Examen de Algebra 1 Alumno: D.N.I.:

Examen de Algebra 1
7 de Septiembre de 2015
D.N.I.:
Alumno:
Grupo.:
1. (a) Sea X un conjunto y R1 , R2 ⊂ X × X dos relaciones de equivalencia en X. ¿Es R1 ∩ R2 otra
relación de equivalencia en X? Razonar la respuesta.
(b) Razonar si es verdadero o falso que hay exactamente tres números pares, comprendidos entre 1000 y
1500, que tengan resto 8 al dividirlos por 17 y cuya mitad tenga resto 3 al dividirla por 7.
(c) Calcular todos los ideales del anillo cociente Z/I donde I es el ideal de Z dado por I = (84Z +
70Z) ∩ (39Z + 51Z).
(d) Razonar que si A es un anillo conmutativo y u ∈ A es una unidad en A entonces u no puede ser un
Z[i]
divisor de cero en A. ¿Qué puedes concluir entonces de la clase de 1 + i en el cociente (1+2i)
?
(e) Decidir razonadamente si es verdadera o falsa la siguiente afirmación: El anillo Z[x] tiene ideales
propios que no son subanillos y subanillos propios que no son ideales.
2. Dados A, B ⊆ E y se define
f : P(E) −→ P(A) × P(B)
por:
f (X) = (X ∩ A, X ∩ B)
(a) Probar que f es inyectiva ⇐⇒ A ∪ B = E
(b) Probar que f es sobreyectiva ⇐⇒ A ∩ B = ∅
(c) Para el caso en que E = {1, 2, 3, 4}, A = {1} y B = {1, 2}, se considera la relación de equivalencia
∼f inducida por f . Determinar el conjunto cociente P(E)
∼f
3. (a) Resolver en Z[i] el siguiente sistema de congruencias:

 x ≡ 1 + 2i mod 1 + 2i
x ≡
1 + i mod 1 + i

x ≡ −1 + i mod 3i
√
√
(b) Sabiendo que el anillo A = Z[ −2] es un DE respecto de la función norma N (a+b −2) = a2 +2b2 .
i) Razona que A tiene un número finito de unidades.
ii) Halla todos los irreducibles en A con norma menor o igual que 9.
iii) Halla una factorización en irreducibles de 6 ∈ A.
4. (a) Estudia si los siguientes polinomios son irreducibles en Z[x] (Si son reducibles no hace falta factorizarlos):
(a) f1 (x) = x6 + 3x5 − x4 + 3x3 + 3x2 − 3x − 1.
(b) f2 (x) = 5x5 − x4 + 5x2 + 4x − 1.
(c) f3 (x) = x4 − 2x2 − 3.
(b) ¿Cuántos elementos tiene el anillo cociente Z3 [x]/(x5 − x4 − 1)? Calcular el inverso de la clase del
polinomio x2 + 1 ¿Es este anillo cociente un cuerpo? (En caso de no serlo encontrar un polinomio
cuya clase no tenga inverso).