Document

Septiembre 2014
Opción A
Ejercicio 1. Sean las matrices
⎛ 1 −7 ⎞
⎛ 1 0 ⎞
y B=⎜
A=⎜
⎟
⎝ 2 −1 ⎠
⎝ −5 2 ⎟⎠
a) Calcular las matrices X e Y para las que se verifica:
X +Y = A
3X + Y = B
Este sistema de ecuaciones matriciales lo podemos resolver mediante reducción, es decir:
⎧X + Y = A
−⎨
⎩ 3X + Y = B
−2X = A − B → X = −
1
( A − B)
2
Sustituyendo queda por tanto:
1 ⎛ ⎛ 1 −7 ⎞ ⎛ 1 0 ⎞ ⎞
1 ⎛ 0 −7 ⎞ ⎛
0
7/2 ⎞
X =− ⎜ ⎜
−⎜
=− ⎜
=⎜
⎟
⎟
⎟
⎟
2 ⎝ ⎝ 2 −1 ⎠ ⎝ −5 2 ⎠ ⎠
2 ⎝ 7 −3 ⎠ ⎝ −7 / 2 3 / 2 ⎟⎠
Con el valor de la matriz X podemos calcular la matriz Y:
X + Y = A → Y=A − X
⎛ 1 −7 ⎞ ⎛
0
7/2 ⎞ ⎛ 1
−21 / 2 ⎞
Y =⎜
−⎜
=⎜
⎟
⎟
⎝ 2 −1 ⎠ ⎝ −7 / 2 3 / 2 ⎠ ⎝ 11 / 2 −5 / 2 ⎟⎠
b) Hall BZ + Bt = 2I e la matriz Z que verifica
En primer lugar despejamos la matriz Z de la ecuación matricial dada:
BZ + Bt = 2I
BZ = 2I − Bt → ( B ) BZ = ( B )
−1
−1
( 2I − B ) → Z = ( B ) ( 2I − B )
−1
t
⎛ 1 0 ⎞
⎝ −5 2 ⎟⎠
Como se ve, será necesario calcular la inversa de B siendo B = ⎜
A continuación, calculamos la matriz inversa de B :
t
⎧
1
⎪B =
−5
⎪
B⎨
⎛
⎪
adj(B)
=
⎜⎝
⎪
⎩
( B )−1 =
0
=2
2
2 5 ⎞
0 1 ⎟⎠
0 ≤ t ≤ 10
⎞
1
1⎛
( adj(B))t = ⎜ 2 0 ⎟
B
2⎝ 5 1 ⎠
Y por tanto, la matriz X queda como:
1 ⎛ 2 0 ⎞ ⎛ ⎛ 1 0 ⎞ ⎛ 1 −5 ⎞ ⎞ 1 ⎛ 2 0 ⎞ ⎛ 1 5 ⎞
X= ⎜
2
−
=
=
2 ⎝ 5 1 ⎟⎠ ⎜⎝ ⎜⎝ 0 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 2 ⎟⎠ ⎟⎠ 2 ⎜⎝ 5 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 ⎟⎠
1 ⎛ 2 10 ⎞ ⎛ 1
5 ⎞
= ⎜
=
2 ⎝ 5 25 ⎟⎠ ⎜⎝ 5 / 2 25 / 2 ⎟⎠
Ejercicio 2. Una empresa ha realizado un estudio sobre los beneficios, en miles de euros, que
ha obtenido en los últimos 10 años. La función a la que se ajustan dichos beneficios viene dada
por B(t) = 2t 3 − 36t 2 + 162t − 6 con 0 ≤ t ≤ 10
a) ¿Qué beneficios obtuvo al inicio del periodo y al final del décimo año?
Para saber los beneficios al inicio del periodo basta con calcular: B(0) = −6
Para saber los beneficios al final del periodo basta con calcular:
B(10) = 2 (10 ) − 36 (10 ) + 162 (10 ) − 6 = 2000 − 3600 + 1620 − 6 = 14
3
2
b) ¿En qué momentos se obtiene el máximo y el mínimo beneficio y cuáles fueron sus cuantías?
