¿Cómo podemos usar los rayos X para ver los átomos dentro de un

¿COMO PODEMOS USAR LOS RAYOS X PARA VER LOS ÁTOMOS DENTRO
DE UN CRISTAL?
Andrés Vega
Departamento de Química Facultad de Ciencias
Universidad de Tarapacá
email: [email protected]
Resumen
Los cristales representan una forma del estado sólido caracterizada por el
ordenamiento periódico de los átomos o moléculas en su estructura, lo que les confiere
propiedades muy interesantes, ya sea en su aspecto (como su asombrosa regularidad y
armonía geométrica) como en sus propiedades físicas.
Una de las propiedades más notables de un cristal es su capacidad para difractar los
rayos X. Esta propiedad ha permitido desentrañar los aspectos estructurales más íntimos de
la geometría molecular, la forma de las moléculas dentro del cristal.
El acabado conocimiento de los factores que determinan la conformación de las
moléculas dentro de un cristal ha permitido establecer sólidamente cual es la estrecha
relación que existe entre la estructura molecular y las propiedades de la materia.
En el presente artículo se discute cuales son las metódicas empleadas para conocer
la estructura molecular de un cristal a partir de su patrón de difracción de rayos x. Además
se analiza las principales dificultades tanto prácticas como analíticas que se encuentra
normalmente durante este proceso. Finalmente se muestra un ejemplo en los que la
información obtenida a partir de la difracción de rayos-X puede encontrar aplicaciones en
la solución de problemas del mundo que nos rodea a diario.
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Los cristales y los rayos-X
Un cristal es una forma del estado sólido de la materia que por su belleza llamó
poderosamente la atención del hombre desde tiempos inmemoriales. La forma de un cristal
normalmente incluye poliedros, de caras regulares y lustrosas que forman ángulos bien
definidos. En otras palabras, una sinfonía de geometría, perfección y armonía (ver Figura
1). Esta marcada atracción pronto derivó en materia de estudio: la cristalografía, rama del
conocimiento que se dedicó en forma sistemática a estudiar las relaciones entre los distintos
parámetros geométricos propios de cada cristal: números de caras, ángulos definidos por
estas, etc. A pesar del gran éxito de la cristalografía en cuanto a la sistematización del
conocimiento sobre los cristales, pronto resultó obvio que no podía responder a la más
importante de todas las preguntas, ¿Qué es lo que hace a un determinado sólido tomar la
forma de cristal? ¿Qué es lo que existe a escala atómica tras esta enigmática belleza?
Figura 1. Cristales de Cuarzo (SiO2).
La respuesta a esta pregunta claramente no estaba al alcance de los cristalógrafos
que la formularon, más aún, la respuesta solo vino a encontrarse hacia fines del siglo XIX,
que justamente corresponde a una de las etapas más brillantes en el desarrollo de la Física.
Hacia fines del siglo XIX y mientras realizada experiencias con “tubos de descarga” (ver
Nota (a)), Wilhelm C. Roentgen descubrió un tipo de radiación desconocido, de alto poder
penetrante y capaz de ennegrecer una placa fotográfica, a la que bautizó con la “X”,
símbolo reservado por los matemáticos para identificar a la incógnita. Una de las
propiedades más desconcertantes de los “rayos X” resultó ser la capacidad de un cristal
para difractarlos, es decir desviarlos en direcciones bien definidas del espacio (Figura 2).
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Figura 2. Difracción de los rayos X por un cristal
Esta interesante propiedad contribuyó a aclarar la naturaleza tanto de los “rayos X”
como la de los sólidos cristalinos: a comienzos del siglo XX, Max Von Laue sugirió que la
difracción de los rayos X por los cristales era consecuencia que los átomos del cristal (ver
Nota (b)) están organizados de forma ordenada y repetitiva en el espacio, de forma que
pueden actuar como una suerte de “rendijas de difracción” para los rayos X, que en esta
interpretación no son otra cosa que una forma de la ya conocida radiación electromagnética,
cuya longitud de onda es semejante a las distancias entre los átomos en el cristal.
