Taller IV

FÍSICA III
TALLER: Introducción a la Mecánica Cuántica
Preguntas
1. ¿Qué suposiciones fueron hechas por Planck al abordar el problema de la radiación de cuerpo negro. Analice las consecuencias de
estas suposiciones.
2. Explique cómo debe cambiar el color de un cuerpo caliente a medida que aumenta la temperatura.
3. Empleando la ley de desplazamiento de Wien, calcule la longitud de onda de la intensidad más alta dada por el cuerpo humano.
Empleando esta información, explique por qué un detector infrarrojo sería una alarma útil en tareas de seguridad.
4. Todos los objetos radian energía, pero no somos capaces de ver todos los objetos en un cuarto oscuro. Explique.
5. Algunas estrellas se ven rojas y algunas azules. ¿Cuáles tienen la temperatura superficial más alta? Explique.
6. La teoría de Bohr del átomo de hidrógeno se basa en varias .suposiciones. Estúdielas junto con su significado. ¿Alguna de ellas
contradice la física clásica?
7. Suponga que el electrón en él átomo de hidrógeno obedece la mecánica clásica en vez de la mecánica cuántica. ¿Por qué debe tal
átomo “hipotético” emitir un espectro continuo en lugar del espectro de líneas observado?
8. ¿Puede el electrón en el estado base del hidrógeno absorber un fotón de energía a) menor que 13.6eV y b) mayor que 13.6eV?
9. ¿Por qué las líneas espectrales del hidrógeno di-atómico serían diferentes a las del hidrógeno monoatómico?
10. Explique por qué, en el modelo de Bohr, la energía total del átomo es negativa.
11. Si el efecto fotoeléctrico se observa para un metal, ¿puede usted concluir que el efecto también será observado para otro metal en las
mismas condiciones? Explique.
12. En el efecto fotoeléctrico, explique por qué el potencial de frenado depende de la frecuencia de la luz pero no de la intensidad.
13. Suponga que el efecto fotoeléctrico ocurre en un blanco gaseoso y no en una placa sólida. ¿Se producirán fotoelectrones a todas las
frecuencias del fotón incidente? Explique.
14. ¿Por qué la existencia de una frecuencia de corte en el efecto fotoeléctrico favorece una teoría corpuscular para la luz en vez de una
teoría ondulatoria?
15. ¿Qué tiene más energía, un fotón de radiación ultravioleta o un fotón de luz amarilla?
16. Justifique, haciendo consideraciones de energía, por qué en el efecto Compton la radiación dispersada tiene una longitud de onda
mayor que la radiación incidente.
17. ¿Podemos cambiar el momentum de un fotón sin cambiar su energía? ¿Podemos cambiar la energía de un fotón sin cambiar su
momentum? En cada caso ilustre su respuesta con un ejemplo. (Sugerencia: Note que el momentum es una magnitud vectorial.)
18. ¿Qué fenómeno revela completamente las propiedades del fotón: el efecto Compton o el fotoeléctrico?
19. Mediante el concepto de fotón, explique lo que le sucede a la energía de un átomo cuando la frecuencia de la radiación dispersada es
(a) la misma, (b) menor, (e) mayor que la radiación incidente.
20. Un fotón de rayos X es dispersado por un electrón. ¿Qué pasa con la frecuencia del fotón dispersado relativa a la del fotón incidente?
21. ¿Qué suposiciones hizo Compton al trabajar con la dispersión de un fotón mediante un electrón?
22. Describa la interacción electromagnética mediante el uso de fotones.
23. En qué difiere el efecto Compton del efecto fotoeléctrico?
24. Haga una lista de los dispositivos que le sean familiares que funcionen mediante el efecto fotoeléctrico.
25. Un fotón y un electrón con el mismo momentum ¿Tienen la misma longitud de onda? ¿Tienen la misma energía?
26. ¿Un electrón es una partícula o una onda? Apoye su respuesta citando algunos resultados experimentales.
27. Un electrón y un protón se aceleran desde el reposo a través de una diferencia de potencial ¿Cuál partícula tiene longitud de onda más
larga?
28. ¿Por qué la difracción de Davisson-Germer de los electrones fue un importante experimento?
