Estimación puntual de la media de una población:

Sección V.1
Estimación puntual del parámetro de una población
Recuerde que si se trata únicamente de investigar, entonces es aceptable una aproximación por
estimación. En esta categoría de problemas, los investigadores no tienen una idea preconcebida
del valor del parámetro de la población.
También recuerde, que un estimador es una fórmula matemática en donde se sustituyen los datos
generados por la muestra y es así como hereda su propiedad de aleatoriedad. Sus valores
específicos varían de muestra a muestra. Por lo que, las estimaciones en las muestras varían en
torno al valor del parámetro poblacional.
Por lo que la pregunta a responder será:
¿ Que valor podemos atribuir al parámetro poblacional cuando al extraer una muestra aleatoria
tenemos información limitada?
ß
Estimación puntual
Estimación puntual de la media de una población:
Ejemplo 1.Uno de los indicadores de la calidad del aire es el número medio de microgramos de
partículas en suspensión por metro cúbico de aire. Para controlar la situación se hace una lectura
cada seis días extrayendo un metro cúbico de aire a través de un filtro y determinando el número
de microgramos de partículas en suspensión concentradas en él. Después de un periodo de treinta
días, se ha generado una muestra aleatoria de tamaño 5. Supongamos que los valores observados
de estas variables para el periodo dado de treinta días son:
x1 = 58 x 2 = 70 x 3 = 57 x 4 = 61
x5 = 59
¿ Cómo pueden utilizarse estas observaciones para estimar el número medio de microgramos de
partículas en suspensión por metro cúbico de aire ?
El sentido común señala la media muestral como un estimador lógico para la media poblacional,
entonces la fórmula matemática (o estimador) que se utilizara será:
∑ x
x=
n
__
i= n
i=1
i
__
para el ejemplo 1 tenemos que
x = 61
Es claro que este cálculo no garantiza, que el nivel medio real de partículas en suspensión este
próximo a 61 microgramos por metro cúbico de aire en todas partes.
Nota:
El estimador para la media es un “buen estimador.
Estimación puntual de la varianza de una población:
Ejemplo 2.En una investigación sobre lesiones por deportes escolares, se seleccionan y estudian 25 distritos
escolares dentro de una misma región. Se obtuvieron los siguientes datos sobre el número de
lesiones graves causadas a atletas masculinos mientras participaban en baloncesto. Utilizando las
fórmulas:
∑ x
x = i=1 i
n
__
__
∑ ( X i − X )2
S2 =
n −1
i= n
Calcule la estimación puntual para la media y varianza de la población, tomando en cuenta los
siguientes datos de la muestra aleatoria.
1
2
4
7
4
3
3
4
5
2
2
4
5
3
3
4
4
6
5
3
5
6
6
5
4
Solución:
Características de un buen estimador:
Insesgado
Suficiente
Eficiente
Consistente
Estimado insesgado o sin vicio.Cuando el valor esperado de una fórmula empleada como estimador es igual al
parámetro de la población que se va a estimar.
Estimador suficiente.Para estimar el parámetro poblacional se utiliza TODA la información que posee la
muestra.
Estimador eficiente.Cuando al calcularse en distintas muestras su variación es pequeña, esto quiere decir que
la distribución de muestreo está concentrada alrededor del parámetro poblacional.
Estimador consistente.Cuando el tamaño de la muestra aumenta más y más, el estimador calculado sobre los
valores de la muestra, se acerca más y más al parámetro poblacional.