Para calcular el beneficio máximo y mínimo será necesario calcular los vértices de la función
empleando para ello la primera derivada:
B'(t) = 6t 2 − 72t + 162
A continuación, calculamos los puntos críticos de la función, es decir, los valores de x que anulan
la derivada:
B'(t) = 0 → 6t 2 − 72t + 162 = 0 → t 2 − 12t + 27 = 0
t=3
t=9
Finalmente estudiamos el signo de la derivada:
←⎯⎯
⎯
→ 3 ←⎯⎯⎯
→ 9 ←⎯⎯⎯
→
B'(0)>0
B'(4 )<0
B'(10)>0
Bcrece
Bdecrece
Y por tanto t = 3 es un máximo para el cual, el beneficio vale:
Bcrece
B(3) = 2 ( 3) − 36 ( 3) + 162 ( 3) − 6 = 54 − 324 + 486 − 6 = 210
3
2
Por otra parte, para t = 9 tenemos un mínimo, para el cual el beneficio vale:
B(9) = 2 ( 9 ) − 36 ( 9 ) + 162 ( 9 ) − 6 = 729 − 2916 + 1458 − 6 = −735
3
2
Ejercicio 3. Se sabe que dos alumnos de la asignatura de Matemáticas asisten a clase, de forma
independiente, el primero a un 85% de las clases y el segundo a un 35%. Tomando al azar un día
de clase, calcule la probabilidad de cada uno de los siguientes sucesos:
a) Que los dos hayan asistido a clase ese día.
Puesto que los dos sucesos son independientes podemos calcular la probabilidad pedida de la
siguiente forma:
P(A ∩ B) = P(A)⋅ P(B) = 0.85 ⋅ 0.35 = 0,2975
b) Que alguno de ellos haya asistido a clase ese día.
En este caso nos piden calcular la unión de ambos sucesos.
P ( A ∪ B) = P ( A) + P ( B) − P ( A ∩ B)
P ( A ∪ B ) = 0.85 + 0.35 − 0.30 = 0.90
c) Que ninguno haya asistido a clase ese día.
(
) (
)
En este caso piden calcular: P A ∩ B = P A ∪ B = 1− P ( A ∪ B ) = 1− 0.90 = 0.1
d) Que haya asistido a clase el segundo, sabiendo que el primero no asistido.
Se trata de una probabilidad condicionada. Además recordemos que los sucesos son
independientes, por lo que la intersección se puede separar en la multiplicación de los sucesos.
(
)
P B|A =
(
) = P ( B) ⋅ P ( A) = 0.35
P ( A)
P ( A)
P B∩ A
Ejercicio 4. La concejalía de Educación de una determinada localidad afirma que el tiempo
medio dedicado a la lectura por los jóvenes de entre 15 y 20 años de edad, es, algo sumo, de 8
horas semanales. Para contrastar esta hipótesis ( H 0 : µ ≤ 8 ), se escoge al azar una muestra de
100 jóvenes, de entre 15 y 20 años, y se obtiene una media de 8.3 horas de dedicación a la
lectura. Supuesto que el tiempo dedicado a la lectura sigue una ley Normal con desviación típica
igual a 1 hora, ¿qué se puede decir, a un nivel de significación del 5%, sobre la afirmación de la
concejalía?
Puesto que queremos realizar un contraste de hipótesis unilateral para la media, la región de
aceptación quedará definida como:
σ ⎞
⎛
⎜⎝ −∞, µ + zα ⋅
⎟
n⎠
con un nivel de significancia de α = 0.05
Esto se debe a que si la hipótesis nula es del tipo µ ≤ k el nivel de significación α se acumula en
la parte derecha de la cola:
Sabiendo esto, calculamos el valor de la región:
σ ⎞ ⎛
1 ⎞
⎛
⎜⎝ −∞, µ + zα ⋅
⎟⎠ = ⎜⎝ −∞,8 + z0.05 ⋅
⎟
n
100 ⎠
el valor de z0.05 será aquel que cumpla: P(z < z0.05 ) = 1− 0,05 = 0,95
Consultando en la tabla, el valor que deja a la izquierda probabilidad 0,95 es: zα = 1.645
Por tanto, el intervalo queda:
1 ⎞
⎛
⎜⎝ −∞,8 + 1.645 ⋅
⎟ = ( −∞,8.01)
100 ⎠
Una vez que tenemos definida la región de aceptación, vemos si el valor de la media obtenido
para la muestra entra en dicho intervalo:
x = 8.3 ∉( −∞,8.01)
Puesto que no pertenece al intervalo tenemos que rechazar la hipótesis.