De este forma, el patrón de difracción (el conjunto de haces de rayos X producidos)
debe ser entendido como el producto de la interacción de la radiación con la materia y de la
naturaleza ordenada de un cristal. Aunque esta explicación para el fenómeno de la
difracción permite entenderlo de forma satisfactoria, sugiere nuevas y más interesantes
preguntas: ¿serán iguales los patrones de difracción de dos cristales distintos?. De no ser
así, ¿será posible obtener información del ordenamiento de los átomos en el espacio dentro
del cristal a partir del patrón de difracción de éste?
La respuesta a la primera cuestión es afortunadamente no, distintas sustancias
cristalinas producen distintos patrones de difracción. La segunda interrogante equivale a
preguntarse si la sombra de un cuerpo al ser expuesto a la luz nos puede dar alguna
información sobre éste. La respuesta es claramente sí, aunque bajo algunas condiciones.
El procedimiento por el cual podemos obtener información de la geometría de un
compuesto a nivel atómico mediante el análisis cuidadoso de su patrón de difracción posee
algunas complejidades matemáticas, las cuales no se pretende abarcar en esta Charla.
En las secciones siguientes introduciremos algunos conceptos útiles para describir
un sólido cristalino y discutiremos algunos aspectos, tanto teóricos como experimentales
del proceso de difracción, su aplicabilidad, sus limitaciones y la interpretación de la
información obtenida.
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La celda unitaria.
Según se ha comentado anteriormente, un cristal no es otra cosa que un
ordenamiento atómico repetitivo y periódico en las tres dimensiones del espacio. De esta
forma para describir completamente un cristal no es necesario describir los miles de
millones de átomos que hay en su interior, si no solo una pequeña fracción de éstos, la cual
se conoce como celda unitaria (ver Nota (c)). El cristal completo puede ser descrito como
una red formada por la repetición de esta celda unitaria en cada una de las tres dimensiones
del espacio. Una comparación apropiada para comprender este concepto puede ser un piso
con baldosas: el piso en su totalidad no es más que la repetición de la palmeta básica.
Los elementos que definen a la celda unitaria son seis, tres longitudes de celda,
a, b, c y tres ángulos α , β y  γ definidos por los ejes de la celda, tal como se ve en la
Figura 3.
Figura 3. Celda unitaria
Los distintos valores posibles para los parámetros de celda definen un total de 7
tipos distintos de sistemas cristalinos, según se detalla en el siguiente listado:
- Triclínico: a ≠ b ≠ c , α≠ β ≠ γ
- Monoclínico: a ≠ b ≠ c , α = γ = 90°; β ≠ 90°
- Ortorrómbico: a ≠ b ≠ c , α = β = γ = 90°
- Tetragonal: a = b ≠ c , α = β = γ = 90°
- Cúbico: a = b = c , α = β = γ = 90°
- Trigonal a = b = c , α = β = γ ≠ 90° (γ >120°)
- Hexagonal: a = b ≠ c , α = β = 90°, γ =120°
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La adición de elementos de simetría a la celda conduce a un total de 234 grupos
espaciales de simetría, que corresponden a todas las formas posibles en que un compuesto
químico puede cristalizar.
La Ley de Bragg.
La ley de Bragg representa la condición matemática para la ocurrencia de la
difracción. Para que ésta se produzca, la diferencia de distancia recorrida por dos rayos X
que inciden en el ángulo de Bragg (θ) y que son difractados por planos sucesivos (ver Nota
(d)) separados por la distancia d debe ser un múltiplo entero (n) de la longitud de onda λ
de la radiación-X, pues de otra forma se producirá interferencia destructiva y cancelación
(Figura 4):
2d sen θ = n λ (Ley de Bragg)
Figura 4. Representación esquemática de la ley de Bragg
La ley de Bragg representa la condición en la cual se produce difracción por un
cristal, pero por sí misma no entrega información detallada acerca de cómo están ordenados
los átomos en la intimidad del cristal. La obtención de esta información requiere de algunas
consideraciones adicionales, específicamente la introducción del “factor de estructura” (F).
