CAPÍTULO 1 A lgebra en los números reales 1.1 Lenguaje algebraico El lenguaje algebraico se basa en el uso de letras y relaciones matemáticas para generalizar diferentes situaciones. Ejemplos: • El perímetro P de un cuadrado de lado a P = 4a. • El área A de un cuadrado de lado a A = a2. • El área A de un triángulo de base b y altura h A=b•h 2 Cada una de las letras involucradas en las fórmulas anteriores es una variable; a cada variable se le pueden asignar diferentes valores. En general, una variable es cualquier letra involucrada en una expresión algebraica. Expresemos en lenguaje algebraico: 1. El doble de un número 2. El triple de un número 3. La mitad de un número 4. 5. 6. 7. El cuadrado de p a aumentado en b a disminuido en b El producto entre a y b 2a, 2x, 2m, ... 3x, 3y, 3b, ... p q z , , , ... 2 2 2 p2 a+b a–b a•b Si en alguna expresión no está especificado el término, podemos asignar cualquier variable para representar el enunciado, como se puede ver en los ejemplos 1, 2, 3 y 4. Álgebra en los números reales En general, • Son múltiplos de a: el doble el triple el cuádruple el quíntuple : : 2a 3a 4a 5a • Son fracciones de a: un medio (o la mitad) a o 1 2 2 • a un tercio (o la tercera parte) a o 1 3 3 • a un cuarto (o la cuarta parte) a o 1 4 4 • a a o 1 5 5 • a un quinto (o la quinta parte) : : • Son potencias de a: el cuadrado el cubo la cuarta potencia (o a la cuarta) la quinta potencia (o a la quinta) : : • Otras expresiones algebraicas: un número par un número impar a2 a3 a4 a5 2n 2n – 1 Ejercicios resueltos Expresemos en lenguaje algebraico: 1.El doble de un número, aumentado en la mitad del mismo número. Aquí el “número” no está determinado; asignémosle la variable x; nos queda: x 2x + 2 2.El doble de a, aumentado en b 2a + b 3.El doble de a aumentado en b 2 (a + b) Observe los ejemplos 2 y 3. ¿Cuál es la diferencia? Álgebra en los números reales CAPÍTULO 1 4.La mitad de a más el triple de b. Aquí ya están asignadas las variables, son a y b. Nos queda: a + 3b 2 5.El doble del cuadrado de a. 2 a2 6.El cuadrado del doble de a. (2a)2 Observe la diferencia entre los ejercicios 5 y 6. 7.La cuarta parte del triple del cuadrado de b. 3 b2 4 8.El triple de la cuarta parte del cuadrado de b. 3 ( b42 ) 9.El cuadrado de la cuarta parte del triple de b. 3b 2 4 ( ) Observe las diferencias entre los ejercicios 7, 8 y 9. 10. La diferencia entre el quíntuple de x y la mitad de y. y 5x – 2 11. La suma de tres números pares consecutivos. (2n) + (2n +2) + (2n + 4) o (2n – 2) + (2n) + (2n + 2) Observe la diferencia entre ambas. 12. Tres impares consecutivos. 2n – 1, 2n + 1, 2n + 3 2n + 1, 2n + 3, 2n + 5 Observe la diferencia entre ambas y exprese esos tres números de una manera distinta. 13. La semisuma entre a y b. a+b 2 14. La semidiferencia entre a y b. a–b 2 15. El producto entre un número y su antecesor. x (x – 1) 16. El producto entre un número y su sucesor. x (x + 1) Álgebra en los números reales Ejercicios I. Asigne variables y exprese en lenguaje algebraico: 1. La mitad de un número. 2. El triple de a, aumentado en el doble de b. 3. El doble del cociente entre a y b. 4. El cubo de la diferencia entre x e y. 5. La diferencia entre el cubo de x y el cuadrado de y. 6. El cuadrado de a equivale a la suma entre el cuadrado de x y el cuadrado de y. 7. La suma de tres números consecutivos es 213. 8. La suma de tres pares consecutivos es 168. 9. El cubo del cuadrado de la diferencia entre x e y. 10. La cuarta parte del producto entre el cuadrado de a y el cubo de b. 11. El triple de un número equivale al doble del mismo número aumentado en 15. 12. El volumen de una esfera de radio r equivale al producto entre cuatro tercios de p y el cubo del radio. 13. La superficie de un rectángulo cuyos lados miden (a + 3) y (a – 3). 14. El volumen de un cubo de arista 2a – 1. 15. El volumen del paralelepípedo de la figura: 16. La superficie lateral del paralelepípedo de la figura. 17. La suma de los cuadrados de tres números consecutivos. 18. El cuadrado de la suma de tres números consecutivos. 10 Álgebra en los números reales CAPÍTULO 1 Soluciones 1. 3 2 10. a • b a 2 4 2.3a + 2b 3.2 a b 4. (x – y)3 5. x3– y2 6. a2 = x2 + y2 7.(a – 1) + a + (a + 1) = 213 a + (a + 1) + (a + 2) = 213 11. 3x = 2x + 15 12. V = 4 p • r3 3 13. S = (a + 3) (a – 3) 14. V = (2a – 1)3 15. V = 2a(2a + 3)(2a + 1) 16. S = 2(2a (2a + 3) + 2a(2a + 1)) 8.(2n – 2) + 2n + (2n + 2) = 168 17. x2 + (x + 1)2 + (x + 2)2 9. [(x – y)2]3 18. [x + (x + 1) + (x + 2)]2 Definición: Se llama término (algebraico) a un conjunto de números y letras que se relacionan entre sí por medio de la multiplicación y/o división. 3a 5 2 2 Ejemplo: 2a2 b , p , – x y z. El término algebraico consta de un FACTOR NUMÉRICO, un FACTOR LITERAL y un GRADO. El grado es la suma de los exponentes de las letras que aparecen en el término. 12 6 4 2 Ejemplo: En el término – a b c el coeficiente numérico es 17 12 – ; el factor literal es a6b4c2 y el grado es 12 (6+4+2). 17 Observación 1: Si el coeficiente numérico no está escrito, entonces es 1. Observación 2: Si el grado no está escrito, entonces es 1. Se llama expresión algebraica a cualquier suma o resta de términos algebraicos. Si la expresión tiene dos términos, entonces es un binomio; si tiene tres términos se llama trinomio; si tiene cuatro o más, hablamos de polinomios. (El término polinomio se puede usar en forma general para cualquier expresión algebraica.) Álgebra en los números reales 11 1.2 Valorización de expresiones algebraicas Las expresiones algebraicas no representan valores en sí, sino que pueden ser evaluadas para distintos valores que se les asignen a las letras que las componen. Ejercicios resueltos 1. El valor del monomio a2b cuando a = 2 y b = 5 es 22 • 5 = 20. Reemplazamos directamente las letras a y b por los valores asignados; en este caso, 2 y 5, y realizamos las operaciones indicadas. 2. El valor del mismo monomio a2b cuando a = 3 y b = – 4 es: 32 • (– 4) = 9 • – 4 = – 36 3. Si x = – 2; y = 5 y z = 4, el valor de 2x + 3y – z es: 2•–2+3•5–4= – 4 + 15 – 4 = 7 4. Si m es el doble de n, n es el cuadrado de p y p = 3, determinemos m y n: Aquí tenemos: m = 2n; n = p2 y p = 3, entonces n = 32 = 9 y m = 2n = 2 • 9 = 18. Así; n = 9 y m = 18. 1. 3 ab Ejercicios I. 2. – Determine coeficiente numérico, factor literal y grado de 2 2 3. 0,02 a b los siguientes términos algebraicos: 2 7. a b 3a b 5 9. m n 9 4. 17 p q z 2 2. – a 5 5. – 0,3 c 2 2 3. 0,02 a b 2 3 8 4. 17 p q z Álgebra en los números reales 5. – 0,3 c 6. a 2 4 8. 2 3 8 1. 3 ab 12 2 a 5 10. – 12 11 x y 4 CAPÍTULO 1 II. Si a = 3 y b = 2, determine el valor de: IV. 1. 2 ab 1. 2 x + y + z 2 2 2. x – y – 2z 2 2 3. x + y – x + z 2. a – b 3. b – a 2 2 4. a + ab + b 4. x x + y + z 5. – 2ab 5. 2 2 3 3 6. 2 x y – 2 x z 5 2 1 1 – x y 2 6. a – b 2 2 7. – b 7. x – 1 8. 1 + a + b + ab 8. z – 2 + z – 3 2 2 2 9. a + b – a – b 3 2 1. 2 m – 3n 3. p + q – r = 12 , r – q = 5, determine p. 2 4. m – n 4. 2a – 9 = b y a = – 3, determine b. 5. m + n m – n 2 5. 1 + 2a = b – 2 y a = – 2, determine b. 2 6. m + 2 mn + n 7. – 5 mn 9. 1 m– n 10. –1 mn Determine el valor de: 2. Si m – 3 = 2p y p = – 2 determine m. 3. 1 + m 1 1 – m n V. z 5 1. Si m + n = 3 y n = – 1, determine m. 2 2. m – m – 2n 8. 4 10. x – y + Si m = –2 y n = + 3, determine el valor de: 2 2 9. 3 – x yz + 2 – x yz b –6 4 10. a – III. Si x = 4, y = –2 y z = 5, determine el valor de: 6. Si a es el doble de b, b es un tercio de c y c = 12, determine a y b. 7. Si m es la cuarta parte de p y p es el cuadrado de 2, determine m. 8. La mitad de a es 1. ¿Cuál es el valor de a? 9. La tercera parte del doble de m es 4. ¿Cuál es el valor de m? 10. Si p + q = 2r, q es el triple que p y p = 5, ¿cuál es el valor de r? Álgebra en los números reales 13 Soluciones I. 1. Coeficiente numérico 3. Factor literal ab Grado II. 1. 12 2. 3. 2 0,02 5 – a 2 1 2. 5 3. – 5 4. 19 V.1. m = 4 2. – 4 5. 6. 7. 8. 9. 10. 17 – 0,3 1 1 3 5 1 9 – c a a2b a2b4 m12n 13 1 1 3 6 a2b2 p2q3z8 III.1. – 13 2. – 12 3. – 1 4. – 5 IV. 1. 11 4. 4 5. – 12 6. 19 5. –5 6. 1 7. –32 8. 12 5 6 6. – 264 7. 15 8. 45 7. 30 8. – 3 4 3. p = 17 4. b = – 15 5. b = – 1 6. a = 8 b = 4 3. – 7 4. 180 5. 2. m = – 1 9. 8 9. – 9. 1 4 x11y 1312 10. –5 1 1 10. 6 5 85 10. 1 7. m = 1 8. a = 2 9. m = 6 10. r = 10 1.3 Reducción de términos semejantes y uso de paréntesis Definición: Se llaman términos semejantes aquellos que tienen el mismo factor literal (y por consiguiente el mis­mo grado); sólo pueden diferir en el coeficiente numérico. Ejemplo 1. Son términos semejantes: a2 4 Ejemplo 2. No son términos semejantes: a2, 2a2, a2 b y ab2, –3a2, 0,5a2, –a y –a2, 2ab y ab2, Vemos que en el ejemplo 1, el factor literal de todos ellos es a2; por esta razón son todos semejantes. En el ejemplo 2, en cambio, tenemos en los tres casos factores literales diferentes entre sí. En una expresión algebraica sólo podemos reducir aquellos términos que son semejantes y esto se efectúa sumando (o restando) los coeficientes numéricos y manteniendo el factor literal. El uso de paréntesis es frecuente en álgebra. Sirve para separar expresiones algebraicas y se elimina de acuerdo con las siguientes reglas: 1. Si está precedido de un signo + o no tiene signo escrito, se elimina sin hacer ningún cambio. 2. Si está precedido de un signo – se elimina después de cambiar todos los signos de los términos del interior del paréntesis. (Es impor- 14 Álgebra en los números reales CAPÍTULO 1 tante hacer notar que al eliminar el paréntesis también se elimina el signo – que lo antecede.) Si una expresión algebraica contiene paréntesis, es conveniente eliminarlo antes de proceder a reducir los términos semejantes. Ejercicios resueltos 1. a + 2a + 3a Los tres términos de la expresión son semejantes; por lo tanto, sumamos sus coeficientes numéricos y conservamos el factor literal: a + 2a + 3a = 6a 2. 