CAPÍTULO 5 DISTRIBUCIÓN NO PARAMÉTRICA DE LA TASA

CAPÍTULO 5
DISTRIBUCIÓN NO PARAMÉTRICA DE LA TASA INTERNA DE
RETORNO A PARTIR DE LAS ESTIMACIONES FACILITADAS
POR EL EXPERTO
FEDERICO PALACIOS GONZÁLEZ
JOSÉ CALLEJÓN CÉSPEDES
Departamento de Métodos Cuantitativos para la Economía y la Empresa.
Universidad de Granada
RESUMEN
En este trabajo se estima la distribución de probabilidad de la Tasa Interna
de Retorno, mediante métodos no paramétricos.
Fijado un horizonte temporal, se puede disponer de una distribución de
probabilidad para cada uno de los flujos de caja (o incluso de la aportación
inicial) de una inversión, utilizando la distribución beta PERT o bien alguno de
los modelos alternativos, a partir de las estimaciones pesimista, optimista y más
probable que, de cada uno los mencionados flujos, proporcione un experto.
Con la mencionada modelización, se simula una muestra aleatoria, de los
valores de la tasa interna de retorno correspondiente. Esta muestra es el punto
de partida para la estimación no paramétrica, mediante el núcleo gaussiano, de
la distribución de la TIR.
PALABRAS CLAVE: Tasa interna de retorno; distribución beta PERT;
modelos alternativos al PERT; estimación no paramétrica.
1. INTRODUCCIÓN
Como es suficientemente conocido (véase por ejemplo Suárez 1993) que el
Valor Actual Neto (VAN), conocidos la aportación inicial, el horizonte temporal
96
PALACIOS, F - CALLEJÓN J.
y los flujos de caja y las tasas de descuento correspondientes a cada uno de los
períodos, se obtiene mediante la expresión:
VAN = − A +
Q1
Q2
QT
+
+L+
(1 + r1 )(1 + r2 )L (1 + rT )
1 + r1 (1 + r1 )(1 + r2 )
(1)
donde
A representa el desembolso inicial,
T la duración del proyecto, es decir el número de períodos a considerar,
Q1 , Q 2 , L , QT los flujos de caja en cada uno de los períodos y
r1 , r2 , L , rT las tasas de descuento correspondientes a cada uno de los períodos.
Si en la expresión (1) se hace VAN = 0 y si, además, se considera la misma
tasa de descuento, r, en cada uno de los T periodos, se obtiene
T
0 = −A +
Qt
∑ (1 + r )
t =1
t
(2)
Esta expresión (2) permite definir la Tasa Interna de Retorno (TIR) como la
tasa r a la que se descuentan los flujos para que en un número de periodos T se
recupere la inversión inicial
Puesto que se va a utilizar la metodología PERT para modelizar1 los flujos
de caja, será necesario disponer de los valores mínimo, más probable y máximo,
correspondientes a cada uno de los flujos de caja que se consideren.
Si la aportación inicial no está determinada, también es posible solicitarle al
experto sus correspondientes valores mínimo, máximo y más probable.
Una vez modelizados los distintos flujos de caja, se puede disponer, para
cada uno de los periodos, de una muestra aleatoria simulada de los flujos de
caja, así como de la aportación inicial, si es que esta no estuviera fijada de
antemano.
A partir de la ecuación (2), y supuestos conocidos los valores de la aportación
inicial, A, del horizonte temporal, T, y de cada uno de los flujos de caja,
Q1 , Q 2 , L , QT , es posible, mediante métodos numéricos, obtener el
correspondiente valor de la Tasa Interna de Retorno.
1
En el ANEXO se recogen las distintas distribuciones utilizadas en la modelización
DISTRIBUCIÓN NO PARAMÉTRICA DE LA TIR ...
97
2. MUESTRA ALEATORIA SIMULADA DE LA TASA INTERNA DE
RETORNO
Supuesto que se haya fijado el número de periodos a considerar, T, para la
obtención de una muestra aleatoria simulada de valores de la TIR se van a
considerar las siguientes etapas
1) En primer lugar se solicitan al experto los valores pesimista, optimista y más
probable, tanto de la aportación inicial, A ( si es que ésta se desconoce2), como
de cada uno de los flujos de caja, Qt
2) Mediante la distribución oportuna (beta PERT, Triangular, Trapezoidal
CPR3) se modelizan tanto la aportación inicial como los distintos flujos de caja.
Se tendrán así T + 1 distribuciones de probabilidad correspondientes, la primera
de ellas a la aportación inicial y, las T restantes, a los flujos de caja de cada uno
de los periodos considerados Q1 , Q 2 , L , QT .
3) Utilizando las distribuciones obtenidas en el apartado anterior, se simula, por
el método de Montecarlo, un valor para cada variable. Se obtiene así un vector
de dimensión T+1 con los valores de A, Q1 , Q 2 , L , QT simulados.
4) Se obtiene el correspondiente valor de r mediante métodos de aproximación
numérica, a partir de la ecuación dada en (2),
T
Qt
∑ (1 + r )
t =1
t
=A
puesto que se conoce el horizonte temporal, T (previamente se había fijado) y
una vez que en el apartado 3) son conocidos los valores de A y del vector de
flujos Q1 , Q 2 , L , QT .
De este modo se obtiene un valor simulado de la variable aleatoria TIR.
5) Reiterando las dos últimas etapas (3 y 4), tantas veces como sean necesarias,
se genera una muestra de tamaño n. Es evidente que el tamaño muestral será tan
alto como se precise; la búsqueda de valores simulados de la TIR sólo supone la
oportuna simulación mediante el programa correspondiente que bien pudiera
ser utilizando la hoja EXCEL.
2
En los ejemplos desarrollados posteriormente se observa la importancia, en cuanto a nivel de
información se refiere, que tiene el hecho de conocer A.
3
Para mayor información sobre esta distribución puede consultarse el anexo
98
PALACIOS, F - CALLEJÓN J.
3. ESTIMACIÓN NO PARAMÉTRICA DE LA FUNCIÓN DE DENSIDAD
DE LA TASA INTERNA DE RETORNO
Se dispone de una muestra aleatoria de tamaño n, (obtenida mediante
simulación, según se indica en el epígrafe anterior), de la variable aleatoria TIR
que permite obtener una estimación de la función de densidad de la variable
TIR. En este estudio se proponen dos tipos de estimación:
a) Mediante una distribución normal
b) Mediante métodos no paramétricos.
En este segundo caso, a partir de los valores muestrales, r1 , r2 , L , rn , se
define la función de densidad de la variable aleatoria univariante TIR mediante
la expresión (Härdle, 1991),
1
fˆh (x ) =
nh
n
 x − xi
h
∑ K 
i =1



