348_04 094 P. Rodr™guez.. - Sociedad Española de Historia de la
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Actas del Cuarto Congreso Nacional de Historia de la Construcción, Cádiz, 27-29 enero 2005, ed. S. Huerta, Madrid: I. Juan de Herrera, SEdHC, Arquitectos de Cádiz, COAAT Cádiz, 2005. La influencia de las matemáticas en la evolución de los tipos estructurales. De los orígenes al Renacimiento Pablo Rodríguez-Vellando Julia Álvarez Isabel Martínez Cristina Vázquez La filosofía está escrita en ese vasto libro que está permanentemente ante nuestros ojos (me refiero al universo), que sin embargo no puede entenderse si no se ha aprendido a comprender su lenguaje y a conocer el alfabeto en el que está escrito. Y está escrito en el lenguaje de las matemáticas, cuyo guión es el de los triángulos, círculos y otras figuras geométricas sin las que sólo podríamos vagar por mazmorras tenebrosas. Galileo Galilei, 1564–1642. Il Saggiatore, VI, 232 MATEMÁTICAS Y TECNOLOGÍA La evolución de la historia de las matemáticas está íntimamente ligada al desarrollo de los fundamentos teóricos en los que se basa la tecnología. Cualquier disciplina científico-técnica está cimentada en las matemáticas. En términos del lenguaje matemático se escriben las leyes fundamentales que gobiernan estas disciplinas y gracias a las matemáticas somos capaces de resolver las ecuaciones diferenciales que gobiernan los fenómenos físicos que las caracterizan. En muchos casos la frontera entre la investigación puramente matemática y la investigación físico-tecnológica es difusa. Es muy frecuente que muchos de los grandes avances en la historia de las matemáticas se hayan realizado como medio para resolver cuestiones prácticas de la física y la ingeniería. En este sentido me gustaría recordar aquí unas palabras del matemático ruso Pafnuty Chebyshev (1821–1894), cuya labor científica estuvo fundamentalmente dedi- cada al calculo diferencial e integral, la estadística, la teoría de números y las aplicaciones físicas de la matemática. La cita de Chebyshev dice lo siguiente: ...la aproximación mutua de los puntos de vista de la teoría y la práctica conlleva muchas consecuencias beneficiosas, y no es sólo el lado práctico el que obtiene beneficios; bajo su influencia, las ciencias se desarrollan descubriendo nuevos objetos de estudio o nuevos aspectos sobre temas sobradamente conocidos. A pesar del gran avance de las ciencias matemáticas debido a los trabajos de matemáticos sobresalientes de las últimas décadas, la práctica revela claramente su imperfección en muchos aspectos; sugiere problemas esencialmente nuevos para la ciencia y nos reta en la búsqueda de nuevos métodos. Si la teoría gana mucho cuando las nuevas aplicaciones o desarrollos de los viejos métodos tienen lugar, el beneficio es aún mayor cuando los nuevos métodos se descubren; y aquí la ciencia encuentra una guía fidedigna en la que confiar... MATEMÁTICAS Y CONSTRUCCIÓN Si esta relación entre matemáticas y tecnología es un hecho conocido y manifiesto, la relación entre matemáticas y construcción es especialmente estrecha e imbricada. Para empezar, las leyes fundamentales de la estática y de cualquier otra cuestión técnica relacionada con la construcción se sustentan sobre cimientos matemáticos. Pero además las matemáticas no sólo gobiernan los fundamentos de la construcción sino que son las responsables últimas de la esté- 978 P. Rodríguez-Vellando, J. Álvarez, I. Martínez, C. Vázquez tica de las construcciones además de serlo de su estática. No vamos a negar aquí la influencia que en la forma de construcción tienen el uso de los distintos materiales, los procedimientos de construcción, las necesidades del momento histórico, las imposiciones del medio o las tendencias artísticas, pero en último caso cada uno de estos factores está gobernado por el estado del arte de la ciencia y la tecnología en ese momento histórico, cuya evolución supone un substrato subyacente a la evolución de todo lo demás. Y como substrato de la evolución de la ciencia y la tecnología está el de la ciencia que las gobierna a todas, la matemática. Vamos a hablar aquí de algunos de los hechos más importantes que hasta el Renacimiento demuestran la íntima relación anteriormente expuesta y que pone de manifiesto la importancia de la formación en las ciencias exactas aplicadas de nuestros ingenieros y arquitectos. Sólo