2a + 3b – 5a + 6b Aquí los términos 2a y – 5a son semejantes entre sí y lo mismo ocurre con 3b y 6b; entonces los podemos agrupar entre sí y obtenemos: 2a + 3b – 5a + 6b = (2a – 5a) + (3b + 6b) = – 3a + 9b 3. 3x6y – 5xy6 – 7x6y – x6y + 11xy6 Agrupamos los términos según su semejanza y obtenemos: (3x6y – 7x6y – x6y) + (– 5xy6 + 11x y6) = – 5x6y + 6xy6 4. 5m + (3m – 7n) – 2n Antes de proceder a la reducción de términos es necesario eliminar el paréntesis; como éste está precedido de un signo +, lo eliminamos sin hacer cambios y obtenemos: 5m + 3m – 7n – 2n = 8m – 9n 5. 3x2y – (x2y – 2xy2) + 3x2y En este caso, al eliminar el paréntesis (y el signo que lo precede) debemos cambiar los signos de los términos del interior; nos queda: 3x2y – x2y + 2xy2 + 3x2y (3x2y – x2y + 3x2y) + 2xy2 = 5x2y + 2xy2 6. a + a2 + a3 + a4 Aquí no es posible hacer ninguna reducción pues no existen términos semejantes. Si en una expresión nos encontramos con paréntesis dentro de otros paréntesis, procedemos a eliminarlos desde dentro hacia afuera atendiendo a la misma regla. Álgebra en los números reales 15 7. 2ab – [3a – (–2ab + 3a) – ab] Eliminamos primero el paréntesis interior: 2ab –[3a + 2ab – 3a – ab] Ahora eliminamos el exterior: 2ab – 3a – 2ab + 3a + ab (2ab – 2ab + ab) + (– 3a + 3a) = ab Ejercicios I. Reduzca las siguientes expresiones: 1. m + 2m 2. a + 2a + 9a 3. m2 – 2m2 – 7m2 4. 6x2y2 – 12x2y2 + x2y2 5. 3a – 2b – 5b + 9a 6. a2 + b2 – 2b2 – 3a2 – a2 + b2 7. x2yz + 3xy2z – 2xyz2 – 3xy2z + xyz2 – x2yz 8. 2pq + 3p – 12q – 15q + 7pq – 13p 9. 2x – 6y – 2x – 3y – 5y 10. 15a + 13a – 12b – 11a – 4b – b a aa aa 11. aaa + +a + +a 11. 11. + 3a3 + + 4a4 2 11. + 11. 2 4 2 3 2 3 4 2 2 2ab222 3ab 3ab222 6a 6a222 bb aa222b bb – 2ab 2ab a 2 + 3ab2 – 6a 12. 12. –– 2ab + –– 6a5 bb 12. a55b – 12. + 3ab 3 + 2 – 3 2 5 12. 5 3 2 5 5 3 2 5 m 2m m m m+ 2m –– m m 13. m– m + 2m 13. m 13. 13. m ––– m + 2m – 44 2+ 3 – 2 3 13. m 4 2 3 4 2 3 3a – b 3a – b 14. 3a 3a – –b b+ 3a – –b b 14. + 3a 14. 14. 3a22– b + + 3a55– b 14. 2 5 2 5 33 33 15. 2p + q – 7p q 3 3q 15. 2p 2p + +433 qq –– p p++ + 233 q 15. 15. 2p + q – p + q 4 2 4 2 15. 2p + 4 q – p + 2 q 4 2 16. a + a2 + a3 + a4 – a – 2a2 + 3a3 – 4a4 17. 0,2 m – 0,02n + 1,07m – 1,03n – m – n 18. 0,5x2y – 0,4xy2 + 0,3x2y – 0,2xy2 + x2y 19. 1,17a – 2,15a – 3,25a + 4,141a 16 Álgebra en los números reales CAPÍTULO 1 20 . 1 + x + xy – 2 + 2 x – 3 xy – 3 + 2 xy – 3 x 21 . 1 2 2 3 3 2 8 m n – mn– m2n + m n – mn 5 3 2 10 3 22 . 27 35 1 1 p– q+ p– q 4 6 4 6 23 . u 2 + u v + v 2 – 2 u 2 + 3 uv – v 2 24 . 11 3 2 1 5 1 s– t+ s– s– s+ t+ t 3 4 3 3 3 4 25 . 0,117 a – 0 ,3 5b – 2 ,2 5b – 1 ,1b + 3,04 a 26 . 10 a + 5a 2 – 1 3a 3 – 2 a – 9 a3 + 1 6a 2 + a 27 . 1 2 3 2 3 7 1 pt – p – t + pt – p + t + pt 6 5 4 3 5 4 6 28 . x 2 yz – x y 2 z 2 + x y 2 z 2 – x 2 y 2 z 2 3 2 2 2 1 2 2 2 a b – ab – a b – 3a b + ab 4 3 2 1 3 30 . 0,7m – p – 0,04 m + 0,3p – p 7 4 29 . Ii. Elimine paréntesis y reduzca los términos semejantes: 1. a + b + a – b 2. a + b + b – a 3. a – b + a + b 4. a – b – a + b 4. 5. 2a – 2a – 3b – b 5. 6. 3x + 2y – x – x – y 6. 7. 7. 2m – 3n – – 2m + n – m – n 8. 8. – a + b – c – – a – b + c + a – b + c 9. – x 2 – y 2 + 2x 2 – 3y 2 – x 2 – 2x 2 – 3y 2 9. 10. 10. – – a – 2b – a + 2b – – a – 3b 11. 11. 3x + 2y – 2x – 3x – 2y – 3x – 2x – y 12. 3y – 2z – 3x – x – y – z – x – 2x 12. 1 2 3 4 13. 13. a – b – a – b 2 14. 14. 3 4 3 1 1 2 a – a– a–a 5 2 3 Álgebra en los números reales 17 15. 3 x + 2 y – x – 2y – 1 y – 2 x 4 16. 5 5 a 17. 17. a – b – a– 2 b a – b – 2 –2 18. 1 + a + b – 18. 19. 19. 3 a b a– – –b 2 2 b+ a + b + a+b 2 1 a b + + 2 3 4 11 2 3 2 15 2 3 2 1 2 12 2 2 x – y – x – x – y – y – y 4 25 4 4 25 25 25 20. Si P = x2 + 3x – 2 21. Si P = 3x – x2 y Q = 2x2 – 5x + 7, obtenga P + Q. y Q = 3x2 – x, obtenga Q – P y P – Q. 22. Si M = 2a2 + 3a3 + a4 y N = a4 – 3a2 + 2a, obtenga M + N y M – N. 23. Si P = x3 – 5x2 – 1; Q = 2x2 – 7x + 3 y R = 3x3 – 2x + 2, obtenga P + Q – R y P – (Q – R). 24. Si P = m6 + m3 – m; Q = m5 + 2m4 – 3m3 + 2m y N = m6 + m5 – 2m3 + m, obtenga P + Q – N y N – P. 25. Si A = ab + 2b; B = a – ab y C = a + b + ab, encuentre A + B + C ; A + B – C y A – (B + C). 26. Si P = a+b a–b y Q= , entonces encuentre el valor de P + Q. 2 2 27. Si P = 1 1 2 a – b– 2 3 4 c y Q= 2 3 2 a + b + c, 3 2 4 encuentre Q – P. 28. Si A = 2x3 + 3x2 – 2x + 5 y A + B = x3 – 3x2 + x – 4, encuentre B. 29. Si A = 3x3 – 2x2 + 5x – 1; B = 2x3 – 3x – 3 y A – B + C = x3 – 2x2 – 3x – 2, encuentre C. 30. Si P = 1 – x3; Q = 1 – x2; R = 1 – x, determine P – (Q + R + 3). Soluciones I. 1.3m 3. – 8m2 2. 12a 4. – 5x2y2 5. 12a – 7b 6. – 3a2 7. – xyz2 8.9pq – 10p – 27q 9. – 14y 10. 17a – 17b 11. 13a 12 12. – a 2b + 5 ab2 6 9 14. q 16. – a2 + 4a3 – 3a4 17. 0,27m – 2,05n 3a – b 15. – 5p + 4 10 10 18. 1,8x2y – 0,6xy2 19. – 0.089 a 20. – 4 21. – m2n – mn 22. 7p – 6q 11m 13. 12 23. – u2 + 4uv 27. pt – p + t 18 3 1 7 s+ t 25. 3,157a – 3,7b 26. 9a + 21a2 – 22a3 2 3 33 83 1 2 19 2 2 2 28. x yz – x y2z2 29. – a b– ab 30. m– p 50 140 4 6 24. Álgebra en los números reales CAPÍTULO 1 II. 1. 2a 2. 2b 3. 2a 7. 5m – 5n 8.a – b + c 9. 2x2+ y2 10. a – 3b 13. – 1 a + 2 b 14. 4 18. 3 –1a 30 15. 4. – 2b 13 11 y– x 5 12 5. 2b 6. 3x + y 11. 5x + y 12. 4y – 3z – x 16. a + b 17. 2 2 3a b + 2 2 1 2 3 + a + b 19. – x 2 – y 2 20. 3x2 – 2x + 5 2 3 4 4 21. Q – P = 4x2 – 4x P – Q = 4x – 4x2 25. A + B + C = 2a + 3b + ab A + B – C = b – ab A – (B + C) = ab + b – 2a 22. M + N = 2a4 + 3a3 – a2 + 2a M – N = 5a2 + 3a3 – 2a 26. P + Q = a 27. Q – P = 1 a + 11 b + c 23. P + Q – R = -2x3 – 3x2 – 5x P – (Q – R) = 4x3 – 7x2 + 5x – 2 6 6 28. B = – x3 – 6x2 + 3x – 9 29. C = – 11x – 4 24. P + Q – N = 2m4 N – P = m5 – 3m3 + 2m 30. P – (Q + R + 3) = –x3 + x2 + x – 4 1.4 Multiplicación algebraica Multiplicación de potencias. La expresión an se llama potencia de base “a” y exponente “n”. Se cumple: an • am = an + m (an)m = an • m a0 = 1 con a 0 (ab)n= an • bn Multiplicación de 2 o más monomios. Multiplicamos los coeficientes numéricos y los factores literales entre sí (hacemos uso de las propiedades asociativa y conmutativa de la multiplicación). Multiplicación de un monomio por un polinomio. Multiplicamos el monomio por cada término del polinomio (hacemos uso de la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la adición). Multiplicación de dos polinomios. Multiplicamos cada término del primer polinomio por cada término del segundo. Siempre que sea posible, es necesario reducir términos semejantes. Álgebra en los números reales 19 Ejercicios resueltos 1. a6 • a7 = a 6 + 7 = a13 2. (ab)4 = a4 • b4 3. x5 • x9 • x4 = x5 + 9 + 4 = x18 4. 2a2 • 3ab = 2 • 3 • a2 • a • b = 6a3b 5. – 5x2 y4 • – 3x6 • – 2y6 = – 5 • – 3 • – 2 • x2 • x6 • y4 • y6 = – 30x8 y10 6. – 4a2b (a2 + ab – b) = – 4a2b • a2 – 4a2b • ab – 4a2b • (– b) = – 4a4b – 4a3b2 + 4a2b2 7. (3m5 – 2m4 – mp) • – 3m = 3m5 • (– 3m) – 2m4 • (– 3m) – mp • (– 3m) = – 9m6 + 6m5 +3m2p 8. (2x + y) (3x + 2y) = 2x (3x + 2y) + y (3x + 2y) = 2x • 3x + 2x • 2y + y • 3x + y • 2y = 6x2 + 4xy + 3yx + 2y2 = 6x2 + 7xy + 2y2 (los términos 4xy y 3yx son semejantes, por lo tanto deben reducirse). Ejercicios I. Efectúe las siguientes operaciones: 1. a2 • a3 15. abc • 2abc 2. m3 • m4 • m5 16. 3x2y • x3y6 • – y 3. x2 • x3 • x3 17. – 4abc • – 3a2b2 • 12ab5c7 4. a • ab 18. 2pr • 3pr5 • pr2 • 7p3r4 5. xy • x2y 19. – 6x3 • – 6x3 6. a • a2b • a3b2 20. – 2ax4 • – 3ax5 • – 3a2x4 7. 2a • ab6 21. an • an + 1 8. 3xy2 • 5x2y3 22. 2am • 3an 9. 2m • 5n 23. xp + 1 • xp – 1 10. ax • – axy 24. p2x • p3x – 2 • px + 9 11. – 2x • 3xy • – 2x 25. 2a • 2a – 3 • – 2a – 9 12. – 3a2b • – 5abc • c4 26. a2n – 3 13. 7abc • – 2a2bc8 27. a2x – 5 • bx + 1 • a2x + 2 • bx – 1 14. m2p • – m 20 Álgebra en los números reales • a3n – 2 • a2 – 3n CAPÍTULO 1 28.pa • pa + 2 • q2a – 3 • q5 – 3a 29.ax – 4 • bx + 4 • c2x • ax • b2x • cx + 2 30. (ab)5 • a4 • b2 31. (mp)3 • (mp)2 • mp 32. (2x)x + 1 • (2x)x + 2 • (2x)x – 3 33. (m2n)5 • m5 • n6 34. (a2)3 • (a3)4 • a6 35.2x • (2x)6a – 2 • (2x)3a + 4 36. 1 3 1 2 a • a • 5a6 2 3 II. 2 4 3 7 4 4 b • b •– b 3 8 3 6 3 2 15 6 5 38.– x y • x y 5 4 8 6 4 2 2 3 3 2 5 11 39.– a b • ab c • – a b c 9 4 5 40.0,1a6b7c4 • 0,02abc4 • 0,1a2b 37. 41.0,03a5b4 • 1,3a4b8 • 2,7ab6 42.0,5xyz4 • 2,1x2yz • – 3,1x6 43.1,03a4b • – 1,3a3b4 44.0,06m2n6p2 • 0,6mn6p4 2 6 12 a • b • – 3a4b5 • 0,5a2b4 5 45. Monomio por polinomio: 1.3a (a – 2b) 2.– 5x (2 – 3x2 – 5x) 3.7b (2a – b) 4.3x2 (3x6 – 2x4 + x3 – 2x + 3) 21. p2q 1 pq – 1 pq3 + 2pq 3 4 5 22. – 1 a 2 b3 c 6 abc – a 2 b2 c 2 23.– 3 x 6y 2z 4 1 – xyz 4 + 2 x 4y 2z 6 5 3 5.– 6x5y3 (3x2y – 4xy4 – 2x2 y2) 3 2 6 2 4 2 6 2 24. – m n 14m n – mn – m n 4 3 6.(4xy – 5xy4) • – 6xy 25. x y x y – xy 7.(3m2 – 2mn + n6) • 13m4n2 8.– 15m2np4 (mn6p2 – m4n 4p2 + mnp) 9.6m2(2m – 5n) – 3m(6m2 + 4n) 10. p2q4(2pq – pq3 – 1) + 3p3q2 (q3 – q5 + p2) 11. – 3a6 b2(– ab3 + ab + a4b6) – 3a7b3(b2 – 1) 12.20 abc(a + b – c) 13.a5b2 – a5(a2 – ab + b2) 14.3x6y4(x2 + xy + y2) 15.– 3b(2ab + b2 + 5bc) 16.7a6b8c9(2abc – 5a2b + 4ab2c2 – abc3) 17.(x6y21 – 4xy11 – 9x10y2) • – 3x6y2 1 3 2 18. 2 x 4 x – 3 y 19. – 1 2 1 3 2 a ab + ab 3 2 5 20. 3 x 2y 6 2 xy 4 + 4xy 2 – 1 4 5 2 2 5 2 2 26. – 1 a 6b4c 3 4 ab2 – 4 a 3b2 – 1 a 2 5 4 27.0,03a6b2 (1 – a2b2 – 0,03ab3) 28.– 0,5m4n2 (– 0,5m6n – 2mn3 + 3,5mn3) 29.0,07a4b2 (100ab4 – 10ab3 – 2ab) 30.1,2x6y11 (2,1xy9 –1,1x2y2 + 2,1xy8) 31. 0,5abc (a2 – b2 – c2) + 4,8abc (a2 – b2 – c2) 32.– 2,2x6y3z (1,1xyz – 1,2x2y2z2 + 3xyz3) 33. 