(3)
donde K es una función núcleo, normalmente una densidad simétrica y con
valor esperado cero. Concretamente, en este trabajo se ha utilizado el núcleo
gaussiano, es decir K(z) está definida como la función de densidad de la
distribución normal tipificada
K (z ) =
1
e
2π
−
z2
2
y donde h representa un parámetro de suavizamiento (bandwith) que se obtiene,
a partir de los datos, mediante
h ≅ S ×n
−
1
5
El valor esperado y la varianza del estimador considerado en (3)son:
[
]
( )
2
h
E fˆh ( x ) = f ( x) +
f ′′(x )µ 2 ( K ) + θ h 2
2
[
]
1
Var fˆh ( x) =
K
nh
siendo, (Silverman, 1986),
2
2
(
f (x ) + θ (nh )−1
)
(4)
(5)
99
DISTRIBUCIÓN NO PARAMÉTRICA DE LA TIR ...
K
2
2
∫
=
+∞
−∞
(k (u ) )2 du
El estimador es asintóticamente insesgado y consistente ya que si n → ∞ ,
h → 0 y nh → ∞ entonces
[
]
lim E fˆh ( x) = f ( x)
[
(6)
]
lim Var fˆh ( x) = 0
(7)
Mediante simple integración se puede obtener
1
Fˆh ( x) =
n
n
 x − xi
h
∑ KI 
i =1