mediante un conocimiento de los fundamentos matemáticos básicos se puede entender el porqué y el cómo de la construcción. ORÍGENES DE LAS MATEMÁTICAS Y LA CONSTRUCCIÓN. MESOPOTAMIA Y EGIPTO La evolución en la historia de las matemáticas, y de las ciencias en general, se considera en muchas ocasiones, como una sucesión de descubrimientos puntuales, y con frecuencia afortunados, de científicos individuales que realizan sus hallazgos de manera casual, y aislada del resto del mundo científico. Nada más lejos de la realidad. El proceso científico supone más bien el resultado de un trabajo constante y a menudo infructuoso, que se basa en los descubrimientos de muchos científicos anteriores y que en algunos casos constituye simplemente la culminación de la labor de éstos. El desarrollo de las disciplinas tecnológicas no es ajeno a lo anterior. En primer lugar están basadas en los desarrollos científicos de las ciencias en las que se apoyan y en ese sentido dependen de los hallazgos anteriores en esas disciplinas. Por otro lado la construcción en un momento histórico no puede entenderse sin comprender antes su contexto científico, tecnológico, histórico y artístico y la evolución anterior de todos ellos. El hombre tiene la necesidad de construir desde el momento en que precisa de un lugar donde guarecerse para resguardarse de las inclemencias del tiempo y defenderse del medio natural y humano que le rodea, pero el hito fundamental que marca la necesidad de desarrollar la construcción es la creación de la sociedad urbana, que surge en algún momento anterior al año 3.000 a.c.. En ese periodo de la historia la sociedad rural, basada en la economía de autoconsumo, da paso a una sociedad urbana en la que existe una especialización del trabajo, surgen así los artesanos, los soldados, los sacerdotes, los escribas, y también los constructores, que manufacturan los edificios públicos y privados y la red de infraestructuras hidráulicas y de comunicación. En cualquier caso el conocimiento de estos primeros constructores (y también el de otros muchos a lo largo de la historia) era fundamentalmente empírico y por ello basado más en la experiencia que en un conocimiento formal del estado del arte de la resistencia de materiales, la teoría de estructuras, la hidráulica, la física y las matemáticas. No obstante el poso que el conocimiento científico de cada época deja en la comunidad que lo sustenta, influye en mayor o menor medida en las actuaciones de los constructores de cada periodo histórico. La historia de las ciudades es la historia de su arquitectura y su ingeniería. Echando una mirada atenta a nuestras calles podemos adivinar el pasado histórico de las ciudades, sus periodos de auge, apogeo y crisis, la evolución de su población y las sucesivas culturas que han dominado su territorio. No se construye de manera ajena al momento histórico, sino que cada periodo tiene sus materiales, su tecnología constructiva, su estética y sus necesidades. Y todos ellos están interrelacionados. La evolución tecnológica en la construcción lleva aparejada en muchos casos un progreso en la ciencia de las matemáticas. Los hitos importantes del desarrollo matemático y el desarrollo constructivo coinciden en muchos casos en el lugar y en el tiempo a lo largo de la historia, y no pueden entenderse los unos sin los otros y los otros sin los unos. Tradicionalmente se sitúa los orígenes tanto de las matemáticas como de la ingeniería y la arquitectura occidental en los valles fértiles de Mesopotamia y el Nilo en el tercer milenio a. c.. Babilonia Las primeras noticias sobre estudios serios en el campo de las matemáticas nos vienen de la Civiliza- La influencia de las matemáticas en la evolución de las estructuras ción Babilónica, cuya época de mayor esplendor se sitúa entre el tercer y el segundo milenio antes de Cristo. En Babilonia se conocían los números racionales y se resolvían ecuaciones algebraicas, sistemas de ecuaciones lineales y ecuaciones de segundo y tercer grado. En los orígenes de las matemáticas se dedicó especial importancia a los problemas de geometría métrica. El sistema numérico utilizado en Babilonia era sexagesimal y la escritura de tipo cuneiforme. En estos caracteres se han hallado numerosas tablas de arcilla que tratan la resolución de diversos problemas geométricos relacionados con la construcción, como son la resolución de