29. Si la materia tiene una naturaleza ondulatoria, ¿porqué esta característica similar a la de las ondas no se observa en la experiencia
cotidiana.
30. Explique por qué un campo de materia expresado por una onda armónica de amplitud constante no proporciona información sobre la
localización de una partícula. ¿Qué información da exactamente?
31. Analice por qué, si a los niveles atómico y subatómico la materia está compuesta de “partículas” descritas por un campo de materia
localizado (paquete de ondas), una pequeña porción de materia se puede considerar al nivel macroscópico como bolas o granos de
arena.
32. Para mejorar la información acerca de la localización de una partícula, el campo de materia debe corresponder a un paquete de ondas
estrecho. ¿Qué cantidad o cantidades físicas asociadas con la partícula se conocen, por necesidad, con menos exactitud?
33. Las relaciones de incertidumbre son resultado de una deficiencia en los aparatos de medición, una consecuencia del proceso mismo
de medición o una propiedad fundamental de la materia?
34. ¿Por qué es imposible medir simultáneamente con exactitud infinita la posición y velocidad de una partícula?
35. Suponga que un haz de electrones incide sobre tres o más rendijas. ¿Como afectaría lo anterior al patrón de interferencia? ¿El estado
del electrón dependería del número de rendijas? Explique.
36. Al describir el paso de electrones a través de una rendija y su arribo a una pantalla, el físico Richard Feynman dice que “los electrones
llegan en montones, como partículas, pero la probabilidad de arribo de estos montones se determina como la intensidad que las ondas
tendrían. Es en este sentido en el que el electrón se comportan a veces como una partícula y a veces como una onda”. Enuncie este
punto en sus propias palabras.
37. ¿Cómo varían la longitud de onda y la frecuencia del campo de materia de una partícula a medida que aumenta la energía de ésta?
38. Analice el concepto de “partícula” desde el punto de vista de la mecánica cuántica.
39. Un fotón y un electrón con el mismo momentum ¿tienen la misma longitud de onda? ¿Tienen la misma energía?
Problemas
Radiación de cuerpo negro e hipótesis de Planck
1. Calcule la energía, en electrón volts, de un fotón cuya frecuencia es a) 6.2 x 1014 Hz, b) 3.1 GHz, c) 46 MHz. d) Determine las
longitudes de onda correspondientes a estos fotones.
2. a) Suponiendo que un filamento de tungsteno de un foco eléctrico es un cuerpo negro, determine su longitud de onda pico y si su
temperatura es 2 900 K b) ¿Por qué su respuesta al inciso a) sugiere que más energía de un foco se convierte en calor que en luz?
3. Un transmisor de radio de FM tiene una salida de potencia de 150 kW y opera a una frecuencia de 99.7 MHz. ¿Cuántos fotones por
segundo emite el transmisor?
4. La potencia promedio generada por el Sol es igual a 3.74 x1020 W. Suponiendo que la longitud de onda promedio de la radiación solar
sea de 500 nm, determine el número de fotones emitidos por el Sol en 1 s.
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Un cuerpo negro a temperatura T tiene un agujero de diámetro d. Estime el número de fotones por segundo que salen por el agujero
con longitudes de onda entre 1 y 2.
Una lámpara de vapor de sodio tiene una salida de potencia de 10 W. Empleando 589.3 nm como la longitud promedio de esta fuente,
calcule el número de fotones emitidos por segundo.
Utilizando la ley de desplazamiento de Wien, calcule la temperatura superficial de una estrella gigante roja que radia con una longitud
de onda pico de 650 nm.
El radio de nuestro Sol es 6.96 x 108 m, y su salida de potencia total corresponde a 3.77 x 1026 W. a) Suponiendo que la superficie
solar emite como un cuerpo negro ideal, calcule su temperatura superficial. b) Empleando el resultado del inciso a), encuentre la máx
del Sol.
¿Cuál es la longitud de onda pico emitida por el cuerpo humano? Suponga una temperatura del cuerpo de 98.6 F y use la ley de
desplazamiento de Wien. ¿En qué parte del espectro electromagnético se encuentra esta longitud de onda?
Un filamento de tungsteno se calienta hasta 800C. ¿Cuál es la longitud de onda de la radiación más intensa?
