aplicaciones del método de los elementos finitos

DEPARTAMENT D’ENGINYERIA
ELÈCTRICA.
APLICACIONES DEL MÉTODO DE LOS
ELEMENTOS FINITOS
FEMM (1). ANÁLISIS DE UN TRANSFORMADOR MONOFÁSICO.
Ramón Bargallo
2005
Cálculo de inductancias en transformadores y bobinas con núcleo
ferromagnético
La teoría electromagnética permite calcular los coeficientes de autoinducción e inducción
mutua a partir de la fórmula de Neumann
L12 =
µ
4π
∫∫
dl1 ⋅ dl 2
r
Esta expresión es de difícil evaluación en el caso de configuraciones geométricas
complejas tales como las que aparecen en las máquinas eléctricas y transformadores.
Por otra parte, en el caso de circuitos magnéticos más o menos regulares, por ejemplo el
transformador, resultan convenientes las expresiones basadas en el concepto de
reluctancia magnética:
N1 ⋅ N 2
Rm
1 l
Rm = ⋅
µ S
L12 =
Una forma alternativa de cálculo es empleando los resultados obtenidos mediante
análisis por E.F.
A partir de la energía magnética almacenada
W=
1
1
B ⋅ H ⋅ dV = ∫ (∇ × A) ⋅ H ⋅ dV
∫
2V
2V
usando la siguiente identidad vectorial
∇ ⋅ ( A × H ) = (∇ × A) ⋅ H − (∇ × H ) ⋅ A
y la ecuación
∇× H = J
FEM
podemos escribir
W=
1
1
( ∇ × A) ⋅ H ⋅ dV = ∫ (∇ ⋅ ( A × H ) + ( ∇ × H ) ⋅ A) ⋅ dV =
∫
2V
2V
W=
1
1
( ∇ ⋅ ( A × H ) ⋅ dV + ∫ J ⋅ A ⋅ dV
∫
2V
2V
W=
1
1
( A × H ) ⋅ dS + ∫ J ⋅ A ⋅ dV
∫
2S
2V
la primera de las integrales tiende a cero ( A ∝ 1 ;
r
W=
H∝ 1
r2
;
S ∝ r 2 ), por tanto queda
1
J ⋅ A ⋅ dV
2 V∫
expresión válida para todos los casos (lineales o no)
Teniendo en cuenta la expresión de la energía en función del coeficiente de
autoinducción:
W=
1
⋅L⋅ I 2
2
Podemos escribir que
L11 =
∫ J ⋅ A ⋅ dV
V
I2
Para el cálculo de las inductancias mutuas llegamos a
L12 =
∫J
V
2
⋅ A1 ⋅ dV2
I1 ⋅ I 2
teniendo en cuenta que
N 2 ⋅ I 2 = J 2 ⋅ S2
llegamos a
L12 =
FEM
N2
I1 ⋅ S 2


⋅  ∫ A1 ⋅ dV2 − ∫ A1 ⋅ dV2 
J

J2−
 2+

J2+
J2Bobina 2(+) Bobina 2 (-)
Bobina 1(+)
Bobina 1(-)
Para calcular el coeficiente de inducción mutua seguimos la siguiente secuencia:
•
•
aplicamos corriente en la bobina 1
Integramos A sobre el volumen de la segunda bobina (que NO alimentamos)
•
Multiplicamos por
•
Repetimos intercambiando los subíndices 1 y 2.
Aplicación.
N2
para obtener el resultado deseado.
I 1 ⋅ S2
Indicar las inductancias de primario, secundario y mutua para el
transformador de la figura que sigue.
Datos: Plancha E-I 125x150.
Hierro M -19
N1 = 220 espiras.
N2 = 117 espiras
Sección recta en la rama central: 50x80
mm2.
Entrehierro: 0.425 mm
Bobina primaria: 6.1x0.9 cm2.
Bobina secundaria: 6.1x1 cm2.
Corriente nominal primaria: 2.5 A
FEM
Análisis a realizar:
a) Generar un modelo para el transformador utilizando FEMM.
b) Comprobar las inducciones en los diversos tramos del circuito magnético.
c) Aplicando una corriente primaria de 2.5 A por espira, calcular los coeficientes de
inducción propia y mutua. Ver figuras que siguen.
L11 =
L12 =
N2
I1 ⋅ S 2
∫ J ⋅ A ⋅ dV
V
I2


⋅  ∫ A1 ⋅ dV2 − ∫ A1 ⋅ dV2 
J

J2−
 2+

d) Aplicando una corriente secundaria de 4.7 A por espira calcular los coeficientes de
inducción propia y mutua. Ver figuras que siguen.
L22 =
FEM
∫ J ⋅ A ⋅ dV
V
I2
L21 =
N1
I 2 ⋅ S1