3 p2qr12 – 3 p2qr3 + 3 pqr6 4 5 2 5 11 10 4 2 34. – m n p 10m n – 35 6 2 m n +2 1 6 3 6 11 2 6 x y 1– x y – x y 4 34 2 4 2 3 4 11 36. – x y x y – xy + y 3 35. – 37. – 12 4 2 5 2 11 2 a b c – a bc – 10 abc – 4ab 5 4 Álgebra en los números reales 21 III. Efectúe las siguientes operaciones: 1. (x + y) ( x2 + y2) 18. (2p – 4) (2p + 7) 2. (2a + b ) (3a – 2b) 19. (2x – 3y – 4z) (x + y + z) 3. (1 – x) (1 – y) 20. (x2 + y2 – z2)(2x – 3y – 4z) 4. (2x – 6y) (x2 – 2xy) 21. (a + 1) (an + an + 1 + an + 2) 5. (x2 + 3x2y) (– 3xy2 + 4xy3) 22. (a – 1) (an – 1 + an + an + 1) 6. (4x + y) (– 2x – 5xy) 23. (u – v) (u2 – 3uv + v2) 7. (6a – 5b) (2b + 7a) 24. (x + y) (x 2 + 2xy + y2) 8. (a + b + 1) (a – b) 25. (– 3x + y2) (x2 – xy – y) 9. (2a – 3ab + b2) (b – b2) 26. (2y + 3x) (x2 – xy + 2y2) 10. (5x2y + 2xy2 – 3xy) (x – y2) 27. (– 3x – 2y + z) (x + y – 3z) 11. (m2 + n2 – mn) (2m – 3n) 28. (x – y) (x2 + xy + y2) 12. (– 3xy – 2xy2) (xy2 – 5xy) 29. (x + y) (x2 – xy + y2) 13. (2p2q + 3pq11 – 5pq4) (– 3pq + 2p) 30. (a + b) (a4 – a3b + a2b2 – ab3 + b4) 14. (x2 + 1) (x2 – 1) 31. (a – b) (a3 + a2b + ab2 + b3) 15. (a + b) (a – b) 32. (x + y) (xn – 1 + xn – 2 + xn – 3) 16. (x + 4) (x – 6) 33. (p2 – q2) (pn – pnqn – qn) 17. (a2 + 5) (a2 + 7) Soluciones I. 1. a5 7. 2a2b6 2. m12 3. x8 4. a2b 5. x3y2 6. a6b3 8. 15x3y5 9. 10 mn 10. – a2x2y 11. 12x3y 12. 15a3b2c5 13. – 14a3b2c914. – m3p 15. 2a2b2c2 16. – 3x5y8 17. 144a4b8c8 18. 42p6r12 19. 36x6 24. p6x + 7 25. – 23a – 12 26. a2n – 3 27. a4x – 3 b2x 28. p2a + 2 q2 – a 29. a2x – 4b3x + 4c3x + 2 22 Álgebra en los números reales 20. –18a4x1321. a2n + 1 22. 6am + n 23. x2p 30. a9b7 CAPÍTULO 1 31. m6p6 32. (2x)3x 1 15 3 37. – b 33. m15n11 34. a24 35. (2x)9a + 3 36. 5 11 a 6 4 9 11 14 38. – xx9yyy7 39. a b c 40. 0,0002a9 b9 c8 41. 0,1053a10 b18 42. – 3,255x9 y2 z5 II. 1. 3a2 – 6ab 15 2 43. – 1,339a7 b5 44. 0,036m3n12 p6 45. – 2. –10x + 15x3 + 25x2 4.9x8 – 6x6 + 3x5 – 6x3 + 9x2 6. – 24x2y2 + 30x2y5 3 12 21 a b 5 3. 14ab – 7b2 5. –18x7y4 + 24x6y7 + 12x7y5 7. 39m6n2 – 26m5n3 + 13m4n8 8. – 15m3n7p6 + 15m6n5p6 – 15m3n2p5 9. – 6m3 – 30m2n – 12mn 10. 5p3q5 – 4p3q7 – p2q4 + 3p5 q2 11. – 3a10b8 12. 20a2bc + 20ab2c – 20abc2 13. – a7 + a6b 14. 3x8y4 + 3x7y5 + 3x6y6 15. – 6ab2 – 3b3 – 15b2c 16. 14a7b9c10 – 35a8b9c9 + 28a7b10c11 – 7a7b9c12 1 1 3 2 1 2 x – xy 19. – a3b – a3b 6 5 8 3 3 3 10 3 2 3 2 3 4 16 3 2 20. 21. x y + 3x3 y– x2 y6 pq – pq + pq 10 4 3 15 3 3 6 2 4 3 3 2 10 4 10 1 3 4 5 4 22. – a b c + a b c 23. x y z – x y z + x y z 5 5 5 2 4 2 2 3 3 21 13 3 1 8 6 1 13 4 xy – xy 24. – m n + m n + m n 25. 5 5 6 2 2 2 6 3 2 6 3 1 4 3 6 2 26. – a b c + a b c + a b c 27. 0,03a b – 0,03a8b4 – 0,0009a7b5 5 1 10 3 3 5 5 28. 29. 7a5b6 – 0,7a5b5 – 0,14a5b3 m n +m n – m n 4 4 30. 2,52x7y20 – 1,32x8y13 + 2,52x7y19 31. 5,3a3bc – 5,3ab3c – 5,3abc3 4 2 15 3 2 1 pqr + pqr 32. – 2,42x7y4z2 + 2,64x8y5z3 – 6,6x7y4z4 33. – 20 16 1 6 1 14 1 3 14 14 1 12 4 11 10 13 11 xy + x y + x y 34. – 4m n p + m n p – m n p 35. – 4 12 2 5 4 3 2 15 4 5 4 7 6 3 8 5 3 18 36. – x y + x y – x y 37. 3a b c + 24a b c + a b c 3 3 3 5 17. – 3x12y23 + 12x7 y13 + 27x16y4 18. III. 1. x3 + xy2 + x2y + y3 2. 6a2 – ab – 2b2 3. 1 – x – y + xy 4. 2x3 – 10x2y + 12xy2 5. – 3x3y2 – 5x3y3 + 12x3y4 7. 42a2 – 23ab – 10b2 8. a2 – b2 + a – b 6. – 8x2 – 20x2y – 2xy – 5xy2 9. 2ab – 5ab2 + 3ab3 + b3 – b4 10. 5x3y – 5x2y3 + 2x2y2 – 2xy4 – 3x2y + 3xy3 11. 2m3 – 5m2n + 5mn2 – 3n3 12. 7x2y3 + 15x2 y2 – 2x2y4 13. – 6p3q2 + 4p3q – 9p2q12 + 6p2q11 + 15p2q5 – 10p2q4 14. x4 – 1 15. a2 – b2 16.x2 – 2x – 24 17. a4 + 12a2 + 35 18. 4p2 + 6p – 28 19. 2x2 – xy – 3y2 – 2xz – 7yz – 4z2 20. 2x3 – 3x2y – 4x2z + 2xy2 – 3y3 – 4y2z – 2xz2 + 3yz2 + 4z3 21. an + 2an+1 + 2an+2 + an+3 22. an+2 – an–1 24. x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 23. u3 – 4u2v + 4uv2 – v3 25 . – 3x3 + 3x2y + 3xy + x2y2 – xy3 – y3 26. 3x3 – x2y + 4xy2 + 4y3 27. – 3x2 – 5xy + 10xz – 2y2 + 7yz – 3z2 29. x3 + y3 30. a5 + b5 31. a4 – b4 28. x3 – y3 32. xn + xn–1 + xn–2 + yxn–1 + yxn-2 + yxn–3 33. pn+2 – pn+2qn – p2qn – q2pn + qn+2pn + qn+2 Álgebra en los números reales 23 1.5 Productos notables Dentro de la multiplicación algebraica existen algunos productos que pueden ser desarrollados en forma directa, es decir, sin multiplicar término a término primero, y luego reducir. Éstos son: Cuadrado de un binomio. El desarrollo de este producto corresponde al cuadrado del primer término, más (o menos) el doble del producto del primer término por el segundo y más el cuadrado del segundo, es decir: (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 Suma por diferencia. Es igual a la diferencia de los cuadrados de los términos, es decir: (a + b) (a – b) = a2 – b2 Producto de binomios con un término común. Es el cuadrado del término común más el producto del término común por la suma de los términos no comunes y más el producto de los términos no comunes, o sea: (x + a) (x + b) = x2 + x • (a + b) + ab Cubo de un binomio. Corresponde al cubo del primer término, más (o menos) el triple del cuadrado del primer término multiplicado por el segundo, más el triple del primer término multiplicado por el cuadrado del segundo y más (o menos) el cubo del segundo. Así: (a ± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3 Para obtener otras potencias de un binomio podemos determinar los coeficientes mediante el triángulo de Pascal, que se obtiene de la siguiente manera: •Comienza y termina con 1. •Cada coeficiente se obtiene sumando los dos correspondientes según el orden en la fila anterior. •La primera fila corresponde a los coeficientes de (a + b)0 •La segunda fila corresponde a los coeficientes de (a + b)1 •La tercera fila corresponde a los coeficientes de (a + b)2 Así, la fila n-ésima nos entrega los coeficientes de (a + b)n – 1. Los factores literales se obtienen de la siguiente manera: En (a + b)n debe haber (n + 1) términos. El primer factor literal es an ; el segundo es an – 1 • b1 ; el tercero es an – 2 • b2 y así sucesivamente. El grado del término “a” decrece a medida que el grado de “b” aumenta hasta terminar en bn. (Cada término se forma con el coeficiente numérico obtenido del triángulo de Pascal y el factor literal señalado más arriba). 24 Álgebra en los números reales CAPÍTULO 1 Representación geométrica de expresiones algebraicas. a) La expresión a•b representa el área del rectángulo de lados a y b. D C a a•b A a–b B b b) Observemos el cuadrado del binomio (a+b)2 = a2 + 2ab + b2 D c) Observemos el producto de una suma por su diferencia: a b C I D a E a2 a H b a•b A a a•b b2 J b a–b G b b2 b C K A F H B J A(ABCD) = (a+b) (a– b) I Tenemos A(EFGA) = A(HBCI) \ A(ABCD) = A(EFGHIDA) que es a2 – b2 B Ejercicios resueltos 1. (2 + x)2 = 22 + 2 • 2 • x + x2 = 4 + 4x + x2 2. (3a – 5b)2 = (3a)2 – 2 • 3a • 5b + (5b)2 =9a2 – 30ab + 25b2 3. (2x – y) (2x + y) = (2x)2 – y2 = 4x2 – y2 4. 2 a a + 5y a a – 5y = a 2a – 5y 2 2 +2 5y –2 5y = – 5y 2 2 2 2 2 2 a a – 25y 2 2 = = –4 25y 4 5. (x + 8) (x + 5) = x2 + (5 + 8)x + 5 • 8 = x2 + 13x + 40 6. (2a + 3) (2a – 7) = (2a)2 + (3 – 7) • 2a + 3 • – 7 = 4a2 – 4 • 2a – 21 = 4a2 – 8a – 21 7. (p + 2)3 = p3 + 3 • p2 • 2 + 3 • p • 22 + 23 = p3 + 6p2 + 3p • 4 + 8 = p3 + 6p2 + 12p + 8 8. (2t – r)3 = (2t)3 – 3(2t)2 • r + 3(2t) • r2 – r3 =8t3 – 3 • 4t2 • r + 6t • r2 – r3 =8t3 – 12t2r + 6tr2 – r3 9. (a + b)4 = 1a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + 1b4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 10. (2a + y)5 = 1(2a)5 + 5(2a)4 • y + 10 • (2a)3 • y2 + 10(2a)2 • y3 + 5(2a)y4 + 1 • y5 = (2a)5 + 5 • 16a4y + 10 • 8a3y2 + 10 • 4a2y3 + 10ay4 + y5 = 32a5 + 80a4y + 80a3y2 + 40a2y3 + 10ay4 + y5 Álgebra en los números reales 25 Ejercicios I. Cuadrado de binomio. 1. (x + y)2 14. (4pq – 3q)2 2. (p – q)2 15. (9x2 – 7y2)2 3. (2p + q)2 16. (8a2b + 7ab6)2 4. (3a + b)2 17. (15x2y – 3xy2z6)2 5. (2a – 3b)2 18. (2a – 3b)2 + (3a – 5b)2 6. (x + 1)2 19. (11x – 5y)2 – (13x + 3y)2 + (x – 2y)2 7. (a – 6)2 20. 8. (x + 9)2 21. 3a – b 2 2 5 9. (3p – 1)2 2 10. (x + 5)2 22. 2 x2 – 3 yz 11. (6x – 5y)2 23. (0,1a2 – 0,2abc)2 12. (2m – 1)2 24. (1,5xy2 + 2,5x2y)2 13. (6x2y + 2x)2 25. 3 a2b3 – 3 ab6 II. 3 5 4 2 5 Suma por diferencia. 1. (u – v) (u + v) 14. (a + 5x) (a – 5x) 2. (x + 2y) (x – 2y) 15. (– 9x2 + 5xy) ( – 9x2 – 5xy) 3. (3a – b) (3a + b) 16. (–13n5p2 + 1) (13n5p2 + 1) 4. (5x2 – 3y) (5x2 + 3y) 17. (1 – a) (1 + a) – (1 – 2a) (1 + 2a) 5. (2x – 3xy) (2x + 3xy) 18. (x2 – 2xy) (x2 + 2xy) + (x2 + 2xy)2 6. (6a + 1) (6a – 1) 19. (1 – w5) (1 + w5) 7. (9m2 – 3n) (9m2 + 3n) 8. (– 4a2b + 5b) (4a2b + 5b) 20. 3 p – 2 q4 4 5 9. (– 6m2n3 – 7m) (– 6m2n3 + 7m) 21. abc + 4x 2x 3 2 4 p + q 4 5 abc – 4x 2x 10. (10a2 – 1) (10a2 + 1) 22. (0,05x12 – 2) (0,05x12 + 2) 11. b2 – 1 23. (6x5y2z3 – 1) (6x5y2z3 + 1) 2 12. 2a – 5 b 3 b2 + 1 2 2a + 5b 3 13. (2a + b) (2a – b) – (2a + b)2 26 2 a b + 2b + 2a – 2 2 Álgebra en los números reales 24. 2p + q 4 2p – q 4 25. (0,3x2y – 2z) (0,3x2y + 2z) CAPÍTULO 1 III. Producto de binomios con término común. 1. (a + 2) (a + 3) 10. (x + 6) (x – 2) 19. (3a2 – 2b) (3a2 – 5b) 2. (x + 5) (x + 4) 11. (x – 3) (x – 8) 20. (9a – 4) (9a + 11) 3. (t + 2 ) (t – 3) 12. (x – 13) (x + 2) 4. (a + 5 ) (a – 9) 21. (6x2 – 2y) (6x2 – 7y) 13. (a – 7) (a + 12) 5. (x – 8) (x – 1) 14. (x2 + 5) (x2 + 3) 6. (a – 7) (a – 9) 15. (a2 – 3) (a2 + 4) 23. a – 2b 4 a – 6b 4 7. (x + 2) (x – 12) 16. (2b + 5) (2b + 9) 24. 3a – 5b 5 3a + b 5 25. 3p + 3q 4 3p +q 4 8. (x + 3) (x + 8) 17. (6x – 3) (6x + 5) 9. (x – 4) (x – 6) 18. (2a + 3b) (2a + 5b) IV. 22. (4a2b – 3a) (4a2b + 9a) Cubo de un binomio. 3 1. (a + b)3 10. (1 – 3y)3 19. 1 –a 2 2. (p – q)3 11. (2 + 3t)3 20. 3 3. (x + 2)3 12. (3a – 2x)3 1 x + 2y 2 13. (5a – 1)3 21. 2 1 a– b 3 3 3 4. (a – 3)3 5. (t + 4)3 14. (3a2 – 2a)3 22. 5 p + 3 q 3 6. (2 – a)3 15. (t2 + t3)3 7. (2a – b)3 16. (1 + x4)3 1 1 m– n 23. 10 5 8. (3a – 5b)3 17. (2t – 3a2)3 24. a – a 3 9. (2x + 3y)3 18. (u2 + 5v)3 25. 1 t + 2t 2 V. 2 3 3 3 2 Otras potencias de binomios. 1. (2a + b)4 5. (3a + 2)6 2. (x – 2y)5 3. (a + b)6 y 6. x + 2 2 4. (2a – 1)7 7. (3a + 4)4 VI. 2 44 55 1 +a 2 4 4 2a 9. 3 – 3a 8. 10. (x + 1)5 Representación geométrica de expresiones algebraicas. Investigar de qué manera se pueden representar como suma o resta de áreas los siguientes productos. 