triángulos, la cubicación del movimiento de tierras o el cálculo de volúmenes de estructuras de fábrica. No conocemos demasiado de las construcciones desarrolladas en Mesopotamia alrededor de las ciudades de Babilonia y Nínive debido a que han desaparecido casi en su totalidad. Sin embargo nos han llegado referencias a través de griegos y romanos y en particular de Herodoto, Diodoro, Plinio el viejo y Estrabón. Según Plinio la muralla de Babilonia tenia unos 100 km de largo y unos 60 metros de alto y según Diodoro un túnel de fábrica subterráneo cruzaba de orilla a orilla el Eúfrates en Babilonia. Estas informaciones no han sido demostradas nunca con hallazgos arqueológicos, sin embargo, estos mismos hallazgos han demostrado la existencia de numerosas y 979 muy importantes obras de edificación, de abastecimiento y saneamiento, de regadío e infraestructuras de comunicación. Egipto En el antiguo Egipto la matemática alcanzaría un desarrollo muy notable, aunque probablemente no tan brillante como en Mesopotamia. Los grandes proyectos constructivos de la civilización egipcia se llevaron a cabo, como no podía ser de otra forma, durante las tres grandes etapas de apogeo de la civilización egipcia. En el primer periodo (entre los años 2.700 a 2.200 a.c.) se construyen las grandes pirámides, en el segundo periodo (2.000 a 1.800 a.c.) se llevan a cabo los grandes proyectos hidráulicos de la doceava dinastía, y durante el tercero, entre los años 1.600 y 1.300 a.c. se construyeron los templos de Luxor y Karnak. Para todo ello era necesario tener un conocimiento de los fundamentos de matemáticas. Y los egipcios los tenían. En el antiguo Egipto se utilizaba un sistema jeroglífico en base decimal, conocían los números racionales, las ecuaciones algebraicas y eran capaces de resolver un buen número de problemas geométricos en los que destacaron especialmente y que serían la base el desarrollo de la geometría griega. Figura 1 Cálculo del volumen de una pirámide truncada en escritura jeroglífica (papiro de Moscú). Pirámides de Ghiza(El Cairo) 980 P. Rodríguez-Vellando, J. Álvarez, I. Martínez, C. Vázquez LA ETAPA CLÁSICA. GRECIA Y ROMA Grecia El progreso que experimentó la ingeniería y la arquitectura durante la hegemonía de la Grecia Clásica en el Mediterráneo fue asombroso, y lo fue al mismo tiempo que las ciencias se desarrollaron de forma sorprendente. Con anterioridad al siglo VI a.c. no existían teorías generales sobre los fenómenos de la naturaleza ni se contaba con las herramientas matemáticas básicas con las que estudiarlos y preverlos. Ni siquiera había una conciencia clara sobre el hecho de que los fenómenos naturales tuvieran que estar sujetos a una serie de reglas y fueran susceptibles de ser previstos. Uno de los grandes hitos de la historia de las ciencias sitúa a los griegos como descubridores de la ciencia misma, entendiendo como tal el hecho de que existan reglas generales que rigen el funcionamiento de la naturaleza y que esas reglas se puedan escribir en términos del lenguaje de las matemáticas. Durante el siglo III a.c. se establecerán en Grecia algunos de los principios básicos de esta ciencia que son admitidos hasta hoy. Partiendo de la tradición babilónica y egipcia, a la Grecia Clásica debemos el desarrollo de los números irracionales, la trigonometría, la geometría métrica y la teoría de números. En la Grecia Clásica sigue teniendo un papel primordial la geometría, para así poder resolver cuestiones relacionadas con la construcción y la agrimensura. Un ejemplo de la aplicación de la geometría a la construcción es el desarrollo de la Topografía. Los griegos utilizaban teodolitos parecidos a los de hoy, como el Groma y el Dioptra, para conseguir materializar las obras proyectadas. El encargado del diseño y la construcción de las obras en Grecia era el architecton. Los architecton no aprendían su profesión en ninguna escuela especializada sino como resultado de los conocimientos y experiencias transmitida por sus maestros. Los órdenes arquitectónicos considerados correctos y las proporciones más adecuadas de casi cualquier elemento arquitectónico estaban claramente determinadas y el architecton era capaz de trasladar esa misma proporción adaptada a las dimensiones del proyecto en cuestión. En este sentido era aceptada de manera general la proporción áurea, de la que luego hablaremos. Algunos de los