Aritmetica Computacional 2ª Parte

22/03/2012

Arquitectura de Computadoras
Primavera 2012
Ejemplo
Multiplicando
8
1 0 0 0
Multiplicador
9
× 1 0 0 1
1 0 0 0
0 0 0 0
Productos
Parciales
0 0 0 0
1 0 0 0
72
Producto


1 0 0 1 0 0 0
m x n bits = producto de (m + n) bit
Multiplicación binaria es fácil:
0  resulta en 0
1  resulta en una copia del multiplicando



Etapa i acumula A * 2i if Bi == 1
Pregunta: Cuanto Hardware se requiere para una
multiplicador de 32-bit? Cual es el camino critico?
0
A3
A3
A3
A2
A2
A1
0
0
A2
A1
A1


0
En cada estado realice un corrimiento izquierdo ( x 2)
Use el siguiente bit de B para determinar cuando sumar y
correr el multiplicando
Acumule los productos parciales en cada etapa
0
A0
0
0
0
A3
B0
A0
( 0 x multiplicando)
( 1 x multiplicand0)
0
A2
0
A1
0
A0
B0
A3
B1
A0
A3
A2
A2
A1
A1
A0
B1
A0
B2
B2
A3
P7
P6
A2
A1
P5
A3
A0
P4
Prueba
Multiplicador0
P3
P2
P1
P7
P0
Corre a la izquierda el multiplicando por 1 bit
Corre a la derecha el multiplicador por 1 bit
No: < 32 repeticiones
Si: 32 repeticiones

3 2  6
Multiplicador0 = 0
Suma el multiplicando al producto y
guarda el resultado en el producto
repetición
32?
A1
A0
B3
B3
Inicio
Multiplicador0 = 1
A2

Producto
Multiplicador
Multiplicando
0000 0000
0011
0000 0010
0000 0010
0001
0000 0100
0000 0110
0000
0000 1000
0000 0110
0000
0001 0000
P6
P5
P4
P3
P2
P1
P0
Registro para el multiplicando de 64-bit, ALU, Registro para el
Producto de 64-bit, Registro para el Multiplicador de 32-bit
Multiplicador = datapath + control
Corrimiento Izquierdo
Multiplicando
64 bits
Multiplicador
64-bit ALU
32 bits
0000 0110
Producto
Corrimiento
derecho
Escribe
Control
64 bits
Fin
1
22/03/2012
Registro para el multiplicando de 64-bit, ALU, Registro para el
Producto de 64-bit, Registro para el Multiplicador de 32-bit
Multiplicador = datapath + control


Corrimiento Izquierdo
Multiplicando
64 bits
Multiplicador
64-bit ALU

 Muchos de los 64-bits son desperdiciados

  Los bit menos significativos del producto nunca
Corrimiento
derecho
cambian una vez formados

Escribe
Control
64 bits
0
A3
0
0
A2
A1
A2
Inicio

B0
A0
B1
A3
A2
A1
En lugar de realizar el corrimiento al
multiplicando a la izquierda, corre el producto a la
derecha?
0
A0
A1
Los ceros insertados a la izquierda del
multiplicado son corridos (shifted)
32 bits
Producto
A3
La mitad de l0s bits en el multiplicando siempre
son cero
A0
Multiplicando
permanece sin
moverse y el
producto se
mueva a la
derecha.
B2
Multiplicador0 = 1
Prueba
Multiplicador0
3 2  6
Multiplicador0 = 0

Suma el multiplicando con la mitad izquierda
del producto y guarda el resultado en la mitad
izquierda del producto
Corre a la derecha el producto por 1 bit
Corre a la derecha el multiplicador por 1 bit
A3
A2
A1
A0
B3
repetición
32?
Product0
Multiplicador Multiplicando
0000 0000 0011
0010 0000
0010
0001 0000 0001
0010
0011 0000 0001
0010
0001 1000 0000
0010
0000 1100 0000
0010
0000 0110 0000
0010
No: < 32 repeticiones
Si: 32 repeticiones
P7

P6
P5
P4
P3
P2
P1
Fin
P0
Registro para el Multiplicando de 32-bit, 32 -bit ALU,
registro para el producto de 64-bit, registro para el
multiplicador de 32-bit
Multiplicand0
32 bits
Multiplicad0r
32-bit ALU
32 bits
64 bits
El registro del producto desperdicia espacio.

Este espacio desperdiciado corresponde
exactamente al tamaño del registro del
multiplicador
 Solución:
  Combina el registro del multiplicador y el producto
Shift derech0
Product0
Shift Derecho

Control
Escribe
2
22/03/2012
Inicio

Registro para el multiplicando 32-bit, 32 -bit ALU, Registro del Producto de
64-bit, (Registro del Multiplicador 0-bit)
Multiplicador0 = 1
3 2  6
Prueba
Multiplicador0
Multiplicador0 = 0

Multiplicando
Suma el multiplicando con la mitad izquierda
del producto y guarda el resultado en la mitad
izquierda del producto
32 bits
32-bit ALU
Corre a la derecha el producto por 1 bit
Shift Derecho
Producto
(Multiplicador)
64 bits
Control
Multiplicando
0000 0011
1 0010 0011
0010
0010
0001 0001
0010
2 0011 0001
3 0001 1000
0010
0010
4 0000 1100
0010
0000 0110
0010
Escribe
repetición
32?
Producto/Multiplicandor
No: < 32 repeticiones
Si: 32 repeticiones
Fin

En un solo paso se realizan dos acciones: corrimiento a la derecha del
Producto y del Multiplicador (debido a que están combinados)

El resultado requiere un registro especial de 64-bits. En la arquitectura
MIPS este registro es Hi and Lo para la parte izquierda y derecha del
producto

Como lo podemos hacer mas rápido?