Opción B
Ejercicio 1. Plantee, sin resolver, el siguiente problema:
“Un mayorista vende productos congelados que presenta en envases de dos tamaños, pequeños
y grandes. La capacidad de sus congeladores no le permite almacenar más de 1000 envases en
total. En función de la demanda sabe que debe mantener un stock mínimo de 100 envases
pequeños y 200 envases grandes. La demanda de envases grandes es igual o superior a la de
envases pequeños. El coste de almacenaje es de 10 céntimos de euro por cada envase pequeño
y de 20 céntimos de euro por cada envase grande. ¿Qué número de envases de cada tipo
proporciona el mínimo coste de almacenaje?
Al tratarse de un problema de programación lineal deberemos extraer del problema las
restricciones así como la función objetivo.
Definimos para ello:
x: número de envases pequeños
y: número de envases grandes.
Restricciones:
La capacidad de sus congeladores no le permite almacenar más de 1000 envases en total:
x + y ≤ 1000
En función de la demanda sabe que debe mantener un stock mínimo de 100 envases pequeños y
200 envases grandes.
x ≥ 100
y ≥ 200
La demanda de envases grandes es igual o superior a la de envases pequeños.
y≥x
Además se tiene que cumplir que
x≥0
y≥0
Función objetivo:
f (x, y) = 10x + 20y
b) Representar el recinto que determinan las inecuaciones:
⎧2x ≥ 10 + y
⎪x ≤ 2 5 − y
(
)
⎪
⎨
⎪x ≥ 0
⎪⎩ y ≥ 0
Para representar el recinto que delimitan pintamos cada una de las rectas que definen:
⎧ x = 0 → y = −10
2x ≥ 10 + y → 2x = 10 + y ⎨
⎩x = 5 → y = 0
⎧x = 0 → y = 5
x ≤ 2 ( 5 − y ) → x = 10 − 2y ⎨
⎩ x = 10 → y = 0
Y por tanto:
Ejercicio 2. Sea la función f (x) = −x 2 + px + q
a) Calcule los valores que deben tener p y q para que la gráfica de la función pase por el punto
(−4,−5) y presente un máximo en el punto de abcisa x=-1. Determine el valor de f(x) en ese
punto.
Para que f(x) pase por el punto (-4,-5) se tiene que cumplir:
f (−4) = −5 → −16 − 4 p + q = −5 → −4 p + q = 11
Además, para que presente un máximo en x=-1 se tiene que cumplir que: f '(−1) = 0
f '(x) = −2x + p
f '(−1) = 0 → 2 + p = 0 → p = −2
Con el valor de p obtenemos el de q: −4 p + q = 11 → 8 + q = 11 → q = 3
Por lo que la función queda: f (x) = −x 2 − 2x + 3
Para x=-1 la función toma el valor de: f (−1) = −1+ 2 + 3 = 4
b) Represente la gráfica de f para p=2 y q=-1 y halle la ecuación de la recta tangente a esta
gráfica en el punto de abcisa x=-2.