matemáticos más importantes de la Antigua Grecia fueron Tales, Pitágoras, Eudoxo, De- mócrito, Euclides, Arquímedes y Apolonio. De Tales de Mileto (624–548 a.c.) se dice que fue el primer matemático auténtico, debido a la organización deductiva que utilizaba en sus desarrollos matemáticos. A él se atribuyen los cinco Teoremas de Tales relativos a cuestiones sobre geometría plana. Diógenes Laercio, Plinio y Plutarco relatan que Tales midió la altura de las pirámides de Egipto observando las longitudes de sus sombras en el momento en que la sombra proyectada por un palo vertical era igual a su altura. Cierto o no el relato, esta anécdota y otras más atribuidas a Tales nos da idea de la estrecha relación que ligaba la construcción y los antecedentes de la topografía con el desarrollo de las matemáticas. Pitágoras (569–475 a.c.), discípulo de Tales, funda la escuela pitagórica, de carácter comunal y secreto, que perseguía el desarrollo de los estudios filosóficos y matemáticos como base moral para la dirección de la vida. Hasta Pitágoras y su escuela las matemáticas se acababan limitando a una serie de recetas numéricas aplicables a cuestiones de contabilidad, construcción o agrimensura. Con la Escuela Pitagórica las matemáticas («aquello que se aprende») adquieren una estructuración intelectual que las liga íntima e irremisiblemente con la filosofía («el amor a la sabiduría»), lo cual le otorga categoría de disciplina científica frente al carácter más práctico que había tenido en las etapas anteriores. En este sentido las matemáticas pasan a estar menos ligadas en esta época con la praxis de la construcción y pasan por otra parte a adquirir un cierto carácter, podríamos decir que hasta, esotérico, místico o incluso sagrado. El así llamado Teorema de Pitágoras era conocido en Babilonia aunque se deba a la escuela Pitagórica su demostración formal. También se atribuye a Pitágoras el descubrimiento de la sección áurea o divina proporción. Se conoce como razón aúrea o divina proporción a la relación que existe entre la diagonal de un pentágono regular y su lado, o lo que es lo mismo la división que de una de las diagonales hace otra secante a ella (fig. 2). El valor numérico de esta razón, que se suele representar con la letra griega , es . 1 + 5 = ————— 2 La sección áurea, que en tiempos de los griegos se conocía simplemente como la sección, era continuamente utilizada en ingeniería y arquitectura y son nu- La influencia de las matemáticas en la evolución de las estructuras Figura 2 Sección áurea. El Partenón de Fidias, Ictinio y Calícrates (s. V a.c.) merosos los ejemplos que nos quedan en construcción del uso de estas proporciones consideradas como armoniosas y agradables a la vista. De hecho los órdenes clásicos están llenos de «claves áureas» de forma que es la proporción más comúnmente utilizada desde las dimensiones de la fachada (como en el Partenón) al último elemento decorativo. Fundamental fue la labor desarrollada por Euclides (325–265 a.C.), autor de Elementos, el tratado de matemáticas más completo de la antigüedad que siguió siendo utilizado como «biblia» de las matemáticas hasta finales de la Edad Media y Arquímedes (287–225 a.C.) con descubrimientos fundamentales en cálculo, geometría y mecánica. Roma La civilización griega no tuvo en general un poder político centralizado como ocurrió en la civilización romana. Las necesidades de organización política, económica y social del Imperio Romano requerirán la construcción de una serie de obras de ingeniería y arquitectura de gran envergadura que antes no habían sido necesarias. Así los ingenieros romanos logran importantes desarrollos en ingeniería hidráulica, edificación, construcción de infraestructuras de comunicación y minería, fundamentales todas ellas para la sociedad urbana sobre la que se asientan. Uno de los rasgos más destacados del legado de Roma a la civilización occidental es el desarrollo de una red de infraestructuras y edificios públicos que ha perdurado durante muchos siglos y que en muchos casos permanece incluso en uso en el momento actual. La Civilización Romana no destaca en cambio por desa- 981 rrollos científicos especialmente importantes. Por el contrario la civilización Griega, con la que coexiste durante varios siglos, seguiría dando lugar a un importante desarrollo de las disciplinas científicas y en particular de las matemáticas. Aunque