⋅  ∫ A2 ⋅ dV1 − ∫ A2 ⋅ dV1 
J

J2−
 2+

e) Calcular el coeficiente de acoplamiento para el transformador:
k=
L12
L11 ⋅ L22
f) Repetir el cálculo usando la aproximación de circuito magnético. Para el cálculo de la
reluctancia magnética suponer una permeabilidad del núcleo ferromagnético infinita.
N12
L11 =
;
Rm
L22
N 22
=
;
Rm
g) Contrastar los valores obtenidos. Conclusiones.
FEM
L12 =
N1 ⋅ N 2
Rm
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ELÈCTRICA.
APLICACIONES DEL MÉTODO DE LOS
ELEMENTOS FINITOS
FEMM (2). APLICACIÓN A UN MOTOR DE IMANES
PERMANENTES.
Ramón Bargallo
2005
Características del motor a analizar.
Potencia útil: 50W.
Tensión de alimentación: 14 V.
Velocidad a plena carga: 6000 rpm
Rango de temperaturas: -20ºC a +100ºC.
Tipo de imán: Cerámico
Criterio de diseño.
Para determinar la intensidad de campo del imán permanente se supone que el imán
trabaja a 100ºC con una densidad de campo de 0,25T. Con está hipótesis de diseño las
dimensiones de los componentes del motor son las mostradas en el siguiente apartado y
el punto de trabajo del imán está en la zona lineal de la característica intrínseca, esto es,
no desmagnetiza al imán.
Resultados del diseño previo.
Los principales datos obtenidos del diseño previo a considerar en nuestro análisis son:
Diámetro exterior de la armadura: 39mm
Longitud axial de la máquina: 24 mm
Longitud radial del entrehierro: 0,88mm
Longitud radial del imán: 8mm
Longitud radial de la culata: 6mm
Número de ranuras de la armadura: 13 ranuras
Conductores por ranura: 44
Devanado de armadura: ondulado simple.
Intensidad en el inducido (por conductor): 4,8A
Espesor láminas del estator: 0,25mm
Factor de apliado: 0,95
Área útil de los conductores del devanado del rotor:0,396 mm2
En la figura se puede apreciar un corte transversal de la máquina. Esto nos servirá de
base para la simulación de la máquina por elementos finitos.
FEM
Características del imán permanente.
Los imanes cerámicos (ferritas) no están en la librería de materiales de FEMM,
deberemos crear nosotros un material con las características del imán empleado.
De la característica de desmagnetización para 100ºC obtenemos los siguientes puntos:
B(T)
H(kA/m)
0,00
0
0,05
23,87
0,10
59,68
0,15
99,47
0,20
135,28
0,25
175,07
0,28
206,90
Inducción remanente a 100ºC. (Br): 0,28T
Intensidad de campo coercitiva a 100ºC (Hc): 20601 A/m
Permeabilidad relativa µx=µy=1,1
Conductividad2 (σ): 1e-3 MSm.
FEM
RESULTADOS A OBTENER.
A) Del análisis del motor en vacío deben obtenerse los siguientes resultados:
•
Inducción media en el entrehierro.
•
Factor de recubrimiento polar ψ.
•
Flujo.
•
Niveles de inducción en dientes y conoras estatórica y rotórica.
B) Del análisis del motor de imanes permanentes a plena carga se deben obtener las
siguientes magnitudes:
•
Flujo.
•
Inducción media en el entrehierro.
•
Pérdidas por efecto Joule en el devanado del rotor.
•
Caida de tensión en el devanado inducido.
•
Par desarrollado por el motor.
C) Comprobar los valores calculados por el programa con los obtenidos analíticamente.
Interesan especialmente los siguientes valores:
FEM
•
Par
•
Inducción media
•
Niveles de inducción en dientes y coronas estatórica y rotórica.
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ELÈCTRICA.
APLICACIONES DEL MÉTODO DE LOS
ELEMENTOS FINITOS
FEMM (3). DISEÑO DE UN MOTOR UNIVERSAL.
Ramón Bargallo
2005
Se ha realizado el ensayo de un motor universal, obteniéndose los siguientes resultados:
Tensión de alimentación: V = 125 V
M
I
Pabs
N
Putil
rendimiento
0.17
6.44
630
15561
277
43.97
0.3
8.16
760
13869
435.68
57.33
0.4
9.48
870
12811
536.59
61.68
0.5
10.7
970
11946
625.45
64.48
0.6
12.1
1060
11062
694.99
65.57
0.7
13.12
1140
10364
759.66
66.64
0.8
14.32
1220
9617
805.61
66.03
0.9
15.5
1380
9708
914.89
66.30
1.0
16.8
1450
8987
941.05
64.90
1.1
17.92
1520
8400
967.54
63.65
1.2
19.04
1580
7742
972.82
61.57
1.3
20.08
1650
7101
966.63
58.58
1.5
22.16
1800
6239
979.95
54.44
(Nm)
(A)
(W)
(min-1 )
(W)
(%)
El punto de servicio nominal se corresponde con un par de M = 1 Nm. Otros datos
obtenidos por medida directa: B g = 0.4 T; L = 65 mm. Hierro tipo M-19. ∆ = 6 A/mm2.
Se desea construir otro motor universal a partir de la plancha indicada en el anexo
(modelo GA 1157 – AB 057.01) con prestaciones similares a las del motor ya construido.