1. (a–b)2 = a2 – 2ab + b2 4. (x–a) (x–b) = x2 – (a+b)x + ab 2. (x+a) (x+b) = x2 + (a+b)x + ab 5. (a+b+c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac 3. (x–a) (x+b) = x2 + (b–a)x – ab Álgebra en los números reales 27 Soluciones I. 1. x2 + 2xy + y2 2. p2 – 2pq + q2 5. 4a2 – 12ab + 9b2 9.9p2 – 6p + 1 3. 4p2 + 4pq + q2 6. x2 + 2x + 1 7. a2 – 12a + 36 10. x2 + 10x + 25 12. 4m2 – 4m + 1 8. x2 + 18x + 81 11. 36x2 – 60xy + 25y2 13. 36x4y2 + 24x3y + 4x2 15.81x4 – 126x2y2 + 49y4 4. 9a2 + 6ab + b2 14. 16p2q2 – 24pq2 + 9q2 16. 64a4b2 + 112a3b7+ 49a2b12 17. 225x4y2 – 90x3y3z6 + 9x2y4z12 18. 13a2 – 42ab + 34b2 2 2 20. 1a + 1b 19. – 47x2 – 192xy + 20y2 4 4 4 4 2 2 2 22. x – x yz + y z 5 25 2. x2 – 4y2 6. 36a2 – 1 25. 4 6 3 2 12 a b – a b + a b 16 10 25 3. 9a2 – b2 7. 81m4 – 9n2 10. 100a4 – 1 4 4. 25x4 – 9y2 8. 25b2 – 16a4b2 1 12. 4a2 2 11. b4 – – 25b 15.81x4 – 25x2y2 4 16. 1 – 169n10p4 20. p14 – 4 q 21. 16 25 2 q 2 24. 4p – 16 2 2 2 a b c 4x 2 – 16x2 13. – 4ab – 2b2 22. 0,0025 x24 – 4 5. x2 – 9x + 8 6. a2 – 16a + 63 7. x2 – 10x – 24 10. x2 + 4x – 12 4. a2 – 4a – 45 8. x2 + 11x + 24 11. x2 – 11x + 24 12. x2 – 11x – 26 14. x4 + 8x2 + 15 15. a4 + a2 – 12 16. 4b2 + 28b + 45 17. 36x2 + 12x – 15 18. 4a2 + 16ab + 15b2 19.9a4 – 21a2b + 10b2 20.81a2 + 63a – 44 21. 36x4 – 54x2y + 14y2 22. 16a4b2 + 24a3b – 27a2 2 23. a – 2ab + 12b2 24. 16 IV. 1. a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 2 a ab – 40b2 + 25 5 2 25. 3. x3 + 6x2 + 12x + 8 5. t3 + 12t2 + 48t + 64 6.8 – 12a + 6a2 – a3 4. a3 – 9a2 + 27a – 27 7. 8a3 – 12a2b + 6ab2 – b3 9. 8x3 + 36x2y + 54xy2 + 27y3 10.1 – 9y + 27y2 – 27y3 11. 8 + 36t + 54t2 + 27t3 Álgebra en los números reales p + 3pq + 3q2 16 2. p3 – 3p2q + 3pq2 – q3 28 23. 36x10y4z6 – 1 25. 0,09 x4y2 – 4z2 3. t2 – t – 6 14. a2 – 25x2 17. 3a2 18. 2x4 + 4x3y 19. 1 – w10 2. x2 + 9x + 20 13. a2 + 5a – 84 5. 4x2 – 9x2y2 9. 36m4n6 – 49m2 III. 1. a2 + 5a + 6 9. x2 – 10x + 24 2 6 b ab + 5 25 23. 0,01a4 – 0,04a3bc + 0,04a2b2c2 24. 2,25x2y4 + 7,5x3y3 + 6,25x4y2 II. 1. u2 – v2 2 21. a – 8. 27a3 – 135a2b + 225ab2 – 125b3 12. 27a3 – 54a2x + 36ax2 – 8x3 CAPÍTULO 1 13. 125a3 – 75a2 + 15a – 1 15. t6 + 3t7 + 3t8 + t9 14. 27a6 – 54a5 + 36a4 – 8a3 16. 1 + 3x4 + 3x8 + x12 17. 8t3 – 36t2a2 + 54ta4 – 27a6 19. 1 – 3 a + 3 a2 – a3 4 2 1 3 3 2 4 2 1 3 20. x + x y + 6xy2 + 8y3 21. a3 – a2 b + ab2 – b 2 2 2 3 3 125 3 225 2 135 2 2 3 1 1 3 22. m3 – m2 n + mn2 – n p + p q+ pq + q 23. 1.000 500 250 125 3 3 4 1 3 a 24. 25. t + t + 6 t5 + 8 t6 2 2 18. u6 + 15u4v + 75u2v2 + 125v3 V. 1. 16a4 + 32a3b + 24a2b2 + 8ab3 + b4 2. x5 – 10x4y + 40x3y2 – 80x2y3 + 80xy4 – 32y5 3. a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + b6 4. 128a7 – 448a6 + 672a5 – 560a4 + 280a3 – 84a2 + 14a – 1 5. 729a6 + 2.916a5 + 4.860a4 + 4.320a3 + 2.160a2 + 576a + 64 x3 y 3x2 y2 xy3 y4 x4 + + + + 4 4 16 16 4 3 2 7. 81a + 432a + 864a + 768a + 256 6. 5 5 2 5 3 5 4 1 + a+ a + a + a + a5 4 32 16 2 2 2.401 4 a 9. 1 10. x5 + 5x4 + 10x3 + 10x2 + 5x + 1 8. 1.6 Factorización Factorizar una expresión algebraica (o suma de términos algebraicos) consiste en escribirla en forma de multiplicación. Veremos los siguientes casos: 1.6.1 Factor común (monomio y polinomio) Aquí, todos los términos de la expresión presentan un factor común, que puede ser un monomio o un polinomio, por el cual se factoriza, es decir, el término común es uno de los factores de la multiplicación. El otro se determina aplicando la multiplicación algebraica. Álgebra en los números reales 29 Ejercicios resueltos 1. Factoricemos la expresión 2a + 6a2 Vemos que el término 2a está contenido en ambos términos del binomio que queremos factorizar; por lo tanto, 2a es el factor común y escribimos 2a + 6a2 = 2a (1 + 3a). El segundo factor se obtiene buscando los términos por los cuales hay que multiplicar el factor común (2a) para obtener los términos de la expresión original. 2. Factoricemos la expresión 6xy2 – 15x2 y + 21x2 y2 El coeficiente numérico contenido en los tres términos de la expresión es el tres y el factor literal es xy; por lo tanto, el factor común es 3xy. Y escribimos: 6xy2 – 15x2y + 21x2y2 = 3xy (2y – 5x + 7xy). 6 2 3 3. Factoricemos la expresión 5a2 – 10a – 20a4 3b 21b b El término o factor común de los numeradores es 5a2 y el de los denominadores es 3b; por lo tanto, el factor común de la expresión 2 es: 5a y escribimos: 3b 6 5a 2 3b – 10a 2 21b – 3 20a 4 b = 5a 2 a4 3b b – 2 – 4a 3b3 4. Factoricemos la expresión m (2a + b) – 3n (2a + b). Aquí podemos considerar el paréntesis (2a + b) como un solo término y podemos factorizar por él. Entonces nos queda: m (2a + b) – 3n (2a + b) = (2a + b) (m – 3n) 5. Factoricemos la expresión a (p – q) – p + q Aquí no encontramos un término común en forma inmediata, pero podemos hacer una asociación adecuada y nos queda: a (p – q) – p + q = a (p – q) – (p – q) = (p – q) (a – 1) Observación 1: El proceso está completo si no es posible seguir factorizando dentro de los paréntesis (o factores) obtenidos. Observación 2: Por la propiedad conmutativa de la multiplicación no importa el orden en que se entregue el resultado. 30 Álgebra en los números reales CAPÍTULO 1 Ejercicios Factorice las siguientes expresiones: 30. 1. m2 + 3m 31. 2. a2 + ab 3a b + 4. a2b2 + a3b3 – ab 5. 2pq2 – 3p2q 6. 6x2y5 – 12x2y6 – 18x3y4 7. 2ab + 2ac + 2ad 8. 26x2y6 – 13x6y2 9. x2y2 – xy 10. 21a6 – 14a5 + 56a7 11. a + a2 + a3 + a4 12. 3a2b – 6a 3 b – 12ab 3 13. 15mn – 10m 14. 2q + 2q2 + 2q6 15. 10q5 – 30pq5 – 15pq6 16. 18gh5 – 4g2h2 – 8g3h3 17.7y6x2 – 35yx4 – 28y4 2 b – 21a 3 b 2 2 3 3 pq pq pq + + 2ab 2ac 2abc 5 3. 3a – 12ab 12a 4 3 32. c – c – c 5 10 15 2 2 3 3 2 2 10 5 33. a b + a b – a b 2 3 x x x 20 34. m + m – m 20 10 5 35. – p2q + 2pq2 36. 3 (a – 2) – a (a – 2) 37. a (x + 4) + b (x + 4) + c (x + 4) 38. x (z2 + a2) + 2 (z2 + a2) 39. m (a – c) + a – c 40. m (a – c) – a + c 41. a (x2 + y2 + z2) – x2 – y2 – z2 42. 2a – b + 3a (2a – b) 43. a + ax + ax2 44. c (3 – 5c) – 2d (3 – 5c) 2 2 2 2 a +c a +c 2 2 – –a –c 2b 2q 18. 2 – 2x 45. 19. a + a2 46. 3x (2x – y) – 2x + y 20. a6 – 7a5 – 5a4 47. (a + b) (a + c) – (a + b ) (a + d) 21. 4m5r6 – 6m4r5 – 16m5r3 48. (1 + a) (x – y) – (x – y)2 22. a2b2c6 – a3b5c2 + a7b3c2 23. x2 – x2y2 – x2y3 + x2y4 49. (a2 + 6) (a2 + b) + a (a2 + b) 50. (2 + a + c) (a – c) + (2 + a + c) (b – d) 51. x2 + y2 + z2 + 2a (x2 + y2 + z2) 24. 2xyz – 2xy 25. 6a + 36a6 52. a (b + x) + b (b + x) + c (b + x) 26. t9 + t8 + t5 53. 27. 12ab6 – 12ab5 54. m (x + y – z) – n (x + y – z) – p (x + y –z) 28. x6y9z12 + x6y8z6 + x5y8z10 55. 2 29. 3 4 a a a – – 2 2 2 2 4 16 a – ab – abc 15 5 25 3 2 3 2 2 3 2 3 a b– a b – a b 4 2 2 2 56. x + y – x 2 – y 2 a Álgebra en los números reales 31 Soluciones 1. m (m + 3) 22. a2b2c2 (c4 – ab3 + a5b) 38. (x + 2) (z2 + a2) 2. a (a + b) 23. x2 (1 – y2 – y3 + y4) 39. (a – c) (m + 1) 3. 3a (1 – 4b) 24. 2xy (z – 1) 40. (a – c) (m – 1) 4. ab (ab + a2b2 – 1) 25. 6a (1 + 6a5) 41. (x2 + y2 + z2) (a – 1) 5. pq (2q – 3p) 26. t5 (t4 + t3 + 1) 42. (1 + 3a) (2a – b) 6. 6x2y4 (y – 2y2 – 3x) 27. 12ab5 (b – 1) 43. a (1 + x + x2) 7. 2a (b + c + d) 28. x5y8z6 (xyz6 + x + z4) 44. (3 – 5c) (c – 2d) 8. 13x2y2 (2y4 – x4) 2 29. a 1 – a – a2 2 2 45. a + c 2b – 2q – 1 2 9. xy (xy – 1) 30. 3a 1 + 4 – b b b2 10.7a5 (3a – 2 + 8a2) 11. a (1 + a + a2 + a3) 2 2 12. 3ab (a – 2a2 – 4b2) 31. 13. 5m (3n – 2) 32. 14. 2q (1 + q + q5) 15. 5q5 (2 – 6p – 3pq) pq pq 1 p q + + 2a b c bc pq pq 2a b + 1 + c 33. a2 b2 x 18. 2 (1 – x) 34. m 5 19. a (1 + a) 35. pq (–p + 2q) 16. 2gh2 (9h3 – 2g – 4g2h) 17.7y (y5x2 – 5x4 – 4y3) 20. a4 (a2 – 7a – 5) 21. 2m4r3 (2mr3 – 3r2 – 8m) 5 1 + 15 m 4 p2 q2 bc ab 1 – 2 x x + 5 m –1 2 36. (a – 2) (3 – a) 1 1 46. (2x – y) (3x – 1) 47. (a + b) (c – d) 48. (x – y) (1 + a – x + y) 49. (a2 + b) (a2 + 6 + a) 50. (2 + a + c) (a – c + b – d) 51. (x2 + y2 + z2) (1 + 2a) 52. (b + x) (a + b + c) 2 1 bc 53. 5 a 3 – 2 b – 5 54. (x + y – z) (m – n – p) 3 55. 2 a2 b 1 1 2 – b – b 2 4 56. x2 + y2 1 – 1 a 37. (x + 4) (a + b + c) 1.6.2 Factor común compuesto Muchas veces, no todos los términos de una expresión algebraica contienen un factor común, pero haciendo una adecuada agrupación de ellos podemos encontrar factores comunes de cada grupo. Veremos, con ejemplos, cómo procederemos en estos casos. Ejercicios resueltos 1. Factoricemos: ac + ad + bc + bd Si observamos, vemos que el primer y el segundo término tienen el factor común “a” y el tercer y el cuarto término tienen “b” como factor común. Asociamos y factorizamos por parte: ac + ad + bc + bd = (ac + ad) + (bc + bd) = a(c + d) + b(c + d) 32 Álgebra en los números reales CAPÍTULO 1 Ahora nos queda (c + d) como factor común, por lo tanto, la expresión original queda factorizada como sigue: ac + ad + bc + bd = (c + d) (a + b) 2. Factoricemos: ax + bx + cx – ay – by – cy Aquí podemos asociar el primer y el cuarto término, el segundo y el quinto, el tercero y el sexto y nos queda: ax + bx + cx – ay – by – cy = (ax – ay) + (bx – by) + (cx – cy) = a(x – y) + b(x – y) + c(x – y) = (a + b + c) (x – y) 3. Factoricemos: ax + bx + cx + ay + by + cy – az – bz – cz Asociemos en el orden natural los tres primeros, los tres siguientes y los tres últimos: ax + bx + cx + ay + by + cy – az – bz – cz = (ax + bx + cx) + (ay + by + cy) – (az + bz + cz) = x(a + b + c) + y (a + b + c) – z(a + b + c) = (a + b + c) (x + y – z) • Observación: La forma de asociar no es única, pero la factorización sí lo es. En el primer ejemplo podríamos haber asociado el primer y el tercer término y el segundo con el cuarto y el resultado habría sido el mismo. Ejercicios Factorice las siguientes expresiones: 1. ac + ad + bc + bd 12. 3 + 15z + 4y + 20yz 2. ax – ay + bx – by + cx – cy 13. a2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2 3. pc + qc + pd + qd 14. 3ax3 – 2bx3 – 3ay3 + 2by3 4. rt + rv – st – sv 15. 