Roma acabe por conquistar militarmente Grecia se dejará conquistar en cambio por su cultura y su ciencia. Los ingenieros romanos estaban sensiblemente más preocupados por los aspectos prácticos que por los teóricos o incluso los estéticos. Aunque copiarán de los griegos los modelos arquitectónicos en cuanto a materiales, procedimientos y estética, la preocupación fundamental de los ingenieros romanos es la funcionalidad de las obras que construyen. La profesión de architectus era muy bien considerada socialmente y los emperadores reclutaban a jóvenes que mostraran buenas aptitudes para formarles como ingenieros, y sufragaban esa formación, entre la que se incluía una cierta instrucción en matemáticas. De entre ellos fueron especialmente notables las figuras de Vitrubio al servicio del emperador Augusto, autor del famoso tratado sobre ingeniería y arquitectura, Agripa, ministro de Augusto e ingeniero, Severo ingeniero de Nerón, o Apolodoro al servicio de Adriano. El estrato social de procedencia de este «cuerpo de ingenieros» era variopinto, así encontramos ingenieros procedentes de familias patricias y plebeyas, ciudadanos romanos, libertos e incluso esclavos. A pesar de la existencia de esta especie de escuelas para la formación de ingenieros, los conocimientos formales con que contaban éstos eran en muchos casos bastante deficientes. Son palabras de Vitrubio las que defienden que un ingeniero debía tener un riguroso conocimiento de las ciencias y las artes, pero probablemente con estas palabras expresaba una situación deseable más que el estado real de las cosas. Las matemáticas de Euclides y Arquímedes aunque sobradamente conocidas en Roma no eran muchas veces conocidas suficientemente por los ingenieros, que se limitaban a tener en muchos casos unos conocimientos mínimos de aritmética, por otro lado bastante engorrosa en el sistema de numeración romano. En la mayor parte de los casos los ingenieros romanos hacían caso omiso de la geometría plana que tanto había sido estudiada en la Grecia Clásica y en muchos otros desconocían incluso la trigonometría y se limitaban a obtener aproximaciones para la medición de áreas superponiendo mallas ortogonales. 982 P. Rodríguez-Vellando, J. Álvarez, I. Martínez, C. Vázquez Figura 3 Coliseo de Roma (80 d.c.). Puente de Alcántara s. I El arco utilizado por los romanos fue en casi la totalidad de las obras proyectadas de medio punto. El arco romano se trataba pues de un arco semicircular, en algunos casos algo rebajado, que si bien trabajaba como tal no era especialmente refinado a la hora de reducir los flectores y trabajar a compresión. De hecho, los Romanos utilizaban muy raramente las cónicas en general, y las parábolas en particular, como elemento estructural. Por el contrario sí que era relativamente frecuente la utilización de arcos elípticos o parabólicos u otro tipo de curvas como las espirales de Arquímedes en elementos constructivos en planta o detalles decorativos. Así por ejemplo el Coliseo de Roma (inaugurado por el emperador Tito en el año 80 d.c.) es una elipse (de semiejes 94 m x 78 m) casi perfecta en su planta. Aunque probablemente sus proyectistas desconocían las propiedades fundamentales de las cónicas, descubiertas casi en su totalidad por los matemáticos griegos, sí que eran conocedores de algunas de sus propiedades y eran capaces de trazar las elipses por el llamado «método del jardinero». Hasta el nacimiento de la geometría analítica de Descartes (1596–1650) y Fermat (1601–1665) no será posible trabajar analíticamente con las cónicas y el resto de los elemento geométricos. A pesar de lo contundente de las obras que llevaron a cabo, los Romanos no tenían un conocimiento básico de lo que hoy conocemos como resistencia de materiales, ni siquiera de los fundamentos de la estática, que no aparecerán hasta el Renacimiento. Es cierto que hay una infinidad de ejemplos que dan fe de cómo los romanos eran unos hábiles constructores que conocían las reglas fundamentales de la construcción, pero también es cierto que en sus obras se movían casi siempre del lado de la seguridad no reparando demasiado en los costes de materiales y mano de obra. Probablemente no eran demasiado conscientes de que la resistencia de un arco depende no sólo de su sección, sino también de su forma, pero sí que tenían una cierta idea intuitiva de cómo trabajaban las estructuras y de