Indicar:
a) número y sección de los conductores del inducido.
b) Inducciones máximas en dientes, corona estatórica y rotórica y polo.
c) Número de espiras y sección del hilo del arrollamiento de excitación.
d) Flujo. Inducción media en el entrehierro.
e) Pérdidas por efecto Joule en el devanado del inducido y de excitación. Caída de
tensión en el devanado inducido.
f) Par desarrollado por el motor.
FEM
Pauta de diseño:
Dado que las dimensiones principales de la máquina ya están fijadas de antemano, se
propone la siguiente secuencia de cálculo:
a) Calcular el inducido (Nº de conductores y sección de los mismos)
b) Calcular la excitación de forma iterativa: mediante FEMM ir incrementando la
corriente total de excitación hasta lograr que la inducción media en el entrehierro
sea la deseada. Ajustar el valor para la corriente a plena carga en el inducido.
c) Calcular el par desarrollado. Caso de no coincidir con el nominal corregir la
excitación hasta lograr el resultado deseado. Posiblemente no coincida el valor de
la inducción media con el estimado previamente por lo que será necesario
comprobar el nivel de saturación en dientes, corona y polo.
d) Teniendo en cuenta que la excitación esta en serie con el inducido, la corriente de
excitación es conocida y por lo tanto podemos determinar el número de espiras
necesario y su sección.
FEM
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ELÈCTRICA.
APLICACIONES DEL MÉTODO DE LOS
ELEMENTOS FINITOS
FEMM (4). ANÁLISIS DE UN MOTOR ASÍNCRONO TRIFÁSICO.
Ramón Bargallo
2005
Analizar la máquina asíncrona siguiente:
3 kW
1420 min-1
380 V
η = 79.40% 2p = 4
Bav = 0.61 T
Plancha tipo IEC100/4.90
L = 120 mm
36/28 ranuras
conexión Y
cosϕ = 0.82
∆s = 15 A/mm2
202 espiras por fase
diámetro neto conductor estatórico (cobre): 0.8 mm; conductores rotoricos de aluminio
fundido.
Característica magnética del hierro empleado (FEV 370-50 HD):
B (T)
0
1.5
1.58
1.62
1.67
1.70
1.72
1.74
1.77
H(A/m)
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
B (T)
1.8
1.82
1.84
1.85
1.87
1.88
1.9
H(A/m)
9000
10000
11000
12000
13000
14000
15000
Permeabilidad relativa (para el análisis cuasi-lineal): 1194
Devanado del motor. Situación de las diferentes bobinas. Las figuras que siguen
muestran el esquema de conexiones del devanado y su correspondencia en las diferentes
ranuras.
FEM
FEM
Teniendo en cuenta además que en el análisis magnetostático las corrientes del rotor se
asumen nulas i ar = ibr = i cr = 0 y que las corrientes estatóricas se encuentran defasadas
120º eléctricos en el tiempo
Se propone realizar el análisis para un instante de tiempo en que:
ias = Iˆ;
1
ibs = ics = − Iˆ
2
Rellenar la siguiente tabla (valor y signo de la corriente):
Ranura nº
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
Corriente TOTAL
Ranura nº
Corriente TOTAL
Ranura nº
Corriente TOTAL
Del análisis del motor deben obtenerse los siguientes resultados:
FEM
•
Inducción media en el entrehierro.
•
Flujo.
•
Niveles de inducción en dientes y coronas estatórica y rotórica.
•
Pérdidas por efecto Joule en el devanado del estator.
Cálculo de la característica par-deslizamiento.
Una limitación que tenemos en nuestro trabajo es la NO simulación del movimiento en el programa
de E.F. utilizado. Para orillar este inconveniente realizamos los siguientes cambios en la
modelización del sistema:
•
•
•
Aplicamos un sistema de corrientes trifásico y equilibrado al estator de pulsación ω2 ; ello es
equivalente a sustituir un estator fijo, con un devanado recorrido por corrientes que crean un
campo giratorio a velocidad ω1 y un rotor girando a velocidad p⋅ωr por un estator fijo, con
un devanado recorrido por corrientes que crean un campo giratorio a velocidad ω2 y un rotor
parado.
Hierro con permeabilidad constante (por definición del programa) y conductividad nula con
el fin de anular las pérdidas por corrientes de Foucault.
Conductores del rotor (de jaula – aluminio) con conductividad constante i
Para este tipo de análisis las corrientes deben expresarse en forma fasorial, pero asignando valores
MÁXIMOS de corriente en cada caso. Si consideramos una situación en que la corriente de la fase
A se toma como referencia obtenemos lo siguiente:
I a = Iˆ;
 1
3 
I b = Iˆ ⋅  − − j ⋅
;
2
2


