Enseñanzade las Matemáticas con Tecnología

Enseñanza de las
Matemáticas
con Tecnología
para la Educación Secundaria
PROPUESTA HIDALGO
1
er
grado
Ma. Guadalupe Flores Barrera
Andrés Rivera Díaz
Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación
Secundaria, Propuesta Hidalgo (EMAT-Hidalgo), ha sido desarrollado
e implementado por la Coordinación Estatal del Programa EMAyCITHidalgo, con el apoyo de la Subsecretaría de Educación Básica de la
Secretaría de Educación Pública del Estado de Hidalgo y, sobre todo, del
Centro de Investigación y Estudios Avanzados del Instituto Politécnico
Nacional, particularmente del Departamento de Matemática Educativa,
del cual surgió la propuesta nacional.
Autores de EMAT-Hidalgo
Ma. Guadalupe Flores Barrera
Andrés Rivera Díaz
[email protected]
[email protected]
Este material se utiliza en las escuelas secundarias Generales, Técnicas y
Telesecundarias del Estado de Hidalgo con apoyo de las Direcciones, Supervisiones y Jefaturas de Sector, pero sobre todo de los Coordinadores
de Zona Escolar EMAT-Hidalgo.
Coordinadores de Zona Escolar EMAT-Hidalgo
Enseñanza de las Matemáticas
con Tecnología
para la Educación Secundaria
Propuesta Hidalgo
1er. grado
Revisión: Ramón Guerrero Leyva
Formación y diseño: Ana Garza
© EMAT Hidalgo 2008
© Ángeles Editores, S.A. de C.V. 2011
Campanario 26
San Pedro Mártir, Tlalpan
México, D.F. 14650
e-mail [email protected]
www.angeleseditores.com
Primera edición: agosto de 2011
Segunda edición: agosto de 2012
ISBN 978-607-9151-06-5
Miembro de la Cámara Nacional
de la Industria Editorial
Reg. Núm. 2608
Impreso en México
Alfaro Vera Gonzalo
Ángeles Ruiz Alfonso
Arroyo Rendón Martha Patricia
Arteaga Romero Damián
Azuara Sánchez Arturo
Badillo Ordóñez Filiberto
Bautista Montaño Maximino
Bibiano Santiago Edgar
Calva Badillo Jacobo
Castañeda Ahumada Héctor Hugo
Colín Pretel Alfonso
Cruz Bustos Marina
de la Cruz Reyes Rodrigo
Delgado Granados Nicasio
Díaz Badillo Ma. del Carmen
Espinoza Soto Juan Carlos
Flores Barrera Joel
Franco Moedano Aniceto Alejo
García Callejas Maricela Ma. del Carmen
García Mayorga Víctor
González Funes Cecilia Iliana
Hernández Ángeles Juan
Hernández Hernández Honorio
Hernández Hernández José Luis
Hernández Hidalgo Magdiel
Hernández Reyes Ernesto
Herrera Tapia Andrey
Islas Arciniega Silvia
Juárez Rojas Iván Ramsés
López Castellanos Verónica
López Lugo Silvia
López Miranda Rigoberto
Lozano Mendoza Rubén
Maqueda Lora Oscar Daniel
Mayorga Hernández Raúl =
Mendoza Paredes Maximino
Mendoza Ruiz Francisco
Meza Arellanos Ma. del Refugio
Mora Martín Teresa
Moreno Alcántara Alfonso
Moreno Martínez Ericka Sofía
Mota Aguilar Gloria
Naranjo Calderón Josué Arturo
Noble Monterrubio Guillermo
Nolasco Orta Edgar Arturo
Paredes Larios Hugo Alberto
Pedraza Sánchez Jaén Maximiliano
Pérez Pacheco Set Isaí
Pérez Salas Jesús Enrique
Recéndiz Medina Juan Carlos
Robles Feregrino María Teresa
Rodríguez Escudero María Teresa
Trejo Reyes Jesús
Ugarte Morán Sergio
Vargas Rivera Rafael
Vázquez Hernández Juan Andrés
Veloz Vega María Esther
Contenido
Introducción.............................................................................................. 5
Organización del texto EMAT-Hidalgo . ..................................................... 7
Programación del Primer Grado ............................................................... 9
Septiembre
Representación analítica y gráfica de fracciones y decimales ................ 13
Representación de fracciones y decimales en la recta numérica ........... 15
Problemas con suma y resta de fracciones............................................. 17
Generación de sucesiones de números................................................... 18
Octubre
Perímetro y área...................................................................................... 20
Construcción de triángulos . ................................................................... 22
Líneas importantes del triángulo............................................................. 24
Reparto proporcional.............................................................................. 25
Eventos probables en un juego de azar................................................... 27
Noviembre
Criterios de divisibilidad.......................................................................... 29
Cálculo del MCD y el mcm ...................................................................... 31
Problemas aditivos.................................................................................. 33
Multiplicación y división de números fraccionarios................................ 34
Diciembre
Propiedades de la mediatriz y la bisectriz............................................... 37
Perímetro y área de polígonos regulares................................................ 39
Proporcionalidad directa......................................................................... 42
Enero
Multiplicación de números decimales . .................................................. 43
División de números decimales............................................................... 44
Ecuaciones de primer grado.................................................................... 45
EMAT-Hidalgo
Febrero
Ecuaciones de primer grado.................................................................... 45
Construcción de polígonos regulares...................................................... 47
Cálculo del perímetro y área de polígonos regulares ............................. 49
Constante de proporcionalidad............................................................... 51
Marzo y Abril
Números con signo.................................................................................. 52
Construcción de círculos . ....................................................................... 55
La circunferencia y el número ∏............................................................. 59
Análisis de la regla de tres simple........................................................... 63
Problemas de proporcionalidad inversa.................................................. 66
Problemas de conteo . ............................................................................ 68
Mayo
Operaciones con números enteros......................................................... 70
Potencia de números............................................................................... 72
Notación científica (1)............................................................................. 76
Notación científica (2)............................................................................. 78
Junio
Sucesiones con progresión aritmética..................................................... 80
Perímetro y área del círculo ................................................................... 82
Proporcionalidad múltiple ...................................................................... 84
Problemas de proporcionalidad múltiple................................................ 85
Bibliografía.............................................................................................. 86
Introducción
Las Herramientas Computacionales (HC) constituyen un revolucionario avance
en nuestra sociedad. Presenciamos una era de cambio y de modificaciones
constantes que influyen significativamente en nuestras vidas. Mantenernos
expectantes o tomar las riendas de los procesos de cambio que nos pueden
ayudar a construir un mundo sin barreras, un mundo mejor, es una elección
a realizar de forma particular por cada uno de nosotros.
