. • Cuando una proyección mantiene las distancias entre dos puntos situados sobre la superficie del Globo (representada por el arco de Círculo Máximo que las une) se denomina equidistante. • Es posible diseñar mapas que tengan esta característica, pero las distancias correctas sólo podrán ser medidas desde un punto, o dos como máximo. Las distancias entre otros puntos no serán correctas. Conformidad Equivalencia o Equiarea Equidistancia APUNTES DE CARTOGRAFIA Profesor Alberto Utreras Valdivia 26 Proyecciones Conformes u Ortomorfas Son aquellas que representan correctamente la forma manteniendo los correspondientes ángulos entre las coordenadas. A pesar de que una superficie curva nunca podrá representarse de manera perfecta en un plano, estas proyecciones guardan ciertas relaciones matemáticas que pueden considerarse casi precisas en este aspecto, por lo tanto, para que la proyección sea conforme deberá conservar la correcta relación de todos los ángulos generados por los meridianos y paralelos. Un buen ejemplo de proyección conforme es la Mercator, la cual representa a los paralelos y meridianos como líneas rectas, paralelas entre sí. Para mantener los ángulos correctos y por tanto la forma, la proyección mantiene los meridianos equidistantes y varía la distancia de los paralelos, con el fin de conservar correctamente la relación entre los meridianos y cada uno de los paralelos. De este modo, al distanciar matemáticamente los paralelos, a medida que se alejan del ecuador, se logra una correcta relación matemática entre las coordenadas y como consecuencia, una reproducción exacta de los ángulos del globo terrestre. La proyección conforme reproduce correctamente una de las propiedades de las coordenadas en la realidad, cortar en ángulo recto, pero al mismo tiempo y como consecuencia de ello, distorsiona la dimensión de las coordenadas y las áreas que ellas encierran y ello se acentúa en la medida que se alejan del ecuador, en el caso de la proyección Mercator. La distorsión de distancias y á reas implica también una variación en la escala del mapa, puesto que la relación matemática entre realidad y representación varía progresivamente de acuerdo a la latitud. Esta variación de escala tanto lineal como areal es propia de las proyecciones conformes; de ahí que, desde una perspectiva geográfica sean proyecciones de uso limitado. Se dice que una proyección es conforme u ortomórfica cuando cualquier pequeña parte de la superficie de la tierra tiene la misma forma sobre el mapa. De esta manera, el aspecto de pequeñas islas o regiones se reproducen fielmente en un mapa conforme. Una característica de este tipo de proyecciones es que los paralelos y meridianos se cortan en ángulo recto sobre el mapa, igual que lo hacen sobre el globo. Sin embargo, no todas las proyecciones en que paralelos y meridianos se cortan perpendicularmente son conformes. APUNTES DE CARTOGRAFIA Profesor Alberto Utreras Valdivia 27 Proyecciones Equivalentes o Equiáreas Debido a que un globo es un modelo de la tierra a escala verdadera, cualquier área de la superficie de la tierra aparece correctamente representada a tamaño relativo sobre su superficie. Son aquellas que conservan correctamente las áreas o superficies, pero ellas no conservan los ángulos correctos distorsionando en consecuencia las formas. En este punto surge un problema: si hemos establecido que ninguna proyección puede mantener constante la escala en todas las direcciones, aquí se establece que la escala ha cambiado en una dirección para compensar el cambio en otra, en la manera justa para mantener las mismas áreas entre paralelos y meridianos que se cortan. De esta forma, cualquier pequeño cuadrado o círculo movido sobre la superficie del mapa determinará una cantidad constante de área de la superficie de la tierra. Las proyecciones equivalentes tienen la propiedad de conservar la misma escala en todo el mapa, entendida la escala en este caso como la relación de área entre mapa y