(8)
donde
KI ( s ) =
∫
s
−∞
k (u )du
(9)
4. APLICACIÓN
En el siguiente ejemplo se ha supuesto una inversión que se mantiene durante
diez periodos, de la que no se conoce con seguridad la inversión inicial. Al
experto se les solicitan los valores mínimo, máximo y más probable de esta
inversión, resultando ser 45.000, 120.000 y 80.000 euros respectivamente.
A continuación se solicitan los valores optimistas, pesimistas y más
probables para cada uno de los diez flujos de caja considerados. Los resultados
se recogen en la tabla 1.
Utilizando la hoja de cálculo EXCEL, se han modelizado tanto la aportación
inicial como los flujos de caja para cada uno de los diez periodos mediante una
distribución beta PERT que, para cada caso, corresponda. Tal como se indica en
el epígrafe 2, se ha generado, para la variable aleatoria TIR, una muestra
simulada de tamaño mil (el tamaño muestral se ha fijado de antemano, si bien
100
PALACIOS, F - CALLEJÓN J.
puede establecerse, mediante una muestra inicial o previa, un tamaño muestral
mínimo para que no se rebase una determinada cota de error de estimación ).
Periodo
Pesimista
Más probable
Optimista
1
10.000,00
11.500,00
15.000,00
2
10.500,00
12.500,00
15.800,00
3
11.000,00
13.500,00
16.600,00
4
11.500,00
14.500,00
17.400,00
5
12.000,00
15.500,00
18.200,00
6
12.500,00
16.500,00
19.000,00
7
13.000,00
17.500,00
19.800,00
8
13.500,00
18.500,00
20.600,00
9
14.000,00
19.500,00
21.400,00
10
14.500,00
20.500,00
22.200,00
Tabla 1. Valores proporcionados por el experto sobre los flujos de caja
Es posible simular tantas muestras como se deseen. En una simulación
concreta se ha obtenido una media muestral igual a 0,1357 con una desviación
estándar igual a 0,0421.
A partir de los valores muestrales, se han obtenido dos estimaciones de la
función de densidad de la variable aleatoria TIR correspondientes, la primera de
ellas a la distribución normal y la segunda a la estimación no paramétrica. Sus
representaciones gráficas se recogen en la figura 1.
Las gráficas son similares: la densidad obtenida por métodos no paramétricos
presenta una ligera asimetría a la derecha y tiene un apuntamiento un poco
menor, por tanto, los valores en los que se aproximan al eje x son muy similares.
A partir de la distribución normal estimada, ha resultado que, con
probabilidad 0,95, la variable aleatoria TIR oscila entre 0,0530 y 0,2184 cuando
la modelización de los flujos de caja y de la aportación inicial se realizó
mediante la distribución beta PERT.
De nuevo, con los mismos datos proporcionados por el experto (tabla 1), se
realiza la modelización de la aportación inicial y de los diez flujos de caja,
utilizando para ello la distribución trapezoidal CPR. Se genera ahora una
segunda muestra, también de tamaño mil. En este caso la media muestral ha
resultado ser 0,1325 y la desviación estándar es 0,0456 (ligeramente mayor).
101
DISTRIBUCIÓN NO PARAMÉTRICA DE LA TIR ...
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-0,2
-0,1
0
0,1
0,2
No paramétrica
0,3
0,4
0,5
Normal
Figura 1. Funciones de densidad correspondientes a una modelización de los
flujos de caja y la aportación inicial mediante la distribución beta PERT.
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-0,2
-0,1
0
0,1
No paramétrica
0,2
0,3
0,4
0,5
Normal
Figura 2. Funciones de densidad correspondientes a una modelización de los
flujos de caja y la aportación inicial mediante la distribución trapezoidal CPR.
102
PALACIOS, F - CALLEJÓN J.
Las correspondientes gráficas de las funciones de densidad estimadas de las
distribuciones normal y no paramétrica obtenidas a partir de esta segunda
muestra se recogen en la figura 2. En esta figura también se observa una ligera
asimetría a la derecha para la densidad estimad por métodos no paramétricos y
un apuntamiento muy similar.
Utilizando la distribución normal estimada, cuando la modelización de los
flujos de caja y de la aportación inicial se realizó mediante la distribución
trapezoidal CPR, con probabilidad 0,95, la variable aleatoria TIR ha resultado
comprendida entre 0,0432 y 0,2219.
Es decir, el intervalo que se obtiene utilizando la distribución trapezoidal
CPR tiene una amplitud ligeramente mayor que el intervalo obtenido utilizando
la distribución beta PERT. De forma empírica, se ha observado que esta
situación se repite en una mayoría de las ocasiones, independientemente de la
información facilitada por el experto4.
Si fijamos ahora la aportación inicial en 80.000 euros5, dejando las mimas