En el ámbito educativo, las HC constituyen una valiosa ayuda para favorecer los
aprendizajes escolares, particularmente de las matemáticas y de las ciencias,
pues son un reforzador didáctico, un medio para la enseñanza individualizada
y una herramienta fundamental de trabajo para el profesor.
En definitiva podemos preguntarnos: ¿Qué aspectos caracterizan a las HC
que las hacen tan especiales en la educación? Una reflexión alrededor de
esta pregunta nos conduce a definir un grupo de aspectos que las podrían
caracterizar:
1. Fomentan el aprendizaje continuo por parte del profesor, pues éste
tiene que estar actualizado para planificar con éxito las actividades
que realizarán los estudiantes.
2. Las HC no sólo pueden ser objeto de estudio sino que deben ser
herramientas indispensables para el alumno, tienen que ser integradas
al entorno educativo.
3. Garantizan el desarrollo de una enseñanza significativa y forman parte
de una educación integral.
4. Dinamizan el papel del profesor y del alumno. Este último, de
sujeto pasivo dentro del proceso didáctico, pasa a ser protagonista
del mismo junto al profesor, el cual tiene como función rectora
orientar al alumno en el uso de las herramientas tecnológicas que
sean utilizadas en el proceso.
5. Humanizan el trabajo de los profesores, pues ellos desarrollan sus
actividades con el apoyo de la tecnología, economizando tiempo y
energía.
5
Además de estas ventajas que nos proporcionan las Herramientas
Computacionales en el proceso de enseñanza, es bueno destacar que también
permiten lograr una mejor interdisciplinariedad, es decir, se puede relacionar
el contenido con el de otras asignaturas, particularmente el de las ciencias,
contribuyendo así a una formación más eficiente y de carácter integral de
nuestros estudiantes.
Por lo anterior, la Secretaría de Educación Pública del Estado de Hidalgo ha
implementado el Programa Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología
para la Educación Secundaria, Propuesta Hidalgo (EMAT-Hidalgo) a través
de la Coordinación Estatal de los profesores Ma. Guadalupe Flores Barrera
y Andrés Rivera Díaz. Para dar continuidad al programa, dichos profesores
imparten un curso-taller, programado un día al mes durante el ciclo escolar, al
equipo de Coordinadores de las Zonas Escolares del Estado, para que a su vez
ellos lo multipliquen, también un día al mes, con los profesores que imparten
ciencias en sus zonas correspondientes.
Las reuniones mensuales son un espacio de formación y actualización docente
para el intercambio de experiencias, metodologías y conocimientos sobre la
Hoja electrónica de cálculo, herramienta tecnológica que forma parte de la
propuesta original elaborada por la Subsecretaría de Educación Básica de
la Secretaría de Educación Pública (SEP), en colaboración con el Instituto
Latinoamericano de la Comunicación Educativa (ILCE). Como producto de ello
se han diseñado y elaborado los textos EMAT-Hidalgo, para cada grado escolar
de educación secundaria.
Por último, sabedores de que contamos con una comunidad educativa
comprometida, utilizaremos el presente material para beneficio de nuestros
alumnos.
Profr. Joel Guerrero Juárez
Secretario de Educación Pública
SEPH
6
Cómo está
organizado este libro
 PRESENTACIÓN
El libro Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación
Secundaria, Propuesta Hidalgo (EMAT-Hidalgo), es una compilación y
diseño de lecciones que hacen uso de cuatro herramientas de tecnología,
estrechamente relacionadas cada una con las áreas específicas de geometría,
álgebra, aritmética, resolución de problemas y modelación matemática. El texto
cumple, en forma paralela, con los planes y programas de estudio vigentes de
matemáticas para las modalidades de Educación Secundaria (General, Técnica
y Telesecundaria).
En la mayoría de las actividades seleccionadas, la construcción y el uso de
estas cuatro piezas de tecnología cuentan con un sustento teórico y/o empírico,
que respaldan su valor como herramientas mediadoras del aprendizaje en lo
cognitivo y en lo epistemológico.
La Propuesta Hidalgo plantea trabajar una sesión a la semana en el aula
de medios o espacio asignado a equipos de cómputo, complementando las
sesiones previas en el salón de clase. Esto implica que desde la planeación del
curso escolar, los directivos deben asignar en los horarios, de forma explícita,
la sesión EMAT-Hidalgo a cada grupo.