 1
3 
I c = Iˆ ⋅  − + j ⋅
2 
 2
Analizar el motor para frecuencias de 0 hasta 5 Hz de 0.25 en 0.25 Hz y calcular el par
electromagnético. Trazar una gráfica del par como función de la frecuencia de deslizamiento.
i
En rigor seria mas correcto modificar la conductividad en función del deslizamiento, asignando en cada caso una
conductividad igual a d ⋅ σ , donde σ es la conductividad del material (este cambio es equivalente al que se hace en el
circuito equivalente del motor al dividir la resistencia rotórica por el deslizamiento); obsérvese que la ecuación de
difusión la pulsación ω viene multiplicada por σ:
1  ∂2 A ∂2 A 
 = −J + j ⋅ω ⋅σ ⋅ A
⋅
+
µ  ∂x 2 ∂y 2 
Si se realiza este cambio, el efecto de concentración en las barras rotóricas estará correctamente calculado pero la
potencia síncrona aparecerá como pérdidas por efecto Joule en las barras del rotor como si realizáramos un análisis a
rotor parado; la potencia mecánica podrá calcularse multiplicando este valor por
FEM
1− d
.
d
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ELÈCTRICA.
APLICACIONES DEL MÉTODO DE LOS
ELEMENTOS FINITOS
FEMM (5). ANÁLISIS DE UN MOTOR SÍNCRONO DE IMANES
PERMANENTES.
Ramón Bargallo
2005
Analizar el motor síncrono de imanes permanentes que se muestra en la figura.
Dimensiones geométricas y otros datos:
Indicar:
a) Niveles de saturación en dientes, corona estatórica y retórica.
b) Par electromagnético en función del ángulo δ y de la corriente estatórica. Para
realizar el análisis puede partirse de una distribución inicial de la corriente y
hacer variar esta módulo (con lo que obtendremos la variación del par respecto a
la corriente, para un valor determinado de δ); Posteriormente puede mantenerse
constante la corriente e ir girando el rotor o, de una forma más sencilla, cambiar
el valor instantáneo de la corriente aplicada, tal como se muestra en la figura que
sigue.
FEM
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APLICACIONES DEL MÉTODO DE LOS
ELEMENTOS FINITOS
FEMM (5). ANÁLISIS DE UN MOTOR DE RELUCTANCIA
CONMUTADA.
Ramón Bargallo
2005
Analizar el motor de reluctancia conmutada que se muestra en la figura.
Indicar:
a) Niveles de saturación.
b) Par electromagnético en función del angulo δ y de la corriente estatórica. Para
realizar el análisis puede partirse de una distribución inicial de la corriente y hacer
variar esta (con lo que obtendremos la variación del par respecto a la corriente,
para un valor determinado de δ); Posteriormente puede mantenerse constante la
corriente e ir girando el rotor.
c) Comparar los resultados con los obtenidos analíticamente.
Se recomienda realizar el cálculo utilizando las prestaciones que ofrece el lenguaje de
programación LUA para la resolución del ejercicio.
FEM
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APLICACIÓN DEL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS
FINITOS
FEMM (6). CÁLCULO DE PARÁMETROS ELÉCTRICOS DE UNA
MÁQUINA: INDUCTANCIA PRINCIPAL; Aplicación a las máquinas
de polos lisos, salientes y con imanes permanentes.
Ramón Bargallo
2005
Sabemos que la inductancia principal de una máquina puede calcularse a partir de la
energía magnética almacenada en el entrehierro de la misma:
m
⋅ Lm ⋅ I 2 m
2
W
Lm =
m 2
⋅I
2 m
W=
Aplicación. Calcular las inductancias principales para los casos siguientes:
a)
Máquina
asíncrona
trifásica
de
características
nominales: 1.5 kW; 50 Hz; 220 / 380 V; 6.4 / 3.7 A; cosϕ
= 0.85; 1420 min-1; clase F; J = 0.0105 kgm2; conexión ∆.
Datos geométricos: 36 ranuras estator/28 ranuras rotor;
44 conductores/ranura; D = 80 mm; g = 0.375 mm; L =
100 mm. Considérese que k c ⋅ k sat = 1.3 y el factor de
bobinado ξ = 0.955 .
b)
Máquina
síncrona
de
polos
salientes
de
características nominales: 6 kVA; 220 V; 15.8 A; 50
Hz; 1500 min-1; conexión Y.
Datos geométricos: polos salientes con entrehierro
uniforme g = 2 mm; D = 304 mm; L = 100 mm; ψ =
0.55; 36 ranuras; devanado imbricado de doble capa;
número de conductores por ranura y capa: 5.
Considérese que k c ⋅ k sat = 1.3 y el factor de bobinado
ξ = 0.955 .
c)
Máquina
síncrona
de
imanes
permanentes
de
características nominales 5.1 Nm; 3500 min-1; IN = 2.56 A;