cuál era la forma más correcta de distribuir las cargas. MATEMÁTICAS Y CONSTRUCCIÓN EDAD MEDIA EN LA Figura 4 Coliseo de Roma (80 d.c.). Ecuación analítica de su elipse Las invasiones bárbaras, sumen al continente europeo en una profunda decadencia en los ámbitos cultural, científico y tecnológico y habrá que esperar al Renacimiento para asistir al resurgimiento de las artes, la ciencia y la tecnología. Durante gran parte de la Edad Media la vanguardia de la ciencia penetra en Europa a través del Islam, donde se conservan los conocimientos científicos de la antigüedad y se avanza en el estudio de las ciencias en general y de las La influencia de las matemáticas en la evolución de las estructuras Figura 5 Catedral de Reims (1300). Catedral de Burgos (1260) Figura 6 Ecuaciones analíticas de un arco de medio punto y apuntado 983 matemáticas en particular. Al Islam se deben numerosos avances relacionados con el Álgebra y el Cálculo. Es por ello por lo que durante la Edad Media los reinos cristianos de España tienen un papel importante como nexo de unión entre la cultura científica transmitida por el Islam desde Al-Andalus y el resto de la cristiandad. Como excepción a este paisaje de sequía matemática cabe destacar la figura de italiano Fibonacci (1170–1250). No será hasta finales de la Baja Edad Media cuando los reinos cristianos de occidente tomen de los musulmanes el relevo de la tradición greco-latina y consigan hacer renacer primero, y llevar mucho más lejos después, el desarrollo científico. Este «olvido» de la tradición científica durante la Edad Media no significa que sus ingenieros no nos hayan dejado algunas de las construcciones más significativas de la historia de la arquitectura y la ingeniería. Los protagonistas de estos grandes avances constructivos de la Edad Media fueron un gremio de maestros de obras carentes, en general, de formación académica de ningún tipo y en muchos casos iletrados. Aunque mejor considerados socialmente que otros colectivos de artesanos, los ‘ingenieros medievales’ carecían de nociones básicas de ciencia y basaban su conocimiento sobre construcción en la experiencia. Aunque durante la Edad Media se realizaron importantes avances en ingeniería y arquitectura civil, el más importante logro constructivo de la Edad Media es la construcción de las grandes catedrales primero románicas y luego góticas. Figura 7 Aceducto Romano de Segovia (s. I). Acueducto Gótico de Coutances (Normandía, 1277) 984 P. Rodríguez-Vellando, J. Álvarez, I. Martínez, C. Vázquez Los avances tecnológicos en el campo de la construcción que tienen lugar durante la Edad Media y sobre todo del siglo XI en adelante marcan el cambio de estilo constructivo desde el románico al gótico. El desarrollo de los grandes pilares capaces de soportar las estructuras utilizados junto con muros pantalla, la utilización de las bóvedas de crucería, o la sustitución de los arcos de medio punto por los apuntados suponen grandes cambios en la tecnología de construcción que implican un cambio estético y estático fundamental. Los grandes pilares góticos consiguen sostener estructuras mucho más altas y con más luz gracias al aligeramiento que supone la incorporación de nervios estructurales en las bóvedas de crucería, pero precisan la disposición de contrafuertes y arbotantes que trasmitan las cargas laterales a las cimentaciones. Por otra parte los arcos ojivales del gótico se acercan más a la línea antifunicular óptima para soportar los esfuerzos por compresión pura. Como el resto de los grandes cambios estéticos de la historia de la construcción, el cambio del románico al gótico viene protagonizado por un cambio tecnológico y de las necesidades del momento histórico y del espacio geográfico en el que tienen lugar. Los maestros de obras del medievo no tenían los conocimientos mínimos de estática como para plantear el balance de fuerzas en el que se basa el equilibrio de un arbotante. Ni mucho menos eran conscientes de que el apuntamiento de los arcos ojivales los acercaba a la curva antifunicular y eliminaba con ello los esfuerzos flectores sobre el arco, facilitando con ello su esbeltez. La mayor parte de ellos no eran capaces de utilizar las herramientas matemáticas heredadas de la tradición clásica para hacer cálculos geométricos básicos. Sin embargo, los maestros de obras medievales tenían una idea intuitiva de cómo funcionaban