En el libro se incluye el uso de software de geometría dinámica para temas
de geometría euclidiana; calculadora con manipulación simbólica para la
introducción a la sintaxis algebraica, la graficación y la resolución de problemas;
lenguaje de programación LOGO para la programación con representación
geométrica y la hoja electrónica de cálculo para la enseñanza del álgebra, la
resolución de problemas aritmético-algebraicos, y temas de probabilidad y de
tratamiento de la información.
En el espacio para desarrollar el Programa EMAT-Hidalgo, el profesor guía a los
estudiantes en su trabajo con el ambiente computacional y con las actividades
programadas semanalmente en el texto.
7
Con las lecciones contenidas en el libro se pretende que los alumnos alcancen
cada vez mayores niveles de conceptualización matemática, para ello la
programación de las lecciones se hace como en el siguiente ejemplo:
Semana
Eje
Lecciones del Bloque CINCO
JUNIO
Herramienta
Pág.
1
SNPA Sucesiones con progresión aritmética.
Geometría dinámica
80
2
FEM
Geometría dinámica
82
Perímetro y área del círculo.
En general, en el espacio EMAT-Hidalgo el profesor debe motivar a los alumnos a:
• Explorar
• Formular y validar hipótesis
• Expresar y debatir ideas
• Aprender mediante el análisis de sus propios errores
Las sesiones EMAT-Hidalgo se organizan a partir de lecciones en las cuales
los alumnos reflexionan sobre lo que han realizado con la herramienta
computacional, y lo sintetizan para comunicarlo; por otro lado, estas lecciones
ya contestadas proporcionan información al profesor acerca de la comprensión
que los alumnos tienen de los conceptos matemáticos involucrados.
Finalmente, una reflexión:
La educación es la base del progreso en cualquier parte del mundo y en la
medida que el compromiso de los profesores se haga más expreso y se recupere
la vocación profesional, podremos tener aspiraciones de superación sustentadas
en hechos y no en sueños.
Ma. Guadalupe Flores Barrera y Andrés Rivera Díaz
Coordinadores Estatales del Programa EMAyCIT-Hidalgo
8
Programación Primer Grado
EMAT-HIDALGO
Semana
Eje
Lecciones del Bloque UNO
SEPTIEMBRE
Herramienta
Pág.
1
Representación analítica y gráfica de fracciones y
decimales.
Geometría dinámica
13
2
Representación de números fraccionarios y decimales
en la recta numérica.
Geometría dinámica
15
SNPA
3
Problemas con suma y resta de fracciones.
Hoja de cálculo
17
4
Generación de sucesiones de números.
Hoja de cálculo
18
Semana
Eje
1
2
FEM
3
Lecciones del Bloque UNO
OCTUBRE
Herramienta
Pág.
Perímetro y área.
Geometría dinámica
20
Construcción de triángulos.
Geometría dinámica
22
Líneas importantes del triángulo.
Geometría dinámica
24
Hoja de cálculo
25
Hoja de cálculo
27
SNPA Reparto proporcional.
4
MI
Semana
Eje
Eventos probables en un juego de azar.
Lecciones del Bloque DOS
NOVIEMBRE
Herramienta
Pág.
1
Criterios de divisibilidad.
Hoja de cálculo
29
2
Cálculo del MCD y el mcm.
Hoja de cálculo
31
Hoja de cálculo y
calculadora
33
Geometría dinámica
34
SNPA
3
Problemas aditivos.
4
Multiplicación y división de números fraccionarios.
9
Semana
Eje
1
Lecciones del Bloque DOS
DICIEMBRE
Herramienta
Pág.
Propiedades de la mediatriz y la bisectriz.
Geometría dinámica
37
Perímetro y área de polígonos regulares.
Geometría dinámica
39
Hoja de cálculo y
calculadora
42
FEM
2
3
Semana
SNPA Proporcionalidad directa.
Eje
1
2
Multiplicación de números decimales.
SNPA División de números decimales.
3
Semana
1
Lecciones del Bloque TRES
Ecuaciones de primer grado.
Eje
Lecciones del Bloque TRES
SNPA Ecuaciones de primer grado.
2
ENERO
Herramienta
Pág.
Hoja de cálculo
43
Hoja de cálculo
44
Calculadora
45
FEBRERO
Herramienta
Pág.
Calculadora
45
Construcción de polígonos regulares.
Geometría dinámica
47
Cálculo del perímetro y área de polígonos regulares.
Geometría dinámica
49
Hoja de cálculo
51
FEM
3
4
10
SNPA Constante de proporcionalidad.
Programación Primer Grado
EMAT-HIDALGO
Semana
Eje
Lacciones del Bloque CUATRO
MARZO Y ABRIL
Pág.
Herramienta
Calculadora y
Geometría dinámica
52
Construcción de círculos.
Geometría dinámica
55
3
La circunferencia y el número π.
Geometría dinámica
59
4
Análisis de la regla de tres simple.
Hoja de cálculo
63
Problemas de proporcionalidad inversa.
Hoja de cálculo
66
Problemas de conteo.
Hoja de cálculo
68
MAYO
Herramienta
Pág.
1
SNPA Números con signo.
2
FEM
5
MI
6
Semana
Eje
Lecciones del Bloque CINCO
Calculadora y
Hoja de cálculo
70
Potencia de números.
Calculadora y
Geometría dinámica
72
3
Notación científica (1).
Calculadora y
Hoja de cálculo
76
4
Notación científica (2).
Calculadora y
Hoja de cálculo
78
1
Operaciones con números enteros.
2
SNPA
Semana
Eje
Lecciones del Bloque CINCO
JUNIO
Herramienta
Pág.
1
SNPA Sucesiones con progresión aritmética.