clase F. Datos geométricos: D = 80 mm; L = 68.9 mm; 36
ranuras; 6 polos; 35 conductores ranura; devanado
imbricado simple; ζ = 0.96; altura del iman h = 3mm; g =
0.5 mm; ψ = 0.65; k c ⋅ k sat = 1.3 ; imanes superficiales.
FEM
d) Para el caso anterior, repetir el cálculo a partir de la definición de inductancia
expresada en la forma siguiente:
r r
∇
×
A
⋅ dS
∫
Φ
L= =N⋅S
I
FEM
I
=N⋅
r r
A
∫ ⋅ dl
I
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ELÈCTRICA.
APLICACIÓN DEL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS
FINITOS
FEMM (7). CÁLCULO DE PARÁMETROS ELÉCTRICOS DE UNA
MÁQUINA: INDUCTANCIA DE DISPERSIÓN; RESISTENCIA.
Ramón Bargallo
2005
1. Analizar para diversos valores de la frecuencia las configuraciones de ranura de los
ficheros dme7*.fem. Interesan los siguientes aspectos:
a) distribución del campo en las mismas,
b) inductancia, y
c) resistencia.
2. Escoger 2 configuraciones de ranura de las indicadas en la figura que siguen y repetir
el análisis anterior.
FEM
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ELÈCTRICA.
APLICACIONES DEL MÉTODO DE LOS
ELEMENTOS FINITOS
FEMM (8). METODOLOGÍA PARA EL ESTABLECIMIENTO DEL
ESQUEMA EQUIVALENTE DE UNA MÁQUINA ELÉCTRICA
UTILIZANDO LOS RESUL TADOS OBTENIDOS MEDIANTE EL
MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS. Aplicación a la máquina
asíncrona.
Ramón Bargallo
2005
Una vez presentadas las técnicas de obtención de diversos parámetros (R, L)
significativos en el análisis de cualquier máquina eléctrica, podemos plantearnos la
opción de obtener una determinada parametrización o modelización para una máquina
completa; esto puede lograrse de varias maneras:
•
•
Por ensayo directo de la misma; de aplicación únicamente con la máquina
construida. Como inconveniente tiene la necesidad de disponer de una fuente de
energía ajustable y del mismo orden de magnitud que la de la máquina a ensayar
(según el ensayo).
Por simulación del comportamiento mediante análisis por el método de los
elementos finitos.
La segunda opción resulta atractiva desde el punto de vista del diseñador ya que en
función de los resultados obtenidos podrá realizar correcciones del diseño original para
cumplir con las especificaciones iniciales del mismo.
Evidentemente esto no sustituye el ensayo final una vez se ha construido la máquina
pero permite ahorrar tiempo y esfuerzo en la construcción de prototipos.
El cálculo puede enfocarse desde dos puntos de vista, según los resultados a valorar:
•
•
Obtención de un modelo de la máquina, con el fin de valorar las prestaciones de la
misma; por ejemplo obteniendo un esquema equivalente de la misma y realizando
el análisis sobre el mismo.
Cálculo de características de salida, por ejemplo el par electromagnético.
En las páginas que siguen realizaremos el análisis completo de una máquina asíncrona
trifásica utilizando ambos métodos con el fin de obtener resultados complementarios y
presentar ambas técnicas.
Esquema equivalente de la máquina asíncrona
La máquina asíncrona puede ser modelada utilizando un, relativamente simple, modelo
circuital; el pr opósito del análisis mediante elementos finitos es identificar los
parámetros del modelo. Algunos de estos parámetros pueden hallarse utilizando, según
se ha visto en apartados anteriores, expresiones ligadas a la geometría de la máquina; el
objetivo del análisis por E.F. es el de validar las aproximaciones y simplificaciones que se
han realizado, inevitablemente, con el fin de obtener las expresiones analíticas
anteriores.
Un circuito que permite modelar el comportamiento de la máquina en régimen
permanente es el que se muestra en la figura que sigue. Se han realizado las siguientes
suposiciones:
FEM
•
Dispersión concentrada en el estator.
•
No hay pérdidas en el hierro. Habitualmente los programas de E.F. no son capaces
de modelar la histéresis y en el análisis en régimen sinusoidal permanente se
supone la permeabilidad del medio constante (no se modela la saturación) con lo
que no es posible calcular las pérdidas magnéticas.
d=
ω1 − p ⋅ ω r ω 2
=
ω1
ω1
La impedancia vista desde los terminales de entrada puede expresarse como