realidad. Es así, como la superficie de cualquier área en el mapa, no sólo está correctamente representada, sino que es proporcional a las restantes áreas del mapa. No sucede lo mismo con su escala lineal, la cual se distorsiona de manera ostensible: así por ejemplo, en el caso de la proyección cilíndrica equivalente, el acercamiento de los paralelos implica necesariamente la deformación de las distancias latitudinales e igualmente se deforma la distancia entre los meridianos, los cuales no son convergentes sino líneas paralelas. Esta característica de las proyecciones equiáreas hace recomendable indicar la relación areal de su escala, a fin de facilitar al usuario el tipo de medición posible de realizar en ellas. En Geografía estas proyecciones son especialmente útiles, dado su propiedad de mostrar las correctas proporciones de las superficies del globo, lo cual facilita las innumerables comparaciones entre un fenómeno y el espacio en que éste se desarrolla, como por ejemplo, la relación entre población, producción, suelos, etc. y la superficie ocupada. En una proyección equivalente, un área que en la realidad puede ser, por ejemplo un cuadrado, aparecerá en la proyección como un rectángulo u otra figura geométrica. Para estos efectos, es igual un cuadrado de 4 x 4 que un rectángulo de 2 x 8; en ambos casos la superficie es 16. APUNTES DE CARTOGRAFIA Profesor Alberto Utreras Valdivia 28 Un buen ejemplo para la comprensión de estas proyecciones equiáreas es la proyección cilíndrica equivalente, la cual mantiene meridianos y paralelos como líneas rectas y paralelas entre sí. Para conservar correctamente las áreas, los paralelos deben acercarse entre sí a fin de reproducir la disminución que se produce en las áreas a medida que se alejan del ecuador. Proyecciones Equidistantes Son aquellas que muestran las distancias correctas. Es imposible lograr que una proyección mantenga en toda su extensión las distancias correctas, lo cual implicaría que su escala lineal fuera constante en todas direcciones. Esta cualidad sólo se logra parcialmente, es decir, que sólo podrán representarse correctamente las distancias en una determinada dirección. En todas las proyecciones se encuentra alguna relación de distancia correcta, pero ésta normalmente no es de gran utilidad cuando la proyección tiene otros fines y las mediciones de distancia son muy limitadas, como en el caso de los ejemplos dados anteriormente. Las proyecciones equidistantes normalmente permiten la medición correcta de distancias a partir de su centro, radialmente hacia el exterior. Como ellas son construidas específicamente para mantener esta cualidad, el centro de la proyección será el punto de interés del mapa, a partir del cual se miden las distancias. Un buen ejemplo de este tipo de proyección es la polar equidistante; en ella uno de los polos terrestres es el punto central, los paralelos son círculos concéntricos equidistantes y los meridianos son líneas rectas que convergen en el polo. Al medir una distancia en esta proyección desde el centro, radialmente hacia el exterior, resulta correcta, dado el distanciamiento constante de los paralelos, tal como lo es en la realidad. El largo de los meridianos es verdadero, no obstante la magnitud de los paralelos se distorsiona. 3.2 SUPERFICIE DESARROLLABLE Algunas superficies geométricas se denominan desarrollables porque, cortadas a lo largo de determinadas líneas, pueden desplegarse o desarrollarse formando una lámina plana. Dos de esas figuras son el Cono y el Cilindro. La tierra, con su forma esférica, pertenece a un grupo de figuras geométricas no desarrollables ya que, independientemente de como sean cortadas, no pueden ser APUNTES DE CARTOGRAFIA Profesor Alberto Utreras Valdivia 29 desarrolladas o desplegadas sobre un plano. En la superficie de un sólido desarrollable puede trazarse una línea recta en una o varias direcciones, pero no es posible trazarla sobre una superficie no desarrollable, como la esfera. Si