Geometría dinámica
80
2
FEM
Geometría dinámica
82
3
Perímetro y área del círculo.
Proporcionalidad múltiple.
MI
4
Problemas de proporcionalidad múltiple.
Hoja de cálculo y
Geometría dinámica
Hoja de cálculo y
Geometría dinámica
84
85
11
Iconos
Al inicio de cada lección aparece, a la
derecha del título, un elemento que
muestra el nombre del archivo a utilizar
y a la izquierda el icono que indica qué
recurso tecnológico debe usarse.
LECCIÓN
NombreDeArchivo
Los iconos y su significado son los siguientes:
Significa que para esta lección se requiere el
uso de la hoja de cálculo.
Quiere decir que para esta lección se
necesita la calculadora.
Significa que en esta lección se requiere el uso
de un software de geometría dinámica.
12
1
Bloque Uno
LECCIÓN
Representación analítica y gráfica
de fracciones y decimales
1
Reanagrafradec
Para comparar números racionales, también llamados fracciones, abre el archivo Reanagrafradec.
Recuerda que una fracción propia es aquella en la que el numerador es menor que el denominador,
una fracción impropia es la que tiene el numerador mayor que el denominador, y un número
mixto es el que consiste de un número entero más una fracción propia.
1
5
1
7
En la recta siguiente, -2 está a la izquierda de -1 ; - está a la izquierda de - ; y 1 está a la
2
8
8
8
1
derecha de 1 .
8
-2
-1
0
1
2
1
5
-1 2
1
-8
1
-8
7
18
18
En la recta numérica el orden es creciente de izquierda a derecha, es decir, dados dos números, el
que esté a la izquierda es menor que (<) el de la derecha y, análogamente, el que está a la derecha
es mayor que (>) el de la izquierda, la relación de orden de los números anteriores se indica así:
1
5
1
7
1
-2 < -1
<1 >1
2
8
8
8
8
Para localizar en la recta numérica fracciones impropias, es conveniente primero convertirlas a un
número entero más una fracción propia, es decir, a un número mixto. Para hacer esto, dividimos
el numerador entre el denominador para encontrar el cociente entero y el residuo (fracción propia).
10
Por ejemplo, para representar
en la recta numérica, primero dividimos 10 ÷ 8, y vemos que el
8
2
cociente es 1 y el residuo es 2, por lo que el resultado es 1 (número mixto). Ahora en la recta
8
numérica dividimos los enteros en 8 partes iguales, puesto que así lo indica la fracción, y se
cuentan diez octavos o simplemente se ubica un entero más dos octavos.
10
2
En la recta se ha marcado
con una flecha azul, que equivale a 1
8
8
0
1
1
8
2
8
3
8
4
8
5
8
6
8
7
8
8
8
9
8
10
8
11
8
12
8
1. Ubica en la recta numérica las fracciones que se indican en cada caso:
7
2
23
7
15
4
Sentido numérico y pensamiento algebraico
13
2. Escribe dentro del círculo la fracción que señala la flecha:
0
1
0
2
1
3
4
5
6
2
7
8
9 10
0
4
0
3
1
2
1
2
3
 Representación analítica y gráfica de números decimales
Para encontrar el número intermedio entre dos números decimales, se suman los dos números y
el resultado se divide entre 2; para localizar fácilmente el nuevo número en la recta numérica, es
muy útil hacer subdivisiones de los números marcados en ella.
Ejemplo.
Encontrar el número decimal que está entre 0.4 y 0.5.
Se suma 0.4 + 0.5 = 0.9, luego se divide 0.9 ÷ 2 = 0.45
Así que el número que está entre 0.4 y 0.5 es el 0.45
En la recta numérica:
0.45
0
0.4
0.5
1
Al realizar su representación gráfica en el ambiente de Geometría dinámica, con el archivo
Reanagradec, verás que se puede verificar la propiedad de densidad de los números racionales,
es decir, entre dos números racionales siempre hay otro número racional.
1. Señala con una flecha en la recta numérica los números que se indican.
0.9
0
2.50
1
5.20
2
1.70
0.5
3
3
4
5
6
2. Utilizando el procedimiento del ejemplo anterior, encuentra y ubica en la recta un número que
esté entre los siguientes.
Procedimiento numérico.
a) 1.5 y 1.6
b) 2.7 y 2.8
14
Bloque Uno  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria  1er Grado
2
LECCIÓN
Representación de fracciones y
decimales en la recta numérica
Refradec
En esta lección aprenderás a ubicar números fraccionarios y decimales en la recta numérica y
determinar el orden de las fracciones.
Las fracciones pueden ubicarse en una recta, dividiendo a la unidad en tantas partes iguales como
indique el denominador, mientras que los decimales pueden situarse dividiendo la unidad siempre
en 10 partes iguales.
Ejemplo:
1
2
0
0.5
1
Abre el archivo Refradec y manipula los valores correspondientes para realizar las siguientes
actividades.