las estructuras que no había existido en épocas anteriores. Habrá que esperar hasta el siglo XVII para empezar a conocer los fundamentos científicos en los que están basados los tipos estructurales góticos, empleados mucho antes de ser capaces de ser explicados matemáticamente. Más que en los progresos de la ciencia, el desarrollo de la ingeniería y la arquitectura de la Edad Media se apoya pues en los grandes cambios en los procedimientos de construcción que tienen lugar en esta época. En este sentido se desarrollan diversos ingenios que perfeccionando las máquinas empleadas en la época romana, e incorporando la tradición árabe que penetra en Europa a través de la España musulmana, permiten mejorar de manera considerable los procedimientos de construcción. Esta mejora en las técnicas de construcción contribuye a descargar el peso de las tareas constructivas que hasta entonces recaían de manera más importante en el trabajo humano. A este proceso de «liberación» de los «obreros de la construcción» con respecto de la situación existente en la época romana contribuirá la expansión de la moral cristiana a lo largo de toda Europa. En cualquier caso este proceso no culminará en Europa hasta después de la revolución industrial y con toda seguridad está aún por resolverse hoy todavía en algunas regiones del mundo. EL RENACIMIENTO El Renacimiento traerá consigo el resurgir de la cultura artística y científica en la Península Itálica durante el siglo XV y desde allí se propagará al resto del viejo continente. En el campo de las matemáticas destacan las figuras de los italianos Pacioli (1445–1517), Tartaglia (1499–1557), Cardan (1501–76) y Ferrari (1522–1565). El prototipo de hombre del renacimiento, Leonardo da Vinci (1452–1519) también dedicó parte de su labor científica a las matemáticas, sobre todo a la geometría, además de a la pintura, escultura, arquitectura e ingeniería entre otras disciplinas. Leonardo colaborará con Pacioli, autor de Divina Proportine (1509), en cuestiones relativas a la sección áurea y otros temas de geometría. Para Leonardo las proporciones mas equilibradas del cuerpo humano también siguen esta razón que gobierna las proporciones ideales de la arquitectura, lo que queda reflejado en su Estudio de proporciones. La Arquitectura de Vitruvio. En el «hombre ideal» de Leonardo, el lado del cuadrado que circunscribe una figura humana correctamente proporcionada y el radio de la circunferencia que tiene por centro el ombligo, están en proporción áurea. Además de como artista, Leonardo es fundamentalmente conocido por sus descubrimientos en el campo de la ingeniería. A él se debe la frase: «La mecánica es el paraíso de la ciencia matemática porque aquí nos encontramos los frutos de las matemáticas». Leonardo tiene un conocimiento bastante adecuado de los fundamentos de mecánica e incluso de La influencia de las matemáticas en la evolución de las estructuras ciertas cuestiones de resistencia de materiales. Fue responsable del desarrollo de una forma rudimentaria del principio de los trabajos virtuales que será mejorada más tarde por su compatriota Galileo. Parte de este conocimiento de la mecánica está basado en la experimentación, para ello realizó por ejemplo ensayos para determinar la resistencia de cables de acero o vigas de madera. En este sentido Leonardo es un pionero de la expirementalidad científica, que será mucho más ampliamente desarrollada durante el siglo XVII. Figura 8 El «hombre ideal» de Leonardo La actividad de Leonardo como ingeniero le lleva al desarrollo de diversas máquinas e ingenios mecánicos muchos de ellos empleados en construcción. En este sentido desarrolla una actitud novedosa con respecto a su entorno histórico, que no se limita a las 985 observación, instalación y reparación de una gran varieded de máquinas ya conocidas en la época clásica y desarrollasdas después durante la Edad Media, como los mecanismos que constituían los engranajes de un molino o los tornillos de aquímedes, sino que gracias a su estudio exhaustivo pretende modificarlos y desarrollar otras nuevas máquinas a partir de las ya conocidas, profundizando así en el desarrollo del conocimiento científico. Se trata ésta de una actitud que si bien no puede calificarse como nueva, si que supone uno de los avances que caracterizan lo que conocemos como Renacimiento. Muchas de estas máquinas desarrolladas por