queremos extender las diferentes partes de una esfera sobre una superficie perfectamente plana, deberemos estirar unas áreas más que otras. Por lo tanto, es imposible realizar una proyección perfecta. Cuando un mapa se refiere a una parte pequeña de la superficie de la tierra, el problema de las proyecciones puede ser ignorado. Si se trazan los paralelos y los meridianos como líneas rectas, cortándose perpendicularmente y con la separación correcta, el error es probablemente tan pequeño como el grosor de las líneas trazadas y no vale la pena corregirlo. Sin embargo, si el área comprendida en el mapa aumenta, el problema se agrava. Cuando intentamos representar el globo completo, aparecen serios inconvenientes. La distorsión sólo puede reducirse hasta un grado razonable si adoptamos un cierto compromiso en el error producido. La necesidad de transformar la red de coordenadas de la superficie esférica a un plano, permite diferentes tipos de construcción según se use un plano directamente o superficies desarrollables en un plano, como lo son el cilindro y el cono. Estas tres superficies auxiliares pueden considerarse variaciones de lacónica, puesto que el cilindro es un cono tangente a un círculo máximo cuyo vértice está en el infinito, y el plano es un cono cuyo vértice es tangente a la superficie. No obstante, cada una de estas superficies auxiliares para construir las proyecciones, da origen a resultados muy diversos, por lo cual ellas permiten otra clasificación de las proyecciones. a. • Cilíndricas • Cónicas • Planas PROYECCIONES CILÍNDRICAS Las proyecciones cilíndricas se basan en el artificio de circunscribir un cilindro alrededor de la esfera terrestre. Dado que, por definición, el cilindro es tangente a un círculo máximo, las proyecciones de esta naturaleza pueden ser ecuatoriales, cuando el cilindro es tangente a la línea APUNTES DE CARTOGRAFIA Profesor Alberto Utreras Valdivia 30 ecuatorial, y serán transversales cuando la superficie auxiliar es tangente a un meridiano. Otra variedad de estas proyecciones cilíndricas son las que utilizan el cilindro secante al globo, con lo cual se obtienen dos círculos de tangencia. Cuando desarrollamos el cilindro cortándolo a lo largo de una de sus generatrices, se transforma en un rectángulo, uno de cuyos lados es la longitud del círculo máximo terrestre (S=2*pi*R). Las proyecciones cilíndricas transfieren primero la red geográfica a un cilindro que envuelva la tierra, desenrollando después el cilindro para formar un mapa plano. Las proyecciones cilíndricas simples son fáciles de realizar, ya que consisten en la intersección de líneas verticales y horizontales. El mapa que resulta de esta proyección es rectangular y puede representar el globo completo. Cuando el cilindro es tangente al Ecuador, los meridianos son líneas verticales equidistantes, y los paralelos tienen una separación variable, dependiendo de la proyección deseada. En todas las proyecciones de este grupo, los paralelos son líneas rectas, cuya longitud es la misma que la del Ecuador, mientras que los meridianos son también líneas rectas paralelas separados entre sí una longitud que es correcta solamente en el Ecuador. Paralelos y meridianos se cortan entre sí ortogonalmente. En la Proyección Cilíndrica Simple (centro de proyección en el centro de la Tierra), y el cilindro tangente al Ecuador. La separación entre paralelos y el Ecuador, vendrá definida solamente por la latitud del paralelo. También podríamos arrollar este cilindro, de forma que fuera secante a dos paralelos. APUNTES DE CARTOGRAFIA Profesor Alberto Utreras Valdivia 31 En la Proyección Cilíndrica Ortomórfica, la separación entre paralelos se hace aumentar progresivamente hacia los Polos. El espaciamiento en este caso se hace de forma que en cualquier punto de la proyección, la escala a lo largo del meridiano sea la misma que la escala a lo largo del paralelo. En la Proyección Cilíndrica Equiárea, la separación entre paralelos irá