1. En cada pareja, encierra en un círculo el número mayor.
1
1
y
2
8
2
3
y
3
2
3
8
4
3
y
7
5
0.1 y
1
10
3
1
y
4
3
3
y 0.2
5
1
y 0.3
5
2
2
y
5
4
2
5
y
5
12
0.01 y
2. Ordena en el recuadro de abajo, de menor a mayor, los números que se muestran.
1
,
2
1
,
3
1
, 0.2
4
2
, 0.2,
3
5
, 1
2
0.01,
1
,
10
1
, 0.3
5
3. Colorea los números decimales que sí están correctamente ubicados en la recta:
7.06
7
7.10
7.23
7.47
7.32
7.69
7.54
7.91
7.83
8.0
8
Sentido numérico y pensamiento algebraico
15
4. Ubica en la recta los números decimales indicados.
3.6 y 3.7
3
4
8.5 y 8.6
8
9
0.7 y 0.8
0
1
5. Sitúa en la recta los siguientes números señalándolos con una flecha.
4.02
4.13
4.28
4.33
4.40
4.570
4.600
4
16
Bloque Uno  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria  1er Grado
4.720
4.85
4.99
5
LECCIÓN
Problemas con suma
y resta de fracciones
3
Prosuresfra
En cada ejercicio analiza qué operación tienes que hacer para resolverlo y utiliza el archivo
Prosuresfra.
1. Resuelve los siguientes ejercicios.
1
2
a) Un obrero fabricó el lunes 14 docenas de piezas metálicas; el martes 15 docenas, y el
2
3
3
miércoles 16 docenas. ¿Cuántas docenas de piezas fabricó en los tres días? ¿Cuántas
4
piezas fueron en total?
b) Si a
3
1
de tonelada de azúcar agrego
tonelada, ¿cuánto tengo?
4
2
c) Si Javier ve que su reloj marca las 6
¿Qué hora marca el reloj?
1
3
y después de un rato el reloj avanzó
de hora,
2
4
2
1
partes de los alumnos del grupo 1º A, les gusta jugar futbol, a
parte le gusta jugar
5
4
1
basquetbol, a
parte le gusta jugar volibol, y a los demás no les gusta practicar deporte.
3
¿A cuántos alumnos no les gusta practicar deporte?
d) A
8
e) Para hacer una blusa, la mamá de Martha compró 5 de metro de tela, de los cuales utilizó
3
4 de metro. ¿Cuántos metros de tela le sobraron?
1
1
f) Si en un restaurante tenían 7 2 kilogramos de café por la mañana y se vendieron 7 4
kilogramos durante el día, ¿cuánto café quedó al final del día?
Sentido numérico y pensamiento algebraico
17
LECCIÓN
Generación de
sucesiones de números
4
GenSucesiones
En el ambiente de hoja de cálculo realiza lo siguiente.
Escribe un 4 en la celda A1 y en la celda A2 la fórmula: = A1 + 1. Tu hoja debe verse como sigue:
A
1
4
2
5
B
C
3
4
En la celda A3 debes tener el valor 6 y la fórmula: = A2 + 1.
En la celda A4 debes tener el valor 7 y la fórmula: = A3 + 1.
Si esto es así, ¿qué fórmula debes tener en la celda A5? Compara tu fórmula con la de la hoja.
Cambia ahora el 4 de la celda A1 por el número 15 y observa lo que pasa. ¿Qué sucesión obtienes
ahora en la columna A?
¿Qué harías para obtener la sucesión 100, 101, 102, 103… en la columna A?
Hazlo en la hoja de cálculo.
En seguida escribe el número 100 en la celda B1. En la celda B2 escribe una fórmula que dé como
resultado el número 99. Cópiala hacia abajo para que obtengas en la columna B la sucesión 100,
99, 98, 97… Tu hoja debe verse así:
A
B
1
100
100
2
101
99
3
102
98
4
103
97
C
Construye en la columna C la sucesión 1, 3, 5, 7… Recuerda que en C1 debes poner el primer
número, en C2 la fórmula que te dé el segundo número y después copiarla hacia abajo.
18
Bloque Uno  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria  1er Grado
Ahora construye las siguientes sucesiones:
En la columna D: 10, 5, 0, -5… En la columna F: 40, 20, 10, 5, 2.5…
En la columna E: 1, 2, 4, 8, 16… En la columna G: 5, -5, 5, -5, 5…
Piensa en el siguiente problema: tu papá te ofrece dos opciones para darte tu gasto. En la primera,
te dará 100 pesos para empezar y cada semana incrementará 100 pesos a la cantidad inicial. En
la segunda opción, te dará un centavo para empezar, aunque promete que cada semana te dará el
doble de la semana anterior. ¿Cuál de las dos opciones escogerías?
Para averiguar cuál es la mejor elección, construye la siguiente hoja de cálculo usando fórmulas
en la fila 3 para generar las tres sucesiones.
A
B
C
1
SEMANA
1a OPCIÓN
2a OPCIÓN
2
1
100
0.01
3
2
200
0.02
4
3
300
0.04
Extiende tu tabla hasta la semana 52 (un año) y contesta las siguientes preguntas.
¿En qué semana la cantidad de la segunda opción será igual a la de la primera?
¿Cuánto tendría que darte tu papá en la semana 26 (medio año) si hubieras escogido la segunda
opción?
¿Cuánto tendría que darte en esta misma opción en la semana 30?
¿Crees que pueda seguirte pagando tu semana?
En una sucesión aritmética se suma un número fijo al valor anterior para obtener el siguiente. En
una sucesión geométrica se multiplica el valor anterior por un número fijo para obtener el siguiente.
¿Cuál de las sucesiones de arriba es geométrica y cuál es aritmética?
Clasifica las sucesiones de la lección Generación de sucesiones de números como aritméticas o
geométricas.
Aritméticas:
Geométricas:
Sentido numérico y pensamiento algebraico
19
LECCIÓN
Perímetro y área
5
CalcuPeriArea
El perímetro y el área son medidas de uso común en diseños, edificaciones, estudio de estructuras,
comparación de figuras de formas diversas, etcétera. Por esta razón es importante su estudio en
el ambiente de Geometría dinámica.