1 + b + a + ab 5. 2ac – ad + 2bc – bd 16. a2x2y2 + b2x2y2 – 2a2 – 2b2 6. xu – xv – yu + yv 17. abc – 2abcz – xy + 2xyz 7. 2au + 2av – 3bu – 3bv 18. bd – 3bf + 2cd – 6cf 8. 3a2x + 3a2y + b2x + b2y 19. xp + 2xq – 2yp – 4yq + 4zp + 8zq 9. 2ac – 2ad + 3bc – 3bd 20. 4 + 2c + 2d + 2a + ac + ad + 2b + bc + bd 10. x + y + ax + ay 21. a2x2 + x2y2 – x2b + a2y2 + y4 – y2b – a2 – y2 + b 11. 2a – 2b + ax – bx Álgebra en los números reales 33 22. a2x2 + b2x2 + c2x2 + a2y2 + b2y2 + c2y2 29. p4 + p2q2 + p2r2 + 2p2q + 2q3 + 2qr2 + p2r + q2r + r3 23. 12ac – 6ad – 2bc + bd 30. ax – bx – cx + 2ay – 2by – 2cy – az + bz + cz 24. aq – ar + bq – br 31. a2u – a2v + b2u – b2v + u – v 25. u + au – v – av – w – aw 32. 4 – 2a – 2b + 2x – ax – bx + 2y – ay – by 26. 2ax – 2ay – bx + by 33. x2y2w2 – x2y2z2 – xyw2 + xyz2 27. 3am2 – 3at2 – 5b2m2 + 5b2t2 34. ax + 2bx + 3cx – ay – 2by – 3cy 28. x – y + 2ax – 2ay + 3bx – 3by 35. 2ax + 2bx – ay – by – az – bz Soluciones 1. (a + b) (c + d) 18. (b + 2c) (d – 3f) 2. (a + b + c) (x – y) 19. (x – 2y + 4z) (p + 2q) 3. (p + q) (c + d) 20. (2 + a + b) (2 + c + d) 4. (r – s) (t + v) 21. (x2 + y2 – 1) (a2 + y2 – b) 5. (a + b) (2c – d) 22. (x2 + y2) (a2 + b2 + c2) 6. (x – y) (u – v) 23. (6a – b) (2c – d) 7. (2a – 3b) (u + v) 24. (a + b) (q – r) 8. (3a2 + b2) (x + y) 25. (u – v – w) (1 + a) 9. (2a + 3b) (c – d) 26. (2a – b) (x – y) 2 2 2 * 27. (3a – 5b ) (m – t ) 28. (1 + 2a + 3b) (x – y) 10. (1 + a) (x + y) 11. (2 + x) (a – b) * 12. (3 + 4y) (1 + 5z) 29. (p2 + 2q + r) (p2 + q2 + r2) 13. (a2 + b2) (c2 + d2) 14. (x3 – y3) (3a – 2b) 30. (x + 2y – z) (a – b – c) 15. (1 + a) (1 + b) 32. (2 + x + y) (2 – a – b) 16. (x2y2 – 2) (a2 + b2) 17. (abc – xy) (1 – 2z) 31. (a2 + b2 + 1) (u – v) 2 2 * 33. xy (xy – 1) (w – z ) 34. (a + 2b + 3c) (x – y) 35. (2x – y – z) (a + b) NOTA: Los ejercicios señalados con * son posibles de factorizar aún más con los métodos que veremos a continuación. 1.6.3 Diferencia de cuadrados Recordemos que el producto de una suma de dos términos por su diferencia es igual a la diferencia de los cuadrados de ambos términos. Aplicamos este resultado en las factorizaciones de la página siguiente: 34 Álgebra en los números reales CAPÍTULO 1 Ejercicios resueltos 1. Factoricemos a2 – b2 Observamos que a2 y b2 son los cuadrados de a y b, respectivamente. Así: a2 – b2 = (a + b) (a – b) 2. Factoricemos 9m2 – 16p2 9m2 es el cuadrado de 3m y 16p2 es el cuadrado de 4p. Entonces : 9m2 – 16p2 = (3m + 4p) (3m – 4p) 3. Factoricemos 1 a 2 – 25 2 4b Usando el mismo razonamiento anterior vemos que la expresión se factoriza: 1 25 – = a2 4b2 1 5 + a 2b 1 5 – a 2b 4. Factoricemos 6a2 – 24m4 En este ejemplo podemos factorizar primero por 6 (factor común monomio). 6a2 – 24m4 = 6 (a2 – 4m4) y ahora, el término (a2 – 4m4) es exactamente una diferencia de cuadrados y por lo tanto la factorización correspondiente es: 6a2 – 24m4 = 6 (a2 – 4m4) = 6 (a – 2m2) (a + 2m2) • Observación: No es importante el orden en que uno presente los factores, puesto que la multiplicación es conmutativa, es decir: (a + b) (a – b) = (a – b) (a + b) Ejercicios 9. a2b2 – c2d2 20. x2a – y2b Factorice las siguientes expresiones: 10. 1 – x10 21. m2an2b – 1 11. – b6 + a4 22. 25n16 – 16m4 1. x2 – y2 12. – 1 + a2 23. 40 – 90a4 2. a2 – 4b2 13. a5 – a3 24. – 24m2 + 54n12 3.9m2 – 16n2 14.8a4 – 2b2 25. m6n4p12 – a2b2c2 4.9a2 – 25p2 15. p2q3 – q 26. 2x2 – 8y2z6 5. x2 – 0,01y2 16. 49a2b4c6 – 121m6n10 27. a10 – 100b10 6. 100a2 – 64b6 17. 12a6 – 75b8 28. 144b10 – 121c6 7. m2n2 – p2 18. 45m6 – 80p8 29.81c4 – 9d4 8. m4n6 – z2 19. 27x4 – 48y2 30. 225 – a2 Álgebra en los números reales 35 31. – 121 + y 2 45b 32. – 64a2b4c6 + x8y2 1 – 2 2 4a b 40. 1 2 2 – a b 2 2 25 2 2 x y 6 2 36. 5m – 2n 4 25 37. 12 – 12 43. 12 m c 2 – 10 n 4 d 6 x – 25 y 6 46. a2 – b2 – 2a – 2b 47. p2 – q2 – rp + rq 1 25 4 42. 25x – 4 45. a b 41. x2 – y2 – ax + ay 35. 24x8 – 6 a 5 39. 32m10 – 18p4q6 33. 16x4 – 4y16 34. a12 – 1 6 44. 9b 4 38. a 2 – 2 1 48. a 2 + ac – b2 – bc 49. m2 – n2 – pm – pn 50. qr2 – q3s2 b Soluciones 1. (x + y) (x – y) 2. (a + 2b) (a – 2b) 3.(3m + 4n) (3m – 4n) 4. (3a – 5p) (3a + 5p) 5. (x – 0,1y) (x + 0,1y) 6.(10a – 8b3) (10a + 8b3) 8. (m2n3 – z) (m2n3 + z) 9.(ab – cd) (ab + cd) 7. (mn + p) (mn – p) 10. (1 – x5) (1 + x5) 11. (a2 – b3) (a2 + b3) 12.(a – 1) (a + 1) 13. a3(a – 1) (a + 1) 14. 2 (2a2 – b) (2a2 + b) 15. q (pq – 1) (pq + 1) 16. (7ab2c3 – 11m3n5) (7ab2c3 + 11m3n5) 17. 3 (2a3 – 5b4) (2a3 + 5b4) 18. 5 (3m3 – 4p4) (3m3 + 4p4) 19. 3 (3x2 – 4y) (3x2 + 4y) 21. (manb – 1) (manb + 1) 22. (5n8 – 4m2) (5n8 + 4m2) 23. 10 (2 – 3a2) (2 + 3a2) 24. 6 (3n6 – 2m) (3n6 + 2m) 25. (m3n2p6 – abc) (m3n2p6 + abc) 26. 2 (x – 2yz3) (x + 2yz3) 27. (a5 – 10b5) (a5 + 10b5) 28. (12b5 – 11c3) (12b5 + 11c3) 29. 9 (3c2 – d2) (3c2 + d2) 31. 1 y + 11 1 y – 11 34. 1 5 – 2ab 3xy 1 5 + 2ab 3xy 37. 1 1 – a b 1 1 + a b 39. 2 (4m5 – 3p2q3) (4m5 + 3p2q3) 40. 1 – ab ab 1 + ab ab 42. 5x2 – 1 m6 m6 5m3 3n – 2 5 5 45. 2 5 – 3 x3 y 5m3 3n + 2 5 5x2 + 1 5 2 5 + 3 x3 y 48. (a – b) (a+ b + c) 36 30. (15 – a) (15 + a) 32. (x4y – 8ab2c3) (x4y + 8ab2c3) 33. 4 (2x2 – y8) (2x2 + y8) 36. 3 20. (xa – yb) (xa + yb) Álgebra en los números reales 43. c – n5 d 2 c + 35. 6 (2x4 – 1) (2x4 + 1) 2 38. 2 2a – 1 n5 d2 5 3b 2a2 +1 3b 41. (x – y) (x + y –a) 44. a6 + 1 3 3b a6 – 1 3b3 46. (a + b) (a – b – 2) 47. (p – q) (p + q – r) 49. (m + n) (m – n – p) 50. q (r – qs) (r + qs) CAPÍTULO 1 1.6.4 Trinomios ordenados Definición: Llamamos trinomio ordenado (según el grado) a una expresión de la forma ax2 + bx + c, donde a, b, c, y x representan números reales. En general, los trinomios pueden proceder: • De la multiplicación de un binomio por sí mismo (o un cuadrado de binomio); por ejemplo: (a + 7)2 = a2 + 14a + 49 • De la multiplicación de dos binomios con un término común; por ejemplo: (a + 2) (a + 6) = a2 + 8a + 12 • O de la multiplicación de dos binomios de términos semejantes: (2x + 1) (x + 2) = 2x2 + 5x + 2 Con estas consideraciones, resolvamos los ejercicios presentados a continuación: Ejercicios resueltos 1. Factoricemos x2 + 10x + 25 Observamos que el primer término (x2) y el último (25) son los cuadrados de x y 5, respectivamente, y además el término central (10x) corresponde al doble del producto de x y 5; entonces la expresión es un cuadrado de binomio y así: x2 + 10x + 25 = (x + 5)2 2. Factoricemos a2 – 8a + 16 Usando el mismo razonamiento anterior, observamos que el tri­­no­­ mio corresponde al cuadrado del binomio (a – 4) y escribimos: a2 – 8a + 16 = (a – 4)2 El signo del término central del trinomio indica el signo que corresponde al segundo término del binomio. 3. Factoricemos y2 + 13y + 36 Aquí vemos que tanto el primer término como el tercero corresponden a cuadrados exactos (de “y” y de 6, respectivamente), pero el término central (13y) no corresponde al doble del producto entre “y” y 6 (es decir, a 12y); en este caso, el trinomio puede corresponder al producto de dos binomios con un término común, que sería “y”. Álgebra en los números reales 37 Buscamos entonces dos números cuyo producto sea igual a 36 (el último término del binomio) y el producto del término común (y) por la suma de estos números sea igual al término central (13y). Los números son + 9 y + 4. En efecto: + 9 • + 4 = 36 y 9 + 4 = 13 Entonces: y2 + 13y + 36 = (y + 9) (y + 4). 4. Factoricemos a2 – 2a – 48 Descartamos la posibilidad de cuadrado de binomio pues el último término (– 48) no es cuadrado de ningún número. Buscamos dos números cuyo producto sea – 48, y cuya “suma” sea – 2, la que al multiplicarla por el término común “a” nos da el término central – 2a. Los números son – 8 y + 6 y la factorización correspondiente es: a2 – 2a – 48 = (a – 8) (a + 6). 5. Factoricemos x2 – 5x + 6 No es cuadrado de binomio por la misma razón anterior (el + 6 no es cuadrado de un número entero). Corresponde entonces al pro­­­­ducto de dos binomios con un término común, que en este caso es x. Buscamos dos números cuyo producto sea + 6 y cuya suma sea – 5. Los números son – 2 y – 3. Por lo tanto, la factorización correspondiente es: x2 – 5x + 6 = (x – 2) (x – 3). 6. Factoricemos la expresión 2x2 – 3x – 2 En este ejemplo, ni siquiera el primer término es cuadrado exacto de un término entero. Amplifiquemos por el coeficiente de x2 (en este caso, por 2) para obtener un primer término como en los ejemplos anteriores, es decir, un cuadrado exacto. 2x – 3x – 2 /• 2 2 2 2 4x – 6x – 4 2 Podemos aplicar al numerador el razonamiento de los ejemplos anteriores (porque el primer término ya es un cuadrado exacto) y entonces trataremos de factorizar como producto de dos binomios con un término común que en este caso es 2x. Buscamos dos números que multiplicados sean igual a – 4 y cuya suma sea igual a – 3 (pues al multiplicar la suma por el término común 2x se debe obtener – 6x). Los números son – 4 y 1 y así, la factorización de la expre- sión amplificada es: 4x2 – 6x – 4 38 Álgebra en los números reales 2 = 2x – 4 2x + 1 2 CAPÍTULO 1 Podemos factorizar el primer término por dos y luego simplificarlo por el denominador, obteniendo: 2 x2 – 3x – 2 = (2x – 4) (2x + 1) 2 2 x2 – 3x – 2 = 2 (x – 2) (2x + 1) 2 2 x2 – 3x – 2 = (x – 2) (2 x + 1) 7. Factoricemos 3x2 – 5x + 2 Siguiendo los pasos anteriores, obtenemos: 3 x2 – 5x + 2 x2 – 15x + 6 3 33 /• 3 /· 3 (3x – 3) (3x – 2) 3 3 (x – 1) (3x – 2) 3 (x – 1) (3x – 2) Ejercicios Factorice las siguientes expresiones: 1. x2 + 14x + 49 12. 4x2 + 20x + 25 23. x2 – x – 6 2. x2 + 8x + 16 13.9x2 – 6x + 1 24. x2 – 5x + 6 3. a2 + 18a + 81 14. a2 – 4ab + 4b2 25. a2 – 5a – 36 4. a2 – 6a + 9 15. y2 + 6xy + 9x2 26. a2 + a – 30 5. y2 – 24y + 144 16. 4t2 + 12t + 9 27. a2 + 8a + 7 6. x2 + 10x + 25 17. 4x2 + 12xy + 9y2 28. y2 + y – 56 7. t2 – 2t + 1 18. 9x2 – 30xy + 25y2 29. x4 – 6x2 + 9 8. z2 + 16z + 64 19. x2 + 14xy + 49y2 30. 