maqueta MAPA Herramienta Didáctica – 09

DOCUMENTO DE TRABAJO Nº. 9
Estadistica
ASIGNATURA
CÓDIGO
REQUISITO(S)
OBLIGATORIA/LECTIVA
ANUAL/SEMESTRAL
DIURNA/VESPERTINA
TEÓRICO-PRÁCTICA/PRÁCTICA
CARÁCTER
PLAN DE ESTUDIO
HORAS SEMANALES
II. Aprendizajes Esperados:
Definir la probabilidad condicional.
Identificar la probabilidad condicional.
Aplicar la probabilidad condicional y ley multiplicativa a problemas significativos
Identificar y aplicar teorema de probabilidad total
III. Síntesis esquemática de Contenidos
IV. Actividades ( individuales o grupales)
1. Suponga dos cajas. La caja I contiene 10 ampolletas, de las cuales 4 son defectuosas. La caja II
contiene 6 ampolletas con 1 defectuosa. Si se escoge una caja y luego se saca una ampolleta:
a)
b)
c)
¿Cuál es la posibilidad de que la ampolleta sea defectuosa?.
¿Cuál es la probabilidad de que se escoja la Caja I y luego una ampolleta buena?
Si el artículo es defectuoso ¿cuál es la probabilidad que sea de la Caja II?
2. En un experimento para estudiar la relación entre la hipertensión y el hábito de fumar, se
reunieron los siguientes datos en 180 individuos.
No fumadores
Fumadores moderados
Fumadores empedernidos
Hipertenso
21
36
30
No hipertenso
48
26
19
a)
Si se selecciona aleatoriamente a uno de estos individuos, encuentre la
probabilidad de que:
i)
Experimente hipertensión, dado que es un fumador empedernido.
b)
c)
ii)
Sea un no fumador, dado que no ha presentado un problema de
hipertensión.
iii)
Sea un fumador moderado o un fumador empedernido.
¿Si se eligen aleatoriamente 2 de estos individuos, ¿Cuál es la probabilidad de que
uno sea hipertenso y el otro no hipertenso?
Si se eligen al azar 3 de estos individuos en forma sucesiva, ¿cuál es la
probabilidad de que el primero sea un no fumador, el segundo sea un fumador
moderado y el tercero sea un fumador empedernido?.
3. Los siguientes diagramas representan las ciudades A y B unidas por puentes. Cada puente es
independiente y tiene probabilidad 0.1 de estar cortado. Determine la probabilidad de que A y B
estén incomunicadas:
a)
1
A
B
2
b)
1
2
A
B
3
4.
En una gran empresa hay 12 postulantes a un cargo. De lo cuales 4 son ingenieros y el 8
son contadores auditores. El gerente de la empresa desea entrevistar a dos postulantes al
azar.
a)
¿Cuál es la probabilidad de que ambos entrevistados sean ingenieros?
b)
¿Cuál es la probabilidad de que el segundo entrevistado sea contador auditor?
5.
Se realiza un congreso de delegados de diferentes Institutos de educación superior del
país. Se sabe que el 25% de los delegados provienen de la zona norte, el 40% de la región
metropolitana y el resto de la zona sur. Además, se sabe que el 15% de los delegados de la
zona norte son mujeres y el 60% de los delegados de la región metropolitana son hombres
y el 10% de la zona sur son mujeres. Se elige un delegado al azar.
a)
¿Cuál es la probabilidad que resulte elegida una mujer?
b)
¿Si el elegido es un hombre, cuál es la probabilidad que provenga de la zona sur?
6.
En una empresa que se dedica a la elaboración y venta de productos dietéticos, el
Departamento de Investigación de Mercado sabe que de la población de consumidores de un
determinado sector el 60% son hombres. De las mujeres se sabe que el 34% prefiere la marca
A y de los hombres se sabe que el 12 % prefiere la marca A.
a)
b)
Si se elige un consumidor, ¿cuál es la probabilidad que prefiera la marca A?.