Se le llama perímetro tanto al contorno de una figura como a la medida de éste, mientras que el
área comprende la región interior de una figura y es su medida.
 Área y perímetro de triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares
Abre cada archivo de acuerdo al nombre del polígono y comprueba las fórmulas del perímetro y
del área de cada figura.
Nombre
Figura
Triángulo
b
Perímetro
P = suma de los lados
P=a+b+c
c
h
a
Cuadrado
l
Rectángulo
a
b
a
d
Rombo
Romboide
D
a
Área
A=
P=4•l
A = l2
P = 2(b + a)
A=b•a
A=
P=4•a
P = 2(b + a)
h
b•h
2
D•d
2
A=b•h
b
b
Trapecio
c
h
d
P=B+c+b+d
d
P=a+b+c+d
A=
B
c
Trapezoide
b
a
B+b
•h
2
A = Suma de las áreas de
los dos triángulos
l
Polígono regular
20
a
P = nl
Bloque Uno  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria  1er Grado
A=
P•a
2
1. Abre el archivo CalcuPeriArea y calcula el perímetro y área de las siguientes figuras, midiendo
los lados y alturas con las herramientas adecuadas.
Figura
Perímetro
Área
Forma, espacio y medida
21
LECCIÓN
Construcción
de triángulos
6
CalcuPeriArea
 Pasos para construir un triángulo con regla y compás
1. Se traza un segmento de cualquiera de las
medidas dadas, por ejemplo, 6 cm.
2. Se abre el compás a cualquiera de las otras dos
medidas y con centro en un extremo del segmento,
se traza un arco.
3. Se abre el compás a la tercera medida y con
centro en el otro extremo del segmento, se traza un
arco que cruce al anterior.
4. Se unen los extremos del segmento con el punto
donde se cortan los arcos y se obtiene el triángulo
pedido.
1. Con base en el procedimiento anterior y con herramientas de geometría dinámica, traza cuatro
triángulos con las siguientes medidas.
a) 6, 3 y 4 cm
b) 4, 4.5 y 3 cm
c) 3.5, 4.5 y 4.5 cm
d) 6, 6 y 6 cm
22
Bloque Uno  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria  1er Grado
 Construcción de cuadriláteros.
Un cuadrilátero es una figura plana formada por cuatro lados que se cortan dos a dos. Según la
disposición de los lados y los ángulos que forman, se clasifican como sigue.
Tipos de cuadriláteros.
Cuando los lados son
paralelos dos a dos, el
cuadrilátero se llama
paralelogramo
Cuando solamente son
dos los lados paralelos,
el cuadrilátero se llama
trapecio
Caundo no existe ningún
lado paralelo a otro, el
cuadrilátero se llama
trapezoide
Diagonal es la recta que une un vértice con otro no inmediato.
Para construir un cuadrado conociendo su diagonal d, se siguen estos pasos:
• Sobre un punto A cualquiera se trazan dos rectas perpendiculares
entre sí: recta r y recta s.
s
D
• Se traza la bisectriz a del ángulo formado por las rectas r y s.
• Con el compás se lleva d a la bisectriz, haciendo centro en A y
marcando el extremo con C .
• Desde ese punto C se trazan paralelas CD y CB a las rectas r y s.
• Utilizando los puntos A, B, C y D se construye el cuadrado.
d
C
r
A
B
1. Construye los siguientes cuadriláteros:
a) Cuadrado cuyas diagonales midan 4.6 cm
b) Cuadrados cuyas diagonales midan 5.2 cm y 6.9 cm, respectivamente
Para construir un rombo a partir de una diagonal d y su lado a:
• Se coloca la diagonal sobre una recta r cualquiera. Se obtienen los
puntos A y C.
• Con el lado a como radio, se trazan dos arcos desde A y C.
Obtenemos los puntos B y D.
• Se unen los extremos A y C de la diagonal con los puntos B y D y
se obtiene el rombo.
d
a
B
a
r
A
C
D
2. Dibuja dos rombos cuyas diagonales midan:
a) 4 cm y 3 cm
b) 5 cm y 7 cm
Forma, espacio y medida
23
LECCIÓN
Líneas importantes
del triángulo
El propósito de esta lección es reafirmar los
conceptos de bisectriz, altura, mediana y
mediatriz de un triángulo cualquiera.
7
LinTrian
n
l r
m
Bisectriz (l)
La siguiente figura muestra la
bisectriz, la altura y la mediana,
trazadas desde un vértice del
triángulo; aparece también la
mediatriz en el lado opuesto al
vértice considerado.
Mediatriz (m)
Mediana (n)
Altura (r)
Reproduce este trazo en el ambiente de Geometría dinámica.
Anota los pasos que seguiste para realizarlo.
Mueve los vértices del triángulo y verifica que las propiedades de cada una de las rectas se conservan.
Si sigues moviendo los vértices, ¿habrá un momento en que concurran las cuatro rectas?
¿En qué tipo de triángulo coinciden las cuatro rectas?
En otro triángulo traza todas las:
a) bisectrices
b) alturas
24
c) medianas
Bloque Uno  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria  1er Grado
d) mediatrices
LECCIÓN
8
ReparPropor
Reparto proporcional
Una forma de resolver los problemas de reparto proporcional consiste en determinar la cantidad
total y las partes en las que se va a llevar a cabo dicho reparto. Otra forma de resolverlos es
encontrar el valor unitario de las partes a repartir.
Ejemplo.
Los chicos de la escuela organizaron una visita a los museos de la Ciudad de México. Para reunir
fondos vendieron playeras. Después de cubrir los pagos que debían hacer (comida, transporte y
otros) notaron que tenían un sobrante de $2 000. ¿Cómo podrían dividir esta cantidad de una
manera justa? ¿Qué datos necesitas para hacer el reparto?
