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BACHILLERATO
FÍSICA
11. FUNDAMENTOS DE LA
MECÁNICA CUÁNTICA
R. Artacho
Dpto. de Física
y Química
11. FUNDAMENTOS DE MECÁNICA CUÁNTICA
Índice
CONTENIDOS
1. La crisis de la física clásica  2. Antecedentes de la mecánica cuántica  3. Nacimiento y principios de
la mecánica cuántica  4. Consecuencias de la mecánica cuántica  5. Aplicaciones. El láser
CRITERIOS DE EVALUACIÓN
ESTÁNDARES DE APRENDIZAJE
5. Analizar las fronteras de la física a finales del s.
XIX y principios del s. XX y poner de manifiesto la
incapacidad de la física clásica para explicar
determinados procesos.
5.1. Explica las limitaciones de la física clásica al
enfrentarse a determinados hechos físicos, como
la radiación del cuerpo negro, el efecto
fotoeléctrico o los espectros atómicos.
6. Conocer la hipótesis de Planck y relacionar la
energía de un fotón con su frecuencia o su
longitud de onda.
6.1. Relaciona la longitud de onda o frecuencia de
la radiación absorbida o emitida por un átomo con
la energía de los niveles atómicos involucrados.
7. Valorar la hipótesis de Planck en el marco del
efecto fotoeléctrico.
7.1. Compara la predicción clásica del efecto
fotoeléctrico con la explicación cuántica postulada
por Einstein y realiza cálculos relacionados con el
trabajo de extracción y la energía cinética de los
fotoelectrones.
8. Aplicar la cuantización de la energía al estudio
de los espectros atómicos e inferir la necesidad
del modelo atómico de Bohr.
8.1. Interpreta espectros sencillos, relacionándolos
con la composición de la materia.
9. Presentar la dualidad onda-corpúsculo como
una de las grandes paradojas de la física cuántica.
9.1. Determina las longitudes de onda asociadas a
partículas en movimiento a diferentes escalas,
extrayendo conclusiones acerca de los efectos
cuánticos a escalas macroscópicas.
2
11. FUNDAMENTOS DE MECÁNICA CUÁNTICA
Índice
CRITERIOS DE EVALUACIÓN
ESTÁNDARES DE APRENDIZAJE
10. Reconocer el carácter probabilístico de la
mecánica cuántica en contraposición con el
carácter determinista de la mecánica clásica.
10.1. Formula de manera sencilla el principio de
incertidumbre Heisenberg y lo aplica a casos
concretos como los orbítales atómicos.
11. Describir las características fundamentales de
la radiación láser, los principales tipos de láseres
existentes, su funcionamiento básico y sus
principales aplicaciones.
11.1. Describe las principales características de la
radiación láser comparándola con la radiación
térmica.
11.2. Asocia el láser con la naturaleza cuántica de
la materia y de la luz, justificando su
funcionamiento de manera sencilla y reconociendo
su papel en la sociedad actual.
3
11. FUNDAMENTOS DE MECÁNICA CUÁNTICA
1 La crisis de la física clásica
MECANICA
TERMODINÁMICA
Newton 1686
Fma
Ec. del
movimiento
Clausius 1822
ELECTROMAGNETISMO
Maxwell 1865
4
11. FUNDAMENTOS DE MECÁNICA CUÁNTICA
1 La crisis de la física clásica
La etapa europea que va desde 1870 a 1900 se caracterizó por ser el
momento más glorioso de la ciencia experimental y del mayor descrédito de
cualquier otro procedimiento distinto al científico para escrutar la Naturaleza
y la realidad.
Esta actitud “cientifista” inundaba absolutamente TODOS los modos de vida
y
de pensamiento de una época que ha pasado a denominarse
POSITIVISTA.
Se desarrollan a un ritmo vertiginoso TODAS las ramas de la Ciencia, y la
Sociedad Occidental cree en la Ciencia como la “salvadora” del mundo.
Existe cierto sentimiento de orgullo y prepotencia en esa sociedad, que se
ve incrementado por los logros obtenidos.
De esta época es el desarrollo de la electricidad, del magnetismo y sus
aplicaciones la era de las vacunas, la mejora de los transportes, las
comunicaciones, el teléfono, el Telégrafo, los nuevos materiales para la
construcción, la prensa a gran escala, las Colonizaciones, la bonanza
económica de Europa y América...
Sin embargo, todo este gran edificio terminaría por caer; y con él el
sentimiento determinista y de seguridad en la Ciencia. Se inició aquí la
SEGUNDA revolución en la Historia de la Ciencia.
5
11. FUNDAMENTOS DE MECÁNICA CUÁNTICA
1 La crisis de la física clásica
La segunda Revolución Científica. Resumen de sus comienzos
Mientras que hacia 1880-1890 los científicos consideraban que la Ciencia
estaba asentada sobre principios muy sólidos, una serie de NUEVOS
descubrimientos derrumbaba en muy pocos años esas arraigadas ideas.
Algunos de esos descubrimientos fueron:
 Experimento NEGATIVO de Michelson.
 La retrogradación del perihelio de Mercurio.
 Descubrimientos de nuevas partículas en el átomo y el comportamiento de
éstos y sus espectros.
 La radiación del cuerpo negro y la cuantización de la energía.
 Las nuevas ideas de masa, espacio, tiempo y energía surgidas de la
Relatividad de Einstein.
 El efecto fotoeléctrico y su imposibilidad de explicación en base a la física
Clásica.