El Factor de Estructura y el Problema de la Fase.
En términos físicos, la difracción de los rayos X es un fenómeno producido por los
electrones de un átomo. El aporte que puede realizar un átomo dentro de un cristal en
términos de producir un haz de rayos difractados depende de su naturaleza (en principio de
cuantos electrones tiene) y de su ubicación dentro de este. En términos matemáticos esto se
resume a través de lo que se conoce como “factor de estructura” (F), cuya forma es:
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en donde fi y xi, yi, zi representan, respectivamente, el factor de dispersión (naturaleza) y las
coordenadas del átomo i (ubicación) dentro de la celda unitaria. Normalmente la forma del
factor de estructura puede ser más compacta debido a la existencia de relaciones de simetría
entre los átomos en una celda unitaria.
El factor de estructura es un número complejo, es decir, posee un módulo y una
fase. Desde el punto de vista experimental, no es posible medir directamente el factor de
estructura F completo, sólo es posible relacionar el cuadrado de su modulo, |F|2, con la
intensidad difractada por cada familia de planos hkl dentro del cristal.
La imposibilidad experimental de determinar el factor de estructura completo se
conoce como “problema de la fase”, y es la principal dificultad a resolver por quien quiera
determinar qué es lo que existe dentro de una celda unitaria y dónde esto está ubicado. Las
estrategias para la solución del problema de la fase son básicamente dos:
•
El método de Patterson o del átomo pesado: Emplea como aproximación el
hecho que el factor de estructura puede aproximarse por la componente del átomo
más pesado (con mayor número de electrones).
•
Los métodos directos: utilizan relaciones de desigualdad entre las intensidades
difractadas por varios planos para establecer un conjunto aproximado de fases.
La densidad electrónica
Cualquiera sea el caso, la resolución del problema de las fases permite construir un
mapa de densidad electrónica dentro de la celda unitaria (por ende dentro del cristal)
mediante la expresión de la densidad electrónica:
donde V es el volumen de la celda unitaria y α hkl es la fase del plano hkl.
La función de densidad electrónica posee máximos en las coordenadas x,y,z (ver
Figura 5) que corresponden a los átomos de una molécula, de forma que encontrando
matemáticamente estos máximos puede deducirse las posiciones de cada átomo dentro del
cristal.
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Figura 5. Mapa de Densidad electrónica en un compuesto de cobre.
Ver los átomos
La información que se puede extraer a partir de las coordenadas para cada átomo
dentro del cristal es múltiple: las distancias de existentes entre los átomos, los ángulos que
éstos definen, los ángulos definidos por agrupaciones específicas de átomos, etc. Esto
equivale a “ver” o “tomar una fotografía” de una molécula.
La información extraíble a partir de los resultados del experimento de difracción en
un cristal es la forma más completa de indagar la geometría de una molécula particular. La
utilización de esta información como contraparte de la “teoría cuántica del enlace” ha
permitido sentar las bases del conocimiento que hoy existe en torno a cuáles son las bases
fundamentales que determinan la geometría de una molécula.
¿Cuál es la importancia de conocer en detalle la geometría de una molécula dentro
de un cristal?. Básicamente, las propiedades físicas y químicas de todo tipo de un
compuesto dependen de cuál es su estructura. De esta forma, un acabado conocimiento de
esta relación entre estructura y propiedades permite, en último caso, el diseño de
moléculas con propiedades “a la medida”.
