Unidad 3 Sistemas de ecuaciones lineales 3.1 Introducción.

Unidad 3 Sistemas de ecuaciones lineales
3.1 Introducción.
3.2 Método de matriz inversa.
3.3 Método de solución de Gauss y de Gauss−Jordan.
3.4 Regla de Cramer.
3.5 Sistemas lineales homogéneos.
3.6 Método iterativo de Jacobi.
3.7 Método iterativo de Gauss−Seidel.
• Método de la matriz inversa
Para obtener la inversa de una matriz, se apoya de la siguiente forma:
A−1 = 1 a22 −a12 a11 −a12
det A −a21 a11 −a21 a22
Ejemplos:
A = 12 4 (12)(1) − (3)(4) = 12−12 =0
3 1 No tiene Inversa
111
A=414
225
Se aumenta en la parte derecha una matriz identidad y posterior mente se iguala la matriz inicial a una matriz
identidad.
1 1 1 1 0 0 (−4) (−2)
4 −4 1 −4 4−4 0 −4 1 0
2 −2 2 −2 5 −2 0 −2 0 1
111100
0 −3 /−3 0/−3 −4/−3 1/−3 0/−3 / (−3)
0 0 3 −2 0 1
1
1 1−1 1 1−4/3 0+1/3 0
0 1 0 4/3 −1/3 0 (−1)
0 0 3 −2 0 1 / 3
1 0 1 −1/3+2/3 1/3 0−1/3
0 1 0 4/3 −1/3 0
0 0 1 −2/3 0 1/3 (−1)
1 0 1 1/3 1/3 −1/3
0 1 0 4/3 −1/3 0
0 0 1 −4/3 −1/3 1/3
A−1 = 1/3 1/3 −1/3 X = b / A 9
4/3 −1/3 0 b = 27
4/3 −1/3 1/3 X = A−1 b 30
1/3 1/3 −1/3 9 9/3 + 27/3 − 30/30
4/3 −1/3 0 27 = 36/3 − 27/3 + 0
4/3 −1/3 1/3 30 − 18/3 + 0 + 30/3
X1 2
X2 = 3
X3 4
Comprobación:
Sustitución de los valores X1,X2 y X3 en las ecuaciones 1,2 y3.
Ecua. 1 1 X1 + 1X2 + 1X3 = 9
1(2) + 1(3) + 1(4) = 9
2+3+4=9
9=9
Ecua. 2 4 X1 + 1X2 + 4X3 = 27
4(2) +1(3) + 4(4) = 27
2
8 + 3 + 16 =27
27 = 27
Ecua. 3 2 X1 + 2X2 + 5X3 = 30
2(2) +2(3 ) +5(4) = 30
4 + 6 + 20 = 30
30 = 30
3.3 Método de solución de Gauss y Gauss Jordan.
Consiste en hacer una diagonal con uno y debajo de esta se deben convertir en ceros, mientras que el resultado
del termino común,se utiliza para despejar la incógnita y se encuentra así su valor de la ultima incógnita, que
permite encontrar el valor de las demás.
Ejemplo:
2X1 + 4X2 + 6X3 = 18
4X1 + 5X2 + 6X3 = 24
3X1 + 1X2 − 2X3 = 4
2 4 6 18 /2
4 5 6 24
3 1 −2 4
1 2 3 9 (−4) (−3)
4−4 5−8 6−12 24−36
3−3 1−6 −2−9 4−27
1239
0 −3 −6 −12 /(−3)
0 −5 −11 −23
1239
0 1 2 4 (5)
0 −5 +5 −11+10 −23+20
1239
3
0124
0 0 −1 −3 / (−1)
X1 X2 X3 R
1 2 3 9 Ecuación 2
0 1 2 4 Ecuación 2
0 0 1 3 Ecuación 2
Matriz escalonada
Se sustituye el valor de X3 = −3 en la ecuaciones de la matriz obtenida.
Sustitución de X3 = −3 en la ecuación 2.
X2 + 2 X3 = 4
X2 + 2(3) = 4
X2 + 6 = 4
X2 = 4−6
X2− = −2
X1 + 2 X2 + 3 X3 = 9
X1 + 2 (−2) + 3 (3) = 9
X1 − 4 + 9 = 9
X1 = 9−9+4
X1 = 4
Comprobación:
2X1 + 4X2 + 6X3 = 18
2(4) + 4(−2) + 6(3) = 18
8 − 8 + 18 = 18
18 = 18
Método de Gauss Jordan
Consiste en encontrar una matriz identidad, y con los valores que se obtengan en el termino independiente,
van a corresponder al valor de las incógnitas.
4
2X1 + 4X2 + 6X3 = 18
4X1 + 5X2 + 6X3 = 24
3X1 + 1X2 − 2X3 = 4
2 4 6 18 /2
4 5 6 24
3 1 −2 4
1 2 3 9 (−4) (−3)
4−4 5−8 6−12 24−36
3−3 1−6 −2−9 4−27
1239
0 −3 −6 −12 /(−3)
0 −5 −11 −23
1 2−2 3−4 9−8
0 1 2 4 (−2) (5)
0 −5 +5 −11+10 −23+20
1 0 −1 1
0124
0 0 −1 −3 / (−1)
1 0 −1+1 1+3
0 1 2−2 4−6
0 0 1 3 (−2) (1)
1004
0 1 0 −2
0013
X1 = 4
X2 = −2
5
X3 = 3
Sustitución de valores:
2X1 + 4X2 + 6X3 = 18
2(4) + 4(−2) + 6(3) = 18
8 − 8 + 18 = 18
18 = 18
3.4 Regla de Cramer
3X1 + 5X2 + 6 X3 =24
3X1 + X2 − 2X3 =4
2X1 + 4X2 + 6X3 =18
2 4 6 18
3 5 6 24
3 1 −2 4
Solución por el método de menores y cofactores:
• Obtención del valor de D
Se realiza con la matriz de los coeficientes.