 Ideas de Heisemberg, y otros, sobre el carácter impredecible e
indeterminista de la Naturaleza
Otros científicos pasaron a plantearse los mismos pilares inconmovibles
de la ciencia. Los más importantes de todos ellos fueron Ernst Mach y H.
Poincarè.
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11. FUNDAMENTOS DE MECÁNICA CUÁNTICA
2 Antecedentes de la mecánica cuántica
2.1. La radiación del cuerpo negro y la hipótesis de Planck
 La frecuencia de la radiación que emite un cuerpo caliente aumenta con la
temperatura.
 La potencia irradiada depende de las características del material.
 La máxima potencia irradiada se consigue con el llamado cuerpo negro.
7
11. FUNDAMENTOS DE MECÁNICA CUÁNTICA
2 Antecedentes de la mecánica cuántica
2.1. La radiación del cuerpo negro y la hipótesis de Planck
 Al incidir radiación sobre un cuerpo, parte de ésta es reflejada y parte
absorbida, incrementando su temperatura. Al cesar la radiación, ese cuerpo
tiende a emitir la radiación absorbida. Tómese de ejemplo un hierro
calentado.
 La radiación que proviene de un cuerpo es la suma de la radiación propia y
la que refleja, por tanto, para estudiar sólo la correspondiente a la emisión
hay que diseñar “un cuerpo negro” (ideal)
 Kirchhoff: Cuando un cuerpo está en
equilibrio térmico, la energía que absorbe es
igual a la que emite (un buen absorbente
es también un buen emisor).
Un cuerpo negro es aquel que absorbe
todas las radiaciones, en consecuencia es
también un emisor ideal.
8
11. FUNDAMENTOS DE MECÁNICA CUÁNTICA
2 Antecedentes de la mecánica cuántica
2.1. La radiación del cuerpo negro y la hipótesis de Planck
 Kirchoff demostró que el espectro de emisión de un cuerpo negro
depende solo de la temperatura.
 La gráfica de emisión de un cuerpo negro (distribución espectral) nos indica
la distribución de la energía en las distintas longitudes de onda para una
determinada temperatura.
U.V
I.R
9
11. FUNDAMENTOS DE MECÁNICA CUÁNTICA
2 Antecedentes de la mecánica cuántica
2.1. La radiación del cuerpo negro y la hipótesis de Planck
Leyes empíricas que regían la radiación de un cuerpo negro
 Ley de Stefan-Boltzmann:
La intensidad de la radiación térmica de
un cuerpo negro es proporcional a la
cuarta potencia de la temperatura
absoluta:
𝐼 = 𝜎𝑇 4
𝜎 = 5,67 · 10−8
𝑊
(𝑐𝑡𝑒. 𝑑𝑒 𝑆𝑡𝑒𝑓𝑎𝑛)
𝑚2 𝐾 4
U.V
I.R
 Ley del desplazamiento de Wien:
El producto de la longitud de onda correspondiente al máximo de emisión por
la temperatura absoluta es constante:
𝜆𝑚á𝑥 · 𝑇 = 0,2897 𝑐𝑚 · 𝐾
10
11. FUNDAMENTOS DE MECÁNICA CUÁNTICA
2 Antecedentes de la mecánica cuántica
EJERCICIO 1
Vega es una estrella azulada de la constelación de Lira, mientras que
Aldebarán es una gigante roja de la constelación de Tauro. ¿Cuál de las dos
tiene una mayor temperatura superficial?
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11. FUNDAMENTOS DE MECÁNICA CUÁNTICA
2 Antecedentes de la mecánica cuántica
2.1. La radiación del cuerpo negro y la hipótesis de Planck
La forma de las gráficas de emisión y la teoría clásica
 Propuesta de Rayleigh-Jeans:
catástrofe del
ultravioleta
𝐼 𝜆, 𝑇 ∝
Ley
RayleighJeans
U.V
 en nm
𝑇
𝜆4
 Para longitudes de onda
grandes reproduce los
resultados experimentales.
 Para   0 fracasa,
prediciendo en conjunto
energía total por unidad de
volumen
infinita:
catástrofe ultravioleta.
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11. FUNDAMENTOS DE MECÁNICA CUÁNTICA
2 Antecedentes de la mecánica cuántica
2.1. La radiación del cuerpo negro y la hipótesis de Planck
La forma de las gráficas de emisión y la teoría clásica: Hipótesis de Planck
La energía emitida (cuanto de energía) por los osciladores atómicos no
puede tomar cualquier valor sino que es múltiplo entero de una constante h
multiplicada por la frecuencia del oscilador:
𝐸 = 𝑛ℎ𝑓
donde n es un número entero, h una constante denominada constante de
Planck, 6,63·10-34 J·s y f la frecuencia del oscilador
El número de osciladores de baja frecuencia es muy superior al de
osciladores de alta frecuencia.
8𝜋ℎ𝑐
𝐼 𝜆, 𝑇 = 5
𝜆
8𝜋𝐾𝑇 De acuerdo con
Para 𝜆 grande  𝐼 𝜆, 𝑇 =
la ley de
𝜆4
Rayleigh-Jeans
1
ℎ𝑐
𝑒 𝜆𝐾𝑇
−1
Para 𝜆  0 
𝐼 𝜆, 𝑇 → 0
Se evita la
catástrofe del
ultravioleta
13
11. FUNDAMENTOS DE MECÁNICA CUÁNTICA
2 Antecedentes de la mecánica cuántica
2.1. La radiación del cuerpo negro y la hipótesis de Planck
La forma de las gráficas de emisión y la teoría clásica: Hipótesis de Planck
catástrofe del
ultravioleta
Ley RayleighJeans
Fórmula de
Planck
U.V
 en nm
14
11. FUNDAMENTOS DE MECÁNICA CUÁNTICA
2 Antecedentes de la mecánica cuántica
EJERCICIO 2
¿Cuál es el tamaño energético de un cuanto de luz amarilla de 510 nm?