cantidades para los valores pesimista, más probable y optimista de cada uno de
los diez flujos de caja, y repetimos el mismo procedimiento: modelización de
los flujos de caja utilizando una distribución beta PERT, simulación de una
muestra de tamaño mil y estimación de las funciones de densidad normal y no
paramétrica, se observa que la información que se recibe sobre la TIR es mucho
más precisa. Sigue existiendo una ligera asimetría en la densidad no paramétrica
y siguen siendo muy parecidas las gráficas correspondientes a la primera y a la
segunda muestra (utilizando la distribución beta PERT y la distribución
trapezoidal CPR, respectivamente).
En la figura 3 se representan, en un mismo gráfico, las funciones de densidad
en el caso en el que se considera la aportación inicial como una variable
aleatoria (densidades menos puntadas) y en el caso en el que la aportación
inicial es una cantidad fija (densidades con mayor apuntamiento). En ambas
situaciones las modelizaciones oportunas se han realizado utilizando la
distribución beta PERT.
En la figura 4 se repite el esquema de la figura 3, pero las modelizaciones de
los flujos de caja y, en su caso, de la aportación inicial se han realizado
utilizando la distribución trapezoidal CPR.
Las diferencias entre utilizar una distribución u otra, a la hora de las
modelizaciones, son prácticamente inapreciables, si bien cuando se utiliza la
distribución beta PERT el apuntamiento es ligeramente mayor.
4
En el anexo se pone de manifiesto que esta situación se hace más patente a medida que el valor
más probable, proporcionado por el experto, se aproxima más a cualquiera de los dos extremos, bien
al pesimista, bien al optimista.
5
Ahora se trata de una cantidad fija y no de una variable aleatoria
103
DISTRIBUCIÓN NO PARAMÉTRICA DE LA TIR ...
75
60
45
30
15
0
0
0,05
0,1
0,15
No paramétrica
0,2
0,25
Normal
Figura 3. Las densidades más apuntadas corresponden al caso en que la aportación inicial es constante. Modelizaciones mediante la distribución beta PERT.
75
60
45
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15
0
0
0,05
0,1
No paramétrica
0,15
0,2
0,25
Normal
Figura 4. Si la aportación inicial es conocida, entonces las densidades son más
apuntadas. Modelizaciones mediante la distribución trapezoidal CPR.
104
PALACIOS, F - CALLEJÓN J.
Cuando se conoce la aportación inicial el recorrido de la variable TIR es
menor y, por tanto, la desviación estándar de la muestra es sensiblemente menor
(las densidades presentan un mayor apuntamiento) y ello hace que los intervalos
de oscilación, con 0,95 de probabilidad, de la variable TIR tengan un radio más
pequeño. De las simulaciones que se han realizado se han obtenido los
siguientes resultados: 0,1217 el extremo inferior y 0,1436 el extremo superior,
cuando la estimación de los flujos de caja se realizó mediante la distribución
beta PERT, y 0,1188 y 0,1441, respectivamente, cuando se utilizó la
distribución trapezoidal CPR. En este caso, como era de esperar, también la
amplitud del intervalo al utilizar la distribución trapezoidal CPR es ligeramente
mayor que cuando se utiliza la distribución beta PERT.
Para apreciar con mayor detalle las pequeñas diferencias que existen entre las
densidades estimadas normal y no paramétrica se ha realizado un cambio de
escala en los ejes de coordenadas.
En la figuras 5 se representa las funciones de densidad estimadas cuando la
aportación inicial es conocida y las modelizaciones se realizan mediante la
distribución beta PERT. Son pocas las diferencias entre ambas funciones de
densidad, si bien se sigue observando una ligera asimetría a la derecha cuando
se modeliza mediante métodos no paramétricos.
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0,11
0,12
0,13
No p aramétrica
0,14
0,15
0,16
Normal
Figura 5. Funciones de densidad correspondientes a una modelización de los
flujos de caja mediante la distribución beta PERT.
105
DISTRIBUCIÓN NO PARAMÉTRICA DE LA TIR ...
En la figura 6, bajo el mismo supuesto (se conoce la aportación inicial) las
modelizaciones se realizan mediante la distribución trapezoidal CPR. Tal como
ya se ha comentado, cuando se utiliza la distribución trapezoidal en la
modelización de los flujos de caja, las densidades que se obtienen tienen un
apuntamiento menor.
70
60
50
40
30
20
10
0
0,11
0,12
0,13
No paramétrica
0,14
0,15
0,16
Normal
Figura 6. Funciones de densidad correspondientes a una modelización de los
flujos de caja mediante la distribución trapezoidal CPR.