24624
D=35635
3 1 −2 3 1
D =−20 + 72 +18 − 90 − 12 + 24 = − 8
• Obtención del valor de D1
Los valores de la columna 1 se cambian por los valores del termino independiente.
18 4 6 18 4
D1 = 24 5 6 24 5
4 1 −2 4 1
D1 = − 180 + 48 + 144 − 120 − 108 + 192 = 24
6
• Obtención del valor de D2
Los valores de la columna 2 se cambian por los valores del termino independiente.
2 18 6 18 4
D2 = 3 24 6 24 5
3 4 −2 4 1
D2 = − 96 + 324 + 72 − 4 32 − 48 + 108 = − 72
• Obtención del valor de D3
Los valores de la columna 3 se cambian por los valores del termino independiente.
2 4 18 2 4
D3 = 3 5 24 3 5
31431
D3 =40 + 288 + 54 − 270 − 48 + 48 = 14
Sustitución de los valores
X1= D1/D X2= D2/D X3= D3/D
X1= −24 /(−8)= −3 X2= −72 / (−8) = 9 X3= 16 / (−8) = −2
X1 = −24 / −8 = −3 2X1 + 4X2 + 6X3 =18
X2 = −72 / −8 = 9 2(−3) + 4(9) + 6(−2) = 18
X3 = 16 / −8 = −2 −6 +36 −12 = 18
• = 18
3.5 Sistemas Lineales Homogéneo
Son aquellas en las que los valores del termino independiente son igual con cero.
a11 X1 + a12 X2 + + a1n Xn = 0
a21 X1 + a22 X2 + + a2n X21 = 0
....
....
am1 X1 + am2 X2 + + amn Xn = 0
7
Hay dos tipos de solución:
• La trivial = X1 = X2 = X3 = 0
• No trivial = " De soluciones
Ejemplo:
Solución por el método de Gauss Jordán.
4X1 − 1X2 = 0 4 −1 0
7X1 + 3X2 = 0 7 3 0
−8X1 + 6X2 = 0 −8 6 0
4 −1 0 /4
730
−8 6 0
1 −1/4 0 (−7) (8)
7−7 3+7/4 0
−8+8 6−2 0
1 −1/4 0
0 19/4 0 / (19/4)
040
1 −1/4+1/4 0
0 1 0 (+1/4) (−4)
0 4−4 0
1 0 0 X1 = X2 = 0
010
0 0 0 Solución trivial
3.6 Método Iterativo de Jacobi
Este método consiste en despejar las variables X1, X2 , X3 X4 por cada reglon según el numero de
ecuaciones dadas, después se le asigna un valor de cero, y se sustituye en la ecuación del despeje para
encontrar el valor de la primera iteración y posteriormente, estos valores se sustituyen para encontrar el valor
de la segunda ecuación, y así sucesivamente hasta encontrar el valor.
8
Ejemplo:
10X1 + 1X2 = 11
2X1 + 10X2 = 12
Despeje de X1 en la ecuación 1 Despeje de X1 en la ecuación 2
1 Iteración
2 Iteración
3 Iteración
Sustitución de valores en la ecuación 1 y 2.
10X1 + 1X2 = 11
10(1)+1 (1) = 11
11 = 11
3.7 Método de Iterativo de Gauss − Seidel.
Es muy similar al anterior la diferencia es que los valores que se van obtenido desde el inicio de la sustitución,
se van sustituyen a las siguiente ecuaciones (iteraciones).
Ejemplo:
10X1 + 1X2 = 11
2X1 + 10X2 = 12
Despeje de X1 en la ecuación 1 Despeje de X1 en la ecuación 2
1 Iteración
2 Iteración
3 Iteración
Sustitución de valores en la ecuación 1 y 2.
10X1 + 1X2 = 11
10(1)+1 (1) = 11
11 = 11
Error aproximado
"a = 1.00004−1.002 * 100 = −1.959 = .1959 %
9
1.00004
Matriz de los coeficientes
Termino independiente
Cambia el signo y la posición
X = A−1 b
El valor de las incógnitas
Convergente : Se a próxima al valor real.
Divergente: Se aleja del valor real.
X2 = 12 − 2 X2
10
X1 = 11 − 1 X2
10
X 1 = X2 = 0
X2 = 12 − 2 (0) = 12/10
10
X1 = 11 − 1 (0) = 11/10
10
X2 = 12 − 2 (11/10) = .98
10
X1 = 11 − 1 (12/2) = .98
10
X2 = 12 − 2 (.98) = 1.004
10
X1 = 11 − 1 (.98) = 1.002
10
2X1 + 10X2 = 12
10
2(1) +10(1) = 12
12 = 12
X2 = 12 − 2 X2
10
X1 = 11 − 1 X2
10
X2 = 0
X2 = 12 − 2 (1.1) = .98
10
X1 = 11 − 1 (0) = 1.1
10
X2 = 12 − 2 (1.002) = .9996
10
X1 = 11 − 1 (.98) = 1.002
10
X2 = 12 − 2 (1.00002) = .999992
10
X1 = 11 − 1 (.9996) = 1.00002
10
2X1 + 10X2 = 12
2(1) +10(1) = 12
12 = 12
11