15
11. FUNDAMENTOS DE MECÁNICA CUÁNTICA
2 Antecedentes de la mecánica cuántica
2.2. El efecto foto eléctrico y la explicación de Einstein
 El efecto fotoeléctrico consiste en la emisión de electrones por un
material metálico cuando se ilumina con radiación electromagnética.
 Fue descubierto y descrito por Heinrich Hertz en 1887.
 Albert Einstein utilizó la teoría cuántica para resolver este misterio de la
física.
16
11. FUNDAMENTOS DE MECÁNICA CUÁNTICA
2 Antecedentes de la mecánica cuántica
2.2. El efecto foto eléctrico y la explicación de Einstein
Descripción del fenómeno
Fuente
luminosa
Vacío
Superficie
metálica
Fuente de
tensión
Electrodo
positivo
G
Detector
17
11. FUNDAMENTOS DE MECÁNICA CUÁNTICA
2 Antecedentes de la mecánica cuántica
2.2. El efecto foto eléctrico y la explicación de Einstein
Descripción del fenómeno
 Si se hace incidir luz de al
menos
una
frecuencia
determinada f0, frecuencia
umbral, en la superficie
metálica,
se
emiten
electrones. Es característica
de cada metal.
G
18
11. FUNDAMENTOS DE MECÁNICA CUÁNTICA
2 Antecedentes de la mecánica cuántica
2.2. El efecto foto eléctrico y la explicación de Einstein
Descripción del fenómeno
 Si la frecuencia es inferior a la
umbral, no hay emisión de
electrones aunque se aumente
la intensidad luminosa.
G
19
11. FUNDAMENTOS DE MECÁNICA CUÁNTICA
2 Antecedentes de la mecánica cuántica
2.2. El efecto foto eléctrico y la explicación de Einstein
Descripción del fenómeno
 Por encima de la frecuencia
umbral, un aumento de la
intensidad luminosa produce un
incremento del número de
electrones emitidos, pero no de
energía cinética máxima.
G
20
11. FUNDAMENTOS DE MECÁNICA CUÁNTICA
2 Antecedentes de la mecánica cuántica
2.2. El efecto foto eléctrico y la explicación de Einstein
Descripción del fenómeno
 Si aumentamos la frecuencia por
encima de la umbral, aumenta la
energía cinética máxima de los
electrones.
Ec
G
f0
f
21
11. FUNDAMENTOS DE MECÁNICA CUÁNTICA
2 Antecedentes de la mecánica cuántica
2.2. El efecto foto eléctrico y la explicación de Einstein
Descripción del fenómeno
 Para determinar la energía
cinética de los electrones se
invierte el potencial de las
placas, de modo que los
electrones se frenen y no lleguen
a la otra placa. Este valor del
potencial se llama potencial de
frenado:
1
𝑚𝑒 𝑣𝑚á𝑥 2 = 𝑒𝑉𝑓
2
G
22
11. FUNDAMENTOS DE MECÁNICA CUÁNTICA
2 Antecedentes de la mecánica cuántica
2.2. El efecto fotoeléctrico y la explicación de Einstein
Explicación de Einstein del efecto fotoeléctrico
 Einstein pensó que cada paquete de energía se comporta como una
partícula de luz pequeña a la que llamó fotón.
 El dedujo que cada fotón debía tener una energía proporcional a la
frecuencia de la luz,
𝐸 = ℎ𝑓
 Por lo tanto, la luz debe tener una frecuencia suficientemente alta para
superar la fuerza que mantiene unidos a los electrones en el metal
 Si la frecuencia de los fotones es mayor que entonces los electrones no sólo
serán emitidos, sino también adquieren una cierta cantidad de energía
cinética, tal que,
1
ℎ𝑓 = 𝑊𝑒𝑥𝑡 + 𝑚𝑒 𝑣𝑚á𝑥 2
𝑊𝑒𝑥𝑡 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛 = ℎ𝑓0
2
 Por otra parte, considere dos haces de luz que tienen la misma frecuencia
pero difieren en intensidades. La frecuencia de ellos es mayor a la
frecuencia característica. El rayo de luz más intenso tiene más fotones, por
lo tanto, emite una mayor cantidad de electrones de la superficie metálica.
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11. FUNDAMENTOS DE MECÁNICA CUÁNTICA
2 Antecedentes de la mecánica cuántica
EJERCICIO 3
Cuando una superficie de cobre es irradiada con luz procedente de un arco de
mercurio cuya longitud de onda es 2 537 Å, el valor del potencial necesario
para frenar la emisión de electrones es 0,24 V. ¿Cuál es la máxima longitud de
onda que producirá emisión de electrones en el cobre?
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11. FUNDAMENTOS DE MECÁNICA CUÁNTICA
2 Antecedentes de la mecánica cuántica
2.3. Los espectros atómicos y el átomo de Bohr
 Newton demostró que la luz blanca podía descomponerse en sus colores
dando lugar al espectro continuo
25
11. FUNDAMENTOS DE MECÁNICA CUÁNTICA
2 Antecedentes de la mecánica cuántica
2.3. Los espectros atómicos y el átomo de Bohr
Espectros de emisión
 Se obtienen al descomponer las radiaciones de un cuerpo previamente
excitado.