El ojo humano es más sensible a la luz de 560 nrn. ¿Qué temperatura de un cuerpo negro radiará más intensamente a esta longitud de
onda?
Una estrella que se aleja de la Tierra a 0.280c emite radiación que tiene una intensidad máxima a una longitud de onda de 500 nm.
Determine la temperatura superficial de esta estrella.
Muestre que a cortas longitudes de onda o bajas temperaturas, la ley de radiación de Planck
I  , T  
2hc 3
5  e

hc
k BT

 1

(Potencia por unidad de área emitida en un intervalo de longitud de onda), predice una reducción exponencial en I(, T) dada por la
ley de radiación de Wien.
2hc 2  hc k T
I  , T  
e
5
El efecto fotoeléctrico. Aplicaciones
14. En un experimento sobre el efecto fotoeléctrico, la fotocorriente es interrumpida por un potencial de frenado de 0.54 V para radiación
de 750 nm. Encuentre la función de trabajo para el material.
15. La función de trabajo para el potasio es 2.24 eV. Si el metal potasio se ilumina con luz de 480 nm, encuentre a) la energía cinética
máxima de los fotoelectrones y b) la longitud de onda de corte.
16. El molibdeno tiene una función de trabajo de 4.2 eV. a) Determine la longitud de onda de corte y la frecuencia de corte para el efecto
fotoeléctrico. b) Calcule el potencial de frenado si la luz incidente tiene una longitud de onda de 180 nm.
17. Un estudiante que analiza el efecto fotoeléctrico a partir de dos metales diferentes registra la siguiente información: i) el potencial de
frenado para los fotoelectrones liberados en el metal 1 es 1.48 eV mayor que para el metal 2, y ii) la frecuencia de corte para el metal
1 es 40% más pequeña que para el metal 2. Determine la función de trabajo para cada metal.
18. Cuando luz de 445 nm incide sobre cierta superficie metálica, el potencial de frenado es 70% del que resulta cuando luz de 410 nm
incide sobre la misma superficie metálica. Con base en esta información y la siguiente tabla de funciones de trabajo, identifique el
metal implicado en el experimento.
Metal
Función de trabajo (eV)
Cesio
1.90
Potasio
2.24
Plata
4.73
Tungsteno
4.58
19. Dos fuentes luminosas se utilizan en un experimento fotoeléctrico para determinar la función de trabajo correspondiente a una
superficie metálica particular. Cuando se emplea luz verde de una lámpara de mercurío ( = 546.1 nm), un potencial de frenado de
1.7 V reduce la fotocorriente a cero. a) Con base en esta medición, ¿cuál es la función de trabajo para este metal? b) ¿Qué potencial
de frenado se observaría al usar luz amarilla de un tubo de descarga de helio (=587.5 nm)?
20. Cuando luz de 625 nm brilla sobre cierta superficie metálica, los fotoelectrones tienen velocidades hasta de 4.6 x108 m/s. ¿Cuáles son
a) las funciones de trabajo y b) la frecuencia de corte para este metal?
21. El litio, el berílío y el mercurio tiene funciones de trabajo de 2.3 eV, 3.9 eV y 4.5 eV, respectivamente. Si luz de 400 nm incide sobre
cada uno de estos metales, determine a) cuál de ellos exhibe el efecto fotoeléctrico y b) la energía cinética máxima para el
fotoelectrón en cada caso.
22. Luz de 300 nm de longitud de onda incide sobre una superficie metálica. Si el potencial de frenado para el efecto fotoeléctrico es 1.2
V, encuentre a) la máxima energía de los electrones emitidos, b) la función de trabajo y c) la longitud de onda de corte.
23. Una fuente luminosa que emite radiación a 7 x1014 Hz es incapaz de arrancar fotoelectrones de cierto metal. Con la intención de
utilizar esta fuente para extraer fotoelectrones del metal, se le da una velocidad a la fuente hacia el metal. a) Explique por qué este
procedimiento produce fotoelectrones. b) Cuando la velocidad de la fuente luminosa es igual a 0.28c, los fotoelectrones empiezan a
ser expulsados del metal. ¿Cuál es la función de trabajo del metal? c) Cuando la velocidad de la fuente luminosa se incrementa a
0.90c determine la energía cínética de los fotoelectrones.