Como se puede realizar la multiplicación entre números con signo?

Ejemplo
Multiplicando
-5
1 0 1 1
Multiplicador
3
× 0 0 1 1
1 1 1 1 0 1 1
1 1 1 0 1 1
Productos
Parciales
0 0 0 0 0
0 0 0 0
 La solución mas fácil es convertir los dos números a positivos y recordar
complementar el producto cuando termine la multiplicación (el bit del signo
no se toma en cuanta, por lo cual solo se requieren 31 repeticiones)
 Aplicar la definición del complemento a 2’s
▪ Necesitan realizarse la extensión del signo en los productos parciales y restarlo al final
 El algoritmo de Booth es una forma elegante de multiplicar números con
signo usando el mismo hardware y ahorrando algunos ciclos
Producto

-15
1 1 1 0 0 0 1
Lo único que se debe incluir es la extensión de
signo del multiplicando
▪ Puede manejar múltiples bits al mismo tiempo

El algoritmo Booth disminuye el número de
productos parciales por medio de agrupar los
bits del multiplicador en pares

Dependiendo de la combinación de bits
decide que acción tomar

Acelera la ejecución del multiplicador usando
corrimientos y disminuyendo el número de
productos parciales
Instrucción
Ejemplo
Multiplicación con
mult $s1,$s2
signo
significado
Comentario
Hi:Lo = $s1 × $s2
Multiplica el contenido del
registro S1 por el registro S2
y el resultado es almacenado
en Hi y Lo
Multiplicación sin
signo
Multiplica el contenido del
registro S1 por el registro S2.
multu $s1,$s2 Hi:Lo = $s1 × $s2 Asume que ambos números
son sin signo. El resultado es
almacenado en Hi y Lo
Mueve desde Hi
mfhi $s1
$s1 = Hi
Obtiene la parte alta del
resultado de la
multiplicación
Mueve desde Lo
mflo $s2
$s2 = Lo
Obtiene la parte baja del
resultado de la
multiplicación
3
22/03/2012
Instrucción
and
or
xor
nor
and immediate
or immediate
xor immediate
shift left logical
shift right logical
shift right arithm.
Ejemplo
and $1,$2,$3
or $1,$2,$3
xor $1,$2,$3
nor $1,$2,$3
andi $1,$2,10
ori $1,$2,10
xori $1, $2,10
sll $1,$2,10
srl $1,$2,10
sra $1,$2,10
Significado
$1 = $2 & $3
$1 = $2 | $3
$1 = $2 $3
$1 = ~($2 |$3)
$1 = $2 & 10
$1 = $2 | 10
$1 = ~$2 &~10
$1 = $2 << 10
$1 = $2 >> 10
$1 = $2 >> 10
shift left logical
shift right logical
shift right arithm.
sllv $1,$2,$3
srlv $1,$2, $3
srav $1,$2, $3
$1 = $2 << $3
$1 = $2 >> $3
$1 = $2 >> $3
Comentarios
3 registros ; AND Logico
3 registros; OR Logico
3 registros; XOR Logico
3 registros; NOR Logico
AND reg y constante
OR reg y constante
XOR reg y constante
Corrimiento Izq. por constante
Corrimiento der. por constante
Corrimiento der. (extensión de
signo)
Corrimiento Izq. por variable
Corrimiento der. por variable
Corrimiento aritmético derecho
por variable
Bloque básico

Que se debe introducir en el MSB?

Cuantos niveles se requieren para un shifter de 32-bits?

Que tal si se usan Multiplexores de 4-bits?
A7
A6
A5
A4
sel
A
B
1
0
D
A3
A2
A1
S2 S 1 S0
A0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0

Dos clases de corrimientos:
• lógico - valor recorrido es siempre “0”
"0"
•
msb
lsb
"0"
aritmético – en corrimientos derechos el signo se extiende
msb
lsb
"0"
S0
(0,1)
S1
(0, 2)
S2
(0, 4)
S3
(0, 8)
1
8-bit shifter derecho
0
1
R7
0
1
R6
R5
0
1
1
0
R4
R3
0
1
R2
0
1
0
R1
1
0
Si se agregan conexiones de izquierda a derecha, entonces también se
puede realizar la rotación. (MIPS no incluye rotaciones pero algunas otras
arquitecturas lo soportan)
R0
Technology-dependent solutions: transistor per switch
Extrae 32-bits de 64 bits
Y
SR3
SR2
SR1
SR0
X
D3
Shift derecho
D2
A6
R
D1





Corre A por i bits (sa= cantidad de
corrimiento derecho)
Logico:
Y = 0, X=A, sa = i
Aritmetico? Y = _, X=_, sa= __
Rotación? Y = _, X=_, sa= __
Shift izq.? Y = _, X=_, sa= __
Y
A5
X
32
32
D0
A4
Shift Derecho
32
A3
A2
A1
A0
R
4