Leonardo son de aplicación directa en construcción como grúas, gatos, compuertas, bombas y otros ingenios. En el campo de la ingeniería también es responsable del diseño de puentes levadizos y hasta de un modelo de puente de celosía. En algunas ocasiones los ingenios de Leonardo son más que otra cosa una representación gráfica de cómo podrían ser estos artefactos y no están científicamente bien fundamentados, pero en cualquier caso muestran la capacidad inmensa de un genio para adelantar una serie de máquinas que se han desarrollasdo en términos parecidos mucho más tarde. Estos diseños se organizan en una serie de cuadernos escritos a partir de 1490 y son recogidos en una decena de códices que se conservan en diversas bibliotecas y museos del mundo. En particular, el conocido como Códice de Madrid se conserva en la Biblioteca Nacional y no fue descubierto hasta 1966. El Renacimiento marca una época de reencuentro entre la ciencia y la tecnología. Si durante la Edad Media ambas cosas viajan por caminos separados, la recuperación del legado científico de la etapa clásica y su incorporación a las tecnologías supone un enriquecimiento de éstas, en particular de la construcción. Por otra parte las necesidades técnológicas alientan el progreso de las ciencias, preparando el gran desarrollo de éstas que van a tener lugar durante el siglo XVII y que no se podría entender sin el resurgimiento de los siglos XV y XVI. Sin embargo durante los siglos XV y XVI las técnicas constructivas no varían sensiblemente con respecto de las empleadas en la Baja Edad Media a pesar de que las tendencias estéticas lo hagan de manera manifiesta volviendo sus ojos a la Edad Clásica. El arcos de medio punto es el más utilizado. Como ejemplos de puentes de piedra con arco de medio 986 P. Rodríguez-Vellando, J. Álvarez, I. Martínez, C. Vázquez Figura 9 Puente de Rialto (Palladio, 1591). Pont Neuf (1604) punto podemos citar los conocidos de Rialto en Venecia, Pont Neuf de París, o el Puente della Trinitá en Florencia. Como novedad podemos hablar aquí de los puentes de celosía proyectados por el arquitecto Andrea Palladio (1518–1580). Aunque con ciertos precedentes históricos, como queda reflejado en los dibujos de Leonardo, o algunos puentes en el norte de Europa de los que habla el propio Palladio, el arquitecto-ingeniero pasa por ser el primero en diseñarlos y construirlos. La aparición de los puentes de celosía supone un avance tecnológico importante en ingeniería civil por lo que supone de aligeramiento de la estructura y de conocimiento de cómo trabaja ésta. Sin embargo este tipo de puentes no será demasiado utilizado hasta el siglo XVIII. La incorporación de ésta y otras tecnologías novedosas coincide en tiempo con los progresos de la ciencia que tienen lugar durante el Renacimiento. La interdependencia entre ciencia y tecnología se hará mucho más manifiesta a partir del siglo XVII. Durante este siglo Descartes, Fermat, Newton y Leibniz, entre otros, establecen las bases de la geometría analítica y del cálculo diferencial y con ello se empieza a disponer de las herramientas matemáticas definitivas para que a partir del siglo XVIII se desarrolle con total rigor la teoría de estructuras y de la resistencia de materiales. En cualquier caso el desarrollo científico ha marcado ineludiblemente la construcción en cada perio- do histórico. La historia de la ingeniería y la arquitectura es la historia del periodo histórico que las soporta y por ello está necesariamente caracterizada por las necesidades de la sociedad de su época, por las corrientes artísticas del momento, por los materiales de los que se dispone, pero tanto o más que por todo eso lo está por el desarrollo científico, y en último caso matemático, de esos años, que es el responsable último de la tecnología constructiva disponible y del conocimiento estructural de los proyectos llevado acabo, y esto marca la estática y la estética de las obras en todo lugar y momento. LISTA DE REFERENCIAS Boyer, C. B. 1999. Historia de la Matemática. Madrid: Alianza Editorial. Cardwell, D. Historia de la tecnología. Madrid: Alianza Editorial. Courtenay, L. (ed.). 2000. The Engineering of Medieval Cathedrals. Aldershot: Ashgate. Gamow, G. 1998. Biografía de la Física. Madrid: Alianza Editorial. Kirby, R., S. Withington, A. Darling and F. Kilgour. 1990. 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