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11. FUNDAMENTOS DE MECÁNICA CUÁNTICA
2 Antecedentes de la mecánica cuántica
2.3. Los espectros atómicos y el átomo de Bohr
Espectros de emisión
 Todos los sólidos y líquidos a la misma temperatura
espectro de emisión continua.
tienen el mismo
 Los espectros emitidos por gases calentados son espectros discontinuos,
formados por rayas luminosas, característicos de cada elemento.
espectro del Mercurio.
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11. FUNDAMENTOS DE MECÁNICA CUÁNTICA
2 Antecedentes de la mecánica cuántica
2.3. Los espectros atómicos y el átomo de Bohr
Espectros de absorción
 Resultan de intercalar una determinada sustancia entre una fuente de luz y
un prisma.
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11. FUNDAMENTOS DE MECÁNICA CUÁNTICA
2 Antecedentes de la mecánica cuántica
2.3. Los espectros atómicos y el átomo de Bohr
Espectros de absorción
 Los espectros de absorción continuos se obtienen al intercalar un sólido
(por ejemplo, un vidrio azul) entre la fuente de luz y el prisma. En el
ejemplo, se absorberán todas la radiaciones menos el azul.
480 nm
 Los espectros de absorción discontinuos se obtienen al intercalar un gas
entre la fuente de luz y el prisma. Se observan bandas o rayas situadas en la
misma longitud de onda que sus espectros de emisión.
espectro del Mercurio.
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11. FUNDAMENTOS DE MECÁNICA CUÁNTICA
2 Antecedentes de la mecánica cuántica
2.3. Los espectros atómicos y el átomo de Bohr
Espectro de absorción del
Carbono
Espectro de emisión del
Carbono
Espectro de absorción del
Oxígeno
Espectro de emisión del
Oxígeno
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11. FUNDAMENTOS DE MECÁNICA CUÁNTICA
2 Antecedentes de la mecánica cuántica
2.3. Los espectros atómicos y el átomo de Bohr
Espectros del hidrógeno
 El primer espectro que se analizó fue el del átomo de Hidrógeno.
Espectro de absorción del Hidrógeno
Espectro de emisión del Hidrógeno
 En 1885 Balmer estudiando la zona visible del espectro de emisión del
átomo de hidrógeno, encontró una expresión que permitía predecir dónde
salen las rayas.
1
1
1
=𝑅 2− 2
𝜆
2
𝑛
 es la longitud de onda de la raya
R es la constante de Rydberg y vale 1,097·107 m-1
n es un número entero mayor que 2
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11. FUNDAMENTOS DE MECÁNICA CUÁNTICA
2 Antecedentes de la mecánica cuántica
2.3. Los espectros atómicos y el átomo de Bohr
Espectros del hidrógeno
 Posteriormente Rydberg y Ritz descubrieron que el hidrógeno presenta
rayas en el ultravioleta y el infrarrojo, por lo que obtuvieron una expresión
más general
1
1
1
=𝑅
−
𝜆
𝑛1 2 𝑛2 2
Serie
n1
n2
Zona
Lyman
1
2, 3, 4, …
Ultravioleta
Balmer
2
3, 4, 5, …
Visible
Paschen
3
4, 5, 6, …
Infrarrojo
Brackett
4
5, 6, 7, …
Infrarrojo
Pfund
5
6, 7, 8, …
Infrarrojo
Humphreys
6
7, 8, …
Infrarrojo
 ¿A qué se deben estas líneas que aparecen en los espectros?
 ¿Por qué las series espectrales convergen?
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11. FUNDAMENTOS DE MECÁNICA CUÁNTICA
2 Antecedentes de la mecánica cuántica
2.3. Los espectros atómicos y el átomo de Bohr
El átomo de Bohr
En 1911 Rutherford estableció el siguiente modelo de átomo:
 Todo átomo está formado por un núcleo y corteza.
 El núcleo, muy pesado, y de muy pequeño volumen, formado por un
número de protones igual al número atómico y de neutrones igual a la
diferencia entre la masa atómica y el número atómico, donde se concentra
toda la masa atómica.
 Existiendo un gran espacio vacío entre el núcleo y la corteza.
 Los electrones giran a grandes distancias del núcleo de modo que la
fuerza electrostática hace el papel de fuerza centrípeta.
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11. FUNDAMENTOS DE MECÁNICA CUÁNTICA
2 Antecedentes de la mecánica cuántica
2.3. Los espectros atómicos y el átomo de Bohr
El átomo de Bohr
El modelo atómico de Rutherford presenta dos inconvenientes notables.
a) Contradice las leyes del electromagnetismo ya que el electrón debería
emitir energía radiante al girar, perdiendo energía y cayendo finalmente
sobre el núcleo.
b) No explica los espectros discontinuos formados por rayas de frecuencias
determinadas.
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11. FUNDAMENTOS DE MECÁNICA CUÁNTICA
2 Antecedentes de la mecánica cuántica
2.3. Los espectros atómicos y el átomo de Bohr
El átomo de Bohr
Niels Bohr modifica el modelo de Rutherford
respetando la idea de orbitas circulares de los
electrones, pero aplica la teoría cuántica de Max
Planck, según ésta, la emisión de energía radiante
no se hace de forma continua sino en forma de
cantidades discretas, cuantos de energía según la
ecuación:
∆𝐸 = ℎ𝑓
Su estudio se basó en el átomo de H y en el de iones
hidrogenoides, con un solo electrón.