disminuyendo conforme nos acerquemos a los Polos: La reducción de la escala a lo largo del meridiano es compensada exactamente por el aumento de la escala a lo largo del paralelo. En este tipo de proyección, por ser el ecuador la circunferencia tangente a la superficie auxiliar, la línea ecuatorial no tendrá distorsiones, pero éstas aumentarán a partir de ella hacia los polos. También caracteriza a las proyecciones cilíndricas su capacidad para representar toda la superficie de la Tierra, salvo algunas excepciones. Las proyecciones cónicas y planas sólo pueden representar parcialmente la superficie terrestre. APUNTES DE CARTOGRAFIA Profesor Alberto Utreras Valdivia 32 b. PROYECCIONES CONICAS Las proyecciones cónicas se desarrollan analíticamente, es decir, los valores de ellas se efectúan por formulas matemáticas. Basan su principio en transferir la red geográfica del globo a un cono, que después es desarrollado para formar un plano. Las proyecciones cónicas poseen las siguientes características. a. Los meridianos son líneas rectas que convergen en un punto, en los polos norte o sur. b. Los paralelos son arcos de círculos concéntricos, cuyo centro se halla en los polos norte o sur. c. Una proyección cónica completa es un sector circular, nunca un circulo completo. d. Una proyección cónica no puede representar el globo completo, y normalmente no llega a representar ni un hemisferio. e. El eje del cono coincide con el eje de los polos, y el contacto de cono y esfera se produce a lo largo de un paralelo llamado Tipo (también puede ser secante obteniendo dos paralelos Tipo). 1. Proyección Cónica con un paralelo tipo Se supone el cono tangente a la esfera y el circulo de tangencia queda representado en su verdadera magnitud. Este circulo puede ser un paralelo geográfico. Al desarrollar el cono, los meridianos aparecen como rectas convergentes y con iguales ángulos entre sí; los paralelos son arcos de circunferencia concéntricos cuya distancia puede variar según el sistema de construcción. El paralelo tangente al cono, denominado paralelo base o estándar o tipo queda representado en su longitud real y las distorsiones se producen a partir de él. APUNTES DE CARTOGRAFIA Profesor Alberto Utreras Valdivia 33 2. Proyección Cónica con dos paralelos tipos Algunas proyecciones cónicas utilizan dos paralelos base en cuyo caso el cono será secante al esfera; tienen la ventaja de disminuir las deformaciones al tener dos paralelos representados con su verdadera magnitud. Las proyecciones cónicas son especialmente útiles para la representación de zonas de latitudes medias que se extienden en sentido longitudinal. Así por ejemplo, Canadá y la MEI (ex URSS) son países a los cuales resulta adecuado este tipo de proyección. Entre las Proyecciones Cónicas más importantes citaremos la Proyección Bonne, la Cónica Conforme de Lambert y la Proyección Cónica Equivalente de Lambert. La Proyección de Bonne es un caso particular de la de un paralelo Tipo consiguiéndose una Proyección equiárea. No es exactamente una proyección cónica -puesto que los meridianos no se representan como rectas concurrentes sino como arcos- pero se aproxima bastante al ser los paralelos círculos concéntricos. APUNTES DE CARTOGRAFIA Profesor Alberto Utreras Valdivia 34 APUNTES DE CARTOGRAFIA Profesor Alberto Utreras Valdivia 35 c. PROYECCIONES PLANAS – PERPECTIVAS O ACIMUTALES Una característica de este tipo de proyección, en todas las variedades que ella tiene, es el presentar como líneas rectas todos los círculos máximos que pasan por el centro de la proyección. Ello permite reconocer una proyección plana. Otra característica que las hace reconocibles es su contorno circular; salvo una excepción, todas presentan una circunferencia como línea exterior. Estas proyecciones planas son aptas para representar cualquier área de la Tierra, dependiendo del lugar que se elija como centro de la proyección, como se verá más adelante; normalmente se utilizan para representar un hemisferio