24. Si un fotodiodo se expone a luz verde (500 nm), adquiere el voltaje de 1.4 V. Determine el voltaje que será causado por la exposición
del mismo fotodiodo a luz violeta (400 nm).
El efecto Compton
25. Un fotón de 0.7 MeV se dispersa por medio de un electrón libre de modo que el ángulo de dispersión es el doble del ángulo de
dispersión del electrón (Fig. 1). Determine a) el ángulo de dispersión para el electrón y b) la velocidad final del electrón.
B
Figura 1
26. Rayos X de 0.2 nm de longitud de onda son dispersados en un bloque de carbono. Si la radiación dispersada se detecta a 60 respecto
del haz incidente, encuentre a) el corrimiento Compton y b) la energía cinética dada al electrón de retroceso.
27. Un fotón que tiene una longitud de onda  dispersa a un electrón libre en A (Fig. 2) produciendo un segundo fotón que tiene longitud
de onda ’. Este fotón dispersa después otro electrón libre en B produciendo un tercer fotón con longitud de onda ” que se mueve
en dirección directamente opuesta al fotón original, como en la Figura 2. Determine el valor numérico de  = ” - .
Figura 2
28. En un experimento de dispersión Compton, un fotón se desvía un ángulo de 90 y el electrón se desvía un ángulo de 20. Determine
la longitud de onda del fotón dispersado.
29. Un rayo gama de 0.667 MeV dispersa a un electrón que está ligado a un núcleo con una energía de 150 keV. Si el fotón se desvía a
un ángulo de 180, a) determine la energía y el momento del electrón de retroceso después de que ha sido arrancado del átomo. b)
¿Dónde aparece el momento faltante?
30. Rayos X que tienen una energía de 300 keV experimentan dispersión Compton en un blanco. Si los rayos dispersados se detectan a
37 respecto de los rayos incidentes, determine a) el corrimiento Compton a este ángulo, b) la energía de los rayos X dispersados y c)
la energía del electrón de retroceso.
31. Después de que un fotón de rayos X de 0.8 nm dispersa a un electrón libre, el electrón retrocede a 1.4 x 106 m/s. a) ¿Cuál fue el
corrimiento Compton en la longitud de onda del fotón? b) ¿Qué ángulo se dispersó el fotón?
32. Un fotón de 0.11 nm choca con un electrón estacionario. Después del choque el electrón se mueve hacia adelante y el fotón
retrocede. Encuentre el momento y la energía cinética del electrón.
33. Un fotón de 0.88MeV es dispersado por un electrón libre inicialmente en reposo de manera tal que el ángulo de dispersión del
electrón dispersado es igual al del fotón dispersado ( = en la Figura 3) . Determine a) los ángulos  y , b) la energía y momento
del fotón dispersado y c) la energía cínética y el momento del fotón dispersado.
Electrón
de
retroceso
Fotón
dispersado
Figura 3
34. Un fotón de rayos X de 0.5nm se desvía 134 en un evento de dispersión Compton. ¿A qué ángulo (en relación con el haz incidente)
se encuentra el electrón y el fotón: retroceso?
35. Un fotón de 0.0016nm se dispersa a partir de un electrón libre. ¿Para qué ángulo de dispersión (fotón) el electrón de retroceso y el
fotón dispersado tienen la misma energía cinética?
Transiciones Atómicas. Modelo nuclear del átomo. Teoría de Bohr.
36. Calcule (a) la energía potencial y (b) la energía cinética del electrón de un átomo de hidrógeno como función del número cuántico n,
suponiendo que el electrón se mueve en una órbita circular. (c) Evalúe los coeficientes numéricos. (d) Represente los valores
calculados como función de n para determinar su tendencia a medida que aumenta la energía total del electrón.
37. Calcule la velocidad del electrón en las primeras tres órbitas de Bohr (n = 1, 2, 3).. Rta. 2.18106m/s, 1.09106m/s, 7.28105m/s.
38. La longitud de onda de luz coherente de un láser de rubí es 694nm. ¿Cuál es la diferencia de energía (en eV) entre el estado superior
excitado y el estado inferior no excitado?