Tanto cuando se conoce la aportación inicial, como cuando a ésta se le
considera una variable aleatoria, es posible fijar de antemano la cota para el
error de estimación y obtener, el tamaño muestral mínimo necesario para que no
se rebase dicha cota.
BIBLIOGRAFÍA
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modelo probabilístico para la metodología PERT. Actas de la X Reunión
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HÄRDLE W., (1991): Smoothing Tecniques. Springer Verlag. New York.
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PALACIOS, F. (1998). Modelización de la opinión del experto, realizada en términos de
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PALACIOS F, Y RAMOS A., (1995). Análisis del mecanismo de compensación de
errores en el PERT clásico: Una solución alternativa. IX Reunión ASEPELTEspaña vol. IV, pp 91-100.
MOITRA, S. D. (1990). Skwness and the beta distribution. J. Opl. Res. Soc. Vol 41 nº 10
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SILVERMAN, B. W. (1986). Density Estimation for Statistics and Data Analysis.
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SUÁREZ, A.S. (1993). Decisiones óptimas de inversión y financiación en la empresa.
Ed. Pirámide Madrid
DISTRIBUCIÓN NO PARAMÉTRICA DE LA TIR ...
107
ANEXO
DISTRIBUCIONES UTILIZADAS EN LA MODELIZACIÓN DE LOS
FLUJOS DE CAJA Y, EN SU CASO, LA APORTACIÓN INICIAL.
Una forma bastante intuitiva y tradicional de recabar la información del
experto consiste en pedirle tres valores: pesimista, “a” y optimista, “b”, que
determinan el rango donde fluctuará la variable (flujo de caja) y m∈(a, b)
considerado por dicho experto como el más verosímil (Palacios .1998).
Hay un infinito no numerable de distribuciones cuya masa de probabilidad se
reparte, entera o casi entera, en el interior del intervalo (a, b) y cuya única moda
es el valor m. Por tanto, estas tres cantidades proporcionadas por el experto
dejan un altísimo grado de indeterminación sobre la distribución de
probabilidades de las variables que miden el resultado de la inversión (Sasieni
1986), (Moitra 1990).
5. DISTRIBUCIÓN BETA PERT
Es comúnmente aceptado que la familia tetraparamétrica de distribuciones
beta (Suárez 1993), tiene suficiente capacidad para modelizar la opinión del
experto sobre la variable flujo de caja en términos de probabilidad.
La familia de distribuciones beta tetraparamétrica, subyacente en la
metodología del PERT clásico esta definida por la siguiente función de densidad
dependiente de cuatro parámetros a, b, p>1, q>1
f (x; a, b, p, q )=
1
(b - a )
p+q -1
β (p, q)
(x - a ) p -1 (b - x )q -1 si a < x < b
(10)
donde a y b son el valor pesimista y optimista del experto. Los parámetros p y q
serán tales que la moda de la distribución coincida con el valor m, más
verosímil, también proporcionado por el experto. Para ello han de verificar la
siguiente relación lineal, Herrerías-Pérez (1991), Palacios-Ramos (1995)
q=
b−m
m−c
p+2
m−a
m−a
siendo c el punto medio del intervalo (a, b)
(11)
108
PALACIOS, F - CALLEJÓN J.
Sus principales características estocásticas son:
Moda
m=
p
q
b+
a
p+q
p+q
µ=
Media
Varianza
p -1
q -1
b+
a
p+q - 2
p+q - 2
σ2=
pq(b - a )2
( p + q +1)( p + q )2
Utilizando como nuevo parámetro, K = p + q - 2 se obtienen los parámetros p y q
de la distribución beta en función de K y de las tres estimaciones periciales:
p = 1+ K
m-a
b-m
y q = 1+ K
b-a
b-a
(12)
quedando entonces para la media la expresión:
µ=
a + Km + b
K +2
El parámetro K, que juega el papel de peso o ponderación del valor estimado
como más probable, puede representar la confiabilidad que se tenga en dicha
estimación. Puede, por tanto, encontrase una infinidad no numerable de
distribuciones Beta sobre el intervalo (a, b) y con moda m.
La distribución beta PERT utilizada asigna a K el valor 4.
Así la distribución beta queda determinada por las tres estimaciones facilitadas
por el experto: a, b y m. En este caso (véase, por ejemplo, Herrerías 1995):
p = 1+ 4 ×
µ=
m-a
;
b-a
q = 1+ 4 ×
b-m
b-a
a + 4m + b
; σ 2 = (µ − a )(b − µ )
6
7
109
DISTRIBUCIÓN NO PARAMÉTRICA DE LA TIR ...
6. DISTRIBUCIÓN TRAPEZOIDAL CPR
El modelo trapezoidal surge como modelo híbrido de las distribuciones
rectangular y triangular, Herrerías-Calvete (1987) y Herrerías-Miguel (1989), y
necesita el conocimiento de los extremos del intervalo (valores optimista y
pesimista) y además de un intervalo modal. Su función de densidad responde a
la expresión:
0