Para esos valores de p y q la función queda: f (x) = −x 2 + 2x − 1
Sus cortes con los ejes son:
Eje OX: f (x) = 0 → −x 2 + 2x − 1 = 0 → x = 1
Eje OY: f (0) = −1
Además obtenemos el valor del vértice derivando la función e igualándola a 0.
f '(x) = −2x + 2
f '(x) = 0 → −2x + 2 = 0 → x = 1
←⎯⎯
→1 ←⎯⎯⎯
→
f '(0)>0
f '(2)<0
f crece
f decrece
Y por tanto la gráfica tiene un máximo en (1, f (1)) = (1,0)
Con toda esta información ya podemos dibujar la gráfica de f:
Para calcular la recta tangente en x = -2 aplicamos la fórmula para la recta tangente a una gráfica
en un punto:
y − f (a) = f '(a)(x − a)
Siendo a el punto donde se quiere calcular la recta tangente, -2 en este caso.
y − f (−2) = f '(−2)(x − 2)
y − (−9) = 6(x − 2) → y = 6x − 21
Ejercicio 3. En una tienda de complementos disponen de 100 bolsos, de los cuales 80 son de
una marca conocida y 20 son imitaciones casi perfectas de dicha marca. Una inspección encarga
a un experto el peritaje de los bolsos de la tienda. Se sabe que este experto acierta en el 95% de
sus peritajes cuando el bolso es auténtico y que detecta el 98% de las imitaciones. Se elige al
azar un bolso para su examen:
a) Calcular la probabilidad de que experto acierte en su dictamen sobre ese bolso.
En primer lugar dibujaremos el diagrama de sucesos para facilitar el cálculo de las preguntas
pedidas:
⎧
80 4 ⎧ Acierta: 0.95
= ⎨
⎪Bolso original:
100 5 ⎩ Falla : 0.05
⎪
⎨
⎪ Imitación: 1 ⎧ Acierta: 0.98
⎨
⎪
5 ⎩Falla: 0.02
⎩
Puesto que nos piden la probabilidad de que la fruta esté de oferta un día se tiene:
P(acierto) = P (Original ∩ Acierta ) + P(imitación ∩ Acierta) =
4
1
⋅ 0.95 + ⋅ 0.98 = 0.956
5
5
b) Si el experto no ha acertado en su peritaje, calcule la probabilidad de que el bolso sea
auténtico.
Nos piden calcular la siguiente probabilidad condicionada:
P (Original | Fallo ) =
=
P(original ∩ fallo) P(original ∩ fallo)
=
=
P( fallo)
1− P(acierto)
0.8 ⋅ 0.05
= 0,90
1− 0.956
Ejercicio 4. El peso de los huevos de una granja sigue una ley Normal de media desconocida y
desviación típica 1,23 gramos. Para estimar la media poblacional se ha tomado una muestra de
dos doces de huevos que han dado un pepito total de 1615,2 gramos.
a) Halle un intervalo de confianza al 96% para la media poblacional.
El intervalo de confianza para la media del precio de los libros será de la forma:
(
I = x − error, x + error
)
Siendo:
1615.2
= 67.3
24
σ = 1.23
σ
Error = zα /2
n
x=
Puesto que queremos un intervalo de confianza al 96% se tiene que el nivel de significancia es:
α = 1− 0,96 = 0,04 → α / 2 = 0,02
Por tanto, el valor zα /2 será aquel que cumpla: P(z < zα /2 ) = 1− 0,02 = 0,98
Consultando en la tabla, el valor que deja a la izquierda probabilidad 0,98 es: zα /2 = 2.06
Con todos estos valores calculados, el error es: Error = 2.06 ⋅
1.23
= 0.52
24
Y el intervalo de confianza queda:
(
)
I = x − error, x + error = ( 67.3 − 0.52,67.3 + 0.52 ) = ( 66.78,67.82 )
b) Con el mismo nivel de confianza anterior, si nos exigieran que el intervalo tuviera una amplitud
máxima de 0.8, ¿de qué tamaño, como mínimo, habría que tomar la muestra?
Puesto que la amplitud del intervalo tiene que ser 0.8, el error debe ser la mitad de dicho valor, es
decir, 0.4.
Queremos que el error de la estimación sea 0.4 manteniendo el mismo nivel de confianza. Por
tanto:
Error < 0.4 → zα /2
σ
1.23
< 0.4 → 2.06
< 0.4
n
n
6.33 < n → n > 40.06 → n ≈ 41