Niels Bohr 1885-1962
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11. FUNDAMENTOS DE MECÁNICA CUÁNTICA
2 Antecedentes de la mecánica cuántica
2.3. Los espectros atómicos y el átomo de Bohr
El átomo de Bohr
El modelo de Bohr se basa en tres postulados:
Primer postulado
El electrón gira alrededor del núcleo en órbitas circulares sin emitir ni absorber
energía radiante.
Segundo postulado
Sólo son posibles aquellas órbitas en las que el electrón tiene un momento
angular que es múltiplo entero de h/2.
𝐿 = 𝑚𝑒 𝑣𝑟 = 𝑛
ℎ
2𝜋
n es el número cuántico principal
Tercer Postulado
Cuando el electrón pasa de una órbita a otra, absorbe o emite energía en
forma de fotones cuya cantidad es:
∆𝐸 = 𝐸2 − 𝐸1 = ℎ𝑓
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11. FUNDAMENTOS DE MECÁNICA CUÁNTICA
2 Antecedentes de la mecánica cuántica
2.3. Los espectros atómicos y el átomo de Bohr
El átomo de Bohr
Radio de las órbitas permitidas
1 𝑒2
𝑣2
=𝑚
4𝜋𝜀0 𝑟 2
𝑟
+
n=1
𝑒2
𝑣2
𝑘 2=𝑚
𝑟
𝑟
n=2
⟹
1
𝑒2
𝑟=
4𝜋𝜀0 𝑚𝑒 𝑣 2
Teniendo en cuenta el 2º postulado:
𝑣=
𝑛ℎ
2𝜋𝑚𝑒 𝑟
𝑟=
𝑛2
n=3
𝜀0 ℎ2
𝜋𝑚𝑒 𝑒 2
+
𝑟 = 0,53 · 𝑛2 Å
37
11. FUNDAMENTOS DE MECÁNICA CUÁNTICA
2 Antecedentes de la mecánica cuántica
2.3. Los espectros atómicos y el átomo de Bohr
El átomo de Bohr
La energía de las órbitas permitidas
1
𝑒2
2
𝐸𝑇 = 𝐸𝐶 + 𝐸𝑃 = 𝑚𝑒 𝑣 −
2
4𝜋𝜀0 𝑟
De acuerdo con el 2º postulado y la expresión para el radio de una órbita, la
energía cinética se escribe:
1
1 𝑛2 ℎ2
2
𝑚 𝑣 = · 2
2 𝑒
8 𝜋 𝑚𝑒 𝑟 2
Igualmente, la energía potencial:
𝑟=
𝑛2
𝜀0 ℎ2
𝜋𝑚𝑒 𝑒 2
1 𝑚𝑒 𝑒 4
𝐸𝐶 = · 2 2 2
8 𝜀0 𝑛 ℎ
1 𝑚𝑒 𝑒 4
𝐸𝑃 = − · 2 2 2
4 𝜀0 𝑛 ℎ
Por lo que la energía total de un electrón en una órbita de Bohr:
1 𝑚𝑒 𝑒 4
1 𝑚𝑒 𝑒 4
1 𝑚𝑒 𝑒 4
𝐸𝑇 = · 2 2 2 − · 2 2 2 = − · 2 2 2
8 𝜀0 𝑛 ℎ
4 𝜀0 𝑛 ℎ
8 𝜀0 𝑛 ℎ
13,6
𝐸𝑇 = − 2 𝑒𝑉
𝑛
38
11. FUNDAMENTOS DE MECÁNICA CUÁNTICA
2 Antecedentes de la mecánica cuántica
2.3. Los espectros atómicos y el átomo de Bohr
El átomo de Bohr
La energía de las órbitas permitidas
0
-1,51
E (eV)
n=2
-3,40
𝐸𝑇 = −
13,6
𝑒𝑉
𝑛2
La diferencia de energías entre
órbitas tiende a disminuir conforme
aumenta n.
n=1
-13,6
39
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2 Antecedentes de la mecánica cuántica
2.3. Los espectros atómicos y el átomo de Bohr
El átomo de Bohr
Energía emitida por un electrón al pasar de una órbita de energía superior
a otra inferior
1
𝑚𝑒 𝑒 4
1
𝑚𝑒 𝑒 4
𝐸2 = − · 2 2 2
𝐸1 = − · 2 2 2
8 𝜀0 𝑛2 ℎ
8 𝜀0 𝑛1 ℎ
E=hf
n2, E2
𝐸𝑒𝑚𝑖𝑡𝑖𝑑𝑎 = 𝐸2 − 𝐸1 = −
n1, E1
𝐸𝑒𝑚𝑖𝑡𝑖𝑑𝑎 =
𝑚𝑒 𝑒 4
8𝜀0 2 ℎ2
𝑚𝑒 𝑒 4
2
8𝜀0 𝑛2
2 ℎ2
− −
𝑚𝑒 𝑒 4
8𝜀0 2 𝑛1 2 ℎ2
1
1
−
𝑛1 2 𝑛2 2
De acuerdo con el 3er postulado de Bohr, la energía emitida en forma de
cuantos (hf) será:
1
𝑚𝑒 𝑒 4
1
1
𝑐
𝑚𝑒 𝑒 4
1
1
=
−
ℎ𝑓 = ℎ =
−
𝜆 8𝜀0 2 ℎ3 𝑐 𝑛1 2 𝑛2 2
𝜆 8𝜀0 2 ℎ2 𝑛1 2 𝑛2 2
Al sustituir los valores de las constantes, se obtiene la constante de Rydberg:
40
11. FUNDAMENTOS DE MECÁNICA CUÁNTICA
2 Antecedentes de la mecánica cuántica
2.3. Los espectros atómicos y el átomo de Bohr
El átomo de Bohr
¿Cómo se producen los espectros a la luz de la teoría de Bohr?