La estrategia que usaron para hacer el reparto fue la siguiente.
a. Anotaron en una tabla el número de playeras que vendió cada uno.
Nombre
Playeras vendidas
Karina
15
Carmen
25
Emilio
30
María
10
Mauricio
20
Total
100
b. Después de construir la tabla, repartieron el monto total en proporción a esos datos. Como
son $2 000 a repartir y vendieron 100 playeras, el valor unitario es 2 000 ÷ 100 = 20, así
que por cada playera vendida se deben dar $20.
Nombre
Playeras vendidas
Operación
Cantidad a recibir
Karina
15
15 x 20
$300
Carmen
25
25 x 20
$500
Emilio
30
30 x 20
$600
María
10
10 x 20
$200
Mauricio
20
20 x 20
$400
Total
100
$2 000
Sentido numérico y pensamiento algebraico
25
 Problemas de reparto proporcional
Para resolverlos tienes que abrir el archivo
ReparPropor y completar las tablas con las
fórmulas apropiadas.
1. Un abuelo desea repartir $18 000 proporcionalmente al número de nietos que le han dado sus
tres hijos: Juan tiene 3 hijos, Carmen 1 y Eduardo 2. Calcula cuánto recibirán cada uno de
los nietos.
2. Hugo, Paco y Luis compraron un billete de lotería con un costo de $80. Hugo puso $15, Paco
$45 y Luis $20. Si ganaron un premio de $120 000 y deciden repartirlo en partes proporcionales
de acuerdo con su aportación para comprar el billete, ¿qué cantidad le corresponde a cada
uno?
3. Marifer, Tania, Dominique y Paulina hicieron panecillos y los vendieron durante una semana.
Marifer trabajó solo el lunes y miércoles; Tania trabajó martes, miércoles, viernes y sábado;
Dominique trabajó lunes, martes, jueves, viernes y domingo; Paulina trabajó martes, jueves
y sábado. Si obtuvieron $800 de ganancia por la venta de los panecillos, ¿cuánto dinero le
tocará a cada una si lo reparten de manera proporcional a los días que trabajó cada una?
4. En la empresa “Patito”, el dueño desea repartir las ganancias de todo un año entre sus
empleados, para motivarlos. Las ganancias ascienden a $350 000. Si José trabajó 7 meses,
Mauricio 9 meses, Martín 12 meses, Mario 5 meses y Orlando 6 meses, ¿cuánto dinero le
tocará a cada uno si se reparte de manera proporcional de acuerdo al número de meses que
trabajaron?
26
Bloque Uno  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria  1er Grado
LECCIÓN
Eventos probables
en un juego de azar
9
JuegoJusto
Para determinar si un juego de azar es justo se debe establecer que:
3
En cada turno o partida todos los jugadores tengan la misma probabilidad de ganar.
Si las probabilidades de los jugadores son diferentes, es justo que a quien elija el número con
menor probabilidad se le dé un mayor premio para compensar.
Las reglas del juego no favorezcan a ninguno de los jugadores.
1
y es exactamente
6
la misma para que salga 2, 3, 4, 5 o 6. Recuerda que la fórmula para calcular la probabilidad es
Por ejemplo, en el lanzamiento de un dado, la probabilidad de que salga 1 es
la siguiente:
Probabilidad de un evento =
número de eventos favorables
número de eventos posibles
En este caso, existen 6 eventos posibles, porque un dado tiene 6 caras y el número de eventos
favorables es 1 porque sólo una cara queda hacia arriba, aunque puede ser cualquiera de las 6.
Por lo tanto, los 6 eventos en un dado son equiprobables, es decir, tienen la misma probabilidad
de ocurrir.
Con el lanzamiento de una moneda pasa lo mismo:
1
La probabilidad de que "salga" águila es , porque sólo puede caer una vez águila entre los 2
2
eventos posibles (águila o sol) al lanzar una vez la moneda, y la probabilidad de que caiga sol
1
también es ; por lo tanto, los eventos águila y sol son equiprobables.
2
El conjunto de todos los eventos posibles se denomina espacio muestral.
Abre el archivo JuegoJusto y explora los dos ejemplos anteriores.
Manejo de la información
27
 Eventos no equiprobables en un juego de azar
Cuando lanzamos dos dados cambian las condiciones; para verlo abre el archivo SumaDosDados.
Dado 1
1
2
3
4
5
6
Dado 2
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
1. Completa el espacio muestral en el lanzamiento de
dos dados:
Suma
1+3=4
1+4=5
2+2=4
2+3=5
Los eventos con los que la suma nos da 4 son:
1–3, 2–2 y 3–1, aclarando que el primer número es del
dado 1 y el segundo corresponde al dado 2.
Entonces tenemos 3 resultados de los 36 posibles que
conforman el espacio muestral, es decir, la probabilidad
de que la suma sea 4 es:
3
P(suma 4) =
= 0.083; es decir, 8.3%
36
3+1=4
3+2=5
4+1=5
a) P(suma 6) y P(suma 7)
¿Serán eventos equiprobables que la suma de los dos
dados sea 4 o que sea 5?
Ahora, los eventos con los que la suma nos da 5 son: 1–4,
2–3, 3–2 y 4–1, es decir, la probabilidadde que la suma
sea 5 es:
4
P(suma 5) =
= 0.111; que es 11.1%.
36
En base a estos resultados, podemos concluir que los
eventos suma = 4 y suma = 5 no son equiprobables,
porque su probabilidad es diferente.