1
 
Z entrada = Rs + j ⋅ ω1 ⋅  Lsl + Lm ⋅ 

1
+
j
⋅
τ
⋅
ω
2 


L
τ= m
Rr
El flujo estatórico podemos expresarlo como:
Φs =
V − Rs ⋅ I 


E
1
  ⋅ I
=
=  Lsl + Lm ⋅ 

j ⋅ ω1
j ⋅ ω1
1
+
j
⋅
τ
⋅
ω

2


se observa que este depende de la corriente y del deslizamiento:


1
Φ (ω2 ) =  Lsl + Lm ⋅ 
 1 + j ⋅ τ ⋅ ω2



 τ ⋅ ω2 ⋅ L m

Lm
  ⋅ I =  Lsl +
 − j ⋅ 
2
2

1 + (τ ⋅ ω 2 ) 

 1 + (τ ⋅ ω2 )


 ⋅ I

Mediante los programas de análisis por E.F. puede valorarse este flujo en función de la
pulsación aplicada; realizando una serie de simulaciones correspondientes a diversas
frecuencias se obtendrán una serie de valores para el flujo; una vez realizado el análisis
puede ajustarse el valor de los parámetros desconocidos por regresión (lineal o no lineal).
El cálculo del flujo se basa en la siguiente expresión
FEM
Φ=
∫∫ J ⋅ A ⋅ dS
I
donde la integración se extiende al conjunto de conductores considerado (los de una fase
de la máquina). Al realizar el análisis en alterna, los valores del potencial vector A y de la
densidad de corriente J serán complejos y el resultado (el flujo) también.
El término resistivo (Rs) puede calcularse a partir de las pérdidas por efecto Joule en las
ranuras consideradas.
Una vez obtenidos los parámetros puede evaluarse el par electromagnético en función de
la velocidad (deslizamiento) como sigue:
•
Potencia disipada en la resistencia rotórica del modelo
P =3⋅
•
Rr 2
p ⋅ωr
⋅Ir = 3⋅
⋅ Rr ⋅ I r2 + 3 ⋅ Rr ⋅ I r2
d
ω2
De la anterior podemos valorar la potencia mecánica interna y el par
Pmec = 3 ⋅
M = 3⋅
p ⋅ωr
⋅ Rr ⋅ I r2
ω2
p
⋅ Rr ⋅ I r2
ω2
sustituyendo el valor de la corriente rotórica en función de la estatórica
 j ⋅τ ⋅ ω2 
 ⋅ I s
I r = 
 1 + j ⋅τ ⋅ ω 2 
2
1.8
1.6
llegamos a la siguiente expresión para el
1.4
M
1.2
par electromagnético
1
0.8
0.6
 τ ⋅ω2  2
 ⋅ Is
M = 3 ⋅ p ⋅ Lm ⋅ 
2 
 1 + (τ ⋅ ω 2 ) 
0.4
0.2
0
0
1
2
3
4
t*w2
5
Cuya gráfica es la que sigue. Obsérvese
que el par máximo se produce cuando
τ ⋅ω 2 = 1 , o lo que es lo mismo para
FEM
d=
1
Rr
R
=
= r
ω1 ⋅ τ ω1 ⋅ L m X r
Una vez determinados los parámetros, podemos inferir el par en función de las
condiciones de funcionamiento (deslizamiento y corriente)
Cálculo de parámetros mediante el análisis por E.F.
Una limitación que tenemos en nuestro trabajo es la NO simulación del movimiento en el
programa de E.F. utilizado (FEMM o MAXWELL) Para orillar este inconveniente
realizamos los siguientes cambios en la modelización del sistema:
•
•
•
Aplicamos un sistema de corrientes trifásico y equilibrado al estator de pulsación
ω2; ello es equivalente a sustituir un estator fijo, con un devanado recorrido por
corrientes que crean un campo giratorio a velocidad ω1 y un rotor girando a
velocidad p⋅ωr por un estator fijo, con un devanado recorrido por corrientes que
crean un campo giratorio a velocidad ω2 y un rotor parado.
Hierro con permeabilidad constante (por definición del programa) y conductividad
nula con el fin de anular las pérdidas por corrientes de Foucault.
Conductores del rotor (de jaula – aluminio) con conductividad constante.
Una vez realizado el análisis debemos evaluar el flujo total concatenado y la inductancia
correspondientes a cada pulsación considerada:
Φ=
L=
∫∫ J ⋅ A ⋅ dS
I
Φ
=
I
∫∫ J ⋅ A ⋅ dS
I2
Esta inductancia será, en el caso general, compleja, identificando términos en la
expresión de la inductancia obtenida anteriormente podemos llegar a