4 + 20y2 + 25y4 9. x2 – 22x + 121 20. x4 + 2x2 + 1 31. x4 + 2x2y2 + y4 10. a2 – 12a + 36 21. x2 + 5x + 6 32. x6 + 2x3 + 1 11. 1 + 6a + 9a2 22. x2 + x – 6 33. a4 – 4a2b2 + 4b4 Álgebra en los números reales 39 34.9m4 – 30m2p2 + 25p4 46. 2x2 + 5x – 3 59. 12a2 – 23a + 5 35.9m2 – 30mp2 + 25p4 47. 3x2 + 14x + 8 60.8a2 – 2a – 15 2 36. x – x + 1 48. 3x2 + 11x – 4 61. 5x2 – 26x + 5 49. 6x2 – 13x + 5 62. 18a2 – 18a + 4 50. 2x2 +15x + 28 63. a4 + 5a3 + 6a2 51.7x2 – 8x + 1 64. x3 – 3x2 – 40x 52. 6x2 + 5x – 4 65. x4 – 3x2 + 2 53.8x2 – 2x –1 66. 2a3 + 6a2 + 4a 54. 5x2 – 18x + 9 67. m3 – m2 – 30m 42. 4x2 – 22x + 30 55. 2x2 + 3x – 14 68. n4 + n2 – 2 43.9x2 – 9x – 28 56. 3a2 – 7a + 2 69. p4 + 2p2 + 1 44. 25x2 – 15x + 2 57. 5a2 + 3a – 2 70. p3 – p2 – p + 1 45. 2x2 + 5x + 2 58. 6a2 + 13a + 6 4 2 37. a + a + 1 4 2 38. a + ab + b2 4 39. a2 – 23a + 132 40. a2 – 3a – 40 41. a4 + 5a2 + 6 Soluciones 1. (x + 7)2 2. (x + 4)2 3. (a + 9)2 4. (a – 3)2 5. (y – 12)2 6. (x + 5)2 7. (t – 1)2 8. (z + 8)2 9. (x – 11)2 10. (a – 6)2 11. (1 + 3a)212. (2x + 5)2 13. (3x – 1)2 14. (a – 2b)2 15. (y + 3x)2 16. (2t + 3)2 17. (2x + 3y)2 18. (3x – 5y)2 19. (x + 7y)2 20. (x2 + 1)2 21. (x + 3) (x + 2) 22.(x + 3) (x – 2) 23. (x – 3) (x + 2) 26. (a + 6) (a – 5) 27. (a + 7) (a + 1) 32. (x3 + 1)2 1 2 37. a + 2 40 24. (x – 3) (x – 2) 28. (y – 7) (y + 8) 25. (a – 9) (a + 4) 29. (x2 – 3)2 30. (2 + 5y2)2 31. (x2 + y2)2 33. (a2 – 2b2)2 34. (3m2 – 5p2)2 35. (3m – 5p2)2 36. 38. 2 a +b 2 39. (a – 12) (a – 11) 2 x –1 2 40. (a + 5) (a – 8) 41. (a2 + 2) (a2 + 3) 42. 2(2x – 5) (x – 3) 43. (3x + 4) (3x – 7) 44.(5x – 1) (5x – 2) 45. (2x + 1) (x + 2) 47. (3x + 2) (x + 4) 48.(3x – 1) (x + 4) 46. (2x – 1) (x + 3) 49. (3x – 5) (2x – 1) 50. (2x + 7) (x + 4) 51. (7x – 1) (x – 1) 52.(3x + 4) (2x – 1) 53. (4x + 1) (2x – 1) 54. (5x – 3) (x – 3) 55. (2x + 7) (x – 2) 56.(3a – 1) (a – 2) 57. (5a – 2) (a + 1) 58. (2a + 3) (3a + 2) 59. (3a – 5) (4a – 1) 60.(2a – 3) (4a + 5) 61. (x – 5) ( 5x – 1) 62. 2(3a – 2) (3a – 1) 63. a2(a + 2) (a + 3) 64.x(x + 5) (x – 8) 65. (x – 1) (x + 1) (x2 – 2) 66. 2a(a + 1) (a + 2) 67. m(m – 6) (m + 5) 68. (n – 1) (n + 1) (n2 + 2) 69. (p2 + 1)2 Álgebra en los números reales 70. (p – 1)2 (p + 1) CAPÍTULO 1 1.6.5 Sumas o diferencias de cubos Los factores de una diferencia de cubos son: x3 – y3 = (x – y) (x2 + xy + y2) Los factores de una suma de cubos son: x3 + y3 = (x + y) (x2 – xy + y2) Ejercicios resueltos 1. Factoricemos a3 – 8 Observamos que a3 es el cubo de a y que 8 es el cubo de 2. Se trata de una diferencia de cubos, por lo tanto: a3 – 8 = (a – 2) (a2+ 2a + 4) 2. Factoricemos x3 + 27 El término x3 es el cubo de x y 27 es el cubo de 3. Aquí tenemos una suma de cubos y por lo tanto: x3 + 27 = (x + 3) (x2 – 3x + 9) 3. Factoricemos 27a3 – 125b3 El primer término es el cubo de 3a y el segundo término es el cubo de 5b, entonces escribimos: 27a3 – 125b3 = (3a – 5b) (9a2 + 15ab + 25b2) 4. Factoricemos a6 – b6 Aquí tenemos primero una diferencia de cuadrados, la cual factorizamos como una suma por su diferencia. Luego, cada uno de los factores corresponde a una suma o diferencia de cubos. Procedamos por pasos: a6 – b6= (a3 + b3) (a3 – b3) = (a + b) (a2 – ab + b2) (a – b) (a2 + ab + b2) y ésa es la factorización requerida. Ejercicios Factoricemos las siguientes expresiones: 1. m6 – n3 4. t3 – 64 v3 7. 1 – 125 a3 2. x3 + p3 5. 27 x3 + y3 8. 3. a3 – 8 b3 n 6. m – 3 6 1 x 3 + 1 3 y 9. 16 x3 – 54 y3 10. 216 a3 – 27 b3 11. z 3 – 2 y 3 12. 125 – 1 a3 Álgebra en los números reales 41 13. 3 a3 – 81 b3 20. 3 t3 – 3 27. a6 – 1 14. a2 b3 c6 + a2 d3 21. 216 a3 + 8 b3 28. –1 – b3 22. 8 t3 + 64 29. – 2 t6 t3 3 30. p + q9 15. m3 x3 + 1 16. a3 b6 c9 + 8 1 23. 125 t 3 – z3 2 16 24. 3 – 3 t y 1 3 25. a + 3 b 26. –1 + a3 17. x12 – y12 18. m9 – 1 19. a3 b12 – 27 x3 – 1 y3 a6 35. 0,001 – 3 34. 36. 216 – b a3 b3 1 1 + 3 37. 125 z 1 38. 64a3 – 216 39. m3 n3 p6 – 8a3 1 1 40. + 3 z 2 y3 31. m12 + 1 32. a27 + b27 33. 1 – a9 Soluciones 1. (m2 – n) (m4 + m2 n + n2) 2. (x + p) (x2 – px + p2) 3. (a – 2b) (a2 + 2ab + 4b2) 4. (t – 4v) (t2 + 4tv + 16v2) 5. (3x + y) (9x2 – 3xy + y2) 6. 2m – 7. (1 – 5a) (1 + 5a + 25a2) 2 3 z – y 4m2 + mn2 + n4 4 1 1 1 – + 2 x2 xy y 10. 27(2a – b) (4a2 + 2 ab + b2) 12. 5 – 1 25 + 5 + 1 2a 2a 4a2 2 2 2 14. a (bc + d) (b c4 – bc2d + d2) 8. 1 + 1 x y 9. 2(2x – 3y) (4x2 + 6xy + 9y2) 11. n2 2 4 6 + + 2 z2 yz y 13. 3(a – 3b) (a2 + 3ab + 9b2) 15. (mx + 1) (m2x2 – mx + 1) 16. (ab2c3 + 2) (a2b4c6 – 2ab2c3 + 4) 2 2 4 2 2 4 4 2 2 4 17. (x – y) (x + y) (x + y ) (x + x y + y ) (x – x y + y ) 18. (m –1) (m2 + m + 1) (m6 + m3 + 1) 19. (ab4 – 3) (a2 b8 + 3ab4 + 9) 20. 3(t – 1) (t2 + t + 1) 22.8(t + 2) (t2 – 2t + 4) 21.8(3a + b) (9a2 – 3 ab + b2) 1 25t 2 + 1 b 4a2 – 23. 5t – z 25. 2a + 5t 1 + 2 z z 2a 1 + 2 b b 24. 2 1 2 – t y 1 2 4 + + 2 2 t ty y 26. (a – 1) (a2 + a + 1) 28. – (1 + b) (1 – b + b2) 27. (a – 1) (a + 1) (a4 + a2 + 1) 30. (p + q3) (p2 – pq3 + q6) 4 6 1 2 –3 2 + + 3 t t t t 31. (m4 + 1) (m8 – m4 + 1) 33. (1 – a) (1 + a + a2) (1 + a3 + a6) 32. (a + b) (a2 – ab + b2) (a6 – a3b3 + b6) (a 18 – a9b9 + b18) 29. 35. 0,1 – 37. a2 b 1 1 + 5 z 0,01 + 0,1a2 b + a4 b2 x2 x x 34. y – 1 y2 + y + 1 36. 6 + 1 1 1 – + 2 25 5z z 38. 4 a – 1 39. (mnp2 – 2a) (m2n2p4 + 2a mnp2 + 4a2) 42 Álgebra en los números reales 6a a2 a 36 – + 2 b b b 6 40. 16a2 + 2a 1 + 3 36 1 1 + 2z 3y 1 1 1 – + 4z2 6yz y2 CAPÍTULO 1 Fracciones algebraicas 1.7 1.7.1 Simplificación Para simplificar una fracción es necesario y suficiente que el numerador y el denominador tengan un factor común. En el caso de monomios, la simplificación se hace en forma directa; en cambio, si el numerador o el denominador de la fracción tienen dos o más términos, es necesario factorizar primero y luego simplificar. Ejercicios Ejercicios resueltos resueltos 2a2 3ab Aquí tanto el numerador (2a2) como el denominador (3ab) contienen 1.Simplifiquemos el término “a” como factor. Simplificamos, pues, por él y obtenemos: 2 2a 2a = 3ab 3b 2 2 2.Simplifiquemos 6m p q 3 2 2 mp q En este ejemplo, el término 3mp2q está contenido en el nume­ra­­dor y en el denominador. Simplificando, nos queda: 2 2 6m p q 3 2 2mp q = 2m pq 2 3.Simplifiquemos 2a + 2 4a En este caso no es posible hacer una simplificación directa, pues en el numerador hay un binomio (recordemos que no podemos simplificar términos que se suman o restan). Debemos entonces factorizar primero y después simplificar: 2 2 2 2a + 2 2(a + 1) a +1 = = 4a 4a 2a Y ya no es posible seguir reduciendo porque el numerador no se puede factorizar más. 2 4.Simplifiquemos a + ab a+b Usando el mismo razonamiento anterior, factorizamos primero y luego simplificamos: 2 a + ab a(a + b) = =a a+b a+b x2 + 5x + 6 5.Simplifiquemos x2 + 3x + 2 Factorizando y luego simplificando obtenemos: (x + 2) (x + 3) x2 + 5x + 6 x+3 = = x+1 x2 + 3x + 2 (x + 2) (x + 1) Álgebra en los números reales 43 6. Simplifiquemos x2 – x2 + 6x + Procediendo como antes: (x + 3) (x – 3) x – 3 x2 – = = x2 + 6x + (x + 3) (x + 3) x + 3 7. Simplifiquemos 3x3 – 3xy2 x2 y – xy2 = 3x3 – 3x y2 x2 y – xy2 3x (x2 – y2) xy (x – y) = 3x (x – y) (x + y) xy (x – y) = 3 (x + y) y Ejercicios Simplifique las siguientes expresiones: 3 p q3 1. 2a 5ab 2. 3. 3a 6b a2 b ab 2 26. 15. – 1 m6 n11 51 m4 n 2 27. x – 25 x+5 (a + b)2 (a + b) 28. 1 – a2 1+a 29. ab2 – ac2 b+c 30. x+4 x2 + x + 16 16. 5. 5ad 10d 17. 2 (p + 1) 4 (a + b ) 32 z4 y3 2 7. 2 m np 2 19. 6 8. 30 a b 20. a 144a 32. 21. 121 a 11 ac 33. 22. m4 n4 4mn 34. 1mn p 21 a6 9. b 2 – 125 x6 y5 z4 5xyz 10. 2ab 6 a b 6 4 4 11. a b 23. 12 12. 6 a 24. 4ab 12 a6 44 (p2 + 1)3 2 2 18. a2 + b2 4 15 pq3 b2 – c2 – 15 c d 35 ab c 6m 16pm 25 p2q 37. ab + ac + xb + xc 14. 4. 6. 2 25. a + ab 2a 13. 2 p q2 Álgebra en los números reales 6 z3 y4 12 a12 b12 6 a6 b6 (a3 b2 )2 6 5a b 31. 35. a2 b2 – a b ab – 1 39. 40. xy x2 y2 – xy3 3 abc 6 a bc – ab2c 2 6x2 – 3xy 4x2 – y2 2 pq p2 q– 38. pq2 5xy + 10x y2 – 4 2 2 36. m – 2mn + n m2 – n2 x2 + x + 12 x2 + 5x + 6 x4 – y2 x2 + y x2 – x + 12 x2 – 4x – 12 2 2 41. 2 a b – a b 4 a2 b – 16 a b2 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. ax + bx – ay – by x2 – y2 10x2 – 15xy 4x2 – y2 3a3 – 3a2 – 6a 2a3 + 6a2 + 4a x3 x4 – x2 + 2 x2 + x x2 – 11x + 30 x2 – 25 x3 – 3xy2 x 4 – y4 x – y4 x4 – 3y2 CAPÍTULO 1 49. 5ab 25a2 – 5ab 52. 50. x2 + x – 2 ax + 2a – x – 2 53. 51. x3 – x2 + x – 1 x2 – 1 54. x2 – x + 6 x2 – 1 2 58. x – x + 15 55. ac – ad – bc + bd c2 – d2 2a2 b – 2ab2 a2 – 2ab + b2 6 p2 q – 2 pq2 3 p2 q – p q 2 56. x2 – 2p2 x + 2px2 59. p2 – pq + xp – xq 2 57. x + 10x – 11 60. x2 + x – 10 4p2 – 4p + 1 4p2 – 1 2m3 – 1m 2m2 – 6 Soluciones 3 p 1. 2 2. a 3. a 7. m 8. 10 b 9. – 25x5y4z3 10. 5b n 13. 19. 3q 2 z 3y 25. a + b 2 31. 1 xy – y2 37. a + x b–c b 2b 14. – 3d ab 20. 1 144 1 2a – 3b 38. x + 4 x+2 3a – 6 43. 5x 2x + 3y 44. 49. b 5a – b 50. x – 1 55. a–b c+d 56. 2a + 4 a–1 2px p–q m2 n2 3 1 4a5 b5 16. a + b m3 n3 4 21. 11 22. 27. x – 5 28. 1 – a c 26. a b 32. 15. – 4. 3x 2 5. a 6. 2 a3 b3 4 11. 17. 12. 1 p2 + 1 18. 5p 3q2 a6 2 1 (a + b2 )3 2 23. 2a6b6 24. 1 5b4 29. ab – ac 30. 1 x+4 33. 2x + y 34. p – q 35. 5x y–2 36. m – n 39. x2 – y 40. x–2 x+2 41. 1 2 42. x + y 45. x2 – x x+1 46. x–6 x+5 47. x 48. x4 + 3y2 x2 + 3y 2 51. x2 + 1 x+1 52. x – 6 53. 2ab 57. x + 11 58. x – 5 59. x + 10 x+1 x+3 m+n a+b 54. 