Si se elige un consumidor y no prefiere la marca A, ¿ cuál es la probabilidad que
sea hombre?.
6. En una empresa consultora trabajan especialistas en recursos humanos, administración de
empresas y especialistas en informática. Se sabe que en un año, esta empresa se presenta a
propuestas que en un 30% corresponden a recursos humanos, 20% a administración de
empresas y 50% a informática. De años anteriores se sabe que las probabilidades de
adjudicarse las propuestas son del 0.35 para recursos humanos, 0,72 en administración y 0.75
en informática.
a)
Si la consultora se presenta a una propuesta y no se lo adjudica, ¿cuál es la
probabilidad de que la propuesta sea de informática?
b)
¿Qué porcentaje de veces la empresa se adjudica una propuesta cualquiera?
7. Si el proceso de producción de una fábrica se encuentra bajo control se descubre que el 5% de
los artículos producidos son defectuosos. Si el proceso no está bajo control, los defectuosos
son el 30%. Se sabe que la probabilidad de que el proceso esté bajo control es de 0,8.
a) Encuentre la probabilidad de que un artículo elegido al azar sea defectuoso.
b)¿Si un artículo elegido al azar está bueno, cuál es la probabilidad de que el proceso esté bajo
control?
8. Considerando la posibilidad de descubrir petróleo, una compañía ha clasificado las
formaciones geológicas en dos tipos. De acuerdo con la experiencia, al sitio donde la compañía
pretende perforar un pozo se le asigna un 20% de posibilidad que sea tipo I, un 60% de que se
descubra petróleo y un 70% de descubrir petróleo si es una formación geológica tipo II.
a)
Calcule la probabilidad de que en este sitio se descubra petróleo y sea tipo II.
b)
¿Dado que el sitio es tipo I, cuál es la probabilidad que se descubra petróleo?
9. Un banco ha comprobado que la probabilidad de que un cliente con fondos extienda un
cheque con fecha equivocada es 0.001. En cambio, la probabilidad de que un cliente sin
fondos extienda un cheque con fecha equivocada es 1. Se sabe que el 90% de los clientes
tienen fondos. En caja se recibe un cheque con fecha equivocada, ¿Qué probabilidad hay
de que sea de un cliente sin fondos?
10. una población de electores consta de 40% de republicanos y 60% de demócratas. Se informa
que 30% de los republicanos y 70% de los demócratas están a favor del decreto electoral. Una
persona elegida aleatoriamente de la población está a favor del decreto. Determine la
probabilidad de que esta persona sea demócrata.
11. Se presume que una prueba para diagnosticar una enfermedad tiene 90% de exactitud; es
decir, que si una persona posee la enfermedad, la prueba la detectará con una probabilidad de
0.9. De la misma manera, si no lo padece, la prueba lo señalará con probabilidad de 0.9. Sólo
1% de la población padece esa enfermedad. Si se elige una persona al azar y el diagnostico
indica que padece la enfermedad, ¿cuál es la probabilidad que la tenga realmente?, ¿diría
usted que esta prueba es confiable?
V. Evaluación de la actividades
VI. Síntesis de los contenidos :
Probabilidad condicionada.
En el cálculo de las probabilidades de algunos sucesos se encuentran ligados a otro, el
suceso de quemarse es provocado por el suceso de existir una fuente calórica, suceso de morir
esta ligado con el suceso de vivir, luego el valor de dicha probabilidad dependerá de la
probabilidad del suceso que dependa
Definición: Sean A y B dos sucesos,, del espacio muestral E, tal que P( A )
0, se llama
probabilidad de B condicionada a A, P(B/A), a la probabilidad de B tomando como espacio
muestral A, es decir, la probabilidad de que ocurra B dado que ha sucedido A.
Se lee la probabilidad que ocurra el suceso A dado que ocurrió el suceso B
Ejemplos:
1) Consideremos el experimento de "lanzar un dado al aire". Calculemos, por ejemplo, la
probabilidad de obtener un 3 sabiendo que ha salido un número impar:
Definimos los sucesos A="sacar 3" y B= {1,3,5}; entonces, P(A/B)=1/3 puesto que si
sabemos que ha salido un número impar, los casos posibles ahora son 3 y los casos
favorables al suceso A sólo 1.