2. Resuelve los siguientes ejercicios haciendo en tu
cuaderno las operaciones necesarias para justificar
tu respuesta
P(suma 6) =
P(suma 7) =
¿Son equiprobables?
¿Por qué?
b) P(suma 4) y P(suma 10)
P(suma 4) =
P(suma 10) =
¿Son equiprobables?
c) P(suma 8) y P(suma 9)
P(suma 9) =
¿Por qué?
P(suma 8) =
¿Son equiprobables?
¿Por qué?
e) P(suma par) y P(suma impar) P(suma par) =
P(suma impar) =
¿Son equiprobables?
¿Por qué?
f) P(suma mayor que 6) y P(suma menor que 8)
P(suma mayor que 6) =
P(suma menor que 8) =
¿Son equiprobables?
28
¿Por qué?
Bloque Uno  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria  1er Grado
Bloque Dos
LECCIÓN
1
CriterioDivis
Criterios de divisibilidad
En esta lección es importante que se comprendan los criterios de divisibilidad y, comprobarlos con
el archivo CriterioDivis.
Divisibilidad por dos
Todo número que termina en un dígito par o en cero, es
divisible por dos.
Divisibilidad por tres
Todo número es divisible por tres cuando la suma de sus
dígitos es divisible por tres.
Divisibilidad por cinco
Todo número es divisible por cinco si termina en cero o cinco.
Divisibilidad por siete
Un número es divisible por siete cuando el doble de la
primera cifra de la derecha, restado de lo que queda a la
izquierda, da cero o un múltiplo de siete.
Divisibilidad por once
Un número es divisible por 11 cuando la diferencia entre la
suma de los valores absolutos de sus cifras de lugar impar y
la suma de los valores absolutos de sus cifras de lugar par, de
derecha a izquierda, es cero o múltiplo de 11.
Divisibilidad por trece
Un número es divisible por trece cuando el producto de la
primera cifra de la derecha por 9, restado de lo que queda a
la izquierda, es 0 o múltiplo de 13.
1. Haciendo uso del archivo FacPrim, escribe todos los divisores de:
a) 50
b) 81
c) 36
2. Escribe cinco números de dos cifras, que sean divisibles entre:
a) 2 y 3
b) 2 y 5
c) 2 y 9
d) 3 y 5
3. Escribe tres parejas de números primos entre sí.
4. En 14
sustituye cada espacio por una cifra, de forma que el número que resulte sea
divisible por 2, 3 y 5 a la vez. Halla tres soluciones.
a)
b)
c)
Sentido numérico y pensamiento algebraico
29
5. Explica cuáles de estos números son múltiplos de 11, aplicando el criterio de divisibilidad:
4709
990
1342
99385
5071
1995
770066
74017
6. Encuentra un múltiplo de 26 comprendido entre 300 y 350.
7. Encuentra todos los múltiplos de 15 comprendidos entre 151 y 200.
8. ¿Es 15 múltiplo de sí mismo? ¿Es 15 múltiplo de 1?
9. ¿Cuáles son los números comprendidos entre 200 y 400 que son divisibles por 4 y 5?
10.¿Cuáles son los números inferiores a 100 divisibles a la vez por 2, 3 y 4?
11.Con el archivo MultiploVSDivisor, escribe en los espacios la palabra múltiplo o divisor, según
corresponda.
a) 25 es
de 5
b) 60 es
de 120
c)16 es
de 8
d) 11 es
de 33
e) 100 es
de 25
f) 7 es
g) 333 es
de 4
h) 343 es
de 63
de 7
12.De los siguientes números: 9, 25, 15, 20, 4, 8, 100, 45, 5, 2, 22, 3. Elige cuatro parejas que
cumplan entre sí la relación de divisibilidad.
30
Bloque Dos  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria  1er Grado
LECCIÓN
2
CalcMCDmcm
Cálculo del MCD y el mcm
Divisores: los divisores de un número son todos los números
que dividen a dicho número, dando residuo cero.
Ejemplo: los divisores de 20 son 1,
2, 4, 5, 10 y 20
Números primos: son los números que sólo tienen dos
divisores, el 1 y ellos mismos.
Son primos 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17...
En el archivo FacPrim tienes los
números primos menores que 100.
Máximo común divisor (MCD): El MCD de dos o más números
es el número más grande posible que divide a esos números.
Para calcular el MCD de dos
números se colocan uno debajo del
otro, se obtienen todos los divisores
de ambos y el mayor divisor que se
repita es el MCD.
El mínimo común múltiplo (mcm) de dos o más números es
el menor múltiplo que tengan en común.
Mediante el archivo EUCLIDES, calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de
las siguientes parejas de números.
a) 140, 350
g) 18, 24
b) 30, 45
h) 12, 40
c) 72, 108
i) 220, 150
d) 270,234
j) 300, 500
e) 560,588
k) 80, 100
f) 210, 315
l) 21, 35
Haciendo uso de EUCLIDES, analiza y resuelve los siguientes problemas.
1. Una fuente situada en una plaza cambia de programa cada 450 segundos, y otra situada
en una plaza cercana cambia cada 250 segundos. Si a las 9 de la mañana coinciden las dos
fuentes con el mismo programa, ¿a qué hora volverán a coincidir?
2. Se tienen dos toneles de vino, uno de 420 litros y otro de 225 litros, y se quiere envasar el vino
en garrafas iguales sin mezclarlo, pero de forma que el número de garrafas sea el mínimo.
¿Qué capacidad debe tener cada garrafa?
Sentido numérico y pensamiento algebraico
31