12 Figuras planas !

Matemáticas Pitágoras 1.º ESO / Resumen Unidad 12
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Figuras planas
1. Polígonos
Al unir sucesivamente varios segmentos se forma una línea a la que se llama poligonal y que puede
ser abierta o cerrada.
La zona interior que delimita una línea poligonal cerrada se llama polígono.
!
Ten en cuenta
Según sus ángulos, los polígonos se pueden clasificar en:
• Convexos: todos sus ángulos interiores son convexos.
• Cóncavos: algún ángulo interior es cóncavo.
■
Suma de los ángulos de un polígono
Si en un triángulo cualquiera marcamos sus ángulos interiores, los recortamos y los colocamos de forma consecutiva, observaremos que forman un ángulo llano.
La suma de los ángulos de un polígono convexo de n lados es:
180° · (n − 2)
■
Polígonos regulares
Un polígono con los lados y los ángulos interiores iguales se llama polígono regular. Tiene los
siguientes elementos:
• Centro: punto que equidista de los vértices.
• Radio: cualquier segmento que une el centro con un vértice.
Radio
Centro
• Apotema: cualquier segmento que une el centro con el punto medio de un lado.
• Ángulo central: cualquier ángulo determinado por dos radios.
En todo polígono regular podemos dibujar su circunferencia
circunscrita, cuyo centro es el centro del polígono y que pasa
por los vértices. En este caso, el polígono se llama polígono
inscrito.
1
Apotema
Ángulo
central
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2. Triángulos y cuadriláteros
■
Clasificación de los triángulos
Según sus ángulos
Acutángulo
Obtusángulo
1 ángulo recto
3 ángulos agudos
1 ángulo obtuso
Equilátero
Según sus lados
Isósceles
Rectángulo
90º
Escaleno
!
Ten en cuenta
En un triángulo rectángulo, los
lados que forman el ángulo
recto se llaman catetos, y el
lado opuesto, hipotenusa.
Hipotenusa
Cateto
90º
3 lados iguales
■
2 lados iguales
Ningún lado igual
Cateto
Clasificación de los cuadriláteros
Según el paralelismo de los lados, la clasificación es la siguiente.
Trapezoides
Ningún par de lados paralelos
Trapecios
1 par de lados paralelos
Isósceles
Rectángulo
Escaleno
90º
Paralelogramos
2 pares de lados paralelos
Cuadrado
Rectángulo
Rombo
Romboide
4 lados iguales
4 ángulos rectos
4 ángulos rectos
4 lados iguales
Lados no paralelos distintos
Ningún ángulo recto
2
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3. Construcción de polígonos regulares
■
■
Conocido el radio de la circunferencia
circunscrita
Construimos de forma aproximada un hexágono regular donde el radio de la circunferencia circunscrita
mide 1,5 centímetros.
Conocido el lado del polígono
Construimos de forma aproximada un heptágono
regular cuyo lado mide 3 centímetros.
1.º Dibujamos el lado de 3 centímetros y trazamos
su mediatriz. Trazamos un arco con centro en A
y radio AB, que corta a la mediatriz en O.
1.º Dibujamos la circunferencia de 1,5 centímetros
de radio y trazamos un diámetro AB. Como queremos construir un hexágono, dividimos AB en
6 partes iguales.
O
A
A
B
2.º Dibujamos la circunferencia con centro en O y
que pasa por A y B, y dividimos el segmento OM
en seis partes iguales.
B
2.º Desde los extremos de AB y con su medida trazamos dos arcos que se corten en un punto C.
O
A
A
C
M
B
3.º Tomamos la medida de una parte y la trasladamos sobre la mediatriz tantas veces como
sea necesario para obtener tantas partes como
lados tiene el polígono que queremos construir.
B
3.º Unimos el punto C con la segunda división y prolongamos la recta hasta cortar la circunferencia en P. El segmento AP es la medida del lado
del hexágono.
7
A
O
P
A
C
M
B
4.º Trazamos la circunferencia cuyo centro es el punto 7, y sobre ella llevamos la medida del lado.
B
4.º Trazamos arcos consecutivos desde A y obtenemos los vértices del hexágono.
A
7
P
O
C
A
B
3
M
B
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4. Criterios de igualdad de triángulos
Dos triángulos son iguales si tienen los tres lados iguales y los tres ángulos iguales.
!
Ten en cuenta
Solo se pueden construir triángulos conocidos los
lados si la longitud de cada uno de ellos es menor
que la suma de las longitudes de los otros dos.
■
Criterio 1
Dos triángulos son iguales si tienen los tres lados iguales.
■
Criterio 2
Dos triángulos son iguales si tienen iguales dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.
■
Criterio 3
Dos triángulos son iguales si tienen iguales un lado y los ángulos contiguos.
!
Ten en cuenta
Por el criterio 2:
Dos triángulos rectángulos son
iguales si son iguales sus catetos.
2 cm
90⬚
4 cm
4 cm
90⬚
2 cm
5. Mediatrices de un triángulo
Las mediatrices de un triángulo son las mediatrices de cada uno de sus lados.
Las mediatrices de un triángulo se cortan en un punto que se llama circuncentro.
Como todos los puntos de la mediatriz de un segmento están a la misma distancia de los extremos del
mismo, entonces el circuncentro está a la misma distancia de los vértices del triángulo.
El circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo.
B
s
t
r
C
A
C
4
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6. Bisectrices de un triángulo
Las bisectrices de un triángulo son las bisectrices de cada uno de sus ángulos interiores.
Las bisectrices de un triángulo se cortan en un punto que se llama incentro.
Como todos los puntos de la bisectriz de un ángulo están a la misma distancia de los lados del mismo, entonces el incentro está a la misma distancia de los tres lados.
El incentro es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo.
C
r
s
I
B
t
A
7. Alturas de un triángulo
Las alturas de un triángulo son las rectas perpendiculares trazadas desde cada vértice al lado opuesto o a su prolongación.
Las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto que se llama ortocentro.
B
O
A
C
8. Medianas de un triángulo
Las medianas de un triángulo son las rectas que pasan por un vértice y el punto medio del lado opuesto.
Las medianas de un triángulo se cortan en un punto que se llama baricentro.
La distancia del baricentro al vértice es el doble que su distancia al punto medio del lado opuesto.
B
r
t
G
A
C
s
9. Simetrías en las figuras planas
Una figura tiene un eje de simetría cuando el eje (recta) divide a la figura en dos partes, una reflejo de
la otra.
180°
Cuando una figura tiene n ejes de simetría, dos ejes contiguos forman un ángulo de
.
n
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