2 a–b 2p – 1 2p + 1 60. m3 – m m2 – 3 1.7.2 Multiplicación y división de fracciones algebraicas Multiplicamos los numeradores y los denominadores entre sí y hacemos todas las simplificaciones posibles. En el caso de los monomios las simplificaciones pueden hacerse antes o después de multiplicar; en el caso de los polinomios (expresiones con dos términos o más) es conveniente hacer todas las simplificaciones primero (factorizando por supuesto) y luego las multiplicaciones. Para dividir fracciones, multiplicamos la primera por el recíproco de la segunda. Álgebra en los números reales 45 Ejercicios resueltos 1. Efectuemos el siguiente producto: 3ab 2a 2b 3a2 Multiplicando en forma directa obtenemos: 3ab 2a • • 2b 3ab • 2b 6 ab2 b2 = = = 2 3a2 2a • 3a2 6 a3 a 2. Efectuemos el producto: 3xy 2a • 6ab 3xz • – 5z2 10b2 x Multiplicando en forma directa obtenemos: 3xy • 6ab • – 5z2 2 2a • 3xz • 10b x – 0 x y a b z2 = 60 a x2 z b 2 = –3yz 2xb 3. Efectuemos el producto: a+b ax – bx a+b = a2 – b2 • ax – bx a2 – 2ab + b2 2 a –b 2 = a+b • x a–b a–b a–b a+b a–b = 1 x Una vez hechas las factorizaciones podemos simplificar un factor de cualquier numerador con un factor igual de cualquier denominador. a+2 a2 – 2ab + b2 Aquí debemos simplificar antes de multiplicar (de lo contrario complicamos mucho el ejercicio). Como sabemos, factorizamos primero, obteniendo: 4. a + 1 • • a2 a2 – 4 + 4a + 3 • a2 a2 – – 4a + 4 Factoricemos primero: a+1 a+2 a2 – 4 • a2 – • a2 + 4a + 3 a2 – 4a + 4 el resultado es a – 3 a–2 = a+1 a+2 • a+2 a–2 a+1 a+3 • a+3 a–3 a–2 a–2 5. Multipliquemos: 5a + b 2a – b • ab a–b • a 5 Aquí no es posible efectuar ninguna simplificación; por lo tanto, procedemos a multiplicar directamente. 5a + b • ab 2a – b a – b • a •5 = 5a + b a2 b 2a – b 5a – 5b = 5a3 b – a2 b2 10a2 – 10ab – 5ab + 5b2 Reduciendo términos semejantes obtenemos finalmente: 5 a3 b – a2 b2 10 a2 – 15 a b + 5 b 2 6. Efectuemos la siguiente división: 46 2ab 3x 2a : 3x y Cambiamos el signo de división (:) por el de multiplicación (•) e invertimos la segunda fracción. Nos queda: Álgebra en los números reales CAPÍTULO 1 2ab 2a : 3xy = 3x 2ab 3x • 3xy 2a Hacemos las simplificaciones adecuadas y obtenemos: 2ab 3x • 3xy 2a = by 7. Efectuemos la siguiente división: a+b 2ab : a2 – b2 6a2 b Procediendo como en el ejemplo anterior: a+b 2ab 2 2 : a6a–2bb = = = a+b 2ab a+b 2ab 6a2 b • a2 – b2 6a2 b • a + b a –b 3a a–b (Aquí fue necesario factorizar el término a2 – b2 antes de simplificar). Ejercicios I. 1. 3ab 12. 2 2. ax 13. a bx Simplifique las siguientes expresiones: 12x6 y10 – 4x5 y11 a+b 2 a+b 3 p–q 3. 2ab 5ab 14. 4. 3a 1a2 b 15. 5. – 16m2 1n2 16. 3x + 15 6. b a b2 17. 7. 8. 9. 10. 11. 2 6m2 n 15mn2 p2 qr 6 3pq2 r 5 – 3p6 q3 24p6 q2 a2 b2 c2 2abc x2 y z11 x2 y6 z10 2p – 2q 3a + 3ab 1+b 5x + 25 18. 19. a2 + a 2a + 2 20x2 – 5xy 4x – y 3x2 y – 3xy2 2x2 – 2xy 23. 24. 6p + 12q 34. p + 2q 1–a 1 – a2 35. 3 25. 12x – 3x 36. 3x 26. 27. 4 – x2 2+x – 38. xy2 3x + 4y 30. 20. x2 – y2 x–y 31. 21. a2 – b2 a+b 32. 22. 3a – 3b a2 – b2 33. 2 a – b2 3a + b m– n 2 ac + ad + bc + bd ac – ad + bc – bd a2 – 5a + 6 a2 – 4 a +2ab+b 2 1 a2 b + 2a b2 4 a2 + 12 a b + b2 6abx 2 – 3a2 xy a4 + 3a3 + 2a2 a3 – a 40. 2t 2 – 2t – 12 4t 2 – 16t + 12 42. 2 a2 – 2 b2 2bx2 + 2bxy – axy – ay2 39. 41. m2 – n2 2 x4 – y4 a2 + a b – 6 b2 2 2 28. x – 16y 29. x4 – 2 x2 y2 + y4 2 2 37. 2 a b + 6 a b 2xy x2 y x2 + 5x – 14 x2 + x + 14 50 – 2y2 4y2 + 44y + 120 ab – ay – bx + xy b2 – by + bx – xy 2 43. 2a – 10a + 12 a2 + a – 6 44. 4u2 – v2 6u2 v – 3uv 2 Álgebra en los números reales 47 45. 46. p2 x + px 2 p2 + 3px + 2x2 a3 – a2 – 30a 4 a – 11a3 + 30a2 II. 1. 47. 48. 2x 1 x • 5y 10y 2 15. a + a a2 6x 2 6. 3u v • 2 u v 2u 7. 8. 4b xy b 10. 3 x–y x • • 2. 1 a x2 : • 10m2 18. 2x 4c a 19. x2 x–y 20. x3 – y3 x2 – y2 m2 – 4p2 2 m – 4mp + 4p2 a2 – 1 a2 • a2 2x2 + 6x 3y x2 + 5x + 6 x2 – 4 1+x 1–x a2 – ab 2ab x+3 x–2 x2 – 1+x • 23. x–6 x–2 27. • x2 – x – 2 – x + 1 • x2 m2 – mp 2p x2 – 4 x2 – 1 • 2 • 4p m2 – p2 2x x+1 1 • 2m a2 – 3a – 1 a2 – 16 • 2 2 a – 2a – a – 5a – 6 1 2x • x3 – y3 3y a+b a2 – b 2 • • ab a+b • a+2 a+3 3xy x2 • + xy + y2 a2 – 2ab + b2 3ab 2 2 2 2 28. a – 25b • a – b + 12b 2 a – 3b a+b a2 – b x2 – 6x + 5 x+2 26. 1 – x2 • 22. 25. 2xy • 2a + 4 a + 4 a2 – a + 16 • • 3a – 12 a2 – 16 a+2 24. 3a + 2a + 1 • 21. a – 5b 2 29. 2a – 4 • a2 – 5 a + 6 2 6a 3x – 6 x2 – 1 • • 2x – 6 x2 – 4 3 30. a –4a+3 • a a–2 a3 + 2a2 + a a2 – 25 1 • • a2 + a + 10 a + 1 2a2 Efectúe las siguientes operaciones (divisiones): a 3 2 a 5. 2ab 3b 6a : 2ab 6. x – 1 5 3. y : xy 7. 4. m n : ax 8. a + b ax 48 : 17. 5ac 14x y III. 1. a 2 2b 2 2b 3c • • m • 2m 9. a 16. 1 v 2 10a2 bc • 1 x+y • 2 13. x – 1 • 2x 2 x 3x – 1 m– n • m+n 14. 2 2 m –n m– n 2 4 • 50. x2 + xy + y2 a –1 a2 ab • b a 3x 49. 2 x3 – y3 3 12. 2a 3n 5. 4 a b c + 2ab c + 2abc 11. x2 + 2 x y + y2 3. 2m • 3mn 4. 2 Efectúe las operaciones indicadas (multiplicaciones): a ∑ ab 2b b 2. y 2 a2 b2 c2 2 2axy 3a a–b Álgebra en los números reales –1 : x10 2x : 3y : a 2 – b2 9. 15n2 p 2nz 2 10. a – 1 : 3np2 4z : aa +– 12 a+2 11. x – 1 x –x : a – 1 a2 – a 2 2 2 12. a – b a3 –b 3 : a+b a–b 3 13. 15a bc 3ab2 14. x3 – x2 y 2xy : 25a 2 b2 c2 bc : x2 – y2 x+y 15. 2 a b : 2 x : 3 b x b2 x – 1 2 x – 2 16. 2x – 6 3x2 y :x 2 – 5x + 6 6xy CAPÍTULO 1 1 a2 – 4 17. : a2 – 1a + 24. 1 : 1 : 1 x a 1 2 : : 2 a a2 18. x x 2 22x y 11 x y : 14 25. : 2x 2 19. a – 1 : a2 – 1 3 2 2 26. a + 3 a : a + 2a 2 20. a – 3 : a – a + 15 27. 2 21. 2a + : a + 2a – 2 3a – 3 6a – 6 28. 3 2 3 2 22. a – 5a + 6a : a – 3a 2 2 a + a + 12 a – 16 2 29. x + x + 10 : x + 2 2 a–2 a –4 2 a – 5 a – 11a + 30 1 3 2 x – 6x 1 : x – 12 x + 36 ac – ad – bc + bd 2 x –4 • 2 2 2 c –d 2 2 a + 2 ab + b 2 • x+3 2 x–2 b : 2 a –b 30. 2 x 2 2 :a 2 b a – 5a + 6 x + 2x – 3 2 a 23. 2 a – : x2+ 2 x +x x –1 x + 3 x – 4 2 x – 25 Soluciones I. 2. a x 1. b b 3 10. abc 2 20. x + y 2 2 x–y 4. 1 6 ab 5 11. 9yz 12. 19. 3 y 27. 3. 2 – 3x y 13. a – 3b 3 30. 2 33. ab 2a + 3b 34. x–2 x+2 40. t+ 2 2t– 2 41. a–x 5– y 42. b+ x 12 + 2 y 46. a+5 2 a – 5a 47. 35. x2 – y 2 n 6. 2 m– n m+ n 3 5 1 1+ a 2 25. 4 – x2 31. a – 3 32. 2 a – 2 b 37. 2 ab 38. a+2 2u + v 3uv 44. 2 2 49. x + x y + y x – y 17. a 16. 18. 5x 26. 2 – x a+b 2 39. a + 2 a x+y 3a x a–1 45. p x p+ 2x 50. x+y 9. – q 3q 5n a – 2b 2a – 6 a+3 8. pr 7. 2 m 23. 6 24. c–d 43. 1 a b 15. 3a 36. c + d x +y a bc 48. 2a + b + c 2 1 2 3 a+b 2 2 – m 14. 22. 21. a – b 28. 3x – 4y 29. 1 a+b 5. m+ 2p m– 2p II. 1. 2 a 2b 2. 2 y 11. x + y 18. 1 25. a+4 a+1 3. 2 m 2 4. a2 12. 2a2 + 2a 19. 1 2b 26. 20. x–y 2 13. 6 x + 2 x x+3 2x + 4 27. 5. 1 21. a–b 3a + 3b 2 3 6. 14. 22. 2 u 6 7. 1 m– n 2 a b 15. 2 x – x + 10 x+1 28. a2 + ab – 20b2 29. 8. 5m 4x 2 2 3 a+1 23. 2x x–3 a–2 3a – 3 3 9. 16. 2 4x 3 24. 30. 10. x 17. 1 x–3 1 mp + p2 a2 – 4 a – 5 2 a2 + 4 a Álgebra en los números reales 49 III. 1. 2. 1 7. y2 8. 3 2 3. x 2 1 2 2 a – 2a b + b 1 9. 4. 10 p 3a 16 15. 19. a + 2 20. a – 6 21. 4a + 4 25. 2 2 26. a – 2a 27. 2 5b a+1 2y a–5 a+2 a–2 x – 6 2 x 5. 2 ab 6. 2 11. a x 12. 10. a + 1 14. x 13. m n a–b 2 17. a–1 a+ 18. 1 2 22. a –2 6a + 23. 1 ab 24. 28. a + b 29. x+4 x–5 30. 2x – 2 16. 4 2 x – 2x a + 3a c+d 2 a + ab + b 1 x 1.7.3 Adición y sustracción de fracciones algebraicas Si las fracciones tienen el mismo denominador, entonces su­mamos (o restamos) los numeradores y conservamos el denominador. Si los denominadores son diferentes, entonces debemos buscar el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de ellos y amplificar cada fracción por el factor necesario, de modo que todas queden reducidas a un denominador común. El mínimo común múltiplo de expresiones algebraicas es aquella que las contiene, como factores, a todas. Ejercicios resueltos 1. Encontremos el m.c.m. entre a y 2a. Vemos que a está contenido (como factor) en 2a, por lo tanto, el m.c.m. es 2a. 2. Encontremos el m.c.m. entre a, 2a y a2. Aquí ninguno de los tres términos contiene a los otros dos. Bus­camos el m.c.m. entre los coeficientes numéricos, en este caso es 2, y entre los factores literales, en este caso, como se trata de monomios de la misma base, es el término que tiene el exponente más alto. Así, el m.c.m. es 2a2. 3. Encontremos el m.c.m. entre 2x, 3xy, x2. Usando el razonamiento anterior, determinamos el m.c.m. entre los coeficientes numéricos, que es el 6, y entre los factores literales, que es x2 y. Así, el m.c.m. entre 2x, 3xy, x2 es 6x2y. 4. Encontremos el m.c.m. entre a – b y a2 – b2. Como sabemos, la factorización correspondiente de a2 – b2 es (a – b) (a + b); por lo tanto, a – b está contenido en a2 – b2 y así el m.c.m. es a2 – b2. 50 Álgebra en los números reales CAPÍTULO 1 5. Encontremos el m.c.m. entre a + 2 y a + 3. Aquí ningún término está contenido en el otro; por lo tanto, el m. c. m. es el producto de los dos, es decir, a2 + 5a + 6. 6. Efectuemos las operaciones indicadas. a + 2 2a + 5 + 3 3 Se trata de una suma con igual denominador, así es que sumamos los numeradores y conservamos el denominador. a + 2 2a + 5 a + 2 + 2a + 5 3a + + = = 3 3 3 3 7. Efectuemos las operaciones indicadas: 4 x 5 2x – 3 5x 2 Los denominadores son diferentes; por lo tanto, debemos determinar el m.c.m. entre ellos, que será el denominador común. Este es 10x2. Luego amplificamos cada fracción por el término adecuado para obtener el m.c.m. 4 + x + 5 2x – 3 5x 2 = = = 4 • 10x + 5 • 5x – 3 • 2 2 10x 40x + 25x – 6 10x 65x – 6 10x 2 2 8. Efectuemos las operaciones siguientes: m+ 1 2 – m+ 1 2 + 1 m– 2 2m + 4m Factoricemos los denominadores para encontrar el m.c.m. m+ 1 m+ 1 1 – + 2m m + 2 m– 2 m+ 2 m– 2 m –4 El m.c.m. es 2m (m + 2) (m - 2) Es conveniente mantener el m.c.m. factorizado, pues así facilita el proceso de amplificación de cada fracción y el de simplificación, si es posible, al final. m+ 1 m+ 1 1 – + = 2m m + 2 m– 2 m+ 2 m– 2 m – 2 m + 1 – 2m m + 1 + 2m m + 2 = 2m m + 2 m – 2 2 2 2 2 m + m – 2m – 2 – 2m – 2m + 2m + 4m m + m– 2 = 2m m + 2 m – 2 2m m + 2 m – 2 Factorizamos el numerador y hacemos la simplificación corres­ pondiente: m+ 2 m– 1 m– 1 = 2m m + 2 m – 2 2m m –2 = m– 1 2 2m – 4m Álgebra en los números reales 51 Ejercicios I. Determine el mínimo común múltiplo entre: 1. 2, 3, 5 16. 6m, 3m + 1, 6m + 2 2. 2, 2a, 3a 17. x + a, x2 – a2, x – a 3. 3x, 3xy 18. 1, x + 1, x + 2 4. 2x, 3xy, 2y 19. a, b, a + b 5. m2, n2 20. a2 – b2, a2 – 2ab + b2 6. m, mn, n 21. x + 3, x2 + 5x + 6, x + 2 7. x2, y2, xy 22. x – 3, 2x – 4, x2 – 5x + 6 8. 