2) Se lanzan dos dados:
a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener una suma de puntos igual a 7?
b) Si la suma de puntos ha sido 7, ¿cuál es la probabilidad de que en alguno de los dados
haya salido un tres?
Sean los sucesos A= "la suma de los puntos es 7" y
B="en alguno de los dados ha salido un tres".
Los casos posibles al lanzar dos dados son 36 y los casos favorables al suceso A son los seis
siguientes: (1,6); (2,5); (3,4); (4,3); (5,2) y (6,1). Por tanto, P( A )=6/36=1/6
En este caso, el suceso B/A es salir en algún dado 3, si la suma ha sido 7.
Observamos que esta situación ocurre en las parejas (3,4) y (4,3). Por tanto,
P( B/A )=2/6=1/3
Teoremas importantes:
Independencia: El conocimiento de que ha ocurrido el suceso A modifica, en algunas ocasiones, la
probabilidad del suceso B, pero en otras no. Los sucesos en los que, conociendo que uno ha
ocurrido, no se modifica la probabilidad del otro, decimos que son independientes y, si se
modifica, decimos que son dependientes entre sí.
Decimos que dos sucesos A y B son independientes entre sí si la ocurrencia
de uno de ellos no modifica la probabilidad del otro, es decir, si
P( B/A ) = P( B ) ó P( A/B ) = P( A )
Decimos que dos sucesos A y B son dependientes entre sí si la ocurrencia de uno de ellos
modifica la probabilidad del otro, es decir, si
P( B/A )
P( B ) ó P( A/B )
P( A )
Ley multiplicativa: indica que la probabilidad que dos sucesos dependiente ocurran al mismo
tiempo se expresa como
P( B
A ) = P( B/A ) · P( A )
La fórmula anterior adopta la forma para tres sucesos, A, B y C:
P( A
B
C ) = P( A ) · P( B/A ) · P( C/A
B)
Ejemplos
1) Se consideran dos sucesos, A y B, asociados a un experimento aleatorio con P(A)=0.7; P(B)=0.6;
P(Ac
Si M
Bc)=0.58. ¿Son independientes A y B?
A, ¿cuál es el valor de P(Mc/Ac)?
Para ver si son independientes, comprobaremos si P( A
P(Ac
Bc) = P[(A
Por tanto, P(A
B)c] = 1 - P(A
B) = 1 - P(A c
B ) = P( A ) · P( B )
B)
Bc) = 1 -0.58 = 0.42
Por otro lado, P( A ) · P( B ) = 0.7 · 0.6 = 0.42
Luego, A y B son independientes, pues
P( A
B ) = P( A ) · P( B ) = 0.42
M
Ac
A
M c. Por tanto,
P( M c  A c ) P( A c )
P( M / A ) 

1
P( A c )
P( A c )
c
c
Teoremas de la probabilidad total:
Llamamos sistema completo de sucesos a una familia de sucesos A1, A2, ...,An que cumplen:
Son incompatibles dos a dos, Ai
Aj = Ø
La unión de todos ellos es el suceso seguro,
Teorema de la probabilidad total
Sea A1, A2, ...,An un sistema completo de sucesos tales que la probabilidad de cada uno de ellos es
distinta de cero, y sea B un suceso cualquier del que se conocen las probabilidades condicionales
P(B/Ai), entonces la probabilidad del suceso B viene dada por la expresión:
Ejemplos:
1) Una compañía dedicada al transporte público explota tres líneas de una ciudad, de forma que el
60% de los autobuses cubre el servicio de la primero línea, el 30% cubre la segunda y el 10% cubre
el servicio de la tercera línea. Se sabe que la probabilidad de que, diariamente, un autobús se
averíe es del 2%, 4% y 1%, respectivamente, para cada línea. Determina la probabilidad de que, en
un día, un autobús sufra una avería.