Esta aproximación ha sido empleada con mucho éxito a nivel farmacéutico, en
donde la información estructural de ciertas proteínas permite, por ejemplo, diseñar
inhibidores específicos para sus sitios activos, que pueden tener valor medicinal, tal como
se discute más adelante.
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Preparación de cristales
La completa información estructural que entrega la experiencia de rayos X sobre
una molécula se encuentra normalmente con un obstáculo no menor: preparar “cristales
apropiados” de una sustancia para el experimento de difracción es en parte importante de
los casos muy difícil.
Por cristales apropiados se entiende cristales del orden de las décimas de milímetro
y que sean “únicos”, es decir, que correspondan a una sola operación de traslación de la
celda unitaria. Es frecuente encontrar que, antes que cristales, muchas sustancias tienden a
convertirse en polvo en el estado sólido. Las más modernas técnicas de cristalización de
proteínas se realizan en el espacio a bordo de los transbordadores espaciales, en donde la
ausencia de gravedad facilita el proceso (Figura 6 y ver Nota (d)).
Figura 6. Cristales de una Proteína obtenidos en el espacio
Twins o Maclas
Aún cuando se obtengan cristales adecuados, en muchas ocasiones, esto no
garantiza el éxito del experimento de difracción, pues tampoco es infrecuente encontrar
casos en que los cristales se descomponen en tiempos más cortos que el necesario para
realizar un experimento de difracción (que en general está en el rango de las horas). Otro
problema frecuentemente hallado es lo que se conoce como “maclado”, en inglés twin
(gemelo). Esta situación consiste en la obtención de cristales que no son del tipo único, sino
que más bien corresponden a dos cristales unidos que aparentan ser uno. La figura 7a
muestra la fotografía de un cristal aparentemente normal, pero cuyo patrón de difracción
muestra reflexiones provenientes de dos cristales distintos (colores distintos, Figura 7b)
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a
b
Figura 7. a) Un cristal de compuesto de cobre y fosfato. b) El diagrama de difracción de
este compuesto muestra reflexiones pertenecientes a dos cristales, marcadas
intencionadamente en blanco y rosado.
Ya que toda la sistemática expuesta para obtener las coordenadas atómicas a partir
del patrón de difracción de un cristal se basa en que éste sea monocristalino, el fenómeno
de maclado, en general, impide la extracción de la información estructural. Sin embargo, la
situación puede ser salvada cuando los dos o más componentes en un cristal único pueden
separarse completamente e identificarse las reflexiones que pertenecen a cada cristal. La
relación matemática que une a los dos componentes de un twin se conoce como ley de
twin.
Otros casos problemáticos
Adicionalmente a lo expuesto en los párrafos anteriores, existen algunas otras
situaciones que dificultan la extracción de la información estructural desde un sólido
cristalino. Las dos más importantes son
•
Compuestos que son sensibles a los rayos X, o que se descomponen rápidamente
por algún motivo.
•
Muestras con una celda unitaria de gran tamaño (mayor de 25 Å, 1 Å = 10-10 m) y
con un bajo nivel de simetría.
La solución de ambos problemas en general pasa por el uso de radiación de
sincrotrón (ver Nota (e)) y de detectores de área (ver Nota (f)).
En el Mundo Real
Un interesante ejemplo acerca del uso de la información obtenida del proceso de
difracción de rayos-X por cristales de proteína en la búsqueda de medicamentos se da para
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un mal que es muy común y que constituye un problema de salud pública en muchas
regiones de América latina.
Se trata del temido Mal de Chagas, causante de numerosas incomodidades e incluso
la muerte en quienes están infectados. El mal es causado por un pequeño parásito: el
trypanosoma, que es transmitido a través de la mordida de la vinchuca.
El tratamiento farmacéutico existente en las primeras etapas de la enfermedad posee
desagradables efectos secundarios que le hacen la mayoría de las veces intolerables. En las
etapas más avanzadas del mal simplemente no se conoce terapia efectiva.