completo y excepcionalmente, todo el globo. Las proyecciones planas se denominan también acimutales por su propiedad de representar correctamente el acimut o ángulo referido a la dirección de un punto con relación a otro. El ángulo formado por dos líneas rectas convergentes en el centro de la proyección reproduce correctamente el ángulo de estos círculos máximos en la realidad. Las proyecciones cenitales poseen las siguientes características. a. Toda línea trazada desde el centro a cualquier punto del mapa sigue la orientación de un círculo máximo que va del centro a ese punto. b. Si se representa todo el globo, o un hemisferio, la proyección da lugar a un APUNTES DE CARTOGRAFIA Profesor Alberto Utreras Valdivia 36 mapa circular. Dado que cualquier mapa puede ser cortado en forma circular, esta característica no es un criterio definitivo para reconocer una proyección cenital. c. El mapa posee simetría radial, de manera que todas las características se ordenan en forma concéntrica a partir de su centro. Los cambios de escala y las distorsiones se producen en forma uniforme hacia afuera a partir del centro. d. Todos los puntos equidistantes del centro se sitúan sobre una línea conocida como círculo del horizonte. Cuando se representa la totalidad del globo en un mapa cenital, el borde circular del mismo representa el punto opuesto o antípoda sobre el globo. Cuando se representa un hemisferio, el borde del mapa es un círculo máximo, equidistante del punto en el que se centra la proyección. e. Todos los círculos máximos que pasan por el centro aparecen como líneas rectas en el mapa. Asimismo cualquier línea recta que pase por el centro representará un círculo máximo. Las proyecciones cenitales aparecen en tres posiciones u orientaciones: (1) Proyección Polar: Las polares se caracterizan por presentar uno de los polos como centro de la proyección, los meridianos son líneas rectas convergentes en el polo y los paralelos son circunferencias concéntricas. El distanciamiento de los paralelos varía según el sistema de construcción. Estas proyecciones se utilizan para representar las zonas polares, aunque ellas son capaces de abarcar todo el hemisferio correspondiente. Salvo excepciones, la circunferencia externa es el ecuador. (2) Proyección Ecuatorial: Su punto de intersección es cualquier punto sobre el ecuador. Este tipo de proyección siempre presenta la línea ecuatorial y el meridiano central como líneas rectas; la intersección de ambos es el Centro de la proyección. En ellas aparecen los dos polos representados en los extremos del meridiano central. Los restantes meridianos y los paralelos toman distintas formas según sea el sistema de proyección: pueden ser rectos o curvos. Estas proyecciones se utilizan para representar sectores del globo ubicados en zonas de latitudes bajas y medias; un caso típico que se adapta a esta proyección es el continente africano, el cual es cruzado por el ecuador y avanza algo más de los 30° norte y sur. (3) Proyección Oblicua o inclinada: El centro de la proyección es un punto cualquiera entre el polo y el ecuador, por lo cual aparecerá siempre un solo polo; la distancia de éste al centro de la APUNTES DE CARTOGRAFIA Profesor Alberto Utreras Valdivia 37 proyección varía de acuerdo a la latitud elegida como punto central. Las proyecciones de este tipo se caracterizan por representar el globo como si estuviera mostrado con un dibujo en perspectiva. Sólo el meridiano central es recto, es el único circulo máximo que puede pasar por el centro de esta proyección. Estas proyecciones oblicuas son de mucha utilidad, ya que cualquier lugar de la Tierra puede ser su centro y a partir de él es posible medir direcciones; si además la proyección es equidistante, también permite simultáneamente medir distancias. APUNTES DE CARTOGRAFIA Profesor Alberto Utreras Valdivia 38 3.3 PUNTO DE VISTA DE PROYECCIÓN El traspaso de un punto del globo a un plano desde una determinada perspectiva, se define en