 τ ⋅ ω2 ⋅ L m
Lm
 − j ⋅ 
L(ω 2 ) =  Lsl +
2 
2
1 + (τ ⋅ ω 2 ) 
 1 + (τ ⋅ ω2 )



Lm

Lreal (ω 2 ) =  Lsl +
2 
1 + (τ ⋅ ω 2 ) 

 τ ⋅ ω2 ⋅ L m
Limag (ω2 ) = −
2
 1 + (τ ⋅ ω2 )
FEM






Cálculo por regresión lineal de los parámetros desconocidos
Usando la parte imaginaria del valor obtenido anteriormente pueden calcularse algunos
de los parámetros empleando regresión lineal mediante el método de los mínimos
cuadrados.
En efecto si desarrollamos la expresión anterior:
 τ ⋅ ω 2 ⋅ Lm 

Limag (ω2 ) = −
2 
 1 + (τ ⋅ ω 2 ) 
con
θ1 = τ ⋅ Lm
θ2 = τ 2
llegamos a
(
)
ω 2 ⋅θ1 + Limag (ω 2 ) ⋅ ω 22 ⋅θ 2 = − Limag (ω2 )
Aplicado a nuestro caso llegamos a:
θˆ = ( Φ T ⋅ Φ ) −1 ⋅ Φ T ⋅ y
Con
 θ  τ ⋅ L 
θˆ =  1  =  2 m 
θ 2   τ 
y T = (− Limag (ω 21) − Limag (ω 22 ) ......... ........ − Limag (ω 2N ) )
 ω21

ω
Φ =  22
 ........
 ω2 N

(L
(L
)
)
(ω 21) ⋅ ω212 

2
imag (ω 22 ) ⋅ ω22 


Limag (ω2 N ) ⋅ ω22N 
(
imag
)
Donde N es el número de medidas realizadas.
El término de dispersión puede ser hallado a partir de la parte real de la ecuación
obtenida anteriormente:
FEM


Lm
Lreal (ω 2 ) =  Lsl +

2 
1 + (τ ⋅ ω 2 ) 