39. Mediante una inspección de la ecuación
, (a) explique por qué coinciden ciertos niveles de energía del H, He+ y Li2+
(véase la Figura). (b) ¿Se tiene el mismo radio para las órbitas de cualquier electrón en los tres átomos?
Niveles de energía de H, He+ y Li2+
40. (a) Calcule la energía liberada en la transición n = 2 a n = 1 para el hidrógeno. (b) ¿La separación de energía para la transición n = 3 a
n = 2 es mayor, menor o igual que la energía del inciso (a)? Rta. (a)10.19eV; (b) mucho menor, 1.88eV.
41. Los niveles de energía de los átomos parecidos al helio, cuando un electrón está en el estado fundamental y el otro en uno excitado (n
> 1), se pueden expresar aproximadamente mediante:
Esta expresión supone que el electrón en el estado fundamental apantalla completamente a la carga nuclear y que el electrón que está
en el estado excitado no afecta al del estado fundamental. (a) Discuta la plausibilidad de esta expresión. (b) Calcule los niveles de
energía para el helio cuando n = 2, 3 y 4 y compare el resultado con los valores experimentales de -58.08eV, -56.04eV y -55.37eV,
respectivamente. (c)¿Por qué mejora la precisión de la expresión anterior para E a medida que aumenta n?
42. Un láser de rubí entrega un pulso de 10ns de 1mW de potencia promedio. Si los fotones tienen una longitud de onda de 694.3nm
¿cuántos contiene el pulso?
43. El láser de CO2 (dióxido de carbono) es uno de los más poderosos que se han desarrollado. La diferencia de energía entre los dos
niveles del láser es 0,117eV. Determine la frecuencia y la longitud de onda de la radiación emitida por este láser. ¿En qué parte del
espectro electromagnético se encuentra esta radiación?
44. Un láser tiene sus espejos separados 20cm. El ancho natural de la línea de emisión láser es de 108Hz. Calcule el número de
frecuencias de resonancia que corresponden a esta acción láser.
45. El ancho natural de la línea de Ne cuya longitud de onda es 632.8nm es de 6x10-11m. La cavidad resonante de un láser de He-Ne tiene
una longitud de 30cm. (a) Determine las frecuencias de resonancia de la cavidad que corresponderán a la acción láser.
Partículas y campos: Ondas de De Broglie
46. (a) Calcule la longitud de onda de De Broglie de un electrón cuando su energía es 1eV, 100eV, 1keV y 1MeV. (b) ¿Cuáles de estas
longitudes de onda serían dispersadas significativamente por un cristal de níquel, en el cual la separación atómica es de 0,215nm? (c)
Calcule la energía de los electrones que sufren dispersión tipo Bragg por el cristal a un ángulo de 30. Rta. a) 1,2910-9m; (b)
1,2310-10m, 3,8810-12m, 8,5810-13m; b) los electrones de 1eV y los de 100eV son más dispersados; c) 32,7eV
47. Un haz estrecho de neutrones térmicos producidos por un reactor nuclear incide sobre un cristal cuyo espaciado entre planos de la red
es de 0,16nm. Determine el ángulo de Bragg tal que los neutrones de 2eV sean fuertemente dispersados.
48. Exprese la condición de Bragg para la dispersión de partículas por una red cristalina en términos del voltaje de aceleración y de la
masa de las partículas. Rta. sen = (nh/2d)[2meV]-1/2.
49. Se llaman neutrones térmicos los neutrones que están en equilibrio térmico con la materia a una temperatura dada. Por tanto, los
neutrones térmicos tienen una energía cinética media idéntica a la de las moléculas de un gas ideal a la misma temperatura, o sea
Emed = 3/2kT, donde T es la temperatura absoluta y k la constante de Boltzmann. Dada una temperatura de 100C, o T = 373K, halle:
a) el momentum; b) la longitud de onda de De Broglie promedio de los neutrones térmicos y c) ¿En qué ángulo los neutrones son
dispersados por un cristal de NaCl de separación entre planos d = 2,8210-10m?
50. Un haz de electrones con una longitud de onda de De Broglie de 10-5m pasa por una ranura de 10-4m de ancho. Calcule la dispersión
angular introducida por la difracción producida por la ranura. Rta. 5,7.