 Al suministrar energía de excitación, los electrones de los átomos pasan a
niveles superiores, no todos los electrones al mismo nivel.
 Los electrones volverán a caer directamente al nivel inferior, sino que,
podrán producirse transiciones intermedias.
 Los átomos solo emitirán energías correspondientes a las diferencia de
energía entre las distintas órbitas.
 Cada una de estas energías corresponden a determinados valores de
frecuencia que pueden caer dentro del espectro ultravioleta (serie de
Lyman), visible (serie de Balmer) o infrarrojo (los demás).
41
11. FUNDAMENTOS DE MECÁNICA CUÁNTICA
2 Antecedentes de la mecánica cuántica
2.3. Los espectros atómicos y el átomo de Bohr
El átomo de Bohr
SERIES ESPECTRALES
n=
n=5
n=4
Pfund
Brackett
n=3
Paschen
n=2
Balmer
E=hf
n=1
Lyman
Ultravioleta
Visible
Infrarrojo
42
11. FUNDAMENTOS DE MECÁNICA CUÁNTICA
2 Antecedentes de la mecánica cuántica
2.3. Los espectros atómicos y el átomo de Bohr
Modelo vectorial del átomo
 El modelo atómico de Bohr consigue buenos resultados
para el átomo de hidrógeno e iones hidrogenoides pero
no sirve para átomos polielectrónicos. Además tiene el
inconveniente de estar basado en postulados empíricos
de difícil justificación teórica.
 Cuando se construyeron espectroscopios con mayor
poder de resolución, se observó que algunas rayas
gruesas se desdoblaban en otras más finas de longitudes
de ondas muy próximas.
Zeeman 1865-1943
 Zeeman aplicando campos magnéticos a los átomos,
consiguió la aparición de nuevas rayas lo que se conoce
como efecto Zeeman.
 Aplicando campos eléctricos ocurre lo mismo (efecto
Sbeck).
Foto obtenida por Zeeman
43
11. FUNDAMENTOS DE MECÁNICA CUÁNTICA
2 Antecedentes de la mecánica cuántica
2.3. Los espectros atómicos y el átomo de Bohr
Modelo vectorial del átomo
 Sommerfeld para explicar estos fenómenos introduce una
serie de parámetros en el modelo de Bohr a los que llamó
números cuánticos e introduce la idea de que las
órbitas electrónicas no tienen que ser circulares:
Arnold Sommerfeld 1869 -1951
n
l
número cuántico principal. Toma valores de 1 en adelante.
número cuántico azimutal o secundario. Toma valores de 0 a n-1. Es una medida
de la excentricidad de la órbita, y las diferencias justifican el desdoblamiento de las
rayas.
m número cuántico magnético. Toma valores de -1 a +1. Explica el efecto Zeeman.
s número cuántico spin. Toma los valores de + ½ y – ½ . Especifica el giro del
electrón sobre sí mismo.
44
11. FUNDAMENTOS DE MECÁNICA CUÁNTICA
2 Antecedentes de la mecánica cuántica
EJERCICIO 4
Calcula la menor longitud de onda de la serie de Paschen del espectro atómico
del hidrógeno.
45
11. FUNDAMENTOS DE MECÁNICA CUÁNTICA
3 Nacimiento y principios de la mecánica cuántica
Situación de partida (principios de los años 20):
 La luz, en los fenómenos de difracción, interferencia y polarización,
muestra una naturaleza ondulatoria.
 La luz, en los fenómenos de emisión del cuerpo negro, el efecto
fotoeléctrico y la formación de espectros y otros, muestra una naturaleza
corpuscular (fotones).
Síntesis
 Louis de Broglie (1924).
Bases de la Mecánica Cuántica
 Hipótesis de Louis de Broglie (1924).
 El principio de indeterminación de Heisenberg.
 La función de probabilidad de Schrödinger.
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11. FUNDAMENTOS DE MECÁNICA CUÁNTICA
3 Nacimiento y principios de la mecánica cuántica
3.1. Hipótesis de De Broglie
En 1924, el físico francés Louis de Broglie hizo el siguiente razonamiento:
 La naturaleza es sorprendentemente simétrica de
muchas maneras.
 Nuestro universo observable está compuesto
totalmente de luz y de materia.
 Teniendo en cuenta la dualidad onda-corpúsculo de la
luz (Young-Einstein), quizás también la materia goce
de esta cualidad.
Toda partícula material en
comportamiento ondulatorio.
movimiento
tiene
un
Louis de Broglie 1892 -1987
 De Broglie supuso que la longitud de onda de las
ondas de materia predichas debía estar dada por la
misma relación aplicable a la luz, o sea:
𝜆=
ℎ
ℎ
=
𝑝 𝑚𝑣
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11. FUNDAMENTOS DE MECÁNICA CUÁNTICA
3 Nacimiento y principios de la mecánica cuántica
3.1. Hipótesis de De Broglie
 La hipótesis de De Broglie permite afrontar el 2º postulados de Bohr
desde un punto de vista ondulatorio:
Una órbita estacionaria permitida es aquella que corresponde al
establecimiento en su seno de una onda estacionaria del electrón.