Desde 1995 un conjunto de grupos científicos latinoamericanos ha estado
trabajando en este problema con el siguiente enfoque: un conocimiento adecuado de la
estructura de ciertas enzimas (proteínas) vitales para el parasito, permitiría desarrollar
inhibidores adecuados que pudiesen frenar su proliferación dentro del cuerpo.
Las principales dificultades experimentales de este enfoque están en la dificultad
que existe para obtener cantidades significativas y puras de la enzima y una vez que esto se
ha logrado, en obtener cristales adecuados para la experiencia de difracción.
Este obstáculo ha sido superado mediante la cristalización en el espacio, posible por
la cooperación de la Nasa y su programa de transbordadores. La ausencia de gravedad en el
espacio permite obtener cristales prácticamente libres de defectos, de los cuales se puede
extraer la información estructural de la enzima y luego diseñar los fármacos adecuados en
base a la información obtenida.
Observaciones finales
La difracción de rayos X por un sólido cristalino resulta ser una poderosa
herramienta que permite conocer en detalle la estructura de la materia a nivel molecular.
Este conocimiento puede ser empleado con diversos objetivos, que van desde la tecnología
computacional al diseño de nuevos fármacos.
Notas
(a) Un tubo de descarga es básicamente un tubo de vidrio sellado dentro del cual se ha
hecho alto vacío. Dentro del tubo se ubican dos electrodos metálicos entre los cuales al
aplicar una gran diferencia de potencial se genera una corriente de electrones (descarga).
(b) La hipótesis de que la materia está compuesta por átomos se remonta al tiempo de los
griegos (siglo V A.C.), algunos de cuyos pensadores decidieron que la materia no podía ser
subdividida en partes más pequeñas en forma indefinida, sino que debía haber un límite al
que llamaron “átomo” (indivisible). Más aún y, solo sobre la base del pensamiento,
llegaron a afirmar que distintos tipos de materia estaban compuestos por distintos tipos de
átomos, estableciendo por primera vez la idea de que las propiedades macroscópicas de la
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materia no son sino el resultado de su composición microscópica, concepto que cruza
transversalmente la ciencia moderna.
(c) La celda unitaria constituye la más simple unidad repetitiva dentro de un cristal.
(d) Normalmente se utiliza el concepto de planos cristalinos. Estos se identifican con las
letras hkl o Índices de Miller. Se les utiliza para identificar familias de planos dentro del
cristal de la forma siguiente: un plano de índices hkl corresponde a aquel que intercepta
con la unitaria en 1/h, 1/k y 1/l.
(e) El sincrotrón es un acelerador de partículas del cual se puede obtener (entre otras
cosas) una fuente de radiación-X muy potente, de longitud de onda “sintonizable” y de la
cual se pueden programar pulsos.
(f) Un detector de área es un dispositivo electrónico capaz de medir a un mismo tiempo
varios haces de rayos X difractados.
Bibliografía
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University press, New York, 2002.
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Biologists (Methods in Stereochemical Analysis)” Wiley VCH Inc, USA, 1994.
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Algunos recursos interesantes en el Web:
Cristalografía
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6. http://161.116.85.21/crista/castella/index_es.htm
7. http://www.xtal.iqfr.csic.es/Cristalografia/index2.html
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Celda Unitaria y Redes de Bravais
8. http://es.wikipedia.org/wiki/Redes_de_Bravais
Índices de Miller
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El Factor de Estructura
10. http://www.iucr.org/iucr-top/comm/cteach/pamphlets/9/node2.html
Cristalización en el Espacio
11. http://www.dicat.csic.es/rdcsic/rdrn07esp.htm
El problema de Chagas en Latino América
12. http://www.oei.org.co/sii/entrega7/art09.htm
Radiación de Sincrotrón
13. http://www.esrf.fr/
Detectores de Rayos-X
14. http://www.airynothing.com/high_energy_tutorial/detection/detection04.html
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