.
51. Demostrar que el cociente entre la longitud de onda de de Broglie y la de Compton para una misma partícula es igual a
52. El haz de partículas utilizado para sondear una estructura atómica debe tener longitudes de onda menores que el objeto que va a ser
estudiado. Calcule la mínima energía de partícula si se utilizan (a) fotones, (b) electrones y (c) protones para sondear un núcleo cuyo
diámetro es 10-14m y un nucleón (diámetro 10-15m).
53. Calcule la longitud de onda de De Broglie para un electrón que tiene una energía cinética de a) 50 eV y b) 50 keV.
54. Después de aprender de acuerdo con la hipótesis de De Broglie que las partículas de momentum p tienen características de onda con
longitud de onda  = h/p, a un estudiante de 80kg le ha interesado mucho saber si se difractará cuando pase por el claro de una puerta
de 75cm de ancho. Suponiendo que ocurrirá una difracción importante cuando el ancho de la apertura de difracción sea menor que 10
veces la longitud de onda que se está difractando, a) determine la máxima velocidad a la cual el estudiante puede pasar a través del
claro de la puerta para que se difracte de manera considerable. b) ¿Con esa velocidad, cuánto tardará el estudiante en atravesar la
puerta si ésta tiene 15cm de espesor? Compare su resultado con la edad aceptada del universo, la cual es de 41017s. c) ¿Le debe
preocupar a este estudiante ser difractado? Rta. a) 1,1010-34; b) 1,361033s c) No. El tiempo es mayor que 105(edad del universo)
55. La capacidad de visión, o resolución, de la radiación se determina por su longitud de onda. Si el tamaño de un átomo es del orden de
0.10nm, ¿qué tan rápido debe viajar un electrón para tener una longitud de onda lo suficientemente pequeña para “ver” un átomo?
56. Calcule la longitud de onda de De Broglie correspondiente a un protón que se acelera a través de una diferencia de potencial de
10MV.
57. La distancia entre átomos adyacentes en cristales es del orden de 0,10nm. El empleo de electrones en estudios de difracción de
cristales requiere que la longitud onda de De Broglie de los electrones sea del orden de la distancia entre los átomos de los cristales.
¿Cuál debe ser la energía mínima (en eV) de los electrones que van a emplear con estos fines?
58. Para un electrón que se va a confinar en un núcleo, ¿su longitud de onda de De Broglie tendría que ser menor que 10-14m. a) ¿Cuál
sería la energía cinética de un electrón confinado en esta región? b) Con base en este resultado, esperaría encontrar un electrón en un
núcleo?
59. En el experimento de Davisson-Germer, electrones de 54eV se difractaron en una retícula de níquel. Si se observo el primer máximo
en el patrón de difracción en  = 50 (Figura), ¿cuál es el espaciamiento de la retícula d? Rta. 2,18nm.
60. Robert Hofstadter ganó el premio Nóbel de física por su trabajo pionero en la dispersión de electrones de 20GeV en núcleos, a) ¿Cuál
es el factor  para un electrón de 20GeV, donde  = (1 – v2/c2)1/2? ¿Cuál es el momentum del electrón en kgm/s? b) ¿Cuál es la
longitud de onda de un electrón de 20GeV y cómo se compara con el tamaño del núcleo?
61. Se aceleran electrones a través de 40000V en un microscopio electrónico. ¿Cuál es, teóricamente, la distancia observable más
pequeña entre objetos? Rta. 6,03pm.
62. Experimento de Davisson–Germer; La separación entre los planos de un cristal de Ni es de d = 0,215nm. Se encontró un máximo en
la dispersión de electrones a 50° respecto al plano incidente. (a) ¿Cuál es la longitud de onda correspondiente a los electrones? (b) Si
los electrones estaban acelerados con una diferencia de potencial de 54eV, ¿cuál es la longitud de onda de De Broglie
correspondiente? (c) ¿Qué hubiese pasado si el voltaje aplicado era de 30V?