cartografía como término "proyectar". Dependiendo del origen de los puntos visuales que intercepten a la esfera dependerá directamente en la posición de un punto sobre el plano de proyección. Los puntos de vista más útiles para proyectar la esfera al plano son tres, los cuales dan origen a distintas proyecciones: a. • Estereográficas : el punto de vista es antípoda del lugar de tangencia del plano. • Ortográficas : el punto de vista está en el infinito. • Gnomónicas : el punto de vista se ubica al centro de la esfera (figura 54). Eslereográficas En las proyecciones estereográficas, las visuales parten de un mismo punto, opuesto al lugar de tangencia del plano; los mismos puntos (A, B, C, D) proyectados bajo esta perspectiva, resultan en el plano con un distanciamiento creciente hacia el exterior. APUNTES DE CARTOGRAFIA Profesor Alberto Utreras Valdivia 39 Propiedades a. Las circunferencias de la superficie de referencia que pasan por los vértices de la proyección se transforman en rectas. El resto se transforman en arcos de circunferencia. b. Esta proyección es conforme, pues guarda los ángulos verdaderos y la escala crece progresivamente hacia los bordes. La escala se mantiene alrededor de cada punto, po lo cual, la figura de la esfera en un sentido infinito se conserva en la proyección, sin embargo, alteran considerablemente las magnitudes areales. ESTEREOGRÁFICA POLAR Formulas x=R φ tg 45 − 2 seno∆λ y=R φ tg 45 − cos ∆λ 2 ESTEREOGRÁFICA OBLICUA x= 2 * R * cos φ sen ∆λ 1 + sen φ 0 + cos φ 0 cos φ cos ∆λ cosφ0 senφ − senφ0 y = 2 * R 1 + senφ0 + cosφ0 cosφ cos ∆λ APUNTES DE CARTOGRAFIA Profesor Alberto Utreras Valdivia 40 b. Ortográficas El punto de vista se encuentra en el infinito, a partir del cual se lanzan proyectantes en dirección normal al plano. En la figura se pueden observar las diferencias que se producen en las visuales según el punto de vista de proyección. En las ortográficas, por ser proyectadas desde el infinito, todas las visuales son paralelas entre sí; los puntos a proyectar (A, B, C, D) se acercan hacia el exterior al ser proyectados en el plano (A', B', C', D'), característica que las hace distintivas, sean polares, ecuatoriales u oblicuas. Propiedades a. Todas las proyectantes son paralelas entre si y perpendiculares al plano de proyección. b. Un segmento no perpendicular se proyecta como una recta de menor longitud. c. Un segmento recto perpendicular al plano de proyección se proyecta como un punto. d. Un segmento recto paralelo al plano de proyección se proyecta de igual magnitud. APUNTES DE CARTOGRAFIA Profesor Alberto Utreras Valdivia 41 Pueden cubrir un hemisferio completo, pero solamente los puntos ubicados cerca del punto tangencial quedaran bien representados. Los extremos presentaran grandes distorciones. POLAR x = R cos φ sen∆λ y = R(cos φ cos ∆λ ) MERIDIANA x = R cos φ y = R (senφ ) sen∆λ OBLICUA x = R cos φ sen∆λ y = R (senφ cos φ 0 − senφ 0 APUNTES DE CARTOGRAFIA cos φ cos ∆λ ) Profesor Alberto Utreras Valdivia 42 c. Gnomónicas Las proyecciones gnomónicas, ubican su punto de vista en el centro de la esfera, a partir del cual lanzan las proyectantes sobre el plano de proyección. a. Muestran los puntos proyectados con un distanciamiento creciente hacia el exterior. b. El punto ubicado a 90° del punto de tangencia no puede ser representado por encontrarse en el infinito, ya que la visual es paralela al plano de proyección. c. Todos los círculos máximos de la esfera se proyectan en línea recta. Se denominan afilacticas, puesto que no conservan ni los ángulos, ni la superficie APUNTES DE CARTOGRAFIA Profesor Alberto Utreras Valdivia 43 PROYECCION GNOMONICA POLAR cos φ x = R senφ cos φ y = − R senφ sen∆λ cos ∆λ PROYECCION GNOMONICA MERIDIANA x = R y = R tg ∆ λ tg ∆ λ cos ∆ λ PROYECCION GNOMONICA POLAR x=R cos φ sen∆λ sen φ senφ + cos φ cos φ cos ∆λ 0 0 senφ cos φ − senφ 0 cos φ cos ∆λ y = R sen φ 0 senφ + cos φ 0 cos φ cos ∆λ APUNTES DE CARTOGRAFIA Profesor Alberto Utreras Valdivia 44