Lm
Lsl = Lreal (ω 2 ) −
1 + (τ ⋅ ω 2 ) 2
Calculando el valor para cada pulsación y hallando el valor medio tendremos una buena
estimación de la inductancia de dispersión.
Nota. Otra posibilidad es realizar un análisis de regresión no lineal resolviendo
conjuntamente las ecuaciones resultantes de la parte real e imaginaria; ello resulta más
complejo y los resultados obtenidos son prácticamente los mismos.
Aplicación.
Máquina asíncrona trifásica. 1.5 kW; 220/380 V; 50 Hz; p = 2; 36 ranuras estator/28
ranuras rotor; 44 conductores por ranura estatórica;
D = 80 mm; L = 100 mm.
Al ser una máquina de 4 polos, no es necesario
modelarla completamente: 1 polo será suficiente, en
los bordes horizontal y vertical usaremos una
condición de frontera anti-periódica, es decir:
C-
A(ϑ ) = − A(ϑ +
π
)
2
El procesoCde cálculo es el siguiente:
•
•
aplicar un sistema trifásico equilibrado de
corrientes de valor 1 A por conductor.
integración
sobre
las
tres
ranuras
correspondientes a la fase A (ver figura de la
izquierda)
L=
•
Φ
=
I
∫∫ J ⋅ A ⋅ dS
I
2
Realizar una regresión sobre los valores
obtenidos anteriormente y obtener Lm, Lsl y τ
FEM
Cálculo del par electromagnético
Una vez obtenidos los parámetros del circuito equivalente podemos evaluar el par:
 τ ⋅ω2  2
 ⋅ Is
M = 3 ⋅ p ⋅ Lm ⋅ 
2 
 1 + (τ ⋅ ω 2 ) 
Como comparación obtener el par a partir de los resultados obtenidos en el programa de
E.F.
El programa presenta la opción de cálculo del par; para que el cálculo sea correcto deben
cumplirse dos condiciones:
•
•
Debemos definir una línea donde realizar la integración (ver figura que sigue)
Dicha línea debe discurrir totalmente en un mismo material (normalmente el
entrehierro – aire)
Y la siguiente precaución:
•
FEM
El programa de hecho calcula la fuerza e
indirectamente el par con relación al punto (0,0):
debemos tener en cuenta esto a la hora de hacer el
dibujo; resulta conveniente centrar la máquina en
el origen de coordenadas.
DEPARTAMENT D’ENGINYERIA
ELÈCTRICA.
APLICACIONES DEL MÉTODO DE LOS
ELEMENTOS FINITOS
FEMM (9). ANÁLISIS DEL AISLAMIENTO EN AISLADORES Y
MÁQUINAS ELÉCTRICAS.
Ramón Bargallo
2005
Análisis de un aislador
En ingeniería eléctrica de potencia las magnitudes de las tensiones y las corrientes
eléctricas suelen ser de gran consideración, hay dos aspectos importantes a tener en
cuenta al dimensionar una instalación de transmisión/distribución:
•
•
La rigidez dieléctrica de los aislantes.
La capacidad de soportar esfuerzos mecánicos .
El elemento utilizado para estos fines se denomina aislador, y ambos aspectos son de
relevante importancia para su dimensionado. La dificultad de conocer analíticamente la
distribución de campo eléctrico debido a la forma compleja del aislador requiere el uso de
métodos numéricos para la determinación del campo máximo, los "puntos calientes"
donde es mayor el peligro de ruptura y el adecuado dimensionado. Por otra parte, el
mismo método se puede aplicar para el cálculo de las fuerzas entre conductores de la
línea cuando circula por ellos la corriente de cortocircuito, mediante la estimación del
campo magnético.
DESCRIPCIÓN DE ELEMENTOS A UTILIZAR
Los esquemas de los aisladores se hallan en archivos .dxf (15KV.DXF, 23KV.DXF y
30KV.DXF) que se pueden importar directamente a FEMM o cualquier programa de E.F.
DESARROLLO DE LAS EXPERIENCIAS
Dada la geometría del elemento aislador, que se esquematiza al final, el trabajo práctico
consistirá en:
•
•
Obtener el valor máximo valor de tensión a la que podrá operar el aislador sin que
se produzca la ruptura dieléctrica del material (considere 6kV/mm la rigidez
dieléctrica del material cerámico y su ε r = 5 ).
Comente brevemente por qué los aisladores no operan a dicha tensión, siendo
que no existen restricciones de índole dieléctrica.
¿Dónde encuentra concentraciones elevadas de campo eléctrico?
¿Cómo se mejora la seguridad del aislador en la práctica?
•
•
En base a las líneas equipotenciales, trazar las líneas de campo eléctrico.
Calcular la capacidad conformada entre el conductor y el aislador.
•
Suponiendo que se produce un cortocircuito y que la corriente en estas condiciones
toma un valor de 13.2kA, calcular el esfuerzo mecánico que deberán soportar los
aisladores debido a la fuerza magnética entre fases adyacentes para operar en
dichas condiciones. Suponga que la separación entre fases es de 1m.
Comparar con el cálculo teórico.
FEM
Análisis del aislamiento de una ranura.
Repetir el análisis para la ranura de un a lternador mostrada en la figura que sigue.
FEM
La capa superior corresponde una parte del devanado de la fase A y la parte inferior a un
devanado de la fase B. La tensión nominal del alternador es 21 kV. La correspondiente al
valor máximo de la excitación es de 33 kV. En AT la tensión máxima que debe soportar un
aislamiento es de 2U n + 3 kV . Estudiar que material es el más adecuado para realizar el
aislamiento entre la lista que se presenta más abajo.
Nota: considerar que el hierro y el devanado es un conductor perfecto a efectos de
modelado mediante el programa de elementos finitos.
Material
Papel
Cartón prensado
Tela impregnada
Aire
FEM
εr
3.3
4.2
5.5
1
Rigidez dieléctrica
(kV/mm)
10
35
30
1.5