63. Ordenar de menor a mayor las siguientes longitudes de onda de De Broglie: (a) un electrón acelerado con 1V. (b) un sandwich de
milanesa viajando a c/2. (c) un electrón acelerado con 100MV. Rta,: (a) a, b, c; (b) a, c, b; (c) b, c, a; (d) b, a, c; (e) ninguna de las
anteriores
64. Supongamos que queremos estudiar un núcleo de 14fm de diámetro usando difracción de partículas. ¿Qué energía cinética
necesitamos si la partícula difractada es: (a) un electrón. (b) un protón. (c) una partícula alfa.
Principio de incertidumbre de Heisenberg
65. La velocidad de un nucleón en la dirección X se mide con una precisión de 10-7m/s. Determine el límite de precisión con que la
partícula puede localizarse simultáneamente (a) en el eje X y (b) en el eje Y. Repita el ejercicio para un electrón. Rta. a) 0,63m; b)
0m, totalmente determinable.
66. La posición de un electrón está determinada con una incertidumbre de 0,01nm. (a) Calcule la incertidumbre en el momentum. (b) Si
la energía del electrón es del orden de 1keV, estime la incertidumbre en su energía. Repita el ejercicio para un protón confinado en un
diámetro nuclear (10-14m) con una energía del orden de 2MeV.
67. Calcule la anchura de línea y la dispersión de frecuencia para un pulso de 1 nanosegundo (10-9s) proveniente de un láser de rubí ( =
6,310-7m). Rta. 2,1210-13m; 1,6108Hz.
68. Se ha estimado el “radio” del electrón como 2,8210-15m. Éste se puede considerar como la máxima precisión con la que se puede
medir la posición de un electrón. (a) ¿Cuál es la máxima precisión con la que se puede medir su velocidad? (b) Repita el cálculo para
un protón cuyo “radio” es al menos 1000 veces mayor que el de un electrón. ¿Qué conclusión infiere? (c) ¿Cuál movimiento de las
dos partículas se puede describir mejor mediante la mecánica clásica? Rta. a) p = 3,7210-20kgms-1, que hace que el movimiento del
electrón sea altamente relativista; b) p ~ 3,7210-7kgms-1, el protón sería también relativista.
69. Los electrones de un tubo de televisión son acelerados a través de una diferencia de potencial de 104V. Suponiendo que parten del
reposo, ¿cuál es el cociente de su incertidumbre en la velocidad entre su energía final? Rta. 510-5V, donde V es la incertidumbre
en el voltaje de aceleración.
70. Una fuente luminosa se usa para determinar la localización de un electrón en un átomo hasta una precisión de 0.05nm. ¿Cuál es la
incertidumbre en la velocidad del electrón? Rta. 1,16Mm/s o más.
71. Suponga que un electrón está confinado dentro de un núcleo de 5.010-15m de diámetro. Emplee el principio de incertidumbre para
determinar si este electrón es relativista o no relativista. b) Si este núcleo contiene sólo protones y neutrones, ¿algunas de éstas son
partículas relativistas? Explique. Rta. a) Relativista; b) no necesariamente relativista, se podrían mover tan lentamente como 0,021c.
72. Un electrón (m = 9,1110-31kg) y una bala (m = 0,020kg) tienen cada uno una velocidad de 500m/s, con una precisión hasta dentro de
0.010%. ¿Dentro de qué límites se podrían determinar las posiciones de los objetos?
73. Una mujer sobre una escalera tira pequeños perdigones hacia una mancha sobre el piso. a) Muestre que, de acuerdo con el principio
de incertidumbre, la distancia errada debe ser al menos de
donde H es la altura inicial de cada perdigón sobre el
suelo y m es la masa de cada uno. b) Si H= 2.0 m y m= 0.50 g, ¿cuál es x? Rta. b) 1,8410-16m.
74. Si se comprime un gas confinado en un recipiente, aumenta la temperatura y por lo tanto, las moléculas se mueven más rápido. ¿Esto
está relacionado con el principio de incertidumbre?
75. Un electrón está confinado en un átomo de 1A de diámetro. (a) ¿Cuál es la incertidumbre en el momento del electrón? (b) ¿a qué
energía corresponde? (c) ¿cuál es la mínima energía que podría tener si el diámetro fuera 5 veces mayor? (d) repetir el problema para
un núcleo de 10−14 m de diámetro.