Una órbita será estacionaria cuando:
ℎ
2𝜋𝑟 = 𝑛𝜆 = 𝑛
𝑚𝑣
ℎ
𝑚𝑣𝑟 = 𝑛
2𝜋
¿Qué evidencias tenemos de la
certeza de la proposición de De
Broglie?
¿Se difractan e interfieren los
electrones entre sí?
48
11. FUNDAMENTOS DE MECÁNICA CUÁNTICA
3 Nacimiento y principios de la mecánica cuántica
3.1. Hipótesis de De Broglie
La difracción e interferencia de los electrones
En 1927, C.J. Davisson y L.H. Germer, descubrieron el fenómeno de la
difracción de electrones:
 Al hacer pasar chorros de electrones por orificios circulares y rendijas se
observa:
 Existen zonas de la placa fotográfica
donde nunca llegan electrones
(zonas prohibidas).
 Las zonas de incidencia de los
electrones forman anillos concéntricos
o bandas alternados con las zonas
prohibidas, lo que acaba produciendo
una imagen de difracción similar a la
de la luz.
49
11. FUNDAMENTOS DE MECÁNICA CUÁNTICA
3 Nacimiento y principios de la mecánica cuántica
3.1. Hipótesis de De Broglie
La difracción e interferencia de los electrones
 Podemos extraer las siguiente conclusiones:
 Un electrón incide en un punto y lo ennegrece, comportamiento que
pone de manifiesto un carácter corpuscular.
 Los puntos ennegrecidos permitidos están determinados, sin embargo,
por propiedades ondulatorias.
No podemos predecir en qué punto impactará un electrón: solo podemos
hablar en términos de probabilidad e indicar en qué zonas podrá impactar y
en qué zonas no lo hará.
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11. FUNDAMENTOS DE MECÁNICA CUÁNTICA
3 Nacimiento y principios de la mecánica cuántica
3.1. Hipótesis de De Broglie
El experimento de la doble rendija
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11. FUNDAMENTOS DE MECÁNICA CUÁNTICA
3 Nacimiento y principios de la mecánica cuántica
EJERCICIO 5
Determina la longitud de onda de un electrón que es acelerado desde el estado
de reposo con una diferencia de potencial de 200 V.
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11. FUNDAMENTOS DE MECÁNICA CUÁNTICA
3 Nacimiento y principios de la mecánica cuántica
3.2. El principio de indeterminación de Heisenberg
Es imposible en un instante dado, determinar
simultáneamente la posición y la cantidad de
movimiento de una partícula (el momento lineal de
ésta).
Δ𝑥Δ𝑝 ≥
Werner Heisenberg 1901-1976
ℎ
2𝜋
 ∆𝑥 es la imprecisión en la medida de la posición.
 ∆𝑝 es la imprecisión en la medida del momento
lineal.
 Sólo podemos esperar "ver" al electrón si le dirigimos luz, u otra partícula,
para que nos la refleje. En este caso, el retroceso que experimenta el
electrón cuando la luz (el fotón) rebota en él, altera por completo el
movimiento del electrón de una manera tal que no puede evitarse y ni
siquiera puede tomarse en cuenta para reconstruir el movimiento del
electrón.
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11. FUNDAMENTOS DE MECÁNICA CUÁNTICA
3 Nacimiento y principios de la mecánica cuántica
3.2. El principio de indeterminación de Heisenberg
Principio de indeterminación y relación con la mecánica clásica
 En el caso de partículas o cuerpos de masa m que se mueven con
velocidad v, el principio de indeterminación se escribe:
ℎ
Δ𝑥 · 𝑚Δ𝑣 ≥
2𝜋
ℎ
Δ𝑥 · Δ𝑣 ≥
2𝜋𝑚
 En el caso de que aumente la masa, el producto de las indeterminaciones
tiende a disminuir y se acerca a cero. De esta manera ambas magnitudes
se pueden determinar con gran precisión: principio de correlación.
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11. FUNDAMENTOS DE MECÁNICA CUÁNTICA
3 Nacimiento y principios de la mecánica cuántica
EJERCICIO 6
El diámetro nuclear de un átomo es de 10-14 m; ¿cuál es la energía cinética
mínima que puede tener un protón que se encuentre en su interior?
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11. FUNDAMENTOS DE MECÁNICA CUÁNTICA
3 Nacimiento y principios de la mecánica cuántica
3.3. La función de probabilidad de Schrödinger
¿Por qué los electrones se mueven en órbitas estacionarias de energía?.
¿Por qué tienen comportamiento de onda?
¿Cómo conocer la energía que posee un electrón y la posición de éste si
según el principio de incertidumbre nunca lograremos medirlo?
La mecánica clásica no puede dar respuesta a estos interrogantes
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11. FUNDAMENTOS DE MECÁNICA CUÁNTICA
3 Nacimiento y principios de la mecánica cuántica
3.3. La función de probabilidad de Schrödinger
 En 1926, Erwin Schrödinger desarrolla una teoría
según la cual las propiedades corpusculares y
ondulatorias de la materia no son mas que aspectos
distintos de una misma realidad.
 La ecuación de onda de Schrödinger, describe el
comportamiento y la energía de las partículas
submicroscópicas. Es una función análoga a las leyes
de Newton para los sólidos macroscópicos que
incorpora tanto el carácter de partícula (en función de
la masa) como el carácter de onda en términos de una
función de onda 𝝍 (psi).
Erwin Schrödinger 1887-1962
 Schrödinger definió la función de onda 𝝍 como una
función matemática que sirve para caracterizar a un
sistema dado en función de las variables que lo
definen.