El suceso "sufrir una avería" (Av) puede producirse en las tres líneas, (L1, L2, L3). Según el
teorema de la probabilidad total y teniendo en cuenta las probabilidades del diagrama de árbol
adjunto, tenemos:
El suceso "sufrir una avería" (Av) puede producirse en las tres líneas, (L1, L2, L3). Según el teorema
de la probabilidad total y teniendo en cuenta las probabilidades del diagrama de árbol adjunto,
tenemos:
P(Av) = P(L1) · P(Av/L1) + P(L2) · P(Av/L2) + P(L3) · P(Av/L3) =
= 0.6 · 0.02 + 0.3 · 0.04 + 0.1 · 0.01 =
= 0.012 + 0.012 + 0.001 = 0.025
2) Una empresa del ramo de la alimentación elabora sus productos en cuatro factorías: F1, F2, F3 y
F4. El porcentaje de producción total que se fabrica en cada factoría es del 40%, 30%, 20% y 10%,
respectivamente, y además el porcentaje de envasado incorrecto en cada factoría es del 1%, 2%,
7% y 4%. Tomamos un producto de la empresa al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que se
encuentre defectuosamente envasado?
Llamando M = "el producto está defectuosamente envasado", se tiene que este producto puede
proceder de cada una de las cuatro factorías y, por tanto, según el teorema de la probabilidad
total y teniendo en cuenta las probabilidades del diagrama de árbol adjunto, tenemos:
P(M) = P(F1) · P(M/F1) + P(F2) · P(M/F2) + P(F3) · P(M/F3) + P(F4) · P(M/F4) =
= 0.4 · 0.01 + 0.3 · 0.02 + 0.2 · 0.07 + 0.1 · 0.04 =
= 0.004 + 0.006 + 0.014 + 0.004 = 0.028
3) Se tiene una urna vacía y se lanza una moneda al aire. Si sale cara, se introduce en la urna una
bola blanca y si sale cruz, se introduce una bola negra. El experimento se repite tres veces y, a
continuación, se introduce la mano en la urna, retirando una bola. ¿Cuál es la probabilidad de que
en la urna queden una bola blanca y otra negra?
Llamamos B = "obtener bola blanca" y N = "obtener bola negra". En el diagrama de árbol pueden
verse las configuraciones posibles de las urna, después del lanzamiento de las monedas y las urnas
finales, así como las probabilidades para cada una de ellas. Atendiendo a la notación expresada en
el diagrama de árbol y según el teorema de la probabilidad total, se obtiene:
P(BN) = P(BN
BBN) + P(BN
BNN) = P(BBN) ·
P(BN/BBN) + P(BNN) · P(BN/BBN) =
= 3/8 · 2/3 + 3/8 · 2/3 = 1/4 + 1/4 = 1/2
4) Se lanzan dos monedas al aire. Si salen dos caras, se extrae una bola de una urna I, que contiene
2 bolas blancas y 3 negras. Si sale cara y cruz, se extrae una bola de una urna II, que contiene 4
bolas blancas y 1 negra. Si salen dos cruces, se extrae una bola de una urna III, que contiene 3
bolas blancas y 2 negras. ¿Cuál es la probabilidad de extraer bola blanca después de lanzar las
monedas y sacar la bola?
El diagrama de árbol muestra, primero, las probabilidades correspondientes a la elección
de la urna y, después, a la extracción de la bola.
La probabilidad total de sacar bola blanca la calculamos caminando por todas las ramas que
terminan en sacar bola blanca.
P(B) = P(B/UI) · P(UI) + P(B/UII) · P(UII) + P(B/UIII) · P(UIII) =
= 2/5 · 1/4 + 4/5 · 2/4 + 3/5 · 1/4 = 13/20
VII. Glosario
Links de interés
http://bc.inter.edu/facultad/JMARTINEZ/cursos/inge3200/p3.pdf
http://www.sepi.upiicsa.ipn.mx/mdid/diap033.pdf
http://www.mitecnologico.com/Main/ProbabilidadCondicionalEIndependencia