1, a, a2 23. a2 + a, a2 – 1, a2 + 2a + 1 9. x2yz, xy2z 24. a + 2, a2 + 4a + 4, a2 – 4 10. xy2z, xyz2 25. x2 + 9x + 14, x2 – 4, x2 + 5x –14 11. 4p2q, 5pq2 26. a – 1, a2 – 1, 3a2 – 3a 12. 5p6q6, 6p5q5 27. p, p + 5, p3 – 25p 13. a + b, a – b 28. 2x + 2, 4x + 4, x2 + 2x + 1 14. 2a + 4, a + 2 29. t – 5p, t2 – 25p2, 5t – 25p 15. 3a + 6, a2 – 4 30. x + y, x2 + 2xy + y2, x2 – y2 II. Efectúe las operaciones indicadas: 1. 3 – 4 + 15 11 11 9. 11 2. 3 + 5 + 21 + 3 16 16 16 16 3. 2 – 6 + – 12 a a a a 4. 3a – 1 + 2a – – 2 5 5. 5 5 2 1 + + 3x – 4 3x – 4 3x – 4 6. a + 5b – 2a + b + 4a + 5b a + 3b a + 3b a + 3b 7. 2x – 2 + 3x – 1 – 4x – 4 x+6 x+6 x+6 8. 3x + 5 + 5x + – x – 4 2x – 3 52 2x – 3 2x – 3 Álgebra en los números reales 2 a 4a 4 – 2 + 2 a –4 a –4 a –4 2 10. p – 3q – 6p – 4q + 2p 2 p +1 2 p +1 2 p +1 11. 2a a + 4 – 3a a + 6 + 2a a – 5 2 2 2 a – 20a 12. a – 20a a – 20a 2 3a 3a a + 4 4a ∞4b – + 3a – 4b 3a – 4b 3a – 4b 2 2 13. x – x + 1 – 2x x –3 + x + x + 2 2 2 2 x + 5x + 6 x + 5x + 6 x + 5x + 6 2 2 2 14. 5x 2– x – 1 + 2x 2+ 4x – 1 – 3x 2– 6x – 2 x + 3x x + 3x x + 3x 2 2 2 15. 2x 2+ 3x + 6 + x 2– 6x + – 3x 2– 4x + 3 x – 121 x – 121 x – 121 CAPÍTULO 1 16. 2 4 1 + – 3 5 2 34. 17. a + a 35. 2 18. a + a + a 2 3 36. 4 2a + b 2a – b a – – 3a 3b b 2a – 1 3(a – 2) 2x 2a – 2 – a –4 – 3x – y – a–6 2x + x+y 3 2x – 4y + x–y a – 2 2 2 x – 2xy + y 2b – b 3 37. 20. 2x – x + x 38. 21. a + a + a 39. x + 1 + x – 2 – 2 2 22. a + a – a 2x 6 – 3x 40. 3x – 2 – 1 – – 2 2 2 2x + x – 16 x + 5x + 4 x – 1 23. 3x – 2x + x 2 41. 2x – 1 + 3x + 1 – 5x + 1x – 2 24. a – 2 42. 25. 1 + x 43. m + 1 + m + 2 + 19. 5 2 3 3 2 5 35 10 x 26. 1 + x x 2 44. a 2a – 4 3 45. 3 4 5 28. + + 2a 3a 6a 46. 29. x – 1 + x – 2 + x 47. 30. 12 – 1 – 23 48. 4 a 3 a 2 a 31. 3x 2x 11x – + x – 3 2x – 6 2 49. 32. 1 50. z + 1 2 z – 1 2 z –1 2 x + 3x + 2 x+4 2 x –4 x + 5x + 6 2x 2x + 3 – 2 x–4 2 3x + 12x 3x 2 3x + 15x + 2x m – m +20 x–2 2 4x – x – 16 2 3 2 x – – 4x 2 x + 4x + 4 – x–2 2 x – 36 x–3 2 – x – 25 – 4 – 2x 2 2x – 6x + x + x + 15 2+ x – – x + x – 12 + 2x 3x + 15 2m 2 2 2 2 m –1 2x – 4 – x – 2x – 24 3m – 1 + x + x + 12 x – 4x + 3 2 + 2x – 3 2 2 2 3 m– 5 x+4 + x + x + 15 2 x x –x–2 x–3 m +m m– 4 2x – 3 2 2 1 – + 2 x+5 m x+2 2 a – 25 x – m+ m 1 2a – 4 + a–5 x+3 27. a – a–6 x –1 3 5 a+ 2 2x – 3x 2 3x + x 2– x 2 x –4 x–5 + 2 x – 16 x – 12 6x + 3x x–5 33. 3x – 5 + 2x – + x – 1 x–1 III. 1. 2 x –1 x+1 Efectúe las siguientes operaciones: 2a 6a – a – 3 a2 – 9 • a + 3 2a 2. 1 + 1 x : 1 – 1x 3. a+ ab a+b • 1 b + 2 2a Álgebra en los números reales 53 1 +1 x 4. : 1 –1 x x–y –1 x+y 5. 17. 1– x 2y ∞ a x + a+x a+x 6. 7. a – b a+x : 2 18. 2 a + 2ax + x : 1 – a +1 b 8. 1 – 1 x–1 2 9. a + ab : 1 – 1 a 2 a+b a–b – b a 13. b a + –2 a b 14. 2+ c –1 2c : ∞ : 2ab 2 a 3 2 22. 1 + a–b 2 a 1+ ∞ 2 2 1– 1 –y x 1 +y x 1 1+ 1 x a–b a+b – a 28. a 1 a x 2 29. x 3– 3 2– 1 x 30. 1 1– x –1 x –1 10 27. 1 + 1 23. 3– 1 1 1 1 – 2 4 1 1 + 2 4 16. 26. a b – b a 21. 1 1 – a b a +b x x + –1 x+1 x–1 15. + 2 2 2 2 3x – x 5 a– x –4 11. 2a – 3b ∞ b – 1 5b b – 1 2 2a ∞ 4 – c 2+ c 4b a 2 2+ ab a+b 25. b 1– a+b a a – 2 3 1 1 – x–2 x+2 20. 1 10. m + mn : 1 + 1 m m 12. 24. x–1 –1 x+1 19. x–1 +1 x+1 : 1 + x +1 1 2a 3 5 + 2 5 2 15 1 x 1– 1 2 x –1 1 1+ x+1 Soluciones I. 5. m2n2 1. 30 2. 6a 3. 3xy 4. 6xy 6. mn 7. x2y2 8. a2 9. x2y2z 11. 20p2q2 12. 30p6q6 13. a2 – b2 14. 2a + 4 10. xy2z2 15. 3a2 – 12 16. 18m2 + 6m 17. x2 – a2 18. x2 + 3x + 2 19. a2b + ab2 20. (a – b)2 (a + b) 21. x2 + 5x + 6 22. 2 (x – 2) (x – 3) 23. a (a – 1) (a + 1)2 24. (a – 2) (a + 2)2 25. (x + 2) (x – 2) (x + 7) 26. 3a (a2 – 1) 27. p (p2 – 25) 28. 4 (x + 1)2 29. 5 (t2 – 25p2) 30. (x – y) (x + y)2 14 7 12 II. 1. —– 2. 2 3. – — 4. a – 2 5. —–— 54 11 Álgebra en los números reales a 3x – 4 CAPÍTULO 1 9. a – 2 a+2 8. x + 1 2x – 3 7. x + 1 x+6 6. 3 3 4x + 3 14. x+3 (x + 2) (x + 3) 11. 1 12. – 4 16. 2 30 17. 3a 2 18. 13a 12 19. – b 3 21. a 6 22. a 6 23. 3x 10 24. 28. 11 3a 29. 13x – 11 12 2 26. 2 + x 27. – 1a 2x 31. 12 2 41x – 11x 2x – 6 2 32. 2 2 2 2 2 (x – 16)(x – 1) 3 2 – 2m – m – m + 1 2 2 m ( m – 1) 45. – 14x + 63 x2 – 16 x2 – 48. 3 x+2 2 x + x – 4x – 4 3x – 12x + 11x – x + 16 43. 20. 2x a – 1 2 25. 1 + x x 2 30. – a + a – 2 a 3 2 5x + 2x – 2 3 1 x – 11 15. x –1 2 38. 2 42. 2 2 ( a – 25) (a – 6) 3 2 z (z – 1) 2 p +1 2 33. 4x – 2x – 11 3(a – 4) 2 37. 16a – 1a – 331 4 3 z –z–1 3 2 35. – a + 2 a + a + 4 34. 3ab + b – 5a 3ab 40. 13. 3p + q 10. 3 2 2 2 2 3 36. – x – 3x y + 5xy – 2xy + 2x – 4y – y 2 (x + y)(x – y) 3 2 39. 2x + 1x – 2x + 1 2 (x – 1) (x – ) (x + 2) 41. 0 2 2m – 4m – 13 (m – 4) (m – 5) 2 2 44. – 2x – x – 2 2 4x – 3 2 46. – 2x + 11x – 12 3x (x + 4) (x – 3) 47. 2x + 22x – 6x 3x (x + 3) (x + 5) 3 2 49. 2x + x – 6x +14 3 2 50. 21x + 6x + 43x – 300 2 2 (x – 36)(x – 16) 2 6x (x – 25) III. 1.—— a2. —— x + 13. a——— + 2b4. —— 1+x a – 3 x – 1 2 1 – x 2–x–2 5.—— x – 1 a2 – b28. x———— 6. a + x 7. ———– x + y a + b – 1 x2 + x – 2 m2 + mn11. ——————— 4a – 15b3 – 15b212. —– ac 9.——— a2 + ab10. ———— 2a – 2 m + 1 10b b 14. —– 1 1 13.2 15. x2 + 1 16. — b 3 17.—– 7518. —– 119. – — 1 20. 4 x 4 5 a – b 2x + 1 6x2 – 2x + 20 21.– 22. ——— 23. – x 24. —————– x + 1 31 – x2 1 – xy27. ——– x+1 25.a 26. ——– 28. –2b 1 + xy 2x + 1 29.——— 12 – 3x30. ———— x2 – 2 2 18 – 2x x + x –2 Álgebra en los números reales 55 Prueba de selección múltiple Marque la alternativa correcta. 5. –3p • 2pq = 1. Si a = – 1 y b = – 2 el valor de a – ab es: A. – 5p2q B. A. – 1 C. – 6pq B. – 2 D. – 6p2q C. E. D. – 3 E. 1 6p2q 6pq2 6. Si p = 1 y q = – 1 entonces p + q + pq es: 2 2. Al reducir la expresión A. – 1 B. 1 C. 0 D. 2 E. – 2 a – a se obtiene: 2 a A. 2 a B. – 2 C. – a D. E. – 1 7. Si p + q = – 6 y q = 2 entonces el valor de p es: 0 2 a 3. Al reducir 2a – a – 2 se obtiene: A. B. C. D. E. a – 2 1 2 a 2 3a 2 1 – 2 A. 6 B. 8 C. – 8 D. – 4 E. 4 8. Si m + 5n = 5 y n = – 2 entonces el valor de m es: A. B. – 05 C. 0 5 D. – 15 E. – 10 15 9. Si a = – 5 y a + b = 5 entonces el valor 4. Si m = 2 y p = 3 entonces m2 – p2 es: de b es: A. 0 A. 5 B.10 B. –5 C. 5 C. 13 D.­ – 5 D. – 13 E. – 10 E. 56 –2 Álgebra en los números reales CAPÍTULO 1 n 2 10. Si m = y n = – 16 entonces el valor de m es: 14. La expresión “el cuadrado de la diferencia entre a y b” es: 32 B. – 32 C. A. 8 D. – 8 s 2 y s = 9 entonces el valor de C. a – b2 A.9 B. –9 C. 2 a y b” corresponde a: A. 2a2b B. 2ab2 C. 2a2b2 D. 18 E. – 12. La expresión “el doble del cuadrado de a” corresponde a: a–b 2 15. “El doble del producto entre q es: 2 B. a2 – b2 E. 11. Si q = – 2r, r = (a – b)2 D.­ 2(a – b) E. – 4 A. D. a2b2 E. 2ab 16. Al reducir 2a – [ a – (a – 2a) ] se obtiene: A. 2a A. B. – 2a B. m + 2p C. 2m + 4p D. 2m + 2p B. 2 (a2)2 C. a 2a2 D. 4a E. – 4a a2 13. La expresión “el cubo de la mitad de a” corresponde a: A. 3a3 2 3 B. a 2 C. a 3 D. E. 2 a 3 2 3a 2 17. Al reducir (a + b) – (a – b) se obtiene: A. 2b E. – 4p 1 2 a 6 a B. – 6 a C. – 2 a D. 2 a E. – 3 A. A. a B. a– 3 C. a– 4 D. a3 E. a5 B. – 2b C. D. – 2a A. 0 E. B. – a2b2 C. – a2b4 0 18. Al reducir 21. a • a2 • a– 2 = 2a 1 20. 2 a + 3 a – 3 a – a es igual a: 0 E. 0 2m – 4p B. E. A. D. (2a2)2 2b 19. Al reducir 3m – [2m – (3p + m) – p] se obtiene: (2a)2 C. C. D. – 2b A. 2a 22. ab2 • – ab2 = (a – b) – (a + b) se D. a2b4 obtiene: E. – 2a2b4 Álgebra en los números reales 57 23. 2m • – 3m • – 4mp2 = 29. Al factorizar m2–mn se 34. Para que la expresión obtiene: 9a2 + 12ab + ..... A. mn(m –1) sea un cuadrado de B. m2(m – n) binomio falta: D. – 24m3p2 C. m(m – n) A. 4b2 E. – 9m3p3 D. m(1 – n) B. 4b E. m2 (1 – n) C. 4 D. b2 E. 9 A. 24m3p3 B. – 24m3p3 C. 24m3p2 24. x – [2x – 3y + (3y – 2x)] = 30. Al factorizar 4 – p2 se A. 3x – 6y B. 4x – 6y C. 4x + 6y A. (2 – p)2 D. – x B. (2 – p) (2 + p) E. x C. (p – 2) (p + 2) A. 25. a (a2 + a3) = D. (4 – p)2 B. c A. a6 E. 2p (2 – p) C. 1 B. 2a6 31. La expresión 1 – p6 es equivalente a: C. a7 D. a2 + a3 D. abc E. 1 abc E. a3 + a4 26. m(1 + m) – m(1 – m) = obtiene: A. (1 – p3) (1 – p2) B. p3 (1 – p2) C. (1 – p3) (1 + p3) A. – m2 D. (1 – p3)2 B. 2m2 E. (1 – p2)3 C. m – m2 D. m + m2 E. 0 27. a(1 + a + a2) – a = A. a + a2 B. a + a3 C. a + a2 + a3 D.­ a2 + a3 E. 1 + a + a2 28. xy (x + 2y) – 2xy2 = A. x2y + xy2 B. xy2 C. x2y D. 2xy2 E. – 2xy2 58 Álgebra en los números reales 32. Factorice: 2 35. a b c = abc 1 c 36. a+ ab = ab A. ab B. a C. a + 1 a b + 1 D. b E. b m2 – n2 – m – n = A. (m – n) (m2 + n2) B. (m + n) (m – n – 1) C. (m – n) (m – n – 1) D. (m + n) (m – n + 1) E. (m – n) (m – n + 1) 2 2 37. m – n = m– n A. m – n A. 3(a + b) 1 m– n C. m + n B. 3(a + b)2 D. C. 3(a2 + b2) D. a(a + b + 1) E. (a + b) (a + b + 1) E. m + n m– n 33. (a + b) + (a + b)2 = B. 1 m+ n CAPÍTULO 1 38. a – 1 : a –1 = a a 2 41. x – 11x + 2 = x– A. a + 1 B. a – 1 C. 1 a +1 D. 1 a–1 1 E. 2 2 A. 3 ( x – y) B. 3 (y – x) C. y – x D. x – y E. y – 3x A. 1 2 2 2 B. C. a2 – b2 D. a2 + b2 E. a +b 1 a–b E. a – 2 44. 3 3 x +y 2 C. x – 4 D. x + 4 E. x + 7 A. x + y B. 1 x+y C. x – y 42. x + 5 = 2 x – 25 A. x + 5 B. x – 5 x – xy + y 2 = B. – 3m C. 3m D. E. –3m 2 n n 3m 2n n+ 1 n + a 47. a = n a A. an D. 1 x–y B. a C. a + 1 E. x + y xy D. an+1 E. an–1 C. 1 x+5 45. a b + = a+b a+b 48. 56 + 56 + 56 + 56 + 56 = D. 1 x–5 A. a A. 530 B. (a + b) B. 57 C. (a + b)2 C. 256 D. 1 D. 2530 E. 43. 2 a –b 1 D. – 2 40. a – b = 4 4 a –b B. x – 7 2 a 39. 3xy – 3x y = 3xy 2 A. x – 4 x– 1 2 1 E. 2 x –5 2 a –4 2 a + 3a + 2 A. a – 2 a+1 B. a + 1 a–2 C. – 2 = a+b 2 2 a +b 46. m – 2m = n n+ 1 ∞ 49. 3 4 – 4 = n 4 A. 3 – 4n+1 B. 2 2n n C. 1 A. – 3m 2n D. –1 E. 0 Soluciones 1. D 8. A 15. E 22. C 29. C 36. D 43. A 2. B 9. B 16. B 23. C 30. B 37. C 44. A 3. C 10. D 17. A 24. E 31. C 38. A 45. D 4. B 11. B 18. D 25. E 32. B 39. C 46. A 5. D 12. C 19. C 26. B 33. E 40. B 47. C 6. A 13. D 20. B 27. D 34. A 41. C 48. B 7. C 14. A 21. A 28. C 35. B 42. D 49. D Álgebra en los números reales 59