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11. FUNDAMENTOS DE MECÁNICA CUÁNTICA
3 Nacimiento y principios de la mecánica cuántica
3.3. La función de probabilidad de Schrödinger
 Max Born sugirió que lo que tenía sentido físico real no
era la función de onda, sino su cuadrado.
 Según esta interpretación, la probabilidad de encontrar
un electrón en un elemento de volumen dV viene dada
por:
𝜓 2 𝑑𝑉
Max Born 1882-1970
 La función de onda debe cumplir:
𝜓 2 𝑑𝑉 = 1
𝑉
 Cuando se cumple esta condición se dice que la función de onda se
encuentra “normalizada”.
 A la región del espacio donde es más probable que se encuentre el electrón
se denomina orbital y viene expresado por una función de onda.
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11. FUNDAMENTOS DE MECÁNICA CUÁNTICA
3 Nacimiento y principios de la mecánica cuántica
3.3. La función de probabilidad de Schrödinger
 La función de onda debe satisfacer además la ecuación de Schrödinger
que permite calcular la energía del electrón:
ℎ2
𝜕2𝜓 𝜕2𝜓 𝜕2𝜓
− 2
+
+
+ 𝑈𝜓 = 𝐸𝜓
8𝜋 𝑚 𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2 𝜕𝑧 2
 𝑼 representa la energía potencial asociada a la función de onda y 𝑬 es la
energía total del electrón con dicha función de onda.
 Escrita de otra forma (haciendo ℏ = ℎ 2𝜋):
ℏ2 𝜕 2
𝜕2
𝜕2
−
+
+
+ 𝑈 𝜓 = 𝐸𝜓
2𝑚 𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2 𝜕𝑧 2
⟹
𝐻𝜓 = 𝐸𝜓
 Donde H recibe el nombre de Hamiltoniano.
 Heisemberg desarrolla otra formulación alternativa conocida como
mecánica matricial que conducía a los mismos resultados.
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11. FUNDAMENTOS DE MECÁNICA CUÁNTICA
4 Consecuencias de la mecánica cuántica
 Se sustituye la idea de trayectorias precisas (órbitas) de Bohr por zonas de
máxima probabilidad de hallar el electrón (orbital).
 Se modifica el concepto de electrón
negativamente”, que carece de sentido.
como
“partícula
cargada
 Debemos acostumbrarnos a hablar de rastro electrónico más que de
electrón.
Efecto túnel
Reflexión y "tunelado" de un electrón dirigido hacia
una barrera potencial. El punto resplandeciente
moviéndose de derecha a izquierda es la sección
reflejada del wavepacket. Un vislumbre puede
observarse a la derecha de la barrera. Esta
pequeña fracción del wavepacket atraviesa el túnel
de una forma imposible para los sistemas clásicos.
También es notable la interferencia de los contornos
entre las ondas de emisión y de reflexión.
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11. FUNDAMENTOS DE MECÁNICA CUÁNTICA
5 Aplicaciones. El láser
LASER corresponde a la expresión Light Amplification by Stimulated Emissión
of Radiation (amplificación de luz por emisión estimulada de radiación). ,,
 En 1953 Townes desarrolló un dispositivo precursor, el máser, que producía
microondas coherentes en lugar de luz visible.
 En 1960 Maiman construyó e hizo funcionar el primer láser de rubí,
basándose en las ideas de Townes.
 Los elementos esenciales son:
 Un medio láser que puede ser un sólido (rubí), un líquido (láseres de
colorante) o un gas (CO2).
 Dos estados de energías E2 > E1, entre los que pueden ocurrir
transiciones en los electrones pasando de un nivel a otro, teniendo el
estado de mayor energía mayor vida media.
 Un sistema de bombeo que excite a los átomos, moléculas o iones a
estados metaestables de energía.
 Un sistema óptico de retroalimentación adecuado que permita que la
emisión del medio láser se mueva a lo largo de un eje atravesando
repetidamente el medio láser.
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11. FUNDAMENTOS DE MECÁNICA CUÁNTICA
5 Aplicaciones. El láser
PRODUCCIÓN DE LUZ LÁSER
Distribución electrónica normal y
emisión espontánea
Inversión de la población
mediante absorción inducida
Los electrones de la corteza
atómica presentan una
distribución estadística
normal, donde la cantidad de
electrones en un nivel
energético n es mucho mayor
que en el nivel n+1.
La emisión espontánea de
radiación se produce cuando
caen electrones de un nivel
superior al inferior. Los fotones
se emiten en distintos
momentos, por lo que no tienen
la misma fase y producen luz no
coherente.
Mediante una lámpara flash
(p.e), se proporciona energía a
los átomos del material (rubí,
p.e.) y se produce una
inversión de la población
electrónica. En este caso la
población de electrones en el
nivel n+1 es mucho mayor que
la existente en el nivel n.
Esta situación solo puede
mantenerse en el tiempo
mediante el mecanismo de
bombeo óptico producido por la
lámpara flash.
E2
Estado
metaestable E2
Estado base
Se somete el material con
inversión de población a una
radiación externa con la
frecuencia de la transición igual
a la del fotón emitido cuando el
electrón pasa de un nivel n+1
hasta n. En estas condiciones,
los electrones pasan al mismo
tiempo y se produce una
emisión inducida de
radiación.
Los fotones emitidos, además
de tener la misma frecuencia
(monocromática) se emiten en
fase (luz coherente).
Radiación
externa
E1
Estado
metaestable
Estado
E
metaestable 2
Luz normal
E1
Emisión inducida de radiación
Estado base
E1
Luz láser
Estado base
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