x−a
2

 b − a + m 2 − m1 m1 − a


2

f ( x) = 
 b − a + m 2 − m1


2
b−x

b
a
m
m
b
−
+
−
− m2
2
1


0

si
x≤a
si a ≤ x ≤ m1
si m1 ≤ x ≤ m 2
(13)
si m 2 ≤ x ≤ b
si
x≥b
de cuya gráfica ha tomado el nombre:
a
m1
m2
b
siendo m1 el valor mínimo para la moda y m 2 el valor máximo para m.
Puede observarse que si m1 ≡ a y, m2 ≡ b dicha distribución coincide con la
distribución uniforme o rectangular, mientras que si m1 ≡ m 2 ≡ m dicha
distribución se convierte en la distribución triangular.
El modelo probabilístico que en este trabajo se utiliza es la distribución
trapezoidal CPR (Callejón, Pérez y Ramos 1998) que viene definida por los
extremos del intervalo, (valores pesimista y optimista), por el centro del
110
PALACIOS, F - CALLEJÓN J.
intervalo, c, y el valor más probable, m. Es decir, a partir de la definición dada
en (13), tomaremos m1 = m , m2 = c en la asimetría a la derecha (si m < c),
a
o bien m1 = c ,
m
m2 = m
a
c
b
en la asimetría a la izquierda (si m > c)
c
m
b
Evidentemente, cuando la moda coincida con el centro del intervalo se tratará
entonces de la distribución triangular.
En los siguientes gráficos se comparan la media y la varianza de los modelos
correspondientes a la distribución triangular, a la beta utilizada en el método
PERT y a este modelo trapezoidal, propuesto.
La comparación entre estos tres modelos se justifica porque, en cada uno de
ellos, sólo se requieren las tres estimaciones periciales del experto a, m y b,
quedando entonces totalmente especificada la distribución.
En las siguientes gráficas, fijados a y b, que en este caso han sido cero y uno,
se hace variar m entre dichos valores. En la primera de ellas se calcula la
esperanza matemática, para cada uno de los tres modelos, en función de la
moda. Se observa, como era de esperar, que las medias de los tres modelos
coinciden cuando la moda es igual al centro del intervalo.
En todo caso, la media proporcionada por esta distribución trapezoidal está
más próxima al centro del intervalo que cualquiera de las otras dos. Este modelo
proporciona una esperanza más "centrada".
Como puede apreciarse, la varianza de la distribución trapezoidal CPR
coincide con la varianza del modelo triangular, si bien la primera de ellas es
ligeramente superior cuando la moda está próxima a los extremos del intervalo.
111
DISTRIBUCIÓN NO PARAMÉTRICA DE LA TIR ...
MEDIAS
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0
0,2
0,4
PERT
0,6
Triangular
0,8
1
Trapezoidal CPR
VARIANZAS
0,06
0,04
0,02
0
0
0,2
PERT
0,4
0,6
Triangular
0,8
Trapezoidal CPR
1